1985年全国统一高考数学试卷(理科)
1995年全国统一高考数学试卷(理科)
1995年全国统一高考数学试卷(理科）一、选择题（共15小题，1-10每小题4分,11-15每小题5，满分65分)1．（4分）已知I为全集，集合M,N⊂I,若M∩N=N，则（)A．B．C．D．2．（4分)（2007•奉贤区一模)函数y=1+的图象是（)A．B．C．D．3．（4分)函数y=4sin（3x+）+3cos(3x+）的最小正周期是(）A．6πB．2πC．D．4．（4分）正方体的表面积是a2，它的顶点都在一个球面上，则这个球的表面积是（）A．B．C．2πa2D．3πa25．(4分）若图中的直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则（）A．k1＜k2＜k3B．k3＜k1＜k2C．k3＜k2＜k1D．k1＜k3＜k26．(4分)(2008•湖南）在(1﹣x3）（1+x）10展开式中，x5的系数是（）A．﹣297 B．﹣252 C．297 D．2077．（4分)使arcsinx＞arccosx成立的x的取值范围是(）A．B．C．D．[﹣1,0)8．（4分）（2008•西城区二模）双曲线3x2﹣y2=3的渐近线方程是（）A．y=±3x B．y=±x C．y=±x D．y=±x9．（4分）已知θ是第三象限角，且sin4θ+cos4θ=，那么sin2θ等于() A．B．C．D．10．（4分)(2014•市中区二模）已知直线l⊥平面α，直线m⊂平面β，给出下列命题①α∥β=l⊥m；②α⊥β⇒l∥m；③l∥m⇒α⊥β；④l⊥m⇒α∥β．其中正确命题的序号是（）A．①②③B．②③④C．①③D．②④11．（5分)(2012•荆州模拟）函数y=log a（2﹣ax）在［0，1］上是减函数,则a的取值范围是（）A．（0,1）B．（0,2）C．(1,2）D．(2，+∞）12．(5分）等差数列{a n｝，｛b n｝的前n项和分别为S n与T n，若，则等于（）A．1B．C．D．13．（5分）用1,2，3，4，5这五个数字,组成没有重复数字的三位数，其中偶数共()A．24个B．30个C．40个D．60个14．（5分）在极坐标系中，椭圆的二焦点分别在极点和点(2c，0），离心率为e，则它的极坐标方程是（)A．B．C．D．15．（5分)(2010•内江二模)如图，A1B1C1﹣ABC是直三棱柱，∠BCA=90°，点D1、F1分别是A1B1、A1C1的中点，若BC=CA=CC1，则BD1与AF1所成角的余弦值是（)A．B．C．D．二、填空题(共5小题，每小题4分，满分20分)16．（4分)不等式的解集是_________．17．（4分）已知圆台上、下底面圆周都在球面上,且下底面过球心，母线与底面所成的角为，则圆台的体积与球体积之比为_________．18．（4分)（2012•许昌二模）函数y=sin(x﹣）cosx的最小值_________．19．(4分）（2010•郑州二模）若直线l过抛物线y=ax2（a＞0)的焦点,并且与y轴垂直，若l被抛物线截得的线段长为4，则a=_________．20．（4分）四个不同的小球放入编号为1，2，3，4的四个盒子中，则恰有一个空盒的放法共有_________种（用数字作答）．三、解答题（共6小题,满分65分）21．（7分）在复平面上,一个正方形的四个顶点按照逆时针方向依次为Z1，Z2，Z3，O （其中O是原点），已知Z2对应复数．求Z1和Z3对应的复数．22．（10分)求sin220°+cos250°+sin20°cos50°的值．23．（12分）如图,圆柱的轴截面ABCD是正方形，点E在底面的圆周上，AF⊥DE，F是垂足．（1)求证:AF⊥DB;(2）如果圆柱与三棱锥D﹣ABE的体积的比等于3π，求直线DE与平面ABCD所成的角．24．（12分）某地为促进淡水鱼养殖业的发展，将价格控制在适当范围内，决定对淡水鱼养殖提供政府补贴．设淡水鱼的市场价格为x元/千克，政府补贴为t元/千克．根据市场调查,当8≤x≤14时,淡水鱼的市场日供应量P千克与市场日需求量Q千克近似地满足关系：P=1000（x+t﹣8）( x≥8,t≥0），Q=500（8≤x≤14)．当P=Q时市场价格称为市场平衡价格．（1）将市场平衡价格表示为政府补贴的函数，并求出函数的定义域；（2）为使市场平衡价格不高于每千克10元，政府补贴至少为每千克多少元?25．（12分）设｛a n}是由正数组成的等比数列，S n是其前n项和．(1）证明；(2）是否存在常数c＞0,使得成立？并证明你的结论．26．(12分)已知椭圆,直线．P是l上点，射线OP交椭圆于点R,又点Q在OP上且满足｜OQ｜•|OP｜=｜OR｜2,当点P在l上移动时,求点Q的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．1995年全国统一高考数学试卷（理科)参考答案与试题解析一、选择题(共15小题，1—10每小题4分，11—15每小题5，满分65分）1．(4分）已知I为全集，集合M,N⊂I，若M ∩N=N,则（）A．B．C．D．考点：集合的包含关系判断及应用．分析：根据题意，做出图示，依次分析选项可得答案．解答：解：根据题意，若M∩N=N，则N⊆M,做出图示如图，分析可得，必有，故选C．点评：本题考查集合间关系的判定，要根据图示，简单直接的解题．2．（4分）（2007•奉贤区一模)函数y=1+的图象是（）A．B．C．D．考点：函数的图象与图象变化．专题：数形结合．分析: 把函数y=的图象先经过左右平移得到y=的图象，再经过上下平移得到y=+1的图象．解答: 解：将函数y=的图象向右平移1个单位,得到y=的图象，再把y=的图象向上平移一个单位，即得到y=+1的图象，故选A．点评: 本题考查函数图象的平移规律和平移的方法,体现了数形结合的数学思想．3．(4分）函数y=4sin（3x+）+3cos（3x+）的最小正周期是(）A．6πB．2πC．D．考点：函数y=Asin(ωx+φ）的图象变换；三角函数中的恒等变换应用．专题：计算题．分析：先根据三角函数的辅角公式将函数化简为y=Asin(wx+ρ)的形式,再由T=可得到答案．解答：解：∵y=4sin(3x+）+3cos（3x+）=5sin（3x++φ）（其中sinφ=，cosφ=）∴T=故选C．点评：本题主要考查三角函数最小正周期的求法，即先将函数化简为y=Asin（wx+ρ)的形式,再由T=确定结果．4．（4分)正方体的表面积是a2,它的顶点都在一个球面上，则这个球的表面积是(）A．B．C．2πa2D．3πa2考点：球内接多面体．专题：计算题．分析：设球的半径为R,则正方体的对角线长为2R，利用正方体的表面积求出与球的半径的等式，然后求出球的表面积．解答：解：设球的半径为R，则正方体的对角线长为2R,依题意知R2=a2,即R2=a2,∴S球=4πR2=4π•a2=．故选B点评: 本题是基础题，解题的突破口是正方体的体对角线就是球的直径，正确进行正方体的表面积的计算，是解好本题的关键，考查计算能力．5．(4分）若图中的直线l1,l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则（）A．k1＜k2＜k3B．k3＜k1＜k2C．k3＜k2＜k1D．k1＜k3＜k2考点：直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系．分析: 由直线斜率（倾斜角的正切值)的定义和正切函数的单调性可得．解答：解:直线l1的倾斜角是钝角,则斜率k1＜0;直线l2与l3的倾斜角都是锐角，斜率都是正数,但直线l2的倾斜角大于l3的倾斜角,所以k2＞k3＞0，所以k1＜k3＜k2，故选D．点评：本题考查直线斜率和图象的关系．6．（4分）（2008•湖南）在（1﹣x3)(1+x)10展开式中，x5的系数是()A．﹣297 B．﹣252 C．297 D．207考点：二项式定理的应用．专题：计算题．分析: 先将多项式展开，转化成两二项式系数的差,利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x 的指数为5，2求出二项展开式的系数．解答：解：(1﹣x3)(1+x）10=(1+x）10﹣x3（1+x）10∴(1﹣x3)（1+x）10展开式的x5的系数是（1+x)10的展开式的x5的系数减去（1+x)10的x2的系数∵(1+x）10的展开式的通项为T r+1=C10r x r令r=5，2得（1+x)10展开式的含x5的系数为C105；展开式的含x2的系数为C102C105﹣C102=252﹣45=207故选项为D点评: 本题考查等价转化的能力及利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题．7．（4分）使arcsinx＞arccosx成立的x的取值范围是（）A．B．C．D．［﹣1，0）考点：反三角函数的运用．专题：计算题；转化思想．分析：注意arcsinx、arccosx的范围以及正弦函数的单调性，利用反三角函数的性质，化简不等式，反三角函数的定义域，然后求解即可．解答: 解:因为arcsinx＞arccosx 所以sin(arcsinx）＞sin（arccosx）即:x＞，且x∈[0,1]，所以解得x∈故选B．点评: 本题考查反三角函数的运用，注意函数的定义域，是基础题．8．（4分）（2008•西城区二模）双曲线3x2﹣y2=3的渐近线方程是(）A．y=±3x B．y=±x C．y=±x D．y=±x考点: 双曲线的简单性质．专题：计算题．分析：双曲线3x2﹣y2=3的标准形式为，其渐近线方程是,整理后就得到双曲线的渐近线．解答:解：双曲线3x2﹣y2=3的标准形式为，其渐近线方程是,整理得．故选C．点评: 把双曲线方程转化成标准形式后再进行求解．9．(4分）已知θ是第三象限角，且sin4θ+cos4θ=,那么sin2θ等于（）A．B．C．D．考点: 三角函数中的恒等变换应用．分析：根据已知正弦和余弦的四次方和的值和要求的结论是sin2θ,所以把正弦和余弦的平方和等于1两边平方，又根据角是第三象限的角判断出要求结论的符号，得到结果．解答：解：∵sin2θ+cos2θ=1，∴sin4θ+cos4θ+2sin2θcos2θ=1，∵∴∵角是第三象限角,∴sin2θ=，故选A点评：已知一个角的某个三角函数式的值,求这个角的其他三角函数式的值,一般需用三个基本关系式及其变式，通过恒等变形或解方程求解．10．（4分）（2014•市中区二模)已知直线l⊥平面α,直线m⊂平面β，给出下列命题①α∥β=l⊥m；②α⊥β⇒l∥m；③l∥m⇒α⊥β;④l⊥m⇒α∥β．其中正确命题的序号是（）A．①②③B．②③④C．①③D．②④考点: 平面与平面之间的位置关系．专题：综合题．分析：由两平行平面中的一个和直线垂直，另一个也和平面垂直得直线l⊥平面β，再利用面面垂直的判定可得①为真命题;当直线与平面都和同一平面垂直时,直线与平面可以平行，也可以在平面内，故②为假命题;由两平行线中的一条和平面垂直，另一条也和平面垂直得直线m⊥平面α,再利用面面垂直的判定可得③为真命题；当直线与平面都和同一平面垂直时，直线与平面可以平行，也可以在平面内,如果直线m在平面α内，则有α和β相交于m，故④为假命题．解答：解：l⊥平面α且α∥β可以得到直线l⊥平面β，又由直线m⊂平面β，所以有l⊥m;即①为真命题；因为直线l⊥平面α且α⊥β可得直线l平行与平面β或在平面β内，又由直线m⊂平面β，所以l与m,可以平行，相交,异面；故②为假命题;因为直线l⊥平面α且l∥m可得直线m⊥平面α，又由直线m⊂平面β可得α⊥β；即③为真命题;由直线l⊥平面α以及l⊥m可得直线m平行与平面α或在平面α内，又由直线m⊂平面β得α与β可以平行也可以相交，即④为假命题．所以真命题为①③．故选C．点评：本题是对空间中直线和平面以及直线和直线位置关系的综合考查．重点考查课本上的公理,定理以及推论，所以一定要对课本知识掌握熟练，对公理，定理以及推论理解透彻,并会用．11．（5分）(2012•荆州模拟）函数y=log a（2﹣ax)在［0，1]上是减函数,则a的取值范围是（）A．（0，1) B．(0，2）C．（1，2）D．（2，+∞）考点：函数单调性的性质．专题：常规题型．分析：a＞0⇒2﹣ax在［0，1]上是减函数由复合函数的单调性可得a＞1，在利用对数函数的真数须大于0可解得a的取值范围．解答：解：∵a＞0,∴2﹣ax在［0，1]上是减函数．∴y=log a u应为增函数，且u=2﹣ax在［0，1］上应恒大于零．∴∴1＜a＜2．故答案为：C．点评：本题考查了对数函数与其它函数复合在一起的一新函数的单调性，复合函数的单调性遵循的原则是同增异减，即单调性相同复合在一起为增函数，单调性相反，复合在一起为减函数．12．（5分）等差数列{a n｝,｛b n｝的前n项和分别为S n与T n,若，则等于（)A．1B．C．