2018年高考二项式定理十大典型问题及例题
二项式定理十大典型例题配套练习
精锐教育学科教师辅导讲义学员编号：年级：高二课时数：3学员姓名：辅导科目：数学学科教师：教学内容1 •二项式定理：n On 1 n 1 r n r r n n z(a b) C n a C n a b L C n a b L C n b (n N ),2 .基本概念：①二项式展开式：右边的多项式叫做(a b)n的二项展开式。
②二项式系数：展开式中各项的系数C；(r 0,1,2, ,n).③项数：共(r 1)项，是关于a与b的齐次多项式④通项：展开式中的第r 1项C：a n r b r叫做二项式展开式的通项。
用T r 1 C：a n r b r表示。
3 .注意关键点：①项数：展开式中总共有(n 1)项。
②顺序：注意正确选择a ,b ,其顺序不能更改。
(a b)n与(b a)n是不同的。
③指数：a的指数从n逐项减到0，是降幕排列。
b的指数从0逐项减到n，是升幕排列。
各项的次数和等于n.④系数：注意正确区分二项式系数与项的系数，二项式系数依次是C0 C1 C2,C n r,,C；.项的系数是a与b的系数(包括二项式系数)。
4 .常用的结论：令a 1,b x, (1 x)n C；C：x C；x2 L C；x r L C；x n(n N )n 0 1 2 2 r r 令a 1,b x, (1 x) C n C n X C n X L C n X Ln n n(1) C n X (n N )5.性质：①二项式系数的对称性：与首末两端“对距离”的两个二项式系数相等, 即Cn c；,…Cn k C n k 1②二项式系数和：令a b 1,则二项式系数的和为C0 C1 C,n2L C n r L C n n2n,变形式C n C；L C n L C：2n 1。
(a (x 令X 令X nx)a) 1, C 0a n x oC 0a 0 则a o C 1a n 1x C ：ax n 1 C ；a nC 2a 2x n 0 nC n a xn n 0 C n a xa oa 1xa i a 2 a s L 1,则 a o a 2 a s ②得,a a 2 a 4L a n②得,a 1a s a 5La n2a 2x 2 a 2x na n X1a n X n L ①a 1x a o1)n(a 1)n(a* (a 1)A (奇数项的系数和a n (a L a n2(a* (a {(偶数项的系数和⑤二项式系数的最大项：如果二项式的幕指数 n 是偶数时，则中间一项的二项式系数nC n 2取得最大值。
二项式定理典型例题(含解答)
二项式定理典型例题典型例题一例1 在二项式nx x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+421的展开式中前三项的系数成等差数列，求展开式中所有有理项．分析：典型的特定项问题，涉及到前三项的系数及有理项，可以通过抓通项公式解决．解：二项式的展开式的通项公式为：4324121C 21)(C rn r r n rr n r n r x x x T --+=⎪⎭⎫ ⎝⎛= 前三项的.2,1,0=r 得系数为：)1(8141C ,2121C ,123121-=====n n t n t t nn ， 由已知：)1(8112312-+=+=n n n tt t ，∴8=n 通项公式为1431681,82,1,021C +-+==r rr rr T r x T 为有理项，故r 316-是4的倍数，∴.8,4,0=r 依次得到有理项为228889448541256121C ,83521C ,x x T x x T x T =====-． 说明：本题通过抓特定项满足的条件，利用通项公式求出了r 的取值，得到了有理项．类似地，1003)32(+的展开式中有多少项是有理项？可以通过抓通项中r 的取值，得到共有典型例题四例4（1）求103)1()1(x x +-展开式中5x 的系数；（2）求6)21(++xx 展开式中的常数项． 分析：本题的两小题都不是二项式展开，但可以转化为二项式展开的问题，（1）可以视为两个二项展开式相乘；（2）可以经过代数式变形转化为二项式．解：（1）103)1()1(x x +-展开式中的5x 可以看成下列几种方式得到，然后合并同类项：用3)1(x -展开式中的常数项乘以10)1(x +展开式中的5x 项，可以得到5510C x ；用3)1(x -展开式中的一次项乘以10)1(x +展开式中的4x 项可得到54104410C 3)C )(3(x x x -=-；用3)1(x -中的2x 乘以10)1(x +展开式中的3x 可得到531033102C 3C 3x x x =⋅；用 3)1(x -中的3x 项乘以10)1(x +展开式中的2x 项可得到521022103C C 3x x x -=⋅-，合并同类项得5x 项为：5521031041051063)C C 3C C (x x -=-+-．（2）2121⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++x x x x 1251)21(⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++x x x x ．由121⎪⎪⎭⎫⎝⎛+x x 展开式的通项公式r rrrrr x x T --+=⎪⎭⎫ ⎝⎛=61212121C 1)2(C ，可得展开式的常数项为924C 612=．说明：问题（2）中将非二项式通过因式分解转化为二项式解决．这时我们还可以通过合并项转化为二项式展开的问题来解决．典型例题五例5 求62)1(x x -+展开式中5x 的系数．分析：62)1(x x -+不是二项式，我们通过22)1(1x x x x -+=-+或)(12x x -+展开． 解：方法一：[]6262)1()1(x x x x -+=-+ -+++-+=44256)1(15)1(6)1(x x x x x其中含5x 的项为55145355566C 15C 6C x x x x =+-．含5x 项的系数为6．方法二：[]6262)(1)1(x x x x -+=-+其中含5x 的项为555566)4(15)3(20x x x x =+-+-．∴5x 项的系数为6．方法3：本题还可通过把62)1(x x -+看成6个21x x -+相乘，每个因式各取一项相乘可得到乘积的一项，5x 项可由下列几种可能得到．5个因式中取x ，一个取1得到556C x ．3个因式中取x ，一个取2x -，两个取1得到)(C C 231336x x -⋅⋅． 1个因式中取x ，两个取2x -，三个取1得到222516)(C C x x -⋅⋅． 合并同类项为5525161336566)C C C C (C x x =+-，5x 项的系数为6．典型例题六例6 求证：（1）1212C C 2C -⋅=+++n n n n n n n ；（2）)12(11C 11C 31C 21C 1210-+=++++++n n nn n n n n ． 分析：二项式系数的性质实际上是组合数的性质，我们可以用二项式系数的性质来证明一些组合数的等式或者求一些组合数式子的值．解决这两个小题的关键是通过组合数公式将等式左边各项变化的等数固定下来，从而使用二项式系数性质nn n n n n 2C C C C 210=++++ ．解：（1）11C )!()!1()!1()!()!1(!)!(!!C --=+--⋅=--=-⋅=k n kn n k n k n n k n k n k n k n k k ∴左边111101C C C ----+++=n n n n n n n =⋅=+++=-----11111012)C C C (n n n n n n n 右边．（2）)!()!1(!)!(!!11C 11k n k n k n k n k k k n --=-⋅+=+11C 11)!()!1()!1(11+++=-++⋅+=k n n k n k n n ． ∴左边112111C 11C 11C 11++++++++++=n n n n n n n =-+=++++=+++++)12(11)C C (C 111112111n n n n n n n 右边． 说明：本题的两个小题都是通过变换转化成二项式系数之和，再用二项式系数的性质求解．此外，有些组合数的式子可以直接作为某个二项式的展开式，但这需要逆用二项式定理才能完成，所以需仔细观察，我们可以看下面的例子：求10C 2C 2C 2C 22108107910810109+++++ 的结果．仔细观察可以发现该组合数的式与10)21(+的展开式接近，但要注意：10101099102210110010102C 2C 2C 2C C )21(⋅+⋅++⋅+⋅+=+从而可以得到：)13(21C 2C 2C 21010101099108210-=++++ ． 典型例题七例7 利用二项式定理证明：98322--+n n 是64的倍数．分析：64是8的平方，问题相当于证明98322--+n n 是28的倍数，为了使问题向二项式定理贴近，变形1122)18(93++++==n n n ，将其展开后各项含有k 8，与28的倍数联系起来．解：∵98322--+n n 98)18(98911--+=--=++n n n n64)C 8C 8(112111⋅++⋅+=-+-++n n n n n 是64的倍数．说明：利用本题的方法和技巧不仅可以用来证明整除问题，而且可以用此方程求一些复杂的指数式除以一个数的余数．典型例题八例8 展开52232⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x ．分析1：用二项式定理展开式．解法1：52232⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x 2232524150250523)2(23)2(23)2(⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=x x C x x C x x C 分析2：对较繁杂的式子，先化简再用二项式定理展开．解法2：10535232)34(232x x x x -=⎪⎭⎫ ⎝⎛-233254315530510)3()4()3()4()4([321-+-+=x C x C x C x 10742532243840513518012032xx x x x x -+-+-=． 