2015-2016学年上海市浦东新区高二(下)期中数学试卷
2017-2018学年上海市浦东新区高一(下)学期期中数学试卷 (解析版)
2017-2018学年上海市浦东新区高一第二学期期中数学试卷一、填空题（本大题共有12题，满分42分）只要求直接填写结果，1～6题每个空格填对得3分，7～12每个空格填对得4分，否则一律得零分 1．设sin α＜0且tan α＞0，则α所在的象限是 ． 2．函数y ＝cos2x ，x ∈[0，π]的递增区间为 ．3．函数y ＝cos a πx （a ＞0）的最小正周期为2，则实数a ＝ 4．已知sin(α+π2)=13，α∈(0，π2)，则tan α＝ ．5．若tan （α−π4）=16．则tan α＝ ．6．将函数y ＝sin x 的图象向左平移π4个单位，再向上平移1个单位，所的图象的函数解析式是 ．7．若函数y =√2sin(ωx +φ)(ω＞0)的图象的相邻两条对称轴的距离是π，则ω＝ ． 8．已知f （x ）＝2sin ωx （ω＞0）在[0，π3]单调递增，则实数ω的最大值为 ．9．在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称，若sin α=13，则cos （α﹣β）＝ ．10．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C +c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状为 ．11．函数f （x ）＝﹣cos 2x +√3cosx +14(x ∈[0，π2])的最大值是12．设函数f （x ）＝2sin （ωx +ϕ），x ∈R ，其中ω＞0，|ϕ|＜π．若f(5π8)=2，f(11π8)=0，且f （x ）的最小正周期大于2π，则f （x ）的解析式为二、选择题（本大题共有4题，满分16分）每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，选对得4分，否则一律得零分 13．下列函数中，周期是π，又是偶函数的是（ ） A ．y ＝sin xB ．y ＝cos xC ．y ＝sin2xD ．y ＝cos2x14．已知sin(π4−α)=m ，则cos(5π4+α)=（ ） A ．mB ．﹣mC ．√1−m 2D ．−√1−m 215．设函数f （x ）＝cos （x +π3），则下列结论错误的是（ ）A ．f （x ）的一个周期为﹣2πB ．y ＝f （x ）的图象关于直线x =8π3对称 C ．f （x +π）的一个零点为x =π6D ．f （x ）在（π2，π）单调递减16．已知曲线C 1：y =sin(x +π2)，C 2：y =sin(2x +2π3)，则下面结论正确的是（ ）A ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2B ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2C ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2三、解答题（本大题共有4题，满分42分）解答下列各题必须写出必要的步骤17．已知函数f(x)=1−√2sin(2x−π4)cosx， （Ⅰ）求f （x ）的定义域；（Ⅱ）设α是第四象限的角，且tanα=−43，求f （α）的值．18．已知函数f(x)=cos 2x −sin 2x +2√3sinxcosx(x ∈R) （1）求f （x ）的最大值及对应x 的值 （2）求f （x ）的最小正周期及单调递增区间19．已知函数f （x ）＝a sin x +b cos x ，其中a 、b 为非零实常数 （1）若a =1，b =−√3，求f （x ）的对称轴（2）若a =1，x =π6，是f （x ）图象的一条对称轴，求x 0的值，使其满足f(x 0)=√3，且x 0∈[0，2π]20．如图，旅客从某旅游区的景点A 处下山至C 处有两种路径．一种是从A 沿直线步行到C ，另一种从A 沿索道乘缆车到B ，然后从B 沿直线步行到C ．现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50米/分钟，在甲出发2分钟后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1分钟后，再从B匀速步行到C．假设缆车匀速直线运动的速度为130米/分钟，山路AC长1260米，经测量，cos A=1213，cos C=35．（1）求索道AB的长；（2）问乙出发后多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？2017-2018学年上海市浦东新区高一第二学期期中数学试卷参考答案一、填空题（本大题共有12题，满分42分）只要求直接填写结果，1～6题每个空格填对得3分，7～12每个空格填对得4分，否则一律得零分 1．设sin α＜0且tan α＞0，则α所在的象限是 第三象限 ．【分析】由于sin α＜0，故α可能是第三或第四象限角；由于tan α＞0，故α可能是第一或第三象限角；故当sin α＜0且tan α＞0时，α是第三象限角． 解：由于sin α＜0，故α可能是第三或第四象限角； 由于tan α＞0，故α可能是第一或第三象限角． 由于 sin α＜0 且tan α＞0，故α是第三象限角， 故答案为：三．【点评】本题考查象限角的定义，三角函数在各个象限中的符号，得到sin α＜0时，α是第三或第四象限角；tan α＞0时，α是第一或第三象限角，是解题的关键． 2．函数y ＝cos2x ，x ∈[0，π]的递增区间为 [π2，π] ．【分析】先由整体法解2k π+π≤2x ≤2k π+2π可得函数的所有单调递增区间，取在x ∈[0，π]的即可．解：由2k π+π≤2x ≤2k π+2π可解得k π+π2≤x ≤k π+π，k ∈Z ， 故函数y ＝cos2x 的递增区间为[k π+π2，k π+π]，k ∈Z ， 又∵x ∈[0，π]，∴函数的单调递增区间为：[π2，π]故答案为：[π2，π]．【点评】本题考查复合三角函数的单调性，属基础题．3．函数y ＝cos a πx （a ＞0）的最小正周期为2，则实数a ＝ 1 【分析】由题意利用函数y ＝A sin （ωx +φ）的最小正周期为2πω，求得a 的值．解：∵函数y ＝cos a πx （a ＞0）的最小正周期为2πaπ=2，则实数a ＝1，故答案为：1．【点评】本题主要考查函数y ＝A sin （ωx +φ）的周期性，利用了函数y ＝A sin （ωx +φ）的最小正周期为2πω，属于基础题．4．已知sin(α+π2)=13，α∈(0，π2)，则tan α＝ 2√2 ．【分析】利用诱导公式化简已知等式左边求出cos α的值，再利用同角三角函数间的基本关系求出sin α的值，即可求出tan α的值． 解：∵sin （α+π2）＝cos α=13，α∈（0，π2），∴sin α=√1−cos 2α=2√23，则tan α=sinαcosα=2√2． 故答案为：2√2【点评】此题考查了同角三角函数间的基本关系，以及诱导公式的作用，熟练掌握基本关系是解本题的关键．5．若tan （α−π4）=16．则tan α＝75．【分析】直接根据两角差的正切公式计算即可解：∵tan （α−π4）=tanα−tan π41+tanαtan π4=tanα−1tanα+1=16 ∴6tan α﹣6＝tan α+1， 解得tan α=75， 故答案为：75．【点评】本题考查了两角差的正切公式，属于基础题6．将函数y ＝sin x 的图象向左平移π4个单位，再向上平移1个单位，所的图象的函数解析式是 y ＝sin （x +π4）+1 ．【分析】直接利用三角函数的图象的平移变换的原则：左加右减，上加下减，即可推出变换后的函数的解析式．解：将函数y ＝sin x 的图象向左平移π4个单位，得到函数y ＝sin （x +π4）的图象，再向上平移1个单位，所得到的函数图象的解析式是：y ＝sin （x +π4）+1． 故答案为：y ＝sin （x +π4）+1．【点评】本题是基础题，考查三角函数的图象的平移变换，注意平移变换的原则，考查计算能力．7．若函数y =√2sin(ωx +φ)(ω＞0)的图象的相邻两条对称轴的距离是π，则ω＝ 1 ． 【分析】由已知中函数f （x ）=√2sin （ωx +φ）（ω＞0）的图象的相邻两条对称轴的距离是π，我们可以根据正弦型函数的性质得到函数的最小正周期，进而根据T =2πω，即可得到答案．解：∵函数f （x ）=√2sin （ωx +φ）（ω＞0）的图象的相邻两条对称轴的距离是半个周期 ∴12T ＝π，则函数f （x ）=√2sin （ωx +φ）（ω＞0）的周期T ＝2π 则ω＝1 故答案为：1【点评】本题考查的知识点是由y ＝A sin （ωx +φ）的部分图象确定其解析式，正弦型函数周期的确定方法由，代数法：根据T =2πω求出，几何法：根据对称轴及对称中心间的距离与周期T 的关系求出．8．已知f （x ）＝2sin ωx （ω＞0）在[0，π3]单调递增，则实数ω的最大值为32．【分析】由条件利用正弦函数的单调性可得ω•π3≤π2，由此求得实数ω的最大值．解：∵f （x ）＝2sin ωx （ω＞0）在[0，π3]单调递增，∴ω•π3≤π2，求得ω≤32，则实数ω的最大值为32，故答案为：32．【点评】本题主要考查正弦函数的增区间，属于基础题．9．在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称，若sin α=13，则cos （α﹣β）＝ −79．【分析】方法一：根据教的对称得到sin α＝sin β=13，cos α＝﹣cos β，以及两角差的余弦公式即可求出方法二：分α在第一象限，或第二象限，根据同角的三角函数的关系以及两角差的余弦公式即可求出解：方法一：∵角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称，∴sinα＝sinβ=13，cosα＝﹣cosβ，∴cos（α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ＝﹣cos2α+sin2α＝2sin2α﹣1=29−1=−79方法二：∵sinα=1 3，当α在第一象限时，cosα=2√23，∵α，β角的终边关于y轴对称，∴β在第二象限时，sinβ＝sinα=13，cosβ＝﹣cosα=−2√23，∴cos（α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ=−2√23×2√23+13×13=−79：∵sinα=1 3，当α在第二象限时，cosα=−2√23，∵α，β角的终边关于y轴对称，∴β在第一象限时，sinβ＝sinα=13，cosβ＝﹣cosα=2√23，∴cos（α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ=−2√23×2√23+13×13=−79综上所述cos（α﹣β）=−7 9，故答案为：−7 9【点评】本题考查了两角差的余弦公式，以及同角的三角函数的关系，需要分类讨论，属于基础题10．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b cos C+c cos B＝a sin A，则△ABC 的形状为直角三角形．【分析】根据正弦定理把已知等式中的边转化为角的正弦，利用两角和公式化简求得sin A 的值进而求得A，判断出三角形的形状．解：∵b cos C+c cos B＝a sin A，∴sin B cos C+sin C cos B＝sin（B+C）＝sin A＝sin2A，∵sin A≠0，∴sin A＝1，A=π2，故三角形为直角三角形，故答案为：直角三角形．【点评】本题主要考查了正弦定理的应用．解题的关键时利用正弦定理把等式中的边转化为角的正弦．11．函数f （x ）＝﹣cos 2x +√3cosx +14(x ∈[0，π2])的最大值是 1【分析】把f （x ）的解析式配方，再利用余弦函数的值域，二次函数的性质，求得它的最大值．解：∵x ∈[0，π2]，∴cos x ∈[0，1]，函数f （x ）＝﹣cos 2x +√3cos x +14=−(cosx −√32)2+1，∴当cos x =√32，即 x =π6时，函数f （x ）取得最大值为1，故答案为：1．【点评】本题主要考查余弦函数的值域，二次函数的性质，属于基础题．12．设函数f （x ）＝2sin （ωx +ϕ），x ∈R ，其中ω＞0，|ϕ|＜π．若f(5π8)=2，f(11π8)=0，且f （x ）的最小正周期大于2π，则f （x ）的解析式为 f （x ）＝2sin （23x +π12）【分析】由题意求得T4，再由周期公式求得ω，最后由若f （5π8）＝2求得φ值，可得函数解析式．解：由f （x ）的最小正周期大于2π，得T4＞π2，又f （5π8）＝2，f （11π8）＝0，得T 4=11π8−5π8=3π4，∴T ＝3π，则2πω=3π，即ω=23．∴f （x ）＝2sin （ωx +ϕ）＝2sin （23x +ϕ）， 由f （5π8）＝2sin （23×5π8+ϕ）＝2，得sin （ϕ+5π12）＝1．∴ϕ+5π12=π2+2k π，k ∈Z ．取k ＝0，得ϕ=π12＜π．∴ω=23，ϕ=π12．∴f （x ）的解析式为f （x ）＝2sin （23x +π12）．故答案为：f （x ）＝2sin （23x +π12）．【点评】本题考查由三角函数的部分图象求解析式，考查y ＝A sin （ωx +φ）型函数的性质，是中档题．二、选择题（本大题共有4题，满分16分）每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，选对得4分，否则一律得零分 13．下列函数中，周期是π，又是偶函数的是（ ） A ．y ＝sin xB ．y ＝cos xC ．y ＝sin2xD ．y ＝cos2x【分析】根据三角函数的图象及性质依次即可． 解：对于A ：y ＝sin x ，是奇函数，∴A 不对．对于B ：y ＝cos x ，是偶函数，周期T ＝2π，∴B 不对． 对于C ：y ＝sin2x ，是奇函数，∴C 不对．对于D ：y ＝cos2x ，是偶函数，周期T =2π2=π，∴D 对．故选：D ．【点评】本题考查了三角函数的图象及性质的运用．比较基础． 14．已知sin(π4−α)=m ，则cos(5π4+α)=（ ）A ．mB ．﹣mC ．√1−m 2D ．−√1−m 2【分析】由条件利用诱导公式进行化简所给的式子，可得结果． 解：∵已知sin(π4−α)=m ，则cos(5π4+α)=−cos （π4+α）＝﹣sin[π2−（π4+α）]＝﹣sin （π4−α）＝﹣m ，故选：B ．【点评】本题主要考查利用诱导公式进行化简三角函数式，属于基础题． 15．设函数f （x ）＝cos （x +π3），则下列结论错误的是（ ）A ．f （x ）的一个周期为﹣2πB ．y ＝f （x ）的图象关于直线x =8π3对称C ．f （x +π）的一个零点为x =π6 D ．f （x ）在（π2，π）单调递减【分析】根据三角函数的图象和性质分别进行判断即可．解：A ．函数的周期为2k π，当k ＝﹣1时，周期T ＝﹣2π，故A 正确，B ．当x =8π3时，cos （x +π3）＝cos （8π3+π3）＝cos 9π3=cos3π＝﹣1为最小值，此时y ＝f （x ）的图象关于直线x =8π3对称，故B 正确， C 当x =π6时，f （π6+π）＝cos （π6+π+π3）＝cos 3π2=0，则f （x +π）的一个零点为x =π6，故C 正确， D ．当π2＜x ＜π时，5π6＜x +π3＜4π3，此时函数f （x ）不是单调函数，故D 错误，故选：D ．【点评】本题主要考查与三角函数有关的命题的真假判断，根据三角函数的图象和性质是解决本题的关键．16．已知曲线C 1：y =sin(x +π2)，C 2：y =sin(2x +2π3)，则下面结论正确的是（ ） A ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2B ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2C ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2【分析】由题意利用函数y ＝A sin （ωx +φ）的图象变换规律，得出结论．解：把C 1：y ＝sin （x +π2）上各点的横坐标变为原来的12倍，纵坐标不变，可得y ＝sin （2x +π2）的图象，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2．：y ＝sin （2x +π6+π2）＝sin （2x +2π3）的图象， 故选：D ．【点评】本题主要考查函数y ＝A sin （ωx +φ）的图象变换规律，属于基础题． 三、解答题（本大题共有4题，满分42分）解答下列各题必须写出必要的步骤17．已知函数f(x)=1−√2sin(2x−π4 )cosx，（Ⅰ）求f（x）的定义域；（Ⅱ）设α是第四象限的角，且tanα=−43，求f（α）的值．【分析】（1）由cos x≠0得出x取值范围得出答案．（2）通过tanα=−43，求出sin a=−45，cos a=35，代入函数式．【解答】（1）解：∵依题意，有cos x≠0，∴解得x≠kπ+π2，∴f（x）的定义域为{x|x∈R，且x≠kπ+π2，k∈Z}．（2）解：∵f(x)=1−√2sin(2x−π4 )cosx=−2sin x+2cos x，∴f（α）＝﹣2sinα+2cosα，∵α是第四象限的角，且tanα=−4 3，∴sinα=−45，cosα=35，∴f（α）＝﹣2sinα+2cosα=14 5．【点评】本题主要考查三角函数的定义域的问题，属基础题．18．已知函数f(x)=cos2x−sin2x+2√3sinxcosx(x∈R)（1）求f（x）的最大值及对应x的值（2）求f（x）的最小正周期及单调递增区间【分析】利用倍角公式降幂，再由辅助角公式化积．（1）由2x+π6=π2+2kπ，k∈Z求解x，可得f（x）的最大值及对应x的值；（2）利用周期公式求周期，再由复合函数的单调性求f（x）的单调递增区间．解：f(x)=cos2x−sin2x+2√3sinxcosx=cos2x+√3sin2x=2sin(2x+π6 )．（1）由2x+π6=π2+2kπ，k∈Z，可得x=π6+kπ，k∈Z．∴f（x）的最大值为2，对应x的值为x=π6+kπ，k∈Z；（2）函数f（x）的最小正周期为T＝π；由−π2+2kπ≤2x +π6≤π2+2kπ，k ∈Z ．可得−π3+kπ≤x ≤π6+kπ，k ∈Z ．∴f （x ）的单调递增区间为[−π3+kπ，π6+kπ]，k ∈Z ． 【点评】本题考查三角函数的恒等变换及化简求值，考查y ＝A sin （ωx +φ）型函数的图象与性质，是中档题．19．已知函数f （x ）＝a sin x +b cos x ，其中a 、b 为非零实常数（1）若a =1，b =−√3，求f （x ）的对称轴（2）若a =1，x =π6，是f （x ）图象的一条对称轴，求x 0的值，使其满足f(x 0)=√3，且x 0∈[0，2π]【分析】（1）把a =1，b =−√3代入函数解析式，利用辅助角公式化积，由相位终边落在x 轴上求解；（2）由a ＝1，可得f （x ）=√b 2+1sin （x +φ），其中tan φ＝b ，由题意π6+φ＝k π+π2，k ∈z ，可得φ，根据tan （k π+π3）=√3=b ，可求φ，由f （x 0）=√3，解得：x 0+π3=2k π+π3，或x 0+π3=2k π+2π3，k ∈Z ，结合范围x 0∈[0，2π]，即可求x 0的值． 解：（1）a =1，b =−√3，则f （x ）＝sin x −√3cos x ＝2sin （x −π3），由x −π3=π2+kπ，k ∈Z ，可得x =5π6+kπ，k ∈Z ． ∴f （x ）的对称轴为x =5π6+kπ，k ∈Z ； （2））∵a ＝1，∴f （x ）＝sin x +b cos x =√b 2+1sin （x +φ），其中tan φ＝b ，∵x =π6是其图象的一条对称轴，可得π6+φ＝k π+π2，k ∈z ，可得φ＝k π+π3， ∴tan （k π+π3）＝tanπ3=√3=b ，故φ=π3， 故f （x ）＝2sin （x +π3）．∵f （x 0）=√3，可得：2sin （x 0+π3）=√3，即x 0+π3=2k π+π3，或x 0+π3=2k π+2π3，k ∈Z ，解得：x 0＝2k π，或x 0＝2k π+π3，k ∈Z ，又∵x 0∈[0，2π]．∴x 0＝0或π3或2π． 【点评】本题主要考查了两角和与差的三角函数公式，正弦函数的图象和性质，涉及辅助角公式和三角函数的最值，属中档题．20．如图，旅客从某旅游区的景点A 处下山至C 处有两种路径．一种是从A 沿直线步行到C ，另一种从A 沿索道乘缆车到B ，然后从B 沿直线步行到C ．现有甲、乙两位游客从A 处下山，甲沿AC 匀速步行，速度为50米/分钟，在甲出发2分钟后，乙从A 乘缆车到B ，在B 处停留1分钟后，再从B 匀速步行到C ．假设缆车匀速直线运动的速度为130米/分钟，山路AC 长1260米，经测量，cos A =1213，cos C =35． （1）求索道AB 的长；（2）问乙出发后多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？【分析】（1）根据正弦定理即可确定出AB 的长；（2）设乙出发t 分钟后，甲、乙两游客距离为d ，此时，甲行走了（100+50t ）m ，乙距离A 处130tm ，由余弦定理即可得解．解：（1）在△ABC 中，因为cos A =1213，cos C =35，所以sin A =513，sin C =45， 从而sin B ＝sin[π﹣（A +C ）]＝sin （A +C ）＝sin A cos C +cos A sin C =513×35+1213×45=6365， 由正弦定理AB sinC =AC sinB ，得AB =AC⋅sinC sinB =1260×456365=1040m ． 所以索道AB 的长为1040m ．（2）假设乙出发t 分钟后，甲、乙两游客距离为d ，此时，甲行走了（100+50t ）m ，乙距离A 处130tm ，所以由余弦定理得：d 2＝（100+50t ）2+（130t ）2﹣2×130t ×（100+50t ）×1213=200（37t 2﹣70t+50）＝200[37（t−3537）2+62537]，因0≤t≤1040130，即0≤t≤8，故当t=3537min时，甲、乙两游客距离最短．【点评】此题考查了余弦定理，锐角三角函数定义，以及勾股定理，利用了分类讨论及数形结合的思想，属于解直角三角形题型．。
2019-2020学年上海市浦东新区华东师大二附中高二下学期期中数学试卷 (解析版)
2019-2020学年华东师大二附中高二第二学期期中数学试卷一、填空题（共10小题）.1．从单词“shadow ”中任意选取4个不同的字母排成一排，则其中含有“a ”的共有 种排法（用数字作答）2．若a n 是（2+x ）n（n ∈N *，n ≥2，x ∈R ）展开式中x 2项的系数，则lim n→∞(22a 2+23a 3+⋯+2na n)= ． 3．二项式（x −1x）15的展开式中系数最大的项是第 项．4．如图，在矩形区域ABCD 的A ，C 两点处各有一个通信基站，假设其信号覆盖范围分别是扇形区域ADE 和扇形区域CBF （该矩形区域内无其他信号来源，基站工作正常）．若在该矩形区域内随机地选一地点，则该地点无信号的概率是 ．5．记∑ 5i=1a i =a 1+a 2+⋯+a 5，若a 1＝4.47，a 2＝4.51，a 3＝4.61，a 4＝4.65，a 5＝4.76．则∑ 5i=1a i =23．另有正整数A i （1≤i ≤5）的和仍是23，若以A i 来估计a i ，则“误差和”∑ 5i=1|A i −a i |的最小值为 ．6．在平行四边形ABCD 中，O 是AC 与BD 的交点，P 、Q 、M 、N 分别是线段OA 、OB 、OC 、OD 的中点，在APMC 中任取一点记为E ，在B 、Q 、N 、D 中任取一点记为F ，设G 为满足向量OG →=OE →+OF →的点，则在上述的点G 组成的集合中的点，落在平行四边形ABCD 外（不含边界）的概率为 ．7．设函数f （x ）={x 6，x ≥1−2x −1，x ≤−1，则当x ≤﹣1时，则f [f （x ）]表达式的展开式中含x 2项的系数是 ．8．由1，2，3，…，1000这个1000正整数构成集合A ，先从集合A 中随机取一个数a ，取出后把a 放回集合A ，然后再从集合A 中随机取出一个数b ，则ab＞13的概率为 ．9．从0，1，2，…，9这10个整数中任意取3个不同的数作为二次函数f （x ）＝ax 2+bx +c 的系数，则使得f(1)2∈Z 的概率为 ．10．已知当|x |＜12时，有11+2x =1−2x +4x 2−⋯+(−2x)n +⋯，根据以上信息，若对任意|x |＜12都有x(1−x 3)(1+2x)=a 0+a 1x +a 2x 2+……+a n x n +……，则a 11＝ ．二.选择题11．设P 1、P 2、P 3、P 4为空间中的四个不同点，则“P 1、P 2、P 3、P 4中有三点在同一条直线上”是“P 1、P 2、P 3、P 4在同一个平面上”的（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件12．设α﹣l ﹣β是直二面角，直线a 在平面α内，直线b 在平面β内，且a 、b 与l 均不垂直，则（ ）A ．a 与b 可能垂直，但不可能平行B ．a 与b 可能垂直也可能平行C ．a 与b 不可能垂直，但可能平行D ．a 与b 不可能垂直，也不可能平行13．函数f ：{1，2，3}→{1，2，3}满足f （f （x ））＝f （x ），则这样的函数个数共有（ ） A ．1个B ．4个C ．8个D ．10个14．如图，棱长为2的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E 为CC 1的中点，点P ，Q 分别为面A 1B 1C 1D 1和线段B 1C 上动点，则△PEQ 周长的最小值为（ ）A ．2√2B ．√10C ．√11D ．√12三、解答题15．在四棱锥P﹣ABCD中，底面正方形ABCD的边长为2，PA⊥底面ABCD，E为BC的中点，PC与平面PAD所成的角为arctan√22．（1）求PA的长度；（2）求异面直线AE与PD所成角的大小．（结果用反三角函数表示）16．电视传媒为了解某市100万观众对足球节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查．如图是根据调查结果绘制的观众每周平均收看足球节目时间的频率分布直方图，将每周平均收看足球节目时间不低于1.5小时的观众称为“足球迷”，并将其中每周平均收看足球节目时间不低于2.5小时的观众称为“铁杆足球迷”．（1）试估算该市“足球迷”的人数，并指出其中“铁杆足球迷”约为多少人；（2）该市要举办一场足球比赛，已知该市的足球场可容纳10万名观众．根据调查，如果票价定为100元/张，则非“足球迷”均不会到现场观看，而“足球迷”均愿意前往现场观看．如果票价提高10x元/张（x∈N），则“足球迷”中非“铁杆足球迷”愿意前往观看的人数会减少10x%，“铁杆足球迷”愿意前往观看的人数会减少100xx+11%．问票价至少定为多少元/张时，才能使前往现场观看足球比赛的人数不超过10万人？17．如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，DA＝DC＝2，DD1=√3，E是C1D1的中点，F 是CE的中点．（1）求证：EA∥平面BDF；（2）求证：平面BDF⊥平面BCE；（3）求二面角D﹣EB﹣C的正切值．18．正四棱锥P﹣ABCD的底面正方形边长是3，O是在底面上的射影，PO＝6，Q是AC 上的一点，过Q且与PA、BD都平行的截面为五边形EFGHL．（1）在图中做出截面EFGHL，并写出作图过程；（2）求该截面面积的最大值．参考答案一.填空题1．从单词“shadow ”中任意选取4个不同的字母排成一排，则其中含有“a ”的共有 240 种排法（用数字作答）【分析】由题意知本题是一个分步计数问题，当选取4个字母时从其它5个字母中选3个，再与“a “全排列，有C 53A 44种结果． 解：由题意知本题是一个分步计数问题， 当选取4个字母时从其它5个字母中选3个， 再与“a “全排列，C 53A 44＝240， 即含有“a ”的共有240种． 故答案为240．2．若a n 是（2+x ）n（n ∈N *，n ≥2，x ∈R ）展开式中x 2项的系数，则lim n→∞(22a 2+23a 3+⋯+2na n )=8 ．【分析】由题意可得x 2项的系数为C n 2⋅2n−2，即a n =C n 2⋅2n−2．再把要求的式子 lim n→∞(22a2+23a 3+⋯+2n a n ) 化为 lim n→∞4⋅(11+1C 32+⋯+1C n 2)，即lim n→∞8⋅(1−1n )，从而得到结果． 解：∵a n 是（2+x ）n （n ∈N *，n ≥2，x ∈R ）展开式中x 2项的系数，又 （2+x ）n 的展开式的通项公式为T r +1=C n r •2n ﹣r •x r ，令r ＝2，可得x 2项的系数为C n 2⋅2n−2． ∴a n =C n 2⋅2n−2． ∴lim n→∞(22a 2+23a 3+⋯+2n a n )=lim n→∞(221+23C n 2⋅2+⋯+2nC n 2⋅2n−2)=lim n→∞(221+22C 32+⋯+22C n 2)=lim n→∞4⋅(11+1C 32+⋯+1C n 2)=lim n→∞4⋅(11+22×3+23×4⋯+2n(n−1))=lim n→∞8⋅(1−12+12−13+13−14+⋯+1n−1−1n ) =lim n→∞8⋅(1−1n)=8，故答案为：8．3．二项式（x −1x）15的展开式中系数最大的项是第 9 项．【分析】根据二项式系数的性质可得，（x −1x）15展开式中，二项式系数最大是C 157=C 158，由此可得结论．解：根据二项式系数的性质可得，（x −1x）15展开式中，二项式系数最大是C 157=C 158，是第8项或第9项，又（x −1x ）15展开式中的奇数项为“+”，偶数项符号为“﹣”，∴二项式（x −1x）15的展开式中系数最大的项是第9项． 故答案为：9．4．如图，在矩形区域ABCD 的A ，C 两点处各有一个通信基站，假设其信号覆盖范围分别是扇形区域ADE 和扇形区域CBF （该矩形区域内无其他信号来源，基站工作正常）．若在该矩形区域内随机地选一地点，则该地点无信号的概率是 1−π4 ．【分析】求出有信号的区域面积，利用几何概型的概率公式进行计算即可得到结论． 解：扇形区域ADE 和扇形区域CBF 的面积之和为14×π×12×2=π2，矩形的面积S＝2，则该地点无信号的面积S ＝2−π2，则对应的概率P =2−π22=1−π4， 故答案为：1−π45．记∑ 5i=1a i =a 1+a 2+⋯+a 5，若a 1＝4.47，a 2＝4.51，a 3＝4.61，a 4＝4.65，a 5＝4.76．则∑ 5i=1a i =23．另有正整数A i （1≤i ≤5）的和仍是23，若以A i 来估计a i ，则“误差和”∑ 5i=1|A i −a i |的最小值为 1.96 ．【分析】先将∑ 5i=1a i =23分解为a 1+a 2+a 3+a 4+a 5＝23，以A i 来估计a i ，根据绝对值的性质和物理上处理误差的原理，a 1＝a 2＝4，a 3＝a 4＝a 5＝5时，∑ 5i=1|A i −a i |取到最小值，代入题中的表达式即可求出这个最小值． 解：根据题意，∑ 5i=1a i =a 1+a 2+a 3+a 4+a5=23当“误差和”∑ 5i=1|A i −a i |取最小值时，a 1＝a 2＝4，a 3＝a 4＝a 5＝5，此时：∑ 5i=1|A i −a i |=|4﹣4.47|+|4﹣4.51|+|5﹣4.61|+|5﹣4.65|+|5﹣4.76|＝1.96， 故答案为：1.966．在平行四边形ABCD 中，O 是AC 与BD 的交点，P 、Q 、M 、N 分别是线段OA 、OB 、OC 、OD 的中点，在APMC 中任取一点记为E ，在B 、Q 、N 、D 中任取一点记为F ，设G 为满足向量OG →=OE →+OF →的点，则在上述的点G 组成的集合中的点，落在平行四边形ABCD 外（不含边界）的概率为34．【分析】本题主要考查了古典概型的综合运用，属中档题．关键是列举出所有G 点的个数，及落在平行四边形ABCD 不含边界）的G 点的个数，再将其代入古典概型计算公式进行求解．解：由题意知，G 点的位置受到E 、F 点取法不同的限制，令（E ，F ）表示E 、F 的一种取法，则（A ，B ），（A ，Q ），（A ，N ），（A ，D ） （P ，B ），（P ，Q ），（P ，N ），（P ，D ） （M ，B ），（M ，Q ），（M ，N ），（M ，D ）（C ，B ），（C ，Q ），（C ，N ），（C ，D ）共有16种取法，而只有（P ，Q ），（P ，N ），（M ，Q ），（M ，N ）落在平行四边形内，故符合要求的G 的只有4个，落在平行四边形ABCD 外（不含边界）的概率P =16−416=34． 故答案为：347．设函数f （x ）={x 6，x ≥1−2x −1，x ≤−1，则当x ≤﹣1时，则f [f （x ）]表达式的展开式中含x 2项的系数是 60 ．【分析】根据分段函数的解析式先求出f [f （x ）]表达式，再根据利用二项展开式的通项公式写出第r +1项，整理成最简形式，令x 的指数为2求得r ，再代入系数求出结果解：由函数f （x ）={x 6，x ≥1−2x −1，x ≤−1，当x ≤﹣1时，f （x ）＝﹣2x ﹣1， 此时f （x ）min ＝f （﹣1）＝2﹣1＝1， ∴f [f （x ）]＝（﹣2x ﹣1）6＝（2x +1）6， ∴T r +1＝C 6r 2r x r ，当r ＝2时，系数为C 62×22＝60， 故答案为：608．