信号与系统 零输入响应和零状态响应资料
§2.4 零输入响应和零状态响应
各种响应用初始值确定待定系数的区别： （2）各种响应用初始值确定待定系数的区别：
在经典法求全响应的待定系数时， 在经典法求全响应的待定系数时，用的是 状初始值。 0＋状初始值。 在求系统零输入响应时，用的是0－状态初始值。 在求系统零输入响应时，用的是0 状态初始值。 在求系统零状态响应时， 状态初始值， 在求系统零状态响应时，用的是 0＋ 状态初始值， 这时的零状态是指0 状态为零。 这时的零状态是指0－状态为零。
（4）0＋状态的确定
已知0 状态求0 状态的值， 已知0－状态求0＋状态的值，可用冲激函数匹 配法。见有关参考资料。 配法。见有关参考资料。 状态的值还可以用拉普拉斯变换中的初值 求0＋状态的值还可以用拉普拉斯变换中的初值 定理求出 求出。 定理求出。
三．对系统线性的进一步认识
由常系数微分方程描述的系统在下述意义上是线性的， 由常系数微分方程描述的系统在下述意义上是线性的， 响应可分解为：零输入响应＋零状态响应。 (1)响应可分解为：零输入响应＋零状态响应。 零状态线性： 当起始状态为零时， (2) 零状态线性 ： 当起始状态为零时 ， 系统的零状态响 应对于各激励信号呈线性。 应对于各激励信号呈线性。 (3)零输入线性 当激励为零时， 零输入线性： (3)零输入线性：当激励为零时，系统的零输入响应对 于各起始状态呈线性
信号与系统
Signals and Systems
§时域分析双零法——
零输入响应＋ 零输入响应＋零状态响应
一．起始状态与激励源的等效转换
在一定条件下，激励源与起始状态之间可以等效转换。 在一定条件下，激励源与起始状态之间可以等效转换。 即可以将原始储能看作是激励源。 即可以将原始储能看作是激励源。
外加激励源 系统的完全响应 共同作用的结果 可以看作 起始状态等效激励源 零状态响应” 系统的完全响应 = 零输入响应 + “零状态响应 零状态响应 线性系统具有叠加性) (线性系统具有叠加性)
信号与系统实验-实验一 零状态输入零状态响应
三、实验原理
1、零输入响应与零状态响应： 零输入响应： 没有外加激励的作用， 只有起始状态 （起始时刻系统储能） 所产生的响应。 零状态响应：不考虑起始时刻系统储能的作用（起始状态等于零） 。 2、典型电路分析： 电路的响应一般可分解为零输入响应和零状态响应。首先考察一个实例：在下图中由 RC 组成一电路，电容两端有起始电压 Vc(0-),激励源为 e(t)。
四实验结果高频r900高频r902中频r900中频r902低频r900低频r902五思考题图211所示电路中根据实验提供的实验元件计算系统的零状态和零输入过程
实验一 零状态输入零状态响应
一、实验内容
1、观察零输入响应的过程。 2、观察零状态响应的过程。
二、实验器材
1、信号与系统实验箱一台（主板） 。2、系统时域与频域分析模块一块。 3、20MHz 示波器一台。
压值开始，以指数规律进行衰减。 第二项与起始储能无关， 只与输入激励有关， 被称为零状态响应。 在不同的输入信号下， 电路会表征出不同的响应。
四、实验结果
高频 r900 高频 r902
中频 r900
中频 r902
低频 r900
低频 r902
五、思考题 图 2-1-1 所示电路中，根据实验提供的实验元件，计算系统的零状态和零输入过程。 解答：
R + e (t) C _ + Vc(0-) Vc(t)
图 2-1-1 则系统响应－电容两端电压：
t
RC 电路
1 ( t ) 1 RC e e()de RC Vc (0)
上式中第一项称之为零输入响应， 与输入激励无关， 零输入响应 e
Vc (0) 是以初始电
零输入响应和零状态响应
计算方法
利用系统的传递函数和初始条 件进行计算。
通过求解常微分方程或差分方 程ห้องสมุดไป่ตู้找到系统的零输入响应。
在MATLAB/Simulink等仿真软 件中，可以通过设置系统的初 始状态来模拟零输入响应。
02 零状态响应
定义
零状态响应：是指在系统无输入 信号的情况下，系统对初始状态
产生的响应。
描述了系统在没有输入信号作用 时，其内部状态的变化情况。
零状态响应完全取决于系统本身 的特性，与输入信号无关。
产生原因
系统内部存在储能元件（如电容、电 感），当输入信号为零时，储能元件 的能量不会立即消失，而是会以某种 形式继续存在并产生响应。
系统参数（如电阻、电感、电容等） 发生变化，导致系统内部状态发生变 化，从而产生零状态响应。
