一阶电路的零输入响应.

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(电路分析)一阶电路的零输入响应

一阶电路的零输入响应第 3 节一阶电路的零输入响应零输入响应：电路无外加激励，仅由动态元件的初始储能作用所产生的响应，称为零输入响应（ zero-input response ）。

一、 RC 电路的零输入响应图 5.3-1 （ a ）电路， t=0 时开关 S 由位置 1 拨到位置 2 ，讨论换路后时的电容电压、电容电流等响应的变化规律。

电路换路之前开关 S 处于位置 1 ，直流电压源 Us 对电容 C 充电，电路已处于稳定状态，换路前的等效电路如图5.3-1 （ b ）所示。

时刻，电容电压等于直流电压源的电压 Us ，即时刻，电容与电压源断开，与电阻 R 形成新的回路，这时的等效电路如图 5.3-1 （ c ）所示。

由换路定则得换路后电容电压的初始值电容电流的初始值为图 5.3-1 （ c ）电路，由 KVL ，可得用积分变量分离法进行求解，得式中，为 RC 电路的时间常数（ time constant ），当 R 的单位为Ω， C 的单位为 F 时，τ的单位是秒（ s ）。

时间常数：时间常数是反映一阶电路过渡过程进展快慢的一个重要的参数，其大小仅取决于电路的结构和参数。

τ越大，响应衰减的速度就越慢；τ越小，响应衰减的速度就越快。

用表示电路换路后的响应，用表示该响应的初始值，则 RC 一阶电路的零输入响应可表示为RC 电路零输入响应的规律RC 电路换路后，各处的零输入响应都是从初始值开始，按指数规律衰减。

衰减得快慢由时间常数τ决定。

二、 RL 电路的零输入响应图 5.3-3 （ a ）是 RL 动态电路。

电路换路之前开关 S 处于位置 1 ， t=0 时开关 S 由位置 1 拨到位置 2 。

下面讨论换路后时的电感电流、电感电压等响应的变化规律。

时刻，电路换路之前开关 S 处于位置 1 ，直流电流源 Is 对电感 L 充电，电路已处于稳定状态，换路前的等效电路如图 5.3-3 （ b ）所示。

t=0 时，开关 S 拨到位置 2 ，时，电感与电流源断开，而与电阻 R 形成新的回路，这时的等效电路如图5.3-3 （ c ）所示。

一阶电路的零输入响应零状态响应全响应.

零状态响应
全响应
t t uC U 0e RC U (1 e RC ) (t 0) t U (U 0 U )e RC (t 0)
稳态分量
稳态值
初始值
暂态分量
结论：全响应 = 稳态响应 +暂态响应
第四章动态电路的时域分析
例1：电路如图，开关S闭合前电路已处于稳态。 t=0时S闭合，试求：t >0时电容电压uC和电流iC、 1 2 i1和i2 2 。 C + 1 解：用三要素法求解 Su+ 6V 3 C 求初始值 uC (0 ) - 5μ F t=0 由t=0-时电路
+
uR -
U e A R
R t L
t0
第四章动态电路的时域分析
U i L (1 e ) R t R t di L uL L Ue Ue dt R t uR i L R U (1 e L ) uL、 uR变化曲线 2. i L、

R t L
第四章动态电路的时域分析
(3) 求τ
R3 R4 3 6 R R2 2 4 R3 R4 3 6
RC 4 0.5 2 s
第四章动态电路的时域分析
(4) 求uC和i。
uC 2 (6 2)e

t 2
2 4e V
t 2
t 2

t 2
第四章动态电路的时域分析
3.3 一阶电路的零输入响应、零状态响应和全响应
3.3.1 一阶电路的零输入响应: 一、一阶RC电路的零输入响应
实质：RC电路的放电过程。
第四章动态电路的时域分析
定性分析：

