基于ANSYS的圣维南原理数值验证(DOC)
圣维南原理及其证明
圣维南原理及其证明圣维南原理又称为中值定理，是微积分中一个重要的定理。
它是由法国数学家约瑟夫·路易·圣维南于1690年发现并提出的。
该原理主要用于描述实函数的连续性与导数之间的关系，并说明在一定条件下函数在其中一区间上的平均变化率与其中一点上的瞬时变化率之间存在关系。
1.第一中值定理：设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且在开区间(a,b)上可导（注意不一定连续），则在开区间(a,b)内存在一个点c，使得f'(c)=(f(b)-f(a))/(b-a)。
即函数在区间[a,b]上有一点的导数等于该区间上函数值的平均变化率。
2.第二中值定理：设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续且在开区间(a,b)上可微，且f(a)≠f(b)，则在开区间(a,b)内存在一个点c，使得f'(c)=(f(b)-f(a))/(b-a)。
即函数在区间[a,b]上其中一点的导数等于该区间上函数值的平均变化率。
3.第三中值定理：设函数f(x)和g(x)在闭区间[a,b]上连续且在开区间(a,b)上可微，且g'(x)≠0且g(a)≠g(b)，则在开区间(a,b)内存在一个点c，使得[f(b)-f(a)]/g(b)-g(a)]=f'(c)/g'(c)。
即两个函数在区间[a,b]上的斜率之比等于它们在开区间(a,b)内其中一点的导数之比。
对于圣维南原理的证明，需要运用微积分的基本概念和定理。
以下以第一中值定理为例进行证明。
证明：设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且在开区间(a,b)上可导。
我们定义一个新的函数g(x)=f(x)-[(f(b)-f(a))/(b-a)](x-a)。
1.首先验证函数g(x)在闭区间[a,b]上连续。
由于f(x)在[a,b]上连续，那么f(x)-[(f(b)-f(a))/(b-a)](x-a)也是连续函数。
2.再来验证函数g(x)在开区间(a,b)上可导。
圣维南原理
几何方程
应变
协调条件
位移
位移求解： 位移
几何方程
应变
物理方程
应力
应力解法
未知数3个σx、σy、τxy，须联立平衡方程与 变形协调条件，以平面应力问题为例， 将虎克定律代入应变协调条件得到：
xy ( x y ) 2 ( y x ) 2(1 ) 2 y x xy
X Y x y x 2 y 2 ( x y ) (1 )
2 2
(1)
平面应力情形
控制方程
μ
μ/1-μ
平面应变情形
控制方程
1 X Y ( ) x y x 2 y 2 1 x y
i
这种等效只是从平衡的观点而言的，对刚体来而言完全正 确，但对变形体而言一般是不等效的。
2.圣维南原理
(Saint-Venant Principle)
原理： 若把物体的一小部分边界上的面力，变换为分布 不同但静力等效的面力，则近处的应力分布将有 显著改变，而远处所受的影响可忽略不计。 P P/2
P A
h( yx )y Nhomakorabea0dx P cos
可见，与前面结果相同。
§2-8 平面问题应力解法
上节回顾 应力解法 应力函数
上节回顾
平衡方程 基本方程 几何方程 物理方程 位移边界 边界条件 应力边界 混合边界 弹性力学问题的解
基本方程
1、平衡方程
xy x X 0 x y xy y Y 0 x y
P P/2
P A P A
P
3.圣维南原理的应用
圣维南原理的有限元模拟
圣维南原理的有限元模拟圣维南原理是电子学中的一项基本原理，用于描述电导体中电流分布情况的方法，常用于有限元模拟中来解决电磁场问题。
有限元模拟是一种基于数值方法的工程分析技术，通过将连续的物理问题离散化为有限数量的元素，再利用数值计算方法对这些元素进行求解，以模拟实际问题的行为和物理特性。
以下是关于圣维南原理在有限元模拟中的详细介绍。
圣维南原理（Saint-Venant’s Principle）主要用于描述电导体中的电流分布情况。
它是基于电流连续性方程和欧姆定律的基本原理，即电流在导体内部的分布是均匀且沿导体表面方向渐变。
根据这个原理，在有限元模拟中可以通过离散化导体为一系列有限元素来近似描述电流的分布情况。
在有限元模拟中，首先需要将导体区域划分为小块，称为有限元。
每个有限元都有一组自由度，用于描述电场强度或电势的分布情况。
在圣维南原理的约束下，任意两个相邻的有限元之间，在其界面上，电场强度或电势需要满足一定的连续性条件。
这些连续性条件可以通过将不同有限元之间的界面进行连接，构建整个导体区域的有限元模型。
有限元模型构建完成后，利用数值方法求解模型中的电场强度或电势分布。
通常采用有限元法的变分形式，通过求解最小化电场强度或电势的能量泛函来得到电场方程的离散形式。
然后，通过数值求解方法（如有限差分法等）对离散的电场方程进行求解，得到电场强度或电势分布的近似解。
由于圣维南原理的应用，有限元模拟能够较准确地描述导体中电流的分布情况。
采用有限元模拟方法，可以更好地理解和分析各种电磁场问题，如电磁传感器中的电流分布、电源线中的电压降等。
有限元模拟结果可以帮助工程师优化设计和制造过程，提高电子设备的性能和可靠性。
总之，圣维南原理作为电导体中电流分布的基本原理，在有限元模拟中扮演着关键的角色。
通过有限元模拟，可以准确地描述电流在导体中的分布情况，帮助工程师解决电磁场问题，从而优化设计和制造过程，提高电子设备的性能和可靠性。
圣维南原理在有限元分析中的应用
圣维南原理在有限元分析中的应用弹性力学中一个说明局部效应的原理，是法国力学家A.J.C.B.de 圣维南于1855年提出的。
其内容是：分布于弹性体上一小块面积（或体积）内的载荷所引起的物体中的应力，在离载荷作用区稍远的地方，基本上只同载荷的合力和合力矩有关；载荷的具体分布只影响载荷作用区附近的应力分布。
圣维南原理在实用上和理论上都有重要意义。
在解决具体问题时，如果只关心远离载荷处的应力，就可视计算或实验的方便，改变载荷的分布情况，不过须保持它们的合力和合力矩等于原先给定的值。
圣维南原理是定性地说明弹性力学中一大批局部效应的第一个原理有限元法基本原理（Basic Theory of FEM）有限元法的基本思想是离散的概念，它是指假设把弹性连续体分割成数目有限的单元，并认为相邻单元之间仅在节点处相连。
根据物体的几何形状特征、载荷特征、边界约束特征等，选择合适的单元类型。
这样组成有限的单元集合体并引进等效节点力及节点约束条件，由于节点数目有限，就成为具有有限自由度的有限元计算模型，它替代了原来具有无限多自由度的连续体结构的离散化结构的离散化是进行有限元法分析的第一步，它是有限元法计算的基础。
将结构近似为具有不同有限大小和形状且彼此相连的有限个单元组成的计算模型，习惯上称为有限元网格划分。
离散后单元与单元之间利用单元的节点相互连接起来，而单元节点的设置、性质、数目等应视问题的性质、描述变形形态的需要和计算精度而定。
所以有限元法分析的结构已不是原有的物体或结构物，而是同种材料的由众多单元以一定方式连接成的离散物体。