计算方法
根据系统的传递函数 和初始状态进行计算。
针对复杂系统和多尺度问题，发展基于零输入响应和零状态响应的跨学科 解决方案，促进各领域之间的交流与合作。
探索零输入响应和零状态响应在可持续发展、环境保护、公共安全等领域 的潜在应用价值，为社会发展和人类福祉做出贡献。
技术创新
开发高效、稳定的零输入响应和零状态响应算 法，提高计算效率和精度，降低计算成本。
零状态响应
零状态响应描述的是系统在外部输入作用下的输出变化。通过研究零状态响应， 可以了解系统对不同类型输入的响应特性，进而设计出更好的控制系统。
系统建模与仿真
零输入响应
在系统建模与仿真中，零输入响应用 于描述系统的内部动态特性。通过分 析零输入响应，可以深入了解系统的 内部工作原理和稳定性。
零状态响应
零状态响应用于描述系统对外部输入 的响应特性。通过研究零状态响应， 可以预测系统在不同输入条件下的行 为表现，有助于优化系统的设计和控 制。
零状态响应与零输入响应
信号与系统第8讲零输入响应和零状态响应零输入响应和零状态响应的定义 ⏹从引起系统响应的根源出发，将系统全响应分为零输入响应和零状态响应，即 ⏹零输入响应是指没有外加激励信号（零输入）,仅由系统内部初始储能(电容储有电场能、电感储有磁场能)引起的响应； ⏹零状态响应是指系统内部储能为零（零状态)，仅由系统的外部的激励引起的响应。
)()()(t y t y t y zs zi +=零输入响应的求解设n 个特征根为 ()(1)(2)1210()()()'()()0n n n n n y t a y t a y t a y t a y t ----+++++=L 00111=++++--a a a n n n λλλΛ其特征方程为 12.nλλλL 零输入下，系统的微分方程为 系统的零输入响应与微分方程的齐次解相同 以下分三种情况讨论零输入响应的求解（2）若存在共轭复根，如 1,2j λαβ=±3123()(cos sin ),0n t t t zi n y t c t c t e c e c e t λλαββ=++++≥L (3) 若这些特征根中含有重根，设 r 12r λλλ===L 111121()[()],0n r t t t r zi r r n y t c c t c t e c e c e t λλλ+-+=++++++≥L L 1212(),0n t t t zi n y t c e c e c e t λλλ=+++≥L （1）若这些特征根都是单根，则由起始状态值确定待定系数【解】 特征方程为 其特征根为 λ1 = -1， λ 2= -3零输入响应为： (0)1,(0)2y y --'==得到：最后得到： 根据起始条件： 例1 已知系统微分方程应的齐次方程为： (0)1,(0)2y y --'==，求系统零输入响应。
)(3)('4)(''=++t y t y t y 0342=++λλ312()t tzi y t c e c e --=+312'()3t tzi y t c e c e --=--121=+c c 2321=--c c 251=c 232-=c 353()(),022t t zi y t e e t --=-≥例2 已知系统微分方程相应的齐次方程为：(0)1,(0)2y y --'==，求系统零输入响应。
实验一 零输入响应零状态响应
实验一零输入响应零状态响应一、实验目的1、掌握电路的零输入响应。
2、掌握电路的零状态响应。
3、学会电路的零状态响应与零输入响应的观察方法。
二、实验内容1、观察零输入响应的过程。
2、观察零状态响应的过程。
三、实验仪器1、信号与系统实验箱一台（主板）。
2、系统时域与频域分析模块一块。
3、20MHz示波器一台。
四、实验步骤1、把系统时域与频域分析模块插在主板上，用导线接通此模块“电源接入”和主板上的电源（看清标识，防止接错，带保护电路），并打开此模块的电源开关。
2、系统的零输入响应特性观察（1）接通主板上的电源，同时按下此模块上两个电源开关，将“时域抽样定理”模块中的抽样脉冲信号（SK1000用于选择频段，“频率调节”用于在频段内的频率调节，“脉宽调节”用于脉冲宽度的调节，以下实验都可改变以上的参数进行相关的操作），通过导线引入到“零输入零状态响应”的输入端。
（2）用示波器的两个探头，一个接输入脉冲信号作同步，一个用于观察输出信号的波形，当脉冲进入低电平阶段时，相当于此时激励去掉，即在低电平时所观察到的波形即为零输入信号。
