信号与系统 零输入响应和零状态响应
信号与系统第三章
设 f (t) 2 a 2, b 1 则有
dy(t) 2 y(t) 2 dt
已知初始值 y(0) 4 求 t 0时系统的响应 y(t)
解：第一步，由方程可知系统的特征方程为 2 0
2 由此可得系统的齐次解为
2
处理教研室
第三章 连续信号与系统的时域分析
教学重点：
1、常微分方程的建立及其解的基本特点； 2、阶跃响应和冲激响应的概念； 3、卷积及其在系统分析中的应用。
2020/6/7
信号
3
处理教研室
应用实例：汽车点火系统
汽车点火系统主要由电源（蓄电池和发电机）、电阻、 点火开关、点火线圈、分压器等组成。
系数 a,b都是常量。系统的阶数就是其数学模型——
微分方程的阶数。
而 n 阶常系数线性微分方程的一般形式为
an
dn y(t) dt n
an1
dn1 y(t) dt n1
L
a1
dy(t) dt
a0
y (t )
bm
dm f (t) dt m
bm1
dm1 f (t) dt m1
L
b1
df (t) dt
b0
即yf’(0+) = yf’(0-) = 0，yf(0+) = yf(0-) = 0
对t>0时，有 yf”(t) + 3yf’(t) + 2yf(t) = 6
不难求得其齐次解为Cf1e-t + Cf2e-2t，其特解为常数3，
于是有
yf(t)=Cf1e-t + Cf2e-2t + 3
代入初始值求得
§2.4 零输入响应和零状态响应
各种响应用初始值确定待定系数的区别： （2）各种响应用初始值确定待定系数的区别：
在经典法求全响应的待定系数时， 在经典法求全响应的待定系数时，用的是 状初始值。 0＋状初始值。 在求系统零输入响应时，用的是0－状态初始值。 在求系统零输入响应时，用的是0 状态初始值。 在求系统零状态响应时， 状态初始值， 在求系统零状态响应时，用的是 0＋ 状态初始值， 这时的零状态是指0 状态为零。 这时的零状态是指0－状态为零。
（4）0＋状态的确定
已知0 状态求0 状态的值， 已知0－状态求0＋状态的值，可用冲激函数匹 配法。见有关参考资料。 配法。见有关参考资料。 状态的值还可以用拉普拉斯变换中的初值 求0＋状态的值还可以用拉普拉斯变换中的初值 定理求出 求出。 定理求出。
三．对系统线性的进一步认识
由常系数微分方程描述的系统在下述意义上是线性的， 由常系数微分方程描述的系统在下述意义上是线性的， 响应可分解为：零输入响应＋零状态响应。 (1)响应可分解为：零输入响应＋零状态响应。 零状态线性： 当起始状态为零时， (2) 零状态线性 ： 当起始状态为零时 ， 系统的零状态响 应对于各激励信号呈线性。 应对于各激励信号呈线性。 (3)零输入线性 当激励为零时， 零输入线性： (3)零输入线性：当激励为零时，系统的零输入响应对 于各起始状态呈线性
信号与系统
Signals and Systems
§时域分析双零法——
零输入响应＋ 零输入响应＋零状态响应
一．起始状态与激励源的等效转换
在一定条件下，激励源与起始状态之间可以等效转换。 在一定条件下，激励源与起始状态之间可以等效转换。 即可以将原始储能看作是激励源。 即可以将原始储能看作是激励源。
外加激励源 系统的完全响应 共同作用的结果 可以看作 起始状态等效激励源 零状态响应” 系统的完全响应 = 零输入响应 + “零状态响应 零状态响应 线性系统具有叠加性) (线性系统具有叠加性)
信号与系统实验-实验一 零状态输入零状态响应
三、实验原理
1、零输入响应与零状态响应： 零输入响应： 没有外加激励的作用， 只有起始状态 （起始时刻系统储能） 所产生的响应。 零状态响应：不考虑起始时刻系统储能的作用（起始状态等于零） 。 2、典型电路分析： 电路的响应一般可分解为零输入响应和零状态响应。首先考察一个实例：在下图中由 RC 组成一电路，电容两端有起始电压 Vc(0-),激励源为 e(t)。
四实验结果高频r900高频r902中频r900中频r902低频r900低频r902五思考题图211所示电路中根据实验提供的实验元件计算系统的零状态和零输入过程
实验一 零状态输入零状态响应
一、实验内容
1、观察零输入响应的过程。 2、观察零状态响应的过程。
二、实验器材
1、信号与系统实验箱一台（主板） 。2、系统时域与频域分析模块一块。 3、20MHz 示波器一台。
压值开始，以指数规律进行衰减。 第二项与起始储能无关， 只与输入激励有关， 被称为零状态响应。 在不同的输入信号下， 电路会表征出不同的响应。
四、实验结果
高频 r900 高频 r902
中频 r900
中频 r902
低频 r900
低频 r902
五、思考题 图 2-1-1 所示电路中，根据实验提供的实验元件，计算系统的零状态和零输入过程。 解答：
R + e (t) C _ + Vc(0-) Vc(t)
图 2-1-1 则系统响应－电容两端电压：
