《半导体物理》课件第三章 半导体中的平衡与非平衡载流子
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半导体中的非平衡载流子
1 非平衡载流子的产生与复合
平衡态半导体的标志就是具有统一的费米能级EF，此时的平衡
载流子浓度n0和p0唯一由EF决定。平衡态非简并半导体的n0和p0乘
积为
n0p0NcNvekE0x Tg)p(ni2
称n0p0=ni2为非简并半导体平衡态判据式。
但来说非平衡多子的影响轻微，而非平衡少子的影 响起重要作用。通常说的非平衡载流子都是指非平衡少子。
• 非平衡载流子的存在使半导体的载流子数量发生变化，因而会引起附加电导率
• 电阻上电压的变化正比于非平衡载流子的浓度即
Vp
• 当产生非平衡载流子的外部作用撤除以后，非平衡载流子也就逐渐消失，半导体最终
例如n型半导体中通常的注入情况是Δn <<n0，Δp <<n0，满足这样的注入条件称为小注入。 表面复合对性能有决定性影响，希望它尽可能低些 。
的电子-空穴对数为非平衡载流子的复合率。 别是n0和p0，并且n0>>p0。
如果n型半导体在t=0时刻非平衡载流子浓度为(Δp)0，并在 平衡态半导体的标志就是具有统一的费米能级EF，此时的平衡 别是n0和p0，并且n0>>p0。
• τ的大小反映了外界激励因素撤除后非平衡载流子衰减速度的不同，寿命越 短衰退越快。
• 不同材料或同一种材料在不同条件下，其寿命τ可以在很大范围内变化。
3准费米能级
由于存在外界因素作用，非平衡态半导体不存在统一的EF。 但分别就导带和价带的同一能带范围内而言，各自的载流子带内
热跃迁仍然十分踊跃，极短时间内就可以达到各自的带内平衡而
随时间按指数规律衰减。而非平衡载流子的平均生存时间为
所以非平衡载流子寿命τ就是其平均生存时间。
1 非平衡载流子的产生与复合
平衡态半导体的标志就是具有统一的费米能级EF，此时的平衡
载流子浓度n0和p0唯一由EF决定。平衡态非简并半导体的n0和p0乘
积为
n0p0NcNvekE0x Tg)p(ni2
称n0p0=ni2为非简并半导体平衡态判据式。
但来说非平衡多子的影响轻微，而非平衡少子的影 响起重要作用。通常说的非平衡载流子都是指非平衡少子。
• 非平衡载流子的存在使半导体的载流子数量发生变化，因而会引起附加电导率
• 电阻上电压的变化正比于非平衡载流子的浓度即
Vp
• 当产生非平衡载流子的外部作用撤除以后，非平衡载流子也就逐渐消失，半导体最终
例如n型半导体中通常的注入情况是Δn <<n0，Δp <<n0，满足这样的注入条件称为小注入。 表面复合对性能有决定性影响，希望它尽可能低些 。
的电子-空穴对数为非平衡载流子的复合率。 别是n0和p0，并且n0>>p0。
如果n型半导体在t=0时刻非平衡载流子浓度为(Δp)0，并在 平衡态半导体的标志就是具有统一的费米能级EF，此时的平衡 别是n0和p0，并且n0>>p0。
• τ的大小反映了外界激励因素撤除后非平衡载流子衰减速度的不同，寿命越 短衰退越快。
• 不同材料或同一种材料在不同条件下，其寿命τ可以在很大范围内变化。
3准费米能级
由于存在外界因素作用，非平衡态半导体不存在统一的EF。 但分别就导带和价带的同一能带范围内而言，各自的载流子带内
热跃迁仍然十分踊跃，极短时间内就可以达到各自的带内平衡而
随时间按指数规律衰减。而非平衡载流子的平均生存时间为
所以非平衡载流子寿命τ就是其平均生存时间。
半导体物理基础(2)
2V 8 3
。
第三章：半导体中的载流子的统计分布
• 半导体导带与价带相邻能级之间的间隔很小， 约为10-22eV数量级，可以近似地认为能级是连 续的。求出能带中能量E附近单位能量间隔内 的量子态数即状态密度g ( E) ，也就知道允许的 量子态按能量的分布的状态。
dZ g(E) dE
（1-40）
（1-65）
第四章 半导体的导电性
J qnV d
（1-67） （1-68） （1-69） （1-70）
Vห้องสมุดไป่ตู้d E
J nq E
nq
第四章 半导体的导电性
实验发现，在电场强度不太大的情况下，半 导体中的载流子在电场作用下的运动仍遵守欧 姆定律。但是，半导体中存在着两种载流子， 即带正电的空穴和带负电的电子，而且载流子 浓度又随着温度和掺杂的不同而不同，所以， 它的导电机构要比导体复杂些。
3 2 n 3
第三章：半导体中的载流子的统计分布
• 同理可推导出价带顶附近状态密度为：
3 2 p 3
2 m) 1 V( 2 g ( E E ) v (E ) v 2 2
二．载流子的统计分布 电子的费米分布
f (E) 1 1 exp
EEF ( ) R T 0
(1-46)
（ 1-47 ）
0E E 2 k T C F 0
E C E F 0
杂质能带： 在简并半导体中，杂质浓度高，导致杂质 原子之间电子波函数发生交叠，使孤立的杂质 能级扩展为杂质能带。
杂质带导电： 杂质能带中的电子通过在杂质原子之间的 共有化运动参加导电的现象。 禁带变窄效应： 重掺杂时，杂质能带进入导带或价带，形 成新的简并能带，简并能带的尾部深入到禁带 中，称为带尾，从而导致禁带宽度变窄。
。
第三章：半导体中的载流子的统计分布
• 半导体导带与价带相邻能级之间的间隔很小， 约为10-22eV数量级，可以近似地认为能级是连 续的。求出能带中能量E附近单位能量间隔内 的量子态数即状态密度g ( E) ，也就知道允许的 量子态按能量的分布的状态。
dZ g(E) dE
（1-40）
（1-65）
第四章 半导体的导电性
J qnV d
（1-67） （1-68） （1-69） （1-70）
Vห้องสมุดไป่ตู้d E
J nq E
nq
第四章 半导体的导电性
实验发现，在电场强度不太大的情况下，半 导体中的载流子在电场作用下的运动仍遵守欧 姆定律。但是，半导体中存在着两种载流子， 即带正电的空穴和带负电的电子，而且载流子 浓度又随着温度和掺杂的不同而不同，所以， 它的导电机构要比导体复杂些。
3 2 n 3
第三章：半导体中的载流子的统计分布
• 同理可推导出价带顶附近状态密度为：
3 2 p 3
2 m) 1 V( 2 g ( E E ) v (E ) v 2 2
二．载流子的统计分布 电子的费米分布
f (E) 1 1 exp
EEF ( ) R T 0
(1-46)
（ 1-47 ）
0E E 2 k T C F 0
E C E F 0
杂质能带： 在简并半导体中，杂质浓度高，导致杂质 原子之间电子波函数发生交叠，使孤立的杂质 能级扩展为杂质能带。