（3）改变本实验的开关SK900的位置，观察到的是不同情况下的零输入响应，进行相应的比较3、系统的零状态响应特性观察（1）观察的方法与上述相同，不过当脉冲进入高电平阶段时，相当于此时加上激励，即此时零状态响应应在脉冲的高电平进行。
（2）改变本实验的开关SK900的位置，观察到的是不同系统下的零状态响应，进行相应的比较。
五、实验报告1、用两个坐标轴，分别绘制出零输入和零状态的输出波形。
2、通过绘制出的波形，和理论计算的结果进行比较。
六、实验思考题根据实验提供的实验元件，计算RC串联电路系统的零状态和零输入过程。
七、实验测试点的说明1、测试点分别为：“输入”（孔和测试钩）：阶跃信号的输入端。
“输出”：零输入和领状态的输出端。
“GND”：与实验箱的地相连。
2、调节点分别为：“S9”：此模块的电源开关。
零输入响应与零状态响应
零输⼊响应与零状态响应1.零输⼊响应与零状态响应在Matlab中，lsim函数还可以对带有⾮零起始状态的LTI系统进⾏仿真，使⽤⽅法为y=lsim(sys,u,t,x0)，其中sys表⽰LTI系统，⽮量u和t分别表⽰激励信号的抽样值和抽样时间，⽮量x0表⽰该系统的初始状态，返回值y是系统响应值。
如果只有起始状态⽽没有激励信号，或者令激励信号为0，则得到零输⼊响应。
如果既有初始状态也有激励信号，则得到完全响应。
请注意lsim函数只能对⽤状态⽅程描述的LTI系统仿真⾮零起始状态响应，函数ss（对传递函数描述的LTI系统将失效，函数tf）。
例2.5 给定如图所⽰电路，t<0时S处于1的位置⽽且已经达到稳态，将其看做起始状态，当t=0时，S由1转向2.分别求t>0时i(t)的零状态响应和零输⼊响应。
图2.1 例2.4 电路图解：由所⽰电路写出回路⽅程和结点⽅程分别得到状态⽅程和输出⽅程：下⾯将⽤两种⽅法计算完全响应。
第⼀种⽅法：⾸先仿真2V电压e作⽤⾜够长时间（10s）后系统进⼊稳态，从⽽得到稳态值x0，再以该值作为初始值仿真4V电压e作⽤下的输出rf，即是系统的完全响应，为充分掌握lsim函数的使⽤⽅法，还仿真了系统的零状态响应rzs和零输⼊响应rzi。
第⼆种⽅法：构造⼀个激励信号，先保持2V⾜够长时间再跳变为4V，然后即可以零初始状态⼀次仿真得到系统的完全响应r1。
对应程序如下：C=1;L=1/4;R1=1;R2=3/2;A=[-1/R1/C,-1/C;1/L,-R2/L];B=[1/R1/C;0];C=[-1/R1,0];D=[1/R1];sys=ss(A,B,C,D); %建⽴LTI 系统systn=[-10:0.01:-0.01]'; %⽣成-10s 到-0.01s 的抽样时间，间隔为0.01sen=2*(tn<0); %⽣成机理信号的抽样值e(t)=2[rn tn xn]=lsim(sys,en,tn); %仿真t<0时的输出信号x0=xn(length(en),:); %x0记录了初始状态的值t=[0:0.01:10]';e=4*(t>=0); %⽣成激励信号的抽样值e(t)=4ezi=0*(t>=0); %⽣成零输⼊信号的抽样值e(t)=0rzs=lsim(sys,e,t); %仿真零状态响应rzi=lsim(sys,ezi,t,x0); %仿真零输⼊响应rf=lsim(sys,e,t,x0); %仿真完全响应r1=lsim(sys,[en;e],[tn;t]); %⽤另⼀种⽅法仿真完全响应2. 冲激响应与阶跃响应如果分别⽤冲激信号和阶跃信号作激励，lsim 函数可仿真出冲激响应和阶跃响应。
零输入响应与零状态响应
零输入响应与零状态响应一、零输入响应1定义在没有外加激励时，仅有t = 0时刻的非零初始状态引起的响应。
取决于初始状态和电路特性，这种响应随时间按指数规律衰减。
2简介系统的零输入响应完全由系统本身的特性所决定，与系统的激励无关。
当系统是线性的，它的特性可以用线性微分方程表示时，零输入响应的形式是若干个指数函数之和。
指数函数的个数等于微分方程的阶数，也就是系统内部所含"独立"储能元件的个数。
假定系统的内部不含有电源，那么这种系统就被称为"无源系统"。
实际存在的无源系统的零输入响应随着时间的推移而逐渐地衰减为零。
零输入响应是系统微分方程齐次解的一部分。
3起始状态所谓的起始状态，是反映一个系统在初始观察时刻的储能状态。
以电系统为例，我们做如下约定:在研究t=0以后的响应时，把t=0(-)时的值uc(0-)和il(0-)等称为起始状态，而把t=0+时的值uc(0+)和il(0+)以及它们的各阶导数称为初始值或初始条件。
