二阶电路的零输入响应、零状态响应及全响应
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第11章二阶电路-1零状态响应和全响应、冲激响应
( R)2 4 1 0 即 R 2 L
L LC
C
( R)2 4 1 0 即 R 2 L
L LC
C
R iL L + uL - + C uC –
uC(0+)=0, iL(0+)=1/L
uC A1e p1t A2e p2t
uC ( A1 A2t )e pt
( R)2 4 1 0 即 R 2 L
(t 0)
iR (t)
50 uL (t) 50
1
2e 100t
sin100t
A
(t 0)
小结
经典法解线性二阶电路过渡过程的一般步骤： (1) 列写换路后(t>0)电路的微分方程并确定初始条件； (2) 求特征根，由根的性质写出自由分量(积分常数待定)； (3) 求强制分量(稳态分量)； (4) 全解=自由分量+强制分量； (5) 将初值r(0+)和r (0+)代入全解，定积分常数； (6) 讨论物理过程，画出波形等。
( R)2 4 1 0 即 R 2 L
L LC
C
uC Ke t sin(t )
由初始值
uC (0 ) uC (0 ) 0
iL (0 )
1 L
iL (0 )
定常数A1 , A2 或 K ,
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t >0+ 为零输入响应
LC d 2uC dt 2
RC
duC dt
uC
0
特征方程 p2 R p 1 0 L LC
uC
0
特征方程 p2 R p 1 0 L LC
( R)2 4 1 0 即 R 2 L
L LC
C
( R)2 4 1 0 即 R 2 L
电路理论第11章二阶电路
R2
响应性质
等幅振荡 (无 阻尼 ) 衰减振荡 (欠阻尼 )
自由分量形式
K sin( 0t )
Ke t sin(t )
L t 相 等 的 实 根 非振荡放电 (临界阻尼 ) e ( A1 A2 t ) C
R2
L 不 等 的 实 根 非振荡放电 ( 过阻尼 ) C
u ,i uC O i
临界状 态
电流
12
电压:
U 0 t te L uL U 0e t (1 t ) i
2019年5月7日
uL
t
小结
第11章 11.1
1. 一阶电路是单调的响应，可用时间常数表示过渡过程。 2. 二阶电路用特征根来表示动态响应。 特征根
R 0 共轭虚根
L R2 共轭复根 C
A1e p1t A2e p2t
13
3. 电路是否振荡取决于特征根，特征根仅仅取决于电路的结 构和参数，而与初始条件和激励的大小没有关系。
2019年5月7日
第11章 11.2
§11-2 二阶电路的零状态响应和阶跃响应
零状态响应: 与一阶电路相同
阶跃响应: 二阶电路在阶跃激励下的零状态响应.
零状态响应 =强制分量+自由分量
duC U 0 t e sin t dt L
uL L
di 0 U 0e t sin( t ) dt
i C
C
+
-
L
t
11
2019年5月7日
第11章 11.1
L 3. R 2 C
临界情况
1 2
U0 ( p2e p t p1e p t ) 此时,p1,p2为两个相等的实根 uC p2 p1
响应性质
等幅振荡 (无 阻尼 ) 衰减振荡 (欠阻尼 )
自由分量形式
K sin( 0t )
Ke t sin(t )
L t 相 等 的 实 根 非振荡放电 (临界阻尼 ) e ( A1 A2 t ) C
R2
L 不 等 的 实 根 非振荡放电 ( 过阻尼 ) C
u ,i uC O i
临界状 态
电流
12
电压:
U 0 t te L uL U 0e t (1 t ) i
2019年5月7日
uL
t
小结
第11章 11.1
1. 一阶电路是单调的响应，可用时间常数表示过渡过程。 2. 二阶电路用特征根来表示动态响应。 特征根
R 0 共轭虚根
L R2 共轭复根 C
A1e p1t A2e p2t
13
3. 电路是否振荡取决于特征根，特征根仅仅取决于电路的结 构和参数，而与初始条件和激励的大小没有关系。
2019年5月7日
第11章 11.2
§11-2 二阶电路的零状态响应和阶跃响应
零状态响应: 与一阶电路相同
阶跃响应: 二阶电路在阶跃激励下的零状态响应.
零状态响应 =强制分量+自由分量
duC U 0 t e sin t dt L
uL L
di 0 U 0e t sin( t ) dt
i C
C
+
-
L
t
11
2019年5月7日
第11章 11.1
L 3. R 2 C
临界情况
1 2
U0 ( p2e p t p1e p t ) 此时,p1,p2为两个相等的实根 uC p2 p1
(优选)二阶电路的零输入响应零状态响应及全响应.