杂质带导电： 杂质能带中的电子通过在杂质原子之间的 共有化运动参加导电的现象。 禁带变窄效应： 重掺杂时，杂质能带进入导带或价带，形 成新的简并能带，简并能带的尾部深入到禁带 中，称为带尾，从而导致禁带宽度变窄。
半导体物理课件非平衡载流子
讨论：过剩载流子由外界的附加激发产生,
而且对其有一响应过程; 当外界激发在t1 时刻去除后，(n)t1个过剩载流子并不是 瞬间即消失的，n、 p 的物理意义是过剩 载流子的平均存在的时间，称为过剩载流
子寿命。
若取t1时刻开始记时，即t1=0,则 n (n)0et /n，p (p)0et / p
非平衡载流子的实验观察 • 设导平衡，态小时注半入导时体，电导= 率0+为0≈，光0，照引起的附加电 • 电阻率改变=1/-1/0- / 02， • 电阻改变为：r • V=I r 。
产生过剩载流子的方式有： 光注入， Δn＝ Δp 光照在n型材料上，电导率增量Δ
＝q Δp( n ＋ p) 电注入(金属探针与pn结正向导通)
• 在t > 0 时，由于G > R，故载流子浓度提高n、p ，由此将 引起复合率R 的上升。
• U = R - R0，为净复合率，显然，它可以被看成是由于过剩载 流子n、 p的存在而导致的复合率的增加。
• 故，光照开始后，载流子浓度的变化规律为：
dn dt
G
R
G0
G
(R0
Un)
G
Un
等式左边: dn d (n0 n) dn
非平衡载流子平均存在时间：
t
t
t tdp(t) / dp(t) te dt / e dt
0
0
0
0
• ，衰减越快。
大注入和小注入的概念 大注入：在某种注入下，产生的过剩载流子的数量显著高于
热平衡时的多子浓度，此时称大注入。 如在本例中，如果Gn>>n0 ，则是大注入的情况。发生大注
• 载流子在两带之间的热跃迁就要稀少得多，所以要达到两带 之间的平衡要慢一些，即过剩载流子寿命的量级在10-8～10-3 s。
半导体物理第三章1
第三章 半导体中载流子的统计半导体靠电子和空穴传导电流，为了了解和描述半导体的导电过程，必须首先了解其中电子和空穴按能量分布的基本规律，掌握用统计物理学的方法求解处于热平衡状态的一块半导体中的载流子密度及其随温度变化的规律。
这就是本章要讨论的主要问题。
§3.1 状态密度为了计算半导体中热平衡载流子的密度及其随温度变化的规律，我们需要两方面的知识：第一，载流子的允许量子态按能量如何分布；第二，载流子在这些允许的量子态中如何分布。
一、 热平衡状态下的电子和空穴1、 热平衡状态在一定温度下，如果没有其他外界作用，半导体中能量较低的价带和施主能级上的电子依靠热激发跃迁到能量较高的受主或（和）导带，分别在价带和导带中引入可以导电的空穴和电子。
同时，高能量状态上电子也有一定的几率退回到它原来的低能量状态。
于是，电子和空穴在所有允许量子态间的可逆跃迁达到稳定的动态平衡，使导带和价带分别具有稳定的电子密度和空穴密度，这种状态即是热平衡状态。
处于热平衡状态下的导带电子和价带空穴称为热平衡载流子。
热平衡载流子具有稳定的、与温度相关的密度。
因此，需要解决如何计算确定温度下半导体热平衡载流子密度的问题。
2、 热平衡状态下的载流子密度由于导电电子和空穴分别分布在导带和价带的量子态中，所以电子和空穴的密度必取决于这些状态的密度分布，以及电子和空穴占据这些状态的几率。
如果状态密度是与能量无关的常数N C 和N V ，则电子和空穴的热平衡密度n 0和p 0直接由N C 和N V 分别与相应的几率函数相乘得出；如果状态密度是能量的函数g C (E) 和g V (E)，则载流子密度的计算须采用积分方式，即dE E f E g n CE C )()(0⎰∞=；dE E f E g p VE V )()(0⎰∞-=因此，须了解态密度函数和几率函数的具体函数形式。
二、 态密度的定义及求解思路假定在能带中无限小的能量间隔d E 内有d Z 个量子态，则状态密度g (E )定义为dE dZ E g /)(=也就是说，状态密度g (E )就是在能带中能量E 的附近每单位能量间隔内的量子态数。
半导体物理课件 (6)非平衡载流子
dx
p
0
p(x) Ae1x Be2x
L2p2 Lp ( ) 1 0
Lp ( )
L2p ( ) 4L2p
2L2p
1 Lp ( )
L2p ( ) 4L2p
2L2p
0
2
Lp ( )
L2p ( ) 4L2p
2L2p
0
对很厚的样品： p() 0
x ,
0 Ae1 Be2
A=0， p(x) Be2x
(1) 表面粗糙度 (2) 表面积与总体积的比例 (3) 与表面的清洁度、化学气氛有关 在考虑表面复合后，总的复合几率为：
1 1 1
v s
§5.4 陷阱效应
一、陷阱效应的类型
● 对于 rn rp 的杂质，
电子的俘获能力远大于俘获空穴的能力， 称为电子陷阱。
● 对于 rp rn 的杂质，
俘获空穴的能力远大于俘获电子的能力，
当复合达到稳态时
ui rn (Nt nt )n rnn1nt
其中：nt为复合中心的电子浓度
nt
N t (rn n rp p1 ) rn (n n1 ) rp ( p
p1 )
ui
rn (n
rn rp N t n1 ) rp ( p
p1 )
(np
n1 p1 )
其中：
Ec Et
n1 Nce KT
Et Ev
p1 N v e KT
ui
rn (n
N t rn rp n1 ) rp ( p
p1 )
(np
ni2 )
热平衡时
n p n0 p0 ni2
ui 0
非平衡态时
n n0 n
p p0 p
p n nt
p
0
p(x) Ae1x Be2x
L2p2 Lp ( ) 1 0
Lp ( )
L2p ( ) 4L2p
2L2p
1 Lp ( )
L2p ( ) 4L2p
2L2p
0
2
Lp ( )
L2p ( ) 4L2p
2L2p
0
对很厚的样品： p() 0
x ,
0 Ae1 Be2
A=0， p(x) Be2x
(1) 表面粗糙度 (2) 表面积与总体积的比例 (3) 与表面的清洁度、化学气氛有关 在考虑表面复合后，总的复合几率为：
1 1 1
v s
§5.4 陷阱效应
一、陷阱效应的类型
● 对于 rn rp 的杂质，
电子的俘获能力远大于俘获空穴的能力， 称为电子陷阱。
● 对于 rp rn 的杂质，
俘获空穴的能力远大于俘获电子的能力，
当复合达到稳态时
ui rn (Nt nt )n rnn1nt
其中：nt为复合中心的电子浓度
nt
N t (rn n rp p1 ) rn (n n1 ) rp ( p
