零输入零状态及全响应
二阶电路的零输入响应、零状态响应及全响应教材
A1 U 0，A2 U 0
uC U 0 (1 t )e
t
i
uc
duC U 0 t i C te dt L diL uL L U 0e t (1 t ) dt
o tm
uL
t
非振荡放电 临界阻尼现象
14
L 过阻尼， 非振荡放电 小结 R 2 C
场和磁场之间往返转移，这
U0 i(t) Im I m
o
种周而复始的过程称为“振
t
荡”。 若元件为理想的，称等幅 振荡；若电路中存在电阻， 幅度逐渐衰减为零，称衰减 振荡，也称阻尼振荡。
i + uC L
C
若电阻过大，储能在初次转移即被消耗，称过阻尼 情况（无振荡）。
3
2.RLC串联电路的零输入响应 (t=0) R L + uL C i 已知uC(0–) = U0, i(0–) = 0， 求uC(t), i(t), uL(t), t 0
2L
1 0 — 谐振角频率 LC
ω0
δ
ω
2 0
2
— 固有振荡角频率
关系： 0 sin
0 cos
j
p1 j 0 cos j0 sin 0e
p2 j 0 cos j0 sin 0e j
激励的频率决定各响应的频率 自由振荡：电路自身决定 0 1 二阶以上电路存在
LC
谐 振： s 0
Hale Waihona Puke 13L L 临界电阻 3） R 2 两个相等负实根 R 2 C C R p1 p2 uC ( A1 A2t )e t 2L
RLC并联电路的零状态响应和全响应
2
解：t 0 时，根据KCL有：
iC
iL(t)iC(t)is(t)
0.2F
0.25H
i C ( t) C d u d C t ( t) C d [ R i L ( t d ) t u L ( t ) ] R C d i d L t ( t ) L C d 2 d i L t2 ( t )
§6-3 RLC并联电路的零状态响应 和全响应
北京邮电大学电子工程学院
退出 开始
2 全响应
动态元件的初始状态不为零，且有外加激励作用时 电路的响应。 求电路全响应的两种方法：
零输入零状态方法： 全响应＝零输入响应＋零状态响应
求解微分方程的经典方法： 全响应＝通解＋特解
X
例题1
如图所示电路，已知 is2[1ε(t)]A，求 t 0
时的 i L ( t ) 和u C ( t ) 并绘出其波形图。
解：ti<L(00时)：is(0)2Ais
+
iL
100 uC 250μF 200mH
uC(0 ) 0
-
t 0 时：
LCd2 d iL t2 (t)R Ldid Lt(t)iL(t)4
1 L 1200103
R100 2C 2
25010A41
2 140A2
0
A1
2
2
A 2 7
iL(t)e20t(2cos140t7 2sin140t)4
4e20t(2cos140t0.29sin140t)A
uC(t)uL(t)Ldid Lt(t)200103[20e20t(2cos140t72sin140t)
e20t(2140sin140t2140cos140t)] 7
(优选)二阶电路的零输入响应零状态响应及全响应.
1 LC
0
— 谐振角频率
ω0
ω
δ
02 2 — 固有振荡角频率
关系： 0 sin 0 cos p1 j 0 cos j0 sin 0e j p2 j 0 cos j0 sin 0e j
p1 j 0e j p2 j 0e j
uC
U0 p2
uC
U0 p2
p1
(
p2e
p1t
p1e p2t )
(t=0)
R
Li + uL - +
C -uC
uC
U0 p2
p1
(
p2e
p1t
p1e p2t )
i C duC U0
(e p1t e p2t )
dt ( p2 p1)L
uC U0
iC
p2U 0 e p1t p2 p1
uL
L
di dt
U0 p2 p1
0
1 LC
二阶以上电路存在
谐 振： s 0
3） R 2 L 两个相等负实根 R 2 L 临界电阻
C
C
p1
p2
R 2L
代入初值，解得：
uC ( A1 A2t)e t
波形与过阻尼情况类似
A1 U0，A2 U0 uC U0 (1 t)e t
U0 uc
i
i C duC U0 te t dt L
2L
02 2
若R=0，则
0 0
2
δ
p1,2 j0
Li
t = 0 + uL – –
uc
C uC
i
t
+
uC
uL
U
0
零输入、零状态
全响应=零输入响应+零状态响应
一．关于
1.零输入响应的定义 外加激励信号为零时，仅由系统的 起始状态 (系统的历史储能)所产生