二、零状态响应1定义在动态电路中，动态元件的初始储能为零（即零初始状态）下，仅有电路的输入（激励）所引起的响应。
三、两种响应的区别零状态响应：0时刻以前响应为0（即初始状态为0），系统响应取决于从0时刻开始加入的信号f(t);零输入响应：从0时刻开始就没有信号输入（或说输入信号为0），响应取决于0时刻以前的初始储能。
四、两种响应的判断方法如果有电源激励就是，而元件本身没有电压或电流就是零状态，相反没有电源激励只有元件本身初始值电压电流，就是零输入响应。
五、两种响应的求解方法1零输入响应：就是没有外加激励，由初始储能产生的响应，它是齐次解的一部分；2零状态响应：就是初始状态为零，外加激励产生的响应。
它可以通过卷积积分来求解。
零状态响应等于单位样值相应和激励的卷积。
其中，单位样值相应就是系统函数的反拉式变换或z变换。
六、两种响应之间的联系引起电路响应的因素有两个方面，一是电路的激励，而是动态元件储存的初始能量。
零状态响应与零输入响应
零状态响应的求解-卷积法
系统的零状态响应为 yzs(t) f (t) fT (t)
LTI系统的零状态响应是系统的特征函数和强迫函数的卷积
f (t) b f (m) (t) b f (m1) (t) L b f '(t) b f (t)
m
m1
1
0
f (t) e1t (t) e2t(t) L ent(t) T
zi
1
2
y '(t) [(c c ) cost (c c )sin t]et
zi
21
21
根据起始条件： y(0 ) 1, y(0 ) 2
解得：
c1 1 c2 3
最后得到：
t
yzi (t) e (cost 3sin t),t 0
例3 已知系统微分方程相应的齐次方程为：y''(t) 2y'(t) y(t) 0
m
m1
1
0
强迫函数是方程右端输入信号及其各阶导数的组合
零状态响应的求解-卷积法
回顾一阶系统的微分方程
yzs(t) ayzs (t) f(t)
y (t)eat ay (t)eat eat f (t)
zs
zs
d dt
[
yzs
(t)eat
]
eat
f (t)
yzs(t)eat
t 0
t 0
ea
f (
r (3) 若这些特征根中含有 重根，设 1 2 L r
yzi (t) [(c1 c2t L
crt r1)e1t
c ert1 r 1
L
cnent ],t 0
例1 已知系统微分方程应的齐次方程为 y''(t) 4y'(t) 3y(t) 0 ：
信号与系统零输入响应和零状态响应资料课件
总结词
通过RLC电路的零输入响应和零状态响应分析，理解二阶线性时不变系统的动态行为。
详细描述
RLC电路由一个电阻R、一个电感L和一个电容C组成，当输入信号为零时，电感L和电容C上的电压和电流的响应称为零输入响应；当系统初始状态为零时，输入信号引起的电感L和电容C上的电压和电流的响应称为零状态响应。通过分析这两种响应，可以了解二阶线性时不变系统的动态行为。
零输入响应与零状态响应的比较
CATALOGUE
04
系统在没有输入信号作用下的输出信号的响应，是系统内部储能元件的能量耗散过程。求解方法通常采用经典法或现代法。
零输入响应
系统在输入信号作用下的输出信号的响应，是系统对输入信号的响应。求解方法通常采用经典法或现代法。
零状态响应
零输入响应具有以下特性
THANKS
感谢观看
总结词
系统是由若干相互关联和相互作用的元素组成的整体，这些元素可以是物理元件、电路元件、化学反应物等。系统的功能和行为是由这些元素的相互作用和关联所决定的。线性系统是指系统的输出与输入成正比的系统，而非线性系统则是指系统的输出与输入不成正比的系统。时变系统是指系统的参数随时间变化的系统，而时不变系统则是指系统的参数不随时间变化的系统。
详细描述
总结词：线性时不变系统具有一些重要的性质，如叠加性、均匀性、稳定性等。这些性质对于理解和分析系统的行为具有重要意义。
零输入响应
CATALOGUE
02
01
02
03
零状态响应
CATALOGUE
03
01
零状态响应：在动态系统中，当输入信号作用时，系统在没有初始状态的情况下产生的输出响应。
总结词
通过分析信号通过线性时不变系统的零输入响应和零状态响应，理解系统对不同类型信号的响应特性。
《信号与系统教学课件》§2.3零输入响应与零状态响应
下章预告
THANKS
感谢您的观看。
《信号与系统教学课件》
目录
引言 零输入响应 零状态响应 零输入响应与零状态响应的比较 总结
01
CHAPTER
引言
01
02
课程背景