p1 )
ui
rn (n
rn rp N t n1 ) rp ( p
p1 )
(np
n1 p1 )
其中：
Ec Et
n1 Nce KT
Et Ev
p1 N v e KT
ui
rn (n
N t rn rp n1 ) rp ( p
p1 )
(np
ni2 )
热平衡时
n p n0 p0 ni2
ui 0
非平衡态时
n n0 n
p p0 p
p n nt
《半导体物理学》【ch05】 非平衡载流子 教学课件
复合理论
1 直接复合——电子在导带和价带之间的直接跃迁， 引起电子和空穴的直接复合。
间接复合电子和空穴通过禁带的能级（复合中心）进行复合。根据间接复合过程发生的位置，又可以把
2 它分为体内复合和表面复合。载流子复合时， 一定要释放出多余的能量。放出能量的方法有三种：
1.发射光子，伴随着复合，将有发光现象，常称为发光复合或辐射复合； 2.发射声子，载流子将多余的能量传给晶格，加强晶格的振动； 3.将能量给予其他载流子，增大它们的动能，称为俄歇（Auger）复合。
集成电路科学与工程系列教材
第五章
非平衡载流子
半导体物理学
01
非平衡载流子 的注入与复合
非平衡载流子的注入与复合
处于热平衡状态的半导体在一定温度下，载流子浓度是一定的。这种处于热平衡状态下的载流子浓度， 称为平衡载流子浓度，前面各章讨论的都是平衡载流子。用no 和po分别表示平衡电子浓度和空穴浓 度，在非简并情况下，它们的乘积满足下式
当外界的影响破坏了热平衡，使半导体处于非平衡状态时，就不再存在统一的费米能级，因为前 面讲的费米能级和统计分布函数都指的是热平衡状态。事实上，电子系统的热平衡状态是通过热 跃迁实现的。在一个能带范围内，热跃迁十分频繁，在极短时间内就能形成一个能带内的热平衡。 然而， 电子在两个能带之间，例如，导带和价带之间的热跃迁就稀少得多，因为中间还隔着禁带。
非平衡载流子的注入与复合
最后， 载流子浓度恢复到平衡时的值，半导体又回到平衡态。由此得出结论，产生非平衡载流子的外 部作用撤除后，半导体的内部作用使它由非平衡态恢复到平衡态，过剩载流子逐渐消失。这一过程称为 非平衡载流子的复合。 然而，热平衡并不是一种绝对静止的状态。就半导体中的载流子而言，任何时候电子和空穴总是不断地 产生和复合， 在热平衡状态，产生和复合处于相对的平衡，每秒钟产生的电子和空穴数目与复合的数 目相等，从而保持载流子浓度稳定不变。 当用光照射半导体时，打破了产生与复合的相对平衡，产生超过了复合，在半导体中产生了非平衡载流 子， 半导体处于非平衡态。
半导体物理第3章课件
9
第三章 半导体中载流子的统计分布 思考题
16、某含有一些施主的p型半导体在极低温度 下（即T→0时）电子在各种能级上的分布 情况如何？定性说明随温度升高分布将如 何改变？ 17、什么叫载流子的简并化？试说明其产生 的原因。有一重掺杂半导体，当温度升高 到某一值时，导带中电子开始进入简并。 当温度继续升高时简并能否解除？
14
第三章 半导体中载流子的统计分布 思考题
25、已知温度为500K时，硅ni= 4×1014cm-3 ， 如电子浓度为2×1016cm-3，空穴浓度为 2×1014cm-3，该半导体是否处于热平衡状态？
15
第三章 半导体中载流子的统计分布 思考题
26、定性说明下图对应的半导体极性和掺杂状况
16
1
第三章 半导体中载流子的统计分布 思考题
2、什么叫统计分布函数？费米分布和玻尔兹 曼分布的函数形式有何区别？在怎样的条件 下前者可以过渡为后者？为什么半导体中载 流子分布可以用波尔兹曼分布描述？ 3、说明费米能级EF的物理意义。根据EF位置 如何计算半导体中电子和空穴浓度？如何理 解费米能级EF是掺杂类型和掺杂程度的标志？
13
第三章 半导体中载流子的统计分布 思考题
23、定性讨论如下掺杂硅单晶费米能级位置 相对于纯单晶硅材料的改变，及随温度变化 时如何改变： （1）含有1016cm-3的硼； （2）含有1016cm-3的硼和9×1015cm-3的P； （3）含有1015cm-3的硼和9×1015cm-3的P； 24、说明两种测定施主和受主杂质浓度的实 验方法的原理？
10
第三章 半导体中载流子的统计分布 思考题
18、有四块含有不同施主浓度的Ge样品。在 室温下分别为： （1）高电导n-Ge； （2）低电导n-G；（3） 高电导p-Ge； （4）低电导p-Ge；比较四 块样品EF的位置的相对高低。分别说明它们 达到全部杂质电离或本征导电时的温度的高 低？ 杂质浓度愈高，全部电离时的温度将愈高； 相应达到本征激发为主的温度也愈高。
半导体物理基础-非平衡载流子
Rnn0 n02 p0
Gnn
Gnn0
n n0
（3） 陷阱效应
一些杂质缺陷能级能够俘获载流子并长时 间的把载流子束缚在这些能级上。
产生原因：
俘获电子和俘获空穴的能力相差太大
电子陷阱 空穴陷阱
nt
Nt
(ncn p1cp ) cn (n n1) cp ( p
p1 )
例题1
解:温度改变时,费米能级位置要发生 变化,则与Et的相对位置也发生变化.
外部条件拆除后，
n p
光照引起的附加光电导：
qnn qpp
通过附加电导率测量可计算非 平衡载流子。
n, p nonequilibrium carriers
也称 excess carries (过剩载流子)
n型半导体：Δn=Δp《 n0， p型半导体 Δn=Δp《 p0
n1 p0, n0 , p1
1 Ntcp
n1 p0
p
n1 p0
(4)强p型区
p cn (n0 n1) cp ( p0 p1)
U
Ntcncp (n0 p0 )
p0 n1, p1, n0
1 NT cn
n
2. Et
U
np ni2
1 cp Nt
(n
n1 )
1 cn Nt
(
p
p1 )
复合
直接复合(direct recombination):导带电子与价带空 穴直接复合.
间接复合(indirect recombination):通过位于禁带中的 杂质或缺陷能级的中间过渡。
表面复合(surface recombination)：在半导体表面发生 的 复合过程。
从释放能量的方法分:
Gnn
Gnn0
n n0
（3） 陷阱效应
一些杂质缺陷能级能够俘获载流子并长时 间的把载流子束缚在这些能级上。
产生原因：
俘获电子和俘获空穴的能力相差太大
电子陷阱 空穴陷阱
nt
Nt
(ncn p1cp ) cn (n n1) cp ( p
p1 )
例题1
解:温度改变时,费米能级位置要发生 变化,则与Et的相对位置也发生变化.