说明：记准、记熟二项式nb a )(+的展开式，是解答好与二项式定理有关问题的前提条件．对较复杂的二项式，有时先化简再展开会更简便．典型例题九例9 若将10)(z y x ++展开为多项式，经过合并同类项后它的项数为（ ）． A ．11 B ．33 C ．55 D ．66 分析：10)(z y x ++看作二项式10])[(z y x ++展开．解：我们把z y x ++看成z y x ++)(，按二项式展开，共有11“项”，即∑=-⋅+=++=++10010101010)(])[()(k k k kz y x C z y x z y x ．这时，由于“和”中各项z 的指数各不相同，因此再将各个二项式ky x -+10)(展开，不同的乘积k kk z y x C ⋅+-1010)(（10,,1,0 =k ）展开后，都不会出现同类项． 下面，再分别考虑每一个乘积k kk z y x C ⋅+-1010)(（10,,1,0 =k ）．其中每一个乘积展开后的项数由ky x -+10)(决定，而且各项中x 和y 的指数都不相同，也不会出现同类项．故原式展开后的总项数为66191011=++++ ，∴应选D ．典型例题十例10 若nx x ⎪⎭⎫⎝⎛-+21的展开式的常数项为20-，求n ．分析：题中0≠x ，当0>x 时，把nx x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-+21转化为nn x x x x 2121⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+；当0<x 时，同理nn n x x x x 21)1(21⎪⎭⎫ ⎝⎛----=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+．然后写出通项，令含x 的幂指数为零，解出n ． 解：当0>x 时nn x x x x 2121⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+，其通项为rn r n r r rn r n r x C xx C T 222221)()1()1()(--+-=-=，令022=-r n ，得r n =， ∴展开式的常数项为n nnC2)1(-；当0<x 时，nn n x x x x 21)1(21⎪⎭⎫ ⎝⎛----=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+， 同理可得，展开式的常数项为n n n C 2)1(-．无论哪一种情况，常数项均为nn n C 2)1(-． 令20)1(2-=-nn n C ，以 ,3,2,1=n ，逐个代入，得3=n ．典型例题十一例11 1031⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x 的展开式的第3项小于第4项，则x 的取值范围是______________． 分析：首先运用通项公式写出展开式的第3项和第4项，再根据题设列出不等式即可． 解： 1031⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x 有意义必须0>x ；依题意有43T T <即3373102382101)(1)(⎪⎭⎫ ⎝⎛<⎪⎭⎫ ⎝⎛x x C x x C ．∴31123891012910xx ⨯⨯⨯⨯⨯<⨯⨯（∵0>x ）．解得5648980<<x ．∴x 的取值范围是⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<5648980x x ．∴应填：5648980<<x ．典型例题十二例12 已知n xx)1(2log +的展开式中有连续三项的系数之比为321∶∶，这三项是第几项？若展开式的倒数第二项为112，求x 的值．解：设连续三项是第k 、1+k 、2+k 项（+∈N k 且1>k ），则有32111∶∶∶∶=+-k n k n k n C C C ， 即321!)1)(1(!!)(!!!)1)(1(!∶∶∶∶=--+-+--k n k n k n k n k n k n ．∴321)1(1)(1)1)((1∶∶∶∶=+-+--k k k n k k n k n ． ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+=+-⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+=+---32)()1(21132)()1(21)1)(()(k n k k n k k n k k k k n k n k n k 14=⇒n ，5=k 所求连续三项为第5、6、7三项．又由已知，1122log 1314=xx C ．即82log =x x ．两边取以2为底的对数，3)(log 22=x ，3log 2±=x ，∴32=x ，或32-=x ．说明：当题目中已知二项展开式的某些项或某几项之间的关系时，常利用二项式通项，根据已知条件列出某些等式或不等式进行求解．典型例题十三例13 nx )21(+的展开式中第6项与第7项的系数相等，求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项． 分析：根据已知条件可求出n ，再根据n 的奇偶性；确定二项式系数最大的项．解：556)2(x C T n =，667)2(x C T n =，依题意有8226655=⇒=n C C n n ． ∴8)21(x +的展开式中，二项式系数最大的项为444851120)2(x x C T ==．设第1+r 项系数最大，则有65222211881188≤≤⇒⎪⎩⎪⎨⎧⋅≥⋅⋅≥⋅++--r C C C C r r r r r r r r ． ∴5=r 或6=r （∵{}8,,2,1,0 ∈r ）．∴系娄最大的项为：561792x T =，671792x T =．说明：(1)求二项式系数最大的项，根据二项式系数的性质，n 为奇数时中间两项的二项式系数最大，n 为偶数时，中间一项的二项式系数最大．(2)求展开式中系数最大项与求二项式系数最大项是不同的，需根据各项系数的正、负变化情况，一般采用列不等式，解不等式的方法求得．典型例题十四例14 设nm x x x f )1()1()(+++=(+∈N n m ,)，若其展开式中关于x 的一次项的系数和为11，问n m ,为何值时，含2x 项的系数取最小值？并求这个最小值．分析：根据条件得到2x 的系数关于n 的二次表达式，然后用二次函数性质探讨最小值．解：1111=+=+m n C C n m ．211)(21222222-+=-+-=+n m n n m m C C n m499)211(55112211022+-=+-=-=n n n mn ．∵+∈N n ， ∴5=n 或6，6=m 或5时，2x 项系数最小，最小值为25． 说明：二次函数499)211(2+-=x y 的对称轴方程为211=x ，即5.5=x ，由于5、6距5.5等距离，且对+∈N n ，5、6距5.5最近，所以499)211(2+-n 的最小值在5=n 或6=n 处取得． 典型例题十五例15 若0166777)13(a x a x a x a x ++++=- ，求(1) 721a a a +++ ；(2) 7531a a a a +++；(3) 6420a a a a +++．解：(1)令0=x ，则10-=a ，令1=x ，则128270167==++++a a a a ． ①∴129721=+++a a a ．(2)令1-=x ，则701234567)4(-=+-+-+-+-a a a a a a a a ②由2②①-得：8256]4128[2177531=--=+++）（a a a a (3)由2②①+得：6420a a a a +++][210123456701234567）（）（a a a a a a a a a a a a a a a a +-+-+-+-++++++++=8128])4(128[217-=-+=． 说明：（1）根据问题恒等式特点来用“特殊值”法．这是一种重要方法，它适用于恒等式．(2)一般地，对于多项式nn n x a x a x a a q px x g ++++=+= 2210)()(，)(x g 的各项的系数和为)1(g ：)(x g 的奇数项的系数和为)]1()1([21-+g g ．)(x g 的偶数项的系数和为)]1()1([21--g g ．典型例题十六例16 填空：(1) 3230-除以7的余数_____________；(2) 155555+除以8的余数是___. 分析(1)：将302分解成含7的因数，然后用二项式定理展开，不含7的项就是余数．解：3230-3)2(103-=3)8(10-=3)17(10-+=37771010910911010010-++++=C C C C又∵余数不能为负数，需转化为正数。
完整版二项式定理高考题带答案
