(电路分析)一阶电路的零输入响应
一阶电路的响应测试实验报告
一阶电路的响应测试实验报告一、实验目的本次实验的主要目的是深入理解一阶电路的响应特性，包括零输入响应、零状态响应和全响应，并通过实际测量和数据分析来验证相关理论知识。
二、实验原理一阶电路是指只含有一个储能元件（电感或电容）的线性电路。
在一阶电路中，根据电路的初始状态和外加激励的不同，可以产生不同的响应。
零输入响应是指在没有外加激励的情况下，仅由电路的初始储能所引起的响应。
对于由电阻和电容组成的一阶 RC 电路，当电容初始电压为＼（U_0\），放电过程中电容电压＼（u_C(t)＼）随时间的变化规律为＼（u_C(t) ＝ U_0 e^｛＼frac{t}｛RC}｝＼）。
零状态响应是指在电路初始储能为零的情况下，仅由外加激励所引起的响应。
对于一阶 RC 电路，在充电过程中，电容电压＼（u_C(t)＼）随时间的变化规律为＼（u_C(t) ＝ U(1 e^｛＼frac{t}｛RC}｝）＼），其中＼（U\）为外加电源的电压。
全响应则是电路的初始储能和外加激励共同作用所产生的响应，可以看作零输入响应和零状态响应的叠加。
三、实验设备与器材1、示波器2、信号发生器3、电阻、电容4、实验面包板5、导线若干四、实验步骤1、按照实验电路图在面包板上搭建一阶 RC 电路，选择合适的电阻值＼（R\）和电容值＼（C\）。
2、首先进行零输入响应测试。
给电容充电至一定电压＼（U_0\），然后断开电源，用示波器观察并记录电容电压＼（u_C(t)＼）随时间的变化曲线。
3、接着进行零状态响应测试。
将电容放电至零初始状态，然后接通电源，用示波器观察并记录电容电压＼（u_C(t)＼）随时间的上升曲线。
4、最后进行全响应测试。
给电容充电至某一初始电压，然后接通电源，观察并记录电容电压＼（u_C(t)＼）的变化曲线。
五、实验数据记录与处理1、零输入响应记录的电容电压下降曲线显示，在初始时刻电容电压为＼（U_0 ＝ 5V\），经过一段时间后，电压逐渐下降。
一阶电路的零输入响应
dt
50 1 e1500t 0.05 1500 e1500t
50 25e1500tV
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§10.4 一阶电路的全响应 一、全响应的分解
全响应：电路中输入激励和储能元件的储能共同产生的响应。
R
+
+ uR – i
–US
C
uC 0 U0
电路方程
ui US
+u US-U0 C
一、RC电路的零输入响应
12 i
uC i
特征根
p
1
+ U0
—
R0
+ C uC
—
+ R uR
—
U0
U0
R
uC
i
0
RC
t
uC Ae RC t 0
确定积分常数
t
uC 0 U0
uC 0 U0
电路方程
uR uC 0
电压与电流的关系
u R iR
电路方程
RC
duC dt
uC
0
t＞0
通解
uC Aept
二、全响应的分解
1.全响应可分解为稳态分量和瞬态分量。
t
uC = uC′+ uC″ = US + （U0 - US）e
τ
稳态分量 瞬态分量
强制分量 自由分量
2.全响应可分解为零输入响应和零状态响应。
t
t
uc = uc1 + uc2 = U0e τ + US（1-e τ ）
零输入响应 零状态响应
uC US
+ uR –
uR uC i
+
R+i
一阶电路的零输入响应
L
diL dt
RiL
0
即
diL dt
R L
iL
0
uR RiL
对应的特征方程为
一阶线性常系数齐次微分方程
p R 0 L
pR 1
L
则微分方程的通解为
i(t)
Ae pt
R
Ae L
t
1
Ae
t
（A为待定常数）
将t=0时的电感电流初始值代入，则有
图示电路换路后电感将经电阻释放储存的能量。
随着时间的延续，电感电流逐渐下降，电阻两端的电压也 逐渐减小，最后电路中的电压和电流均趋近于零，过渡过程结 束，电路进入新的稳态。电流流经电阻将电感储存的能量变成 热能耗散。
开关S断开后，根据KVL和各元件的伏安关系可得
uL uR 0
uL
L
diL dt
