鲁教版特殊平行四边形综合试题

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鲁教版(五四制)数学八年级下册第六章特殊平行四边形测试题

第六章特殊平行四边形测试题一、选择题（每小题3分，共30分）1. 矩形、菱形、正方形都具有的性质是（） A.每一条对角线平分一组对角 B.对角线相等C.对角线互相平分D.对角线互相垂直2．小刚和小东在做一道习题，若四边形ABCD 是平行四边形，请补充条件，使得四边形ABCD 是矩形.小刚补充的条件是：∠A=∠B ；小东补充的条件是：∠A+∠C=180°.你认为下列说法正确的是（）A.小刚和小东都正确B.仅小刚正确C.仅小东正确D.小刚和小东都错误3. （2015年玉林、防城港）如图1，在□ABCD 中，BM 平分∠ABC ，交CD 于点M ，且MC=2，□ABCD 的周长是14，则DM 的长为（） A ．1 B ．2 C ．3D ．44. （2015年徐州）如图2，在菱形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，E 为边AD 的中点，菱形ABCD 的周长为28，则OE 的长为（）MCD BA图1图2图3A．3.5 B．4 C．7 D．145. （2015年日照）小明在学习了正方形之后，给同桌小文出了道题．从下列四个条件：①AB＝BC；②∠ABC＝90°；③AC＝BD；④AC⊥BD中选两个作为补充条件，使□ABCD成为正方形（如图3）．现有下列四种选法，你认为其中错误．．的是（）A．①②B．②③C．①③D．②④6. （2015年安顺）如图4，点O是矩形ABCD对角线的交点，E是AB上的点，折叠后，点B恰好与点O重合，若BC=3，则折痕CE的长为（）A．23B．323C．3D．67. 如图5，在菱形ABCD中，M，N分别在AB，CD上，且AM=CN，MN与AC交于点O，连接BO．若∠DAC=28°，则∠OBC的度数为（）A．28°B．52°C．62°D．72°8. 如图6，在△ABC中，BD，CE是△ABC的中线，BD与CE相交于点O，点F，G分别是BO，CO的中点，连接AO.若AO=6 cm，BC=8 cm，则四边形DEFG的周长是（）A.14 cmB.18 cmC.24 cmD.28 cm9. 如图7，两条笔直的公路l1，l2相交于点O，村庄C的村民在公路的旁边建三个加工厂A，图6图5图4B ，D ，已知AB=BC=CD=DA=5 km ，村庄C 到公路l 1的距离为4 km ，则村庄C 到公路l 2的距离是（）A. 3 kmB. 4 kmC. 5 kmD. 6 km10. （2015年丹东）如图8，过矩形ABCD 的对角线AC 的中点O 作EF ⊥AC ，交BC 边于点E ，交AD 边于点F ，分别连接AE ，CF ．若AB=3，∠DCF=30°，则EF 的长为（） A. 2B. 3C.23D.3二、填空题（每小题4分，共32分）11. 如图9，四边形ABCD 是菱形，对角线AC 和BD 相交于点O ，AC=4 cm ，BD=8 cm ，则这个菱形的面积是 cm 2．12. 如图10，□ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，点E ，F 分别是线段AO ，BO 的中点．若AC ＋BD ＝24 cm ，△OAB 的周长是18 cm ，则EF ＝ cm ．图7O DCBA图9图4FE ODCBA 图10图1113. 如图11，矩形ABCD 的对角线相交于O ，AB=2，∠AOB=60°，则对角线AC 的长为．14. 如图12，小聪在作线段AB 的垂直平分线时，他是这样操作的：分别以A 和B 为圆心，大于12AB 的长为半径画弧，两弧相交于C ，D ，则直线CD 即为所求．根据他的作图方法可知四边形ADBC 一定是______.15. 如图13，平行四边形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，BC=9，AC=8，BD=14，则△AOD 的周长为________.16. （2015年吉林）如图14，在菱形ABCD 中，点A 在x 轴上，点B 的坐标为（8，2），点D 的坐标为（0，2），则点C 的坐标为_______．17. （2015年贵港）如图15，在正方形ABCD 的外侧，作等边三角形CDE ，连接AE ，BE ，则∠AEB 的度数为．18. 如图16，将矩形ABCD 沿对角线AC 剪开，再把△ACD 沿CA 方向平移得到△A 1C 1D 1，连接AD 1，BC 1．若∠ACB ＝30°，AB ＝1，CC 1＝x ，则下列结论：①△A 1AD 1≌△CC 1B ；②当x ＝1时，四边形ABC 1D 1是菱形；③当x ＝2时，△BDD 1为等边三角形.其中正确的是 .（填序号）三、解答题（共58分）19. （8分）如图17，四边形ABCD 是矩形，E 是AB 上一点，且DE ＝AB ，过点C 作CF ⊥DE 于点F ．（1）猜想AD 与CF 的大小关系；y OxCD AB图14图15图12图13（2）请证明上面的结论．20. （9分）（2015年河北）嘉淇同学要证明命题“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”是正确的，她先用尺规作出了如图18所示的四边形ABCD，并写出了如下不完整的已知和求证．（1）在方框中填空，补全已知和求证；（2）按嘉淇的想法写出证明；（3）用文字叙述所证命题的逆命题为______________________．21. （9分）（2015年郴州）如图19，AC是□ABCD的一条对角线，过AC中点O的直线分别交AD，BC于点E，F.⑴求证：△AOE≌△COF；⑵当EF与AC满足什么条件时，四边形AFCE是菱形？并说明理由.图1922. （10分）如图20，矩形ABCD的对角线相交于点O，DE∥CA，AE∥BD．（1）求证：四边形AODE是菱形；（2）若将题设中“矩形ABCD”这一条件改为“菱形ABCD”，其余条件不变，则四边形AODE是矩形吗？为什么？23.（10分）在一张长12 cm、宽5 cm的长方形纸片内，要折出一个菱形.小颖同学按照取两组对边中点的方法折出菱形EFGH（如图21-①），小明同学沿长方形的对角线AC折出∠CAE＝∠CAD，∠ACF＝∠ACB的方法得到菱形AECF（如图21-②）.请问小颖和小明同学的折法中，哪个菱形面积较大？24. （12分）如图22-①，在正方形ABCD中，E，F分别是边AD，DC上的点，且AF⊥BE．（1）求证：AF=BE；（2）如图22-②，在正方形ABCD中，M，N，P，Q分别是边AB，BC，CD，DA上的点，且MP⊥NQ，那么MP与NQ是否相等？并说明理由．附加题（15分，不计入总分）如图，在△ABC中，点O是边AC上一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA 的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F．（1）探究线段OE与OF的数量关系并加以证明；（2）当点O在边AC上运动时，四边形BCFE会是菱形吗？若是，请证明，若不是，请说明理由；（3）当点O运动到何处，且△ABC满足什么条件时，四边形AECF是正方形？参考答案一、1. C 2.Ａ 3. C 4. A 5. B 6. A 7. C 8. A 9. B 10. A二、11. 16 12. 3 13. 4 14. 菱形15.2016.（4，4）17. 30°18. ①②③三、19.（1）解：AD＝CF．（2）证明：因为四边形ABCD是矩形，所以AB∥DC.所以∠AED＝∠FDC，AB＝CD．又DE＝AB，所以DE＝CD．因为CF⊥DE，所以∠CFD＝∠A＝90°．所以△ADE≌△FCD．所以AD＝CF．20. 解：（1）CD 平行（2）证明：如图，连接BD．在△ABD和△CDB中，AB＝CD，AD＝CB，BD＝DB，所以△ABD≌△CDB.所以∠1＝∠2，∠3＝∠4.所以AB∥CD，AD∥CB.所以四边形ABCD是平行四边形．（3）平行四边形的对边相等21.（1）证明：因为四边形ABCD是平行四边形，所以AD∥BC.所以∠EAO=∠FCO.因为O是AC的中点，所以AO=CO.又∠EOA=∠FOC，所以△AOE≌△COF.（2）解：当EF⊥AC时，四边形AFCE是菱形.理由：由（1）知△AOE≌△COF，所以OE=OF.又AO=CO，所以四边形AFCE是平行四边形.所以当EF⊥AC时，平行四边形AFCE是菱形.22.（1）证明：因为DE∥CA，AE∥BD，所以四边形AODE是平行四边形. 因为四边形ABCD是矩形，所以OA=OC，OD=OB，AC=BD.所以OA=OD.所以四边形AODE是菱形．（2）解：四边形AODE是矩形.理由：因为DE∥CA，AE∥BD，所以四边形AODE是平行四边形.因为四边形ABCD 是菱形，所以AC ⊥BD ，即∠AOD=90°. 所以四边形AODE 是矩形． 23. 解：小颖的折法：S 菱形EFGH ＝21×12×5＝30（cm 2）；小明的折法：设BE ＝x cm ，则AE ＝CE=（12－x ）cm. 在Rt △ABE 中，由勾股定理，得（12－x ）2＝52+x 2，解得x ＝24119，则EC ＝24169. 所以S 菱形AECF ＝24169×5＝24845（cm 2）. 因为30<24845，所以小明折出的菱形面积较大. 24.（1）证明：在正方形ABCD 中，AB=AD ，∠BAE=∠D=90°.所以∠DAF+∠BAF=90°.因为AF ⊥BE ，所以∠ABE+∠BAF=90°.所以∠ABE=∠DAF.所以△ABE ≌△DAF.所以AF=BE. （2）解：MP=NQ ．理由：过点A 作AF ∥MP 交CD 于点F ，过点B 作BE ∥NQ 交AD 于点E ，则与（1）的情况完全相同，可得AF=BE ，从而MP=NQ. 附加题解：（1）OE ＝OF ．证明：因为CE 是∠ACB 的平分线，所以∠1＝∠2．因为MN ∥BC ，所以∠1＝∠3．所以∠2＝∠3．所以OE ＝OC ．同理可证OC ＝OF ．所以OE ＝OF ．（2）四边形BCFE 不可能是菱形．理由：若四边形BCFE 为菱形，则BF ⊥EC ，而由已知易得FC ⊥EC ，在平面内过同一点F 不可能有两条直线同时垂直于一条直线，所以四边形BCFE 不可能是菱形．（3）当点O 运动到AC 中点时，OE ＝OF ，OA ＝OC ，则四边形AECF 为平行四边形，易证∠ECF ＝90°，所以四边形AECF 为矩形.要使AECF 为正方形，必须EF ⊥AC ．因为EF ∥BC ，所以只要AC ⊥BC 即可，所以△ABC 应是以∠ACB 为直角的直角三角形．所以当点O为AC中点且△ABC是以∠ACB为直角的直角三角形时，四边形AECF是正方形．初中数学试卷金戈铁制卷。

达标测试鲁教版(五四制)八年级数学下册第六章特殊平行四边形专项练习试题(含答案解析)

鲁教版（五四制）八年级数学下册第六章特殊平行四边形专项练习考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I 卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、菱形ABCD 的边长为5，一条对角线长为6，则菱形面积为（）A ．20B ．24C ．30D ．482、如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，如果D 为边AB 上的中点，那么下面结论错误的是（）A ．12CD AB = B ．12CB AB = C ．∠A ＝∠ACD D ．∠ADC ＝2∠B3、如图，菱形OABC 的边OA 在平面直角坐标系中的x 轴上，60AOC ∠=︒，4OA =，则点C 的坐标为（）A ．(2,B ．()2C ．(D ．()2,24、如图，四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠C =90°，AB =AD ，连接BD ，∠BAD 的角平分线交BD 、BC 分别于点O 、E ，若EC =3，CD =4，则BO 的长为（）A ．4B ．C ．D ．5、如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC 的点A 和点C 分别落在x 轴和y 轴正半轴上，AO ＝4，直线l ：y ＝3x +2经过点C ，将直线l 向下平移m 个单位，设直线可将矩形OABC 的面积平分，则m 的值为（）A ．7B ．6C ．4D ．86、如图，菱形ABCD 的对角线AC 和BD 相交于点O ，8AC =，12BD =，E 是OB 的中点，P 是CD 的中点，连接PE ，则线段PE 的长为（）A ．BC ．D 7、矩形ABCD 的对角线交于点O ，∠AOD =120°，AO =3，则BC 的长度是（）A ．3B ．C ．D ．68、下列关于ABCD 的叙述，正确的是（）A ．若AC BD =，则ABCD 是矩形B ．若AB AD =，则ABCD 是正方形C ．若AB BC ⊥，则ABCD 是菱形D ．若AC BD ⊥，则ABCD 是正方形9、下列命题是真命题的有（）个．①一组对边相等的四边形是矩形；②两条对角线相等的四边形是矩形；③四条边都相等且对角线互相垂直的四边形是正方形；④四条边都相等的四边形是菱形；⑤一组邻边相等的矩形是正方形．A ．1B ．2C ．3D ．4 10、数学课上，老师要同学们判断一个四边形门框是否为矩形．下面是某合作小组4位同学拟定的方案，其中正确的是( )A ．测量对角线是否互相平分B ．测量一组对角是否都为直角C ．测量对角线长是否相等D ．测量3个角是否为直角第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、如图，在边长为6的正方形ABCD 内作∠EAF ＝45°，AE 交BC 于点E ，AF 交CD 于点F ，连接EF ，将ADF 绕点A 顺时针旋转90°得到ABG ，若BE ＝2，则EF 的长为___．2、在平面直角坐标系中，直线l ：1y x =-与x 轴交于点1A ，如图所示依次作正方形111A B C O 、正方形2221A B C C 、…、正方形n 1n n n A B C C -，使得点1A 、2A 、3A 、…在直线1上，点1C 、2C 、3C 、…在y 轴正半轴上，则点n B 的坐标是________．3、如图在矩形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，E ，F 分别是AO ，AD 的中点，若12AB =cm ，16BC =cm ，则EF =________cm ．4、如图，正方形ABCD 中，将边BC 绕着点C 旋转，当点B 落在边AD 的垂直平分线上的点E 处时，∠AEC 的度数为_______5、直角三角形两直角边长分别为5cm和12cm，则斜边上的中线长为_____cm．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、如图，四边形ABCD是一个正方形，E、F分别在AD、DC边上，且DE=CF，AF、BE交于O点，请说出线段AF和BE的关系，并证明你的结论．2、如图：正方形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，BE＝CF，连接AE，BF交于点O，点M为AB中点，连接OM，求证：12OM AB=．3、请阅读下列材料：问题：如图1，点A，B在直线l的同侧，在直线l上找一点P，使得AP+BP的值最小．小军的思路是：如图2，作点A关于直线l的对称点A'，连接A B'，则A B'与直线l的交点P即为所求．请你参考小军同学的思路，探究并解决下列问题：(1)如图3，在图2的基础上，设AA'与直线l的交点为C，过点B作BD⊥l，垂足为D．若CP＝1，PD ＝2，AC＝1，写出AP+BP的值为；(2)如图3，若AC＝1，BD＝2，CD＝6，写出此时AP+BP的最小值；(3)的最小值．⊥，点E，F分别为垂足．4、已知：如图，在▱ABCD中，AE⊥BC，CF AD(1)求证：△ABE≌△CDF；(2)求证：四边形AECF是矩形．5、四边形ABCD是正方形，E、F分别是DC和B的延长线上点，且DE=BF，连接AE、AF、EF．(1)求证：△ADE≌ABF；(2)若BC=4，DE=1，求△ABF的面积．-参考答案-一、单选题1、B【解析】【分析】根据菱形的性质利用勾股定理求得另一条对角线，再根据菱形的面积等于两对角线乘积的一半求得菱形的面积．【详解】解：如图，当BD＝6时，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AO＝CO，BO＝DO＝3，∵AB＝5，∴AO，∴AC＝8，∴菱形的面积是：6×8÷2＝24，故选：C．【点睛】本题主要考查菱形的面积公式，以及菱形的性质和勾股定理，关键是掌握菱形的面积等于两条对角线的积的一半．2、B【分析】根据直角三角形斜边上的中线的性质结合等腰三角形的性质及含30 角的直角三角形的性质，三角形外角的性质判定即可求解．【详解】解：在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，D 为边AB 上的中点，12AD BD CD AB ∴===，故A 选项正确，不符合题意； A ACD ∴∠=∠，故C 选项正确，不符合题意；DCB B ∠=∠，2ADC DCB B B ∴∠=∠+∠=∠，故D 选项正确，不符合题意；只有当30A ∠=︒时，12CB AB =，故B 选项错误，符合题意．故选：B ．【点睛】本题主要考查直角三角形斜边上的中线，解题的关键是掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．3、A【解析】【分析】如图：过C 作CE ⊥OA ，垂足为E ，然后求得∠OCE =30°，再根据含30°角直角三角形的性质求得OE ，最后运用勾股定理求得CE 即可解答.【详解】解：如图：过C 作CE ⊥OA ，垂足为E ，∵菱形OABC ，4OA =∵60AOC ∠=︒，∴∠OCE =30°∵OC =4∴OE =2∴CE ==∴点C 的坐标为(2,.故选A .【点睛】本题主要考查了菱形的性质、含30°直角三角形的性质、勾股定理等知识点，作出辅助线、求出OE 、CE 的长度是解答本题的关键.4、C【解析】【分析】连接DE ，因为AB =AD ，AE ⊥BD ，AD ∥BC ，可证四边形ABED 为菱形，从而得到BE 、BC 的长，进而解答即可．【详解】解：连接DE ．在直角三角形CDE 中，EC =3，CD =4，根据勾股定理，得DE =5．∵AB =AD ， AE 平分BAD ∠∴AE ⊥BD ，BO =OD ，∴AE 垂直平分BD ，∠BAE =∠DAE ．∴DE =BE =5．∵AD ∥BC ，∴∠DAE =∠AEB ，∴∠BAE =∠AEB ，∴AB =BE =5，∴BC =BE +EC =8，∴四边形ABED 是菱形，由勾股定理得出BD =∴1.2BO BD == 故选：C ．【点睛】本题考查勾股定理的运用以及菱形的判定和性质，题目难度适中，根据条件能够发现图中的菱形ABDE 是关键．5、A【解析】【分析】如图所示，连接AC ，OB 交于点D ，先求出C 和A 的坐标，然后根据矩形的性质得到D 是AC 的中点，从而求出D 点坐标为（2，1），再由当直线32y x =+经过点D 时，可将矩形OABC 的面积平分，进行求解即可．【详解】解：如图所示，连接AC ，OB 交于点D ，∵C 是直线32y x =+与y 轴的交点，∴点C 的坐标为（0，2），∵OA =4，∴A 点坐标为（4，0），∵四边形OABC 是矩形，∴D 是AC 的中点，∴D 点坐标为（2，1），当直线32y x =+经过点D 时，可将矩形OABC 的面积平分，由题意得平移后的直线解析式为32y x m =+-，∴3221m ⨯+-=，∴7m =，故选A ．【点睛】本题主要考查了一次函数与几何综合，一次函数的平移，矩形的性质，解题的关键在于能够熟知过矩形中心的直线平分矩形面积．6、A【解析】【分析】取OD的中点H，连接HP，由菱形的性质可得AC⊥BD，AO＝CO＝4，OB＝OD＝6，由三角形中位线定理可得122HP OC==，HP AC∥，可得EH＝6，90EHP∠=︒，由勾股定理可求PE的长．【详解】解：如图，取OD的中点H，连接HP∵四边形ABCD是菱形∴AC⊥BD，AO＝CO＝4，OB＝OD＝6∵点H是OD中点，点E是OB的中点，点P是CD的中点∴OH =3，OE =3，122HP OC ==，HP AC ∥ ∴EH ＝6，90EHP ∠=︒在Rt HPE △中，由勾股定理可得：∴PE =故选：A【点睛】本题考查了菱形的性质，三角形中位线定理，勾股定理，添加恰当辅助线构造直角三角形是解题的关键．7、C【解析】【分析】画出图形，由条件可求得△AOB 为等边三角形，则可求得AC 的长，在Rt △ABC 中，由勾股定理可求得BC 的长．【详解】解：如下图所示：∵四边形ABCD 是矩形，∴∠ABC =90°，OA =12AC ，OB =12BD ，AC=BD ， ∴OA=OB ，∵∠AOD =120°，∴∠AOB=60°，∴△AOB是等边三角形，∴OA=AB=2，∴AC=2OA=4，∴BC2=AC2-AB2=36-9=27，∴BC=故选：D．【点睛】本题考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质以及勾股定理；熟练掌握矩形的性质，证明三角形是等边三角形是解决问题的关键．8、A【解析】【分析】由菱形的判定方法、矩形的判定方法、正方形的判定方法得出选项A、B、D错误，C正确；即可得出结论．【详解】=，解：ABCD中，AC BD∴四边形ABCD是矩形，选项A符合题意；=，ABCD中，AB AD∴四边形ABCD是菱形，不一定是正方形，选项B不符合题意；⊥，ABCD中，AB BC∴四边形ABCD是矩形，不一定是菱形，选项C不符合题意；⊥，ABCD中，AC BD四边形ABCD是菱形，选项D不符合题意；故选：A．【点睛】本题考查了平行四边形的性质、菱形的判定方法、矩形的判定方法、正方形的判定方法；熟练掌握矩形、菱形、正方形的判定方法是解决问题的关键．9、B【解析】【分析】根据两条对角线平分且相等的四边形是矩形，四条边都相等的四边形是菱形，如果对角线互相垂直平分且相等，那么这个四边形是正方形进行判断即可．【详解】解：①一组对边相等的四边形不一定是矩形，错误；②两条对角线相等的平行四边形是矩形，错误；③四条边都相等且对角线互相垂直的四边形是菱形，错误；④四条边都相等的四边形是菱形，正确；⑤一组邻边相等的矩形是正方形，正确．故选：B．【点睛】此题考查考查平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定方法，关键是根据矩形、正方形、菱形的判定解答．10、D【解析】【分析】矩形的判定方法有：（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形；（2）有三个角是直角的四边形是矩形；（3）对角线互相平分且相等的四边形是矩形；由矩形的判定方法即可求解．【详解】解：A 、对角线是否互相平分，能判定是否是平行四边形，故不符合题意；B 、测量一组对角是否都为直角，不能判定形状，故不符合题意；C 、测量对角线长是否相等，不能判定形状，故不符合题意；D 、测量3个角是否为直角，若四边形中三个角都为直角，能判定矩形，故符合题意；故选：D ．【点睛】本题考查的是矩形的判定、平行四边形的判定等知识；熟练掌握矩形的判定和平行四边形的判定与性质是解题的关键．二、填空题1、5【解析】【分析】由旋转的性质可得AF AG =，DAF BAG ∠=∠，90D ABG ∠=∠=︒，由“SAS ”可证GAE FAE ∆≅∆，可得EF GE ，由勾股定理可求解．【详解】解：由旋转的性质可知：AF AG =，DAF BAG ∠=∠，90D ABG ∠=∠=︒，180ABG ABE ∠+∠=︒，∴点G 在CB 的延长线上，四边形ABCD 为正方形，90BAD ∴∠=︒．又45EAF ∠=︒，45BAE DAF ∴∠+∠=︒．45BAG BAE ∴∠+∠=︒．GAE FAE ∴∠=∠．在GAE ∆和FAE ∆中，AG AF GAE FAE AE AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ()GAE FAE SAS ∴∆≅∆，EF GE ∴=，2EF GE GB BE DF ∴==+=+，222EF CF EC =+，222(2)(6)(62)DF DF ∴+=-+-，3DF ∴=，5EF ∴=，故答案为：5．【点睛】本题考查了旋转的性质、全等三角形的性质和判定、勾股定理的应用，正方形的性质，解题的关键是掌握利用勾股定理求线段的长．2、()12,21n n --【解析】【分析】根据一次函数图象上点的坐标特征结合正方形的性质可得出点A 1、B 1的坐标，同理可得出A 2、A 3、A 4、A 5、…及B 2、B 3、B 4、B 5、…的坐标，根据点的坐标的变化可找出变化规律“Bn （2n -1，2n -1）（n为正整数）”，依此规律即可得出结论．【详解】解：当y =0时，有x -1=0，解得：x =1，∴点A 1的坐标为（1，0）．∵四边形A 1B 1C 1O 为正方形，∴点B 1的坐标为（1，1）．同理，可得出：A 2（2，1），A 3（4，3），A 4（8，7），A 5（16，15），…，∴B 2（2，3），B 3（4，7），B 4（8，15），B 5（16，31），…，∴Bn （2n -1，2n -1）（n 为正整数），故答案为：()12,21n n --【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、正方形的性质以及规律型：点的坐标，根据点的坐标的变化找出变化规律“Bn （2n -1，2n -1）（n 为正整数）”是解题的关键．3、5【解析】【分析】在Rt △ABC 中，先利用勾股定理求出矩形的对角线的长，再根据三角形中位线定理可得出EF 的长．【详解】解：在Rt △ABC 中，()20cm =，∴矩形ABCD 中，BD =20cm ，DO =10cm ，∵点E 、F 分别是AO 、AD 的中点，∴EF 是△AOD 的中位线，∴EF =12OD =12×10=5（cm ），故答案为：5．【点睛】本题考查了三角形的中位线定理、勾股定理及矩形的性质的运用，解答本题需要熟练掌握：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．4、45︒或135︒【解析】【分析】分两种情况分析：当点E 在BC 下方时记点E 为点1E ，点E 在BC 上方时记点E 为点2E ，连接1BE ，2BE ，根据垂直平分线的性质得11E B E C =，22E B E C =，由正方形的性质得AB BC =，90ABC ∠=︒，由旋转得1BC E C =，2BC E C =，故1E BC ，2E BC 是等边三角形，1ABE ，2ABE 是等腰三角形，由等边三角形和等腰三角形的求角即可．【详解】如图，当点E 在BC 下方时记点E 为点1E ，连接1BE ，∵点1E 落在边AD 的垂直平分线，∴11E B E C =，∵四边形ABCD 是正方形， ∴AB BC =，∵BC 绕点C 旋转得1CE ， ∴1BC E C =，∴1E BC 是等边三角形，1ABE 是等腰三角形， ∴1160CBE BE C ∠=∠=︒，19060150ABE ∠=︒+︒=︒， ∴11(180150)215AE B BAE ∠=∠=︒-︒÷=︒， ∴111601545AE C BE C AE B =∠-∠=︒-︒=︒，当点E 在BC 上方时记点E 为点2E ，连接2BE ， ∵点2E 落在边AD 的垂直平分线， ∴22E B E C =，∵四边形ABCD 是正方形， ∴AB BC =，，∵BC 绕点C 旋转得2CE ， ∴2BC E C =，∴2E BC 是等边三角形，2ABE 是等腰三角形， ∴2260CBE BE C ∠=∠=︒，2906030ABE ∠=︒-︒=︒，∴22(18030)275AE B BAE∠=∠=︒-︒÷=︒，∴2226075135AE C BE C AE B=∠+∠=︒+︒=︒．故答案为：45︒或135︒．【点睛】本题考查正方形的性质、垂直平分线的性质、旋转的性质，以及等边三角形与等腰三角形的判定与性质，掌握相关知识点的应用是解题的关键．5、13 2【解析】【分析】根据勾股定理先计算斜边长，根据直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，计算中线的长．【详解】∵直角三角形两直角边长分别为5cm和12cm，13=，∴斜边上的中线长为132cm，故答案为：132．【点睛】本题考查了勾股定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，计算斜边长是解题的关键．三、解答题1、AF=BE，AF⊥BE，证明见解析．【解析】先根据正方形的性质证得AE=DF，然后再证明△AEB≌△AFD可得∠ABE=∠FAD，然后再根据直角三角形的性质证得∠AOE=90°即可．【详解】解：AF⊥BE，AF=BE,证明如下：证明：∵正方形ABCD∴AB=AD=DC,∠D=∠BAD=90°∵CF=DE∴AE=AD-DE,DF=DC-CF∴AE=DF在△AEB和△AFD中AB=AD, ∠D=∠BAD, AE=DF∴△ABE≌△DAF（SAS）∴∠ABE=∠FAD，AF=BE∵∠BAD=90°∴∠ABE+∠AEB=90°∴∠FAD+∠AEB=90°∴∠AOE=90°，AF⊥BE．∴AF=BE，AF⊥BE．【点睛】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质等知识点，根据题意证得△ABE≌△DAF成为解答本题的关键．2、见解析【分析】证明△ABE≌△BCF，再推导出∠AOB＝90°，在Rt△ABO中，M点是斜边AB中点，根据直角三角形斜边中线的性质可得结论．【详解】证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠ABE＝∠BCF＝90°，又BE＝CF，∴△ABE≌△BCF（SAS）．∴∠BAE＝∠CBF．∵∠ABO+∠CBF＝90°，∴∠ABO+∠BAO＝90°，即∠AOB＝90°．在Rt△ABO中，M点是斜边AB中点，∴12OM AB．【点睛】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、直角三角形斜边的中线性质，解决线段间的倍分关系，要先观察线段所在图形的特征，借助全等三角形或特殊三角形的性质求解．3、【解析】【分析】（1）作AE∥l，交BD的延长线于E，根据已知条件求得△CPA’是等腰直角三角形，然后得到△BEA’是等腰直角三角形，从而求得A’B的值；（2）作AE∥l，交BD的延长线于E，根据已知条件求得BE、A’E，然后根据勾股定理即可求得A’B，从而求得AP＋BP的值；（3）设AC＝5m−3，PC＝1，则PA BD＝8−5m，PD＝3，则PB，结合（2）即可求解．(1)解：作A’E∥l，交BD的延长线于E，如图3，∵AA’⊥l，BD⊥l，∴DE⊥A’E∴四边形A’EDC是矩形，∵CP＝ AC＝1∴CP＝ A’C∴△CPA’是等腰直角三角形，∴∠CA’P=45°∵A’E∥l，∴∠CA’E=90°∴∠BA’E=45°∴△BEA’是等腰直角三角形，∵A’E=CP+DP=3∴BE=A’E=3∴A’B=∴AP+BP= A’B故答案为：(2)作A’E∥l，交BD的延长线于E，如图3，∵AA’⊥l，BD⊥l，∴DE⊥A’E∴四边形A’EDC是矩形，∴A’E＝DC＝6，DE＝A’C＝AC＝1，∵BD＝2，∴BD＋AC＝BD＋DE＝3，即BE＝3，在Rt△A’BE中，A’B∴AP＋BP＝A’P＋BP＝A’B＝故答案为：(3)如图3，设AC ＝5m −3，PC ＝1，则PA设BD ＝8−5m ，PD ＝3，则PB ，∵DE ＝AC ＝5m −3， ∴BE ＝BD ＋DE ＝5，A ’E ＝CD ＝PC ＋PD ＝4，∴PA ＋PB 的最小值为A ’B=【点睛】本题考查了轴对称−最短路线问题，熟练掌握轴对称的性质和勾股定理的应用是解题的关键．4、 (1)证明见解析(2)证明见解析【解析】【分析】（1）先根据平行四边形的性质可得,AB CD B D =∠=∠，再根据垂直的定义可得90AEB CFD ∠=∠=︒，然后根据三角形全等的判定定理（AAS 定理）即可得证；（2）先根据平行四边形的性质可得AD BC ∥，再根据平行线的性质可得90EAF ∠=︒，然后根据矩形的判定即可得证．(1)证明：四边形ABCD 是平行四边形，,AB CD B D ∴=∠=∠，,AE BC CF AD ⊥⊥，90AEB CFD ∴∠=∠=︒，在ABE △和CDF 中，90B D AEB CFD AB CD ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩， ()ABE CDF AAS ∴≅．(2)证明：,AE BC CF AD ⊥⊥，90AEC AFC ∴∠=∠=︒，四边形ABCD 是平行四边形，AD BC ∴，18090EAF AEC ∴∠=︒-∠=︒，∴在四边形AECF 中，90AEC AFC EAF ∠=∠=∠=︒，∴四边形AECF 是矩形．【点睛】本题考查了平行四边形的性质、三角形全等的判定定理、矩形的判定等知识点，熟练掌握各判定定理与性质是解题关键．5、 (1)证明见解答；(2)2．【解析】【分析】（1）根据全等三角形的判定定理即可得出答案；（2）根据正方形的性质求出AB 的长度，根据全等三角形的性质求出BF 的长度，即可确定三角形ABF 的面积．(1)解：∵四边形ABCD 是正方形，∴AD =AB ，∠D =∠ABF =90°，在△ADE 和△ABF 中，AD AB ADE ABF DE BF ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝， ∴△ADE ≌△ABF （SAS ）；(2)∵DE =1，BC =4，∴BF =1，AB =4，∴S △ABF =12×1×4=2，【点睛】本题考查了正方形的性质和全等三角形的判定，解题的关键是要牢记正方形的性质和全等三角形的判定定理．。

2021-2022学年鲁教版八年级数学下册《第6章特殊平行四边形》单元综合练习(附答案)

2021-2022学年鲁教版八年级数学下册《第6章特殊平行四边形》单元综合练习（附答案）1．菱形具有而平行四边形不一定具有的性质是（）A．两组对边分别平行B．两组对角分别相等C．对角线互相平分D．对角线互相垂直2．下列说法中，错误的是（）A．平行四边形的对角线互相平分B．对角线互相平分的四边形是平行四边形C．菱形的对角线互相垂直D．对角线互相垂直的四边形是菱形3．如图，四边形ABCD为平行四边形，延长AD到E，使DE＝AD，连接EB，EC，DB，添加一个条件，不能使四边形DBCE成为矩形的是（）A．AB＝BE B．BE⊥DC C．∠ADB＝90°D．CE⊥DE4．如图，E是边长为1的正方形ABCD的对角线BD上一点，且BE＝BC，P为CE上任意一点，PQ⊥BC于点Q，PR⊥BE于点R，则PQ+PR的值是（）A．B．C．D．5．在△ABC中，点D是边BC上的点（与B，C两点不重合），过点D作DE∥AC，DF∥AB，分别交AB，AC于E，F两点，下列说法正确的是（）A．若AD⊥BC，则四边形AEDF是矩形B．若AD垂直平分BC，则四边形AEDF是矩形C．若BD＝CD，则四边形AEDF是菱形D．若AD平分∠BAC，则四边形AEDF是菱形6．将五个边长都为2cm的正方形按如图所示摆放，点A、B、C、D分别是四个正方形的中心（对角线的交点），则图中四块阴影面积的和为（）A．2cm2B．4cm2C．6cm2D．8cm27．如图，在四边形ABCD中，∠ADC＝∠ABC＝90°，AD＝CD，DP⊥AB于P．若四边形ABCD的面积是18，则DP的长是．8．如图，将正方形OEFG放在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点E的坐标为（2，3），则点F的坐标为．9．如图，在正方形ABCD中，边长为2的等边三角形AEF的顶点E、F分别在BC和CD 上，下列结论：①CE＝CF；②∠AEB＝75°；③BE+DF＝EF；④S正方形ABCD＝2+．其中正确的序号是（把你认为正确的都填上）．10．如图，将两条宽度都为3的纸条重叠在一起，使∠ABC＝60°，则四边形ABCD的面积为．11．如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC＝1，CE＝3，H是AF的中点，那么CH的长是．12．如图，点G是正方形ABCD对角线CA的延长线上任意一点，以线段AG为边作一个正方形AEFG，线段EB和GD相交于点H．若AB＝，AG＝1，则EB＝．13．如图，分别以直角△ABC的斜边AB，直角边AC为边向△ABC外作等边△ABD和等边△ACE，F为AB的中点，DE与AB交于点G，EF与AC交于点H，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°．给出如下结论：①EF⊥AC；②四边形ADFE为菱形；③AD＝4AG；④FH＝BD其中正确结论的为（请将所有正确的序号都填上）．14．如图，已知点E在正方形ABCD的边AB上，以BE为边向正方形ABCD外部作正方形BEFG，连接DF，M、N分别是DC、DF的中点，连接MN．若AB＝7，BE＝5，则MN ＝．15．一个平行四边形的一条边长为3，两条对角线的长分别为4和2，则它的面积为．16．如图，在正方形ABCD中，点E，N，P，G分别在边AB，BC，CD，DA上，点M，F，Q都在对角线BD上，且四边形MNPQ和AEFG均为正方形，则的值等于．17．如图，已知正方形ABCD的边长为5，点E、F分别在AD、DC上，AE＝DF＝2，BE 与AF相交于点G，点H为BF的中点，连接GH，则GH的长为．18．如图，在正方形ABCD中，点F为CD上一点，BF与AC交于点E．若∠CBF＝20°，则∠AED等于度．19．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A、C的坐标分别为（10，0），（0，4），点D是OA的中点，点P在BC边上运动，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，点P 的坐标为．20．如图，在矩形ABCD中，M为BC边上一点，连接AM，过点D作DE⊥AM，垂足为E．若DE＝DC＝1，AE＝2EM，则BM的长为．21．如图，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝4，过对角线BD中点O的直线分别交AB，CD边于点E，F．（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；（2）当四边形BEDF是菱形时，求EF的长．22．如图，△ABC中，D是AB上一点，DE⊥AC于点E，F是AD的中点，FG⊥BC于点G，与DE交于点H，若FG＝AF，AG平分∠CAB，连接GE，GD．（1）求证：△ECG≌△GHD；（2）小亮同学经过探究发现：AD＝AC+EC．请你帮助小亮同学证明这一结论．（3）若∠B＝30°，判定四边形AEGF是否为菱形，并说明理由．23．已知正方形ABCD如图所示，连接其对角线AC，∠BCA的平分线CF交AB于点F，过点B作BM⊥CF于点N，交AC于点M，过点C作CP⊥CF，交AD延长线于点P．（1）若正方形ABCD的边长为4，求△ACP的面积；（2）求证：CP＝BM+2FN．24．如图，已知四边形ABCD为正方形，AB＝4，点E为对角线AC上一动点，连接DE、过点E作EF⊥DE．交BC点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．（1）求证：矩形DEFG是正方形；（2）探究：CE+CG的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．25．已知：如图，在菱形ABCD中，点E，O，F分别为AB，AC，AD的中点，连接CE，CF，OE，OF．（1）求证：△BCE≌△DCF；（2）当AB与BC满足什么关系时，四边形AEOF是正方形？请说明理由．26．四边形ABCD为正方形，点E为线段AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交射线BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．（1）如图1，求证：矩形DEFG是正方形；（2）若AB＝2，CE＝，求CG的长度；（3）当线段DE与正方形ABCD的某条边的夹角是30°时，直接写出∠EFC的度数．27．如图1，在正方形ABCD中，点P是对角线BD上的一点，点E在AD的延长线上，且P A＝PE，PE交CD于点F，（1）证明：PC＝PE；（2）求∠CPE的度数；（3）如图2，把正方形ABCD改为菱形ABCD，其他条件不变，当∠ABC＝120°，连接CE，试探究线段AP与线段CE的数量关系，并说明理由．28．如图，O是矩形ABCD的对角线的交点，E、F、G、H分别是OA、OB、OC、OD上的点，且AE＝BF＝CG＝DH．（1）求证：四边形EFGH是矩形；（2）若E、F、G、H分别是OA、OB、OC、OD的中点，且DG⊥AC，OF＝2cm，求矩形ABCD的面积．参考答案1．解：A、不正确，两组对边分别平行；B、不正确，两组对角分别相等，两者均有此性质正确，；C、不正确，对角线互相平分，两者均具有此性质；D、菱形的对角线互相垂直但平行四边形却无此性质．故选：D．2．解：根据平行四边形和菱形的性质得到ABC均正确，而D不正确，因为对角线互相垂直的四边形也可能是梯形，故选：D．3．解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，又∵AD＝DE，∴DE∥BC，且DE＝BC，∴四边形BCED为平行四边形，A、∵AB＝BE，DE＝AD，∴BD⊥AE，∴▱DBCE为矩形，故本选项错误；B、∵对角线互相垂直的平行四边形为菱形，不一定为矩形，故本选项正确；C、∵∠ADB＝90°，∴∠EDB＝90°，∴▱DBCE为矩形，故本选项错误；D、∵CE⊥DE，∴∠CED＝90°，∴▱DBCE为矩形，故本选项错误．故选：B．4．解：连接BP，过C作CM⊥BD，∵S△BCE＝S△BPE+S△BPC＝BC×PQ×+BE×PR×＝BC×（PQ+PR）×＝BE×CM×，BC＝BE，∴PQ+PR＝CM，∵BE＝BC＝1，且正方形对角线BD＝BC＝，又∵BC＝CD，CM⊥BD，∴M为BD中点，又△BDC为直角三角形，∴CM＝BD＝，即PQ+PR值是．故选：D．5．解：若AD⊥BC，则四边形AEDF是平行四边形，不一定是矩形；选项A错误；若AD垂直平分BC，则四边形AEDF是菱形，不一定是矩形；选项B错误；若BD＝CD，则四边形AEDF是平行四边形，不一定是菱形；选项C错误；若AD平分∠BAC，则四边形AEDF是菱形；正确；故选：D．6．解：如图，连接AP，AN，点A是正方形的对角线的交点．则AP＝AN，∠APF＝∠ANE＝45°，∵∠P AF+∠F AN＝∠F AN+∠NAE＝90°，∴∠P AF＝∠NAE，∴△P AF≌△NAE，∴四边形AENF的面积等于△NAP的面积，而△NAP的面积是正方形的面积的，而正方形的面积为4，∴四边形AENF的面积为1cm2，四块阴影面积的和为4cm2．故选：B．7．解：如图，过点D作DE⊥DP交BC的延长线于E，∵∠ADC＝∠ABC＝90°，∴四边形DPBE是矩形，∵∠CDE+∠CDP＝90°，∠ADC＝90°，∴∠ADP+∠CDP＝90°，∴∠ADP＝∠CDE，∵DP⊥AB，∴∠APD＝90°，∴∠APD＝∠E＝90°，在△ADP和△CDE中，，∴△ADP≌△CDE（AAS），∴DE＝DP，四边形ABCD的面积＝四边形DPBE的面积＝18，∴矩形DPBE是正方形，∴DP＝＝3．故答案为：3．8．解：如图，过点E作x轴的垂线EH，垂足为H．过点G作x轴的垂线GM，垂足为M，连接GE、FO交于点O′．∵四边形OEFG是正方形，∴OG＝EO，∠GOM＝∠OEH，∠OGM＝∠EOH，在△OGM与△EOH中，∴△OGM≌△EOH（ASA）∴GM＝OH＝2，OM＝EH＝3，∴G（﹣3，2）．∴O′（﹣，）．∵点F与点O关于点O′对称，∴点F的坐标为（﹣1，5）．故答案是：（﹣1，5）．9．解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∵△AEF是等边三角形，∴AE＝AF，在Rt△ABE和Rt△ADF中，，∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），∴BE＝DF，∵BC＝DC，∴BC﹣BE＝CD﹣DF，∴CE＝CF，∴①说法正确；∵CE＝CF，∴△ECF是等腰直角三角形，∴∠CEF＝45°，∵∠AEF＝60°，∴∠AEB＝75°，∴②说法正确；如图，连接AC，交EF于G点，∴AC⊥EF，且AC平分EF，∵∠CAF≠∠DAF，∴DF≠FG，∴BE+DF≠EF，∴③说法错误；∵EF＝2，∴CE＝CF＝，设正方形的边长为a，在Rt△ADF中，AD2+DF2＝AF2，即a2+（a﹣）2＝4，解得a＝，则a2＝2+，S正方形ABCD＝2+，④说法正确，故答案为：①②④．10．解：∵纸条的对边平行，即AB∥CD，AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∵两张纸条的宽度都是3，∴S四边形ABCD＝AB×3＝BC×3，∴AB＝BC，∴平行四边形ABCD是菱形，即四边形ABCD是菱形．如图，过A作AE⊥BC，垂足为E，∵∠ABC＝60°，∴∠BAE＝90°﹣60°＝30°，∴AB＝2BE，在△ABE中，AB2＝BE2+AE2，即AB2＝AB2+32，解得AB＝2，∴S四边形ABCD＝BC•AE＝2×3＝6．故答案是：6．11．解：∵正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC＝1，CE＝3，∴AB＝BC＝1，CE＝EF＝3，∠E＝90°，延长AD交EF于M，连接AC、CF，则AM＝BC+CE＝1+3＝4，FM＝EF﹣AB＝3﹣1＝2，∠AMF＝90°，∵四边形ABCD和四边形GCEF是正方形，∴∠ACD＝∠GCF＝45°，∴∠ACF＝90°，∵H为AF的中点，∴CH＝AF，在Rt△AMF中，由勾股定理得：AF＝＝＝2，∴CH＝，故答案为：．12．解：连接BD交AC于O，∵四边形ABCD、AGFE是正方形，∴AB＝AD，AE＝AG，∠DAB＝∠EAG，∴∠EAB＝∠GAD，在△AEB和△AGD中，，∴△EAB≌△GAD（SAS），∴EB＝GD，∵四边形ABCD是正方形，AB＝，∴BD⊥AC，AC＝BD＝AB＝2，∴∠DOG＝90°，OA＝OD＝BD＝1，∵AG＝1，∴OG＝OA+AG＝2，∴GD＝＝，∴EB＝．故答案为：．13．解：∵△ACE是等边三角形，∴∠EAC＝60°，AE＝AC，∵∠BAC＝30°，∴∠F AE＝∠ACB＝90°，AB＝2BC，∵F为AB的中点，∴AB＝2AF，∴BC＝AF，∴△ABC≌△EF A，∴FE＝AB，∴∠AEF＝∠BAC＝30°，∴EF⊥AC，故①正确，∵EF⊥AC，∠ACB＝90°，∴HF∥BC，∵F是AB的中点，∴HF＝BC，∵BC＝AB，AB＝BD，∴HF＝BD，故④说法正确；∵AD＝BD，BF＝AF，∴∠DFB＝90°，∠BDF＝30°，∵∠F AE＝∠BAC+∠CAE＝90°，∴∠DFB＝∠EAF，∵EF⊥AC，∴∠AEF＝30°，∴∠BDF＝∠AEF，∴△DBF≌△EF A（AAS），∴AE＝DF，∵FE＝AB，∴四边形ADFE为平行四边形，∵AE≠EF，∴四边形ADFE不是菱形；故②说法不正确；∴AG＝AF，∴AG＝AB，∵AD＝AB，则AD＝4AG，故③说法正确，故答案为：①③④．14．解：连接CF，∵正方形ABCD和正方形BEFG中，AB＝7，BE＝5，∴GF＝GB＝5，BC＝7，∴GC＝GB+BC＝5+7＝12，∴＝13．∵M、N分别是DC、DF的中点，∴MN＝＝．故答案为：．15．解：∵平行四边形两条对角线互相平分，∴它们的一半分别为2和，∵22+（）2＝32，∴两条对角线互相垂直，∴这个四边形是菱形，∴S＝4×2＝4．故答案为：4．16．解：在正方形ABCD中，∵∠ABD＝∠CBD＝45°，∵四边形MNPQ和AEFG均为正方形，∴∠BEF＝∠AEF＝90°，∠BMN＝∠QMN＝90°，∴△BEF与△BMN是等腰直角三角形，∴FE＝BE＝AE＝AB，BM＝MN＝QM，同理DQ＝MQ，∴MN＝BD＝AB，∴＝＝，故答案为：．17．解：∵四边形ABCD为正方形，∴∠BAE＝∠D＝90°，AB＝AD，在△ABE和△DAF中，∵，∴△ABE≌△DAF（SAS），∴∠ABE＝∠DAF，∵∠ABE+∠BEA＝90°，∴∠DAF+∠BEA＝90°，∴∠AGE＝∠BGF＝90°，∵点H为BF的中点，∴GH＝BF，∵BC＝5、CF＝CD﹣DF＝5﹣2＝3，∴BF＝＝，∴GH＝BF＝，故答案为：．18．解：∵正方形ABCD，∴AB＝AD，∠BAE＝∠DAE，在△ABE与△ADE中，，∴△ABE≌△ADE（SAS），∴∠AEB＝∠AED，∠ABE＝∠ADE，∵∠CBF＝20°，∴∠ABE＝70°，∴∠AED＝∠AEB＝180°﹣45°﹣70°＝65°，故答案为：6519．解：由题意，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，有三种情况：（1）如答图①所示，PD＝OD＝5，点P在点D的左侧．过点P作PE⊥x轴于点E，则PE＝4．在Rt△PDE中，由勾股定理得：DE＝＝＝3，∴OE＝OD﹣DE＝5﹣3＝2，∴此时点P坐标为（2，4）；（2）如答图②所示，OP＝OD＝5．过点P作PE⊥x轴于点E，则PE＝4．在Rt△POE中，由勾股定理得：OE＝＝＝3，∴此时点P坐标为（3，4）；（3）如答图③所示，PD＝OD＝5，点P在点D的右侧．过点P作PE⊥x轴于点E，则PE＝4．在Rt△PDE中，由勾股定理得：DE＝＝＝3，∴OE＝OD+DE＝5+3＝8，∴此时点P坐标为（8，4）．综上所述，点P的坐标为：（2，4）或（3，4）或（8，4）；故答案为：（2，4）或（3，4）或（8，4）；20．解：∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝DC＝1，∠B＝∠C＝90°，AD∥BC，AD＝BC，∴∠AMB＝∠DAE，∵DE＝DC，∴AB＝DE，∵DE⊥AM，∴∠DEA＝∠DEM＝90°，在△ABM和△DEA中，，∴△ABM≌△DEA（AAS），∴AM＝AD，∵AE＝2EM，∴BC＝AD＝3EM，设EM＝CM＝x，则BM＝2x，AM＝BC＝3x，在Rt△ABM中，由勾股定理得：12+（2x）2＝（3x）2，解得：x＝，∴BM＝；故答案为：．21．（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，O是BD的中点，∴∠A＝90°，AD＝BC＝4，AB∥DC，OB＝OD，∴∠OBE＝∠ODF，在△BOE和△DOF中，，∴△BOE≌△DOF（ASA），∴EO＝FO，∴四边形BEDF是平行四边形；（2）解：当四边形BEDF是菱形时，BD⊥EF，设BE＝x，则DE＝x，AE＝6﹣x，在Rt△ADE中，DE2＝AD2+AE2，∴x2＝42+（6﹣x）2，解得：x＝，∵BD＝＝2，∴OB＝BD＝，∵BD⊥EF，∴EO＝＝，∴EF＝2EO＝．22．解：（1）∵AF＝FG，∴∠F AG＝∠FGA，∵AG平分∠CAB，∴∠CAG＝∠F AG，∴∠CAG＝∠FGA，∴AC∥FG，∵DE⊥AC，∴FG⊥DE，∵FG⊥BC，∴DE∥BC，∴AC⊥BC，∴∠C＝∠DHG＝90°，∠CGE＝∠GED，∵F是AD的中点，FG∥AE，∴H是ED的中点，∴FG是线段ED的垂直平分线，∴GE＝GD，∠GDE＝∠GED，∵DE∥BC，∴∠CGE＝∠GED＝∠GDE，∴△ECG≌△GHD（AAS）；（2）证明：过点G作GP⊥AB于P，∴GC＝GP，而AG＝AG，∴△CAG≌△P AG，∴AC＝AP，由（1）可得EG＝DG，∴Rt△ECG≌Rt△DPG，∴EC＝PD，∴AD＝AP+PD＝AC+EC；（3）四边形AEGF是菱形，证明：∵∠B＝30°，∴∠ADE＝30°，∴AE＝AD，∴AE＝AF＝FG，由（1）得AE∥FG，∴四边形AEGF是平行四边形，∴四边形AEGF是菱形．23．解：∵四边形ABCD是正方形，AC是对角线，∴∠1＝∠2＝22.5°，又∵CP⊥CF，∴∠3+∠FCD＝∠1+∠FCD＝90°∴∠3＝∠1＝22.5°∴∠P＝67.5°又四边形ABCD为正方形，∴∠ACP＝45°+22.5°＝67.5°∴∠P＝∠ACP∴AP＝AC又AC＝AB＝4∴AP＝4，∴S△APC＝AP•CD＝4×4＝8；（2）∵在△PDC和△FBC中，∴△PDC≌△FBC∴CP＝CF在CN上截取NH＝FN，连接BH∵FN＝NH，且BN⊥FH∴BH＝BF∴∠4＝∠5∴∠4＝∠1＝∠5＝22.5°又∠4+∠BFC＝∠1+∠BFC＝90°∴∠HBC＝∠BAM＝45°在△AMB和△BHC中，，∴△AMB≌△BHC，∴CH＝BM∴CF＝BM+2FN∴CP＝BM+2FN．24．解：（1）如图所示，过E作EM⊥BC于M点，过E作EN⊥CD于N点，∵正方形ABCD，∴∠BCD＝90°，∠ECN＝45°，∴∠EMC＝∠ENC＝∠BCD＝90°，且NE＝NC，∴四边形EMCN为正方形，∵四边形DEFG是矩形，∴EM＝EN，∠DEN+∠NEF＝∠MEF+∠NEF＝90°，∴∠DEN＝∠MEF，又∠DNE＝∠FME＝90°，在△DEN和△FEM中，，∴△DEN≌△FEM（ASA），∴ED＝EF，∴矩形DEFG为正方形，（2）CE+CG的值为定值，理由如下：∵矩形DEFG为正方形，∴DE＝DG，∠EDC+∠CDG＝90°，∵四边形ABCD是正方形，∵AD＝DC，∠ADE+∠EDC＝90°，∴∠ADE＝∠CDG，在△ADE和△CDG中，，∴△ADE≌△CDG（SAS），∴AE＝CG，∴AC＝AE+CE＝AB＝×4＝8，∴CE+CG＝8是定值．25．（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴∠B＝∠D，AB＝BC＝DC＝AD，∵点E，O，F分别为AB，AC，AD的中点，∴AE＝BE＝DF＝AF，OF＝DC，OE＝BC，OE∥BC，在△BCE和△DCF中，，∴△BCE≌△DCF（SAS）；（2）解：当AB⊥BC时，四边形AEOF是正方形，理由如下：由（1）得：AE＝OE＝OF＝AF，∴四边形AEOF是菱形，∵AB⊥BC，OE∥BC，∴OE⊥AB，∴∠AEO＝90°，∴四边形AEOF是正方形．26．（1）证明：作EP⊥CD于P，EQ⊥BC于Q，∵∠DCA＝∠BCA，∴EQ＝EP，∵∠QEF+∠FEC＝45°，∠PED+∠FEC＝45°，∴∠QEF＝∠PED，在Rt△EQF和Rt△EPD中，，∴Rt△EQF≌Rt△EPD（ASA），∴EF＝ED，∴矩形DEFG是正方形；（2）如图2中，在Rt△ABC中．AC＝AB＝2，∵EC＝，∴AE＝CE，∴点F与C重合，此时△DCG是等腰直角三角形，易知CG＝．（3）①当DE与AD的夹角为30°时，∠EFC＝120°，②当DE与DC的夹角为30°时，∠EFC＝30°综上所述，∠EFC＝120°或30°．27．（1）证明：在正方形ABCD中，AB＝BC，∠ABP＝∠CBP＝45°，在△ABP和△CBP中，，∴△ABP≌△CBP（SAS），∴P A＝PC，∵P A＝PE，∴PC＝PE；（2）解：由（1）知，△ABP≌△CBP，∴∠BAP＝∠BCP，∴∠DAP＝∠DCP，∵P A＝PE，∴∠DAP＝∠E，∴∠DCP＝∠E，∵∠CFP＝∠EFD（对顶角相等），∴180°﹣∠PFC﹣∠PCF＝180°﹣∠DFE﹣∠E，即∠CPE＝∠EDF＝90°；（3）解：AP＝CE；理由如下：在菱形ABCD中，AB＝BC，∠ABP＝∠CBP＝60°，在△ABP和△CBP中，，∴△ABP≌△CBP（SAS），∴P A＝PC，∠BAP＝∠BCP，∵P A＝PE，∴PC＝PE，∴∠DAP＝∠DCP，∵P A＝PC，∴∠DAP＝∠AEP，∴∠DCP＝∠AEP∵∠CFP＝∠EFD（对顶角相等），∴180°﹣∠PFC﹣∠PCF＝180°﹣∠DFE﹣∠AEP，即∠CPF＝∠EDF＝180°﹣∠ADC＝180°﹣120°＝60°，∴△EPC是等边三角形，∴PC＝CE，∴AP＝CE．28．（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴OA＝0B＝OC＝OD，∵AE＝BF＝CG＝DH，∴AO﹣AE＝OB﹣BF＝CO﹣CG＝DO﹣DH，即：OE＝OF＝OG＝OH，∴四边形EFGH是矩形；（2）解：∵G是OC的中点，∴GO＝GC，∵DG⊥AC，∴∠DGO＝∠DGC＝90°，又∵DG＝DG，∴△DGC≌△DGO，∴CD＝OD，∵F是BO中点，OF＝2cm，∴BO＝4cm，∵四边形ABCD是矩形，∴DO＝BO＝4cm，∴DC＝4cm，DB＝8cm，∴CB＝＝4，∴矩形ABCD的面积＝4×4＝16cm2．。