2L
1 LC
0
— 谐振角频率
ω0
ω
δ
02 2 — 固有振荡角频率
关系： 0 sin 0 cos p1 j 0 cos j0 sin 0e j p2 j 0 cos j0 sin 0e j
p1 j 0e j p2 j 0e j
uC
U0 p2
uC
U0 p2
p1
(
p2e
p1t
p1e p2t )
(t=0)
R
Li + uL - +
C -uC
uC
U0 p2
p1
(
p2e
p1t
p1e p2t )
i C duC U0
(e p1t e p2t )
dt ( p2 p1)L
uC U0
iC
p2U 0 e p1t p2 p1
uL
L
di dt
U0 p2 p1
0
1 LC
二阶以上电路存在
谐 振： s 0
3） R 2 L 两个相等负实根 R 2 L 临界电阻
C
C
p1
p2
R 2L
代入初值，解得：
uC ( A1 A2t)e t
波形与过阻尼情况类似
A1 U0，A2 U0 uC U0 (1 t)e t
U0 uc
i
i C duC U0 te t dt L
2L
02 2
若R=0，则
0 0
2
δ
p1,2 j0
Li
t = 0 + uL – –
uc
C uC
i
t
+
uC
uL
U
0
1 LC
0
— 谐振角频率
ω0
ω
δ
02 2 — 固有振荡角频率
关系： 0 sin 0 cos p1 j 0 cos j0 sin 0e j p2 j 0 cos j0 sin 0e j
p1 j 0e j p2 j 0e j
uC
U0 p2
uC
U0 p2
p1
(
p2e
p1t
p1e p2t )
(t=0)
R
Li + uL - +
C -uC
uC
U0 p2
p1
(
p2e
p1t
p1e p2t )
i C duC U0
(e p1t e p2t )
dt ( p2 p1)L
uC U0
iC
p2U 0 e p1t p2 p1
uL
L
di dt
U0 p2 p1
0
1 LC
二阶以上电路存在
谐 振： s 0
3） R 2 L 两个相等负实根 R 2 L 临界电阻
C
C
p1
p2
R 2L
代入初值，解得：
uC ( A1 A2t)e t
波形与过阻尼情况类似
A1 U0，A2 U0 uC U0 (1 t)e t
U0 uc
i
i C duC U0 te t dt L
2L
02 2
若R=0，则
0 0
2
δ
p1,2 j0
Li
t = 0 + uL – –
uc
C uC
i
t
+
uC
uL
U
0
16第十六讲 二阶电路的零状态响应和全响应阶跃和冲激响应
等幅振荡 π uC = U 0 sin( ω 0 t + ) = uL 无阻尼 2
δ = cos β ω0 ω = sin β ω0 ω β = arctg δ
ω0 uC = U 0 e −δ t sin(ω t + β ) ω
duC U 0 −δ t i = −C = e sin ω t ωL dt di ω0 u L = L = − U 0 e −δ t sin(ω t − β ) ω dt
(2)求通解 自由分量） 求通解(自由分量 求通解 自由分量）
特征方程
特征根
P 2 + 200 P + 20000 = 0
P= -100 ± j100
通解 i L (t ) = Ke−100t sin(100t + β )
(3)求特解（强制分量，稳态解） 求特解（强制分量，稳态解） 求特解
" iL = 1A
U0 uc uC 0
β
π uC = U 0 sin( ω 0 t + ) = uL 2
等幅振荡 无阻尼
ω0 U 0 e − δt ω
t
i
β π π+β 2π-β πβ 2π π
π-β β
t
uL
ω0 − U 0 e −δt ω
L ４ 、R = 2 临 情 界 况 C
R P = P = P2 = − = −δ 1 2L
uC = e −δ t ( A1 + A2 t )
由初始条件 uC (0 + ) = U 0 → A1 = U 0 解出
du C ( 0 + ) = 0 → A1 ( −δ ) + A2 = 0 dt
A1 = U 0 A2 = δU 0
初始值的计算,零输入响应,零状态响应,全响应及三要素公式的推导(1)
i R 0 u L 0
, u 0 uS(0+)
R
NR
, i 0 iS(0+) c
uC(0+) iL(0+)
（b）t=0+时等效电路
电路分析基础
3.8 电路初始值的计算
9
计算非独立初始值的具体方法： A、画出t =0+电路，
a、若 若
uc (0 ) uc (0 ) U cs ，
6
以电容上电压为未知变量列写电路的方程。
换路后由图（b）可知，其KVL方程为：
uczi (t ) uRzi (t ) 0
而uRzi(t)=izi(t) R,
izi ( t )
C
d u C zi ( t dt
)
，代入上式可得：
RC
duCzii (0+ )= RI S
则电容用一个电压源UCS代替；
uc (0 ) 0 ， 则电容用短路线代替。
b、若 iL (0 ) iL (0 ) ILs ，
则电感用一个电流源ILS 代替； 若 iL (0 ) 0 ， 则电感作开路处理。
B、现在可用求解电阻电路的各种方法来求解指定的非独立初始值。
电路分析基础
3.8 电路初始值的计算
（或称内部激励）共同作用引起的响应。
f t 0
N
y t
xk 0 0 k1,2,,n
实际上，由线性电路的性质知：
全响应 零输入响应 零状态响应
即：
y t yzi t yzs t
电路分析基础
xk 0 0 k 1,2,,n
3.4 电感的串联和并联
6
思考题
1. 解释电路零输入响应的定义； 2. 解释电路零状态响应的定义； 3. 解释电路全响应的定义；
二阶电路的零输入响应、零状态响应及全响应
(d)全响应=强制分量+自由分量
f (0)
(e)由初值df
定常数
