立体几何向量解法

(1)异面直线间的距离 两条异面直线间的距离也不必寻找公垂线段,只需利用 向量的正射影性质直接计算. n a 如图,设两条异面直线a,b的公 A 垂线的方向向量为n, 这时分别在 a,b上任取A,B两点,则向量在n b 上的正射影长就是两条异面直线 a,b的距离. B n | AB n | ∴d = | AB | n | |= | n | , 即两异面直线间的距离等于两异面直线上分别任取两 两异面直线间的距离等于两异面直线上分别任取两 点的向量和公垂线方向向量的数量积的绝对值与公垂 线的方向向量模的比值. 线的方向向量模的比值
z C1 A1 B1
C A x B y
解:以C为原点建立空间直角坐标系C-xyz ,则 C(0,0,0),A1(1,0, 2 ),B(0,1,0),B1(0,1, 2). 设面A1BC的 法向量n=(x,y,z),由 CA 1 = (1, 0 , 2 ), CB = ( 0 ,1, 0 ), 得 x + x = 2 z 2 z = 0 ,得 , 取 z = 1 , 得n=(- 2 ,0,1).
(3)平面与平面的位置关系 平面α的法向量为n1 ,平面β的法向量为n2 n1 α n1 n2 α n2 β β
①若n1‖n2,即n1=λn2,则α‖β ②若n1⊥n2,即n1 n2= 0,则α⊥β
例4正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别 是BB1,CD的中点,求证:面AED⊥面A1FD
1
x y +2z = 0 x = 2z 得 x + y +2z = 0 ,解得 y=0
取z =1 得平面OA1D1的法向量的坐标n=(2,0,1).
二.立体几何问题的类型及解法 立体几何问题的类型及解法
1.判定直线,平面间的位置关系 (1)直线与直线的位置关系 不重合的两条直线a,b的方向向量分别为a ,b. ①若a‖b,即a=λb,则a‖b. ②若a⊥b,即ab = 0,则a⊥b ⊥
(2)直线与平面的位置关系 直线L的方向向量为a,平面α的法向量为n, 且L α. ①若a‖n,即a =λn,则 L⊥ α ②若a⊥n,即an = 0,则a ‖ α. ⊥
n a L n a
α L
α
例3棱长都等于2的正三棱柱ABC-A1B1C1, D,E分别是AC,CC1的中点,求证: (I)A1E ⊥平面DBC1; (II)AB1 ‖ 平面DBC1 A1
a
a b b
例2已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1的底面 ABCD是菱形,∠C1CB=∠C1CD=∠BCD=θ, 求证: C C1⊥BD
B1 A1
C1Fra Baidu bibliotek
D1
B
A
C
D
证明:设 CD= a, CB = b, CC1 = c, 依题意有| a |=| b |, 于是 BD = CDCB= a – b ∵ CC1 BD = c (a – b)= ca –cb = |c||a|cosθ–|c||b| cosθ=0 ∴C C1⊥BD
n
a b α
求平面的法向量的坐标的步骤
第一步(设 第一步 设):设出平面法向量的坐标为n=(x,y,z). 第二步(列):根据na = 0且nb = 0可列出方程组
x1x + y1y + z1z = 0 x2x + y2 y + z2z = 0
第三步(解):把z看作常数,用z表示x,y. 第四步(取):取z为任意一个正数(当然取得越特 殊越好),便得到平面法向量n的坐标.