由1，2，3，…，1000这个1000正整数构成集合A ，先从集合A 中随机取一个数a ，取出后把a 放回集合A ，然后再从集合A 中随机取出一个数b ，则ab＞13的概率为16672000 ．【分析】P （ab ＞13）＝1﹣P （ab ≤13），由ab ≤13，得a ≤13b ，求出P （ab ≤13）=3332000，由此能求出ab＞13的概率．解：由1，2，3，…，1000这个1000正整数构成集合A ，先从集合A 中随机取一个数a ， 取出后把a 放回集合A ，然后再从集合A 中随机取出一个数b ， P （ab＞13）＝1﹣P （ab≤13），∵a b≤13，∴a ≤13b ，∴P （a b≤13）=3332000，则a b＞13的概率P （a b＞13）＝1−3332000=16672000． 故答案为：16672000．9．从0，1，2，…，9这10个整数中任意取3个不同的数作为二次函数f （x ）＝ax 2+bx +c 的系数，则使得f(1)2∈Z 的概率为4181．【分析】由题意可得 f （1）＝a +b +c 是偶数，分①a ，b ，c 里面三个都是偶数和②a ，b ，c 里面一个偶数、两个奇数，两种情况，分别求得满足条件的（a ，b ，c ）的个数，相加即得所求基本事件的个数，从而可求出使得f(1)2∈Z 的概率．解：由题意可得 f （1）＝a +b +c 是偶数， 若a ，b ，c 里面三个都是偶数，则（a ，b ，c ）（a ≠0）共有A 53−A 42=48个，若a ，b ，c 里面一个偶数，两个奇数，则（a ，b ，c ）（a ≠0）共有C 52C 51A 33−A 52=280个，∴使得f(1)2∈Z 的事件共有48+280＝328个，从0，1，2，…，9这10个整数中任意取3个不同的数的事件共A 103−A 92=648个，∴使得f(1)2∈Z 的概率为P =328648=4181， 故答案为：4181．10．已知当|x |＜12时，有11+2x =1−2x +4x 2−⋯+(−2x)n +⋯，根据以上信息，若对任意|x |＜12都有x(1−x 3)(1+2x)=a 0+a 1x +a 2x 2+……+a n x n +……，则a 11＝ 1102 ．【分析】推导出|x |＜12，11−x =1+（x 3）1+（x 3）2+（x 3）3+…+（x 3）n+…，求出|x |＜12，都有x(1−x )(1+2x)=a 0+a 1x +a 2x 2+⋯+a n x n +⋯的泰勒展开式中含x 11的项是T＝（﹣2x ）10×1×x +（﹣2x ）6×x ×x 3+（﹣2x ）4×x ×x 6+（﹣2x ）1×x ×x 9＝1102x 11．由此能求出a 11． 解：|x |＜12时，有11+2x=1﹣2x +4x 2﹣…+（﹣2x ）n +…|x |＜12，11−x 3=1+（x 3）1+（x 3）2+（x 3）3+…+（x 3）n +…，∴|x |＜12，都有x (1−x 3)(1+2x)=a 0+a 1x +a 2x 2+⋯+a nx n +⋯的泰勒展开式中含x 11的项是：T ＝（﹣2x ）10×1×x +（﹣2x ）6×x ×x 3+（﹣2x ）4×x ×x 6+（﹣2x ）1×x ×x 9＝1102x 11． 解得a 11＝1102． 故答案为：1102． 二.选择题11．设P 1、P 2、P 3、P 4为空间中的四个不同点，则“P 1、P 2、P 3、P 4中有三点在同一条直线上”是“P 1、P 2、P 3、P 4在同一个平面上”的（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件【分析】“P 1、P 2、P 3、P 4中有三点在同一条直线上”⇒“P 1、P 2、P 3、P 4在同一个平面上”，“P1、P2、P3、P4在同一个平面上”知“P1、P2、P3、P4中可以任意三点不在同一条直线上”，由此能求出结果．解：设P1、P2、P3、P4为空间中的四个不同点，则“P1、P2、P3、P4中有三点在同一条直线上”⇒“P1、P2、P3、P4在同一个平面上”，“P1、P2、P3、P4在同一个平面上”知“P1、P2、P3、P4中可以任意三点不在同一条直线上”，∴“P1、P2、P3、P4中有三点在同一条直线上”是“P1、P2、P3、P4在同一个平面上”的充分非必要条件．故选：A．12．设α﹣l﹣β是直二面角，直线a在平面α内，直线b在平面β内，且a、b与l均不垂直，则（）A．a与b可能垂直，但不可能平行B．a与b可能垂直也可能平行C．a与b不可能垂直，但可能平行D．a与b不可能垂直，也不可能平行【分析】利用空间中线线间的位置关系求解．解：∵α﹣l﹣β是直二面角，直线a在平面α内，直线b在平面β内，且a、b与l均不垂直，∴当a∥l，且b∥l时，由平行公理得a∥b，即a，b可能平行，故A与D错误；当a，b垂直时，若二面角是直二面角，则a⊥l，与已知矛盾，∴a与b不可能垂直，也有可能平行．故选：C．13．函数f：{1，2，3}→{1，2，3}满足f（f（x））＝f（x），则这样的函数个数共有（）A．1个B．4个C．8个D．10个【分析】将f（1）、f（2）、f（3）取不同的值进行讨论，得出结论．解：1、f（1）＝f（2）＝f（3）＝1或2或3，共3个．2、f（1）＝1；f（2）＝f（3）＝2或3，共2个．f（2）＝2；f（1）＝f（3）＝1或3，共2个．f（3）＝3；f（1）＝f（2）＝1或2，共2个．3、f（1）＝1；f（2）＝2；f（3）＝3；1个所以这样的函数共有10个．故选D．14．如图，棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为CC1的中点，点P，Q分别为面A1B1C1D1和线段B1C上动点，则△PEQ周长的最小值为（）A．2√2B．√10C．√11D．√12【分析】由题意得：△PEQ周长取最小值时，P在B1C1上，在平面B1C1CB上，设E关于B1C的对称点为M，关于B1C1的对称点为N，求出MN，即可得到△PEQ周长的最小值．解：由题意得：△PEQ周长取最小值时，P在B1C1上，在平面B1C1CB上，设E关于B1C的对称点为M，关于B1C1的对称点为N，连结MN，当MN与B1C1的交点为P，MN与B1C的交点为M时，则MN是△PEQ周长的最小值，EM＝2，EN=√2，∠MEN＝135°，∴MN=4+2−2×2×√2×(−2)=√10．2∴△PEQ周长的最小值为√10．故选：B．三、解答题15．在四棱锥P﹣ABCD中，底面正方形ABCD的边长为2，PA⊥底面ABCD，E为BC的．中点，PC与平面PAD所成的角为arctan√22（1）求PA的长度；（2）求异面直线AE 与PD 所成角的大小．（结果用反三角函数表示）【分析】（1）推导出CD ⊥PA ，CD ⊥AD ，从而CD ⊥平面PAD ，进而是∠CPD 是PC与平面PAD 所成的角，由PC 与平面PAD 所成的角为arctan √22．得tan ∠CPD =CD PD=2PD =√22，求出PD ＝2√2，由此能求出PA ． （2）以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线AE 与PD 所成角的大小．解：（1）∵在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面正方形ABCD 的边长为2，PA ⊥底面ABCD ，∴CD ⊥PA ，CD ⊥AD ，又PA ∩AD ＝A ，∴CD ⊥平面PAD ，∴∠CPD 是PC 与平面PAD 所成的角，∵PC 与平面PAD 所成的角为arctan √22． ∴tan ∠CPD =CD PD =2PD =√22，解得PD ＝2√2， ∴PA =√PD 2−AD 2=√(2√2)2−22=2．（2）以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴，建立空间直角坐标系， A （0，0，0），E （2，1，0），P （0，0，2），D （0，2，0），AE →=（2，1，0），PD →=（0，2，﹣2），设异面直线AE 与PD 所成角为θ，则cos θ=|AE →⋅PD →||AE →|⋅|PD →|=√5⋅√8=√1010， ∴异面直线AE 与PD 所成角的大小θ＝arccos √1010．16．电视传媒为了解某市100万观众对足球节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查．如图是根据调查结果绘制的观众每周平均收看足球节目时间的频率分布直方图，将每周平均收看足球节目时间不低于1.5小时的观众称为“足球迷”，并将其中每周平均收看足球节目时间不低于2.5小时的观众称为“铁杆足球迷”．（1）试估算该市“足球迷”的人数，并指出其中“铁杆足球迷”约为多少人；（2）该市要举办一场足球比赛，已知该市的足球场可容纳10万名观众．根据调查，如果票价定为100元/张，则非“足球迷”均不会到现场观看，而“足球迷”均愿意前往现场观看．如果票价提高10x元/张（x∈N），则“足球迷”中非“铁杆足球迷”愿意前往观看的人数会减少10x%，“铁杆足球迷”愿意前往观看的人数会减少100xx+11%．问票价至少定为多少元/张时，才能使前往现场观看足球比赛的人数不超过10万人？【分析】（1）求出后三组数据的频率之和，利用频率乘以样本容量得频数求得“足球迷”的人数和“铁杆足球迷”人数；（2）设票价为100+10x元，求出一般“足球迷”和“铁杆足球迷”中去现场看球的人数，根据现场观看足球比赛的人数不超过10万人，列出不等式．通过解不等式求得正整数x 的值，可得答案．解：（1）样本中“足球迷”出现的频率＝（0.16+0.10+0.06）×0.5＝16%，“足球迷”的人数＝100×16%＝16（万），“铁杆足球迷”＝100×（0.06×0.5）＝3（万）∴16万“足球迷”中，“铁杆足球迷”约有3万人；（2）设票价为100+10x元，则一般“足球迷”中约有13（1﹣10x%）万人，“铁杆足球迷”约有3(1−100xx+11%)万人去现场看球，令13(1−10x%)+3(1−100xx+11%)=16−13x10−3xx+11≤10，化简得：13x2+113x﹣660≥0解得：x≤−16513，或x≥4，由x∈N，∴x≥4，即平均票价至少定为100+40＝140元，才能使前往现场观看足球比赛的“足球迷”不超过10万人．17．如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，DA＝DC＝2，DD1=√3，E是C1D1的中点，F 是CE的中点．（1）求证：EA∥平面BDF；（2）求证：平面BDF⊥平面BCE；（3）求二面角D﹣EB﹣C的正切值．【分析】（1）连接AC交BD于O点，连接OF，欲证EA∥平面BDF，在平面BDF内寻找一直线与直线EA平行即可，而OF是△ACE的中位线，OF∥AE，又AE⊄平面BDF，OF⊂平面BDF，满足定理条件；（2）欲证平面BDF⊥平面BCE，找线面垂直，根据线面垂直的判定定理可知DF⊥平面BCE，又DF⊂平面BDF，从而得到结论；（3）由（2）知DF⊥平面BCE，过F作FG⊥BE于G点，连接DG，则DG在平面BCE 中的射影为FG，则∠DGF即为二面角D﹣EB﹣C的平面角，在三角形DGF中求出此角的正切值即可．解：（1）连接AC交BD于O点，连接OF，可得OF是△ACE的中位线，OF∥AE，又AE⊄平面BDF，OF⊂平面BDF，所以EA∥平面BDF；（2）计算可得DE＝DC＝2，又F是CE的中点，所以DF⊥CE又BC⊥平面CDD1C1，所以DF⊥BC，又BC∩CE＝C，所以DF⊥平面BCE又DF⊂平面BDF，所以平面BDF⊥平面BCE（理）；（3）由（2）知DF⊥平面BCE，过F作FG⊥BE于G点，连接DG，则DG在平面BCE 中的射影为FG，从而DG⊥BE，所以∠DGF即为二面角D﹣EB﹣C的平面角，设其大小为θ，计算得DF=√3，FG=√22，tanθ=DFFG=√618．正四棱锥P﹣ABCD的底面正方形边长是3，O是在底面上的射影，PO＝6，Q是AC 上的一点，过Q且与PA、BD都平行的截面为五边形EFGHL．（1）在图中做出截面EFGHL，并写出作图过程；（2）求该截面面积的最大值．【分析】（1）Q是AC上的一点，过Q作EL∥BD，交AB于点E，交AD于点L，过Q作QG∥PA，交PC于点G，过点E作EF∥PA，交PB于F，过点L作HL∥PA，交PD于点H，连结FG，GH，FH，从而得到过Q且与PA，BD都平行的截面EFGHL．（2）由PA∥截面EFGHL，BD∥截面EFGHL，得PA∥EF，PA∥HL，PA∥GQ，BD ∥EL，BD∥FH，推导出PO⊥平面ABCD，BD⊥AC，PO⊥BD，从而BD⊥平面PAC，BD⊥PA，EF⊥EL，由FH∥BD，P﹣ABCD是正四棱锥，得到截面EFGHL是由两个全等的直角梯形组成，△AEL是等腰直角三角形，由此能求出截面EFGHL的面积最大值．解：（1）由题可知，Q是AC上的一点，过Q且与PA，BD都平行的截面为五边形EFGHL，过Q作EL∥BD，交AB于点E，交AD于点L，过Q作QG∥PA，交PC于点G，过点E作EF∥PA，交PB于F，过点L作HL∥PA，交PD于点H，连结FG，GH，FH，∴EF∥PA，HL∥PA，GQ∥PA，∴EF∥HL∥GQ，∴E，F，G，H，L共面，Q∈平面EFGHL，EL∥BD，EL⊂平面EFGHL，∴BD∥平面EFGHL，同理，PA∥平面EFGHL，∴过Q且与PA，BD都平行的截面EFGHL如右图．（2）由题意可知，PA∥截面EFGHL，BD∥截面EFGHL，∴PA∥EF，PA∥HL，PA∥GQ，BD∥EL，BD∥FH，∵O是P在底面上的射影，PO＝6，∴PO⊥平面ABCD，BD⊥AC，∴PO⊥BD，且AC∩BD＝O，∴BD⊥平面PAC，则BD⊥PA，∴EF⊥EL，∵FH∥BD，P﹣ABCD是正四棱锥，∴PH＝PF，∴△PFG≌△PHG，∴GF＝GH，∴截面EFGHL是由两个全等的直角梯形组成，∵EL∥BD，∴△AEL是等腰直角三角形，设EQ＝x，则QL＝x，∴EFPA =BEBA=OQOA=3√22−x3√22，∴EF＝（1−√23x）PA，同理，QG＝（1−√26x）PA，∵PA=√PO2+OA2=9√22，设截面EFGHL面积为S，则S＝（EF+QG）EQ＝（2−√22x）•9√22x，∴S=−92x2+9√2x=−92（x−√2）2+9，当且仅当x=√2时，S有最大值为9，∴截面EFGHL的面积最大值为9．。
2020-2021学年上海市浦东新区进才中学高二(下)期中数学试卷(解析版)
2020-2021学年上海市浦东新区进才中学高二（下）期中数学试卷一、填空题（共12小题）.1．半径为1的球的体积为．2．棱长都是2的三棱锥的表面积为．3．已知＝（3，0，2），＝（x，0，4），若∥，则x＝．4．二面角α﹣l﹣β为60°，异面直线a、b分别垂直于α、β，则a与b所成角的大小是．5．直线PA与平面ABC所成角为，则直线PA与平面ABC内的任意一条直线所成角的取值范围是6．已知空间四边形OABC，点M，N分别为OA，BC的中点，且，用，，表示，则＝．7．长方体的12条棱的总长度为56m，表面积为112m2，那么长方体的对角线长为m．8．一斜坡的倾斜度（坡面与水平面所成二面角的度数）是30°，斜坡上有一道直道，它和坡脚水平线成60°角，沿这条直道向上行走100米后升高米．9．侧棱长为2的正三棱锥V﹣ABC中，∠AVB＝∠BVC＝∠CVA＝40°，过点A作截面AEF，则截面△AEF周长的最小值为．10．圆锥的侧面展开图是半径为3，圆心角为的扇形，则这个圆锥的高是．11．已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的表面积为．12．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD＝DD1＝1，AB＝，E，F，G分别为AB，BC，C1D1的中点．点P在平面ABCD内，若直线D1P∥平面EFG，则线段D1P长度的最小值是・二、选择题13．已知α、β是两个不同平面，m为α内的一条直线，则“m∥β”是“α∥β”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件14．下列四种说法中：①有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱；②相等的线段在直观图中仍然相等；③一个直角三角形绕其一边旋转一周所形成的封闭图形叫圆锥．正确的个数是（）A．0B．1C．2D．315．已知平面α∩β＝l，B，C∈l，A∈α且A∉l，D∈β且D∉l，则下列叙述错误的是（）A．直线AD与BC是异面直线B．直线CD在α上的射影可能与AB平行C．过AD有且只有一个平面与BC平行D．过AD有且只有一个平面与BC垂直16．已知棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E，F分别是棱BB1，DD1上的动点，且BE＝D1F＝λ．设EF与AB所成的角为α，与BC所成的角为β，则α+β的最小值（）A．不存在B．等于60C．等于90D．等于120三、解答题17．正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面边长AB＝2，若异面直线A1A与B1C所成角的大小为arctan，求正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的侧面积和体积．18．如图所示，球O的球心O在空间直角坐标系O﹣xyz的原点，半径为1，且球O分别与x、y、z轴的正半轴交于A、B、C三点，已知球面上一点D（0，﹣，）．（1）求证：CD⊥OA；（2）求D、C两点在球O上的球面距离．19．如图，直三棱柱内接于高为的圆柱中，已知∠ACB＝90°，AA'＝，BC＝AC＝1，O为AB的中点．求：（1）圆柱的全面积和体积；（2）求直线A'C与平面ABB'A'所成的角的大小．20．在三棱锥中P﹣ABC，AB⊥BC，AB＝BC＝kPA，点O是AC的中点，PO⊥底面ABC．（1）求证：OB⊥平面PAC；（2）当k＝，AB＝2时，求点A到平面PBC的距离；（3）当k为何值时，O在平面PBC内的射影恰好为△PBC的重心？21．如图，AD∥BC且AD＝2BC，AD⊥CD，EG∥AD且EG＝AD，CD∥FG且CD＝2FG，DG⊥平面ABCD，DA＝DC＝DG＝2．（Ⅰ）若M为CF的中点，N为EG的中点，求证：MN∥平面CDE；（Ⅱ）求二面角E﹣BC﹣F的正弦值；（Ⅲ）若点P在线段DG上，且直线BP与平面ADGE所成的角为60°，求线段DP的长．参考答案一、填空题1．半径为1的球的体积为．解：半径为1的球的体积为：＝．故答案为：．2．棱长都是2的三棱锥的表面积为．解：棱长都是2的三棱锥的各个面都为等边三角形，且等边三角形的边长为2，∴每个面的面积都是×2×2×＝，∴表面积S＝4．故答案为：4．3．已知＝（3，0，2），＝（x，0，4），若∥，则x＝6．解：∵＝（3，0，2），＝（x，0，4），∥，∴，解得x＝6．故答案为：6．4．二面角α﹣l﹣β为60°，异面直线a、b分别垂直于α、β，则a与b所成角的大小是60°．解：根据二面角的定义则线面垂直的性质，∵二面角α﹣l﹣β的平面角为60°，有两条异面直线a，b分别垂直于平面，设异面直线a，b的夹角为θ则θ＝60°．故答案为：60°．5．直线PA与平面ABC所成角为，则直线PA与平面ABC内的任意一条直线所成角的取值范围是[]解：∵一条直线PA与平面ABC成角为，∴根据“最小角定理”，可得这条直线与平面内的直线所成角中最小值为，再根据线线夹角的定义，得到这条直线与平面内的直线所成角中最大值为，这条直线与平面内的直线所成角的取值范围是[]．故答案为：[]．6．已知空间四边形OABC，点M，N分别为OA，BC的中点，且，用，，表示，则＝．解：＝．故答案为：7．长方体的12条棱的总长度为56m，表面积为112m2，那么长方体的对角线长为2m．解：设长方体的长、宽、高分别为：a，b，c，长方体的12条棱的总长度为56m，表面积为112m2，可得4（a+b+c）＝56，2（ab+bc+ac）＝112，可得a+b+c＝14，所以a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac＝196，所以a2+b2+c2＝84，所以长方体的对角线长为：＝＝2．故答案为：2．8．一斜坡的倾斜度（坡面与水平面所成二面角的度数）是30°，斜坡上有一道直道，它和坡脚水平线成60°角，沿这条直道向上行走100米后升高米．解：如图，已知CD＝100米，作DH⊥过BC的平面，垂足为H，线段DH的长度就是所求的高度，在平面DBC内，过点D作DG⊥BC，垂足为G，连接GH，∵DH⊥平面BCH，∴DH⊥BC，∵DG⊥BC，DG∩DH＝D，∴GB⊥平面DGH，又GH⊂平面DGH，∴GH⊥BC，∴∠DGH为坡面DGC与水平面BCH所成二面角的平面角，则∠DGH＝30°，依题意，∠DCG＝60°，则米．故答案为：．9．侧棱长为2的正三棱锥V﹣ABC中，∠AVB＝∠BVC＝∠CVA＝40°，过点A作截面AEF，则截面△AEF周长的最小值为6．解：如图所示：沿着侧棱VA把正三棱锥V﹣ABC展开在一个平面内，如图（2），则AA′即为截面△AEF周长的最小值，且∠AVA′＝3×40＝120°．△VAA′中，由余弦定理可得AA'＝＝＝6，故答案为6．10．圆锥的侧面展开图是半径为3，圆心角为的扇形，则这个圆锥的高是2．解：设此圆锥的底面半径为r，根据圆锥的侧面展开图扇形的弧长等于圆锥底面周长可得，2πr＝，r＝1；圆锥的高为：＝2．故答案为：2．11．已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的表面积为2π．解：设内切球的半径为r，则利用轴截面，根据等面积可得×2×＝×（3+3+2）r，∴r＝，∴该圆锥内切球的表面积为4πr2＝＝2π，故答案为：2π．12．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD＝DD1＝1，AB＝，E，F，G分别为AB，BC，C1D1的中点．点P在平面ABCD内，若直线D1P∥平面EFG，则线段D1P长度的最小值是・解：如图，连结D1A，AC，D1C，∵E，F，G分别为AB，BC，C1D1的中点，∴AC∥EF，EF⊄平面ACD1，AC⊂平面ACD1，∴EF∥平面ACD1，∵EG∥AD1，EG⊄平面ACD1，AD1⊂平面ACD1，∴EG∥平面ACD1，∵EF∩EG＝E，∴平面EFG∥平面ACD1，∵D1P∥平面EFG，∴点P在直线AC上，在△ACD1中，AD1＝，AC＝2，CD1＝2，＝＝，∴当D1P⊥AC时，线段D1P的长度最小，最小值为＝．故答案为：．二、选择题13．已知α、β是两个不同平面，m为α内的一条直线，则“m∥β”是“α∥β”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解：α、β表示两个不同的平面，直线m⊂α，m∥β，不一定得到直线与平面平行，还有一种情况可能是直线和平面相交，需要有另一条和它相交的直线也平行于平面，当两个平面平行时，一个平面上的直线一定平行于另一个平面，一定存在m∥β∴“m∥β”是“α∥β”的必要不充分条件故选：B．14．下列四种说法中：①有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱；②相等的线段在直观图中仍然相等；③一个直角三角形绕其一边旋转一周所形成的封闭图形叫圆锥．正确的个数是（）A．0B．1C．2D．3解：①根据棱柱的定义知，有两个面平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体是棱柱，所以①不正确，②相等的线段在直观图中不一定相等，故②不正确；③一个直角三角形绕其直角边中的一边旋转一周所形成的封闭图形叫圆锥．所以③不正确；故选：A．15．已知平面α∩β＝l，B，C∈l，A∈α且A∉l，D∈β且D∉l，则下列叙述错误的是（）A．直线AD与BC是异面直线B．直线CD在α上的射影可能与AB平行C．过AD有且只有一个平面与BC平行D．过AD有且只有一个平面与BC垂直解：对于A，若直线AD与BC是共面直线，设AD与BC共面γ，∵不共线的三点B，C，D均在β与γ内，∴β与γ重合，又不共线的三点A，B，C均在α与γ内，∴α与γ重合，则α与β重合，与α∩β＝l 矛盾，故直线AD与BC是异面直线，A正确；对于B，当AB⊥l，CD⊥l，且二面角α﹣l﹣β为锐二面角时，直线CD在α上的射影与AB平行，B正确；对于C，在AD上任取一点，过该点作BC的平行线l′，则由AD与l′确定一个平面，该平面与BC平行，若过AD另外有平面与BC平行，由直线与平面平行的性质，可得过直线BC外的一点A 有两条直线与BC平行，与过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行矛盾，故C正确；对于D，只有当AD与BC异面垂直时，过AD有且只有一个平面与BC，否则，不存在过AD与BC垂直的平面，故D错误．故选：D．16．已知棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E，F分别是棱BB1，DD1上的动点，且BE＝D1F＝λ．设EF与AB所成的角为α，与BC所成的角为β，则α+β的最小值（）A．不存在B．等于60C．等于90D．等于120解：在AA1上取一点M，使EM∥AB，连接MF，则∠MEF＝α，同理可判断α＝β．在△MFE中，，所以，所以αmin＝45°，因此（α+β）min＝90°．故选：C．三、解答题17．正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面边长AB＝2，若异面直线A1A与B1C所成角的大小为arctan，求正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的侧面积和体积．解：在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，有A1A∥B1B，则∠BB1C为异面直线A1A与B1C所成角，等于arctan，即tan∠BB1C＝tan（arctan）＝＝＝，得BB1＝4，∴正四棱柱的高为4．∴正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的侧面积S＝4×2×4＝32，体积V＝2×2×4＝16．18．如图所示，球O的球心O在空间直角坐标系O﹣xyz的原点，半径为1，且球O分别与x、y、z轴的正半轴交于A、B、C三点，已知球面上一点D（0，﹣，）．（1）求证：CD⊥OA；（2）求D、C两点在球O上的球面距离．解：（1）由题得A（1，0，0），B（0，1，0），C（0，0，1），故重心坐标为（），∴平面ABC的法向量为＝（），∵＝（0，﹣，﹣），＝（1，0，0）∴＝0，即CD⊥OA；（2）由题意，cos∠COD＝＝，∴∠COD＝，∴D，C两点在球O上的球面距离为DC＝．19．如图，直三棱柱内接于高为的圆柱中，已知∠ACB＝90°，AA'＝，BC＝AC＝1，O为AB的中点．求：（1）圆柱的全面积和体积；（2）求直线A'C与平面ABB'A'所成的角的大小．解：（1）∵直三棱柱内接于高为的圆柱中，∠ACB＝90°，AA'＝，BC＝AC＝1，O为AB的中点．∴圆柱的半径r＝AB＝＝，∴圆柱的全面积S＝+＝3π．圆柱的体积为V＝＝．（2）以C为原点，CA为x轴，CB为y轴，CC′为z轴，建立空间直角坐标系，A′（1，0，），C（0，0，0），A（1，0，0），B（0，1，0），＝（﹣1，0，﹣），＝（0，0，），＝（﹣1，1，0），设平面ABB'A'的法向量＝（x，y，z），则，取x＝1，得＝（1，1，0），设直线A'C与平面ABB'A'所成的角为θ，则sinθ＝＝＝，∴直线A'C与平面ABB'A'所成的角的大小为．20．在三棱锥中P﹣ABC，AB⊥BC，AB＝BC＝kPA，点O是AC的中点，PO⊥底面ABC．（1）求证：OB⊥平面PAC；（2）当k＝，AB＝2时，求点A到平面PBC的距离；（3）当k为何值时，O在平面PBC内的射影恰好为△PBC的重心？【解答】（1）证明：连接OB，因为AB＝BC，点O是AC的中点，所以OB⊥AC，因为PO⊥底面ABC，OB⊂平面ABC，所以PO⊥OB，因为AC∩PO＝O，所以OB⊥平面PAC；（2）解：因为k＝，AB＝2，所以PA＝4，因为BC＝AB＝2，AB⊥BC，所以OA＝OB＝OC＝，所以PO＝＝，PB＝PC＝PA＝4，取BC中点D，连接PD，PD＝＝，设点A到平面PBC的距离为h，因为V P﹣ABC＝V A﹣PBC，所以，解得h＝，所以点A到平面PBC的距离为；（3）建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设PA＝2，则AB＝BC＝2k，因为AB⊥BC，所以OA＝OB＝OC＝k，PO＝，PB＝PC＝PA＝2，P（0，0，），B（k，0，0），C（0，k），△PBC的重心E（，，），＝（（k，0，﹣），＝（，，），因为O在平面PBC内的射影恰好为△PBC的重心E，所以•＝0，于是2k2﹣（4﹣2k2）＝0，解得k＝1，所以当k＝1时，O在平面PBC内的射影恰好为△PBC的重心．21．如图，AD∥BC且AD＝2BC，AD⊥CD，EG∥AD且EG＝AD，CD∥FG且CD＝2FG，DG⊥平面ABCD，DA＝DC＝DG＝2．（Ⅰ）若M为CF的中点，N为EG的中点，求证：MN∥平面CDE；（Ⅱ）求二面角E﹣BC﹣F的正弦值；（Ⅲ）若点P在线段DG上，且直线BP与平面ADGE所成的角为60°，求线段DP的长．【解答】（Ⅰ）证明：依题意，以D为坐标原点，分别以、、的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系．可得D（0，0，0），A（2，0，0），B（1，2，0），C（0，2，0），E（2，0，2），F（0，1，2），G（0，0，2），M（0，，1），N（1，0，2）．设为平面CDE的法向量，则，不妨令z＝﹣1，可得；又，可得．又∵直线MN⊄平面CDE，∴MN∥平面CDE；（Ⅱ）解：依题意，可得，，．设为平面BCE的法向量，则，不妨令z＝1，可得．设为平面BCF的法向量，则，不妨令z＝1，可得．因此有cos＜＞＝，于是sin＜＞＝．∴二面角E﹣BC﹣F的正弦值为；（Ⅲ）解：设线段DP的长为h，（h∈[0，2]），则点P的坐标为（0，0，h），可得，而为平面ADGE的一个法向量，故|cos＜＞|＝．由题意，可得，解得h＝∈[0，2]．∴线段DP的长为．。
[精品]2015-2016年上海市浦东新区高二下学期期中数学试卷及解析答案word版