这样，用有限元分析计算所获得的结果是近似的。
显然，单元越小（网格越密）则离散域的近似程度越好，计算结果也越精确，但计算量将增大，因此结构的离散化是有限元法的核心技术之一。
有限元离散过程中又一重要环节是单元类型的选择，这应根据被分析结构的几何形状特点、载荷、约束等因素全面考虑结构的离散化分析是依据圣维南原理而在的，没有圣维南原理就没有离散化分析的根据圣维南原理在有限元分析中的是骨架，整个分析在其中。
静电场数值仿真实验-ANSYS常用选项说明文档
静电场数值仿真实验-ANSYS常用选项说明文档ANSYS软件常用选项中、英文对照及功能说明英文译文功能说明File文件用于对ANSYS的各种文件进行操作处理Select选择选择模型的点，线，面等元素List列表列表显示模型的元素编号，坐标，属性等相关内容Plot图形显示控制图形窗口中的显示内容Replot刷新图形刷新图形显示PlotCtrls图形控制控制图形的显示大小，方向，颜色，数量等内容Numbering…编号显示显示模型中点，线，面等元素的编号Style样式对图形的颜色，大小等进行控制显示Capture Image抓图以BMP格式显示图形窗口中的图形Restore Image保存图形以BMP格式保存图形窗口中的图形Parameters参数设置输入，输出模型中的相关参数MenuCtrls菜单设置显示或者隐藏主要工作界面Graphic Window图形窗口ANSYS各种图形的输出显示窗口Help帮助提供ANSYS软件的原理及操作手册Preferences预处理过滤仿真模块及选择计算方法Preprocessor前处理进行定义单元类型、材料属性、实常数及建立实体模型与网格划分等相关操作Element Type单元类型定义单元类型Real Constants实常数定义实常数Material Props材料属性定义材料属性Modeling建模包含创建实体模型中的相关操作Create创建创建点，线，面等模型元素Partial Annulus部分圆环创建部分圆环Operate操作对模型中的元素进行拓展、布尔操作等相关操作Booleans布尔操作对图形元素进行交，加等布尔操作Overlap搭接除了保留了各图元的边界外，其它与加运算类似Delete删除删除一些图元MeshTool网格工具网格划分工具，包括了定义单元属性，单元尺寸控制，执行网格划分及细化网格属性等网格划分操作Solution求解求解器，包含施加载荷并求解模型选项Loads载荷提供了对载荷的设置，删除等操作Apply施加载荷为模型施加激励，边界条件，无线区域标志等内容Boundary边界为模型加载边界条件Excitation激励为模型加载激励Flag标志为模型提供无线区域及麦克斯韦标志Current LS当前载荷求解当前载荷模型General Postproc通用后处理通用后处理器，用于检查分析的结果Plot Results图像结果图像显示分析的结果Contour plot云图用颜色代表相关变量的大小而绘制出来的变量图像Nodal Solution节点结果分析结果为网格节点处的值DOF solution自由度结果分析结果为自由度的值Flux & gradient梯度对求解结果进行取梯度操作Element Solution单元结果显示单元变量的结果Vector Solution矢量图形矢量显示模型中的矢量List Results列表结果以列表的形式显示相关变量的结果OK确定确定相关操作，并关闭类似操作对话框Apply应用应用相关操作，接下来可继续进行类似操作Cancel取消取消相关操作Reset重置重置相关操作Pick All全选选择模型中的所有元素Help帮助调用帮助文档，对相关操作进行详细说明。
圣维南原理及其证
圣维南原理及其证明：历史与评述赵建中云南大学资源、环境与地球科学学院地球物理系，昆明650091 摘要圣维南原理（Saint-V enant’s Principle）是弹性力学的基础性原理，圣维南原理的证明一直是弹性力学重要的研究课题。
本文以圣维南原理研究中最重要的事件为线索，对圣维南原理的发展历史作了综述，对重要的研究工作和结果进行了评论；发表和论证了图平定理不是圣维南原理的数学表达、一般的圣维南原理不成立、修正的圣维南原理可以证明为真等观点；介绍了建立修正的圣维南原理的数学方法；阐述了研究圣维南原理证明问题的意义；目的在于引起对这些有关圣维南原理的基本问题的关注和讨论，促进圣维南原理研究的繁荣和发展。
关键词圣维南原理，历史，图平定理，证明，否证，数学表达，修正，意义中图分类号：0343.2AMS Subject Classifications: 74G50引言弹性力学的圣维南原理已经有一百多年的历史了[1,2]。
早期有关原理有重要的文章[39] 。
波西涅克（Boussinesq）[3]于1885年、勒夫（Love）[4]于1927 年分别发表了圣维南原理的一般性陈述。
然而Mises[5]认为勒夫陈述不清楚并提出修改的陈述，其后的论证既可以看作是对一般的Mises 陈述的否证，又可以看作是对具有特殊条件的Mises 陈述的证明。
Sternberg [6]赞同Mises的修改，他的论证也可以既看作是对Mises 陈述（Sternberg称为圣维南原理的传统陈述）的一般性的否证，又看作是对附加了条件的Mises 陈述的证明。
Truesdell[10]于1959年断言，如果关于等效载荷的圣维南原理为真，它“必须是”线性弹性力学“一般方程的数学推论”。
这就从理性力学的角度提出了圣维南原理的证明问题，圣维南原理被视为一个数学命题，其真理性需要证明。
毫无疑问，圣维南原理的数学证明成了一个学术热点。
为了揭示原理隐秘的内涵，或者说破解原理之谜，学者们花费了巨大的努力。
圣维南原理验证过程
圣维南原理验证过程课程：有限元方法及CAE软件班级：姓名学号：圣维南原理验证过程一、圣维南原理简介圣维南原理属于弹性力学中一个局部效应原理，是由法国力学家圣维南于1855年提出。
意在表述：分布于弹性体上一小块面积（或者体积）内的载荷所引起的物体中的应力，在离载荷作用区域较远的地方，基本只同载荷的合力和合力矩有关，载荷的具体分布只影响载荷作用区域附近的应力分布。
(弹性力学一般原理-圣维南原理）二、圣维南原理验证实验的前提条件1.载荷作用于弹性体。
2.满足静力学等效条件。
3.只能在边界上用圣维南原理，在主要边界上不能使用。
三、圣维南实验验证的准备工作此次实验验证使用的零件是一根梁，长为800mm，截面宽为50mm，截面高为30mm，材料属性为弹性模量为2.07E11Pa，泊松比为0.29。
分析软件为ANSYS15.0。
图1 梁二维图四、圣维南原理有限元分析过程4.1 模型建立使用ANSYS建模工具，建立三维模型图，如图2。
图2 三维模型4.2 有限元分析前置处理前处理包括：单元选取、常数设置、材料属性定义、网格划分和载荷施加等。
单元选取为solid 8nodes185。
常数不需设定。
材料选取为stl_AISI-C1020（钢）。
采用映射网格划分，如图3所示。
图3 网格划分对模型一端施加全约束，另一端施加集中力1500000N，如图4所示。
图4 载荷施加4.3 有限元求解对已经前置处理好的模型进行求解，求解成功后，如图5所示。