一阶电路的零输入响应零状态响应

2 0
WR
i2Rdt
0
0(I0eL/tR)2Rdt

I02R
0

e
2t
L/Rdt
I02R(L2/ReR2tC)| 0

1 2
LI 0 2
上页下页
例1 t=0时 , 打开开关K，求uv。电压表量程：50V
K(t=0) R=10
10V
+
uV
–
V RV 10k
有一过渡期
0
t1新的稳定状态 t
过渡状态
上页
下页
(t →)
i
K 未动作前，电路处于稳定状态
K
R+
US
uL L
–
iU S R, uL0
K US
i
R+
uL L
–
K 断开瞬间
i0, uL
注意工程实际中的过电压过电流现象
上页下页
换路
支路接入或断开电路结构、状态发生变化
电路参数变化
过渡过程产生的原因
(1) 由0－电路求 uC(0－)或iL(0－)
例1 求 iC(0+)
10k
+
10V －
10k 40k
+ uC(0－) －电
+
i
40k iC
+ uC
－ 10V k
－
uC(0)8V
(2) 由换路定律
容开路
+ 10V
－
i 10k iC (0+)
0＋等效电路
uC(0)uC(0)8V
+
8V
(3) 由0＋等效电路求 iC(0＋)

rl一阶电路的零状态响应规律

rl一阶电路的零状态响应规律
rl一阶电路的零状态响应规律是指在电路中没有外部输入信号作用时，电路中电流和电压的变化规律。

对于rl一阶电路，其零状态响应规律可以用以下公式表示：
i(t) = i(0) * e^(-t/τ)
v(t) = R * i(0) * (1 - e^(-t/τ))
其中，i(t)为时间t时刻的电流值，i(0)为初始电流值，τ为电路的时间常数，R为电路中的电阻值，v(t)为时间t时刻的电压值。

从上述公式可以看出，rl一阶电路的零状态响应规律与时间常数τ有关，时间常数τ越大，则电路中电流和电压的变化越慢，反之则变化越快。

同时，初始电流值i(0)也会对电路的响应产生影响，且电压和电流的变化是相互关联的。

了解rl一阶电路的零状态响应规律对于分析和设计电路具有重要意义，可以帮助工程师更好地掌握电路的特性和行为，从而提高电路的性能和可靠性。

- 1 -。

一阶电路零状态响应公式

一阶电路零状态响应公式一阶电路是指由一个电感和一个电阻构成的电路。

在电路中加入一个电压源，开关打开时，电路处于零状态（即初始状态），此时电感中存储的能量为零。

当开关关闭时，电感开始储存能量，电流开始流动。

我们可以通过一阶电路的零状态响应公式来描述电路在零状态下的响应情况。

在一阶电路中，电感的电压满足以下微分方程：Ldi/dt + Ri = V(t)其中，L是电感的感值（单位是亨），R是电阻的阻值（单位是欧姆），i是电流（单位是安培），V(t)是输入电压（单位是伏特），t是时间（单位是秒）。