的响应，记为
。
2.特点
（1）仅是因为系统储能元件存储的能量释放 而产生的，只起始状态与有关 （2）可由求解对应的微分方程得到，因为无 外加激励信号，所以求解时特解为零 （3）在数学上是齐次方程的通解，
解特征方程得特征根为 齐次解： 由激励源自号形式，设特解： 完全响应为
系数A的确定：
先判断是否有跳变 由方程两侧 函数平衡条件容易判断 ， 在起始点 无跳变。
利用
求出系数
，即
从而，有：
自由响应： 强迫响应： 1
(2)求零输入响应和零状态响应：
：
由 的特点找对应的微分方程
起始状态
，此方程的解即为
（3）数学上，零状态响应是非齐次方程的解， 其形式为
式中
是特解．
可能会出
（4）因有外加激励，所以在 现跳变，需要判断才能确定系数。
r （二）. rzi 、 zs 的求解步骤
[例2-5]已知系统方程式为
起始状态 求自由响应、强迫响应、零输入响应、零状态 响应和全响应。
解：(1)先求自由响应和强迫响应：
是系统方程的齐次解，
因为
，所以
所对应的微分方程为：
又因为根据前面的判断，在起始点 无 跳变。所以此时 ，且满足系统微分方 程，即
故系统全响应为
：
：
思考： 两种分类形式的响应有何联系？
（三）响应的分解形式及其关系
信号与系统零状态响应求解及系统全响应分析
⏹经典法⏹双零法☐零输入响应☐零状态响应⏹变换域法特征方程→特征根→含待定系数的齐次解→由初始条件(0-)→零输入响应方法①：先求解冲激响应h(t)，再计算零状态响应h(t)*f(t) 。
方法②：将输入信号等效为某虚拟系统的冲激响应，然后求解系统和虚拟系统的总响应，得到零状态响应。
单位冲激响应(复习)()()n n m m n m m p a p a p a h t b p b p b p b t −−−−++++=++++11110110()()δ h(t ) 的表达式：①与特征根有关当为无重根单根形式时有：①与n,m相对大小有关●当n > m 时，h (t )中不含δ(t )及其各阶导数●当n=m 时，h (t )中应包含δ(t )●当n < m 时，h (t )中应包含δ(t )及其各阶导数1(?)()k nt k k h A e u t t λ=⎡⎤=⎢⎥⎣⎦+∑零输入/零状态的求解方法；全响应分析零输入/零状态的求解方法；全响应分析1.掌握零输入/零状态响应的求解方法2.掌握系统的全响应模式方法一（掌握）：卷积法求解，在求解冲激响应的基础上，利用卷积求解。
双零法零输入特征方程→特征根→含待定系数的齐次解→由0-时刻的初始条件计算系数求解冲激响应，通过卷积计算任意输入信号的响应零状态零状态()f t()()*()fy t f t h t=零状态响应5、零状态响应的求解初始状态为零时，输出y(t)完全由输入f(t)决定，此时y(t)=yf(t)。
零状态响应可以由三种方法得到。
()i h t τ−()i t δτ−时不变()()i i i f t ττδτΔ−(())i i i h t f τττΔ−线性()()i i i i f t ττδτ∞=−∞Δ−∑可加性()()i i i i h t f τττ∞=−∞−Δ∑i i i idt τττττΔ→Δ连续变化（0），用代替,并用替换()()f t d τδττ∞−∞−⎰)(()f d h t τττ∞−∞−⎰线性时不变()()()f t d f t τδττ∞≡−=⎰()()()==h t f t y t ∗零状态卷积法的由来：LTI系统的性质5、零状态响应的求解卷积法求解零状态响应：线性时不变系统的性质若系统为因果系统, 即h (信号，则有0(()(tf t f h τ⎰方法二（熟练掌握）：将输入信号f (t )看做某个系统的冲激响应的，此时f (t )通过系统的响应等于：①冲激信号经过h 1(t )=f (t )的系统②再通过冲激响应为h (t )的系统的响应③列写h all (t )=f (t )*h (t )的算子方程④利用2.6中冲激响应求解法得h all (t )，即有y f (t )=h all (t )()f t ()()*()f y t f t h t =零状态()f t all ()()*()h t f t h t =5、零状态响应的求解零状态()f t ()()*f y t f t =零状态响应非常重要：①系统分析的大问题；②概念容易混淆。
初始值的计算,零输入响应,零状态响应,全响应及三要素公式的推导(2)