1.2018 年全国卷Ⅲ理】的展开式中的系数为A. 10B. 20C. 40D. 80【答案】C【解析】分析：写出，然后可得结果详解：由题可得，令, 则，所以故选 C.2. 【2018 年浙江卷】二项式的展开式的常数项是___________．．【答案】7【解析】分析: 先根据二项式展开式的通项公式写出第r +1 项，再根据项的次数为零解得r ，代入即得结果.详解：二项式的展开式的通项公式为,令得，故所求的常数项为3. 【2018 年理数天津卷】在的展开式中，的系数为____________.【答案】决问题的关键．4．【山西省两市2018 届第二次联考】若二项式中所有项的系数之和为，所有项的系数的绝对值之和为，则的最小值为（）A. 2B.C.D.【答案】B5．【安徽省宿州市2018 届三模】的展开式中项的系数为__________．．【答案】-132【解析】分析：由题意结合二项式展开式的通项公式首先写出展开式，然后结合展开式整理计算即可求得最终结果. 详解：的展开式为：，当，时，，当，时，，据此可得：展开式中项的系数为.6.【2017 课标1，理6】(11 6 展开式中 2的系数为x 2 )(1 x) xA．15 B．20C．30D．35【答案】 C【解析】试题分析：因为(112 )(1x)6 1 (1 x)612 (1 x)6，则(1 x)6展开式中含x2的项为xx1 C62x215 x2，12(1 x) 6展开式中含x2的项为12C64 x4 15x2，故x2前系数为xx15 15 30 ，选 C.情况，尤其是两个二项式展开式中的r 不同.7. 【2017 课标3，理4】x y 2x5y的展开式中x 3y3的系数为A．80B．40C．40D．80【答案】 C【解析】8. 【2017 浙江，13 】已知多项式x 13x 2 2= x5 a1x4a2 x3a3x2a4 x1a5，则a4=________，a5=________．．【答案计数.9.【2017 山东，理11】已知 1 3x n254 ，则n.的展开式中含有x 项的系数是【答案】 4C nr rC nr 3r x r，令r2 得：【解析】试题分析：由二项式定理的通项公式r 1 3xC n232 54 ，解得n 4【考点】二项式定理10.【2015 高考陕西，理4】二项式( x1)n (n N ) 的展开式中x2的系数为15，则n（）A．4B．5C．6D．7【答案C【解析】二项式x1 n的展开式的通项是r 1C rn x r，令r2 得x2的系数是C 2n，因x2的系数为15，所以C 2n15 ，即n2n 300 ，解得：n6 或n5 ，因为n，所以n6 ，故选C．【考点定位】二项式定理．【名师点晴】本题主要考查的是二项式定理，属于容易题．解题时一定要抓住重要条件“n”，否则很容易出现错误．解本题需要掌握的知识点是二项式定理，即二项式 a b n的展开式的通项是k 1C nk a n k b k ．11.【2015 高考新课标1，理10】( x2 x y)5的展开式中，x5 y2的系数为( ) （A）10 （B）20（C）30（D）60【答案】C12.【2015 高考湖北，理3】已知(1x) n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为（） A. 212B．211 C．210D．29【答案】D【解析】因为(1 x)n的展开式中第4 项与第8 项的二项式系数相等，所以C n3 C n7，解得n 10 ，所以二项式(1x)10中奇数项的二项式系数和为121029.21513.【2015 高考重庆，理12】x3x 的展开式中x8的系数是________(用数2【答案】52C5k (x3) 5 k ( 1 )k15 7 k【解析】二项展开式通项为T k1( 1 )k C5k x2，令15 7k 8 ，2 x 22解得k 2 ，因此x8的系数为(1)2C52 5 .22 【高考广东，理】在( x 1) 4的展开式中，x 的系数为.14. 2015 9．4 r4 rC4rr C4rr，令4r【解析】由题可知T r 1x1x 21解得r2 ， 12所以展开式中x 的系数为C42 26 ，故应填入61【名师点睛】涉及二项式定理的题，一般利用其通项公式求解.1615.【2015 高考天津，理12】在x的展开式中，x2的系数为.4 x【答案】15166 r r【解析】x1 展开式的通项为T r 1 C6r x6 r11 C6r x62 r，由4x4 x41 215 x2，所以该项系数为15 .6 2r 2 得r2 ，所以TC 2 x234 616 1616.【2015 高考新课标2，理15】( a x)(1 x)4的展开式中x 的奇数次幂项的系数之和为32，则 a __________．．【答案】3【解析】由已知得(1 x)4 1 4x 6x2 4 x3x4，故(a x)(1 x) 4的展开式中x的奇数次幂项分别为4ax ，4ax 3，x ， 3 ，5，其系数之和为4a 4a 1+6+1=32，6x x解得a3 ．【考点定位】二项式定理．a5317.【2015 高考湖南，理6】已知x的展开式中含x 2的项的系数为30，x则 a （）A.3B. 3C.6D-6【答案】D.11018.【2015 高考上海，理11】在 1x 的展开式中，x2项的系数为x2015（结果用数值表示）．【答案】451101 10C101 (1 x)9 1【解析】因为 1 x(1 x)(1 x)10L，x2015 x 2015 x2015所以x2项只能在(1 x)10展开式中，即为C108 x2，系数为C10845.19.（2016 年北京高考）在(12x) 6的展开式中，x2的系数为__________________.（用数字作答）【答案】60.20.（2016 年山东高考）若（ax2+1）5的展开式中x5的系数是—80，则实数a=_______.x21.（2016 年上海高考）在 3x2 xn的二项式中，所有项的二项式系数之和为256，则常数项等于_________【答案】11222.（2016 年四川高考）设i 为虚数单位，则(xi) 6的展开式中含x4的项为（A ）－15x4 （B ）15x4 （C）－20i x4 （D ）20i x4【答案】 A23.（2016年天津高考）( x21 )8的展开式中x2的系数为__________.(用数字作答) x24.（2016年全国I 高考）(2 xx )5的展开式中，x3的系数是.（用数字填写答案）【答案】10。
5.6二项式定理十大典型例题配套练习
Cn2r1
1 2n 2
2n1
n
④二项式系数的最大项：如果二项式的幂指数 n 是偶数时，则中间一项的二项式系数 Cn2 取得最大值。
n1 n1
如果二项式的幂指数 n 是奇数时，则中间两项的二项式系数 Cn 2 , Cn 2 同时取得最大
值。
⑤系数的最大项：求 (a bx)n 展开式中最大的项，一般采用待定系数法。设展开式中各项系数分别
③项数：共 n+1 项，是关于 a 与 b 的齐次多项式
④通项：展开式中的第 r 1项 Cnr anrbr 叫做二项式展开式的通项。用 Tr1 Cnr anrbr 表示。
3．性质：
①二项式系数的对称性：与首末两端“对距离”的两个二项式系数相等，即
C
k n
C
n n
k
.
②二项式系数和：令 a b 1,可得二项式系数的和为 Cn0 Cn1 Cn2 L Cnr L Cnn 2n ，
解：设 (
x2
3
1 x2
)n 展开式中各项系数依次设为 a0 , a1,an ,
令x 1 ,则有 a0 a1 an 0, ①， 令x 1,则有 a0 a1 a2 a3 (1)n an 2n , ②
将①-②得： 2(a1 a3 a5 ) 2n , a1 a3 a5 2n1,
解：假设 Tr 1 项最大，Q Tr1 C1r0 2r xr
Ar Ar
1 1
Ar Ar 2
C1r0 2r C1r0 2r
C r 1 10
C r 1 10
2r 2r
1
1 ,
解得
2(11 r 1
r) r 2(10
r
)
，化简得到
二项式定理十大典型例题纯WORD版
⼆项式定理⼗⼤典型例题纯WORD版1．⼆项式定理：011()()n n n r n r rn nn n n n a b C a C a b C a b C b n N --*+=+++++∈，2．基本概念：①⼆项式展开式：右边的多项式叫做()n a b +的⼆项展开式。
②⼆项式系数:展开式中各项的系数rn C (0,1,2,,)r n =.③项数：共(1)r +项，是关于a 与b 的齐次多项式④通项：展开式中的第1r +项r n r r n C a b -叫做⼆项式展开式的通项。
⽤1r n r r r n T C a b -+=表⽰。
3．注意关键点：①项数：展开式中总共有(1)n +项。
②顺序：注意正确选择a ,b ,其顺序不能更改。
()n a b +与()n b a +是不同的。
③指数：a 的指数从n 逐项减到0，是降幂排列。
b 的指数从0逐项减到n ，是升幂排列。
各项的次数和等于n .④系数：注意正确区分⼆项式系数与项的系数，⼆项式系数依次是012,,,,,,.r nn n n n n C C C C C 项的系数是a 与b 的系数（包括⼆项式系数）。
4．常⽤的结论：令1,,a b x == 0122(1)()n r rn nn n n n n x C C x C x C x C x n N *+=++++++∈令1,,a b x ==- 0122(1)(1)()n r r n n n n n n n n x C C x C x C x C x n N *-=-+-+++-∈5．性质：①⼆项式系数的对称性：与⾸末两端“对距离”的两个⼆项式系数相等，即0n n n C C =， (1)k k n nC C -= ②⼆项式系数和：令1a b ==,则⼆项式系数的和为0122rnn n n n n n C C C C C ++++++=，变形式1221rnn n n n n C C C C +++++=-。
二项式定理经典题型及详细答案