dt (0)
23
下次课内容：
§7-7 一阶和二阶电路的阶跃响应 §7-8 一阶和二阶电路的冲激响应
作业：7-21 7-22
24
电路的振荡
强迫振荡：外施激励引起 us(t)U mcosst
激励的频率决定各响应的频率
自由振荡：电路自身决定
0
1 LC
二阶以上电路存在
谐 振： s 0
13
3） R 2 L 两个相等负实根 R 2 L 临界电阻
C
C
p1
p2
R
2L
代入初值，解得：
uC(A 1A 2t)e t
波形与过阻尼情况类似
两个互异负实根 uCA 1 ep 1 tA 2ep2t
代入初值：uC(0＋) = U0，ddutC t0 0，得到：
p1AA11Ap22AU2 0 0
联立解得：
A1
p2U0 p2 p1
A2
p1U0 p2 p1
uCp2U 0p1(p2ep1t p1ep2t)
7
(t=0)
R
Li + uL - +
情况（无振荡）。
3
2.RLC串联电路的零输入响应
(t=0) R L i
已知uC(0–) = U0, i(0–) = 0，
+ uL C
求uC(t), i(t), uL(t), t 0
+ uC
方程：
RiuLuC0
-
uL
L
di dt
i C duC dt
以电容电压为变量： LC dd 2utCRC ddutCuC0
二阶电路的响应汇总
当 t 时, 电流有最大值, 即 : t
P
3
866
1.2ms
电流最大值为:
imax 11.5e
500*12*103
sin 866 *1.2 *103 5.44mA
变化曲线为:
u i
u (t )
0
t
i (t )
4、无阻尼等幅震荡
例题4： 右图电路中，已知 C 3800F ,U 0 14.14k 若线圈用很粗的导线绕制， 则在近似估 算中可以把它的电阻忽略不计。
代入公式：
U0 P2t 268t 3732t uc ( P2e P1t P e ) ( 10 . 77 e 0 . 773 e ) 1 P2 P 1 U0 i (e P1t e P2t ) 2.89(e 268t e 3732t )ma L( P2 P uc u L i 1)
可见，放电电流的峰值可达16.9kA 电容电压为:
uc u L U 0 sin( 0t ) 10 2 *10 sin( 314t ) 2 2
3
则：
A1 0 1
103 A1 A2 0
A1 1; A2 103
uc iL ic
变化曲线:
uc
故阶跃响应为：
iL
t ms
diL 6 103 t u L (t ) L 10 te e(t ) dt
0
ic
duc 3 103 t ic c (1 10 t )e e(t ) dt
解： 换路后电路微分方程为：
d 2 iL di LC 2 GL L iL is dt dt
uc iL ic
P
3
866
1.2ms
电流最大值为:
imax 11.5e
500*12*103
sin 866 *1.2 *103 5.44mA
变化曲线为:
u i
u (t )
0
t
i (t )
4、无阻尼等幅震荡
例题4： 右图电路中，已知 C 3800F ,U 0 14.14k 若线圈用很粗的导线绕制， 则在近似估 算中可以把它的电阻忽略不计。
代入公式：
U0 P2t 268t 3732t uc ( P2e P1t P e ) ( 10 . 77 e 0 . 773 e ) 1 P2 P 1 U0 i (e P1t e P2t ) 2.89(e 268t e 3732t )ma L( P2 P uc u L i 1)
可见，放电电流的峰值可达16.9kA 电容电压为:
uc u L U 0 sin( 0t ) 10 2 *10 sin( 314t ) 2 2
3
则：
A1 0 1
103 A1 A2 0
A1 1; A2 103
uc iL ic
变化曲线:
uc
故阶跃响应为：
iL
t ms
diL 6 103 t u L (t ) L 10 te e(t ) dt
0
ic
duc 3 103 t ic c (1 10 t )e e(t ) dt
解： 换路后电路微分方程为：
d 2 iL di LC 2 GL L iL is dt dt
uc iL ic
初始值的计算,零输入响应,零状态响应,全响应及三要素公式的推导(2)
法：先用三要素求出iL(t)的全响应，iL(t) = iL(0+)e-t/τ+ iL(∞)（1- e-t/τ）， 其中iLzi(t) = iL(0+)e-t/τ，iLzs(t) = iL(∞)（1- e-t/τ），
即若所求响应为iL(t)或uC(t)时，可直接从全响应的三要
素公式中把其零输入响应和零状态响应分离出。 利用
应用阶跃函数表示其他信号
电路分析基础
3.15 阶跃函数
2
1. 单位阶跃函数定义
单位阶跃函数用ε(t)表示，其定义为：
(t
def
)
1
0
,t 0 ,t 0
该函数在t = 0处发生单位跃变，波形如图(a)。
f
(t )
def
K (t)
K
0
,t 0 ,t 0
电路分析基础
3.15 阶跃函数
τC=RCC=2×1=2s，τL=L/RL =2/(2//2+1) =1s
电路分析基础
3.14 一阶电路三要素计算
7
iL(0+) =iL(0-)=4(A) uC (0+)= uC(0-)=4(V) τC==2s， τL=1s 画出换路后的0+等效电路如图 (d)所示。 i1(0+) =2A，i2(0+) =1A。
τ2= (R2//R3)C =1s
uC(t) = 4 - 2.53e-(t-2) (V) ，t ≥2s
电路分析基础
3.13 一阶电路三要素计算
7
例3 如图 (a)所示电路，在t < 0时开关S位于b点，
电路已处于稳态。t = 0时开关S由b点切换至a点。
求t≥0时的电压uC(t)和电流i(t)。
二阶电路的零输入响应基础知识讲解
uc E A1e t A2te t ( P1 P2 )