D．考点：等差数列的前n项和；极限及其运算．专题：压轴题．分析:利用等差数列的性质求得，再求极限．解答:解:∵=∴故选C点评: 本题主要考查等差数列的性质的运用．13．（5分）用1,2，3，4，5这五个数字，组成没有重复数字的三位数,其中偶数共（）A．24个B．30个C．40个D．60个考点：排列、组合的实际应用．专题: 计算题;压轴题．分析：根据题意，分2步进行，首先分析个位数字，要求是偶数,则其个位数字为2或4，有2种情况,进而分析百位、十位,将剩下的4个数字,任取2个，分配在百位、十位即可，由分步计数原理，计算可得答案．解答：解：根据题意，要求是偶数，则其个位数字为2或4,有2种情况，将剩下的4个数字,任取2个，分配在百位、十位，有A42=12种情况，由分步计数原理,可得共2×12=24个,故选A．点评: 本题考查排列、组合的综合运用，注意题目中要求是偶数，要优先分析个位数字．14．（5分）在极坐标系中，椭圆的二焦点分别在极点和点（2c,0），离心率为e，则它的极坐标方程是（）A．B．C．D．考点: 简单曲线的极坐标方程．专题: 计算题；压轴题．分析：欲求椭圆的极坐标方程，根据圆锥曲线统一的极坐标方程，只要求出几何量p即可,从而确定它们的极坐标方程．解答：解：∵椭圆的极坐标方程，p即椭圆的焦点到相应准线的距离,∴，∴椭圆的极坐标方程是:．故填：D．点评：本题主要考查了圆锥曲线的极坐标方程，属于基础题．15．(5分）(2010•内江二模）如图,A1B1C1﹣ABC是直三棱柱,∠BCA=90°，点D1、F1分别是A1B1、A1C1的中点，若BC=CA=CC1,则BD1与AF1所成角的余弦值是（）A．B．C．D．考点: 异面直线及其所成的角．专题: 计算题；压轴题．分析：先取BC的中点D，连接D1F1，F1D,将BD1平移到F1D，则∠DF1A就是异面直线BD1与AF1所成角,在△DF1A中利用余弦定理求出此角即可．解答: 解：取BC的中点D，连接D1F1,F1D∴D1B∥DF1∴∠DF1A就是BD1与AF1所成角设BC=CA=CC1=2，则AD=,AF1=,DF1=在△DF1A中，cos∠DF1A=，故选A点评：本小题主要考查异面直线所成的角，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．二、填空题(共5小题，每小题4分，满分20分）16．(4分）不等式的解集是{x｜﹣2＜x＜4｝．考点: 其他不等式的解法．专题：计算题．分析：化简不等式,利用指数函数的性质，化为二次不等式求解即可．解答：解：不等式，化为所以有指数函数的性质可知：x2﹣8＜2x解得：x|﹣2＜x＜4故答案为:x｜﹣2＜x＜4点评：本题考查指数函数的性质，二次不等式的解法，是基础题．17．（4分)已知圆台上、下底面圆周都在球面上,且下底面过球心，母线与底面所成的角为，则圆台的体积与球体积之比为．考点：球的体积和表面积；棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：计算题；综合题．分析：设出球的半径，求出圆台上底面半径,圆台的高，求出圆台体积，球的体积即可．解答：解：设球的半径为2，由题意可得圆台上底面半径为1，圆台的高为，所以圆台的体积是:球的体积：圆台的体积与球体积之比为：故答案为：点评：本题考查球的体积和表面积,棱柱、棱锥、棱台的体积,考查计算能力,逻辑思维能力，是基础题．18．（4分)（2012•许昌二模）函数y=sin（x﹣）cosx的最小值．考点：三角函数的最值．专题: 计算题．分析：先根据两角和与差的公式和二倍角公式进行化简，再由正弦函数的最值可得到答案．解答：解:y=sin(x﹣）cosx=（sinx﹣cosx)cosx=sinxcosx﹣cos2x=(cos2x+1)=﹣∴y=sin（x﹣)cosx的最小值为:故答案为：﹣．点评：本题主要考查两角和与差的公式和二倍角公式的应用和正弦函数的最值．考查基础知识的综合应用和灵活能力．19．（4分)（2010•郑州二模）若直线l过抛物线y=ax2(a＞0）的焦点，并且与y轴垂直，若l被抛物线截得的线段长为4,则a=．考点: 抛物线的应用．专题: 计算题；压轴题．分析: 先把抛物线方程整理成标准方程,可得焦点坐标．进而可得l被抛物线截得的线段长，进而求得a．解答: 解：抛物线方程整理得x2=y,焦点（0，）l被抛物线截得的线段长即为通径长，故=4，a=;故答案为．点评：本题主要考查抛物线的应用，属基础题．20．（4分）四个不同的小球放入编号为1,2,3，4的四个盒子中，则恰有一个空盒的放法共有144种(用数字作答）．考点：计数原理的应用．专题: 计算题；压轴题．分析: 由题意知需要先选两个元素作为一组再排列，恰有一个盒子中有2个小球，从4个小球中选两个作为一个元素,同另外两个元素在三个位置全排列，根据分步计数原理得到结果．解答: 解：四个不同的小球放入编号为1，2，3,4的四个盒子中，恰有一个空盒,说明恰有一个盒子中有2个小球，从4个小球中选两个作为一个元素，同另外两个元素在三个位置全排列故共有C42A43=144种不同的放法．故答案为144．点评：本题考查分步计数原理，是一个基础题，解题的过程中注意这种有条件的排列要分两步走，先选元素再排列．三、解答题（共6小题，满分65分)21．(7分）在复平面上，一个正方形的四个顶点按照逆时针方向依次为Z1，Z2,Z3，O （其中O是原点），已知Z2对应复数．求Z1和Z3对应的复数．考点: 复数的代数表示法及其几何意义．分析：由复数的三角形式和辐角主值可直接求解．解答：本小题主要考查复数基本概念和几何意义，以及运算能力．解：设Z1，Z3对应的复数分别为z1,z3,依题设得====点评: 采取合适的复数表达形式可给计算带来很大方便．22．（10分）求sin220°+cos250°+sin20°cos50°的值．考点：三角函数中的恒等变换应用．专题：计算题．分析：先根据二倍角公式降幂,再由积化和差公式、和和差化积化简即可得到答案．解答：解:原式====点评: 本小题主要考查三角恒等式和运算能力．属基础题．23．（12分）如图，圆柱的轴截面ABCD是正方形，点E在底面的圆周上，AF⊥DE,F是垂足．（1）求证：AF⊥DB;（2）如果圆柱与三棱锥D﹣ABE的体积的比等于3π，求直线DE与平面ABCD所成的角．考点: 平面与圆柱面的截线；直线与平面所成的角．专题：计算题；证明题．分析：(1)欲证AF⊥DB，先证AF⊥平面DEB,根据线面垂直的判定定理可知只需证EB⊥AF，AF⊥DE,且EB∩DE=E，即可证得线面垂直;（2)点E作EH⊥AB，H是垂足,连接DH，易证∠EDH是DE与平面ABCD所成的角，在三角形EDH中求出此角即可．解答：（1）证明：根据圆柱性质,DA⊥平面ABE．∵EB⊂平面ABE,∴DA⊥EB．∵AB是圆柱底面的直径,点E在圆周上，∴AE⊥EB,又AE∩AD=A，故得EB⊥平面DAE．∵AF⊂平面DAE，∴EB⊥AF．又AF⊥DE，且EB∩DE=E，故得AF⊥平面DEB．∵DB⊂平面DEB，∴AF⊥DB．（2）解:过点E作EH⊥AB,H是垂足,连接DH．根据圆柱性质，平面ABCD⊥平面ABE，AB是交线．且EH⊂平面ABE，所以EH⊥平面ABCD．又DH⊂平面ABCD,所以DH是ED在平面ABCD上的射影，从而∠EDH是DE与平面ABCD所成的角．设圆柱的底面半径为R，则DA=AB=2R，于是V圆柱=2πR3，．由V圆柱：V D﹣ABE=3π，得EH=R，可知H是圆柱底面的圆心,AH=R，DH=∴∠EDH=arcctg=arcctg（/5），点评: 本小题主要考查空间线面关系、圆柱性质、空间想象能力和逻辑推理能力．24．（12分）某地为促进淡水鱼养殖业的发展，将价格控制在适当范围内，决定对淡水鱼养殖提供政府补贴．设淡水鱼的市场价格为x元/千克，政府补贴为t元/千克．根据市场调查,当8≤x≤14时，淡水鱼的市场日供应量P千克与市场日需求量Q千克近似地满足关系：P=1000（x+t﹣8）( x≥8，t≥0）,Q=500（8≤x≤14）．当P=Q时市场价格称为市场平衡价格．（1)将市场平衡价格表示为政府补贴的函数，并求出函数的定义域；（2）为使市场平衡价格不高于每千克10元，政府补贴至少为每千克多少元?考点: 根据实际问题选择函数类型．专题: 应用题；压轴题．分析：本题综合考查函数、方程、不等式的解法等基础知识和方法．p=Q得到方程，当根的判别式≥0时，方程有解，求出解可得函数．然后△≥0，原题t≥0，8≤x≤14以及二次根式自变量取值范围得t的另一范围,联立得两个不等式组，求出解集可得自变量取值范围．第二小题，价格不高于10元，得x≤10，求出t的取值范围．解答：解：（1）依题设有1000（x+t﹣8）=500，化简得5x2+（8t﹣80)x+（4t2﹣64t+280）=0．当判别式△=800﹣16t2≥0时,可得x=8﹣±．由△≥0,t≥0,8≤x≤14，得不等式组：①②解不等式组①，得0≤t≤,不等式组②无解．故所求的函数关系式为函数的定义域为［0，］．（2)为使x≤10，应有8≤10化简得t2+4t﹣5≥0．解得t≥1或t≤﹣5,由t≥0知t≥1．从而政府补贴至少为每千克1元．点评：本小题主要考查运用所学数学知识和方法解决实际问题的能力,以及函数的概念、方程和不等式的解法等基础知识和方法．25．(12分)设｛a n}是由正数组成的等比数列，S n是其前n项和．(1）证明；(2)是否存在常数c＞0,使得成立？并证明你的结论．考点：等比数列的前n项和；对数的运算性质；不等式的证明．专题：计算题；证明题；压轴题．分析: (1）设{a n｝的公比为q，当q=1时根据S n•S n+2﹣S n+12求得结果小于0，不符合；当q≠1时利用等比数列求和公式求得S n•S n+2﹣S n+12＜0，进而推断S n•S n+2,＜S n+12．根据对数函数的单调性求得lg(S n•S n+2）＜lgS n+12，原式得证．（2）要使．成立,则有进而分两种情况讨论当q=1时根据（S n﹣c）（S n+2﹣c)=（S n+1﹣c）2求得﹣a12＜0不符合题意；当q≠1时求得（S n﹣c）（S n+2﹣c）﹣(S n+1﹣c）2=﹣a1q n［a1﹣c(1﹣q）]，进而推知a1﹣c(1﹣q）=0，判断出0＜q＜1，但此时不符合题意，最后综合可得结论．解答：（1)证明：设｛a n}的公比为q，由题设a1＞0，q＞0．(i）当q=1时，S n=na1，从而S n•S n+2﹣S n+12=na1•（n+2)a1﹣(n+1）2a12=﹣a12＜0（ⅱ）当q≠1时，，从而S n•S n+2﹣S n+12==﹣a12q n＜0．由(i)和（ii）得S n•S n+2,＜S n+12．根据对数函数的单调性，知lg（S n•S n+2）＜lgS n+12，即．(2)解：不存在．要使．成立,则有分两种情况讨论：（i）当q=1时，（S n﹣c)(S n+2﹣c）=(S n+1﹣c）2=（na1﹣c）［（n+2）a1﹣c］﹣[(n+1)a1﹣c］2=﹣a12＜0．可知，不满足条件①，即不存在常数c＞0，使结论成立．（ii）当q≠1时，若条件①成立，因为（S n﹣c）（S n+2﹣c）﹣（S n+1﹣c）2==﹣a1q n［a1﹣c（1﹣q)］，且a1q n≠0，故只能有a1﹣c（1﹣q）=0,即此时，因为c＞0,a1＞0，所以0＜q＜1．但0＜q＜1时，，不满足条件②,即不存在常数c＞0，使结论成立．综合(i）、（ii),同时满足条件①、②的常数c＞0不存在，即不存在常数c＞0，使．点评：本小题主要考查等比数列、对数、不等式等基础知识，考查推理能力以及分析问题和解决问题的能力．26．（12分)已知椭圆，直线．P是l上点,射线OP交椭圆于点R，又点Q在OP上且满足|OQ｜•|OP｜=|OR|2，当点P在l上移动时，求点Q的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．考点：轨迹方程；椭圆的简单性质；曲线与方程．专题: 计算题;压轴题．分析：先设三个点P、R、Q的坐标分别为（x P，y P)，(x R,y R），(x，y），利用共线条件得出它们坐标的关系，再依据条件|OQ|•｜OP|=｜OR|2,将三点的坐标代入,最终得到关于x,y的方程即为所求．解答：解：由题设知点Q不在原点．设P、R、Q的坐标分别为(x P，y P），(x R，y R），(x，y），其中x，y不同时为零．当点P不在y轴上时，由于点R在椭圆上及点O、Q、R共线，得方程组解得由于点P在直线l上及点O、Q、P共线，得方程组．解得当点P在y轴上时，经验证①～④式也成立．由题设|OQ｜•｜OP｜=｜OR|2，得将①～④代入上式，化简整理得因x与x p同号或y与yp同号，以及③、④知2x+3y＞0,故点Q的轨迹方程为（其中x，y不同时为零）．所以点Q的轨迹是以（1，1）为中心,长、短半轴分别为和且长轴与x轴平行的椭圆、去掉坐标原点．点评：本小题主要考查直线、椭圆的方程和性质，曲线与方程的关系,轨迹的概念和求法，利用方程判定曲线的性质等解析几何的基本思想和综合运用知识的能力．。