意义： （1）τ值的大小表征了一阶电路过渡过程进展的快 慢。 τ值越大， uC和i衰减越慢，过渡过程越长。 这是因为电容量C越小，电容储存的初始能量越少， 维持的时间就短；而R越小，i 越大，电阻耗能越 快。适当的选择R和C，改变电路的时间常数，可 控制放电速度。
（2） τ值还是零输入响应下降为初始值的36.8%所 需时间。并且零输入响应每经过一个τ值的时间后都 衰减为原有值的36.8%。
解：10kV是高压三相电路的线电压， 星形连接时电容器两端 电压为相电压,则电容电压的初始值为：
uc
(0
)
uc
(0
)
10000 3
5770V
时间常数为： RC 100106 40106 4000s
电容电压为：
t
uc (t) uc (0 )e
1t
电路原理5.3.3一阶电路的动态响应 - 一阶电路的动态响应2
解的构成：
dt
y = y' + y''
对应的齐次方程的通解
非齐次方程的特解
方法一：从数学方程形式求解
（1）先求对应齐次方程的通解y’’
dy + py = 0 dt
-t
y'' = Ae
动态电路的时域分析
（2）求非齐次方程的特解y’——待定系数法
a.形如
dy dt
+
py
=
K
（K为常数——直流）
则设 y' = （常数），代入非齐次方程，求得y’。
b.形如
dy + py = Kt dt
则设 y' = t + ，代入非齐次方程，求得y’。
c.形如 dy + py = Ksint （交流）
dt
则设 y' = sint + cost ，代入非齐次方程，求得y’。
（或者 y' = Am sin(t + ) ）
动态电路的时域分析
方法二：从电路的角度分析 y = y' + y''
i2 (t )
=
-
R1
+
R R2
+
R3
i(t)
=
-2e-t A
动态电路的时域分析
二、一阶电路的零状态响应 1、零状态响应：电路在储能元件零初始条件下(电容电压
值uC和电感电流值iL为零），而由外施激励引 起的电路响应。
2、RC电路的零状态响应
S(t = 0) R iC(t)
+ US
2
1
+
uR C
一阶电路零状态响应公式
一阶电路零状态响应公式在电路理论中，一阶电路是指由一个电感或一个电容和一个电阻组成的电路。
它是电路理论中最基本的电路之一，也是我们学习电路的起点。
在分析一阶电路时，我们经常需要计算电路的零状态响应，即在初始时刻电路中没有任何电流或电压的情况下，当输入信号突然改变时电路的响应。
一阶电路的零状态响应公式可以通过求解电路的微分方程得到。
对于一个由电感、电阻和输入电压源组成的串联电路，我们可以根据基尔霍夫电压定律和欧姆定律建立如下的微分方程：L di/dt + Ri = Vin其中，L是电感的感值，单位是亨利；R是电阻的阻值，单位是欧姆；Vin是输入电压源的电压，单位是伏特；i是电路中的电流，单位是安培；t是时间，单位是秒。
为了求解这个微分方程，我们可以使用分离变量法。
首先，将方程两边除以L，得到：di/dt + (R/L)i = Vin/L接下来，我们可以将这个微分方程进行变换，使得左边只有i的导数，右边只有t和Vin。
具体的变换方法是将方程两边乘以e^(Rt/L)，得到：e^(Rt/L)di/dt + (R/L)e^(Rt/L)i = (Vin/L)e^(Rt/L)这样，左边的第一项可以通过链式法则转化为：d(e^(Rt/L)i)/dt右边的第一项可以通过乘法法则转化为：(Vin/L)e^(Rt/L)现在，我们可以将方程重新写成：d(e^(Rt/L)i)/dt = (Vin/L)e^(Rt/L)接下来，我们对方程两边进行积分，得到：∫d(e^(Rt/L)i) = ∫(Vin/L)e^(Rt/L)dt对于左边的积分，我们可以使用积分的基本性质，得到：e^(Rt/L)i = ∫(Vin/L)e^(Rt/L)dt + C其中，C是积分常数。
最后，我们可以解出i的表达式：i = (1/L)e^(-Rt/L)∫(Vin/L)e^(Rt/L)dt + Ce^(-Rt/L)这就是一阶电路的零状态响应公式。