外部条件拆除后，
n p
光照引起的附加光电导：
qnn qpp
通过附加电导率测量可计算非 平衡载流子。
n, p nonequilibrium carriers
也称 excess carries (过剩载流子)
n型半导体：Δn=Δp《 n0， p型半导体 Δn=Δp《 p0
n1 p0, n0 , p1
1 Ntcp
n1 p0
p
n1 p0
(4)强p型区
p cn (n0 n1) cp ( p0 p1)
U
Ntcncp (n0 p0 )
p0 n1, p1, n0
1 NT cn
n
2. Et
U
np ni2
1 cp Nt
(n
n1 )
1 cn Nt
(
p
p1 )
复合
直接复合(direct recombination):导带电子与价带空 穴直接复合.
间接复合(indirect recombination):通过位于禁带中的 杂质或缺陷能级的中间过渡。
表面复合(surface recombination)：在半导体表面发生 的 复合过程。
从释放能量的方法分:
第三章 半导体中的平衡与非平衡载流子
2. 状态密度
Si、Ge在导带底附近的E(k)~k关系为
2 k2 k z2 h2 kx y E( k ) Ec 2 mt ml
导带底Ec不在k＝0处，且上述方程共有s个(Si的s=6，Ge的s=4)， 将上式变形
2 kx
2mt ( E Ec ) h2
2 ky
n0 Ncexp (
Ec - E F ) k0T
同理可以得到价带空穴浓度
1 p0 V
2(2 m* k T)3 2 p 0 h
3
Ev'
Ev E F [1 f(E)]gV (E)dE Nv exp( ) k T 0 Ev
其中Nv
称为价带有效状态密度，因此
p0 Nvexp( Ev E F ) k0T
(2m* )3 2 E EF dN n 12 dn0 4 exp( )( E Ec ) dE V h3 k0T
对上式从导带底Ec到导带顶Ec‘ 积分，得到平衡态非 简并半导体导带电子浓度
n0 4 (2m ) h
* 3 2 n 3 Ec'
(2m* )3 2 n 4π h3
二、杂质半导体载流子浓度（n型）
n型半导体中存在着带负电的导带电子(浓度为n0)、带正电的 价带空穴(浓度为p0)和离化的施主杂质(浓度为nD+)，因此电中性 条件为
0 qn0 qp0 qn D
即 n0 p0 nD
将n0、p0、nD+各表达式代入可得到
Ncexp( Ec E F Ev E F ) Nvexp( ) k0T k0T ND ED EF 1 2exp( ) k0T
半导体物理课件1-7章(第三章)
V
dN 2 2
2mn* 3
2
exp
E EF k0T
E
1
Ec 2 dE
积分
E
' c
导带顶能量
3
n0
dN
V
1 Ec'
Ec 2 2
2mn* 3
2
exp
E EF k0T
E Ec
1
2 dE
热平衡3状2 态下非简并半导体的导带电子浓度n0
3
n0
dN V
1 Ec'
Ec 2 2
3.2费米能级和载流子的统计分布
3.2.1 费米分布函数
⑴把半导体中的电子看作是近独立体系,即认为电子之间的相互 作用很微弱. ⑵大量电子的运动是服从量子力学规律的,用量子态描述它们的 运动状态.电子的能量是量子化的,即其中一个量子态被电子占据, 不影响其他的量子态被电子占据.并且每一能级可以认为是双重 简并的,这对应于自旋的两个容许值. ⑶在量子力学中,认为同一体系中的电子是全同的,不可分辨的. ⑷电子在状态中的分布,要受到泡利不相容原理的限制.
电子在允许的量子态上如何分布的一个统计分布
函数。
f E
1
1 exp( E EF )
k0T
EF：费米能级或费米能量，与温度、半导体材料的导电类
型、杂质的含量以及能量零点的选取有关。
一个很重要的物理参数
在一定温度下电子在各量子 态上的统计分布完全确定
17
将半导体中大量电子的集体看成一个热力系统， 由统计理论证明，费米能级EF是系统的化学势：
•半导体的导电性受温度影响剧烈。
本章讨论： 1、热平衡情况下载流子在各种能级上的分 布情况 2、计算导带电子和价带空穴的浓度，分析 它们与半导体中杂质含量和温度的关系．
半导体物理 第三章
1/ 2
积分后可得热平衡状态下非 简并半导体的导带电子浓度
30
导带顶能量
n0
/ Ec
Ec
(2m ) 4 h
* 3/ 2 n 3
e
E EF kT 0
( E Ec ) dE
1/ 2
令x ( E Ec ) /(k0T ) ( E Ec )1/ 2 (k0T )1/ 2 x1/ 2 d ( E Ec ) (k0T )dx x' ( Ec' Ec ) /(k0T )
33
p0 4
(2m ) h
* 3/ 2 p 3
e
Ev EF kT 0
Hale Waihona Puke x'0
x1/ 2e x dx
2
(，Ev' )的空穴数 极少，忽略不计
* p 0 3
0
x e dx
Ev EF kT 0
1/ 2 x
p0 2
其中，μ：系统的化学势；
半导体能带内所有量子 态中被电子占据的量子 态数等于电子总数
F： 系统的自由能； N：电子总数，决定费米能级的条件是： f ( Ei ) N
i
上式的意义是：当系统处于热平衡状态，也不对外界作
功的情况下，系统中增加一个电子所引起系统自由能的变 化，等于系统的化学势，也就是等于系统的费米能级。
f B ( E ) g c ( E )dE e
E EF kT 0
( E Ec )1/ 2 dE
单位体积中的电子数即电子浓度
(2m ) dN dn 4 V h
积分后可得热平衡状态下非 简并半导体的导带电子浓度
30
导带顶能量
n0
/ Ec
Ec
(2m ) 4 h
* 3/ 2 n 3
e
E EF kT 0
( E Ec ) dE
1/ 2
令x ( E Ec ) /(k0T ) ( E Ec )1/ 2 (k0T )1/ 2 x1/ 2 d ( E Ec ) (k0T )dx x' ( Ec' Ec ) /(k0T )
33
p0 4
(2m ) h
* 3/ 2 p 3
e
Ev EF kT 0
Hale Waihona Puke x'0
x1/ 2e x dx
2
(，Ev' )的空穴数 极少，忽略不计
* p 0 3
0
x e dx
Ev EF kT 0
1/ 2 x
p0 2
其中，μ：系统的化学势；
半导体能带内所有量子 态中被电子占据的量子 态数等于电子总数
F： 系统的自由能； N：电子总数，决定费米能级的条件是： f ( Ei ) N
i
上式的意义是：当系统处于热平衡状态，也不对外界作
功的情况下，系统中增加一个电子所引起系统自由能的变 化，等于系统的化学势，也就是等于系统的费米能级。
f B ( E ) g c ( E )dE e
E EF kT 0
( E Ec )1/ 2 dE
单位体积中的电子数即电子浓度
(2m ) dN dn 4 V h
半导体物理学课件4 半导体中载流子的统计分布
到区间的电子浓度，然后再
由导带底至导带顶积分就得
到了导带的电子浓度。
半导体中载流子 电子空穴的平衡分布
假设电子空穴有效质量相等，则EF位于禁带中线
半导体中载流子 n0 p0的方程
热平衡时的电子浓度n0 这里假设费米能级始终位于禁带中。
n0 gc E fF E dE
积分下限：Ec；积分上限：这里设为无穷大。
电子占据施主能级E D的几率f D
E
1
1
1
gD E
ED EF
e k0T
1
空穴占据受主能级E A的几率f A
E
1
1
1
gA E
EF EA
e k0T
2
gD E和gA E分别是施主和受主基态简并度
施主浓度:ND 受主浓度: NA
（1）杂质能级上未离化的载流子浓度nD和pA ：
施主能级上的电子浓度nD NDfD E 3
因此对导带或价带中所有量子态来说，电子或 空穴都可以用玻耳兹曼统计分布描述。
由于分布几率随能量呈指数衰减，因此导带绝 大部分电子分布在导带底附近，价带绝大部分 空穴分布在价带顶附近，即起作用的载流子都 在能带极值附近。
例：四个电子处于宽度为a=10埃的一维无 限深势阱中，假设质量为自由电子质量，求 T=0K时的费米能级.