uc E Ae t sin(t ) (P1、2 j )
uc E
由初值
uc (0 ) duc (0 ) dt
确定二个常数
t
例
k 2A
0.5 u1
+
u-1
2W 2W
i1
1/6F
1H
2-i
2W
i
求所示电路 i 的
零状态响应。
(1) R 2 L C
uc A1e p1t A2e p2t
uc (0 ) U0 A1 A2 U0
i(0 ) C duc (0 ) dt
P1 A1 P2 A2 0
uc
U0 P2 P1
( P2e P1t
P1e P2t )
A1
P2
P2
P1
U
0
A2
P1 P2 P1
U0
uc
解
第一步列写微分方程
i1= i － 0.5 u1 = i － 0.5(2－ i)2 = 2i －2
由KVL：
2(2
i
)
2i1
6
i1dt
di dt
2i
整理得：
d 2i dt 2
8
di dt
12i
12
二阶非齐次常微分方程
d 2i dt 2
8
di dt
12i
12
解答形式为： i i' i"
第二步求通解i ‘
t
0 < t <
+
R
-C
L
< t < -
+
R
-C
L
uc E Ae t sin(t ) (P1、2 j )
uc E
由初值
uc (0 ) duc (0 ) dt
确定二个常数
t
例
k 2A
0.5 u1
+
u-1
2W 2W
i1
1/6F
1H
2-i
2W
i
求所示电路 i 的
零状态响应。
(1) R 2 L C
uc A1e p1t A2e p2t
uc (0 ) U0 A1 A2 U0
i(0 ) C duc (0 ) dt
P1 A1 P2 A2 0
uc
U0 P2 P1
( P2e P1t
P1e P2t )
A1
P2
P2
P1
U
0
A2
P1 P2 P1
U0
uc
解
第一步列写微分方程
i1= i － 0.5 u1 = i － 0.5(2－ i)2 = 2i －2
由KVL：
2(2
i
)
2i1
6
i1dt
di dt
2i
整理得：
d 2i dt 2
8
di dt
12i
12
二阶非齐次常微分方程
d 2i dt 2
8
di dt
12i
12
解答形式为： i i' i"
第二步求通解i ‘
t
0 < t <
+
R
-C
L
< t < -
+
R
-C
L
第6章 二阶电路时域分析
当存在耗能元件时的情况。一种可能是电阻较小， 电路仍然可以形成振荡，但由于能量在电场能与电 磁能之间转化时，不断地被电阻元件消耗掉，所以 形成的振荡为减幅振荡，即幅度随着时间衰减到零； 另一种可能是电阻较大，电容存储的能量在第一次 转移时就有大部分被电阻消耗掉，电路中的能量已 经不可能在电场能与电磁能之间往返转移，电压、 电流将直接衰减到零。
e
t
sin t cos t 0 0
U 00
e t sin t
波形如图6.4所示。
uC , u L , i
U0 uC
iL
图6.4
在衰减过程中，两种储能元件相互交换能量，见表6-1。
y Ae t sin( t )
然后用初始值确定其中的待定系数 A与 。
（4）无阻尼的情况 无阻尼情况是欠阻尼的一种特殊情况。
欠阻尼的情况 R 0, 0 时, p1 p2 为一对共轭虚数。
p1 j0
p2 j0
当 0时 ， 0
1 ， 2 LC
A1 U S 代入上述初始条件，解得： A2 PU S U S
uC (t ) ( A1 A2t )e P t U S
uL L
duC U0 (e p1t e p2t ) dt L( p2 p1 )
di U 0 ( p1e p1t p2e p2t ) dt ( p2 p1 )
波形
uC , u L , i
U0 uC
i
t max
o
2t max
t
uL
图6.2
uC (t ), iC (t ), uL (t ) 均为随着时间衰减的函数，电路的响应
电路第十章 二阶电路的时域分析
§10-1 二阶电路的零输入响应
L R 2 1 ，即 R 2 时，此时的过度过程为临界阻尼情况， ) 2L LC C 在这种情况下特征方程有两个相等的负实根。
当 (
R p1 p 2 p 2L
电容电压uC( t )的一般形式为
uC (t ) A3 A4t )e pt
电流
d 2 uC duC LC RC uC U s 2 dt dt
初值
uC (0 ) uC (0 ) 0
i(0 ) i(0 ) 0
方程的特解即为稳态解
uCp (t ) U S
§10-2 二阶电路的零状态响应和全响应
10.2.1 二阶电路的零状态响应
按照特征方程的根的不同情况，方程的通解即暂态解也分为三种情况：
令
di 0 ，得 dt
p1e p1t p2 e p2t 0
p2 ln p1 t1 p1 p 2
t = t1是 i 的极值点，也是uC波形的转折点，因为 可求得 uL达到最大值的时刻 t2 为
d 2uC dt
2
t t1
0 。
p2 2 ln p1 t2 2t1 p1 p2
uC (t ) U 0 (1 pt)e pt
U 0 pt i (t ) te L di u L (t ) L U 0 (1 pt )e pt dt
§10-1 二阶电路的零输入响应
当 ( R ) 2 1 ，即 R 2 L 时，过度过程为周期性振荡情况，也称为
2L LC
uC (0 ) A sin U 0 i(0 ) CA[ sin d cos ] 0
联立求解得 于是
§12-2 二阶电路的零状态响应和全响应
§12-2 二阶电路的零状态响应和全响应一、零状态响应：零状态网络[]0)0(,0)0(==−−L c i u 对外加激励产生的响应。
例3：t <0时电路处于稳态，求t ≥0时的电感电流。