通过这个公式，我们可以计算出在初始时刻电路中没有任何电流或电压的情况下，当输入信号突然改变时电路的响应。
一阶电路的零输入响应零状态响应
2 0
WR
i2Rdt
0
0(I0eL/tR)2Rdt
I02R
0
e
2t
L/Rdt
I02R(L2/ReR2tC)| 0
1 2
LI 0 2
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例1 t=0时 , 打开开关K，求uv。 电压表量程：50V
K(t=0) R=10
10V
+
uV
–
V RV 10k
有一过渡期
0
t1新的稳定状态 t
过渡状态
上页
下页
(t →)
i
K 未动作前，电路处于稳定状态
K
R+
US
uL L
–
iU S R, uL0
K US
i
R+
uL L
–
K 断开瞬间
i0, uL
注意工程实际中的过电压过电流现象
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换路
支路接入或断开 电路结构、状态发生变化
电路参数变化
过渡过程产生的原因
(1) 由0－电路求 uC(0－)或iL(0－)
例1 求 iC(0+)
10k
+
10V －
10k 40k
+ uC(0－) －电
+
i
40k iC
+ uC
－ 10V k
－
uC(0)8V
(2) 由换路定律
容 开 路
+ 10V
－
i 10k iC (0+)
0＋等效电路
uC(0)uC(0)8V
+
8V
(3) 由0＋等效电路求 iC(0＋)
一阶电路的零输入响应和零状态响应
0
US R
0.368 Us R
ic
t
+ US -
t0
t
R
ic C + uc -
由上可以看出：
1) 不跃变的uc(t)的零状态响应是从
+ US -
t0
零值按指数规律上升趋于稳态值，该稳态值可由
电路观察看出。在上面的电路中， uc 的稳态值
为 2)
uc () US ， 所以电容电压的零状态响应
2 0.8
4
+ u 0.01 F 2i1 + -
i1(A)
t(s)
二、RL电路的零状态响应
t=0 IS iL b a
R
iL + L uL -
+ L uL -
IS R
t 0, iL (0) =0
以 iL 为变量的微分方程:
L diL iL I s R dt iL ( 0 ) 0
utuchc?usriccuc0?ttutcp?式中uch是齐次解形式由特征根确定即?trctstchkekeketu?????0?tucpt是特解其形式与外加激励相同对于直流激励ucp应为常数故令qtucp?将它代入微分方程得scpuqtu??t??scuketu??式中待定常数k由uc0确定在上式中令t00???scuktusuk???tsccerudtducti???以及t0063u063ususucric0?te1sutcut?????ic0ttrusrus368
st
因特征方程为
1 RCS 1 0 则 S RC t uc (t) Ke RC
在上式中令 t=0，得K= uC(0) =U0
一阶电路的零输入响应基础知识讲解
R
现象 ：电压表坏了
10V
L
例2 t=0时 , 开关K由1→2，求电感电压和电流及开关两
端电压u12。 解
iL(0 ) iL(0 )
K(t=0) 2
+1
24V
– 4
2 iL 3 4 u+L 6H
－
6
24 6 2A 4 2 3 // 6 3 6
R 3 (2 4) // 6 6
L 6 1s
t>0
iL() 10A
iL (t ) 10(1 e100t )A
10A
+
2H uL Req
iL –
uL(t ) 10 Reqe100t 2000e V 100t
例2 t=0时 ,开关K打开，求t>0后iL、uL的及电流源的端
电压。
5 10
解
这是一个RL电路零状态响 应问题，先化简电路，有：
K(t=0)
10V
+
uV
–
V RV 10k
iL
解 R=10 L=4H
iL (0+) = iL(0－) = 1 A
iL e t/ t 0
L 4 4104 s
RV 10k
R RV 10000
uV RV iL 10000e2500t t 0