法：先用三要素求出iL(t)的全响应，iL(t) = iL(0+)e-t/τ+ iL(∞)（1- e-t/τ）， 其中iLzi(t) = iL(0+)e-t/τ，iLzs(t) = iL(∞)（1- e-t/τ），
即若所求响应为iL(t)或uC(t)时，可直接从全响应的三要
素公式中把其零输入响应和零状态响应分离出。 利用
应用阶跃函数表示其他信号
电路分析基础
3.15 阶跃函数
2
1. 单位阶跃函数定义
单位阶跃函数用ε(t)表示，其定义为：
(t
def
)
1
0
,t 0 ,t 0
该函数在t = 0处发生单位跃变，波形如图(a)。
f
(t )
def
K (t)
K
0
,t 0 ,t 0
电路分析基础
3.15 阶跃函数
τC=RCC=2×1=2s，τL=L/RL =2/(2//2+1) =1s
电路分析基础
3.14 一阶电路三要素计算
7
iL(0+) =iL(0-)=4(A) uC (0+)= uC(0-)=4(V) τC==2s， τL=1s 画出换路后的0+等效电路如图 (d)所示。 i1(0+) =2A，i2(0+) =1A。
τ2= (R2//R3)C =1s
uC(t) = 4 - 2.53e-(t-2) (V) ，t ≥2s
电路分析基础
3.13 一阶电路三要素计算
7
例3 如图 (a)所示电路，在t < 0时开关S位于b点，
电路已处于稳态。t = 0时开关S由b点切换至a点。
求t≥0时的电压uC(t)和电流i(t)。
零状态响应和零输入响应公式
零状态响应和零输入响应公式
零状态响应和零输入响应是线性时不变系统中重要的概念。
零状态响应是指系统在没有输入信号时的响应，也可以称为自由响应。
零输入响应是指系统在有输入信号时，当输入信号为零时的响应，也可以称为强制响应。
这两种响应都可以用公式来表示。
下面介绍它们的具体公式。
零状态响应公式：
设系统的初始状态为x(0)，系统的零状态响应为y_z(t)，系统的传递函数为H(s)，则系统的零状态响应可以用下面的公式表示： y_z(t) = L^{-1}[H(s)X(s)] + x(0)
其中，L^{-1}表示拉普拉斯变换的反变换，X(s)表示输入信号的拉普拉斯变换。
零输入响应公式：
设系统的输入信号为x(t)，系统的零输入响应为y_h(t)，系统的冲击响应为h(t)，则系统的零输入响应可以用下面的公式表示： y_h(t) = h(t) * x(t)
其中，*表示卷积运算。
总响应公式：
系统的总响应可以表示为零状态响应与零输入响应之和：
y(t) = y_z(t) + y_h(t)
这里需要注意的是，当系统的输入信号为零时，总响应就等于零状态响应。
当系统的初始状态为零时，总响应就等于零输入响应。
因
此，知道了零状态响应和零输入响应公式，就能够求出系统的总响应。
阶电路的零状态和全响应
应用场景比较
阶电路的零状态响应
适用于需要快速响应且初始状态能量较 小或可以忽略不计的场景，如某些控制 系统的快速调节。
VS
阶电路的全响应
适用于需要综合考虑初始状态能量和外部 激励的场景，如某些电力系统的暂态分析 。
05
阶电路的零状态和全
响应的实际应用
在电子线路设计中的应用
零状态响应在电子线路设计中用于描述电路在输入信号激励下，仅由动态元件的初始储能所产生的响 应。全响应则描述了电路中所有动态元件的初始储能和输入信号共同作用所产生的响应。
在电子线路设计中，零状态响应和全响应的分析对于理解电路的工作原理、预测性能以及优化设计至 关重要。例如，在设计振荡器、滤波器等电子系统时，需要精确地分析零状态响应和全响应以实现所 需的功能。
在控制系统中的应用
在控制系统中，阶电路的零状态和全 响应用于描述系统对输入信号的动态 响应。零状态响应描述了系统在没有 初始储能的情况下对输入信号的响应， 而全响应则包含了系统所有的动态特 性。
全响应的特点
全响应具有确定性
对于同一阶电路，相同的输入信号必然会得到相同的输出信号。
全响应具有唯一性
对于同一阶电路，不同的输入信号必然会得到不同的输出信号。
全响应具有可逆性
对于同一阶电路，输出信号可以通过反变换得到输入信号。
全响应的求解方法
解析法
通过建立电路的微分方程， 利用数学方法求解全响应。
阶电路的零状态响应是指在电路中不 存在激励信号时，由电路的初值条件 引起的电路响应。
零状态响应仅与电路的初始状态和电 路的动态元件有关，与外部激励无关 。
零状态响应的特点
零状态响应是暂态的，随着时 间的推移，它会逐渐消失或达 到稳态值。
一阶电路的全响应和零响应区别
一阶电路的全响应和零响应区别