t
RC 电路
1 ( t ) 1 RC e e()de RC Vc (0)
上式中第一项称之为零输入响应， 与输入激励无关， 零输入响应 e
Vc (0) 是以初始电
零输入响应和零状态响应
计算方法
利用系统的传递函数和初始条 件进行计算。
通过求解常微分方程或差分方 程ห้องสมุดไป่ตู้找到系统的零输入响应。
在MATLAB/Simulink等仿真软 件中，可以通过设置系统的初 始状态来模拟零输入响应。
02 零状态响应
定义
零状态响应：是指在系统无输入 信号的情况下，系统对初始状态
产生的响应。
描述了系统在没有输入信号作用 时，其内部状态的变化情况。
零状态响应完全取决于系统本身 的特性，与输入信号无关。
产生原因
系统内部存在储能元件（如电容、电 感），当输入信号为零时，储能元件 的能量不会立即消失，而是会以某种 形式继续存在并产生响应。
系统参数（如电阻、电感、电容等） 发生变化，导致系统内部状态发生变 化，从而产生零状态响应。
计算方法
根据系统的传递函数 和初始状态进行计算。
针对复杂系统和多尺度问题，发展基于零输入响应和零状态响应的跨学科 解决方案，促进各领域之间的交流与合作。
探索零输入响应和零状态响应在可持续发展、环境保护、公共安全等领域 的潜在应用价值，为社会发展和人类福祉做出贡献。
技术创新
开发高效、稳定的零输入响应和零状态响应算 法，提高计算效率和精度，降低计算成本。
零状态响应
零状态响应描述的是系统在外部输入作用下的输出变化。通过研究零状态响应， 可以了解系统对不同类型输入的响应特性，进而设计出更好的控制系统。
系统建模与仿真
零输入响应
在系统建模与仿真中，零输入响应用 于描述系统的内部动态特性。通过分 析零输入响应，可以深入了解系统的 内部工作原理和稳定性。
零状态响应
零状态响应用于描述系统对外部输入 的响应特性。通过研究零状态响应， 可以预测系统在不同输入条件下的行 为表现，有助于优化系统的设计和控 制。
零输入、零状态
全响应=零输入响应+零状态响应
一．关于
1.零输入响应的定义 外加激励信号为零时，仅由系统的 起始状态 (系统的历史储能)所产生
的响应，记为
。
2.特点
（1）仅是因为系统储能元件存储的能量释放 而产生的，只起始状态与有关 （2）可由求解对应的微分方程得到，因为无 外加激励信号，所以求解时特解为零 （3）在数学上是齐次方程的通解，
解特征方程得特征根为 齐次解： 由激励源自号形式，设特解： 完全响应为
系数A的确定：
先判断是否有跳变 由方程两侧 函数平衡条件容易判断 ， 在起始点 无跳变。
利用
求出系数
，即
从而，有：
自由响应： 强迫响应： 1
(2)求零输入响应和零状态响应：
：
由 的特点找对应的微分方程
起始状态
，此方程的解即为
（3）数学上，零状态响应是非齐次方程的解， 其形式为
式中
是特解．
可能会出
（4）因有外加激励，所以在 现跳变，需要判断才能确定系数。
r （二）. rzi 、 zs 的求解步骤
[例2-5]已知系统方程式为
起始状态 求自由响应、强迫响应、零输入响应、零状态 响应和全响应。
解：(1)先求自由响应和强迫响应：
是系统方程的齐次解，
因为
，所以
所对应的微分方程为：
又因为根据前面的判断，在起始点 无 跳变。所以此时 ，且满足系统微分方 程，即
故系统全响应为
：
：
思考： 两种分类形式的响应有何联系？
（三）响应的分解形式及其关系
零状态响应与零输入响应
信号与系统第8讲零输入响应和零状态响应零输入响应和零状态响应的定义 ⏹从引起系统响应的根源出发，将系统全响应分为零输入响应和零状态响应，即 ⏹零输入响应是指没有外加激励信号（零输入）,仅由系统内部初始储能(电容储有电场能、电感储有磁场能)引起的响应； ⏹零状态响应是指系统内部储能为零（零状态)，仅由系统的外部的激励引起的响应。
)()()(t y t y t y zs zi +=零输入响应的求解设n 个特征根为 ()(1)(2)1210()()()'()()0n n n n n y t a y t a y t a y t a y t ----+++++=L 00111=++++--a a a n n n λλλΛ其特征方程为 12.nλλλL 零输入下，系统的微分方程为 系统的零输入响应与微分方程的齐次解相同 以下分三种情况讨论零输入响应的求解（2）若存在共轭复根，如 1,2j λαβ=±3123()(cos sin ),0n t t t zi n y t c t c t e c e c e t λλαββ=++++≥L (3) 若这些特征根中含有重根，设 r 12r λλλ===L 111121()[()],0n r t t t r zi r r n y t c c t c t e c e c e t λλλ+-+=++++++≥L L 1212(),0n t t t zi n y t c e c e c e t λλλ=+++≥L （1）若这些特征根都是单根，则由起始状态值确定待定系数【解】 特征方程为 其特征根为 λ1 = -1， λ 2= -3零输入响应为： (0)1,(0)2y y --'==得到：最后得到： 根据起始条件： 例1 已知系统微分方程应的齐次方程为： (0)1,(0)2y y --'==，求系统零输入响应。