图5 求解图4.4 有限元后处理通过GUI显示，施加载荷后模型的应力分布情况，如图6所示。
图6 应力分布情况4.5 等效载荷的分析mm，重复以上步骤，将集中力改为等效的均布载荷分布力，大小为1000N/2得到模型的载荷分布及应力分布如图7、图8所示。
图7 均布载荷分布情况图8 等效均布载荷五、圣维南原理有限元分析结论由上述分析可知，两次不同的加载，远离作用区域的应力几乎不发生变化，集中载荷作用时在梁上最小值为1117.42N，均布载荷作用时在梁上最小值为1087.21N，二者几乎相等，且此值分布在远离作用域的大部分区域中，变化较大的只集中在作用区域附近。
圣维南原理的有限元模拟
圣维南原理的有限元模拟一、引言1.1 背景介绍圣维南原理（Saint-Venant principle）是结构力学中的一个重要原理，用于描述材料在载荷作用下的变形和应力分布规律。
有限元模拟是一种数值计算方法，可以通过将材料划分成多个小区域，近似求解对应的微分方程，得到材料的应力和变形信息。
本文将探讨圣维南原理在有限元模拟中的应用。
1.2 本文结构本文将按照以下结构对圣维南原理的有限元模拟进行全面、详细、完整且深入地探讨。
1.圣维南原理简介2.有限元方法概述3.圣维南原理的有限元建模步骤4.圣维南原理的有限元模拟实例分析5.结论与展望二、圣维南原理简介2.1 原理概述圣维南原理是由法国的物理学家圣维南（Barré de Saint-Venant）提出的。
原理表明，当材料受到外部载荷作用时，在远离载荷集中区域的地方，材料的应变和应力分布几乎不受载荷的具体形状和大小影响，只受载荷的总体效果影响。
也就是说，当材料足够远离载荷区域时，可以将载荷看作是完全分布在材料上的，而不再考虑具体的载荷形状。
2.2 适用范围圣维南原理适用于线弹性材料受到小应变、小变形和小应力情况下的力学分析。
对于非线性材料、大应变和大变形的情况，圣维南原理的适用性将受到限制。
三、有限元方法概述3.1 什么是有限元方法有限元方法是一种将连续介质离散化的数值计算方法，将连续的材料划分成多个小单元，通过对每个单元进行有限元分析，近似求解材料的应力、应变等物理量。
有限元方法通过求解以下微分方程来描述材料的行为：其中，σ为应力张量，ε为应变张量，C为弹性模量矩阵，F为外力矢量。
3.2 有限元方法的步骤有限元方法可以分为以下几个步骤：1.几何建模：对要分析的结构进行几何建模，选择合适的坐标系和节点。
2.选择适当的有限元类型和形状函数。
3.网格划分：将结构划分成多个小单元，构建有限元网格。
4.建立节点位移和约束：确定各个节点的位移和约束条件。
圣维南原理
用ANSYS证明圣维南原理一、圣维南原理圣维南原理（Saint-V enant’s Principle）：如果把物体的一小部分边界上的面力，变换为分布不同但静力等效的面力（主矢量相同，对于同一点的主矩也相同），那么，近处的应力分布将有显著的改变，但是远处所受的影响可以不计。
它也可以这样来陈述：如果物体一小部分边界上的面力是一个平衡力系（主矢量和主矩都等于零），那么，这个面力就只会使得近处产生显著的应力，远处的应力可以不计。
二、证明思路圣维南原理提出至今已有一百多年的历史，虽然还没有确切的数学表示和严格的理论证明，但无数的实际计算和实验测量都证实了它的正确性。
本文将利用ANSYS软件，通过对实例模型的数值分析计算，证明圣维南原理。
本文选择建立一个横截面积相对较小的混凝土柱体作为研究对象，然后对此矩形截面直杆模型进行数值证明。
分别对直杆两端施加集中力，以及与此集中力静力等效的均布载荷。
比较两种情况下其所受的平均应力分布情况，从而利用此结果证明圣维南原理。
三、ANSYS建模及求解1、创建有限元模型。
选择Solid —10 node 92单元类型，弹性模量EX=2.5E9，泊松比PRXY=0.35。
然后创建一个长、宽、高分别为1m，0.05m，0.05m的长方体，并对其进行自由网格划分。
建模及网格划分结果如下图1所示。
图1 矩形截面直杆模型的ANSYS建模与网格划分2、施加载荷并求解。
（1）在长方体一端加上全自由度位移约束，另一端面中心加上F=10KN的集中力作用，求解。
约束及载荷施加结果如图2所示。
图2 集中力及约束施加结果（2）在长方体一端加上全自由度位移约束，另一端面（与集中力作用端面相同）加上与集中力静力等效的P=4000KN的均布载荷作用，求解。
约束及载荷施加结果如图3所示。
图3 均布载荷及约束施加结果3、查看分析结果。
分别生成在长方体端面施加集中力与等效均布载荷情况下，其平均应力分布图以及各节点处平均应力分布变化曲线。
实验二 Ansys 仿真实验
实验二基于ANSYS平台的电磁场数值仿真一、实验目的1．在仿真过程中学会使用ANSYS软件。
2．学会边值问题的建模方法。
3．学会用仿真软件检验对电磁场分布的猜测。
二、实验类型本实验为验证型教学实验。
三、实验仪器配备有ANSYS软件平台的台式计算机。
四、实验原理本实验是在ANSYS平台上开发的。
ANSYS是国际上著名的有限元软件包，可对结构力学、流体力学、传热学和电磁学等领域的问题进行求解。
其特点是图形界面友好，易学，前后处理功能强大。
在ANSYS平台上开发电磁场数值仿真实验，只需将问题的求解过程描述清楚，按照给定步骤上机操作，即可得到预期结果。
五、实验内容图1 仿真计算模型（图中a、D可自定）仿真实验包括静电场实验和恒定磁场实验，可任选一个。
对于静电场实验，图1中两导体电位分别为100V和-100V（可自定）；对于恒定磁场实验，图1中两导体电流密度分别为10000A/m2和-10000A/m2。
根据几何结构和源分布的对称性，仿真实验可选用1/4或1/2平面进行建模。
实验分为两步：第一步，按照给定步骤和给定参数上机操作；第二步，尝试改变某些参数，观察仿真结果的变化。
六、实验步骤1.开始→程序→ansys5.6→license status→server（等待）→quit（不能按其他选择）2.开始→程序→ansys5.6→interactive（出现界面）→run（出现界面）→3.ANSYS Main Menu（左侧主菜单）→preferences→electric（点击白框打勾）→ok（预设问题归属）→4.ANSYS Main Menu→preprocessor→material props→-constant-isotropic→1→ok→perx 1→ok（给定材料相对介电常数）→5.ANSYS Main Menu→preprocessor→element type →add/edit/delete→add→electrostatic →2D quard 121→ok（设定内部单元类型）→6.(ANSYS Main Menu→preprocessor→element type →)add/edit/delete→add→infiniteboundary→2D infquard 110→ok→option→AZ改为volt, 4noded quard改为8noded→（设定外部无限单元类型）close→7.