精品试题鲁教版(五四制)八年级数学下册第六章特殊平行四边形综合练习试卷(含答案详解)

鲁教版（五四制）八年级数学下册第六章特殊平行四边形综合练习考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、如图，正方形ABCD的两条对角线AC，BD相交于点O，点E在BD上，且BE=AD，则∠ACE的度数为（）A．22.5°B．27.5°C．30°D．35°2、已知锐角∠AOB，如图．（1）在射线OA上取一点C，以点O为圆心，OC长为半径画弧，交射线OB于点D，连接CD；（2）分别以点C，D为圆心，CD长为半径作弧，两弧交于点P，连接CP，DP；（3）作射线OP交CD于点Q．根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（）A．四边形OCPD是菱形B．CP=2QCC．∠AOP=∠BOP D．CD⊥OP3、下列命题中是真命题的选项是（）A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形B．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形C．对角线相等的平行四边形是矩形D．三条边都相等的四边形是菱形；③事件发生的概率与实4、下列说法：①不可能事件发生的概率为0；②随机事件发生的概率为12验次数无关；④“画一个矩形，其对角线互相垂直”是必然事件．其中正确的是（）A．①②B．②③C．①③D．①④5、矩形ABCD的对角线交于点O，∠AOD=120°，AO=3，则BC的长度是（）A．3 B．C．D．66、已知，如图长方形ABCD中，AB＝3，AD＝9，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则BEF的面积为（）A．6 B．7.5 C．12 D．157、如图，矩形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，点P 是AD 边上的一个动点，过点P 分别作PE ⊥AC 于点E ，PF ⊥BD 于点F ．若AB =6，BC =8，则PE +PF 的值为（）A ．10B ．9.6C ．4.8D ．2.48、若菱形的周长为8，高为2，则菱形的面积为（）A ．2B ．4C ．8D ．169、如图，在MON ∠的两边上分别截取OA ，OB ，使OA OB =；再分别以点A ，B 为圆心，OA 长为半径作弧，两弧交于点C ；再连接AC ，BC ，AB ，OC ．若2AB =，4OC =，则四边形AOBC 的面积是（）A ．B ．8C ．4D ．5210的正方形ABCD 中，点E 是对角线AC 上一点，且EF AB ⊥于点F ，连接DE ，当22.5ADE ∠=︒时，EF =（）A ．1B ．2C 1D ．14第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、如图，矩形纸片ABCD，AD＝4，AB＝2，点F在线段AD上，将△ABF沿BF向下翻折，点A的对应点E落在线段BC上，点M，N分别是线段AD与线段BC上的点，将四边形CDMN沿MN向上翻折，点C 恰好落在线段BF的中点C'处，则线段MN的长为 __________________．2、如图在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E，F分别是AO，AD的中点，若12AB=cm，16BC=cm，则EF=________cm．3、将两个直角三角板如图放置，其中AB＝AC，∠BAC＝∠ECD＝90°，∠D＝60°．如果点A是DE的中点，CE与AB交于点F，则∠BFC的度数为_____°．4、如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若∠AOB=60°，AB=4cm，则AC的长为______cm．5、如图，E是正方形ABCD的对角线BD上一点，连接CE，过点E作EF AD⊥，垂足为点F．若AF=，53EC=，则正方形ABCD的面积为______．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、如图，把矩形ABCD绕点A按逆时针方向旋转得到矩形AEFG，使点E落在对角线BD上，连接DG，DF．(1)若∠BAE＝50°，求∠DGF的度数；(2)求证：DF＝DC．CD的长为半径作弧，两弧分别相交于M、N 2、如图，已知菱形ABCD中，分别以C、D为圆心，大于12两点，直线MN交CD于点F，交对角线AC于点E，连接BE、DE．(1)求证：BE ＝CE ；(2)若∠ABC ＝72°，求∠ABE 的度数．3、如图，在平面直角坐标系中，已知点(4,4)A ，C ，B 两点分别是x ，y 轴正半轴上的动点，且满足90BAC ∠=︒．(1)写出BOA ∠的度数；(2)求BO OC +的值；(3)若BP 平分OBC ∠，交OA 于点P ，PN y ⊥轴于点N ，AQ 平分BAC ∠，交BC 于点Q ，随着C ，B 位置的变化，NP AQ +的值是否会发生变化？若不变，求其值；若变化，说明理由．4、如图，将△ABC 放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A ，点B ，点C 均落在格点上．（1）计算AC 2+BC 2的值等于_____；（2）请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出一个以AB 为一边的矩形，使该矩形的面积等于AC 2+BC 2，并简要说明画图方法（不要求证明）_____．5、请阅读下列材料：问题：如图1，点A，B在直线l的同侧，在直线l上找一点P，使得AP+BP的值最小．小军的思路是：如图2，作点A关于直线l的对称点A'，连接A B'，则A B'与直线l的交点P即为所求．请你参考小军同学的思路，探究并解决下列问题：(1)如图3，在图2的基础上，设AA'与直线l的交点为C，过点B作BD⊥l，垂足为D．若CP＝1，PD ＝2，AC＝1，写出AP+BP的值为；(2)如图3，若AC＝1，BD＝2，CD＝6，写出此时AP+BP的最小值；(3)的最小值．-参考答案-一、单选题1、A【解析】【分析】利用正方形的性质证明∠DBC =45°和BE =BC ，进而证明∠BEC =67.5°．【详解】解：∵四边形ABCD 是正方形，∴BC =AD ，∠DBC =45°，∵BE =AD ，∴BE =BC ，∴∠BEC =∠BCE =（180°﹣45°）÷2=67.5°，∵AC ⊥BD ，∴∠COE =90°，∴∠ACE =90°﹣∠BEC =90°﹣67.5°=22.5°，故选：A ．【点睛】本题考查正方形的性质，以及等腰三角形的性质，掌握正方形的性质并加以利用是解决本题的关键．2、A【解析】【分析】根据作图信息可以判断出OP 平分AOB ∠，由此可以逐一判断即可．【详解】解：由作图可知，,,OC OD PC PD OP ==平分AOB ∠∴OP 垂直平分线段CD∴∠AOP =∠BOP ，CD ⊥OP故选项C ，D 正确；由作图可知，CD CP PD ==∴PCD ∆是等边三角形，∴60CPD ∠=︒∵OP 垂直平分线段CD∴30CPQ ∠=︒∴CP =2QC故选项B 正确，不符合题意；由作图可知，,OC OD PC PD ==,不能确定四边形OCPD 是菱形，故选项A 符合题意，故选：A【点睛】本题考查了基本作图，解题的关键是熟练掌握作图的依据．3、∴OM ＝12CD ＝故选：C ．【点睛】此题考查了矩形的性质、直角三角形的性质以及三角形中位线的性质．注意利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，求得AC 的长是关键．3．C【解析】【分析】利用平行四边形、矩形、菱形及正方形的判定方法分别判断后，即可确定正确的选项．【详解】解：A ．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，原命题是假命题，不符合题意；B ．对角线互相平分、垂直且相等的四边形是正方形，原命题是假命题，不符合题意；C ．对角线相等的平行四边形是矩形，是真命题，符合题意；D ．四条边都相等的四边形是菱形，原命题是假命题，不符合题意；故答案选：C ．【点睛】考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解平行四边形、矩形、菱形及正方形的判定方法，难度不大．4、C【解析】【分析】根据事件的概念：事件分为确定事件和不确定事件（随机事件），确定事件又分为必然事件和不可能事件，①必然事件发生的概率为1，即P （必然事件）1=；②不可能事件发生的概率为0，即P （不可能事件）0=；③如果A 为不确定事件（随机事件），那么0P <（A ）1<，逐一判断即可得到答案．【详解】解：①不可能事件发生的概率为0，说法正确；②随机事件发生的概率为0到1，故说法错误；③事件发生的概率与实验次数无关，故说法正确；④“画一个矩形，其对角线互相垂直”是随机事件，故说法错误．正确的说法有：①③．故选：C ．【点睛】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念，掌握其概念是解决此题关键．5、C【解析】【分析】画出图形，由条件可求得△AOB为等边三角形，则可求得AC的长，在Rt△ABC中，由勾股定理可求得BC的长．【详解】解：如下图所示：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=90°，OA=12AC，OB=12BD，AC=BD，∴OA=OB，∵∠AOD=120°，∴∠AOB=60°，∴△AOB是等边三角形，∴OA=AB=2，∴AC=2OA=4，∴BC2=AC2-AB2=36-9=27，∴BC=故选：D．【点睛】本题考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质以及勾股定理；熟练掌握矩形的性质，证明三角形是等边三角形是解决问题的关键．6、B【解析】【分析】根据翻折的性质可得，BE＝DE，设AE＝x，则ED＝BE＝9−x，在直角△ABE中，根据勾股定理可得32＋x2＝（9−x）2，即可得到BE的长度，由翻折性质可得，∠BEF＝∠FED，由矩形的性质可得∠FED＝∠BFE，即可得出△BEF是等腰三角形，BE＝BF，即可得出答案．【详解】解：设AE＝x，则ED＝BE＝9−x，根据勾股定理可得，32＋x2＝（9−x）2，解得：x＝4，由翻折性质可得，∠BEF＝∠FED，∵AD∥BC，∴∠FED＝∠BFE，∴∠BEF＝∠BFE，∴BE＝BF＝5，×5×3＝7.5．∴S△BFE＝12故选：B．【点睛】本题主要考查了翻折的性质及矩形的性质，熟练应用相关知识进行求解是解决本题的关键．7、C【解析】【分析】首先连接OP．由矩形ABCD的两边AB=6，BC=8，可求得OA=OD=5，然后由S△AOD=S△AOP+S△DOP求【详解】解：连接OP，∵矩形ABCD的两边AB=6，BC=8，∴S矩形ABCD=AB•BC=48，OA=OC，OB=OD，AC=BD，AC，∴S△AOD=14S矩形ABCD=12，OA=OD=5，∴S△AOD=S△AOP+S△DOP=12OA•PE+12OD•PF=12OA（PE+PF）=12×5×（PE+PF）=12，∴PE+PF=245=4.8．故选：C．【点睛】此题考查了矩形的性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．8、B【解析】【分析】根据周长求出边长，利用菱形的面积公式即可求解．【详解】∵菱形的周长为8，∴菱形的面积=2×2=4，故选：B．【点睛】此题考查菱形的性质，熟练掌握菱形的面积=底×高是解题的关键．9、C【解析】【分析】根据作法判定出四边形OACB是菱形，再根据菱形的面积等于对角线乘积的一半计算即可得解．【详解】根据作图，AC BC OA==，∵OA OB=，∴OA OB BC AC===，∴四边形OACB是菱形，∵2AB=，4OC=，∴12442OACBS=⨯⨯=菱形．故选：C．【点睛】本题主要考查菱形的性质与判定，熟练掌握菱形的性质与判定是解题的关键．10、C【解析】【分析】证明67.5CDE CED ∠=∠=︒，则CD CE =AC 的长，得2AE =，证明AFE ∆是等腰直角三角形，可得EF 的长．【详解】解：四边形ABCD 是正方形，AB CD BC ∴==90B ADC ∠=∠=︒，45BAC CAD ∠=∠=︒， 22AC AB ，22.5ADE ∠=︒，9022.567.5CDE ∴∠=︒-︒=︒，4522.567.5CED CAD ADE ∠=∠+∠=︒+︒=︒，CDE CED ∴∠=∠，CD CE ∴==2AE ∴=EF AB ⊥，90AFE ∴∠=︒，AFE ∴∆是等腰直角三角形，1EF ∴，故选：C ．【点睛】本题考查正方形的性质，勾股定理，等腰直角三角形，三角形的外角的性质等知识，解题的关键是在正方形中学会利用等腰直角三角形的性质解决问题，属于中考常考题型．二、填空题1【解析】【分析】先判断出四边形ABEF是正方形，进而求出BF＝BC'，过点C'作C'H⊥BC于H，CC'与MN的交点记作点K，进而求出BH＝1，再用勾股定理求出CC'CK股定理求出CN＝53，最后用面积建立方程求出MN即可．【详解】解：如图，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠ABC＝∠D＝90°，CD＝AB，BC＝AD＝4，∵2AB＝4，∴AB＝2，∴CD＝2，∵将△ABF沿BF向下翻折，点A的对应点E落在线段BC上，∴∠BEF＝∠A＝90°，AB＝BE，∴四边形ABEF是正方形，∴BF是正方形ABEF的对角线，∴∠EBF＝45°，BF＝∵C'是BF的中点，∴BC'＝12BF，过点C'作C'H⊥BC于H，CC'与MN的交点记作点K，在Rt△BHC'中，BH＝C'H＝2BC'＝1，∴CH＝BC﹣BH＝3，在Rt△CHC'中，CC'，由折叠知，CK＝12CC'设CN＝x，则HN＝3﹣x，∵将四边形CDMN沿MN向上翻折，∴CC'⊥MN，C'N＝CN＝x，在Rt△C'HN中，根据勾股定理得，C'H2+HN2＝C'N2，∴12+（3﹣x）2＝x2，∴x＝53，∴CN＝53，连接CM，∵S△CMN＝12CN•CD＝12MN•CK，∴MN＝CN CDCK⋅52⨯，．此题主要考查了折叠的性质，矩形的性质，勾股定理和面积法解题，作出辅助线构造直角三角形求出CC'是解题的关键所在．2、5【解析】【分析】在Rt△ABC中，先利用勾股定理求出矩形的对角线的长，再根据三角形中位线定理可得出EF的长．【详解】解：在Rt△ABC中，()20cm=，∴矩形ABCD中，BD=20cm，DO=10cm，∵点E、F分别是AO、AD的中点，∴EF是△AOD的中位线，∴EF=12OD=12×10=5（cm），故答案为：5．【点睛】本题考查了三角形的中位线定理、勾股定理及矩形的性质的运用，解答本题需要熟练掌握：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．3、120【解析】【分析】先根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出AC=AD=AE=12DE，由∠D=60°，得到△ACD是等边三角形，那么∠ACD=60°，∠ACF=30°，再由三角形的外角性质可求出∠BFC的度数．解：∵∠DCE=90°，点A是DE的中点，DE，∴AC=AD=AE=12∵∠D=60°，∴△ACD是等边三角形，∴∠ACD=60°，∴∠ACF=∠DCE-∠ACD=30°，∵∠FAC=90°，∴∠BFC=∠FAC+∠ACF=90°+30°=120°故答案为：120【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质，等边三角形的判定与性质，三角形外角和定理等知识，求出∠ACF=30°是解题的关键．4、8【解析】【分析】根据矩形的性质可得三角形AOB为等边三角形，在直角三角形ABC中，根据直角三角形的两个锐角互余可得∠ACB为30°，根据30°角所对的直角边等于斜边的半径，由AB的长可得出AC的长．【详解】解：∵四边形ABCD为矩形，∴OA=OC，OB=OD，且AC=BD，∠ABC=90°，∴OA=OB=OC=OD，又∵∠AOB=60°，∴△AOB 为等边三角形，∴∠BAO =60°，在直角三角形ABC 中，∠ABC =90°，∠BAO =60°，∴∠ACB =30°，∵AB =4cm ，则AC =2AB =8cm ．故答案为：8．【点睛】本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定与性质，以及含30°角直角三角形的性质，矩形的性质有：矩形的四个角都为直角；矩形的对边平行且相等；矩形的对角线互相平分且相等，熟练掌握矩形的性质是解本题的关键．5、49【解析】【分析】延长FE 交AB 于点M ，则EM BC ⊥，3AF BM ==，由正方形的性质得45CDB ∠=︒，推出BME 是等腰直角三角形，得出3EM BM ==，由勾股定理求出CM ，故得出BC ，由正方形的面积公式即可得出答案．【详解】如图，延长FE 交AB 于点M ，则EM BC ⊥，3AF BM ==，∵四边形ABCD 是正方形，∴45CDB ∠=︒，∴BME 是等腰直角三角形，∴3EM BM ==，在Rt EMC 中，4CM =，∴347BC BM CM =+=+=，∴22749ABCD S BC ===正方形．故答案为：49．【点睛】本题考查正方形的性质以及勾股定理，掌握正方形的性质是解题的关键．三、解答题1、 (1)∠DGF =25°；(2)见解析【解析】【分析】（1）由旋转的性质得出AB =AE ，AD =AG ，∠BAD =∠EAG =∠AGF =90°，由等腰三角形的性质及三角形内角和定理可得出答案；（2）证出四边形ABDF 是平行四边形，由平行四边形的性质可得出结论．(1)解：由旋转得AB =AE ，AD =AG ，∠BAD =∠EAG =∠AGF =90°，∴∠BAE =∠DAG =50°，∴∠AGD =∠ADG =180502︒-︒=65°，∴∠DGF=90°-65°=25°；(2)证明：连接AF，由旋转得矩形AEFG≌矩形△ABCD，∴AF=BD，∠FAE=∠ABE=∠AEB，∴AF∥BD，∴四边形ABDF是平行四边形，∴DF=AB=DC．【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，平行四边形的判定与性质，等腰三角形的性质，熟记矩形的性质并准确识图是解题的关键．2、 (1)见解析(2)∠ABE＝18°【解析】【分析】（1）根据四边形ABCD是菱形，得出CB＝CD，∠ACB＝∠ACD，再证△ECB≌△ECD（SAS），得出BE＝DE，根据MN垂直平分线段CD，得出EC＝ED即可；（180°﹣72°）＝54°，根据EB＝EC，求出（2）根据等腰三角形内角和可求∠BAC＝∠BCA＝12∠EBC ＝∠ECB ＝54°即可．(1)证明：∵四边形ABCD 是菱形，∴CB ＝CD ，∠ACB ＝∠ACD ，在△ECB 和△ECD 中，CE CE ECB ECD CB CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ECB ≌△ECD （SAS ），∴BE ＝DE ，由作图可知，MN 垂直平分线段CD ，∴EC ＝ED ，∴BE ＝CE ．(2)解：∵BA ＝BC ，∠ABC ＝72°，∴∠BAC ＝∠BCA ＝12（180°﹣72°）＝54°，∵EB ＝EC ，∴∠EBC ＝∠ECB ＝54°，∴∠ABE ＝∠ABC ﹣∠EBC ＝18°．【点睛】本题考查菱形的性质，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，正确理解题意是解题关键．3、 (1)45BOA ︒∠=；(2)8BO OC +=；(3)NP AQ +的值为4，不变，见解析【解析】【分析】（1）过点A 作AE x ⊥轴于E ，AF y ⊥轴于F ，由点(4,4)A ，得到OA 是BOC ∠的角平分线，由此得到45BOA ︒∠=；（2）由（1）得四边形AEOF 为正方形，证明△BAF ≌△CAE ，得到BF=CE ，根据BO OC OF OE +=+求出结果；（3）过点A 作AE x ⊥轴于E ，AF y ⊥轴于F ，延长NP 交AE 于K ，则四边形OEKN 为矩形，由OBP BOA CBP ABC ∠+∠=∠+∠推出AB=AP ，证明ΔΔAQB AKP ≅，得到AQ AK =，证明ΔAKP 是等腰直角三角形，得到AK=PK ，由此得到AQ PK =，依据NP AQ NP PK NK +=+=求出结果．(1)解：过点A 作AE x ⊥轴于E ，AF y ⊥轴于F ，如图1所示：点(4,4)A ，4AE AF ∴==，OA ∴是BOC ∠的角平分线，90BOC ∠=︒，45BOA ∴∠=︒；(2)解：由（1）得：四边形AEOF 为矩形，4AE AF ==，∴四边形AEOF 为正方形，4AE AF OE OF ∴====，90EAF ∠=︒，90BAC ∠=︒，90BAF FAC FAC CAE ∴∠+∠=∠+∠=︒，BAF CAE ∴∠=∠，AE x ⊥轴，AF y ⊥轴，90BFA CEA ∴∠=∠=︒，在ΔBAF 和CAE ∆中，BAF CAE AF AEBFA CEA ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ()ΔΔBAF CAE ASA ∴≅，BF CE ∴=，448BO OC OF BF OC OF CE OC OF OE ∴+=++=++=+=+=；(3)解：随着C ，B 位置的变化，NP AQ +的值为4，不变，理由如下：过点A 作AE x ⊥轴于E ，AF y ⊥轴于F ，延长NP 交AE 于K ，如图2所示：则四边形OEKN 为矩形，90AKP ∴∠=︒，4NK OE ==，由（2）得：ΔΔBAF CAE ≅，AB AC ∴=，90BAC ∠=︒，ΔBAC ∴是等腰直角三角形，45ABC ACB ∴∠=∠=︒， BP 平分OBC ∠，OBP CBP ∴∠=∠，45BOA ABC ∠=∠=︒，OBP BOA CBP ABC ABP ∴∠+∠=∠+∠=∠，BPA OBP BOA ∠=∠+∠，BPA ABP ∴∠=∠，AB AP =∴，PN y ⊥轴，45BOA ∠=︒，ΔONP ∴是等腰直角三角形，45NPO ∴∠=︒，45APK NPO ∴∠=∠=︒， AQ 平分BAC ∠，BAC ∆是等腰直角三角形，AQ BC ∴⊥，90AQB AKP ∴∠=∠=︒，在ΔAQB 和ΔAKP 中，45AQB AKP AB AP ABQ APK ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩， ()ΔΔAQB AKP ASA ∴≅，AQ AK ∴=，90AKP ∠=︒，45APK ∠=︒，ΔAKP ∴是等腰直角三角形，AK PK ∴=，AQ PK ∴=，4NP AQ NP PK NK ∴+=+==．【点睛】本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质、坐标与图形性质、正方形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识，本题综合性强，熟练掌握等腰直角三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型．4、 11 见解析【解析】【分析】（1）直接利用勾股定理求出即可；（2）首先分别以AC、BC、AB为一边作正方形ACED，正方形BCNM，正方形ABHF；进而得出答案．【详解】解：（1）AC2+BC2）2+32＝11；故答案为：11；（2）分别以AC、BC、AB为一边作正方形ACED，正方形BCNM，正方形ABHF；延长DE交MN于点Q，连接QC，平移QC至AG，BP位置，直线GP分别交AF，BH于点T，S，则四边形ABST即为所求，如图，【点睛】本题考查了勾股定理，无刻度直尺作图，平行四边形与矩形的性质，掌握勾股定理以及特殊四边形的性质是解题的关键．5、【解析】【分析】（1）作AE∥l，交BD的延长线于E，根据已知条件求得△CPA’是等腰直角三角形，然后得到△BEA’是等腰直角三角形，从而求得A’B的值；（2）作AE∥l，交BD的延长线于E，根据已知条件求得BE、A’E，然后根据勾股定理即可求得A’B，从而求得AP＋BP的值；（3）设AC＝5m−3，PC＝1，则PA BD＝8−5m，PD＝3，则PB，结合（2）即可求解．(1)解：作A’E∥l，交BD的延长线于E，如图3，∵AA’⊥l，BD⊥l，∴DE⊥A’E∴四边形A’EDC是矩形，∵CP＝ AC＝1∴CP＝ A’C∴△CPA’是等腰直角三角形，∴∠CA’P=45°∵A’E∥l，∴∠CA’E=90°∴∠BA’E=45°∴△BEA’是等腰直角三角形，∵A’E=CP+DP=3∴BE=A’E=3∴A’B=∴AP+BP= A’B故答案为：(2)作A’E∥l，交BD的延长线于E，如图3，∵AA’⊥l，BD⊥l，∴DE⊥A’E∴四边形A’EDC是矩形，∴A’E＝DC＝6，DE＝A’C＝AC＝1，∵BD＝2，∴BD＋AC＝BD＋DE＝3，即BE＝3，在Rt△A’BE中，A’B∴AP＋BP＝A’P＋BP＝A’B＝故答案为：(3)如图3，设AC＝5m−3，PC＝1，则PA设BD＝8−5m，PD＝3，则PB，∵DE＝AC＝5m−3，∴BE＝BD＋DE＝5，A’E＝CD＝PC＋PD＝4，∴PA＋PB的最小值为A’B=【点睛】本题考查了轴对称−最短路线问题，熟练掌握轴对称的性质和勾股定理的应用是解题的关键．。

鲁教版(五四制)八年级数学下册第六章特殊平行四边形章节测评试题(含答案及详细解析)

鲁教版（五四制）八年级数学下册第六章特殊平行四边形章节测评考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、已知锐角∠AOB，如图．（1）在射线OA上取一点C，以点O为圆心，OC长为半径画弧，交射线OB于点D，连接CD；（2）分别以点C，D为圆心，CD长为半径作弧，两弧交于点P，连接CP，DP；（3）作射线OP交CD于点Q．根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（）A．四边形OCPD是菱形B．CP=2QCC．∠AOP=∠BOP D．CD⊥OP2、如图，在△ABC中，AB＝AC，BD＝CD，点E为AC的中点，连接DE，若△ABC的周长为20cm，则△CDE的周长为（）A．10 cm B．12 cm C．14 cm D．16 cm 3、下列说法正确的是（）A．掷一枚质地均匀的骰子，掷得的点数为3的概率是13．B．若AC、BD为菱形ABCD的对角线，则AC BD⊥的概率为1．C．概率很小的事件不可能发生．D．通过少量重复试验，可以用频率估计概率．4、如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD交于点O，E是边AD的中点，过点E作EF⊥BD，EG⊥AC，点F，G为垂足，若AC=10，BD=24，则FG的长为（）A．6.5B．8 C．10D．125、如图已知：四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的是（）A．当AB=BC时，它是菱形B．当AC⊥BD时，它是菱形C．当AC=BD时，它是正方形D．当∠ABC=90︒时，它是矩形6、菱形周长为20，其中一条对角线长为6，则菱形面积是（）A ．48B ．40C ．24D ．127、如图，菱形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，6AC =，8BD =，EF 为过点O 的一条直线，则图中阴影部分的面积为（）A ．4B ．6C ．8D ．128、如图．在长方形纸片ABCD 中，AB =12，AD =20，所示，折叠纸片，使点A 落在BC 边上的A ′处，折痕为PQ ，当点A ′在BC 边上移动时，折痕的端点P 、Q 也随之移动．点P ，Q 分别在边AB 、AD 上移动，则点A ′在BC 边上可移动的最大距离为（）A ．8B ．10C ．12D ．169、如图，已知正方形ABCD 的边长为6，点E ，F 分别在边AB ，BC 上，BE ＝CF ＝2，CE 与DF 交于点H ，点G 为DE 的中点，连接GH ，则GH 的长为（）A B C ．4.5 D ．4.310、已知菱形两条对角线的长分别为8和10，则这个菱形的面积是（）A ．20B ．40C ．60D ．80第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、长方形纸片ABCD 按图中方式折叠，其中,EF EC 为折痕，如果折叠后',',A B E 在一条直线上，那么CEF ∠的大小是________度．2、如图，AC 为正方形ABCD 的对角线，E 为AC 上一点，连接EB ，ED ，当126BED ∠=︒时，EDA ∠的度数为______．3、如图，在矩形ABCD 中，AB =6，BC =8．如果E、F 分别是AD 、BC 上的点，且EF 经过AC 中点O ，G ，H 是对角线AC 上的点．下列判断正确的有______．①在AC 上存在无数组G 、H ，使得四边形EGFH 是平行四边形；②在AC 上存在无数组G 、H ，使得四边形EGFH 是矩形；③在AC 上存在无数组G 、H ，使得四边形EGFH 是菱形；④当AG =54时，存在E 、F 、G ，H ，使得四边形EGFH 是正方形．4、如图，在平面直角坐标系xOy 中，菱形ABCD 的顶点D 在x 轴上，边BC 在y 轴上，若点A 的坐标为（12，13），则点C 的坐标是___．5、如图，矩形ABCD 的两条对角线相交于点O ，已知120AOD ∠=︒， 2.5cm AB =，则矩形对角线BD 的长为_______cm ．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、已知：线段m ．求作：矩形ABCD ，使矩形宽AB ＝12m ，对角线AC ＝m ．2、如图，四边形ABCD 是平行四边形，O 是对角线AC 的中点，过点O 的直线分别交边BC ，AD 于点E ，F ，连结AE ，CF ．(1)求证：△AOF ≌△COE ；(2)当∠OAF ＝∠OFA 时，求证：四边形AECF 是矩形．3、如图，长方形纸片ABCD沿对角线AC折叠，设点D落在D′处，BC交AD'于点E．AB＝6cm，BC＝8cm．(1)求证AE＝EC；(2)求阴影部分的面积．4、已知：如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，CE是中线，F是CE的中点，12CD AB=，求证：DF⊥CE．5、如图，正方形ABCD中，E为BD上一点，AE的延长线交BC的延长线于点F，交CD于点H，G为FH 的中点．(1)求证：AE=CE；(2)猜想线段AE，EG和GF之间的数量关系，并证明．-参考答案-一、单选题1、A【解析】【分析】根据作图信息可以判断出OP 平分AOB ∠，由此可以逐一判断即可．【详解】解：由作图可知，,,OC OD PC PD OP ==平分AOB ∠∴OP 垂直平分线段CD∴∠AOP =∠BOP ，CD ⊥OP故选项C ，D 正确；由作图可知，CD CP PD ==∴PCD ∆是等边三角形，∴60CPD ∠=︒∵OP 垂直平分线段CD∴30CPQ ∠=︒∴CP =2QC故选项B 正确，不符合题意；由作图可知，,OC OD PC PD ==,不能确定四边形OCPD 是菱形，故选项A 符合题意，故选：A【点睛】本题考查了基本作图，解题的关键是熟练掌握作图的依据．2、A【解析】【分析】根据三角形中位线定理求出DE，根据三角形的周长公式计算，得到答案．【详解】解：∵点E为AC的中点，∴AE=CE，∵BD＝CD，∴DE=1AB，2∵△ABC的周长为20，即AB+BC+AC=20cm，∴△CDE的周长＝DE＋CD＋CE＝1（AB+BC+AC）=10cm，2故选：A．【点睛】本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．3、B【解析】【分析】概率是指事情发生的可能性，等可能发生的事件的概率相同，小概率事件是指发生的概率比较小，不代表不会发生，通过大量重复试验才能用频率估计概率，利用这些对四个选项一次判断即可．【详解】A项：掷一枚质地均匀的骰子，每个面朝上的概率都是一样的都是16，故A错误，不符合题意；B项：若AC、BD为菱形ABCD的对角线，由菱形的性质：对角线相互垂直平分得知两条线段一定垂直，则AC⊥BD 的概率为1是正确的，故B正确，符合题意；C项：概率很小的事件只是发生的概率很小，不代表不会发生，故C错误，不符合题意；D项：通过大量重复试验才能用频率估计概率，故D错误，不符合题意．故选B【点睛】本题考查概率的命题真假，准确理解事务发生的概率是本题关键．4、A【解析】【分析】由菱形的性质得出OA=OC=5，OB=OD=12，AC⊥BD，根据勾股定理求出AD=13，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出OE=6.5，证出四边形EFOG是矩形，得到EO=GF即可得出答案．【详解】解：连接OE，∵四边形ABCD是菱形，∴OA=OC=5，OB=OD=12，AC⊥BD，在Rt△AOD中，AD，又∵E是边AD的中点，∴OE=12AD=12×13=6.5，∵EF⊥BD，EG⊥AC，AC⊥BD，∴∠EFO=90°，∠EGO=90°，∠GOF=90°，∴四边形EFOG为矩形，∴FG=OE=6.5．故选：A．【点睛】本题考查了菱形的性质、矩形的判定与性质、直角三角形斜边上中线定理等知识；熟练掌握菱形的性质和矩形的性质是解题的关键．5、C【解析】【分析】根据矩形、菱形、正方形的判定逐个判断即可．【详解】解：A、∵四边形ABCD是平行四边形，又∵AB=BC，∴四边形ABCD是菱形，故本选项不符合题意；B、∵四边形ABCD是平行四边形，又∵AC⊥BD，∴四边形ABCD是菱形，故本选项不符合题意；C、∵四边形ABCD是平行四边形，又∵AC =BD ，∴四边形ABCD 是矩形，故本选项符合题意；D 、∵四边形ABCD 是平行四边形，又∵∠ABC =90°，∴四边形ABCD 是矩形，故本选不项符合题意；故选：C ．【点睛】本题考查了对矩形的判定、菱形的判定，正方形的判定的应用，能正确运用判定定理进行判断是解此题的关键，难度适中．6、C【解析】【分析】由菱形对角线互相垂直且平分的性质、结合勾股定理解得4OA =，继而解得AC 的长，最后根据菱形的面积公式解题．【详解】解：如图，6BD =，菱形的周长为20，5AB ∴=，四边形ABCD 是菱形，132OB DB ∴==，OA OC =，AC BD ⊥，由勾股定理得4OA =，则8AC =，所以菱形的面积11682422AC BD =⋅=⨯⨯=．故选：C ．【点睛】本题考查菱形的性质、勾股定理等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．7、B【解析】【分析】根据菱形的性质可证出ΔΔCFO AEO ≅，可将阴影部分面积转化为BOC ∆的面积，根据菱形的面积公式计算即可．【详解】解：四边形ADCB 为菱形， OC OA ∴=，//AB CD ，FCO OAE ∠=∠，FOC AOE ∠=∠，()CFO AEO ASA ≅,∴CFO AOE S S =,∴CFO BOF BOC S S S +=, ∴1111··6864242BOC S AC BD =⨯=⨯⨯⨯= 故选：B ．【点睛】此题考查了菱形的性质，菱形的面积公式，全等三角形的判定，将阴影部分的面积转化为BOC ∆的面积为解题关键．8、A【解析】【分析】根据翻折的性质，可得BA′与AP的关系，根据线段的和差，可得A′C，根据勾股定理，可得A′C，根据线段的和差，可得答案．【详解】解：①在长方形纸片ABCD中，AB=12，AD=20，∴BC=AD=20，当p与B重合时，BA′=BA=12，CA′=BC-BA′=20-12=8，②当Q与D重合时，由折叠得A′D=AD=20，由勾股定理，得CA，CA′最远是16，CA′最近是8，点A′在BC边上可移动的最大距离为16-8=8，故选：A．【点睛】本题考查了矩形的性质，翻折变换，利用了翻折的性质，勾股定理，分类讨论是解题关键．9、A【解析】【分析】根据正方形的四条边都相等可得BC ＝DC ，每一个角都是直角可得∠B ＝∠DCF ＝90°，然后利用“边角边”证明△CBE ≌△DCF ，得∠BCE ＝∠CDF ，进一步得∠DHC ＝∠DHE ＝90°，从而知GH ＝12DE ，利用勾股定理求出DE 的长即可得出答案．【详解】解：∵四边形ABCD 为正方形，∴∠B ＝∠DCF ＝90°，BC ＝DC ，在△CBE 和△DCF 中，BC CC B DCF BE CF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△CBE ≌△DCF （SAS ），∴∠BCE ＝∠CDF ，∵∠BCE +∠DCH ＝90°，∴∠CDF +∠DCH ＝90°，∴∠DHC ＝∠DHE ＝90°，∵点G 为DE 的中点，∴GH ＝12DE ，∵AD ＝AB ＝6，AE ＝AB ﹣BE ＝6﹣2＝4，∴DE === ∴GH故选A ．【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，直角三角形斜边上的中线，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．10、B【解析】【分析】根据菱形的面积公式求解即可．【详解】×10×8＝40．解：这个菱形的面积＝12故选：B．【点睛】本题考查了菱形的面积问题，掌握菱形的面积公式是解题的关键．二、填空题1、90【解析】【分析】根据折叠的性质，∠1=∠2，∠3=∠4，利用平角，计算∠2+∠3的度数即可．【详解】如图，根据折叠的性质，∠1=∠2，∠3=∠4，∵∠1+∠2+∠3+∠4=180°，∴2∠2+2∠3=180°，∴∠2+∠3=90°，∴CEF ∠=90°，故答案为：90．【点睛】本题考查了折叠的性质，两个角的和，熟练掌握折叠的性质，灵活运用两个角的和是解题的关键． 2、18°##18度【解析】【分析】由“SAS ”可证△DCE ≌△BCE ，可得∠CED =∠CEB =12∠BED =63°，由三角形的外角的性质可求解．【详解】证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴AD =CD =BC =AB ，∠DAE =∠BAE =∠DCA =∠BCA =45°，在△DCE 和△BCE 中，CD BC BCE DCE CE CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△DCE ≌△BCE （SAS ），∴∠CED =∠CEB =12∠BED =63°，∵∠CED =∠CAD +∠ADE ，∴∠ADE =63°-45°=18°，故答案为：18°．【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，证明△DCE ≌△BCE 是本题的关键．3、①②④【解析】【分析】如图，矩形ABCD ，O 为对角线的交点，由中心对称性证明：,OE OF = 所以当OG OH =时，四边形EGFH 是平行四边形，当OE OG OF OH 时，四边形EGFH 是矩形，当,,OG OH EF AC 四边形EGFH 是菱形，再利用正方形的性质求解,AG 从而可得答案.【详解】解：如图，矩形ABCD ，O 为对角线的交点，由中心对称性可得：,OE OF =所以当OG OH =时，四边形EGFH 是平行四边形，所以AC 上存在无数组G 、H ，使得四边形EGFH 是平行四边形；故①符合题意；当OE OG OF OH 时，四边形EGFH 是矩形，而OE 不是定值，所以在AC 上存在无数组G 、H ，使得四边形EGFH 是矩形；故②符合题意；当,,OG OH EF AC四边形EGFH 是菱形，而AC 位置确定，所以EF 唯一，所以在AC 上不存在无数组G 、H ，使得四边形EGFH 是菱形，故③不符合题意；如图，当四边形EGFH 是正方形时，,,,EG GF FH EH OE OF OG OH EF GH,FA FC由矩形ABCD 可得：90,6,8,,ABC AB DC AD BC OA OC 226810,,5,ACAG CH OA OC 2226+8,AF AF 25,4AF 2225155,44OF OG 1555,44AG 所以当AG =54时，存在E 、F 、G ，H ，使得四边形EGFH 是正方形，故④符合题意；故答案为：①②④【点睛】本题考查的是平行四边形的判定与性质，矩形的判定与性质，菱形的判定，正方形的性质，掌握“特殊四边形的判定与性质”是解本题的关键.4、（0，-5）【解析】【分析】在Rt△ODC中，利用勾股定理求出OC即可解决问题．【详解】解：∵A（12，13），∴OD=12，AD=13，∵四边形ABCD是菱形，∴CD=AD=13，在Rt△ODC中，5OC，=∴C（0，-5）．故答案为：（0，-5）【点睛】本题考查菱形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．5、5【解析】【分析】由矩形的性质可证△AOB为等边三角形，可求BO=AB的长，即可求BD的长．【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AO=CO=BO=DO，∵∠AOD=120°，∴∠AOB=60°，且AO=BO，∴△ABO为等边三角形，∴AO=BO=AB=2.5，∴BD=5，故答案为：5．【点睛】本题考查矩形的性质，熟练掌握矩形的性质是本题的关键，①矩形的对边平行且相等；②矩形的四个角都是直角；③矩形的对角线相等且互相平分．三、解答题1、见详解【解析】【分析】先作m的垂直平分线，取m的一半为AB，然后以点A为圆心，以m长为半径画弧，交m的垂直平分线于C，连结AC，利用作一个角等于已知角，过A作BC的平行线AD，过C作AB的平行线CD，两线交于D即可．【详解】解：先作m的垂直平分线，取m的一半为AB，以点A为圆心，以m长为半径画弧，交m的垂直平分线于C，连结AC，过A作BC的平行线，与过C作AB的平行线交于D，则四边形ABCD为所求作矩形；∵AD∥BC，CD∥AB，∴四边形ABCD为平行四边形，∵BC⊥AB，∴∠ABC=90°，∴四边形ABCD为矩形，∵AB=12m，AC=m，∴矩形的宽与对角线满足条件，∴四边形ABCD为所求作矩形．【点睛】本题考查矩形作图，线段垂直平分线，作线段等于已知线段，平行线作法，掌握矩形作图，线段垂直平分线，作线段等于已知线段，平行线作法是解题关键．2、 (1)见解析；(2)见解析【解析】【分析】（1）根据四边形ABCD 为平行四边形形，可得//AD BC ，所以FAC ECA ∠=∠，∠=∠AFE CEF ，再根据O 是对角线AC 的中点，可得OA OC =，进而证明AOF COE ∆≅∆；（2）根据矩形的判定可得出答案．(1) 解：证明：四边形ABCD 为平行四边形，//AD BC ∴，FAC ECA ∴∠=∠，∠=∠AFE CEF ， O 是对角线AC 的中点，OA OC ∴=，在AOF ∆和COE ∆中，FAC ECA AFE CEF OA OC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ()AOF COE AAS ∴∆≅∆；(2)解：证明：OAF OFA ∠=∠，OA OF ∴=，AOF COE ∆≅∆，OE OF ∴=，OA OC =，∴四边形AECF 为平行四边形，AC EF =，∴四边形AECF 为矩形．【点睛】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质，解题的关键是综合运用三角形和四边形的知识．3、 (1)证明见解析 (2)275cm 4【解析】【分析】（1）先根据折叠的性质可得EAC DAC ∠=∠，再根据矩形的性质、平行线的性质可得DAC ACB ∠=∠，从而可得EAC ACB ∠=∠，然后根据等腰三角形的判定即可得证；（2）设cm AE EC x ==，从而可得(8)cm BE x =-，先在Rt ABE △中，利用勾股定理可得x 的值，再利用三角形的面积公式即可得．(1)证明：由折叠的性质得：EAC DAC ∠=∠，四边形ABCD 是长方形，AD BC ∴，DAC ACB ∴∠=∠，EAC ACB ∴∠=∠，AE EC ∴=．(2) 解：四边形ABCD 是长方形，90B ∴∠=︒，设cm AE EC x ==，则(8)cm BE BC EC x =-=-，在Rt ABE △中，222AB BE AE +=，即2226(8)x x +-=，解得254x =，即25cm 4EC =，则阴影部分的面积为21125756(cm )2244EC AB ⋅=⨯⨯=．【点睛】本题考查了矩形与折叠问题、等腰三角形的判定、勾股定理等知识，熟练掌握矩形与折叠的性质是解题关键．4、见解析【解析】【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得DE =12AB ，再求出DE =CD ，然后根据等腰三角形三线合一的性质证明即可．【详解】证明：在△ACB 中，CE 是中线，∴点E 为AB 边的中点∵AD 是BC 边上的高， ∴△ADB 是直角三角形∴DE =12AB ，∵CD =12AB ，∴DC =DE ，∵F 是CE 中点，∴DF ⊥CE ．【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形三线合一的性质，熟记性质并作辅助线构造出等腰三角形是解题的关键．5、 (1)见解析(2)AE 2+ GF 2=EG 2，证明见解析【解析】【分析】（1）根据“SAS ”证明△ADE ≌△CDE 即可；（2）连接CG ，可得CG =GF =GH =12FH ，再证明∠ECG =90°，然后在Rt △CEG 中，可得CE 2+CG 2=EG 2，进而可得线段AE ，EG 和GF 之间的数量关系．(1)证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴AD =CD ，∠ADE =∠CDE ，在△ADE 和△CDE 中AD CD ADE CDE DE DE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ADE ≌△CDE ，∴AE =CE ；(2)AE 2+ GF 2=EG 2，理由：连接CG∵△ADE ≌△CDE ，∴∠1=∠2．∵G为FH的中点，FH，∴CG=GF=GH=12∴∠6=∠7．∵∠5=∠6，∴∠5=∠7．∵∠1+∠5=90°，∴∠2+∠7=90°，即∠ECG=90°，在Rt△CEG中，CE2+CG2=EG2，∴AE2+ GF2=EG2．【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，以及勾股定理等知识，证明△ADE≌△CDE是解（1）的关键，证明∠ECG=90°是解（2）的关键．。