根据电压-电流关系（Ohm's Law）可以得到：V(t) = Ri + Ldi/dt我们可以对上述微分方程进行求解，得到一阶电路的零状态响应公式。

假设在时刻t=0，电路处于零状态，即电流i(0)=0。

根据初始条件，我们可以解得零状态下的电流i(t)的表达式：i(t) = (V/R)(1 - e^(-t/(L/R)))其中，e是自然对数的底数。

从上述公式可以看出，一阶电路的零状态响应是一个指数衰减函数。

当时间t趋近于无穷大时，指数项e^(-t/(L/R))趋近于零，此时电流i(t)趋近于V/R，即电路达到稳态。

通过一阶电路的零状态响应公式，我们可以推测电路在初始状态下的响应情况。

这对于设计和分析电路的性能非常重要。

例如，我们可以通过该公式来预测电路的响应时间、电流的变化趋势等。

需要注意的是，一阶电路的零状态响应公式是基于一些假设和简化条件得出的。

实际电路中可能存在其他因素的影响，如电容、非线性元件等。

因此，在实际应用中需要根据具体情况进行修正和调整。

总结一下，一阶电路的零状态响应公式是描述电路在零状态下的响应情况的重要工具。

通过该公式，我们可以推测电路的响应时间和电流的变化趋势。

但在实际应用中，需要考虑其他因素的影响，并根据具体情况进行修正和调整。

一阶电路的零输入响应

2、零输入响应取决于电路的原始能量和电路特性，对于一阶电路来说，电路的特性是通过时间常数τ来体现的；
3、原始能量增大A倍，则零输入响应将相应增大A倍，这种原始能量与零输入响应的线性关系称为零线性。
零输入响应就是无电源一阶线性电路，在初始储能作用下产生的响应，
其形式表示为：
f (t) f (0) et
t 0
式中 f (0) 为变量的初始值 uC (0 ) 或 iL (0 )
为时间常数 RC （电容）
L R
（电感）
一、RC电路的零输入响应
如右图，已知uc(0-)=U0，K于t=0 时刻闭合，分析t≧0时uc(t) 、 i(t)的变化规律。
0
一阶常系数齐次微分方程
其特征根方程：
S 1 0
特征根
RC
1
S
RC
uc (t )
Ae st
1t
Ae RC (t
0)
又有初始条件： uc(0+) = uc(0-) =U0 （换路定理）
1t
uc (t ) U0e RC (t 0)
i(t ) C duc
U0
1t
e RC (t
0)
dt
R
i(t)
E
uL(t)的变化规律。
R0 K R
iL
+ L uL
-
(a) 分析：t<0时已达稳态，L中电流为I0=E/R0
t≧0时，电感以初始储能来维持电流iL (t)（放电）
①
换路后（ t≧0），由KVL有：
L diL dt
RiL (t ) 0
即：
diL dt
R L
iL (t )
0
特征根：

03-一阶电路暂态过程的三种响应知识点

一阶暂态电路暂态过程三种响应
1、三种响应
电路的零输入响应、零状态响应和全响应。

全响应为零输入响应与零状态响应的叠加。

2、响应关系
（1）零输入响应是指无电源激励，输入信号为零，仅由初始值引起的响应，其实质是储能元件的放电过程。

即有
换路条件U S =0、f （0+）≠0；表达式()(0)τ
-+=t f t f e 。

（2）零状态响应是指换路前初始储能为零，仅由外加激励引起的响应，其实质是电源给储能元件的充电过程。

即有
换路条件U S ≠0、f （0+）=0；()()1τ-=∞-t
f t f e （）。

（3）全响应是指激励和初始储能共同作用的结果，将零输入和零状态响应叠加。

其数学表达式为
()(0)()(1)--ττ
+=+∞-t t
f t f e f e 全响应=零输入响应+零状态响应
τ
t e
f f f t f -∞-++∞=)]()0([)()(全响应=稳态分量+暂态分量式中，f (t )为待求量；f (∞)为稳态分量；f (0+)为初始值；τ为瞬间常数。

3、几种响应变化曲线
电路不同的响应所对应变化曲线，如图1所示。

图1电路响应的变化曲线。

零状态全响应三要素

uc
t
t
uC US (1 e ) U0e t 0
零状态响应
US
零输入响应
U0
全响应零状态响应
t 0
零输入响应
暂态+稳态
t
uC U S (U0 U S )e 电路响应与其工作状态
t0
之间的关系
零输入+零状态
t
t
uC US (1 e ) U0e
激励与响应的因果关系
t0
Ａ＝４
L 0.1s
R1 R2
i (4e10t 2)A t 0
uL
L
di dt
24e V 10t
t0
解法二全响应 i =零输入响应i ′+ 零状态响应i"
i(0 ) i(0 ) 6A
0.1s
1. i 6e 10t A t 0
t
( f (t ) f (0 )e )
i() 2A
状态，再根据元件的VAR ，便可一求出其他各个电压、电流。
3. 一阶电路的零状态响应和激励成正比，称为零状态线性。
RC零状态响应电路
uC (0+)= uC (0-)=0
=RC
t
uC U S (1 - e RC ) t 0
iC
US R
t
e RC
t0
t
uR USe RC
t0
RL零状态响应电路
iL(0+)= iL(0-)=0
2. i 2(1 e10t )A t 0
t
( f (t) f ()(1 e ))
i i i (4e10t 2) A t 0
uL
L di dt
24e V 10t