(ANSYS Main Menu→preprocessor→modeling→create→-Area- circle→partialannulus→wp x 1, wp y 0, rd-1 0, theta-1 0, rd-2 0.2, theta-2 180, apply→ wp x -1, wp y 0, rd-1 0, theta-1 0, rd-2 0.2, theta-2 180, apply→wp x 0, wp y 0, rd-1 0, theta-1 0, rd-2 5, theta-2 180, apply→wp x 0, wp y 0, rd-1 0, theta-1 0, rd-2 10, theta-2 180,ok（创建几何模型）→8.(ANSYS Main Menu→preprocessor→modeling→operate→-booleans- overlap→area→pick all（模型各部分之间集合运算）→9.(ANSYS Main Menu→preprocessor→modeling→delete→area and below→光标选中两个小圆，ok（删除导体部分）→10.(ANSYS Main Menu→preprocessor→-attributes- define→pick areas→光标选中有两个小圆缺口的内半圆，apply→apply→光标选中外半圆，ok→1 plane121改为 2 infin110→ok（定义区域属性）→11.(ANSYS Main Menu→preprocessor)→mesh tool→lines set→光标选中外层两条弧线，apply→ndiv 50 →apply→光标选中外层扇形左右两条底边，apply →ndiv 1 →apply→光标选两小圆弧，apply → ndiv 20 →apply→光标选中两小圆弧之间的两条小线段，apply→ndiv 20→apply→光标选中两小圆弧与大扇形之间两条长线段，ok→ndiv 20→ok→12.mesh tool菜单中选中quad 和 mapped，点击mesh →光标选中外部大扇形，ok（外部无限单元划网格）→13.mesh tool菜单中选中tri 和 free，点击mesh →光标选中有两个小圆缺口的内半圆，ok（内部有限单元划网格）→14.(ANSYS Main Menu)→solution→-loads- apply→-elecric- boundary→-voltage- online→光标选中右小半圆，apply, 100，apply→光标选中左小半圆，ok, -100 ，ok（导体表面加电位）→15.(ANSYS Main Menu)→solution→-loads- apply→-elecric- flag→-infinite surf- online→光标选中最外边的半圆，ok（无限边界加标志）→16.(ANSYS Main Menu)→solution→-solve- current ls→ok（求解，等待）→close（关闭黄框）→关闭status command文件（白框）17.(ANSYS Main Menu)→general postproc→plot results→-contour plot- nodal solu→dof solution elec poten volt ok（显示电位9色云图）→18.emag 3d utility menu→plot ctrls→device options→shading win32 点击改为contours win32c ， vocter mode off 点击改为on, ok→19.emag 3d utility menu→plot ctrls→style→contours→uniform contours→ncont100 ，ok（显示等电位线分布）→20.(ANSYS Main Menu)→general postproc→plot results→-vector plot-predefined→flux and gradient→选择D或EF（箭头显示电位移矢量或电场强度）→21.emag 3d utility menu→plot ctrls→pan, zoom, rotate→（可以移动、放大、缩小图形）22.ansys toolbar→选择quit-no save！ok→(退出ANSYS)七、实验注意事项为了避免仿真过程中重复建模，应对数值仿真的中间过程适当保存备份。
圣维南原理及其证明.doc
圣维南原理及其证明.. 圣维南原理及其证明：历史与评述赵建中云南大学资源、环境与地球科学学院地球物理系，昆明650091 摘要圣维南原理（Saint-历史与评述赵建中云南大学资源、环境与地球科学学院地球物理系，昆明650091 摘要圣维南原理（Saint：0343.2 AMS Subject Classifications: 74G50 引言弹性力学的圣维南原理已经有一百多年的历史了。
早期有关原理有重要的文章。
波西涅克（Boussinesq）于1885年、勒夫（Love）于1927 年分别发表了圣维南原理的一般性陈述。
然而Mises 认为勒夫陈述不清楚并提出修改的陈述，其后的论证既可以看作是对一般的Mises 陈述的否证，又可以看作是对具有特殊条件的Mises 陈述的证明。
Sternberg 赞同Mises 的修改，他的论证也可以既看作是对Mises 陈述（Sternberg称为圣维南原理的传统陈述）的一般性的否证，又看作是对附加了条件的Mises 陈述的证明。
Truesdell 于1959年断言，如果关于等效载荷的圣维南原理为真，它“必须是”线性弹性力学“一般方程的数学推论”。
这就从理性力学的角度提出了圣维南原理的证明问题，圣维南原理被视为一个数学命题，其真理性需要证明。
毫无疑问，圣维南原理的数学证明成了一个学术热点。
为了揭示原理隐秘的内涵，或者说破解原理之谜，学者们花费了巨大的努力。
Zanaboni “证明”了一个定理，并称和圣维南原理有关。
图平（Toupin）列举了更多的反例说明波西涅克和勒夫的一般性陈述不真，并建立了一个能量衰减的定理，这个定理被认为是柱体圣维南原理的数学证明，似乎具有里程碑的意义。
Berdichevskii 推广了图平定理。
诸多学者仿效着推导出一些定理来建立图平型衰减，并把原理推广到连续介质物理学的各个领域，诸如流体流动和热传导问题等，发展了许多方法。
Horgan 和Knowles 对原理的进展跟踪作了评论，其后又有不少新的工作。
基于ANSYS的圣维南原理数值验证
基于ANSYS的圣维南原理数值验证圣维南原理是一个广泛应用于工程学领域的基本定理，它描述了在一个静止的弹性体上施加的力如何分布在该体上。
基于ANSYS的圣维南原理的数值验证是通过使用ANSYS软件来模拟和计算实际工程情况下的应力和应变分布，以验证圣维南原理在工程中的适用性和可靠性。
ANSYS是一种基于有限元分析的工程仿真软件，可以对各种结构进行精确的物理模拟和计算。
通过使用ANSYS，可以进行静力学、动力学、热力学等多种类型的仿真分析。
对于圣维南原理的验证，我们主要关注静力学方面的仿真。
在进行圣维南原理的数值验证时，首先需要建立一个准确的计算模型。