引起电路响应的因素有两个方面,一是电路的激励,而是动态元件储存的初始能量.当激励为零,仅由动态元件储存的初始能量引起的响应叫零输入响应；当动态元件储存的初始能量为零,仅由激励引起的响应叫零状态响应；两个同时引起的响应叫全响应. 零状态响应是指在t=0-时，电容器的电压为0，电感器的电流为0；
零输入响应是指在t=0-时，电源的输入为0；下面早点介绍一阶电路的全响应。
全响应：非零初始状态的电路受到外加激励时电路中产生的响应，称为全响应。
1.RC电路的全响应的分析
（非齐次微分方程）
解答为：uC = uC' + uC''
得RC电路的全响应的通式：
2.RC电路的全响应通式的两种分解方式
（1）全响应(complete response)
= 强制响应(forced response)+自由响应(natural response)
= 稳态响应(steady-state response) +暂态响应(transient response)（2）全响应= 零状态响应+ 零输入响应
全响应小结:
（1）全响应的不同分解方法只是便于更好地理解过渡过程的本质；
（2）零输入响应与零状态响应的分解方法其本质是叠加，因此只适用于线性电路；
（3）零输入响应与零状态响应均满意齐性原理，但全响应不满意。
二阶电路的零输入响应、零状态响应及全响应教材
ω δ
若R=0，则 0 0
L
t = 0 + uL – C
2
uc
p1, 2 j0
i
–
uC
+
i
t
uC u L U 0 sin(0t ) 2
C i U 0 sin( 0t ) L
等幅振荡 无阻尼现象
12
电路的振荡
强迫振荡：外施激励引起 us (t ) U m cos st
15
§7-6 二阶电路的零状态响应和全响应
1. 二阶电路的零状态响应
例
+ R
uC(0－)=0 , iL(0－)=0
iL
L 微分方程为： +
d 2uC duC LC RC uC U S dt dt
US (t)
uC
- C
特征方程为:
uC u C uC
特解 通解
LCp 2 RCp 1 0
可推 广应 用于 一般 二阶 电路
L R2 临界阻尼， 非振荡放电 C t t
uC A1e
p1t
A2e
p2t
uC A1e
A2te
L R2 欠阻尼， 振荡放电 C
uC Ae
t
sin(t )
uC ( 0 ) 定常数 由初始条件 duC (0 ) dt
(4)定常数
100t
sin(100t )
iL (0 ) 1 A sin 2 100 A cos 100 A sin 0 uL (0 )
45 A 2
iL 1 2e 100 t sin( 100 t 45 )
5-5零输入响应与零状态响应的再理解
“零输入响应”和“零状态响应”分别是由什么原因产生的?一阶电路。
若输入的激励信号为零，仅有储能元件的初始储能所激发的响应，称为零输入响应。
反之，电路的初始储能为零，仅由激励引起的响应为零状态响应。
动态电路，电源、电感或电容度的初始储能均能作问为电路的激励引起响应。
全响应可以看成是零输入与零状态的相加。
1、零输入响应,是研究没有激励源作用答下,但L,C一开始有能量储存,电路中LC,RC回路的版电路状态的时权间演化。
2、零状态响应,是研究电路中一开始L,C原件没有储存能量,然后在激励源作用下的电路参数的时间演化。
3、两个效应叠加起来,就可以处理L,C一开始有能量力储存,然后又有激励源作用下的电路参数的时间演化。
一阶电路。
若输入的激励信号为零，仅有储能元件的初始储能所激发的响应百，称为零输入响应。
反之，电路的初始储能为零，仅由激励引起的响应为零状态响应。
动态电路，电源、电感或电容度的初始储能均能作问为电路的激励引起响应。
全响应可以看成是零输入与零状态的相加。
1、零输入响应,是研究没有激励源作用答下,但L,C一开始有能量储存,电路中LC,RC回路的版电路状态的时权间演化。
2、零状态响应,是研究电路中一开始L,C原件没有储存能量,然后在激励源作用下的电路参数的时间演化。
3、两个效应叠加起来,就可以处理L,C一开始有能量力储存,然后又有激励源作用下的电路参数的时间演化。
一、零输入响应----没有外部激励源，电路的响应是由电路中的储能元件作为激励源而产生的响应当系统的输入为小于等于0时，即当输入端小于等于t=0时，输出端的响应叫做零输入响应【输入为0，输出不一定为0】。
零输入响应是指当系统的输入为0时系统的输出响应并不为0，这个响应叫做零输入响应【即输入为0时输出函数就是零状态响应】二、零状态响应----电路中的储能元件的储能为0，电路中的响应只由外部激励源的作用而产生的响应。