)(3)('4)(''=++t y t y t y 0342=++λλ312()t tzi y t c e c e --=+312'()3t tzi y t c e c e --=--121=+c c 2321=--c c 251=c 232-=c 353()(),022t t zi y t e e t --=-≥例2 已知系统微分方程相应的齐次方程为：(0)1,(0)2y y --'==，求系统零输入响应。
零输入响应与零状态响应
零输⼊响应与零状态响应1.零输⼊响应与零状态响应在Matlab中，lsim函数还可以对带有⾮零起始状态的LTI系统进⾏仿真，使⽤⽅法为y=lsim(sys,u,t,x0)，其中sys表⽰LTI系统，⽮量u和t分别表⽰激励信号的抽样值和抽样时间，⽮量x0表⽰该系统的初始状态，返回值y是系统响应值。
如果只有起始状态⽽没有激励信号，或者令激励信号为0，则得到零输⼊响应。
如果既有初始状态也有激励信号，则得到完全响应。
请注意lsim函数只能对⽤状态⽅程描述的LTI系统仿真⾮零起始状态响应，函数ss（对传递函数描述的LTI系统将失效，函数tf）。
例2.5 给定如图所⽰电路，t<0时S处于1的位置⽽且已经达到稳态，将其看做起始状态，当t=0时，S由1转向2.分别求t>0时i(t)的零状态响应和零输⼊响应。
图2.1 例2.4 电路图解：由所⽰电路写出回路⽅程和结点⽅程分别得到状态⽅程和输出⽅程：下⾯将⽤两种⽅法计算完全响应。
第⼀种⽅法：⾸先仿真2V电压e作⽤⾜够长时间（10s）后系统进⼊稳态，从⽽得到稳态值x0，再以该值作为初始值仿真4V电压e作⽤下的输出rf，即是系统的完全响应，为充分掌握lsim函数的使⽤⽅法，还仿真了系统的零状态响应rzs和零输⼊响应rzi。
第⼆种⽅法：构造⼀个激励信号，先保持2V⾜够长时间再跳变为4V，然后即可以零初始状态⼀次仿真得到系统的完全响应r1。
对应程序如下：C=1;L=1/4;R1=1;R2=3/2;A=[-1/R1/C,-1/C;1/L,-R2/L];B=[1/R1/C;0];C=[-1/R1,0];D=[1/R1];sys=ss(A,B,C,D); %建⽴LTI 系统systn=[-10:0.01:-0.01]'; %⽣成-10s 到-0.01s 的抽样时间，间隔为0.01sen=2*(tn<0); %⽣成机理信号的抽样值e(t)=2[rn tn xn]=lsim(sys,en,tn); %仿真t<0时的输出信号x0=xn(length(en),:); %x0记录了初始状态的值t=[0:0.01:10]';e=4*(t>=0); %⽣成激励信号的抽样值e(t)=4ezi=0*(t>=0); %⽣成零输⼊信号的抽样值e(t)=0rzs=lsim(sys,e,t); %仿真零状态响应rzi=lsim(sys,ezi,t,x0); %仿真零输⼊响应rf=lsim(sys,e,t,x0); %仿真完全响应r1=lsim(sys,[en;e],[tn;t]); %⽤另⼀种⽅法仿真完全响应2. 冲激响应与阶跃响应如果分别⽤冲激信号和阶跃信号作激励，lsim 函数可仿真出冲激响应和阶跃响应。
零输入响应与零状态响应
零输入响应与零状态响应一、零输入响应1定义在没有外加激励时，仅有t = 0时刻的非零初始状态引起的响应。
取决于初始状态和电路特性，这种响应随时间按指数规律衰减。
2简介系统的零输入响应完全由系统本身的特性所决定，与系统的激励无关。
当系统是线性的，它的特性可以用线性微分方程表示时，零输入响应的形式是若干个指数函数之和。
指数函数的个数等于微分方程的阶数，也就是系统内部所含"独立"储能元件的个数。
假定系统的内部不含有电源，那么这种系统就被称为"无源系统"。
实际存在的无源系统的零输入响应随着时间的推移而逐渐地衰减为零。
零输入响应是系统微分方程齐次解的一部分。
3起始状态所谓的起始状态，是反映一个系统在初始观察时刻的储能状态。
以电系统为例，我们做如下约定:在研究t=0以后的响应时，把t=0(-)时的值uc(0-)和il(0-)等称为起始状态，而把t=0+时的值uc(0+)和il(0+)以及它们的各阶导数称为初始值或初始条件。
二、零状态响应1定义在动态电路中，动态元件的初始储能为零（即零初始状态）下，仅有电路的输入（激励）所引起的响应。
三、两种响应的区别零状态响应：0时刻以前响应为0（即初始状态为0），系统响应取决于从0时刻开始加入的信号f(t);零输入响应：从0时刻开始就没有信号输入（或说输入信号为0），响应取决于0时刻以前的初始储能。