随着信息技术的发展，信号与系统在现实生活和工程应用中的重要性日益凸显。
信号与系统是通信、电子、控制等领域的重要基础课程，为后续专业课程提供必要的知识储备。
零输入响应与零状态响应的定义
信号的运算与变换
信号的运算包括加减、乘除、翻转等基本运算，信号的变换包括傅里叶变换、拉普拉斯变换和Z变换等。这些运算和变换对于信号的分析和处理具有重要意义。
系统的稳定性分析
系统的稳定性是系统的重要特性之一，对于系统的分析和设计具有重要意义。稳定性分析的方法包括代数方法和几何方法，其中几何方法又包括极坐标和波德图等。
零输入响应
体现输入信号对系统的作用效果，是系统对输入信号的响应。
零状态响应
在系统中的作用
用于分析系统内部储能元件的动态特性，如电路中的电感、电容等。
用于分析系统对特定输入信号的响应，如控制系统中的输入信号对输出信号的影响等。
在实际应用中的选择
零状态响应
零输入响应
05
CHAPTER
总结
信号与系统的基本概念
线性时不变系统是信号与系统中最为常见的一类系统，其分析方法包括时域分析和频域分析。时域分析主要通过差分方程和卷积运算进行，频域分析主要通过傅里叶变换进行。
信号的分类与表示方法
信号可以根据不同的特性进行分类，如连续信号和离散信号、确定性信号和随机信号等。信号的表示方法包括时域表示法和频域表示法。
本章重点回顾
零输入响应与零状态响应的比较
零输入响应与零状态响应
信号与系统课程设计报告书课题名称 零输入响应与零状态响应姓 名梁何磊学 号 20086354 院、系、部 电气系 专 业 电子信息工程 指导教师秀婷 康朝红2011年1月11日※※※※※※※※※ ※ ※※ ※※ ※※※※※※※※※2008级信号与系统课程设计连续时间系统的LTI 系统的时域仿真 -------零输入响应与零状态响应20086354 梁何磊一、设计目的掌握信号经过LTI 系统的时域分析方法。
巩固已经学过的知识，加深对知识的理解和应用，加强学科间的横向联系，学会应用MATLAB 对实际问题进行仿真。
学会对带有非零起始状态的LTI 系统进行仿真。
二、设计要求（1）根据实际问题建立系统的数学模型，对给定的如下电路，课本第二章例2-8，参数如图所示；建立系统的数学模型，并计算其完全响应；（2）用MATLAB 描述此系统；（3）仿真实现并绘制输出信号的波形。
要求用两种方法仿真实现完全响应。
对仿真结果进行比较，并与理论值比较。
三、设计方法与步骤：一般的连续时间系统分析有以下几个步骤: ①求解系统的零输入响应; ②求解系统的零状态响应; ③求解系统的全响应; ④分析系统的卷积；⑤画出它们的图形. 下面以具体的微分方程为例说明利用MATLAB 软件分析系统的具体方法.1．连续时间系统的零输入响应描述n 阶线性时不变（LTI ）连续系统的微分方程为：已知y 及各阶导数的初始值为y(0),y (1)(0)，… y (n-1)(0)， 求系统的零输入响应。
建模当LIT 系统的输入为零时，其零输入响应为微分方程的其次解（即令微分方程的等号右端为零），其形式为（设特征根均为单根）1121111n n m n n m m n n m d y d y dy d u du a a a a y b b b u dtdt dt dt dt -++-++⋅⋅⋅⋅⋅++=+⋅⋅⋅⋅++()4=t e ()t L H 41=L Ω=232其中p1,p2,…,p n是特征方程a1λn+a2λn-1+…+a nλ+a n=0的根，它们可以用root(a)语句求得。
信号与系统§3.3 离散系统的零输入响应与零状态响应
零状态响应
定义：不考虑原始时刻系统储能的作用（起 始状态等于零），由系统的外加激励信号产 生的响应。
系统零状态响应：是在激励作用下求系统方
程的非齐次解，由状态值Vc值
t
0iL ( )d
0iL ( )d
故电路等效为起始状
态为零的电感L和电流 iL (t)
源Vc(0) u(t)的并联。
t0
v L (t )
L
iL (0 )
零输入响应
定义：没有外加激励信号的作用，只由起始 状态（起始时刻系统储能）所产生的响应。
系统零输入响应：实际上是求Vc(0和) il系(0统) 方程
电容器的等效电路
iC (t ) C
vC (t )
vc (0 ) 0, t 0
1
vc (t) C
t
iC ( )d
电路等效C1为vc起0(0始iC)状()态dC1为C零1t0的t0iC电iC((容 ))d与d电压源t V0c(0) u(t) 的