电路基础-§6-2一阶电路的零输入响应

p 1 RC
于是
t
uC Ae RC
将初始条件
uC
(0
)
uC
(0
)
U
代上式，可确定积分常数A
0
0
uC (0 ) Ae RC A U0
电容电压电阻电压电路中的电流
t
uC U 0e RC t
uR uC U 0t
e RC
RR
从以上表达式可以看出，uC、uR、i均按相同的指数规
时间常数 RC 100106 18106 1800s
由 uC
t
U0e
求得断开后30分钟的电容电压
1800
uC (1800) 3000e 1800 1104V
（2）因为最大放电电流为10A，所以放电电流的初始值为10A，即
求得
i(0 )
uC
(0 ) R
3000 R
10A
R=300Ω
引入时间常数后，i、uR、uL可表示为
t
i I0e
t
uR RI0e
t
uL RI0e
τ= L 称为RL电路的时间常数。
R
i 、uL和uR随时间变化的曲线如下图所示：
【例6-3】测量某线圈直流电阻的电路如图所示，已知电压表内阻 RV=10KΩ，电感L=1H。电压表的读数为10V，电流表的读数2A。若测量完后直接断开开关S。试求：（1）开关S断开瞬间电压表两端的电压。（2）换路后的电感电流i.
二、RL电路的零输入响应
如图所示电路，t=0时开关S断开，断开瞬间电感电流为I0。开关S断开后，电路中的响应仅由电感的初始储能引起，属零输
入响应。
t=0时开关S断开。换路后，在图示参考方向下，根据KVL得

电路理论：一阶电路的零输入响应

6.4 一阶电路的零输入响应
零输入响应(Zeroinput response )：激励(电源)为零，由初始储能引起的响应。
一、 RC电路的零输入响应 (C对R放电)
S(t=0) i
+
C uC
–
+
R uC
–
i C duC dt
uC
RC duC dt
0
uC (0)=U0
解答形式 uC(t)=uC"=Aept (特解 uC'=0)
1
p
从理论上讲 t 时,电路才能达到稳态. 单实际上一般认
为经过3 5 的时间, 过渡过程结束,电路已达到新的稳态。
t 0
2
3
4 5
t
uc U0e
U0
0.368U0
0.135U0
0.05U0
0.02U0
0.007 U0
能量关系：
C
R
C的能量不断释放, 被R吸收, 直到
全部储能消耗完毕.
WR
由特征方程
Lp+R=0
得
pR L
由初值 i(0+)=i(0)= I0 得 i(0+)=A= I0
解答
Rt
iL(t) I0e L
(t 0)
Rt
iL(t) I0e L
(t 0)
I0 iL
uL(t)
L diL dt
R t
RI 0e L
(t
0)
O uL
t
O
(1) iL, uL 以同一指数规律衰减到零；
iL I0e L
R
R
t
t
uV RiL RV I0e L 875e L kV

一阶电路的零输入响应

一阶电路的零输入响应所谓零输入响应就是没有外部激励输入，仅仅依靠动态元件中的储能产生的响应。

换句话说，就是求解微分方程在初始条件不为零时的齐次解。

1 RC 电路的零输入响应如图1-4-5（a）所示的电路中：t<0 时，开关在位置1，电容被电流源充电，电路已处于稳态，电容电压uC（0－）＝RIS；在t＝0 时，开关按箭头方向动作；在t≥0 时，电容将对R 放电，电路如图1-4-5（b）所示，电路中形成电流i。

