(完整版)二面角求解方法

二面角的作与求求角是每年高考必考内容之一，可以做为选择题，也可作为填空题，时常作为解答题形式出现，重点把握好二面角，它一般出现在解答题中。

下面就对求二面角的方法总结如下：1、定义法：在棱上任取一点，过这点在两个面内分别引棱的垂线，这两条射线所成的角就是二面角的平面角。

2、三垂线定理及逆定理法：自二面角的一个面上的一点向另一个面引垂线，再由垂足向棱作垂线得到棱上的点。

斜足与面上一点连线，和斜足与垂足连线所夹的角即为二面角的平面角。

3、作棱的垂面法:自空间一点作与棱垂直的平面，截二面角的两条射线所成的角就是二面角的平面角。

4、投影法：利用s投影面=s被投影面θcos 这个公式对于斜面三角形，任意多边形都成立，是求二面角的好方法。

尤其对无棱问题5异面直线距离法： EF 2=m 2+n 2+d 2－2mn θcos例1：若p 是ABC ∆所在平面外一点，而PBC ∆和ABC ∆都是边长为2的正三角形，PA=6,求二面角P-BC-A 的大小。

分析：由于这两个三角形是全等的三角形， 故采用定义法解：取BC 的中点E ，连接AE 、PEAC=AB ，PB=PC ∴AE ⊥ BC ，PE ⊥BC∴PEA ∠为二面角P-BC-A 的平面角在PAE ∆中AE=PE=3，PA=6PCBAE∴PEA ∠=900∴二面角P-BC-A 的平面角为900。

例2：已知ABC ∆是正三角形，⊥PA 平面ABC 且PA=AB=a,求二面角A-PC-B 的大小。

[思维]二面角的大小是由二面角的平面角 来度量的，本题可利用三垂线定理（逆）来作 平面角，还可以用射影面积公式或异面直线上两点 间距离公式求二面角的平面角。

解1：（三垂线定理法）取AC 的中点E ，连接BE ，过E 做EF ⊥PC,连接BF ⊥PA 平面ABC ，PA ⊂平面PAC∴平面PAC ⊥平面ABC, 平面PAC 平面ABC=AC∴BE ⊥平面PAC由三垂线定理知BF ⊥PC∴BFE ∠为二面角A-PC-B 的平面角设PA=1,E 为AC 的中点，BE=23,EF=42∴tan BFE ∠=6=EFBE∴BFE ∠=arctan 6解2：（三垂线定理法）取BC 的中点E ，连接AE ，PE 过A 做AF ⊥PE, FM ⊥PC,连接FMAB=AC,PB=PC ∴AE ⊥BC,PE ⊥BC∴ BC ⊥平面PAE,BC ⊂平面PBC∴平面PAE ⊥平面PBC, 平面PAE 平面PBC=PE由三垂线定理知AM ⊥PCPC BAEF MEPCBAF图1图2∴FMA ∠为二面角A-PC-B 的平面角设PA=1，AM=22,AF=721.=PE AE AP∴sin FMA ∠=742=AM AF ∴FMA ∠=argsin742解3：（投影法）过B 作BE ⊥AC 于E,连结PE ⊥PA 平面ABC ，PA ⊂平面PAC∴平面PAC ⊥平面ABC, 平面PAC 平面ABC=AC∴BE ⊥平面PAC∴PEC ∆是PBC ∆在平面PAC 上的射影设PA=1,则PB=PC=2,AB=141=∆PEC S ,47=∆PBC S由射影面积公式得，77cosarg ,77=∴==∆∆θθPBC PEC S S COS , 解4：（异面直线距离法）过A 作AD ⊥PC,BE ⊥PC 交PC 分别于D 、E 设PA=1,则AD=22,PB=PC=2 ∴BE=PC S PBC 21∆=414,CE=42,DE=42由异面直线两点间距离公式得 AB 2=AD 2+BE 2+DE 2-2ADBE θCOS ,θCOS =77cos arg ,77=∴θ [点评]本题给出了求平面角的几种方法，应很好掌握。

PCAEEPCBA D图3图4例3：二面角βα--EF 的大小为 120，A 是它内部的一点，AB ⊥α，AC ⊥β,B 、C 为垂足。

（1） 求证：平面ABC ⊥α,平面ABC ⊥β（2） 当AB=4cm,AC=6cm 时求BC 的长及A 到EF 的距离。

分析：本题采用作棱的垂面法找二面角的平面角 解：（1）设过 ABC 的平面交平面α于BD,交平面β于CDAB ⊥α,AB ⊂平面ABC∴平面ABC ⊥α,同理平面ABC ⊥β（2） AB ⊥α∴AB ⊥EF同理AC ⊥EF∴EF ⊥平面ABDC∴BD ⊥EF,CD ⊥EF∴BDC ∠= 120∴ 60=∠BAC∴BC=72606426422=⨯⨯-+ COS cm有正弦定理得点A 到EF 的距离为：d=321460sin =BC cm α《二面角的求法》一、复习引入：1、什么是二面角及其平面角？范围是什么？ABC βDωθαn①从一条直线出发的两个半平面所成的图形叫做二面角，记作：二面角α—l —β。

②以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。

③范围： [0,]θπ∈2、二面角出现的状态形式有哪些？竖立式 横卧式2、二面角的类型及基本方法 （1）四种常规几何作求法定义法 垂面法；三垂线法； 射影面积法cos θ=S 射影多边形/S 多边形（2）向量法：①设m 和n 分别为平面βα,的法向量，二面角βα--l 的大小为θ，向量m 、n 的夹角为ω，如图：ωθαnn结论①：设m 和n 分别为平面βα,的法向量，二面角βα--l 的大小为θ，向量 m 、n 的夹角为ω，则有θωπ+=或 θω=结论②：一般地，若设m n ,分别是平面βα,的法向量，则平面α与平面β所成的二面角θ的计算公式是：mn m n ⋅⋅=arccos θ 时）当二面角为锐角、直角(或mn m n ⋅⋅-=arccos πθ 当二面角为钝角时）(，其中锐角、钝角根据图形确定。