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2015-2016学年上海市浦东新区高二（下）期中数学试卷一、填空题（本大题满分36分）本大题共12小题1．（3分）椭圆+=1的长轴长为．2．（3分）直线l的方程为x+y+1=0，则直线l的倾斜角为．3．（3分）若直线l过点（3，4），且它的一个法向量是=（1，2），则直线l的方程为．4．（3分）以（1，2）为圆心，且经过原点的圆的方程是．5．（3分）圆C：x2+y2﹣2x﹣4y+4=0的圆心到直线3x+4y+4=0的距离d=．6．（3分）直线y=x+1与直线x﹣3y+1=0的夹角是．7．（3分）过点（3，﹣4）且与圆x2+y2=25相切的直线方程是．8．（3分）与椭圆+=1共焦点，且过点（4，0）的椭圆的标准方程为．9．（3分）椭圆的焦点为F1，F2，点P在椭圆上，若|PF1|=4，∠F1PF2的大小为．10．（3分）椭圆的两焦点分别为F1（﹣4，0），F2（4，0），过F1作弦AB，且△ABF2的周长为20，则此椭圆的方程为．11．（3分）若直线y=x+b与曲线有公共点，则b的取值范围为．12．（3分）若直线ax+2by﹣2=0（a，b＞0）始终平分圆x2+y2﹣4x﹣2y=0的周长，则+的最小值为．二、选择题(本大题满分12分）本大题共4小题13．（3分）直线x=0的倾斜角为（）A．0 B．C．1 D．以上都不对14．（3分）过点（2，3）且与直线2x﹣3y﹣2=0平行的直线的点方向式方程是（）A．2（x﹣2）+3（y﹣3）=0 B．=C．3（x﹣2）+2（y﹣3）=0 D．=15．（3分）两条直线a1x+b1y+c1=0与a2x+b2y+c2=0垂直的充要条件是（）A．（﹣）（﹣）=﹣1 B．（a1，b1）•（a2，b2）=0C．﹣=D．a1b2=a2b116．（3分）已知点M（﹣1，0），N（1，0），若直线上存在点P，使得|PM|+|PN|=4，则称该直线为“A型直线”，给出下列直线：①y=x+3；②x=﹣2；③y=2；④y=2x+1，其中为“A类直线”的是（）A．①③B．②④C．②③D．③④三、解答题（本大题满分52分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤17．（8分）已知△ABC的顶点的坐标分别为A（3，8），B（3，﹣2），C（﹣3，0）求：（1）AB边上中线的长；（2）AB边上中线所在的直线方程．18．（10分）已知圆C的圆心在直线x=2上，并且与y轴交于两点A（0，﹣4）、B（0，﹣2），求圆C的方程．19．（10分）已知圆C：（x﹣a）2+（y﹣2）2=4（a∈R）及直线l：x﹣y+3=0．当直线l被圆C截得的弦长为2时，求a的值．20．（10分）已知椭圆的焦点分别为F1（﹣2，0）、F2（2，0），长轴长为6，设直线x﹣y+2=0交椭圆于A、B两点（1）求椭圆的方程；（2）求线段AB的中点坐标．21．（14分）如图1，已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的焦点和上顶点分别为F1、F2、B，我们称△F1BF2为椭圆C的“特征三角形”．如果两个椭圆的特征三角形是相似的，则称这两个椭圆是“相似椭圆”，且三角形的相似比即为椭圆的相似比．若椭圆C1：+y2=1，直线L：y=mx+n（1）已知椭圆D：+=1（b＞0）与椭圆C1是相似椭圆，求b的值及椭圆D与椭圆C1的相似比；（2）求点P（0，1）到椭圆C1上点的最大距离（3）如图2，设直线L与椭圆E：+=1（λ＞1）相交于A、B两点，与椭圆C1交于C、D两点，求证：|AC|=|BD|2015-2016学年上海市浦东新区高二（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题满分36分）本大题共12小题1．（3分）椭圆+=1的长轴长为6．【解答】解：椭圆+=1的长轴长为：2a=2×3=6．故答案为：6．2．（3分）直线l的方程为x+y+1=0，则直线l的倾斜角为135°．【解答】解：由直线方程x+y+1=0，得其斜率k=﹣1，设其倾斜角为α（0°≤α＜180°），则tanα=﹣1，∴α=135°．故答案为：135°．3．（3分）若直线l过点（3，4），且它的一个法向量是=（1，2），则直线l的方程为x+2y﹣11=0．【解答】解：直线的法向量是（1，2），直线的方向向量为=（﹣2，1），所以直线的斜率为：﹣，所以直线的方程为：y﹣4=﹣（x﹣3），所以直线方程为：x+2y﹣11=0．故答案为：x+2y﹣11=0．4．（3分）以（1，2）为圆心，且经过原点的圆的方程是（x﹣1）2+（y﹣2）2=5．【解答】解：∵所求圆经过坐标原点，且圆心（1，2）与原点的距离为r=，∴所求圆的方程为（x﹣1）2+（y﹣2）2=5．故答案为：（x﹣1）2+（y﹣2）2=5．5．（3分）圆C：x2+y2﹣2x﹣4y+4=0的圆心到直线3x+4y+4=0的距离d=3．【解答】解：圆心（1，2）到直线3x+4y+4=0距离为．故答案为：36．（3分）直线y=x+1与直线x﹣3y+1=0的夹角是．【解答】解：∵直线y=x+1的斜率为k1=，∴直线的倾斜角α=，又∵直线x﹣3y+1=0的斜率k2=，∴直线的倾斜角β=，∴已知两直线的解集为，故答案为：．7．（3分）过点（3，﹣4）且与圆x2+y2=25相切的直线方程是3x﹣4y﹣25=0．【解答】解：显然点（3，﹣4）在圆x2+y2=25上，设切线方程的斜率为k，则切线方程为y+4=k（x﹣3），即kx﹣y﹣3k﹣4=0，∴圆心（0，0）到直线的距离d==5，解得k=，则切线方程为x﹣y﹣﹣4=0，即3x﹣4y﹣25=0．故答案为：3x﹣4y﹣25=08．（3分）与椭圆+=1共焦点，且过点（4，0）的椭圆的标准方程为=1．【解答】解：设与椭圆+=1共焦点的椭圆标准方程为：=1，把点（4，0）代入上述方程可得：+0=1，解得k=7．∴满足条件的椭圆标准方程为：=1．故答案为：=1．9．（3分）椭圆的焦点为F1，F2，点P在椭圆上，若|PF1|=4，∠F1PF2的大小为120°．【解答】解：∵|PF1|+|PF2|=2a=6，|PF1|=4，∴|PF2|=6﹣|PF1|=2．在△F1PF2中，cos∠F1PF2==﹣，∴∠F1PF2=120°．故答案为：120°10．（3分）椭圆的两焦点分别为F1（﹣4，0），F2（4，0），过F1作弦AB，且△ABF2的周长为20，则此椭圆的方程为=1．【解答】解：由题意可设椭圆的标准方程为：=1，（a＞b＞0）．∵过F1作弦AB，且△ABF2的周长为20，则4a=20，解得a=5，又c=4，则=3．∴椭圆的标准方程为：=1．故答案为：=1．11．（3分）若直线y=x+b与曲线有公共点，则b的取值范围为[﹣1，] ．【解答】解：依题意可知曲线可整理成y2+x2=1（y≥0），图象如图所示直线与半圆相切时，原点到直线的距离为1，即=1，∴b=直线过半圆的右顶点时，1+b=0，∴b=﹣1∴直线y=x+b与曲线有公共点时，b的取值范围为[﹣1，]故答案为：[﹣1，]12．（3分）若直线ax+2by﹣2=0（a，b＞0）始终平分圆x2+y2﹣4x﹣2y=0的周长，则+的最小值为3+2．【解答】解：由题意得，直线过圆心（2，1），所以，a+b=1．∴+=（a+b）（+）=3++≥3+2，当且仅当=时，等号成立，故答案为3+2．二、选择题(本大题满分12分）本大题共4小题13．（3分）直线x=0的倾斜角为（）A．0 B．C．1 D．以上都不对【解答】解：∵线x=0与x轴垂直，∴其倾斜角为，故选：B．14．（3分）过点（2，3）且与直线2x﹣3y﹣2=0平行的直线的点方向式方程是（）A．2（x﹣2）+3（y﹣3）=0 B．=C．3（x﹣2）+2（y﹣3）=0 D．=【解答】解：所求直线的方向向量为（3，2），又经过点（2，3），因此所求直线的点方向式方程是．故选：D．15．（3分）两条直线a1x+b1y+c1=0与a2x+b2y+c2=0垂直的充要条件是（）A．（﹣）（﹣）=﹣1 B．（a1，b1）•（a2，b2）=0C．﹣=D．a1b2=a2b1【解答】解：b1b2≠0时，两条直线a1x+b1y+c1=0与a2x+b2y+c2=0垂直⇔=﹣1，化为a1a2+b1b2=0．b1b2=0时，且b1与b2不同时为0，也满足上式．即满足条件：（a1，b1）•（a2，b2）=0．故选：B．16．（3分）已知点M（﹣1，0），N（1，0），若直线上存在点P，使得|PM|+|PN|=4，则称该直线为“A型直线”，给出下列直线：①y=x+3；②x=﹣2；③y=2；④y=2x+1，其中为“A类直线”的是（）A．①③B．②④C．②③D．③④【解答】解：由题意可知，点P的轨迹是以M，N为焦点的椭圆，其方程是=1，①把y=x+3代入椭圆方程并整理得，7x2+24x+24=0，∵△＜0，∴y=x+3不是“A型直线”．②把x=﹣2代入椭圆方程，成立，∴x=﹣2是“A型直线”．③把y=2代入椭圆方程，不成立，∴y=2不是“A型直线”．④把y=2x+1代入椭圆方程并整理得，19x2﹣48x+24=0，∵△=（﹣48）2﹣4×19×24＞0，∴y=﹣2x+3是“A型直线”．故选：B．三、解答题（本大题满分52分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤17．（8分）已知△ABC的顶点的坐标分别为A（3，8），B（3，﹣2），C（﹣3，0）求：（1）AB边上中线的长；（2）AB边上中线所在的直线方程．【解答】解：（1）∵A（3，8），B（3，﹣2），∴线段AB的中点坐标是（3，3），又∵C（﹣3，0），∴AB边上中线的长为：=3；（2）结合（3，3），（﹣3，0）易得AB边上中线所在的直线方程为：=，整理，得：x﹣2y+3=0．18．（10分）已知圆C的圆心在直线x=2上，并且与y轴交于两点A（0，﹣4）、B（0，﹣2），求圆C的方程．【解答】解：如图示：根据垂径定理可得AB的垂直平分线y=﹣3过圆心，而圆心过x=2，则圆心坐标为（2，﹣3），圆的半径r=|AC|==，则圆的标准方程为：（x﹣2）2+（y+3）2=5．19．（10分）已知圆C：（x﹣a）2+（y﹣2）2=4（a∈R）及直线l：x﹣y+3=0．当直线l被圆C截得的弦长为2时，求a的值．【解答】解：由题意圆C：（x﹣a）2+（y﹣2）2=4的圆心坐标是（a，2），半径是2．利用弦长公式可得弦心距d==1，再由点到直线的距离公式可得d=，∴1=，解得a=﹣1．20．（10分）已知椭圆的焦点分别为F1（﹣2，0）、F2（2，0），长轴长为6，设直线x﹣y+2=0交椭圆于A、B两点（1）求椭圆的方程；（2）求线段AB的中点坐标．【解答】解：（1）由题意可知：椭圆的焦点F1（﹣2，0）、F2（2，0），焦点在x轴上，设椭圆C的方程为：（a＞b＞0），c=2，a=3，b2=a2﹣c2=9﹣8=1，∴椭圆C的方程为：；（2）由（1）可知：，消y整理得：10x2+36x+27=0，由△=362﹣4×10×27=216＞0，∴直线与椭圆有两个不同的交点，设A（x 1，y1），B（x2，y2），中点E（x0，y0），则x1+x2=﹣，由中点坐标公式可知：x0==﹣，y0=x0+2=，故线段AB的中点坐标为（﹣，）．21．（14分）如图1，已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的焦点和上顶点分别为F1、F2、B，我们称△F1BF2为椭圆C的“特征三角形”．如果两个椭圆的特征三角形是相似的，则称这两个椭圆是“相似椭圆”，且三角形的相似比即为椭圆的相似比．若椭圆C1：+y2=1，直线L：y=mx+n（1）已知椭圆D：+=1（b＞0）与椭圆C1是相似椭圆，求b的值及椭圆D与椭圆C1的相似比；（2）求点P（0，1）到椭圆C1上点的最大距离（3）如图2，设直线L与椭圆E：+=1（λ＞1）相交于A、B两点，与椭圆C1交于C、D两点，求证：|AC|=|BD|【解答】解：（1）由椭圆C1：+y2=1焦点在x轴上，a=2，b=1，c=，∴椭圆C1的特征三角形是腰长为2，底边长为2的等腰三角形，椭圆D：+=1（b＞0）的特征三角形是腰长为4，底边长为2的等腰三角形，椭圆D：+=1（b＞0）与椭圆C1：+y2=1是相似椭圆，因此两个特征三角形相似，∴=，解得：b2=4，即b=2，∴椭圆D与椭圆C1的相似比为2：1；（2）椭圆C1：+y2=1，设椭圆C1上动点B（2cosθ，sinθ），∴|AB|2=（2cosθ）2+（sinθ﹣1）2=4cos2θ+sin2θ﹣2sinθ+1=﹣3（sinθ+）2+，当sinθ=﹣时，﹣3（sinθ+）2+最大，即|AB|2最大值为，∴|AB|的最大值为，点P（0，1）到椭圆C1上点的最大距离．（3）证明：直线L不与x轴垂直，直线L：y=mx+n，A（x1，y1），B（x2，y2），线段AB的中点（x0，y0），由直线方程代入椭圆E：+=1（λ＞1），可得（1+4m2）x2+8mnx+4n2﹣﹣4λ2=0，即有x1+x2=﹣，x0=﹣，再将直线y=mx+n代入椭圆C1：+y2=1，可得（1+4m2）x2+8mnx+4n2﹣﹣4λ2=0，设C（x3，y3），D（x4，y4），线段AB 的中点（x 5，y 5）， 即有x 3+x 4=﹣，x 5=﹣，故AB ，CD 的中点重合． 则|AC |=|BD |．赠送初中数学几何模型【模型一】“一线三等角”模型： 图形特征：60°60°60°45°45°45°运用举例：1.如图，若点B 在x 轴正半轴上，点A (4，4)、C (1，－1)，且AB ＝BC ，AB ⊥BC ，求点B 的坐标；xyB CAO2.如图，在直线l 上依次摆放着七个正方形（如图所示），已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是1S 、2S 、3S 、4S ，则14S S += ．ls 4s 3s 2s 13213. 如图，Rt △ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC =2，点D 在BC 上运动（不与点B ，C 重合），过D 作∠ADE =45°，DE 交AC 于E ． （1）求证：△ABD ∽△DCE ；（2）设BD =x ，AE =y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围； （3）当△ADE 是等腰三角形时，求AE 的长．EB4.如图，已知直线112y x =+与y 轴交于点A ，与x 轴交于点D ，抛物线212y x bx c =++与直线交于A 、E 两点，与x 轴交于B 、C 两点，且B 点坐标为 (1，0)。
上海市浦东新区第四教育署2015-2016学年六年级(五四学制)下学期期中考试数学试题
2 15 (2 ) (1.5) 3 16
解：原式= =
1 2 8 ）（2’） 4 3
(2’) (1’) 22、计算：
8 15 2 3 16 3 5 3
（3’） （2’）
5 12 5 = 7 12
= -3- 4 21、计算：
1 2 2 2 3 1 6 3 2 9
4 6 20 3 ( ) 5 29 29 29 4 = 5
= 24、 解方程：
(2’) (1’)
四、解方程和不等式（组）（本大题共 4 题，每小题 5 分，满分 20 分） 23、解方程：
1 1 y 2 y 8 ； 2
(2’) (2’) (1’)
2x 1 6x 1 1 3 6
浦东新区第四教育署 2015 学年度第二学期期中质量抽测 预备年级数学试卷
（完卷时间：90 分钟，满分：100 分） 一、选择题： （每题 3 分，共 18 分） 1、在数 4.19， 2016.4
5 1 ，-1，120%，29，0，- 3 ，-0.97 中，非负数有（ 6 3
）
A. 3 个； B. 4 个； C. 5 个； D. 6 个. 2 、下列说法正确的是…………………………………………………….（ A.正数和负数统称为有理数； C. 两个负数中，绝对值大的数较大；
所以原不等式组的解集为 1 x 3 (图略)
五、解答题：(本大题 12 分，每题 6 分) 27、解：由题意得： a b 0 （1’） (1’) (2’) 28、解：设小华家离世纪公园相距 x 千米 由题意得： （1’） (3’) （1’）
当m 原式=
上海市浦东新区2015-2016学年七年级(下)期末数学试卷(解析版)
上海市浦东新区2015-2016学年七年级（下）期末数学试卷(解析版)一、选择题（本大题共6小题，每题2分，满分12分）1．下列关于无理数的说法，错误的是（）A．无理数是实数 B．无理数是无限不循环小数C．无理数是无限小数 D．无理数是带根号的数2．如图，线段AB边长为1个单位长度的正方形分割为两个等腰直角三角形，以A为圆心，AB的长为半径画弧交数轴于点C，那么点C在数轴上表示的实数是（）A．1+B．C．D．13．如图，直线l1∥l2，∠1=110°，∠2=130°，那么∠3的度数是（）A．40°B．50°C．60°D．70°4．下列说法：①任意三角形的内角和都是180°；②三角形的一个外角大于任何一个内角；③三角形的中线、角平分线和高线都是线段；④三角形的三条高线必在三角形内，其中正确的是（）A．①②B．①③C．②③D．③④5．已知如图所示的两个三角形全等，则∠α的度数是（）A．72°B．60°C．50°D．58°6．在直角坐标平面内，已知在y轴与直线x=3之间有一点M（a，3），如果该点关于直线x=3的对称点M的坐标为（5，3），那么a的值为（）A．4 B．3 C．2 D．1二、填空题（本大题共12题，每题3分，满分36分）7．=．8．据上海市统计局最新发布的统计公报显示，2015年末上海市常住人口总数约为24152700人，用科学记数法将24152700保留三个有效数字是．9．如图，∠2的同旁内角是．10．如图，已知BC∥DE，∠ABC=120°，那么直线AB、DE的夹角是．11．已知三角形的三边长分别为3cm，xcm和7cm，那么x的取值范围是．12．如图，在等腰△ABC中，AB=AC，点O是△ABC内一点，且OB=OC，联结AO并延长交边BC于点D，如果BD=6，那么BC的值为．13．如图，已知点A、B、C、F在同一条直线上，AD∥EF，∠D=40°，∠F=30°，那么∠ACD 的度数是．14．如图，将△ABC沿射线BA方向平移得到△DEF，AB=4，AE=3，那么DA的长度是．15．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，要使△ABD≌△CDB，可添加一个条件为．16．在平面直角坐标系中，如果点M（﹣1，a﹣1）在第三象限，那么a的取值范围是．17．如图，将边长为1个单位长度的正方形ABCD置于平面直角坐标系内，如果BC与x轴平行，且点A的坐标是（2，2），那么点C的坐标为．18．在等腰△ABC中，如果过顶角的顶点A的一条直线AD将△ABC分别割成两个等腰三角形，那么∠BAC=．三、解答题（本大题共8小题，第19题，每小题6分；第20题，每小题6分；第21题6分；第22题5分，第23题6分，第24题7分，第25题8分，第26题10分）19．（6分）计算（写出计算过程）：（1）2+（）0﹣；（2）×．20．（4分）利用幂的性质计算（写出计算过程，结果表示为含幂的形式）：（1）3×；（2）（10÷10）﹣3．21．（6分）如图，已知直线AB、CD被直线EF所截，FG平分∠EFD，∠1=∠2=80°，求∠BGF的度数．解：因为∠1=∠2=80°（已知），所以AB∥CD（）所以∠BGF+∠3=180°（）因为∠2+∠EFD=180°（邻补角的意义）．所以∠EFD=．（等式性质）．因为FG平分∠EFD（已知）．所以∠3=∠EFD（角平分线的意义）．所以∠3=．（等式性质）．所以∠BGF=．（等式性质）．22．（5分）如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为点D，∠C=2∠1，∠2=∠1，求∠B 的度数．23．（6分）如图，已知AB=AC，BD⊥AC，CE⊥AB，垂足分别为点D，E，说明△ABD 与△ACE全等的理由．24．（7分）如图，点E 是等边△ABC 外一点，点D 是BC 边上一点，AD=BE ，∠CAD=∠CBE ，连结ED ，EC ．（1）试说明△ADC 与△BEC 全等的理由；（2）试判断△DCE 的形状，并说明理由．25．（8分）如图，在直角坐标平面内，已知点A （8，0），点B 的横坐标是2，△AOB 的面积为12．（1）求点B 的坐标；（2）如果P 是直角坐标平面内的点，那么点P 在什么位置时，S △AOP =2S △AOB ？26．（10分）如图1，以AB 为腰向两侧分别作全等的等腰△ABC 和△ABD ，过点A 作∠MAN ，使∠MAN=∠BAC=α（0°＜α＜60°），将∠MAN 的边AM 与AC 叠合，绕点A 按逆时针方向旋转，与射线CB ，BD 分别交于点E ，F ，设旋转角度为β．（1）如图1，当0°＜β＜α时，线段BE与DF相等吗？请说明理由．（2）当α＜β＜2α时，线段CE，FD与线段BD具有怎样的数量关系？请在图2中画出图形并说明理由．（3）联结EF，在∠MAN绕点A逆时针旋转过程中（0°＜β＜2α），当线段AD⊥EF时，请用含α的代数式直接表示出∠CEA的度数．2015-2016学年上海市浦东新区七年级（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共6小题，每题2分，满分12分）1．下列关于无理数的说法，错误的是（）A．无理数是实数 B．无理数是无限不循环小数C．无理数是无限小数 D．无理数是带根号的数【考点】无理数．【分析】依据无理数的定义以及无理数常见类型进行解答即可．【解答】解：A、实数包括无理数和有理数，故A正确，与要求不符；B、无理数是无限不循环小数，正确，与要求不符；C、无理数是无限小数，正确，与要求不符；D、无理数是带根号的数，错误，如=3是有理数，与要求相符．故选：D．【点评】本题主要考查的是无理数的认识，掌握无理数的定义以及常见类型是解题的关键．2．如图，线段AB边长为1个单位长度的正方形分割为两个等腰直角三角形，以A为圆心，AB的长为半径画弧交数轴于点C，那么点C在数轴上表示的实数是（）A．1+B．C．D．1【考点】实数与数轴；勾股定理．【分析】先根据勾股定理求出直角三角形的斜边，即可得出选项．【解答】解：C点表示的数是： +1=+1=1+，故选A．【点评】本题考查了数轴和实数，勾股定理的应用，能读懂图象是解此题的关键．3．如图，直线l1∥l2，∠1=110°，∠2=130°，那么∠3的度数是（）A．40°B．50°C．60°D．70°【考点】平行线的性质．【分析】延长AC交FB的延长线于点D得到∠4，根据两直线平行，同旁内角互补得到∠4=180°﹣∠1，再根据三角形外角性质可得∠3=∠2﹣∠4，代入数据计算即可．【解答】解：如图，延长AC交FB的延长线于点D，∵AE∥BF，∴∠4=180°﹣∠1=70°，∴∠3=∠2﹣∠4=60°．故选：C．【点评】主要考查两直线平行，同旁内角互补的性质，作辅助线和运用三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和也非常重要．4．下列说法：①任意三角形的内角和都是180°；②三角形的一个外角大于任何一个内角；③三角形的中线、角平分线和高线都是线段；④三角形的三条高线必在三角形内，其中正确的是（）A．①②B．①③C．②③D．③④【考点】三角形内角和定理；三角形的角平分线、中线和高；三角形的外角性质．【分析】分别根据三角形外角的性质、三角形的分类及三角形的内角和定理对各选项进行逐一分析即可．【解答】解：任意三角形的内角和都是180°，故①正确；三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角，故②错误；三角形的中线、角平分线、高线都是线段，故③正确；只有锐角三角形的三条高线在三角形内，故④错误；故选B．【点评】本题考查的是三角形外角的性质，三角形的高、中线、角平分线的概念；三角形的内角和定理及其推论；三角形的分类即三角形的外角大于任何一个与之不相邻的内角．5．已知如图所示的两个三角形全等，则∠α的度数是（）A．72°B．60°C．50°D．58°【考点】全等三角形的性质．【分析】根据全等三角形对应角相等解答即可．【解答】解：∵两个三角形全等，∴α=50°，故选：C．【点评】本题考查了全等三角形的性质，熟记性质并准确识图，确定出对应角是解题的关键．6．在直角坐标平面内，已知在y轴与直线x=3之间有一点M（a，3），如果该点关于直线x=3的对称点M的坐标为（5，3），那么a的值为（）A．4 B．3 C．2 D．1【考点】坐标与图形变化-对称．【分析】根据题意得出对称点到直线x=3的距离为2，再利用对称点的性质得出答案．【解答】解：∵该点关于直线x=3的对称点N的坐标为（5，3），∴对称点到直线x=3的距离为2，∵点M（a，3）到直线x=3的距离为2，∴a=1，故选：D．【点评】此题主要考查了坐标与图形的性质，根据题意得出对称点到直线x=3的距离是解题关键．二、填空题（本大题共12题，每题3分，满分36分）7．=3．【考点】算术平方根．【分析】根据算术平方根的概念直接解答即可【解答】解：=3．故答案为：3．【点评】本题主要考查了开平方的能力，比较简单．8．据上海市统计局最新发布的统计公报显示，2015年末上海市常住人口总数约为24152700人，用科学记数法将24152700保留三个有效数字是 2.42×107．【考点】科学记数法与有效数字．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值是易错点，由于24152700有8位，所以可以确定n=8﹣1=1．有效数字的计算方法是：从左边第一个不是0的数字起，后面所有的数字都是有效数字．用科学记数法表示的数的有效数字只与前面的a有关，与10的多少次方无关．【解答】解：用科学记数法将24152700保留三个有效数字是2.42×107．故答案为：2.42×107．【点评】本题考查科学记数法的表示方法，正确确定出a和n的值是解题的关键．9．如图，∠2的同旁内角是∠4．【考点】同位角、内错角、同旁内角．【分析】根据同旁内角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角进行分析即可．【解答】解：∠2的同旁内角是∠4，故答案为：∠4．【点评】此题主要考查了同旁内角，关键是掌握同旁内角的边构成“U”形．10．如图，已知BC∥DE，∠ABC=120°，那么直线AB、DE的夹角是120°或60°．【考点】平行线的性质．【分析】根据平行线的性质得出∠AOE=∠ABC=120°，即可得出答案．【解答】解：∵BC∥DE，∠ABC=120°，∴∠AOE=∠ABC=120°，∴∠EOB=180°﹣120°=60°，即直线AB、DE的夹角是120°或60°，故答案为：120°或60°．【点评】本题考查了平行线的性质的应用，能根据平行线的性质得出∠AOE=∠ABC=120°是解此题的关键，注意：平行线的性质有：①两直线平行，同位角相等，②两直线平行，内错角相等，③两直线平行，同旁内角互补．11．已知三角形的三边长分别为3cm，xcm和7cm，那么x的取值范围是4cm＜x＜10cm．【考点】三角形三边关系．【分析】根据三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边可得：4＜x＜10．【解答】解：∵三角形的三边长分别是3，7，x，根据三角形三边关系：x＜7+3，x＞7﹣3，∴x的取值范围是4cm＜x＜10cm．故答案为：4cm＜x＜10cm．【点评】考查了三角形的三边关系，解答此题的关键是熟知三角形的三边关系，即任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．12．如图，在等腰△ABC中，AB=AC，点O是△ABC内一点，且OB=OC，联结AO并延长交边BC于点D，如果BD=6，那么BC的值为12．【考点】等腰三角形的性质．【分析】根据AB=AC，OB=OC，可知直线AO是线段BC的垂直平分线，由AO与BC交于点D，BD=6，从而可以得到BC的长，本题得以解决．【解答】解：∵AB=AC，OB=OC，∴点A，点O在线段BC的垂直平分线上，∴直线AO是线段BC的垂直平分线，∵AO与BC交于点D，∴BD=CD，∵BD=6，∴BC=2BD=12，故答案为：12．【点评】本题考查等腰三角形的性质，解题的关键是明确题意，利用线段垂直平分线的性质解答问题．13．如图，已知点A、B、C、F在同一条直线上，AD∥EF，∠D=40°，∠F=30°，那么∠ACD 的度数是110°．【考点】平行线的性质．【分析】根据两直线平行，内错角相等可求∠A的度数，再根据三角形内角和定理即可得到∠ACD的度数，从而求解．【解答】解：∵AD∥EF，∴∠A=∠F=30°，∵∠D=40°，∴∠ACD=180°﹣30°﹣40°=110°．故答案为：110°．【点评】此题主要考查了平行线的性质及三角形内角和定理等知识点．本题的关键是求得∠A的度数．14．如图，将△ABC沿射线BA方向平移得到△DEF，AB=4，AE=3，那么DA的长度是1．【考点】平移的性质．【分析】根据平移的性质得到AD=BE，从而求解．【解答】解：∵将△ABC沿射线BA方向平移得到△DEF，AB=4，AE=3，∴DA=BE=AB﹣AE=4﹣3=1，故答案为：1．【点评】本题考查平移的基本性质：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．15．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，要使△ABD≌△CDB，可添加一个条件为∠A=∠C．【考点】全等三角形的判定．【分析】先根据平行线的性质得∠CBD=∠ADB，加上公共边BD，所以根据“AAS”判断△ABD≌△CDB时，可添加∠A=∠C．【解答】解：∵AD∥BC，∴∠CBD=∠ADB，而BD=DB，∴当添加∠A=∠C时，可根据“AAS”判断△ABD≌△CDB．故答案为：∠A=∠C【点评】本题考查了全等三角形的判定，全等三角形的判定方法的选择，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边，或两角的夹边；若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一边．16．在平面直角坐标系中，如果点M（﹣1，a﹣1）在第三象限，那么a的取值范围是a ＜1．【考点】解一元一次不等式；点的坐标．【分析】利用各个象限点的特点，第三象限，纵坐标和横坐标都小于零列出不等式求解即可．【解答】解：∵点M（﹣1，a﹣1）在第三象限，∴a﹣1＜0，∴a＜1，故答案为a＜1【点评】此题是解一元一次不等式，主要考查了象限点的特点求解，解本题的关键是掌握象限点的特点，是中考常考的常规题．17．如图，将边长为1个单位长度的正方形ABCD置于平面直角坐标系内，如果BC与x轴平行，且点A的坐标是（2，2），那么点C的坐标为（3，1）．【考点】坐标与图形性质．【分析】根据点A的坐标是（2，2），BC∥x轴、AB=BC=1即可得．【解答】解：∵点A的坐标是（2，2），BC∥x轴，且AB=1，∴点B坐标为（2，1），又BC=1，∴点C的坐标为（3，1），故答案为：（3，1）．【点评】本题主要考查坐标与图形性质，点到坐标轴的距离与这个点的坐标是有区别的，表现在两个方面：①到x轴的距离与纵坐标有关，到y轴的距离与横坐标有关；②距离都是非负数，而坐标可以是负数，在由距离求坐标时，需要加上恰当的符号．18．在等腰△ABC中，如果过顶角的顶点A的一条直线AD将△ABC分别割成两个等腰三角形，那么∠BAC=90°或108°．【考点】等腰三角形的性质．【分析】根据题意画出图形，分类讨论，利用三角形的内角和定理和等腰三角形的性质可得结论．【解答】解：①当BD=CD，CD=AD时，如图①所示，∵AB=AC，∴∠B=∠C，设∠B=∠C=x，∵BD=CD，CD=AD，∴∠BAD=∠B=x，∠CAD=∠C=x，∴4x=180°，∴x=45°，∴∠BAC=2x=45°×2=90°；②当AD=BD，AC=CD时，如图②所示，∵AB=AC，∴∠B=∠C设∠B=∠C=x，∵AD=BD，AC=CD，∴∠BAD=∠B=x，∠CAD=，∴=180°﹣2x，解得：x=36°，∴∠BAC=180°﹣2x=180°﹣2×36°=108°，故答案为：90°或108°．【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质，根据题意画出图形分类讨论，利用三角形的内角和定理是解答此题的关键．三、解答题（本大题共8小题，第19题，每小题6分；第20题，每小题6分；第21题6分；第22题5分，第23题6分，第24题7分，第25题8分，第26题10分）19．计算（写出计算过程）：（1）2+（）0﹣；（2）×．【考点】二次根式的混合运算；零指数幂．【分析】（1）计算出0指数的值，然后合并同类二次根式即可；（2）把除法化成乘法，然后按乘法的交换律计算即可．【解答】解：（1）原式=2+1﹣=+1；（2）原式=××2=10×=10．【点评】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算顺序和运算律是解题的关键．20．利用幂的性质计算（写出计算过程，结果表示为含幂的形式）：（1）3×；（2）（10÷10）﹣3．【考点】实数的运算；分数指数幂；负整数指数幂．【分析】（1）原式利用二次根式性质法则计算即可得到结果；（2）原式利用同底数幂的除法，以及幂的乘方运算法则计算即可得到结果．【解答】解：（1）原式=3×3=3；（2）原式=（10）﹣3=10﹣2．【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．21．如图，已知直线AB、CD被直线EF所截，FG平分∠EFD，∠1=∠2=80°，求∠BGF 的度数．解：因为∠1=∠2=80°（已知），所以AB∥CD（同位角相等，两直线平行）所以∠BGF+∠3=180°（两直线平行，同旁内角互补）因为∠2+∠EFD=180°（邻补角的意义）．所以∠EFD=100°．（等式性质）．因为FG平分∠EFD（已知）．所以∠3=∠EFD（角平分线的意义）．所以∠3=50°．（等式性质）．所以∠BGF=130°．（等式性质）．【考点】平行线的判定；角平分线的定义；对顶角、邻补角．【分析】根据平行显得判定及性质求角的过程，一步步把求解的过程补充完整即可．【解答】解：因为∠1=∠2=80°（已知），所以AB∥CD（同位角相等，两直线平行），所以∠BGF+∠3=180°（两直线平行，同旁内角互补）．因为∠2+∠EFD=180°（邻补角的意义）．所以∠EFD=100°．（等式性质）．因为FG平分∠EFD（已知）．所以∠3=∠EFD（角平分线的意义）．所以∠3=50°．（等式性质）．所以∠BGF=130°．（等式性质）．故答案为：同位角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补；100°；；50°；130°．【点评】本题考查了平行线的判定及性质、角平分线的定义以及邻补角，解题的关键是把解题的过程补充完整．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，熟悉利用平行线的性质解决问题的过程．22．如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为点D，∠C=2∠1，∠2=∠1，求∠B的度数．【考点】三角形内角和定理．【分析】根据垂直的定义和三角形内角和定理计算即可．【解答】解：∵AD⊥BC，∴∠ADC=90°，∴∠C+∠1=90°，又∠C=2∠1，∴∠C=60°，∠1=30°，∴∠2=∠1=45°，∴∠B=45°．【点评】本题考查的是三角形内角和定理，掌握三角形的内角和等于180°是解题的关键．23．如图，已知AB=AC，BD⊥AC，CE⊥AB，垂足分别为点D，E，说明△ABD与△ACE 全等的理由．【考点】全等三角形的判定．【分析】根据垂直定义得出∠ADB=∠AEC=90°，根据全等三角形的判定定理AAS推出即可．【解答】解：∵BD⊥AC，CE⊥AB，∴∠ADB=∠AEC=90°，在△ABD和△ACE中∴△ABD≌△ACE（AAS）．【点评】本题考查了全等三角形的判定定理的应用，能熟记全等三角形的判定定理的内容是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS．24．如图，点E是等边△ABC外一点，点D是BC边上一点，AD=BE，∠CAD=∠CBE，连结ED，EC．（1）试说明△ADC与△BEC全等的理由；（2）试判断△DCE的形状，并说明理由．【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质．【分析】（1）由等边三角形的性质得出AC=BC ，∠ACB=60°，由SAS 证明△ADC ≌△BEC 即可；（2）由全等三角形的性质得出∠ACD=∠BCE=60°，DC=EC ，即可得出结论．【解答】（1）证明：∵△ABC 是等边三角形，∴AC=BC ，∠ACB=60°，在△ADC 和△BEC 中，， ∴△ADC ≌△BEC （SAS ）；（2）解：△DCE 是等边三角形；理由如下：∵△ADC ≌△BEC ，∴∠ACD=∠BCE=60°，DC=EC ，即△DCE 是等腰三角形，∴△DCE 是等边三角形．【点评】本题考查了等腰三角形的判定定理，直角三角形的性质，熟记等腰三角形的判定是解题的关键．25．如图，在直角坐标平面内，已知点A （8，0），点B 的横坐标是2，△AOB 的面积为12．（1）求点B 的坐标；（2）如果P 是直角坐标平面内的点，那么点P 在什么位置时，S △AOP =2S △AOB ？【考点】坐标与图形性质．【分析】（1）设点B的纵坐标为y，根据△AOB的面积为12列等式求出y的值，写出点B的坐标；（2）设点P的纵坐标为h，先求出△AOP的面积，再列等式求出h的值，因为横坐标没有说明，所以点P在直线y=6或直线y=﹣6上．【解答】解：（1）设点B的纵坐标为y，因为A（8，0），所以OA=8，=OA•|y|=12，则S△AOB∴y=±3，∴点B的坐标为（2，3）或（2，﹣3）；（2）设点P的纵坐标为h，S△AOP=2S△AOB=2×12=24，∴OA•|h|=24，×8|h|=24，h=±6，所以点P在直线y=6或直线y=﹣6上．【点评】本题是坐标与图形的性质，要明确一个点的坐标到两坐标轴的距离：到x轴的距离与纵坐标有关，到y轴的距离与横坐标有关；其次是根据面积公式列等式求解．26．（10分）（2016春•浦东新区期末）如图1，以AB为腰向两侧分别作全等的等腰△ABC 和△ABD，过点A作∠MAN，使∠MAN=∠BAC=α（0°＜α＜60°），将∠MAN的边AM 与AC叠合，绕点A按逆时针方向旋转，与射线CB，BD分别交于点E，F，设旋转角度为β．（1）如图1，当0°＜β＜α时，线段BE与DF相等吗？请说明理由．（2）当α＜β＜2α时，线段CE，FD与线段BD具有怎样的数量关系？请在图2中画出图形并说明理由．（3）联结EF，在∠MAN绕点A逆时针旋转过程中（0°＜β＜2α），当线段AD⊥EF时，请用含α的代数式直接表示出∠CEA的度数．【考点】三角形综合题．【分析】（1）结论：BE=DF．只要证明△AEB≌△AFD即可．（2）结论：CE﹣FD=BD，由△AEB≌△AFD，得BE=DF，由此即可证明．（3）结论：90°﹣α．只要证明∠AOB=∠AOF=90°即可解决问题．【解答】解：（1）结论：BE=DF．理由：如图1中，∵等腰△ABC和△ABD全等，∴AB=AC=AD，∠C=∠ABC=∠ABD=∠D，∠BAC=∠BAD，∵∠MAN=∠BAC=α，∴∠MAN=∠BAD=α，∴∠EAB=∠FAD，在△AEB和△AFD中，，∴△AEB≌△AFD，∴BE=DF．（2）结论：CE﹣FD=BD．理由：如图2中所示，∵∠MAN=∠BAD，∴∠DAF=∠BAE，∵∠ABC=∠ADB，∴∠ABE=∠ADF，在△ABE和△ADF中，，∴△AEB≌△AFD，∴BE=DF，∵BC=BD，∴CE﹣FD=CE﹣BE=BC=BD．（3）结论：90°﹣α．理由：如图3中，AE交BD于点O．∵AD⊥EF，∴∠DAF+∠AFE=90°，∵∠DAF=∠BAE，∠ABD=∠AFE，∴∠OAB+∠OBA=90°，∴∠AOB=∠AOF=90°，∴∠AFD=90°﹣∠EAF=90°﹣α，∵∠CEA=∠AFD，∴∠CEA=90°﹣α．【点评】本题考查三角形综合题、全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质，正确寻找全等三角形，属于中考常考题型．。