电容的等效电路电感的等效电路系统的完全响应可以看做?????????系统的完全响应零输入响应?零状态响应?共同作用的结果外加激励源起始状态激励源电容器的等效电路c??tvctic电路等效为起始状态为零的电容与电压源的串联c?tvctic?0?cv等效电路中的电容器的起始状态为零0?cvut00t0cv???1cctvtidc??????0110cctididcc????????????100cctvidc???????t0?电感的等效电路til???tvll故电路等效为起始状态为零的电感l和电流源的并联
串联
iC (t ) C
vC (t)
零输入响应和零状态响应
零输入响应和零状态响应
线性非时变系统的完全响应也可分解为零输 入响应和零状态响应。在激励信号加入系统之 前，系统原有的储能（如电容上的初始电压， 电感上的初始电流等）构成了系统的初始状态。
1.1 零输入响应的求取
1.2 零状态响应的求取
其中零状态响应的完全解的系数应在零状 态响应的全解中由初始条件
即
。因此，零状态响应的特解、齐次
解和完全解分别为
将零状态响应的初始条件 解得
代入上式
因此，此系统的零状态响应为 （3）求系统的完全响应。
其中，
信号与系统
确定。
1.3 系统的完全响应
系统的完全响应按性质可分为自由响应和 强迫响应，按来源可分为零输入响应和零状态 响应，它们的关系为
式中，
。
例1.1 已知某系统的微分方程模型为
初始条件
，输入
系统的零输入响应 ，零状态响应
全响应 。
解：（1）求零输入响应 。
由特征方程
，求 以及完
得单根
，因此零输入响应为
信号与系统零输入响应和零状态响应
零输入响应
系统零输入响应，实际上是求系统方程的齐次解，由非零的系 统起始状态值决定的初始值求出待定系数。
系统方程：
n
k0ak
dkyzi(t) dtk
0
起始条d件 kydz： itk(0) ck,k0,1,2,,n
自由响应＋强迫响应 (Natural+forced)
自由响应也：称固有响应，对应于齐次解。 由系统本身特性决 定，与外加激励形式无关，但与起始点点跳变有关系。
强迫响应： 形式取决于外加激励。对应于特解。
零输入响应＋零状态响应
(Zero-input+Zero-state)
零输入响应： 没有外加激励信号的作用，只由起始状态（起始时刻系 统储能）所产生的响应。
讨论：
➢用经典法从起始条件求出 t 0 时刻的初始条件的过程往往比较复杂，需
根据实际的物理系统的约束关系求解。
➢作为纯粹的数学问题，也可从起始条件求出 t 0 时刻的初始条件，有兴趣 的同学有参考有关的参考课。“微分方程冲激函数匹配原理判断0 时刻和0
时刻状态的变化 ”
➢在系统的时域分析中，引入冲激响应后，利用卷积积分求系统的零状态响应比
r 1 ( t) r z i( t) r z s ( t) 2 e 3 t s in ( 2 t) u ( t) r 2 ( t ) r z i( t ) 2 r z s ( t ) [ e 3 t 2 s i n ( 2 t ) ] u ( t )
对系统线性的进一步认识
解得 r z i(t) 2 r 1 (t) 2 r 2 (t) 3 e 3 tu (t) r z s ( t) r 1 ( t) r z i( t) [ e 3 t s i n ( 2 t) ] u ( t) r3(t)rzi(t)rzs(t t0)
信号与系统零输入和零状态响应问题和解答
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《信号与系统教学课件》§2.3零输入响应与零状态响应
卷积法
利用输入信号和系统的冲击响 应求得它的零状态响应。
设置初态与给予输入 如何计算完整响应
设置初态
将系统的初始状态先设置，再给予 一个输入信号，求出此条件下的输 出结果。
给予输入
将一部分的初始状态和输入信号叠 加在一起，求出此条件下的输出结 果。
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总结和要点
1 理解零状态响应和零输入响应的区别 3 了解如何计算系统的完整响应
2 掌握零状态响应和零输入响应的计算方
法
4 了解实际问题中零状态响应和零输入响
应的应用
零输入响应的计算方法
1
寻找系统的零输入响应
将系统输入为0，求出此条件下的输出。
2
插值法
由于信号的初始状态对零输入响应有影响，需要对初始状态进行插值，再求出相 应的零输入响应结果。
3
卷积法
利用被激励系统的冲击响应求得它的零输入响应。
零状态响应的计算方法
寻找系统的零状态响应