导带中有效电子能态密度：
4
gc E
2mn* h3
32
E - Ec
价带中有效电子能态密度：
4
gv E
2m*p h3
32
Ev - E
3.2 统计力学
在一定温度下，半导体中的大量电子不停地 作无规则热运动，从一个电子来看，它所具 有的能量时大时小，经常变化。但是，从大 量电子的整体来看，在热平衡状态下，电子 按能量大小具有一定的统计分布规律性，即 电子在不同能量的量子态上统计分布几率是 一定的。
由导带底至导带顶积分就得
到了导带的电子浓度。
半导体中载流子 电子空穴的平衡分布
假设电子空穴有效质量相等，则EF位于禁带中线
半导体中载流子 n0 p0的方程
热平衡时的电子浓度n0 这里假设费米能级始终位于禁带中。
n0 gc E fF E dE
积分下限：Ec；积分上限：这里设为无穷大。
电子占据施主能级E D的几率f D
E
1
1
1
gD E
ED EF
e k0T
1
空穴占据受主能级E A的几率f A
E
1
1
1
gA E
EF EA
e k0T
2
gD E和gA E分别是施主和受主基态简并度
施主浓度:ND 受主浓度: NA
（1）杂质能级上未离化的载流子浓度nD和pA ：
施主能级上的电子浓度nD NDfD E 3
因此对导带或价带中所有量子态来说，电子或 空穴都可以用玻耳兹曼统计分布描述。
由于分布几率随能量呈指数衰减，因此导带绝 大部分电子分布在导带底附近，价带绝大部分 空穴分布在价带顶附近，即起作用的载流子都 在能带极值附近。
例：四个电子处于宽度为a=10埃的一维无 限深势阱中，假设质量为自由电子质量，求 T=0K时的费米能级.
导带中有效电子能态密度：
4
gc E
2mn* h3
32
E - Ec
价带中有效电子能态密度：
4
gv E
2m*p h3
32
Ev - E
3.2 统计力学
在一定温度下，半导体中的大量电子不停地 作无规则热运动，从一个电子来看，它所具 有的能量时大时小，经常变化。但是，从大 量电子的整体来看，在热平衡状态下，电子 按能量大小具有一定的统计分布规律性，即 电子在不同能量的量子态上统计分布几率是 一定的。
《半导体物理基础》课件
当电子从导带回到价带时，会释 放能量并发出光子，这就是发光 效应。发光效应是半导体的一个 重要应用，如发光二极管和激光 器等。
04 半导体中的载流子输运
CHAPTER
载流子的产生与复合
载流子的产生
当半导体受到外界能量（如光、热、电场等）的作用时，其 内部的电子和空穴的分布状态会发生改变，导致电子和空穴 从价带跃迁到导带，产生电子-空穴对。
06 半导体物理的应用与发展趋势
CHAPTER
半导体物理在电子器件中的应用
01
02
03
晶体管
利用半导体材料制成的晶 体管是现代电子设备中的 基本元件，用于放大、开 关和整流信号。
集成电路
集成电路是将多个晶体管 和其他元件集成在一块芯 片上，实现特定的电路功 能。
太阳能电池
利用半导体的光电效应将 光能转化为电能，太阳Hale Waihona Puke 电池是可再生能源的重要 应用之一。
半导体物理在光电子器件中的应用
LED
发光二极管，利用半导体的光电效应发出可见光 ，广泛应用于照明和显示领域。
激光器
利用半导体的光放大效应产生激光，用于数据存 储、通信和医疗等领域。
光探测器
利用半导体的光电效应探测光信号，用于光纤通 信、环境监测等领域。
半导体物理的发展趋势与展望
新材料和新型器件
随着科技的发展，人们不断探索新的半导体材料和新型器件，以 提高性能、降低成本并满足不断变化的应用需求。
闪锌矿结构
如铬、钨等金属的晶体结构。
如锗、硅等半导体的晶体结构。
面心立方结构（fcc）
如铜、铝等金属的晶体结构。
纤锌矿结构
如氮化镓、磷化镓等半导体的晶 体结构。
晶体结构对半导体性质的影响
04 半导体中的载流子输运
CHAPTER
载流子的产生与复合
载流子的产生
当半导体受到外界能量（如光、热、电场等）的作用时，其 内部的电子和空穴的分布状态会发生改变，导致电子和空穴 从价带跃迁到导带，产生电子-空穴对。
06 半导体物理的应用与发展趋势
CHAPTER
半导体物理在电子器件中的应用
01
02
03
晶体管
利用半导体材料制成的晶 体管是现代电子设备中的 基本元件，用于放大、开 关和整流信号。
集成电路
集成电路是将多个晶体管 和其他元件集成在一块芯 片上，实现特定的电路功 能。
太阳能电池
利用半导体的光电效应将 光能转化为电能，太阳Hale Waihona Puke 电池是可再生能源的重要 应用之一。
半导体物理在光电子器件中的应用
LED
发光二极管，利用半导体的光电效应发出可见光 ，广泛应用于照明和显示领域。
激光器
利用半导体的光放大效应产生激光，用于数据存 储、通信和医疗等领域。
光探测器
利用半导体的光电效应探测光信号，用于光纤通 信、环境监测等领域。
半导体物理的发展趋势与展望
新材料和新型器件
随着科技的发展，人们不断探索新的半导体材料和新型器件，以 提高性能、降低成本并满足不断变化的应用需求。
闪锌矿结构
如铬、钨等金属的晶体结构。
如锗、硅等半导体的晶体结构。
面心立方结构（fcc）
如铜、铝等金属的晶体结构。
纤锌矿结构
如氮化镓、磷化镓等半导体的晶 体结构。
晶体结构对半导体性质的影响
半导体物理学第三章半导体中载流子统计分布 96页
3.1.1 k空间中量子态的分布
每个允许的能量状态在k空间中与由整 数组（nx，ny，nz）决定的一个代表点 （ kx，ky，kZ ）相对应
对于边长为L的立方晶体
kx = 2πnx/L (nx = 0, ±1, ±2, …) ky = 2π ny/L (ny = 0, ±1, ±2, …) kz = 2π nz/L (nz = 0, ±1, ±2, …)
当系统处于热平衡状态，也不对外界做功的情况 下，系统中增加一个电子所引起的系统的自由能 的变化等于系统的化学势也即为系统的费米能级
处于热平衡状态的系统有统一的化学势，则处于 热平衡的状态的电子系统有统一的费米能级
2、费米能级EF的意义
T=0: 当E<EF时， fF(E)=1, 当E>EF时，fF(E)=0, T>0: 当E<EF时， 1/2< fF(E)<1 当E=EF时， fF(E)=1/2 当E>EF时，0<fF(E)<1/2
k空间状态分布
在k空间中，每一代表点（一个能量状态）的体
积= (2π)3/L3= (2π)3/V，则K空间中代表点的密 度为V/8π3 ，即电子允许的能量状态密度为 V/8π3 。