x + y = 0 z y = 2
而面SAD的法向量n2 = (1,0,0). 于是二面角A-SD-C的大小θ满足
cosθ = cos < n1 , n2 >= 1 1 6 = = , 6 1+1+ 4 1+ 0 + 0 6
∴二面角A-SD-C的大小为
arccos
6 . 6
3.求解空间中的距离
y = 0 y = 0
∵ BB1 = (0,0, 2 ) , | BB n | | 0 + 0 + 2 | 2 6 d = = = = ∴ n 3 2 +1 3 或∵ A1B1 = ( 1,1,0) , ∴ d = | AB n| = | 2 +0+0| = 2 = 6 3 n 2 +1 3 或∵ CB1 = (0,1, 2 ) , ∴ | CB n | | 0 + 0 + 2 | 2 6
2+4+0 2 15 = = 30 1+ 4 + 0 4 + 4 + 4 5 4 3
(2)直线与与平面所成的角 若n是平面α的法向量, a是直线L的方向向量, π π 则L与α所成的角θ= -<a,n>或θ= <a,n>2 2 (下图) . n a a
θ θ
α
α
n
于是, 因此 θ = arcsin | a n |
例1在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,O 是面AC的中心,求面OA1D1的法向量.
z A1 B1 C1 D1
A
A O D C
y
x
B
解:以A为原点建立空间直角坐标系O-xyz(如图),设 平面OA1D1的法向量的法向量为n=(x,y,z), 则 O(1,1,0),A1(0,0,2),D1(0,2,2) 由 OA =(-1,-1,2), OD1 =(-1,1,2)
例8在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中, 求异面直线AC1与BD间的距离.
z A1 D1
B1
C1
A D
y
x
B
C
解:建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz,,则 A(0,0,0),B(1,0,0),D(0,1,0),C1(1,1,1), 设异面 直线AC1与BD的公垂线的方向向量n=(x,y,z), 则由 AC1 = (1,1,1), BD = (1,1,0) ,得 z x = x + y + z = 0 2 , 取 z = 2 得 n=(-1,-1,2). , 解得 z
2.求空间中的角
(1)两异面直线的夹角 利用向量法求两异面直线所成的夹角,不用再 把这两条异面直线平移,求出两条异面直线的 方向向量,则两方向向量的夹角与两直线的夹 角相等或互补,我们仅取锐角或直角就行了.
例5如图在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M是 AB的中点,则对角线DB1与CM所成角的余弦 值为_____.
z A1 B1 C1 D1
E D A F x B C y
证明:以A为原点建立如图所示的的直角坐标 系A- xyz, 设正方体的棱长为2,则 E(2,0,1),A1(0,0,2), F(1,2,0),D(0,2,0), 于是 AE = (2,0,1) AD = (0,2,0) 设平面AED的法向量为n1=(x,y,z)得 1 2 x + z = 0 x = z 2 解之得 y = 0 2y = 0 取z=2得n1=(-1,0,2) 同理可得平面A1FD的法向量为n2=(2,0,1) ∵n1 n2 = -2+0+2=0 ∴面AED⊥面A1FD
z A1 B1 C1 D1
A M
D
C
y
x
B
C
解: 以A为原点建立如图所示的直角坐标系Axyz, 设正方体的棱长为2,则 M(1,0, 0),C(2,2,0), B1(2, 0, 2),D(0,2 ,0), 于是,
CM = ( 1,2,0)
DB1 = ( 2,2,2)
DB ∴cos< CM , 1 >=.
| AB | | n |
θ B H α = . 于是,点到平面的距离等于平面内外两点的向量和 点到平面的距离等于平面内外两点的向量和 平面的法向量的数量积的绝对值与平面的法向量模 的比值. 的比值
| AB n | |n|
例9 在直三棱柱ABC-A1B1C1 中,AA1= 2 ,AC=BC=1,∠ACB=90°, 求B1到面A1BC的距离.
1
1
1
2
2
(3)二面角 设n1 ,n2分别是二面角两个半平面α,β的 法向量,由几何知识可知,二面角α-L-β的大 小与法向量n1 ,n2夹角相等(选取法向量竖 坐标z同号时相等)或互补(选取法向量竖坐 标z异号时互补),于是求二面角的大小可转 化为求两个平面法向量的夹角,这样可避免 了二面角的平面角的作图麻烦.