对于一些简单的结构，可以直接通过ANSYS的建模工具进行建模；对于复杂的结构，可以导入CAD模型或者使用ANSYS的几何建模工具进行建模。
接下来，需要定义材料的力学性质。
ANSYS提供了许多材料模型，可以根据具体材料的性质选择适当的材料模型，如弹性模型、塑性模型等，并输入相关的材料参数。
然后，需要定义施加在结构上的边界条件。
根据具体的工程问题，可以定义结构的固支、受力点、载荷等边界条件。
在圣维南原理的验证中，通常会施加一个已知大小和方向的力或者力矩。
在完成建模和定义边界条件后，需要进行数值求解。
通过ANSYS提供的有限元求解器，可以得到结构中各点的位移、应力和应变等结果。
最后，需要进行结果的后处理和分析。
可以通过ANSYS的后处理工具绘制出应力云图、应变云图和位移云图等，以直观地展示结构中的应力和应变分布情况。
同时，还可以计算并比较不同位置的应力和应变值，以验证圣维南原理在结构中的适用性。
总之，基于ANSYS的圣维南原理的数值验证是通过使用ANSYS软件来模拟和计算实际工程情况下的应力和应变分布，从而验证圣维南原理的有效性。
通过该验证，可以帮助工程师们更好地理解圣维南原理，并在实际工程中应用和优化结构设计。
验证圣维南原理
将表1. 中的数据带入S矩阵中得 i j mI
1 0 E S 0 0 a 1 0 2
0 0 1 0 1 0 1 1 0 2 2
0 1 1 2
求各个单元的应力只需 将节点i、j、k 所对应的 节点位移带入即可。
在2、3节点中间的截面总的合力为0.97482Fh 总的合力接近P=Fh，所以符合圣维南原理！
ui v i u j 源自 v j um vm
x y xy
o ci bi 2
bj 0 cj 2
0 cj bj 2
bm 0 cm 2
S称为应力矩阵，由于S是常数矩阵，所 以三角形单元内的应力是一样的。
i j
m
总刚合成
2单元
1单元 2 18 1
2 18
2
19 18
0 0 0 2 0 2 0 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 Eh 0 e k1 0 0 2 0 2 4 0 2 1 1 0 3 1 0 1 1 2 1 3
kim k jm k mm
ke
cr cs b b Eh r s 2 krs 4 A br cs 2
A为单元面积 (r , s=i , j , m)
cr bs br bs cr cs 2
（i , j , m按顺 序换可的j , m 对应的数）
图1.
将本结构离散化，划分为由64个直角等腰三角形单元组成的结构， 含有51个节点，其中节点1、18和35都是约束节点，没有位移。
计算单元刚度矩阵
kii e k k ji k mi
基于有限元法验证圣维南原理
基于有限元法验证圣维南原理摘要：圣维南原理是弹性力学中的最重要的基础性原理，本文主要是利用有限元方法，对圣维南原理进行验证。
文章首先是基于有限单元法的基本原理，进行平面有限元程序的编写，然后对所选模型进行有限元模型的建立，采用不同的荷载加载形式，利用编写的程序进行计算，最后对得到的结果从不同的方面进行分析，然后得出结论，对圣维南原理的正确性进行肯定。
关键词：有限元，圣维南原理，程序设计一、 引言圣维南原理（Saint Venant ’s Principle ）是弹性力学的基础性原理[1]，是法国力学家圣维南于1855年提出的。
其内容是：分布于弹性体上一小块面积（或体积）内的荷载所引起的物体中的应力，在离荷载作用区稍远的地方，基本上只同荷载的合力和合力矩有关；荷载的具体分布只影响荷载作用区附近的应力分布。
很多学者研究过圣维南原理的正确性，结果发现，它在大部分实际问题中成立。
有限元法（Finite Element Method ）是求解复杂微分方程近似解的一种非常有效的工具，是现代数字化科技的一种重要基础性原理。
将其应用到工程中，可成为探究物质客观规律的先进手段。
本文主要利用有限元法，进行程序设计，再利用该程序对圣维南原理进行验证，通过对施加不同的荷载情况下，比较构件内位移、应力的变化，进而对圣维南原理的正确性做出肯定。
二、 有限元基本原理及程序设计有限元分析包括三个方面[2]：1 有限元方法的基本数学力学原理；2 基于原理所形成的计算机程序；3 使用计算机进行计算。
首先来讨论一下有限元方法的基本数学力学原理。
本文所涉及的程序是基于3节点三角形单元（3-node triangular element ）,每个单元有6个自由度，所有节点的位移组成位移矩阵U ，所有节点力组成荷载向量P 。
图1其形函数为：u 1u 2u 3v 1v 2v 3N i=(a i+b i x+c i y)，i=1，2，3其中：a i=x j y m−x m y jb i=y j−y mc i=x m−x j应变转换矩阵：B i=12A [b i00c ic i b i]，i=1，2，3弹性系数矩阵：D=E1−μ2[1μ0μ10001−μ2]单元刚度阵：K e=∫B T∙D∙B∙t∙A=[k11k12k13 k21k22k23 k31k32k33]其中：t---单元的厚度；A---为单元的面积。
ansys子模型介绍与应用实例.docx
何为子模型？子模型是得到模型部分区域中更加精确解的有限单元技术。
在有限元分析 中往往出现这种情况，即对于用户关心的区域，如应力集中区域，网格太疏不能得 到满意的结果，而对于这些区域之外的部分，网格密度已经足够了。
见图5-1 O 图5-1轮毂和轮辐的子模型a ）粗糙模型，b ）叠加的子模型要得到这些区域的较精确的解，可以采取两种办法：6）用较细的网格重新 划分并分析整个模型，或6）只在关心的区域细化网格并对其分析。
显而易见， 方法a 太耗费机时，方法b 即为子模型技术。
子模型方法又称为切割边界位移法或特定边界位移法。
切割边界就是子模型 从整个较粗糙的模型分割开的边界。
整体模型切割边界的计算位移值即为子模型 的边界条件。
子模型基于圣维南原理，即如果实际分布载荷被等效载荷代替以后，应力和 应变只在载荷施加的位置附近有改变。
这说明只有在载荷集中位置才有应力集中 效应，如果子模型的位置远离应力集中位置，则子模型内就可以得到较精确的结 果。
ANSYS 程序并不限制子模型分析必须为结构（应力）分析。
子模型也可以 有效地应用于其他分析中。
如在电磁分析中，可以用子模型计算感兴趣区域的电 磁力。
除了能求得模型某部分的精确解以外，子模型技术还有几个优点：它减少甚至取消了有限元实体模型中所需的复杂的传递区域。
它使得用户可以在感兴趣的区域就不同的设计（如不同的圆角半径）进 行分析。
它帮助用户证明网格划分是否足够细。
使用子模型的一些限制如下： 只对体单元和壳单元有效。
子模型的原理要求切割边界应远离应力集中区域。
用户必须验证是否满足这 个要求。
如何作子模型分析子模型分析的过程包括以下步骤： 生成并分析较粗糙的模型。
生成子模型。
提供切割边界插值。
分析子模型。
验证切割边界和应力集中区域的距离应足够远。
第一步：生成并分析较粗糙的模型第一个步骤是对整体建模并分析。
（注一为了方便区分这个原始模型， 我们 将其称为粗糙模型。
这并不表示模型的网格划分必须是粗糙的，而是说模型的网 格划分相对子模型的网格是较粗糙的。
ANSYS关于圣维南原理的验证