四、两种响应的判断方法如果有电源激励就是，而元件本身没有电压或电流就是零状态，相反没有电源激励只有元件本身初始值电压电流，就是零输入响应。
五、两种响应的求解方法1零输入响应：就是没有外加激励，由初始储能产生的响应，它是齐次解的一部分；2零状态响应：就是初始状态为零，外加激励产生的响应。
它可以通过卷积积分来求解。
零状态响应等于单位样值相应和激励的卷积。
其中，单位样值相应就是系统函数的反拉式变换或z变换。
六、两种响应之间的联系引起电路响应的因素有两个方面，一是电路的激励，而是动态元件储存的初始能量。
零状态响应与零输入响应
零状态响应的求解-卷积法
系统的零状态响应为 yzs(t) f (t) fT (t)
LTI系统的零状态响应是系统的特征函数和强迫函数的卷积
f (t) b f (m) (t) b f (m1) (t) L b f '(t) b f (t)
m
m1
1
0
f (t) e1t (t) e2t(t) L ent(t) T
zi
1
2
y '(t) [(c c ) cost (c c )sin t]et
zi
21
21
根据起始条件： y(0 ) 1, y(0 ) 2
解得：
c1 1 c2 3
最后得到：
t
yzi (t) e (cost 3sin t),t 0
例3 已知系统微分方程相应的齐次方程为：y''(t) 2y'(t) y(t) 0
m
m1
1
0
强迫函数是方程右端输入信号及其各阶导数的组合
零状态响应的求解-卷积法
回顾一阶系统的微分方程
yzs(t) ayzs (t) f(t)
y (t)eat ay (t)eat eat f (t)
zs
zs
d dt
[
yzs
(t)eat
]
eat
f (t)
yzs(t)eat
t 0
t 0
ea
f (
r (3) 若这些特征根中含有 重根，设 1 2 L r
yzi (t) [(c1 c2t L
crt r1)e1t
c ert1 r 1
L
cnent ],t 0
例1 已知系统微分方程应的齐次方程为 y''(t) 4y'(t) 3y(t) 0 ：
《信号与系统教学课件》§2.3零输入响应与零状态响应
下章预告
THANKS
感谢您的观看。
《信号与系统教学课件》
目录
引言 零输入响应 零状态响应 零输入响应与零状态响应的比较 总结
01
CHAPTER
引言
01
02
课程背景
随着信息技术的发展，信号与系统在现实生活和工程应用中的重要性日益凸显。
信号与系统是通信、电子、控制等领域的重要基础课程，为后续专业课程提供必要的知识储备。
零输入响应与零状态响应的定义
信号的运算与变换
信号的运算包括加减、乘除、翻转等基本运算，信号的变换包括傅里叶变换、拉普拉斯变换和Z变换等。这些运算和变换对于信号的分析和处理具有重要意义。
系统的稳定性分析
系统的稳定性是系统的重要特性之一，对于系统的分析和设计具有重要意义。稳定性分析的方法包括代数方法和几何方法，其中几何方法又包括极坐标和波德图等。
零输入响应
体现输入信号对系统的作用效果，是系统对输入信号的响应。
零状态响应
在系统中的作用
用于分析系统内部储能元件的动态特性，如电路中的电感、电容等。
用于分析系统对特定输入信号的响应，如控制系统中的输入信号对输出信号的影响等。
在实际应用中的选择
零状态响应
零输入响应
05
CHAPTER
总结
信号与系统的基本概念
线性时不变系统是信号与系统中最为常见的一类系统，其分析方法包括时域分析和频域分析。时域分析主要通过差分方程和卷积运算进行，频域分析主要通过傅里叶变换进行。
信号的分类与表示方法
信号可以根据不同的特性进行分类，如连续信号和离散信号、确定性信号和随机信号等。信号的表示方法包括时域表示法和频域表示法。
本章重点回顾
零输入响应与零状态响应的比较
零输入响应与零状态响应
信号与系统课程设计报告书课题名称 零输入响应与零状态响应姓 名梁何磊学 号 20086354 院、系、部 电气系 专 业 电子信息工程 指导教师秀婷 康朝红2011年1月11日※※※※※※※※※ ※ ※※ ※※ ※※※※※※※※※2008级信号与系统课程设计连续时间系统的LTI 系统的时域仿真 -------零输入响应与零状态响应20086354 梁何磊一、设计目的掌握信号经过LTI 系统的时域分析方法。
巩固已经学过的知识，加深对知识的理解和应用，加强学科间的横向联系，学会应用MATLAB 对实际问题进行仿真。
学会对带有非零起始状态的LTI 系统进行仿真。
二、设计要求（1）根据实际问题建立系统的数学模型，对给定的如下电路，课本第二章例2-8，参数如图所示；建立系统的数学模型，并计算其完全响应；（2）用MATLAB 描述此系统；（3）仿真实现并绘制输出信号的波形。
要求用两种方法仿真实现完全响应。
对仿真结果进行比较，并与理论值比较。
