弹性力学(习题详解)

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1 2
2
N
当
2 l
2
N
时，m
2 2
2 1
2 2
2 2
2 2
代入： N
1 2
2
l 21 m2 2
补充题2-1 图示楔形体，试写出其边界条件。
左侧面：(x y tan )
1y
l cos , m sin
X 0,Y 0
x y tan
x x y tan cos xy x y tan sin 0
l
x
Px I
y
(I h3 ) 12
xy
QS Ib
P 2I
h2 4
y2
y 0
(1)
上、下边界条件：
h x
1P y x
h
h
2 h x
x0
ydy
2 h
0
ydy
0
2
2
h
y y h 0, xy y h 0
2
2
左侧边界条件： —— 显然满足
h
h
2 h x
dy
x0
2 h
0
dy
0
2
2
dy 2 h xy x0
l
M=Pl
x
Px I
y
(I h3 ) h 12
xy
QS Ib
P 2I
h2 4
y2
1P y
h
x
x
P
y 0
(1)
dy 2 h xy xl
右侧边界条件：
h
2
h x
dy
xl
2
h
2 h
2
Pl I
ydy
0
2
h
2 h
2
P 2I
(h2 4
y2 )dy
h
2
h x
xl
ydy
2
h
2 h
2
解：由材料力学理论求出：
l
x
Px I
y
(I h3 ) h 12
xy
QS Ib
P 2I
h2 4
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y2
1P y x
将式 (1)代入相容方程：
x
y 0
(1)
将式 (1)代入平衡微分方程：
x xy P y P y 0 x y I I
xy y 0 0 0
2 x2
2 y 2
( x
证明：当式（1）成立时 ，有：
x xy V 0
x y x
xy y V 0
x y y
3
xy 2
V x
3
xy
2
V x
0
3
x2y
3
x2y
V y
V y
0
——式（2）满足平衡微分方程
将式（2）代入 ，有：
表明应力分量可用式（2）表示。
习题2-3 试证明，如果体力虽然不是常量，但却是有势力，即：
第二章 平面问题的基本理论
（习题讲解）
习题2-1 设有任意形状的等厚度薄板，体力可 o
以不计，在全部边界上（包括孔口边 界上）受有均匀压力 q 。试证：
x
q
x y q 及 xy 0
能满足平衡微分方程、相容方程和边 界条件，同时也满足位移单值条件，
y
因而就是正确的解答。
解：本问题属平面应力问题
（2）校核是否满足相容方程
（1）校核是否满足平衡微分方程
x xy (q) (0) 0
x y x y xy y (0) (q) 0 x y x y
—— 平衡微分方程满足
2 x2
2 y 2
( x
y)
2 x2
2 y 2
(q)
(q)
0
—— 相容方程满足
（3）校核是否满足边界条件
（3）校核是否满足边界条件
2V y 2
4
22V
(1
)
X x
Y y
(1
)
2V x2
2V y 2
(1
) 2V
代入相容方程：
2 x2
2 y 2
( x
y)
(1
)
X x
Y y
有：4 22V (1 )2V 4 (1 )2V
4 (1 )2V—— 平面应力情形
对平面应变情形，将
1
4 (1 )2V (1 2 )2V
o
x
取任意微段边界，其外法线方向余弦：
q
l cos m sin
X q cos ql Y q sin qm
——边界条件
y
将应力分量：
N
x y q 及 xy 0
代入边界条件公式：
l x s m xy s l q m0 ql X l xy s m y s l0 m q qm Y
Pl I
y2dy
Pl
P h3 P
I 12 —— 显然满足
习题2-3 试证明，如果体力虽然不是常量，但却是有势力，即：
X V ,Y V
x
y
（1）
其中V是势函数，则应力分量亦可用应力函数 (x, y)表示成为：
x
2
y 2
V ,
y
2
x2
V , xy
2
xy
试导出相应的相容方程。
（2）
X V ,Y V
x
y
（1）
其中V是势函数，则应力分量亦可用应力函数 (x, y)表示成为：
x
2
y 2
V ,
y
2
x2
V , xy
2
xy
试导出相应的相容方程。
（2）
将式（2）代入应力表示的相容方程：
2 x2
2 y 2
( x
y)
4
x 2y 2
4
x4
2V x 2
2V x 2
4
y 4
1
1
习题2-4 试证明：在发生最大与最小剪应力的面上，正应力的数值都等 于两主应力的平均值。
证：以主应力方向截取应力单元体，如图所示。
任意斜截面的方向余弦：
O
l cos , m sin
2
x
任意斜截面上的剪应力：
N lm( 2 1)
1
1
1 4
(
1 2
l
2
)2
(
2
1)
y
2
当
l
2 2
时： N
2V y 2
4
x 2y 2
2V y 2
4
x 4
4
2 x2y2
4
y 4
2
2V x 2
2V y 2
4
22V
2 x2
2 y 2
( x
y)
4
x 2y 2
4
x4
2V x 2
2V x 2
4
y 4
2V y 2
4
x 2y 2
2V y 2
4
x 4
2
4
x2y
2
4
y 4
2
2V x 2
（4）满足位移单值条件 —— 应力边界条件满足
结论： x y q 及 xy 0 为该弹性体的正确解。
习题2-2 矩形截面悬臂梁，受力如图，体力不计。试根据材料力学
公力式写y出弯0，曲然应后力证 明x 和，剪这应些力表达xy式的满表足达平式衡，微并分取方挤程压和应
相容方程。这些表达式是否就表示正确的解答？
2
h
2 h
2
P 2I
h2 (
4
y2 )dy
P h3 P
I 12 —— 显然满足
习题2-2 矩形截面悬臂梁，受力如图，体力不计。试根据材料力学
公力式写y出弯0，曲然应后力证 明x 和，剪这应些力表达xy式的满表足达平式衡，微并分取方挤程压和应
相容方程。这些表达式是否就表示正确的解答？
解：由材料力学理论求出：
y)
2 x 2
2 y 2
(
Pxy) I
0
x y
—— 满足平衡微分方程
—— 相容方程满足
习题2-2 矩形截面悬臂梁，受力如图，体力不计。试根据材料力学
公力式写y出弯0，曲然应后力证 明x 和，剪这应些力表达xy式的满表足达平式衡，微并分取方挤程压和应
相容方程。这些表达式是否就表示正确的解答？
解：由材料力学理论求出：