LL t=0i s)()()(t i t i t i Lh Lp L +=sL LL i i dt di R L dt i d LC =++22解：)(t i Lp 取决于激励的形式)(t i Lh 其形式与零输入响应相同1) 21p p ≠（不相等实根）tp t p Lh e K e K t i 2121)(+=设ωαj p +−=1)cos sin ()sin()(21t K t K e t Ke t i t tLh ωωϕωαα+=+=−−或2) （共轭）21∗=p p ptLh e t K K t i )()(21+=3) p p p ==21（重根）注意：零初值代入i L 而非i Lh例4：图示电路，t<0时电路处于稳态。
t=0时开关K 由位置b 换到位置a 。
求t ≥0的u C 和i L 。
已知4,1,1,2s U V L H C F R ====Ω。
i L+-u c K (t =0)R U s0)0()0(==−+c c u u 0)0()0(==−+L L i i 解：0122=++p p 12,1−=p tch e t K K t u −+=)()(21Vt u cp 4)(=4)()(21++=−tc e t K K t u 代入初值0)0(=+c u 0)0(0==++C i dt du L csc ccU u dt du RC dt u d LC =++22401+=K 120K K −=41−=K 42−=K ()(44) 4 0tc u t t e V t −=−−+≥()()4 0tc L du t i t C te A t dt −==≥二、全响应两种求法：(1) 全响应= 零输入响应+ 零状态响应(2) 与零状态响应求法相同例5：图示电路t<0时电路处于稳态，t=0时开关K 由位置1换到位置2，求换位后电容电压的变化规律。
《电路基础》第17讲 二阶电路分析 (1)
uL
L
di dt
0
U 0e
t
sin(
t
)
uC零点： t = -，2- ... n- ， uC 极值点为i零点。
i 零点： t =0, ，2 ... n ， i 极值点为uL零点。
U0
uc uL零点： t = , +，2+ ... n+
uC i
0
U0e
t
+
0 -
2- 2
t
uL
0
U0e
t
14
能量转换关系
0 < t<
uC减小，i 增大
L吸，C释
+
R
C -
L
< t < -
uC减小，i 减小
L释，C释
+
R
C -
L
- < t <
|uC |增大，i 减小
L释，C吸
+
R
C -
L
U0 uc uC i
0 -
0
U0
e
t
+ 2- 2
0
U
0
e
t
衰减振荡
t
欠阻尼
15
特例 R = 0 0
s1,2 ±j 0
us (t) (t)
LC
d 2uC dt 2
RC
duC dt
uC
uS
(t)
d 2uC dt 2
R L
duC dt
1 LC
uC
1 LC
(t)
C + uL L -
18
d 2uC dt 2
二阶电路的零输入响应
经常写为： uC Ae t sin(t )
返回 上页 下页
uucC A0eU0et sitns(in(t t))
由初始条件uddCut(C0(0))
U
0 0
Asin A( )
U0
sin
A cos
0
A U0 ， arctan( )
sin
sin
0
A
0
U0
ω0
ω
δ
ω，ω０，δ的 关系
e p2t )
t=0+ iC=0 , t= iC=0
iC>0 t = tm 时iC 最大
返回 上页 下页
③电感电压
U0
uC
uC
U0 p2
p1
(
p2e
p1t
p1e p2t )
+
iC
O
tm
2tm uL
C
L
-R
t
uL
L
di dt
U0 ( p2 p1)
( p1e p1t
p2e p2t )
t 0, uL U0 t ∞, uL 0
uC
0
特征方程： LCp2 RCp 1 0
返回 上页 下页
特征根： p R R2 4L / C R ( R )2 1
2L
2L 2L LC
2. 零状态响应的三种情况
R 2 L 二个不等负实根 过阻尼 C
R 2 L 二个相等负实根 临界阻尼 C
R 2 L 二个共轭复根 欠阻尼 C
dt
dt
返回 上页 下页
以电容电压为变量时的初始条件：
uC(0+)=U0 i(0+)=0
duC dt
dl-7
di uL L dt
duC i C dt
2
若以电容电压为变量： 若以电感电流为变量：
d uC duC LC RC uC 0 dt dt d 2i di LC RC i 0 dt dt
以电容电压为变量时的初始条件： duC +)=U +)=0 0 uc(0 i(0 0 dt t 0 以电感电流为变量时的初始条件：
A 356
uc 356
25 0
， 1760
uc 356e 25t sin(139t 1760 )V
t
例2
R C
左图为RC振荡电路， 讨论k取不同值时u2的 零输入响应。
i A
1 u 1 i 3 ku 1
R
i 2
C
u 2
对节点A列写KCL有：
u1 du1 i1 c R dt
2. 零状态响应的三种情况
L R2 C L R2 C L R2 C
二个不等负实根 二个相等负实根 二个共轭复根
过阻尼 临界阻尼
欠阻尼
L (1) R 2 C
uc A1e
p1t
A2e
p 2t
uc (0 ) U0 A1 A2 U0
duC dt
( 0 )
P1 A1 P2 A2 0
i(0+)=0
uc(0+)=U0
t 0
di uC (0 ) uL (0 ) L dt
U0
di dt
t 0
U0 L
d 2 uC duC 电路方程： LC RC uC 0 dt dt
特征方程：
LCP 2 RCP 1 0
duC i C dt
2
若以电容电压为变量： 若以电感电流为变量：
d uC duC LC RC uC 0 dt dt d 2i di LC RC i 0 dt dt
以电容电压为变量时的初始条件： duC +)=U +)=0 0 uc(0 i(0 0 dt t 0 以电感电流为变量时的初始条件：