二项式定理经典考点例析考点1：二项式系数与项的系数1、在28(2x -的展开式中，求： （1）第5项的二项式系数及第5项的系数.（2）2x 的系数.2.若1()nx x+展开式中第2项与第6项的系数相同，则展开式的中间一项的系数为___________.3.已知二项式102)3x求 （1）第四项（2）展开式第四项的二项式系数（3）展开式第四项的系数考点2：二项式定理逆用1、5432(1)5(1)10(1)10(1)5(1)x x x x x -+-+-+-+-=_____________2、5432)12()12(5)12(10)12(10)12(51+-+++-+++-x x x x x =_____________考点3：求二项式展开式中的特定项、某一项【例题】 1、二项式3522()x x-的展开式中5x 的系数___________；2. 二项式43(1)(1x -的展开式中2x 的系数是___________.3.若4(1a +=+（,a b 为有理数），则a b +=___________.4.二项式8(2-展开式中不含4x 项的系数的和为___________.5、二项式53)31()21(x x -+的展开式中4x 的系数___________.【练习】1.二项式4(1)x +的展开式中2x 的系数为___________..2.二项式210(1)x -的展开式中，4x 的系数为___________.3.二项式6展开式中含2x 项的系数为___________. 4.二项式533)1()21(x x -+的展开式中x 的系数___________.、常数项和有理项【例题】 1. 二项式61(2)2x x-的展开式的常数项是___________.2、二项式100的展开式中x 的系数为有理数的项的个数___________.3. 二项式261(1)()x x x x++-的展开式中的常数项为___________.4.二项式5)12(++xx 的展开式中常数项是___________. 【练习】1.8(2x -的展开式中的常数项___________. 2.在261()x x+的展开式中，常数项是___________.3.二项式5)44(++xx 的展开式中常数项是___________. 4.二项式54)31()21(xx -+的展开式中常数项是___________. 考点4：求展开式中的各项系数之和的问题1、已知7270127(12)...x a a x a x a x -=++++.求：（1）0a ； （2）763210a a a a a a ++++++ ；（3）763210a a a a a a -++-+-（4）6420a a a a +++；（5）7531a a a a +++；（6）2753126420)()(a a a a a a a a +++-+++. （7）||||||||||||763210a a a a a a ++++++ .（8）7766321022842a a a a a a ++++++ ；（9）7766321022842a a a a a a ++++++； 2.在二项式9(23)x y -的展开式中，求：（1）二项式系数之和；（2）各项系数之和；（3）所有奇数项系数之和；（4）所有项的系数的绝对值之和.3.利用二项式nn n n n n n n x C x C x C x C C x +++++=+ 432210)1(展开式nn n n n n n n n nn n n n n n n n n n n n n nn n n n n C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C 32842)4(2)3(0)1()2(2)1(3210153142032103210=+++++=+++=+++=-++-+-=+++++-考点5：多项式的展开式最大项问题【例题】1、二项式9)21(x +展开式中，(1)二项式系数的最大项 (2)系数的最大项 2、二项式12)21(x -展开式中（1）求展开式中系数的绝对值最大的项.（2）求展开式中系数最大的项.（3）求展开式中系数最小的项.3、已知()(1)(12)(,)m n f x x x m n N +=+++∈的展开式中含x 项系数为11，求()f x 展开式中2x 项系数的最小值．4、n xx )1(4+展开式中含x 的整数次幂的项的系数之和为__________．【练习】1、2102()x x+的展开式中系数最大的项； 2、求7(12)x -展开式中系数最大的项．3、设x =50(1)x +展开式中第几项最大？4、已知()nx x 2323+展开式中各项系数的和比各项的二项式系数的和大992，（1）求展开式中二项式系数最大的项；（2）求展开式中系数最大的项.考点6：含参二次函数求解【例题】1.【特征项】在二项式25()a x x-的展开式中x 的系数是-10，则实数a 的值是___________.2.【常数项】若n的展开式中存在常数项，则n 的值可以是___________.3.【有理项】已知n的展开式中，前三项的系数成等差数列，展开式中的所有有理项________. 4.【特征项】在210(1)x px ++的展开式中，试求使4x 项的系数最小时p 的值.5.【系数最大】已知1(2)2nx +的展开式中，第5项、第6项、第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大的项． 【练习】1.若9()a x x-的展开式中3x 的系数是-84，则a =___________.2.已知2)n x的展开式中第5项系数与第3项的系数比56:3，则该项展开式中2x 的系数_____. 3.若二项式22()nx x-的展开式中二项式系数之和是64，则展开式中的常数项为___________ 4.已知(13)nx +的展开式中，末三项的二项式系数的和等于121，求展开式中系数最大的项．考点7：求解某些整除性问题或余数问题1. 求证22*389()n n n N +--∈能被64整除.2. 9291被100整除所得的余数为_________ 3. 设21(*)n k k N =-∈，则11221777...7nn n n n n n C C C ---+⋅+⋅++⋅被9除所得的余数为_________4. 求证：（1）51511-能被7整除；（2）2332437n n +-+能被64整除.5. 如果今天是星期一，那么对于任意的自然数n ，经过33(275)n n +++天是星期几？考点8：计算近似值1、求60.998的近似值，使误差小于0.001. 2、求51.997精确到的近似值.考点9：有关等式与不等式的证明化简问题1、求121010101010124...2C C C ++++的值. 2、化简：1231248...(2)nnn n n n C C C C -+-++-. 3、求证：01121*(2)!...()(1)!(1)!n nn n n n n n n C C C C C C n N n n -+++=∈-+.4、证明下列等式与不等式（1）123123 (2)nn n n n n C C C nC n -++++=⋅.（2）设,,a b c 是互不相等的正数，且,,a b c 成等差数列，*n N ∈，求证2nnna cb +>. 【练习】1、=++++nn n n n n C C C C 2222210 ；2、=-++-+-nn n n n n n n C C C C C 2)1(22232210 ； 3、求证：12122-⋅=+++n n n n n n nC C C4、求证：nn n n n n n C C C C C 22222120)()()()(=++++5、已知7292222210=++++nn n n n n C C C C ，求n n n n C C C +++ 21考点10：创新型题目1、对于二项式(1-x)1999，有下列四个命题：①展开式中T 1000= －C 19991000x999；②展开式中非常数项的系数和是1；③展开式中系数最大的项是第1000项和第1001项；④当x=2000时，(1-x)1999除以2000的余数是1．其中正确命题的序号是__________．（把你认为正确的命题序号都填上） 2、规定!)1()1(m m x x x C m x +--=，其中x ∈R，m 是正整数，且10=x C ，这是组合数m n C （n 、m 是正整数，且m ≤n ）的一种推广．(1) 求315-C的值；(2) 设x >０，当x 为何值时，213)(xxC C 取得最小值(3) 组合数的两个性质；①m n n m n C C -=. ②mn m n m n C C C 11+-=+.是否都能推广到mx C （x ∈R，m 是正整数）的情形？若能推广，则写出推广的形式并给出证明；若不能，则说明理由.3、对于任意正整数，定义“n的双阶乘n!!”如下：对于n是偶数时，n!!=n·(n－2)·(n－4)……6×4×2；对于n是奇数时，n!!=n·(n－2)·(n－4)……5×3×1．现有如下四个命题：①(2005!!)·(2006!!)=2006!；②2006!!=21003·1003!；③2006!!的个位数是0；④2005!!的个位数是5．正确的命题是________．。
二项式定理知识点总结及例题分析-高中数学2018版
高中数学-二项式定理知识点总结及例题分析一、 基本知识点1．二项式定理(1)0≤k ≤n 时，C k n 与C n －k n 的关系是C k n ＝C n －kn .(2)二项式系数先增后减中间项最大当n 为偶数时，第n 2＋1项的二项式系数最大，最大值为C n2n ；当n 为奇数时，第n ＋12项和n ＋32项的二项式系数最大，最大值为C n －12n 或C n ＋12n. (3)各二项式系数和：C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C nn ＝2n ； C 0n ＋C 2n ＋C 4n ＋…＝C 1n ＋C 3n ＋C 5n ＋…＝2n －1. 方法分析1．二项式系数最大项的确定方法(1)如果n 是偶数，则中间一项⎝⎛⎭⎫第⎝⎛⎭⎫n 2＋1项的二项式系数最大； (2)如果n 是奇数，则中间两项(第n ＋12项与第⎝⎛⎭⎫n ＋12＋1项)的二项式系数相等并最大． 2．二项展开式系数最大项的求法：如求(a ＋bx )n (a ，b ∈R )的展开式系数最大的项，一般是采用待定系数法，设展开式各项系数分别为A 1，A 2，…，A n ＋1，且第k 项系数最大，应用⎩⎪⎨⎪⎧A k ≥A k －1，A k ≥A k ＋1，从而解出k 来，即得．例题讲解考点一求二项展开式中的项或项的系数 1 (1)⎝⎛⎭⎫12x －2y 5的展开式中x 2y 3的系数是( ) A ．－20 B ．－5 C ．5 D ．20(2)二项式⎝⎛⎭⎪⎫x －13x n的展开式中第4项为常数项，则常数项为( )A ．10B ．－10C ．20D ．－20解析： (1)由二项展开式的通项可得，第四项T 4＝C 35⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2(－2y )3＝－20x 2y 3，故x 2y3的系数为－20.(2)由题意可知常数项为T 4＝C 3n (x )n －3⎝⎛⎭⎪⎪⎫－13x 3＝(－1)3C 3n x 3n －156，令3n －15＝0，可得n ＝5.故所求常数项为T 4＝(－1)3C 35＝－10，选B.答案： (1)A (2)B 变式练习1．若二项式⎝⎛⎫2x ＋a x 7的展开式中1x 3的系数是84，则实数a ＝( ) A ．2 B ．54 C ．1 D ．242.