一个能量状态能容纳 自旋相反的两个量子 态。则在k空间中，电 子的允许量子态密度 是2 V/8π3 。此时一 个量子态只能容纳一 个电子
在室温下(300K) k0T0.02e6v
它与半导体的禁带宽度相比还是很小的，如： Si的Eg＝1.12 eV。
例: 室温时硅(Si)的Ei就位于禁带中央之下约为 0.01eV的地方.也有少数半导体,Ei相对于禁带 中央的偏离较明显.如 InS，b
在室温下,本征费米能级移向导带
西安电子科技大学半导体物理课件——第三章 半导体中的载流子
（1）电中性条件
（2）费米能级和多子浓度
当温度很低时，杂质电离很弱，此时有
Ⅷ、低温弱电离区（续）
（3）费米能级与温度的关系
I)
当温度T 0K时，有 可知，当温度升至使
II) 由
这说明，当温度从低温极限开始上升时， 费米能级很快上升；当温度上升到Nc=0.11ND 时，费米能级上升到极大值；当温度继续上升 时，费米能级又开始下降。 费米能级随温度的变化关系如右图所示。
常见的分布函数
1. 麦克斯韦速度分布率 2. 波尔兹曼分布率(古典统计) ——粒子可区分！ 3. 费米-狄拉克统计分布
f(v) m ⎛ ⎞ = 4π ⎜ ⎟ ⎝ 2 π kT ⎠
2
3 2
v 2e
−
−
mv 2kT
2
f B (u k ) =
π
(kT )
−
3 2
uke
uk kT
f
FD
(u)
=
1 1 + e 1
状态密度
导带底E(k)与k的关系
h2k 2 E (k ) = E c + * 2m n
能量E~(E+dE)间的量子态数
dZ = 2V × 4π k dk
2
可得
(2m ) ( E − Ec ) k= h
* n 2 1 1 2 * m n dE , kdk = h2
状态密度
代入可得
(2m ) dZ = 4π V h
E (k ) = E c k 32 h 2 k 12 + k 22 + + ( ) mt ml 2
3
设导带底的状态有s个，根据同样方法可求得
(2m ) g c ( E ) = 4π V h
（2）费米能级和多子浓度
当温度很低时，杂质电离很弱，此时有
Ⅷ、低温弱电离区（续）
（3）费米能级与温度的关系
I)
当温度T 0K时，有 可知，当温度升至使
II) 由
这说明，当温度从低温极限开始上升时， 费米能级很快上升；当温度上升到Nc=0.11ND 时，费米能级上升到极大值；当温度继续上升 时，费米能级又开始下降。 费米能级随温度的变化关系如右图所示。
常见的分布函数
1. 麦克斯韦速度分布率 2. 波尔兹曼分布率(古典统计) ——粒子可区分！ 3. 费米-狄拉克统计分布
f(v) m ⎛ ⎞ = 4π ⎜ ⎟ ⎝ 2 π kT ⎠
2
3 2
v 2e
−
−
mv 2kT
2
f B (u k ) =
π
(kT )
−
3 2
uke
uk kT
f
FD
(u)
=
1 1 + e 1
状态密度
导带底E(k)与k的关系
h2k 2 E (k ) = E c + * 2m n
能量E~(E+dE)间的量子态数
dZ = 2V × 4π k dk
2
可得
(2m ) ( E − Ec ) k= h
* n 2 1 1 2 * m n dE , kdk = h2
状态密度
代入可得
(2m ) dZ = 4π V h
E (k ) = E c k 32 h 2 k 12 + k 22 + + ( ) mt ml 2
3
设导带底的状态有s个，根据同样方法可求得
(2m ) g c ( E ) = 4π V h
半导体器件物理3章平衡半导体
第三章：平衡半导体到现在为止，我们已经讨论了一般晶体，确定了单晶晶格中电子的一些特性。
这一章，我们将运用这些概念来研究半导体材料，尤其是用导带和价带中量子态密度以及费米－狄拉克分布函数来确定导带和价带中电子和空穴的浓度。
此外，我们还会利用这些概念给出半导体材料的费米能级。
这一章我们将涉及平衡半导体：所谓平衡半导体或处于热平衡状态的半导体，是指无外界（如电压、电场、磁场或温度梯度等）作用影响的半导体。
在这种情况下，材料的所有特性均与时间无关。
平衡状态是研究半导体物理特性的起点，之后我们才会研究偏离平衡状态时出现的特性，例如给半导体材料施加电压时的情况。
这一章我们将要讨论的内容有：1.确定本征半导体热平衡时的电子和空穴浓度2.确定非本征即掺杂半导体热平衡时的电子和空穴浓度3.研究电子和空穴浓度随能量和温度变化的统计规律4.确定本征半导体费米能级的位臵，讨论费米能级随掺杂浓度和温度的变化。
3.1本征半导体中的载流子浓度半导体器件的特性很大程度依赖于半导体材料的电导率，通过控制加入到半导体材料中的特定杂质的数量，就可以改变半导体的电学性能。
掺杂原子的类型决定了半导体材料中起作用的载流子是电子还是空穴。
掺杂原子的引入可以改变电子在有效能量状态上的分布，费米能级的位臵成了杂质原子类型和浓度的函数。
电流实际上表征了电荷的流动速度。
半导体中的两种载流子电子和空穴均对电流有贡献。
因为半导体中的电流大小取决于导带中的电子数目和价带中的空穴数目，所以半导体中的载流子浓度是一个重要参数。
电子和空穴浓度与状态密度函数及费米－狄拉克分布函数有关。
3.1.1本征半导体平衡时的电子和空穴浓度分布导带中电子（关于能量）的分布为导带中的有效量子态密度与某个量子态被电子占据的概率的乘积。
()()()()3.1c F n E g E f E =其中，()F f E 是费米－狄拉克分布函数，()c g E 是导带中有效量子态密度，在整个导带能量范围对上式积分便可得到导带中单位体积的总电子浓度。
半导体物理之平衡半导体
本征半导体：n0=p0=ni，（ni本征载流子浓度）
n型半导体：n0>p0 p型半导体：n0<p0
n0 p0 ni 2
非简并半导体的载流子浓度乘积只与本征材料有关
半导体物理与器件
本征载流子浓度
本征半导体：不含有杂质原子的半导体材料。本征半 导体中，载流子主要来源于本征激发。 本征半导体中导带电子浓度ni等于价带空穴浓度pi， 称为本征载流子浓度，用ni来表示 本征激发的过程同时产生一个电子和一个空穴 本征半导体的费米能级称为本征费米能级EFi。 在本征半导体中，电中性条件：no po
电子浓度 根据状态密度和分布函数的定义，我们知道电子浓度 的能量分布为：
n E gc E f F E
对应于该能量状态被的占 对应于该能量的状态密度 据几率 则整个导带范围内的电子浓度为：
Ec '
n0
Ec
g c E f F E dE
半导体物理与器件
EC EV kT NV EF ln 2 2 NC