上海市浦东新区高二数学下学期期末试卷(含解析)-人教版高二全册数学试题
2015-2016学年某某市浦东新区高二（下）期末数学试卷一、填空题（共12小题，每小题3分，满分36分）1．抛物线x2=﹣8y的准线方程为．2．如果直线ax+y+1=0与直线3x﹣y﹣2=0垂直，则系数a=．3．双曲线9x2﹣4y2=﹣36的渐近线方程是．4．已知复数z=（3+i）2（i为虚数单位），则|z|=．5．已知点A（﹣4，﹣5），B（6，﹣1），则以线段AB为直径的圆的方程为．6．设复数z（2﹣i）=11+7i（i为虚数单位），则z=．7．若椭圆C的焦点和顶点分别是双曲线的顶点和焦点，则椭圆C的方程是．8．一动点在圆x2+y2=1上移动时，它与定点B（3，0）连线的中点轨迹方程是．9．若复数z满足|z+3i|=5（i是虚数单位），则|z+4|的最大值=．10．设F1和F2是双曲线﹣y2=1的两个焦点，点P在双曲线上，且满足∠F1PF2=90°，则△F1PF2的面积是．11．已知抛物线型拱桥的顶点距离水面2米时，测量水的宽为8米，当水面上升米后，水面的宽度是米．12．已知圆x2+y2+2x﹣4y+a=0关于直线y=2x+b成轴对称，则a﹣b的取值X围是．二、选择题（共4小题，每小题3分，满分12分）13．直线倾斜角的X围是（）A．（0，]B．[0，]C．[0，π） D．[0，π]14．平面内有两定点A、B及动点P，设命题甲：“|PA|+|PB|是定值”，命题乙：“点P的轨迹是以A、B为焦点的椭圆”，则甲是乙的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件15．若1+i是关于x的实系数方程x2+bx+c=0的一个复数根，则（）A．b=2，c=3 B．b=﹣2，c=3 C．b=﹣2，c=﹣1 D．b=2，c=﹣116．对于抛物线C：y2=4x，我们称满足y02＜4x0的点M（x0，y0）在抛物线的内部．若点M（x0，y0）在抛物线内部，则直线l：y0y=2（x+x0）与曲线C （）A．恰有一个公共点B．恰有2个公共点C．可能有一个公共点，也可能有两个公共点D．没有公共点三、解答题（共5小题，满分52分）17．已知直线l平行于直线3x+4y﹣7=0，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为24，求直线l的方程．18．设复数z满足|z|=1，且（3+4i）•z是纯虚数，求．19．已知圆C和y轴相切，圆心在直线x﹣3y=0上，且被直线y=x截得的弦长为，求圆C的方程．20．已知F1，F2为椭圆C： +=1（a＞b＞0）的左右焦点，O是坐标原点，过F2作垂直于x轴的直线MF2交椭圆于M，设|MF2|=d．（1）证明：b2=ad；（2）若M的坐标为（，1），求椭圆C的方程．21．已知双曲线C1：．（1）求与双曲线C1有相同焦点，且过点P（4，）的双曲线C2的标准方程；（2）直线l：y=x+m分别交双曲线C1的两条渐近线于A、B两点．当•=3时，某某数m 的值．2015-2016学年某某市浦东新区高二（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（共12小题，每小题3分，满分36分）1．抛物线x2=﹣8y的准线方程为y=2 ．【考点】抛物线的简单性质．【分析】由于抛物线x2=﹣2py的准线方程为y=，则抛物线x2=﹣8y的准线方程即可得到．【解答】解：由于抛物线x2=﹣2py的准线方程为y=，则有抛物线x2=﹣8y的准线方程为y=2．故答案为：y=2．2．如果直线ax+y+1=0与直线3x﹣y﹣2=0垂直，则系数a=．【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系．【分析】利用相互垂直的直线的斜率之间关系即可得出．【解答】解：由ax+y+1=0得y=﹣ax﹣1，直线3x﹣y﹣2=0得到y=3x﹣2，又直线ax+y+1=0与直线3x﹣y﹣2=0垂直，∴﹣a•3=﹣1，∴a=，故答案为：3．双曲线9x2﹣4y2=﹣36的渐近线方程是y=±x ．【考点】双曲线的简单性质．【分析】求出双曲线的标准方程，结合双曲线渐近线的方程进行求解即可．【解答】解：双曲线的标准方程为﹣=1，则双曲线的渐近线方程为y=±x，故答案为：y=±x4．已知复数z=（3+i）2（i为虚数单位），则|z|= 10 ．【考点】复数求模；复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的模的平方等于复数的模的乘积，直接计算即可．【解答】解：复数z=（3+i）2（i为虚数单位），则|z|=|3+i||3+i|==10．故答案为：10．5．已知点A（﹣4，﹣5），B（6，﹣1），则以线段AB为直径的圆的方程为（x﹣1）2+（y+3）2=29 ．【考点】圆的标准方程．【分析】由点A和点B的坐标，利用中点坐标公式求出线段AB的中点C的坐标，因为线段AB为所求圆的直径，所以求出的中点C的坐标即为圆心坐标，然后由圆心C的坐标和点A 的坐标，利用两点间的距离公式求出|AC|的长即为圆的半径，根据圆心和半径写出圆的标准方程即可．【解答】解：由中点坐标公式得线段AB的中点坐标为C（1，﹣3），即圆心的坐标为C（1，﹣3）；，故所求圆的方程为：（x﹣1）2+（y+3）2=29．故答案为：（x﹣1）2+（y+3）2=29．6．设复数z（2﹣i）=11+7i（i为虚数单位），则z= 3+5i ．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】等式两边同乘2+i，然后化简，即可求出复数z．【解答】解：因为z（2﹣i）=11+7i（i为虚数单位），所以z（2﹣i）（2+i）=（11+7i）（2+i），即5z=15+25i，z=3+5i．故答案为：3+5i．7．若椭圆C的焦点和顶点分别是双曲线的顶点和焦点，则椭圆C的方程是．【考点】椭圆的标准方程；双曲线的简单性质．【分析】先确定双曲线的顶点和焦点坐标，可得椭圆C的焦点和顶点坐标，从而可得椭圆C 的方程【解答】解：双曲线的顶点和焦点坐标分别为（±，0）、（±3，0）∵椭圆C的焦点和顶点分别是双曲线的顶点和焦点，∴椭圆C的焦点和顶点坐标分别为（±，0）、（±3，0）∴a=3，c=∴∴椭圆C的方程是故答案为：8．一动点在圆x2+y2=1上移动时，它与定点B（3，0）连线的中点轨迹方程是x2+y2﹣3x+2=0 ．【考点】轨迹方程；中点坐标公式．【分析】设出中点坐标，利用中点坐标公式求出与之有关的圆上的动点坐标，将圆上的动点坐标代入圆的方程，求出中点轨迹方程．【解答】解：设中点坐标为（x，y），则圆上的动点坐标为（2x﹣3，2y）所以（2x﹣3）2+（2y）2=1即x2+y2﹣3x+2=0故答案为：x2+y2﹣3x+2=09．若复数z满足|z+3i|=5（i是虚数单位），则|z+4|的最大值= 10 ．【考点】复数求模．【分析】由复数模的几何意义可得复数z对应的点在以（0，﹣3）为圆心，以5为半径的圆周上，由此可得|z+4|的最大值是点（0，﹣3）与点（﹣4，0）的距离加上半径 5．【解答】解：由|z+3i|=5，所以复数z对应的点在以（0，﹣3）为圆心，以5为半径的圆周上，所以|z+4|的最大值是点（0，﹣3）与点（﹣4，0）的距离加上半径5，点（0，﹣3）与点（﹣4，0）的距离： =5．|z+4|的最大值：5+5=10故答案为：10．10．设F1和F2是双曲线﹣y2=1的两个焦点，点P在双曲线上，且满足∠F1PF2=90°，则△F1PF2的面积是 1 ．【考点】双曲线的应用；双曲线的简单性质．【分析】设|PF1|=x，|PF2|=y，根据根据双曲线性质可知x﹣y的值，再根据∠F1PF2=90°，求得x2+y2的值，进而根据2xy=x2+y2﹣（x﹣y）2求得xy，进而可求得△F1PF2的面积．【解答】解：设|PF1|=x，|PF2|=y，（x＞y）根据双曲线性质可知x﹣y=4，∵∠F1PF2=90°，∴x2+y2=20∴2xy=x2+y2﹣（x﹣y）2=4∴xy=2∴△F1PF2的面积为xy=1故答案为：1．11．已知抛物线型拱桥的顶点距离水面2米时，测量水的宽为8米，当水面上升米后，水面的宽度是4米．【考点】双曲线的标准方程．【分析】以拱顶为坐标原点，拱的对称轴为y轴，水平轴为x轴建立平面直角坐标系，设抛物线方程为：x2=ay，由x=4，y=﹣2，解得a=﹣8，由此能求出当水面上升米后，水面的宽度．【解答】解：以拱顶为坐标原点，拱的对称轴为y轴，水平轴为x轴建立平面直角坐标系，设抛物线方程为：x2=ay，由x=4，y=﹣2，解得a=﹣8，当水面上升米后，y=﹣2+=﹣，x2=（﹣8）•（﹣）=12．解得x=2，或x=﹣2，∴水面宽为4（米）．故答案为：4．12．已知圆x2+y2+2x﹣4y+a=0关于直线y=2x+b成轴对称，则a﹣b的取值X围是（﹣∞，1）．【考点】直线与圆相交的性质．【分析】求出圆的圆心，由题意圆心在直线上，求出a，b的关系，然后确定a﹣b的X围．【解答】解：圆的方程变为（x+1）2+（y﹣2）2=5﹣a，∴其圆心为（﹣1，2），且5﹣a＞0，即a＜5．又圆关于直线y=2x+b成轴对称，∴2=﹣2+b，∴b=4．∴a﹣b=a﹣4＜1．故答案为：（﹣∞，1）二、选择题（共4小题，每小题3分，满分12分）13．直线倾斜角的X围是（）A．（0，]B．[0，]C．[0，π） D．[0，π]【考点】直线的倾斜角．【分析】根据直线倾斜角的定义判断即可．【解答】解：直线倾斜角的X围是：[0，π），故选：C．14．平面内有两定点A、B及动点P，设命题甲：“|PA|+|PB|是定值”，命题乙：“点P的轨迹是以A、B为焦点的椭圆”，则甲是乙的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】结合椭圆的定义，利用充分条件和必要条件的定义进行判断．【解答】解：若点P的轨迹是以A、B为焦点的椭圆，则根据椭圆的定义可知动点P到两定点A，B的距离之和|PA|+|PB|=2a （a＞0，且a为常数）成立是定值．若动点P到两定点A，B的距离之和|PA|+|PB|=2a （a＞0，且a为常数），当2a≤|AB|，此时的轨迹不是椭圆．∴甲是乙的必要不充分条件．故选：B．15．若1+i是关于x的实系数方程x2+bx+c=0的一个复数根，则（）A．b=2，c=3 B．b=﹣2，c=3 C．b=﹣2，c=﹣1 D．b=2，c=﹣1【考点】复数相等的充要条件．【分析】由题意，将根代入实系数方程x2+bx+c=0整理后根据得数相等的充要条件得到关于实数a，b的方程组，解方程得出a，b的值即可选出正确选项【解答】解：由题意1+i是关于x的实系数方程x2+bx+c=0∴1+2i﹣2+b+bi+c=0∴，解得b=﹣2，c=3故选B16．对于抛物线C：y2=4x，我们称满足y02＜4x0的点M（x0，y0）在抛物线的内部．若点M（x0，y0）在抛物线内部，则直线l：y0y=2（x+x0）与曲线C （）A．恰有一个公共点B．恰有2个公共点C．可能有一个公共点，也可能有两个公共点D．没有公共点【考点】抛物线的简单性质．【分析】先把直线与抛物线方程联立消去y，进而根据y02＜4x0判断出判别式小于0进而判定直线与抛物线无交点．【解答】解：由y2=4x与y0y=2（x+x0）联立，消去x，得y2﹣2y0y+4x0=0，∴△=4y02﹣4×4x0=4（y02﹣4x0）．∵y02＜4x0，∴△＜0，直线和抛物线无公共点．故选D三、解答题（共5小题，满分52分）17．已知直线l平行于直线3x+4y﹣7=0，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为24，求直线l的方程．【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系．【分析】设直线l的方程为：3x+4y+m=0，分别令x=0，解得y=﹣；y=0，x=﹣．利用l 与两坐标轴围成的三角形的面积为24，可得=24，解得m即可．【解答】解：设直线l的方程为：3x+4y+m=0，分别令x=0，解得y=﹣；y=0，x=﹣．∵l与两坐标轴围成的三角形的面积为24，∴=24，解得m=±24．∴直线l的方程为3x+4y±24=0．18．设复数z满足|z|=1，且（3+4i）•z是纯虚数，求．【考点】复数的基本概念；复数求模．【分析】设出复数z，|z|=1可得一个方程，化简（3+4i）•z是纯虚数，又得到一个方程，求得z，然后求．【解答】解：设z=a+bi，（a，b∈R），由|z|=1得；（3+4i）•z=（3+4i）（a+bi）=3a﹣4b+（4a+3b）i是纯虚数，则3a﹣4b=0，，．19．已知圆C和y轴相切，圆心在直线x﹣3y=0上，且被直线y=x截得的弦长为，求圆C的方程．【考点】圆的标准方程；直线与圆的位置关系．【分析】由圆心在直线x﹣3y=0上，设出圆心坐标，再根据圆与y轴相切，得到圆心到y轴的距离即圆心横坐标的绝对值等于圆的半径，表示出半径r，然后过圆心作出弦的垂线，根据垂径定理得到垂足为弦的中点，利用点到直线的距离公式求出圆心到直线y=x的距离d，由弦长的一半，圆的半径r及表示出的d利用勾股定理列出关于t的方程，求出方程的解得到t的值，从而得到圆心坐标和半径，根据圆心和半径写出圆的方程即可．【解答】解：设圆心为（3t，t），半径为r=|3t|，则圆心到直线y=x的距离d==|t|，由勾股定理及垂径定理得：（）2=r2﹣d2，即9t2﹣2t2=7，解得：t=±1，∴圆心坐标为（3，1），半径为3；圆心坐标为（﹣3，﹣1），半径为3，则（x﹣3）2+（y﹣1）2=9或（x+3）2+（y+1）2=9．20．已知F1，F2为椭圆C： +=1（a＞b＞0）的左右焦点，O是坐标原点，过F2作垂直于x轴的直线MF2交椭圆于M，设|MF2|=d．（1）证明：b2=ad；（2）若M的坐标为（，1），求椭圆C的方程．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）x=c代入椭圆方程求得y，进而求得d，可知d×a=b2，原式得证；（2）由M坐标可得c，再把M再把代入椭圆方程求得a和b的关系，结合隐含条件得到a 和b的方程组，求得a，b，则椭圆的方程可求．【解答】（1）证明：把x=c代入椭圆方程： +=1，得，则d=|y|=，∴d×a=b2，即b2=ad；（2）解：∵M的坐标为（，1），∴c=，则，解得b2=2，a2=4．故椭圆的方程为．21．已知双曲线C1：．（1）求与双曲线C1有相同焦点，且过点P（4，）的双曲线C2的标准方程；（2）直线l：y=x+m分别交双曲线C1的两条渐近线于A、B两点．当•=3时，某某数m 的值．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；双曲线的标准方程．【分析】（1）先确定双曲线C1：的焦点坐标，根据双曲线C2与双曲线C1有相同焦点，且过点P（4，），建立方程组，从而可求双曲线C2的标准方程；（2）直线方程与双曲线C1的两条渐近线联立，求出A、B两点的坐标用坐标，利用数量积，即可求得实数m的值．【解答】解：（1）∵双曲线C1：，∴焦点坐标为（，0），（，0）设双曲线C2的标准方程为（a＞0，b＞0），∵双曲线C2与双曲线C1有相同焦点，且过点P（4，）∴，解得∴双曲线C2的标准方程为（2）双曲线C1的两条渐近线为y=2x，y=﹣2x由，可得x=m，y=2m，∴A（m，2m）由，可得x=﹣m，y=m，∴B（﹣m， m）∴∵∴m2=3∴。
2020-2021学年上海市浦东新区高二下学期期中数学试卷(含答案解析)
2020-2021学年上海市浦东新区高二下学期期中数学试卷一、单选题（本大题共4小题，共12.0分）1.抛物线y2=12x的准线与双曲线x24−y212=1的两条渐近线围成的三角形的面积为()A. 6B. 6√3C. 9D. 9√32.阿基米德是古希腊数学家，他利用“逼近法”算出椭圆面积等于圆周率、椭圆的长半轴长、短半轴长三者的乘积．据此得某椭圆面积为6√2π，且两焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的标准方程可以为()A. x236+y22=1 B. x218+y216=1 C. x212+y26=1 D. x29+y28=13.椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的四个顶点按逆时针排列顺序依次为A，B，C，D，若四边形ABCD的内切圆恰好过焦点，则椭圆的离心率为()A. 3−√52B. 3+√58C. √5−12D. 1+√584.已知双曲线mx2−ny2=1(m>0,n>0)的离心率为2，则mn的值为()A. √33B. √3 C. 3 D. 13二、单空题（本大题共11小题，共33.0分）5.设i是虚数单位，则复数i−1+i的虚部是______．6.已知复数z1满足(z1−2)(1+i)=1−i(i为虚数单位)，复数z2的虚部为2，且z1⋅z2是实数．则z2=______．7.若复数z=a−2+ai(a∈R)为纯虚数，则|a+i|=______ ．8.设点P在直线y=2x+1上运动，过点P作圆C：(x−2)2+y2=1的切线，切点为A，则△CAP面积的最小值是______．9.若a1−i=1−bi，其中a，b都是实数，i是虚数单位，则a+b=______．10.若复数(1+ai)2(i为虚数单位，a∈R)是纯虚数，则复数的模是______ ．11.已知动点到点的距离等于它到直线的距离，则点的轨迹方程是．12.已知圆x2+y2−6x−7=0与抛物线y2=2px(p>0)的准线相切，则p=__________．13.设i是虚数单位，复数为纯虚数，则实数a为________程序框图如图所示，若，输入，则输出结果为______________已知，则=__________________已知双曲线G：与抛物线H：在第一象限相交于点A，且有相同的焦点F，轴，则双曲线G的离心率是．14.能说明“若m(n+2)≠0，则方程x2m +y2n+2=1表示的曲线为椭圆或双曲线”是错误的一组m，n的值是______．15.设抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点为F，点M在C上，|MF|=5，若以MF为直径的圆过点(0,2)，则p的值为______ ．三、解答题（本大题共6小题，共55.0分）16.已知点A(2,3)，B(−5,2)，若直线l过点P(−1,6)，且与线段AB不相交，求直线l的斜率的取值范围．17.已知ω=z+i(i∈C)，z−2是纯虚数，又|ω+1|2+|ω−1|2=16，求ω．z+218..已知双曲线的中心在原点，对称轴为坐标轴，一条渐近线方程为，右焦点，双曲线的实轴为，为双曲线上一点(不同于)，直线，分别与直线交于两点(1)求双曲线的方程；(2)是否为定值，若为定值，求出该值；若不为定值，说明理由。
2015～2016学年第一学期初一数学期中考试试卷及答案
2015～2016学年第一学期初一数学期中考试试卷(考试时间：90分钟 满分：100分) 一、细心选一选 (每小题3分，共24分)1．下面的计算正确的是 ( )A ．6a －5a =1B ．a + 2a 2 =3a 3C ．－(a －b ) =－a + bD ．2(a + b ) =2a + b 2．在(－1)3，(－1)2012，－22，(－3)2这四个数中，最大的数与最小的数的差等于 ( ) A ．10 B ．8 C ．5 D ．13 3．下列各组代数式中，是同类项的是 ( )A ．5x 2 y 与15xy B ．－522 y 与15yx 2 C ．5ax 2与15yx 2 D ．83与x 34．给出下列判断：①单项式5×103x 2的系数是5；②x －2xy + y 是二次三项式；③多项式－3a 2 b +7a 2b 2－2ab +1的次数是9；④几个有理数相乘，当负因数有奇数个时，积为负．其中判断正确的是( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个5．有理数a ，b ，c 在数轴上的位置如图所示， 则a c ++c b -－b a += ( )A ．－2bB ．0C ．2cD ．2c －2b 6．若m =3，n =5且m －n >0，则m + n 的值是 ( )A ．－2B ．－8或－2C ．－8或8D ．8或－27．上等米每千克售价为x 元，次等米每千克售价为y 元，取上等米a 千克和次等米b 千克，混合后的大米每千克售价为 ( ) A ．a b x y++ B ．ax by ab+ C ．ax by a b++ D ．2x y +8．观察图中每一个正方形各顶点所标数字的规律，2 012应标在 ( )A ．第502个正方形左上角顶点处B ．第502个正方形右上角顶点处C ．第503个正方形左上角顶点处D ．第503个正方形右上角顶点处二、认真填一填 (每小题2分，共20分)9．－23的倒数为 ；绝对值等于3的数是 ．10．钓鱼岛是钓鱼岛列岛的主岛，是中国固有领土，位于中国东海，面积4 384 000 m 2，将这个数据用科学记数法可表示为 m 2． 11．比较大小，用“<”“>”或“一”连接：(1) －34-－(－23) (2) －3．14 －π-12．已知4x 2m y m+n 与3x 6 y 2是同类项，则m －n = ．13．数轴上与表示－2的点距离3个长度单位的点所表示的数是 ． 14．已知代数式x －2y 的值是12，则代数式－2x + 4y －1的值是 ．15·若a ，b 互为相反数，c ，d 互为倒数，m 到原点的距离为2，则代数式m —cd +a b m+的值为 ．16．定义新运算“⊗”，规定：a ⊗b =13a －4b ，则12⊗(－1) = ．17．如图是一个简单的数值运算程序，当输入n 的值为3时，则输出的结果为 ．18．观察表一，寻找规律．表二，表三，表四分别是从表一中截取的一部分，其中a + b + c的值为 ．三、耐心解一解 (共56分)19．计算：(每小题3分，共12分)(1) －10－(－16)+(－24)； (2) 5÷(－35)×53(3) －22×7－(－3)×6+5 (4) (113+18－2．75)×(－24)+(－1)2014+(－3)3．20．化简：(每小题3分，共6分)(1) 2x +(5x －3y )一(3x + y )； (2) 3(4x 2－3x +2)－2(1－4x 2－x )．21．(5分) 将－2．5，12，2，－2，－(－3)，0在数轴上表示出来，并用“<”号把它们连接起来．22．(5分) 已知多项式A，B，其中A=x2－2x + 1，小马在计算A+B时，由于粗心把A+B看成了A－B求得结果为－3x2－2x－1，请你帮小马算出A+B的正确结果．23．(本题满分8分)“十一”国庆期间，俄罗斯特技飞行队在黄山湖公园特技表演，其中一架飞机起飞后的高度变化如左下表：(1) 此时这架飞机比起飞点高了多少千米?(2) 如果飞机每上升或下降1千米需消耗2升燃油，那么这架飞机在这4个动作表演过程中，一共消耗了多少升燃油?(3) 如果飞机做特技表演时，有4个规定动作，起飞后高度变化如下：上升3．8千米，下降2．9千米，再上升1．6千米．若要使飞机最终比起飞点高出1千米，问第4个动作是上升还是下降，上升或下降多少千米?24．(10分) 在边长为1的小正方形组成的网格中，把一个点先沿水平方向平移a格(当a 为正数时，表示向右平移；当a为负数时，表示向左平移)，再沿竖直方向平移b格(当b为正数时，表示向上平移；当b为负数时，表示向下平移)，得到一个新的点，我们把这个过程记为(a，b)．例如，从A到B记为：A→B (+1，+3)；从C到D记为：C→D (+1，－2)．回答下列问题：(1) 如图1，若点A的运动路线为：A→B→C→A，请计算点A运动过的总路程．(2) 若点A运动的路线依次为：A→M(+2，+3)，M→N (+1，－1)，N→P(－2，+2)，P→Q(+4，－4)．请你依次在图2上标出点M，N，P，Q的位置．(3) 在图2中，若点A经过(m，n)得到点E，点E再经过(p，q)后得到Q，则m与p满足的数量关系是；n与q满足的数量关系是．25．(10分) 如图：在数轴上A点表示数a，B点示数b，C点表示数c，b是最小的正整数，a +(c－7)2=0．且a，b满足2(1) a=，b=，c=．(2) 若将数轴折叠，使得A点与C点重合，则点B与数表示的点重合．(3) 点A，B，C开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒2个单位长度和4个单位长度的速度向右运动，假设t 秒钟过后，若点A与点B之间的距离表示为AB，点A与点C之间的距离表示为AC，点B与点C之间的距离表示为BC．则AB=，AC=，BC=．(用含t的代数式表示)(4) 请问：3BC－2AB的值是否随着时间t的变化而改变? 若变化，请说明理由；若不变，请求其值．2015～2016学年第一学期初一数学期中考试试卷参考答案1．C 2．D 3．B 4．A 5．B 6．B 7．C 8．C 9．－323或－310．4．384×10611．< > 12．4 13．－5，1 14．－2 15． 1 16．8 17．3018．76 19．(1) －18 (2) －1259 (3) －5 (4) 5 20．(1) 4x －4y (2) 20x 2－7x + 421．画图略，－2．5<－2-<0<12<2<－(－3) 22．B =4x 2 + 2 A +B =5x 2－2x + 323．解：(1) +4．4+(－3．2)+1．1+(－1．5) =0．8(km) 答：这架飞机比起飞点高了0．8千米 (2) 2×( 4.4++ 3.2-+ 1.1++ 1.5-=20．4(升)，答：4个动作表演完，一共消耗20．5升燃油． (3) 3．8－2．9+1．6－1=1．5， 答：第4个动作下降1．5千米． 24．(1) 1+3+2+1+3+4=14 (2)(3) m + p =5，n + q =0 25．(1) a =2，b =1，c =7 (2) 4 (3) AB =3t + 3，AC =5t + 9，BC =2t + 6 (4) 不变，始终为12．。
2021-2022学年上海市浦东新区高二(上)期中数学试卷(解析版)
2021-2022学年上海市浦东新区高二（上）期中数学试卷一、填空题（共有12个小题，每小题3分，满分36分）1．公理2：不在同一直线上的点确定一个平面．2．直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线与一个平面上的直线都垂直，那么此直线与该平面垂直．3．三垂线定理：平面上的一条直线和这个平面的一条斜线垂直的充要条件是它和这条斜线在垂直．4．一个球的半径为3，则它的体积是．5．一个圆柱的底面半径为3cm，高为4cm，则它的侧面积为cm2．6．已知斜线段的长度是斜线段在这个平面内射影的长的两倍，则这条斜线和这个平面所成的角的大小为．7．一个正四棱柱底面边长为1，高为2，则它的表面积是．8．如图是一个正方体的平面展开图，在这个正方体中，下列说法中，正确的序号是．①直线AF与直线DE相交；②直线CH与直线DE平行；③直线BG与直线DE是异面直线；④直线CH与直线BG成60°角．9．若空间三条直线a⊥c，b⊥c，则a，b的位置关系是．10．在正方体ABCD−A1B1C1D1中，平面A1BCD1与平面ABCD所成的锐二面角的大小是．11．在长方体的12条棱之中，我们把两条异面的棱称为“一对”，则12条棱中，共有对异面直线．12．平面内两直线有三种位置关系：相交，平行与重合．已知两个相交平面α，β与两直线l1，l2，又知l1，l2在α内的射影为s1，s2，在β内的射影为t1，t2．试写出s1，s2与t1，t2满足的条件，使之一定能成为l1，l2是异面直线的充分条件．二、单项选择题（本题共有4个小题，每小题3分，满分12分）13．两条直线没有公共点是两条直线平行的（）条件A．充分非必要B．必有非充分C．充要D．非充分非必要14．下列命题：（1）若空间四点共面，则其中必有三点共线；（2）若空间有三点共线，则此四点必共面；（3）若空间四点中任意三点不共线，则此四点不共面；（4）若空间四点不共面，则其中任意三点不共线．其中正确的命题有（）个．A．0B．1C．2D．315．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别为BC、BB1的中点，则下列直线中与直线EF相交的是（）A．直线AA1B．直线A1B1C．直线A1D1D．直线B1C116．一个平行于圆锥（其底面半径和母线均为定值）底面的平面将圆锥分成上、下两部分，设圆锥所分的上、下两部分的侧面积分别为x，y，则函数y＝f（x）的图像大致是（）A．B．C．D．三、解答题（本题共有6个大题，总分52分）17．在水平放置的平面上有一个边长为6cm的等边△ABC，请在平面α上画出其直观图，并写出简要作法．18．一张A4纸的规格为：21cm×29.7cm，把它作为一个圆柱的侧面，求卷成的圆柱体的体积．（精确到0.0001cm3）19．已知P是矩形ABCD所在平面外一点，M，N分别是AB，PC的中点，求证：MN∥平面PAD．20．在三棱锥P−ABC中，M，N分别是PA，BC的中点，已知AC＝PB＝2，MN＝，求异面直线AC，PB所成角的大小．21．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中（如图），AD＝AA1＝1，AB＝2，点E是棱AB的中点．（1）求异面直线AD1与EC所成角的大小；（2）《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，试问四面体D1CDE 是否为鳖臑？并说明理由．22．某甜品店制作蛋筒冰淇淋，其上半部分呈半球形，下半部分呈圆锥形（如图）．现把半径为10cm的圆形蛋皮分成5个扇形，用一个扇形蛋皮围成锥形侧面（蛋皮厚度忽略不计），求该蛋筒冰淇淋的表面积和体积（精确到0.01）．参考答案一、填空题（本题共有12个小题，每小题3分，满分36分）1．公理2：不在同一直线上的三点确定一个平面．【分析】证明三个点不共线即可确定两条相交直线，即可确定一个平面．解：取A，B，C三点，任两点可以组成一条直线，例如直线AB和BC相交于B点，两条相交直线可以确定一个平面．所以不在同一条直线上的三点可以确定一个平面．故答案为：三．2．直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线与一个平面上的两条相交直线都垂直，那么此直线与该平面垂直．【分析】由直线与平面垂直的判定定理即可得解．解：由直线与平面垂直的判定定理可知：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面．故答案为：两条相交．3．三垂线定理：平面上的一条直线和这个平面的一条斜线垂直的充要条件是它和这条斜线在平面上的射影垂直．【分析】利用三垂线定理和三垂线定理的逆定理直接求解．解：三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直；三垂线定理的逆定理：如果平面内一条直线和穿过该平面的一条斜线垂直，那么这条直线也垂直于这条斜线在平面内的射影．∴平面上的一条直线和这个平面的一条斜线垂直的充要条件是它和这条斜线在平面上的射影垂直．故答案为：平面上的射影．4．一个球的半径为3，则它的体积是36π．【分析】直接利用球的体积公式求解即可．解：球的半径为3，则它的体积为V＝＝36π．故答案为：36π．5．一个圆柱的底面半径为3cm，高为4cm，则它的侧面积为24πcm2．【分析】利用圆柱的侧面积展开图为长方形，求解即可．解：因为圆柱的底面半径为3cm，高为4cm，所以它的侧面积为2π×3×4＝24π．故答案为：24π．6．已知斜线段的长度是斜线段在这个平面内射影的长的两倍，则这条斜线和这个平面所成的角的大小为．【分析】根据线面角的定义，可得AB与平面α所成的角的余弦值为，从而可求AB与平面α所成的角．