1989年全国统一高考数学试卷(理科)
1989年全国统一高考数学试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分） 1．（3分）（2000•北京）如果I={a ，b ，c ，d ，e}，M={a ，c ，d}，N={b ，d ，e}，其中I 是全集，那么（C I M ）∩（C I N ）等于（ ） A ． φ B ． {d} C ． {a ，c} D ． {b ，e} 2．（3分）与函数y=x 有相同图象的一个函数是（ ） A ． B ． C ． y =a log a x ．其中a ＞0，a≠1 D ． y =log a a x ．其中a ＞0，a≠1 3．（3分）如果圆锥的底面半径为，高为2，那么它的侧面积是（ ） A ． B ． C ． D ． 4．（3分）的值等于（ ） A ． ﹣1 B ．C ．D ．5．（3分）已知{an}是等比数列，如果a 1+a 2+a 3=18，a 2+a 3+a 4=﹣9，S n =a 1+a 2+…+an ，那么S n 的值等于（ ） A ． 8 B ． 16 C ． 32 D ． 486．（3分）如果的值等于（ ） A ．B ．C ．D ．7．（3分）（2010•宁波模拟）设复数z 满足关系：z+||=2+i ，那么z 等于（ ） A ． ﹣+i B ． +i C ． ﹣﹣iD ． ﹣i 8．（3分）已知球的两个平行截面的面积分别为5π和8π，它们位于球心的同一侧，且相距为1，那么这个球的半径是（ ） A ． 4 B ． 3 C ． 2 D ． 59．（3分）已知椭圆的极坐标方程是，那么它的短轴长是（ ） A ． B ．C ．D ．10．（3分）如果双曲线上一点P 到它的右焦点的距离是8，那么点P 到它的右准线的距离是（ ）A ． 10B ．C ．D ．11．（3分）已知f （x ）=8+2x ﹣x 2，如果g （x ）=f （2﹣x 2），那么g （x ）（ ） A ． 在区间（﹣1，0）上是减函数 B ． 在区间（0，1）上是减函数 C ． 在区间（﹣2，0）上是增函数 D ． 在区间（0，2）上是增函数 12．（3分）由数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中小于50000的偶数共有（ ） A ． 60个 B ． 48个 C ． 36个 D ． 24个二、填空题（共6小题，每小4分，满24分） 13．（4分）方程的解集是_________ 14．（4分）（2010•焦作二模）不等式|x 2﹣3x|＞4的解集是 _________ ．15．（4分）函数的反函数的定义域是 _________ ．16．（4分）（2010•佛山模拟）若（1+x ）6=a 0+a 1x+a 2x 2+…+a 6x 6，则a 1+a 2+…+a 6= _________ ． 17．（4分）已知A 和B 是两个命题，如果A 是B 的充分条件，那么B 是A 的 _________ 条件 18．（4分）如图，已知圆柱的底面半径是3，高是4，A 、B 两点分别在两底面的圆周上，并且AB=5，那么直线AB 与轴OO'之间的距离等于 _________ ．三、解答题（共6小题，满分60分） 19．（8分）证明：．20．（10分）如图，在平行六面体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，已知AB=5，AD=4，AA 1=3，AB ⊥AD ，∠A 1AB=∠A 1AD=．（Ⅰ）求证：顶点A 1在底面ABCD 的射影O 在∠BAD 的平分线上； （Ⅱ）求这个平行六面体的体积．21．（10分）自点A（﹣3，3）发出的光线L射到x轴上，被x轴反射，其反射光线所在直线与圆x2+y2﹣4x﹣4y+7=0相切，求光线L所在直线的方程．22．（12分）已知a＞0，a≠1，试求使方程有解的k的取值范围．23．（10分）是否存在常数a，b，c使得等式1•22+2•32+…+n（n+1）2=（an2+bn+c）对于一切正整数n都成立？并证明你的结论．24．（10分）设f（x）是定义在区间（﹣∞，+∞）上以2为周期的函数，对k∈Z，用I k表示区间（2k ﹣1，2k+1]，已知当x∈I0时，f（x）=x2．（1）求f（x）在I k上的解析表达式；（2）对自然数k，求集合M k={a|使方程f（x）=ax在I k上有两个不等的实根}1989年全国统一高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分） 1．（3分）（2000•北京）如果I={a ，b ，c ，d ，e}，M={a ，c ，d}，N={b ，d ，e}，其中I 是全集，那么（C I M ）∩（C I N ）等于（ ） A ． φ B ． {d} C ． {a ，c} D ． {b ，e}考点： 交、并、补集的混合运算． 分析： 根据交集、补集的意义直接求解．或者根据（C I M ）∩（C I N ）=C I （M ∪N ）求解． 解答： 解：C I M={b ，e}，C I N={a ，c}，∴（C I M ）∩（C I N ）=∅，故选A点评： 本题考查集合的基本运算，较容易． 2．（3分）与函数y=x 有相同图象的一个函数是（ ） A ． B ． C ． y =a log a x ．其中a ＞0，a≠1 D ． y =log a a x ．其中a ＞0，a≠1考点： 反函数． 分析： 欲寻找与函数y=x 有相同图象的一个函数，只须考虑它们与y=x 是不是定义域与解析式都相同即可．解答： 解：对于A ，它的定义域为R ，但是它的解析式为y=|x|与y=x 不同，故错；对于B ，它的定义域为x≠0，与y=x 不同，故错； 对于C ，它的定义域为x ＞0，与y=x 不同，故错；对于D ，它的定义域为R ，解析式可化为y=x 与y=x 同，故正确； 故选D ．点评： 本题主要考查了函数的概念、函数的定义域等，属于基础题． 3．（3分）如果圆锥的底面半径为，高为2，那么它的侧面积是（ ） A ． B ． C ． D ．考点： 棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积． 专题： 计算题． 分析： 根据圆锥的侧面积公式直接解答即可． 解答： 解：圆锥的底面半径为，高为2，母线长为：，那么它的侧面积：故选C ．点评： 本题考查圆锥的侧面积和表面积，是基础题、必会题．4．（3分）的值等于（ ）A ． ﹣1B ．C ．D ．考点：反三角函数的运用．专题：计算题．分析：利用反函数的运算法则，以及两角和的余弦公式求解即可．解答：解：===﹣[cos（arcsin）cos（arccos）+sin（arcsin）sin（arccos）]=﹣[]=﹣1故选A．点评：本题考查反函数的运算，两角和的正弦公式，是基础题．5．（3分）已知{an}是等比数列，如果a1+a2+a3=18，a2+a3+a4=﹣9，S n=a1+a2+…+an，那么S n的值等于（）A．8B．16 C．32 D．48考点：极限及其运算；等比数列的前n项和；等比数列的性质．专题：计算题．分析：由题意知，所以，S n=．解答：解：∵a1+a1q+a1q2=18，a1q+a1q2+a1q3=﹣9，∴．∴，∴S n=．故选B．点评：本题考查等比数列的计算和极限，解题时要正确选取公式，注意公式的灵活运用．6．（3分）如果的值等于（）A．B．C．D．考点：二倍角的余弦．分析：由题目中给出的角θ的范围，确定余弦值，用余弦表示sin，求出结果，容易出错的地方是，要求结果的正负，要用角的范围帮助分析解答：解：∵，∴，∵∴或，∵，∴，故选C点评：已知一个角的某个三角函数式的值，求这个角的其他三角函数式的值，一般需用三个基本关系式及其变式，通过恒等变形或解方程求解．已知一个角的某个三角函数式的值，求这个角的半角或二倍角的三角函数值，要用到二倍角公式．7．（3分）（2010•宁波模拟）设复数z满足关系：z+||=2+i，那么z等于（）A．﹣+i B．+i C．﹣﹣i D．﹣i考点：复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算．专题：计算题；综合题．分析：解法1：设出复数，利用复数相等的条件求解即可；解法2：利用复数模的性质，移项平方，然后解方程即可；解法3：考虑选择题的特点，考查选项复数的模，结合题干推出复数z的实部、虚部的符号即可．解答：解：法1：设z=a+bi（a，b∈R）由已知a+bi+=2+i由复数相等可得∴故z=+i故选B．法2：由已知可得z=﹣||+i ①取模后平方可得|z|2=（2﹣|z|）2+1=4﹣4|z|+|z|2+1，所以，代入①得，故选B．法3：选择支中的复数的模均为，又，而方程右边为2+i，它的实部，虚部均为正数，因此复数z的实部，虚部也必须为正，故选B．点评：本题考查复数的基本概念，复数代数形式的乘除运算，复数的模，考查计算能力，判断能力，是基础题．8．（3分）已知球的两个平行截面的面积分别为5π和8π，它们位于球心的同一侧，且相距为1，那么这个球的半径是（）A．4B．3C．2D．5考点：球面距离及相关计算．专题：计算题．分析：画出图形，求出两个截面圆的半径，即可解答本题．解答：解：由题意画轴截面图，截面的面积为5π，半径为，截面的面积为8π的圆的半径是，设球心到大截面圆的距离为d，球的半径为r，则5+（d+1）2=8+d2，∴d=1，∴r=3故选B．点评：本题考查球的截面圆的半径，球的半径，球心到截面圆心的距离的关系，是基础题．9．（3分）已知椭圆的极坐标方程是，那么它的短轴长是（）A．B．C．D．考点：简单曲线的极坐标方程．专题：计算题．分析：利用圆锥曲线统一的极坐标方程，求出圆锥曲线的短轴长即可．解答：解：将原极坐标方程为，化成：极坐标方程为ρ=．，对照圆锥曲线统一的极坐标方程得：e=，a=3，b=，c=2．∴它的短轴长2故选C点评：本题主要考查了圆锥曲线的极坐标方程，属于基础题．10．（3分）如果双曲线上一点P到它的右焦点的距离是8，那么点P到它的右准线的距离是（）A．10 B．C．D．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题．分析：由双曲线的第二定义可知点P到双曲线右焦点的距离和点P到它的右准线的距离之比等于离心率，由此可以求出点P到它的右准线的距离．解答：解：设点P 到它的右准线的距离是x ，∵， ∴，解得．故点P 到它的右准线的距离是．故选D ．点评： 本题考查双曲线的第二定义，解题时注意认真审题． 11．（3分）已知f （x ）=8+2x ﹣x 2，如果g （x ）=f （2﹣x 2），那么g （x ）（ ） A ． 在区间（﹣1，0）上是减函数 B ． 在区间（0，1）上是减函数 C ． 在区间（﹣2，0）上是增函数 D ． 在区间（0，2）上是增函数考点： 复合函数的单调性． 专题： 计算题；综合题；压轴题． 分析： 先求出g （x ）的表达式，然后确定它的区间的单调性，即可确定选项． 解答： 解：因为 f （x ）=8+2x ﹣x 2，则 g （x ）=f （2﹣x 2）=8+2x 2﹣x 4 =﹣（x 2﹣1）2+9，因为g′（x ）=﹣4x 3+4x ，x ∈（﹣1，0），g′（x ）＜0，g （x ）在区间（﹣1，0）上是减函数． 故选A ．点评： 本题考查复合函数的单调性，考查学生发现问题解决问题的能力，是基础题． 12．（3分）由数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中小于50000的偶数共有（ ） A ． 60个 B ． 48个 C ． 36个 D ． 24个考点： 排列及排列数公式． 专题： 压轴题． 分析： 由题意本题的要求是个位数字是偶数，最高位不是5．可先安排个位，方法有2种，再安排最高位，方法有3种，其他位置安排方法有A 33=6种，求乘积即可．解答： 解：由题意，符合要求的数字共有2×3A 33=36种故选C点评： 本题考查有特殊要求的排列问题，属基本题．有特殊要求的排列问题，一般采用特殊位置优先或特殊元素优先考虑．二、填空题（共6小题，每小4分，满24分） 13．（4分）方程的解集是 {x|x=2kπ+或x=2kπ+}（k ∈Z ）考点： 正弦函数的图象；三角函数的积化和差公式． 专题： 计算题．分析： 先利用两角和公式对化简整理，进而根据正弦函数的性质可求得x 的解集． 解答：解：=2（sinx ﹣cosx ）=2sin （x ﹣）=∴sin（x﹣）=∴x﹣=2kπ+或2kπ+∴x=2kπ+或2kπ+故答案为{x|x=2kπ+或x=2kπ+}（k∈Z）点评：本题主要考查了正弦函数的基本性质．