信号与系统 _零输入响应和零状态响应

5 页
第
各种系统响应定义
6 页
(1)自由响应： 也称固有响应，由系统本身特性决定， (1)自由响应： 也称固有响应，由系统本身特性决定，与 自由响应 外加激励形式无关。对应于齐次解。 外加激励形式无关。对应于齐次解。 强迫响应：形式取决于外加激励。对应于特解。 强迫响应：形式取决于外加激励。对应于特解。 (2)暂态响应 是指激励信号接入一段时间内，完全响应中 暂态响应： (2)暂态响应： 是指激励信号接入一段时间内， 暂时出现的有关成分，随着时间t 增加，它将消失。 暂时出现的有关成分，随着时间t 增加，它将消失。 稳态响应：由完全响应中减去暂态响应分量即得稳态 稳态响应： 响应分量。 响应分量。 (3)零输入响应 没有外加激励信号的作用， 零输入响应： (3)零输入响应：没有外加激励信号的作用，只由起始状 起始时刻系统储能）所产生的响应。 态（起始时刻系统储能）所产生的响应。 零状态响应： 不考虑原始时刻系统储能的作用（ 零状态响应： 不考虑原始时刻系统储能的作用（起始状 态等于零），由系统的外加激励信号产生的响应。 ），由系统的外加激励信号产生的响应 态等于零），由系统的外加激励信号产生的响应。
2.4 零输入响应和零状态响应
•起始状态与激励源的等效转换 起始状态与激励源的等效转换 •系统响应划分 系统响应划分 •对系统线性的进一步认识 对系统线性的进一步认识
第
一．起始状态与激励源的等效转换
在一定条件下，激励源与起始状态之间可以等效转换。 在一定条件下，激励源与起始状态之间可以等效转换。 即可以将原始储能看作是激励源。 即可以将原始储能看作是激励源。 电容的等效电路
r(t ) = e(t ) ∗ h(t )
第
三．对系统线性的进一步认识
11 页
由常系数微分方程描述的系统在下述意义上是线性的。 由常系数微分方程描述的系统在下述意义上是线性的。 响应可分解为：零输入响应＋零状态响应。 (1)响应可分解为：零输入响应＋零状态响应。 零状态线性： 当起始状态为零时， (2) 零状态线性 ： 当起始状态为零时 ， 系统的零状态响 应对于各激励信号呈线性。 应对于各激励信号呈线性。 (3)零输入线性 当激励为零时， 零输入线性： (3)零输入线性：当激励为零时，系统的零输入响应对 于各起始状态呈线性。 于各起始状态呈线性。
解的形式： 解的形式：rzs (t ) = ∑ Azsk ea t + B(t )
k
n
k =1
第 9 页
系统响应： 系统响应：
r (t ) = ∑ Ak e
自由响应
k =1
n
ak t
+ B(t )
强迫响应
n
r (t ) = ∑ Azik e
k =1
n
ak t
+ ∑ Azsk e
k =1
ak t
+B(t )
第
求解
系统零输入响应： 系统零输入响应： 零输入响应 满足： d r(t)
n
7 页
C0
dt n
(k )
dn−1 r(t) d r(t) + C1 +L+ Cn−1 + Cnr(t) = 0 n−1 dt dt
和：
r (0− )(k = 0,1, 2, n − 1)
实际上是求系统方程的齐次解，由非零的系统状 实际上是求系统方程的齐次解， 决定的初始值求出待定系数。 态值 决定的初始值求出待定系数。 解的形式：
rzi (t ) = ∑ Azik e
k =1
n
ak t
第 8 页
系统零状态响应，是在激励作用下求系统方程的非齐 系统零状态响应， 零状态响应 次解， 次解，由状态值 r k ( 0− ) = 0 为零决定的初始值求出待定系 数。 满足微分方程： 满足微分方程：
dn r(t ) dn−1 r(t ) d r(t ) C0 + C1 +L+ Cn−1 + Cnr(t ) n n−1 dt dt dt dm e(t ) dm−1 e(t ) de(t ) = E0 + E1 +L+ Em−1 + Eme(t ) m m−1 dt dt dt
iC (t ) C
vC(0− ) −
+
vC (t )
等效电路中的 电容器的起始 状态为零
第
电感的等效电路
iL(t )
4 页
L
vL(t )
−
+
iL(0− ) ≠ 0 t ≥ 0 ，
1 t 1 0− 1 t iL(t ) = ∫ vL(τ )dτ = ∫ vL(τ )dτ + ∫ vL(τ )dτ L −∞ L −∞ L 0− 1 t = iL(0− ) + ∫ vL(τ )dτ (t ≥ 0) L 0− 故电路等效为起始状态为零的电感L和电流源 iL(0− )u(t ) 故电路等效为起始状态为零的电感 和电流源 的并联。 的并联。 v L (t )
外加激励源 系统的完全响应 可以看作 系统的完全响应 = 共同作用的结果 起始状态等效激励源 零输入响应 + 零状态响应 ( 线性系统具有叠加性 )
2 页
电感的等效电路
第
Leabharlann Baidu电容器的等效电路
iC (t ) C
3 页
+
vC (t )
−
vC (0− ) ≠ 0, t ≥ 0
1 0− 1 t 1 t vC (t ) = ∫ iC (τ )dτ = ∫−∞ iC (τ )dτ + ∫0 iC (τ )dτ C C − C −∞ 1 t t ≥0 = vC (0− ) + ∫ iC (τ )dτ 0− C 电路等效为起始状态为零的电容与电压源 vC (0− )u(t ) 的 串联
+
−
i L (t )
L i L (0 − )
第
二．系统响应划分
自由响应＋ 自由响应＋强迫响应 (Natural+forced) 暂态响应+稳态响应 暂态响应 稳态响应 (Transient+Steady-state) 零输入响应＋ 零输入响应＋零状态响应 (Zero-input+Zero-state)
零输入响应
零状态响应
第 10 页
求解非齐次微分方程是比较烦琐的工作，所以引出卷 求解非齐次微分方程是比较烦琐的工作，所以引出卷 积积分法。 积积分法。
δ (t )
线性时不变系统
h(t )
e(t )
h(t )
r(t )
系统的零状态响应=激励与系统冲激响应的卷积， 系统的零状态响应 激励与系统冲激响应的卷积，即 激励与系统冲激响应的卷积