iL
uV (0+)=－ 10000V 造成 V 损坏。
－
iL –
u 5I S 10iL uL 20 10e V 10t
储能大 放电电流小
放电时间长
t
t
uc U0e
0
U0 U0 e -1 U0 0.368 U0
2
3
U0 e -2
一阶电路的零输入响应
3、原始能量增大A倍，则零输入响应将相应增大A倍，这种原始能量与零输 入响应的线性关系称为零线性。
零输入响应就是无电源一阶线性电路，在初始储能作用下产生的响应，
其形式表示为：
f (t) f (0) et
t 0
式中 f (0) 为变量的初始值 uC (0 ) 或 iL (0 )
为时间常数 RC （电容）
L R
（电感）
一、RC电路的零输入响应
如右图，已知uc(0-)=U0，K于t=0 时刻闭合，分析t≧0时uc(t) 、 i(t)的变化规律。
0
一阶常系数齐次微分方程
其特征根方程：
S 1 0
特征根
RC
1
S
RC
uc (t )
Ae st
1t
Ae RC (t
0)
又有初始条件： uc(0+) = uc(0-) =U0 （换路定理）
1t
uc (t ) U0e RC (t 0)
i(t ) C duc
U0
1t
e RC (t
0)
dt
R
i(t)
E
uL(t)的变化规律。
R0 K R
iL
+ L uL
-
(a) 分析：t<0时已达稳态，L中电流为I0=E/R0
t≧0时，电感以初始储能来维持电流iL (t)（放电）
①
换路后（ t≧0），由KVL有：
L diL dt
RiL (t ) 0
即：
diL dt
R L
iL (t )
0
特征根：
电路理论：一阶电路的零输入响应
零输入响应(Zeroinput response )：激励(电源)为零，由初 始储能引起的响应。
一、 RC电路的零输入响应 (C对R放电)
S(t=0) i
+
C uC
–
+
R uC
–
i C duC dt
uC
RC duC dt
0
uC (0)=U0
解答形式 uC(t)=uC"=Aept (特解 uC'=0)
1
p
从理论上讲 t 时,电路才能达到稳态. 单实际上一般认
为经过3 5 的时间, 过渡过程结束,电路已达到新的稳态。
t 0
2
3
4 5
t
uc U0e
U0
0.368U0
0.135U0
0.05U0
0.02U0
0.007 U0
能量关系：
C
R
C的能量不断释放, 被R吸收, 直到
全部储能消耗完毕.
WR
由特征方程
Lp+R=0
得
pR L
由初值 i(0+)=i(0)= I0 得 i(0+)=A= I0
解答
Rt
iL(t) I0e L
(t 0)
Rt
iL(t) I0e L
(t 0)
I0 iL
uL(t)
L diL dt
R t
RI 0e L
(t
0)
O uL
t
O
(1) iL, uL 以同一指数规律衰减到零；
iL I0e L
R
R
t
t
uV RiL RV I0e L 875e L kV
一阶电路的零输入响应
一阶电路的零输入响应所谓零输入响应就是没有外部激励输入，仅仅依靠动态元件中的储能产生的响应。
换句话说，就是求解微分方程在初始条件不为零时的齐次解。
1 RC 电路的零输入响应如图1-4-5（a）所示的电路中：t<0 时，开关在位置1，电容被电流源充电，电路已处于稳态，电容电压uC（0－）＝RIS；在t＝0 时，开关按箭头方向动作；在t≥0 时，电容将对R 放电，电路如图1-4-5（b）所示，电路中形成电流i。
故t>0 后，电路中无电源作用，电路的响应均是由电容的初始储能而产生，故属于零输入响应。
换路后得图1-4-5（b），根据KVL有uR +uC=0，而代入上式可得图1-4-5 RC电路的零输入这是一个一阶齐次方程，根据换路定理，可知初始条件uC （0+）＝uC（0－）＝u。
方程的通解为将初始条件uC （0+）＝RIS代入式（1-4-12），求出积分常数A为将uC （0+）代入式（1-4-12），得到满足初始值的微分方程的通解为放电电流为令τ＝RC，它具有时间的量纲，即故称τ为时间常数，这样式（1-4-13）、（1-4-15）可分别写为。