故t>0 后，电路中无电源作用，电路的响应均是由电容的初始储能而产生，故属于零输入响应。

换路后得图1-4-5（b），根据KVL有uR +uC=0，而代入上式可得图1-4-5 RC电路的零输入这是一个一阶齐次方程，根据换路定理，可知初始条件uC （0+）＝uC（0－）＝u。

方程的通解为将初始条件uC （0+）＝RIS代入式（1-4-12），求出积分常数A为将uC （0+）代入式（1-4-12），得到满足初始值的微分方程的通解为放电电流为令τ＝RC，它具有时间的量纲，即故称τ为时间常数，这样式（1-4-13）、（1-4-15）可分别写为。

由于，为负，故uC和i均按指数规律衰减，它们的最大值分别为初始值uC （0+）＝RIS，以及，当t→∞时，uC和i衰减到零。

其变化曲线如图1-4-6所示。

图1-4-6 RC 电路零输入响应电压电流波形图关于零输入响应曲线的几点说明：（1）时间常数是体现一阶电路电惯性特性的参数，它只与电路的结构与参数有关，而与激励无关。

（2）对于含电容的一阶电路，τ＝RC；对于含电感的一阶电路，。

（3）τ越大，电惯性越大，相同初始值情况下，放电时间越长。

（4）一阶电路方程的特征根为时间常数的相反数；它具有频率的量纲，称为“固有频率”（natural frequency）。

理论上认为t→∞、uC →0 时，电路达稳态；工程上认为t＝（3－5）τ、uC→0，电容放电基本结束。

一阶电路的零输入响应

t
yx (t) yx (0 )e
t 0
(3―43)
第3章动态电路分析
(2)电容元件初始储能
C (0 )

1 2
CuC
(0 )2

1 2

4.5 82

144J
1,2
0
(R1 R2 )i12dt
0
5

t
(1.6e 10
)2
dt

64J
3
按指数规律衰减变化。如果用yx(t)表示零输入响应，并
记初始值为yx(0+),那么，一阶电路的零输入响应可统一
表示为
t
yx (t) yx (0 )e t 0
(3―43)
式中，τ为电路时间常数。具体地说，对于一阶RC 电路，τ=R0C;对于一阶RL电路，τ=L/R0。其中R0是零输入电路中断开动态元件后所得二端网络的等效电阻。
RCp+1=0
第3章动态电路分析
求出特征根为
p 1 RC
于是，求得式(3―36)微分方程的解为
t
t
uC U0e RC U0e
t 0
(3―38)
电路中的放电电流和电阻R上的电压分别为
i
C duC
U0
t
e
dt R
t
uR uC U0e
t 0 t 0
0
R3i32dt
0
t
16e 5dt 80J
第3章动态电路分析
3.3 一阶电路的零输入响应
3.3.1 一阶RC电路的零输入响应
图3.12(a)所示一阶RC电路，t＜0时已处于稳态，电容电压为：