解：根据线面角的定义，可得AB与平面α所成的角的余弦值为，∵α∈[0，π]，∴α＝．故答案为：．7．一个正四棱柱底面边长为1，高为2，则它的表面积是10．【分析】利用正四棱柱的表面积公式求解即可．解：因为正四棱柱底面边长为1，高为2，所以它的表面积S＝2×12+4×1×2＝10．故答案为：10．8．如图是一个正方体的平面展开图，在这个正方体中，下列说法中，正确的序号是③④．①直线AF与直线DE相交；②直线CH与直线DE平行；③直线BG与直线DE是异面直线；④直线CH与直线BG成60°角．【分析】将正方体的展开图还原为正方体后，即可得到所求正确结论．解：如图所示，原正方体为：在这个正方体中：①直线AF与直线DE异面直线，因此不正确；②直线CH与直线DE异面直线，因此不正确；③直线BG与直线DE是异面直线，因此正确；④连接BE，EG，则BE∥CH，△BEG为等边三角形，∴BE与BG成60°角，因此CH与BG成60°角，因此正确；以上四个命题中，正确的是③④．故答案为：③④．9．若空间三条直线a⊥c，b⊥c，则a，b的位置关系是平行或相交或异面．【分析】画出图形，在直三棱柱ABC﹣DEF中，列举对应情况，可得出结论．解：如图，直三棱柱ABC﹣DEF中，侧棱BE⊥底面DEF，BE⊥BC，BE⊥EF，BC∥EF，BE⊥DE，BE⊥EF，DE⋂EF＝E，BE⊥DE，BE⊥BC，DE，BC异面，所以，空间中的三条直线a，b，c满足a⊥c且b⊥c，则直线a与直线b的位置关系是平行或相交或异面．故答案为：平行或相交或异面．10．在正方体ABCD−A1B1C1D1中，平面A1BCD1与平面ABCD所成的锐二面角的大小是．【分析】画出图形，找出二面角的平面角，求解即可．解：由题意正方体的图形如图：因为A1B⊂平面AA1B1B，BC⊥平面AA1B1B，所以∠A1BA是所求二面角的平面角，可得∠A1BA＝．故答案为：．11．在长方体的12条棱之中，我们把两条异面的棱称为“一对”，则12条棱中，共有24对异面直线．【分析】画出正方体，查出一条棱的异面直线的对数为4，用正方体的棱数乘以4再乘以得答案．解：如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，与棱AB异面的有CC1，DD1，B1C1，A1D1共4对，正方体ABCD﹣A1B1C1D1有12条棱，排除两棱的重复计算，∴异面直线共有12×4×＝24对．故答案为：24．12．平面内两直线有三种位置关系：相交，平行与重合．已知两个相交平面α，β与两直线l1，l2，又知l1，l2在α内的射影为s1，s2，在β内的射影为t1，t2．试写出s1，s2与t1，t2满足的条件，使之一定能成为l1，l2是异面直线的充分条件s1∥s2，并且t1与t2相交（t1∥t2，并且s1与s2相交）．【分析】当两直线在一个平面内的射影是两条平行线，在另一个相交面内的射影是两条相交直线时，这两条直线一定是异面直线．解：两个相交平面α，β，当两直线在平面α内的射影是两条平行线，在平面β内的射影是两条相交直线时，这两直线是异面直线．当两直线在平面α内的射影是两条相交直线，在平面β内的射影是两条平行线时，这两直线也是异面直线．故“能成为l1，l2是异面直线的充分条件”的是“s1∥s2，并且t1与t2相交”或“t1∥t2，并且s1与s2相交”．故答案为：s1∥s2，并且t1与t2相交，或t1∥t2，并且s1与s2相交．二、单项选择题（本题共有4个小题，每小题3分，满分12分）13．两条直线没有公共点是两条直线平行的（）条件A．充分非必要B．必有非充分C．充要D．非充分非必要【分析】根据充分必要条件的定义以及两直线的位置关系判断即可．解：①由两条直线没有公共点，得两条直线为异面直线或两直线平行，不是充分条件，②由两条直线平行，得两条直线没有公共点，是必要条件，故选：B．14．下列命题：（1）若空间四点共面，则其中必有三点共线；（2）若空间有三点共线，则此四点必共面；（3）若空间四点中任意三点不共线，则此四点不共面；（4）若空间四点不共面，则其中任意三点不共线．其中正确的命题有（）个．A．0B．1C．2D．3【分析】对四个命题利用空间四个点的位置关系分别分析解答．解：对于（1），空间四点共面，如平面四边形，其中任何三点不共线；故（1）错误；对于（2），空间四点中有三点共线，根据不共线的三点确定一个平面，得到此四点必共面；故（2）正确；对于（3），空间四点中任何三点不共线，则此四点可能共面，如平面四边形；故（3）错误；对于（4），空间四点不共面，如果任意三点有共线的，那么此四个点就共面，与已知矛盾．故（4）正确；故（2）（4）正确，故选：C．15．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别为BC、BB1的中点，则下列直线中与直线EF相交的是（）A．直线AA1B．直线A1B1C．直线A1D1D．直线B1C1【分析】根据异面直线的定义便可判断选项A，B，C的直线都和直线EF异面，而由图形即可看出直线B1C1和直线相交，从而便可得出正确选项．解：根据异面直线的概念可看出直线AA1，A1B1，A1D1都和直线EF为异面直线；B1C1和EF在同一平面内，且这两直线不平行；∴直线B1C1和直线EF相交，即选项D正确．故选：D．16．一个平行于圆锥（其底面半径和母线均为定值）底面的平面将圆锥分成上、下两部分，设圆锥所分的上、下两部分的侧面积分别为x，y，则函数y＝f（x）的图像大致是（）A．B．C．D．【分析】设圆锥的侧面积为S，由题意可得x+y＝S，即可得到y＝f（x）的解析式，由此判断函数的图像即可．解：由题意，一个平行于圆锥（其底面半径和母线均为定值）底面的平面将圆锥分成上、下两部分，因为圆锥所分的上、下两部分的侧面积分别为x，y，设圆锥的侧面积为S，则x+y＝S，所以y＝﹣x+S，即f（x）＝﹣x+S，则f（x）为单调递减的直线．故选：B．三、解答题（本题共有6个大题，总分52分）17．在水平放置的平面上有一个边长为6cm的等边△ABC，请在平面α上画出其直观图，并写出简要作法．【分析】利用斜二测画法的规则作出图形即可．解：作图如图所示：作法：在平面α内作坐标系x'O'y'，使得∠x'O'y'＝45°，在x'轴上取A'B'＝6cm，且O'为A'B'的中点，在y'轴上取O'C'＝OC，连接A'C'，B'C'，则△A'B'C'为△ABC的直观图．18．一张A4纸的规格为：21cm×29.7cm，把它作为一个圆柱的侧面，求卷成的圆柱体的体积．（精确到0.0001cm3）【分析】分别以21cm的边为高和以29.7cm的边为高卷成圆柱体，由底面周长求出底面半径，利用圆柱的体积公式求解即可．解：①如果以21cm的边为高卷成圆柱体，设此时圆柱体的底面半径为r，则2πr＝29.7，解得r＝，所以圆柱的体积为1474.0843（cm3）；②如果以29.7cm的边为高卷成圆柱体，设此时圆柱体的底面半径为R，则2πR＝21，解得，所以圆柱体的体积为1042.2818（cm3）．综上所述，卷成的圆柱体的体积为1474.0843（cm3）或1042.2818（cm3）．19．已知P是矩形ABCD所在平面外一点，M，N分别是AB，PC的中点，求证：MN∥平面PAD．【分析】由线面平行的判定定理可得．【解答】证明：取DC中点H，联结HM，HN，因为H是DC中点，N是PC中点，所以HN∥DP，同理，得HM∥DA，故平面HNM∥平面PAD，∵MN⊂平面HNM，∴MN∥平面PAD．20．在三棱锥P−ABC中，M，N分别是PA，BC的中点，已知AC＝PB＝2，MN＝，求异面直线AC，PB所成角的大小．【分析】取AB中点Q，连接QM．QN，∠MQN就是异面直线AC、PB所成的角或其补角，通过解三角形求解即可．解：取AB（或PC）中点Q，连接QM．QN，Q是AB中点，N是BC中点，⇒QN∥AC，QN＝三AC＝1，同理，可得QM∥BP，QM＝PB＝1，所以∠MQN就是异面直线AC、PB所成的角或其补角，在△MQN中，QM＝QN＝1，MN＝，cos∠MQN＝，∠MQN＝120°，∴异面直线AC，PB所成的角的大小为60°．21．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中（如图），AD＝AA1＝1，AB＝2，点E是棱AB的中点．（1）求异面直线AD1与EC所成角的大小；（2）《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，试问四面体D1CDE 是否为鳖臑？并说明理由．【分析】（1）取CD中点F，连接AF，则AF∥EC，即∠D1AF为异面直线AD1与EC 所成角，解三角形可得△AD1F为等边三角形，从而得到异面直线AD1与EC所成角的大小；（2）证明DE⊥CE，进一步得到D1E⊥CE，可知四面体D1CDE是鳖臑．解：（1）取CD中点F，连接AF，则AF∥EC，∴∠D1AF为异面直线AD1与EC所成角．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，由AD＝AA1＝1，AB＝2，得，AF＝，，∴△AD1F为等边三角形，则．∴异面直线AD1与EC所成角的大小为；（2）连接DE，∵E为AB的中点，∴DE＝EC＝，又CD＝2，∴DE2+CE2＝DC2，得DE⊥CE．∵D1D⊥底面DEC，则D1D⊥CE，∴CE⊥平面D1DE，得D1E⊥CE．∴四面体D1CDE的四个面都是直角三角形，故四面体D1CDE是鳖臑．22．某甜品店制作蛋筒冰淇淋，其上半部分呈半球形，下半部分呈圆锥形（如图）．现把半径为10cm的圆形蛋皮分成5个扇形，用一个扇形蛋皮围成锥形侧面（蛋皮厚度忽略不计），求该蛋筒冰淇淋的表面积和体积（精确到0.01）．【分析】设出蛋筒冰淇淋的底面半径和高，由圆形蛋皮的周长等于5倍圆锥的底面周长求得圆锥底面半径，进一步求出圆锥的高，然后直接利用表面积公式和体积公式求解．解：设圆锥的底面半径为r，高为h．因为，所以r＝2．则．则圆锥的表面积S＝．体积V＝．故该蛋筒冰淇淋的表面积约为87.96cm2，体积约为57.80cm3．。
2018-2019学年上海市浦东新区华师大二附中高二(下)期中数学试卷
2018-2019学年上海市浦东新区华师大二附中高二（下）期中数学试卷一、填空题：1．（3分）设a，b是平面M外两条直线，且a∥M，那么a∥b是b∥M的条件．2．（3分）已知直线a，b及平面α，下列命题中：①；②；③；④．正确命题的序号为（注：把你认为正确的序号都填上）．3．（3分）地球北纬45°圈上有A，B两地分别在东经80°和170°处，若地球半径为R，则A，B两地的球面距离为．4．（3分）如果一个球和立方体的每条棱都相切，那么称这个球为立方体的棱切球，那么单位立方体的棱切球的体积是．5．（3分）若三棱锥S﹣ABC的所有的顶点都在球O的球面上．SA⊥平面ABC．SA＝AB＝2，AC＝4，∠BAC＝，则球O的表面积为．6．（3分）如图所示，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是边长为a的正方形，侧棱P A＝a，PB＝PD＝a，则它的5个面中，互相垂直的面有对．7．（3分）如图由一个边长为2的正方形及四个正三角形构成，将4个正三角形沿着其与正方形的公共边折起后形成的四棱锥的体积为．8．（3分）有一块多边形的菜地，它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形（如图），∠ABC＝45°，AB＝AD＝1，DC⊥BC，则这块菜地的面积为．9．（3分）四面体的6条棱所对应的6个二面角中，钝二面角最多有个．10．（3分）在平面中△ABC的角C的内角平分线CE分△ABC面积所成的比＝，将这个结论类比到空间：在三棱锥A﹣BCD中，平面DEC平分二面角A﹣CD﹣B且与AB交于E，则类比的结论为．二、选择题：11．（3分）当我们停放自行车时，只要将自行车旁的撑脚放下，自行车就稳了，这用到了（）A．三点确定一平面B．不共线三点确定一平面C．两条相交直线确定一平面D．两条平行直线确定一平面12．（3分）正方体被平面所截得的图形不可能是（）A．正三角形B．正方形C．正五边形D．正六边形13．（3分）如图正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，线段B1D1上有两个动点E、F，且EF＝，则下列结论中错误的是（）A．AC⊥BEB．EF∥平面ABCDC．三棱锥A﹣BEF的体积为定值D．△AEF的面积与△BEF的面积相等14．（3分）由一些单位立方体构成的几何图形，主视图和左视图如图所示，则这样的几何体体积的最小值是（）（每个方格边长为1）A．5B．6C．7D．8三、解答题：15．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别是BC，A1D1的中点．求证：空间四边形B1EDF 是菱形．16．在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，（如图）E是棱C1D1的中点，F是侧面AA1D1D 的中心．（1）求三棱锥A1﹣D1EF的体积；（2）求异面直线A1E与AB的夹角；（3）求EF与底面A1B1C1D1所成的角的大小．（结果用反三角函数表示）17．如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1＝2AB，N是CC1的中点，M是线段AB1上的动点，且AM＝λAB1．（1）若，求证：MN⊥AA1；（2）求二面角B1﹣AB﹣N的余弦值；（3）若直线N与平面ABN所成角的大小为θ，求sinθ的最大值．18．平面图形很多可以推广到空间中去，例如正三角形可以推广到正四面体，圆可以推广到球，平行四边形可以推广到平行六面体，直角三角形也可以推广到直角四面体，如果四面体ABCD中棱AB，AC，AD两两垂直，那么称四面体ABCD为直角四面体．请类比直角三角形中的性质给出2个直角四面体中的性质，并给出证明．（请在结论1～3中选择1个，结论4，5中选择1个，写出它们在直角四面体中的类似结论，并给出证明，多选不得分，其中h表示斜边上的高，r，R分别表示内切圆与外接圆的半径）直角三角形ABC直角四面体ABCD 条件AB⊥AC AB⊥AC，AB⊥AD，AC⊥AD结论1AB2+AC2＝BC2结论2sin2B+sin2C＝1结论3＝结论4＝结论5（2R）2＝（AB2+BC2+CA2）2018-2019学年上海市浦东新区华师大二附中高二（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：1．（3分）设a，b是平面M外两条直线，且a∥M，那么a∥b是b∥M的充分不必要条件．【分析】判断由a∥b能否得到b∥M，再判断由b∥M能否得到a∥b即可．【解答】解：证明充分性：若a∥b，结合a∥M，且b在平面M外，可得b∥M，是充分条件；证明必要性：若b∥M，结合a∥M，且a，b是平面M外，则a，b可以平行，也可以相交或者异面，所以不是必要条件．故a∥b是b∥M的“充分不必要”故答案为：充分不必要．【点评】本题考查空间线面平行，线线平行之间的关系，充分条件和必要条件，属于简单题．2．（3分）已知直线a，b及平面α，下列命题中：①；②；③；④．正确命题的序号为④（注：把你认为正确的序号都填上）．【分析】对于四个选项一一进行判断，不成立可列举反例验证说明．【解答】解：对于①若b⊥α，a⊥b，则a?α或a∥α；对于②，a⊥b，b∥α则a也可与α平行；对于③a?α时，不成立；对于④，根据两条平行线中有一条垂直于平面，则另一条也垂直于平面，故正确故答案为④．【点评】本题的考点是平面的基本性质及推论，主要考查线、面的位置关系，注意掌握反例排除．3．（3分）地球北纬45°圈上有A，B两地分别在东经80°和170°处，若地球半径为R，则A，B两地的球面距离为R．【分析】由于甲、乙两地在同一纬度圈上，计算经度差，求出甲、乙两地对应的AB弦长，以及球心角，然后求出球面距离．【解答】解：地球表面上从A地（北纬45°，东经80°）到B地（北纬45°，西经170°），A，B两地都在北纬45°上，对应的纬圆半径是，经度差是90°．∴AB＝R，得球心角是．∴A，B两地的球面距离是．故答案为：．【点评】本题考查球面距离及其他计算，考查空间想象能力，是基础题．4．（3分）如果一个球和立方体的每条棱都相切，那么称这个球为立方体的棱切球，那么单位立方体的棱切球的体积是．【分析】由题意画出图形，求得球的半径，再计算体积得答案．【解答】解：球和立方体的每条棱都相切，则球的直径为立方体的面对角线长度，∴单位立方体的棱切球的半径为，则球的体积为．故答案为：．【点评】本题考查空间想象能力，球的体积计算，是基础题．5．（3分）若三棱锥S﹣ABC的所有的顶点都在球O的球面上．SA⊥平面ABC．SA＝AB＝2，AC＝4，∠BAC＝，则球O的表面积为20π．【分析】由余弦定理求出BC＝2，利用正弦定理得∠ABC＝90°．从而△ABC截球O 所得的圆O′的半径r＝AC＝2，进而能求出球O的半径R，由此能求出球O的表面积．【解答】解：如图，三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的球面上，∵SA⊥平面ABC．SA＝AB＝2，AC＝4，∠BAC＝，∴BC＝＝2，∴AC2＝BC2+AB2，∴∠ABC＝90°．∴△ABC截球O所得的圆O′的半径r＝AC＝2，∴球O的半径R＝＝，∴球O的表面积S＝4πR2＝20π．故答案为：20π．【点评】本题考查三棱锥、球、勾股定理等基础知识，考查抽象概括能力、数据处理能力、运算求解能力，考查应用意识、创新意识，考查化归与转化思想、分类与整合思想、数形结合思想，是中档题．6．（3分）如图所示，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是边长为a的正方形，侧棱P A＝a，PB＝PD＝a，则它的5个面中，互相垂直的面有5对．【分析】先找出直线平面的垂线，然后一一列举出互相垂直的平面即可．【解答】解：底面ABCD是边长为a的正方形，侧棱PA＝a，PB＝PD＝a，可得PA ⊥底面ABCDP A?平面P AB，P A?平面P AD，可得：面P AB⊥面ABCD，面P AD⊥面ABCD，AB⊥面P AD，可得：面P AB⊥面PAD，BC⊥面P AB，可得：面P AB⊥面PBC，CD⊥面PAD，可得：面P AD⊥面PCD；故答案为：5【点评】本题考查平面与平面垂直的判定，考查棱锥的结构，是基础题．7．（3分）如图由一个边长为2的正方形及四个正三角形构成，将4个正三角形沿着其与正方形的公共边折起后形成的四棱锥的体积为．【分析】由已知中正四棱锥的展开图为一个边长为2的正方形及四个正三角形，我们可以分别计算出棱锥的底面面积和高，代入棱锥体积公式，即可求出折起后形成的四棱锥的体积．【解答】解：由已知中由一个边长为2的正方形及四个正三角形构成故该棱锥的底面面积S＝2×2＝4侧高为正三角形的高则棱锥的高h＝＝故折起后形成的四棱锥的体积V＝＝故答案为：【点评】本题考查的知识点是棱棱的体积，其中根据已知条件，计算出棱锥的底面面积，及结合正四棱锥中（其中h为棱锥的高，H为棱锥的侧高，a为底面的棱长）求出棱锥的高，是解答本题的关键．8．（3分）有一块多边形的菜地，它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形（如图），∠ABC＝45°，AB＝AD＝1，DC⊥BC，则这块菜地的面积为2+．【分析】求出直观图中，DC，BC，S梯形ABCD，然后利与用平面图形与直观图形面积的比是，求出平面图形的面积．【解答】解：DC＝AB sin 45°＝，BC＝ABsin 45°+AD＝+1，S梯形ABCD＝（AD+BC）DC＝（2+）＝+，S＝S梯形ABCD＝2+．故答案为：2+【点评】本题考查斜二测画法，直观图与平面图形的面积的比例关系的应用，考查计算能力．9．（3分）四面体的6条棱所对应的6个二面角中，钝二面角最多有3个．【分析】通过定性分析，对四面体取特殊情况可以得到钝二面角的个数【解答】解：将三棱锥的顶点，向下压到与底重合，侧面的3个二面角都是180°，将这个顶点稍稍提高一点点，离开底面，此时3个侧面的二面角都是钝角．故答案为：3．【点评】本题考查利用极限思想，通过定性分析来解决问题，属于简单题．10．（3分）在平面中△ABC的角C的内角平分线CE分△ABC面积所成的比＝，将这个结论类比到空间：在三棱锥A﹣BCD中，平面DEC平分二面角A﹣CD﹣B且与AB交于E，则类比的结论为．【分析】三角形的内角平分线定理类比到空间三棱锥，根据面积类比体积，长度类比面积，从而得到．【解答】解：在平面中△ABC的角C的内角平分线CE分△ABC面积所成的比＝，将这个结论类比到空间：在三棱锥A﹣BCD中，平面DEC平分二面角A﹣CD﹣B且与AB交于E，则类比的结论为根据面积类比体积，长度类比面积可得：，故答案为：．【点评】本题考查了类比推理，将平面中的性质类比到空间．二、选择题：11．（3分）当我们停放自行车时，只要将自行车旁的撑脚放下，自行车就稳了，这用到了（）A．三点确定一平面B．不共线三点确定一平面C．两条相交直线确定一平面D．两条平行直线确定一平面【分析】自行车前后轮与撑脚分别接触地面，使得自行车稳定，此时自行车与地面的三个接触点不在同一条线上．【解答】解：自行车前后轮与撑脚分别接触地面，此时三个接触点不在同一条线上，所以可以确定一个平面，即地面，从而使得自行车稳定．故选：B．【点评】本题考查不同线的三个点确定一个平面，属于简单题．12．（3分）正方体被平面所截得的图形不可能是（）A．正三角形B．正方形C．正五边形D．正六边形【分析】平面与正方体相交与不同的位置，可以出现不同的几何图形，不可能出现正五边形【解答】解：如图所示，平面与正方体相交与不同的位置，可以出现正三角形，正方形，正六边形，不可能出现正五边形，．故选：C．【点评】本题考查了截一个几何体，明确几何体的特征，是解好本题的关键．本题属基础题．13．（3分）如图正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，线段B1D1上有两个动点E、F，且EF＝，则下列结论中错误的是（）A．AC⊥BEB．EF∥平面ABCDC．三棱锥A﹣BEF的体积为定值D．△AEF的面积与△BEF的面积相等【分析】连结BD，则AC⊥平面BB1D1D，BD∥B1D1，点A、B到直线B1D1的距离不相等，由此能求出结果．【解答】解：连结BD，则AC⊥平面BB1D1D，BD∥B1D1，∴AC⊥BE，EF∥平面ABCD，三棱锥A﹣BEF的体积为定值，从而A，B，C正确．∵点A、B到直线B1D1的距离不相等，∴△AEF的面积与△BEF的面积不相等，故D错误．故选：D．【点评】本题考查命题真假的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．14．（3分）由一些单位立方体构成的几何图形，主视图和左视图如图所示，则这样的几何体体积的最小值是（）（每个方格边长为1）A．5B．6C．7D．8【分析】通过主视图和左视图分析出原几何体的形状，可以得到原几何体的体积【解答】解：通过主视图和左视图分析出原几何体的形状如图所示，可知最少共有7个单位立方体．则几何体的体积最小值为7．故选：C．【点评】本题考查由三视图还原几何体，空间想象能力，属于基础题．三、解答题：15．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别是BC，A1D1的中点．求证：空间四边形B1EDF 是菱形．【分析】由题意画出图形，取AD中点G，连接FG，BG，可证四边形B1BGF为平行四边形，得BG∥B1F，再由ABCD﹣A1B1C1D1为正方体，且E，G分别为BC，AD的中点，可得BEDG为平行四边形，得BG∥DE，BG＝DE，从而得到B1F∥DE，且B1F＝DE，进一步得到四边形B1EDF为平行四边形，再由△B1BE≌△B1A1F，可得B1E＝B1F，得到四边形B1EDF是菱形；【解答】证明：取AD中点G，连接FG，BG，可得B1B∥FG，B1B＝FG，∴四边形B1BGF为平行四边形，则BG∥B1F，由ABCD﹣A1B1C1D1为正方体，且E，G分别为BC，AD的中点，可得BEDG为平行四边形，∴BG∥DE，BG＝DE，则B1F∥DE，且B1F＝DE，∴四边形B1EDF为平行四边形，由△B1BE≌△B1A1F，可得B1E＝B1F，∴四边形B1EDF是菱形；．【点评】本题考查正方体内线段之间的关系，空间四边形的证明，属于简单题．16．在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，（如图）E是棱C1D1的中点，F是侧面AA1D1D 的中心．（1）求三棱锥A1﹣D1EF的体积；（2）求异面直线A1E与AB的夹角；（3）求EF与底面A1B1C1D1所成的角的大小．（结果用反三角函数表示）【分析】（1）对三棱锥A1﹣D1EF换底，换成以F为顶点，△A1D1E为底的三棱锥，求出底面△A1D1E的面积和对应的高，得到所求的体积；（2）找到异面直线A1E与AB所成的角，在△EA1B1内由余弦定理求出；（3）找出直线EF与底面A1B1C1D1所成的角，再计算大小．【解答】解：（1）由题意知，＝＝??h＝×（×2×1）×1＝；（2）∵A1B1∥AB，∴∠EA1B1或其补角即为异面直线A1E与AB所成角，在△EA1B1，A1E＝EB1＝，A1B1＝2，∴cos∠EA1B1＝＝＝，∴异面直线A1E与AB所成角为arccos；（3）取A1D1中点M，联结MF，∵MF∥A1A且A1A⊥平面A1B1C1D1，∴MF⊥平面A1B1C1D1，∴∠FEM即为EF与底面A1B1C1D1所成的角，MF＝AA1＝1，ME＝∴tan∠FEM＝＝＝，∴EF与底面A1B1C1D1所成的角的大小为arctan．【点评】本题考查三棱锥等体积转化，求异面直线所成的角，直线与平面所成的角，属于中档题．17．如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1＝2AB，N是CC1的中点，M是线段AB1上的动点，且AM＝λAB1．（1）若，求证：MN⊥AA1；（2）求二面角B1﹣AB﹣N的余弦值；（3）若直线N与平面ABN所成角的大小为θ，求sinθ的最大值．【分析】（1）取AA1中点D，通过线线垂直证明AA1⊥平面MND，从而得到MN⊥AA1；（2）取AB中点E，A1B1中点F，联结EN、EF、FN，则∠FEN即为二面角B1﹣AB﹣N 的平面角，再利用余弦定理求出其余弦值．（3）利用等体积法，求出M到平面ABN的距离及MN的长度，从而表示出sinθ关于λ的函数，求出最大值．【解答】解：（1）取AA1中点D，联结MD和ND，∵λ＝，∴M为AB1中点，又D为AA1中点，∴MD∥B1A1，∵B1A1⊥AA1，∴MD⊥AA1，同理ND⊥AA1，∴AA1⊥平面MND，∴MN⊥AA1；（2）取AB中点E，A1B1中点F，联结EN、EF、FN，则EN⊥AB，EF⊥AB，∠FEN即为二面角B1﹣AB﹣N的平面角，设AB＝2a（a＞0），则EF＝4a，EN＝FN＝a，∴cos∠FEN＝＝，即二面角B1﹣AB﹣N的余弦值为；（3）设AB＝2a（a＞0），M到平面ABN的距离为d，则S△ABM＝λ＝λ??2a?4a＝4λa2，S△ABN＝?2a?a＝a2；由等体积法，V三棱锥N﹣ABM＝V三棱锥M﹣ABN，即?S△ABM?a＝?S△ABM?d，可得d＝λa，而MN＝＝2a，∴sinθ＝＝?＝?＝?≤?＝，当且仅当＝，即λ＝时，等号成立，即sinθ的最大值为．【点评】本题考查通过线面垂直证明线线垂直，二面角的求法，以及线面角的正弦值的表示，属于中档题．18．平面图形很多可以推广到空间中去，例如正三角形可以推广到正四面体，圆可以推广到球，平行四边形可以推广到平行六面体，直角三角形也可以推广到直角四面体，如果四面体ABCD中棱AB，AC，AD两两垂直，那么称四面体ABCD为直角四面体．请类比直角三角形中的性质给出2个直角四面体中的性质，并给出证明．（请在结论1～3中选择1个，结论4，5中选择1个，写出它们在直角四面体中的类似结论，并给出证明，多选不得分，其中h表示斜边上的高，r，R分别表示内切圆与外接圆的半径）直角三角形ABC直角四面体ABCD 条件AB⊥AC AB⊥AC，AB⊥AD，AC⊥AD结论1AB2+AC2＝BC2结论2sin2B+sin2C＝1结论3＝结论4＝结论5（2R）2＝（AB2+BC2+CA2）【分析】在得到结论时，直角三角形中的长度类比成直角四面体的面积，角度类比成二面角，等面积类比成等体积，外接圆类比成外接球．结论1：分别表示、、，然后证明结论2：在△DAE中利用等面积法，表示出高d，然后分别表示sin2α、sin2β、sin2γ，再证明sin2α+sin2β+sin2γ＝1结论3：利用结论2中得到的d的表达式，再表示出，再证明结论4：内切球的球心与四个顶点相连接，把三棱锥分成四个小的三棱锥，利用V D﹣ABC ＝V O﹣ABC+V O﹣ABD+V O﹣ACD+V O﹣BCD进行证明结论5：将直角四面体ABCD补形成为以AB、AC、AD为长、宽、高的长方体，再进行证明．【解答】解：记△ABC、△ABD、△ACD、△BCD的面积依次为S1、S2、S3、S，平面BCD与AB、AC、AD所成角依次为α、β、γ，点A到平面BCD的距离为d，r，R分别表示内切球与外接球的半径，内切球的球心为O，直角三角形ABC直角四面体ABCD 条件AB⊥AC AB⊥AC，AB⊥AD，AC⊥AD结论1AB2+AC2＝BC2结论2sin2B+sin2C＝1sin2α+sin2β+sin2γ＝1结论3＝结论4＝结论5（2R）2＝（AB2+BC2+CA2）（2R）2＝AB2+AC2+BC2证明：设AB＝a、AC＝b、AD＝c，过A作AE⊥BC，垂足为E，联结DE，过A作AH⊥DE，垂足为H，易证：DE⊥BC，AH⊥平面BCD，则d＝AH，结论1：＝＝，在Rt△ABC中，AE＝．DE＝＝，＝∴；结论2：d＝AH＝＝＝，∴sinα＝＝．同理，sinβ＝，sinγ＝，∴sin2α+sin2β+sin2γ＝＝1；结论3：∵d＝，∴＝，又＝＝，∴结论4：∵V D﹣ABC＝V O﹣ABC+V OABD+V O﹣ACD+V O﹣BCD，∴＝+．从而＝，即；结论5：将直角四面体ABCD补形成为以AB、AC、AD为长、宽、高的长方体，则长方体的体对角线即为直角四面体ABCD的外接球的直径，即（2R）2＝AB2+BC2+CA2．【点评】本题考查平面图形向立体图形的推广，涉及到侧面积的表示，线面角的表示，几何体的体积分割法求内切球半径，补齐几何体求外接球半径等，属于难题．。
人教A版高中数学选修一高二下学期第一阶段考试(期中)(文)试题.docx