由于，为负，故uC和i均按指数规律衰减，它们的最大值分别为初始值uC （0+）＝RIS，以及，当t→∞时，uC和i衰减到零。
其变化曲线如图1-4-6所示。
图1-4-6 RC 电路零输入响应电压电流波形图关于零输入响应曲线的几点说明：（1）时间常数是体现一阶电路电惯性特性的参数，它只与电路的结构与参数有关，而与激励无关。
（2）对于含电容的一阶电路，τ＝RC；对于含电感的一阶电路，。
（3）τ越大，电惯性越大，相同初始值情况下，放电时间越长。
（4）一阶电路方程的特征根为时间常数的相反数；它具有频率的量纲，称为“固有频率”（natural frequency）。
理论上认为t→∞、uC →0 时，电路达稳态；工程上认为t＝（3－5）τ、uC→0，电容放电基本结束。
一阶电路的零输入响应零状态响应
（1）电容电流和电感电压为有限值是换路定律成立的条件。 （2）换路定律反映了能量不能跃变。
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5.电路初始值的确定
(1) 由0－电路求 uC(0－)或iL(0－)
例1 求 iC(0+)
10k
+
10V －
10k 40k
+ uC(0－) －电
+
i
40k iC
+ uC
－ 10V k
－
uC(0)8V
生变化，而能量的储存和释放都需要一定的时间来完成。
p W t
t 0 p
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2. 一阶电路及其方程
有源 电阻 电路
一个动 态元件
一阶 电路
应用KVL和电容的VCR得：
RiuCuS(t)
+ uS(t)
－
(t >0)
i
R+
uC C
–
i C duC dt
RCddutC uC uS(t)
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由0－电路得：
0－电路
0＋电路
IS
+ uL – R
iC
+ R IS –
iL(0＋) = iL(0－) = IS
uC(0＋) = uC(0－) = RIS
由0＋电路得：
iC(0)Is
RSI0 R
uL(0+)=－ RIS
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例4 求K 闭合瞬间各支路电流和电感电压2+KL
48V －
iL
i
+
+
uL
过渡状态
上页
下页
(t →)
i
K 未动作前，电路处于稳定状态
rc一阶电路的零状态响应,按指数规律上升,按指数规律衰减
rc一阶电路的零状态响应,按指数规律上升,按指数规律衰减RC一阶电路是由电阻（R）和电容（C）组成的电路。
在零状态响应中，我们考虑的是电路在初始时刻没有存储能量的情况下的响应。
1.按指数规律上升：在RC一阶电路的零状态响应中，如果输入信号是一个突变或阶跃信号，电路的响应将按指数规律上升。
在这种情况下，电容充电的速度呈指数增长。
电路响应的形式可以用指数函数来描述。
2.按指数规律衰减：如果初始时刻存在存储在电容中的能量，当电路处于零状态时，电路的响应将按指数规律衰减。
在这种情况下，电容中的电荷将以指数方式耗散，电路的响应呈指数衰减。
总体来说，RC一阶电路的零状态响应是一个指数规律的过程，其上升或衰减的速率取决于电路的参数（电阻值R和电容值C）以及输入信号的特性。
这种响应通常可以用微分方程和指数函数来建模和描述。
一阶电路的零输入响应
202J
5000μJ
电阻耗能
WR
∞Ri2dt
0
t 250103 (80et )2dt 800μJ
0
(5800 5000) μJ
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2. RL电路的零输入响应
iL (0 )
iL (0 )
US R1
R
I0
L diL dt
RiL
0
t 0
+ R1 US
-
特征方程 Lp+R=0
0
∞
0 (I0e
t L/R
)2
Rdt
I
2 0
R
∞
e
2t
L/ Rdt
0
I