鲁教版(五四学制)八年级数学下册《第六章特殊的平行四边形》同步单元综合训练(附答案)

2021年度鲁教版八年级数学下册《第六章特殊的平行四边形》同步单元综合训练（附答案）1．如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，E是AB边上一动点（不与A、B重合），且∠EDF ＝∠A．则下列结论错误的是（）A．AE＝BF B．∠ADE＝∠BEFC．△DEF是等边三角形D．△BEF是等腰三角形2．如图，已知菱形ABCD对角线AC、BD的长分别为6cm、8cm，AE⊥BC于点E，则AE 的长是（）A．5B．2C．D．3．如图，菱形ABCD的一边中点M到对角线交点O的距离为5cm，则菱形ABCD的周长为（）A．40cm B．30cm C．20cm D．10cm4．如图，在▱ABCD中，AM，CN分别是∠BAD和∠BCD的平分线，添加一个条件，仍无法判断四边形AMCN为菱形的是（）A．AM＝AN B．MN⊥ACC．MN是∠AMC的平分线D．∠BAD＝120°5．如图，在▱ABCD中，E，F分别是AD，BC上的点，且DE＝BF，AC⊥EF．求证：四边形AECF是菱形．6．下列说法中不正确的是（）A．四边相等的四边形是菱形B．对角线垂直的平行四边形是菱形C．菱形的对角线互相垂直且相等D．菱形的邻边相等7．如图，四边形ABCD的对角线相交于点O，且点O是BD的中点，若AB＝AD＝5，BD ＝8，∠ABD＝∠CDB，则四边形ABCD的面积为（）A．40 B．24 C．20 D．158．如图，在平行四边形ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG交BC于点E，以A 为圆心，AB长为半径画弧交AD于F，若BF＝12，AB＝10，则AE的长为（）A．16 B．15 C．14 D．139．如图，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠的部分为四边形ABCD，若测得A，C之间的距离为6cm，点B，D之间的距离为8cm，则线段AB的长为（）A．5 cm B．4.8 cm C．4.6 cm D．4 cm10．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O．AC＝4，∠AOD＝120°，则BC的长为（）A．4B．4 C．2D．211．如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOD＝60°，AD＝4，则该矩形的面积是（）A．16 B．8 C．16D．812．如图，矩形ABCD中，AC、BD交于点O，M、N分别为BC、OC的中点．若∠ACB＝30°，AB＝8，则MN的长为（）A．2 B．4 C．8 D．1613．能判定一个平行四边形是矩形的条件是（）A．两条对角线互相平分B．一组邻边相等C．两条对角线相等D．两条对角线互相垂直14．如图，已知在正方形ABCD中，AD＝4，E，F分别是CD，BC上的一点，且∠EAF＝45°，EC＝1，点G在CB延长线上且GB＝DE，连接EF，则以下结论：①DE+BF＝EF，②BF＝，③AF＝，④S△AEF＝中正确的个数有（）个．A．1 B．2 C．3 D．415．如图，在正方形ABCD中，点F为CD上一点，BF与AC交于点E，若∠CBF＝25°，则∠AED＝（）A．60°B．65°C．70°D．75°16．如图，若四边形ABCD是正方形，△CDE是等边三角形，则∠EAB的度数为．17．如图，在正方形ABCD中，正方形的边长为4a，E是BC的中点，F是CD上一点，且CF＝CD，判断△AEF的形状并说明理由．18．如图，E、F分别是正方形ABCD的边BC、CD上一点，且BE+DF＝EF，求∠EAF的度数．19．下列说法不正确的是（）A．一组同旁内角相等的平行四边形是矩形B．一组邻边相等的菱形是正方形C．有三个角是直角的四边形是矩形D．对角线相等的菱形是正方形20．下列说法错误的是（）A．对角线互相垂直的平行四边形是矩形B．矩形的对角线相等C．对角线相等的菱形是正方形D．两组对边分别相等的四边形是平行四边形21．已知四边形ABCD是矩形，当补充条件（用字母表示）时，就可以判定这个矩形是正方形．22．如图，△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于D，点E、F分别是AB、AC的中点．（1）求证：四边形AEDF是菱形；（2）如果AB＝AC＝BC＝10，求四边形AEDF的面积S．23．如图，在菱形ABCD中，AE⊥AD交BD于点E，CF⊥BC交BD于点F．（1）证明：△ADE≌△CBF；（2）连接AF、CE，四边形AECF是菱形吗？说明理由．24．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，DB＝DC，E是BC的中点，连接DE．（1）求证：四边形ABED是矩形；（2）连接AC，若∠ABD＝30°，DC＝2，求AC的长．25．如图，AD是等腰△ABC底边BC上的高．点O是AC中点，延长DO到E，使OE＝OD，连接AE，CE．（1）求证：四边形ADCE的是矩形；（2）若AB＝17，BC＝16，求四边形ADCE的面积．26．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝∠ADC＝90°，对角线AC，BD交于点O，DE平分∠ADC交BC于点E，连接OE．（1）求证：四边形ABCD是矩形；（2）若AB＝2，求△OEC的面积．27．如图，已知E是平行四边形ABCD中BC边的中点，连接AE并延长AE交DC的延长线于点F．（1）求证：△ABE≌△FCE；（2）连接AC、BF，若AE＝BC，求证：四边形ABFC为矩形；（3）在（2）条件下，当△ABC再满足一个什么条件时，四边形ABFC为正方形．28．已知，如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是AB中点，过点D作DF⊥AC，垂足为F，过点C作AB的平行线，交DF的延长线于点E，连接CD，AE．（1）求证：四边形AECD是菱形；（2）当∠BAC的大小满足什么条件时，四边形AECD是正方形？证明你的结论．29．如图，正方形ABCD中，AB＝4，点E是对角线AC上的一点，连接DE．过点E作EF ⊥ED，交AB于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接AG．（1）求证：矩形DEFG是正方形；（2）求AG+AE的值；（3）若F恰为AB中点，连接DF交AC于点M，请直接写出ME的长．参考答案1．解：连接BD，∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝AB，∠ADB＝∠ADC，AB∥CD，∵∠A＝60°，∴∠ADC＝120°，∠ADB＝60°，同理：∠DBF＝60°，即∠A＝∠DBF，∴△ABD是等边三角形，∴AD＝BD，∵∠ADE+∠BDE＝60°，∠BDE+∠BDF＝∠EDF＝60°，∴∠ADE＝∠BDF，∵在△ADE和△BDF中，，∴△ADE≌△BDF（ASA），∴DE＝DF，AE＝BF，故A正确；∵∠EDF＝60°，∴△EDF是等边三角形，∴C正确；∴∠DEF＝60°，∴∠AED+∠BEF＝120°，∵∠AED+∠ADE＝180°﹣∠A＝120°，∴∠ADE＝∠BEF；故B正确．∵△ADE≌△BDF，∴AE＝BF，同理：BE＝CF，但BE不一定等于BF．故D错误．故选：D．2．解：∵四边形ABCD是菱形，AC＝6cm，BD＝8cm，∴AO＝CO＝3cm，BO＝DO＝4cm，∠BOC＝90°，∴BC＝＝5（cm），∴AE×BC＝BO×AC故5AE＝24，解得：AE＝．故选：C．3．解：∵菱形的对角线互相垂直平分，又直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，∴根据三角形中位线定理可得：BC＝2OM＝10，则菱形ABCD的周长为40cm．故选：A．4．解：如图，∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠B＝∠D，∠DAB＝∠DCB，AB＝CD，AD＝BC，∵AM，CN分别是∠BAD和∠BCD的平分线，∴∠DCN＝∠DCB，∠BAM＝∠BAD，∴∠BAM＝∠DCN，在△ABM和△CDN中，∴△ABM≌△CDN（ASA），∴AM＝CN，BM＝DN，∵AD＝BC，∴AN＝CM，∴四边形AMCN是平行四边形，A、∵四边形AMCN是平行四边形，AM＝AN，∴平行四边形AMCN是菱形，故本选项错误；B、∵MN⊥AC，四边形AMCN是平行四边形，∴平行四边形AMCN是菱形，故本选项错误；C、∵四边形AMCN是平行四边形，∴AN∥BC，∴∠MNA＝∠CMN，∵MN是∠AMC的平分线，∴∠NMA＝∠NMC，∴∠MNA＝∠NMA，∴AM＝AN，∵四边形AMCN是平行四边形，∴四边形AMCN是菱形，故本选项错误；D、根据∠BAD＝120°和平行四边形AMCN不能推出四边形是菱形，故本选项正确；故选：D．5．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC，∵DE＝BF，∴AE＝CF，∵AE∥CF，∴四边形AECF是平行四边形，∵AC⊥EF，∴四边形AECF是菱形．6．解：A．四边相等的四边形是菱形；正确；B．对角线垂直的平行四边形是菱形；正确；C．菱形的对角线互相垂直且相等；不正确；D．菱形的邻边相等；正确；故选：C．7．解：∵AB＝AD，点O是BD的中点，∴AC⊥BD，∠BAO＝∠DAO，∵∠ABD＝∠CDB，∴AB∥CD，∴∠BAC＝∠ACD，∴∠DAC＝∠ACD，∴AD＝CD，∴AB＝CD，∴四边形ABCD是菱形，∵AB＝5，BO＝BD＝4，∴AO＝3，∴AC＝2AO＝6，∴四边形ABCD的面积＝×6×8＝24，故选：B．8．解：连结EF，AE与BF交于点O，如图，∵AO平分∠BAD，∴∠1＝∠2，∵四边形ABCD为平行四边形，∴AF∥BE，∴∠1＝∠3，∴∠2＝∠3，∴AB＝EB，同理：AF＝BE，又∵AF∥BE，∴四边形ABEF是平行四边形，∴四边形ABEF是菱形，∴AE⊥BF，OB＝OF＝6，OA＝OE，在Rt△AOB中，由勾股定理得：OA＝＝＝8，∴AE＝2OA＝16．故选：A．9．解：如图，作AR⊥BC于R，AS⊥CD于S，连接AC，BD交于点O，由题意知，AD∥BC，AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形．∵两张纸条等宽，∴AR＝AS．∵AR•BC＝AS•CD，∴BC＝CD，∴平行四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD．在Rt△AOB中，OA＝3，OB＝4，∴AB＝＝5．故选：A．10．解：如图，∵矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AC＝4，∴OA＝OB＝AC＝2，又∵∠AOD＝120°，∴∠AOB＝60°，∴△AOB是等边三角形，∴AB＝OA＝OB＝2．∴在直角△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2，AC＝4，∴BC＝＝＝2故选：C．11．解：∵四边形ABCD是矩形，∴OA＝OD＝OB＝OC，∵∠AOD＝60°，∴△AOD是等边三角形，∴AD＝OD＝AO＝4，∴BD＝8，∴AB＝＝＝4，∴矩形的面积＝4×4＝16，故选：C．12．解：如图，∵四边形ABCD是矩形，AC，BD交于点O，∠ACB＝30°，AB＝8，∴BD＝AC＝2AB＝816，∴BD＝2BO，即2BO＝16．∴BO＝8．又∵M、N分别为BC、OC的中点，∴MN是△CBO的中位线，∴MN＝BO＝4．故选：B．13．解：A、两条对角线互相平分的四边形是平行四边形，故本选项错误；B、一组邻边相等的平行四边形是菱形，菱形不一定是矩形，故本选项错误；C、根据矩形的判定定理：对角线相等的平行四边形是矩形，故本选项正确；D、两条对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故本选项错误．故选：C．14．解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD＝AD＝4，∠D＝∠ABG＝90°，∵EC＝1，∴GB＝DE＝1，∴AE＝AG＝5，即△ADE绕点A沿顺时针方向旋转90°后与△ABG重合，∴∠DAE＝∠BAG，∵∠EAF＝45°，∴∠DAE+∠BAF＝45°＝∠GAB+∠BAF＝∠GAF＝45°，∵AG＝AE，∠F AE＝∠F AG＝45°，AF＝AF，在△AFE和△AFG中，，∴△AFE≌△AFG（SAS），∴EF＝FG，∵DE＝BG，∴EF＝FG＝BG+FB＝DE+BF，故①正确；∵BC＝CD＝AD＝4，EC＝1，∴DE＝3，设BF＝x，则EF＝x+3，CF＝4﹣x，在Rt△ECF中，（x+3）2＝（4﹣x）2+12，解得x＝，∴BF＝，故②正确；∴AF＝＝＝，故③错误；∴GF＝3+＝，∴S△AEF＝S△AGF＝AB×GF＝4×＝，故④正确．所以正确的有①②④，共3个．故选：C．15．解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC＝90°，BA＝DA，∠BAE＝∠DAE＝45°．又AE＝AE，∴△ABE≌△ADE（SAS）．∴∠ADE＝∠ABE＝90°﹣25°＝65°．∴∠AED＝180°﹣45°﹣65°＝70°．故选：C．16．解：∵∠ADE＝∠BCE＝90°+60°＝150°，AD＝BC，DE＝CE，∴△ADE≌△BCE，∴AE＝BE，∴∠EAB＝∠EBA．∵正方形中AD＝DC，等边三角形中DC＝DE，∴AD＝DE，∵∠ADE＝90°+60°＝150°，∴∠DEA＝＝15°，同理∠CEB＝15°，∴∠AEB＝60°﹣15°﹣15°＝30°，∴∠EAB＝＝75°．故答案为75°．17．解：△AEF为直角三角形．理由如下：∵四边形ABCD为正方形，且边长为4a，∴AB＝BC＝CD＝DA，∠B＝∠C＝∠D＝90°，∵E是BC的中点，且CF＝CD，∴BE＝CE＝2a，CF＝a，DF＝3a，在Rt△ABE中，由勾股定理可得：AE2＝AB2+BE2＝（4a）2+（2a）2＝20a2，同理在Rt△EFC，Rt△ADF中，可得EF2＝CE2+CF2＝（2a）2+a2＝5a2，AF2＝AD2+DF2＝（4a）2+（3a）2＝25a2，∴AE2+EF2＝AF2，∴△AEF为直角三角形．18．解：延长EB使得BG＝DF，连接AG，在△ABG和△ADF中，，可得△ABG≌△ADF（SAS），∴∠DAF＝∠BAG，AF＝AG，又∵EF＝DF+BE＝EB+BG＝EG，AE＝AE，在△AEG和△AEF中，，∴△AEG≌△AEF（SSS），∴∠EAG＝∠EAF，∵∠DAF+∠EAF+∠BAE＝90°∴∠EAG+∠EAF＝90°，∴∠EAF＝45°．19．解：A、一组同旁内角相等的平行四边形是矩形，正确；B、一组邻边相等的菱形是正方形，错误；C、有三个角是直角的四边形是矩形，正确；D、对角线相等的菱形是正方形，正确．故选：B．20．解：对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故选项A错误；矩形的对角线相等，故选项B正确；对角线相等的菱形是正方形，故选项C正确；两组对边分别相等的四边形是平行四边形，故选项D正确；故选：A．21．解：因为有一组邻边相等的矩形是正方形，故补充的条件为：AB＝AD．22．解：（1）∵AD⊥BC，点E、F分别是AB、AC的中点，∴Rt△ABD中，DE＝AB＝AE，Rt△ACD中，DF＝AC＝AF，又∵AB＝AC，点E、F分别是AB、AC的中点，∴AE＝AF，∴AE＝AF＝DE＝DF，∴四边形AEDF是菱形；（2）如图，∵AB＝AC＝BC＝10，∴EF＝5，AD＝5，∴菱形AEDF的面积S＝．23．（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝BC，AD∥BC，∴∠ADB＝∠CBD，∵AE⊥AD，∴∠EAD＝90°，同理∠BCF＝90°．∴∠EAD＝∠BCF．在△AED和△CFB中∠ADB＝∠CBD，AD＝BC，∠EAD＝∠BCF，∴△ADE≌△CBF．（2）解：结论：四边形AECF是菱形．理由：连接AC，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，即AC⊥EF，由（1）△ADE≌△CBF，∴AE＝CF，∠AED＝∠BFC，∴AE∥CF，∴四边形AECF是平行四边形，∵AC⊥EF，∴四边形AECF是菱形．24．（1）证明：∵AD∥BC，∠ABC＝90°，∴∠BAD＝90°，∵DB＝DC，E是BC的中点，∴∠DEB＝90°，∴四边形ABED是矩形；（2）解：∵∠ABC＝90°，∠ABD＝30°，∴∠DBE＝60°，∵DB＝DC，∴△DBC是等边三角形，∴BD＝BC＝DC＝2，∵Rt△BAD中，∠ABD＝30°，∴AD＝1，AB＝，∴在Rt△ABC中，AC＝＝．25．（1）证明：∵点O是AC中点，∴AO＝OC，∵OE＝OD，∴四边形ADCE是平行四边形，∵AD是等腰△ABC底边BC上的高，∴∠ADC＝90°，∴四边形ADCE是矩形；（2）解：∵AD是等腰△ABC底边BC上的高，BC＝16，AB＝17，∴BD＝CD＝8，AB＝AC＝17，∠ADC＝90°，由勾股定理得：AD＝＝＝15，∴四边形ADCE的面积是AD×DC＝15×8＝120．26.（1）证明：∵AD∥BC，∴∠ABC+∠BAD＝180°，∵∠ABC＝90°，∴∠BAD＝90°，∴∠BAD＝∠ABC＝∠ADC＝90°，∴四边形ABCD是矩形．（2）作OF⊥BC于F．∵四边形ABCD是矩形，∴CD＝AB＝2，∠BCD＝90°，AO＝CO，BO＝DO，AC＝BD，∴AO＝BO＝CO＝DO，∴BF＝FC，∴OF＝CD＝1，∵DE平分∠ADC，∠ADC＝90°，∴∠EDC＝45°，在Rt△EDC中，EC＝CD＝2，∴△OEC的面积＝•EC•OF＝1．27．（1）证明：在平行四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝CD，∴∠BAE＝∠EFC，∵E为BC的中点，∴BE＝EC，在△ABE和△FCE中，，∴△ABE≌△FCE（AAS），（2）证明：∵△ABE≌△FCE，∴AB＝FC，∵BE＝CE，∴四边形ABFC为平行四边形，∵AE＝EF＝AF，AE＝BC，∴BC＝AF，∴四边形ABFC是矩形；（3）解：当△ABC为等腰三角形时，即AB＝AC时，四边形ABFC为正方形；理由如下：∵AB＝AC，四边形ABFC是矩形，∴四边形ABFC为正方形．28．（1）证明：∵∠ACB＝90°，DF⊥AC，∴DF∥BC，∵点D是AB中点，∴F是AC的中点，∴AF＝CF，∵CE∥AB，∴∠ECF＝∠DAF，在△CEF和△ADF中，，∴△CEF≌△ADF（ASA），∴EF＝DF，∴四边形AECD是平行四边形，又∵DF⊥AC，∴四边形AECD是菱形；（2）解：当∠BAC＝45°时，四边形AECD是正方形；理由如下：∵四边形AECD是菱形，∴∠EAC＝∠BAC＝45°，∴∠EAD＝90°，∴四边形AECD是正方形．29．解：（1）如图，作EM⊥AD于M，EN⊥AB于N．∵四边形ABCD是正方形，∴∠EAD＝∠EAB，∵EM⊥AD于M，EN⊥AB于N，∴EM＝EN，∵∠EMA＝∠ENA＝∠DAB＝90°，∴四边形ANEM是矩形，∵EF⊥DE，∴∠MEN＝∠DEF＝90°，∴∠DEM＝∠FEN，∵∠EMD＝∠ENF＝90°，∴△EMD≌△ENF，∴ED＝EF，∵四边形DEFG是矩形，∴四边形DEFG是正方形．（2）∵四边形DEFG是正方形，四边形ABCD是正方形，∴DG＝DE，DC＝DA＝AB＝4，∠GDE＝∠ADC＝90°，∴∠ADG＝∠CDE，∴△ADG≌△CDE（SAS），∴AG＝CE，∴AE+AG＝AE+EC＝AC＝AD＝4．（3）如图，作EH⊥DF于H．∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD＝4，AB∥CD，∵F是AB中点，∴AF＝FB∴DF＝＝2，∵△DEF是等腰直角三角形，EH⊥AD，∴DH＝HF，∴EH＝DF＝，∵AF∥CD，∴AF：CD＝FM：MD＝1：2，∴FM＝，∴HM＝HF﹣FM＝，在Rt△EHM中，EM＝＝。

八下第6章特殊平行四边形专题一特殊平行四边形的性质与判定的综合应用习题鲁教版五四制

3 如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F在对角线BD上，且BE＝DF，OE＝OA．求证：四边形AECF是正方形．
【证明】∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OA＝OC， OB＝OD.∵BE＝DF，∴OE＝OF，∴四边形AECF是菱形．∵OE＝OA，∴OE＝OF＝OA＝OC，即EF＝AC， ∴菱形AECF是正方形．
当∠CPG＝90°时，∠CPH＝90°＝∠CPG. ∵CP＝CP，∴△CPH≌△CPG(SAS)，∴CH＝CG. ∵在正方形ABCD中，DC＝BC， ∴DH＝BG，∴BG＝GF，由(1)知四边形BEFG是矩形， ∴四边形BEFG是正方形．
6 四边形ABCD为矩形，E是AB延长线上的一点． (1)若AC＝EC，如图①，求证：四边形BECD为平行四
(3)连接AE，AF，当点O运动到什么位置时，四边形AECF 是矩形？请说明理由．
【解】当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形. 理由：当点O运动到AC的中点时，OA＝OC. 又∵OE＝ OF，∴四边形AECF是平行四边形．由(1)知OF＝OC， ∴OA＝OC＝OE＝OF.∴OA＋OC＝OE＋OF，即AC＝ EF，∴四边形AECF是矩形．
7 如图，在△ABC中，点O是AC边上一个动点，过点O 作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交 △ABC的外角∠ACD的平分线于点F.
(1)探究OE与OF的数量关系，并加以证明．【解】OE＝OF. 证明：∵MN∥BC， ∴∠OEC＝∠BCE，∠OFC＝∠DCF. 又∵CE平分∠BCO，CF平分∠DCO，∴∠OCE＝ ∠BCE，∠OCF＝∠DCF，∴∠OCE＝∠OEC， ∠OCF＝∠OFC，∴OE＝OC，OF＝OC，∴OE＝OF.
∵四边形 ABCD 是正方形，∴∠BAP＝90°，AD∥BC， ∴ AF ＝ 12 BP ＝ PF ， AD ∥ EF ， ∴ ∠ 3 ＝ ∠ 4 ， ∠ 1 ＝ ∠ 4 ， ∴ ∠ 1 ＝ ∠ 3. ∵ ∠ 1 ＝ ∠ 2 ， ∴ ∠ 2 ＝ ∠ 3. 又 ∵ PF ＝ FP ， ∴ △ APF ≌ △ EFP ， ∴ AP ＝ EF. 又 ∵ AP ∥ EF ， ∴ 四边形 AFEP 是平行四边形．

达标测试鲁教版(五四制)八年级数学下册第六章特殊平行四边形专项练习试卷

第I 卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，BD 、BE 为折痕，则∠EBD 的度数（）A ．80°B ．90°C ．100°D ．110°2、如图，在正方形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，E 为BC 上一点，CE ＝6，F 为DE 的中点．若OF 的长为1，则△CEF 的周长为（）A ．14B ．16C ．18D ．123、将一长方形纸条按如图所示折叠，255∠=︒，则1∠=（）A．55°B．70°C．110°D．60°4、如图已知：四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的是（）A．当AB=BC时，它是菱形B．当AC⊥BD时，它是菱形C．当AC=BD时，它是正方形D．当∠ABC=90 时，它是矩形5、如图，正方形ABCD，对角线AC，BD相交于点O，过点B作∠ABO的角平分线交OA于点E，过点A 作AG⊥BE，垂足为F，交BD于点G，连接EG，则S△ABG：S△BEG等于（）A．3：5 B 2 C．1：2 D．）：16、如图，在正方形ABCD中，点E、点F分别在AD、CD上，且AE＝DF，若四边形OEDF的面积是1，OA的长为1，则正方形的边长AB为（）A．1 B．2 C D．7、已知锐角∠AOB，如图．（1）在射线OA上取一点C，以点O为圆心，OC长为半径画弧，交射线OB于点D，连接CD；（2）分别以点C，D为圆心，CD长为半径作弧，两弧交于点P，连接CP，DP；（3）作射线OP交CD于点Q．根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（）A．四边形OCPD是菱形B．CP=2QCC．∠AOP=∠BOP D．CD⊥OP8、如图，直线l上有三个正方形A、B、C，若正方形A、C的边长分别为4和6，则正方形B的面积为（）A．26 B．49 C．52 D．649、如图，在正方形ABCD中，AB＝3，点E，F分别在边AB，CD上，∠EFD＝60°．若将四边形EBCF 沿EF折叠，点B′恰好落在AD边上，则BE的长度为（）A．1 B C D．210、如图，点E、F分别在正方形ABCD的边DC、BC上，AG⊥EF，垂足为G，且AG=AB，则∠EAF=（）度A．30°B．45°C．50°D．60°第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、如图，公路AC，BC互相垂直，公路AB的中点M与点C被湖隔开，若测得AM的长为1.2km，则M，C两点间的距离为___km．2、定义：在平面内，一个点到图形的距离是这个点到这个图上所有点的最短距离，在平面内有一个正方形，边长为6，中心为O ，在正方形外有一点P ，6OP =，当正方形绕着点O 旋转时，则点P 到正方形的最短距离d 的最大值为______．3、如图，在平面直角坐标系xOy 中，矩形OABC 的顶点A 在x 轴的正半轴上，且顶点B 的坐标是（1，2），如果以O 为圆心，OB 长为半径画弧交x 轴的正半轴于点P ，那么点P 的坐标是_______．4、如图，矩形纸片ABCD ，AD ＝4，AB ＝2，点F 在线段AD 上，将△ABF 沿BF 向下翻折，点A 的对应点E 落在线段BC 上，点M ，N 分别是线段AD 与线段BC 上的点，将四边形CDMN 沿MN 向上翻折，点C 恰好落在线段BF 的中点C '处，则线段MN 的长为 __________________．5、矩形ABCD 的对角线AC 和BD 相交于点O ，∠ACB =40°，则∠AOB =_________°．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、如图，在等腰直角ABC 中，90BAC ∠=︒，点M 为BC 边上的中点．(1)如图1，若点D 、点E 分别为线段AC 、AB 上的点，且DC EA =，连接MD 、ME ，求证：ME MD ⊥；(2)如图2，若点D 为线段AC 上的点，点E 为线段AB 延长线上的点，且DC EB =，30AED ∠=︒，连接ED ，交BC 于点N ，EF 是AED ∠的角平分线，交AM 于点F ，连接AN 、FD ，探究线段AN 、FD 、AC 之间的数量关系，并给出证明．2、如图，在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，AD//BC(1)在图中，用尺规作线段BD 的垂直平分线EF ，分别交BD 、BC 于点E 、F ．（保留作图痕迹，不写作法）(2)连接DF ，证明四边形ABFD 为菱形．3、如图，矩形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，AB ＝5cm ，∠BOC ＝120°，求矩形对角线的长．4、如图，在平行四边形ABCD 中，点M 是AD 边的中点，连接BM ，CM ，且BM ＝CM ．(1)求证：四边形ABCD是矩形；(2)若△BCM是直角三角形，直接写出AD与AB之间的数量关系．5、如图，四边形ABCD是一个正方形，E、F分别在AD、DC边上，且DE=CF，AF、BE交于O点，请说出线段AF和BE的关系，并证明你的结论．-参考答案-一、单选题1、B【解析】【分析】根据翻折的性质可知，∠ABE=∠A′BE，∠DBC=∠DBC′，又∠ABE+∠A′BE+∠DBC+∠DBC′=180°，且∠EBD=∠A′BE+∠DBC′，继而即可求出答案．【详解】解：根据翻折的性质可知，∠ABE=∠A′BE，∠DBC=∠DBC′，又∵∠ABE+∠A′BE+∠DBC+∠DBC′=180°，∴∠EBD =∠A ′BE +∠DBC ′=180°×12=90°．故选B ．【点睛】此题考查翻折变换的性质，三角形折叠以后的图形和原图形全等，对应的角相等，得出∠ABE =∠A ′BE ，∠DBC =∠DBC ′是解题的关键．2、B【解析】【分析】根据中位线的性质及直角三角形斜边上中线的性质可得：22ED CF EF ==，结合图形得出CEF 的周长为EF EC FC ED EC ++=+，再由中位线的性质得出22BE OF ==，在Rt CED 中，利用勾股定理确定10ED =，即可得出结论．【详解】解：在正方形ABCD 中，BO DO =，BC CD =，90BCD ∠=︒，∵F 为DE 的中点，O 为BD 的中点，∴OF 为DBE 的中位线且CF 为Rt CDE 斜边上的中线，∴22ED CF EF ==，∴CEF 的周长为EF EC FC ED EC ++=+，∵1OF =，∴22BE OF ==，∵6CE =，∴268BC BE CE =+=+=，∴8CD BC ==，在Rt CED 中，90ECD ∠=︒，8CD =，6CE =，∴10ED ==，∴CEF 的周长为10616EF EC FC ED EC ++=+=+=，故选：B ．【点睛】题目主要考查正方形的性质，三角形中位线的性质，勾股定理，直角三角形斜边中线的性质等，理解题意，熟练掌握运用各个知识点是解题关键．3、B【解析】【分析】从折叠图形的性质入手，结合平行线的性质求解．【详解】解：由折叠图形的性质结合平行线同位角相等可知，221180∠+∠=︒，255∠=︒，170∴∠=︒．故选：B ．【点睛】本题考查折叠的性质及平行线的性质，解题的关键是结合图形灵活解决问题．4、C【解析】【分析】根据矩形、菱形、正方形的判定逐个判断即可．【详解】解：A 、∵四边形ABCD 是平行四边形，又∵AB =BC ，∴四边形ABCD 是菱形，故本选项不符合题意；B 、∵四边形ABCD 是平行四边形，又∵AC ⊥BD ，∴四边形ABCD 是菱形，故本选项不符合题意；C 、∵四边形ABCD 是平行四边形，又∵AC =BD ，∴四边形ABCD 是矩形，故本选项符合题意；D 、∵四边形ABCD 是平行四边形，又∵∠ABC =90°，∴四边形ABCD 是矩形，故本选不项符合题意；故选：C ．【点睛】本题考查了对矩形的判定、菱形的判定，正方形的判定的应用，能正确运用判定定理进行判断是解此题的关键，难度适中．5、D【解析】【分析】由BE 平分ABD ∠，BF AG ⊥得BA BG =，根据正方形的性质得90BOE AOG ∠=∠=︒，BO AO =，故BEO AGO ∠=∠，根据AAS 得BOE AOG ≅，故EO GO =，设2AB AD BG a ===，进而可用含a 的式子表示出线段AO 和EO 的长，要求:ABG BEG S S 的比值即求AO 和EO 的比值，代入即可求解．【详解】∵BE 平分ABD ∠，BF AG ⊥，∴ABG 是等腰三角形，∴BA BG =，四边形ABCD 是正方形，∴90BOE AOG ∠=∠=︒，BO AO =，∴90BOE BFG ∠=∠=︒，∴BEO AGO ∠=∠，在BOE △与AOG 中，BEO AGO BOE AOG BO AO ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴()BOE AOG AAS ≅，∴EO GO =，设2AB AD BG a ===，则AC BD ==，∴AO BO =，∴(2EO GO BG BO a ==-=， ∵12ABG S BG AO =⋅⋅，12BEGS BG EO =⋅⋅，∴:::(21):1ABG BEG S S AO EO a ==．故选：D ．【点睛】本题主要考查了正方形的性质，角平分线的定义以及全等三角形的判定与性质，解题的关键是将两个三角形的面积比转化成两条线段的比，综合性较强．6、C【解析】【分析】根据正方形的性质得到AB =AD ，∠BAE =∠ADF =90°，根据全等三角形的性质得到∠ABE =∠DAF ，求得∠AOB =90°，根据三角形的面积公式得到OA =1，由勾股定理即可得到答案．【详解】解：∵四边形ABCD 是正方形，∴AB =AD ，∠BAE =∠ADF =90°，在△ABE 与△DAF 中，AB AD BAE ADF AE DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ABE ≌△DAF （SAS ），∴∠ABE =∠DAF ，∴∠ABE +∠BAO =∠DAF +∠BAO =90°，∴∠AOB =90°，∵△ABE ≌△DAF ，∴S △ABE =S △DAF ，∴S △ABE -S △AOE =S △DAF -S △AOE ，即S △ABO =S 四边形OEDF =1，∵OA =1，∴BO =2，∴AB故选：C ．【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，证得△ABE ≌△DAF 是解题的关键．7、A【解析】【分析】根据作图信息可以判断出OP 平分AOB ∠，由此可以逐一判断即可．【详解】解：由作图可知，,,OC OD PC PD OP ==平分AOB ∠∴OP 垂直平分线段CD∴∠AOP =∠BOP ，CD ⊥OP故选项C ，D 正确；由作图可知，CD CP PD ==∴PCD ∆是等边三角形，∴60CPD ∠=︒∵OP 垂直平分线段CD∴30CPQ ∠=︒∴CP =2QC故选项B 正确，不符合题意；由作图可知，,OC OD PC PD ==,不能确定四边形OCPD 是菱形，故选项A 符合题意，故选：A【点睛】本题考查了基本作图，解题的关键是熟练掌握作图的依据．8、C【解析】【分析】证EFG GMH ∆≅∆，推出6FG MH ==，4GM EF ==，则216EF =，236HM =，再证22222EG EF FG EF HM =+=+，代入求出即可．【详解】解：如图，正方形A ，C 的边长分别为4和6，4EF ∴=，6MH =，由正方形的性质得：90EFG EGH GMH ∠=∠=∠=︒，EG GH =，90FEG EGF ∠︒∠+=，90EGF MGH ∠+∠=︒，FEG MGH ∴∠=∠，在EFG ∆和GMH ∆中，EFG GMHFEG MGHEG GH∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ()EFG GMH AAS ∴∆≅∆，6FG MH ∴==，4GM EF ==，22416EF ∴==，22636HM ==，∴正方形B 的面积为22222163652EG EF FG EF HM =+=+=+=，故选：C．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、正方形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握正方形的性质，证明EFG GMH∆≅∆．9、D【解析】【分析】由正方形的性质得出∠EFD=∠BEF=60°，由折叠的性质得出∠BEF=∠FEB'=60°，BE=B'E，设BE=x，则B'E=x，AE=3-x，由直角三角形的性质可得：2（3-x）=x，解方程求出x即可得出答案．【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB∥CD，∠A=90°，∴∠EFD=∠BEF=60°，∵将四边形EBCF沿EF折叠，点B'恰好落在AD边上，∴∠BEF=∠FEB'=60°，BE=B'E，∴∠AEB'=180°-∠BEF-∠FEB'=60°，∴B'E=2AE，设BE=x，则B'E=x，AE=3-x，∴2（3-x）=x，解得x=2．故选：D．【点睛】本题考查了正方形的性质，折叠的性质，含30°角的直角三角形的性质等知识点，能综合性运用性质进行推理是解此题的关键．10、B【解析】【分析】根据正方形的性质以及HL 判定，可得出△ABF ≌△AGF ，故有∠BAF =∠GAF ，再证明△AGE ≌△ADE ，有∠GAE =∠DAE ，即可求∠EAF =45°【详解】解：在正方形ABCD 中，∠B =∠D =∠BAD =90°，AB =AD ，∵AG ⊥EF ，∴∠AGF =∠AGE =90°，∵AG =AB ，∴AG =AB=AD ，在Rt △ABF 与Rt △AGF 中，AB AGAF AF =⎧⎨=⎩∴△ABF ≌△AGF ，∴∠BAF =∠GAF ，同理可得：△AGE ≌△ADE ，∴∠GAE =∠DAE ；∴∠EAF =∠EAG +∠FAG 1452BAD ︒=∠=，∴∠EAF =45°故选：B【点睛】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、解题的关键是得出△ABF ≌△AGF ．二、填空题1、1.2【解析】【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得CM=AM=BM解答即可．【详解】解：∵M是公路AB的中点，∴AM=BM，∵AC⊥BC，∴CM=AM=BM，∵AM的长为1.2km，∴M，C两点间的距离为1.2km．故答案为：1.2．【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，熟记性质是解题的关键．2、3【解析】【分析】由题意以及正方形的性质得OP过正方形ABCD各边的中点时，d最大，求出d的值即可得出答案【详解】解：如图：设AB的中点是E，OP过点E时，点O与边AB上所有点的连线中，OE最小，此时d=PE最大，∵正方形ABCD边长为6，O为正方形中心，∴AE=3，∠OAE=45°，OE⊥AB，∴OE=3，∵OP=6，∴d=PE=6-3=3；故答案为：3【点睛】本题考查正方形的性质，旋转的性质，根据题意得出d最大时点P的位置是解题的关键．3、0）【解析】【分析】利用勾股定理求出OB的长度，同圆的半径相等即可求解．【详解】由题意可得：OP＝OB，OC＝AB＝2，BC＝OA＝1，∵OB∴OP∴点P0）．故答案为：0）．【点睛】本题考查勾股定理的应用，在直角三角形中，两条直角边的平方和，等于斜边的平方．4【解析】【分析】先判断出四边形ABEF是正方形，进而求出BF＝BC'，过点C'作C'H⊥BC于H，CC'与MN的交点记作点K，进而求出BH＝1，再用勾股定理求出CC'CK股定理求出CN＝53，最后用面积建立方程求出MN即可．【详解】解：如图，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠ABC＝∠D＝90°，CD＝AB，BC＝AD＝4，∵2AB＝4，∴AB＝2，∴CD＝2，∵将△ABF沿BF向下翻折，点A的对应点E落在线段BC上，∴∠BEF＝∠A＝90°，AB＝BE，∴四边形ABEF是正方形，∴BF是正方形ABEF的对角线，∴∠EBF＝45°，BF＝∵C'是BF的中点，∴BC'＝12BF，过点C'作C'H⊥BC于H，CC'与MN的交点记作点K，在Rt△BHC'中，BH＝C'H'＝1，∴CH＝BC﹣BH＝3，在Rt△CHC'中，CC'，由折叠知，CK＝12CC'设CN＝x，则HN＝3﹣x，∵将四边形CDMN沿MN向上翻折，∴CC'⊥MN，C'N＝CN＝x，在Rt△C'HN中，根据勾股定理得，C'H2+HN2＝C'N2，∴12+（3﹣x）2＝x2，∴x＝53，∴CN＝53，∵S △CMN ＝12CN •CD ＝12MN •CK ，∴MN ＝CN CD CK ⋅52⨯，．【点睛】此题主要考查了折叠的性质，矩形的性质，勾股定理和面积法解题，作出辅助线构造直角三角形求出CC '是解题的关键所在．5、80【解析】【分析】根据矩形的对角线互相平分且相等可得OB OC =，再根据等边对等角可得OBC ACB ∠=∠，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解．【详解】解：矩形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，OB OC ∴=，40OBC ACB ∴∠=∠=︒，404080AOB OBC ACB ∴∠=∠+∠=︒+︒=︒．故答案为：80．本题考查了矩形的性质，等边对等角的性质以及三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，解题的关键是熟记各性质．三、解答题1、 (1)见解析(2)22AC AN FD =+，见解析【解析】【分析】（1）连接AM ，证明()MEA MDC SAS ≅△△，根据等角的余角相等即可证明90EMD AMC ∠=∠=︒，进而可得ME MD ⊥；（2）过D 作DG AC ⊥，交BC 于点G ，过F 分别作FP AD ⊥，FH ED ⊥，FQ AB ⊥，垂足分别为P 、H 、Q ，证明()EBN DGN AAS ≅△△，进而证明DF 是ADE ∠的角平分线，EF 是AED ∠的角平分线，可得FH FP FQ ==，结合含30度角的直角三角形的性质，可得2AC AB AC AE AD QE QA AP PD =+=+=+++，进而可得22AC AN FD =+(1)证明：连接AM ，∵点M 为等腰直角ABC 为斜边BC 上的中点，∴AM BC ⊥，AM MC =，45MAE MCD ∠=∠=︒，∵DC EA =，∴()MEA MDC SAS ≅△△∴EMA DMC ∠=∠∴EMA AMD DMC AMD ∠+∠=∠+∠即90EMD AMC ∠=∠=︒，(2)过D 作DG AC ⊥，交BC 于点G ，过F 分别作FP AD ⊥，FH ED ⊥，FQ AB ⊥，垂足分别为P 、H 、Q∵在等腰直角ABC 中，45C ∠=︒，且DG AC ⊥，∴GDC 为等腰直角三角形，∴GD CD =，∵DC EB =，∴GD EB =，90BAC ∠=︒BA AC ∴⊥DG EA ∴∥BEN GDN ∴∠=∠又ENB DNG ∠=∠∴()EBN DGN AAS ≅△△∴EN DN =，∴2ED AN =，∵EF 是AED ∠的角平分线，而45MAB MAD ∠=∠=︒，∴DF 是ADE ∠的角平分线，在Rt ADE △中，90EAD ∠=︒，30AED ∠=︒∴60ADE ∠=︒∴30FDH ∠=︒∵FP AD ⊥，FH ED ⊥，FQ AB ⊥，∴FH FP FQ ==，EH EQ =，AP AQ =，DP DH =，∴2AC AB AC AE AD QE QA AP PD =+=+=+++22HE HF HF HD DE HF AN FD =+++=+=+.即22AC AN FD =+.【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，含30度角的直角三角形的性质，角平分线的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，掌握以上知识是解题的关键．2、 (1)见解析(2)见解析【解析】（1）直接利用线段垂直平分线的作法得出答案；（2）结合垂直平分线的性质得出△ADE ≌△FBE ，即可得出AE =EF ，进而利用菱形的判定方法得出答案．(1)（1）如图：EF 即为所求作(2)证明：如图，连接DF ，∵AD //BC ，∴∠ADE =∠EBF ，∵AF 垂直平分BD ，∴BE =DE ．在△ADE 和△FBE 中，ADE FBE DE BEAED BEF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△ADE ≌△FBE （ASA ），∴AE =EF ，∴BD 与AF 互相垂直且平分，∴四边形ABFD 为菱形．此题主要考查了菱形的判定以及线段垂直平分线的性质与作法，正确应用线段垂直平分线的性质是解题关键．3、10cm【解析】【分析】根据矩形性质得出∠ABC＝90°，AC＝BD，OA＝OC＝12AC，OB＝OD＝12BD，推出OA＝OB，求出等边三角形AOB，求出OA＝OB＝AB＝5，即可得出答案．【详解】解：∵∠BOC＝120°，∴∠AOB＝180°﹣120°＝60°，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，AC＝BD，OA＝OC＝12AC，OB＝OD＝12BD，∴OA＝OB，∵∠AOB＝60°，∴△AOB是等边三角形，∵AB＝5cm，∴OA＝OB＝AB＝5cm，∴AC＝2AO＝10cm，BD＝AC＝10cm．【点睛】本题考查了矩形的性质和等边三角形的性质和判定的应用，解此题的关键是求出OA、OB的长，题目比较典型，是一道比较好的题目．4、 (1)见解析(2)AD =2AB ，理由见解析【解析】【分析】（1）由SSS 证明△ABM ≌△DCM ，得出∠A =∠D ，由平行线的性质得出∠A +∠D =180°，证出∠A =90°，即可得出结论；（2）先证明△BCM 是等腰直角三角形，得出∠MBC =45°，再证明△ABM 是等腰直角三角形，得出AB =AM ，即可得出结果．(1)证明：∵点M 是AD 边的中点，∴AM =DM ，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB =DC ，AB ∥CD ，在△ABM 和△DCM 中，AM DM AB DC BM CM =⎧⎪=⎨⎪=⎩， ∴△ABM ≌△DCM （SSS ），∴∠A =∠D ，∵AB ∥CD ，∴∠A +∠D =180°，∴∠A =90°，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴四边形ABCD 是矩形；(2)解：AD与AB之间的数量关系：AD=2AB，理由如下：∵△BCM是直角三角形，BM=CM，∴△BCM是等腰直角三角形，∴∠MBC=45°，由（1）得：四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∠A=90°，∴∠AMB=∠MBC=45°，∴△ABM是等腰直角三角形，∴AB=AM，∵点M是AD边的中点，∴AD=2AM，∴AD=2AB．【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的性质、平行线的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的的判定与性质等知识；熟练掌握平行四边形的性质，证明△ABM≌△DCM是解题的关键．5、AF=BE，AF⊥BE，证明见解析．【解析】【分析】先根据正方形的性质证得AE=DF，然后再证明△AEB≌△AFD可得∠ABE=∠FAD，然后再根据直角三角形的性质证得∠AOE=90°即可．【详解】解：AF⊥BE，AF=BE,证明如下：证明：∵正方形ABCD∴AB=AD=DC,∠D=∠BAD=90°∵CF=DE∴AE=AD-DE,DF=DC-CF∴AE=DF在△AEB和△AFD中AB=AD, ∠D=∠BAD, AE=DF∴△ABE≌△DAF（SAS）∴∠ABE=∠FAD，AF=BE∵∠BAD=90°∴∠ABE+∠AEB=90°∴∠FAD+∠AEB=90°∴∠AOE=90°，AF⊥BE．∴AF=BE，AF⊥BE．【点睛】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质等知识点，根据题意证得△ABE≌△DAF成为解答本题的关键．。