sin θ =| cos < a, n >|=|
an |an| |= | a || n | | a || n |
| a || n |
例6正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为a,高 为 2a ,求AC1与侧面ABB1A1所成的角
z C1
A1
B1 C O
A B x y
解:建立如图示的直角坐标系,则 a a a 3 a ,0) A1( A( 2 ,0,0),B(0, 2 ,0,). C(- 2 ,0, 2a) 2 设面ABB1A1的法向量为n=(x,y,z) 由 AB = ( a , 23 a,0), AA = (0,0, 2a) 得 2 a x = 3 3y x + ay + 0 = 0 2 2 ,解得 z = 0 , 2 az = 0 取y= 3 ,得n=(3, 3 ,0) y= , n=(3, 而 AC = (a,0, 2a) | 3a + 0 + 0 | 3a 1 sin θ =| cos < n, AC >|= = = ∴ 2 3 3a 2 9 + 3 + 0 a + 0 + 2a ∴ θ = 30 .
一.引入两个重要的空间向量 引入两个重要的空间向量
1.直线的方向向量 把直线上任意两点的向量或与它平行的向量都称 为直线的方向向量 直线的方向向量.如图1,在空间直角坐标系中, 直线的方向向量 由A(x1,y1,z1)与B(x2,y2,z2)确定的直线AB的方 向向量是
z B
A =(x2 x, y2 y,z2 z1) B 1 1
x
A
y
2.平面的法向量
如果表示向量n的有向线段所在的直线垂直于 平面α,称这个向量垂直于平面α,记作n⊥α,这 ⊥ 时向量n叫做平面 的法向量 平面α的法向量 平面 的法向量.
n
α
在空间直角坐标系中,如何求平面法向量的坐 标呢? 如图2,设a=( x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2) 是平面α内的两个不共线的非零向量,由直线 与平面垂直的判定定理知,若n⊥a且n⊥b,则 ⊥ ⊥ n⊥α.换句话说,若na = 0且nb = 0,则n⊥ α. ⊥ ⊥
x + y = 0 y = 2
∵ AB = (1,0,0) , ∴异面直线AC1与BD间的距离
| AB n | | 1 0 + 0 | 6 d= = = |n| 6 1+1+ 4
(2)点到平面的距离 A为平面α外一点(如图), n为平面α的法向量,过A作 A 平面α的斜线AB及垂线AH. | AH |=| AB | sin θ =| AB | | cos < AB , n >| n = | AB | | AB n |
z C1 B1 A E D C x B y
解:以D为原点,DA为x轴,DB为y轴建立空 间直角坐标系D-xyz.则 A(-1,0,0), B(0, 3,0), E(1,0,1), A1(-1,0,2), B1(0, 3 ,2), C1(1,0,2). 设平面DBC1的法向量为n=(x,y,z),则 x + 2z = 0 x = 2 z 解之得 y = 0 , 3y = 0 取z = 1得n=(-2,0,1) (I) A1E = (2,0,1) =- n,从而A1E ⊥平面DBC1 (II) AB1 = (1, 3 ,2) ,而 AB1 n =-2+0+2=0 AB1 ‖平面DBC1
n1 n2 n2 n1
例7在四棱锥S-ABCD中∠DAB=∠ABC=90°, 侧棱SA⊥底面AC,SA=AB=BC=1,AD=2,求 二面角A-SD-C的大小.
z S
y A
B
D
C
B
C
x
解:建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz,则 B(1, 0,0),C(1,1,0),D(0,2,0),S(0, 0,1). 设平面SCD的法向量n1=(x,y,z),则由 SC = (1,1,1), CD = (1,1,0) 得 z x = x + y z = 0 2 , 取 z = 2得 n1=(1,1,2). , 解得
数学专题二
空间向量法解决立体几何问题
专题提纲
一,引入两个重要空间向量
1,直线的方向向量; 2,平面的法向量.
二,立体几何问题的类型及解法
1,判断直线,平面间的位置关系; (1)直线与直线的位置关系; (2)直线与平面的位置关系; (3)平面与平面的位置关系; 2,求解空间中的角度; 3,求解空间中的距离.