⎝⎛⎭⎫x －13x 10的展开式中含x 的正整数次幂的项数是( ) A ．0 B ．2 C ．4 D ．6 3.⎝⎛⎭⎫x 3－2x 4＋⎝⎛⎭⎫x ＋1x 8的展开式中的常数项为( ) A ．32 B ．34 C ．36 D ．384．(2014·山东卷)若⎝⎛⎭⎫ax 2＋bx 6的展开式中x 3项的系数为20，则a 2＋b 2的最小值为________．5．(2014·皖南八校联考)(x 2－4x ＋4)5的展开式中x 的系数是________． 答案1C 2.B 3.D 42 5-5120 考点二 二项式系数及项的系数问题(1)(2014·辽宁五校联考)若⎝⎛⎭⎫x ＋2x 2n 展开式中只有第6项的二项式系数最大，则展开式的常数项是A ．360B ．180C ．90D ．45(2)(2014·河北衡水中学五调)已知(x －m )7＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 7x 7的展开式中x 4的系数是－35，则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 7＝________.解析： (1)展开式中只有第6项的二项式系数最大，则展开式总共11项，所以n ＝10，通项公式为T r ＋1＝C r 10(x )10－r·⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 2r ＝C r 102rx 5－52r ，所以r ＝2时，常数项为180.(2)∵T r ＋1＝C r 7x7－r(－m )r,0≤r ≤7，r ∈Z ，∴C 37(－m )3＝－35，∴m ＝1，令x ＝1，a 0＋a 1＋…＋a 7＝(1－1)7＝0，令x ＝0，a 0＝(－1)7＝－1，∴a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 7＝1.答案： (1)B (2)1变式练习1．设二项式⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋3x n 的展开式各项系数的和为a ，所有二项式系数的和为b ，若a ＋2b＝80，则n 的值为( )A ．8B ．4C ．3D ．22．若(x ＋2＋m )9＝a 0＋a 1(x ＋1)＋a 2(x ＋1)2＋…＋a 9(x ＋1)9，且(a 0＋a 2＋…＋a 8)2－(a 1＋a 3＋…＋a 9)2＝39，则实数m 的值为( )A ．1或－3B ．－1或3C ．1D ．－3考点三 二项式定理的应用、设a ∈Z ，且0≤a ＜13，若512 012＋a 能被13整除，则a ＝( ) A ．0 B ．1 C ．1 1D ．12 解析： 512 012＋a ＝(52－1)2 012＋a ＝522 012＋C 12 012×522 011×(－1)＋…＋C 2 0112 012×52×(－1)2 011＋(－1)2 012＋a 能被13整除，只需(－1)2 012＋a ＝1＋a 能被13整除即可．∵0≤a <13，∴a ＝12，故选D.答案： D。
44 二项式定理-2018年高考数学(理)热点题型和提分含解析
专题44 二项式定理2018年高考数学（理）热点题型和提分秘籍1.本部分在高考中经常考查，主要有求二项展开式中的某一特定项、特定项的系数、已知某项的值求参数值、赋值法求值、利用二项展开式作不等放缩或近似计算等2．命题形式多种多样,主要以选择题、填空题的形式出现,有时涉及函数与方程的思想方法热点题型一求展开式中的指定项或特定项例1、已知在（错误!－错误!)n的展开式中，第6项为常数项.(1)求n;（2）求含x2的项的系数;（3)求展开式中所有的有理项。
（3)根据通项公式，由题意得错误!令错误!＝k（k∈Z）,则10－2r＝3k，即r＝5－错误!k，∵r∈Z,∴k应为偶数。
∴k可取2，0，－2，即r可取2,5,8.所以第3项,第6项与第9项为有理项，它们分别为C错误!错误!2x2，C错误!错误!5,C错误!错误!8x－2。
【提分秘籍】解此类问题可以分两步完成：第一步是根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数（求解时要注意二项式系数中n和r的隐含条件，即n，r均为非负整数，且n≥r）;第二步是根据所求的指数，再求所求解的项。
【举一反三】5(x∈R)展开式中x3的系数为10,则实数a等于( )错误!A．－1 B.错误!C．1 D．2解析：由二项式定理,得T r＋1＝C r5x5－r·错误!r＝C错误!·x5－2r·a r，令5－2r＝3，得r＝1,由C错误!·a＝10，解得a＝2。
答案：D热点题型二二项式系数或项系数的和问题例2、已知（1－2x）7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7，求：(1）a1＋a2＋…＋a7；（2)a1＋a3＋a5＋a7；（3)a0＋a2＋a4＋a6；（4）|a0｜＋|a1|＋｜a2｜＋…＋｜a7｜。
解析：令x＝1，则a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝－1。
①令x＝－1,则a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6－a7＝37.②(1）∵a0＝C错误!＝1，∴a1＋a2＋a3＋…＋a7＝－2。
2018年高考二项式定理十大典型问题及例题
二项式定理
1．二项式定理：
，
2．基本概念：
①二项式展开式：右边的多项式叫做 的二项展开式。
②二项式系数:展开式中各项的系数 .
③项数：共 项，是关于 与 的齐次多项式
④通项：展开式中的第 项 叫做二项式展开式的通项。用 表示。
3．注意关键点：
①项数：展开式中总共有 项。
②二项式系数和：令 ,则二项式系数的和为 ，
变形式 。
③奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和：
在二项பைடு நூலகம்定理中，令 ，则 ，
从而得到：
④奇数项的系数和与偶数项的系数和：
⑤二项式系数的最大项：如果二项式的幂指数 是偶数时，则中间一项的二项式系数 取得最大值。
如果二项式的幂指数 是奇数时，则中间两项的二项式系数 , 同时取得最大值。
⑥系数的最大项：求 展开式中最大的项，一般采用待定系数法。设展开式中各项系数分别
为 ，设第 项系数最大，应有 ，从而解出 来。
题型一：二项式定理的逆用；
例：
练：
题型二：利用通项公式求 的系数；
例：在二项式 的展开式中倒数第 项的系数为 ，求含有 的项的系数？
练：求 展开式中 的系数？
题型三：利用通项公式求常数项；
②顺序：注意正确选择 , ,其顺序不能更改。 与 是不同的。
③指数： 的指数从 逐项减到 ，是降幂排列。 的指数从 逐项减到 ，是升幂排列。各项的次数和等于 .
④系数：注意正确区分二项式系数与项的系数，二项式系数依次是 项的系数是 与 的系数（包括二项式系数）。
4．常用的结论：
令
令
5．性质：
①二项式系数的对称性：与首末两端“对距离”的两个二项式系数相等，即 ，···
2018年高考二项式定理十大典型问题及例题
学科教师辅导讲义1 •二项式定理：(a b)n C：a n C；a n 1b L C：a n r b r L C：b n(n N ),2 .基本概念：①二项式展开式：右边的多项式叫做(a b)n的二项展开式。
②二项式系数：展开式中各项的系数C n r (r 0,1,2, ,n).③项数：共(r 1)项，是关于a与b的齐次多项式④通项：展开式中的第r 1项C：a n r b r叫做二项式展开式的通项。
用T r 1 Qa" r b r表示。
3 .注意关键点: ①项数：展开式中总共有(n 1)项。
②顺序：注意正确选择a,b,其顺序不能更改。
(a b)n与(b a)n是不同的。
③指数：a的指数从n逐项减到0，是降幕排列。
b的指数从0逐项减到n，是升幕排列。
各项的次数和等于n.④系数：注意正确区分二项式系数与项的系数,(包括二项式系数)。
4 .常用的结论:令a 1,b x, (1 x)n C O C：X C：X2L C；x r L C n n x n(n N )令a 1,b X, (1 x)n C O C"X C'X2L C：x r L ( 1)n C：x n(n N )5.性质：①二项式系数的对称性：与首末两端“对距离”的两个二项式系数相等，即C O c n，•…Cn②二项式系数和：令a b 1,则二项式系数的和为C： C n C' L C n L C： 2n,变形式c n Cn L c n L c n 2n 1 o③奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和：在二项式定理中，令a 1,b 1，则C： C1 C" C3 L ( 1)n C：(1 1)n 0 ,从而得到：c O C 2C4c n2r C" C3L c2r 1- 2n2n 12④奇数项的系数和与偶数项的系数和：二项式系数依次是C°,C n,Cn, ,C n, ,C；；.项的系数是a与b的系数C n'⑥系数的最大项：求（a bx ）n 展开式中最大的项，一般采用待定系数法。
完整版二项式定理十大典型问题及例题
题型一：二项式定理的逆用；
1232nn?1C?C?6?C?6?L?C?6?.例：nnnnn012233nn(1?6)?C?C?6?C?6?C?6?L?C?6与已知的有一些差距，解：nnnnn112n2n123n2n?1?6?L?6C)?C?C??C6??6??6(C??C6L??Cnnnnnnn6111nn0n122n1)(7??6)[(11)?CL?C6??C?(C?6??6????1]nnnn666123n?1nC?3C?9C?L?3C?.练：nnnn
题型三：利用通项公式求常数项；
1102)(x?的展开式中的常数项？例：求二项式x25145511?20r88rrrr210?r?C()T?8r?020?r?x)()?C()T?C(x2，令解：，所以，得10r?110109225622x216)(2x?练：求二项式的展开式中的常数项？x21133rr?6?rrr6?2rrrr620?C?T?(?1)3r?r6?2?0x1)2)?TCC((?1))()?(?(2x解：，令，得，所以6461?6r22x1n2____.?n5)x?(练：若的二项展开式中第项为常数项，则x16n?4?412n2?442n0?12?2nx)(x)C?TC?(.，令解：，得nn5x题型四：利用通项公式，再讨论而确定有理数项；