A 356
uc 356
25 0
， 1760
uc 356e 25t sin(139t 1760 )V
t
例2
R C
左图为RC振荡电路， 讨论k取不同值时u2的 零输入响应。
i A
1 u 1 i 3 ku 1
R
i 2
C
u 2
对节点A列写KCL有：
u1 du1 i1 c R dt
2. 零状态响应的三种情况
L R2 C L R2 C L R2 C
二个不等负实根 二个相等负实根 二个共轭复根
过阻尼 临界阻尼
欠阻尼
L (1) R 2 C
uc A1e
p1t
A2e
p 2t
uc (0 ) U0 A1 A2 U0
duC dt
( 0 )
P1 A1 P2 A2 0
i(0+)=0
uc(0+)=U0
t 0
di uC (0 ) uL (0 ) L dt
U0
di dt
t 0
U0 L
d 2 uC duC 电路方程： LC RC uC 0 dt dt
特征方程：
LCP 2 RCP 1 0
二阶动态电路分析
e t ( A1 cos t A2 sin t) A1 K1 K2 , A2 j(K1 1K4 2 )
e t A12 A2 2 cos( t )
Ae t cos( t )
A
A12
A22 ,
tg 1
A2 A1
,
90
,
tg 1
这里：uC (0)
A1, uC ' (0)
e p1t e p2t 0 6
① uC , iL 始终不改变方向， uC iL < 0, 电容放电； ② uL 改变一次方向，t = tm 时， uL = 0 ； ③ t < tm ，电感吸收能量（ uLiL > 0 ），建立磁场； t > tm 电感释放能 量（ uL iL < 0 ），磁场逐渐衰减，趋向消失；
uR R i 11.56(e268 t e3732 t ) V
uL
L
di dt
(10.77 e3732 t
0.773 e268 t )
V
(2) imax
tm
1 p1
p2
ln
p2 p1
7.6 104 S
760
S
imax
i t tm
2.89(e268 t e3732 t ) t tm
2.19
(0)
duC dt
0
1 C
i(t)
0
1 C
i(0)
零输入响应：上述线性二阶常系数微分方程中 u0C(t)=0 的响应
LC
d 2uC dt 2
RC
duC dt
uC
0
或
d 2uC dt 2
R L
duC dt
1 LC
典型rlc二阶电路公式大全
典型rlc二阶电路公式大全
RLC二阶电路的公式包括阻抗公式、复数阻抗公式、零输入响应公式、零状态响应公式等。
阻抗公式为Z=R+j(ωL−1/ωC)，其中R表示电阻，j表示虚数单位，ω表示角频率，L表示电感，C表示电容。
复数阻抗公式为Z=R+j(Xr+Xl)，其中R表示电阻，Xr表示串联谐振阻抗，Xl表示并联谐振阻抗。
零输入响应公式包括过阻尼情况、临界阻尼情况和欠阻尼情况。
过阻尼情况为Z1=R+j(ωL−1/ωC)，欠阻尼情况为Z2=R+j√(ω0^2−ω^2)，临界阻尼情况为Z3=R。
零状态响应公式包括全响应情况、非全响应情况和强迫响应情况。
全响应情况为fai(t)=e−αt[fai(0)+fai'(0)t]，非全响应情况为fai(t)=e −αt[fai(0)+fai'(0)t+βt^2]，强迫响应情况为fai(t)=e−
s1t[fai(0)+fai'(0)t+βt^2]+e−s2t[fai'(0)t+βt^2]，其中fai表示全响应，α表示自然衰减系数，β表示强迫衰减系数，s1和s2分别表示实部和虚部等于零的频率点。
阶电路的零输入响应零状态响应全响应
解析法
微分方程法
通过建立电路的微分方程， 然后求解。
根据电路的数学模型，通 过代数运算求解。
零状态响应的应用场景
电子线路设计
在电子线路设计中，需要根据零状态响应来设计电路，以满足特定 的性能指标。
控制系统分析
在控制系统中，零状态响应是分析系统性能的重要依据。通过对零 状态响应的分析，可以了解系统的动态特性和稳定性。
电子工程
在电子工程中，全响应被用于描述电路的输出响应，如RC电路、 RL电路等。
信号处理
在信号处理中，全响应被用于描述信号的滤波、调制和解调等操 作。
Part
05
阶电路的零输入响应零状态响 应全响应的比较与选择
比较
零输入响应
仅由电路的初始状态产生的响应，不依赖于输入 信号。
零状态响应
仅由输入信号产生的响应，与电路的初始状态无 关。
Part
02
零输入响应
定义与特点
定义
当电路中没有激励信号输入时， 电路的输出响应称为零输入响应 。
特点
零输入响应仅由电路的初始状态 决定，与电路的参数无关。
零输入响应的求解方法
利用三要素法求解
零输入响应由三要素决定，分别为初 始状态、时间常数和衰减系数。通过 求解微分方程或使用卷积积分等方法 ，可以得到零输入响应的表达式。
利用模拟法求解
通过模拟电路中元件的特性，建立等 效电路模型，然后求解等效电路的零 输入响应。
零输入响应的应用场景
电路分析
零输入响应是分析电路的重要基础，通过分析零输入响应可以了解电路的动态特性和稳 定性。
系统建模
在系统建模中，零输入响应可以用于确定系统的初始状态和稳定性，为后续的系统分析 和设计提供依据。
微分方程法
通过建立电路的微分方程， 然后求解。
根据电路的数学模型，通 过代数运算求解。
零状态响应的应用场景
电子线路设计
在电子线路设计中，需要根据零状态响应来设计电路，以满足特定 的性能指标。
控制系统分析
在控制系统中，零状态响应是分析系统性能的重要依据。通过对零 状态响应的分析，可以了解系统的动态特性和稳定性。
电子工程
在电子工程中，全响应被用于描述电路的输出响应，如RC电路、 RL电路等。
信号处理
在信号处理中，全响应被用于描述信号的滤波、调制和解调等操 作。
Part
05
阶电路的零输入响应零状态响 应全响应的比较与选择
比较