将系统初始状态设定为0，求出 对于任意输入条件下的输出。
深入探究《信号与系统教 学课件》§2.3
了解零输入响应与零状态响应的定义、区别以及应用场景。
零输入响应与零状态响应的区别
零输入响应和零状态响应分析
c xi e
i 1
i t
c fi e
i 1
n
i t
自由响应
零输入响应
零状态响应的 齐次解
X
第 14 页
两种分解方式的区别： 1、 自由响应与零输入响应的系数各不相同
X
各种系统响应定义
自由响应： 强迫响应： 暂态响应： 也称固有响应，由系统本身特性决定，与外加激励形 式无关。对应于齐次解。 形式取决于外加激励。对应于特解。 是指激励信号接入一段时间内，完全响应中暂时出现的 有关成分，随着时间t 增加，它将消失。
第 3 页
稳态响应： 由完全响应中减去暂态响应分量即得稳态响应分量。 零输入响应： 没有外加激励信号的作用，只由起始状态（起始时刻系 统储能）所产生的响应。 零状态响应： 不考虑原始时刻系统储能的作用（起始状态等于 零），由系统的外加激励信号产生的响应。
系统方程：
n d k y zi (t ) ak 0 k dt k 0 k d 起始条件： y zi (0 ) c , k 0,1,2, , n k dt k
解的形式：
yzi (t ) Ci ei t
i 1
n
由起始条件求待定系数。 X
三.求解
n d k y zs (t ) m d k x (t ) ak bk k k dt dt 系统方程： k 0 k 0 k d 起始条件： y zx (0 ) 0, k 0,1,2, , n dt k
解的形式：齐次解+特解
y (t ) Ci ei t y p (t )
i 1
n
由初始条件求待定系数。
X
三.求解
例2： 求系统的零状态响应
2-2零输入、零状态、冲激、阶跃响应
Azs1 Azs 2 0 故 Azs1 2 Azs 2 1
所以 rzs (t )
Azs1 1 Azs 2 1
2 t
(e e
t
)u(t )
哈尔滨工业大学自动化测试与控制系
信号与系统—signals and systems
4．稳态响应：t→∞ 时留下的响应分量 瞬态响应：t→∞ 时 趋于零的那部分响应 5．线性时不变系统概念的扩展 ①常系数线性微分方程，起始状态不为0，即 r ( k ) (0 ) 0 ， 则系统 i)不满足线性 {x(0-)} ≠0
求 rzi ( t ) 解： rzi (t ) A1e t A2 e 2t ，待定系数由r (0 )与r (0 ) 确定 将e(t)代入右端，得自由项= (t ) 目测法得： r (0 ) r (0 ) 1, r (0) - r (0-) 0 故 r (0 ) 1, r (0 ) 1
e1 (t ) r1 (t ) rzs1 (t ) rzi (t ) e2 (t ) r2 (t ) rzs 2 (t ) rzi (t )
e(t )
r (t ) rzs (t ) rzi (t )
e3 (t ) e1 (t ) e2 (t ) r3 (t ) rzs1 (t ) rzs 2 (t ) rzi (t ) r1 (t ) r2 (t )
d 2i di i 0 当t≥0+时， e(t ) 20 V ，故 2 dt dt
2 d ③当-∞<t<+∞ 时， e(t ) 10 10u(t ) 故 2i di i 10 (t ) dt dt
冲激函数匹配法：i(0 ) i(0 ) 0, i(0 ) i(0 ) 10
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所需要的初始条件常常为一组已知的数据，利用这组数据可求得方程完全解
中的各项系数 C 间范围是
i
而作为工程技术问题，一般激励都是从时刻 励接入瞬时的情况来确定。
0 t
t 0 加入，系统的响应时
，则系统的初始条件要根据系统的原始内部储能和激
如具体电路系统，根据如下条件从 起始条件求初始条件
t 0 时刻的零输入初始值等效电路
iL (t )
1F
iL (t )
1F u C (t ) uC (0 ) 10V
u C (t )
1H
2 u (t )
1H
2 u (t )
iL (0 ) 5A
uC (0 ) uC (0 ) 10V
零输入响应形式为
2
uzi (t ) Czi1e Czi 2te
t
t
(t 0)
1H u L (t ) 2 u (t )
信号与系统
零输入响应
uzi (t ) Czi1et Czi 2tet
零输入响应形式为
(t 0)