三、设计方法与步骤：一般的连续时间系统分析有以下几个步骤: ①求解系统的零输入响应; ②求解系统的零状态响应; ③求解系统的全响应; ④分析系统的卷积；⑤画出它们的图形. 下面以具体的微分方程为例说明利用MATLAB 软件分析系统的具体方法.1．连续时间系统的零输入响应描述n 阶线性时不变（LTI ）连续系统的微分方程为：已知y 及各阶导数的初始值为y(0),y (1)(0)，… y (n-1)(0)， 求系统的零输入响应。
建模当LIT 系统的输入为零时，其零输入响应为微分方程的其次解（即令微分方程的等号右端为零），其形式为（设特征根均为单根）1121111n n m n n m m n n m d y d y dy d u du a a a a y b b b u dtdt dt dt dt -++-++⋅⋅⋅⋅⋅++=+⋅⋅⋅⋅++()4=t e ()t L H 41=L Ω=232其中p1,p2,…,p n是特征方程a1λn+a2λn-1+…+a nλ+a n=0的根，它们可以用root(a)语句求得。
零输入响应和零状态响应
零输入响应和零状态响应
线性非时变系统的完全响应也可分解为零输 入响应和零状态响应。在激励信号加入系统之 前，系统原有的储能（如电容上的初始电压， 电感上的初始电流等）构成了系统的初始状态。
1.1 零输入响应的求取
1.2 零状态响应的求取
其中零状态响应的完全解的系数应在零状 态响应的全解中由初始条件
即
。因此，零状态响应的特解、齐次
解和完全解分别为
将零状态响应的初始条件 解得
代入上式
因此，此系统的零状态响应为 （3）求系统的完全响应。
其中，
信号与系统
确定。
1.3 系统的完全响应
系统的完全响应按性质可分为自由响应和 强迫响应，按来源可分为零输入响应和零状态 响应，它们的关系为
式中，
。
例1.1 已知某系统的微分方程模型为
初始条件
，输入
系统的零输入响应 ，零状态响应
全响应 。
解：（1）求零输入响应 。
由特征方程
，求 以及完
得单根
，因此零输入响应为
信号与系统第三版郑君里课后习题答案
信号与系统第三版郑君里课后习题答案第一章习题参考解1，判刑下列信号的类型解：()sin[()];y t A x t = 连续、模拟、周期、功率型信号 。
()()tt y t x e d τττ--∞=⎰ 连续、模拟、非周期、功率型信号。
()(2y n x n =） 离散、模拟、非周期、功率型信号。
()()y n nx n = 离散、模拟、非周期、功率型信号。
1－6，示意画出下列各信号的波形，并判断其类型。
(1) 0()sin()x t A t ωθ=+ 连续、模拟、周期、功率型(2) ()tx t Ae -= 连续、模拟、非周期、只是一个函数，不是物理量。
(3) ()cos 0t x t e t t -=≥ 连续、模拟、非周期、能量型 (4) ()2112,x t t t =+-≤≤ 连续、模拟、非周期、能量型(5) 4()(),0.5kx k k =≥ 离散、模拟、非周期、能量型 (6) 0().j kx k eΩ= 离散、模拟、周期、功率型()sin[()];()()()(2);()()tt y t A x t y t x ed y n x n y n nx n τττ--∞====⎰1－6题，1－4图。
t=-pi:1/200:pi;y1=1.5*sin(2*t+pi/6);subplot(4,1,1),plot(t,y1),title('1.5sin(2*t+pi/6)'),gridy2=2*exp(-t);subplot(4,1,2),plot(t,y2),title('2exp(-t)'),gridt1=0:1/200:2*pi;y3=10*exp(-t1).*cos(2*pi*t1);subplot(4,1,3),plot(t1,y3),title('10exp(-t1)cos(2*pi*t1)'),grid t2=-1:1/200:2;y4=2*t2+1;subplot(4,1,4),plot(t2,y4),title('2x+1'),grid习题1－6 5－6题 n=0:pi/10:2*pi; y=(0.8).^n;subplot(4,1,1),stem(n,y,'fill '),title('(0.8)^n'),grid n1=0:pi/24:2*pi;y1=cos(2*pi*n1);y2=sin(2*pi*n1);subplot(4,1,2),stem3(y1,y2,n1,'fill '),title('exp[2*pi*n1'),grid subplot(4,1,4),stem(n1,sin(2*pi*n1),'fill '),title('sin2pin1'),grid subplot(4,1,3),stem(n1,cos(2*pi*n1),'fill'),title('cos2pin1)'),grid1－8，判断下列系统的类型。
对系统响应三大分类的解释