精品试题鲁教版(五四制)八年级数学下册第六章特殊平行四边形章节练习试卷

鲁教版（五四制）八年级数学下册第六章特殊平行四边形章节练习考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、矩形ABCD的对角线交于点O，∠AOD=120°，AO=3，则BC的长度是（）A．3 B．C．D．62、如图，菱形ABCD的面积为24cm2，对角线BD长6cm，点O为BD的中点，过点A作AE⊥BC交CB 的延长线于点E，连接OE，则线段OE的长度是（）A．3cm B．4cm C．4.8cm D．5cm3、已知锐角∠AOB，如图．（1）在射线OA 上取一点C ，以点O 为圆心，OC 长为半径画弧，交射线OB 于点D ，连接CD ；（2）分别以点C ，D 为圆心，CD 长为半径作弧，两弧交于点P ，连接CP ，DP ；（3）作射线OP 交CD 于点Q ．根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（）A ．四边形OCPD 是菱形B ．CP =2QC C ．∠AOP =∠BOPD ．CD ⊥OP4、如图，已知正方形ABCD 的边长为4，P 是对角线BD 上一点，PE BC ⊥于点E ，PF CD ⊥于点F ，连接AP ，EF ．给出下列结论：①PD =；②四边形PECF 的周长为8；③AP EF =；④EF 的最小值为2222PB PD PA +=；⑥AP EF ⊥．其中正确结论有几个（）A ．3B ．4C ．5D ．65、如图，2002年8月在北京召开的国际数学家大会会标其原型是我国古代数学家赵爽的《勾股弦图》，它是由四个全等的直角三角形拼接而成，如果大正方形的面积是18，直角三角形的直角边长分别为a 、b ，且a 2＋b 2＝ab ＋10，那么小正方形的面积为（）A ．2B ．3C ．4D ．56、如图，在正方形ABCD 中，4AB =，点E 在对角线AC 上，若5ABE S =△，则CDE 的面积为（）A ．3B ．4C ．5D ．67、如图，O 是矩形ABCD 的对角线的交点，M 是AD 的中点．若BC ＝8，OB ＝5，则OM 的长为（）A ．2B ．2.5C ．3D ．48、如图，正方形ABCD 的边长为8，对角线AC 、BD 相交于点G ．K 为AC 上的一点，且CK =BK 并延长交CD 于点H ．过点A 作AE BH ⊥于点E ，交BD 于点F ，则AF 的长为（）A ．B ．4C ．D ．9、如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，如果D 为边AB 上的中点，那么下面结论错误的是（）A．12CD AB=B．12CB AB=C．∠A＝∠ACD D．∠ADC＝2∠B10、一块含45°角的直角三角板和一把直尺按如图所示方式放置，直尺的一边EF与直角三角板的斜边AB位于同一直线上，DE＞AB．开始时，点E与点A重合，直角三角板固定不动，然后将直尺沿AB 方向平移，直到点F与点B重合时停止．设直尺平移的距离AE的长为x，边AC和BC被直尺覆盖部分的总长度为y，则y关于x的函数图象大致是（）A．B．C．D．第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，E为AD边上的一个动点，连接BE，将AB沿着BE折叠得到A'B，A的对应点为A'，连接A'D，当A′B⊥AD时，∠A'DE的度数为 ______．2、如图，菱形ABCD的边长为4，∠BAD＝120°，E是边CD的中点，F是边AD上的一个动点，将线段EF绕着点E顺时针旋转60°得到线段EF'，连接AF'、BF'，则△ABF'的周长的最小值是________________．3、定义：在平面内，一个点到图形的距离是这个点到这个图上所有点的最短距离，在平面内有一个OP ，当正方形绕着点O旋转时，则点P到正方形，边长为6，中心为O，在正方形外有一点P，6正方形的最短距离d的最大值为______．4、如图，在四边形ABCD中，AB=12，BD⊥AD．若将△BCD沿BD折叠，点C与边AB的中点E恰好重合，则四边形BCDE的周长为____．5、正方形的边长与它的对角线的长度的比值为_____．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、在等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，D，E是边AC，BC上的点，且满足AD=CE，连接DE，过点C作DE的垂线，垂足为F，交AB于点G．(1)点D如图所示．①请依题意在下图中补全图形；②猜想DE与CG的数量关系，并证明；(2)连接DG，GE，若AB=2，直接写出四边形CDGE面积的最小值．2、如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AB＝5cm，∠BOC＝120°，求矩形对角线的长．3、如图，四边形ABCD为菱形，点E，F分别为边DA，DC上的点，DE＝DF，连接BE，BF，求证：BE ＝BF．4、如图，已知正方形ABCD，点E在边BC上，连接AE．(1)尺规作图：作ADF∠的边与线段AB的交点．（不写作法，保∠，使ADF BAE∠∠，点F是ADF=留作图痕迹）；(2)探究：AE，DF的位置关系和数量关系，并说明理由．5、如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠C＝30°，AC＝12cm，点E从点A出发沿AB以每秒1cm的速度向点B运动，同时点D从点C出发沿CA以每秒2cm的速度向点A运动，运动时间为t秒（0＜t ＜6），过点D作DF⊥BC于点F．(1)试用含t的式子表示AE、AD、DF的长；(2)如图①，连接EF，求证四边形AEFD是平行四边形；(3)如图②，连接DE，当t为何值时，四边形EBFD是矩形？并说明理由．-参考答案-一、单选题1、C【解析】【分析】画出图形，由条件可求得△AOB为等边三角形，则可求得AC的长，在Rt△ABC中，由勾股定理可求得BC的长．【详解】解：如下图所示：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=90°，OA=12AC，OB=12BD，AC=BD，∴OA=OB，∵∠AOD=120°，∴∠AOB=60°，∴△AOB是等边三角形，∴OA=AB=2，∴AC=2OA=4，∴BC2=AC2-AB2=36-9=27，∴BC=故选：D．【点睛】本题考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质以及勾股定理；熟练掌握矩形的性质，证明三角形是等边三角形是解决问题的关键．2、B【解析】【分析】由菱形的性质得出BD ＝6cm ，由菱形的面积得出AC ＝8cm ，再由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得出结果．【详解】解：∵四边形ABCD 是菱形，∴BD ⊥AC ，∵BD ＝6cm ，S 菱形ABCD ═12AC ×BD ＝24cm 2，∴AC ＝8cm ，∵AE ⊥BC ，∴∠AEC ＝90°，∴OE ＝12AC ＝4cm ，故选：B ．【点睛】本题主要考查了菱形的性质、直角三角形斜边上的中线性质；熟练掌握菱形的性质是解题的关键．3、A【解析】【分析】根据作图信息可以判断出OP 平分AOB ∠，由此可以逐一判断即可．【详解】解：由作图可知，,,OC OD PC PD OP ==平分AOB ∠∴OP 垂直平分线段CD∴∠AOP =∠BOP ，CD ⊥OP故选项C ，D 正确；由作图可知，CD CP PD ==∴PCD ∆是等边三角形，∴60CPD ∠=︒∵OP 垂直平分线段CD∴30CPQ ∠=︒∴CP =2QC故选项B 正确，不符合题意；由作图可知，,OC OD PC PD ==,不能确定四边形OCPD 是菱形，故选项A 符合题意，故选：A【点睛】本题考查了基本作图，解题的关键是熟练掌握作图的依据．4、D【解析】【分析】如图，过点P 作PM AB ⊥于点M ，连接PC ，可说明四边形AMFD 为矩形，AM DF =，BM CF =，MPB △是等腰直角三角形，=BM PM ；①中PF MF MP AB BM AM DF =-=-==，=90PFD ∠︒可得PDF ∆为等腰直角三角形，进而求PD ，由于四边形PECF 是平行四边形，=PF CE ，故可知PD ==；②90BCD ∠=︒，四边形PECF 为矩形，进而可求矩形的周长；③证明ADP CDP △≌△，由全等可知AP PC =，进而可说明AP EF =；④==EF PC AP ，当AP 最小时，EF 最小，即AP BD ⊥时，AP 最小，计算即可；⑤在Rt PBM △和Rt PDF 中，勾股定理求得222PB PM MB =+，222PD PF FD =+将线段等量替换求解即可；⑥如图1，延长AP 与EF 交于点H ，证明APM △FEP ≌，得MAP PFE ∠=∠，90MAP MPA MPA HPF ∠+∠=︒∠=∠，，90PFE HPF ∠+∠=︒，=90PHF ∠︒进而可说明AP EF ⊥．【详解】解：如图，过点P 作PM AB ⊥于点M ，连接PC ，由题意知FM AD DF AB ∥，∥∴四边形AMFD 为平行四边形∵90MAD ∠=︒∴四边形AMFD 为矩形∴AM DF AD MF ==，∵BM AB AM CF CD DF =-=-，∴BM CF =∵4590ABD BMP ∠=︒∠=︒，∴45MPB ∠=︒∴MPB △是等腰直角三角形∴=BM PM①∵PF MF MP AB BM AM DF =-=-==，=90PFD ∠︒∴PDF ∆为等腰直角三角形∴PD =PE BC ⊥，PF CD ⊥∴PE CD PF BC ∥，∥∴四边形PECF 是平行四边形∴=PF CE∴PD =故①正确；②∵90BCD ∠=︒∴四边形PECF 为矩形∴四边形PECF 的周长222228CE PE CE BE BC =+=+==故②正确； ③四边形PECF 为矩形PC EF ∴=∵在ADP △和CDP 中∵45AD CD ADP CDP PD PD =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩∴()ADP CDP SAS ≌△△∴AP PC =∴AP EF =故③正确；④∵EF PC AP ==∴当AP 最小时，EF 最小∴当AP BD ⊥时，即1122AP BD ==⨯=EF的最小值等于故④正确；⑤在Rt PBM △和Rt PDF 中，22222PB PM MB PM =+=，2222222PD PF FD FD AM ===+∴22222222PB PD PM AM AP +=+=故⑤正确；⑥如图1，延长AP 与EF 交于点H∵在APM △和FEP 中∵AP EF AM PF MP PE =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴APM △()FEP SSS ≌∴MAP PFE ∠=∠∵90MAP MPA MPA HPF ∠+∠=︒∠=∠，∴90PFE HPF ∠+∠=︒∴=90PHF ∠︒AP EF ∴⊥故⑥正确；综上，①②③④⑤⑥正确，故选：D ．【点睛】本题考查了正方形，矩形的判定与性质，勾股定理，等腰直角三角形，三角形全等．解题的关键在于对知识的灵活综合运用．5、A【解析】【分析】由正方形1性质和勾股定理得2218a b +=，再由2210a b ab +=+，得1018ab +=，则8ab =，即可解决问题．【详解】解：设大正方形的边长为c ，大正方形的面积是18，218c ∴=，22218a b c ∴+==，2210a b ab +=+，1018ab ∴+=，8ab ∴=，∴小正方形的面积222()218282b a a b ab =-=+-=-⨯=，故选：A ．【点睛】本题考查了勾股定理、正方形的性质以及完全平方公式等知识，解题的关键是求出8ab =．6、A【解析】【分析】根据正方形的性质，全等三角形的性质和三角形的面积公式解答即可．【详解】∵正方形ABCD ，∴AB =AD ，∠BAC =DAC ，∵AE =AE ，∴△ABE ≌△ADE ，∴ABE ADE S S =△△=5，同理△CBE ≌△CDE ，∴CBE CDE S S =，∵5ABE S =△， ∴CDE 的面积为：44252⨯-⨯ =3，故选A ．【点睛】本题考查了正方形的性质，关键是根据全等三角形的性质和三角形的面积公式解答．7、C【解析】【分析】首先由O 是矩形ABCD 对角线AC 的中点，可求得AC 的长，然后由勾股定理求得AB 的长，即CD 的长，又由M 是AD 的中点，可得OM 是△ACD 的中位线，继而求得答案．【详解】解：∵O 是矩形ABCD 对角线AC 的中点，OB ＝5，∴AC ＝2OB ＝10，∴CD ＝AB 6=，∵M 是AD 的中点，8、C【解析】【分析】根据正方形的性质以及已知条件求得OK 的长，进而证明AOF ≌BOK ，即可求得OF OK =，勾股定理即可求得AF 的长【详解】解：如图，设,AC BD 的交点为O ，四边形ABCD 是正方形AC BD ∴⊥，AC BD =,11,22AO AC BO BD ==∴AC ==，12OC AC == 90AOE BOK ∴∠=∠=︒，2390∠+∠=︒,AO BO =CK =OK OC CK ∴=-=AE BH ⊥∴1290∠+∠=︒13∠∠∴=在AOF 与BOK 中13AO BOAOF BOK ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴AOF ≌BOKOF OK ∴==在Rt AOF中，AF ===故选C 【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理，全等三角形的性质与判定，掌握正方形的性质是解题的关键．9、B【解析】【分析】根据直角三角形斜边上的中线的性质结合等腰三角形的性质及含30 角的直角三角形的性质，三角形外角的性质判定即可求解．【详解】解：在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，D 为边AB 上的中点，12AD BD CD AB ∴===，故A 选项正确，不符合题意； A ACD ∴∠=∠，故C 选项正确，不符合题意；DCB B ∠=∠，2ADC DCB B B ∴∠=∠+∠=∠，故D 选项正确，不符合题意；只有当30A ∠=︒时，12CB AB =，故B 选项错误，符合题意．故选：B ．【点睛】本题主要考查直角三角形斜边上的中线，解题的关键是掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．10、A【解析】【分析】根据直尺的平移可知，共分三个阶段，利用等腰直角三角形的性质求解即可．【详解】解：根据直尺的平移可知，共分三个阶段，分别如下图所示：如图①，设DE 、GF 与AC 的交点分别为M 、P ，作MN GF ⊥，由此可得四边形MNFE 为矩形，则MN EF =，45CMN A ∠=∠=︒，则MNP △为等腰直角三角形由勾股定理可得：MP =即y ==，如图②，设DE 与AC 的交点分别为M ，GF 与BC 的交点为点Q ，作MN GF ⊥，延长MC 交GF 于点P ，由此可得，四边形MNFE 为矩形，则MN EF =，45CMN A ∠=∠=︒，则MNP △、CPQ 为等腰直角三角形，则CP CQ =，MP ==所以，y MC CQ MP =+===如图③，由图①可得y ==，即y 不随x 的变化，不变，故选：A ．【点睛】此题考查了动点问题的函数图像，涉及了勾股定理、矩形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握并灵活运用相关性质进行求解．二、填空题1、15°##15度【解析】【分析】由菱形的性质可得AB AD =，可证ABD ∆是等边三角形，由等边三角形的性质可得A B '垂直平分AD ，30ABA '∠=︒，由折叠的性质可得AB A B '=，可得75BAA '∠=︒，即可求解．【详解】解：如图，连接AA '，BD ，四边形ABCD 是菱形，AB AD ∴=，60A ∠=︒，ABD ∴∆是等边三角形，A B AD '⊥，A B '∴垂直平分AD ，30ABA '∠=︒，AA A D ''∴=，A AD A DA ''∴∠=∠，将AB 沿着BE 折叠得到A B '，AB A B '∴=，75BAA '∴∠=︒，15A AD A DA ''∴∠=∠=︒．故答案为：15︒．【点睛】本题考查了菱形的性质，折叠的性质，等边三角形的判定和性质，证明ABD ∆是等边三角形是解题的关键．2、【解析】【分析】取AD中点G，连接EG，F'G，BE，作BH⊥DC的延长线于点H，利用全等三角形的性质证明∠F'GA＝60°，点F'的轨迹为射线GF'，易得A、E关于GF'对称，推出AF'＝EF'，得到BF'+AF'＝BF'+EF'≥BE，求出BE即可解决周长最小问题．【详解】解：取AD中点G，连接EG，F'G，BE，作BH⊥DC的延长线于点H，∵四边形ABCD为菱形，∴AB＝AD，∵∠BAD＝120°，∴∠CAD＝60°，∴△ACD为等边三角形，又∵DE＝DG，∴△DEG也为等边三角形．∴DE＝GE，∵∠DEG＝60°＝∠FEF'，∴∠DEG﹣∠FEG＝∠FEF'﹣∠FEG，即∠DEF＝∠GEF'，由线段EF绕着点E顺时针旋转60°得到线段EF'，所以EF＝EF'．在△DEF 和△GEF '中，DE GE DEF GEF EF EF '=⎧⎪∠=∠⎨='⎪⎩， ∴△DEF ≌△GEF '（SAS ）．∴∠EGF '＝∠EDF ＝60°，∴∠F 'GA ＝180°﹣60°﹣60°＝60°，则点F '的运动轨迹为射线GF '．观察图形，可得A ，E 关于GF '对称，∴AF '＝EF '，∴BF '+AF '＝BF '+EF '≥BE ，在Rt△BCH 中，∵∠H ＝90°，BC ＝4，∠BCH ＝60°，∴12,2CH BC BH ===，在Rt△BEH 中，BE∴BF '+EF∴△ABF '的周长的最小值为AB +BF '+EF '＝故答案为：．【点睛】本题考查了旋转变换，菱形的性质，解直角三角形，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等边三角形等知识，解题关键在于学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题．3、3【解析】【分析】由题意以及正方形的性质得OP过正方形ABCD各边的中点时，d最大，求出d的值即可得出答案【详解】解：如图：设AB的中点是E，OP过点E时，点O与边AB上所有点的连线中，OE最小，此时d=PE最大，∵正方形ABCD边长为6，O为正方形中心，∴AE=3，∠OAE=45°，OE⊥AB，∴OE=3，∵OP=6，∴d=PE=6-3=3；故答案为：3【点睛】本题考查正方形的性质，旋转的性质，根据题意得出d最大时点P的位置是解题的关键．4、24【解析】【分析】根据直角三角形斜边上中线的性质，即可得到DE ＝BE 12=AB ＝6，再根据折叠的性质，即可得到四边形BCDE 的周长为6×4＝24．【详解】解：∵BD ⊥AD ，点E 是AB 的中点，∴DE =BE 12=AB =6，由折叠可得：CB =BE ，CD =ED ，∴四边形BCDE 的周长为6×4=24．故答案为：24．【点睛】本题主要考查了折叠问题，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．5【解析】【分析】由正方形的性质得出AB BC CD AD ===，AC BD =，90ABC ∠=︒，由勾股定理求出AC =，即可得出正方形的边长与对角线长的比值．【详解】解：四边形ABCD 是正方形，AB BC CD AD ∴===，AC BD =，90ABC ∠=︒，AC ∴，∴2AB AC ==；【点睛】本题考查了正方形的性质、勾股定理；熟练掌握正方形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．三、解答题1、 (1)①作图见解析；②DE =CG ，证明见解析； (2)12【解析】【分析】（1）①按照题意作图即可；②如图1过点D 作DH ⊥AC 交AB 于H ，连接CH 交DE 于O ，连接EH ，∠A =∠B =45°，∠ADH =90°，∠A =∠DHA =45°，DA =DH = CE ，四边形DHEC 是平行四边形，∠DCE =90°，四边形DHEC 是矩形，矩形对角线相等且互相平分可知，DE =CH ，OD =OC ，∠ODC =∠OCD ，证明∠CDE =∠BCG =∠ACH ，△ACH ≌△BCG ，进而可说明DE =CG ．（2）如图2，由（1）可知DE =CG ，CG ⊥DE ，S 四边形CDGE 12=•DE •CG 12=•CG 2；可知面积最小即CG 的值最短；根据垂线段最短可知，当CG ⊥AB 时，CG 的值最短，由AG =GB ，∠ACB =90°，可知CG 12=AB =1，进而可求四边形面积的最小值．(1)解：①图形如图1所示．②结论：DE =CG ．证明：如图1中，过点D 作DH ⊥AC 交AB 于H ，连接CH 交DE 于O ，连接EH ．∵AC =BC ，∠ACB =90°∴∠A =∠B =45°∵AD ⊥DH∴∠ADH =90°∴∠A =∠DHA =45°∴DA =DH∵AD =CE∴DH =CE∵∠ADH =∠ACB =90°∴DH ∥BC∴四边形DHEC 是平行四边形∵∠DCE =90°∴四边形DHEC 是矩形∴DE =CH ，OD =OC =OE =OH∴∠ODC =∠OCD∵CG ⊥DE∴∠CDE +∠DCG =90°，∠DCG +∠BCG =90°∴∠CDE =∠BCG =∠ACH在△ACH 和△BCG 中∵45ACH BCG CA CB A B ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩∴△ACH ≌△BCG （ASA ）∴CH =CG∴DE =CG ．(2)解：如图2由（1）可知DE =CG ，CG ⊥DE∴S 四边形CDGE 12=•DE •CG 12=•CG 2根据垂线段最短可知，当CG⊥AB时，CG的值最短∵CA=CB，CG⊥AB∴AG=GB∴CG12AB=1∴四边形CDGE的面积的最小值为12．【点睛】本题考查了垂线段，矩形的判定与性质，三角形全等，等腰三角形的判定与性质．解题的关键在于对知识的灵活综合运用．2、10cm【解析】【分析】根据矩形性质得出∠ABC＝90°，AC＝BD，OA＝OC＝12AC，OB＝OD＝12BD，推出OA＝OB，求出等边三角形AOB，求出OA＝OB＝AB＝5，即可得出答案．【详解】解：∵∠BOC＝120°，∴∠AOB＝180°﹣120°＝60°，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，AC＝BD，OA＝OC＝12AC，OB＝OD＝12BD，∴OA＝OB，∵∠AOB＝60°，∴△AOB是等边三角形，∵AB ＝5cm ，∴OA ＝OB ＝AB ＝5cm ，∴AC ＝2AO ＝10cm ，BD ＝AC ＝10cm ．【点睛】本题考查了矩形的性质和等边三角形的性质和判定的应用，解此题的关键是求出OA 、OB 的长，题目比较典型，是一道比较好的题目．3、见解析【解析】【分析】连接BD ，利用菱形的性质可得△EDB ≌△FDB ，可得结论．【详解】证明：如图，连接BD ，在菱形ABCD 中，∠ADB ＝∠CDB ，在△EDB 和△FDB 中，DE DF EDB FDB BD BD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴()EDB FDB SAS ≌△△，∴BE ＝BF ．【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，菱形的性质，解题的关键是熟练掌握并利用菱形的相关性质以及全等三角形的判定与性质进行求解．4、 (1)见解析；(2)AE DF =，AE DF ⊥，见解析【解析】【分析】（1）根据题意作出ADF BAE =∠∠即可；（2）证明ABE DAF △≌△即可得结论．(1)如图，ADF ∠即为所求．(2)AE DF =，AE DF ⊥．∵四边形ABCD 是正方形，∴90ABC DAB ∠=∠=︒，AD AB =．在ABE △和DAF △中，ADF BAE ABC DAB AD AB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ABE DAF △≌△（AAS ），∴AE DF =．∵90ADF DFA ∠+∠=︒，ADF BAE =∠∠．∴90BAE DFA ∠+∠=︒，即AE DF ⊥．【点睛】本题考查了正方形的性质，三角形全等的性质与判定，作一个角等于已知角，掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．5、 (1)AE ＝t ，AD ＝12﹣2t ，DF ＝t(2)见解析(3)3，理由见解析【解析】【分析】（1）根据题意用含t 的式子表示AE 、CD ，结合图形表示出AD ，根据直角三角形的性质表示出DF ；（2）根据对边平行且相等的四边形是平行四边形证明；（3）根据矩形的定义列出方程，解方程即可．(1)解：由题意得，AE ＝t ，CD ＝2t ，则AD ＝AC ﹣CD ＝12﹣2t ，∵DF ⊥BC ，∠C ＝30°，∴DF ＝12CD ＝t ；(2)解：∵∠ABC ＝90°，DF ⊥BC ，∴AB DF ∥，∵AE ＝t ，DF ＝t ，∴AE＝DF，∴四边形AEFD是平行四边形；(3)解：当t＝3时，四边形EBFD是矩形，理由如下：∵∠ABC＝90°，∠C＝30°，AC＝6cm，∴AB＝12∵BE DF∥，∴BE＝DF时，四边形EBFD是平行四边形，即6﹣t＝t，解得，t＝3，∵∠ABC＝90°，∴四边形EBFD是矩形，∴t＝3时，四边形EBFD是矩形．【点睛】此题考查了30度角的性质，平行四边形的判定及性质，矩形的定义，一元一次方程，三角形与动点问题，熟练掌握四边形的知识并综合应用是解题的关键．。

综合解析鲁教版(五四制)八年级数学下册第六章特殊平行四边形定向练习试卷(精选含答案)

鲁教版（五四制）八年级数学下册第六章特殊平行四边形定向练习考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I 卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、下列说法不正确的是（）A ．矩形的对角线相等B ．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半C ．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形D ．菱形的对角线互相垂直2、如图，正方形ABCD 的对角线相交于点O ，以点O 为顶点的正方形OEGF 的两边OE ，OF 分别交正方形ABCD 的两边AB ，BC 于点M ，N ，记AOM 的面积为1S ，CON 的面积为2S ，若正方形的边长10AB =，116S =，则2S 的大小为（）A ．6B ．7C ．8D ．93、若正方形ABCD 各边的中点依次为E 、F 、G 、H ，则四边形EFGH 是（）A ．平行四边形B ．矩形C ．菱形D ．正方形4、在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，分别以A 点，B 点为圆心以大于12AB 为半径画弧，两弧交于E ，F ，连接EF 交AB 于点D ，连接CD ，以C 为圆心，CD 长为半径作弧，交AC 于G 点，则:CG AB =（）A ．B ．1：2C ．D ．5、如图，把一长方形纸片ABCD 的一角沿AE 折叠，点D 的对应点D 落在∠BAC 内部．若2CAE BAD '∠=∠，且15CAD '∠=︒，则∠DAE 的度数为（）A ．12°B ．24°C ．39°D ．45°6、如图，在正方形ABCD 中，4AB =，点E 在对角线AC 上，若5ABE S =△，则CDE 的面积为（）A ．3B ．4C ．5D ．67、下列说法正确的是（）A．掷一枚质地均匀的骰子，掷得的点数为3的概率是13．B．若AC、BD为菱形ABCD的对角线，则AC BD的概率为1．C．概率很小的事件不可能发生．D．通过少量重复试验，可以用频率估计概率．8、正方形具有而矩形不一定具有的性质是（）A．四个角相等B．对角线互相垂直C．对角互补D．对角线相等9、如图，O是矩形ABCD的对角线的交点，M是AD的中点．若BC＝8，OB＝5，则OM的长为（）A．2 B．2.5 C．3 D．410、如图，直线l上有三个正方形A、B、C，若正方形A、C的边长分别为4和6，则正方形B的面积为（）A．26 B．49 C．52 D．64第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、正方形的边长与它的对角线的长度的比值为_____．2、有一个角是直角的平行四边形叫做______．矩形是______图形，它有______条对称轴．对称轴分别是经过两组对边______的两条直线．3、如图，把一张长方形纸片沿AB折叠．若∠1＝48°，则∠2＝_____．4、如图，在菱形ABCD中，点M、N分别交于AB、CD上，AM=CN，MN与AC交于点O，连接BO．若∠OBC=62°，则∠DAC为____°．5、如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF的中点，则AM的最小值是______________．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分），点E，F分别为垂足．1、已知：如图，在▱ABCD中，AE⊥BC，CF AD(1)求证：△ABE≌△CDF；(2)求证：四边形AECF 是矩形．2、如图，正方形ABCD 中，E 为BD 上一点，AE 的延长线交BC 的延长线于点F ，交CD 于点H ，G 为FH 的中点．(1)求证：AE =CE ；(2)猜想线段AE ，EG 和GF 之间的数量关系，并证明．3、已知：在平行四边形ABCD 中，分别延长BA ，DC 到点E ，H ，使得BE ＝2AB ，DH ＝2CD ．连接EH ，分别交AD ，BC 于点F ，G ．(1)求证：AF ＝CG ；(2)连接BD 交EH 于点O ，若EH ⊥BD ，则当线段AB 与线段AD 满足什么数量关系时，四边形BEDH 是正方形？4、如图，在等腰直角ABC 中，90BAC ∠=︒，点M 为BC 边上的中点．(1)如图1，若点D 、点E 分别为线段AC 、AB 上的点，且DC EA =，连接MD 、ME ，求证：ME MD ⊥；(2)如图2，若点D 为线段AC 上的点，点E 为线段AB 延长线上的点，且DC EB =，30AED ∠=︒，连接ED ，交BC 于点N ，EF 是AED ∠的角平分线，交AM 于点F ，连接AN 、FD ，探究线段AN 、FD 、AC 之间的数量关系，并给出证明．5、在正方形ABCD 中，点E 是CD 边上任意一点．连接AE ，过点B 作BF ⊥AE 于F ．交AD 于H ．(1)如图1，过点D 作DG ⊥AE 于G ，求证：△AFB ≌△DGA ；(2)如图2，点E 为CD 的中点，连接DF ，求证：FH +FE ；(3)如图3，AB ＝1，连接EH ，点P 为EH 的中点，在点E 从点D 运动到点C 的过程中，点P 随之运动，请直接写出点P 运动的路径长．-参考答案-一、单选题1、C【解析】【分析】利用矩形的性质，直角三角形的性质，正方形的判定，菱形的性质依次判断可求解．【详解】解；矩形的对角线相等，故选项A不符合题意；直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，故选项B不符合题意；对角线互相垂直且相等的四边形不一定是正方形，故选项C符合题意；菱形的对角线互相垂直，故选项D不符合题意；故选：C．【点睛】本题考查了正方形的判定，矩形的性质，菱形的性质，直角三角形的性质，熟练运用这些性质解决问题是本题的关键．2、D【解析】【分析】由题意依据全等三角形的判定得出△BOM≌△CON，进而根据正方形的性质即可得出2S的大小.【详解】解：∵正方形ABCD的对角线AC，BD交于点O，∴OC=OD=BO=AO，∠ABO=∠ACB=45°，AC⊥BD．∵∠MOB+∠BON=90°，∠BON+∠CON=90°∴∠BOM=∠CON，且OC=OB，∠ABO=∠ACB=45°，∴△BOM≌△CON（ASA），2S=S△BOM，∴121BOM AOB S S S S S ==++，∵AOB S =14S 正方形ABCD ，正方形的边长10AB =，116S =， ∴2S =14S 正方形ABCD -1S =110101694⨯⨯-=. 故选：D.【点睛】本题考查正方形的性质以及全等三角形的判定和性质等知识，灵活运用这些性质进行推理是解答本题的关键．3、D【解析】【分析】画出图形，连接,AC BD ，先根据正方形的性质可得,AC BD AC BD =⊥，再根据三角形中位线定理可得11,,,22EF AC EF AC EH BD EH BD ==，从而可得,EF EH EF EH =⊥，同样的方法可得,EF FG FG HG ⊥⊥，然后根据正方形的判定即可得出答案．【详解】解：如图，连接,AC BD ，四边形ABCD 是正方形，,AC BD AC BD ∴=⊥，点,,E F H 分别是,,AB BC AD 的中点，11,,,22EF AC EF AC EH BD EH BD ∴==， ,EF EH EF EH ∴=⊥，同理可得：,EF FG FG HG ⊥⊥，∴四边形EFGH 是正方形，故选：D ．【点睛】本题考查了正方形的判定与性质、三角形中位线定理，熟练掌握正方形的判定与性质是解题关键．4、B【解析】【分析】根据尺规作图可知EF 是AB 的垂直平分线，从而CD =CG =12AB ，然后可求CG ：AB 的值．【详解】解：根据尺规作图可知EF 是AB 的垂直平分线，∴D 是AB 中点，∴CD =CG =12AB ， ∴CG ：AB =12AB ：AB =1:2，故选B ．【点睛】本题考查了尺规作图-作线段的垂直平分线，直角三角形斜边中线的性质，熟练掌握直角三角形斜边的中线的中线等于斜边的一半是解本题的关键．5、C【解析】【分析】由折叠的性质得到DAE EAD '∠=∠，由长方形的性质得到90DAE EAD BAD ''∠+∠+∠=︒，根据角的和差倍分得到290EAD BAD ''∠+∠=︒，整理得2()90CAE CAD BAD ''∠+∠+∠=︒ ，最后根据+2DAE EAD CAE CAD BAD CAD ''''∴∠=∠=∠∠=∠+∠解题．【详解】解：折叠，DAE EAD '∴∠=∠ ABCD 是矩形DA AB ∴⊥90DAE EAD BAD ''∴∠+∠+∠=︒290EAD BAD ''∴∠+∠=︒2()90CAE CAD BAD ''∴∠+∠+∠=︒2,15CAE BAD CAD ''∠=∠∠=︒2(215)90BAD BAD ''∴∠+︒+∠=︒30590BAD '∴︒+∠=︒12BAD '∴∠=︒+22121539DAE EAD CAE CAD BAD CAD ''''∴∠=∠=∠∠=∠+∠=⨯︒+︒=︒ 39DAE ∠=︒故选：C ．【点睛】本题考查角的计算、折叠性质、数形结合思想等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．6、A【解析】【分析】根据正方形的性质，全等三角形的性质和三角形的面积公式解答即可．【详解】∵正方形ABCD ，∴AB =AD ，∠BAC =DAC ，∵AE =AE ，∴△ABE ≌△ADE ，∴ABE ADE S S =△△=5，同理△CBE ≌△CDE ，∴CBE CDE S S =，∵5ABE S =△， ∴CDE 的面积为：44252⨯-⨯ =3，故选A ．【点睛】本题考查了正方形的性质，关键是根据全等三角形的性质和三角形的面积公式解答．7、B【解析】【分析】概率是指事情发生的可能性，等可能发生的事件的概率相同，小概率事件是指发生的概率比较小，不代表不会发生，通过大量重复试验才能用频率估计概率，利用这些对四个选项一次判断即可．【详解】A项：掷一枚质地均匀的骰子，每个面朝上的概率都是一样的都是16，故A错误，不符合题意；B项：若AC、BD为菱形ABCD的对角线，由菱形的性质：对角线相互垂直平分得知两条线段一定垂直，则AC⊥BD 的概率为1是正确的，故B正确，符合题意；C项：概率很小的事件只是发生的概率很小，不代表不会发生，故C错误，不符合题意；D项：通过大量重复试验才能用频率估计概率，故D错误，不符合题意．故选B【点睛】本题考查概率的命题真假，准确理解事务发生的概率是本题关键．8、B【解析】略9、C【解析】【分析】首先由O是矩形ABCD对角线AC的中点，可求得AC的长，然后由勾股定理求得AB的长，即CD的长，又由M是AD的中点，可得OM是△ACD的中位线，继而求得答案．【详解】解：∵O是矩形ABCD对角线AC的中点，OB＝5，∴AC＝2OB＝10，∴CD＝AB6=，∵M是AD的中点，10、C【解析】【分析】证EFG GMH ∆≅∆，推出6FG MH ==，4GM EF ==，则216EF =，236HM =，再证22222EG EF FG EF HM =+=+，代入求出即可．【详解】解：如图，正方形A ，C 的边长分别为4和6，4EF ∴=，6MH =，由正方形的性质得：90EFG EGH GMH ∠=∠=∠=︒，EG GH =，90FEG EGF ∠︒∠+=，90EGF MGH ∠+∠=︒，FEG MGH ∴∠=∠，在EFG ∆和GMH ∆中，EFG GMH FEG MGHEG GH ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()EFG GMH AAS ∴∆≅∆，6FG MH ∴==，4GM EF ==，22416EF ∴==，22636HM ==，∴正方形B 的面积为22222163652EG EF FG EF HM =+=+=+=，故选：C ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、正方形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握正方形的性质，证明EFG GMH ∆≅∆．二、填空题1【解析】【分析】由正方形的性质得出AB BC CD AD ===，AC BD =，90ABC ∠=︒，由勾股定理求出AC =，即可得出正方形的边长与对角线长的比值．【详解】解：四边形ABCD 是正方形，AB BC CD AD ∴===，AC BD =，90ABC ∠=︒，AC ∴，∴AB AC =；【点睛】本题考查了正方形的性质、勾股定理；熟练掌握正方形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．2、矩形轴对称两中点【解析】略3、66︒##66度【解析】【分析】结合题意，根据轴对称和长方形的性质，得BAD BAE ∠=∠，//AE BF ，根据平行线的性质得2BAE ∠=∠；结合∠1＝48°和平角的性质计算，即可得到答案．【详解】如图：∵把一张长方形纸片沿AB 折叠∴BAD BAE ∠=∠，//AE BF∴2BAE ∠=∠∴2BAD BAE ∠=∠=∠∵1180BAD BAE ∠+∠+∠=︒∴122180∠+∠+∠=︒ ∴18011804826622︒-∠︒-︒∠===︒ 故答案为：66︒．【点睛】本题考查了矩形、轴对称、平行线的知识；解题的关键是熟练掌握矩形、轴对称和平行线的性质，从而完成求解．4、28【解析】【分析】由全等三角形的性质可证△AOM ≌△CON ，可得AO =CO ，由等腰三角形的性质可得BO ⊥AC ，即可求解．【详解】解：∵四边形ABCD 是菱形，∴AB //CD ，AB =BC ，BC //AD ，∴∠MAO =∠NCO ，∠BCA =∠CAD ．在△AOM 和△CON 中，MAO NCO AOM CON AM CN ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△AOM ≌△CON （AAS ），∴AO =CO ，又∵AB =BC ，∴BO ⊥AC ，∴∠BCO =90°﹣∠OBC =28°=∠DAC ．故答案为：28．【点睛】本题考查了菱形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，掌握菱形的性质是本题的关键．5、6 5【解析】【分析】根据题意，AM=12EF，利用三个直角的四边形是矩形，得到EF=AP，得AM=12AP，当AP最小时，AM有最小值，根据垂线段最短，计算AP的长即可．【详解】∵∠BAC=90°，AB=3，AC=4，∴BC，∴BC边上的高h=125，∵∠BAC=90°，PE⊥AB，PF⊥AC，∴四边形AEPF是矩形，∴AP=EF，∵∠BAC=90°，M为EF的中点，∴AM=12EF，∴AM=12AP，∴当AP最小时，AM有最小值，根据垂线段最短，当AP为BC上的高时即AP=h时最短，∴AP的最小值为125，∴AM的最小值为65，故答案为：65．【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理，垂线段最短原理，熟练掌握矩形的判定和性质，直角三角形的性质是解题的关键．三、解答题1、 (1)证明见解析(2)证明见解析【解析】【分析】（1）先根据平行四边形的性质可得,AB CD B D =∠=∠，再根据垂直的定义可得90AEB CFD ∠=∠=︒，然后根据三角形全等的判定定理（AAS 定理）即可得证；（2）先根据平行四边形的性质可得AD BC ∥，再根据平行线的性质可得90EAF ∠=︒，然后根据矩形的判定即可得证．(1) 证明：四边形ABCD 是平行四边形，,AB CD B D ∴=∠=∠，,AE BC CF AD ⊥⊥，90AEB CFD ∴∠=∠=︒，在ABE △和CDF 中，90B D AEB CFD AB CD ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩， ()ABE CDF AAS ∴≅．(2)证明：,AE BC CF AD ⊥⊥，90AEC AFC ∴∠=∠=︒，四边形ABCD 是平行四边形，AD BC ∴，18090EAF AEC ∴∠=︒-∠=︒，∴在四边形AECF 中，90AEC AFC EAF ∠=∠=∠=︒，∴四边形AECF 是矩形．【点睛】本题考查了平行四边形的性质、三角形全等的判定定理、矩形的判定等知识点，熟练掌握各判定定理与性质是解题关键．2、 (1)见解析(2)AE 2+ GF 2=EG 2，证明见解析【解析】【分析】（1）根据“SAS ”证明△ADE ≌△CDE 即可；（2）连接CG ，可得CG =GF =GH =12FH ，再证明∠ECG =90°，然后在Rt △CEG 中，可得CE 2+CG 2=EG 2，进而可得线段AE ，EG 和GF 之间的数量关系．(1)证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴AD =CD ，∠ADE =∠CDE ，在△ADE 和△CDE 中AD CD ADE CDE DE DE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADE≌△CDE，∴AE=CE；(2)AE2+ GF2=EG2，理由：连接CG∵△ADE≌△CDE，∴∠1=∠2．∵G为FH的中点，FH，∴CG=GF=GH=12∴∠6=∠7．∵∠5=∠6，∴∠5=∠7．∵∠1+∠5=90°，∴∠2+∠7=90°，即∠ECG=90°，在Rt△CEG中，CE2+CG2=EG2，∴AE2+ GF2=EG2．【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，以及勾股定理等知识，证明△ADE≌△CDE是解（1）的关键，证明∠ECG=90°是解（2）的关键．3、 (1)见解析(2)当AD时，四边形BEDH是正方形【解析】【分析】（1）要证明AF=CG，只要证明△EAF≌△HCG即可；（2）利用已知可得四边形BEDH是菱形，所以当AE2+DE2=AD2时，∠BED=90°，四边形BEDH是正方形．(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB=CD，∠BAD=∠BCD，∴∠AEF=∠CHG，∵BE=2AB，DH=2CD，∴BE=DH，∴BE-AB=DH-DC，∴AE=CH，∴∠BAD+∠EAF=180°，∠BCD+∠GCH=180°，∴∠EAF=∠GCH，∴△EAF≌△HCG(ASA)，∴AF=CG；(2)解：当AD 时，四边形BEDH 是正方形；理由：∵BE ∥DH ，BE =DH ，∴四边形EBHD 是平行四边形，∵EH ⊥BD ，∴四边形EBHD 是菱形，∴ED =EB =2AB ，当AE 2+DE 2=AD 2时，则∠BED =90°，∴四边形BEDH 是正方形，即AB 2+(2AB )2=AD 2，∴AD ，∴当AD 时，四边形BEDH 是正方形．．【点睛】本题考查了正方形的判定，菱形的判定，平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，结合图形分析并熟练掌握正方形的判定，平行四边形的性质，是解题的关键．4、 (1)见解析(2)22AC AN FD =+，见解析【解析】【分析】（1）连接AM ，证明()MEA MDC SAS ≅△△，根据等角的余角相等即可证明90EMD AMC ∠=∠=︒，进而可得ME MD ⊥；（2）过D 作DG AC ⊥，交BC 于点G ，过F 分别作FP AD ⊥，FH ED ⊥，FQ AB ⊥，垂足分别为P 、H 、Q ，证明()EBN DGN AAS ≅△△，进而证明DF 是ADE ∠的角平分线，EF 是AED ∠的角平分线，可得FH FP FQ ==，结合含30度角的直角三角形的性质，可得2AC AB AC AE AD QE QA AP PD =+=+=+++，进而可得22AC AN FD =+(1)证明：连接AM ，∵点M 为等腰直角ABC 为斜边BC 上的中点，∴AM BC ⊥，AM MC =，45MAE MCD ∠=∠=︒，∵DC EA =，∴()MEA MDC SAS ≅△△∴EMA DMC ∠=∠∴EMA AMD DMC AMD ∠+∠=∠+∠即90EMD AMC ∠=∠=︒，∴ME MD ⊥(2)过D 作DG AC ⊥，交BC 于点G ，过F 分别作FP AD ⊥，FH ED ⊥，FQ AB ⊥，垂足分别为P 、H 、Q∵在等腰直角ABC 中，45C ∠=︒，且DG AC ⊥，∴GDC 为等腰直角三角形，∴GD CD =，∵DC EB =，∴GD EB =，90BAC ∠=︒BA AC ∴⊥DG EA ∴∥BEN GDN ∴∠=∠又ENB DNG ∠=∠∴()EBN DGN AAS ≅△△∴EN DN =，∴2ED AN =，∵EF 是AED ∠的角平分线，而45MAB MAD ∠=∠=︒，∴DF 是ADE ∠的角平分线，在Rt ADE △中，90EAD ∠=︒，30AED ∠=︒∴60ADE ∠=︒∴30FDH ∠=︒∵FP AD ⊥，FH ED ⊥，FQ AB ⊥，∴FH FP FQ ==，EH EQ =，AP AQ =，DP DH =，∴2AC AB AC AE AD QE QA AP PD =+=+=+++22HE HF HF HD DE HF AN FD =+++=+=+.即22AC AN FD =+.【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，含30度角的直角三角形的性质，角平分线的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，掌握以上知识是解题的关键．5、 (1)证明见解析(2)证明见解析【解析】【分析】（1）由正方形的性质得AB ＝AD ，∠BAD ＝90°，证明∠BAF ＝∠ADG ，然后由AAS 证△AFB ≌△DGA 即可；（2）如图2，过点D 作DK ⊥AE 于K ，DJ ⊥BF 交BF 的延长线于J ，先证△ABH ≌△DAE （ASA ），得AH ＝DE ，再证△DJH ≌△DKE （AAS ），得DJ ＝DK ，JH ＝EK ，则四边形DKFJ 是正方形，得FK ＝FJ ＝DK ＝DJ，则DF FJ ，进而得出结论；（3）如图3，取AD 的中点Q ，连接PQ ，延长QP 交CD 于R ，过点P 作PT ⊥CD 于T ，PK ⊥AD 于K ，设PT ＝b ，由（2）得△ABH ≌△DAE （ASA ），则AH ＝DE ，再由直角三角形斜边上的中线性质得PD ＝PH ＝PE ，然后由等腰三角形的性质得DH ＝2DK ＝2b ，DE ＝2DT ，则AH ＝DE ＝1﹣2b ，证出PK ＝QK ，最后证点P 在线段QR 上运动，进而由等腰直角三角形的性质得QRDQ(1)证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴AB ＝AD ，∠BAD ＝90°∵DG ⊥AE ，BF ⊥AE∴∠AFB ＝∠DGA ＝90°∵∠FAB +∠DAG ＝90°，∠DAG +∠ADG ＝90°∴∠BAF ＝∠ADG在△AFB 和△DGA 中∵AFB DGA BAF ADG AB AD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩ ∴△AFB ≌△DGA （AAS ）．(2)证明：如图2，过点D 作DK ⊥AE 于K ，DJ ⊥BF 交BF 的延长线于J由题意知∠BAH ＝∠ADE ＝90°，AB ＝AD ＝CD∵BF⊥AE∴∠AFB＝90°∵∠DAE+∠EAB＝90°，∠EAB+∠ABH＝90°∴∠DAE＝∠ABH在△ABH和△DAE中∵BAH ADE AB ADABH DAE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△ABH≌△DAE（ASA）∴AH＝DE∵点E为CD的中点∴DE＝EC＝12CD∴AH＝DH∴DE＝DH∵DJ⊥BJ，DK⊥AE∴∠J＝∠DKE＝∠KFJ＝90°∴四边形DKFJ是矩形∴∠JDK＝∠ADC＝90°∴∠JDH＝∠KDE在△DJH和△DKE中∵J DKEJDH KDE DH DE∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△DJH≌△DKE（AAS）∴DJ＝DK，JH＝EK∴四边形DKFJ是正方形∴FK＝FJ＝DK＝DJ∴DF FJ2FJ∴FH+FE＝FJ﹣HJ+FK+KE＝2FJ．(3)解：如图3，取AD的中点Q，连接PQ，延长QP交CD于R，过点P作PT⊥CD于T，PK⊥AD于K，设PT＝b由（2）得△ABH≌△DAE（ASA）∴AH＝DE∵∠EDH＝90°，点P为EH的中点EH＝PH＝PE∴PD＝12∵PK⊥DH，PT⊥DE∴∠PKD＝∠KDT＝∠PTD＝90°∴四边形PTDK是矩形∴PT＝DK＝b，PK＝DT∵PH＝PD＝PE，PK⊥DH，PT⊥DE ∴PT是△DEH的中位线∴DH＝2DK＝2b，DE＝2DT∴AH＝DE＝1﹣2b∴PK＝12 DE＝12﹣b，QK＝DQ﹣DK＝12﹣b∴PK＝QK∵∠PKQ＝90°∴△PKQ是等腰直角三角形∴∠KQP＝45°∴点P在线段QR上运动，△DQR是等腰直角三角形∴QR DQ∴点P【点睛】本题考查了三角形全等，正方形的判定与性质，直角三角形斜边的中线，等腰三角形的性质等知识．解题的关键在于对知识的综合灵活运用．。