d 其中，待定系数 C zi 1 和 C 得根据初始条件 u zi (0 ) 和 u zi (0 ) 确定。 zi 2 dt
解的形式：齐次解+特解
y (t ) Ci e
i 1
i t
y p (t )
由初始条件求待定系数，需要计算从 0 到 跳变，一般根据实际 的工程问 题的物理关系求跳变，也可以作为一个纯粹的数字问题求解。 。
0
信号与系统
零状态响应
用经典法求解微分方程完全解的待定系数 Ci 时，作为一个数学问题，
uC (0 ) uC (0 ) i L (0 ) i L (0 )
t 0 时刻等效电路
信号与系统
【例2-2-6】 如图2-2-2所示的电路，t
时刻， 态响应和完全响应。
S1 与 S 2 同时自“1”转至“2”，求输出电压 u(t ) 的零输入响应、零状
S1
3A 2 1 1 2
解的形式：
yzi (t ) Ci ei t
i 1
n
由起始状态求待定系数。
信号与系统
零状态响应
系统零状态响应，是在激励作用下求系统方程的非齐次解，由
起始状态值 为零决定的初始值求出待定系数。
n d k y zs (t ) m d k x (t ) ak bk k k dt dt 系统方程： k 0 k 0 k d 起始条件： y zx (0 ) 0, k 0,1,2, , n dt k n
2 1 1
iL (t )
S2 1F 1H u C (t ) 10V 2 u (t )
t 0 零输入等效电路
列写电路的微分方程为：
iL (t ) 1F
u C (t )
d d u zi (t ) 2 u zi (t ) u zi (t ) 0 dt dt
信号与系统
零输入响应
系统零输入响应，实际上是求系统方程的齐次解，由非零的 系统起始状态值决定的初始值求出待定系数。
系统方程：
n d k y zi (t ) ak 0 k dt k 0 d k y zi (0 ) 起始条件： ck , k 0,1,2, , n k dt
在零输入的情况下，起始点没
uzi (0 ) 10V=uzi (0 )
d d u zi (0 ) 0V/s= u zi (0 ) dt dt
有跳变。可以起始条件计算零输
入响应。不用计算初始条件。
零输入响应形式为
(t 0)
初始条件
u zi (0 ) 10V
可求得零输入响应为 ：
uzi (t ) 10et 10tet
(t 0)
信号与系统
零输入响应
讨论： 由 t 0 时刻的电路
S1
3A 2 1 1 2
iL (t )
可计算
S2 1F 1H u C (t ) 10V 2 u (t )
iL (0 ) iL (0 ) 5A
信号与系统
1F u C (t ) uC (0 ) 10V
iL (t )
1H
2 u (t )
iL (0 ) 5A
iL (t )
由电路可求得：
uC (0 Fra bibliotek) 10ViL (0 ) 5A
u zi (0 ) 10V
0
以前开关位于“1”，已进入稳态， t
0
iL (t )
激励加入的瞬时
t0
uC (0 ) uC (0 ) 10V
S2 1F 1H u C (t ) 10V 2 u (t )
iL (0 ) iL (0 ) 5A
信号与系统
零输入响应
2
S1
3A
信号与系统
各种系统响应定义
(Natural+forced)
自由响应＋强迫响应 自由响应：
强迫响应：
也称固有响应，对应于齐次解。 由系统本身特性决 定，与外加激励形式无关，但与起始点点跳变有关系。 形式取决于外加激励。对应于特解。
零输入响应＋零状态响应
(Zero-input+Zero-state)
零输入响应： 没有外加激励信号的作用，只由起始状态（起始时刻系 统储能）所产生的响应。 零状态响应： 不考虑原始时刻系统储能的作用（起始状态等于 零），由系统的外加激励信号产生的响应。
信号与系统
§2.2.3 零输入响应和 零状态响应
信号与系统
起始状态与激励源的等效转换
在一定条件下，激励源与起始状态之间可以等效转换。即可以将原始 储能看作是激励源。
外加激励源 系统的完全响应 可以看作 系统的完全响应 = 共同作用的结果 起始状态等效激励源 零输入响应 + 零状态响应 ( 线性系统具有叠加性 )
d d u zi (0 ) iL (0 ) R dt dt
2 u (t )
uL (0 ) d iL (0 ) 0 dt L
d u zi (0 ) 0V/s dt
信号与系统
零输入响应
uzi (t ) Czi1et Czi 2tet
d u zi (0 ) 0V/s dt