ANSYS关于圣维南原理的验证圣维南原理是工程学中的一个基本原理，用于验证和分析结构的稳定性。
在ANSYS软件中，可以使用有限元分析方法对结构进行圣维南原理的验证。
下面将详细介绍如何在ANSYS中进行圣维南原理的验证。
首先，需要通过创建几何模型来描述结构。
可以使用ANSYS中的几何建模工具创建所需模型，或者导入外部CAD文件。
确保几何模型描述了结构的几何形状。
接下来，需要定义结构的材料特性。
在ANSYS中，可以选择材料库中的现有材料，或者根据需要自定义材料特性。
对于每一种材料，需要指定其弹性模量、泊松比等力学性质。
然后，需要定义结构的边界条件和加载情况。
根据问题的要求，设置结构的约束条件和应用在结构上的载荷。
可以在ANSYS中使用节点约束和面约束来定义边界条件，以及使用节点力和面力来定义载荷情况。
在设置完边界条件和加载情况后，需要网格化结构。
使用ANSYS中的网格划分工具将结构离散成有限元网格。
确保网格足够细密以准确地捕捉结构的行为。
接下来，需要指定分析类型和所需分析设置。
对于圣维南原理的验证，通常选择线性静态分析。
同时，可以选择是否进行线性或非线性材料的分析。
在进行分析之前，需要指定所需的加载步数和收敛准则等设置。
可以根据问题的要求设置分析的最大步数、最大残差和最大位移等参数。
然后，进行结构的求解和后处理。
在ANSYS中，可以使用求解器来求解结构的力学行为，并根据需要对结果进行后处理。
可以使用ANSYS中的后处理工具来查看位移、应力、应变等结果，并进行局部细化分析。
在进行后处理时，需要关注结构的稳定性。
对于圣维南原理的验证，需要查看结构的临界载荷和临界位移。
通过对比计算结果和理论计算值，可以验证结构在临界状态下的稳定性。
最后，根据验证结果进行分析和评估。
根据分析结果，可以评估结构的稳定性和安全性。
如果结构不稳定，可以考虑通过增加结构刚度、修改材料特性或优化结构形式来增加其稳定性。
总之，在ANSYS中进行圣维南原理的验证需要完成几何建模、定义材料特性、设置边界条件和加载情况、网格划分、指定分析类型和设置、求解和后处理等步骤。
圣维南原理的有限元模拟
圣维南原理的有限元模拟圣维南原理（Saint-Venant principle）是结构和材料力学领域中的一个重要原理，它可以用来研究材料在受力情况下的响应和变形。
该原理是由法国工程师阿杜安·德圣维南于1855年提出的，他的研究对于理解结构和材料的力学性能有着重要的意义。
圣维南原理的核心思想是，在材料受力时，只有处于受力点附近的一个局部区域内才发生显著的变形和应力集中，而远离受力点的其他区域则发生较小的变形。
基于这个原理，我们可以将材料的受力行为简化为在一个局部区域内进行研究，并假设其他区域的影响可以忽略不计。
通过这种近似，我们可以简化复杂的力学问题，并应用有限元方法进行数值模拟。
有限元方法是一种广泛应用于结构力学和材料力学领域的数值方法，它将结构或材料划分为许多小的有限单元，通过对每个单元进行力学分析来近似整体行为。
在进行有限元模拟时，我们需要定义材料的物理性质和边界条件，并选择适当的数值方法求解力学方程。
通过对不同单元的力学行为进行迭代计算，最终可以得到整体结构或材料的应力和变形。
针对圣维南原理的有限元模拟，首先需要对受力点附近的局部区域进行离散化划分，选择适当的有限元单元类型，如线性单元或非线性单元。
然后，需要定义材料的弹性性质，如杨氏模量和泊松比等，并通过适当的材料本构模型来描述材料的力学行为。
接下来，需要给定边界条件，如受力情况或位移边界条件，来模拟材料在受力时的行为。
最后，通过数值求解力学方程，并根据需要进行后处理，可以得到模拟结果，如应力分布、位移分布等。
有限元模拟可以用于研究不同类型的材料和结构，如金属、复合材料、混凝土和土壤等。
它可以帮助我们理解材料的力学性能、优化结构设计以及评估结构或材料的安全性能。
在实际应用中，有限元模拟已经成为结构和材料工程领域不可或缺的工具，在航空航天、汽车工程、建筑工程和能源领域等方面得到广泛应用。
总之，圣维南原理的有限元模拟是研究材料受力行为的重要方法之一，通过将结构或材料划分为小的有限单元，并进行力学分析，可以获得材料的应力和变形分布。
圣维南原理的概念及应用
fx fy 0
sin yx co sxy 0
例4 图示薄板，在y方向受均匀拉力作用，
证明在板中间突出部分的尖点A处无应
力存在。
解： —— 平面应力问题，在 AC、AB 边界上无面
力作用。即
fx fy 0
AB 边界： l1co1,sm sin 1
由应力边界条件公式，有
l(x)s m(xy)s fx
HPU r q2r 1 3q 2ar(1 44 ca r2 2 o)2s1 (3 ra 22)si2 n （f）
将问题1和问题2的解相加, 得全解：
rq 2(1a r2 2)q 2(1a r2 2)1 (3 ra 2 2)co 2 s
b
q 21a r2 2q 213a r4 4co2s （4-17）
q1
q1
q1
q1
x
x
q2
x
q2 y
y
q2 y
叠加后的应力：
r q 1 2 q 2(1 a r2 2 ) q 1 2 q 2(1 a r2 2)1 (3 r a 2 2 )c2 os
q1 2q2 1a r2 2 q1 2q2 13a r4 4 co 2 s
x xh 0
xy
xh
0
右侧面： l1,m0 fx y, fy 0 代入应力边界条件公式，有
对O点的力矩等效：
h h
(
y
)
y0
xdx
P
h 2
sin
x
xh
y
xy
0
xh
x方向力等效：
h
h
(
yx
)
d
y0
x
Pcos
, 上端面： 为次要边界，可由圣维南原理求解。 h
有限元网格划分中的圣维南原理及其应用
机械设计与制造
2012 年 8 月
Machinery Design ＆ Manufacture
63
文章编号：1001-3997（2012）08-0063-03
有限元网格划分中的圣维南原理及其应用 *
宋少云 尹 芳
（武汉工业学院 机械工程学院，武汉 430023）
Sain Vaint Principle of Meshing in Finite Elememt Method
中图分类号：TH16 文献标识码：A
1 引言
随着自主创新时代的到来，越来越多的中小型机械设计制
造企业开始使用计算机软件来辅助其进行分析，而其中尤以对结 构进行力学分析的有限元软件用得最为广泛。在使用有限元软件
＊来稿日期：2011-10-12 ＊基金项目：湖北省教育厅资助项目（Q20101701）
11.4
设计变量，根据装配偏差分析模型和质量-成本函数构造多目标
优化模型，结合 NSGA-II 算法提出一种解决公差分配的有效方
法。最后应用车身侧围简易框架案例阐述了公差分配过程，取得
了 Pareto 解集。优化结果表明该方法对公差分配策略优化效果良
好，为工程人员提供了灵活的公差设计选择方案。
参考文献
［1］ Speckhart F H.Calculation of Tolerance Based on a Minimum Cost Approach［J］.Journal of Engineering for Industry，1992，94（2）：447-453.