精品试题鲁教版(五四制)八年级数学下册第六章特殊平行四边形章节测试练习题(含详解)

鲁教版（五四制）八年级数学下册第六章特殊平行四边形章节测试考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、下列说法中正确的是（）A．矩形的对角线平分每组对角；B．菱形的对角线相等且互相垂直；C．有一组邻边相等的矩形是正方形；D．对角线互相垂直的四边形是菱形．2、如图．在长方形纸片ABCD中，AB=12，AD=20，所示，折叠纸片，使点A落在BC边上的A′处，折痕为PQ，当点A′在BC边上移动时，折痕的端点P、Q也随之移动．点P，Q分别在边AB、AD上移动，则点A′在BC边上可移动的最大距离为（）A．8 B．10 C．12 D．163、如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，AB=AD，连接BD，∠BAD的角平分线交BD、BC分别于点O、E，若EC=3，CD=4，则BO的长为（）A ．4B ．C ．D ．4、菱形ABCD 的边长为5，一条对角线长为6，则菱形面积为（）A ．20B ．24C ．30D ．485的正方形ABCD 中，点E 是对角线AC 上一点，且EF AB ⊥于点F ，连接DE ，当22.5ADE ∠=︒时，EF =（）A ．1B ．2C 1D ．146、如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，如果D 为边AB 上的中点，那么下面结论错误的是（）A ．12CD AB = B ．12CB AB = C ．∠A ＝∠ACD D ．∠ADC ＝2∠B7、将一长方形纸条按如图所示折叠，255∠=︒，则1∠=（）A ．55°B ．70°C ．110°D ．60°8、如图，菱形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，6AC =，8BD =，EF 为过点O 的一条直线，则图中阴影部分的面积为（）A ．4B ．6C ．8D ．129、下列选项中，不能被边长为2的正方形及其内部所覆盖的图形是（）A ．长度为B ．边长为2的等边三角形C ．斜边为2的直角三角形D ．面积为4的菱形10、如图，四边形ABCD 是平行四边形，过点A 作AM ⊥BC 于点M ，交BD 于点E ，过点C 作CN ⊥AD 于点N ，交BD 于点F ，连接CE ，当EA =EC ，且点M 为BC 的中点时，AB ：AE 的值为（）A ．2BC ．32D 第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、如图，E 是正方形ABCD 的对角线BD 上一点，连接CE ，过点E 作EF AD ⊥，垂足为点F ．若3AF =，5EC =，则正方形ABCD 的面积为______．2、如图，在矩形ABCD 中，ABC ∠的角平分线BE 交AD 于点E ，连接EC ，EC 恰好平分BED ∠，若2AB =，则DE 的长为______．3、已知：在四边形ABCD 中，AD =BC ，点E ，F ，G ，H 分别是AB ，CD ，AC ，BD 的中点，四边形EHFG 是_____________．4、如图，正方形ABCD 的边长为4，E 是BC 的中点，在对角线BD 上有一点P ，则PC +PE 的最小值是_______．5、如图，菱形ABCD 中，12AB =，60ABC ∠=︒，点E 在AB 边上，且2BE AE =，动点P 在BC 边上，连接PE ，将线段PE 绕点P 顺时针旋转60︒至线段PF ，连接AF ，则线段AF 长的最小值为__．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、请阅读下列材料：问题：如图1，点A ，B 在直线l 的同侧，在直线l 上找一点P ，使得AP +BP 的值最小．小军的思路是：如图2，作点A 关于直线l 的对称点A '，连接A B '，则A B '与直线l 的交点P 即为所求．请你参考小军同学的思路，探究并解决下列问题：(1)如图3，在图2的基础上，设AA '与直线l 的交点为C ，过点B 作BD ⊥l ，垂足为D ．若CP ＝1，PD ＝2，AC ＝1，写出AP +BP 的值为；(2)如图3，若AC ＝1，BD ＝2，CD ＝6，写出此时AP +BP 的最小值；(3)的最小值．2、尺规作图并回答问题：（保留作图痕迹）已知：如图，四边形ABCD 是平行四边形．求作：菱形AECF ，使点E ，F 分别在BC ，AD 上．请回答：在你的作法中，判定四边形AECF 是菱形的依据是．3、如图，在菱形ABDE 中，120ABD ∠=︒，点C 是边AB 的中点，点P 是对角线AD 上的动点（可与点A ，D 重合），连接PC ，PB ．已知6cm AD =，若要PC PB ≤，求AP 的取值范围．丞泽同学所在的学习小组根据学习函数的经验，设AP 长为x cm ，PC 长为1cm y ，PB 长为2cm y ．分别对函数1y ，2y 随自变量x 的变化而变化的规律进行了探究，下面是丞泽同学所在学习小组的探究过程，请补充完整：(1)按照表中自变量x 的值进行取点、画图、测量，分别得到了1y ，2y 与x 的几组对应值，表格中的=a ______；(2)在同一平面直角坐标系xOy 中，请在图中描出补全后的表中各组数值所对应的点()1,x y ，并画出函数1y 的图象；(3)结合函数图象，解决问题：当PC PB ≤时，估计AP 的长度的取值范围是____________；请根据图象估计当AP =______时，PC 取到最小值．（请保留点后两位）4、如图，四边形ABCD 为菱形，点E ，F 分别为边DA ，DC 上的点，DE ＝DF ，连接BE ，BF ，求证：BE ＝BF ．5、如图，长方形ABCD 中，E 是AD 的中点，将ABE △沿BE 折叠后得到GBE ，且G 点在长方形ABCD 内部，延长BG 交DC 于点F ．(1)求证：GE DE =；(2)若9DC =，DF 2CF =，求AD 的长；(3)若DC n DF =⋅，求22AD AB 的值．-参考答案-一、单选题1、C【解析】【分析】根据矩形及菱形的性质，菱形及正方形的判定定理依次判断即可得．【详解】解：A、矩形的对角线不平分每组对角，故选项错误；B、菱形的对角线互相垂直但不相等，故选项错误；C、有一组邻边相等的矩形是正方形，故选项正确；D、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故选项错误；故选：C．【点睛】题目主要考查特殊四边形的判定和性质，熟练掌握特殊四边形的判定和性质是解题关键．2、A【解析】【分析】根据翻折的性质，可得BA′与AP的关系，根据线段的和差，可得A′C，根据勾股定理，可得A′C，根据线段的和差，可得答案．【详解】解：①在长方形纸片ABCD中，AB=12，AD=20，∴BC=AD=20，当p与B重合时，BA′=BA=12，CA′=BC-BA′=20-12=8，②当Q与D重合时，由折叠得A′D=AD=20，由勾股定理，得CA，CA′最远是16，CA′最近是8，点A′在BC边上可移动的最大距离为16-8=8，故选：A．【点睛】本题考查了矩形的性质，翻折变换，利用了翻折的性质，勾股定理，分类讨论是解题关键．3、C【解析】【分析】连接DE，因为AB=AD，AE⊥BD，AD∥BC，可证四边形ABED为菱形，从而得到BE、BC的长，进而解答即可．【详解】解：连接DE．在直角三角形CDE中，EC=3，CD=4，根据勾股定理，得DE=5．∵AB=AD，AE平分BAD∠∴AE⊥BD，BO=OD，∴AE垂直平分BD，∠BAE=∠DAE．∴DE=BE=5．∵AD∥BC，∴∠DAE =∠AEB ，∴∠BAE =∠AEB ，∴AB =BE =5，∴BC =BE +EC =8，∴四边形ABED 是菱形，由勾股定理得出BD =∴1.2BO BD == 故选：C ．【点睛】本题考查勾股定理的运用以及菱形的判定和性质，题目难度适中，根据条件能够发现图中的菱形ABDE 是关键．4、B【解析】【分析】根据菱形的性质利用勾股定理求得另一条对角线，再根据菱形的面积等于两对角线乘积的一半求得菱形的面积．【详解】解：如图，当BD ＝6时，∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD ，AO ＝CO ，BO ＝DO ＝3，∵AB ＝5，∴AO ，∴AC ＝8，∴菱形的面积是：6×8÷2＝24，故选：C ．【点睛】本题主要考查菱形的面积公式，以及菱形的性质和勾股定理，关键是掌握菱形的面积等于两条对角线的积的一半．5、C【解析】【分析】证明67.5CDE CED ∠=∠=︒，则CD CE =AC 的长，得2AE =，证明AFE ∆是等腰直角三角形，可得EF 的长．【详解】解：四边形ABCD 是正方形，AB CD BC ∴==90B ADC ∠=∠=︒，45BAC CAD ∠=∠=︒， 22AC AB ，22.5ADE ∠=︒，9022.567.5CDE ∴∠=︒-︒=︒，4522.567.5CED CAD ADE ∠=∠+∠=︒+︒=︒，CDE CED ∴∠=∠，CD CE ∴==2AE ∴=EF AB ⊥，90AFE ∴∠=︒，AFE ∴∆是等腰直角三角形，1EF ∴，故选：C ．【点睛】本题考查正方形的性质，勾股定理，等腰直角三角形，三角形的外角的性质等知识，解题的关键是在正方形中学会利用等腰直角三角形的性质解决问题，属于中考常考题型．6、B【解析】【分析】根据直角三角形斜边上的中线的性质结合等腰三角形的性质及含30 角的直角三角形的性质，三角形外角的性质判定即可求解．【详解】解：在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，D 为边AB 上的中点，12AD BD CD AB ∴===，故A 选项正确，不符合题意； A ACD ∴∠=∠，故C 选项正确，不符合题意；DCB B ∠=∠，2ADC DCB B B ∴∠=∠+∠=∠，故D 选项正确，不符合题意；只有当30A ∠=︒时，12CB AB =，故B 选项错误，符合题意．故选：B ．【点睛】本题主要考查直角三角形斜边上的中线，解题的关键是掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．7、B【解析】【分析】从折叠图形的性质入手，结合平行线的性质求解．【详解】解：由折叠图形的性质结合平行线同位角相等可知，221180∠+∠=︒，255∠=︒，170∴∠=︒．故选：B ．【点睛】本题考查折叠的性质及平行线的性质，解题的关键是结合图形灵活解决问题．8、B【解析】【分析】根据菱形的性质可证出ΔΔCFO AEO ≅，可将阴影部分面积转化为BOC ∆的面积，根据菱形的面积公式计算即可．【详解】解：四边形ADCB 为菱形，OC OA ∴=，//AB CD ，FCO OAE ∠=∠，FOC AOE ∠=∠，()CFO AEO ASA ≅,∴CFO AOE S S =,∴CFO BOF BOC S S S +=, ∴1111··6864242BOC S AC BD =⨯=⨯⨯⨯= 故选：B ．【点睛】此题考查了菱形的性质，菱形的面积公式，全等三角形的判定，将阴影部分的面积转化为BOC ∆的面积为解题关键．9、D【解析】【分析】先计算出正方形的对角线长，即可逐项进行判定求解．【详解】解：A 、正方形的边长为2，∴对角线长为∴长度为2的正方形及其内部所覆盖，故A 不符合题意；B 、边长为2的等边三角形能被边长为2的正方形及其内部所覆盖，故B 不符合题意；C 、斜边为2的直角三角形能被边长为2的正方形及其内部所覆盖，故C 不符合题意；D 、而面积为4的菱形对角线长可以为8，故不能被边长为2的正方形及其内部所覆盖，故D 符合题意，故选：D．【点睛】本题主要考查正方形的性质，等边三角形的性质，菱形的性质等知识，解题的关键是掌握相关图形的特征进行判断．10、B【解析】【分析】根据平行四边形的性质、垂直的定义、平行线的判定定理可以推知AE∥CF；然后由全等三角形的判定定理ASA推知△ADE≌△CBF；最后根据全等三角形的对应边相等知AE=CF，所以对边平行且相等的四边形是平行四边形；连接AC交BF于点O，根据EA=EC推知▱ABCD是菱形，根据菱形的邻边相等知AB=BC；然后结合已知条件“M是BC的中点，AM⊥BC”证得△ADE≌△CBF（ASA），所以AE=CF，从而证得△ABC是正三角形；最后在Rt△BCF中，求得CF：BC AE=CF，AB=BC）AB：AE【详解】解：连接AC，∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC∥AD；∴∠ADE=∠CBD，∵AD=BC，在△ADE和△CBF中，90DAE BCF AD CB ADE FBC ∠=∠=︒⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△ADE ≌△CBF （ASA ），∴AE =CF ，又∵AM ⊥BC ，∴AM ⊥AD ；∵CN ⊥AD ，∴AM ∥CN ，∴AE ∥CF ；∴四边形AECF 为平行四边形，∵EA =EC ，∴▱AECF 是菱形，∴AC ⊥BD ，∴平行四边形ABCD 是菱形，∴AB =BC ，∵M 是BC 的中点，AM ⊥BC ，∴AB =AC ，∴△ABC 为等边三角形，∴∠ABC =60°，∠CBD =30°；在Rt △BCF 中，CF ：BC又∵AE =CF ，AB =BC ，∴AB ：AE故选：B ．【点睛】本题综合考查了全等三角形的判定与性质、菱形的判定与性质以及等边三角形的判定与性质等知识点，证得▱ABCD 是菱形是解题的难点．二、填空题1、49【解析】【分析】延长FE 交AB 于点M ，则EM BC ⊥，3AF BM ==，由正方形的性质得45CDB ∠=︒，推出BME 是等腰直角三角形，得出3EM BM ==，由勾股定理求出CM ，故得出BC ，由正方形的面积公式即可得出答案．【详解】如图，延长FE 交AB 于点M ，则EM BC ⊥，3AF BM ==，∵四边形ABCD 是正方形，∴45CDB ∠=︒，∴BME 是等腰直角三角形，∴3EM BM ==，在Rt EMC 中，4CM =，∴347BC BM CM =+=+=，∴22749ABCD S BC ===正方形．故答案为：49．【点睛】本题考查正方形的性质以及勾股定理，掌握正方形的性质是解题的关键．2、2【解析】【分析】根据矩形的性质得//AD BC ，=AD BC ，=90A ︒∠，根据BE 是ABC ∠的角平分线，得45ABE CBE ∠=∠=︒，则45ABE CBE ∠=∠=︒，2AE AB ==，在Rt BAE 中，根据勾股定理得BE =DEC ECB ∠=∠，由因为EC 平分BED ∠则BEC DEC ∠=∠，等量代换得BEC ECB ∠=∠，所以BC BE ==AD =【详解】解：∵四边形ABCD 为矩形，∴//AD BC ，=AD BC ，=90A ︒∠，∵2AB =，BE 是ABC ∠的角平分线，∴45ABE CBE ∠=∠=︒，∴2AE AB ==，在Rt BAE 中，根据勾股定理得，BE∵//AD BC ，∴DEC ECB ∠=∠，∵EC 平分BED ∠，∴BEC DEC∠=∠，∴BEC ECB∠=∠，∴BC BE==∴AD=∴2DE AD AE=-=，故答案为：2．【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，角平分线的性质，平行线的性质，解题的关键是掌握这些知识点．3、菱形【解析】【分析】由已知条件得出GF是△ADC的中位线，GE是△ABC的中位线，EH是△ABD的中位线，由三角形中位线定理得出GF∥EH，GF=EH，得出四边形EGFH是平行四边形，再证出GE=EH，即可得出四边形EHFG 是菱形．【详解】∵点E、F、G、H分别是AB、CD、AC、BD的中点，∴GF是△ADC的中位线，GE是△ABC的中位线，EH是△ABD的中位线，∴GF∥AD，GF=12AD，GE=12BC，EH∥AD，EH=12AD，∴GF∥EH，GF=EH，∴四边形EGFH是平行四边形，又∵AD=BC，∴GE=EH，∴四边形EGFH是菱形．故答案是：菱形【点睛】本题考查了三角形中位线定理、平行四边形的判定、菱形的判定方法；解题的关键是熟练掌握菱形的判定方法，由三角形中位线定理得出线段之间的关系．4、【解析】【分析】要求PE+PC的最小值，PE，PC不能直接求，可考虑通过作辅助线转化PE，PC的值，从而找出其最小值求解．【详解】解：如图，连接AE，PA，∵四边形ABCD是正方形，BD为对角线，∴点C关于BD的对称点为点A，∴PE+PC=PE+AP，根据两点之间线段最短可得AE就是AP+PE的最小值，∵正方形ABCD的边长为4，E是BC边的中点，∴BE=2，∴AE =√AA 2+AA 2=√42+22=2√5，故答案为：【点睛】本题主要考查了正方形的性质和轴对称及勾股定理等知识的综合应用．根据已知得出两点之间线段最短可得AE 就是AP +PE 的最小值是解题关键．5、【解析】【分析】在BC 上取一点G ，使得BG BE =，连接EG ，EF ，作直线FG 交AD 于T ，过点A 作AH GF ⊥于H ．证明120BGF ∠=︒，推出点F 在射线GF 上运动，根据垂线段最短可知，当点F 与H 重合时，AF 的值最小，求出AH 即可．【详解】解：在BC 上取一点G ，使得BG BE =，连接EG ，EF ，作直线FG 交AD 于T ，过点A 作AH GF ⊥于H ．60B ∠=︒，BE BG =，ΔBEG ∴是等边三角形，EB EG ∴=，60BEG BGE ∠=∠=︒，PE PF =，60EPF ∠=︒，ΔEPF ∴是等边三角形，60PEF ∴∠=︒，EF EP =，BEG PEF ∠=∠，BEP GEF ∴∠=∠，在ΔBEP 和GEF ∆中，BE GE BEP GEF PE PF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ()ΔΔBEP GEF SAS ∴≅，60EGF B ∴∠=∠=︒，120BGF ∴∠=︒，∴点F 在射线GF 上运动，根据垂线段最短可知，当点F 与H 重合时，AF 的值最小，12AB =，2BE AE =，8BE ∴=，4AE =，60BEG EGF ∠=∠=︒，∴GT //AB∵BG //AT∴四边形ABGT 是平行四边形，8AT BG BE ∴===，60ATH B ∠=∠=︒，∴30TAH ∠=︒12TH AH = 在Rt ATH ∆中，222AT TH AH +=∴ 22218()2AH AH +=AH ∴=AF ∴的最小值为故答案为：【点睛】本题考查菱形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．三、解答题1、【解析】【分析】（1）作AE ∥l ，交BD 的延长线于E ，根据已知条件求得△CPA ’是等腰直角三角形，然后得到△BEA ’是等腰直角三角形，从而求得A ’B 的值；（2）作AE ∥l ，交BD 的延长线于E ，根据已知条件求得BE 、A ’E ，然后根据勾股定理即可求得A ’B ，从而求得AP ＋BP 的值；（3）设AC ＝5m −3，PC ＝1，则PA BD ＝8−5m ，PD ＝3，则PB ，结合（2）即可求解．(1)解：作A ’E ∥l ，交BD 的延长线于E ，如图3，∴DE⊥A’E∴四边形A’EDC是矩形，∵CP＝ AC＝1∴CP＝ A’C∴△CPA’是等腰直角三角形，∴∠CA’P=45°∵A’E∥l，∴∠CA’E=90°∴∠BA’E=45°∴△BEA’是等腰直角三角形，∵A’E=CP+DP=3∴BE=A’E=3∴A’B=∴AP+BP= A’B故答案为：(2)作A’E∥l，交BD的延长线于E，如图3，∴DE⊥A’E∴四边形A’EDC是矩形，∴A’E＝DC＝6，DE＝A’C＝AC＝1，∵BD＝2，∴BD＋AC＝BD＋DE＝3，即BE＝3，在Rt△A’BE中，A’B∴AP＋BP＝A’P＋BP＝A’B＝故答案为：(3)如图3，设AC＝5m−3，PC＝1，则PA设BD＝8−5m，PD＝3，则PB，∵DE＝AC＝5m−3，∴BE＝BD＋DE＝5，A’E＝CD＝PC＋PD＝4，∴PA＋PB的最小值为A’B=【点睛】本题考查了轴对称−最短路线问题，熟练掌握轴对称的性质和勾股定理的应用是解题的关键．2、证明见解析；邻边相等的平行四边形是菱形，对角线垂直的平行四边形是菱形．【解析】【分析】根据邻边相等的平行四边形是菱形或对角线垂直的平行四边形是菱形证明即可．【详解】解：如图，四边形AECF即为所求作．理由：四边形ABCD是平行四边形，∴AE∥CF，∴∠EAO=∠FCO，∵EF垂直平分线段AC，∴OA =OC ，在△AEO 和△CFO 中，EAO FCO AO OCAOE COF ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝＝＝， ∴△AEO ≌△CFO （ASA ），∴AE =CF ，∴四边形AECF 是平行四边形，∵EA =EC 或AC ⊥EF ，∴四边形AECF 是菱形．故答案为：邻边相等的平行四边形是菱形，对角线垂直的平行四边形是菱形．【点睛】本题考查作图-复杂作图，平行四边形的性质，菱形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．3、 (1)1.73(2)见解析(3)0≤AP ≤3，1.50【解析】【分析】（1）证明△PAB为直角三角形，再根据勾股定理得出AB =C 是线段AB 的中点，即可求解；（2）描点绘出函数图象即可；（3）观察分析函数图象即可求解．(1)解：在菱形ABDE 中，AB =BD∵120ABD ∠=︒，∴30BAD ∠=︒，∵AD =6当x =AP =3时，则P 为AD 的中点∴90APB ∠=︒，∴AB =2BP ，3AP ==， ∴AB =∵点C 是边AB 的中点，∴PC 1.73a =≈(2)描点绘出函数图象如下（0≤x ≤6）(3)当PC 的长度不大于PB 长度时，即y 1≤y 2，从图象看，此时，0≤x ≤3，即0≤AP ≤3，从图象看，当x 大约为1.50时，y 1即PC 取到最小值；故答案为：0≤AP ≤3；1.50．【点睛】本题考查函数的图象，直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，学会利用图象法解决问题，属于中考常考题型．4、见解析【解析】【分析】连接BD ，利用菱形的性质可得△EDB ≌△FDB ，可得结论．【详解】证明：如图，连接BD ，在菱形ABCD 中，∠ADB ＝∠CDB ，在△EDB 和△FDB 中，DE DF EDB FDB BD BD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴()EDB FDB SAS ≌△△，∴BE ＝BF ．【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，菱形的性质，解题的关键是熟练掌握并利用菱形的相关性质以及全等三角形的判定与性质进行求解．5、 (1)见解析(2) (3)224AD AB n= 【解析】【分析】（1）由折叠得AE GE =，由中点得AE DE =，由此得到结论；（2）连接EF ，依据DF 2CF =，求出DF 、CF ，根据长方形的性质得到9AB DC ==，由△ABE ≌△GBE ，得到9BG AB ==，证明Rt △EGF ≌Rt △EDF (HL )，得到6GF DF ==．由勾股定理求出BC 即可得到AD ；（3）设DF a =，则AB DC n DF na ==⋅=，得到()1BF BG GF na a n a =+=+=+，由勾股定理求出2BC ，再求出2224AD BC na ==，即可得到答案．(1)证明∵GBE 是由ABE △折叠而成，∴△ABE ≌△GBE ，∴AE GE =，∵E 是AD 的中点，∴AE DE =，∴GE DE =；(2)解：连接EF ，∵DF 2CF =，∴229633DF DC ==⨯=， ∴963CF DC DF =-=-=．∵四边形ABCD 是长方形，∴AD BC =，9AB DC ==，90A C D ∠=∠=∠=︒．∵△ABE ≌△GBE ，∴9BG AB ==，90A BGE FGE ∠=∠=∠=︒．在Rt EGF 和Rt EDF 中，∵GE DE =，EF EF =∴Rt △EGF ≌Rt △EDF (HL )，∴6GF DF ==．∴9615BF BG GF =+=+=，在Rt BCF 中，∵15BF =，3CF =，∴BC∴AD BC ==＝．(3)解：设DF a =，则AB DC n DF na ==⋅=，∴()1CF DC DF na a n a =-=-=-，又∵BG AB na ==，GF DF a ==，∴()1BF BG GF na a n a =+=+=+，在Rt BCF 中，∵()1BF n a =+，()1CF n a =-，∴ ()()22222222114BC BF CF n a n a na =-=+--=，∴ 2224AD BC na ==， ∴2222244AD na AB n a n ==．【点睛】此题考查了矩形与折叠，全等三角形的判定及性质，勾股定理求线段长，解题的关键是掌握各知识点，考查分析问题能力及推理论证能力．。

精品试题鲁教版(五四制)八年级数学下册第六章特殊平行四边形专题训练练习题(精选)

鲁教版（五四制）八年级数学下册第六章特殊平行四边形专题训练考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、如图，菱形ABCD的面积为24cm2，对角线BD长6cm，点O为BD的中点，过点A作AE⊥BC交CB 的延长线于点E，连接OE，则线段OE的长度是（）A．3cm B．4cm C．4.8cm D．5cm2、将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，BD、BE为折痕，则∠EBD的度数（）A．80°B．90°C．100°D．110°3、如图，正方形ABCD的两条对角线AC，BD相交于点O，点E在BD上，且BE=AD，则∠ACE的度数为（）A ．22.5°B ．27.5°C ．30°D ．35°4、如图已知：四边形ABCD 是平行四边形，下列结论中不正确的是（）A ．当AB=BC 时，它是菱形B ．当AC ⊥BD 时，它是菱形 C ．当AC=BD 时，它是正方形 D ．当∠ABC =90 时，它是矩形5、如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝4，对角线AC ，BD 相交于点O ，OE ⊥AC 交BC 于点E ，EF ⊥BD 于点F ，则OE ＋EF 的值为（）A B ．2 C ．52 D ．6、如图，正方形ABCD ，对角线AC ，BD 相交于点O ，过点B 作∠ABO 的角平分线交OA 于点E ，过点A 作AG ⊥BE ，垂足为F ，交BD 于点G ，连接EG ，则S △ABG ：S △BEG 等于（）A ．3：5B 2C ．1：2D ．）：17、如图，点A ，B ，C 在同一直线上，且23AB AC =，点D ，E 分别是AB ，BC 的中点．分别以AB ，DE ，BC 为边，在AC 同侧作三个正方形，得到三个平行四边形（阴影部分）的面积分别记作1S ，2S ，3S ，若1S 23S S +等于（）A B C D 8、如图，任意四边形ABCD 中，E ，F ，G ，H 分别是各边上的点，对于四边形E ，F ，G ，H 的形状，小聪进行了探索，下列结论错误的是（）A ．E ，F ，G ，H 是各边中点．且AC =BD 时，四边形EFGH 是菱形B ．E ，F ，G ，H 是各边中点．且AC ⊥BD 时，四边形EFGH 是矩形C ．E ，F ，G ，H 不是各边中点．四边形EFGH 可以是平行四边形D ．E ，F ，G ，H 不是各边中点．四边形EFGH 不可能是菱形9、下列说法中正确的是（）A ．矩形的对角线平分每组对角；B ．菱形的对角线相等且互相垂直；C ．有一组邻边相等的矩形是正方形；D ．对角线互相垂直的四边形是菱形．10、已知锐角∠AOB ，如图．（1）在射线OA 上取一点C ，以点O 为圆心，OC 长为半径画弧，交射线OB 于点D ，连接CD ；（2）分别以点C ，D 为圆心，CD 长为半径作弧，两弧交于点P ，连接CP ，DP ；（3）作射线OP 交CD 于点Q ．根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（）A ．四边形OCPD 是菱形B ．CP =2QC C ．∠AOP =∠BOPD ．CD ⊥OP第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，CD 是斜边AB 上的中线，已知AC =2BC =，则ACD △的周长等于______．2、如图，在正方形ABCD 中，AB E ，F 分别为边AB ，BC 的中点，连接AF ，DE ，点N ，M 分别为AF ，DE 的中点，连接MN ．则MN 的长为_________．3、如图，矩形ABCD 中，AC ，BD 交于点O ，M ，N 分别为BC ，OC 的中点．若MN ＝4，则AC 的长为__________．4、如图，ABC 中，AB AC =，D 为AB 中点，E 在AC 上，且BE AC ⊥，若52DE =，4AE =，则边BC 的长度为______．5、在平面直角坐标系中，直线l ：1y x =-与x 轴交于点1A ，如图所示依次作正方形111A B C O 、正方形2221A B C C 、…、正方形n 1n n n A B C C -，使得点1A 、2A 、3A 、…在直线1上，点1C 、2C 、3C 、…在y 轴正半轴上，则点n B 的坐标是________．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、如图，已知正方形ABCD，点E在边BC上，连接AE．(1)尺规作图：作ADF∠的边与线段AB的交点．（不写作法，保∠，使ADF BAE∠∠，点F是ADF=留作图痕迹）；(2)探究：AE，DF的位置关系和数量关系，并说明理由．2、如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在线段BC、CD上，连接AE、AF，且BE＝DF．求证：AE＝AF．3、如图，长方形ABCD中，E是AD的中点，将ABE△沿BE折叠后得到GBE，且G点在长方形ABCD 内部，延长BG交DC于点F．(1)求证：GE DE =；(2)若9DC =，DF 2CF =，求AD 的长；(3)若DC n DF =⋅，求22AD AB 的值． 4、如图，在四边形ABCD 中，∠B =∠C ．点E 、F 、G 分别在边AB 、BC 、CD 上，AE =GF =GC ．(1)求证：四边形AEFG 是平行四边形；(2)当∠FGC 与∠EFB 满足怎样的关系时，四边形AEFG 是矩形．请说明理由．5、在平面直角坐标系xOy 中，若P ，Q 为某个菱形相邻的．．．两个顶点，且该菱形的两条对角线分别与x 轴，y 轴垂直，则称该菱形为点P ，Q 的“相关菱形”．图1为点P ，Q 的“相关菱形”的一个示意图．已知点A的坐标为（1，4），点B的坐标为（b，0），(1)若b=2，则R（1，-4），S（3，4），T（5，4）中能够成为点A，B的“相关菱形”顶点的是；(2)若点A，B的“相关菱形”为正方形，求b的值；(3)点C的坐标为（4，4）．若在线段AC上存在点M，使点M，B的“相关菱形”为正方形，请直接写出b的取值范围．-参考答案-一、单选题1、B【解析】【分析】由菱形的性质得出BD＝6cm，由菱形的面积得出AC＝8cm，再由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得出结果．【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，∴BD⊥AC，AC×BD＝24cm2，∵BD＝6cm，S菱形ABCD═12∴AC＝8cm，∵AE⊥BC，∴∠AEC＝90°，AC＝4cm，∴OE＝12故选：B．本题主要考查了菱形的性质、直角三角形斜边上的中线性质；熟练掌握菱形的性质是解题的关键．2、B【解析】【分析】根据翻折的性质可知，∠ABE=∠A′BE，∠DBC=∠DBC′，又∠ABE+∠A′BE+∠DBC+∠DBC′=180°，且∠EBD=∠A′BE+∠DBC′，继而即可求出答案．【详解】解：根据翻折的性质可知，∠ABE=∠A′BE，∠DBC=∠DBC′，又∵∠ABE+∠A′BE+∠DBC+∠DBC′=180°，=90°．∴∠EBD=∠A′BE+∠DBC′=180°×12故选B．【点睛】此题考查翻折变换的性质，三角形折叠以后的图形和原图形全等，对应的角相等，得出∠ABE=∠A′BE，∠DBC=∠DBC′是解题的关键．3、A【解析】【分析】利用正方形的性质证明∠DBC=45°和BE=BC，进而证明∠BEC=67.5°．【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，∴BC=AD，∠DBC=45°，∵BE=AD，∴∠BEC=∠BCE=（180°﹣45°）÷2=67.5°，∵AC⊥BD，∴∠COE=90°，∴∠ACE=90°﹣∠BEC=90°﹣67.5°=22.5°，故选：A．【点睛】本题考查正方形的性质，以及等腰三角形的性质，掌握正方形的性质并加以利用是解决本题的关键．4、C【解析】【分析】根据矩形、菱形、正方形的判定逐个判断即可．【详解】解：A、∵四边形ABCD是平行四边形，又∵AB=BC，∴四边形ABCD是菱形，故本选项不符合题意；B、∵四边形ABCD是平行四边形，又∵AC⊥BD，∴四边形ABCD是菱形，故本选项不符合题意；C、∵四边形ABCD是平行四边形，又∵AC=BD，∴四边形ABCD是矩形，故本选项符合题意；D 、∵四边形ABCD 是平行四边形，又∵∠ABC =90°，∴四边形ABCD 是矩形，故本选不项符合题意；故选：C ．【点睛】本题考查了对矩形的判定、菱形的判定，正方形的判定的应用，能正确运用判定定理进行判断是解此题的关键，难度适中．5、A【解析】【分析】依据矩形的性质即可得到BOC ∆的面积为2，再根据BOC COE BOE S S S∆=+，即可得到OE EF +的值．【详解】解：2AB =，4BC =，∴矩形ABCD 的面积为8，AC == 12BO CO AC ∴== 对角线AC ，BD 交于点O ，BOC ∴∆的面积为2，EF OB ⊥，EO AC ⊥，BOC COE BOE S S S ∆∴=+，即11222CO EO OB EF =⨯+⨯，12)2EO EF ∴=+，)4EO EF +=，EO EF ∴+，故选：A ．【点睛】本题主要考查了矩形的性质，解题的关键是掌握矩形的四个角都是直角，矩形的对角线相等且互相平分．6、D【解析】【分析】由BE 平分ABD ∠，BF AG ⊥得BA BG =，根据正方形的性质得90BOE AOG ∠=∠=︒，BO AO =，故BEO AGO ∠=∠，根据AAS 得BOE AOG ≅，故EO GO =，设2AB AD BG a ===，进而可用含a 的式子表示出线段AO 和EO 的长，要求:ABG BEG S S 的比值即求AO 和EO 的比值，代入即可求解．【详解】∵BE 平分ABD ∠，BF AG ⊥，∴ABG 是等腰三角形，∴BA BG =，四边形ABCD 是正方形，∴90BOE AOG ∠=∠=︒，BO AO =，∴90BOE BFG ∠=∠=︒，∴BEO AGO ∠=∠，在BOE △与AOG 中，BEO AGO BOE AOG BO AO ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()BOE AOG AAS ≅，∴EO GO =，设2AB AD BG a ===，则AC BD ==，∴AO BO =，∴(2EO GO BG BO a ==-=， ∵12ABG S BG AO =⋅⋅，12BEGS BG EO =⋅⋅，∴:::(21):1ABG BEG S S AO EO a ==．故选：D ．【点睛】本题主要考查了正方形的性质，角平分线的定义以及全等三角形的判定与性质，解题的关键是将两个三角形的面积比转化成两条线段的比，综合性较强．7、B【解析】【分析】设BE ＝x ，根据正方形的性质、平行四边形的面积公式分别表示出S 1，S 2，S 3，根据题意计算即可．【详解】 ∵23AB AC =，AC AB BC =+ ∴AB ＝2BC ，又∵点D ，E 分别是AB ，BC 的中点，∴设BE ＝x ，则EC ＝x ，AD ＝BD ＝2x ，∵四边形ABGF是正方形，∴∠ABF＝45°，∴△BDH是等腰直角三角形，∴BD＝DH＝2x，∴S1＝DH•AD2x•2x∴x2∵BD＝2x，BE＝x，∴S2＝MH•BD＝（3x−2x）•2x＝2x2，S3＝EN•BE＝x•x＝x2，∴S2＋S3＝2x2＋x2＝3x2故选：B．【点睛】本题考查的是正方形的性质、平行四边形的性质，掌握正方形的四条边相等、四个角都是90°是解题的关键．8、D【解析】【分析】当E F G H ，，，为各边中点，EH BD FG EF AC GH ∥∥，∥∥，11====22EH BD FG EF AC GH ，，四边形EFGH 是平行四边形；A 中AC =BD ，则=EF FG ，平行四边形EFGH 为菱形，进而可判断正误；B 中AC ⊥BD ，则EF FG ⊥，平行四边形EFGH 为矩形，进而可判断正误；E ，F ，G ，H 不是各边中点，C 中若四点位置满足==EH FG EF GH EH FG EF GH ∥，∥，，，则可知四边形EFGH 可以是平行四边形，进而可判断正误；D 中若四点位置满足===EH FG EF GH EH FG EF GH ∥，∥，，则可知四边形EFGH 可以是菱形，进而可判断正误．【详解】解：如图，连接AC BD 、当E F G H ，，，为各边中点时，可知EH EF FG GH 、、、分别为ABD ABC BCD ACD 、、、的中位线∴11====22EH BD FG EF AC GH EH BD FG EF AC GH ∥∥，∥∥，， ∴四边形EFGH 是平行四边形A 中AC =BD ，则=EF FG ，平行四边形EFGH 为菱形；正确，不符合题意；B 中AC ⊥BD ，则EF FG ⊥，平行四边形EFGH 为矩形；正确，不符合题意；C 中E ，F ，G ，H 不是各边中点，若四点位置满足==EH FG EF GH EH FG EF GH ∥，∥，，，则可知四边形EFGH 可以是平行四边形；正确，不符合题意；D 中若四点位置满足===EH FG EF GH EH FG EF GH ∥，∥，，则可知四边形EFGH 可以是菱形；错误，符合题意；故选D ．【点睛】本题考查了平行四边形、菱形、矩形的判定，中位线等知识．解题的关键在于熟练掌握特殊平行四边形的判定．9、C【解析】【分析】根据矩形及菱形的性质，菱形及正方形的判定定理依次判断即可得．【详解】解：A 、矩形的对角线不平分每组对角，故选项错误；B 、菱形的对角线互相垂直但不相等，故选项错误；C 、有一组邻边相等的矩形是正方形，故选项正确；D 、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故选项错误；故选：C ．【点睛】题目主要考查特殊四边形的判定和性质，熟练掌握特殊四边形的判定和性质是解题关键．10、A【解析】【分析】根据作图信息可以判断出OP 平分AOB ∠，由此可以逐一判断即可．【详解】解：由作图可知，,,OC OD PC PD OP ==平分AOB ∠∴OP 垂直平分线段CD∴∠AOP =∠BOP ，CD ⊥OP故选项C ，D 正确；由作图可知，CD CP PD ==∴PCD ∆是等边三角形，∴60CPD ∠=︒∵OP 垂直平分线段CD∴30CPQ ∠=︒∴CP =2QC故选项B 正确，不符合题意；由作图可知，,OC OD PC PD ==,不能确定四边形OCPD 是菱形，故选项A 符合题意，故选：A【点睛】本题考查了基本作图，解题的关键是熟练掌握作图的依据．二、填空题1、4+4【解析】【分析】过点D 作DE AC ⊥，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得DC AD =，根据等腰三角形的三线合一可得AE EC =,中位线的性质求得DE ，根据勾股定理求得AD ，继而求得ACD △的周长．【详解】解：如图，过点D 作DE AC ⊥在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，CD 是斜边AB 上的中线，12CD AB AD DB ∴=== DE AC ⊥12AE EC AC ∴===E ∴为AC 的中点，又D 为AB 的中点，则112ED BC ==在Rt AED △中，2AD == 2DC AD ∴==∴ACD △的周长等于4AD DC AC ++=+故答案为：4+【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，三线合一，中位线的性质与判定，勾股定理，掌握以上知识是解题的关键．2、1【解析】【分析】连接AM ，延长AM 交CD 于G ，连接FG ，由正方形ABCD 推出AB =CD =BCAB ∥CD ，∠C =90°，证得△AEM ≌GDM ，得到AM =MG ，AE =DG =12AB ，根据三角形中位线定理得到MN =12FG ，由勾股定理求出FG 即可得到MN ．【详解】解：连接AM ，延长AM 交CD 于G ，连接FG ，∵四边形ABCD 是正方形，∴AB =CD =BCAB ∥CD ，∠C =90°，∴∠AEM =∠GDM ，∠EAM =∠DGM ，∵M 为DE 的中点，∴ME =MD ，在△AEM 和GDM 中，EAM DGM AEM GDM ME MD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△AEM ≌△GDM （AAS ），∴AM =MG ，AE =DG =12AB =12CD ， ∴CG =12CD∵点N 为AF 的中点，∴MN =12FG ， ∵F 为BC 的中点，∴CF =12BC∴FG ，∴MN =1，故答案为：1．【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质和判定，勾股定理，三角形的中位线定理，正确作出辅助线且证出AM =MG 是解决问题的关键．3、16【解析】略4【解析】【分析】由BE ⊥AC ，D 为AB 中点，52DE =，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，即可求得AB 的长，然后由勾股定理求得BC 的长．【详解】解：∵BE ⊥AC ，∴∠AEB ＝90°，∵D 为AB 中点，AB AC =∴AB ＝AC =2DE ＝2×52＝5， ∵AE ＝4，∴BE ，CE =AC -AE =1，∴BC【点睛】此题考查了直角三角形斜边上的中线的性质以及勾股定理．注意掌握直角三角形斜边的中线等于斜边的一半定理的应用是解此题的关键．5、()12,21n n --【解析】【分析】根据一次函数图象上点的坐标特征结合正方形的性质可得出点A 1、B 1的坐标，同理可得出A 2、A 3、A 4、A 5、…及B 2、B 3、B 4、B 5、…的坐标，根据点的坐标的变化可找出变化规律“Bn （2n -1，2n -1）（n 为正整数）”，依此规律即可得出结论．【详解】解：当y =0时，有x -1=0，解得：x =1，∴点A 1的坐标为（1，0）．∵四边形A 1B 1C 1O 为正方形，∴点B 1的坐标为（1，1）．同理，可得出：A 2（2，1），A 3（4，3），A 4（8，7），A 5（16，15），…，∴B 2（2，3），B 3（4，7），B 4（8，15），B 5（16，31），…，∴Bn （2n -1，2n -1）（n 为正整数），故答案为：()12,21n n --【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、正方形的性质以及规律型：点的坐标，根据点的坐标的变化找出变化规律“Bn （2n -1，2n -1）（n 为正整数）”是解题的关键．三、解答题1、 (1)见解析；(2)AE DF =，AE DF ⊥，见解析【解析】【分析】（1）根据题意作出ADF BAE =∠∠即可；（2）证明ABE DAF △≌△即可得结论．(1)如图，ADF ∠即为所求．(2)AE DF =，AE DF ⊥．∵四边形ABCD 是正方形，∴90ABC DAB ∠=∠=︒，AD AB =．在ABE △和DAF △中，ADF BAE ABC DAB AD AB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ABE DAF △≌△（AAS ），∴AE DF =．∵90ADF DFA ∠+∠=︒，ADF BAE =∠∠．∴90BAE DFA ∠+∠=︒，即AE DF ⊥．【点睛】本题考查了正方形的性质，三角形全等的性质与判定，作一个角等于已知角，掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．2、见解析．【解析】【分析】利用正方形的性质可证明△ABE ≌△ADF ，可得AE ＝AF ．【详解】证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴AB ＝AD ，∠B ＝∠D ＝90°，∵BE ＝DF ，在Rt△ABE 与Rt△ADF 中，AB AD B D BE DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴Rt△ABE ≌Rt△ADF （SAS ），∴AE ＝AF ．【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，掌握正方形的性质是解题的关键．3、 (1)见解析(2) (3)224AD AB n= 【解析】【分析】（1）由折叠得AE GE =，由中点得AE DE =，由此得到结论；（2）连接EF ，依据DF 2CF =，求出DF 、CF ，根据长方形的性质得到9AB DC ==，由△ABE ≌△GBE ，得到9BG AB ==，证明Rt △EGF ≌Rt △EDF (HL )，得到6GF DF ==．由勾股定理求出BC 即可得到AD ；（3）设DF a =，则AB DC n DF na ==⋅=，得到()1BF BG GF na a n a =+=+=+，由勾股定理求出2BC ，再求出2224AD BC na ==，即可得到答案．(1)证明∵GBE 是由ABE △折叠而成，∴△ABE ≌△GBE ，∴AE GE =，∵E 是AD 的中点，∴AE DE =，∴GE DE =；(2)解：连接EF ，∵DF 2CF =， ∴229633DF DC ==⨯=， ∴963CF DC DF =-=-=．∵四边形ABCD 是长方形，∴AD BC =，9AB DC ==，90A C D ∠=∠=∠=︒．∵△ABE ≌△GBE ，∴9BG AB ==，90A BGE FGE ∠=∠=∠=︒．在Rt EGF 和Rt EDF 中，∵GE DE =，EF EF =∴Rt △EGF ≌Rt △EDF (HL )，∴6GF DF ==．∴9615BF BG GF =+=+=，在Rt BCF 中，∵15BF =，3CF =，∴BC∴AD BC ==＝．(3)解：设DF a =，则AB DC n DF na ==⋅=，∴()1CF DC DF na a n a =-=-=-，又∵BG AB na ==，GF DF a ==，∴()1BF BG GF na a n a =+=+=+，在Rt BCF 中，∵()1BF n a =+，()1CF n a =-，∴ ()()22222222114BC BF CF n a n a na =-=+--=，∴ 2224AD BC na ==， ∴2222244AD na AB n a n ==．【点睛】此题考查了矩形与折叠，全等三角形的判定及性质，勾股定理求线段长，解题的关键是掌握各知识点，考查分析问题能力及推理论证能力．4、 (1)见解析(2)当∠FGC =2∠EFB 时，四边形AEFG 是矩形，理由见解析【解析】【分析】（1）要证明该四边形是平行四边形，只需证明AE ∥FG ．根据对边对等角∠GFC =∠C ，则∠B =∠GFC ，得到AE ∥FG ．（2）在平行四边形的基础上要证明是矩形，只需证明有一个角是直角．根据三角形FGC 的内角和是180°，添加∠FGC =2∠EFB ，可得到∠BFE +GFC =90°．则∠EFG =90°．(1)证明：在四边形ABCD中，∠B=∠C，∵GF=GC，∴∠C=∠GFC，∠B=∠GFC，∴AB∥GF，即AE∥GF，∵AE=GF，∴四边形AEFG是平行四边形．(2)解：当∠FGC=2∠EFB时，四边形AEFG是矩形；∵∠FGC+∠GFC+∠C=180°，∠GFC=∠C，∠FGC=2∠EFB，∴2∠GFC+2∠EFB=180°，∴∠BFE+∠GFC=90°．∴∠EFG=90°．∵四边形AEFG是平行四边形，∴四边形AEFG是矩形．【点睛】本题考查了平行四边形的判定，矩形的判定，熟练掌握矩形的判定是解题的关键．5、 (1)R，S(2)3-或5(3)3-≤b≤0或5≤b≤8【解析】【分析】（1）由A（1，4）、B（2，0）、R（1，-4）、S（3，4），可判断点B在AR的垂直平分线上，也在AS 的垂直平分线上，由“相关菱形”的定义，可判断点R、S能成为点A、B的“相关菱形”的顶点；（2）作点A关于x轴的对称点E，连接AE交x轴于点N，由“相关菱形”的定义和正方形的性质，可得BN=AN=4，然后按点B在AE左侧及点B在AE右侧，分点求出b的值；（3）分别作点A、C、M关于x轴的对称点A′、C′、F，连接AA′、CC′、AF分别交x轴于点G、H、Q，当点Q与点G重合时，b的值最小；当点Q与点H重合时，b的值最大；由“相关菱形”的定义和正方形的性质，可得BQ=MQ=4，按点B在AF左侧及点B在AF右侧分别列出不等式组求出b的取值范围．(1)解：当b=2时，则B（2，0）.如图1、图2，连接AR、AS，∵A（1，4）、B（2，0）、R（1，-4）、T（3，4），∴点B在AR的垂直平分线上，点B也在AS的垂直平分线上，∴点R、S能成为点A、B的“相关菱形”的顶点．故答案为：R，S．(2)解：过点A作AH垂直x轴于H点．∵ 点A，B的“相关菱形”为正方形，∴ △ABH为等腰直角三角形．∵ A（1，4），∴ BH=AH=4．∴b =3 或5．(3)解：如图4，作分别作点A、C、M关于x轴的对称点A′、C′、F，连接AA′交x轴于点G，连接CC′交x轴于点H，则G（1，0）、H（4，0）；连接MF交x轴于点Q，∵点M、B的“相关菱形”为正方形，∴BQ=MQ=4．当点B在MF左侧时，则Q（b+4，0），由题意，得1≤b+4≤4，解得-3≤b≤0；当点B在MF右侧时，则Q（b-4，0），由题意，得1≤b-4≤4，解得5≤b≤8．综上所述，b的取值范围是-3≤b≤0或5≤b≤8．3 ≤b≤0或5≤b≤8．【点睛】此题考查菱形了的判定与性质、正方形的判定与性质、一元一次不等式组的应用、图形与坐标等知识，解题的关键是正确地画出图形并且能综合运用有关知识和方法；涉及求点的坐标及动点的坐标的取值范围，要分类讨论，求出所有符合条件的值和取值范围，以免丢解．。