kT NV 3 Emidgap ln Emidgap kT ln * 2 NC 4 mn
m p*
半导体物理与器件
当空穴有效质量大时，相对应价带有效状态密度大， 因而费米能级向导带偏移以保证导带电子与价带空穴 相等。相反亦然 * *
h
3
Ec EF 1/ 2 exp 0 exp d kT
半导体物理与器件
因而：
Ec EF exp kT Ec EF N c exp kT 2 mn kT n0 2 2 h
常温下（300K）：
指数项里的分子总 为负数，这保证了 指数项小于1，对应 于载流子浓度小于 状态密度的事实
n型半导体：n0>p0 p型半导体：n0<p0
n0 p0 ni 2
非简并半导体的载流子浓度乘积只与本征材料有关
半导体物理与器件
本征载流子浓度
本征半导体：不含有杂质原子的半导体材料。本征半 导体中，载流子主要来源于本征激发。 本征半导体中导带电子浓度ni等于价带空穴浓度pi， 称为本征载流子浓度，用ni来表示 本征激发的过程同时产生一个电子和一个空穴 本征半导体的费米能级称为本征费米能级EFi。 在本征半导体中，电中性条件：no po
电子浓度 根据状态密度和分布函数的定义，我们知道电子浓度 的能量分布为：
n E gc E f F E
对应于该能量状态被的占 对应于该能量的状态密度 据几率 则整个导带范围内的电子浓度为：
Ec '
n0
Ec
g c E f F E dE
半导体物理与器件
EC EV kT NV EF ln 2 2 NC
kT NV 3 Emidgap ln Emidgap kT ln * 2 NC 4 mn
m p*
半导体物理与器件
当空穴有效质量大时，相对应价带有效状态密度大， 因而费米能级向导带偏移以保证导带电子与价带空穴 相等。相反亦然 * *
h
3
Ec EF 1/ 2 exp 0 exp d kT
半导体物理与器件
因而：
Ec EF exp kT Ec EF N c exp kT 2 mn kT n0 2 2 h
常温下（300K）：
指数项里的分子总 为负数，这保证了 指数项小于1，对应 于载流子浓度小于 状态密度的事实
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*3 2 ) E E dN(2m n F 1 2 dn 4 exp( )( E Ec ) dE 0 3 V h k T 0
对上式从导带底Ec到导带顶Ec‘ 积分，得到平衡态非简并半
导体导带电子浓度
(2m ) n 4 0 h (2m ) 4 π h
22 1 2 ( 8s m m ) dZ ( E ) 1 2 l g ( E ) 4 V t ( E Ec ) C 3 dE h
* 2 2 1 3 m 令m n (s tm l ) ，称mn*为导带底电子状态密度有效质量，则
* 3 2 (2 m ) dZ(E) n 1 2 g (E) 4 πV (E Ec ) C 3 dE h
1. k空间量子态密度
kx，ky，kz在空间取值是均匀分布的，k空间每个允许的 k值所占体积为 1/(1/V)=V 。
1 1 1 1 ，那么允许k值的密度为 L1 L2 L3 V
由于每个k值可容纳自旋方向相反的两个电子，所以考虑 自旋k空间电子的量子态密度是2V。
2. 状态密度
Si、Ge在导带底附近的E(k)~k关系为
同理，对近似球形等能面的价带顶附近，起作用的是极值 相互重合的重空穴(mp)h 和轻空穴(mp)l两个能带，故价带顶 附近状态密度 gv(E)为两个能带状态密度之和
*) 3 2 (2m p 1 2 g (E) 4 V (Ev E) V 3 h
3 2 3 22 * 3 其中 m ，称为价带顶空穴状态密度 m [( m ) ( m ) ] p dp pl ph
通常将服从玻耳兹曼统计规律的半导体称为非简并半导体； 而将服从费米统计分布规律的半导体称为简并半导体。
四、半导体中导带电子和价带空穴浓度
导带底附近能量E→E+dE区间有dZ(E)=gc(E)dE个量子态， 而电子占据能量为E的量子态几率为f(E)，对非简并半导体，该
能量区间单位体积内的电子数即电子浓度n0为
EF就成为量子态是否被电子占据的分界线：
1) 能量高于费米能级的量子态基本是空的； 2) 能量低于费米能级的量子态基本是满的； 3) 能量等于费米能级的量子态被电子占据的几率是50%。
三、玻耳兹曼分布函数
费米分布函数中，若E-EF>>k0T，则分母中的1可以忽略，此时
E E E E E F F f ( E ) exp exp exp A exp B k T k T T T 0 0 0 0 k k
半导体中常见的是费米能级EF位于禁带之中，并且满足
Ec-EF>>k0T或EF-Ev>>k0T的条件。
因此对导带或价带中所Fra bibliotek量子态来说，电子或空穴都可以用 玻耳兹曼统计分布描述。
由于分布几率随能量呈指数衰减，因此导带绝大部分电子分 布在导带底附近，价带绝大部分空穴分布在价带顶附近，即 起作用的载流子都在能带极值附近。
3.6 非平衡载流子的寿命与复合理论
3.1 导带电子浓度与价带空穴浓度
要计算半导体中的导带电子浓度，必须先要知道导带中能
量间隔内有多少个量子态。
又因为这些量子态上并不是全部被电子占据，因此还要知
道能量为的量子态被电子占据的几率是多少。
将两者相乘后除以体积就得到区间的电子浓度，然后再由
导带底至导带顶积分就得到了导带的电子浓度。
半导体物理
SEMICONDUCTOR PHYSICS
School of Microelectronics
第三章 半导体中的平衡 与非平衡载流子
3.1 导带电子浓度与价带空穴浓度
3.2 本征载流子浓度与本征费米能级
3.3 杂质半导体的载流子浓度
3.4 简并半导体及其载流子浓度
3.5 非平衡载流子的产生与复合 准费米能级
上式就是电子的玻耳兹曼分布函数。
1 f(E) 1 E E 1exp F k0T
同理，当EF-E>>k0T时，上式转化为下面的空穴玻耳兹曼分布
E E E E E F F 1 f(E) exp exp exp Bexp T T k T k T 0 0 0 0 k k
能量为E的等能面在k空间所围成的s个旋转椭球体积内的量子
态数为
1 2 2 2 1 2 2m ( E Ec ) [2m ( E Ec )] ( 8m s m ) 4 4 t l t l 3 2 Z ( E ) 2Vs 2V ( E Ec ) 2 3 3 h h 3 h
则导带底（附近）状态密度为