对系统响应三大分类的解释零状态响应、零输入响应零状态响应由于与时域卷积联系密切，在信号与系统的课程中占据有十分重要的地位。
信号与系统通篇的研究对象基于LTI(LSI)系统，而卷积分与卷积和是时域与各变换域之间最关键的纽带，因而成为了研究系统极为重要的切入点。
零状态响应是由表征系统特性的单位冲激响应与输入激励相卷积后得出的产物，在变换域中由系统函数与输入的乘积所表征。
而零状态响应在变换域中的构成结构也由此被划分为两个部分。
第一个部分，是由输入激励与系统相作用后所产生的效应对系统全部（部分）固有频率因子项系数加权并求和所得的“自由响应ZS”。
第二部分，是由系统与输入激励相作用后对输入激励的全部（部分）固有频率因子项系数加权并求和所得的“强迫响应”。
由于系统函数有可能在其对应的微分方程按变换域变换后在等式两边产生因式相消的情况出现，导致对应固有频率消失，因而系统函数可以完全表征零状态响应，而无法在所有情况下表征零输入响应。
注意，此处的固有频率消失本质是由微分方程的结构导致的。
在电路系统中，微分方程反映的是系统拓扑结构与元器件特性，而与激励的形式无关。
因此，在得到H(S)系统函数的条件下，直接写出对应的微分方程的行为在数学上来说是不严谨的，需要验证；如验证结果确实证明系统函数的分母所含全部极点亦为微分方程的所有根，则此时应用系统函数反推微分方程才是合理的。
综上所述，简单来说，零状态响应是系统与激励间相互作用后的结果，反映在方程解上是以相互加权系数的形式来表征系统部分（或全部，由H(S)是否分子分母有因式相消决定）固有频率与输入激励固有频率。
零输入响应是由微分方程的特征方程唯一决定，是系统固有频率的完全反映。
由于零输入响应不符合LTI特性，因此，在实际变换域求解中，往往将其等效为“输入激励”，以T=0时刻等效储能的形式融入进变换域等效模型。
同时，零输入响应也是完全解的“自由响应”组成部分之一，可以被称为“自由响应ZP”，加上零状态响应中的组成部分“自由响应ZS”构成完整的“自由响应”。
信号与系统零输入响应和零状态响应
零输入响应
系统零输入响应，实际上是求系统方程的齐次解，由非零的系 统起始状态值决定的初始值求出待定系数。
系统方程：
n
k0ak
dkyzi(t) dtk
0
起始条d件 kydz： itk(0) ck,k0,1,2,,n
自由响应＋强迫响应 (Natural+forced)
自由响应也：称固有响应，对应于齐次解。 由系统本身特性决 定，与外加激励形式无关，但与起始点点跳变有关系。
强迫响应： 形式取决于外加激励。对应于特解。
零输入响应＋零状态响应
(Zero-input+Zero-state)
零输入响应： 没有外加激励信号的作用，只由起始状态（起始时刻系 统储能）所产生的响应。
讨论：
➢用经典法从起始条件求出 t 0 时刻的初始条件的过程往往比较复杂，需
根据实际的物理系统的约束关系求解。
➢作为纯粹的数学问题，也可从起始条件求出 t 0 时刻的初始条件，有兴趣 的同学有参考有关的参考课。“微分方程冲激函数匹配原理判断0 时刻和0
时刻状态的变化 ”
➢在系统的时域分析中，引入冲激响应后，利用卷积积分求系统的零状态响应比
r 1 ( t) r z i( t) r z s ( t) 2 e 3 t s in ( 2 t) u ( t) r 2 ( t ) r z i( t ) 2 r z s ( t ) [ e 3 t 2 s i n ( 2 t ) ] u ( t )
对系统线性的进一步认识
解得 r z i(t) 2 r 1 (t) 2 r 2 (t) 3 e 3 tu (t) r z s ( t) r 1 ( t) r z i( t) [ e 3 t s i n ( 2 t) ] u ( t) r3(t)rzi(t)rzs(t t0)
《信号与系统教学课件》§2.3零输入响应与零状态响应
卷积法
利用输入信号和系统的冲击响 应求得它的零状态响应。
设置初态与给予输入 如何计算完整响应
设置初态
将系统的初始状态先设置，再给予 一个输入信号，求出此条件下的输 出结果。
给予输入
将一部分的初始状态和输入信号叠 加在一起，求出此条件下的输出结 果。
其他相关概念和扩展阅读
拉普拉斯变换
拉普拉斯变换是一种非常重要的 数学工具，它可以将时域函数转 化为复平面上的解析函数，从而 方便地分析系统的稳定性、因果 性、纵向稳定性等问题。
傅里叶变换
傅里叶变换是一种重要的信号处 理工具，它将连续时间域的信号 转换为连续频率域信号，方便对 信号特性的分析。
差分方程
差分方程是离散时间系统中的一 种描写方式，用于求解从各种输 入得到的输出响应，是离散信号 处理领域的基本工具之一。
总结和要点
1 理解零状态响应和零输入响应的区别 3 了解如何计算系统的完整响应
2 掌握零状态响应和零输入响应的计算方
法
4 了解实际问题中零状态响应和零输入响
应的应用
零输入响应的计算方法
1
寻找系统的零输入响应