2022年强化训练鲁教版(五四制)八年级数学下册第六章特殊平行四边形综合训练试题(含答案解析)

鲁教版（五四制）八年级数学下册第六章特殊平行四边形综合训练考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、一块含45°角的直角三角板和一把直尺按如图所示方式放置，直尺的一边EF与直角三角板的斜边AB位于同一直线上，DE＞AB．开始时，点E与点A重合，直角三角板固定不动，然后将直尺沿AB 方向平移，直到点F与点B重合时停止．设直尺平移的距离AE的长为x，边AC和BC被直尺覆盖部分的总长度为y，则y关于x的函数图象大致是（）A．B．C．D．2、下列四个命题中，真命题是（）A．对角线互相平分的四边形是平行四边形B．对角线互相垂直的四边形是菱形C．以一条对角线为对称轴的四边形是菱形D．对角线相等的四边形是矩形AB的长为半径作弧，两弧相3、如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，分别以点A和B为圆心，以大于12交于点M和N，作直线MN交AB于点D，交BC于点E，连接CD，若∠CDE＝1∠B，则∠A等于2（）A．36°B．40°C．48°D．54°4、下列选项中，不能被边长为2的正方形及其内部所覆盖的图形是（）A．长度为B．边长为2的等边三角形C．斜边为2的直角三角形D．面积为4的菱形5、如图，已知正方形ABCD的边长为6，点E，F分别在边AB，BC上，BE＝CF＝2，CE与DF交于点H，点G为DE的中点，连接GH，则GH的长为（）A B C．4.5 D．4.36、如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，以点O为顶点的正方形OEGF的两边OE，OF分别交正方形ABCD 的两边AB ，BC 于点M ，N ，记AOM 的面积为1S ，CON 的面积为2S ，若正方形的边长10AB =，116S =，则2S 的大小为（）A ．6B ．7C ．8D ．97、如图，在正方形ABCD 中，点E 、点F 分别在AD 、CD 上，且AE ＝DF ，若四边形OEDF 的面积是1，OA 的长为1，则正方形的边长AB 为（）A ．1B ．2CD ．8、在Rt ABC △中，CD 是斜边AB 上的中线，则以下判断正确的是（）A ．2BC CD =B ．2CD AB =C ．2AC CD = D ．CD BD =9、如图，长方形OABC 中，点A 在y 轴上，点C 在x 轴上．4OA BC ==，8AB OC ==．点D 在边AB 上，点E 在边OC 上，将长方形沿直线DE 折叠，使点B 与点O 重合．则点D 的坐标为（）A ．()4,4B ．()5,4C ．()3,4D ．()6,410、将图1所示的长方形纸片对折后得到图2，图2再对折后得到图3，沿图3中的虚线剪下并展开，所得的四边形是（）A ．矩形B ．菱形C ．正方形D ．梯形第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、已知：如图，ABC 的两条高AD 与CE 相交于点F ，G 为BC 上一点，连接AG 交CE 于点H ，且AB AG =，若2CHG ADE ∠=∠，23DF AF =，152ACG S =，则线段AD 的长为_______．2、矩形的性质定理1：矩形的四个角都是________．符号语言：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°．矩形的性质定理2：矩形的对角线________．符号语言：∵四边形ABCD是矩形，∴AC＝BD．3、正方形的边长与它的对角线的长度的比值为_____．4、有一组邻边相等的平行四边形是________ ．菱形的性质：（1）两组对边分别________，菱形的四条边都________；（2）菱形的两组对角________，邻角________；（3）菱形的对角线互相________，并且每一条对角线________一组对角．5、直角三角形两直角边长分别为5cm和12cm，则斜边上的中线长为_____cm．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、在△ABC中，BC=AC，∠C=90°，D是BC边上一个动点（不与点B，C重合），连接AD，以AD为边作正方形ADEF（点E，F都在直线BC的上方），连接BE．(1)根据题意补全图形，并证明∠CAD=∠BDE；(2)用等式表示线段CD与BE的数量关系，并证明；(3)用等式表示线段AD，AB，BE之间的数量关系（直接写出）．2、如图，△ABC中，∠C＝90°．(1)尺规作图：作边BC的垂直平分线，与边BC，AB分别交于点D和点E；（保留作图痕迹，不要求写作法）(2)若点E是边AB的中点，AC＝BE，求证：△ACE是等边三角形．3、如图，在正方形ABCD中，E、F、G分别是AB、BC、CD边上的点，AF和EG交于点H．现在提供三个关系：①AF⊥EG；②AH＝HF；③AF＝EG．(1)从三个关系中选择一个作为条件，一个作为结论，形成一个真命题．写出该命题并证明；(2)若AB＝3，EG垂直平分AF，设BF＝n．①求EH ：HG 的值（含n 的代数式表示）；②连接FG ，点P 在FG 上，当四边形CPHF 是菱形时，求n 的值．4、如图，四边形ABCD 是平行四边形，O 是对角线AC 的中点，过点O 的直线分别交边BC ，AD 于点E ，F ，连结AE ，CF ．(1)求证：△AOF ≌△COE ；(2)当∠OAF ＝∠OFA 时，求证：四边形AECF 是矩形．5、将线段AB 绕点A 逆时针旋转60︒得到线段AC ，继续旋转(0120)αα︒<<︒得到线段AD ，连接CD ．(1)连接BD ．①如图①，若80α=︒，则BDC ∠的度数为；②在第二次旋转过程中，请探究BDC ∠的大小是否改变．若不变，求出BDC ∠的度数；若改变，请说明理由．(2)如图②．以AB 为斜边作Rt ABE ∆，使得B ACD ∠=∠，连接CE ，DE ．且CE DE ⊥．试猜想线段AB ，CD 之间的数量关系，写出结论并给予证明．-参考答案-一、单选题1、A【解析】【分析】根据直尺的平移可知，共分三个阶段，利用等腰直角三角形的性质求解即可．【详解】解：根据直尺的平移可知，共分三个阶段，分别如下图所示：如图①，设DE 、GF 与AC 的交点分别为M 、P ，作MN GF ⊥，由此可得四边形MNFE 为矩形，则MN EF =，45CMN A ∠=∠=︒，则MNP △为等腰直角三角形由勾股定理可得：MP =即y ==，如图②，设DE 与AC 的交点分别为M ，GF 与BC 的交点为点Q ，作MN GF ⊥，延长MC 交GF 于点P ，由此可得，四边形MNFE 为矩形，则MN EF =，45CMN A ∠=∠=︒，则MNP △、CPQ 为等腰直角三角形，=，MP==则CP CQ所以，y MC CQ MP=+===如图③，由图①可得y==，即y不随x的变化，不变，故选：A．【点睛】此题考查了动点问题的函数图像，涉及了勾股定理、矩形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握并灵活运用相关性质进行求解．2、A【解析】【分析】根据平行四边形、菱形、矩形的判定定理即可判断．【详解】解：A、对角线互相平分的四边形是平行四边形，故原命题是真命题；B、对角线互相垂直的平行四边形才是菱形，故原命题是假命题；C、以两条对角线为对称轴的四边形是菱形，以一条对角线为对称轴的四边形可能是“筝”形，故原命题是假命题；D、对角线相等的平行四边形才是矩形，故原命题是假命题；故选：A．【点睛】本题考查平行四边形、菱形、矩形的判定，掌握平行四边形、菱形、矩形的判定定理是解题的关键．3、D【解析】【分析】根据线段垂直平分线的性质得到∠BDE=∠ADE＝90°，AD＝BD，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，CD＝BD＝AD=12AB，由等边对等角可得∠B＝∠DCE，∠A＝∠ACD，设∠CDE＝x,则∠B＝∠DCE=2x，∠ADC=90°-x，∠A=45°+12x，由直角三角形两锐角互余得45°+12x+2x=90°，解得x值，即可求解.【详解】解：由题意可知：MN为AB的垂直平分线，∴∠BDE=∠ADE＝90°，AD＝BD，∵∠ACB＝90°，∴CD＝BD＝AD=12AB，∴∠B＝∠DCE，∠A＝∠ACD，设∠CDE＝x,则∠B＝∠DCE=2x，∠ADC=90°-x，∴∠A=12（180°-∠ADC）=45°+12x，∴∠A+∠B＝45°+12x+2x=90°，解得：x=18°，∴∠A=45°+12x=54°，故选：D．【点睛】此题考查了直角三角形斜边上的中线、线段垂直平分线的性质、三角形外角的性质及等腰三角形的性质，注意垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．4、D【解析】【分析】先计算出正方形的对角线长，即可逐项进行判定求解．【详解】解：A、正方形的边长为2，∴对角线长为∴长度为2的正方形及其内部所覆盖，故A不符合题意；B、边长为2的等边三角形能被边长为2的正方形及其内部所覆盖，故B不符合题意；C、斜边为2的直角三角形能被边长为2的正方形及其内部所覆盖，故C不符合题意；D、而面积为4的菱形对角线长可以为8，故不能被边长为2的正方形及其内部所覆盖，故D符合题意，故选：D．【点睛】本题主要考查正方形的性质，等边三角形的性质，菱形的性质等知识，解题的关键是掌握相关图形的特征进行判断．5、A【解析】【分析】根据正方形的四条边都相等可得BC＝DC，每一个角都是直角可得∠B＝∠DCF＝90°，然后利用“边DE，利角边”证明△CBE≌△DCF，得∠BCE＝∠CDF，进一步得∠DHC＝∠DHE＝90°，从而知GH＝12用勾股定理求出DE的长即可得出答案．【详解】解：∵四边形ABCD 为正方形，∴∠B ＝∠DCF ＝90°，BC ＝DC ，在△CBE 和△DCF 中，BC CC B DCF BE CF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△CBE ≌△DCF （SAS ），∴∠BCE ＝∠CDF ，∵∠BCE +∠DCH ＝90°，∴∠CDF +∠DCH ＝90°，∴∠DHC ＝∠DHE ＝90°，∵点G 为DE 的中点，∴GH ＝12DE ，∵AD ＝AB ＝6，AE ＝AB ﹣BE ＝6﹣2＝4，∴DE === ∴GH故选A ．【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，直角三角形斜边上的中线，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．6、D【解析】【分析】由题意依据全等三角形的判定得出△BOM ≌△CON ，进而根据正方形的性质即可得出2S 的大小.【详解】解：∵正方形ABCD 的对角线AC ，BD 交于点O ，∴OC =OD =BO =AO ，∠ABO =∠ACB =45°，AC ⊥BD ．∵∠MOB +∠BON =90°，∠BON +∠CON =90°∴∠BOM =∠CON ，且OC =OB ，∠ABO =∠ACB =45°，∴△BOM ≌△CON （ASA ），2S =S △BOM ，∴121BOM AOB S S S S S ==++，∵AOB S =14S 正方形ABCD ，正方形的边长10AB =，116S =， ∴2S =14S 正方形ABCD -1S =110101694⨯⨯-=. 故选：D.【点睛】本题考查正方形的性质以及全等三角形的判定和性质等知识，灵活运用这些性质进行推理是解答本题的关键．7、C【解析】【分析】根据正方形的性质得到AB =AD ，∠BAE =∠ADF =90°，根据全等三角形的性质得到∠ABE =∠DAF ，求得∠AOB =90°，根据三角形的面积公式得到OA =1，由勾股定理即可得到答案．【详解】解：∵四边形ABCD 是正方形，∴AB =AD ，∠BAE =∠ADF =90°，在△ABE 与△DAF 中，AB AD BAE ADF AE DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ABE ≌△DAF （SAS ），∴∠ABE =∠DAF ，∴∠ABE +∠BAO =∠DAF +∠BAO =90°，∴∠AOB =90°，∵△ABE ≌△DAF ，∴S △ABE =S △DAF ，∴S △ABE -S △AOE =S △DAF -S △AOE ，即S △ABO =S 四边形OEDF =1，∵OA =1，∴BO =2，∴AB故选：C ．【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，证得△ABE ≌△DAF 是解题的关键．8、D【解析】【分析】直接利用直角三角形的性质得出斜边长即可．【详解】解：在Rt ABC中，CD是斜边AB上的中线，∴=，AD BDAB CD2=，∴=，CD BD故选：D．【点睛】本题主要考查直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握直角三角形斜边上的中线的性质．9、C【解析】【分析】设AD=x，在Rt△OAD中，据勾股定理列方程求出x，即可求出点D的坐标．【详解】解：设AD=x，由折叠的性质可知，OD=BD=8-x，在Rt△OAD中，∵OA2+AD2=OD2，∴42+x2=(8-x)2，∴x=3，3,4，∴D()故选C．【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，以及折叠的性质，熟练掌握勾股定理是解答本题的关键．直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方．10、B【解析】【分析】根据操作过程可还原展开后的纸片形状，并判断其属于什么图形．【详解】展得到的图形如上图，由操作过程可知：AB=CD，BC=AD，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AC⊥BD，∴四边形ABCD为菱形，故选：B．【点睛】本题考查平行四边形的判定，和菱形的判定，拥有良好的空间想象能力是解决本题的关键．二、填空题1、52、直角相等【解析】略3【解析】【分析】由正方形的性质得出AB BC CD AD ===，AC BD =，90ABC ∠=︒，由勾股定理求出AC =，即可得出正方形的边长与对角线长的比值．【详解】解：四边形ABCD 是正方形，AB BC CD AD ∴===，AC BD =，90ABC ∠=︒，AC ∴，∴AB AC =；【点睛】本题考查了正方形的性质、勾股定理；熟练掌握正方形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．4、菱形平行相等相等互补垂直平分【解析】略5、13 2【解析】【分析】根据勾股定理先计算斜边长，根据直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，计算中线的长．【详解】∵直角三角形两直角边长分别为5cm和12cm，13=，∴斜边上的中线长为132cm，故答案为：132．【点睛】本题考查了勾股定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，计算斜边长是解题的关键．三、解答题1、 (1)见解析(2)BE=，证明见解析(3)2222AB BE AD+=【解析】【分析】（1）证明∠CAD和∠BDE都与∠ADC互余即可；（2）过E作EG⊥CB于G，利用△ACD≌△DGE可得CD＝EG，AC＝DG，从而可证明△BGE是等腰直角三角形，即可得到BE；（3）由AB2＝AC2＋BC2＝2AC2，AC2＝AD2−CD2可得AB2＝2（AD2−CD2），再根据BE即可得到线段AD，AB，BE之间的数量关系．(1)解：（1）补全图形如图所示．证明：∵正方形ADEF，∴∠ADE＝90°，∴∠BDE＝180°−∠ADE−∠ADC＝90°−∠ADC，∵∠C＝90°，∴∠CAD＝90°−∠ADC，∴∠CAD＝∠BDE；(2)解：BE ．证明：过E作EG⊥CB于G，如图：∵四边形ADEF 是正方形， ∴AD ＝DE ，∵EG ⊥CB ，∴∠G ＝90°＝∠C ，在△ACD 和△DGE 中， C D CAD GDE AD DE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ACD ≌△DGE （AAS ）， ∴CD ＝EG ，AC ＝DG ， ∵AC ＝BC ，∴DG ＝BC ，∴DG −DB ＝BC −DB ，即BG ＝CD ， ∴BG ＝EG ，∴△BGE 是等腰直角三角形， ∴BEBG ，∴BECD ；(3)解：222AB BE AD+=．理由如下：2∵∠C＝90°，AC＝BC，∴AB2＝AC2＋BC2＝2AC2，AC2＝AD2−CD2，∴AB2＝2（AD2−CD2），而BE，BE2，∴CD2＝12∴AB2＝2（AD2−12BE2），即AB2＝2AD2−BE2．【点睛】本题考查等腰直角三角形、正方形、全等三角形的性质及应用，解题的关键是构造全等三角形，熟练掌握勾股定理的应用．2、 (1)见解析(2)见解析【解析】【分析】（1）根据题意作出线段BC的垂直平分线即可；（2）根据直角三角形的性质和等边三角形的判定定理即可得到结论．(1)解：如图所示，直线DE即为所求；，(2)证明：∵∠ACB =90°，点E 是边AB 的中点，∴AE =BE =CE =12AB ， ∵AC =BE ，∴AC =AE =CE ，∴△ACE 是等边三角形．【点睛】本题考查了作图-基本作图，等边三角形的判定，熟练掌握等边三角形的判定定理是解题的关键．3、 (1)见解析(2)①6n n-【解析】【分析】（1）过点作DP AF ⊥交AB 于点P ，先证四边形DGEP 是平行四边形，得DP EG =，再由ASA 证ABF DAP ∆≅∆，得AF DP =，即可得出结论；（2）①过点H 作AD 的平行线交AB 于N ，交CD 于Q ，则3NQ AD AB ===，::EH HG NH HQ =，证NH 是ABF ∆的中位线，得1122NH BF n ==，则132HQ n =-，即可得出答案；②先由菱形的性质得3HF FC n ==-，再证262AF AH n ==-，在Rt ABF 中，由勾股定理得出方程，解方程即可．(1)解：在正方形ABCD 中，E 、F 、G 分别是AB 、BC 、CD 边上的点，AF 和EG 交于点H ，且AF EG ⊥；求证：AF EG =．证明：过点D 作DP AF ⊥交AB 于点P ，如图1所示：则90ADP DAF ∠+∠=︒．AF EG ⊥，//DP EG ∴，四边形ABCD 是正方形，90B BAD BAF DAF ∴∠=∠=∠+∠=︒，AB AD =，//AB CD ，ABF ADP ∴∠=∠，四边形DGEP 是平行四边形，DP EG ∴=，在ABF ∆与DAP ∆中，BAF ADP AB DA B DAP ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ()ABF DAP ASA ∴∆≅∆，AF DP ∴=，AF EG ∴=；(2)解：①过点H 作AD 的平行线交AB 于N ，交CD 于Q ，如图2所示：则3NQ AD AB ===，::EH HG NH HQ =， EG 垂直平分AF ，N ∴、H 分别为AB 、AF 的中点，NH ∴是ABF ∆的中位线，1122NH BF n ∴==， 132HQ n ∴=-， 12::1632n n EH HG NH HQ n n ∴===--； ②如图3所示：四边形CPHF 是菱形，3HF FC n ∴==-， EG 垂直平分AF ，3AH HF n ∴==-，262AF AH n ∴==-，在Rt ABF 中，由勾股定理得：222AB BF AF +=，即2223(62)n n +=-，解得：4n =4n =，4n ∴= 【点睛】本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、菱形的性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、三角形中位线定理、平行线分线段成比例定理等知识；本题综合性强，解题的关键是熟练掌握正方形的性质和菱形的性质．4、 (1)见解析；(2)见解析【解析】【分析】（1）根据四边形ABCD 为平行四边形形，可得//AD BC ，所以FAC ECA ∠=∠，∠=∠AFE CEF ，再根据O 是对角线AC 的中点，可得OA OC =，进而证明AOF COE ∆≅∆；（2）根据矩形的判定可得出答案．(1) 解：证明：四边形ABCD 为平行四边形，//AD BC ∴，FAC ECA ∴∠=∠，∠=∠AFE CEF ， O 是对角线AC 的中点，OA OC ∴=，在AOF ∆和COE ∆中，FAC ECA AFE CEF OA OC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ()AOF COE AAS ∴∆≅∆；(2)解：证明：OAF OFA ∠=∠，OA OF ∴=，AOF COE ∆≅∆，OE OF ∴=，OA OC =，∴四边形AECF 为平行四边形，AC EF =，∴四边形AECF 为矩形．【点睛】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质，解题的关键是综合运用三角形和四边形的知识．5、 (1)①30°，②不变，30°(2)CD =，见解析【解析】【分析】（1）①先推出∠ADC ＝50°，在推出∠ADB ＝20°，从而得出结果；②同理①由AC ＝AD 推出∠ADC ＝90°−2α，由AB ＝AD 推出∠ADB ＝60°−2α，进而推出结果；（2）作AF ⊥CD 于F ，推出△ABE ≌△ACF ，进而得出△AEF 是等边三角形，再推出△ABE 是等腰直角三角形，进而得出关系．(1)解：①AC AD =，1801808022CAD ADC C ︒-∠︒-︒∴∠=∠==50=︒， AB AD =，180********BAD ADB B ︒-∠︒-︒∴∠=∠==20=︒， 5020BDC ADC ABD ∴∠=∠-∠=︒-︒30=︒，故答案是30；②不变，理由如下：AC AD =，180********CAD ADC C αα︒-∠︒-∴∠=∠===︒-， AB AD =，()180606022ADB B αα︒-︒+∴∠=∠==︒-，906022BDC ADC ABD αα⎛⎫∴∠=∠-∠=︒--︒- ⎪⎝⎭30=︒， (2)CD =，理由如下：如图，作AF CD ⊥于F ，AC AD =，CF DF ∴=，CE DE ⊥，90CED ∴∠=︒，12EF CF CD ∴==， AB AC =，B ACD ∠=∠，90BEA AFC ∠=∠=︒，()ΔΔABE ACF AAS ∴≅，BE CF ∴=，AE AF =，BAE CAF ∠=∠，CAF CAE BAE CAE ∴∠+∠=∠+∠即60EAF BAC ∠=∠=︒，ΔAEF ∴是等边三角形，AE EF ∴=，BE AE ∴=，ABE ∴∆是等腰直角三角形，45ADF ACF B ∴∠=∠=∠=︒，ACD ∴∆是等腰直角三角形，∴==．CD【点睛】本题考查了旋转性质，等边三角形性质，等腰直角三角形性质，直角三角形性质，全等三角形判定和性质等知识，解决问题的关键是找出题目中线段间的关系．。

达标测试鲁教版(五四制)八年级数学下册第六章特殊平行四边形专项训练试题(含答案及详细解析)

鲁教版（五四制）八年级数学下册第六章特殊平行四边形专项训练考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I 卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、下列关于ABCD 的叙述，正确的是（）A ．若AC BD =，则ABCD 是矩形B ．若AB AD =，则ABCD 是正方形C ．若AB BC ⊥，则ABCD 是菱形 D ．若AC BD ⊥，则ABCD 是正方形2、如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，BD ＝CD ，点E 为AC 的中点，连接DE ，若△ABC 的周长为20cm ，则△CDE 的周长为（）A ．10 cmB ．12 cmC ．14 cmD ．16 cm3、下列命题正确的是（）A ．若a b =，则33a b =B ．四条边相等的四边形是正四边形C ．有一组邻边相等的平行四边形是矩形D ．如果2a ab =，则a b =4、在四边形ABCD 中，对角线AC ，BD 互相平分，若添加一个条件使得四边形ABCD 是菱形，则这个条件可以是（）A ．∠ABC ＝90°B ．AC ⊥BD C ．AB ＝CD D ．AB ∥CD5、在矩形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，且∠AOD ＝120°．若AB ＝3，则BC 的长为( )A B ．3 C ．D ．66、已知四边形ABCD 是平行四边形，下列结论：①当AB ＝BC 时，它是菱形；②当AC ⊥BD 时，它是菱形；③当∠ABC ＝90°时，它是矩形；④当AC ＝BD 时，它是正方形，其中错误的有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个7、如图，在MON ∠的两边上分别截取OA ，OB ，使OA OB =；再分别以点A ，B 为圆心，OA 长为半径作弧，两弧交于点C ；再连接AC ，BC ，AB ，OC ．若2AB =，4OC =，则四边形AOBC 的面积是（）A ．B ．8C ．4D ．528、如图，点A ，B ，C 在同一直线上，且23AB AC =，点D ，E 分别是AB ，BC 的中点．分别以AB ，DE ，BC 为边，在AC 同侧作三个正方形，得到三个平行四边形（阴影部分）的面积分别记作1S ，2S ，3S ，若1S 23S S +等于（）A B C D 9、如图，将矩形纸片ABCD 沿EF 折叠，使点A 恰好与点C 重合，点B 的对应点为点B ′，若DC ＝4，AF ＝5，则BC 的长为（）A ．B ．C ．10D ．810、将一长方形纸条按如图所示折叠，255∠=︒，则1∠=（）A ．55°B ．70°C ．110°D ．60°第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、如图，将边长为2的正方形OABC 放在平面直角坐标系中，O 是原点，点A 的横坐标为1，则点C 的坐标为______．2、（1）有一个角是直角的_______是矩形．几何语言：∵四边形ABCD 是平行四边形，∠A ＝90°，∴四边形ABCD 是矩形．（2）_______相等的平行四边形是矩形．几何语言：∵ 四边形ABCD 是平行四边形，AC ＝BD （或OA ＝OC ＝OB ＝OD ），∴四边形ABCD 是矩形．（3）有三个角是_______的四边形是矩形．几何语言：∵ ∠A ＝∠B ＝∠C ＝90°，∴四边形ABCD 是矩形．3、如图，在ABC 中，16AB AC ==，8BC =，BE 是高，且点D ，F 分别是边AB ，BC 的中点，则DEF 的周长等于______．4、如图，在矩形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，若∠AOB =60°，AB =4cm ，则AC 的长为______cm ．5、如图，正方形ABCD 和正方形DEFG 的边长分别为3和2，点E 、G 分别为AD CD 、边上的点，H 为BF 的中点，连接HG ，则HG 的长为____________．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、已知：如图，在▱ABCD 中，AE ⊥BC ，CF AD ⊥，点E ，F 分别为垂足．(1)求证：△ABE ≌△CDF ；(2)求证：四边形AECF 是矩形．2、如图，在ABC 中，点D 、E 分别是边BC AC 、的中点，过点A 作AF BC ∥交DE 的延长线于F 点，连接AD CF 、，过点D 作DG CF ⊥于点G ．(1)求证：四边形ADCF 是平行四边形：(2)若3,5AB BC ==．①当AC =___________时，四边形ADCF 是矩形；②若四边形ADCF 是菱形，则DG =________．3、如图，在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，AD//BC(1)在图中，用尺规作线段BD 的垂直平分线EF ，分别交BD 、BC 于点E 、F ．（保留作图痕迹，不写作法）(2)连接DF ，证明四边形ABFD 为菱形．4、如图．菱形ABCD 的对角线AC ，BD 交于点O ．尺规作图：过点A 作直线BC 的垂线（不写作法和证明，保留作图痕迹）．该垂线与BC 交于点E ，F 为AD 边上一点，DF =AE ，连接OF ，若OD =2AO ，请猜想CE 与OF 的数量关系，并证明你的猜想．5、将线段AB 绕点A 逆时针旋转60︒得到线段AC ，继续旋转(0120)αα︒<<︒得到线段AD ，连接CD ．(1)连接BD ．①如图①，若80α=︒，则BDC ∠的度数为；②在第二次旋转过程中，请探究BDC ∠的大小是否改变．若不变，求出BDC ∠的度数；若改变，请说明理由．(2)如图②．以AB 为斜边作Rt ABE ∆，使得B ACD ∠=∠，连接CE ，DE ．且CE DE ⊥．试猜想线段AB ，CD 之间的数量关系，写出结论并给予证明．-参考答案-一、单选题1、A【解析】【分析】由菱形的判定方法、矩形的判定方法、正方形的判定方法得出选项A 、B 、D 错误，C 正确；即可得出结论．【详解】解：ABCD 中，AC BD =，∴四边形ABCD 是矩形，选项A 符合题意； ABCD 中，AB AD =，∴四边形ABCD 是菱形，不一定是正方形，选项B 不符合题意；⊥，ABCD中，AB BC∴四边形ABCD是矩形，不一定是菱形，选项C不符合题意；⊥，ABCD中，AC BD∴四边形ABCD是菱形，选项D不符合题意；故选：A．【点睛】本题考查了平行四边形的性质、菱形的判定方法、矩形的判定方法、正方形的判定方法；熟练掌握矩形、菱形、正方形的判定方法是解决问题的关键．2、A【解析】【分析】根据三角形中位线定理求出DE，根据三角形的周长公式计算，得到答案．【详解】解：∵点E为AC的中点，∴AE=CE，∵BD＝CD，AB，∴DE=12∵△ABC的周长为20，即AB+BC+AC=20cm，（AB+BC+AC）=10cm，∴△CDE的周长＝DE＋CD＋CE＝12故选：A．【点睛】本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．3、A【解析】【分析】利用等式的性质以及矩形、正方形、菱形的判定方法分别判断后即可确定正确的选项．【详解】解：A 、若a b =，则33a b =，故此命题正确；B 、四条边相等的四边形是菱形，故原命题不正确；C 、有一组邻边相等的平行四边形是菱形，故原命题不正确；D 、如果2a ab =，a ≠0时，则a b =，若0a =时，此命题不正确，故选：A ．【点睛】本题考查了命题与定理以及等式的性质等知识，解题的关键是了解矩形及菱形的判定方法．4、B【解析】略5、C【解析】【分析】根据矩形的性质和等边三角形的判定和性质，可以得到AC 的长，再根据勾股定理，即可得到BC 的长，本题得以解决．【详解】解：∵∠AOD =120°，∠AOD +∠AOB =180°，∴∠AOB=60°，∵四边形ABCD是矩形，∴OA=OB=OC，∠ABC=90°，∴△AOB是等边三角形，∴AB=OA=OC，∵AB=3，∴AC=6，∴BC=故选：C．【点睛】本题考查矩形的性质、等边三角形的判定与性质，以及勾股定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．6、A【解析】【分析】根据矩形、菱形、正方形的判定可以判断题目中的各个小题的结论是否正确，从而可以解答本题．【详解】解：四边形ABCD是平行四边形，=时，它是菱形，选项不符合题意，A、当AB BCB 、当AC BD ⊥时，它是菱形，选项不符合题意，C 、当90ABC ∠=︒时，它是矩形，选项不符合题意，D 、当AC BD =时，它是矩形，不一定是正方形，选项符合题意，故选：A ．【点睛】本题考查正方形、菱形、矩形的判定，解答本题的关键是熟练掌握矩形、菱形、正方形的判定定理．7、C【解析】【分析】根据作法判定出四边形OACB 是菱形，再根据菱形的面积等于对角线乘积的一半计算即可得解．【详解】根据作图，AC BC OA ==，∵OA OB =，∴OA OB BC AC ===，∴四边形OACB 是菱形，∵2AB =，4OC =， ∴12442OACB S =⨯⨯=菱形．故选：C ．【点睛】本题主要考查菱形的性质与判定，熟练掌握菱形的性质与判定是解题的关键．8、B【解析】【分析】设BE＝x，根据正方形的性质、平行四边形的面积公式分别表示出S1，S2，S3，根据题意计算即可．【详解】∵23AB AC=，AC AB BC=+∴AB＝2BC，又∵点D，E分别是AB，BC的中点，∴设BE＝x，则EC＝x，AD＝BD＝2x，∵四边形ABGF是正方形，∴∠ABF＝45°，∴△BDH是等腰直角三角形，∴BD＝DH＝2x，∴S1＝DH•AD2x•2x∴x2∵BD＝2x，BE＝x，∴S2＝MH•BD＝（3x−2x）•2x＝2x2，S3＝EN•BE＝x•x＝x2，∴S2＋S3＝2x2＋x2＝3x2故选：B．【点睛】本题考查的是正方形的性质、平行四边形的性质，掌握正方形的四条边相等、四个角都是90°是解题的关键．9、D【解析】【分析】由折叠得：FA＝FC＝5，∠CFE＝∠AFE，再由矩形的性质，得出△DCF是直角三角形，利用勾股定理可计算出DF点长，后可得出结论．【详解】解：由折叠得：FA＝FC＝5，∵四边形ABCD是矩形，CD＝4，∴△CDF是直角三角形，∴DF，∴BC＝AD＝AF+DF＝8；故选：D．【点睛】本题考查了矩形的性质，旋转的性质，勾股定理，熟练掌握性质，准确使用勾股定理是解题的关键．10、B【解析】【分析】从折叠图形的性质入手，结合平行线的性质求解．【详解】解：由折叠图形的性质结合平行线同位角相等可知，221180∠+∠=︒，∠=︒，255∴∠=︒．170故选：B．【点睛】本题考查折叠的性质及平行线的性质，解题的关键是结合图形灵活解决问题．二、填空题1、（1）【解析】【分析】首先过点C作CD⊥x轴于点D，过点A作AE⊥x轴于点E，易证得△AOE≌△OCD（AAS），则可得CD=OE=1，OD=AE【详解】解：过点C作CD⊥x轴于点D，过点A作AE⊥x轴于点E，则∠ODC =∠AEO =90°，∴∠OCD +∠COD =90°，∵四边形OABC 是正方形，∴OC =OA ，∠AOC =90°，∴∠COD +∠AOE =90°，∴∠OCD =∠AOE ，在△AOE 和△OCD 中，AEO ODC AOE OCD OC OA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△AOE ≌△OCD （AAS ），∴CD =OE =1，OD =AE==∴点C 的坐标为：（1）．故答案为：（1）．【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理．注意准确作出辅助线、证得△AOE ≌△OCD 是解此题的关键．2、平行四边形对角线直角【解析】略3、20【解析】【分析】由题意易AF ⊥BC ，则有90AEB CEB AFB ∠=∠=∠=︒，然后根据直角三角形斜边中线定理可得1114,8,8222EF BC DE AB DF AB ======，进而问题可求解．【详解】解：∵16AB AC ==，F 是边BC 的中点，∴AF ⊥BC ，∵BE 是高，∴90AEB CEB AFB ∠=∠=∠=︒，∵点D ，F 分别是边AB ，BC 的中点，16AB AC ==，8BC =， ∴1114,8,8222EF BC DE AB DF AB ======，∴20DEF C EF DE DF =++=；故答案为20．【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质及直角三角形斜边中线定理，熟练掌握等腰三角形的性质及直角三角形斜边中线定理是解题的关键．4、8【解析】【分析】根据矩形的性质可得三角形AOB为等边三角形，在直角三角形ABC中，根据直角三角形的两个锐角互余可得∠ACB为30°，根据30°角所对的直角边等于斜边的半径，由AB的长可得出AC的长．【详解】解：∵四边形ABCD为矩形，∴OA=OC，OB=OD，且AC=BD，∠ABC=90°，∴OA=OB=OC=OD，又∵∠AOB=60°，∴△AOB为等边三角形，∴∠BAO=60°，在直角三角形ABC中，∠ABC=90°，∠BAO=60°，∴∠ACB=30°，∵AB=4cm，则AC=2AB=8cm．故答案为：8．【点睛】本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定与性质，以及含30°角直角三角形的性质，矩形的性质有：矩形的四个角都为直角；矩形的对边平行且相等；矩形的对角线互相平分且相等，熟练掌握矩形的性质是解本题的关键．5【解析】【分析】延长GF交AB于M，过点H作HN⊥GM于N，利用三角形中位线的判定及性质求出FN、NH，再利用勾股定理求出HG的长．解：延长GF交AB于M，过点H作HN⊥GM于N，∵正方形ABCD和正方形DEFG，∴GM⊥AB，FM=3-2=1，BM=3-2=1,∴FM=BM，NH BM∥，∵H为BF的中点，∴1212 NH FN BM===，∴52 GN GF FN=+=，∴GH=，．【点睛】此题考查了正方形的性质，三角形中位线的判定及性质，勾股定理，熟练掌握各知识点是解题的关键．三、解答题1、 (1)证明见解析(2)证明见解析【解析】（1）先根据平行四边形的性质可得,AB CD B D =∠=∠，再根据垂直的定义可得90AEB CFD ∠=∠=︒，然后根据三角形全等的判定定理（AAS 定理）即可得证；（2）先根据平行四边形的性质可得AD BC ∥，再根据平行线的性质可得90EAF ∠=︒，然后根据矩形的判定即可得证．(1) 证明：四边形ABCD 是平行四边形，,AB CD B D ∴=∠=∠，,AE BC CF AD ⊥⊥，90AEB CFD ∴∠=∠=︒，在ABE △和CDF 中，90B D AEB CFD AB CD ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩， ()ABE CDF AAS ∴≅．(2)证明：,AE BC CF AD ⊥⊥，90AEC AFC ∴∠=∠=︒，四边形ABCD 是平行四边形，AD BC ∴，18090EAF AEC ∴∠=︒-∠=︒，∴在四边形AECF 中，90AEC AFC EAF ∠=∠=∠=︒，∴四边形AECF 是矩形．【点睛】本题考查了平行四边形的性质、三角形全等的判定定理、矩形的判定等知识点，熟练掌握各判定定理与性质是解题关键．2、 (1)见解析；(2)①3；②12 5【解析】【分析】（1）根据三角形中位线的性质得到DE∥AB，BD=CD，即可证得四边形ABDF是平行四边形，得到AF=BD=CD，由此得到结论；（2）①由点D、E分别是边BC、AC的中点，得到DE=12AB，由四边形ADCF是平行四边形，得到DF=2DE=AB=3，再根据矩形的性质得到AC=DF=3；②根据菱形的性质得到DF⊥AC，推出AB⊥AC，利用勾股定理求出AC，得到CE，利用面积法求出答案．(1)证明：∵点D、E分别是边BC、AC的中点，∴DE∥AB，BD=CD，∵AF BC∥，∴四边形ABDF是平行四边形，∴AF=BD=CD，∴四边形ADCF是平行四边形；(2)解：①∵点D、E分别是边BC、AC的中点，∴DE=12AB，∵四边形ADCF是平行四边形，∴DF=2DE=AB =3，∵四边形ADCF 是矩形,∴AC=DF =3，故答案为：3；②∵四边形ADCF 是菱形，∴DF ⊥AC ，∵DE ∥AB ，∴AB ⊥AC ，∴AD =12BC =2.5，4AC =∴AE=EC =2，∵DG CF ⊥ ∴1122CDF S DF CE CF DG =⨯⨯=⨯⨯ ∴32122.55DF CE DG CF ⨯⨯===，故答案为：125．【点睛】此题考查了平行四边形的判定及性质，矩形的性质，菱形的性质，三角形中位线的判定及性质，勾股定理，是一道较为综合的几何题，熟练掌握各知识点并应用是解题的关键．3、 (1)见解析(2)见解析【解析】【分析】（1）直接利用线段垂直平分线的作法得出答案；（2）结合垂直平分线的性质得出△ADE ≌△FBE ，即可得出AE =EF ，进而利用菱形的判定方法得出答案．(1)（1）如图：EF 即为所求作(2)证明：如图，连接DF ，∵AD //BC ，∴∠ADE =∠EBF ，∵AF 垂直平分BD ，∴BE =DE ．在△ADE 和△FBE 中，ADE FBE DE BEAED BEF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△ADE ≌△FBE （ASA ），∴AE =EF ，∴BD 与AF 互相垂直且平分，∴四边形ABFD 为菱形．【点睛】此题主要考查了菱形的判定以及线段垂直平分线的性质与作法，正确应用线段垂直平分线的性质是解题关键．4、CE=OF，见解析【解析】【分析】利用AAS证明△AEC≌△DFO，再利用全等三角形的性质证明即可．【详解】解：所作图形如图所示：结论：CE=OF．理由：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OA=OC，AD∥BC，∵AE⊥BC，OF⊥AD，∴AE⊥AD，∴∠AEC=∠DAE=∠AOD=∠DFO=90°，∴∠EAC+∠DAO=90°，∠FDO+∠DAO=90°，∴∠CAE=∠ODF，∵OD =2AO ，AC =2AO ，∴AC =OD ，在△AEC 和△DFO 中，AEC DFO CAE ODF AC DO ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△AEC ≌△DFO （AAS ），∴CE =OF ．【点睛】本题考查了作图-复杂作图，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．5、 (1)①30°，②不变，30°(2)CD =，见解析【解析】【分析】（1）①先推出∠ADC ＝50°，在推出∠ADB ＝20°，从而得出结果；②同理①由AC ＝AD 推出∠ADC ＝90°−2α，由AB ＝AD 推出∠ADB ＝60°−2α，进而推出结果；（2）作AF ⊥CD 于F ，推出△ABE ≌△ACF ，进而得出△AEF 是等边三角形，再推出△ABE 是等腰直角三角形，进而得出关系．(1)解：①AC AD =，1801808022CAD ADC C ︒-∠︒-︒∴∠=∠==50=︒， AB AD =，180********BAD ADB B ︒-∠︒-︒∴∠=∠==20=︒， 5020BDC ADC ABD ∴∠=∠-∠=︒-︒30=︒，故答案是30；②不变，理由如下：AC AD =，180********CAD ADC C αα︒-∠︒-∴∠=∠===︒-， AB AD =，()180606022ADB B αα︒-︒+∴∠=∠==︒-，906022BDC ADC ABD αα⎛⎫∴∠=∠-∠=︒--︒- ⎪⎝⎭30=︒， (2)CD =，理由如下：如图，作AF CD ⊥于F ，AC AD =，CF DF ∴=，CE DE ⊥，90CED ∴∠=︒，12EF CF CD ∴==， AB AC =，B ACD ∠=∠，90BEA AFC ∠=∠=︒，()ΔΔABE ACF AAS ∴≅，BE CF ∴=，AE AF =，BAE CAF ∠=∠，CAF CAE BAE CAE ∴∠+∠=∠+∠即60EAF BAC ∠=∠=︒，ΔAEF ∴是等边三角形，AE EF ∴=，BE AE ∴=，ABE ∴∆是等腰直角三角形，45ADF ACF B ∴∠=∠=∠=︒，ACD ∴∆是等腰直角三角形，CD ∴==．【点睛】本题考查了旋转性质，等边三角形性质，等腰直角三角形性质，直角三角形性质，全等三角形判定和性质等知识，解决问题的关键是找出题目中线段间的关系．。