2015-2016学年度下学期高二第一次阶段测试数学（文科）试卷答题时间：120分钟 满分：150分 命题人：杨冠男，刘芷欣第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.若是虚数单位，则乘积的值是A.15-B.3C.3-D.52．有一段“三段论”推理是这样的：对于可导函数()f x ，如果0()0f x '=，那么0x x =是 函数()f x 的极值点，因为函数3()f x x =在0x =处的导数值(0)0f '=，所以，0x =是函17(,),2ia bi ab R i i+=+∈-ab数3()f x x =的极值点.以上推理中A ．大前提错误B ．小前提错误C ．推理形式错误D ．结论正确 3．给出下列命题(1)实数的共轭复数一定是实数; (2)满足2z i z i -++=的复数z 的轨迹是椭圆;(3)若2,1m Z i ∈=-,则1230;m m m m i ii i ++++++= 其中正确命题的序号是( )A.(1)B.(2)(3)C.(1)(3)D.(1)(4)4．不等式3529x ≤-<的解集为（ ）A ．[2,1)[4,7)-B ．(2,1](4,7]-C ．(2,1][4,7)--D ．(2,1][4,7)-5．已知函数x ax f ππsin )(-=，且2)1()1(lim=-+→hf h f h ，则a 的值为A.2-B.2C.π2D.π2- 6．设,,(,0),a b c ∈-∞则111,,a b c b c a+++（ ） A ．都不大于2- B ．都不小于2- C ．至少有一个不大于2- D ．至少有一个不小于2- 7．在一次实验中，测得的四组值分别为，，，，则与的线性 回归方程可能是（ ）A ．B ．C ．D ．(,)x y ()1,2()2,3()3,4()4,5y x 1y x =+2y x =+21y x =+1y x =-8. 设0a ＞b ＞，则()211a ab a a b ++-的最小值是（ ） A ．1 B ．2 C ．3D ．49．若1322i ω=-+,则等于421ωω++=( ) A ．1 B ．13i -+ C ．33i + D ． 0 10. 若1x >，则函数21161xy x x x =+++的最小值为（ ） A ．16 B ．8 C ．4 D ．非上述情况11.设，且，若，则必有（ ）A ．B ．C ．D ． 12.已知定义在R 上的可导函数()=y f x 的导函数为()f x '，满足()()f x f x '<，且(1)y f x =+为偶函数，(2)1=f ，则不等式()<xf x e 的解集为A.(,0)-∞B.(0,)+∞C.4(,)-∞eD.4(,)+∞e第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.若复数i m m m m )3()65(22-++-是纯虚数，则实数m 的值是 ．AC =14.如图，已知AB 是⊙O 的直径，AB =2，AC 和AD 是⊙O 的两条弦，,,a b c R +∈1a b c ++=111(1)(1)(1)M a b c=---8M ≥118M ≤<18M ≤<108M ≤<,AD =,则∠CAD 的弧度数为 .15.参数方程()2()t tt tx e et y e e --⎧=+⎪⎨=-⎪⎩为参数的普通方程为_____. 16.在Rt ABC ∆中，若090,,C AC b BC a ∠===，则ABC ∆外接圆半径222a b r +=．运用类比方法，若三棱锥的三条侧棱两两互相垂直且长度分别为c b a ,,，则其外接球的半径R = ．三、解答题（本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17. (本小题满分l0分)如图，,,,A B C D 四点在同一圆上，BC 与AD 的延长线交于点E ，点F 在BA 的延长线上．（Ⅰ）若11,32EC ED EB EA ==，求DCAB的值； （Ⅱ）若2EF FA FB =⋅，证明：//EF CD ．18.(本小题满分l2分)某校高二年级共有1600名学生，其中男生960名，女生640名，该校组织了一次满分为100分的数学学业水平模拟考试，根据研究，在正式的学业水平考试中，本次成绩在[80，100]的学生可取得A 等（优秀），在[60，80）的学生可取得B 等（良好），在[40，60）的学生可取得C 等（合格），在不到40分的学生只能取得D 等（不合格），为研究这次考试成绩优秀是否与性别有关，现23按性别采用分层抽样的方法抽取100名学生，将他们的成绩按从低到高分成[30，40）、[40，50）、[50，60）、[60，70）、[70，80）、[80，90）、[90，100]七组加以统计，绘制成频率分布直方图，如图是该频率分布直方图．（Ⅰ）估计该校高二年级学生在正式的数学学业水平考试中，成绩不合格的人数；（Ⅱ） 请你根据已知条件将下列2×2列联表补充完整，并判断是否有90%的把握认为“该校高二年级学生在本次考试中数学成绩优秀与性别有关”？数学成绩优秀 数学成绩不优秀 合计男生 a=12 b= 女生 c= d=34 合计n=100附：．P （k 2≥k 0） 0.15 0.10 0.05 0.01k 0 2.0722.7063.841 6.63519．(本小题满分l2分)设函数()|21||4|f x x x =+--．（1）解不等式()0f x >；（2）若()3|4|f x x m +->对一切实数x 均成立，求m 的取值范围．20．(本小题满分l2分)设函数2()f x ax bx c =++且(1)2af =-，322.a c b >> （1）试用反证法证明：0a > （2）证明：33.4b a -<<-21．(本小题满分l2分)在以直角坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系下，曲线1C 的方程是1ρ=，将1C 向上平移1个单位得到曲线2C ．（Ⅰ）求曲线2C 的极坐标方程；（Ⅱ）若曲线1C 的切线交曲线2C 于不同两点,M N ，切点为T ，求||||TM TN ⋅的取值范围．22．(本小题满分l2分)已知函数1()ln (0,)f x a x a a R x=+≠∈ （Ⅰ）若1a =，求函数()f x 的极值和单调区间；（Ⅱ）若在区间[1,]e 上至少存在一点0x ，使得0()0f x <成立，求实数a 的取值范围．2015-2016学年度下学期高二第一次阶段测试数学（文科）试卷答题时间：120分钟 满分：150分 命题人：杨冠男，刘芷欣第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.若是虚数单位，则乘积的值是 CA.15-B.3C.3-D.52．有一段“三段论”推理是这样的：对于可导函数()f x ，如果0()0f x '=，那么0x x =是 函数()f x 的极值点，因为函数3()f x x =在0x =处的导数值(0)0f '=，所以，0x =是函 数3()f x x =的极值点.以上推理中 A A ．大前提错误 B ．小前提错误 C ．推理形式错误 D ．结论正确 3．给出下列命题(1)实数的共轭复数一定是实数; (2)满足2z i z i -++=的复数z 的轨迹是椭圆;(3)若2,1m Z i ∈=-,则1230;m m m m i ii i ++++++= 其中正确命题的序号是( )CA.(1)B.(2)(3)C.(1)(3)D.(1)(4)4．不等式3529x ≤-<的解集为（ ）D17(,),2ia bi ab R i i+=+∈-abA ．[2,1)[4,7)-B ．(2,1](4,7]-C ．(2,1][4,7)--D ．(2,1][4,7)-5．已知函数x ax f ππsin )(-=，且2)1()1(lim=-+→hf h f h ，则a 的值为 BA.2-B.2C.π2D.π2- 6．设,,(,0),a b c ∈-∞则111,,a b c b c a+++（ ）c A ．都不大于2- B ．都不小于2-C ．至少有一个不大于2-D ．至少有一个不小于2-7．在一次实验中，测得的四组值分别为，，，，则与的线性回归方程可能是（ ）A ．B ．C ．D ．解析：A 线性回归直线一定过样本中心点，故选A ．8. 设0a ＞b ＞，则()211a ab a a b ++-的最小值是 （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）49．若1322i ω=-+,则等于421ωω++=( )D A ．1 B ．13i -+ C ．33i + D ． 0 10. 若1x >，则函数21161xy x x x =+++的最小值为（ ）B (,)x y ()1,2()2,3()3,4()4,5y x 1y x =+2y x =+21y x =+1y x =-()2.5,3.5A ．16B ．8C ．4D ．非上述情况11.设，且，若，则必有（ ）AA ．B ．C ．D ．12.已知定义在R 上的可导函数()=y f x 的导函数为()f x '，满足()()f x f x '<，且(1)y f x =+为偶函数，(2)1=f ，则不等式()<xf x e 的解集为 BA.(,0)-∞B.(0,)+∞C.4(,)-∞e D.4(,)+∞e第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.若复数i m m m m )3()65(22-++-是纯虚数，则实数m 的值是 ．2 AC =14.如图，已知AB 是⊙O 的直径，AB =2，AC 和AD 是⊙O 的两条弦，,AD =,则∠CAD 的弧度数为 . 15.15.参数方程()2()t tt tx e et y e e --⎧=+⎪⎨=-⎪⎩为参数的普通方程为_____.)2(116422≥=-x y x 16.在Rt ABC ∆中，若090,,C AC b BC a ∠===，则ABC ∆外接圆半径222a b r +=．运用,,a b c R +∈1a b c ++=111(1)(1)(1)M a b c=---8M ≥118M ≤<18M ≤<108M ≤<23512π类比方法，若三棱锥的三条侧棱两两互相垂直且长度分别为c b a ,,，则其外接球的半径R= ． 2222a b c ++三、解答题（本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. (本小题满分l0分)如图，A ，B ，C ，D 四点在同一圆上，BC 与AD 的延长线交于点E ，点F 在BA 的延长线上． （Ⅰ）若，求的值；（Ⅱ）若EF 2=FA•FB，证明：EF∥CD．【解答】解：（Ⅰ）∵A，B ，C ，D 四点共圆， ∴∠ECD=∠EAB，∠EDC=∠B∴△EDC∽△EBA，可得，∴，即∴（Ⅱ）∵EF2=FA•FB，∴，又∵∠EFA=∠BFE，∴△FAE∽△FEB，可得∠FEA=∠EBF，又∵A，B，C，D四点共圆，∴∠EDC=∠EBF，∴∠FEA=∠EDC，∴EF∥CD．18(本小题满分l2分)某校高二年级共有1600名学生，其中男生960名，女生640名，该校组织了一次满分为100分的数学学业水平模拟考试，根据研究，在正式的学业水平考试中，本次成绩在[80，100]的学生可取得A等（优秀），在[60，80）的学生可取得B等（良好），在[40，60）的学生可取得C等（合格），在不到40分的学生只能取得D等（不合格），为研究这次考试成绩优秀是否与性别有关，现按性别采用分层抽样的方法抽取100名学生，将他们的成绩按从低到高分成[30，40）、[40，50）、[50，60）、[60，70）、[70，80）、[80，90）、[90，100]七组加以统计，绘制成频率分布直方图，如图是该频率分布直方图．（Ⅰ）估计该校高二年级学生在正式的数学学业水平考试中，成绩不合格的人数；（Ⅱ）请你根据已知条件将下列2×2列联表补充完整，并判断是否有90%的把握认为“该校高二年级学生在本次考试中数学成绩优秀与性别有关”？数学成绩优秀数学成绩不优秀合计男生a=12 b=女生c= d=34合计n=100附：．P（k2≥k0）0.15 0.10 0.05 0.01k0 2.072 2.706 3.841 6.635解：（Ⅰ）抽取的100名学生中，本次考试成绩不合格的有x人，根据题意得x=100×[1﹣10×（0.006+0.012×2+0.018+0.024+0.026）]=2．…（2分）据此估计该校高二年级学生在正式的数学学业水平考试中，成绩不合格的人数为（人）．…（4分）（Ⅱ）根据已知条件得2×2列联表如下：数学成绩优秀数学成绩不优秀合计男生a=12 b=48 60女生c=6 d=34 40合计18 82 n=100 …（10分）∵，所以，没有90%的把握认为“该校高二年级学生在本次考试中数学成绩优秀与性别有关”．…（12分）19．设函数f（x）=|2x+1|﹣|x﹣4|．（1）解不等式f（x）＞0；（2）若f（x）+3|x﹣4|＞m对一切实数x均成立，求m的取值范围．【解答】解：（1）当x≥4时f（x）=2x+1﹣（x﹣4）=x+5＞0得x＞﹣5，所以，x≥4时，不等式成立．当时，f（x）=2x+1+x﹣4=3x﹣3＞0，得x＞1，所以，1＜x＜4时，不等式成立．当时，f（x）=﹣x﹣5＞0，得x＜﹣5，所以，x＜﹣5成立综上，原不等式的解集为：{x|x＞1或x＜﹣5}．（2）f（x）+3|x﹣4|=|2x+1|+2|x﹣4|≥|2x+1﹣（2x﹣8）|=9，当且仅当﹣≤x≤4时，取等号，所以，f（x）+3|x﹣4|的最小值为9，故m＜9．20．(本小题满分l2分)设函数f（x）=ax2+bx+c且f（1）=﹣，3a＞2c＞2b．（1）试用反证法证明：a＞0（2）证明：﹣3＜．【解答】证明：（1）假设a≤0，∵3a＞2c＞2b，∴3a≤0，2c＜0＜，2b＜0，将上述不等式相加得3a+2c+2b＜0，∵f（1）=﹣，∴3a+2c+2b=0，这与3a+2c+2b＜0矛盾，∴假设不成立，∴a＞0；（2）∵f（1）=a+b+c=﹣，∴c=﹣a﹣b∴3a＞2c=﹣3a﹣2b，∴3a＞﹣b，∵2c＞2b，∴﹣3a＞4b；∵a＞0，∴﹣3＜＜﹣．21．(本小题满分l2分)在以直角坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴的极坐标系下，曲线C1的方程是ρ=1，将C1向上平移1个单位得到曲线C2．（Ⅰ）求曲线C2的极坐标方程；（Ⅱ）若曲线C1的切线交曲线C2于不同两点M，N，切点为T，求|TM|•|TN|的取值范围．【解答】解：（I）曲线C1的方程是ρ=1，即ρ2=1，化为x2+y2=1，将C1向上平移1个单位得到曲线C2：x2+（y﹣1）2=1，展开为x2+y2﹣2y=0．则曲线C2的极坐标方程为ρ2﹣2ρsinθ=0，即ρ=2sinθ．（II）设T（cosθ，sinθ），θ∈[0，π]．切线的参数方程为：（t为参数），代入C2的方程化为：t2+2t[cos（θ﹣α）﹣sinα]+1﹣2sinθ=0，∴t1t2=1﹣2sinθ，∴|TM|•|TN|=|t1t2|=|1﹣2sinθ|∈[0，1]，∴|TM|•|TN|的取值范围是[0，1]．22．(本小题满分l2分)已知函数f（x）=+alnx（a≠0，a∈R）（Ⅰ）若a=1，求函数f（x）的极值和单调区间；（Ⅱ）若在区间[1，e]上至少存在一点x0，使得f（x0）＜0成立，求实数a的取值范围．【解答】解：（I）因为，（2分）当a=1，，令f'（x）=0，得x=1，（3分）又f（x）的定义域为（0，+∞），f'（x），f（x）随x的变化情况如下表：x （0，1） 1 （1，+∞）f'（x）﹣0 +f（x）↘极小值↗所以x=1时，f（x）的极小值为1．（5分）f（x）的单调递增区间为（1，+∞），单调递减区间为（0，1）；（6分）（II）因为，且a≠0，令f'（x）=0，得到，若在区间[1，e]上存在一点x0，使得f（x0）＜0成立，其充要条件是f（x）在区间[1，e]上的最小值小于0即可．（7分）（1）当a＜0时，f'（x）＜0对x∈（0，+∞）成立，所以，f（x）在区间[1，e]上单调递减，故f（x）在区间[1，e]上的最小值为，由，得，即（9分）（2）当a＞0时，①若，则f'（x）≤0对x∈[1，e]成立，所以f（x）在区间[1，e]上单调递减，所以，f（x）在区间[1，e]上的最小值为，显然，f（x）在区间[1，e]上的最小值小于0不成立（11分）②若，即1＞时，则有xf'（x）﹣0 +f（x）↘极小值↗所以f（x）在区间[1，e]上的最小值为，由，得1﹣lna＜0，解得a＞e，即a∈（e，+∞）舍去；当0＜＜1，即a＞1，即有f（x）在[1，e]递增，可得f（1）取得最小值，且为1，f（1）＞0，不成立．综上，由（1）（2）可知a＜﹣符合题意．（14分）…。
2020-2021学年上海市浦东新区建平中学高二(下)期中数学试卷
2020-2021学年上海市浦东新区建平中学高二（下）期中数学试卷试题数：21，总分：01.（填空题，3分）抛物线y2=4x的焦点到准线的距离是___ ．2.（填空题，3分）从a、b、c、d、e五个字母中任选三个，共有___ 种不同的选法（结果用数字作答）．＞1的解集为___ ．3.（填空题，3分）不等式1x4.（填空题，3分）A、B是半径为R的球面上两点，设O是球心，且△AOB是等腰直角三角形，则A、B的球面距离为 ___ ．5.（填空题，3分）用1、2、3三个数字能组成不同三位数的个数是___ （结果用数字作答）．6.（填空题，3分）已知圆锥的轴截面PAB是等边三角形，C为底面弧AB̂的中点，D为母线PB的中点，则异面直线PA和CD所成角的大小为___ ．7.（填空题，3分）从四棱锥P-ABCD的5个顶点中任选4个不同的点，则这四点能够构成不同三棱锥的个数是___ （结果用数字作答）．8.（填空题，3分）长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=AD=4，AA1=2，则二面角A1-BD-C1的大小为___ （结果用反三角函数表示）．9.（填空题，3分）在3个不同的红球中任取2个，在3个不同的白球中任取1个，把所取出的3个球排成一列，要求2个红球必须相邻，则不同的排列个数为___ 个（用数字作答）．10.（填空题，3分）设a1、a2、a3、a4、a5、a6是2、3、4、5、6、7的一个排列，则a1a2a3+a4a5a6的最小值为 ___ ．11.（填空题，3分）正方体ABCD-A1B1C1D1中，P是线段AD1上的一个动点，则直线PB与平面BC1D所成角的范围是___ （结果用反三角函数表示）．12.（填空题，3分）已知等差数列{a n}满足：|a1|+|a2|+⋅⋅⋅+|a n|=|a1+1|+|a2+1|+⋅⋅⋅+|a n+1|=|a1-1|+|a2-1|+⋅⋅⋅+|a n-1|=2021，则正整数n的最大值为___ ．13.（单选题，3分）组合数C n r（n＞r≥1，n、r∈Z）恒等于（）A. r+1n+1C n−1 r−1B.（n+1）（r+1）C n−1r−1 C.nr C n−1r−1D. nr C n−1 r−114.（单选题，3分）记者要为4名志愿者和他们帮助的2位老人照相，要求排成一排，2位老人不相邻，不同的排法共有（）种．A.240B.360C.480D.72015.（单选题，3分）以下关于多面体的命题中，真命题为（）A.所有侧面均为正三角形的四棱锥是正四棱锥B.所有侧面均为正方形的四棱柱是正四棱柱C.所有侧面均为正三角形的多面体是正四面体D.所有侧面均为正方形的多面体是正方体16.（单选题，3分）已知函数f（x）在定义域R上单调，且x∈（0，+∞）时均有f（f（x）+2x）=1，则f（-2）的值为（）A.3B.1C.0D.-117.（问答题，0分）在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，PA=2，AB=1．（1）分别取侧棱PB、PD中点E、F，证明：直线EF与平面ABCD平行；（2）求四棱锥P-ABCD的表面积．18.（问答题，0分）设函数f（x）=a x-（k-1）a-x（a＞0，a≠1）是定义域为R的奇函数．（1）求实数k的值；（2）若f(1)=32，且f（2x）≥mf（x）对任意x∈[2，+∞）恒成立，求实数m的取值范围．19.（问答题，0分）设正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长和高均为1．（1）求点C1与平面A1B1C之间的距离；（2）设D是棱CC1的中点，求证：AB1⊥BD．20.（问答题，0分）已知双曲线Γ：x2a2−y2b2=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别是F1、F2，左、右两顶点分别是A1、A2，弦AB和CD所在直线分别平行于x轴与y轴，线段BA的延长线与线段CD相交于点P（如图）．（1）若是d⃗=(1，2)是Γ的一条渐近线的一个方向向量，试求Γ的两渐近线的方程；（2）若|PA|=1，|PB|=5，|PC|=2，|PD|=6，试求双曲线Γ的方程；（3）在（1）的条件下，且|A1A2|=4，点C与双曲线的顶点不重合，直线CA1和直线CA2与直线l：x=1分别相交于点M和N，试问：是否存在定点T，使得TM⊥TN恒成立？若是，请求出定点的坐标，若不是，试说明理由．21.（问答题，0分）已知完全封闭且内部中空的圆柱底面的半径为R，母线长为l．（1）当R=1，l=2时，在圆柱内放一个半径为1的实心球，求圆柱内空余部分的体积；（结果用精确值表示）（2）如图，当R=1，l=12时，平面α与圆柱T底面所成锐二面角为45°，且平面α只与圆柱T侧面相交，设平面α与圆柱T侧面相交的轨迹为曲线C，半径为1的两个球分别在圆柱内平面α上下两侧且分别与平面α相切于点F1、F2，若以点F1、F2所在直线为x轴，线段F1F2的中垂线为y轴建立平面直角坐标系，求证：曲线C是椭圆并写出椭圆标准方程；（3）在（1）的条件下，在圆柱内部空余的地方放入和实心球、侧面及相应底面均相切的半2的值．（结果用数字表示）径为r的同样大小的小球n个，当n取得最大值n0时，求C n0−202020-2021学年上海市浦东新区建平中学高二（下）期中数学试卷参考答案与试题解析试题数：21，总分：01.（填空题，3分）抛物线y2=4x的焦点到准线的距离是___ ．【正确答案】：[1]2【解析】：根据抛物线的方程求得抛物线的焦点坐标和准线的方程，进而利用点到直线的距离求得焦点到准线的距离．【解答】：解：根据题意可知焦点F（1，0），准线方程x=-1，∴焦点到准线的距离是1+1=2故答案为2．【点评】：本题主要考查了抛物线的简单性质．考查了学生对抛物线标准方程的理解和运用．属基础题．2.（填空题，3分）从a、b、c、d、e五个字母中任选三个，共有___ 种不同的选法（结果用数字作答）．【正确答案】：[1]10【解析】：根据题意，由组合数公式计算可得答案．【解答】：解：根据题意，从a、b、c、d、e五个字母中任选三个，是组合问题，有C53=10种选法，故答案为：10．【点评】：本题考查组合数公式的应用，注意组合、排列的不同，属于基础题．＞1的解集为___ ．3.（填空题，3分）不等式1x【正确答案】：[1]{x|0＜x＜1}＞1移项后通分，即可求得不等式的解集．【解析】：将不等式1x【解答】：解：∵ 1x＞1，∴ 1 x -1= 1−xx＞0，∴ (1−x)xx2＞0，∴0＜x＜1．∴不等式1x＞1的解集为{x|0＜x＜1}．故答案为：{x|0＜x＜1}．【点评】：本题考查不等式的解法，移项后通分是关键，属于基础题．4.（填空题，3分）A、B是半径为R的球面上两点，设O是球心，且△AOB是等腰直角三角形，则A、B的球面距离为 ___ ．【正确答案】：[1] πR2【解析】：根据△AOB是等腰直角三角形，求出∠AOB=π2，再利用弧长公式l=|θ|•R，求出A、B的球面距离．【解答】：解：∵△AOB是等腰直角三角形，∴ ∠AOB=π2，∵弧长公式l=|θ|•R，∴A、B的球面距离为π2×R = πR2，故答案为：πR2．【点评】：本题考查球面距离的相关计算，属于基础题．5.（填空题，3分）用1、2、3三个数字能组成不同三位数的个数是___ （结果用数字作答）．【正确答案】：[1]27【解析】：根据题意，分析百位、十位和个位数字的情况数目，由分步计数原理计算可得答案．【解答】：解：根据题意，用1、2、3三个数字能组成不同三位数，百位、十位和个位数字都有3种情况，则有3×3×3=27个不同的三位数，故答案为：27．【点评】：本题考查排列组合的应用，涉及分步、分类计数原理的应用，属于基础题．6.（填空题，3分）已知圆锥的轴截面PAB是等边三角形，C为底面弧AB̂的中点，D为母线PB的中点，则异面直线PA和CD所成角的大小为___ ．【正确答案】：[1] π4【解析】：取AB的中点O，连接OC，OD，知∠ODC即为所求，设PA=AB=PB=2，结合轴截=1，即可面的性质和面面垂直的性质定理可得OC⊥OD，再在Rt△OCD中，由tan∠ODC= OCOD得解．【解答】：解：取AB的中点O，连接OC，OD，∵D为母线PB的中点，∴OD || AP，∴∠ODC为异面直线PA和CD所成的角，设底面圆O的半径为r，∵圆锥的轴截面PAB是等边三角形，∴设PA=AB=PB=2，AB=1，∴OC= 12PA=1，∴OD= 12由轴截面的性质知，平面PAB⊥平面ABC，∵C为底面弧AB̂的中点，∴OC⊥AB，又平面PAB∩平面ABC=AB，∴OC⊥平面PAB，∴OC⊥OD，=1，在Rt△OCD中，tan∠ODC= OCOD．∴∠ODC= π4．故答案为：π4【点评】：本题考查异面直线夹角的求法，利用平移法找到异面直线所成角是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算求解能力，属于中档题．7.（填空题，3分）从四棱锥P-ABCD的5个顶点中任选4个不同的点，则这四点能够构成不同三棱锥的个数是___ （结果用数字作答）．【正确答案】：[1]4【解析】：根据题意，用排除法分析：先分析从四棱锥P-ABCD的5个顶点中任选4个不同的点的取法，排除其中共面的情况，分析可得答案．【解答】：解：根据题意，从四棱锥P-ABCD的5个顶点中任选4个不同的点，有C54=5种取法，其中共面，不能构成不同三棱锥的情况有1种，则取出的四点能够构成不同三棱锥的个数是4；故答案为：4．【点评】：本题考查排列组合的应用，涉及棱锥的结构特征，属于基础题．8.（填空题，3分）长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=AD=4，AA1=2，则二面角A1-BD-C1的大小为___ （结果用反三角函数表示）．【正确答案】：[1] π−arccos13【解析】：取BD的中点O，连结A1O，C1O，A1C1，利用勾股定理可得A1O⊥BD，C1O⊥BD，则∠A1OC1是二面角A1-BD-C1的平面角，利用余弦定理结合反三角函数求解即可．【解答】：解：取BD的中点O，连结A1O，C1O，A1C1，因为长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=AD=4，AA1=2，所以A1D=A1B=C1D=C1B= √42+22=2√5，BD=A1C1= √42+42=4√2，A1O=C1O= √(2√5)2−(2√2)2=2√3，由勾股定理可得，A1O⊥BD，C1O⊥BD，所以∠A1OC1是二面角A1-BD-C1的平面角，则cos∠A1OC1= A1O2+C1O2−A1C122A1O×C1O =12+12−322×2√3×2√3=−13，所以二面角A1-BD-C1的余弦值为−13，则二面角A1-BD-C1的大小为π−arccos13．故答案为：π−arccos13．【点评】：本题考查了二面角的大小的求解，余弦定理的应用，勾股定理的运用，反三角函数的应用，解题的关键是利用二面角的平面角的定义找到对应的角，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．9.（填空题，3分）在3个不同的红球中任取2个，在3个不同的白球中任取1个，把所取出的3个球排成一列，要求2个红球必须相邻，则不同的排列个数为___ 个（用数字作答）．【正确答案】：[1]36【解析】：根据题意，分3步进行分析：① 在3个不同的红球中任取2个，将其看成一个整体，② 在3个不同的白球中任取1个，③ 将选出的2个红球与白球全排列，有分步计数原理计算可得答案．【解答】：解：根据题意，分3步进行分析：① 在3个不同的红球中任取2个，将其看成一个整体，有C32A22=6种情况，② 在3个不同的白球中任取1个，有C31=3种选法，③ 将选出的2个红球与白球全排列，有A22=2种情况，则有6×3×2=36种不同的排列，故答案为：36．【点评】：本题考查排列组合的应用，涉及分步分类计数原理的应用，属于基础题．10.（填空题，3分）设a1、a2、a3、a4、a5、a6是2、3、4、5、6、7的一个排列，则a1a2a3+a4a5a6的最小值为 ___ ．【正确答案】：[1]142【解析】：利用基本不等式得到a1a2a3+a4a5a6≥ 2√a1a2a3a4a5a6=2√2×3×4×5×6×7 = 24√35＞142，结合142=72+70=3×4×6+2×5×7，即可得到答案．【解答】：解：因为a1、a2、a3、a4、a5、a6是2、3、4、5、6、7的一个排列，所以a1a2a3+a4a5a6≥ 2√a1a2a3a4a5a6=2√2×3×4×5×6×7 = 24√35＞142，因为142=72+70=3×4×6+2×5×7，所以a1a2a3+a4a5a6≥142，故a1a2a3+a4a5a6的最小值为142．故答案为：142．【点评】：本题考查了最值问题的求解，主要考查了利用基本不等式求解最值的应用，考查了逻辑推理能力与运算能力，属于中档题．11.（填空题，3分）正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，P 是线段AD 1上的一个动点，则直线PB 与平面BC 1D 所成角的范围是___ （结果用反三角函数表示）．【正确答案】：[1] [arcsin 13，arcsin √33] 【解析】：建立合适的空间直角坐标系，求出所需点的坐标和向量的坐标，然后利用待定系数法求出平面的法向量，设点P （1，t ，1-t ），求出直线BP 的方向向量，由向量的夹角公式，然后由t 的范围求解即可．【解答】：解：设正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为1，以点C 为坐标原点建立空间直角坐标系如图所示，则B （0，1，0），C 1（0，0，1），D （1，0，0），所以 BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(0，−1，1)，BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(1，−1，0) ， 设平面BC 1D 的法向量为 n ⃗⃗=(x ，y ，z) ，则 {n ⃗⃗•BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0n ⃗⃗•BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0，即 {−y +z =0x −y =0 ， 令x=1，则y=1，z=1，故 n ⃗⃗=(1，1，1) ，设点P （1，t ，1-t ），（0≤t≤1），则 BP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(1，t −1，1−t) ， 设直线PB 与平面BC 1D 所成的角为θ，则sinθ= |cos ＜BP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗，n ⃗⃗＞|=|BP⃗⃗⃗⃗⃗⃗•n ⃗⃗||BP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗||n ⃗⃗|=1√3•√2(t−1)2+1 ，因为0≤t≤1，所以 2(t −1)2+1∈[1，√3] ，故 sinθ∈[13，√33] ， 故 arcsin 13≤θ≤arcsin √33， 直线PB 与平面BC 1D 所成角的范围是 [arcsin 13，arcsin√33] ． 故答案为： [arcsin 13，arcsin√33] ．【点评】：本题考查了空间角的求解，主要考查了线面角的求解，对于空间角问题，经常选择建立空间直角坐标系，将问题转化为空间向量进行研究，考查运算求解能力等数学核心素养，是中档题．12.（填空题，3分）已知等差数列{a n}满足：|a1|+|a2|+⋅⋅⋅+|a n|=|a1+1|+|a2+1|+⋅⋅⋅+|a n+1|=|a1-1|+|a2-1|+⋅⋅⋅+|a n-1|=2021，则正整数n的最大值为___ ．【正确答案】：[1]62【解析】：由题意可以构造函数f（x）=|x|+|x+d|+••+|x+（n-1）d|，结合函数的图像和性质以及等差数列的性质求解即可．【解答】：解：设等差数列{a n}的公差为d（不妨设d＞0），首项为a，可得|a|+|a+d|+…+|a+（n-1）d|=|a+1|+|a+1+d|+•…+|a+1+（n-1）d|=|a-1|+|a-1+d|+…+|a-1+（n-1）d|=2021，记函数f（x）=|x|+|x+d|+••+|x+（n-1）d|，可得函数f（x）=2021至少有三个根a-1，a，a+1．可知绝对值和f（x）=|x|+|x+d|+…+|x+（n-1）d|为平底型图像，如下图所示，故n为偶数，记n=2k，要使f（x）=2021，所以a-1，a，a+1对的点都在平底上即a-1，a，a+1∈[-kd，-（k-1）d]，所以 f（-kd）=f（-（k-1）d）=2021，即|-kd|+|-kd+d|+|-kd+2d|+…+|-kd+（n-1）d|=2021，所以[k+（k-1）+（k-2）+…+1+0+1+…+（k-1）]d=2021，所以k2d=2021，而（a+1）-（a-1）≤d，所以d≥2．故k2≤20212，即k≤ √20212≈31.7，所以正整数n的最大值为62，故答案为62．【点评】：此题主要考查等差数列的性质及其应用，解题的关键是构造函数f（x）=|x|+|x+d|+••+|x+（n-1）d|，然后利用函数的图像和性质求解，此题是一道难题．13.（单选题，3分）组合数C n r（n＞r≥1，n、r∈Z）恒等于（）A. r+1n+1C n−1 r−1B.（n+1）（r+1）C n−1r−1 C.nr C n−1r−1D. nr C n−1 r−1【正确答案】：D【解析】：由组合数公式，C n r进行运算、化简，找到其与c n-1r-1的关系，即可得答案．【解答】：解：由C n r=n!r!(n−r)!=nr•(n−1)!(r−1)![(n−1)−(r−1)]!=nrC n−1r−1，故选：D．【点评】：本题考查组合数公式的运用，须准确记忆公式，另外如本题的一些性质需要学生了解．14.（单选题，3分）记者要为4名志愿者和他们帮助的2位老人照相，要求排成一排，2位老人不相邻，不同的排法共有（）种．A.240B.360D.720【正确答案】：C【解析】：本题是一个分步问题，采用插空法，先将4名志愿者排成一列，再将2位老人插到4名志愿者形成的5个空中，根据分步计数原理得到结果．【解答】：解：由题意知本题是一个分步问题，采用插空法，先将4名志愿者排成一列，再将2位老人插到4名志愿者形成的5个空中，则不同的排法有A44A52=480种，故选：C．【点评】：本题考查分步计数原理，是一个基础题，正确运用插空法是关键．15.（单选题，3分）以下关于多面体的命题中，真命题为（）A.所有侧面均为正三角形的四棱锥是正四棱锥B.所有侧面均为正方形的四棱柱是正四棱柱C.所有侧面均为正三角形的多面体是正四面体D.所有侧面均为正方形的多面体是正方体【正确答案】：A【解析】：直接利用正棱柱和正棱锥体的定义判定A、B、C、D的结论．【解答】：解：对于A：所有侧面均为正三角形的四棱锥是正四棱锥，故A正确；对于B：所有侧面均为正方形的四棱柱不一定是正四棱柱，底面不一定为正方形，故B错误；对于C：所有侧面均为正三角形的多面体是正四面体，也可能为正四棱锥，故C错误；对于D：所有侧面均为正方形的多面体是直棱柱，故D错误．故选：A．【点评】：本题考查的知识要点：正棱柱和正棱锥体的定义，主要考查学生对几何定义的理解，属于基础题．16.（单选题，3分）已知函数f（x）在定义域R上单调，且x∈（0，+∞）时均有f（f（x）+2x）=1，则f（-2）的值为（）A.3B.1C.0【正确答案】：A【解析】：根据题意，分析可得f（x）+2x为常数，设f（x）+2x=t，分析可得f（t）=-2t+t=1，解可得t的值，即可得函数的解析式，将x=-2代入计算可得答案．【解答】：解：根据题意，函数f（x）在定义域R上单调，且x∈（0，+∞）时均有f（f（x）+2x）=1，则f（x）+2x为常数，设f（x）+2x=t，则f（x）=-2x+t，则有f（t）=-2t+t=1，解可得t=-1，则f（x）=-2x-1，故f（-2）=4-1=3；故选：A．【点评】：本题考查抽象函数的性质以及应用，涉及函数的单调性的性质以及应用，属于基础题．17.（问答题，0分）在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，PA=2，AB=1．（1）分别取侧棱PB、PD中点E、F，证明：直线EF与平面ABCD平行；（2）求四棱锥P-ABCD的表面积．【正确答案】：【解析】：（1）连接BD，由E、F是PB、PD中点，可得EF || BD，进而根据线面平行的判定即可证明EF || 平面ABCD．（2）由题意利用线面垂直的判定和性质可得CD⊥PD，CB⊥PB，由已知利用勾股定理求出PB，PD，PC的值，利用三角形的面积公式，正方形的面积公式求出各个面的面积，然后求解四棱锥P-ABCD的表面积【解答】：解：（1）如图，连接BD，∵E、F是PB、PD中点，∴EF || BD ，又∵EF⊄底面ABCD ，BD⊂底面ABCD ， ∴EF || 平面ABCD ．（2）由底面ABCD 是正方形，PA⊥平面ABCD ，PA=2，AB=1， 得PA⊥AD ，PA⊥AB ，AD⊥AB ．