零状态响应非零初始条件下的零状态响应=系统在t=0时的输入时的输出响应- 初始条件下的输出响应，有输入信号时系统的输出响应，这个响应只与系统有关，与输入无关线性系统表达式的中不包括常数项，如果包括常数项，。
二阶电路的零输入响应零状态响应及全响应
uL
衰减振荡放电 欠阻尼现象
•9
uc U0
能量转换关系：
iC
0 - 2- 2
t
+
+
+
C -
L- C
L- C
L
R
0 < t <
R
R
< t < - - < t <
•10
uCU 00ets i nt ()
i U0 et sin( t) L
o U0 i(t)
Im o
Im
+ C uC
-
结论：两种不同性质储能
元件构成的电路，储能在电
t
场和磁场之间往返转移，这
种周而复始的过程称为“振
t 荡”。
i
若元件为理想的，称等幅
振荡；若电路中存在电阻，
L 幅度逐渐衰减为零，称衰减
振荡，也称阻尼振荡。
若电阻过大，储能在初次转移即被消耗，称过阻尼
情况（无振荡）。
•21
• 求二阶电路全响应的步骤
(a)列写t >0+电路的微分方程
(b)求通解
(c)求特解
(d)全响应=强制分量+自由分量
f (0)
(e)由
初
值df dt
(0)
定常数
•22
§7-6 二阶电路的零状态响应和全响应
1. 二阶电路的零状态响应
例 uC(0－)=0 , iL(0－)=0
+ R iL
- US (t)
L
+
uC- C
微分方程为：
LC dd 2utCRC ddutCuCUS
零状态全响应三要素
uc
t
t
uC US (1 e ) U0e t 0
零状态响应
US
零输入响应
U0
全响应 零状态响应
t 0
零输入响应
暂态+稳态
t
uC U S (U0 U S )e 电路响应与其工作状态
t0
之间的关系
零输入+零状态
t
t
uC US (1 e ) U0e
激励与响应的因果关系
t0
Ａ＝４
L 0.1s
R1 R2
i (4e10t 2)A t 0
uL
L
di dt
24e V 10t
t0
解法二 全响应 i =零输入响应i ′+ 零状态响应i"
i(0 ) i(0 ) 6A
0.1s
1. i 6e 10t A t 0
t
( f (t ) f (0 )e )
i() 2A
状态，再根据元件的VAR ，便可一求出其他各个电压、电流。
3. 一阶电路的零状态响应和激励成正比，称为零状态线性。
RC零状态响应电路
uC (0+)= uC (0-)=0
=RC
t
uC U S (1 - e RC ) t 0
iC
US R
t
e RC
t0
t
uR USe RC
t0
RL零状态响应电路
iL(0+)= iL(0-)=0
2. i 2(1 e10t )A t 0
t
( f (t) f ()(1 e ))
i i i (4e10t 2) A t 0
uL
L di dt
24e V 10t
零输入、零状态及完全响应
实验二零输入、零状态及完全响应一、实验目的1．通过实验，进一步了解系统的零输入响应、零状态响应和完全响应的原理。
2．掌握用简单的R-C电路观测零输入响应、零状态响应和完全响应的实验方法。
二、实验设备1．THBCC-1型信号与系统·控制理论及计算机控制技术实验平台2．PC机3. THBXD数据采集卡一块（含37芯通信线、16芯排线和USB电缆线各一根）三、实验内容1．连接一个能观测零输入响应、零状态响应和完全响应的电路图（参考图2-1）。
2．分别观测该电路的零输入响应、零状态响应和完全响应的动态曲线。
四、实验原理1.零输入响应、零状态响应和完全响应的模拟电路如图2－1所示。
图2-1零输入响应、零状态响应和完全响应的电路图图2-2 零输入响应、零状态响应和完全响应曲线其中①---零输入响应②---零状态响应③----完全响应式(3)等号右方的第二项为零输入响应，即由初始条件激励下的输出响应；第一项为零状态响应，它描述了初始条件为零（Uc（0）=0）时，电路在输入E=15V 作用下的输出响应，显然它们之和为电路的完全响应，图2-2所示的曲线表示这三种的响应过程。
五、实验步骤1.实验准备1.1 将“阶跃信号发生器”的输出端接至实验台上“输入响应、零状态响应和完全响应”单元的“+2V”输入端，调节“阶跃型号发生器”正输出的“RP1”电位器，让阶跃输出为“2V”;1.2 将“直流稳压电源”的“+5V”接至“零输入响应、零状态响应和完全响应”单元的“+5V”输入端。
1.3 将“零输入、零状态和完全响应”单元的输出端与“数据采集接口单元”的AD1通道相连。