二、例题讲解：以锥体为载体，对求角的问题进行研究例1、如图,在底面是一直角梯形的四棱锥S-ABCD 中， AD ∥BC,∠ABC=90°，SA ⊥平面AC ，SA=AB=BC=1，AD=21.求面SCD 与面SAB 所成的角的大小。

解法1：可用射影面积法来求，这里只要求出S △SCD 与S △SAB 即可， 故所求的二面角θ应满足cos θ==111212322⨯⨯⨯⨯=63。

点评：（1）若利用射影面积法求二面角的大小，作为解答题，高考中是要扣分的，因为它不是定理.（2）由学生讨论解决，教师根据学生的解答情况进行引导、明确学生的解答。

解法2：（三垂线定理法）解：延长CD 、BA 交于点E ，连结SE ，SE 即平面CSD 与平面BSA 的交线. 又∵DA ⊥平面SAB ，∴过A 点作SE 的垂线交于F .如图. ∵AD ＝21BC 且AD ∥BC ∴△ADE ∽△BCE ∴EA ＝AB ＝SA又∵SA ⊥AE ∴△SAE 为等腰直角三角形，F 为中点，222221===SA SE AF 又∵DA ⊥平面SAE ，AF ⊥SE ACD 图1SDCBA∴由三垂线定理得DF ⊥SE ∴∠DFA 为二面角的平面角, ∴tan DFA ＝22=FA DA 即所求二面角的正切值. 评注：常规法求解步骤：一作：作出或找出相应空间角；二证：通过简单的判断或推理得到相应角；三求：通过计算求出相应的角。

点评：是利用三垂线的定理及其逆定理来证明线线垂直，来找到二面角的平面角的方法。

这种方法关键是找垂直于二面角的面的垂线。

此方法是属于较常用的。

总之，在运用三垂线找平面角时，找垂线注意应用已知的条件和有关垂直的判定和性质定理，按三垂线的条件，一垂线垂直二面角的一个面，还有垂直于棱的一条垂线。

且两垂线相交，交点在二面角的面内。

解法3：（向量法）解：如图，建立空间直角坐标系，则A(0，0，0)，B(0，1，0)，C(-1，1，0)，D(0，21，0)，S(0，0，1)，易知平面SAB 的法向量为m =(0，21，0)；设平面SDC 的法向量为n =(x ，y ，z)，而DC =(-1，21，0)，DS =(0，12-， 1)，∵n ⊥面SDC ，∴n ⊥DC ，n ⊥DS ，n 1⊥DC .∴⎧⎨⎩00n DC n DS •=•=得102102x y y z ⎧-+=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩令1x =得：2,y =1z =。

即n =(1，2，1) ∵面SAB 与面SCD 所成角的二面角为锐角θ，cos ,n m ∴<>=m nm n•=112=36∴θ=arccos 36.故面SCD 与面SBA 所成的角大小为arccos 36.点评：通过此例可以看出：求二面角大小（空间面面角等于二面角或其补角）的常规方法是构造三角形求解，其关键又是作出二面角的平面角，往往很不简单。

利用建立空间直角坐标系，避开了“作、证”两个基本步骤，通过求两个平面法向量的夹角来达到解决问题的目的，解题过程实现了程序化，是一种有效方法。

搭建平台，自主交流，数形结合，扫清了学生的思维障碍，更好地突破了教学的重难点，体验数学的简约美，一题多解是训练学生思维的有效形式。

以柱体为载体，对求角的问题进行研究例2、已知D 、E 分别是正三棱柱ABC 一A 1B 1C 1的侧棱AA 1和BB 1上的点，且A 1D=2B 1E=B 1C 1.求过D 、E 、C 1的平面与棱柱的下底面所成二面角的大小.（几何法）解：在平面M 1B 1B 内延长DE 和A 1B 1交于F ，则F 是面DEF 与面A 1B 1C 1的公共点，C 1也是这两个面的公共点，连结C 1F ，C 1F 为这两个面的交线，所求的二面角就是D-C 1F-A 1. ∵A 1D ∥B 1E ，且A 1D=2B 1E ， ∴E 、B 1分别为DF 和A 1F 的中点. ∵A 1B 1=B 1F=B 1C 1，∴FC 1⊥A 1C 1.又面AA 1C 1C ⊥面A 1B 1C 1，FC 1在面A 1B 1C 1内， ∴FC 1⊥面AA 1C 1C.而DC 1在面AA 1C 1C 内，∴FC 1⊥DC 1.∴∠DC 1A 1是二面角D-FC 1-A 1的平面角.由已知A 1D=B 1C=A 1C 1，∴∠DC 1A 1=4π.故所求二面角的大小为4π.法2：（向量法）解：建立如图的空间直角坐标系A xyz -，设112B C =，则1(3B ，1，0），E(3,1,1),1C (0,2,0),D(0,0,2),易知平面A 1B 1C 1的法向量为n =(0,0,1), 设平面DEC 1的法向量为m =(x ，y ，z), 而DE =(3,1,-1),1DC =(0,2,-2),由100m DE m DC ⎧•=⎪⎨•=⎪⎩∴30220x y z y z ⎧+-=⎪⎨-=⎪⎩即y z =，不妨设0x =，得1y z ==∴m =（0，1，1）cos ,n m ∴<>=22，∵面A 1B 1C 1与面DEC 1所成角的二面角为锐角θ，4πθ∴=。