又PA∩AD=A ， ∴AB⊥平面PAD ， 又PD⊂平面PAD ， ∴AB⊥PD ， ∵CD || AB ，∴CD⊥PD ，同理可得CB⊥PB ，∴PB=PD= √22+12 = √5 ，PC= √22+12+12 = √6 ， ∴S △PAB = 12×2×1 =1，S △PAD = 12×2×1 =1，同理S △PCB = 12× √5 ×1= √52 ，S △PCD = 12× √5 ×1= √52 ，S ABCD =1×1=1，∴四棱锥P-ABCD 的表面积S=S △PAB +S △PAD +S △PCB +S △PCD +S ABCD =1+1+ √52+ √52+1=3+ √5 ．【点评】：本题考查几何体的表面积的求法，考查线面平行的判定，考查空间想象能力以及计算能力，是中档题．18.（问答题，0分）设函数f （x ）=a x -（k-1）a -x （a ＞0，a≠1）是定义域为R 的奇函数． （1）求实数k 的值；（2）若 f (1)=32 ，且f （2x ）≥mf （x ）对任意x∈[2，+∞）恒成立，求实数m 的取值范围．【正确答案】：【解析】：（1）由奇函数在R 上有定义，可得f （0）=0，解得k ；（2）若 f (1)=32 ，求得a ，由参数分离和指数函数和对勾函数的单调性，可得最值，进而得到所求范围．【解答】：解：（1）由函数f（x）=a x-（k-1）a-x（a＞0，a≠1）是定义域为R的奇函数，可得f（0）=a0-（k-1）a0=1-（k-1）=0，解得k=2；（2）由（1）可得f（x）=a x-a-x，若f(1)=32，则a- 1a= 32，解得a=2，由f（2x）≥mf（x），可得4x-4-x≥m（2x-2-x），因为y=2x-2-x在x∈[2，+∞）递增，可得y=2x-2-x＞0，所以m≤2x+2-x在x∈[2，+∞）恒成立，由y=2x+2-x在x∈[2，+∞）递增，可得y=2x+2-x的最小值为174，所以m≤ 174，即m的取值范围是（-∞，174]．【点评】：本题考查函数的奇偶性的性质和不等式恒成立问题解法，考查方程思想和转化思想、运算能力和推理能力，属于中档题．19.（问答题，0分）设正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长和高均为1．（1）求点C1与平面A1B1C之间的距离；（2）设D是棱CC1的中点，求证：AB1⊥BD．【正确答案】：【解析】：（1）用等体积法求解即可；（2）只需证明AB1垂直于BD所在平面BDO即可．【解答】：（1）解：取A1B1中点M，因为B1C=A1C= √2，所以CM⊥A1B1，于是S△A1B1C =12•A1B1•CM = 12•1•√(√2)2−(12)2= √74，设点C1与平面A1B1C之间的距离为h，因为V C−A1B1C1=V C1−A1B1C，所以13•12•12•sin60°•1=13•√74•ℎ，解得h= √217，所以点C1与平面A1B1C之间的距离√217；（2）证明：连接A1B，交AB1于O，连接OD、AD、B1D，因为四边形AA1B1B为正方形，所以AB1⊥A1B，O为AB1中点，又因为D是棱CC1的中点，所以AD=B1D，所以DO⊥AB1，因为A1B∩DO=O，所以AB1⊥平面BDO，又因为BD⊂平面BDO，所以AB1⊥BD．【点评】：本题考查了点到直线距离问题，考查了直线与平面的位置关系，属于中档题．20.（问答题，0分）已知双曲线Γ：x2 a2−y2b2=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别是F1、F2，左、右两顶点分别是A1、A2，弦AB和CD所在直线分别平行于x轴与y轴，线段BA的延长线与线段CD相交于点P（如图）．（1）若是d⃗=(1，2)是Γ的一条渐近线的一个方向向量，试求Γ的两渐近线的方程；（2）若|PA|=1，|PB|=5，|PC|=2，|PD|=6，试求双曲线Γ的方程；（3）在（1）的条件下，且|A1A2|=4，点C与双曲线的顶点不重合，直线CA1和直线CA2与直线l：x=1分别相交于点M和N，试问：是否存在定点T，使得TM⊥TN恒成立？若是，请求出定点的坐标，若不是，试说明理由．【正确答案】：【解析】：（1）由直线的方向向量可得渐近线的斜率，进而得到渐近线方程；（2）求得A（2，2），C（3，4），代入双曲线的方程，可得a ，b ，进而得到双曲线的方程；（3）求得双曲线的方程，运用三点共线的条件：斜率相等，可得M ，N 的坐标，假设存在T ，运用两直线垂直的条件：斜率乘积为-1，化简整理，结合恒等式，可得定点T 的坐标．【解答】：解：（1）由 d ⃗=(1，2) 是Γ的一条渐近线的一个方向向量，可得渐近线的斜率为±2，所以渐近线方程为y=±2x ；（2）由|PA|=1，|PB|=5，|PC|=2，|PD|=6，可得|AB|=4，|CD|=8， 则A （2，2），C （3，4），代入双曲线的方程可得 4a 2 - 4b 2 =1， 9a 2 - 16b 2 =1， 解得a 2= 73，b 2= 285，所以双曲线的方程为3x 27−5y 228=1 ；（3）由（1）可得a=2，b=4，双曲线的方程为 x 24 - y 216 =1，即4x 2-y 2=16， 设C （m ，n ），可得n 2=4（m 2-4），由A 1（-2，0），C （m ，n ），M （1，y M ）三点共线，可得k CA 1 =k A 1M ， 即有 nm+2 =y M3，可得y M = 3nm+2 ；同理可得，由A 2（2，0），C （m ，n ），N （1，y N ）三点共线，可得y N = −nm−2， 假设存在定点T （x 0，y 0），使得TM⊥TN 恒成立． 可得k TM •k TN =-1， 即为y 0−3n m+2x 0−1•y 0−−n m−2x 0−1=-1，化为（x 0-1）2+y 02- 3n 2m 2−4 -y 0• 2n (m−4)m 2−4=0， 即为（x 0-1）2+y 02-12-y 0•2n (m−4)m 2−4=0， 令y 0=0，（x 0-1）2=12，解得x 0=1±2 √3 ，所以存在定点T ，且为 T(1+2√3，0) 或 T(1−2√3，0) ．【点评】：本题双曲线的方程和性质，以及直线与双曲线的综合，考查方程思想和运算能力，属于中档题．21.（问答题，0分）已知完全封闭且内部中空的圆柱底面的半径为R ，母线长为l ． （1）当R=1，l=2时，在圆柱内放一个半径为1的实心球，求圆柱内空余部分的体积；（结果用精确值表示）（2）如图，当R=1，l=12时，平面α与圆柱T底面所成锐二面角为45°，且平面α只与圆柱T侧面相交，设平面α与圆柱T侧面相交的轨迹为曲线C，半径为1的两个球分别在圆柱内平面α上下两侧且分别与平面α相切于点F1、F2，若以点F1、F2所在直线为x轴，线段F1F2的中垂线为y轴建立平面直角坐标系，求证：曲线C是椭圆并写出椭圆标准方程；（3）在（1）的条件下，在圆柱内部空余的地方放入和实心球、侧面及相应底面均相切的半径为r的同样大小的小球n个，当n取得最大值n0时，求C n0−202的值．（结果用数字表示）【正确答案】：【解析】：（1）分别计算出圆柱和球的体积得到空余部分的体积；（2）利用椭圆的基本定义（到两定点距离之和为定值）得到轨迹为椭圆，然后计算a和b的值；（3）先利用条件得到小圆的半径，然后计算每个小圆占整个空间的圆心角，最后得到最多圆的个数．【解答】：（1）解：V圆柱=sl=πR²l=π×1×2=2π，V球== 43πR3= 43π×1³= 43π，所以圆柱内空余部分的体积为V圆柱-V球=2π- 43π= 2π3．（2）证明：如图，取上方球上一点A，下方球上一点C，连接AC，则直线AC交阴影截面于B点，连接BF1，BF2，设截面的两端点为M，N，过M点作平行于底面，过N点垂直于底面交于D点．由题意得，因为斜截面和圆柱分别与球相切，所以AB=BF2，BC=BF1，所以定值AC=AB+BC=BF2+BF1，所以曲线C为椭圆，因为平面α与圆柱底面二面角为45°，所以∠NMD=45°，在△NMD中，因为R=1，所以MD=2R=2，所以MN=2 √2 =2a，所以a= √2，又因为y轴平行于底面，所以短轴长2b=2R=2，所以b=1，所以椭圆的标准方程为x 22+y²=1．（3）解：垂直底面截面如图所示，AF=AC=1，BC=BG=R，∠BAF=45°，在△ABD中，AD=AF-DF=1-r，AB=AC+BC=1+r．因为∠BAF=45°，所以AB= √2 AD，所以解得r=3-2 √2．平行底面截面如图所示，O1M=r=3-2 √2．O1O=1-r=2 √2 -2，所以θ=arcsin √2−12≈11.95°，所以下方空余位置可以放n1= 360°2θ=15.06，因为n1为整数，所以n1=15，所以整个空余空间最多可以放n0=2n1=30个，所以 C n 0−202 = C 102 =45．【点评】：本题考查圆柱和球的体积计算公式，立体几何和平面解析几何的综合，椭圆的定义，考查数形结合思想与运算求解能力，属于难题．。
2020-2021学年上海市浦东新区华东师大二附中高二(下)期中数学试卷
2020-2021学年上海市浦东新区华东师大二附中高二（下）期中数学试卷试题数：18，总分：01.（填空题，0分）若实数x ，y 满足xy=1，则x 2+2y 2的最小值为___ ．2.（填空题，0分）已知直线a 、b 和平面α，若a || b ，b⊂α，则a 与α的关系是___ ．3.（填空题，0分）分别和两条异面直线相交的两条直线的位置关系是___ ．4.（填空题，0分）一个高为2的圆柱，底面周长为2π，该圆柱的表面积为___ ．5.（填空题，0分）正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是棱AB 、BB 1的中点，则异面直线A 1E 与C 1F 所成角的余弦值为___ ．6.（填空题，0分）正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，BC 1与平面AB 1C 所成角的正弦值为___ ．7.（填空题，0分）已知四棱锥P-ABCD 的底面是边长为6的正方形，侧棱PA⊥底面ABCD ，且PA=8，则该四棱锥的体积是___ ．8.（填空题，0分）如图，以长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的顶点D 为坐标原点，过D 的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若 DB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标为（4，3，2），则 AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标是___ ． 9.（填空题，0分）在北纬45°的纬度圈上有A 、B 两点，它们分别在东经70°与东经160°的经度圈上，设地球半径为R ，则A 、B 两点的球面距离为___ ．10.（填空题，0分）有四根长都为2的直铁条，若再选两根长都为a 的直铁条，使这六根铁条端点处相连能够焊接成一个三棱锥形的铁架，则a 的取值范围是___ ．11.（单选题，0分）设A 1，A 2，…，A 2021是空间中给定的2021个不同的点，则使 MA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MA 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +⋅⋅⋅+MA 2021⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 0⃗ 成立的点M 的个数为（ ）A.0B.1C.2020D.202112.（单选题，0分）《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，令相乘也，又以高乘之，三十六成一，该术相当于给出了由圆锥的底面周长L 与高h ，计算其体积V 的近似公式V≈ 136 L 2h ，它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3，那么，近似公式V≈ 275 L 2h 相当于将圆锥体积公式中的π近似取为（ ）A. 227B. 258C. 15750D. 35511313.（单选题，0分）如果一个圆锥和一个半球有公共底面，圆锥的体积恰好等于半球的体积，那么这个圆锥的轴截面的顶角的余弦值是（ ）A. 34B. 45C. 35D. −3514.（单选题，0分）如图，正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别是AA 1、AB 上的点，若∠NMC 1=90°，那么∠NMB 1（ ）A.大于90度B.小于90度C.等于90度D.不能确定15.（问答题，0分）将边长为1的正方形AA 1O 1O （及其内部）绕OO 1旋转一周形成圆柱，如图， AC ̂ 长为 23 π， A1B1̂ 长为 π3，其中B 1与C 在平面AA 1O 1O 的同侧． （1）求三棱锥C-O 1A 1B 1的体积；（2）求异面直线B 1C 与AA 1所成的角的大小．16.（问答题，0分）已知函数f（x）的定义域为[0，2]，且f（x）的图象连续不间断，若函数f（x）满足：对于给定的实数m且0＜m＜2，存在x0∈[0，2-m]，使得f（x0）=f（x0+m），则称f（x）具有性质P（m）．)，并说明理由；（1）已知函数f(x)=√1−(x−1)2，判断f（x）是否具有性质P(12（2）求证：任取m∈（0，2），函数f（x）=（x-1）2，x∈[0，2]具有性质P（m）．17.（问答题，0分）如图，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，侧棱AA1⊥底面ABCD，AB || DC，AA1=1，AB=3k，AD=4k，BC=5k，DC=6k，（k＞0）（1）求证：CD⊥平面ADD1A1，求k的值（2）若直线AA1与平面AB1C所成角的正弦值为67（3）现将与四棱柱ABCD-A1B1C1D1形状和大小完全相同的两个四棱柱拼成一个新的四棱柱，规定：若拼成的新四棱柱形状和大小完全相同，则视为同一种拼接方案，问共有几种不同的拼接方案？在这些拼接成的新四棱柱中，记其中最小的表面积为f（k），写出f（k）的解析式．（直接写出答案，不必说明理由）18.（问答题，0分）正三棱柱P-A0A1A2中，∠A0PA1=α，侧棱PA0长为2，点B0是棱PA的中点，定义集合{B1，B2，…}如下：点B n是棱PA n上异于P的一点，使得B n-1B n=PB n-1（n≥1），我们约定：若n除以3的余数r，则A n=A1（例如：A3=A0、A2015=A2等等），求三棱锥P-B0B1B2的体积；（1）若α=π3（2）若{B1，B2，…}是一个只有两个元素的有限集，求α的范围；（3）若{B1，B2，…}是一个无限集，求各线段PB0，PB1，PB2，…的长度之和（用α表示）．．（0＜|q|＜1））（提示：无穷等比数列各项和公式为S=a11−q2020-2021学年上海市浦东新区华东师大二附中高二（下）期中数学试卷参考答案与试题解析试题数：18，总分：01.（填空题，0分）若实数x，y满足xy=1，则x2+2y2的最小值为___ ．【正确答案】：[1]2 √2，代入要求的式子，由基本不等式可得．【解析】：由已知可得y= 1x【解答】：解：∵xy=1，∴x2+2y2≥2 √2 xy=2 √2，4时取等号，当且仅当x2=2y2，即x=± √2故答案为：2 √2．【点评】：本题考查基本不等式，属基础题．2.（填空题，0分）已知直线a、b和平面α，若a || b，b⊂α，则a与α的关系是___ ．【正确答案】：[1]a || α或a⊂α【解析】：由题意画图说明a || α或a⊂α，再由反证法说明a与α不相交．【解答】：解：如图，由a || b，b⊂α，可得a || α或a⊂α，a与α不可能相交，若a与α相交，则a与b相交或异面，与a || b矛盾．故答案为：a || α或a⊂α．【点评】：本题考查空间中直线与直线、直线与平面位置关系的判定，考查空间想象能力与思维能力，是基础题．3.（填空题，0分）分别和两条异面直线相交的两条直线的位置关系是___ ．【正确答案】：[1]相交或异面【解析】：画出草图，当点D与点B重合时，两条直线相交，当点D与点B不重合时，两条直线异面，即可得到结论．【解答】：解：已知直线a与b是异面直线，直线AB与直线CD分别与两条直线a与直线b相交于点A，B，C，D，根据题意可得当点D与点B重合时，两条直线相交，当点D与点B不重合时，两条直线异面．故答案为：相交或异面【点评】：本题主要考查空间中直线与直线的位置关系，考查分类讨论的数学思想，属于基础题．4.（填空题，0分）一个高为2的圆柱，底面周长为2π，该圆柱的表面积为___ ．【正确答案】：[1]6π【解析】：求出圆柱的底面半径，然后直接求出圆柱的表面积即可．【解答】：解：因为一个高为2的圆柱，底面周长为2π，所以它的底面半径为：1，所以圆柱的表面积为S=2S底+S侧=2×12×π+2π×2=6π．故答案为：6π．【点评】：本题考查旋转体的表面积的求法，考查计算能力．5.（填空题，0分）正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是棱AB、BB1的中点，则异面直线A1E与C1F所成角的余弦值为___ ．【正确答案】：[1] 25【解析】：以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线A 1E 与C 1F 所成角的余弦值．【解答】：解：以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系， 设正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中棱长为2，则A 1（2，0，2），E （2，1，0），C 1（0，2，2），F （2，2，1），A 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（0，1，-2）， C 1F ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（2，0，-1），设异面直线A 1E 与C 1F 所成角为θ，则异面直线A 1E 与C 1F 所成角的余弦值为： cosθ= |A 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ •C 1F ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||A 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |•|C 1F ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |= 25 ． 故答案为： 25 ．【点评】：本题考查异面直线所成角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系，考查空间立体感、逻辑推理能力和运算能力等数学核心素养，是基础题．6.（填空题，0分）正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，BC 1与平面AB 1C 所成角的正弦值为___ ．【正确答案】：[1] √63【解析】：建立合适的空间直角坐标系，求出所需点的坐标和向量的坐标，然后利用待定系数法求出平面的法向量，求出直线的方向向量，由向量的夹角公式求解即可．【解答】：解：设正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为1，以点D 为坐标原点建立空间直角坐标系如图所示，则A （1，0，0），C （0，1，0），B 1（1，1，1），C 1（0，1，1），B （1，1，0），所以 AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1，1，0)，AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0，1，1)，BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1，0，1) ，设平面AB 1C 的法向量为 n ⃗ =(x ，y ，z) ，则有 {n ⃗ •AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0n ⃗ •AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即 {−x +y =0y +z =0 ， 令x=1，则y=1，z=-1，故 n ⃗ =(1，1，−1) ，所以 |cos ＜BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，n ⃗ ＞|=|BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ •n ⃗ ||BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||n ⃗ |=2√2×√3= √63 ， 故BC 1与平面AB 1C 所成角的正弦值为 √63 ．故答案为： √63 ．【点评】：本题考查了空间角的求解，主要考查了线面角的求解，对于空间角问题，经常选择建立空间直角坐标系，将问题转化为空间向量进行研究，属于中档题．7.（填空题，0分）已知四棱锥P-ABCD 的底面是边长为6的正方形，侧棱PA⊥底面ABCD ，且PA=8，则该四棱锥的体积是___ ．【正确答案】：[1]96【解析】：四棱锥的高已知，先求底面面积，再利用棱锥的体积公式求体积．【解答】：解：底面是边长为6的正方形，故其底面积为36，又侧棱PA⊥底面ABCD ，且PA=8，故棱锥的高为8由棱锥体积公式得 V =13×36×8=96 ．故答案为96．【点评】：本题考点是锥体的体积公式，考查空间想象能力与应用公式求解的能力．8.（填空题，0分）如图，以长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的顶点D 为坐标原点，过D 的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若 DB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标为（4，3，2），则 AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标是___ ． 【正确答案】：[1]（-4，3，2）【解析】：由 DB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标为（4，3，2），分别求出A 和C 1的坐标，由此能求出结果．【解答】：解：如图，以长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的顶点D 为坐标原点，过D 的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，∵ DB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标为（4，3，2），∴A （4，0，0），C 1（0，3，2），∴ AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−4，3，2) ．故答案为：（-4，3，2）．【点评】：本题考查空间向量的坐标的求法，考查空间直角坐标系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题．9.（填空题，0分）在北纬45°的纬度圈上有A 、B 两点，它们分别在东经70°与东经160°的经度圈上，设地球半径为R ，则A 、B 两点的球面距离为___ ．【正确答案】：[1] 13πR 【解析】：由于A 、B 两地在同一纬度圈上，可以先计算出它们的经度差和45°的纬圆半径，再求出A 、B 两地对应的AB 弦长，即可求出A 、B 两点在球面距离．【解答】：解：设北纬45°圈的半径为r ，∵点A 在东经70°处，点B 在东经160°处，∴纬圆半径是r=Rcos45°= √22 R 经度差是90°，∴A 、B 两点在纬度圈上的劣弧长为 √24π R ，∵AB= √2r =R ，∴∠AOB= π3 ，∴A 、B 两点的球面距离为 13πR ，故答案为： 13πR ．【点评】：本题主要考查了球面距离及相关计算，考查空间想象力，属于基础题．10.（填空题，0分）有四根长都为2的直铁条，若再选两根长都为a 的直铁条，使这六根铁条端点处相连能够焊接成一个三棱锥形的铁架，则a 的取值范围是___ ．【正确答案】：[1]（0， √6+√2 ）【解析】：根据三棱锥的相对位置，将底面三角形的三边长分成两种情形： ① 当底面是边长为2的正三角形，三条侧棱长为2，a ，a 此时a 取最大值， ② 当底面三角形的边长分别为a ，2，2，其他各边长为2，2，a ，有最小值，从而求得a 的取值范围．【解答】：解：根据三棱锥的相对位置，将底面三角形的三边长分成两种情形：① 当底面是边长为2的正三角形，三条侧棱长为2，a ，a ，如图1，此时a 取最大值，可知AD= √3 ，SD= √a 2−1 ，由于SD ＜SA+AD ，则有 √a 2−1 ＜2+ √3 ，即 a 2＜8+4√3=(√6+√2)2 ，即有a ＜ √6+√2② 构当底面三角形的边长分别为a ，2，2，其他各边长为2，2，a ，如图所示，此时a 可以取最大为2 √2 任意正数；综上则a 的取值范围是（0， √6+√2 ）；故答案为：（0， √6+√2 ）．【点评】：本小题主要考查棱锥的结构特征、解三角形等基础知识，考查空间想像能力，分类讨论思想，属于基础题．11.（单选题，0分）设A 1，A 2，…，A 2021是空间中给定的2021个不同的点，则使 MA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MA 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +⋅⋅⋅+MA 2021⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 0⃗ 成立的点M 的个数为（ ）A.0B.1C.2020D.2021【正确答案】：B【解析】：可设出A 1，A 2，•••，A 2021及M 点的坐标，根据题意可求出M 点的坐标，有几组M 点的坐标，就有几个满足条件的点M ．【解答】：解：设A 1（x 1，y 1），A 2（x 2，y 2），…，A 2021（x 2021，y 2021），M （a ，b ），则： （x 1-a ，y 1-b ）+（x 2-a ，y 2-b ）+…+（x 2021-a ，y 2021-b ）=（0，0）， ∴x 1+x 2+•••+x 2021-2021a=0，y 1+y 2+•••+y 2021-2021b=0， ∴a= 12021 （x 1+x 2+•••+x 2021），b= 12021 （y 1+y 2+•••+y 2021）， ∴满足条件的点M 的个数为1个． 故选：B ．【点评】：本题考查通过坐标解决向量问题的方法，根据点的坐标可求向量的坐标，向量坐标的加法运算，属于中档题．12.（单选题，0分）《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，令相乘也，又以高乘之，三十六成一，该术相当于给出了由圆锥的底面周长L 与高h ，计算其体积V 的近似公式V≈ 136L 2h ，它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3，那么，近似公式V≈ 275L 2h 相当于将圆锥体积公式中的π近似取为（ ） A. 227 B. 258 C. 15750 D.355113 【正确答案】：B【解析】：根据近似公式V≈ 275 L 2h ，建立方程，即可求得结论．【解答】：解：设圆锥底面圆的半径为r ，高为h ，则L=2πr ， ∴ 13πr 2ℎ = 275 （2πr ）2h ， ∴π= 258 ． 故选：B ．【点评】：本题考查圆锥体积公式，考查学生的阅读理解能力，属于基础题．13.（单选题，0分）如果一个圆锥和一个半球有公共底面，圆锥的体积恰好等于半球的体积，那么这个圆锥的轴截面的顶角的余弦值是（）A. 34B. 45C. 35D. −35【正确答案】：C【解析】：设圆锥的底面圆半径为r，高为h，母线与轴所成角为θ，求出圆锥的高，利用体积相等，求出2θ的余弦值．【解答】：解：设圆锥的底面圆半径为r，高为h，母线与轴所成角为θ，则tanθ= rℎ，所以圆锥的高为h= rtanθ；所以圆锥的体积为V1= 13πr2•h= 13πr3• 1tanθ，半球的体积为V2= 23πr3，因为V1=V2，即13πr3• 1tanθ= 23πr3，解得tanθ= 12，所以cos2θ=cos2θ-sin2θ= cos2θ−sin2θsin2θ+cos2θ = 1−tan2θ1+tan2θ= 1−141+14= 35，即圆锥的轴截面顶角的余弦值是35．故选：C．【点评】：本题考查了旋转体的体积计算问题，也考查运算求解能力，是基础题．14.（单选题，0分）如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，M、N分别是AA1、AB上的点，若∠NMC1=90°，那么∠NMB1（）A.大于90度B.小于90度C.等于90度D.不能确定【正确答案】：C【解析】：由B 1C 1⊥平面ABB 1A 1，得MN⊥B 1C 1，由∠NMC 1=90°，得MN⊥MC 1，从而MN⊥平面MB 1C 1，由此能求出∠NMB 1的大小．【解答】：解：∵正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别是AA 1、AB 上的点， ∴MN 、MB 1⊂平面ABB 1A 1， ∵B 1C 1⊥平面ABB 1A 1，∴MN⊥B 1C 1， ∵∠NMC 1=90°，∴MN⊥MC 1，∵MC 1∩B 1C 1=C 1，MC 1、B 1C 1⊂平面MB 1C 1， ∴MN⊥平面MB 1C 1，∵MB 1⊂平面MB 1C 1，∴MN⊥MB 1， ∴∠NMB 1=90°． 故选：C ．【点评】：本题考查的角大小的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系，考查空间立体感、逻辑推理能力和运算能力等数学核心素养，是基础题．15.（问答题，0分）将边长为1的正方形AA 1O 1O （及其内部）绕OO 1旋转一周形成圆柱，如图， AC ̂ 长为 23 π， A1B1̂ 长为 π3 ，其中B 1与C 在平面AA 1O 1O 的同侧． （1）求三棱锥C-O 1A 1B 1的体积；（2）求异面直线B 1C 与AA 1所成的角的大小．【正确答案】：【解析】：（1）连结O1B1，推导出△O1A1B1为正三角形，从而S△O1A1B1 = √34，由此能求出三棱锥C-O1A1B1的体积．（2）设点B1在下底面圆周的射影为B，连结BB1，则BB1 || AA1，∠BB1C为直线B1C与AA1所成角（或补角），由此能求出直线B1C与AA1所成角大小．【解答】：解：（1）连结O1B1，则∠O1A1B1=∠A1O1B1= π3，∴△O1A1B1为正三角形，∴ S△O1A1B1 = √34，V C−O1A1B1 = 13×OO1×S△O1A1B1= √312．（2）设点B1在下底面圆周的射影为B，连结BB1，则BB1 || AA1，∴∠BB1C为直线B1C与AA1所成角（或补角），BB1=AA1=1，连结BC、BO、OC，∠AOB=∠A1O1B1= π3，∠AOC=2π3，∴∠BOC= π3，∴△BOC为正三角形，∴BC=BO=1，∴tan∠BB1C=1，∴直线B1C与AA1所成角大小为45°．【点评】：本题考查三棱锥的体积的求法，考查两直线所成角的大小的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．16.（问答题，0分）已知函数f（x）的定义域为[0，2]，且f（x）的图象连续不间断，若函数f（x）满足：对于给定的实数m且0＜m＜2，存在x0∈[0，2-m]，使得f（x0）=f（x0+m），则称f（x）具有性质P（m）．（1）已知函数f(x)=√1−(x−1)2，判断f（x）是否具有性质P(12)，并说明理由；（2）求证：任取m∈（0，2），函数f（x）=（x-1）2，x∈[0，2]具有性质P（m）．【正确答案】：【解析】：（1）根据新定义可知m= 12，即f（x0）=f（x0+ 12），代入求x0即可进行判断；（2）根据条件验证f（x0）=f（x0+m）时m的取值范围即可；【解答】：解：（1）当m= 12时，设x0∈[0，32]，令f（x0）=f（x0+ 12），则1-（x0-1）2=1-（x0+ 12-1）2，解得x0= 34∈[0，32]，故f（x）具有性质P（12）；（2）证明：任取x0∈[0，2-m]，令f（x0）=f（x0+m），则（x0-1）2=（x0+m-1）2，因为m≠0，解得x0=- m2 +1，又0＜m＜2，所以0＜- m2+1＜1，当0＜m＜2，x0=- m2 +1时，（2-m）-x0=（2-m）-（- m2+1）=1-=- m2+1＞0，即0＜- m2+1＜2-m，即任取实数m∈（0，2），f（x）都具有性质P（m）．【点评】：本题是新定义问题，利用函数基本性质及函数与方程的关系是关键，属于中当题17.（问答题，0分）如图，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，侧棱AA1⊥底面ABCD，AB || DC，AA1=1，AB=3k，AD=4k，BC=5k，DC=6k，（k＞0）（1）求证：CD⊥平面ADD1A1（2）若直线AA1与平面AB1C所成角的正弦值为67，求k的值（3）现将与四棱柱ABCD-A1B1C1D1形状和大小完全相同的两个四棱柱拼成一个新的四棱柱，规定：若拼成的新四棱柱形状和大小完全相同，则视为同一种拼接方案，问共有几种不同的拼接方案？