八年级数学 勾股定理的经典证明方法总结大全

F
∵ ∠BCA = 90º，QP∥BC，
∴ ∠MPC = 90º，
∵ BM⊥PQ，
∴ ∠BMP = 90º，
c
∴ BCPM 是一个矩形，即∠MBC = 90º.
∵ ∠QBM + ∠MBA = ∠QBA = 90º，
c
A
P
b
M
c
C N
a
∠ABC + ∠MBA = ∠MBC = 90º， Q
c
B
∴ ∠QBM = ∠ABC，
勾股定理的证明
【证法 1】（课本的证明）
a
b
b
a
a
ac
aa
c
a
b
b c
bc
b
bb
c
c
a
a
b
a
b
做 8 个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为 a、b，斜边长为 c，
再做三个边长分别为 a、b、c 的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形.
从图上可以看到，这两个正方形的边长都是 a + b，所以面积相等. 即
B 三点在一条直线上，连结
G
BF、CD. 过 C 作 CL⊥DE，
交 AB 于点 M，交 DE 于点
H
L. ∵ AF = AC，AB = AD， ∠FAB = ∠GAD， ∴ ΔFAB ≌ ΔGAD，
b
a
∴ ABEG 是一个边长为 c 的正方形. G
c
E
∴ ∠ABC + ∠CBE = 90º.
P
∵ RtΔABC ≌ RtΔEBD, ∴ ∠ABC = ∠EBD. ∴ ∠EBD + ∠CBE = 90º. 即 ∠CBD= 90º. 又∵ ∠BDE = 90º，∠BCP = 90º，
BC = BD = a.
的延长线交 DF 于点 P.
∵ D、E、F 在一条直线上, 且 RtΔGEF ≌ RtΔEBD,
∴ ∠EGF = ∠BED，
∵ ∠EGF + ∠GEF = 90°，
∴ ∠BED + ∠GEF = 90°，
F
∴ ∠BEG =180º―90º= 90º. 又∵ AB = BE = EG = GA = c，
a b2 4 1 ab c 2
∴
2
.
∴ a2 b2 c2.
【证法 3】（赵爽证明）
D
以 a、b 为直角边（b>a）， 以 c 为斜
边作四个全等的直角三角形，则每个直角 1 ab
三角形的面积等于 2 . 把这四个直角三
cb
GF
C
角形拼成如图所示形状. ∵ RtΔDAH ≌ RtΔABE,
AHale Waihona Puke Baidu
a HE
∴ ∠HDA = ∠EAB.
∵ ∠HAD + ∠HAD = 90º，
∴ ∠EAB + ∠HAD = 90º，
B
∴ ABCD 是一个边长为 c 的正方形，它的面积等于 c2.
∵ EF = FG =GH =HE = b―a ,
∠HEF = 90º.
∴ EFGH 是一个边长为 b―a 的正方形，它的面积等于 b a2 .
∴ AD∥BC.
1 a b2
∴ ABCD 是一个直角梯形，它的面积等于 2
.
1 a b2 2 1 ab 1 c2
∴2
2 2.
∴ a2 b2 c2.
【证法 5】（梅文鼎证明）
做四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为 a、b ，斜边长为
c. 把它们拼成如图那样的一个多边形，使 D、E、F 在一条直线上. 过 C 作 AC
做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为 a、b（b>a） ，斜
边长为 c. 再做一个边长为 c 的正方形. 把它们拼成如图所示的多边形，使 E、A、
C 三点在一条直线上. 过点 Q 作 QP∥BC，交 AC 于点 P.
过点 B 作 BM⊥PQ，垂足为 M；再过点
E
b
a
F 作 FN⊥PQ，垂足为 N.
4 1 ab b a2 c 2
∴2
.
∴ a2 b2 c2.
【证法 4】（1876 年美国总统 Garfield 证明）
以 a、b 为直角边，以 c 为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角
1 ab
形的面积等于 2 在一条直线上.
. 把这两个直角三角形拼成如图所示形状，使 A、E、CB 三点
b c
C
a
H b
a
b
c D
a
A
c
B
∴ BDPC 是一个边长为 a 的正方形.
同理，HPFG 是一个边长为 b 的正方形.
设多边形 GHCBE 的面积为 S，则
a 2 b2 S 2 1 ab, 2
c2 S 2 1 ab 2,
∴ a2 b2 c2.
【证法 6】（项明达证明）
a2 b2 4 1 ab c2 4 1 ab
2
2 ， 整理得 a 2 b 2 c 2 .
【证法 2】（邹元治证明） 以 a、b 为直角边，以 c 为斜边做四个全等的直角三角形，则每个直角三角
1 ab 形的面积等于 2 . 把这四个直角三角形拼成如图所示形状，使 A、E、B 三点
又∵ ∠BMP = 90º，∠BCA = 90º，BQ = BA = c，
∴ RtΔBMQ ≌ RtΔBCA.
同理可证 RtΔQNF ≌ RtΔAEF.
从而将问题转化为【证法 4】（梅文鼎证明）.
【证法 7】（欧几里得证明）
做三个边长分别为 a、b、c 的正方形，把它们拼成如图所示形状，使 H、C、
在一条直线上，B、F、C 三点在一条直线上，C、G、D 三点在一条直线上.
∵ RtΔHAE ≌ RtΔEBF, ∴ ∠AHE = ∠BEF.
Db
Ga C
∵ ∠AEH + ∠AHE = 90º, ∴ ∠AEH + ∠BEF = 90º. ∴ ∠HEF = 180º―90º= 90º.
a
c
H
b c
∴ 四边形 EFGH 是一个边长为 c 的
F
正方形. 它的面积等于 c2. ∵ RtΔGDH ≌ RtΔHAE,
c b
c
a
∴ ∠HGD = ∠EHA. ∵ ∠HGD + ∠GHD = 90º,
Aa E
bB
∴ ∠EHA + ∠GHD = 90º.
又∵ ∠GHE = 90º,
∴ ∠DHA = 90º+ 90º= 180º.
∴ ABCD 是一个边长为 a + b 的正方形，它的面积等于 a b2 .
∵ RtΔEAD ≌ RtΔCBE,
D
∴ ∠ADE = ∠BEC. ∵ ∠AED + ∠ADE = 90º, ∴ ∠AED + ∠BEC = 90º.
a
c
c
b
∴ ∠DEC = 180º―90º= 90º.
Ab
∴ ΔDEC 是一个等腰直角三角形，
Ea B
1 c2 它的面积等于 2 .
又∵ ∠DAE = 90º, ∠EBC = 90º,