考查了学生对正弦函数基础知识的理解和运用．14．（4分）（2010•焦作二模）不等式|x2﹣3x|＞4的解集是{x|x＜﹣1，或x＞4}．考点：绝对值不等式的解法．专题：计算题．分析：用绝对值的意义将绝对值不等式转化为一般不等式求解．解答：解：∵|x2﹣3x|＞4∴x2﹣3x＞4 或x2﹣3x＜﹣4由x2﹣3x＞4解得x＜﹣1或x＞4，x2﹣3x＜﹣4无解∴不等式|x2﹣3x|＞4的解集是{x|x＜﹣1或x＞4}故应填{x|x＜﹣1或x＞4}点评：考查绝对值不等式的解法，用绝对值的几何意义来进行转化．15．（4分）函数的反函数的定义域是（﹣1，1）．考点：反函数．专题：计算题．分析：欲求反函数的定义域，可以通过求在函数的值域获得，所以只要求出函数的值域即可．解答：解：由得，e x=．∵ex＞0，∴．＞0，∴﹣1＜y＜1，∴反函数的定义域是（﹣1，1）．故填：（﹣1，1）点评：本题主要考查反函数的性质，考查了互为反函数的两个函数的定义域和值域正好相反．属于基础题．16．（4分）（2010•佛山模拟）若（1+x）6=a0+a1x+a2x2+…+a6x6，则a1+a2+…+a6=63．考点：二项式系数的性质．专题：计算题．分析：本题为求二项式系数的和，注意到等式右边当x=1时即为a0+a1+a2+…+a6，故可采用赋值法，只要再求出a0即可．解答：解：在原式中，令x=1得26=a0+a1+a2+…+a6=64，又因为a0=1，所以a1+a2+…+a6=63；故答案为：63点评：本题考查二项式系数求和：赋值法的应用，准确理解二项式定理是解决本题的关键．17．（4分）已知A和B是两个命题，如果A是B的充分条件，那么B是A的必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：压轴题；阅读型．分析：本题考查的知识点是充要条件的定义，如果A是B的充分条件，那么B是A的必要条件．解答：解：由充要条件的定义，如果A是B的充分条件，那么B是A的必要条件．故答案为：必要点评：判断充要条件的方法是：①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件．⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．18．（4分）如图，已知圆柱的底面半径是3，高是4，A、B两点分别在两底面的圆周上，并且AB=5，那么直线AB与轴OO'之间的距离等于．考点：棱柱的结构特征；点、线、面间的距离计算．专题：计算题；压轴题．分析：画出几何图形，直线AB与轴OO'之间的距离，等于直线轴OO'与平面ABC的距离，求解即可．解答：解：如图直线AB与轴OO'之间的距离，等于直线轴OO'与平面ABC的距离，由图形可知直线AB与轴OO'之间的距离等于O到BC 的距离，AB=5，AC=4，所以BC=3所以所求距离为：故答案为：点评：本题考查棱柱的结构特征，点、线、面间的距离计算，考查空间想象能力，考查计算能力，是中档题．三、解答题（共6小题，满分60分）19．（8分）证明：．考点：两角和与差的正弦函数；三角函数恒等式的证明；弦切互化．分析：等式左边是两个正切值，右边是余弦、正弦的分式，左边是半角与，右边是单角x和倍角2x．若从右向左证，需进行单角变半角，而分母可进行和化积，关键是分子的变化，仍从角入手，将x写成﹣，再用两角差公式，而从左向右证，需进行切变弦，同时还要考虑变半角为单角．解答：证明：=点评：本题主要考查同角三角函数的基本关系和两角差的正弦公式．属中档题．三角函数部分公式比较多要强化记忆．20．（10分）如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，已知AB=5，AD=4，AA1=3，AB⊥AD，∠A1AB=∠A1AD=．（Ⅰ）求证：顶点A1在底面ABCD的射影O在∠BAD的平分线上；（Ⅱ）求这个平行六面体的体积．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：计算题；证明题；综合题．分析：（Ⅰ）如图利用Rt△A1NA≌Rt△A1MA证明A1M=A1N，OM=ON，即证明顶点A1在底面ABCD 的射影O在∠BAD的平分线上；（Ⅱ）求出底面ABCD的面积，和高A1O，然后可求几何体的体积．解答：解：（Ⅰ）证：连接A1O，则A1O⊥底面ABCD．作OM⊥AB交AB于M，作ON⊥AD交AD于N，连接A1M，A1N由三垂线定理得A1M⊥AB，A1N⊥AD∵∠A1AM=∠A1AN，∴Rt△A1NA≌Rt△A1MA∴A1M=A1N∴OM=ON．∴点O在∠BAD的平分线上（Ⅱ）∵AM=AA1，∴AO=AM．又在职Rt△AOA1中，A1O2=AA12﹣AO2=，∴A1O=．∴平行六面体的体积V=．点评：本题考查棱柱的体积，以及射影问题，考查学生逻辑思维能力，是基础题．21．（10分）自点A（﹣3，3）发出的光线L射到x轴上，被x轴反射，其反射光线所在直线与圆x2+y2﹣4x﹣4y+7=0相切，求光线L所在直线的方程．考点：直线和圆的方程的应用；关于点、直线对称的圆的方程．分析：化简圆的方程为标准方程，求出关于x轴对称的圆的方程，设l的斜率为k，利用相切求出k的值即可得到l的方程．解答：解：已知圆的标准方程是（x﹣2）2+（y﹣2）2=1，它关于x轴的对称圆的方程是（x﹣2）2+（y+2）2=1，设光线L所在直线的方程是y﹣3=k（x+3）（其中斜率k待定）由题设知对称圆的圆心C'（2，﹣2）到这条直线的距离等于1，即．整理得：12k2+25k+12=0，解得：，或．故所求的直线方程是，或，即3x+4y﹣3=0，或4x+3y+3=0．点评：本题考查点、直线和圆的对称问题，直线与圆的关系，是基础题，解答简洁值得借鉴．22．（12分）已知a＞0，a≠1，试求使方程有解的k的取值范围．考点：对数函数图象与性质的综合应用．专题：计算题；压轴题．分析：由题设条件可知，原方程的解x应满足，当（1），（2）同时成立时，（3）显然成立，因此只需解，再根据这个不等式组的解集并结合对数函数的性质可以求出k的取值范围．解答：解：由对数函数的性质可知，原方程的解x应满足当（1），（2）同时成立时，（3）显然成立，因此只需解由（1）得2kx=a（1+k2）（4）当k=0时，由a＞0知（4）无解，因而原方程无解．当k≠0时，（4）的解是把（5）代入（2），得．解得：﹣∞＜k＜﹣1或0＜k＜1．综合得，当k在集合（﹣∞，﹣1）∪（0，1）内取值时，原方程有解．点评：解题时要注意分类讨论思想的灵活运用．23．（10分）是否存在常数a，b，c使得等式1•22+2•32+…+n（n+1）2=（an2+bn+c）对于一切正整数n都成立？并证明你的结论．考点：数学归纳法；数列的极限．专题：证明题；压轴题．分析：先假设存在符合题意的常数a，b，c，再令n=1，n=2，n=3构造三个方程求出a，b，c，再用用数学归纳法证明成立，证明时先证：（1）当n=1时成立．（2）再假设n=k（k≥1）时，成立，即1•22+2•32+…+k（k+1）2=（3k2+11k+10），再递推到n=k+1时，成立即可．解答：证明：假设存在符合题意的常数a，b，c，在等式1•22+2•32+…+n（n+1）2=（an2+bn+c）中，令n=1，得4=（a+b+c）①令n=2，得22=（4a+2b+c）②令n=3，得70=9a+3b+c③由①②③解得a=3，b=11，c=10，于是，对于n=1，2，3都有1•22+2•32+…+n（n+1）2=（3n2+11n+10）（*）成立．下面用数学归纳法证明：对于一切正整数n，（*）式都成立．（1）当n=1时，由上述知，（*）成立．（2）假设n=k（k≥1）时，（*）成立，即1•22+2•32+…+k（k+1）2=（3k2+11k+10），那么当n=k+1时，1•22+2•32+…+k（k+1）2+（k+1）（k+2）2=（3k2+11k+10）+（k+1）（k+2）2=（3k2+5k+12k+24）=[3（k+1）2+11（k+1）+10]，由此可知，当n=k+1时，（*）式也成立．综上所述，当a=3，b=11，c=10时题设的等式对于一切正整数n都成立．点评：本题主要考查研究存在性问题和数学归纳法，对存在性问题先假设存在，再证明是否符合条件，数学归纳法的关键是递推环节，要符合假设的模型才能成立．24．（10分）设f（x）是定义在区间（﹣∞，+∞）上以2为周期的函数，对k∈Z，用I k表示区间（2k﹣1，2k+1]，已知当x∈I0时，f（x）=x2．（1）求f（x）在I k上的解析表达式；（2）对自然数k，求集合M k={a|使方程f（x）=ax在I k上有两个不等的实根}考点：根的存在性及根的个数判断；函数解析式的求解及常用方法．专题：计算题；压轴题．分析：（1）利用2为周期2k也是周期可得f（x）=f（x﹣2k）=（x﹣2k）2即为所求．（2）转化为x2﹣（4k+a）+4k2=0在区间I k上恰有两个不相等的实根，再求有两个不相等的实根成立的条件即可．解答：解：（1）∵f（x）是以2为周期的函数，∴当k∈Z时，2k也是f（x）的周期．又∵当x∈I k时，（x﹣2k）∈I0，∴f（x）=f（x﹣2k）=（x﹣2k）2．即对k∈Z，当x∈I k时，f（x）=（x﹣2k）2．（2）当k∈Z且x∈I k时，利用（1）的结论可得方程（x﹣2k）2=ax，整理得：x2﹣（4k+a）+4k2=0．它的判别式是△=（4k+a）2﹣16k2=a（a+8k）．上述方程在区间I k上恰有两个不相等的实根的充要条件是a满足化简得由（1）知a＞0，或a＜﹣8k．当a＞0时：因2+a＞2﹣a，故从（2），（3）可得，即当a＜﹣8k时：2+a＜2﹣8k＜0，易知无解，综上所述，a应满足故所求集合点评：本题借助于函数的周期性对函数解析式的求法和根的存在性'根的个数的判断的综合考查，是道中档题．。
1985年全国统一高考数学试卷(文科)
1985年全国统一高考数学试卷（文科）一、选择题（共5小题，每小题3分，满分15分） 1．（3分）如果正方体ABCD ﹣A′B′C′D′的棱长为a ，那么四面体A′﹣ABD 的体积是（ ） A ． B ． C ． D ．2．（3分）的（ ）A ． 必要条件B ． 充分条件C ． 充分必要条件D ． 既不充分又不必要的条件 3．（3分）设集合X={0，1，2，4，5，7}，Y={1，3，6，8，9}，Z={3，7，8}，那么集合（X∩Y ）∪Z 是（ ） A ． {0，1，2，6，8} B ． {3，7，8} C ． {1，3，7，8} D ． {1，3，6，7，8}4．（3分）在下面给出的函数中，哪一个函数既是区间上的增函数又是以π为周期的偶函数？（ ） A ． y =x 2（x ∈R ） B ． y =|sinx|（x ∈R ） C ． y =cos2x （x ∈R ）D ． y =e sin2x （x ∈R ）5．（3分）用1，2，3，4，5这五个数字，可以组成比20000大，并且百位数不是数字3的没有重复数字的五位数，共有（ ） A ． 96个 B ． 78个 C ． 72个 D ． 64个二、解答题（共11小题，满分90分） 6．（4分）求函数．7．（4分）求圆锥曲线3x 2﹣y 2+6x+2y ﹣1=0的离心率． 8．（4分）求函数y=﹣x 2+4x ﹣2在区间[0，3]上的最大值和最小值． 9．（4分）设（3x ﹣1）6=a 6x 6+a 5x 5+a 4x 4+a 3x 3+a 2x 2+a 1x+a 0，求a 6+a 5+a 4+a 3+a 2+a 1+a 0的值． 10．（4分）设i 是虚数单位，求（1+i ）6的值． 11．（14分）设S 1=12，S 2=12+22+12，S 3=12+22+32+22+12，…， S n =12+22+32+…+n 2+…+32+22+12，… 用数学归纳法证明：公式对所有的正整数n 都成立．12．（13分）证明三角恒等式．13．（16分）（1）解方程lg（3﹣x）﹣lg（3+x）=lg（1﹣x）﹣lg（2x+1）；（2）解不等式14．（15分）设三棱锥V﹣ABC的三个侧面与底面所成的二面角都是β，它的高是h，求这个所棱锥底面的内切圆半径．15．（15分）已知一个圆C：x2+y2+4x﹣12y+39=0和一条直线L：3x﹣4y+5=0，求圆C关于直线L 的对称的圆的方程．16．（12分）设首项为1，公比为q（q＞0）的等比数列的前n项之和为S n，又设T n=，n=1，2，…．求．1985年全国统一高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共5小题，每小题3分，满分15分）1．（3分）如果正方体ABCD﹣A′B′C′D′的棱长为a，那么四面体A′﹣ABD的体积是（）A．B．C．D．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：计算题．