在这些拼接成的新四棱柱中，记其中最小的表面积为f（k），写出f（k）的解析式．（直接写出答案，不必说明理由）【正确答案】：【解析】：（1）取DC 得中点E ，连接BE ，可证明四边形ABED 是平行四边形，再利用勾股定理的逆定理可得BE⊥CD ，即CD⊥AD ，又侧棱AA 1⊥底面ABCD ，可得AA 1⊥DC ，利用线面垂直的判定定理即可证明．（2）通过建立空间直角坐标系，求出平面的法向量与斜线的方向向量的夹角即可得出；（3）由题意可与左右平面ADD 1A 1，BCC 1B 1，上或下面ABCD ，A 1B 1C 1D 1拼接得到方案新四棱柱共有此4种不同方案．写出每一方案下的表面积，通过比较即可得出f （k ）．【解答】：（1）证明：取DC 的中点E ，连接BE ，∵AB || ED ，AB=ED=3k ， ∴四边形ABED 是平行四边形，∴BE || AD ，且BE=AD=4k ，∴BE 2+EC 2=（4k ）2+（3k ）2=（5k ）2=BC 2，∴∠BEC=90°，∴BE⊥CD ，又∵BE || AD ，∴CD⊥AD ．∵侧棱AA 1⊥底面ABCD ，∴AA 1⊥CD ， ∵AA 1∩AD=A ，∴CD⊥平面ADD 1A 1．（2）解：以D 为坐标原点， DA ⃗⃗⃗⃗⃗ 、 DC ⃗⃗⃗⃗⃗ 、 DD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的方向为x ，y ，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，则A （4k ，0，0），C （0，6k ，0），B 1（4k ，3k ，1），A 1（4k ，0，1）． ∴ AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−4k ，6k ，0) ， AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0，3k ，1) ， AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0，0，1) ．设平面AB 1C 的一个法向量为 n ⃗ =（x ，y ，z ），则 {n ⃗ •AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−4kx +6ky =0n ⃗ •AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3ky +z =0 ，取y=2，则z=-6k ，x=3．∴ n ⃗ =(3，2，−6k) ．设AA 1与平面AB 1C 所成角为θ，则 sinθ=|cos ＜AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，n ⃗ ＞| = |AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗•n⃗ ||AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | |n ⃗ |= √36k 2+13= 67，解得k=1，故所求k=1．（3）由题意可与左右平面ADD 1A 1，BCC 1B 1，上或下面ABCD ，A 1B 1C 1D 1拼接得到方案新四棱柱共有此4种不同方案．写出每一方案下的表面积，通过比较即可得出f （k ）= {72k 2+26k ，0＜k ≤51836k 2+36k ，k ＞518【点评】：本题主要考查了线线、线面的位置关系、通过建立空间直角坐标系利用法向量求线面角、柱体的定义积表面积、勾股定理的逆定理等基础知识，考查了空间想象能力、推理能力和计算能力及化归与转化能力．18.（问答题，0分）正三棱柱P-A0A1A2中，∠A0PA1=α，侧棱PA0长为2，点B0是棱PA的中点，定义集合{B1，B2，…}如下：点B n是棱PA n上异于P的一点，使得B n-1B n=PB n-1（n≥1），我们约定：若n除以3的余数r，则A n=A1（例如：A3=A0、A2015=A2等等），求三棱锥P-B0B1B2的体积；（1）若α=π3（2）若{B1，B2，…}是一个只有两个元素的有限集，求α的范围；（3）若{B1，B2，…}是一个无限集，求各线段PB0，PB1，PB2，…的长度之和（用α表示）．．（0＜|q|＜1））（提示：无穷等比数列各项和公式为S=a11−q【正确答案】：【解析】：由正三棱锥P-A0A1A2及B n-1B n=PB n-1（n≥1），可知数列{PB n}是一个以PB0=1为首项，2cosα为公比的等比数列．时，三棱锥P-B0B1B2为正四面体，则可求其高、底面积，从而求出体积；（1）当α=π3（2）{B1，B2，...}是一个只有两个元素的有限集等价于PB2≤PA2=2，且PB3＞PA0=2，由等比数列可分别求出PB2和PB3，解不等式组，即可求出α的范围；（3）{B1，B2，…}是一个无限集且PB n=2PB n-1•cosα（n≥1），可知数列{PB n}是一个以PB0=1为首项，2cosα为公比的等比数列，结合无穷等比数列的求和公式，即可得到结果．【解答】：解：因为点B n是棱PA n上异于P的一点，且B n-1B n=PB n-1（n≥1），所以△PB n-1B n是等腰三角形，且B n-1B n，PB n-1是两腰，又正三棱锥P-A0A1A2中，∠A0PA1=α，所以∠A0PA1=∠B1PB2=•••=∠B n-1PB n=α，PB n=2PB n-1•cos∠B n-1PB n=2PB n-1•cosα（n≥1），则数列{PB n}是一个以PB0=1为首项，2cosα为公比的等比数列，时，PB2=PB1=PB0=1，且∠B0PB1=∠B1PB2=∠B2PB0，（1）当α=π3则三棱锥P-B0B1B2为正四面体，其高h= √1−(1×√32×23)2=√63，底面积S△B0B1B2=√34×12=√34，所以其体积为V P−B0B1B2=13×√34×√63= √212；（2）{B1，B2，...}是一个只有两个元素的有限集，∴B2∈PA2，B3∉PA0，即{PB2≤PA2=2 PB3＞PA0=2，由PB n=2PB n-1•cosα（n≥1），得PB2=（2cosα）2=4cos2α，PB3=（2cosα）3=8cos3α，∴由{4cos2α≤28cos3α＞2解得（12）23＜cosα≤（12）12，∴α∈[arccos（12）12，arccos（12）23）；（3）{B1，B2，…}是一个无限集，且PB n=2PB n-1•cosα（n≥1），则数列{PB n}是一个以PB0=1为首项，2cosα为公比的等比数列，∴PB0+PB1+…+PB n+…= 11−2cosα．【点评】：本题的关键是发现△PB n-1B n是等腰三角形，且B n-1B n，PB n-1是两腰，从而得到PB n=2PB n-1•cosα（n≥1），则可知数列{PB n}是一个以PB0=1为首项，2cosα为公比的等比数列．所以本题重点考察等比数列的性质及求和公式，属于中档题型．。
2015-2016第二学期高二期中考试 数学
绍兴一中期中考试试题卷一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.命题“若2x =，则2320xx -+=”的逆否命题是（ ）A ．若2x ≠，则2320x x -+≠B ．若2320x x -+=，则2x =C ．若2320x x -+≠，则2x ≠D ．若2x ≠，则2320x x -+=２．椭圆221y x m+=的焦点在x 轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m 的值为 （ ） A ．14 B ．12C ．2D ．4３．曲线y ＝x e x ＋2x －1在点(0，－1)处的切线方程为 ( )A ．y ＝3x －1B ．y ＝－3x －1C ．y ＝3x ＋1D ．y ＝－2x －14．若函数()y f x =的导函数．．．在区间[,]a b 上是增函数，则函数()y f x =在区间[,]a b 上的图象可能是（ )A ．B ．C ．D ．5.直线3+=x y 与曲线1492=-x x y 的公共点的个数是 （ ） A. 1 B.2 C.3 D. 46．过点(3,2)--A 作直线与抛物线28=x y 在第二象限相切于点B ，记抛物线的焦点为F ，则直线BF 的斜率为 （ ） A.32-B.23- C.43- D.34- y7．已知函数())0(212<-+=x e x x f x与())ln(2a x x x g ++=图象上存在关于y 轴对称的点，则a 的取值范围是 （ ） A. )1,(e -∞ B. ),(e -∞ C. ),1(e e - D. )1,(ee -8．如图所示，,,A B C 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>上的三个点，AB 经过原点O ，AC 经过右焦点F ，若BF AC ⊥且||||BF CF =，则该双曲线的离心率是 （ ）A ．BC ．32D ．3二、填空题（本大题共９个空格，每个空格３分，满分２７分）9．双曲线2212x y -=的焦距是 ，渐近线方程是 ． 10．抛物线x y C 2:2=的准线方程是 ，经过点)1,4(P 的直线l 与抛物线C 相交于,A B 两点，且点P 恰为AB 的中点，F 为抛物线的焦点，则AF BF +=．１１．已知函数()sin f xx x =-，则关于a 的不等式()()2240f a f a -+->的解是_ _．１２．在椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>中，斜率为(0)k k >的直线交椭圆于左顶点A 和另一点B ，点B在x 轴上的射影恰好为右焦点F ，若椭圆离心率13e =，则k 的值为________． １３．设函数1()()2ln =--f x p x x x （p 是实数）在其定义域内为增函数，则p 的取值范围为 ．１４．设抛物线21:2(0)=>C y px p 的焦点F 是双曲线22222:1(0,0)-=>>x y C a b a b右焦点．若曲线12C C 与的公共弦AB 恰好过F ，则双曲线2C 的离心率e 的值为 ．１５．已知点A （﹣3，0）和圆O ：x 2+y 2=9，AB 是圆O 的直径，M 和N 是AB 的三等分点，P （异于 A ，B ）是圆O 上的动点，PD ⊥AB 于D ，，直线PA 与BE 交于C ，则当λ= 时，|CM|+|CN|为定值．三、解答题（本大题共5小题，满分49分，解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤）１６．已知命题:p 实数m 满足：方程221(0)34x y a m a m a +=>--表示双曲线；命题:q 实数m 满足方程22y x +=12-m m-1表示焦点在y 轴上的椭圆． （1）若命题q 为真命题，求m 的取值范围；（2）若p 是q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．１７．已知函数32()f x x ax bx c =+++在32-=x 与1x =时都取得极值． （1）求a 、b 的值及函数()f x 的单调区间；（2）若对[]1,2x ∈-，不等式2()f x c <恒成立，试求c 的取值范围．１８．在平面直角坐标系x O y 中，直线l 与抛物线x y 22=相交于A 、B 两点。
林市第十八中学2015-2016学年高二下学期期中考试数学试题及答案(文)
广西桂林第十八中学2015---2016学年度下学期期中考试试卷高二 数 学(文科)说明：本试卷满分150分，考试时间120分钟一.选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的，请将答案填写在答卷纸上）.1．221⎛⎫= ⎪-⎝⎭ｉｉ（ ）A ．4-ｉB ．2ｉC ．4ｉD ． 2-ｉ2．已知集合{|{|(1)(2)0}A x y B x x x ===+-<，则A B =( )A ．(1,)-+∞B ．(1,2)C ．(1,2)-D ．(2,)+∞3．极坐标方程2sin()2ρθ=+π和参数方程2cos (3sin x y θθθ=⎧⎨=⎩为参数）所表示的图形分别是（ ） A ．圆与直线 B.圆与椭圆 C.直线与圆 D.直线与椭圆 4．命题“∃x 0∈(0，＋∞)，ln x 0＝x 0－1”的否定是( )A ．∃x 0∈(0，＋∞)，ln x 0≠x 0－1B ．∃x 0∉(0，＋∞)，ln x 0＝x 0－1C ．∀x ∈(0，＋∞)，ln x ≠x －1D ．∀x ∉(0，＋∞)，ln x ＝x －1 5. 函数f (x )＝ xx ＋1的最大值为 ( ) A. 25B. 1C.22D. 126．从中任取2个不同的数，事件＝“取到的2个数之和为偶数”，事件＝“取到的2个数均为偶数”，则＝（ ）A ．B ．C ．D ．7．用反证法证明命题：“已知a,b ∈N *，如果ab 可被5整除，那么a ，b 中至少有一个能被5 整除时，假设的内容应为 （ ） A ．a,b 都能被5整除 B ．a,b 都不能被5整除 C ．a,b 不都能被5整除 D ．a,b 不能被5整除8．下边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入的a ，b 分别为14，18，则输出的a ＝( )5,4,3,2,1A B ()A B P 81415221A ．0B ．2C ．4D ．149.某商场为了了解毛衣的月销售量（件）与月平均气温之间的关系，随机统计了某4个月的月销售量与当月平均气温，其数据如下表：由表中数据算出线性回归方程中的=1-，气象部门预测下个月的平均气温约为，据此估计该商场下个月毛衣销售量约为（ ）件．A ．42B ．46C ．38D ．5810.三角形的面积s=（a+b+c ）r ，a ，b ，c 为其边长，r 为内切圆的半径，利用类比法可以得出四面体的体积为 （ ） A ．V = abc （a ，b ，c 为地面边长）B ．V = sh （s 为地面面积，h 为四面体的高）C ．V =（S 1+S 2+S 3+S 4）r ，（S 1，S 2，S 3，S 4分别为四个面的面积，r 为内切球的半径）D ． V =（ab+bc+ac ）h ，（a ，b ，c 为地面边长，h 为四面体的高）11. 已知命题p ：∃m ∈R ，m ＋1≤0，命题q ：∀x ∈R ，x 2＋mx ＋1＞0恒成立．若p ∧q 为假命题，p ∨q 为真命题，则实数m 的取值范围为 （ ） A ．m ≥2B ．m ≤－2或－1＜m ＜2C ．m ≤－2或m ≥2D ．－2≤m ≤2y )(C x︒ˆy bx a =+b C ︒612. ，若函数()()g x f x k =-仅有一个零点，则k 的取值范围是（ ）B )4,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．(),0-∞D )4,23⎛⎫ ⎪⎝⎭二、填空题（共4小题，每小题5分，共计20分） 13. 。
XXX2015-2016学年高一数学上学期期中考试试卷
XXX2015-2016学年高一数学上学期期中考试试卷XXX2015-2016学年高一上学期期中考试数学试卷分为两卷，卷（Ⅰ）100分，卷（Ⅱ）50分，满分共计150分。
考试时间为120分钟。
卷（Ⅰ）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
1.如果A＝{x|x>−1}，那么正确的结论是A．A⊆B。
{0}∈A C。
{0}∈C2.函数f（x）＝2−2x，则f（1）＝A。
0 B.−2 C.2/2 D.−2/23.设全集I={x|x∈Z−3<x<3}，A={1，2}，B={−2，−1，2}，则A∪(I∩B)等于A。
{1} B。
{1，2} C。
{2} D。
{0，1，2}4.与函数y＝10lg(x−1)的定义域相同的函数是A。
y＝x−1 B。
y＝x−1 C。
y＝1/(x−1) D。
y＝x−15.若函数f（x）＝3＋3x−x与g（x）＝3−3^(−x)的定义域均为R，则A。
f（x）与g（x）均为偶函数 B。
f（x）为偶函数，g （x）为奇函数C。
f（x）与g（x）均为奇函数 D。
f（x）为奇函数，g （x）为偶函数6.设a=log_3(2)，b=ln2，c=5，则A。
a<b<XXX<c<a C。
c<a<b D。
c<b<a7.设函数y=x和y=1/2，则y的交点为（x，y），则x所在的区间是A.（，1）B.（1，2）C.（2，3）D.（3，4）8.已知函数f（x）是R上的偶函数，当x≥1时f(x)=x−1，则f（x）<0的解集是A.（−1，∞）B.（−∞，1）C.（−1，1）D.（−∞，−1）∪(1，∞)9.某商店同时卖出两套西服，售价均为168元，以成本计算，一套盈利20%，另一套亏损20%，此时商店A.不亏不盈B.盈利37.2元C.盈利14元D.亏损14元10.设函数f（x）在R上是减函数，则A。
f（a）>f（2a）B。
2015-2016学年高二下学期期中考试数学(理)试题含答案
白云中学2015—2016学年第二学期期中测试高二理科数学试卷一、选择题（每题5分，共60分）1．函数),1)(1()(-+=x x x f 则=')2(f （ ）A. 3B. 2C. 4D. 0 2．已知函数,2)(2+-=x x x f 则⎰=10)(dx x f （ ）A.613 B. 611 C. 2 D. 33．已知a 为实数，若2321>++i a i ，则=a （ ） A ．1 B ．2- C ． 31 D ．214.“所有金属都能导电，铁是金属，所以铁能导电”这种推理方法属于（ ）A ．演绎推理B ．类比推理C ．合情推理D ．归纳推理5．已知抛物线2y ax bx c =++通过点(11)P ，，且在点(21)Q -，处的切线平行于直线3y x =-，则抛物线方程为（ ）Ａ．23119y x x =-+ Ｂ．23119y x x =++Ｃ．23119y x x =-+Ｄ．23119y x x =--+6．命题p ：∃x ∈R ，使得3x ＞x ；命题q ：若函数y=f （x ﹣1）为偶函数，则函数y=f （x ）关于直线x=1对称，则（ ）A ．p ∨q 真B ．p ∧q 真C ．￢p 真D ．￢q 假7．在复平面内，复数2(13)1iz i i =+++对应的点在（ ） Ａ．第一象限 Ｂ．第二象限 Ｃ．第三象限Ｄ．第四象限8．如图，阴影部分的面积是（ ）Ａ．23Ｂ．23-Ｃ．323Ｄ．3539．函数2()sin f x x =的导数是（ ）Ａ．2sin xＢ．22sin xＣ．2cos x Ｄ．sin 2x10．下列说法正确的是（）Ａ．函数y x =有极大值，但无极小值 Ｂ．函数y x =有极小值，但无极大值 Ｃ．函数y x =既有极大值又有极小值 Ｄ．函数y x =无极值11．下列函数在点0x =处没有切线的是（ ）Ａ．23cos y x x =+ Ｂ．sin y x x =· Ｃ．12y x x=+Ｄ．1cos y x=12．已知抛物线C 的方程为x 2=y ，过点A （0，﹣1）和点B （t ，3）的直线与抛物线C 没有公共点，则实数t 的取值范围是（ ）A ．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）B ．（﹣∞，﹣）∪（，+∞）C ．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）D ．（﹣∞，﹣）∪（，+∞）二、填空题（每小题5分 ，共20分）13．函数23)(x x x f +=单调递减区间是14．若复数22(2)(2)z a a a a i =-+--为纯虚数，则实数a 的值等于 ． 15．已知函数32()39f x x x x m =-+++在区间[22]-，上的最大值是20，则实数m 的值等于 ．16．通过观察下面两等式的规律，请你写出一般性的命题：23150sin 90sin 30sin 222=++23125sin 65sin 5sin 222=++________________________________________________高二理科数学试卷答题卡1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12二、填空题（每小题5分 ，共20分）13.___________, 14.____________,15.____________,16.______________________________.三、解答题（共70分）17．（本小题满分12分）已知抛物线2y x bx c =++在点(12)，处的切线与直线20x y ++=垂直，求函数2y x bx c =++的最值．18.（本小题满分12分）求函数5224+-=x x y 在区间[-2，2]上的最大值与最小值19．（本小题满分10分）求曲线2xy 过点P（1，-1）的切线方程。
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2015-2016学年上海市浦东新区高二（下）期中数学试卷一、填空题（本大题满分36分）本大题共12小题1．（3分）椭圆+=1的长轴长为．2．（3分）直线l的方程为x+y+1=0，则直线l的倾斜角为．3．（3分）若直线l过点（3，4），且它的一个法向量是=（1，2），则直线l的方程为．4．（3分）以（1，2）为圆心，且经过原点的圆的方程是．5．（3分）圆C：x2+y2﹣2x﹣4y+4=0的圆心到直线3x+4y+4=0的距离d=．6．（3分）直线y=x+1与直线x﹣3y+1=0的夹角是．7．（3分）过点（3，﹣4）且与圆x2+y2=25相切的直线方程是．8．（3分）与椭圆+=1共焦点，且过点（4，0）的椭圆的标准方程为．9．（3分）椭圆的焦点为F1，F2，点P在椭圆上，若|PF1|=4，∠F1PF2的大小为．10．（3分）椭圆的两焦点分别为F1（﹣4，0），F2（4，0），过F1作弦AB，且△ABF2的周长为20，则此椭圆的方程为．11．（3分）若直线y=x+b与曲线有公共点，则b的取值范围为．12．（3分）若直线ax+2by﹣2=0（a，b＞0）始终平分圆x2+y2﹣4x﹣2y=0的周长，则+的最小值为．二、选择题(本大题满分12分）本大题共4小题13．（3分）直线x=0的倾斜角为（）A．0 B．C．1 D．以上都不对14．（3分）过点（2，3）且与直线2x﹣3y﹣2=0平行的直线的点方向式方程是（）A．2（x﹣2）+3（y﹣3）=0 B．=C．3（x﹣2）+2（y﹣3）=0 D．=15．（3分）两条直线a1x+b1y+c1=0与a2x+b2y+c2=0垂直的充要条件是（）A．（﹣）（﹣）=﹣1 B．（a1，b1）•（a2，b2）=0C．﹣=D．a1b2=a2b116．（3分）已知点M（﹣1，0），N（1，0），若直线上存在点P，使得|PM|+|PN|=4，则称该直线为“A型直线”，给出下列直线：①y=x+3；②x=﹣2；③y=2；④y=2x+1，其中为“A类直线”的是（）A．①③B．②④C．②③D．③④三、解答题（本大题满分52分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤17．（8分）已知△ABC的顶点的坐标分别为A（3，8），B（3，﹣2），C（﹣3，0）求：（1）AB边上中线的长；（2）AB边上中线所在的直线方程．18．（10分）已知圆C的圆心在直线x=2上，并且与y轴交于两点A（0，﹣4）、B（0，﹣2），求圆C的方程．19．（10分）已知圆C：（x﹣a）2+（y﹣2）2=4（a∈R）及直线l：x﹣y+3=0．当直线l被圆C截得的弦长为2时，求a的值．20．（10分）已知椭圆的焦点分别为F1（﹣2，0）、F2（2，0），长轴长为6，设直线x﹣y+2=0交椭圆于A、B两点（1）求椭圆的方程；（2）求线段AB的中点坐标．21．（14分）如图1，已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的焦点和上顶点分别为F1、F2、B，我们称△F1BF2为椭圆C的“特征三角形”．如果两个椭圆的特征三角形是相似的，则称这两个椭圆是“相似椭圆”，且三角形的相似比即为椭圆的相似比．若椭圆C1：+y2=1，直线L：y=mx+n（1）已知椭圆D：+=1（b＞0）与椭圆C1是相似椭圆，求b的值及椭圆D与椭圆C1的相似比；（2）求点P（0，1）到椭圆C1上点的最大距离（3）如图2，设直线L与椭圆E：+=1（λ＞1）相交于A、B两点，与椭圆C1交于C、D两点，求证：|AC|=|BD|2015-2016学年上海市浦东新区高二（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题满分36分）本大题共12小题1．（3分）椭圆+=1的长轴长为6．【解答】解：椭圆+=1的长轴长为：2a=2×3=6．故答案为：6．2．（3分）直线l的方程为x+y+1=0，则直线l的倾斜角为135°．【解答】解：由直线方程x+y+1=0，得其斜率k=﹣1，设其倾斜角为α（0°≤α＜180°），则tanα=﹣1，∴α=135°．故答案为：135°．3．（3分）若直线l过点（3，4），且它的一个法向量是=（1，2），则直线l的方程为x+2y﹣11=0．【解答】解：直线的法向量是（1，2），直线的方向向量为=（﹣2，1），所以直线的斜率为：﹣，所以直线的方程为：y﹣4=﹣（x﹣3），所以直线方程为：x+2y﹣11=0．故答案为：x+2y﹣11=0．4．（3分）以（1，2）为圆心，且经过原点的圆的方程是（x﹣1）2+（y﹣2）2=5．【解答】解：∵所求圆经过坐标原点，且圆心（1，2）与原点的距离为r=，∴所求圆的方程为（x﹣1）2+（y﹣2）2=5．故答案为：（x﹣1）2+（y﹣2）2=5．5．（3分）圆C：x2+y2﹣2x﹣4y+4=0的圆心到直线3x+4y+4=0的距离d=3．【解答】解：圆心（1，2）到直线3x+4y+4=0距离为．故答案为：36．（3分）直线y=x+1与直线x﹣3y+1=0的夹角是．【解答】解：∵直线y=x+1的斜率为k1=，∴直线的倾斜角α=，又∵直线x﹣3y+1=0的斜率k2=，∴直线的倾斜角β=，∴已知两直线的解集为，故答案为：．7．（3分）过点（3，﹣4）且与圆x2+y2=25相切的直线方程是3x﹣4y﹣25=0．【解答】解：显然点（3，﹣4）在圆x2+y2=25上，设切线方程的斜率为k，则切线方程为y+4=k（x﹣3），即kx﹣y﹣3k﹣4=0，∴圆心（0，0）到直线的距离d==5，解得k=，则切线方程为x﹣y﹣﹣4=0，即3x﹣4y﹣25=0．故答案为：3x﹣4y﹣25=08．（3分）与椭圆+=1共焦点，且过点（4，0）的椭圆的标准方程为=1．【解答】解：设与椭圆+=1共焦点的椭圆标准方程为：=1，把点（4，0）代入上述方程可得：+0=1，解得k=7．∴满足条件的椭圆标准方程为：=1．故答案为：=1．9．（3分）椭圆的焦点为F1，F2，点P在椭圆上，若|PF1|=4，∠F1PF2的大小为120°．【解答】解：∵|PF1|+|PF2|=2a=6，|PF1|=4，∴|PF2|=6﹣|PF1|=2．在△F1PF2中，cos∠F1PF2==﹣，∴∠F1PF2=120°．故答案为：120°10．（3分）椭圆的两焦点分别为F1（﹣4，0），F2（4，0），过F1作弦AB，且△ABF2的周长为20，则此椭圆的方程为=1．【解答】解：由题意可设椭圆的标准方程为：=1，（a＞b＞0）．∵过F1作弦AB，且△ABF2的周长为20，则4a=20，解得a=5，又c=4，则=3．∴椭圆的标准方程为：=1．故答案为：=1．11．（3分）若直线y=x+b与曲线有公共点，则b的取值范围为[﹣1，] ．【解答】解：依题意可知曲线可整理成y2+x2=1（y≥0），图象如图所示直线与半圆相切时，原点到直线的距离为1，即=1，∴b=直线过半圆的右顶点时，1+b=0，∴b=﹣1∴直线y=x+b与曲线有公共点时，b的取值范围为[﹣1，]故答案为：[﹣1，]12．（3分）若直线ax+2by﹣2=0（a，b＞0）始终平分圆x2+y2﹣4x﹣2y=0的周长，则+的最小值为3+2．【解答】解：由题意得，直线过圆心（2，1），所以，a+b=1．∴+=（a+b）（+）=3++≥3+2，当且仅当=时，等号成立，故答案为3+2．二、选择题(本大题满分12分）本大题共4小题13．（3分）直线x=0的倾斜角为（）A．0 B．C．1 D．以上都不对【解答】解：∵线x=0与x轴垂直，∴其倾斜角为，故选：B．14．（3分）过点（2，3）且与直线2x﹣3y﹣2=0平行的直线的点方向式方程是（）A．2（x﹣2）+3（y﹣3）=0 B．=C．3（x﹣2）+2（y﹣3）=0 D．=【解答】解：所求直线的方向向量为（3，2），又经过点（2，3），因此所求直线的点方向式方程是．故选：D．15．（3分）两条直线a1x+b1y+c1=0与a2x+b2y+c2=0垂直的充要条件是（）A．（﹣）（﹣）=﹣1 B．（a1，b1）•（a2，b2）=0C．﹣=D．a1b2=a2b1【解答】解：b1b2≠0时，两条直线a1x+b1y+c1=0与a2x+b2y+c2=0垂直⇔=﹣1，化为a1a2+b1b2=0．b1b2=0时，且b1与b2不同时为0，也满足上式．即满足条件：（a1，b1）•（a2，b2）=0．故选：B．16．（3分）已知点M（﹣1，0），N（1，0），若直线上存在点P，使得|PM|+|PN|=4，则称该直线为“A型直线”，给出下列直线：①y=x+3；②x=﹣2；③y=2；④y=2x+1，其中为“A类直线”的是（）A．①③B．②④C．②③D．③④【解答】解：由题意可知，点P的轨迹是以M，N为焦点的椭圆，其方程是=1，①把y=x+3代入椭圆方程并整理得，7x2+24x+24=0，∵△＜0，∴y=x+3不是“A型直线”．②把x=﹣2代入椭圆方程，成立，∴x=﹣2是“A型直线”．③把y=2代入椭圆方程，不成立，∴y=2不是“A型直线”．④把y=2x+1代入椭圆方程并整理得，19x2﹣48x+24=0，∵△=（﹣48）2﹣4×19×24＞0，∴y=﹣2x+3是“A型直线”．故选：B．三、解答题（本大题满分52分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤17．（8分）已知△ABC的顶点的坐标分别为A（3，8），B（3，﹣2），C（﹣3，0）求：（1）AB边上中线的长；（2）AB边上中线所在的直线方程．【解答】解：（1）∵A（3，8），B（3，﹣2），∴线段AB的中点坐标是（3，3），又∵C（﹣3，0），∴AB边上中线的长为：=3；（2）结合（3，3），（﹣3，0）易得AB边上中线所在的直线方程为：=，整理，得：x﹣2y+3=0．18．（10分）已知圆C的圆心在直线x=2上，并且与y轴交于两点A（0，﹣4）、B（0，﹣2），求圆C的方程．【解答】解：如图示：根据垂径定理可得AB的垂直平分线y=﹣3过圆心，而圆心过x=2，则圆心坐标为（2，﹣3），圆的半径r=|AC|==，则圆的标准方程为：（x﹣2）2+（y+3）2=5．19．（10分）已知圆C：（x﹣a）2+（y﹣2）2=4（a∈R）及直线l：x﹣y+3=0．当直线l被圆C截得的弦长为2时，求a的值．【解答】解：由题意圆C：（x﹣a）2+（y﹣2）2=4的圆心坐标是（a，2），半径是2．利用弦长公式可得弦心距d==1，再由点到直线的距离公式可得d=，∴1=，解得a=﹣1．20．（10分）已知椭圆的焦点分别为F1（﹣2，0）、F2（2，0），长轴长为6，设直线x﹣y+2=0交椭圆于A、B两点（1）求椭圆的方程；（2）求线段AB的中点坐标．【解答】解：（1）由题意可知：椭圆的焦点F1（﹣2，0）、F2（2，0），焦点在x轴上，设椭圆C的方程为：（a＞b＞0），c=2，a=3，b2=a2﹣c2=9﹣8=1，∴椭圆C的方程为：；（2）由（1）可知：，消y整理得：10x2+36x+27=0，由△=362﹣4×10×27=216＞0，∴直线与椭圆有两个不同的交点，设A（x1，y1），B（x2，y2），中点E（x0，y0），则x1+x2=﹣，由中点坐标公式可知：x0==﹣，y0=x0+2=，故线段AB的中点坐标为（﹣，）．21．（14分）如图1，已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的焦点和上顶点分别为F1、F2、B，我们称△F1BF2为椭圆C的“特征三角形”．如果两个椭圆的特征三角形是相似的，则称这两个椭圆是“相似椭圆”，且三角形的相似比即为椭圆的相似比．若椭圆C1：+y2=1，直线L：y=mx+n（1）已知椭圆D：+=1（b＞0）与椭圆C1是相似椭圆，求b的值及椭圆D与椭圆C1的相似比；（2）求点P（0，1）到椭圆C1上点的最大距离（3）如图2，设直线L与椭圆E：+=1（λ＞1）相交于A、B两点，与椭圆C1交于C、D两点，求证：|AC|=|BD|【解答】解：（1）由椭圆C1：+y2=1焦点在x轴上，a=2，b=1，c=，∴椭圆C1的特征三角形是腰长为2，底边长为2的等腰三角形，椭圆D：+=1（b＞0）的特征三角形是腰长为4，底边长为2的等腰三角形，椭圆D：+=1（b＞0）与椭圆C1：+y2=1是相似椭圆，因此两个特征三角形相似，∴=，解得：b2=4，即b=2，∴椭圆D与椭圆C1的相似比为2：1；（2）椭圆C1：+y2=1，设椭圆C1上动点B（2co sθ，sinθ），∴|AB|2=（2cosθ）2+（sinθ﹣1）2=4cos2θ+sin2θ﹣2sinθ+1=﹣3（sinθ+）2+，当sinθ=﹣时，﹣3（sinθ+）2+最大，即|AB|2最大值为，∴|AB|的最大值为，点P（0，1）到椭圆C1上点的最大距离．（3）证明：直线L不与x轴垂直，直线L：y=mx+n，A（x1，y1），B（x2，y2），线段AB的中点（x0，y0），由直线方程代入椭圆E：+=1（λ＞1），可得（1+4m2）x2+8mnx+4n2﹣﹣4λ2=0，即有x1+x2=﹣，x0=﹣，再将直线y=mx+n代入椭圆C1：+y2=1，可得（1+4m2）x2+8mnx+4n2﹣﹣4λ2=0，设C（x3，y3），D（x4，y4），线段AB的中点（x5，y5），即有x3+x4=﹣，x5=﹣，故AB，CD的中点重合．则|AC|=|BD|．。