rc一阶电路的零状态响应,按指数规律上升,按指数规律衰减

rc一阶电路的零状态响应,按指数规律上升,按指数规律衰减RC一阶电路是由电阻（R）和电容（C）组成的电路。

在零状态响应中，我们考虑的是电路在初始时刻没有存储能量的情况下的响应。

1.按指数规律上升：在RC一阶电路的零状态响应中，如果输入信号是一个突变或阶跃信号，电路的响应将按指数规律上升。

在这种情况下，电容充电的速度呈指数增长。

电路响应的形式可以用指数函数来描述。

2.按指数规律衰减：如果初始时刻存在存储在电容中的能量，当电路处于零状态时，电路的响应将按指数规律衰减。

在这种情况下，电容中的电荷将以指数方式耗散，电路的响应呈指数衰减。

总体来说，RC一阶电路的零状态响应是一个指数规律的过程，其上升或衰减的速率取决于电路的参数（电阻值R和电容值C）以及输入信号的特性。

这种响应通常可以用微分方程和指数函数来建模和描述。

一阶电路的零输入响应

202J
5000μJ
电阻耗能
WR
∞Ri2dt
0
t 250103 (80et )2dt 800μJ
0
(5800 5000) μJ
返回上页下页
2. RL电路的零输入响应
iL (0 )
iL (0 )
US R1
R
I0
L diL dt
RiL
0
t 0
+ R1 US
-
特征方程 Lp+R=0
0
∞
0 (I0e
t L/R
)2
Rdt
I
2 0
R
∞
e
2t
L/ Rdt
0
I
2 0
R(
L/R 2
e
2t RC
∞
)
0
1 2
LI02
返回上页下页
例2-3 t=0时,打开开关S，求uV 。电压表量程：50V。
S(t=0)
R=10 解
+ uV 10VVFra bibliotekRViL
L=4H
iL (0+) = iL(0－) = 1 A
等效电路 5F + i1
t >0
－uC 4
解这是一个求一阶RC 零输入响应问题，有
t
uC U0e RC t 0
U0 24 V RC 5 4s 20 s
返回上页下页
S
i1
5F + 2
i2
－uC
3 6 i3
5F + i1 －uC 4
t
uC 24e V 20
t
i1 uC 4 6e A 20

一阶电路的零输入响应和零状态响应

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一阶电路的零输入响应零状态响应全响应

e
5
e
6
0.368U 0.135U 0.050U 0.018U 0.007U 0.002U
当 t =5 时，过渡过程基本结束，uC达到稳态值。
第四章动态电路的时域分析
二、一阶RL电路的零输入响应
电感电流根据三要素公式：
iL (0 ) I 0
iL (0 ) iL (0 ) I 0
s
i R C + _ uC
+
t 0
s
i R C + _ uc
U _
uC (0 -) = U0
零输入响应
uC (0 -) = 0
uC U 0
零状态响应
t e RC
U
t ( 1 e RC
) (t 0
uC
U
Ue

t RC
第四章动态电路的时域分析
3.3.3 一阶电路的全响应:
回顾
若零输入响应用yx(t)表示之，其初始值为yx(0+)，那么
y x (t ) y x (0 )e

t

t 0
t
若零状态响应用yf(t)表示之，其初始值为yf(0+)=0，那么
y f (t ) y f ()(1 e ) t 0

第四章动态电路的时域分析
+ U _
t 0
U (1 e
1 t RC

)V
t 0
第四章动态电路的时域分析
uC的变化规律
稳态分量
+U
uC
U
Ue

t RC
uC
uC
t 暂态分量
电路达到稳定状态时的电压

一阶电路的零输入响应和零状态响应

(t )
uc(t)的微分方程及其求解 R duc RC uc U s + 由KVL dt US uc ( 0) 0
非齐次一阶微分方程的解为：
2.
ic C + uc -
uc ( t ) uch ( t ) ucp ( t )
st t Ke RC
t0
R0
t=0 i + + R uR C uc -
+ -
U0
R0
t=0 i + + R uR C uc C + uc -
i + R uR -
+ -
U0
1、换路前后，电路的物理过程
t 0, uc (0) U 0
t 0 时，uc ( 0 ) U0，i ( 0 ) 0，uR ( 0 ) 0
可写成
并不是所有变量的零状态响应都是从零值趋于稳态值，例如 ic(t) 是从其初始值按指数规律衰减到零。这是上图电路中 ic 本身性质所确定的。
uc ( t ) uc ( )(1 e
t

)
。
例图示电路，2A电流源在t=0时加于电路， u(0)=0，求i1(t)，t>0，并画出其波形。 4 i2
2. 电路的微分方程及其求解
i
设响应为 uc(t) + + uc uR 0 C uc R uR duc uR Ri RC t 0, uc (0) U 0 dt duc RC uc 0，t （齐次微分方程） 0 dt 及uc ( 0) U 0 一阶齐次微分方程的解为 uc ( t ) Ke 式中K是由初始条件确定的待定常数，S 是特征方程的特征根。