分析：画出图形，直接求解即可．解答：解：如图四面体A′﹣ABD的体积是V=故选D．点评：本题考查棱锥的体积，是基础题．2．（3分）的（）A．必要条件B．充分条件C．充分必要条件D．既不充分又不必要的条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：计算题．分析：先解出tanx=1的解，再判断两命题的关系．解答：解：由tanx=1得，当k=1时，x=，固由前者可以推出后者，所以tanx=1是的必要条件．故选A．点评：此题要注意必要条件，充分条件的判断，掌握正切函数的基本性质，比较简单．3．（3分）设集合X={0，1，2，4，5，7}，Y={1，3，6，8，9}，Z={3，7，8}，那么集合（X∩Y）∪Z是（）A．{0，1，2，6，B．{3，7，8} C．{1，3，7，8} D．{1，3，6，7，8} 8}考点：交、并、补集的混合运算．分析：根据交集的含义取X、Y的公共元素写出X∩Y，再根据并集的含义求（X∩Y）∪Z．解答：解：X∩Y={1}，（X∩Y）∪Z={1，3，7，8}，故选C点评：本题考查集合的基本运算，较简单．4．（3分）在下面给出的函数中，哪一个函数既是区间上的增函数又是以π为周期的偶函数？（）D．y=e sin2x（x∈R）A．y=x2（x∈R） B．y=|sinx|（x∈R）C．y=cos2x（x∈R）考点：三角函数的周期性及其求法．专题：压轴题．分析：根据函数的周期性和三角函数的单调性对选项逐一验证即可．解答：解：y=x2（x∈R）不是周期函数，故排除A．∵y=|sinx|（x∈R）周期为π，且根据正弦图象知在区间上是增函数．故选B．点评：本题主要考查三角函数的最小正周期和三角函数的图象．5．（3分）用1，2，3，4，5这五个数字，可以组成比20000大，并且百位数不是数字3的没有重复数字的五位数，共有（）A．96个B．78个C．72个D．64个考点：排列、组合的实际应用．专题：计算题；压轴题；分类讨论．分析：根据题意，分析首位数字，要求这个五位数比20000大，则首位必须是2，3，4，5这4个数字，由于百位数不是数字3，分2种情况讨论，①百位是3，②百位是2，4，5，分别求得其情况数目，由乘法原理，计算可得答案．解答：解：根据题意，要求这个五位数比20000大，则首位必须是2，3，4，5这4个数字，分2种情况讨论，当首位是3时，百位数不是数字3，有A44=24种情况，当首位是2，4，5时，由于百位数不能是数字3，有3（A44﹣A33）=54种情况，综合可得，共有54+24=78个数字符合要求，故选B．点评：本题考查排列、组合的应用，注意结合题意，进行分类讨论，特别是“百位数不是数字3”的要求．二、解答题（共11小题，满分90分）6．（4分）求函数．考点：函数的定义域及其求法．分析：只需使得解析式有意义，分母不为0，且被开方数大于等于0即可．解答：解：解得：{x|﹣2≤x＜1}∪{x|1＜x≤2}．点评：本题考查具体函数的定义域，属基本题．7．（4分）求圆锥曲线3x2﹣y2+6x+2y﹣1=0的离心率．考点：圆锥曲线的共同特征．专题：计算题．分析：先把方程整理成标准方程，进而可知a和b，求得c，则离心率可得．解答：解：方程整理成标准方程得（x+1）2﹣=1，即a=1，b=∴c==2∴e==2点评：本题主要考查了双曲线的简单性质．属基础题．8．（4分）求函数y=﹣x2+4x﹣2在区间[0，3]上的最大值和最小值．考点：利用导数求闭区间上函数的最值．专题：计算题．分析：先配方，确定对称轴和开口，再结合着图象，找出最高点和最低点，即相应的最大值和最小值．解答：解：y=﹣（x﹣2）2+2，则开口向下，对称轴方程是x=2结合函数的图象可得，当x=2时，y max=2；当x=0时，y min=﹣2故最大值是2，最小值是﹣2．点评：二次函数仍是高中阶段研究的重点，对于含参问题的二次函数考查的尤为频繁，在解决此类问题时往往要根据开口和对称轴，结合着图象，作出解答．9．（4分）设（3x﹣1）6=a6x6+a5x5+a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0，求a6+a5+a4+a3+a2+a1+a0的值．考点：二项式系数的性质．专题：计算题．分析：对等式中的x赋值1求出各项系数和．解答：解：令x=1得26=a6+a5+a4+a3+a2+a1+a0故a6+a5+a4+a3+a2+a1+a0=26点评：本题考查赋值法是求展开式的各项系数和的重要方法．10．（4分）设i是虚数单位，求（1+i）6的值．考点：复数代数形式的乘除运算．专题：常规题型．分析：利用（1+i）2=2i及i的各次方的值求解即可．解答：解：因为（1+i）2=2i，故（1+i）6=（2i）3=8i3=﹣8i点评：本题考查复数的简单运算，在进行复数的运算时要注意一些常见结果的运用，如（1+i）2=2i，（1﹣i）2=﹣2i等．11．（14分）设S1=12，S2=12+22+12，S3=12+22+32+22+12，…，S n=12+22+32+…+n2+…+32+22+12，…用数学归纳法证明：公式对所有的正整数n都成立．考点：数学归纳法．专题：证明题．分析：本题考查的知识点是数学归纳法，由数学归纳法的步骤，我们先判断n=1时对是否成立，然后假设当n=k时，公式成立，只要能证明出当n=k+1时，公式成立即可得到公式对所有的正整数n都成立．解答：证明：因为S n=12+22+32+…+n2+…+32+22+12，即要证明12+22+32+…+n2+…+32+22+12=，（A）（Ⅰ）当n=1，左边=1，右=，故（A）式成立（Ⅱ）假设当n=k时，（A）式成立，即12+22+32+…+k2+…+32+22+12=现设n=k+1，在上式两边都加上（k+1）2+k2，得12+22+32+…+k2+（k+1）2+k2+…+32+22+12=+（k+1）2+k2，====．即证得当n=k+1时（A）式也成立根据（Ⅰ）和（Ⅱ），（A）式对所有的正整数n都成立，即证得点评：数学归纳法的步骤：①证明n=1时A式成立②然后假设当n=k时，A式成立③证明当n=k+1时，A式也成立④下绪论：A式对所有的正整数n都成立．12．（13分）证明三角恒等式．考点：三角函数恒等式的证明．专题：证明题．分析：证明的思路是化简左边式子，方法是利用2倍角公式和同角三角函数的基本关系，得到式子与右边相等即可．解答：证明：左边=2sin4x+（2sinxcosx）2+5cos4x﹣cos（2x+x）cosx=2sin4x+3sin2xcos2x+5cos4x﹣（cos2xcosx﹣sin2xsinx）cosx=2sin4x+3sin2xcos2x+5cos4x﹣[（2cos2x﹣1）cosx﹣2sin2xcosx]cosx=2sin4x+3sin2xcos2x+5cos4x﹣[2cos3x﹣cosx﹣2（1﹣cos2x）cosx]cosx=2sin4x+3sin2xcos2x+5cos4x﹣（4cos3x﹣3cosx）cosx=2sin4x+3sin2xcos2x+cos4x+3cos2x=（2sin2x+cos2x）（sin2x+cos2x）+3cos2x=2sin2x+cos2x+3cos2x=2+2cos2x=2（1+cos2x）=右边点评：考查学生理解三角函数恒等式的证明思路，运用和差倍分的三角函数及同角三角函数的基本关系的能力．13．（16分）（1）解方程lg（3﹣x）﹣lg（3+x）=lg（1﹣x）﹣lg（2x+1）；（2）解不等式考点：对数函数图象与性质的综合应用；其他不等式的解法．专题：计算题．分析：（1）、根据对数的运算法则可知，由lg（3﹣x）﹣lg（3+x）=lg（1﹣x）﹣lg（2x+1）得，于是解这求出结果后要根据对数函数的定义域进行验根，去除增根．（2）、由不等式可知解：．解无理不等式时要全面考虑，避免丢解．解答：（1）解：由原对数方程得，于是解这个方程，得x1=0，x2=7．检验：x=7是增根，因此，原方程的根是x=0．（2）解：解得点评：解对数方程要注意不要产生增根；解无理不等式时要注意不要丢解．14．（15分）设三棱锥V﹣ABC的三个侧面与底面所成的二面角都是β，它的高是h，求这个所棱锥底面的内切圆半径．考点：棱锥的结构特征．专题：常规题型；计算题．分析：先作辅助线，三棱锥的高，斜高，以及斜高在底面上的射影，从而作出侧面与底面所成角的平面角，然后，由余弦函数求得斜高在底面的射影，即底面三角形的内切圆的半径．要注意论证．解答：解：自三棱锥的顶点V向底面作垂线，垂足为O，再过O分别作AB，BC，CA的垂线，垂足分别是E，F，G连接VE，VF，VG根据三垂线定理知：VE⊥AB，VF⊥BC，VG⊥AC因此∠VEO，∠VFO，∠VGO分别为侧面与底面所成二面角的平面角，由已知条件得∠VEO=∠VFO=∠VGO=β，在△VOE和△VOF中，由于VO⊥平面ABC，所以VO⊥OE，VO⊥OF又因VO=VO，∠VEO=∠VFO，于是△VEO≌△VFO由此得到OE=OF同理可证OE=OG，因此OE=OF=OG又因OE⊥AB，OF⊥BC，OG⊥AC，所以点O是△ABC的内切圆的圆心在直角三角形VEO中，VO=h，∠VEO=β，因此OE=hcotβ．即这个三棱锥底面的内切圆半径为hcotβ．点评：本题主要考查三棱锥的结构特征，主要涉及了几何体的高，斜高及在底面上的射影，侧面与底面所成角等问题，考查全面，属中档题．15．（15分）已知一个圆C：x2+y2+4x﹣12y+39=0和一条直线L：3x﹣4y+5=0，求圆C关于直线L的对称的圆的方程．考点：关于点、直线对称的圆的方程．专题：计算题；压轴题．分析：求出已知圆的圆心，设出对称圆的圆心利用中点在直线上，弦所在直线与圆心连线垂直，得到两个方程，求出圆心坐标，然后求出方程．解答：解：已知圆方程可化成（x+2）2+（y﹣6）2=1，它的圆心为P（﹣2，6），半径为1设所求的圆的圆心为P'（a，b），则PP'的中点应在直线L上，故有，即3a﹣4b﹣20=0（1）又PP'⊥L，故有，即4a+3b﹣10=0（2）解（1），（2）所组成的方程，得a=4，b=﹣2由此，所求圆的方程为（x﹣4）2+（y+2）2=1，即：x2+y2﹣8x+4y+19=0．点评：本题是基础题，考查圆关于直线对称的圆的方程，本题的关键是垂直、平分关系的应用，这是解决这一类问题的常用方法，需要牢记．16．（12分）设首项为1，公比为q（q＞0）的等比数列的前n项之和为S n，又设T n=，n=1，2，…．求．考点：极限及其运算；等比数列的前n项和．专题：计算题；压轴题．分析：当公比q满足0＜q＜1时，．当公比q=1时，S n=n，．．当公比q＞1时，，．综合以上讨论，可以求得的值．解答：解：当公比q满足0＜q＜1时，，于是==．当公比q=1时，S n=1+1+…+1=n，于是=．因此当公比q＞1时，于是．因此．综合以上讨论得到点评：本题考查等比数列的极限，解题时要分情况进行讨论，考虑问题要全面，避免丢解．。
1985年全国统一高考数学考试卷(理科)