2 0
R(
L/R 2
e
2t RC
∞
)
0
1 2
LI02
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例2-3 t=0时,打开开关S，求uV 。电压表量程：50V。
S(t=0)
R=10 解
+ uV 10VVFra bibliotekRViL
L=4H
iL (0+) = iL(0－) = 1 A
等效电路 5F + i1
t >0
－uC 4
解 这是一个求一阶RC 零输入响应问题，有
t
uC U0e RC t 0
U0 24 V RC 5 4s 20 s
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S
i1
5F + 2
i2
－uC
3 6 i3
5F + i1 －uC 4
t
uC 24e V 20
t
i1 uC 4 6e A 20
一阶电路的零输入响应和零状态响应
一阶电路的零输入响应和零状态响应下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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一阶电路的零输入响应零状态响应全响应
e
5
e
6
0.368U 0.135U 0.050U 0.018U 0.007U 0.002U
当 t =5 时，过渡过程基本结束，uC达到稳态值。
第四章 动态电路的时域分析
二、一阶RL电路的零输入响应
电感电流根据三要素公式：
iL (0 ) I 0
iL (0 ) iL (0 ) I 0
s
i R C + _ uC
+
t 0
s
i R C + _ uc
U _
uC (0 -) = U0
零输入响应
uC (0 -) = 0
uC U 0
零状态响应
t e RC
U
t ( 1 e RC
) (t 0
uC
U
Ue
t RC
第四章 动态电路的时域分析
3.3.3 一阶电路的全响应:
回顾
若零输入响应用yx(t)表示之，其初始值为yx(0+)，那么
y x (t ) y x (0 )e
t
t 0
t
若零状态响应用yf(t)表示之，其初始值为yf(0+)=0，那么
y f (t ) y f ()(1 e ) t 0
第四章 动态电路的时域分析
+ U _
t 0
U (1 e
1 t RC
)V
t 0
第四章 动态电路的时域分析
uC的变化规律
稳态分量
+U
uC
U
Ue
t RC
uC
uC
t 暂态分量
电路达到 稳定状态 时的电压
电路一阶电路的零输入响应-精品文档
d i L Ri 0 t 0 d t
pt i(t) Ae
特征方程 Lp+R=0
R 特征根 p = L
由初始值 i(0+)= I0 定积分常数A
A= i(0+)= I0
pt 得 i ( t ) I e I e 0 0
1 CU 2
2 0
-
C
电容放出能量
电阻吸收（消耗）能量
W R
0
t 2t 2 U U 2 RC ( 0e RC)2 Rdt 0 i Rdt e dt 0 0 R R
U RC ( e R 2
2 0
2 t RC 0
)|
1 2 CU 0 2
二. RL电路的零输入响应
解 （ 1） t≥0 电路如图（ b）所示 ,为一 RL 电路。
L 0 . 4 5 4 10 s 3 R R 10 V 10
例:L=0.4H, R=1Ω, US=12V, RV=10kΩ, 量程为50V。 L 0 . 4 5 4 10 s 3 R R 10 V 10
S(t ＝ 0) i C ＋ － uC
du C u Ri , i C R dt
一.RC电路的零输入响应
＋ R uR －
设
du C RC u 0 C dt
pt u A e C
( t 0 )
一阶微分方程
特征方程 1 p RC
RCp 1 0
uC Ae
1 RC
S(t ＝ 0) i C ＋ － uC
uC (t1 ) t 2 t1 tan t uC (t1 ) U 0e t1 duC (t ) 1 t t1 U e 0 dt