2. 零输入响应将S1短接到2处，S2短接到1处，使+2V直流电源对电容C充电，当充电完毕后，将S2接到2处，用“THBCC-1”软件上的“虚拟示波器”观察并记录Uc(t)的变化。
零输入响应2．零状态响应先将S2短接到2处，使电容两端的电压放电完毕，将S1接到1处，S2接到1处，用虚拟示波器观察并记5V直流电向电容的充电过程。
零输入、零状态、全响应
在系统运行过程中，通过重置操作将系统的状态清零，达到 零状态的效果。
零状态优势分析
简化系统分析
零状态可以简化系统的分析和设 计过程，因为在无输入信号作用 时，系统的输出仅与初始状态有 关，使得问题变得更加简单。
提高系统稳定性
零状态有助于提高系统的稳定性。 当系统处于零状态时，其内部不 存在任何振荡或不稳定因素，从 而降低了系统出现故障或失稳的 风险。
全响应满足线性性质，即系统对输入的响应可以 分解为各个输入单独作用时产生的响应之和。
3
时不变性质
全响应具有时不变性质，即系统参数不随时间变 化，输出响应仅与输入和系统函数有关。
全响应实现方式
卷积积分法
通过求解系统函数与输入的卷积积分，可以得到全响应的表达式。
频域分析法
利用傅里叶变换将时域信号转换为频域信号，通过分析系统函数在 频域的特性，可以得到全响应的频域表达式。
PART 03
零状态原理及特点
零状态定义与性质
零状态定义
零状态是指系统在某一时刻无任何输入信号作用时的状态，即系统的初始状态 为零。
零状态性质
零状态是线性时不变系统的一个重要性质，它表明系统在无输入信号作用时， 其输出仅与系统的初始状态有关，而与输入信号无关。
零状态实现方式
初始化
在系统设计时，通过初始化操作将系统的状态设置为零，从 而实现零状态。
效果评估及经验教训总结
效果评估
经过数字化转型，企业运营效率得到显著提升，客户满意度大幅提 高，市场竞争力得到增强。
成功经验
制定科学合理的数字化转型战略、搭建稳定可靠的数字化平台、注 重数据迁移与整合的质量、加强员工培训和市场推广等。
教训总结
10-零状态-全响应-三要素
RL零输入响应电路 iL(0+)= iL(0-) ≠0
=RC
t
uC U 0e RC
t
iC I0e RC
t
uR U0e RC
t0
t0
t 0
= L/R
Rt
iL I0e L
Rt
uL RI 0e L
Rt
uR RI 0e L
t0
t 0 t 0
压、电流值； （4）需画电压电流波形时，注意确定初始值和时间常数，以
及时间常数的大小和波形衰减的快慢。
§3-3 一阶电路的零状态响应(zero state response)
零状态响应：储能元件初始能量为零的电路在输入激励作用
下产生的响应(excited response) 一. RC电路的零状态响应
uc
US
U0
uc
0
u" C
U0 -US
u' C t
稳态解 全解 暂态解
稳态解(稳态响应分量):是t=∞时电路进入稳态时的uc值,其 变化规律是由输入激励决定的.
暂态解(暂态响应分量):按指数规律逐渐衰减,最终趋近于 零,其变化规律与输入激励无关,决定于电路结构和参数.
i
C
duc dt
1 R (U S
各个电压、电流。
4.一阶电路的零输入响应和初始值成正比，称为零输入线性。
求解零输入响应问题的步骤： （1）通过换路前的稳态电路求电容电压、电感电流，由换路
定则得到电压、电流的初始值； （2）由换路后的电路求与动态元件相连的总电阻，即总的等
效电阻，从而求出电路的时间常数； （3）由RC零输入响应公式和RL零输入响应公式求出各电
阶电路的零输入响应零状态响应全响应
微分方程法
通过建立电路的微分方程， 然后求解。
根据电路的数学模型，通 过代数运算求解。
零状态响应的应用场景
电子线路设计
在电子线路设计中，需要根据零状态响应来设计电路，以满足特定 的性能指标。
控制系统分析
在控制系统中，零状态响应是分析系统性能的重要依据。通过对零 状态响应的分析，可以了解系统的动态特性和稳定性。
电子工程
在电子工程中，全响应被用于描述电路的输出响应，如RC电路、 RL电路等。
信号处理
在信号处理中，全响应被用于描述信号的滤波、调制和解调等操 作。
Part
05
阶电路的零输入响应零状态响 应全响应的比较与选择
比较
零输入响应
仅由电路的初始状态产生的响应，不依赖于输入 信号。
零状态响应
仅由输入信号产生的响应，与电路的初始状态无 关。
Part
02
零输入响应
定义与特点
定义
当电路中没有激励信号输入时， 电路的输出响应称为零输入响应 。
特点
零输入响应仅由电路的初始状态 决定，与电路的参数无关。