1985年全国统一高考数学试卷〔理科〕一、选择题〔共5小题，每一小题3分，总分为15分〕的体积是〔〕π为周期的偶函数？〔〕5．〔3分〕用1，2，3，4，5这五个数字，可以组成比20000大，并且百位数不是数字3的没有重复二、解答题〔共13小题，总分为90分〕6．〔4分〕求方程解集．7．〔4分〕设|a|≤1，求arccosa+arccos〔﹣a〕的值．8．〔4分〕求曲线y2=﹣16x+64的焦点．9．〔4分〕设〔3x﹣1〕6=a6x6+a5x5+a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0，求a6+a5+a4+a3+a2+a1+a0的值．10．〔4分〕设函数f〔x〕的定义域是[0，1]，求函数f〔x2〕的定义域．11．〔7分〕解方程log4〔3﹣x〕+log〔3+x〕=log4〔1﹣x〕+log〔2x+1〕．12．〔7分〕解不等式13．〔15分〕如图，设平面AC和BD相交于BC，它们所成的一个二面角为45°，P为平面AC的一点，Q为面BD的一点，直线MQ是直线PQ在平面BD的射影，并且M在BC上又设PQ与平面BD 所成的角为β，∠CMQ=θ〔0°＜θ＜90°〕，线段PM的长为a，求线段PQ的长．14．〔15分〕设O为复平面的原点，Z1和Z2为复平面的两动点，并且满足：〔1〕Z1和Z2所对应的复数的辐角分别为定值θ和﹣θ；〔2〕△OZ1Z2的面积为定值S求△OZ1Z2的重心Z所对应的复数的模的最小值．15．〔15分〕两点P〔﹣2，2〕，Q〔0，2〕以与一条直线：L：y=x，设长为的线段AB在直线L上移动，如图，求直线PA和QB的交点M的轨迹方程．〔要求把结果写成普通方程〕16．〔14分〕设，〔1〕证明不等式对所有的正整数n都成立；〔2〕设，用定义证明17．〔12分〕设a，b是两个实数，A={〔x，y〕|x=n，y=na+b，n是整数}，B={〔x，y〕|x=m，y=3m2+15，m是整数}，C={〔x，y〕|x2+y2≤144}，是平面XOY的点集合，讨论是否存在a和b使得〔1〕A∩B≠φ〔φ表示空集〕，〔2〕〔a，b〕∈C同时成立．18．曲线y=x3﹣6x2+11x﹣6．在它对应于x∈[0，2]的弧段上求一点P，使得曲线在该点的切线在y轴上的截距为最小，并求出这个最小值．1985年全国统一高考数学试卷〔理科〕参考答案与试题解析一、选择题〔共5小题，每一小题3分，总分为15分〕的体积是〔〕A．B．C．D．2．〔3分〕的〔〕A．必要条件B．充分条件C．充分必要条件D．既不充分又不必要的条件π为周期的偶函数？〔〕5．〔3分〕用1，2，3，4，5这五个数字，可以组成比20000大，并且百位数不是数字3的没有重复二、解答题〔共13小题，总分为90分〕6．〔4分〕求方程解集．7．〔4分〕设|a|≤1，求arccosa+arccos〔﹣a〕的值．8．〔4分〕求曲线y2=﹣16x+64的焦点．9．〔4分〕设〔3x﹣1〕6=a6x6+a5x5+a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0，求a6+a5+a4+a3+a2+a1+a0的值．10．〔4分〕设函数f〔x〕的定义域是[0，1]，求函数f〔x2〕的定义域．11．〔7分〕解方程log4〔3﹣x〕+log〔3+x〕=log4〔1﹣x〕+log〔2x+1〕．考点：对数的运算性质；对数函数的定义域．专题：计算题．分析：把方程移项，再化为同底的对数，利用对数性质解出自变量的值，由于不是恒等变形，注意验根．解答：解：由原对数方程得，解这个方程，得到x1=0，x2=7．检验：x=7是增根，故x=0是原方程的根．点评：此题考查对数的运算性质，对数函数的定义域．12．〔7分〕解不等式考点：其他不等式的解法．专题：计算题；分类讨论．分析：分类讨论，当时不等式成立，解出不等式解集即可，当时，将不等式的两边平方，解出解集即可，最后求出两个解集的并集即可．解答：解：，解得；〔4分〕或，解得﹣1≤x＜2；〔8分〕综上所述，解得〔12分〕点评：此题主要考查根号下的不等式的求解．13．〔15分〕如图，设平面AC和BD相交于BC，它们所成的一个二面角为45°，P为平面AC的一点，Q为面BD的一点，直线MQ是直线PQ在平面BD的射影，并且M在BC上又设PQ与平面BD所成的角为β，∠CMQ=θ〔0°＜θ＜90°〕，线段PM的长为a，求线段PQ的长．考点：平面与平面之间的位置关系．专题：计算题．分析：过点P作平面BD的垂线，垂足为R，由PQ与平面BD所成的角为β，要求PQ，可根据，故我们要先求PR值，而由二面角的平面角为45°，我们可得NR=PR，故我们要先根据MR=，与a2=PR2+MR2，求出NR的值．解答：解：自点P作平面BD的垂线，垂足为R，由于直线MQ是直线PQ在平面BD的射影，所以R在MQ上，过R作BC的垂线，设垂足为N，如此PN⊥BC〔三垂线定理因此∠PNR是所给二面角的平面角，所以∠PNR=45°由于直线MQ是直线PQ在平面BD的射影，所以∠PQR=β在Rt△PNR中，NR=PRcot45°，所以NR=PR．在Rt△MNR中，MR=，在Rt△PMR中，，又0°＜θ＜90°，所以．在Rt△PRQ中，．故线段PQ的长为．点评：此题考查的知识点是平面与平面间的位置关系，二面角，解三角形，根据条件由未知的结论利用分析法寻求解题思路是解题的关键．14．〔15分〕设O为复平面的原点，Z1和Z2为复平面的两动点，并且满足：〔1〕Z1和Z2所对应的复数的辐角分别为定值θ和﹣θ；〔2〕△OZ1Z2的面积为定值S求△OZ1Z2的重心Z所对应的复数的模的最小值．考点：复数的根本概念；复数求模．专题：综合题．分析：设出Z1，Z2和Z对应的复数分别为z1，z2和z，由于Z是△OZ1Z2的重心，表示其关系，求解即可．解答：解：设Z1，Z2和Z对应的复数分别为z1，z2和z，其中z1=r1〔coθ+isinθ〕，z2=r2〔coθ﹣isinθ〕．由于Z是△OZ1Z2的重心，根据复数加法的几何意义，如此有3z=z1+z2=〔r1+r2〕cosθ+〔r1﹣r2〕isinθ．于是|3z|2=〔r1+r2〕2cos2θ+〔r1﹣r2〕2sin2θ=〔r1﹣r2〕2cos2θ+4r1r2cos2θ+〔r1﹣r2〕2sin2θ=〔r1﹣r2〕2+4r1r2cos2θ又知△OZ1Z2的面积为定值S与，所以，即由此，故当r1=r2=时，|z|最小，且|z|最小值=．点评：此题考查复数的根本概念，复数求模，是中档题．15．〔15分〕两点P〔﹣2，2〕，Q〔0，2〕以与一条直线：L：y=x，设长为的线段AB在直线L上移动，如图，求直线PA和QB的交点M的轨迹方程．〔要求把结果写成普通方程〕考点：轨迹方程．专题：计算题；交轨法．分析：根据题意，设点A和B分别是〔a，a〕和〔a+1，a+1〕，直线PA的方程是，直线QB的方程直线PA和QB平行，无交点〔2〕当a≠0时，直线PA与QB相交，设交点为M〔x，y〕，由〔2〕式得，∴将上述两式代入〔1〕式，得整理得x2﹣y2+2x﹣2y+8=0，即当a=﹣2或a=﹣1时，直线PA和QB仍然相交，并且交点坐标也满足〔*〕式所以〔*〕式即为所求动点的轨迹方程．点评：此题考查轨迹方程的求法，解题时要认真审题，仔细分析，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地选取公式．16．〔14分〕设，〔1〕证明不等式对所有的正整数n都成立；〔2〕设，用定义证明考点：不等式的证明；极限与其运算．专题：证明题．分析：〔1〕考虑a n和式的通项，先对其进展放缩，结合数列的求和公式即可证得；〔2〕欲用定义证明即证对任意指定的正数ε，要使．解答：证：〔1〕由不等式17．〔12分〕设a，b是两个实数，A={〔x，y〕|x=n，y=na+b，n是整数}，B={〔x，y〕|x=m，y=3m2+15，m是整数}，C={〔x，y〕|x2+y2≤144}，是平面XOY的点集合，讨论是否存在a和b使得〔1〕A∩B≠φ〔φ表示空集〕，〔2〕〔a，b〕∈C同时成立．18．曲线y=x3﹣6x2+11x﹣6．在它对应于x∈[0，2]的弧段上求一点P，使得曲线在该点的切线在y轴上的截距为最小，并求出这个最小值．。
1997年全国统一高考数学试卷(理科)
1997年全国统一高考数学试卷（理科）一、选择题（共15小题，1-10每小题4分,11-15每小题5分，满分65分） 1．（4分）设集合M={x|0≤x ＜2}，集合N={x|x 2﹣2x ﹣3＜0}，集合M∩N=（ ） A ． {x|0≤x ＜1} B ． {x|0≤x ＜2} C ． {x|0≤x≤1} D ． {x|0≤x≤2} 2．（4分）如果直线ax+2y+2=0与直线3x ﹣y ﹣2=0平行，那么实数a 等于（ ） A ． ﹣6 B ． ﹣3 C ．D ．3．（4分）函数y=tan （）在一个周期内的图象是（ ） A ．B ．C ．D ．4．（4分）已知三棱锥P ﹣ABC 的三个侧面与底面全等，且AB=AC=，BC=2．则二面角P ﹣BC ﹣A 的大小为（ ） A ． B ． C ． D ．5．（4分）函数y=sin （）+cos2x 的最小正周期是（ ） A ．B ． πC ．2π D ． 4π6．（4分）满足arccos （1﹣x ）≥arccosx 的x 的取值范围是（ ） A ． [﹣1，﹣] B ． [﹣，0] C ． [0，] D ． [，1] 7．（4分）将y=2x 的图象____________再作关于直线y=x 对称的图象，可得到函数y=log 2（x+1）的图象（ ） A ． 先向左平行移动1个单位 B ． 先向右平行移动1个单位 C ． 先向上平行移动1个单位 D ． 先向下平行移动1个单位 8．（4分）长方体的一个顶点上三条棱长为3、4、5，且它的八个顶点都在一个球面上，这个球的表面积是（ ） A ． 20π B ． 25π C ． 50π D ． 200π9．（4分）曲线的参数方程是（t是参数，t≠0），它的普通方程是（）A．（x﹣1）2（y ﹣1）=1 B．y=C．D．10．（4分）函数y=cos2x﹣3cosx+2的最小值为（）A．2B．0C．D．611．（5分）椭圆C与椭圆关于直线x+y=0对称，椭圆C的方程是（）A．B．C．D．12．（5分）圆台上、下底面面积分别是π、4π，侧面积是6π，这个圆台的体积是（）A．πB．2πC．πD．π13．（5分）（2014•碑林区一模）定义在区间（﹣∞，+∞）的奇函数f（x）为增函数；偶函数g（x）在区间[0，+∞）的图象与f（x）的图象重合，设a＞b＞0，给出下列不等式：①f（b）﹣f（﹣a）＞g（a）﹣g（﹣b）；②f（b）﹣f（﹣a）＜g（a）﹣g（﹣b）；③f（a）﹣f（﹣b）＞g（b）﹣g（﹣a）；④f（a）﹣f（﹣b）＜g（b）﹣g（﹣a），其中成立的是（）A．①与④B．②与③C．①与③D．②与④14．（5分）不等式组的解集是（）A．{x|0＜x＜2} B．{x|0＜x＜2.5} C．D．{x|0＜x＜3}15．（5分）四面体的顶点和各棱中点共10个点，在其中取4个不共面的点，则不同的取法共有（）A．150种B．147种C．144种D．141种二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）16．（4分）已知的展开式中x3的系数为，常数a的值为_________．17．（4分）（2014•陕西模拟）已知直线的极坐标方程为，则极点到该直线的距离是_________．18．（4分）的值为_________．19．（4分）已知m、l是直线，α、β是平面，给出下列命题：①若l垂直于α内两条相交直线，则l⊥α；②若l平行于α，则l平行于α内所有的直线；③若m⊊α，l⊊β且l⊥m，则α⊥β；④若l⊊β且l⊥α，则α⊥β；⑤若m⊊α，l⊊β且α∥β，则l∥m．其中正确命题的序号是_________．三、解答题（共6小题，满分69分）20．（10分）已知复数，．复数，z2ω3在复数平面上所对应的点分别为P，Q．证明△OPQ是等腰直角三角形（其中O为原点）．21．（11分）已知数列{a n}，{b n}都是由正数组成的等比数列，公比分别为p、q，其中p＞q，且p≠1，q≠1．设c n=a n+b n，S n为数列{c n}的前n项和．求．22．（12分）甲、乙两地相距S千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过c千米/时．已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v（千米/时）的平方成正比，比例系数为b；固定部分为a元．（1）把全程运输成本y（元）表示为速度v（千米/时）的函数，并指出这个函数的定义域；（2）为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？23．（12分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别是BB1、CD的中点．（1）证明AD⊥D1F；（2）求AE与D1F所成的角．24．（12分）设二次函数f（x）=ax2+bx+c（a＞0），方程f（x）﹣x=0的两个根x1，x2满足0＜x1＜x2＜．（1）当x∈（0，x1）时，证明x＜f （x）＜x1；（2）设函数f（x）的图象关于直线x=x0对称，证明x0＜．25．（12分）（2012•北京模拟）设圆满足：①截y轴所得弦长为2；②被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为3：1，在满足条件①、②的所有圆中，求圆心到直线l：x﹣2y=0的距离最小的圆的方程．1997年全国统一高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共15小题，1-10每小题4分,11-15每小题5分，满分65分）1．（4分）设集合M={x|0≤x＜2}，集合N={x|x2﹣2x﹣3＜0}，集合M∩N=（）A．{x|0≤x＜1} B．{x|0≤x＜2} C．{x|0≤x≤1}D．{x|0≤x≤2}考点：交集及其运算．分析：解出集合N中二次不等式，再求交集．解答：解：N={x|x2﹣2x﹣3＜0}={x|﹣1＜x＜3}，∴M∩N={x|0≤x＜2}，故选B点评：本题考查二次不等式的解集和集合的交集问题，注意等号，较简单．2．（4分）如果直线ax+2y+2=0与直线3x﹣y﹣2=0平行，那么实数a等于（）A．﹣6 B．﹣3 C．D．考点：直线的一般式方程与直线的平行关系．专题：计算题．分析：根据它们的斜率相等，可得=3，解方程求a的值．解答：解：∵直线ax+2y+2=0与直线3x﹣y﹣2=0平行，∴它们的斜率相等，∴=3，∴a=﹣6．故选A．点评：本题考查两直线平行的性质，两直线平行，斜率相等．