零输入响应
仅由电路的初始状态产生的响应，不依赖于输入 信号。
零状态响应
仅由输入信号产生的响应，与电路的初始状态无 关。
Part
02
零输入响应
定义与特点
定义
当电路中没有激励信号输入时， 电路的输出响应称为零输入响应 。
特点
零输入响应仅由电路的初始状态 决定，与电路的参数无关。
零输入响应的求解方法
利用三要素法求解
零输入响应由三要素决定，分别为初 始状态、时间常数和衰减系数。通过 求解微分方程或使用卷积积分等方法 ，可以得到零输入响应的表达式。
利用模拟法求解
通过模拟电路中元件的特性，建立等 效电路模型，然后求解等效电路的零 输入响应。
零输入响应的应用场景
电路分析
零输入响应是分析电路的重要基础，通过分析零输入响应可以了解电路的动态特性和稳 定性。
系统建模
在系统建模中，零输入响应可以用于确定系统的初始状态和稳定性，为后续的系统分析 和设计提供依据。
7.二阶电路
p1 268,
p2 3732
U0 uC ( p2 e p t p1e p t ) 2). 电容电压: p2 p1
1 2
7-12
(10.77e 268t 0.773e 3732t )V
duC i C 2.89(e 268 t e 3732 t ) mA 电路电流: dt
d.电阻电压响应uR :
RU 0 u R Ri (e p1 t e p2 t ) L( p 2 p1 )
2 uC , i, uL响应曲线
U0 ( p 2 e p1 t p1 e p2 t ) 1). u C p 2 p1 由题可知:p1<0， p2<0，且 |p2| > |p1|，则uC中第一项比第
uR Ri 11.56(e 268t e 3732t )V 电阻电压: di uL L (10.77e 3732t 0.773e 268t )V 电感电压: dt 3). 求电流imax的值: 设电流最大值发生在tm时刻,即:
tm p1 7.60 10 4 s 760 s p1 p2
则
p1 ln p2 tm p2 p1
p1t
pe
pe
2 2
p2t
0
p1 2 ln( ) p2 t 2t m p2 p1
uc i 0 tm 2tm
因此 t = 2tm 时 uL 极小； t > 2tm 后 uL 衰减加快 。
U0
uL
t
3 能量转换关系
7-10
1. 整个过程中uC曲线单调下降，电容一直释放储存的电能。 因此称为非振荡放电过程，又称为过阻尼放电。 2. 电感在t<tm时，吸收能量，建立磁场；当t>tm时电感释放能 量，磁场逐渐衰减，趋向消失。 3. 整个过程完毕，uC=0，i=0，uL=0，电容储藏的能量全部 被电阻消耗。 非振荡放电过阻尼:
电路原理第8章 二阶电路
31
图8.10 R，L，C电路的冲激响应
图8.11 ｔ＞0时图8.10的等效电路
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
8.4 卷积积分
前面分析研究了线性电路的零状态响应，其外加电源激励都是一 些规则的波形。如果外加电源激励是一些不规则的波形，即它们是一 些任意波形，则可以用卷积积分来计算它的零状态响应。 8.4.1 卷积积分的定义
30
8.3 二阶电路的冲激响应 当冲激电源作用于零状态电路，其响应称为冲激响应。要计算二 阶电路的冲激响应，可以采用与计算一阶电路的冲激响应相同的方法， 即从冲激电源的定义出发，直接计算冲激响应；也可以利用已经学习过 的一阶电路的冲激响应与阶跃响应的关系，即一阶线性电路的单位阶 跃响应对时间ｔ的微分就是该电路的单位冲激响应。对于二阶电路，这 个结论仍然适用。在此以计算图8.10所示电路的冲激响应uC为例。
图8.16 8.3 确定图8.17所示电路中电容电压、电感电流，其初始值分别 为uC(0＋)，iL(0＋)，设电路激励分别为
①iS＝ε(ｔ)Ａ，uS＝10ε(ｔ)V；
②iS＝δ(ｔ)Ａ，uS＝10δ(ｔ)V。
51
图8.17
52
8.4 图8.18所示电路已知ＵS＝δ(ｔ)V，R＝1Ω，L＝1Ｈ，C＝1Ｆ， 试求电路的冲激响应uC，iL。
设有两个时间函数：f1(t)和f2(t)［在t<0时，f1(t)=f2(t)=0］，则
42
43
8.4.2 用卷积积分计算任意激励的零状态响应 图8.13所示激励函数ｅ(ｔ)作用于一个线性电路，假定此电路的 单位冲激响应ｈ(ｔ)已知，则可按下述方法计算电路在ｅ(ｔ)作
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0
1 LC
二阶以上电路存在
谐 振： s 0
13
3） R 2 L 两个相等负实根 R 2 L 临界电阻
C
C
p1
p2
R 2L
代入初值，解得：
uC ( A1 A2t)e t
波形与过阻尼情况类似
A1 U0，A2 U0 uC U0 (1 t)e t
i C duC U0 te t dt L
US
特征方程为:
uC uC uC
LCp2 RCp 1 0
特解
通解 特解: uC US
16
uC解答形式为：
uC
US
A1e
pt 1
A2e
pt 2
( p1 p2 )
uC US A1e t A2te t ( P1 P2 )
uC US Ae t sin(t ) (P1、2 j)
作业：7-21 7-22
24
令 R — 衰减系数
2L
1 LC
0
— 谐振角频率
ω0
ω
δ
02 2 — 固有振荡角频率
关系： 0 sin 0 cos p1 j 0 cos j0 sin 0e j p2 j 0 cos j0 sin 0e j
9
p1 j 0e j p2 j 0e j
iL (0 )
100Acos 100Asin 0 uL (0 )
45
A 2
iL 1 2e100t sin(100 t 45)
19
50
(5)求iR
+ R iR iL
50 V
-
0.5H
50
100F
iR