零输入响应的求解方法
利用三要素法求解
零输入响应由三要素决定，分别为初 始状态、时间常数和衰减系数。通过 求解微分方程或使用卷积积分等方法 ，可以得到零输入响应的表达式。
利用模拟法求解
通过模拟电路中元件的特性，建立等 效电路模型，然后求解等效电路的零 输入响应。
零输入响应的应用场景
电路分析
零输入响应是分析电路的重要基础，通过分析零输入响应可以了解电路的动态特性和稳 定性。
系统建模
在系统建模中，零输入响应可以用于确定系统的初始状态和稳定性，为后续的系统分析 和设计提供依据。
一阶电路的零输入响应零状态响应全响应
e
5
e
6
0.368U 0.135U 0.050U 0.018U 0.007U 0.002U
当 t =5 时，过渡过程基本结束，uC达到稳态值。
第四章 动态电路的时域分析
二、一阶RL电路的零输入响应
电感电流根据三要素公式：
iL (0 ) I 0
iL (0 ) iL (0 ) I 0
s
i R C + _ uC
+
t 0
s
i R C + _ uc
U _
uC (0 -) = U0
零输入响应
uC (0 -) = 0
uC U 0
零状态响应
t e RC
U
t ( 1 e RC
) (t 0
uC
U
Ue
t RC
第四章 动态电路的时域分析
3.3.3 一阶电路的全响应:
回顾
若零输入响应用yx(t)表示之，其初始值为yx(0+)，那么
y x (t ) y x (0 )e
t
t 0
t
若零状态响应用yf(t)表示之，其初始值为yf(0+)=0，那么
y f (t ) y f ()(1 e ) t 0
第四章 动态电路的时域分析
+ U _
t 0
U (1 e
1 t RC
)V
t 0
第四章 动态电路的时域分析
uC的变化规律
稳态分量
+U
uC
U
Ue
t RC
uC
uC
t 暂态分量
电路达到 稳定状态 时的电压
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e
t 0
结论：电容放电的过程，就是电阻消耗能量 的过程，直至电容储能完全释放，并被电阻 消耗完为止，电容放电过程才算完毕。
电路 南京理工大学电光学院
6.2 RC电路的放电过程
已知：t<0时电路稳定，t=0时断开开关Q,
求：t>0时的uC(t)和iC(t)。
Q(t=0) 4KΩ
+
_12V
+ uC _
0
iL, i0
i0(t)
iL(t)
t
南京理工大学电光学院
电路
非零状态
由储能元件的初始储能和独立电源共同引起的响应，
称为全响应。下面讨论RC串联电路在直流电压源作用下的 全响应。电路如图(a)所示，开关连接在a端为时已经很久， uC(0-)=U0。t=0时开关倒向b端。t >0 时的电路如图(b)所示。
t 2
io ( t )
电路
1 8 1 .2 i L 7 .2
A
(t 0 )
南京理工大学电光学院
例1
i L ( t ) 3(1 e
t 2
)A
t 2
(t 0 )
i o ( t ) 2 0 .5 e
A
(t 0 )
3A 2.5A 2A
. . . 1A.
作业
6-1 (a) 6-3 6-5
电路
南京理工大学电光学院
6.1 电路的初始条件
换路定则: 在换路瞬间，电容上的电压、 电感中的电流不能突变。
设：t=0 时换路
0 ---
换路前瞬间
换路后瞬间
0 --则：
uC ( 0 ) uC ( 0 )
iL (0 ) iL (0 )
电路 南京理工大学电光学院
2Ω
.
+
1Ω
1V
2 3 1 3
u0(t)
_
u C (t )
(1 e
1 .5 t
)V (t 0 )
1 .5 t
u 0 (t ) 1 u C (t )
电路
2 3
e
V (t 0 )
南京理工大学电光学院
6.3 RC电路的充电过程-零状态
u C (t )
2 3
t 已知：iL(0) =0, 求： 0 时的iL(t)
. .
S (t=0)
+ uR _
R L
iL
.
I iL R
U
+ uL _
(t 0 )
L
.
Is Us R
L d iL R dt
iL I
iL (0 ) iL (0 ) 0
电路 南京理工大学电光学院
RL电路的充磁过程-零状态
2
C 2
U
2
50%
电源提供的电能一半转化为电场能量储 存在电容中，另一半被电阻消耗掉。
电路 南京理工大学电光学院
6.3 RC电路的充电过程-零状态
例：已知t <0时，原电路已稳定，t=0时合上S， 求： t
0 时的uC(t),
u0(t) 1F
S (t=0)
. . .
