差分约束系统
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❖ 若图中有负权回路，即 统无可行解
❖ 否则，有可行解，解为
，则系
❖ G = (V, E引)是理加权三有角 向图形,任不取等一点式s，则对
于所有(u,v)∈E,有如下不等式成立：
❖ 证明：反证法
1。不存在对负权结回论路的证明（1）
考虑约束条件
有
v 2。存在负对权回结路论，不的妨证设为明c （2）
❖ 很久以前，在某个引国例家，王国子王出生了
❖ 但是，王子有一点弱智…… ❖ 老国王去世后，王子登基了 ❖ 但是，大臣们不买王子的账，要弹劾他…… ❖ 皇后向ACM班的你求助——只有你才能救他！ ❖ 救救孩子啊~~~
引例 国王
我们令
引例 国王
，i=1,2,…,n 则
原问题转化为一引个例关于国的王不等式组有没
次成功松弛，按照成功松弛的次数进行归纳 ❖(s,v) (s,u)+w(u,v) d[u]+w(u,v) =d[v]
Bellman-Ford
如果没有从s可以到达的负权回路，那么在 |V|-1迭代后对于所有的d[v]有: d[v]=(s,v)
❖s v[1] v[2] ... v ❖第i次迭代后d[v[i]]= (s,v[i])且不变（引理）
如果存在从s可达的负权回路，则一定会有 某个(u,v), d[v]>d[u]+ω(u,v)
稍微修改一下 的定国义：王
对映 ，并添加点
国王 Hale Waihona Puke Baidu 构约束图，利用Bellman-Ford求解
v 若存在可行解，则数列元素由下式给出：
i=1,2,…,n
区间（SWERC2002）
❖给你n个边界是整数的闭区间 和n 个整数
Negative cycle checking for each v V do if d[v]> d[u] + w(u,v) then no solution
Bellman-Ford
❖ 时间复杂度： O(VE) ❖ 正确性证明：
引理： d[v] (s,v)
❖数学归纳法 ❖迭代前显然正确 ❖若迭代时有 d[v] = d[u] +w(u,v)成立，则称一
❖ 例如，N=6,A0=1,B0=2,L0=3,A1=1,B1=1,L1=2，则 存在一个满足上述所有条件的01串S=010101。
1。寻找部分和 2。构造约束图
总结
3。利用Bellman-For总d求结解，若有解则
若将 换为 ，则利用Bellman-Ford求最长路 即可
参考资料
❖ 算法导论（第二版）
❖ 如何求最短路差呢分？约束系统
Dijkstra Bellman-Ford …
Bellman-Ford
for each v V do d[v] ; d[s] 0 Relaxation
for i =1,...,|V|-1 do for each edge (u,v) E do d[v] min{d[v], d[u]+w(u,v)}
有整数解的问题
如何求解呢？
差分约束系统
差分约束系统
❖ 差分约束系统：
若一个系统由n个变量和m个约束条件组成， 且每个约束条件有如下形式，则称为一个有n个 变量和m个约束条件的差分约束系统。
差分约束系统
矩阵形式
约束图
约束图
约束图
若存在约束条件
则从 向 引一条边
向每个点引一条边
约束图
结论
❖ NOI1999 ❖ SWERC2002 ❖ Central Europe 1997
❖所有数在[1,m]内 ❖请你找到一个整数集合Z，使得
1。|Z|最小 2。
❖ 定义: 区间（SWERC2002）
区间（SWERC2002）
差分约束系统在实际中的应用
x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8
练习（NOI99 01串）
❖ 给定7个整数N,A0,B0,L0,A1,B1,L1，要求设计一个 01串S=s1s2…si…sN，满足：
si=0或si=1，1<=i<=N； 对于S的任何连续的长度为L0的子串sjsj+1…sj+L0-
1(1<=j<=N-L0+1)，0的个数大于等于A0且小于等于B0; 对于S的任何连续的长度为L1的子串sjsj+1…sj+L1-