将系统输入为0，求出此条件下的输出。
2
插值法
由于信号的初始状态对零输入响应有影响，需要对初始状态进行插值，再求出相 应的零输入响应结果。
3
卷积法
利用被激励系统的冲击响应求得它的零输入响应。
零状态响应的计算方法
寻找系统的零状态响应
将系统初始状态设定为0，求出 对于任意输入条件下的输出。
深入探究《信号与系统教 学课件》§2.3
了解零输入响应与零状态响应的定义、区别以及应用场景。
零输入响应与零状态响应的区别
信号与系统零输入响应和零状态响应资料课件
总结词
通过RLC电路的零输入响应和零状态响应分析，理解二阶线性时不变系统的动态行为。
详细描述
RLC电路由一个电阻R、一个电感L和一个电容C组成，当输入信号为零时，电感L和电容C上的电压和电流的响应称为零输入响应；当系统初始状态为零时，输入信号引起的电感L和电容C上的电压和电流的响应称为零状态响应。通过分析这两种响应，可以了解二阶线性时不变系统的动态行为。
零输入响应与零状态响应的比较
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04
系统在没有输入信号作用下的输出信号的响应，是系统内部储能元件的能量耗散过程。求解方法通常采用经典法或现代法。
零输入响应
系统在输入信号作用下的输出信号的响应，是系统对输入信号的响应。求解方法通常采用经典法或现代法。
零状态响应
零输入响应具有以下特性
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总结词
系统是由若干相互关联和相互作用的元素组成的整体，这些元素可以是物理元件、电路元件、化学反应物等。系统的功能和行为是由这些元素的相互作用和关联所决定的。线性系统是指系统的输出与输入成正比的系统，而非线性系统则是指系统的输出与输入不成正比的系统。时变系统是指系统的参数随时间变化的系统，而时不变系统则是指系统的参数不随时间变化的系统。
详细描述
总结词：线性时不变系统具有一些重要的性质，如叠加性、均匀性、稳定性等。这些性质对于理解和分析系统的行为具有重要意义。
零输入响应
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02
01
02
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零状态响应
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03
01
零状态响应：在动态系统中，当输入信号作用时，系统在没有初始状态的情况下产生的输出响应。
总结词
通过分析信号通过线性时不变系统的零输入响应和零状态响应，理解系统对不同类型信号的响应特性。
零输入响应和零状态响应
10 (t) (0 ) 10
i(0 ) 0A，i(0 ) 0A/s，故i(0 ) i(0 ) 0 A，
i(0 ) i(0 ) 10 10A/s
④ i)零输入：特征根为 1 j 3 ，故可设
izi (t) 由 i(0
)
e
1 2
0
t
( Azi1 cos A，i(0 )
3 2
0
At /s2A可zi2知si2Anzi123t
20
t
e2
sin
3
3 tu(t) 2
iii)完全响应
r(t) rzi (t) rzs (t)
20
t
e2
sin
3
3 tu(t) 2
二．起始状态与激励源的等效转换
在一定条件下，激励源与起始状态之间可以等效转换。 即可以将原始储能看作是激励源。
电容器的等效电路
电感的等效电路
外加激励源
系统的完全响应
共同作用的结果
可以看作 起始状态等效激励源
系统的完全响应 = 零输入响应 + “零状态响应” (线性系统具有叠加性)
iC (t) C
vC (t)
电容器的等效电路
vC (0 ) 0, t 0
1
vc(t) C
t
ic ( ) d
1 C
0
ic
(
)d
1 C
t
0 ic ( ) d
1
vc (0 ) C
20V+ -
2 S 1F 1H
+C L 1
+ e(t) -10V
-
i(t) 1Ω R
解：① i) i(0 ) 0A，i(0 ) 0A/ s
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5
求解
系统零输入响应： 满足： d r (t )
n
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6
C0
d tn
(k )
d n 1 r (t ) C1 n 1 dt
d r (t ) Cn 1 Cn r (t ) 0 dt
和：
r (0 )(k 0,1, 2, n 1)
实际上是求系统方程的齐次解，由非零的系统状 态值 决定的初始值求出待定系数。 解的形式：
i L (t )
L i L (0 )
二．系统响应划分