93x?)x(展开式中的有理项？例：求二项式
3
127?r127?rrrr9?rrx1)CT?C(x)x)?(?(?0?r?9r?3或r?9Z?632，,( )，令得解：9r?19627?r3443C?1)T?(x??84xr?34?时，所以当，，946r27?3339C??x1)T?(?x9r?3?，。当时，9106题型五：奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和；
专题10 二项式定理-2018年高考数学母题题源系列 Word版含解析
母题十二项式定理【母题原题1】【2018天津，理10】在的展开式中，的系数为．【答案】【名师点睛】（1）二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中和的隐含条件，即均为非负整数，且，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项．【母题原题2】【2016天津，理10】的展开式中x2的系数为__________．(用数字作答)【答案】【解析】展开式通项为，令，，所以的．故答案为．【母题原题3】【2015天津，理12】在的展开式中，的系数为．【答案】【命题意图】本类题主要考查二项式定理及其应用，意在考查学生的逻辑推理能力和基本计算能力．【命题规律】高考对二项式定理的考查主要考查利用二项展开式的通项求展开式中的特定项、特定项的系数、二项式系数等，同时考查赋值法与整体法的应用，题型多以选择题、填空题的形式考查．【答题模板】解答本类题目，以2018年高考题为例，一般考虑如下三步：第一步：首先求出二项展开式的通项展开式通项为；第二步：根据已知求令可得：，第三步：得出结论的系数为：．【方法总结】1．熟记二项式定理及通项（1）定理公式叫做二项式定理．（2）通项为展开式的第项．2．活用二项式系数的性质（1）对称性：与首末两端等距离的两个二项式系数相等，即．（2）增减性与最大值：二项式系数，当时，二项式系数是递增的；当时，二项式系数是递减的．当是偶数时，中间一项的二项式系数取得最大值．当是奇数时，中间两项的二项式系数相等，且同时取得最大值．（3）各二项式系数的和的展开式的各个二项式系数的和等于，即．二项展开式中，偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即．3．求展开式系数最大项：如求的展开式系数最大的项，一般是采用待定系数法，设展开式各项系数分别为，且第项系数最大，应用从而解出来，即得．4．“赋值法”普遍适用于恒等式，是一种重要的方法，对形如、的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令即可；对形如的式子求其展开式各项系数之和，只需令即可．5．若，则：展开式中各项系数之和为，奇数项系数之和为，偶数项系数之和为．6．某一项的系数是指该项中字母前面的常数值(包括正负符号)，它与的取值有关，而二项式系数与的取值无关．1．【2018天津耀华一模】在展开式所得的的多项式中，系数为有理数的项有（）A．16项B．17项C．24项D．50项【答案】B【解析】展开式的通项为，其中r=0，1，2…100，要使系数为有理数则需要r是6的倍数，∴r=0，6，16，18，…96共17个值，故系数为有理数的项有17项．本题选择B选项．【名师点睛】二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n和r的隐含条件，即n，r均为非负整数，且n≥r，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项．2．【2018列的第三项，则的值为（）A．6 B．8 C．9 D．10【答案】D3．【2018北京海淀模拟】二项式的展开式的第二项是A．B．C．D．【答案】D【解析】根据展开式通项可得：4．【2018广东阳揭二模】已知的展开式中常数项为，则的值为A．B．C．D．【答案】C【解析】分析：首先写出展开式的通项公式，然后结合题意得到关于实数a的方程，解方程即可求得最终结果．详解：展开式的通项公式为：，令可得：，结合题意可得：，即．本题选择C 选项．【名师点睛】本题主要考查二项式定理的通项公式及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力．5．【2018华大新高考联盟4—次项外的各项系数的和为（）A．121 B C．61 D．【答案】B—次项系数为—次项外的各项系数的和为B．【名师点睛】“赋值法”普遍适用于恒等式，是一种重要的方法，的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，6．【2018河北衡水信息卷三】已知，，若）A B．C D．【答案】B7．【2018A．−5B．−20C．15 D．35【答案】A．又A．8．【2018全国名校联盟（五）】已知的展开式的系数和比的展开式系数和大，则的展开式中含有的项为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】取则的展开式的系数和为，同理，在的展开式中令，则的展开式系数和为，故，则的展开式中含有的项是第六项：，故选．9．【2018天津三模】设，则．【答案】211【名师点睛】本题考查二项式定理、赋值法等知识，意在考查学生的逻辑思维能力和基本计算能力．10．【2018天津市十二校二模】（其中，__________．【答案】280通项为令得所以，的展开式中的系数为【名师点睛】本题主要考查二项展开式定理的通项与系数，属于简单题．二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用．11．【2018天津部分区期末考试】在的展开式中的系数为__________．（用数字作答）【答案】24012．【2018天津一中模拟三】的展开式中含的项的系数是__________．【答案】128【解析】∵的展开式的通项公式是，且，∴，当时，，∴的展开式中含的项的系数是，故答案为128．13．【2018是__________．【答案】【解析】试题分析：由题意可得：，所以，令，所以展开式中含项的系数是10．14．【2018天津市耀华模拟（三）】二项式的展开式中的常数项为_________．【答案】-160【解析】二项式的通，项为，令，则，，故正确答案为．15．【2018_______．【答案】．【名师点睛】本题主要考查二项展开式定理的通项与系数，属于简单题．二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用．16．【2018天津滨海新区模拟】在二项式的展开式中，含的项的系数是______【答案】【解析】分析：先求得二项展开式的通项公式，再令的幂指数等于7，求得r的值，即可求得含项的系数值．详解：二项式的展开式的通项公式为，令，解得，可得展开式中含项的系数是，故答案是-5．【名师点睛】根据所给的二项式，利用二项展开式的通项公式写出第r+1项，整理成最简形式，令x的指数为7求得r，再代入系数求出结果，所以解决该题的关键就是通项公式．17．【2018河北衡水金卷调研（五）】已知函数，为的导函数，则的展开式中项的系数是__________．【答案】-540。
二项式定理十大典型问题及例题
學科教師輔導講義學員編號： 年 級：高二 課 時 數： 3 學員姓名： 輔導科目：數學 學科教師：教學內容1．二項式定理：011()()n n n r n r rn nn n n n a b C a C a b C a b C b n N --*+=+++++∈，2．基本概念：①二項式展開式：右邊の多項式叫做()n a b +の二項展開式。
②二項式係數:展開式中各項の係數rnC (0,1,2,,)r n =⋅⋅⋅. ③項數：共(1)r +項，是關於a 與b の齊次多項式④通項：展開式中の第1r +項r n r rn C a b -叫做二項式展開式の通項。
用1r n r r r nT C a b -+=表示。
3．注意關鍵點：①項數：展開式中總共有(1)n +項。
②順序：注意正確選擇a ,b ,其順序不能更改。
()n a b +與()nb a +是不同の。
③指數：a の指數從n 逐項減到0，是降冪排列。
b の指數從0逐項減到n ，是升冪排列。
各項の次數和等於n .④係數：注意正確區分二項式係數與項の係數，二項式係數依次是012,,,,,,.r n n n n n n C C C C C ⋅⋅⋅⋅⋅⋅項の係數是a 與b の係數（包括二項式係數）。
4．常用の結論：令1,,a b x == 0122(1)()n r rn nn n n n n x C C x C x C x C x n N *+=++++++∈ 令1,,a b x ==- 0122(1)(1)()n r r n n n n n n n n x C C x C x C x C x n N *-=-+-+++-∈5．性質：①二項式係數の對稱性：與首末兩端“對距離”の兩個二項式係數相等，即0n n n C C =， (1)k k n n C C -= ②二項式係數和：令1a b ==,則二項式係數の和為0122rnn n n n n n C C C C C ++++++=，變形式1221rnn n n n n C C C C +++++=-。
完整版二项式定理高考题带答案