1(1<=j<=N-L1+1)，1的个数大于等于A1且小于等于B1;
❖ 否则，有可行解，解为
，则系
❖ G = (V, E引)是理加权三有角 向图形,任不取等一点式s，则对
于所有(u,v)∈E,有如下不等式成立：
❖ 证明：反证法
1。不存在对负权结回论路的证明（1）
考虑约束条件
有
v 2。存在负对权回结路论，不的妨证设为明c （2）
❖ 很久以前，在某个引国例家，王国子王出生了
❖ 但是，王子有一点弱智…… ❖ 老国王去世后，王子登基了 ❖ 但是，大臣们不买王子的账，要弹劾他…… ❖ 皇后向ACM班的你求助——只有你才能救他！ ❖ 救救孩子啊~~~
引例 国王
我们令
引例 国王
，i=1,2,…,n 则
原问题转化为一引个例关于国的王不等式组有没
次成功松弛，按照成功松弛的次数进行归纳 ❖(s,v) (s,u)+w(u,v) d[u]+w(u,v) =d[v]
Bellman-Ford
如果没有从s可以到达的负权回路，那么在 |V|-1迭代后对于所有的d[v]有: d[v]=(s,v)
❖s v[1] v[2] ... v ❖第i次迭代后d[v[i]]= (s,v[i])且不变（引理）
如果存在从s可达的负权回路，则一定会有 某个(u,v), d[v]>d[u]+ω(u,v)
稍微修改一下 的定国义：王
对映 ，并添加点
国王 Hale Waihona Puke Baidu 构约束图，利用Bellman-Ford求解
v 若存在可行解，则数列元素由下式给出：
i=1,2,…,n
区间（SWERC2002）
❖给你n个边界是整数的闭区间 和n 个整数
Negative cycle checking for each v V do if d[v]> d[u] + w(u,v) then no solution
Bellman-Ford
❖ 时间复杂度： O(VE) ❖ 正确性证明：
引理： d[v] (s,v)
❖数学归纳法 ❖迭代前显然正确 ❖若迭代时有 d[v] = d[u] +w(u,v)成立，则称一
❖ 例如，N=6,A0=1,B0=2,L0=3,A1=1,B1=1,L1=2，则 存在一个满足上述所有条件的01串S=010101。
1。寻找部分和 2。构造约束图
总结
3。利用Bellman-For总d求结解，若有解则
若将 换为 ，则利用Bellman-Ford求最长路 即可
参考资料
❖ 算法导论（第二版）
❖ 如何求最短路差呢分？约束系统
Dijkstra Bellman-Ford …
Bellman-Ford
for each v V do d[v] ; d[s] 0 Relaxation
for i =1,...,|V|-1 do for each edge (u,v) E do d[v] min{d[v], d[u]+w(u,v)}
有整数解的问题
如何求解呢？
差分约束系统
差分约束系统
❖ 差分约束系统：
若一个系统由n个变量和m个约束条件组成， 且每个约束条件有如下形式，则称为一个有n个 变量和m个约束条件的差分约束系统。
差分约束系统
矩阵形式
约束图
约束图
约束图
若存在约束条件
则从 向 引一条边
向每个点引一条边
约束图
结论
❖ NOI1999 ❖ SWERC2002 ❖ Central Europe 1997
❖所有数在[1,m]内 ❖请你找到一个整数集合Z，使得
1。|Z|最小 2。
❖ 定义: 区间（SWERC2002）
区间（SWERC2002）
差分约束系统在实际中的应用
x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8
练习（NOI99 01串）
❖ 给定7个整数N,A0,B0,L0,A1,B1,L1，要求设计一个 01串S=s1s2…si…sN，满足：
si=0或si=1，1<=i<=N； 对于S的任何连续的长度为L0的子串sjsj+1…sj+L0-
1(1<=j<=N-L0+1)，0的个数大于等于A0且小于等于B0; 对于S的任何连续的长度为L1的子串sjsj+1…sj+L1-
1(1<=j<=N-L1+1)，1的个数大于等于A1且小于等于B1;