自由响应＋强迫响应 (Natural+forced) 暂态响应+稳态响应 (Transient+Steady-state) 零输入响应＋零状态响应 (Zero-input+Zero-state)
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4
各种系统响应定义
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(1)自由响应： 也称固有响应，由系统本身特性决定，与外加 激励形式无关。对应于齐次解。 强迫响应：形式取决于外加激励。对应于特解。 (2)暂态响应： 是指激励信号接入一段时间内，完全响应中 暂时出现的有关成分，随着时间t 增加，它将消失。 稳态响应：由完全响应中减去暂态响应分量即得稳态 响应分量。 (3)零输入响应： 没有外加激励信号的作用，只由起始状态（起 始时刻系统储能）所产生的响应。 零状态响应： 不考虑原始时刻系统储能的作用（起始状态等 于零），由系统的外加激励信号产生的响应。
iC ( t ) C
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2
v C (t )
t
vC (0 ) 0, t 0
1 0 1 t iC ( ) d C iC ( ) d C 0 iC ( ) d 1 t vC (0 ) iC ( ) d t0 0 C 电路等效为起始状态为零的电容与电压源 vC (0 )ut 的 串联 1 vC ( t ) C
零状态响应
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求解非齐次微分方程是比较烦琐的工作，所以引出卷积 积分法。9Fra bibliotek t
线性时不变系统
ht
et
ht
r t
系统的零状态响应=激励与系统冲激响应的卷积，即
r t et ht
精品课件！
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三．对系统线性的进一步认识
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由常系数微分方程描述的系统在下述意义上是线性的。 (1)响应可分解为：零输入响应＋零状态响应。 (2)零状态线性：当起始状态为零时，系统的零状态响应 对于各激励信号呈线性。 (3)零输入线性：当激励为零时，系统的零输入响应对于 各起始状态呈线性。
iC ( t ) C
vC(0 )
vC (t )
等效电路中的 电容器的起始 状态为零
电感的等效电路
iL (t )
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3
L
v L (t )
i L (0 ) 0，t 0
1 t 1 0 1 t i L ( t ) v L ( ) d v L ( ) d v L ( ) d L L L 0 1 t i L (0 ) v L ( ) d ( t 0) L 0 故电路等效为起始状态为零的电感L和电流源 i L (0 )u(t ) 的并联。 v L (t )
一．起始状态与激励源的等效转换
在一定条件下，激励源与起始状态之间可以等效转换。 即可以将原始储能看作是激励源。 电容的等效电路
外加激励源 系统的完全响应 可以看作 系统的完全响应 =
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电感的等效电路
共同作用的结果
起始状态等效激励源 零输入响应 + 零状态响应 ( 线性系统具有叠加性 )
电容器的等效电路
rzi (t ) Azik e
k 1
n
ak t
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系统零状态响应，是在激励作用下求系统方程的非齐次 解，由状态值 r k 0 为零决定的初始值求出待定系数。 = 0
满足微分方程：
d n r (t ) d n 1 r ( t ) d r (t ) C0 C1 C n 1 C n r (t ) n n 1 dt dt dt d m e( t ) d m 1 e ( t ) d e( t ) E0 E E E m e( t ) 1 m 1 m m 1 dt dt dt
ak t r ( t ) A e 解的形式： zs zsk B(t ) k 1 n
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系统响应：
r (t ) Ak e
自由响应
k 1
n
ak t
B(t )
强迫响应
n
r (t ) Azik e
k 1
n
ak t
Azsk e
k 1
ak t
B(t )
零输入响应
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