一阶电路的零输入响应

24 230 250
0.05A
继电器电流为
得
t
i 0.05e A 0.01
t 0.01 ln 0.05 0.025s 0.004
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RL
图示为汽轮发电机的励磁回路，已知励磁绕组的电阻R=1.4Ω,电感L=8.4H,
0
uC U0
0.368U0
uC
0
τ
uC
U0
uC2uC3 0.368U0 uC1
t
0 τ1 τ2 τ3
τ3＞τ2＞τ1
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t
uC U0e
t
i
U0
t
e
R
WC
1 2
Cu
2 C
RC
一组C=40µF的电容器从高压电路断开,断开时电容器电压U0=5.77kV, 断开后,电容器经过它本身的漏电阻放电。电容器的漏电阻R=100MΩ， 试问断开后经过多长时间，电容器的电压衰减为1KV。
1kΩ 1 2 i
3mA
+
2kΩ 1µF uC
3kΩ
﹣
解
uC 0 uC 0 310 3 2 103 6V
时间常数 RC 3103 1106 0.03s
得
i
U0
t
e
6
e
t 0.003
2e333t mA
R
3
uC
t
U0e
t
6e 0.003
6e333t V
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RC
如图所示,开关闭合前电路已处于稳态。在t=0时将开关闭合， 试求t > 0时电压uC和电流ic、i1及i2 。
§10.1换路定律和初始条件的计算
一、换路定律
❖ 换路: 电路中支路的接通、切断、短路，电源或电路参数的突然改变及
电路结构的改变等统称为换路。
t = O 时换路
0- 0+
t
0
换路前的最后一刻（未换路）
换路后的最初一刻（已换路）
换路定律内容：在换路瞬间，电容电压不能跃变，电感电流不能跃变。
u
US
0
t
uC（0+）= uC（0-）
R1
R3
R3
+ US
–
解： ⑴
+ uR2
+ uR3– R2
–
L iL
+ uL
–
C
iC +
+ uR2
uC
–
–
iL(0+)
+ uR3 – R2
+ uL
–
确定独立初始值
iC
+ uC(0+)
–Fra Baidu bibliotek
⑵ 确定相关初始值
uR2 0 R2iL 0 55 25V
iL 0
US R1 R2
50 55
5A
uC 0 R 2iL 0 5 5 25V
1Ω +
2Ω i1 iC +
i2
解
u
C
0
u
C
0
1
6 2
3
3
3V
6V ﹣
5μF ﹣uC
3Ω
23 5106 6106s
23
得
uC
t
U0e
3e
t 6106
3e1.7105 t V
iC
U0 R
t
e
3 e1.7105 t 1.2
2.5e1.7105 t A
i2
uC 3
e A 1.7105 t
A U0
电容零输入响应电压
t
uC U0e RC t 0
i C duC dt
特征方程
RCP 1 0
i C duC
U0
t
e RC
dt R
t＞0
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时间常数τ
❖ RC电路中,电阻R与电容C的乘积称为RC电路的时间常数 。
τ= RC
t
0
1τ 2τ 3τ 4τ 5τ …
∞
t
U0e τ U0 0.368U0 0.135U0 0.05U0 0.015U0 0.007U0 …
iC 0 iL 0 5A uR30 R3iC 0
20 5 100 V
iL 0 iL 0 5A
uL 0 uR2 0 uR30 uC 0
uC 0 uC 0 25V
25100 25 100V
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§10.2一阶电路的零输入响应
零输入响应: 电路中输入激励为零,仅由动态元件的初始储能引起的响应。
解 电路的时间常数为
RC 100106 40106 4000s
t
t
uC U0e 5.77e 4000 kV
把Uc=1kV代入
t
1 5.77e 4000kV
t 4000ln 5.77 7011s
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RC
如图所示，开关长期接在位置1上，如在t=0时把它接在位置2上， 试求电容电压uC及放电电流i的表达式。
i C duC
dt
WC
1 2
Cu 2
iL（0+）= iL（0-）
uL
L
diL dt
WL
1 2
Li2
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二、初始值的计算
初始值: 响应在换路后的最初一瞬间(即 t = 0+)时的值称为初始值。
独立初始值：电容电压的初始值uC（0+）和电感电流的初始值iL（0+）。 相关初始值：其他可跃变的量的初始值。
一、RC电路的零输入响应
12 i
uC i
特征根
p
1
+
U0
+
+
—
C uC R uR
R0
—
—
U0
U0
R
uC
i
RC
t
uC Ae RC t 0
确定积分常数
0
t
uC 0 U0
uC 0 U0
电路方程
uR uC 0
电压与电流的关系
u R iR
电路方程
RC
duC dt
uC
0
t＞0
通解
uC Aept
i1 iC i2 1.5e1.7105 tA
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二、RL电路的零输入响应
R
+ uR – i
R1
+
+
uL L
US
–
–
ui
RI0 I0
uR
i
0 uL
-RI0
通解为 i Aept
特征根
t
pR L
Rt
i Ae L
t 0
i0
US R1 R
I0
电路方程
uL uR 0
元件电压与电流的关系
uL
L
di dt
uR Ri
代入方程得
L di Ri 0 t＞0
dt
由初始条件求出 A I0
得出
令 L
R
t
i I0e t 0
R t
i I0e L
uL
L di dt
R t
RI 0e L
t＞0
uR
Ri
R t
RI 0e L
t
0
t
u L RI 0e
t
u R RI 0e
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RL
图示电路中，一个继电器线圈的电阻R=250Ω，电感L=2.5H,电源电压
U=24V, R1=230Ω,已知此继电器释放电流为0.004A,试问开关闭合后, 经多少时间,继电器才能释放？
R1
i
+
R
U
–
L
解 时间常数为
L 2.5 0.01s R 250
电流的初始值为
i0 i0
U R1 R
初始值的计算
1. 根据换路定律求独立初始值。
2. 根据独立初始值和电路基本定律求相关初始值。 复杂电路可画出 t = 0+时的等效电路
电容元件
+ uc(0+) –
+ uc(0+) –
电感元件
C
iL(0+)
L
iL(0+)
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计算初始值
图示电路中,电压源电压US=50V, R1=R2=5Ω, R3=20Ω。电路原以稳定。 在t=0时断开开关。试求t=0+时的iL、uC、uR2、uR3、iC、uL。