电路一阶电路的零输入响应-精品文档

US I0 i (0+) = i (0-) = R1 R
d i L Ri 0 t 0 d t
pt i(t) Ae
特征方程 Lp+R=0
R 特征根 p = L
由初始值 i(0+)= I0 定积分常数A
A= i(0+)= I0
pt 得 i ( t ) I e I e 0 0
1 CU 2
2 0
-
C
电容放出能量
电阻吸收（消耗）能量
W R
0
t 2t 2 U U 2 RC ( 0e RC)2 Rdt 0 i Rdt e dt 0 0 R R
U RC ( e R 2
2 0

2 t RC 0
)|
1 2 CU 0 2
二. RL电路的零输入响应
解（ 1） t≥0 电路如图（ b）所示 ,为一 RL 电路。
L 0 . 4 5 4 10 s 3 R R 10 V 10
例:L=0.4H, R=1Ω, US=12V, RV=10kΩ, 量程为50V。 L 0 . 4 5 4 10 s 3 R R 10 V 10
S(t ＝ 0) i C ＋－ uC
du C u Ri , i C R dt
一.RC电路的零输入响应
＋ R uR －
设
du C RC u 0 C dt
pt u A e C
( t 0 )
一阶微分方程
特征方程 1 p RC
RCp 1 0
uC Ae
1 RC
S(t ＝ 0) i C ＋－ uC
uC (t1 ) t 2 t1 tan t uC (t1 ) U 0e t1 duC (t ) 1 t t1 U e 0 dt

一阶电路的零状态响应

一阶电路的零状态响应在动态元件初始储能为0 的前提下，电路对初始激励产生的响应，称为零状态响应。

明显，这一响应与输入形式有关。

最简洁最基本的输入形式是直流电压源和恒流源。

1、RC 电路的零状态响应如图，在t ＝0 时刻，开关闭合，问i 、u R 、u C 如何变化？物理过程分析：依据以前学问，uC ( 0+ )＝uC ( 0－)＝u C ( 0 )＝0 。

这就是说，在t＝0 时刻，电容相当于短路，直流电压全部降落在R上，那么电流i (0 + )＝U 0 / R 。

但是，电流一经流淌，必定在电容极板上产生电荷积累，q＝Cu C 0。

然而，总电压U0 不变，R 上压降必定减小，从而电流i ＝uR/R 减小…… 。

最终，uC →U0，i →0，充电停止，电路达到另外一个稳态，此时，电容相当于开路。

数学求解：t 0这是一个一阶线性常系数非齐次微分方程。

作如下代换后，求解：结论：uC 随时间呈指数增长，最终趋于uC。

而uR 则相反，uC ＋uR ＝U0 。

电流i(t) 从U0 / R开头衰减，最终趋于0，快慢取决于τ。

特殊留意：在整个充电过程中，电源供应的能量、电阻消耗的能量、电容储存的能量有下列关系：使人惊异的是：不论C 和R 的取值有多大，充电过程中，电源供应的能量中，正好一半转变成电场能存储于电容中，另一半则被R 消耗掉了，即充电效率仅有50％。

2、RL 电路的零状态响应如图，在t ＝0 时刻，开关闭合，直流电压源加于电路。

问i 、u R 、u L 随时间如何变化？物理过程分析：依据以前学问，在有限电压前提下，电流不能跃变，i ( 0+ ) ＝i ( 0－)＝i ( 0 ) ＝0 。

也即：u R( 0 + ) ＝R i ( 0 + )＝0此刻，U 0 全部降落在L 上，即：u L( 0+ ) = U0换句话说，L 相当于开路。

但是，电流一经流淌，必定在R 上产生压降，总电压U0不变，故L 上压降必定减小。