31.2018年全国卷川理】’_ 的展开式中「的系数为A. 10B. 20C. 40D. 80 【答案】C=40故选C.(歩+》2. 【2018年浙江卷】二项式 ____________ 肚 的展开式的常数项是 :【答案】7【解析】分析：先根据二项式展开式的通项公式写出第 r+1项，再根据项的次数 为零解得r ,代入即得结果.详解：二项式 -的展开式的通项公式为—1二乐陶一4丁 =匚；诗•角1令- 得 ，故所求的常数项为-(x_y^)sW3. _______________________________________________________________ 【2018年理数天津卷】在 川 的展开式中， 的系数为 ____________________________________【解析】分析：写出=CZ 2T 'X 10_3r然后可得结果详解:由题可得'，令—【答案】详解：’ 厂的展开式为:"吹旷当™时,%W",当―…时,【解析】分析；由题意结合二项式定理展开式的通顷公式得到F 的值，然后求解h 的系数即可 详網结合二项式定理的通项公式有；粘厂常疋叫一点）'（一91討弓，令5-駛=2可得：r =2,则八的系数九：（一了曙二汁10 = 2 决问题的关键. 4.【山西省两市2018届第二次联考】若二项式"'中所有项的系b£十上数之和为八，所有项的系数的绝对值之和为’，贝旷一的最小值为（）5139A. 2B. -C. :D.- 【答案】B【解析】分析：由题益通过给二映式的％赋直 求出舟和b 的解析式，可得）脚最小值. 祥解：令可得二项式（3-x ） n （u€NO 中所有I 页的系数之和为a=2%令可得＜3-x ）啲所有 项的系数的纯对值之和为‘则三+ j=^ + = 2" +負故当wl 时、+諏得最小值圭故选B.{/ _ — 2x + 1 ］百 J5.【安徽省宿州市2018届三模】… 的展开式中"项的系数为【答案】-132【解析】分析：由题意结合二项式展开式的通项公式首先写出展开式， 然后结合 展开式整理计算即可求得最终结果.【答案】C 【解析】试題分折:(北+ y){2x-y)5= x(2x-y^ +y{2x-yf 、由(玄-卅 展开式的通项公式：匚严©(2力"(一汀 可得：当r = 3时，展幵式中//的系数为=-40 , 当厂=2时，y(2x-y)5展开式中的系数为x(-l)a = 80 、 则迅讨的系数対80—40 = 40・ 故选G8.【2017 浙江，13】已知多项式 X 1 3 X 2 2= x 5 a 1x 4 a 2x 3 a 3x 2 a 4x 1 a 5，贝Ua4 = _______ ， a5 = _______【答案计数•几+i = 2&-3C^_:L = 192r 5，据此可得：展开式中 项的系数为60-192=- 1326.【2017课标1，理6】(1 12 )(1 X )展开式中XX 2的系数为A . 15B . 20C. 30D . 35【答案】C 【解析】试题分析: 1 C62X 2-4)(1 X 2115X ， 2(1 X因为(1 X ) 1 (1X )6(1 6 X)，则(16X)展开式中含2x 的项为15 15 30，选 C.X)6展开式中含X的项为丄 C ；x 4X2 215X ，故 X 前系数为情况，尤其是两个二项式展开式中的r 不同•7.【2017课标3,理4】X y 2X 5y 的展开式中X 3y 3的系数为A .80 B .40C. 40D . 80_ n 29. 【2017山东，理11】已知1 3x的展开式中含有x项的系数是54，则n ______________________ 【答案】4【解析】试题分析：由二项式定理的通项公式r 1C n 3x r C n 3r x r，令r 2得：2 2C n 3 54，解得n 4.【考点】二项式定理10. 【2015高考陕西，理4】二项式(x 1)n(n N )的展开式中x2的系数为15,则n ()A. 4B. 5D. 7【答案】C【解析】二项式x 1 n的展开式的通项是因为x2的系数为15,所以C2 15，即n2为n ，所以n 6，故选C.C. 6r 1 C：x r，令r 2得x2的系数是C；，n 30 0，解得：n 6或n 5，因【考点定位】二项式定理.【名师点晴】本题主要考查的是二项式定理，属于容易题.解题时一定要抓住重要条件“n”否则很容易出现错误.解本题需要掌握的知识点是二项式定理，即二项式a b n的展开式的通项是k 1 c n a n k b k.11. 【2015高考新课标1,理10】(x2 x y)5的展开式中，x5y2的系数为()(A) 10 ( B) 20 (C) 30 ( D) 60【答案】C12. 【2015高考湖北，理3】已知(1 x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式16解得n 10 ,字作答）. 【答案】二项展开式通项为 I. C5k （x3）5k （24x ）k （1）kC 5k/^k ，令 15 了； 8，【答案】6.4 r4r x 2，令 4 r 1 解得 r 2，2【解析】由题可知T r 1 C 4 xC ； 1 所以展开式中x 的系数为C ；1 故应填入【名师点睛】涉及二项式定理的题, 般利用其通项公式求解15.【2015高考天津，理12】在x — 4x61的展开式中，x 2的系数为 系数和为（A. 212B . 211C . 210D . 29【答案】D【解析】因为（1x ）n 的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，所以c n3 C 7， 所以二项式（1 x ）10中奇数项的二项式系数和为1 21025113.【2015高考重庆，理12】x 3的展开式中 2Jx29.x 8的系数是（用数【解析】 解得k2，因此x 8的系数为（2）2C 214.【2015高考广东，理9】在（x1）4的展开式中，x 的系数为6126 2r 2得r 2，所以T 31Cfx 2 15x 2，所以该项系数为15. 34 6 161616.【2015高考新课标2,理15】(a x)(1 x)4的展开式中x 的奇数次幕项的系 数之和为32，则a __________ : 【答案】3【解析】由已知得(1 x)4 1 4x 6x 2 4x 3 x 4，故(a x)(1 x)4的展开式中x的奇数次幕项分别为4ax ，4ax 3，x , 6x 3，x 5，其系数之和为4a 4a 1+6+仁32, 解得a 3 •【考点定位】二项式定理.(结果用数值表示). 【答案】45字作答)【解析】 x —— 4x展开式的通项为T r !C 6x 6r1 4x17.【2015高考湖南，理 6】已知x a x3的展开式中含x 2的项的系数为30,A. 3B. 3C.6 D-6【答案】D. 18.【2015高考上海，理 11】在12015x10的展开式中，x 2项的系数为【解析】因为1 x12015x10(1 x)12015x10(1 x)10C ；(1x)9 1L2015x所以x 2项只能在(1 x)10展开式中, 即为C 18o x 2，系数为C 180 45.19. (2016年北京高考)6 2在(1 2x)的展开式中，x 的系数为,由【答案】60.120. （2016年山东高考）若（ax2+「= ）5的展开式中x5的系数是一80,则实数a= ______________ .Vx【答案】-2n221. （2016年上海高考）在3x 的二项式中，所有项的二项式系数之和为256，则常x数项等于____________【答案】11222. （2016年四川高考）设i为虚数单位，则（x i）6的展开式中含x4的项为（A）—15x4（B）15x4（C）—20i x4（D）20i x4【答案】A2 1 823. （2016年天津高考）（X —）的展开式中x2的系数为 _______________ .（用数字作答）x【答案】5624. （2016年全国I高考）（2x x）5的展开式中，x3的系数是 ____________ .（用数字填写答案）【答案】10。
2018年高考二项式定理十大典型问题及例题
1学科教师辅导讲义1 •二项式定理：(a b)n C ：a n C ：a n 1b L C ：a n r b r LC ；b n (n N ),2 .基本概念：①二项式展开式：右边的多项式叫做(a b)n 的二项展开式。
②二项式系数：展开式中各项的系数 C ： (r 0,1,2, ,n). ③项数：共(r 1)项，是关于a 与b 的齐次多项式④通项：展开式中的第 r 1项C ：a n r b r 叫做二项式展开式的通项。
用 T r 1 C ：a n r b r 表示。
3 .注意关键点：①项数：展开式中总共有 (n 1)项。
②顺序：注意正确选择 a ,b ,其顺序不能更改。
(a b)n 与(b a)n 是不同的。
③指数：a 的指数从n 逐项减到0，是降幕排列。
b 的指数从0逐项减到n ,③奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和: ④奇数项的系数和与偶数项的系数和:是升幕排列。
各项的次数和等于n .④系数：注意正确区分二项式系数与项的系数，二项式系数依次是Cn,C ；,Cn, ,C ：, ,C ：.项的系数是a 与b 的系数(包括二项式系数)。
4 .常用的结论:令 a 1,b x, (1 x)n C O C 1x C 2x 2 L C ：x r LC ：x n (n N令 a 1,b x, (1 x)nC O C：XC'x 2L C：x rLn n n(1) C nX (n5.性质: ①二项式系数的对称性：与首末两端“对距离”的两个二项式系数相等，即 C 0nkC n，•…C n C i②二项式系数和：令 a b 1,则二项式系数的和为C n 2C n rC n n 2n ,变形式C 1 Cn L C ： LC： 2n在二项式定理中，令 a 1,b 1，则C° C ； Coc ；1)nc ：(1 n1) 0 ,从而得到：c O c 2 c 4C n 2rc n c ； L2r 1C n2 2" 2：1⑥系数的最大项：求（a bx ）n 展开式中最大的项，一般采用待定系数法。
专题10 二项式定理-2018年高考数学(理)母题题源系列(天津专版)-新整理