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一阶电路的零输入响应
第 3 节一阶电路的零输入响应
零输入响应：电路无外加激励，仅由动态元件的初始储能作用所产生的响应，称为零输入响应（ zero-input response ）。
一、 RC 电路的零输入响应
图 5.3-1 （ a ）电路， t=0 时开关 S 由位置 1 拨到位置 2 ，讨论换路后时的电容电压、电容电流等响应的变化规律。
电路换路之前开关 S 处于位置 1 ，直流电压源 Us 对电容 C 充电，电路已处于稳定状态，换路前的等效电路如图
5.3-1 （ b ）所示。
时刻，电容电压等于直流电压源的电压 Us ，即
时刻，电容与电压源断开，与电阻 R 形成新的回路，这时的等效电路如图 5.3-1 （ c ）所示。
由换路定则得换路后电容电压的初始值
电容电流的初始值为
图 5.3-1 （ c ）电路，由 KVL ，可得
用积分变量分离法进行求解，得
式中，
为 RC 电路的时间常数（ time constant ），当 R 的单位为Ω， C 的单位为 F 时，τ的单位是秒（ s ）。
时间常数：时间常数是反映一阶电路过渡过程进展快慢的一个重要的参数，其大小仅取决于电路的结构和参数。
τ越大，响应衰减的速度就越慢；τ越小，响应衰减的速度就越快。
用表示电路换路后的响应，用表示该响应的初始值，则 RC 一阶电路的零输入响应可表示为
RC 电路零输入响应的规律
RC 电路换路后，各处的零输入响应都是从初始值开始，按指数规律衰减。
衰减得快慢由时间常数τ决定。
二、 RL 电路的零输入响应
图 5.3-3 （ a ）是 RL 动态电路。
电路换路之前开关 S 处于位置 1 ， t=0 时开关 S 由位置 1 拨到位置 2 。
下面讨论换路后时的电感电流、电感电压等响应的变化规律。
时刻，电路换路之前开关 S 处于位置 1 ，直流电流源 Is 对电感 L 充电，电路已处于稳定状态，换路前的等效电路如图 5.3-3 （ b ）所示。
t=0 时，开关 S 拨到位置 2 ，时，电感与电流源断开，而与电阻 R 形成新的回路，这时的等效电路如图5.3-3 （ c ）所示。
由换路定则得换路后电感电流的初始值为
电感电压的初始值为
对于图 5.3-3 （ c ）电路，由 KVL 可得
采用积分变量分离法进行求解，得
式中，称为 RL 电路的时间常数，当 R 的单位为Ω， L 的单位为 H 时，τ的单位为秒（ s ）。
总结
电容、电感动态元件在电路中充电和放电的过程，实际上是动态元件与电路的能量交换过程，动态元件本身并不耗能。
图 5.3-1 电路中，电路换路之前电容处于充电状态，电容从电压源吸收能量并储存起来，电路换路之后，电容又开始放电，释放的能量被电阻 R 所消耗，零输入响应就是一个放电的过程。
三、一阶电路零输入响应的计算
计算步骤
1 、画出时刻的等效电路。
这时电路已达到稳态，在直流激励作用时，将电容当作开路，将电感当作短路，求出或，并根据换路定则，求得电路的初始状态。
若需要计算电路中其它响应，再根据初始状态计算这些响应的初始值。
2 、求电路的时间常数τ。
对于 RC 电路，，对于 RL 电路，。
其中， R 为从电容 C 或电感L 两端看进去的戴维南等效电阻。
3 、求出零输入响应
例 5.3-1 图 5.3-5 （ a ）所示电路中，开关原来处于位置 1 ，且电路已处于稳态， t=0 时刻开关 S 拨到位置2 ，求时的，和。
解： 1. 求初始值，和
作出电路换路前时刻的等效电路，如图 5.3-5 （ b ）所示，这时电路处于稳态，电容相当于开路，并由换路定则得
时刻的等效电路如图 5.3-5 （ c ）所示，两个 100 K Ω的电阻并联，所以
2 ．求时间常数τ
图 5.3-5 （ c ）电路中无外加激励，只有电容的初始电压通过两个电阻放电，因此，产生的响应为零输入响应。
这时，从电容两端看进去的戴维南等效电阻是两个 100 K Ω的电阻并联，所以R=100K ∥ 100K=50K Ω
则时间常数为
3 ．电路换路后时的响应为。