在远离关注点的地方，无论网格是稀疏还是密集，对于所关 注的地方，影响是不大的。若要得到关注点的精确值，局部加密该
以一个平面应力的例子来说明网格划分中的圣维南原理。 处的网格是较好的方法。
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基于ANSYS 的圣维南原理数值验证谢友增（航空工程学院 航空宇航制造工程 1201041）一 引言在轴向拉伸或压缩时，可以假设：变形前原为平面的横截面，变形后仍保持为平面且仍垂直于轴线。
根据这一平面假设，可以推断，杆件所有纵向纤维的伸长或压缩是相等的，因此各纵向纤维的受力是一样的。
我们得到，横截面上各点应力σ相等，于是得到N A Fσ= （1.1）式中：N F —轴力 A —横截面积若以集中力作用于杆件端面上，则集中力作用点附近区域内的应力分布比较复杂，公式（1.1）只能计算这个区域内横截面上的平均应力，不能描述作用点附近的真实情况。
这就引出，端截面上外力作用方式不同，将有多大影响的问题。
实际上，在外力作用区域内，外力分布方式有各种可能。
例如在图1a 和b 中，钢索和拉伸试样上的拉力作用方式就是不同的。
不过，如用与外力系静力等效的合力来代替原力系。
则除在原力系作用区域内有明显差别外，在离外力系作用区域略远处（例如，距离约等于截面尺寸处），上述代替的影响就非常微小，可以不计。
这就是圣维南原理。
根据这一原理，图1a 和b 所示杆件虽上端外力的作用方式不同，但可用其合力代替，这就简化成相同的计算简图（图1c ）。
在距离端截面略远处都可以用公式（1.1）计算应力。
图1 外力作用方式不同的杆件圣维南原理提出至今已有一百多年的历史，虽然还没有确切的数学表示和严格的理论证明，但无数的实际计算和实验测量都证实了它的正确性。
本文将利用ANSYS 软件，通过对实例模型的数值分析计算，证明圣维南原理。
选择建立一个二维平面模型作为研究对象，然后对此模型进行数值证明。
分别对平面模型两端施加均布载荷，以及与此集中力静力等效的集中力载荷。
绘制应力图以及路径图，比较两种情况下其所受的平均应力分布情况，从而利用此结果证明圣维南原理。
运用ANSYS软件可以简单直观的证明圣维南原理，从而可以更加深刻的理解圣维南原理。
二 ANSYS软件简介ANSYS公司是由美国著名力学专家、美国匹兹堡大学力学教授John Swanson 博士于1970年创建并发展起来的，总部设在美国宾夕法尼亚州的匹兹堡，是目前世界CAE行业中最大的公司。
ANSYS软件是集结构、热、流体、电磁场、声场和耦合场分析于一体的大型通用有限元软件。
可广泛用于核工业、铁道、石油化工、航空航天、机械制造、能源、汽车交通、国防军工、电子、土木工程、造船、生物医学、轻工、地矿、水利、日用家电等一般工业及科学研究。
该软件可在大多数计算机及操作系统中运行，从PC机到工作站直至巨型计算机，ANSYS文件在其所有的产品系列和工作平台上均兼容。
ANSYS软件多物理场耦合的功能,允许在统一模型上进行各式各样的耦合计算,如：热—流体耦合,磁—电耦合,以及电—磁—流体—热耦合，确保了所有的ANSYS用户的多领域多变工程问题的求解。
ANSYS基于Motif的菜单系统是用户能够通过对话框、下拉菜单和子菜单进行数据输入和功能选择，为用户使用ANSYS提供“导航”。
ANSYS软件提供了一个不断改进的功能清单，具体包括：1.结构高度非线性仿真ANSYS采用了牛顿-拉普森迭代求解，并为了增强问题的收敛性，提供了自适应下降、线性搜索、自动载荷步、二分法及弧长法等一系列命令。
可以计算由大的位移、应变及有限转动引起的结构几何非线性问题、与时间有关的材料非线性问题以及接触引起的状态非线性问题。
2.热分析ANSYS热分析基于能量守恒原理的热平衡方程，用有限元法计算各节点的温度，并导出其它热物理参数。
包括热传导、热对流及热辐射三种传导方式。
此外，还可以分析相变、有内热源、接触热阻等问题。
热分析用于计算一个系统或部件的温度分布，如热量获取或损失、热梯度、热流密度等。
3.电磁分析ANSYS可分析电磁场的多方面问题，如电感、电容、磁通量密度、涡流、电场分布、磁力线、力、运动效应、电路和能量损失等。
可用于有效地分析下面所列的各类设备：电力发电机、变压器、螺线管传动器、电动机、磁成像系统、图象显示设备传感器、磁悬浮装置、波导、开关等。
4.设计优化ANSYS提供了两种优化方法，它们可以处理大多数的优化问题。
零阶方法是一个很完美的处理方法，可以很有效的处理大多数的工程问题。
一阶方法基于目标函数对设计变量的敏感程度，因此更加适合于精确的优化分析。
优化中ANSYS 采用一系列的分析-评估-修正的循环过程，这个过程重复进行直到所有设计满足要求为止。
5.计算流体动力学分析ANSYS程序中的FLOTRAN CFD分析功能是一个用于分析二维及三维流体流动场的先进的工具，可解决如下的问题：•作用于气动翼型上的升力和阻力；•超音速喷管中的流场；•弯管中流体的复杂的三维流动；•计算发动机排气系统中气体压力及温度分布；•研究管路系统中热的层化及分离；•使用混合流研究来估计热冲击的可能性；•用自然对流分析估计电子封装芯片的热性能；•对含有多种流体的热交换器进行研究。
6.利用ANSYS参数设计语言（APDL）的扩展宏命令功能APDL有参数、数组参数、表达式和函数、分支和循环、重复和缩写、宏以及用户程序等功能。
ANSYS有限元典型分析大致分为3个步骤：①建立有限元模型；②加载和求解；③结果后处理和结果查看。