3．（4分）函数y=tan（）在一个周期内的图象是（）A．B．C．D．考点：正切函数的图象．专题：综合题．分析：先令tan（）=0求得函数的图象的中心，排除C，D；再根据函数y=tan（）的最小正周期为2π，排除B．解答：解：令tan（）=0，解得x=kπ+，可知函数y=tan（）与x轴的一个交点不是，排除C，D∵y=tan（）的周期T==2π，故排除B故选A点评：本题主要考查了正切函数的图象．要熟练掌握正切函数的周期，单调性，对称中心等性质．4．（4分）已知三棱锥P﹣ABC的三个侧面与底面全等，且AB=AC=，BC=2．则二面角P﹣BC﹣A的大小为（）A．B．C．D．考点：平面与平面之间的位置关系；与二面角有关的立体几何综合题．专题：计算题．分析：要求二面角P﹣BC﹣A的大小，我们关键是要找出二面角P﹣BC﹣A的大小的平面角，将空间问题转化为平面问题，然后再分析二面角P﹣BC﹣A的大小的平面角所在的三角形的其它边与角的关系，解三角形进行求解．解答：解：如图所示，由三棱锥的三个侧面与底面全等，且AB=AC=，得PB=PC=，PA=BC=2，取BC的中点E，连接AE，PE，则∠AEP即为所求二面角的平面角．且AE=EP=，∵AP2=AE2+PE2，∴∠AEP=，故选C．点评：求二面角的大小，一般先作出二面角的平面角．此题是利用二面角的平面角的定义作出∠AEP 为二面角P﹣BC﹣A的平面角，通过解∠AEP所在的三角形求得∠AEP．其解题过程为：作∠AEP→证∠AEP是二面角的平面角→计算∠AEP，简记为“作、证、算”．5．（4分）函数y=sin（）+cos2x的最小正周期是（）A．B．πC．2πD．4π考点：三角函数的周期性及其求法．分析：先将函数化简为：y=sin（2x+θ），即可得到答案．解答：解：∵f（x）=sin（）+cos2x=cos2x﹣sin2x+cos2x=（+1）cos2x﹣sin2x=sin（2x+θ）∴T==π故选B ．点评： 本题主要考查三角函数的最小正周期的求法．属基础题．6．（4分）满足arccos （1﹣x ）≥arccosx 的x 的取值范围是（ ） A ． [﹣1，﹣] B ． [﹣，0] C ． [0，] D ． [，1]考点： 反三角函数的运用．专题： 计算题．分析： 应用反函数的运算法则，反函数的定义及性质，求解即可．解答：解：arccos （1﹣x ）≥arccosx 化为cos[arccos （1﹣x ）]≤cos[arccosx ] 所以1﹣x≤x ，即：x，又x ∈[﹣1，1]，所以x 的取值范围是[，1]故选D ．点评： 本题考查反余弦函数的运算法则，反函数的定义域，考查学生计算能力，是中档题．7．（4分）将y=2x 的图象____________再作关于直线y=x 对称的图象，可得到函数y=log 2（x+1）的图象（ ） A ． 先向左平行移动1个单位 B ． 先向右平行移动1个单位 C ． 先向上平行移动1个单位 D ． 先向下平行移动1个单位考点： 反函数；函数的图象与图象变化． 分析： 本题考查函数图象的平移和互为反函数的函数图象之间的关系两个知识点，作为本题，可以用逐一验证的方法排除不合题意的选项，验证的个数在1到3个，对于本题，这不是最佳选择，建议逆推得到平移后的解析式，这样就可以方便的观察到平移的方向及单位数．解答： 解：利用指数式和对数式的互化，由函数y=log 2（x+1）解得：x=2y ﹣1 则函数y=log 2（x+1）（x ＞﹣1）的反函数为y=2x ﹣1（x ∈R ） 即函数y=2x 平移后的函数为y=2x ﹣1， 易见，只需将其向下平移1个单位即可． 故选D点评： 本题采用先逆推获取平移后的解析式的方法，得到解析式后平移的方向和单位便一目了然，简便易行，值得尝试．8．（4分）长方体的一个顶点上三条棱长为3、4、5，且它的八个顶点都在一个球面上，这个球的表面积是（ ） A ． 20π B ． 25π C ． 50π D ． 200π考点： 球的体积和表面积． 专题： 计算题． 分析： 设出球的半径，由于直径即是长方体的体对角线，由此关系求出球的半径，即可求出球的表面积．解答：解：设球的半径为R，由题意，球的直径即为长方体的体对角线，则（2R）2=32+42+52=50，∴R=．∴S球=4π×R2=50π．故选C点评：本题考查球的表面积，球的内接体，考查计算能力，是基础题．9．（4分）曲线的参数方程是（t是参数，t≠0），它的普通方程是（）A．（x﹣1）2（y ﹣1）=1 B．y=C．D．考点：参数方程的概念．专题：计算题．分析：由题意知x=1﹣，可得x﹣1=﹣，将方程两边平方，然后与y﹣1=﹣t2，相乘消去t即可求解．解答：解：∵曲线的参数方程是（t是参数，t≠0），∴，∴将两个方程相乘可得，（x﹣1）2（1﹣y）=1，∴y=，故选B．点评：此题考查参数方程与普通方程的区别和联系，两者要会互相转化，根据实际情况选择不同的方程进行求解，这也是每年高考必考的热点问题．10．（4分）函数y=cos2x﹣3cosx+2的最小值为（）A．2B．0C．D．6考点：函数的值域；余弦函数的定义域和值域．专题：计算题．分析：先进行配方找出对称轴，而﹣1≤cosx≤1，利用对称轴与区间的位置关系求出最小值．解答：解：y=cos2x﹣3cosx+2=（cosx﹣）2﹣∵﹣1≤cosx≤1∴当cosx=1时y min=0，故选B点评：本题以三角函数为载体考查二次函数的值域，属于求二次函数的最值问题，属于基本题．11．（5分）椭圆C与椭圆关于直线x+y=0对称，椭圆C的方程是（）A．B．C．D．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：计算题．分析：依题意可知椭圆C关于直线x+y=0对称，长轴和短轴不变，主要椭圆的中心即可．根据原椭圆方程可求得其中心坐标，进而求得其关于直线x+y=0对称点，则椭圆方程可得．解答：解：依题意可知椭圆C关于直线x+y=0对称，长轴和短轴不变，主要椭圆的中心即可．∵椭圆的中心为（3，2）关于直线x+y=0对称的点为（﹣2，﹣3）故椭圆C的方程为故选A．点评：本题主要考查了直线与椭圆的关系及点关于直线对称的问题．属基础题．12．（5分）圆台上、下底面面积分别是π、4π，侧面积是6π，这个圆台的体积是（）A．πB．2πC．πD．π考点：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．专题：计算题．分析：通过圆台的底面面积，求出上下底面半径，利用侧面积公式求出母线长，然后求出圆台的高，即可求得圆台的体积．解答：解：S1=π，S2=4π，∴r=1，R=2，S=6π=π（r+R）l，∴l=2，∴h=．∴V=π（1+4+2）×=π．故选D点评：本题是基础题，通过底面面积求出半径，转化为求圆台的高，是本题的难点，考查计算能力，常考题．13．（5分）（2014•碑林区一模）定义在区间（﹣∞，+∞）的奇函数f（x）为增函数；偶函数g（x）在区间[0，+∞）的图象与f（x）的图象重合，设a＞b＞0，给出下列不等式：①f（b）﹣f（﹣a）＞g（a）﹣g（﹣b）；②f（b）﹣f（﹣a）＜g（a）﹣g（﹣b）；③f（a）﹣f（﹣b）＞g（b）﹣g（﹣a）；④f（a）﹣f（﹣b）＜g（b）﹣g（﹣a），其中成立的是（）A．①与④B．②与③C．①与③D．②与④考点：函数奇偶性的性质．分析：根据f（﹣a）=﹣f（a），f（﹣b）=﹣f（b），g（﹣a）=g（a）=f（a），g（﹣b）=g（b）=f（b），对①②③④进行逐一验证即可得答案．解答：解：由题意知，f（a）＞f（b）＞0又∵f（﹣a）=﹣f（a），f（﹣b）=﹣f（b），g（﹣a）=g（a）=f（a），g（﹣b）=g（b）=f（b）；∴①f（b）﹣f（﹣a）＞g（a）﹣g（﹣b）⇔f（b）+f（a）＞f（a）﹣f（b）⇔f（b）＞﹣f（b），故①对②不对．③f（a）﹣f（﹣b）＞g（b）﹣g（﹣a）⇔f（b）+f（a）＞f（b）﹣f（a）⇔f（a）＞﹣f（a），故③对④不对．故选C．点评：本题主要考查函数奇偶性的应用．14．（5分）不等式组的解集是（）A．{x|0＜x＜2} B．{x|0＜x＜2.5} C．D．{x|0＜x＜3}考点：其他不等式的解法．专题：压轴题．分析：可以直接去绝对值解不等式，比较复杂；可结合答案用特值法解决．解答：解：取x=2满足不等式，排除A；再取x=2.5，不满足，排除B、D故选C点评：本题考查解绝对值不等式和分式不等式问题，要注意选择题的特点，选择特殊做法解决．15．（5分）四面体的顶点和各棱中点共10个点，在其中取4个不共面的点，则不同的取法共有（）A．150种B．147种C．144种D．141种考点：排列、组合的实际应用；计数原理的应用．专题：计算题；压轴题．分析：由题意知从10个点中任取4个点有C104种取法，减去不合题意的结果，4点共面的情况有三类，取出的4个点位于四面体的同一个面上；取任一条棱上的3个点及该棱对棱的中点；由中位线构成的平行四边形，用所有的结果减去不合题意的结果即可得答案．解答：解：从10个点中任取4个点有C104种取法，其中4点共面的情况有三类．第一类，取出的4个点位于四面体的同一个面上，有4C64种；第二类，取任一条棱上的3个点及该棱对棱的中点，这4点共面，有6种；第三类，由中位线构成的平行四边形（其两组对边分别平行于四面体相对的两条棱），它的4顶点共面，有3种．以上三类情况不合要求应减掉，∴不同的取法共有C104﹣4C64﹣6﹣3=141种．故选D．点评：本题考查分类计数原理，考查排列组合的实际应用，是一个排列组合同立体几何结合的题目，解题时注意做到不重不漏．二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）16．（4分）已知的展开式中x3的系数为，常数a的值为4．考点：二项式定理；二项式系数的性质．专题：计算题．分析：利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x的指数为3求出展开式中x3的系数，列出方程解得．解答：解：的展开式的通项为=令解得r=8∴展开式中x3的系数为∵展开式中x3的系数为∴解得a=4故答案为4点评：本题考查二项展开式的通项公式是解决二项展开式的特定项问题的工具．17．（4分）（2014•陕西模拟）已知直线的极坐标方程为，则极点到该直线的距离是．考点：简单曲线的极坐标方程；与圆有关的比例线段；不等式的基本性质．专题：计算题；压轴题．分析：先将原极坐标方程中的三角函数式展开后两边同乘以ρ后化成直角坐标方程，再利用直角坐标方程进行求解即得．解答：解：将原极坐标方程，化为：ρsinθ+ρcosθ=1，化成直角坐标方程为：x+y﹣1=0，则极点到该直线的距离是=．故填；．点评：本题考查点的极坐标和直角坐标的互化，利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，进行代换即得．18．（4分）的值为．考点：角的变换、收缩变换．专题：计算题；压轴题．分析：先将分式中的15°化为7°+8°，利用两角和的余弦、正弦展开，分子、分母分组提取sin7°，cos7°，再用同角三角函数的基本关系式，化简，然后，就会求出tan15°，利用两角差的正切，求解即可．解答：解：=======tan15°=tan（45°﹣30°）===，故答案为：点评：本题考查角的变换，两角和的正弦、余弦，同角三角函数的基本关系式，考查学生运算能力，是中档题．19．（4分）已知m、l是直线，α、β是平面，给出下列命题：①若l垂直于α内两条相交直线，则l⊥α；②若l平行于α，则l平行于α内所有的直线；③若m⊊α，l⊊β且l⊥m，则α⊥β；④若l⊊β且l⊥α，则α⊥β；⑤若m⊊α，l⊊β且α∥β，则l∥m．其中正确命题的序号是①④．考点：空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系．专题：压轴题．分析：对于①，考虑直线与平面垂直的判定定理，符合定理的条件故正确；对于②，考虑直线与平面平行的性质定理以及直线与平面的位置关系，故错误；对于③考虑α⊥β的判定方法，而条件不满足，故错误；对于④符合面面垂直的判定定理，故正确；对于⑤不符合线线平行的判定，故错误．正确命题的序号是①④解答：解：①，符合定理的条件故正确；②，若l平行于α，则l与α内的直线有两种：平行或异面，故错误；③m⊊α，l⊊β且l⊥m，则α与β可以相交但不垂直；④符合面面垂直的判定定理，故正确；⑤若m⊊α，l⊊β且α∥β，则l∥m或者异面，错误，故正确命题的序号是①④．点评：本题考查立体几何中线线关系中的平行、线面关系中的垂直、面面关系中的垂直的判定方法，要注意对比判定定理的条件和结论，同时要注意性质定理、空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系的应用．