(完整版)二项式定理典型例题解析

合集下载
  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。

二项式定理 概 念 篇

【例1】求二项式(a -2b )4的展开式. 分析:直接利用二项式定理展开.

解:根据二项式定理得(a -2b )4=C 04a 4+C 14a 3(-2b )+C 24a 2(-2b )2+C 34a (-2b )3

+C 44(-

2b )4

=a 4-8a 3b +24a 2b 2-32ab 3+16b 4.

说明:运用二项式定理时要注意对号入座,本题易误把-2b 中的符号“-”忽略.

【例2】展开(2x -

223x

)5

. 分析一:直接用二项式定理展开式.

解法一:(2x -223x )5=C 05(2x )5+C 15(2x )4(-223x )+C 25(2x )3(-223x )2+C 35(2x )2(-2

23x )3+ C 4

5 (2x )(-223x )4+C 55(-2

23x

)5 =32x 5-120x 2+x 180-4135x

+78405

x -10

32243x . 分析二:对较繁杂的式子,先化简再用二项式定理展开.

解法二:(2x -223x

)5=105

332)34(x x

=10321x

[C 05(4x 3)5+C 15(4x 3)4(-3)+C 25(4x 3)3(-3)2+C 35(4x 3)2(-3)3+C 45(4x 3)(-3)4+ C 55(-3)5

=

10

321

x

(1024x 15-3840x 12+5760x 9-4320x 6+1620x 3-243) =32x 5-120x 2+x 180-4135x

+78405

x -10

32243x . 说明:记准、记熟二项式(a +b )n 的展开式是解答好与二项式定理有关问题的前提条件.对较复杂的二项式,有时先化简再展开会更简便.

【例3】在(x -3)10的展开式中,x 6的系数是 .

解法一:根据二项式定理可知x 6的系数是C 4

10.

解法二:(x -3)10的展开式的通项是T r +1=C r 10x 10-

r (-3)r .

令10-r =6,即r =4,由通项公式可知含x 6项为第5项,即T 4+1=C 410x 6(-3)4=9C 410x 6. ∴x 6的系数为9C 410.

上面的解法一与解法二显然不同,那么哪一个是正确的呢?

问题要求的是求含x 6这一项系数,而不是求含x 6的二项式系数,所以应是解法二正确.

如果问题改为求含x 6的二项式系数,解法一就正确了,也即是C 4

10.

说明:要注意区分二项式系数与指定某一项的系数的差异.

二项式系数与项的系数是两个不同的概念,前者仅与二项式的指数及项数有关,与二项

式无关,后者与二项式、二项式的指数及项数均有关.

【例4】已知二项式(3x -

x

32)10

, (1)求其展开式第四项的二项式系数; (2)求其展开式第四项的系数; (3)求其第四项.

分析:直接用二项式定理展开式.

解:(3x -x 32)10的展开式的通项是T r +1=C r

10(3x )10-r (-x

32)r (r =0,1,…,10).

(1)展开式的第4项的二项式系数为C 3

10=120. (2)展开式的第4项的系数为C 31037(-

3

2)3

=-77760. (3)展开式的第4项为-77760(x )73

1

x ,即-77760x . 说明:注意把(3x -

x 32)10写成[3x +(-x 32)]10,从而凑成二项式定理的形式. 【例5】求二项式(x 2+x

21)10

的展开式中的常数项.

分析:展开式中第r +1项为C r

10(x 2)10-r (x

21)r ,要使得它是常数项,必须使“x ”的指

数为零,依据是x 0=1,x ≠0.

解:设第r +1项为常数项,则

T r +1=C r

10(x 2)

10-r

(

x

21)r =C r

10x r 2

5

20-(

21)r (r =0,1,…,10),令20-2

5

r =0,得r =8. ∴T 9=C 8

10(

21)8=256

45

. ∴第9项为常数项,其值为

256

45

. 说明:二项式的展开式的某一项为常数项,就是这项不含“变元”,一般采用令通项T r +1

中的变元的指数为零的方法求得常数项.

【例6】 (1)求(1+2x )7展开式中系数最大项; (2)求(1-2x )7展开式中系数最大项.

分析:利用展开式的通项公式,可得系数的表达式,列出相邻两项系数之间关系的不等式,进而求出其最大值.

解:(1)设第r +1项系数最大,则有⎪⎩⎪⎨⎧≥≥++--,

2C 2C ,

2C 2C 11771177r r r r r r r r

即⎪⎪⎩⎪

⎪⎨⎧--+≥-+--≥---,2!)17(!)1(!72!

)7(!!7,2!)17(!)1(!72!)7(!!711r r r r

r r r r r r r r

相关文档
最新文档