2 2 2 2 k k k h x y z E ( k ) Ec 2 m m t l
导带底Ec不在k＝0处，且上述方程共有s个(Si的s=6，Ge的s=4)，
将上式变形
2 2 2 k k k y x z 1 2m 2m 2m t t l ( E Ec ) ( E Ec ) ( E Ec ) 2 2 2 h h h
一、状态密度
导带和价带是准连续的，定义单位能量间隔内的量 子态数为状态密度
g( E ) dZ(E) dE
为得到g(E) ，可以分为以下几步：
♦ 先计算出k空间中量子态密度；
♦ 然后计算出k空间能量为E的等能面在k空间围成的体
积，并和k空间量子态密度相乘得到Z(E)；
♦ 再按定义dZ/dE=g(E)求出g(E)。
有效质量。
二、Fermi分布函数
热平衡条件下半导体中电子按能量大小服从一定的统计分布 规律。能量为E的一个量子态被一个电子占据的几率为
1 f ( E) E EF 1 exp k0T
据上式，能量比EF高5k0T的量子态被电子占据的几率仅为0.7%；
而能量比EF低5k0T的量子态被电子占据的几率高达99.3%。 如果温度不很高，那么EF ±5k0T的范围就很小，这样费米能级
对上式从导带底Ec到导带顶Ec‘ 积分，得到平衡态非简并半
导体导带电子浓度
(2m ) n 4 0 h (2m ) 4 π h
22 1 2 ( 8s m m ) dZ ( E ) 1 2 l g ( E ) 4 V t ( E Ec ) C 3 dE h
* 2 2 1 3 m 令m n (s tm l ) ，称mn*为导带底电子状态密度有效质量，则
* 3 2 (2 m ) dZ(E) n 1 2 g (E) 4 πV (E Ec ) C 3 dE h
1. k空间量子态密度
kx，ky，kz在空间取值是均匀分布的，k空间每个允许的 k值所占体积为 1/(1/V)=V 。
1 1 1 1 ，那么允许k值的密度为 L1 L2 L3 V
由于每个k值可容纳自旋方向相反的两个电子，所以考虑 自旋k空间电子的量子态密度是2V。
2. 状态密度
Si、Ge在导带底附近的E(k)~k关系为
同理，对近似球形等能面的价带顶附近，起作用的是极值 相互重合的重空穴(mp)h 和轻空穴(mp)l两个能带，故价带顶 附近状态密度 gv(E)为两个能带状态密度之和
*) 3 2 (2m p 1 2 g (E) 4 V (Ev E) V 3 h
3 2 3 22 * 3 其中 m ，称为价带顶空穴状态密度 m [( m ) ( m ) ] p dp pl ph
通常将服从玻耳兹曼统计规律的半导体称为非简并半导体； 而将服从费米统计分布规律的半导体称为简并半导体。
四、半导体中导带电子和价带空穴浓度
导带底附近能量E→E+dE区间有dZ(E)=gc(E)dE个量子态， 而电子占据能量为E的量子态几率为f(E)，对非简并半导体，该
能量区间单位体积内的电子数即电子浓度n0为
EF就成为量子态是否被电子占据的分界线：
1) 能量高于费米能级的量子态基本是空的； 2) 能量低于费米能级的量子态基本是满的； 3) 能量等于费米能级的量子态被电子占据的几率是50%。
三、玻耳兹曼分布函数
费米分布函数中，若E-EF>>k0T，则分母中的1可以忽略，此时
E E E E E F F f ( E ) exp exp exp A exp B k T k T T T 0 0 0 0 k k
半导体中常见的是费米能级EF位于禁带之中，并且满足
Ec-EF>>k0T或EF-Ev>>k0T的条件。
因此对导带或价带中所Fra bibliotek量子态来说，电子或空穴都可以用 玻耳兹曼统计分布描述。
由于分布几率随能量呈指数衰减，因此导带绝大部分电子分 布在导带底附近，价带绝大部分空穴分布在价带顶附近，即 起作用的载流子都在能带极值附近。
3.6 非平衡载流子的寿命与复合理论
3.1 导带电子浓度与价带空穴浓度
要计算半导体中的导带电子浓度，必须先要知道导带中能
量间隔内有多少个量子态。
又因为这些量子态上并不是全部被电子占据，因此还要知
道能量为的量子态被电子占据的几率是多少。
将两者相乘后除以体积就得到区间的电子浓度，然后再由
导带底至导带顶积分就得到了导带的电子浓度。
半导体物理
SEMICONDUCTOR PHYSICS
School of Microelectronics
第三章 半导体中的平衡 与非平衡载流子
3.1 导带电子浓度与价带空穴浓度
3.2 本征载流子浓度与本征费米能级
3.3 杂质半导体的载流子浓度
3.4 简并半导体及其载流子浓度
3.5 非平衡载流子的产生与复合 准费米能级
上式就是电子的玻耳兹曼分布函数。
1 f(E) 1 E E 1exp F k0T
同理，当EF-E>>k0T时，上式转化为下面的空穴玻耳兹曼分布
E E E E E F F 1 f(E) exp exp exp Bexp T T k T k T 0 0 0 0 k k
能量为E的等能面在k空间所围成的s个旋转椭球体积内的量子
态数为
1 2 2 2 1 2 2m ( E Ec ) [2m ( E Ec )] ( 8m s m ) 4 4 t l t l 3 2 Z ( E ) 2Vs 2V ( E Ec ) 2 3 3 h h 3 h
则导带底（附近）状态密度为
2 2 2 2 k k k h x y z E ( k ) Ec 2 m m t l
导带底Ec不在k＝0处，且上述方程共有s个(Si的s=6，Ge的s=4)，
将上式变形
2 2 2 k k k y x z 1 2m 2m 2m t t l ( E Ec ) ( E Ec ) ( E Ec ) 2 2 2 h h h
一、状态密度
导带和价带是准连续的，定义单位能量间隔内的量 子态数为状态密度
g( E ) dZ(E) dE
为得到g(E) ，可以分为以下几步：
♦ 先计算出k空间中量子态密度；
♦ 然后计算出k空间能量为E的等能面在k空间围成的体
积，并和k空间量子态密度相乘得到Z(E)；
♦ 再按定义dZ/dE=g(E)求出g(E)。
有效质量。
二、Fermi分布函数
热平衡条件下半导体中电子按能量大小服从一定的统计分布 规律。能量为E的一个量子态被一个电子占据的几率为
1 f ( E) E EF 1 exp k0T
据上式，能量比EF高5k0T的量子态被电子占据的几率仅为0.7%；
而能量比EF低5k0T的量子态被电子占据的几率高达99.3%。 如果温度不很高，那么EF ±5k0T的范围就很小，这样费米能级