母题十 二项式定理【母题原题1】【2018天津，理10】 在512x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，2x 的系数为 ． 【答案】52【名师点睛】（1）二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n 和r 的隐含条件，即,n r 均为非负整数，且n r ≥，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项．【母题原题2】【2016天津，理10】281()x x-的展开式中x 2的系数为__________．(用数字作答) 【答案】56- 【解析】展开式通项为281631881()()(1)r r r r r r r T C x C x x--+=-=-，令1637r -=，3r =，所以7x 的338(1)56C -=-．故答案为56-．【母题原题3】【2015天津，理12】在614x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭ 的展开式中，2x 的系数为 ． 【答案】1516【命题意图】本类题主要考查二项式定理及其应用，意在考查学生的逻辑推理能力和基本计算能力．【命题规律】高考对二项式定理的考查主要考查利用二项展开式的通项求展开式中的特定项、特定项的系数、二项式系数等，同时考查赋值法与整体法的应用，题型多以选择题、填空题的形式考查．【答题模板】解答本类题目，以2018年高考题为例，一般考虑如下三步：第一步：首先求出二项展开式的通项 展开式通项为35521551122r rr r r r r T C x C x x --+⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； 第二步：根据已知求r 令3522r -=可得：2r =， 第三步：得出结论2x 的系数为：22511510242C ⎛⎫-=⨯= ⎪⎝⎭． 【方法总结】 1．熟记二项式定理及通项512x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭ （1）定理公式)()(*110N n b C b a C b a C a C b a n n n k k n k n n n n n n ∈+⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++=+--叫做二项式定理． （2）通项k k n k n k b a C T -+=1为展开式的第1+k 项． 2．活用二项式系数的性质（1）对称性：与首末两端等距离的两个二项式系数相等，即m n nm n C C -=． （2）增减性与最大值：二项式系数k n C ，当21+<n k 时，二项式系数是递增的；当。
二项式定理大典型问题及例题
二项式定理大典型问题及例题1. 问题介绍二项式定理是高中数学中的重要概念，它描述了如何展开二项式的幂。
在学习和应用二项式定理时，会遇到一些典型问题，本文将详细介绍这些问题，并给出相应的例题，以便读者更好地理解和掌握二项式定理的应用。
2. 公式回顾在探讨二项式定理的问题之前，我们先回顾一下二项式定理的公式：$$(a + b)^n = C_n^0 a^n b^0 + C_n^1 a^{n-1} b^1 +C_n^2 a^{n-2} b^2 + \\ldots + C_n^n a^0 b^n$$其中Ck表示从n个不同元素中选择k个元素的组合数。
n在这个公式中，指数n表示二项式的幂，而a和b是二项式定理的底数。
3. 典型问题现在，我们来看一些典型的二项式定理问题。
3.1 求展开式的某一项系数问题：已知展开式(2x+3y)6，求展开式中x2y4的系数。
解析：要求展开式中x2y4的系数，需要找到对应的组合数。
根据二项式定理，x2y4的系数等于 $C_6^2 \\times 2^2\\times 3^4$。
计算得到该系数为 5400。
3.2 求展开式的某一项的值问题：已知展开式 $(1 + \\frac{1}{x})^8$，求展开式中的第四项的值。
解析：展开式中的第四项为 $C_8^3 \\times 1^5 \\times (\\frac{1}{x})^3$。
化简后得到 $C_8^3 \\times\\frac{1}{x^3}$。
根据组合数公式，$C_8^3 =\\frac{8!}{3!5!}$。
计算该值得到 56。
所以，展开式中的第四项的值为 $\\frac{56}{x^3}$。
3.3 求展开式的和问题：求展开式(−2x+5)4的和。
解析：根据二项式定理展开式的形式，展开式的和等于各项的系数之和。
展开式中各项的系数可以通过计算对应的组合数得到。
展开式(−2x+5)4的和等于 $C_4^0 \\times (-2)^4 \\times 5^0 + C_4^1 \\times (-2)^3 \\times 5^1 + C_4^2 \\times (-2)^2 \\times 5^2 + C_4^3 \\times (-2)^1\\times 5^3 + C_4^4 \\times (-2)^0 \\times 5^4$。
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学科教师辅导讲义
(r n r r
n n
n n C a b C b n N -++
+∈①二项式展开式：右边的多项式叫做()n
a b +的二项展开式。
展开式中各项的系数r
n C (0,1,2,,)r n =⋅⋅⋅. 项，是关于a 与b 的齐次多项式 (r r n n
n n C x C x n +++∈(1)r r n n n n n C x C x ++
+-①二项式系数的对称性：与首末两端“对距离”的两个二项式系数相等，即则二项式系数的和为0122r
n
n n n n n n C C C C C +++++
+=21r n
n n n C C ++
+=-。
偶数项的二项式系数和：
，则0123
(1)(11)0n n
n n n n n n C C C C C -+-+-=-=，13
21
11222
r r n n n n n C C C +-+⋅⋅⋅=++
++⋅⋅⋅=⨯=
④奇数项的系数和与偶数项的系数和：
012012021210
(1)(1)n n
n
n n n n n n n n n n n C a x a a x a x a x C a x a x a x a x a a a a +=+++++=+
++++=+---------++=-----①(1)(1)()
2
(1)(1)()
2
n n
n n n
n a a a a a a ----++-+=+--+=②
奇数项的系数和偶数项的系数和
⑤二项式系数的最大项：如果二项式的幂指数如果二项式的幂指数)n
a bx +展开式中最大的项，一般采用待定系数法。
设展开式中各项系数分别6n n n C +⋅2266n
n n n C C C +⋅++⋅112216(666)6
n
n n n n n n n C C C C -++⋅=
⋅+⋅++⋅ 2
211661)[(16)1](71)66
n
n n n n n C ⋅++⋅-=+-=-
13 .n n
n C -+=
3
193n n
n n C C -++
+，则
33
0122333333331(13)1
n n n n
n n n n n n n n C C C C C C C ++
+=++++
+-=+-141
3
n -=
的系数；
解：
024213
21
12r r n n n n n n n n C C C C C C C +-++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅=++
++⋅⋅⋅=，2n -∴所以中间两个项分别为6,7n n ==，5653551211()()462n
T C x x x
+==⋅题型六：最大系数，最大项；
例：已知1(2)2
n x +，若展开式中第5项，第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大项
解：
46n n C C +45T T 和T ∴的项是8T ，练：在2()n
a b +
项最大，
1(2)2x +10.4r ≤≤，又012r ≤≤项最大，110r T C +=101022r r r r C C C C ⎧≥⎪⎨≥⎪⎩，又010r ≤≤，展开式中系数最大的项为题型七：含有三项变两项；
的展开式中才有解：
3(12)x +4(1)x -的展开式的通项是
,展开式中不含常数项24,8n ≠，即题型九：奇数项的系数和与偶数项的系数和；
,x 含的奇次幂的项之和为32006a x a x +++20062006a x +20052005)(a x x +=1
()2S x =展开式的奇次幂项之和为20062)(22)-+
2009a x +10,22a a ∴+20092009
2
a ⋅⋅⋅+=-1
10,a x a +则
二项式定理
(r n r r
n n
n n C a b C b n N -++
+∈①二项式展开式：右边的多项式叫做()n
a b +的二项展开式。
展开式中各项的系数r
n C (0,1,2,,)r n =⋅⋅⋅. 项，是关于a 与b 的齐次多项式 (r r n n
n n C x C x n +++∈(1)r r n n n n n C x C x ++
+-①二项式系数的对称性：与首末两端“对距离”的两个二项式系数相等，即则二项式系数的和为0122r
n
n n n n n n C C C C C +++++
+=21r n
n n n C C ++
+=-。
偶数项的二项式系数和：
，则0123
(1)(11)0n n
n n n n n n C C C C C -+-+-=-=，13
21
11222
r r n n n n n C C C +-+⋅⋅⋅=++
++⋅⋅⋅=⨯=
④奇数项的系数和与偶数项的系数和：
012012021210
(1)(1)n n
n
n n n n n n n n n n n C a x a a x a x a x C a x a x a x a x a a a a +=+++++=+
++++=+---------++=-----①(1)(1)()
2
(1)(1)()
2
n n
n n n
n a a a a a a ----++-+=+--+=②
奇数项的系数和偶数项的系数和
⑤二项式系数的最大项：如果二项式的幂指数如果二项式的幂指数)n
a bx +展开式中最大的项，一般采用待定系数法。
设展开式中各项系数分别6n n n C +⋅13 .n n
n C -+=题型二：利用通项公式求n x 的系数；
2009a x +110,a x a +则。