差分约束

区间（SWERC2002）
• 定义:
区间（SWERC2002）
差分约束系统在实际中的应用
x1
x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8
练习（NOI99 01串）
• 给定7个整数N,A0,B0,L0,A1,B1,L1，要求设计一 个01串S=s1s2…si…sN，满足：
– si=0或si=1，1<=i<=N； – 对于S的任何连续的长度为L0的子串sjsj+1…sj+L01(1<=j<=N-L0+1)，0的个数大于等于A0且小于等于 B0; – 对于S的任何连续的长度为L1的子串sjsj+1…sj+L11(1<=j<=N-L1+1)，1的个数大于等于A1且小于等于 B1;
• 例如，N=6,A0=1,B0=2,L0=3,A1=1,B1=1,L1=2， 则存在一个满足上述所有条件的01串S=010101。
总结
1。寻找部分和
2。构造约束图
总结
3。利用Bellman-Ford求解，若有解则
若将 换为 ，则利用Bellman-Ford求最长路 即可
参考资料
• • • • 算法导论（第二版） NOI1999 SWERC2002 Central Europe 1997
Bellman-Ford
– 如果没有从s可以到达的负权回路，那么 在 |V|-1迭代后对于所有的d[v]有: d[v]=(s,v)
• s v[1] v[2] ... v • 第i次迭代后d[v[i]]= (s,v[i])且不变（引理）
– 如果存在从s可达的负权回路，则一定会 有某个(u,v), d[v]>d[u]+ω(u,v)
Bellman-Ford
• 时间复杂度： O(VE) • 正确性证明：
–引理： d[v] (s,v)
• 数学归纳法 • 迭代前显然正确 • 若迭代时有 d[v] = d[u] +w(u,v)成立，则称 一次成功松弛，按照成功松弛的次数进行 归纳 • (s,v) (s,u)+w(u,v) d[u]+w(u,v) =d[v]
国王
稍微修改一下 的定义：
对映
，并添加点
国王
• 构约束图，利用Bellman-Ford求解 • 若存在可行解，则数列元素由下式给出：
i=1,2,…,n
区间（SWERC2002）
• 给你n个边界是整数的闭区间 和n个整数 • 所有数在[1,m]内 • 请你找到一个整数集合Z，使得
– 1。|Z|最小 – 2。
差分约束系统
F0403026 李博
引例 国王
• • • • • • 很久以前，在某个国家，王子出生了 但是，王子有一点弱智…… 老国王去世后，王子登基了 但是，大臣们不买王子的账，要弹劾他…… 皇后向ACM班的你求助——只有你才能救他！ 救救孩子啊~~~
引例 国王
引例 国王
我们令
，i=1,2,…,n
向每个点引一条边
约束图
百度文库 结论
• 若图中有负权回路，即 则系统无可行解
• 否则，有可行解，解为
，
引理 三角形不等式
• G = (V, E)是加权有向图,任取一点s，则对 于所有(u,v)∈E,有如下不等式成立：
• 证明：反证法
对结论的证明（1）
1。不存在负权回路 考虑约束条件
有
对结论的证明（2）
则
引例 国王
原问题转化为一个关于 的不等式组有没 有整数解的问题
如何求解呢？
差分约束系统
差分约束系统
• 差分约束系统：
若一个系统由n个变量和m个约束条件组成， 且每个约束条件有如下形式，则称为一个有n 个变量和m个约束条件的差分约束系统。
差分约束系统
矩阵形式
约束图
约束图
约束图
若存在约束条件 则从 向 引一条边
• 2。存在负权回路，不妨设为c
差分约束系统
• 如何求最短路呢？
– Dijkstra Bellman-Ford …
Bellman-Ford
for each v V do d[v] ; d[s] 0
Relaxation for i =1,...,|V|-1 do for each edge (u,v) E do d[v] min{d[v], d[u]+w(u,v)} Negative cycle checking for each v V do if d[v]> d[u] + w(u,v) then no solution