精品试卷鲁教版(五四制)八年级数学下册第六章特殊平行四边形专项测评练习题(无超纲)

鲁教版（五四制）八年级数学下册第六章特殊平行四边形专项测评考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I 卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，分别以A 点，B 点为圆心以大于12AB 为半径画弧，两弧交于E ，F ，连接EF 交AB 于点D ，连接CD ，以C 为圆心，CD 长为半径作弧，交AC 于G 点，则:CG AB =（）A ．B ．1：2C ．D ．2、如图，在矩形纸片ABCD 中，AB =6，BC =8，点M 为AB 上一点，将△BCM 沿CM 翻折至△ECM ，ME 与AD 相交于点G ，CE 与AD 相交于点F ，且AG =GE ，则BM 的长度是（）A．185B．4 C．245D．53、若菱形的周长为8，高为2，则菱形的面积为（）A．2 B．4 C．8 D．164、如图，正方形ABCD的边长为8，对角线AC、BD相交于点G．K为AC上的一点，且CK=BK并延长交CD于点H．过点A作AE BH⊥于点E，交BD于点F，则AF的长为（）A．B．4C．D．5、已知菱形ABCD，对角线AC=6，BD=8，则菱形ABCD的面积为（）A．48 B．36 C．25 D．246、下列命题是真命题的有（）个．①一组对边相等的四边形是矩形；②两条对角线相等的四边形是矩形；③四条边都相等且对角线互相垂直的四边形是正方形；④四条边都相等的四边形是菱形；⑤一组邻边相等的矩形是正方形．A．1 B．2 C．3 D．47、如图，正方形ABCD 的两条对角线AC ，BD 相交于点O ，点E 在BD 上，且BE =AD ，则∠ACE 的度数为（）A ．22.5°B ．27.5°C ．30°D ．35°8、下列说法中正确的是（）A ．矩形的对角线平分每组对角；B ．菱形的对角线相等且互相垂直；C ．有一组邻边相等的矩形是正方形；D ．对角线互相垂直的四边形是菱形．9、矩形ABCD 的对角线交于点O ，∠AOD =120°，AO =3，则BC 的长度是（）A ．3B ．C ．D ．610、菱形ABCD 的边长为5，一条对角线长为6，则菱形面积为（）A ．20B ．24C ．30D ．48第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、长方形纸片ABCD 按图中方式折叠，其中,EF EC 为折痕，如果折叠后',',A B E 在一条直线上，那么CEF 的大小是________度．2、已知：如图，正方形ABCD中，AB=2，AC，BD相交于点O，E，F分别为边BC，CD上的动点（点E，F不与线段BC，CD的端点重合）且BE=CF，连接OE，OF，EF．在点E，F运动的过程中，有下列四个结论：①△OEF是等腰直角三角形；②△OEF面积的最小值是1；③至少存在一个△ECF，使得△ECF的周长是2④四边形OECF的面积是1．所有正确结论的序号是_________________________3、直角三角形两直角边长分别为5cm和12cm，则斜边上的中线长为_____cm．4、如图，已知正方形ABCD的边长为12，BE＝EC，将正方形边CD沿DE折叠到DF，延长EF交AB于G，连接DG，现在有如下3个结论：①△ADG≌△FDG；②GB＝2AG；③S△BEF＝725．在以上3个结论中，正确的有______．（填序号）5、如图，把一张长方形纸片沿AB折叠．若∠1＝48°，则∠2＝_____．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、如图，在平行四边形ABCD中，点M是AD边的中点，连接BM，CM，且BM＝CM．(1)求证：四边形ABCD是矩形；(2)若△BCM是直角三角形，直接写出AD与AB之间的数量关系．2、如图，在▱ABCD中，AE平分∠BAD交CD于点E，DF平分∠ADC交AB于点F，AE与DF交于点O，连接EF，OC．(1)请依题意补全图形．求证：四边形ADEF是菱形；(2)若AD=4，AB=6，∠ADC=60°，求OC的长．3、如图1．在平面直角坐标系中，四边形OBCD是正方形，D（0，3），点E是OB延长线上一点，M是线段OB上一动点（不包括O、B），作MN⊥DM，交∠CBE的平分线于点N．(1)求证：MD=MN；(2)如图2，若M（2，0），在OD上找一点P，使四边形MNCP是平行四边形，求点P的坐标；(3)如图，连接DN交BC于F，连接FM，求证：∠DFC=∠DFM．4、已知：在平行四边形ABCD中，分别延长BA，DC到点E，H，使得BE＝2AB，DH＝2CD．连接EH，分别交AD，BC于点F，G．(1)求证：AF＝CG；(2)连接BD交EH于点O，若EH⊥BD，则当线段AB与线段AD满足什么数量关系时，四边形BEDH是正方形？5、如图，四边形ABCD是平行四边形，O是对角线AC的中点，过点O的直线分别交边BC，AD于点E，F，连结AE，CF．(1)求证：△AOF≌△COE；(2)当∠OAF＝∠OFA时，求证：四边形AECF是矩形．-参考答案-一、单选题1、B【解析】【分析】根据尺规作图可知EF是AB的垂直平分线，从而CD=CG=12AB，然后可求CG：AB的值．【详解】解：根据尺规作图可知EF是AB的垂直平分线，∴D是AB中点，∴CD=CG=12 AB，∴CG：AB=12AB：AB=1:2，故选B．【点睛】本题考查了尺规作图-作线段的垂直平分线，直角三角形斜边中线的性质，熟练掌握直角三角形斜边的中线的中线等于斜边的一半是解本题的关键．2、C【解析】【分析】由ASA证明△GAM≌△GEF（ASA），得出GM=GF，AF=ME=BM=x，EF=AM=6-x，因此DF=8-x，CF=x+2，在Rt△DFC中，由勾股定理得出方程，解方程即可．【详解】解：设BM=x，由折叠的性质得：∠E=∠B=90°=∠A，在△GAM和△GEF中，A EAG GEAGM EGF∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△GAM≌△GEF（ASA），∴GM=GF，∴AF=ME=BM=x，EF=AM=6-x，∴DF=8-x，CF=8-（6-x）=x+2，在Rt△DFC中，由勾股定理得：（x+2）2=（8-x）2+62，解得：x=245，∴BM=245．故选：C．【点睛】本题考查了矩形的性质，折叠有性质，全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握矩形的性质和全等三角形的判定与性质，由勾股定理得出方程是解决问题的关键．3、B【解析】【分析】根据周长求出边长，利用菱形的面积公式即可求解．【详解】∵菱形的周长为8，∴边长=2，∴菱形的面积=2×2=4，故选：B ．【点睛】此题考查菱形的性质，熟练掌握菱形的面积=底×高是解题的关键．4、C【解析】【分析】根据正方形的性质以及已知条件求得OK 的长，进而证明AOF ≌BOK ，即可求得OF OK =，勾股定理即可求得AF 的长【详解】解：如图，设,AC BD 的交点为O ，四边形ABCD 是正方形AC BD ∴⊥，AC BD =,11,22AO AC BO BD ==∴AC ==，12OC AC ==90AOE BOK∴∠=∠=︒，2390∠+∠=︒,AO BO=CK=OK OC CK∴=-=AE BH⊥∴1290∠+∠=︒13∠∠∴=在AOF与BOK中13AO BOAOF BOK∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴AOF≌BOKOF OK∴==在Rt AOF中，AF===故选C【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理，全等三角形的性质与判定，掌握正方形的性质是解题的关键．5、D【解析】【分析】根据菱形的面积等于对角线乘积的一半列式计算即可得解．【详解】解：∵菱形ABCD的对角线AC=8，BD=6，∴菱形的面积S=12AC•BD=12×8×6=24．故选：D．【点睛】本题考查了菱形的性质，熟练掌握菱形的面积等于对角线乘积的一半是解题的关键．6、B【解析】【分析】根据两条对角线平分且相等的四边形是矩形，四条边都相等的四边形是菱形，如果对角线互相垂直平分且相等，那么这个四边形是正方形进行判断即可．【详解】解：①一组对边相等的四边形不一定是矩形，错误；②两条对角线相等的平行四边形是矩形，错误；③四条边都相等且对角线互相垂直的四边形是菱形，错误；④四条边都相等的四边形是菱形，正确；⑤一组邻边相等的矩形是正方形，正确．故选：B．【点睛】此题考查考查平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定方法，关键是根据矩形、正方形、菱形的判定解答．7、A【解析】【分析】利用正方形的性质证明∠DBC=45°和BE=BC，进而证明∠BEC=67.5°．解：∵四边形ABCD是正方形，∴BC=AD，∠DBC=45°，∵BE=AD，∴BE=BC，∴∠BEC=∠BCE=（180°﹣45°）÷2=67.5°，∵AC⊥BD，∴∠COE=90°，∴∠ACE=90°﹣∠BEC=90°﹣67.5°=22.5°，故选：A．【点睛】本题考查正方形的性质，以及等腰三角形的性质，掌握正方形的性质并加以利用是解决本题的关键．8、C【解析】【分析】根据矩形及菱形的性质，菱形及正方形的判定定理依次判断即可得．【详解】解：A、矩形的对角线不平分每组对角，故选项错误；B、菱形的对角线互相垂直但不相等，故选项错误；C、有一组邻边相等的矩形是正方形，故选项正确；D、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故选项错误；故选：C．题目主要考查特殊四边形的判定和性质，熟练掌握特殊四边形的判定和性质是解题关键．9、C【解析】【分析】画出图形，由条件可求得△AOB为等边三角形，则可求得AC的长，在Rt△ABC中，由勾股定理可求得BC的长．【详解】解：如下图所示：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=90°，OA=12AC，OB=12BD，AC=BD，∴OA=OB，∵∠AOD=120°，∴∠AOB=60°，∴△AOB是等边三角形，∴OA=AB=2，∴AC=2OA=4，∴BC2=AC2-AB2=36-9=27，∴BC=【点睛】本题考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质以及勾股定理；熟练掌握矩形的性质，证明三角形是等边三角形是解决问题的关键．10、B【解析】【分析】根据菱形的性质利用勾股定理求得另一条对角线，再根据菱形的面积等于两对角线乘积的一半求得菱形的面积．【详解】解：如图，当BD＝6时，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AO＝CO，BO＝DO＝3，∵AB＝5，∴AO，∴AC＝8，∴菱形的面积是：6×8÷2＝24，故选：C．【点睛】本题主要考查菱形的面积公式，以及菱形的性质和勾股定理，关键是掌握菱形的面积等于两条对角线的积的一半．二、填空题1、90【解析】【分析】根据折叠的性质，∠1=∠2，∠3=∠4，利用平角，计算∠2+∠3的度数即可．【详解】如图，根据折叠的性质，∠1=∠2，∠3=∠4，∵∠1+∠2+∠3+∠4=180°，∴2∠2+2∠3=180°，∴∠2+∠3=90°，=90°，∴CEF故答案为：90．【点睛】本题考查了折叠的性质，两个角的和，熟练掌握折叠的性质，灵活运用两个角的和是解题的关键．2、①③④【解析】【分析】①易证得△OBE ≌△OCF （SAS ），则可证得结论①正确；②由OE 的最小值是O 到BC 的距离，即可求得OE 的最小值1，根据三角形面积公式即可判断选项②错误；≤EF ＜2，即可求得选项③正确；④证明△OBE ≌△OCF ，根据正方形被对角线将面积四等分，即可得出选项④正确．【详解】解：①∵四边形ABCD 是正方形，AC ，BD 相交于点O ，∴OB ＝OC ，∠OBC ＝∠OCD ＝45°，在△OBE 和△OCF 中，OB OC OBE OCF BE CF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△OBE ≌△OCF （SAS ），∴OE ＝OF ，∵∠BOE ＝∠COF ，∴∠EOF ＝∠BOC ＝90°，∴△OEF 是等腰直角三角形；故①正确；②∵当OE ⊥BC 时，OE 最小，此时OE ＝OF ＝12BC ＝1，∴△OEF 面积的最小值是12×1×1＝12，故②错误；③∵BE ＝CF ，∴CE＋CF＝CE＋BE＝BC＝2，假设存在一个△ECF，使得△ECF的周长是2则EF由①得△OEF是等腰直角三角形，∴OE，OE的最小值是1，∴存在一个△ECF，使得△ECF的周长是2故③正确；④由①知：△OBE≌△OCF，∴S四边形OECF＝S△COE＋S△OCF＝S△COE＋S△OBE＝S△OBC＝14S正方形ABCD＝14×2×2＝1，故④正确；故答案为：①③④．【点睛】此题属于四边形的综合题．考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质、勾股定理以及等腰直角三角形的性质．注意掌握全等三角形的判定与性质是解此题的关键．3、13 2【解析】【分析】根据勾股定理先计算斜边长，根据直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，计算中线的长．【详解】∵直角三角形两直角边长分别为5cm 和12cm ，13=， ∴斜边上的中线长为132cm ，故答案为：132．【点睛】本题考查了勾股定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，计算斜边长是解题的关键．4、①②③【解析】【分析】根据正方形的性质和折叠的性质可得AD DF =，90A GFD ∠=∠=︒，于是根据“HL ”判定Rt ADG Rt FDG ≌，再由12GF GB GA GB +=+=，EB EF =，BGE ∆为直角三角形，可通过勾股定理列方程求出4AG =，8BG =，进而求出∆BEF 的面积．【详解】解：由折叠可知，DF DC DA ==，90DFE C ∠=∠=︒，EF EC =，90DFG A ∴∠=∠=︒，在Rt ADG 和Rt FDG △中，AD FD DG DG=⎧⎨=⎩， ()Rt ADG Rt FDG HL ∴≌，故①正确；AG GF ∴=，正方形边长是12，6BE EC EF ∴===，设AG FG x ==，则6EG x =+，12BG x =-，由勾股定理得：222EG BE BG =+，即：222(6)6(12)x x +=+-，解得：4x =4AG GF ∴==，8BG =，2BG AG =，故②正确；168242GBE S ∆=⨯⨯=，67224105BEF GBE EF S S EG ∆∆=⋅=⨯=，故③正确；故答案为：①②③．【点睛】本题考查了翻折变换，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是灵活运用这些性质解决问题．5、66︒##66度【解析】【分析】结合题意，根据轴对称和长方形的性质，得BAD BAE ∠=∠，//AE BF ，根据平行线的性质得2BAE ∠=∠；结合∠1＝48°和平角的性质计算，即可得到答案．【详解】如图：∵把一张长方形纸片沿AB 折叠∴BAD BAE ∠=∠，//AE BF∴2BAE∠=∠∴2BAD BAE∠=∠=∠∵1180BAD BAE∠+∠+∠=︒∴122180∠+∠+∠=︒∴18011804826622︒-∠︒-︒∠===︒故答案为：66︒．【点睛】本题考查了矩形、轴对称、平行线的知识；解题的关键是熟练掌握矩形、轴对称和平行线的性质，从而完成求解．三、解答题1、 (1)见解析(2)AD=2AB，理由见解析【解析】【分析】（1）由SSS证明△ABM≌△DCM，得出∠A=∠D，由平行线的性质得出∠A+∠D=180°，证出∠A=90°，即可得出结论；（2）先证明△BCM是等腰直角三角形，得出∠MBC=45°，再证明△ABM是等腰直角三角形，得出AB=AM，即可得出结果．(1)证明：∵点M是AD边的中点，∴AM=DM，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=DC，AB∥CD，在△ABM 和△DCM 中，AM DM AB DC BM CM =⎧⎪=⎨⎪=⎩， ∴△ABM ≌△DCM （SSS ），∴∠A =∠D ，∵AB ∥CD ，∴∠A +∠D =180°，∴∠A =90°，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴四边形ABCD 是矩形；(2)解：AD 与AB 之间的数量关系：AD =2AB ，理由如下：∵△BCM 是直角三角形，BM =CM ，∴△BCM 是等腰直角三角形，∴∠MBC =45°，由（1）得：四边形ABCD 是矩形，∴AD ∥BC ，∠A =90°，∴∠AMB =∠MBC =45°，∴△ABM 是等腰直角三角形，∴AB =AM ，∵点M 是AD 边的中点，∴AD =2AM ，∴AD =2AB ．【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的性质、平行线的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的的判定与性质等知识；熟练掌握平行四边形的性质，证明△ABM ≌△DCM 是解题的关键．2、 (1)作图见解析，证明见解析；(2)【解析】【分析】（1）以D 为圆心画弧交AD CD 、分别于点M N 、，以M N 、为圆心，大于12MN 为半径，画弧交点为Q ，连接DQ 并延长与AB 交点即为F ，连接EF OC 、即可补全图形；由DF 平分∠ADE ，AE 平分∠BAD 可知12EDF ADF ADE ∠=∠=∠，12FAE EAD FAD ∠=∠=∠，由四边形ABCD 是平行四边形，知AF DE ∥ ，EDF AFD ∠=∠，DEA FAE ∠=∠，可知ADF AFD ∠=∠，EAD DEA ∠=∠，可得AF AD AD DE ==，，AF DE ∥，进而可证四边形AFED 是菱形．（2）如图2，过点O 作OG ⊥CD 于G ，四边形ADEF 是菱形，∠ADF =∠EDF =30°，90AOD ∠=︒，在Rt AOD △中，12OA AD =，由勾股定理得OD = 在Rt DOG 中，12OG OD =，由勾股定理得DG CG CD DG =-，在Rt OCG △中，勾股定理求解OC 即可．(1)解：补全图形如图1所示，以D 为圆心画弧交AD CD 、分别于点M N 、，以M N 、为圆心，大于12MN 为半径，画弧交点为Q ，连接DQ 并延长与AB 交点即为F ，连接EF OC 、即可；证明：∵DF平分∠ADE，AE平分∠BAD∴12EDF ADF ADE∠=∠=∠，12FAE EAD FAD∠=∠=∠∵四边形ABCD是平行四边形∴AF DE∥∴EDF AFD∠=∠，DEA FAE∠=∠，∴EDF ADF AFD∠=∠=∠，FAE EAD DEA∠=∠=∠∴AF AD AD DE==，∵AF DE AF DE=∥，∴四边形AFED是平行四边形∵AF AD DE==∴四边形AFED是菱形．(2)解：如图2，过点O作OG⊥CD于G∴90OGD ∠=︒∵四边形ADEF 是菱形∴∠ADO =∠ODG =30°，90AOD ∠=︒∴在Rt AOD △中，122OA AD ==，由勾股定理知OD ，在Rt DOG 中，12OG OD ==3DG == ∴3CG CD DG =-=在Rt OCG △中，由勾股定理知OC ==∴OC =【点睛】本题考查了角平分线，菱形的判定与性质，含有30°的直角三角形，勾股定理等知识．解题的关键在于对知识的灵活综合运用．3、 (1)见解析(2)（0，1）(3)见解析【解析】【分析】（1）在OD上截取OF，使得OF=OM，证明△FDM≌△BMN即可．（2）在OD上截取DP，使得DP=OM，连接CP，交DM于点Q，证明PC=MN，且PC∥MN．（3）将△DCF绕点D顺时针旋转90°，得到△DOG，证明△DGM≌△DFM．(1)如图1，在OD上截取OF，使得OF=OM，则∠OFM=∠OMF=45°，∴∠DFM=135°，∵四边形OBCD是正方形，∴OD=OB，∠OBC=90°，∴DF=MB，∵BN平分∠CBE，∠CBE=90°，∴∠MBN=135°，∴∠DFM=∠MBN，∵MN⊥DM，∠DOM=90°，∴∠FDM=∠BMN，∴△FDM≌△BMN，∴DM=MN．(2)如图2，在OD上截取DP，使得DP=OM，连接CP，交DM于点Q，∵四边形OBCD是正方形，∴OD=DC，∠PDC=∠MOD=90°，∴△PDC≌△MOD，∴DM=CP，∠PCD=∠MDO，∵∠MDC+∠MDP=90°，∴∠MDC+∠PCD=90°，∴∠MQC=90°，∵MN⊥DM，∴PC∥MN，∵DM=MN，∴PC=MN，∴四边形MNCP是平行四边形，∵M（2，0），D（0，3），∴P（0，1）．(3)如图3，将△DCF绕点D顺时针旋转90°，得到△DOG，则B、O、G三点共线，且DF=DG，∠CDF=∠ODG，∠DFC=∠DGO，∵DM=MN，MN⊥DM，∴∠MDF=45°，∴∠CDF+∠MDO=45°，∴∠ODG+∠MDO=45°，∴∠MDF=∠GDM，∵DM=DM，∴△DGM≌△DFM，∴∠DFM=∠DGO，∴∠DFM=∠DFC．【点睛】本题考查了正方形的性质，三角形全等的判定和性质，平行四边形的判定和性质，准确找出并证明三角形全等是解题的关键．4、 (1)见解析(2)当AD时，四边形BEDH是正方形【解析】【分析】（1）要证明AF=CG，只要证明△EAF≌△HCG即可；（2）利用已知可得四边形BEDH是菱形，所以当AE2+DE2=AD2时，∠BED=90°，四边形BEDH是正方形．(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB=CD，∠BAD=∠BCD，∴∠AEF=∠CHG，∵BE=2AB，DH=2CD，∴BE=DH，∴BE-AB=DH-DC，∴AE=CH，∴∠BAD+∠EAF=180°，∠BCD+∠GCH=180°，∴∠EAF=∠GCH，∴△EAF≌△HCG(ASA)，∴AF=CG；(2)解：当AD时，四边形BEDH是正方形；理由：∵BE∥DH，BE=DH，∴四边形EBHD是平行四边形，∵EH ⊥BD ，∴四边形EBHD 是菱形，∴ED =EB =2AB ，当AE 2+DE 2=AD 2时，则∠BED =90°，∴四边形BEDH 是正方形，即AB 2+(2AB )2=AD 2，∴AD ，∴当AD 时，四边形BEDH 是正方形．．【点睛】本题考查了正方形的判定，菱形的判定，平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，结合图形分析并熟练掌握正方形的判定，平行四边形的性质，是解题的关键．5、 (1)见解析；(2)见解析【解析】【分析】（1）根据四边形ABCD 为平行四边形形，可得//AD BC ，所以FAC ECA ∠=∠，∠=∠AFE CEF ，再根据O 是对角线AC 的中点，可得OA OC =，进而证明AOF COE ∆≅∆；（2）根据矩形的判定可得出答案．(1) 解：证明：四边形ABCD 为平行四边形，//AD BC ∴，FAC ECA ∴∠=∠，∠=∠AFE CEF ， O 是对角线AC 的中点，OA OC ∴=，在AOF ∆和COE ∆中，FAC ECA AFE CEF OA OC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ()AOF COE AAS ∴∆≅∆；(2)解：证明：OAF OFA ∠=∠，OA OF ∴=，AOF COE ∆≅∆，OE OF ∴=，OA OC =，∴四边形AECF 为平行四边形，AC EF =，∴四边形AECF 为矩形．【点睛】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质，解题的关键是综合运用三角形和四边形的知识．。

精品试卷鲁教版(五四制)八年级数学下册第六章特殊平行四边形定向测试试题(含答案及详细解析)

鲁教版（五四制）八年级数学下册第六章特殊平行四边形定向测试考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I 卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、如图，在正方形ABCD 中，3AB =，E 是AD 上的一点，且1AE =，F ，G 是AB ，CD 上的动点，且BE FG =，BE FG ⊥，连接EF ，FG ，BG ，当EF FG BG ++的值最小时，CG 的长为（）A ．32BC ．125D ．652、绿丝带是颜色丝带的一种，被用来象征许多事物，例如环境保护、大麻和解放农业等，同时绿丝带也代表健康，使人对健康的人生与生命的活力充满无限希望．某班同学在“做环保护航者”的主题班会课上制作象征“健康快乐”的绿丝带（丝带的对边平行且宽度相同），如图所示，丝带重叠部分形成的图形是（）A ．矩形B ．菱形C ．正方形D ．等腰梯形3、如图，正方形ABCD 的对角线相交于点O ，以点O 为顶点的正方形OEGF 的两边OE ，OF 分别交正方形ABCD 的两边AB ，BC 于点M ，N ，记AOM 的面积为1S ，CON 的面积为2S ，若正方形的边长10AB =，116S =，则2S 的大小为（）A ．6B ．7C ．8D ．94、如图，在给定的正方形ABCD 中，点E 从点B 出发，沿边BC 方向向终点C 运动， DF AE ⊥交AB 于点F ，以FD ，FE 为邻边构造平行四边形DFEP ，连接CP ，则DFE EPC ∠+∠的度数的变化情况是（）A ．一直减小B ．一直减小后增大C ．一直不变D ．先增大后减小5、在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，且∠AOD＝120°．若AB＝3，则BC的长为( )A B．3 C．D．66、如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的点A和点C分别落在x轴和y轴正半轴上，AO＝4，直线l：y＝3x+2经过点C，将直线l向下平移m个单位，设直线可将矩形OABC的面积平分，则m的值为（）A．7 B．6 C．4 D．87、下列说法错误的是（）A．平行四边形对边平行且相等B．菱形的对角线平分一组对角C．矩形的对角线互相垂直D．正方形有四条对称轴8、如图，已知菱形ABCD的边长为2，∠DAB＝60°，则对角线BD的长是（）A．1 B．4 C．2 D．69、如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点P是AD边上的一个动点，过点P分别作PE AC于点E ，PF ⊥BD 于点F ．若AB =6，BC =8，则PE +PF 的值为（）A ．10B ．9.6C ．4.8D ．2.410、如图，在矩形ABCD 中，动点P 从点A 出发，沿A →B →C 运动，设PA x =，点D 到直线PA 的距离为y ，且y 关于x 的函数图象如图所示，则当PCD 和PAB △的面积相等时，y 的值为（）A B C D 第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、如图，将边长为2的正方形OABC 放在平面直角坐标系中，O 是原点，点A 的横坐标为1，则点C 的坐标为______．2、如图所示，在ABCD 中，60C ∠=°，连接DB ，DB BC ⊥，将ADB △绕点A 按逆时针方向旋转至AD B ''，过点B '作B E DB '∥交直线D D '于点E ，连接BB '交D E '于点F ，若B E '=10DF =，则AF ______．3、如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF的中点，则AM的最小值是______________．4、如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形ABCD的顶点A，D分别在y轴的正半轴和负半轴上，顶点B在x轴的负半轴上，若OA＝3OD，S菱形ABCD＝C的坐标为______．5、若矩形ABCD的周长为26cm，则它的面积是_________．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、如图，在四边形ABCD中，∠B=∠C．点E、F、G分别在边AB、BC、CD上，AE=GF=GC．(1)求证：四边形AEFG是平行四边形；(2)当∠FGC与∠EFB满足怎样的关系时，四边形AEFG是矩形．请说明理由．2、如图1．在平面直角坐标系中，四边形OBCD是正方形，D（0，3），点E是OB延长线上一点，M是线段OB上一动点（不包括O、B），作MN⊥DM，交∠CBE的平分线于点N．(1)求证：MD=MN；(2)如图2，若M（2，0），在OD上找一点P，使四边形MNCP是平行四边形，求点P的坐标；(3)如图，连接DN交BC于F，连接FM，求证：∠DFC=∠DFM．3、如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，AD//BC(1)在图中，用尺规作线段BD的垂直平分线EF，分别交BD、BC于点E、F．（保留作图痕迹，不写作法）(2)连接DF，证明四边形ABFD为菱形．4、如图，现将一张矩形ABCD的纸片一角折叠，若能使点D落在AB边上F处，折痕为CE，恰好∠AEF=60°，延长EF交CB的延长线于点G．(1)求证：△CEG是等边三角形；(2)若矩形的一边AD=3，求另一边AB的长．5、如图，在▱ABCD中，点O是对角线的交点，且AB＝AO，∠OCD＝120°．(1)求∠AOB的度数；(2)过点A作AE⊥OB，垂足为点E，点G、F分别是OA、BC的中点，连接EF、FG，求证：四边形AEFG 是菱形．-参考答案-一、单选题1、A【解析】【分析】先推出AE=FT，可得GF=BE EF+BG的值最小时，EF+FG+BG的值最小，设CG=BT=x，则EF+BG x轴上寻找一点P （x，0），使得点P到M（0，3），N（2，1）的距离和最小．【详解】如图，过点G作GT⊥AB于T，设BE交FG于R．∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC，∠A=∠ABC=∠C=90°，∵GT⊥AB，∴∠GTB=90°，∴四边形BCGT是矩形，∴BC=GT，∴AB=GT，∵GF⊥BE，∴∠BRF=90°，∵∠ABE+∠BFR=90°，∠TGF+∠BFR=90°，∴∠ABE=∠TGF，在△BAE和△GTF中，A GTF AB GTABE TGF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△BAE ≌△GTF （ASA ），∴AE =FT =1，∵AB =3，AE =1，∴BE∴GF =BE在Rt △FGT 中，FG∴EF +FG 的值最小时，EF +FG +BG 的值最小，设CG =BT =x ，则EF +BGx 轴上寻找一点P （x ，0），使得点P 到M （0，3），N （2，1）的距离和最小．如图，作点M 关于x 轴的对称点M ′（0，-3），连接NM ′交x 轴于P ，连接PM ，此时PM +PN 的值最小．∵N（2，1），M′（0，-3），∴直线M′N的解析式为y=2x-3，∴P（32，0），∴x=3 2故选：A．【点睛】本题考查轴对称最短问题，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考选择题中的压轴题．2、B【解析】【分析】首先可判断重叠部分为平行四边形，且两条丝带宽度相同；再由平行四边形的面积可得邻边相等，则重叠部分为菱形．【详解】解：过点A作AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，因为两条彩带宽度相同，所以AB∥CD，AD∥BC，AE=AF．∴四边形ABCD是平行四边形．∵S▱ABCD=BC•AE=CD•AF．又AE=AF．∴四边形ABCD 是菱形．故选：B【点睛】此题考查了菱形的判定，平行四边形的面积公式以及平行四边形的判定与性质，利用了数形结合的数学思想，其中菱形的判定方法有：一组邻边相等的平行四边形为菱形；对角线互相垂直的平行四边形为菱形；四条边相等的四边形为菱形，根据题意作出两条高AE 和AF ，熟练掌握菱形的判定方法是解本题的关键3、D【解析】【分析】由题意依据全等三角形的判定得出△BOM ≌△CON ，进而根据正方形的性质即可得出2S 的大小.【详解】解：∵正方形ABCD 的对角线AC ，BD 交于点O ，∴OC =OD =BO =AO ，∠ABO =∠ACB =45°，AC ⊥BD ．∵∠MOB +∠BON =90°，∠BON +∠CON =90°∴∠BOM =∠CON ，且OC =OB ，∠ABO =∠ACB =45°，∴△BOM ≌△CON （ASA ），2S =S △BOM ，∴121BOM AOB S S S S S ==++，∵AOB S =14S 正方形ABCD ，正方形的边长10AB =，116S =， ∴2S =14S 正方形ABCD -1S =110101694⨯⨯-=. 故选：D.本题考查正方形的性质以及全等三角形的判定和性质等知识，灵活运用这些性质进行推理是解答本题的关键．4、A【解析】【分析】根据题意DFE EPC DPC ∠+∠=∠，作PH BC ⊥交BC 的延长线于H ，证明CP 是DCH ∠的角平分线即可解决问题．【详解】解：作PH BC ⊥交BC 的延长线于H ，∵四边形ABCD 是正方形，∴AD AB BC ==，90DAF ABE DCB DCH ∠=∠=∠=∠=︒，∵DF AE ⊥，∴90BAE DAE ∠+∠=︒，90ADF DAE ∠+∠=︒，∴BAE ADF ∠=∠，∴()ADF BAE ASA ∆≅∆，∴DF AE =，∵四边形DFEP 是平行四边形，∴DF PE =，DFE DPE ∠=∠，∵90BAE AEB ∠+∠=︒，90AEB PEH ∠+∠=︒ ，∴BAE PEH ∠=∠，∵90ABE H ∠=∠=︒，AE EP =．∴()ABE EHP AAS ∆≅∆，∴PH BE =，AB EH BC ==，∴BE CH PH ==，∴45PCH ∠=︒，∵90DCH ∠=︒，∴DCP PCH ∠=∠，∴CP 是DCH ∠的角平分线，∴点P 的运动轨迹是DCH ∠的角平分线，∵DFE EPC DPE EPC DPC ∠+∠=∠+∠=∠，由图可知，点P 从点D 开始运动，所以DPC ∠一直减小，故选：A ．【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、平行四边形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．5、C【解析】【分析】根据矩形的性质和等边三角形的判定和性质，可以得到AC 的长，再根据勾股定理，即可得到BC 的长，本题得以解决．解：∵∠AOD =120°，∠AOD +∠AOB =180°，∴∠AOB =60°，∵四边形ABCD 是矩形，∴OA =OB =OC ，∠ABC =90°，∴△AOB 是等边三角形，∴AB =OA =OC ，∵AB =3，∴AC =6，∴BC =故选：C ．【点睛】本题考查矩形的性质、等边三角形的判定与性质，以及勾股定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．6、A【解析】【分析】如图所示，连接AC ，OB 交于点D ，先求出C 和A 的坐标，然后根据矩形的性质得到D 是AC 的中点，从而求出D 点坐标为（2，1），再由当直线32y x =+经过点D 时，可将矩形OABC 的面积平分，进行求解即可．解：如图所示，连接AC ，OB 交于点D ，∵C 是直线32y x =+与y 轴的交点，∴点C 的坐标为（0，2），∵OA =4，∴A 点坐标为（4，0），∵四边形OABC 是矩形，∴D 是AC 的中点，∴D 点坐标为（2，1），当直线32y x =+经过点D 时，可将矩形OABC 的面积平分，由题意得平移后的直线解析式为32y x m =+-，∴3221m ⨯+-=，∴7m =，故选A ．【点睛】本题主要考查了一次函数与几何综合，一次函数的平移，矩形的性质，解题的关键在于能够熟知过矩形中心的直线平分矩形面积．7、C【解析】【分析】根据矩形的性质、平行四边形的性质、菱形的性质和正方形的性质分别进行判断即可．【详解】解：A、平行四边形对边平行且相等，正确，不符合题意；B、菱形的对角线平分一组对角，正确，不符合题意；C、矩形的对角线相等，不正确，符合题意；D、正方形有四条对称轴，正确，不符合题意；故选：C．【点睛】本题考查了矩形的性质、平行四边形的性质、菱形的性质和正方形的性质，掌握以上性质定理是解题的关键．8、C【解析】略9、C【解析】【分析】首先连接OP．由矩形ABCD的两边AB=6，BC=8，可求得OA=OD=5，然后由S△AOD=S△AOP+S△DOP求得答案．【详解】解：连接OP，∵矩形ABCD的两边AB=6，BC=8，∴S矩形ABCD=AB•BC=48，OA=OC，OB=OD，AC=BD，AC，∴S△AOD=14S矩形ABCD=12，OA=OD=5，∴S△AOD=S△AOP+S△DOP=12OA•PE+12OD•PF=12OA（PE+PF）=12×5×（PE+PF）=12，∴PE+PF=245=4.8．故选：C．【点睛】此题考查了矩形的性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．10、D【解析】【分析】先结合图象分析出矩形AD和AB边长分别为4和3，当△PCD和△PAB的面积相等时可知P点为BC中点，利用面积相等求解y值．【详解】解：当P点在AB上运动时，D点到AP的距离不变始终是AD长，从图象可以看出AD=4，当P点到达B点时，从图象看出x=3，即AB=3．当△PCD和△PAB的面积相等时，P点在BC中点处，此时△ADP面积为143=62⨯⨯，在Rt △ABP 中，AP =由面积相等可知：162⨯⨯=AP y ，解得y =，故选：D ．【点睛】本题主要考查了函数图形的认识，分析图象找到对应的矩形的边长，解决动点问题就是“动中找静”，结合图象找到“折点处的数据真正含义”便可解决问题．二、填空题1、（1）【解析】【分析】首先过点C 作CD ⊥x 轴于点D ，过点A 作AE ⊥x 轴于点E ，易证得△AOE ≌△OCD （AAS ），则可得CD =OE =1，OD =AE【详解】解：过点C 作CD ⊥x 轴于点D ，过点A 作AE ⊥x 轴于点E ，则∠ODC =∠AEO =90°，∴∠OCD +∠COD =90°，∵四边形OABC 是正方形，∴OC =OA ，∠AOC =90°，∴∠COD +∠AOE =90°，∴∠OCD =∠AOE ，在△AOE 和△OCD 中，AEO ODC AOE OCD OC OA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△AOE ≌△OCD （AAS ），∴CD =OE =1，OD =AE==∴点C 的坐标为：（1）．故答案为：（1）．【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理．注意准确作出辅助线、证得△AOE ≌△OCD 是解此题的关键．2、12+12【解析】【分析】根据旋转的性质可得AD AD ='，进而根据等边对等角可得ADD AD D ''∠=∠，由DB BC ⊥，可得BD AD ⊥，则90EDB ADD '∠+∠=︒，又90ADB AD B ''∠=∠=︒，可得EDB B D E ''∠=∠，根据平行线的性质可得EDB B ED '∠=∠，等量代换可得B D E B ED ''''∠=∠，根据等角对等边可得B E B D ''=，根据含30度角的直角三角形的性质，可得13AD D '''==，则13AD =，根据三角形内角和定理证明30DFG ∠=︒，进而勾股定理即可求得,,DG GF AG ，进而求得AF ．【详解】解：如图，过点D 作DG AF ⊥于点G ，设,AF BD 交于点M ,将ADB △绕点A 按逆时针方向旋转至AD B ''， ∴AD AD ='，D B DB ''= ∴ ADD AD D ''∠=∠，四边形ABCD 是平行四边形 AD BC ∴∥DB BC ⊥，∴BD AD ⊥，∴90EDB ADD '∠+∠=︒，又90ADB AD B ''∠=∠=︒， 90AD D B D E '''∴∠+∠=︒ ∴EDB B D E ''∠=∠， B E BD '∥∴EDB B ED '∠=∠，∴B D E B ED ''''∠=∠，B E '=B B D E '∴=''=又D B DB ''=BD B E '∴=在B EF '与BDF 中，B EF FDB B FE BFD B E BD ∠=∠⎧⎪∠=∠='''⎨'⎪⎩B EF BDF '∴≌B F BF '∴=AB AB '=AF BB '∴⊥90AFB ADB ∴∠=∠=︒AB 的中点N ，连接,DN NF12DN AB NF ∴== 则NAD NDA ，NDF NFD ∠=∠，NFB NBF ∠=设NAD NDA α=，NDF NFD β∠=∠=，NFB NBF θ∠==360NAD NDA NDF NFD NFB NBF ∴∠+∠+∠+∠+∠+=︒即()2360αβθ++=︒180NAD DFB αβθ∴∠+∠=++=︒60DAB ∠=︒120DFB ∴∠=︒90AFB ∠=︒30DFA ∴∠=︒四边形ABCD 是平行四边形，60DAB C ∴∠=∠=︒旋转90,60ADB AD B DAB D AB ''''∴∠=∠=︒∠=∠=︒30D B A ''∴∠=︒12AD AB ''∴=∴ B D '''==13AD AD '∴==30DFA ∠=︒152DG DF ∴==GF ∴在Rt ADG 中，12AG =12AF AG GF∴=+=+12AF∴=+【点睛】本题考查了含30度角的直角三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的性质与判定，求得30DFA∠=︒是解题的关键．3、6 5【解析】【分析】根据题意，AM=12EF，利用三个直角的四边形是矩形，得到EF=AP，得AM=12AP，当AP最小时，AM有最小值，根据垂线段最短，计算AP的长即可．【详解】∵∠BAC=90°，AB=3，AC=4，∴BC，∴BC边上的高h=125，∵∠BAC=90°，PE⊥AB，PF⊥AC，∴四边形AEPF是矩形，∴AP=EF，∵∠BAC=90°，M为EF的中点，∴AM=12EF，∴AM=12AP，∴当AP 最小时，AM 有最小值，根据垂线段最短，当AP 为BC 上的高时即AP =h 时最短，∴AP 的最小值为125， ∴AM 的最小值为65，故答案为：65．【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理，垂线段最短原理，熟练掌握矩形的判定和性质，直角三角形的性质是解题的关键．4、（－8）【解析】【分析】由菱形的性质可得出BC AD AB CD ===，即4BC OD =，4AB OD =，再根据勾股定理可求出OB 的长度．设0OD x =>，则4AD x OB =，，列等式OB AD ⨯=2,8OD OB BC ===，则答案可解．【详解】3OA OD =34AD AO OD OD OD OD ∴=+=+=，四边形ABCD 为菱形，BC AD ∴∥，BC AD AB CD ===，即4BC OD =，4AB OD =，90AOB ∠=︒，OB ∴==．设0,OD x => 则4AD x OB =，，ABCD S =菱形OB AD ⨯=4x ⋅=解得1222x x ==-，（舍去）2,8OD OB BC ∴===．AD 在y 轴上,BC AD ∥，即BC y ∥轴，则BC x ⊥轴，()8C ∴--．【点睛】本题考查了菱形的性质及勾股定理，根据菱形的性质结合勾股定理求出OD 、OB 、BC 的长是解题的关键．5、20cm ²##20平方厘米【解析】【分析】设AB =x cm ，BC =y cm ，则根据矩形的周长和对角线长即可列出关于x 、y 的关系式，解得xy 的值，即可解决问题．【详解】解：设AB =x cm ，BC =y cm ，∵矩形周长为26cm ，∴2x +2y =26，∴x+y=13，，∴x2+y2=129，∴（x+y）2-2xy=129，∴132-2xy=129，∴xy=20（cm2），∴矩形面积为20cm2．故答案为：20cm2．【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理在直角三角形中的运用，完全平方公式，矩形面积的计算，本题中列出关于x、y的关系式并求得xy的值是解题的关键．三、解答题1、 (1)见解析(2)当∠FGC=2∠EFB时，四边形AEFG是矩形，理由见解析【解析】【分析】（1）要证明该四边形是平行四边形，只需证明AE∥FG．根据对边对等角∠GFC=∠C，则∠B=∠GFC，得到AE∥FG．（2）在平行四边形的基础上要证明是矩形，只需证明有一个角是直角．根据三角形FGC的内角和是180°，添加∠FGC=2∠EFB，可得到∠BFE+GFC=90°．则∠EFG=90°．(1)证明：在四边形ABCD中，∠B=∠C，∵GF=GC，∴∠C=∠GFC，∠B=∠GFC，∴AB∥GF，即AE∥GF，∵AE=GF，∴四边形AEFG是平行四边形．(2)解：当∠FGC=2∠EFB时，四边形AEFG是矩形；∵∠FGC+∠GFC+∠C=180°，∠GFC=∠C，∠FGC=2∠EFB，∴2∠GFC+2∠EFB=180°，∴∠BFE+∠GFC=90°．∴∠EFG=90°．∵四边形AEFG是平行四边形，∴四边形AEFG是矩形．【点睛】本题考查了平行四边形的判定，矩形的判定，熟练掌握矩形的判定是解题的关键．2、 (1)见解析(2)（0，1）(3)见解析【解析】【分析】（1）在OD上截取OF，使得OF=OM，证明△FDM≌△BMN即可．（2）在OD上截取DP，使得DP=OM，连接CP，交DM于点Q，证明PC=MN，且PC∥MN．（3）将△DCF绕点D顺时针旋转90°，得到△DOG，证明△DGM≌△DFM．(1)如图1，在OD上截取OF，使得OF=OM，则∠OFM=∠OMF=45°，∴∠DFM=135°，∵四边形OBCD是正方形，∴OD=OB，∠OBC=90°，∴DF=MB，∵BN平分∠CBE，∠CBE=90°，∴∠MBN=135°，∴∠DFM=∠MBN，∵MN⊥DM，∠DOM=90°，∴∠FDM=∠BMN，∴△FDM≌△BMN，∴DM=MN．(2)如图2，在OD上截取DP，使得DP=OM，连接CP，交DM于点Q，∵四边形OBCD是正方形，∴OD=DC，∠PDC=∠MOD=90°，∴△PDC≌△MOD，∴DM=CP，∠PCD=∠MDO，∵∠MDC+∠MDP=90°，∴∠MDC+∠PCD=90°，∴∠MQC=90°，∵MN⊥DM，∴PC∥MN，∵DM=MN，∴PC=MN，∴四边形MNCP是平行四边形，∵M（2，0），D（0，3），∴P（0，1）．(3)如图3，将△DCF绕点D顺时针旋转90°，得到△DOG，则B、O、G三点共线，且DF=DG，∠CDF=∠ODG，∠DFC=∠DGO，∵DM=MN，MN⊥DM，∴∠MDF=45°，∴∠CDF+∠MDO=45°，∴∠ODG+∠MDO=45°，∴∠MDF=∠GDM，∵DM=DM，∴△DGM≌△DFM，∴∠DFM=∠DGO，∴∠DFM=∠DFC．【点睛】本题考查了正方形的性质，三角形全等的判定和性质，平行四边形的判定和性质，准确找出并证明三角形全等是解题的关键．3、 (1)见解析(2)见解析【解析】【分析】（1）直接利用线段垂直平分线的作法得出答案；（2）结合垂直平分线的性质得出△ADE≌△FBE，即可得出AE=EF，进而利用菱形的判定方法得出答案．(1)（1）如图：EF 即为所求作(2)证明：如图，连接DF ，∵AD //BC ，∴∠ADE =∠EBF ，∵AF 垂直平分BD ，∴BE =DE ．在△ADE 和△FBE 中，ADE FBE DE BEAED BEF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△ADE ≌△FBE （ASA ），∴AE =EF ，∴BD 与AF 互相垂直且平分，∴四边形ABFD 为菱形．【点睛】此题主要考查了菱形的判定以及线段垂直平分线的性质与作法，正确应用线段垂直平分线的性质是解题关键．4、 (1)见解析(2)【解析】【分析】（1）根据补角性质求出∠FED =180°-∠AEF =180°-60°=120°，根据折叠△EDC ≌△EFC ，得出∠DEC =∠FDC =6201DEF ∠=︒，∠DCE =∠FCE ，根据四边形ABCD 为矩形，∠D =90°，∠DCB =90°，再求∠GCE =∠DCB -∠DCE =90°-30°=60°即可；（2）先根据30°直角三角形性质得出EF =2AE ，利用折叠性质FE =ED ，得出ED =2AE ，根据AD =AE +ED =3AE =3，求出AE =1，ED =2AE =2，利用30°直角三角形性质和勾股定理即可求解．(1)解：∵∠AEF =60°，∴∠FED =180°-∠AEF =180°-60°=120°，∵折叠，△EDC ≌△EFC ，∴∠DEC =∠FEC =6201DEF ∠=︒，∠DCE =∠FCE ， ∵四边形ABCD 为矩形，∴∠D =90°，∠DCB =90°，∴∠DCE =90°-∠DEC =90°-60°=30°，∴∠FCE =∠DCE =30°，∴∠GCE =∠DCB -∠DCE =90°-30°=60°，∴∠GCE =∠GEC =60°，∴△ECG 为等边三角形；(2)解：∵∠AEF =60°，∠A =90°∴∠AFE=90°-∠AEF=30°，∴EF=2AE，∵FE=ED，∴ED=2AE，∵AD=AE+ED=3AE=3，∴AE=1，ED=2AE=2，∵∠DCE=30°，∠D=90°，∴CE=2ED=2×2=4，∴CD ED22224223，∴矩形的另一边长为AB=CD=【点睛】本题考查折叠性质，矩形性质，30°直角三角形性质，勾股定理，等边三角形判定，一元一次方程掌握折叠性质，矩形性质，30°直角三角形性质，勾股定理，等边三角形判定是解题关键．5、(1)∠AOB 30°；(2)见解析【解析】【分析】（1）利用平行四边形的性质得到∠OCD=∠OAB=120°，再利用等腰三角形的性质即可求解；（2）利用等腰三角形的性质得到点E为OB中点，再利用三角形中位线的性质得到EF=AG，EF∥AG，推出四边形AEFG是平行四边形，再利用30度角的直角三角形的性质得到AE=12OA，即可证明四边形AEFG是菱形．(1)解：在▱ABCD中，∵∠OCD=120°，∴∠OCD=∠OAB=120°，∵AB=AO，∴∠ABO=∠AOB，∴∠AOB=1801202︒-︒=30°；(2)证明：∵AB=AO，AE⊥OB，∴BE=EO，∵F是BC的中点，∴EF=12OC，EF∥OC，在▱ABCD中，∵点G是OA的中点，∴AG=12OA=12OC，∴EF=AG，且EF∥AG，∴四边形AEFG是平行四边形，在Rt△AEO中，∠AOB=30°，∴AE=12 OA，∴AE= AG，∴四边形AEFG是菱形．【点睛】本题考查了平行四边形的性质和判定，菱形的判定，三角形中位线定理，等腰三角形的判定和性质，熟记各图形的性质并准确识图是解题的关键．。

