(完整版)二项式定理典型例题解析
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二项式定理 概 念 篇
【例1】求二项式(a -2b )4的展开式. 分析:直接利用二项式定理展开.
解:根据二项式定理得(a -2b )4=C 04a 4+C 14a 3(-2b )+C 24a 2(-2b )2+C 34a (-2b )3
+C 44(-
2b )4
=a 4-8a 3b +24a 2b 2-32ab 3+16b 4.
说明:运用二项式定理时要注意对号入座,本题易误把-2b 中的符号“-”忽略.
【例2】展开(2x -
223x
)5
. 分析一:直接用二项式定理展开式.
解法一:(2x -223x )5=C 05(2x )5+C 15(2x )4(-223x )+C 25(2x )3(-223x )2+C 35(2x )2(-2
23x )3+ C 4
5 (2x )(-223x )4+C 55(-2
23x
)5 =32x 5-120x 2+x 180-4135x
+78405
x -10
32243x . 分析二:对较繁杂的式子,先化简再用二项式定理展开.
解法二:(2x -223x
)5=105
332)34(x x
=10321x
[C 05(4x 3)5+C 15(4x 3)4(-3)+C 25(4x 3)3(-3)2+C 35(4x 3)2(-3)3+C 45(4x 3)(-3)4+ C 55(-3)5
]
=
10
321
x
(1024x 15-3840x 12+5760x 9-4320x 6+1620x 3-243) =32x 5-120x 2+x 180-4135x
+78405
x -10
32243x . 说明:记准、记熟二项式(a +b )n 的展开式是解答好与二项式定理有关问题的前提条件.对较复杂的二项式,有时先化简再展开会更简便.
【例3】在(x -3)10的展开式中,x 6的系数是 .
解法一:根据二项式定理可知x 6的系数是C 4
10.
解法二:(x -3)10的展开式的通项是T r +1=C r 10x 10-
r (-3)r .
令10-r =6,即r =4,由通项公式可知含x 6项为第5项,即T 4+1=C 410x 6(-3)4=9C 410x 6. ∴x 6的系数为9C 410.
上面的解法一与解法二显然不同,那么哪一个是正确的呢?
问题要求的是求含x 6这一项系数,而不是求含x 6的二项式系数,所以应是解法二正确.
如果问题改为求含x 6的二项式系数,解法一就正确了,也即是C 4
10.
说明:要注意区分二项式系数与指定某一项的系数的差异.
二项式系数与项的系数是两个不同的概念,前者仅与二项式的指数及项数有关,与二项
式无关,后者与二项式、二项式的指数及项数均有关.
【例4】已知二项式(3x -
x
32)10
, (1)求其展开式第四项的二项式系数; (2)求其展开式第四项的系数; (3)求其第四项.
分析:直接用二项式定理展开式.
解:(3x -x 32)10的展开式的通项是T r +1=C r
10(3x )10-r (-x
32)r (r =0,1,…,10).
(1)展开式的第4项的二项式系数为C 3
10=120. (2)展开式的第4项的系数为C 31037(-
3
2)3
=-77760. (3)展开式的第4项为-77760(x )73
1
x ,即-77760x . 说明:注意把(3x -
x 32)10写成[3x +(-x 32)]10,从而凑成二项式定理的形式. 【例5】求二项式(x 2+x
21)10
的展开式中的常数项.
分析:展开式中第r +1项为C r
10(x 2)10-r (x
21)r ,要使得它是常数项,必须使“x ”的指
数为零,依据是x 0=1,x ≠0.
解:设第r +1项为常数项,则
T r +1=C r
10(x 2)
10-r
(
x
21)r =C r
10x r 2
5
20-(
21)r (r =0,1,…,10),令20-2
5
r =0,得r =8. ∴T 9=C 8
10(
21)8=256
45
. ∴第9项为常数项,其值为
256
45
. 说明:二项式的展开式的某一项为常数项,就是这项不含“变元”,一般采用令通项T r +1
中的变元的指数为零的方法求得常数项.
【例6】 (1)求(1+2x )7展开式中系数最大项; (2)求(1-2x )7展开式中系数最大项.
分析:利用展开式的通项公式,可得系数的表达式,列出相邻两项系数之间关系的不等式,进而求出其最大值.
解:(1)设第r +1项系数最大,则有⎪⎩⎪⎨⎧≥≥++--,
2C 2C ,
2C 2C 11771177r r r r r r r r
即⎪⎪⎩⎪
⎪⎨⎧--+≥-+--≥---,2!)17(!)1(!72!
)7(!!7,2!)17(!)1(!72!)7(!!711r r r r
r r r r r r r r