零输入响应与零状态响应

信号与系统课程设计报告书

课题名称 零输入响应与零状态响应

姓 名

梁何磊

学 号 20086354 院、系、部 电气系 专 业 电子信息工程 指导教师

孙秀婷 康朝红

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2008级信号与系统课

程设计

2011年1月11日

连续时间系统的LTI 系统的时域仿真 -------零输入响应与零状态响应

20086354 梁何磊

一、设计目的

掌握信号经过LTI 系统的时域分析方法。 巩固已经学过的知识，加深对知识的理解和应用，加强学科间的横向联系，学会应用MATLAB 对实际问题进行仿真。学会对带有非零起始状态的LTI 系统进行仿真。

二、设计要求

（1）根据实际问题建立系统的数学模型，对给定的如下电路，课本第二章例2-8，参数如图所示；建立系统的数学模型，并计算其完全响应；

（2）用MATLAB 描述此系统；

（3）仿真实现并绘制输出信号的波形。要求用两种方法仿真实现完全响应。对仿真结果进行比较，并与理论值比较。

三、设计方法与步骤：

一般的连续时间系统分析有以下几个步骤: ①求解系统的零输入响应; ②求解系统的零状态响应; ③求解系统的全响应; ④分析系统的卷积；⑤画出它们的图形. 下面以具体的微分方程为例说明利用MATLAB 软件分析系统的具体方法.

1．连续时间系统的零输入响应

描述n 阶线性时不变（LTI ）连续系统的微分方程为：

已知y 及各阶导数的初始值为y(0),y (1)(0)，… y (n-1)(0)， 求系统的零输入响应。 建模

当LIT 系统的输入为零时，其零输入响应为微分方程的其次解（即令微分方程的等号右端为零），其形式为（设特征根均为单根）

1121111n n m n n m m n n m d y d y dy d u du a a a a y b b b u dt

dt dt dt dt -++-++⋅⋅⋅⋅⋅++=+⋅⋅⋅⋅++1212()n p t

p t p t n y t C e C e C e =+

+⋅⋅⋅⋅+()4=t e ()t L H 41=

L Ω

=232

其中p 1,p 2,…,p n 是特征方程a 1λn +a 2λn-1+…+a n λ+a n =0的根，它们可以用root(a)语句求得。各系数 由y 及其各阶导数的初始值来确定。对此有

………………………………………………………………………………………

写成矩阵形式为: P 1n-1C 1+ P 2n-1C 2+…+ P n n-1C n =D n-1y 0

1012

2011111

20111n n n n n n n C y p p p C Dy p p p C D y ----⋅⋅⋅⎡⎤⎡⎤⎡⎤

⎢⎥⎢⎥⎢⎥⋅⋅⋅

⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⋅⋅⋅

⎣⎦⎣⎦⎣⎦

即 V •C=Y 0 其解为：C=V\Y 0 式中

V 为范德蒙矩阵，在matlab 的特殊矩阵库中有vander 。 以下面式子为例：

)(6)('4)(3)('2)("t f t f t y t y t y -=++

初始条件为2_)0(=y ,7_)0('=y ；

MATLAB 程序：

a=input('输入分母系数a=[a1,a2,...]='); n=length(a)-1;

Y0=input('输入初始条件向量 Y0=[y0,Dy0,D2y0,...]='); p=roots(a);V=rot90(vander(p));c=V\Y0'; dt=input('dt=');te=input('te='); t=0:dt:te;y=zeros(1,length(t)); for k=1:n y=y+c(k)*exp(p(k)*t);end plot(t,y);grid

xlabel('t') ;ylabel('y'); title('零输入响应'); 程序运行结果：

用这个通用程序来解一个三阶系统，运行此程序并输入

120n C C C y ++⋅⋅⋅⋅+=11220

n n p C p C p C Dy ++⋅⋅⋅⋅+=11111

1220

n n n n n n p C p C p C D y

----++⋅⋅⋅⋅+=1211112111n n n n n p p p V p p p ---⋅⋅⋅⎡⎤⎢⎥⋅⋅⋅⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⋅⋅⋅⎣⎦

[]

12n C C C C =⋅⋅⋅1000n C y Dy D y -⎡⎤=⋅⋅⋅⎣⎦

a=[1,2,3] Y0=[2,7] dt=0.002 te=7

结果如下图：根据图可以分析零输入响应，它的起始值与输入函数无关，只与它的初始状态值有关，其起始值等于y(0_)的值。随着时间的推移，最后零输入响应的值无限的趋近于0。

2．连续时间系统零状态响应的数值计算

我们知道，LTI 连续系统可用如下所示的线性常系数微分方程来描述，

()

()

()()N

M

i j i j i j a y t b f t ===∑∑

例如，对于以下方程:

''''''''''''32103210()()()()()()()()

a y t a y t a y t a y t

b f t b f t b f t b f t +++=+++可用32103210[,,,],[,,,],a a a a a b b b b b ==输入函数()u f t =，得出它的冲激响应h ，再根据LTI 系统的零状态响应y （t ）是激励u （t ）与冲激响应h （t ）的

卷积积分。 注意，如果微分方程的左端或右端表达式中有缺项，则其向量a 或b 中的对应元素应为零，不能省略不写，否则出错。

求函数的零状态响应

)(6)('4)(3)('2)("t f t f t y t y t y -=++

及初始状态

'

(0)(0)0zs zs y y --==。输入函数)*5cos()*2sin(t t y +=。

建模

先求出系统的冲激响应，写出其特征方程 0322=++λλ

求出其特征根为p 和p ，及相应的留数r ，r ；则冲激响应为

1212

()p t p t

h t r e r e =+