难点详解鲁教版(五四制)八年级数学下册第六章特殊平行四边形专项测评试题

鲁教版（五四制）八年级数学下册第六章特殊平行四边形专项测评考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、已知在平行四边形ABCD中，∠A＝90°，如果添加一个条件，可使该四边形是正方形，那么这个条件可以是（）A．∠D＝90°B．AB＝CD C．AD＝BC D．BC＝CD2、如图，正方形ABCD的两条对角线AC，BD相交于点O，点E在BD上，且BE=AD，则∠ACE的度数为（）A．22.5°B．27.5°C．30°D．35°3、已知菱形ABCD，对角线AC=6，BD=8，则菱形ABCD的面积为（）A．48 B．36 C．25 D．244、陈师傅应客户要求加工4个长为4cm、宽为3cm的矩形零件．在交付客户之前，陈师傅需要对4个零件进行检测．根据零件的检测结果，下图中有可能不合格的零件是（）A．B．C．D．5、下列命题中是真命题的选项是（）A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形B．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形C．对角线相等的平行四边形是矩形D．三条边都相等的四边形是菱形6、如图，O是矩形ABCD的对角线的交点，M是AD的中点．若BC＝8，OB＝5，则OM的长为（）A．2 B．2.5 C．3 D．47、如图，已知菱形ABCD的边长为2，∠DAB＝60°，则对角线BD的长是（）A．1 B．4 C．2 D．68、如图，在给定的正方形ABCD 中，点E 从点B 出发，沿边BC 方向向终点C 运动， DF AE ⊥交AB 于点F ，以FD ，FE 为邻边构造平行四边形DFEP ，连接CP ，则DFE EPC ∠+∠的度数的变化情况是（）A ．一直减小B ．一直减小后增大C ．一直不变D ．先增大后减小9、在Rt ABC △中，CD 是斜边AB 上的中线，则以下判断正确的是（）A ．2BC CD =B ．2CD AB =C ．2AC CD = D ．CD BD =10、如图，长方形OABC 中，点A 在y 轴上，点C 在x 轴上．4OA BC ==，8AB OC ==．点D 在边AB 上，点E 在边OC 上，将长方形沿直线DE 折叠，使点B 与点O 重合．则点D 的坐标为（）A ．()4,4B ．()5,4C ．()3,4D ．()6,4第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、矩形ABCD 的对角线AC 和BD 相交于点O ，∠ACB =40°，则∠AOB =_________°．2、如图，矩形ABCD 中，AC ，BD 交于点O ，M ，N 分别为BC ，OC 的中点．若MN ＝4，则AC 的长为__________．3、如图，Rt△ABC，∠B=90∘，∠BAC=72°，过C作CF∥AB，联结AF与BC相交于点G，若GF=2AC，则∠BAG=_____________°．4、菱形的判定：（1）有一组邻边____________的平行四边形叫做菱形．几何语言描述：∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝____________，∴四边形ABCD是菱形．（2）对角线互相____________的平行四边形是菱形几何语言描述：∵在平行四边形ABCD中，AC⊥____________，∴ 平行四边形ABCD是菱形．（3）四条边都____________的四边形是菱形．几何语言描述：∵在四边形ABCD中，AB＝BC＝CD＝____________，∴ 平行四边形ABCD是菱形．5、定义：在平面内，一个点到图形的距离是这个点到这个图上所有点的最短距离，在平面内有一个OP ，当正方形绕着点O旋转时，则点P到正方形，边长为6，中心为O，在正方形外有一点P，6正方形的最短距离d的最大值为______．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、如图，矩形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，AB ＝5cm ，∠BOC ＝120°，求矩形对角线的长．2、如图，长方形ABCD 中，E 是AD 的中点，将ABE △沿BE 折叠后得到GBE ，且G 点在长方形ABCD 内部，延长BG 交DC 于点F ．(1)求证：GE DE =；(2)若9DC =，DF 2CF =，求AD 的长；(3)若DC n DF =⋅，求22AD AB的值． 3、求作：Rt △ABC ，使∠A ＝45°，斜边AB ＝a ．4、如图，在平行四边形ABCD 中，点M 是AD 边的中点，连接BM ，CM ，且BM ＝CM ．(1)求证：四边形ABCD 是矩形；(2)若△BCM 是直角三角形，直接写出AD 与AB 之间的数量关系．5、将线段AB 绕点A 逆时针旋转60︒得到线段AC ，继续旋转(0120)αα︒<<︒得到线段AD ，连接CD ．(1)连接BD ．①如图①，若80α=︒，则BDC ∠的度数为；②在第二次旋转过程中，请探究BDC ∠的大小是否改变．若不变，求出BDC ∠的度数；若改变，请说明理由．(2)如图②．以AB 为斜边作Rt ABE ∆，使得B ACD ∠=∠，连接CE ，DE ．且CE DE ⊥．试猜想线段AB ，CD 之间的数量关系，写出结论并给予证明．-参考答案-一、单选题1、D【解析】略2、A【解析】【分析】利用正方形的性质证明∠DBC =45°和BE =BC ，进而证明∠BEC =67.5°．【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，∴BC=AD，∠DBC=45°，∵BE=AD，∴BE=BC，∴∠BEC=∠BCE=（180°﹣45°）÷2=67.5°，∵AC⊥BD，∴∠COE=90°，∴∠ACE=90°﹣∠BEC=90°﹣67.5°=22.5°，故选：A．【点睛】本题考查正方形的性质，以及等腰三角形的性质，掌握正方形的性质并加以利用是解决本题的关键．3、D【解析】【分析】根据菱形的面积等于对角线乘积的一半列式计算即可得解．【详解】解：∵菱形ABCD的对角线AC=8，BD=6，∴菱形的面积S=12AC•BD=12×8×6=24．故选：D．【点睛】本题考查了菱形的性质，熟练掌握菱形的面积等于对角线乘积的一半是解题的关键．4、C【分析】根据矩形的判定定理判断即可．【详解】∵A满足的条件是有一个角是直角的平行四边形是矩形，∴A合格，不符合题意；∵B满足的条件是三个角是直角的四边形是矩形，∴B合格，不符合题意；∵C满足的条件是有一个角是直角的四边形，∴无法判定，C不合格，符合题意；∵D满足的条件是有一个角是直角的平行四边形是矩形，∴D合格，不符合题意；故选C．【点睛】本题考查了矩形的判定定理，正确理解题意，熟练掌握矩形的判定定理是解题的关键．CD＝5、∴OM＝12故选：C．【点睛】此题考查了矩形的性质、直角三角形的性质以及三角形中位线的性质．注意利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，求得AC的长是关键．3．C【解析】利用平行四边形、矩形、菱形及正方形的判定方法分别判断后，即可确定正确的选项．【详解】解：A．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，原命题是假命题，不符合题意；B．对角线互相平分、垂直且相等的四边形是正方形，原命题是假命题，不符合题意；C．对角线相等的平行四边形是矩形，是真命题，符合题意；D．四条边都相等的四边形是菱形，原命题是假命题，不符合题意；故答案选：C．【点睛】考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解平行四边形、矩形、菱形及正方形的判定方法，难度不大．6、C【解析】【分析】首先由O是矩形ABCD对角线AC的中点，可求得AC的长，然后由勾股定理求得AB的长，即CD的长，又由M是AD的中点，可得OM是△ACD的中位线，继而求得答案．【详解】解：∵O是矩形ABCD对角线AC的中点，OB＝5，∴AC＝2OB＝10，∴CD＝AB6=，∵M是AD的中点，7、C【解析】略8、A【解析】【分析】根据题意DFE EPC DPC ∠+∠=∠，作PH BC ⊥交BC 的延长线于H ，证明CP 是DCH ∠的角平分线即可解决问题．【详解】解：作PH BC ⊥交BC 的延长线于H ，∵四边形ABCD 是正方形，∴AD AB BC ==，90DAF ABE DCB DCH ∠=∠=∠=∠=︒，∵DF AE ⊥，∴90BAE DAE ∠+∠=︒，90ADF DAE ∠+∠=︒，∴BAE ADF ∠=∠，∴()ADF BAE ASA ∆≅∆，∴DF AE =，∵四边形DFEP 是平行四边形，∴DF PE =，DFE DPE ∠=∠，∵90BAE AEB ∠+∠=︒，90AEB PEH ∠+∠=︒ ，∴BAE PEH ∠=∠，∵90ABE H ∠=∠=︒，AE EP =．∴()ABE EHP AAS ∆≅∆，∴PH BE =，AB EH BC ==，∴BE CH PH ==，∴45PCH ∠=︒，∵90DCH ∠=︒，∴DCP PCH ∠=∠，∴CP 是DCH ∠的角平分线，∴点P 的运动轨迹是DCH ∠的角平分线，∵DFE EPC DPE EPC DPC ∠+∠=∠+∠=∠，由图可知，点P 从点D 开始运动，所以DPC ∠一直减小，故选：A ．【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、平行四边形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．9、D【解析】【分析】直接利用直角三角形的性质得出斜边长即可．【详解】解：在Rt ABC中，CD是斜边AB上的中线，∴=，AD BDAB CD2=，∴=，CD BD故选：D．【点睛】本题主要考查直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握直角三角形斜边上的中线的性质．10、C【解析】【分析】设AD=x，在Rt△OAD中，据勾股定理列方程求出x，即可求出点D的坐标．【详解】解：设AD=x，由折叠的性质可知，OD=BD=8-x，在Rt△OAD中，∵OA2+AD2=OD2，∴42+x2=(8-x)2，∴x=3，3,4，∴D()故选C．【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，以及折叠的性质，熟练掌握勾股定理是解答本题的关键．直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方．二、填空题1、80【解析】【分析】根据矩形的对角线互相平分且相等可得OB OC =，再根据等边对等角可得OBC ACB ∠=∠，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解．【详解】解：矩形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，OB OC ∴=，40OBC ACB ∴∠=∠=︒，404080AOB OBC ACB ∴∠=∠+∠=︒+︒=︒．故答案为：80．【点睛】本题考查了矩形的性质，等边对等角的性质以及三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，解题的关键是熟记各性质．2、16【解析】略3、24【解析】【分析】取FG的中点E，连接EC，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得EC=AC，从而可推出∠EAC=∠AEC=∠F+∠ECF=2∠F，已知，∠BAC=72°，则不难求得∠BAG的度数．【详解】解：如图，取FG的中点E，连接EC．∵FC∥AB，∴∠GCF=90°，∴EC=12FG=AC，∴∠EAC=∠AEC=∠F+∠ECF=2∠F，设∠BAG=x，则∠F=x，∵∠BAC=72°，∴x+2x=72°，∴x=24°，∴∠BAG=24°，故答案为：24．【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线，平行线的性质以及角的计算，解题的关键是构造三个等腰三角形．直角三角形斜边上的中线的性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．4、相等AD垂直BD相等AD略5、3【解析】【分析】由题意以及正方形的性质得OP过正方形ABCD各边的中点时，d最大，求出d的值即可得出答案【详解】解：如图：设AB的中点是E，OP过点E时，点O与边AB上所有点的连线中，OE最小，此时d=PE最大，∵正方形ABCD边长为6，O为正方形中心，∴AE=3，∠OAE=45°，OE⊥AB，∴OE=3，∵OP=6，∴d=PE=6-3=3；故答案为：3【点睛】本题考查正方形的性质，旋转的性质，根据题意得出d最大时点P的位置是解题的关键．三、解答题【解析】【分析】根据矩形性质得出∠ABC＝90°，AC＝BD，OA＝OC＝12AC，OB＝OD＝12BD，推出OA＝OB，求出等边三角形AOB，求出OA＝OB＝AB＝5，即可得出答案．【详解】解：∵∠BOC＝120°，∴∠AOB＝180°﹣120°＝60°，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，AC＝BD，OA＝OC＝12AC，OB＝OD＝12BD，∴OA＝OB，∵∠AOB＝60°，∴△AOB是等边三角形，∵AB＝5cm，∴OA＝OB＝AB＝5cm，∴AC＝2AO＝10cm，BD＝AC＝10cm．【点睛】本题考查了矩形的性质和等边三角形的性质和判定的应用，解此题的关键是求出OA、OB的长，题目比较典型，是一道比较好的题目．2、 (1)见解析(2)(3)224AD AB n= 【解析】【分析】（1）由折叠得AE GE =，由中点得AE DE =，由此得到结论；（2）连接EF ，依据DF 2CF =，求出DF 、CF ，根据长方形的性质得到9AB DC ==，由△ABE ≌△GBE ，得到9BG AB ==，证明Rt △EGF ≌Rt △EDF (HL )，得到6GF DF ==．由勾股定理求出BC 即可得到AD ；（3）设DF a =，则AB DC n DF na ==⋅=，得到()1BF BG GF na a n a =+=+=+，由勾股定理求出2BC ，再求出2224AD BC na ==，即可得到答案．(1)证明∵GBE 是由ABE △折叠而成，∴△ABE ≌△GBE ，∴AE GE =，∵E 是AD 的中点，∴AE DE =，∴GE DE =；(2)解：连接EF ，∵DF 2CF =， ∴229633DF DC ==⨯=， ∴963CF DC DF =-=-=．∵四边形ABCD 是长方形，∴AD BC =，9AB DC ==，90A C D ∠=∠=∠=︒．∵△ABE ≌△GBE ，∴9BG AB ==，90A BGE FGE ∠=∠=∠=︒．在Rt EGF 和Rt EDF 中，∵GE DE =，EF EF =∴Rt △EGF ≌Rt △EDF (HL )，∴6GF DF ==．∴9615BF BG GF =+=+=，在Rt BCF 中，∵15BF =，3CF =，∴BC∴AD BC ==＝．(3)解：设DF a =，则AB DC n DF na ==⋅=，∴()1CF DC DF na a n a =-=-=-，又∵BG AB na ==，GF DF a ==，∴()1BF BG GF na a n a =+=+=+，在Rt BCF 中，∵()1BF n a =+，()1CF n a =-，∴ ()()22222222114BC BF CF n a n a na =-=+--=，∴ 2224AD BC na ==， ∴2222244AD na AB n a n ==．【点睛】此题考查了矩形与折叠，全等三角形的判定及性质，勾股定理求线段长，解题的关键是掌握各知识点，考查分析问题能力及推理论证能力．3、见解析【解析】【分析】作射线AD ，在AD 上截取AB a ，作AB 的垂直平分线EF ，交线段AB 于点G ，在射线GC 上截取GC GA =，连接,CA CB ，则ABC 即为所求．【详解】如图所示，作射线AD ，在AD 上截取AB a ，作AB 的垂直平分线EF ，交线段AB 于点G ，在射线GC 上截取GC GA =，连接,CA CB ，则ABC 即为所求．【点睛】本题考查了作等腰直角三角形，掌握基本作图以及等腰直角三角形的性质是解题的关键．4、 (1)见解析(2)AD=2AB，理由见解析【解析】【分析】（1）由SSS证明△ABM≌△DCM，得出∠A=∠D，由平行线的性质得出∠A+∠D=180°，证出∠A=90°，即可得出结论；（2）先证明△BCM是等腰直角三角形，得出∠MBC=45°，再证明△ABM是等腰直角三角形，得出AB=AM，即可得出结果．(1)证明：∵点M是AD边的中点，∴AM=DM，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB =DC ，AB ∥CD ，在△ABM 和△DCM 中，AM DM AB DC BM CM =⎧⎪=⎨⎪=⎩， ∴△ABM ≌△DCM （SSS ），∴∠A =∠D ，∵AB ∥CD ，∴∠A +∠D =180°，∴∠A =90°，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴四边形ABCD 是矩形；(2)解：AD 与AB 之间的数量关系：AD =2AB ，理由如下：∵△BCM 是直角三角形，BM =CM ，∴△BCM 是等腰直角三角形，∴∠MBC =45°，由（1）得：四边形ABCD 是矩形，∴AD ∥BC ，∠A =90°，∴∠AMB =∠MBC =45°，∴△ABM 是等腰直角三角形，∴AB =AM ，∵点M 是AD 边的中点，∴AD =2AM ，∴AD =2AB ．【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的性质、平行线的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的的判定与性质等知识；熟练掌握平行四边形的性质，证明△ABM ≌△DCM 是解题的关键．5、 (1)①30°，②不变，30°(2)CD =，见解析【解析】【分析】（1）①先推出∠ADC ＝50°，在推出∠ADB ＝20°，从而得出结果；②同理①由AC ＝AD 推出∠ADC ＝90°−2α，由AB ＝AD 推出∠ADB ＝60°−2α，进而推出结果；（2）作AF ⊥CD 于F ，推出△ABE ≌△ACF ，进而得出△AEF 是等边三角形，再推出△ABE 是等腰直角三角形，进而得出关系．(1)解：①AC AD =，1801808022CAD ADC C ︒-∠︒-︒∴∠=∠==50=︒， AB AD =，180********BAD ADB B ︒-∠︒-︒∴∠=∠==20=︒， 5020BDC ADC ABD ∴∠=∠-∠=︒-︒30=︒，故答案是30；②不变，理由如下：AC AD =，180********CAD ADC C αα︒-∠︒-∴∠=∠===︒-， AB AD =，()180606022ADB B αα︒-︒+∴∠=∠==︒-，906022BDC ADC ABD αα⎛⎫∴∠=∠-∠=︒--︒- ⎪⎝⎭30=︒， (2)CD =，理由如下：如图，作AF CD ⊥于F ，AC AD =，CF DF ∴=，CE DE ⊥，90CED ∴∠=︒，12EF CF CD ∴==， AB AC =，B ACD ∠=∠，90BEA AFC ∠=∠=︒，()ΔΔABE ACF AAS ∴≅，BE CF ∴=，AE AF =，BAE CAF ∠=∠，CAF CAE BAE CAE ∴∠+∠=∠+∠即60EAF BAC ∠=∠=︒，ΔAEF ∴是等边三角形，AE EF ∴=，BE AE ∴=，ABE ∴∆是等腰直角三角形，45ADF ACF B ∴∠=∠=∠=︒，ACD ∴∆是等腰直角三角形，CD ∴==．【点睛】本题考查了旋转性质，等边三角形性质，等腰直角三角形性质，直角三角形性质，全等三角形判定和性质等知识，解决问题的关键是找出题目中线段间的关系．。

2021-2022学年度鲁教版(五四制)八年级数学下册第六章特殊平行四边形专题练习试题(含详细解析)

鲁教版（五四制）八年级数学下册第六章特殊平行四边形专题练习考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I 卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，BD ＝CD ，点E 为AC 的中点，连接DE ，若△ABC 的周长为20cm ，则△CDE 的周长为（）A ．10 cmB ．12 cmC ．14 cmD ．16 cm2、如图，在ABCD 中，19DAM ∠=︒，DE BC ⊥于E ，DE 交AC 于点F ，M 为AF 的中点，连接DM ，若2AF CD =，则CDM ∠的大小为（）．A ．112°B ．108°C ．104°D ．98°3、已知：在△ABC 中，AC =BC ，点D 、E 分别是边AB 、AC 的中点，延长DE 至点F ，使得EF =DE ，那么四边形AFCD 一定是（）A ．菱形B ．矩形C ．直角梯形D ．等腰梯形4、如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝4，对角线AC ，BD 相交于点O ，OE ⊥AC 交BC 于点E ，EF ⊥BD 于点F ，则OE ＋EF 的值为（）A B ．2 C ．52 D ．5、菱形周长为20，其中一条对角线长为6，则菱形面积是（）A ．48B ．40C ．24D ．126、如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，分别以点A 和B 为圆心，以大于12AB 的长为半径作弧，两弧相交于点M 和N ，作直线MN 交AB 于点D ，交BC 于点E ，连接CD ，若∠CDE ＝12∠B ，则∠A 等于（）A ．36°B ．40°C ．48°D ．54°7、正方形具有而矩形不一定具有的性质是（）A ．四个角相等B ．对角线互相垂直C ．对角互补D ．对角线相等8、如图已知：四边形ABCD 是平行四边形，下列结论中不正确的是（）A ．当AB=BC 时，它是菱形B ．当AC ⊥BD 时，它是菱形 C ．当AC=BD 时，它是正方形 D ．当∠ABC =90︒时，它是矩形9、已知菱形ABCD ，对角线AC =6，BD =8，则菱形ABCD 的面积为（）A ．48B ．36C ．25D ．2410、如图，在正方形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，E 为BC 上一点，CE ＝6，F 为DE 的中点．若OF 的长为1，则△CEF 的周长为（）A ．14B ．16C ．18D ．12第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、如图，90MON ∠=︒，矩形ABCD 的顶点A 、B 分别在边OM 、ON 上，当B 在边ON 上运动时，A 随之在OM 上运动，矩形ABCD 的形状保持不变，其中6AB =，2BC =．在运动过程中：（1）Rt AOB ∆斜边中线的长度是否发生变化___（填“是”或“否”）；（2）点D 到点O 的最大距离是___．2、直角三角形斜边上的中线等于斜边的________．符号语言：Rt△ABC中，∵∠ABC＝90°，OA＝OC，∴BO＝12AC．3、如图，菱形ABCD边长为4，∠B=60°，14DE AD=，14BF BC=，连接EF交菱形的对角线AC于点O，则图中阴影部分面积等于________________．4、如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，OC＝3，OD＝4，则菱形ABCD的面积为________；周长为________．5、如图，四边形ABCD 是菱形，AC 与BD 相交于点O ，添加一个条件：________，可使它成为正方形．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、如图，长方形纸片ABCD 沿对角线AC 折叠，设点D 落在D ′处，BC 交AD '于点E ．AB ＝6cm ，BC ＝8cm ．(1)求证AE ＝EC ；(2)求阴影部分的面积．2、如图，在等腰直角ABC 中，90BAC ∠=︒，点M 为BC 边上的中点．(1)如图1，若点D 、点E 分别为线段AC 、AB 上的点，且DC EA =，连接MD 、ME ，求证：ME MD ⊥；(2)如图2，若点D 为线段AC 上的点，点E 为线段AB 延长线上的点，且DC EB =，30AED ∠=︒，连接ED ，交BC 于点N ，EF 是AED ∠的角平分线，交AM 于点F ，连接AN 、FD ，探究线段AN 、FD 、AC 之间的数量关系，并给出证明．3、如图，在正方形ABCD 中，点E 、F 分别在线段BC 、CD 上，连接AE 、AF ，且BE ＝DF ．求证：AE ＝AF ．4、一次函数y ＝﹣23x +2的图象经过A （0，a ）、B （b ，0）两点． (1)求a 、b 的值，并画出一次函数的图象；(2)点C 是第一象限内一点，△ABC 为等腰直角三角形且∠C ＝90°，求点C 的坐标；(3)在（2）的条件下，将直线BC 向左平移恰好经过点A 时与x 轴交于点D ．求直线AD 、AB 与x 轴所围成的三角形的面积．5、请阅读下列材料：问题：如图1，点A ，B 在直线l 的同侧，在直线l 上找一点P ，使得AP +BP 的值最小．小军的思路是：如图2，作点A 关于直线l 的对称点A '，连接A B '，则A B '与直线l 的交点P即为所求．请你参考小军同学的思路，探究并解决下列问题：(1)如图3，在图2的基础上，设AA'与直线l的交点为C，过点B作BD⊥l，垂足为D．若CP＝1，PD ＝2，AC＝1，写出AP+BP的值为；(2)如图3，若AC＝1，BD＝2，CD＝6，写出此时AP+BP的最小值；(3)的最小值．-参考答案-一、单选题1、A【解析】【分析】根据三角形中位线定理求出DE，根据三角形的周长公式计算，得到答案．【详解】解：∵点E为AC的中点，∴AE=CE，∵BD＝CD，AB，∴DE=12∵△ABC 的周长为20，即AB +BC +AC =20cm ，∴△CDE 的周长＝DE ＋CD ＋CE ＝12（AB +BC +AC ）=10cm ，故选：A ．【点睛】本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．2、C【解析】【分析】根据平行四边形及垂直的性质可得ADF 为直角三角形，再由直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半可得AM MF DM ==，由等边对等角及三角形外角的性质得出38DMC DCM ∠=∠=︒，根据三角形内角和定理即可得出．【详解】解：∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AD BC ∥，∵DE BC ⊥，∴DE AD ⊥，∴ADF 为直角三角形，∵M 为AF 的中点，∴AM MF DM ==，∴2AF DM =，19MDA MAD ∠=∠=︒，∵2AF CD =，∴DM CD =，∴38DMC DCM MDA MAD ∠=∠=∠+∠=︒，∴1801803838104CDM DCM DMC ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒，故选：C ．【点睛】题目主要考查平行四边形的性质，直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，等边对等角及三角形外角的性质和三角形内角和定理，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键．3、B【解析】【分析】先证明四边形ADCF 是平行四边形，再证明AC =DF 即可．【详解】解：∵E 是AC 中点，∴AE =EC ，∵DE =EF ，∴四边形ADCF 是平行四边形，∵AD =DB ，AE =EC ，∴DE =12BC ，∴DF =BC ，∵CA =CB ，∴AC =DF ，∴四边形ADCF 是矩形；故选：B ．【点睛】本题考查了矩形的判定、等腰三角形的性质、平行四边形的判定、三角形中位线定理；熟记对角线相等的平行四边形是矩形是解决问题的关键．4、A【解析】【分析】依据矩形的性质即可得到BOC ∆的面积为2，再根据BOC COE BOE S S S∆=+，即可得到OE EF +的值．【详解】解：2AB =，4BC =，∴矩形ABCD 的面积为8，AC == 12BO CO AC ∴== 对角线AC ，BD 交于点O ，BOC ∴∆的面积为2，EF OB ⊥，EO AC ⊥，BOC COE BOE S S S ∆∴=+，即11222CO EO OB EF =⨯+⨯，12)2EO EF ∴=+，)4EO EF +=，EO EF ∴+，故选：A ．【点睛】本题主要考查了矩形的性质，解题的关键是掌握矩形的四个角都是直角，矩形的对角线相等且互相平分．5、C【解析】【分析】由菱形对角线互相垂直且平分的性质、结合勾股定理解得4OA =，继而解得AC 的长，最后根据菱形的面积公式解题．【详解】解：如图，6BD =，菱形的周长为20，5AB ∴=，四边形ABCD 是菱形，132OB DB ∴==，OA OC =，AC BD ⊥，由勾股定理得4OA =，则8AC =，所以菱形的面积11682422AC BD =⋅=⨯⨯=．故选：C ．本题考查菱形的性质、勾股定理等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．6、D【解析】【分析】根据线段垂直平分线的性质得到∠BDE=∠ADE＝90°，AD＝BD，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，CD＝BD＝AD=12AB，由等边对等角可得∠B＝∠DCE，∠A＝∠ACD，设∠CDE＝x,则∠B＝∠DCE=2x，∠ADC=90°-x，∠A=45°+12x，由直角三角形两锐角互余得45°+12x+2x=90°，解得x值，即可求解.【详解】解：由题意可知：MN为AB的垂直平分线，∴∠BDE=∠ADE＝90°，AD＝BD，∵∠ACB＝90°，∴CD＝BD＝AD=12AB，∴∠B＝∠DCE，∠A＝∠ACD，设∠CDE＝x,则∠B＝∠DCE=2x，∠ADC=90°-x，∴∠A=12（180°-∠ADC）=45°+12x，∴∠A+∠B＝45°+12x+2x=90°，解得：x=18°，∴∠A=45°+12x=54°，故选：D．此题考查了直角三角形斜边上的中线、线段垂直平分线的性质、三角形外角的性质及等腰三角形的性质，注意垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．7、B【解析】略8、C【解析】【分析】根据矩形、菱形、正方形的判定逐个判断即可．【详解】解：A、∵四边形ABCD是平行四边形，又∵AB=BC，∴四边形ABCD是菱形，故本选项不符合题意；B、∵四边形ABCD是平行四边形，又∵AC⊥BD，∴四边形ABCD是菱形，故本选项不符合题意；C、∵四边形ABCD是平行四边形，又∵AC=BD，∴四边形ABCD是矩形，故本选项符合题意；D、∵四边形ABCD是平行四边形，又∵∠ABC=90°，∴四边形ABCD是矩形，故本选不项符合题意；【点睛】本题考查了对矩形的判定、菱形的判定，正方形的判定的应用，能正确运用判定定理进行判断是解此题的关键，难度适中．9、D【解析】【分析】根据菱形的面积等于对角线乘积的一半列式计算即可得解．【详解】解：∵菱形ABCD 的对角线AC =8，BD =6，∴菱形的面积S =12AC •BD =12×8×6=24．故选：D ．【点睛】本题考查了菱形的性质，熟练掌握菱形的面积等于对角线乘积的一半是解题的关键．10、B【解析】【分析】根据中位线的性质及直角三角形斜边上中线的性质可得：22ED CF EF ==，结合图形得出CEF 的周长为EF EC FC ED EC ++=+，再由中位线的性质得出22BE OF ==，在Rt CED 中，利用勾股定理确定10ED =，即可得出结论．【详解】解：在正方形ABCD 中，BO DO =，BC CD =，90BCD ∠=︒，∵F 为DE 的中点，O 为BD 的中点，∴OF 为DBE 的中位线且CF 为Rt CDE 斜边上的中线，∴22ED CF EF ==，∴CEF 的周长为EF EC FC ED EC ++=+，∵1OF =，∴22BE OF ==，∵6CE =，∴268BC BE CE =+=+=，∴8CD BC ==，在Rt CED 中，90ECD ∠=︒，8CD =，6CE =，∴10ED ==，∴CEF 的周长为10616EF EC FC ED EC ++=+=+=，故选：B ．【点睛】题目主要考查正方形的性质，三角形中位线的性质，勾股定理，直角三角形斜边中线的性质等，理解题意，熟练掌握运用各个知识点是解题关键．二、填空题1、否3【解析】【分析】（1）设斜边中点为Q ，根据直角三角形斜边中线132OQ AB ==即可；（2）取AB 的中点Q ，连接OQ 、DQ 、OD ，根据三角形的任意两边之和大于第三边可知当O 、D 、Q 三点共线时，点D 到点O 的距离最大，再根据勾股定理列式求出DQ 的长，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出OQ 的长，两者相加即可得解．【详解】解：（1）如图，设斜边中点为Q ，在运动过程中，斜边中线1 3.2OQ AB == AB 长度不变，故OQ 不变，故答案为：否；（2）连接OQ 、DQ 、OD ，在矩形的运动过程当中，根据三角形的任意两边之和大于第三边有DQ OQ OD +，当D 、Q 、O 三点共线时，则有DQ OQ OD +=，此时，OD 取得最大值，如图所示， Q 为AB 中点，132AQ AB ∴==，又2AD BC ==，DQ ∴=3OD DQ OQ ∴=+=．3+．【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到性质，三角形的三边关系，矩形的性质，勾股定理，根据三角形的三边关系判断出点O 、Q 、D 三点共线时，点D 到点O 的距离最大是解题的关键．2、一半【解析】略3【解析】【分析】由菱形的性质可得AD CD =，//AD BC ，60ABC ADC ∠=∠=︒，由“AAS ”可证AEO CFO ∆≅∆，可得AO CO =，由面积的和差关系可求解．【详解】解：连接CE ，四边形ABCD 是菱形，AD CD ∴=，//AD BC ，60ABC ADC ∠=∠=︒，ADC ∴∆是等边三角形，DAC ACB ∠=∠，2ADC S AD ∆∴= 14DE AD =，14BF BC =， AE CF ∴=，在AEO ∆和CFO ∆中，AOE COF EAC BCA AE CF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ()AEO CFO AAS ∴∆≅∆，AO CO ∴=， 14DE AD =，14CDE ADC S S ∆∆∴=ACE S ∆= AO CO =，AOE COE S S ∆∆∴== ∴阴影部分面积=．【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．4、 24 20【解析】略5、90BAD ∠=【解析】【分析】根据“有一个角是直角的菱形是正方形”可得到添加的条件．【详解】如果 90BAD ∠=，那么四边形ABCD 是正方形．故答案为：90BAD ∠= ．【点睛】本题考查了正方形的判定，解决本题的关键是熟练掌握正方形的判定定理．三、解答题1、 (1)证明见解析 (2)275cm 4【解析】【分析】（1）先根据折叠的性质可得EAC DAC ∠=∠，再根据矩形的性质、平行线的性质可得DAC ACB ∠=∠，从而可得EAC ACB ∠=∠，然后根据等腰三角形的判定即可得证；（2）设cm AE EC x ==，从而可得(8)cm BE x =-，先在Rt ABE △中，利用勾股定理可得x 的值，再利用三角形的面积公式即可得．(1)证明：由折叠的性质得：EAC DAC ∠=∠，四边形ABCD 是长方形，AD BC ∴，DAC ACB ∴∠=∠，EAC ACB ∴∠=∠，AE EC ∴=．(2)90B ∴∠=︒，设cm AE EC x ==，则(8)cm BE BC EC x =-=-，在Rt ABE △中，222AB BE AE +=，即2226(8)x x +-=，解得254x =，即25cm 4EC =，则阴影部分的面积为21125756(cm )2244EC AB ⋅=⨯⨯=．【点睛】本题考查了矩形与折叠问题、等腰三角形的判定、勾股定理等知识，熟练掌握矩形与折叠的性质是解题关键．2、 (1)见解析(2)22AC AN FD =+，见解析【解析】【分析】（1）连接AM ，证明()MEA MDC SAS ≅△△，根据等角的余角相等即可证明90EMD AMC ∠=∠=︒，进而可得ME MD ⊥；（2）过D 作DG AC ⊥，交BC 于点G ，过F 分别作FP AD ⊥，FH ED ⊥，FQ AB ⊥，垂足分别为P 、H 、Q ，证明()EBN DGN AAS ≅△△，进而证明DF 是ADE ∠的角平分线，EF 是AED ∠的角平分线，可得FH FP FQ ==，结合含30度角的直角三角形的性质，可得2AC AB AC AE AD QE QA AP PD =+=+=+++，进而可得22AC AN FD =+(1)证明：连接AM ，∵点M 为等腰直角ABC 为斜边BC 上的中点，∴AM BC ⊥，AM MC =，45MAE MCD ∠=∠=︒，∵DC EA =，∴()MEA MDC SAS ≅△△∴EMA DMC ∠=∠∴EMA AMD DMC AMD ∠+∠=∠+∠即90EMD AMC ∠=∠=︒，∴ME MD ⊥(2)过D 作DG AC ⊥，交BC 于点G ，过F 分别作FP AD ⊥，FH ED ⊥，FQ AB ⊥，垂足分别为P 、H 、Q∵在等腰直角ABC 中，45C ∠=︒，且DG AC ⊥，∴GDC 为等腰直角三角形，∴GD CD =，∵DC EB =，∴GD EB =，90BAC ∠=︒BA AC ∴⊥DG EA ∴∥BEN GDN ∴∠=∠又ENB DNG ∠=∠∴()EBN DGN AAS ≅△△∴EN DN =，∴2ED AN =，∵EF 是AED ∠的角平分线，而45MAB MAD ∠=∠=︒，∴DF 是ADE ∠的角平分线，在Rt ADE △中，90EAD ∠=︒，30AED ∠=︒∴60ADE ∠=︒∴30FDH ∠=︒∵FP AD ⊥，FH ED ⊥，FQ AB ⊥，∴FH FP FQ ==，EH EQ =，AP AQ =，DP DH =，∴2AC AB AC AE AD QE QA AP PD =+=+=+++22HE HF HF HD DE HF AN FD =+++=+=+.即22AC AN FD =+.【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，含30度角的直角三角形的性质，角平分线的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，掌握以上知识是解题的关键．3、见解析．【解析】【分析】利用正方形的性质可证明△ABE ≌△ADF ，可得AE ＝AF ．【详解】证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴AB ＝AD ，∠B ＝∠D ＝90°，∵BE ＝DF ，在Rt△ABE 与Rt△ADF 中，AB AD B D BE DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴Rt△ABE ≌Rt△ADF （SAS ），∴AE ＝AF ．【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，掌握正方形的性质是解题的关键．4、 (1)2a =，3b =，图见解析 (2)55(,)22C(3)135【解析】【分析】（1）分别将点,A B 代入一次函数的解析式即可得,a b 的值，再利用描点法画出函数图象即可；（2）分点C 在直线AB 上方和点C 在直线AB 下方两种情况，作CM x ⊥轴于点M ，作CN y ⊥轴于点N ，先根据三角形全等的判定定理证出ACN BCM ≅，根据全等三角形的性质可得,AN BM CN CM ==，再根据正方形的判定与性质可得ON OM =，然后结合点C 是第一象限内一点即可得出答案；（3）先利用待定系数法分别求出直线,BC AD 的解析式，从而可得点D 的坐标，再利用三角形的面积公式即可得．(1)解：将点(0,)A a 代入223y x =-+得：2a =，将点(,0)B b 代入223y x =-+得：2203b -+=，解得3b =，利用描点法画出函数的图象如下所示：(2)解：如图，当点C 在直线AB 上方时，作CM x ⊥轴于点M ，作CN y ⊥轴于点N ，则四边形OMCN 是矩形，90MCN ∴∠=︒，90ACN ACM ∴∠+∠=︒，90ACB ∠=︒，90BCM ACM ∴∠+∠=︒，ACN BCM ∴∠=∠， ABC 是等腰直角三角形，AC BC ∴=，在ACN △和BCM 中，90ACN BCM ANC BMC AC BC ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩， ()ACN BCM AAS ∴≅，,AN BM CN CM ∴==，∴矩形OMCN 是正方形，ON OM ∴=，OA AN OB BM OB AN ∴+=-=-，由（1）可知，(0,2),(3,0)A B ，2,3OA OB ∴==，23AN AN ∴+=-，解得12AN =， 52OM ON OA AN ∴==+=， ∴此时点C 的坐标为55(,)22C ；如图，当点C 在直线AB 下方时，同理可得：此时点C 的坐标为11(,)22C -，点C 是第一象限内一点，11(,)22C ∴-不符题意，舍去，综上，点C 的坐标为55(,)22C ． (3)解：设直线BC 的解析式为y kx m =+，将点55(3,0),(,)22B C 代入得：305522k m k m +=⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得515k m =-⎧⎨=⎩，则直线BC 的解析式为515y x =-+，由一次函数图象的平移性质可设直线AD 的解析式为5y x n =-+，将点(0,2)A 代入得：2n =，则直线AD 的解析式为52y x =-+，当0y =时，520x -+=，解得25x =，即2(,0)5D ， 213355BD ∴=-=，则所求的三角形的面积为11131322255BD OA ⋅=⨯⨯=．【点睛】本题考查了一次函数的几何应用、三角形全等的判定定理与性质、正方形的判定与性质等知识点，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题关键．5、【解析】【分析】（1）作AE ∥l ，交BD 的延长线于E ，根据已知条件求得△CPA ’是等腰直角三角形，然后得到△BEA ’是等腰直角三角形，从而求得A ’B 的值；（2）作AE ∥l ，交BD 的延长线于E ，根据已知条件求得BE 、A ’E ，然后根据勾股定理即可求得A ’B ，从而求得AP ＋BP 的值；（3）设AC＝5m−3，PC＝1，则PA BD＝8−5m，PD＝3，则PB，结合（2）即可求解．(1)解：作A’E∥l，交BD的延长线于E，如图3，∵AA’⊥l，BD⊥l，∴DE⊥A’E∴四边形A’EDC是矩形，∵CP＝ AC＝1∴CP＝ A’C∴△CPA’是等腰直角三角形，∴∠CA’P=45°∵A’E∥l，∴∠CA’E=90°∴∠BA’E=45°∴△BEA’是等腰直角三角形，∵A’E=CP+DP=3∴BE=A’E=3∴A’B=∴AP+BP= A’B故答案为：(2)作A’E∥l，交BD的延长线于E，如图3，∵AA’⊥l，BD⊥l，∴DE⊥A’E∴四边形A’EDC是矩形，∴A’E＝DC＝6，DE＝A’C＝AC＝1，∵BD＝2，∴BD＋AC＝BD＋DE＝3，即BE＝3，在Rt△A’BE中，A’B∴AP＋BP＝A’P＋BP＝A’B＝故答案为：(3)如图3，设AC＝5m−3，PC＝1，则PA设BD＝8−5m，PD＝3，则PB，∵DE＝AC＝5m−3，∴BE＝BD＋DE＝5，A’E＝CD＝PC＋PD＝4，∴PA＋PB的最小值为A’B=【点睛】本题考查了轴对称−最短路线问题，熟练掌握轴对称的性质和勾股定理的应用是解题的关键．。

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全章综合测评题
一、选择题
1、菱形具有而矩形不一定具有的性质是（）。

A、对角线互相平分
B、对角线相等
C、对角互补
D、对角线互相垂直
2、如图，正方形ABCD的对角线BD是菱形BEFD的一边，菱形BEFD的对角线交正方形ABCD的一边CD于点P，∠FPC的度数是（）。

A、135°
B、120°
C、112.5°
D、67.5°
第2题图第3题图
3、将一矩形纸片对折后再对折，如图（1）、（2），然后沿图（3）中的虚线剪下，得到①、②两部分，将②展开后得到的平面图形一定是（）。

A、平行四边形
B、矩形
C、菱形
D、正方形
4、已知菱形ABCD的面积为96cm2，对角线AC的长为16cm，则此菱形的边长为（）。

A 、32cm B、10cm C、14cm D、20cm
5、顺次连接四边形ABCD各边的中点，得到四边形EFGH，在下列条件中，能使四边形EFGH为矩形的是（）。

A、AB=CD
B、AC=BD
C、A D∥BC
D、AC⊥BD
6、如图，将边长为8cm的正方形ABCD折叠，使点D落在BC边的中点E处，点A 落在F处，折痕为MN，则线段CN的长是（）
A、2cm
B、3cm
C、4cm
D、5cm
第6题图第8题图第11题图
7、下列说法中，错误的是（）
A、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
B、两条对角线互相垂直且平分的四边形是菱形
C、四个角都相等的四边形是矩形
D、邻边相等的菱形是正方形
8、如图，E、F、G、H分别是四边形ABCD四条边的中点，要使四边形EFGH
为矩形，则四边形ABCD应具备的条件是（）
A、一组对边平行而另一组对边不平行
B、对角线相等
C、对角线互相垂直C、对角线互相平分
9、如图，在给定的一张平行四边形纸片上作一个菱形。

甲、乙两人的作法如下：
甲：连接AC，作AC的垂直平分线MN分别交AD、AC、BC于M、O、N，
连接AN、CM，
则四边形ANCM是菱形。

乙：分别作∠A，∠B的平分线AE、BF，分别交BC、AD于E、F，连接EF，
则四边形ABEF是菱形。

根据两人的作法可判断（）。

A、甲、乙均正确
B、甲正确，乙不正确
C、乙正确，甲错误
D、甲、乙均错误
第9题图
10、一个菱形的周长是20cm，两条对角线的比是4:3，则这个菱形的面积是（）
A、12
B、96
C、48
D、24
二、填空题
11、将一矩形纸片折叠成如图所示的形状，则∠ABC=____________.
12、如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AC=10cm，∠ACB=30°，
则∠AOB=_________，AD=_________cm.
13、如图，在菱形ABCD中，F为边BC的一点，DF与对角线AC交于点M，过
M 作ME⊥CD于点E，∠1=∠2.若CE=1，则AD=___________。

第12题图第13题图第14题图
14、如图，四边形ABCD是正方形，△BCE是等边三角形，则∠AED=_________.
15、如图，菱形ABCD和菱形ECGF的边长为2和3，∠A=120°，则阴影部分的面
积为_______________.
16、将n个边长都为2cm的正方形按如图所示的方法摆放，点A1，A2，A3,……，A
n
分别是正方形的中心，则2015个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为_________cm2.
第15题图第16题
三、解答题
17、作图题（用圆规、直尺作图，不写作法，保留作图痕迹）
作一个菱形，使它的两条对角线长分别为a，b. 18、如图，△ABC中，D、E、F分别是各边的中点，连接AE、DF。

（1）AE、DF有什么关系？
（2）△ABC满足什么条件时，A E⊥DF?
（3）△ABC满足什么条件时，AE=DF?
（4）△ABC满足什么条件时，四边形ADEF是正方形？
第18题图
19、如图，在矩形ABCD中，M、N分别是边AD、BC的中点，E、F分别是线段BM、CM的中点。

（1）判断四边形MENF是什么特殊四边形，并证明你的结论；
（2）若AD=2AB，四边形MENF是什么特殊四边形？
第19题图
20、如图，已知在正方形ABCD中，点E、F分别在BC和CD上，AE=AF。

（1）求证：BE=DF
(2)连接AC交EF于点O，延长OC至点M，使OM=OA，连接EM、FM。

判断四边形AEMF是什么特殊四边形？并证明你的结论。

第20题图21、如图，已知平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，E是BD延长线上的点，
且△ACE是等边三角形。

（1）求证：AD=DC
(2 ) 若∠AED=2∠EAD，判断四边形ABCD是怎样的特殊四边形？并证明你的猜想。

第21题图。