三利用ANSYS软件验证圣维南原理根据ANSYS有限元典型分析的3个步骤进行圣维南原理的数值验证。
1 建立有限元模型〈1〉设置单元属性ANSYS中，常用的单元属性包括单元类型、单元实常数、材料属性。
①在这里为了获得较好的计算精度，采用四节点四边形板单元（plane42）。
②单元实常数的确定依赖于单元类型的特性，实常数的目的是用于补充必要的几何信息和据算参数，这里无需定义。
③材料属性，定义材料弹性模量为2.7e11Pa，泊松比为0.3〈2〉建立实体模型平面可以表示二维实体，为简化计算，建立二维平面模型。
模型尺寸为长20CM宽6CM。
〈3〉为实体模型分配单元属性根据有限元理论，最终的有限元计算利用的是有限元模型，实体模型是不能进行有限元计算的。
在对实体模型进行网格划分前，要为实体模型分配单元属性。
将前面定义的单元属性赋予实体模型。
〈4〉对实体模型进行网格划分ANSYS有两种方式对实体模型进行网格划分。
①自由网格划分该操作对实体模型无特殊要求、任何几何模型，即使是不规则的，也可以进行网格划分。
②映射网格划分映射网格划分要求被划分的对象如面或体必须形状规则。
在这里由于模型简单，采用自由网格划分的方式对实体模型进行网格划分。
建立的有限元模型如图2所示图2 建立的有限元模型通过实用菜单List可以查看在建立的有限元模型中生成的节点以及单元的数量和属性，图3为列表显示的节点和单元的相关信息，包括单元属性以及该单元包含哪些节点。
图3 单元以及节点列表从列表中可以看出一共生成1216个单元和1300个节点。
2 加载和求解〈1〉施加载荷及约束有限元模型建立完毕后，要为模型施加一定的激励，并根据问题的要求设置一定的边界条件。
先在模型边界施加面力167N，绘制模型施加面力的应力分布图和路径图，然后给模型施加与之等效的集中力载荷（主矢量相同，对于同一点的主矩也相同）1000N，绘制模型施加面力的应力分布图和路径图，进行比较。
本次求解设置的集中力为载荷对称载荷，因此可以对模型中间线上的所有节点设置边界条件，设置节点所有的自由度为0。
施加完集中力载荷以及约束后的有限元模型如图4.图4施加载荷及约束后的有限元模型〈2〉求解定义分析类型为静态分析，单击求解命令，ANSYS就可以进行分析计算。
求解之前ANSYS会弹出状态文本框和求解确认对话框（列举本次分析的相关信息：问题维数、分析类型、载荷步和子步的设置等）如图5所示，确认无误后，便可进行求解。
图5状态文本框和求解确认对话框3 结果后处理和结果查看有限元模型建立并求解后，ANSYS工作目录中会生成一个结果记录文件，要使用通用后处理器进行结果分析。
ANSYS可以通过图形方式显示计算结果，可以绘制变形图、等值图、矢量图等。
〈1〉绘制应力等值图通过绘制节点的应力等值图，可以查看模型内部应力具体分布形式及其大小，图6为施加均布载荷节点解的应力等值图，图7为施加集中力载荷节点解的应力等值图。
图6施加均布载荷节点解的应力等值图图7施加集中力载荷的节点解应力等值图〈2〉绘制路径图为了验证圣维南原理，采取路径操纵的方式，通过绘制特定的路径，查看路径上的应力分布情况，从而验证圣维南原理。
①定义路径（9,3）到（9，-3），将要查看的结果数据映射到该路径上，绘制路径图。
图8为施加集中力载荷模型，路径（9,3）到（9，-3）的路径等值图。
图8点（9,3）到（9，-3）应力分布路径图原图较小，可放大后进行查看，从图中可以看出，在距离端截面很近的地方，应力分布差别是非常大的，而且应力分布复杂，因此不能采用计算平均应力的方法来计算该区域的应力。
②定义路径（4,3）到（4，-3），将要查看的结果数据映射到该路径上，绘制路径图。
图9为施加集中力载荷模型，路径（4,3）到（4，-3）的路径等值图，图10为路径曲线图。
图9点（4,3）到（4，-3）应力分布路径图图10点（4,3）到（4，-3）应力分布路径图③定义路径（9,3）到（9，-3），将要查看的结果数据映射到该路径上，绘制路径图。
图11为施加均布载荷模型，路径（9,3）到（9，-3）的路径等值图。
图11点（9,3）到（9，-3）应力分布路径图④定义路径（4,3）到（4，-3），将要查看的结果数据映射到该路径上，绘制路径图。
图12为施加均布载荷模型，路径（4,3）到（4，-3）的路径等值图，图13为路径曲线图。
图12点（4,3）到（4，-3）应力分布路径图图13点（4,3）到（4，-3）应力分布路径图比较图8和图11可以看出在与均布载荷等效的集中力载荷作用下，近处的应力分布明显改变；从图9和图10可以看出，在作用与均布载荷等效的集中力载荷下，在距离端截面一定距离（距离约等于截面尺寸处），应力分布相对均匀，最大应力与最小应力之差与最大应力之比约为6%；比较图9和图11以及图10和图13可以看出施加均布载荷与施加集中力载荷在距端面一定距离处作用效果相似，同一路径上应力分布相差不大，从而利用公式（1.1）就可以计算该区域的平均应力，这样计算的结果影响较小可忽略不计。
这说明用与面力等效的集中力载荷代替分布载荷时，近处的应力分布将有显著的改变，但是远处所受的影响可以不计。
因此，从应力分布图可以验证圣维南原理。
4 结论通过ANSYS数值验算可以表面：如果把物体的一小部分边界上的面力，变换为分布不同但静力等效的集中力（主矢量相同，对于同一点的主矩也相同），那么，近处的应力分布将有显著的改变，但是远处所受的影响可以不计。