+ uC(t) _
RC
d uC dt
uC 0
南京理工大学电光学院
一阶电路
一阶电路
+ uR _
R
t>0：
iC
C
uC
+
_
RC
d uC dt
uC 0
指用一阶微分方程描述的电路
电路 南京理工大学电光学院
6.2 RC电路的放电过程
已知：uC(0－) = U, t=0时，S由a合向b， 求： t
0 时的uC(t), iC(t)
RC 充 电 过 程-零 状 态
已知 uC(0) = 0，求： t
0 时的uC(t), iC(t)
. .
S (t=0)
uR _ +
R
U C
iC
+ uC _
u C ( t ) U (1 e iC ( t ) C
电路
t RC
) U (1 e
t RC
t τ t τ
)
(t 0) (t 0)
f ( t ) f (0 )e
t
(t 0 )
故求一阶电路的零输入响应时，
确定出f(0+)和τ以后，就可以唯一地确定响应表达式
电路
南京理工大学电光学院
例题Βιβλιοθήκη 例：已知t < 0时，原电路已稳定，t=0时，S由a合向b， 求： t
0 时的iL(t),
i(t)
2Ω
a S (t=0)
+ uR _
R
t>0：
iC
C
uC
+
_
t RC
RC
d uC dt
uC 0
uC ( t ) U e iC ( t ) C
t 0 U R
南京理工大学电光学院
d uC dt
t RC
e
t 0
电路
6.2 RC电路的放电过程
时间常数
+ uR _
R iC C
RC
uC
+
uC ( t ) U e iC ( t ) C
6.1 电路的初始条件
初始值的计算
1. 求uC(0－) ,iL(0－) 情况1：给定uC(0－) ,iL(0－). 情况2：t = 0-时: 原电路为直流稳态： C — 断路， L — 短路 情况3：t = 0－时: 原电路未进入稳态：
u C (0 ) u C ( t ) |t 0 , i L (0 ) i L ( t ) |t 0
已知：uC(0－) = U, t=0时，S由a合向b， 求： t
0 时的uC(t), iC(t)
+ uR +_ uR _ a S. . (t=0)
b.
R i RC C C
t>0：
U
+ iC uC + _ _
uC
.
R iC u C 0 d uC iC C dt
电路
t RC
t 0
t
uC U
e
t RC
2
次切距
t
uC / U
0 1
3
4
5
6
0.368
0.135
0.050 0.018
0.007 0.002
当 t=(3~5) 时，过渡过程基本结束，电路达到稳态。
电路 南京理工大学电光学院
6.2 RC电路的放电过程
U
1 2
3
3
0.368U
A ，(0 ) i
A
南京理工大学电光学院
第6章 电路的暂态分析
目 录
6.1 换路定则与电压和电流初始值的计算 6.2 RC电路的放电过程 6.3 RC电路的充电过程
6.4 一阶直流、线性电路瞬变过程的一般求解
方法——三要素法
6.5 微分电路与积分电路
6.6 RL电路的瞬变过程 6.7 RLC串联电路的放电过程
例：已知t <0时，原电路已稳定，t=0时合上S，
求： t
0 时的iL(t), i0(t)
i0(t)
5Ω
1Ω 1.2Ω S (t=0) 18V
.
. .
4Ω
iL(t)
10H
i L ( t ) 3(1 e
t 2
)A
(t 0 )
.
4 iL 1 0 6 d iL d t 2 0 .5 e
最后得到RL一阶电路的零状态响应为
i L ( t ) I (1 e uL (t ) L d iL dt
R L t
) I (1 e
R L t
t
)
t
( t 0)
R Ie
R Ie
(t 0)
图 RL电路零状态响应的波形曲线
电路 南京理工大学电光学院
例1
南京理工大学电光学院
d uC dt
U R
e
U R
e
6.3 RC电路的充电过程-零状态
t RC t τ
u C ( t ) U (1 e iC ( t ) C d uC dt
) U (1 e
t RC
)
t τ
(t 0) (t 0)
U R
e
U R
e
RC电路的零状态响应曲线
1 2 3
t
1
2
结论： 越大，过渡过程曲线变化越慢，uC达到
稳态所需要的时间越长。
电路 南京理工大学电光学院
6.2 RC电路的放电过程
能量变化
+ uR _
R
t RC
iC
C
uC
+
u C (t ) U e iC ( t ) C
t 0 U R
t RC
_
duC dt
t RC
t 0 U R
t RC
_
d uC dt
e
t 0
[ R ][ C ]
[U ] [I ]
[Q ] [U ]