iL
iC
iL
LC
d 2iL dt 2
或设解答形式为：
iC iR 1 Ae100t sin(100t )
di U0 dt t0 L
电路方程：
LC
d2uC dt
RC
duC dt
uC
0
特征方程：
LCp2 RCp 1 0
5
特征根：
p1,2
R 2L
( R )2 1 2L LC
3.零输入响应的三种情况
1）R 2 L 两个互异负实根 C
过阻尼
2）R 2 L 两个相等负实根 C
临界阻尼
3）R 2 L C
§7-5 二阶电路的零输入响应
1. LC电路中的正弦振荡
(t=0) i
已知uC(0–) = U0, i(0–) = 0，
+ C uC
-
求uC(t), i(t), t 0
+
uL L 方程： uC uL
-
uL电容电压为变量：
LC
d2uC dt 2
uC
0
特征方程： LCp2 1 0
i C duC dt
以电容电压为变量：
LC
d2uC dt
RC
duC dt
uC
0
以电感电流为变量： LC d2i RC di i 0
dt
dt
4
以电容电压为变量时的初始条件：
uC(0+)=U0 i(0+)=0
duC 0 dt t0
以电感电流为变量时的初始条件：
i(0+)=0 uC(0+)=U0 uL (0 ) uC (0 ) U0
两个共轭复根
欠阻尼
根据上述情况，讨论方程的根及其对应的物理意义。
6
1）R 2 L C
两个互异负实根 uC A1e p1t A2e p2t
代入初值：uC(0＋) = U0，ddutC t0 0，得到：
A1 A2 U0 p1A1 p2 A2
0
联立解得：
A1
p2U 0 p2 p1
A2
0 欠阻尼， 振荡放电 uC Ae t sin( t )
22
3.求二阶电路全响应的步骤
(a)列写t >0+电路的微分方程
(b)求通解
(c)求特解
(d)全响应=强制分量+自由分量
f (0 )
(e)由初值 df
定常数
dt (0 )
23
下次课内容：
§7-7 一阶和二阶电路的阶跃响应 §7-8 一阶和二阶电路的冲激响应
A 2
21
小结 1.二阶电路含二个独立储能元件，是用二阶常
微分方程所描述的电路。
2.二阶电路的性质取决于特征根，特征根取决 于电路结构和参数，与激励和初值无关。
p 2 02
0
过阻尼， 非振荡放电
uC
A1e
pt 1
A2
e
pt 2
0 临界阻尼， 非振荡放电 uC A1e t A2te t
p1,2 j
1 LC
1
方程的解：
j1t
j 1 t
uC A1e LC A2e LC
代入初值uC(0+) = U0，则 A1 A2 U0
duC dt
t 0
1 C
i(0
)
0
联立解得：
A1
A2
U0 2
A1 A2 0
uC
U0 2
j
e
1t
j
LC e
1 LC
t
U0
cos
1 t LC
ω
R
2L
02 2
若R=0，则
0 0
2
δ
p1,2 j0
Li
t = 0 + uL – –
uc
C uC
i
t
+
uC
uL
U
0
sin(0t
2
)
i
C L
U
0
sin(
0t
)
等幅振荡 无阻尼现象
12
电路的振荡
强迫振荡：外施激励引起 us (t) Um cosst 激励的频率决定各响应的频率
自由振荡：电路自身决定
振荡，也称阻尼振荡。
若电阻过大，储能在初次转移即被消耗，称过阻尼
情况（无振荡）。
3
2.RLC串联电路的零输入响应
(t=0) R L i
已知uC(0–) = U0, i(0–) = 0，
+ uL C
求uC(t), i(t), uL(t), t 0
+ uC
方程：
Ri uL uC 0
-
uL
L
di dt
uL
L diL dt
U0e t (1 t)
U0 uc
i
o tm uL
t
非振荡放电 临界阻尼现象
14
小结 R 2 L 过阻尼， 非振荡放电
C
uC
A1e
pt 1
A2e
pt 2
可推 广应
R 2 L 临界阻尼， 非振荡放电
C uC A1e t A2te t
用于 一般
R 2 L 欠阻尼， 振荡放电
定常数
+ R iR
50V
-
2A iC
iR (0 )
diR dt
(0
)
1
?
iC
(0
iR
) 1
50 R
uC
diR dt
(0
)
1 R
duC dt
(0
)
1 RC
iC
(0
)
200
20
iR 1 Ae100t sin(100t )
1 Asin 1 100 Acos 100 Asin 200
0
二阶
C
电路
uC Ae t sin(t )
由初始条件
uC (0 )
duC dt
(0
)
定常数
15
§7-6 二阶电路的零状态响应和全响应
1. 二阶电路的零状态响应
例 uC(0－)=0 , iL(0－)=0
+ R iL
- US (t)
L
+
uC- C
微分方程为：
LC
d 2uC dt
RC
duC dt
uC
uL
L
di dt
U00
e t
sin( t
)
uL
衰减振荡放电 欠阻尼现象
10
uc U0
能量转换关系：
iC
0 - 2- 2
t
+
+
+
C -
L- C
L- C
L
R
0 < t <
R
R
< t < - - < t <
11
uC
U 00
e t
sin( t
)
i U0 e t sin( t) L
ω0
由初值
uC(0
),
duC (0 dt
)
确定二个常数
uC
US
0
t
17
100F
2. 二阶电路的全响应
例 已知：iL(0-)=2A uC(0-)=0 求：iL, iR
解 (1) 列微分方程
应用KCL：
L diL 50 dt R
iL
LC
d 2iL dt 2
0
RLC
d 2iL dt 2
L
diL dt
RiL
uL
L
di dt
U0 p2 p1
( p1e p1t
p2e p2t )
设 |P2|>|P1|，画出电压电流波形
0
tm 2tm
p1U 0 e p2t p2 p1
uL 过阻尼