高数公式总汇

1
+
zx2
(
x,
y
)
+
z
2 y
(
x,
y
)dxdy
Dxy
同理也可投影到 yoz, xoz 面上。
20. 对坐标的曲面积分：（上侧取正下侧取负）
R(x, y, z)dxdy = R x, y, z ( x, y)dxdy
3. 基本求导公式：
(loga
x)
=
1 x ln
a
(tan x) = sec2 x
( )ax = ax ln a
(cot x) = − csc2 x
(sec x) = sec x tan x
(csc x) = − csc x cot x
(arcsin x) = 1
1− x2
(arctan
x)
=
1 1+ x2
2)
空间曲线一般方程：
F G
( (
x, x,
y, y,
z z
) )
= =
0 0
5. 全微分： dz = z dx + z dy x y
6. 多元函数中连续与可微的关系：
函数连续
函数可微
函数可偏导
偏导数连续
7. 隐函数求导公式：
1) 对于 F ( x, y) = 0 ， ( y = f ( x)) 来说： dy = − Fx
5) 二阶常系数齐次线性微分方程： y + py + py = 0
特征方程 r2 + pr + q = 0 的两个根 r1 ， r2 两个不相等的实根 r1 ， r2 两个相等的实根 r1 = r2 一对共轭复根 r1,2 = i
微分方程 y + py + py = 0 的通解 y = C1er1x + C2er2x
4. 高阶求导公式：
(arccos x) = − 1
1− x2
(arc
cot
x)
=
−
1
1 +x
2
(sin
x )( n)
=
sin
x
+
n
2
(cos
x )( n)
=
cos
x
+
n
2
ln ( x
+ 1) ( n)
=
( ) −1 n−1
(n −1)! (1+ x)n
1 1+ x
(n)
=
( −1)n
x−a x+a
+c
1 dx = arcsin x + c
a2 − x2
a
1 dx = ln x + x2 − a2 + c x2 − a2
1 dx = ln x + x2 + a2 + c x2 + a2
13. 分部积分法： udv = uv − vdu （反对幂指三）
14.
积分上限函数的求导公式： d dx
11.
梯度：gradf
=
f x
,
f y
,
f z
（其方向表示 f 变化率最大方向，模表示最大变化率）
12. 多元函数极值与最值:
1)
对函数 z
=
f
(x,
y)
而言：若
fx fy
( x0, ( x0,
y0 ) y0 )
= =
0
0 ，则 ( x0 ,
y0 ) 为驻点，再令：
A = fxx ( x0 , y0 )
B = fxy ( x0 , y0 )
C = f yy ( x0 , y0 )
a) AC − B2 0 时，取极值： A 0 极大值， A 0 极小值
b) AC − B2 0 时，不取极值
c) AC − B2 = 0 时，无法确定
2) 拉格朗日乘数法：对函数 z = f (x, y) ，有 ( x, y) = 0 的约束，则做拉格朗日函数：
L ( x, y, ) = f ( x, y) + ( x, y) ，再依次对 x, y, 求偏导，并等于零后求解方程。
13. 重积分：
1) 极坐标中的二重积分： f ( x, y) dxdy = f ( cos , sin ) d d
D
D
2) 柱面坐标系中的三重积分：
f ( x, y, z)dxdydz = f ( cos, sin, z) d ddz
可得：
Fy
Gy
dy dx dy dx
+ Fz + Gz
dz dx dz dx
= =
− Fx −Gx
，则可计算出： J
=
Fy Gy
Fz ， Gz
最终可得出：
dy
dx
=
dz
dx
=
1 J
1 J
−Fx −Gx
Fy Gy
Fz Gz
−Fx −Gx
8. 空间曲线的切线方向向量：
x = x(t)
1) 空间曲线为参数方程： y = y (t ) ，那么 ( x(t0 ), y(t0 ), z(t0 )) 为 t0 处，曲线切线
16. 极坐标平面图形面积的计算公式： A = 1 2 ( ) d
2
17. 常微分方程：
1) 可分离变量微分方程： y = h ( x) y
2) 一阶线性微分方程： y + p ( x) y = Q ( x) （常数变易法）
3)
齐次方程：
y
=
y x
（令 u
=
y x
代换求解）
4) 伯努利方程：y + p ( x) y = Q ( x) yn（方程两端同时乘 (1− n) y−n ，并令 z = y1−n ）
y = (C1 + C2x) erx y = ex (C1 cos x + C2 sin x)
高数(下) 必背公式
1. 向量计算：
ab
=
a
b
sin
a
,
b
2. 空间平面及其方程：
i jk a b = ax ay az
bx by b z
( ) abc = a b c
1) 平面点法式方程： A( x − x0 ) + B ( y − y0 ) + C ( z − z0 ) = 0
x2 (t ) + y2 (t )dt
16. 对坐标的曲线积分：P(x, y),Q(x, y) 在 L : x = x (t ), y = y (t ) 的有向积分，t : → ：
L
P(
x,
y)dx
+
Q
(
x,
y
)
dy
=
P x (t ), y (t ) x(t ) + Q x (t ), y (t ) y(t ) dt
n!
(1+ x)n+1
( ) uv (n) = n Cnku(n−k)v(k) （莱布尼茨公式） k =0
5. 麦克劳林公式：
f ( x) = f (0) + f (0) x + f (0) x2 +
1!
2!
+ f (n) (0) xn + ( ) f (n+1) x xn+1
n!
(n +1)!
18. 格林公式：区域 D 为闭区域由曲线 L （对区域取正方向的边界）所围成，则有：
D
Q x
−
P y
dxdy
=
L
Pdx
+
Qdy
19. 对面积的曲面积分： f (x, y, z) 在曲面 : z = z ( x, y ) ，且在 xoy 的投影为 Dxy ，则：
f (x, y, z)dS = f x, y, z ( x, y)
6. 斜渐近线公式：
k = lim f ( x)
x→ x
b
=
lim
x→
f
(
x)
−
kx7Biblioteka 弧微分公式：一般方程： ds = 1+ ( y)2 dx
参数方程： ds = x(t )2 + y(t )2 dt
极坐标方程： ds = 2 ( ) + ( )2 d
b
则弧长公式： S = dsdx a
p
直线上的点。
5) 平面束方程： A1x + B1 y + C1z + D1 + ( A2 x + B2 y + C2z + D2 ) = 0
4. 空间曲面、曲面及其方程：
( ) 1) 将 yoz 平面的已知曲线 f ( y, z ) = 0 绕 z 旋转为： f x2 + y2 , z = 0
1) 点向式： x − x0 = y − y0 = z − z0
m
n
p
2) 两直线的夹角： cos = s1 s2 s1 s2 s n
3) 直线与平面的夹角： sin = sn
i
j
k
4)
点到直线的距离： d =
1 m2 + n2 + z2
x0 − x1 m
y0 − y1 n
z0 − z1 ， ( x1, y1, z1 ) 为
有 sin
x
， cos x 时，令 tan
x 2
=
t
( −
x
) ，则 x
= 2arctan t ， sin
x
=
2t ， t2 +1