三、解答题（共6小题，满分69分）20．（10分）已知复数，．复数，z2ω3在复数平面上所对应的点分别为P，Q．证明△OPQ是等腰直角三角形（其中O为原点）．考点：复数代数形式的混合运算．分析：利用复数三角形式，化简复数，．然后计算复数，z2ω3，计算二者的夹角和模，即可证得结论．解答：解法一：，于是，，=因为OP与OQ的夹角为，所以OP⊥OQ．因为，所以|OP|=|OQ|由此知△OPQ有两边相等且其夹角为直角，故△OPQ为等腰直角三角形．解法二：因为，所以z3=﹣i．因为，所以ω4=﹣1于是由此得OP⊥OQ，|OP|=|OQ|．由此知△OPQ有两边相等且其夹角为直角，故△OPQ为等腰直角三角形．点评：本小题主要考查复数的基本概念、复数的运算以及复数的几何意义等基础知识，考查运算能力和逻辑推理能力，是中档题．21．（11分）已知数列{a n}，{b n}都是由正数组成的等比数列，公比分别为p、q，其中p＞q，且p≠1，q≠1．设c n=a n+b n，S n为数列{c n}的前n项和．求．考点：等比数列的通项公式；极限及其运算；数列的求和．专题：计算题．分析：先根据等比数列的通项公式分别求出a n和b n，再根据等比数列的求和公式，分别求得S n和S n的表达式，进而可得的表达式，分p＞1和p＜1对其进行求极限．﹣1解答：解：，．分两种情况讨论．（Ⅰ）p＞1．∵，====p．（Ⅱ）p＜1．∵0＜q＜p＜1，==点评：本小题主要考查等比数列的概念、数列极限的运算等基础知识，考查逻辑推理能力和运算能力．22．（12分）甲、乙两地相距S千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过c千米/时．已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v（千米/时）的平方成正比，比例系数为b；固定部分为a元．（1）把全程运输成本y（元）表示为速度v（千米/时）的函数，并指出这个函数的定义域；（2）为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？考点：根据实际问题选择函数类型；基本不等式在最值问题中的应用．专题：应用题．分析：（1）全程运输成本有两部分组成，将其分别分别表示出来依题意建立起程运输成本y（元）表示为速度v（千米/时）的函数，由题设条件速度不得超过c千米/时．故定义域为v∈（0，c]．（2）由（1）知，全程运输成本关于速度的函数表达式中出现了积为定值的情形，由于等号成立的条件有可能不成立，故求最值的方法不确定，对对速度的范围进行分类讨论，如等号成立时速度值不超过c，则可以用基本不等式求求出全程运输成本的最小值，若等号成立时速度值大于最高限速v，可以判断出函数在（0，c]上的单调性，用单调性求出全程运输成本的最小值．解答：解：（1）依题意知汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为，全程运输成本为故所求函数及其定义域为（2）依题意知S，a，b，v都为正数，故有当且仅当，．即时上式中等号成立若，则当时，全程运输成本y最小，若，即a＞bc2，则当v∈（0，c]时，有==因为c﹣v≥0，且a＞bc2，故有a﹣bcv≥a﹣bc2＞0，所以，且仅当v=c时等号成立，也即当v=c时，全程运输成本y最小．综上知，为使全程运输成本y最小，当时行驶速度应为；当时行驶速度应为v=c．点评：本小题主要考查建立函数关系、不等式性质、最大值、最小值等基础知识，考查综合应用所学数学知识、思想和方法解决实际问题的能力．23．（12分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别是BB1、CD的中点．（1）证明AD⊥D1F；（2）求AE与D1F所成的角．考点：异面直线及其所成的角．专题：计算题；证明题．分析：（1）证明线线垂直可先证线面垂直，欲证AD⊥D1F，可先证AD⊥面DC1，即可证得；（2）先通过平移将两条异面直线平移到同一个起点，取AB的中点G，将D1F平移到A1G，AB与A1G构成的锐角或直角就是异面直线所成的角，利用三角形全等求出此角即可．解答：解：（Ⅰ）∵AC1是正方体，∴AD⊥面DC1．又D1F⊂面DC1，∴AD⊥D1F．（Ⅱ）取AB中点G，连接A1G，FG．因为F是CD的中点，所以GF、AD平行且相等，又A1D1、AD平行且相等，所以GF、A1D1平行且相等，故GFD1A1是平行四边形，A1G∥D1F．设A1G与AE相交于点H，则∠AHA1是AE与D1F所成的角，因为E是BB1的中点，所以Rt△A1AG≌Rt△ABE，∠GA1A=∠GAH，从而∠AHA1=90°，即直线AE与D1F所成角为直角．点评：本小题主要考查异面直线及其所成的角，考查逻辑推理能力和空间想象能力，属于基础题．24．（12分）设二次函数f（x）=ax2+bx+c（a＞0），方程f（x）﹣x=0的两个根x1，x2满足0＜x1＜x2＜．（1）当x∈（0，x1）时，证明x＜f （x）＜x1；（2）设函数f（x）的图象关于直线x=x0对称，证明x0＜．考点：一元二次方程的根的分布与系数的关系；不等式的证明．专题：证明题；压轴题；函数思想；方程思想；作差法．分析：（1）方程f（x）﹣x=0的两个根x1，x2，所以构造函数，当x∈（0，x1）时，利用函数的性质推出x＜f （x），然后作差x1﹣f（x），化简分析出f（x）＜x1，即可．（2）．方程f（x）﹣x=0的两个根x1，x2，函数f（x）的图象，关于直线x=x0对称，利用放缩法推出x0＜；解答：证明：（1）令F（x）=f（x）﹣x．因为x1，x2是方程f（x）﹣x=0的根，所以F（x）=a（x﹣x1）（x﹣x2）．当x∈（0，x1）时，由于x1＜x2，得（x﹣x1）（x﹣x2）＞0，又a＞0，得F（x）=a（x﹣x1）（x﹣x2）＞0，即x＜f（x）．x1﹣f（x）=x1﹣[x+F（x）]=x1﹣x+a（x1﹣x）（x﹣x2）=（x1﹣x）[1+a（x﹣x2）]因为所以x1﹣x＞0，1+a（x﹣x2）=1+ax﹣ax2＞1﹣ax2＞0．得x1﹣f（x）＞0．由此得f（x）＜x1．（2）依题意知因为x1，x2是方程f（x）﹣x=0的根，即x1，x2是方程ax2+（b﹣1）x+c=0的根．∴，因为ax2＜1，所以．点评：本小题主要考查一元二次方程、二次函数和不等式的基础知识，考查综合运用数学知识分析问题和解决问题的能力．25．（12分）（2012•北京模拟）设圆满足：①截y轴所得弦长为2；②被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为3：1，在满足条件①、②的所有圆中，求圆心到直线l：x﹣2y=0的距离最小的圆的方程．考点：直线与圆的位置关系．专题：压轴题．分析：圆被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为3：1，劣弧所对的圆心角为90°，设圆的圆心为P（a，b），圆P截X轴所得的弦长为，截y轴所得弦长为2；可得圆心轨迹方程，圆心到直线l：x﹣2y=0的距离最小，利用基本不等式，求得圆的方程．解答：解法一：设圆的圆心为P（a，b），半径为r，则点P到x轴，y轴的距离分别为|b|，|a|．由题设知圆P截x轴所得劣弧对的圆心角为90°，知圆P截X轴所得的弦长为，故r2=2b2，又圆P截y轴所得的弦长为2，所以有r2=a2+1．从而得2b2﹣a2=1．又点P（a，b）到直线x﹣2y=0的距离为，所以5d2=|a﹣2b|2=a2+4b2﹣4ab≥a2+4b2﹣2（a2+b2）=2b2﹣a2=1，当且仅当a=b时上式等号成立，此时5d2=1，从而d取得最小值．由此有解此方程组得或由于r2=2b2知．于是，所求圆的方程是（x﹣1）2+（y﹣1）2=2，或（x+1）2+（y+1）2=2．解法二：同解法一，得∴得①将a2=2b2﹣1代入①式，整理得②把它看作b的二次方程，由于方程有实根，故判别式非负，即△=8（5d2﹣1）≥0，得5d2≥1．∴5d2有最小值1，从而d有最小值．将其代入②式得2b2±4b+2=0．解得b=±1．将b=±1代入r2=2b2，得r2=2．由r2=a2+1得a=±1．综上a=±1，b=±1，r2=2．由|a﹣2b|=1知a，b同号．于是，所求圆的方程是（x﹣1）2+（y﹣1）2=2，或（x+1）2+（y+1）2=2．点评：本小题主要考查轨迹的思想，求最小值的方法，考查综合运用知识建立曲线方程的能力．易错的地方，P到x轴，y轴的距离，不能正确利用基本不等式．。
1995年全国统一高考数学试卷(理科)
1995年全国统一高考数学试卷(理科）一、选择题（共15小题,1—10每小题4分，11—15每小题5，满分65分)1．（4分）已知I为全集,集合M，N⊂I,若M∩N=N，则（）A．B．C．D．2．（4分)（2007•奉贤区一模)函数y=1+的图象是（）A．B．C．D．3．（4分）函数y=4sin（3x+）+3cos(3x+）的最小正周期是（）A．6πB．2πC．D．4．（4分)正方体的表面积是a2,它的顶点都在一个球面上，则这个球的表面积是()A．B．C．2πa2D．3πa25．（4分）若图中的直线l1,l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则（）A．k1＜k2＜k3B．k3＜k1＜k2C．k3＜k2＜k1D．k1＜k3＜k26．（4分)(2008•湖南）在（1﹣x3）（1+x）10展开式中，x5的系数是（）A．﹣297 B．﹣252 C．297 D．2077．（4分)使arcsinx＞arccosx成立的x的取值范围是（)A．B．C．D．［﹣1,0）8．（4分)（2008•西城区二模)双曲线3x2﹣y2=3的渐近线方程是（)A．y=±3x B．y=±x C．y=±x D．y=±x9．(4分）已知θ是第三象限角，且sin4θ+cos4θ=，那么sin2θ等于(）A．B．C．D．10．（4分）（2014•市中区二模)已知直线l⊥平面α，直线m⊂平面β，给出下列命题①α∥β=l⊥m；②α⊥β⇒l∥m；③l∥m⇒α⊥β；④l⊥m⇒α∥β．其中正确命题的序号是（）A．①②③B．②③④C．①③D．②④11．(5分）（2012•荆州模拟）函数y=log a(2﹣ax）在[0，1］上是减函数，则a的取值范围是（) A．（0，1) B．（0,2) C．(1，2）D．（2，+∞）12．(5分）等差数列{a n｝，{b n}的前n项和分别为S n与T n，若，则等于(）A．1B．C．D．13．(5分）用1,2，3，4，5这五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共（）A．24个B．30个C．40个D．60个14．（5分）在极坐标系中，椭圆的二焦点分别在极点和点(2c，0），离心率为e，则它的极坐标方程是（）A．B．C．D．15．（5分)（2010•内江二模）如图，A1B1C1﹣ABC是直三棱柱,∠BCA=90°，点D1、F1分别是A1B1、A1C1的中点，若BC=CA=CC1，则BD1与AF1所成角的余弦值是(）A．B．C．D．二、填空题（共5小题，每小题4分，满分20分）16．(4分）不等式的解集是_________．17．(4分）已知圆台上、下底面圆周都在球面上，且下底面过球心，母线与底面所成的角为，则圆台的体积与球体积之比为_________．18．（4分）（2012•许昌二模）函数y=sin(x﹣)cosx的最小值_________．19．（4分）（2010•郑州二模）若直线l过抛物线y=ax2（a＞0）的焦点，并且与y轴垂直,若l被抛物线截得的线段长为4，则a=_________．20．（4分）四个不同的小球放入编号为1,2,3，4的四个盒子中，则恰有一个空盒的放法共有_________种（用数字作答）．三、解答题（共6小题，满分65分）21．（7分)在复平面上，一个正方形的四个顶点按照逆时针方向依次为Z1，Z2，Z3，O (其中O是原点），已知Z2对应复数．求Z1和Z3对应的复数．22．（10分）求sin220°+cos250°+sin20°cos50°的值．23．（12分)如图，圆柱的轴截面ABCD是正方形，点E在底面的圆周上，AF⊥DE，F是垂足．（1）求证:AF⊥DB；（2）如果圆柱与三棱锥D﹣ABE的体积的比等于3π，求直线DE与平面ABCD所成的角．24．(12分）某地为促进淡水鱼养殖业的发展,将价格控制在适当范围内，决定对淡水鱼养殖提供政府补贴．设淡水鱼的市场价格为x元/千克,政府补贴为t元/千克．根据市场调查，当8≤x≤14时，淡水鱼的市场日供应量P千克与市场日需求量Q千克近似地满足关系：P=1000（x+t﹣8)( x≥8，t≥0）,Q=500（8≤x≤14)．当P=Q时市场价格称为市场平衡价格．(1)将市场平衡价格表示为政府补贴的函数，并求出函数的定义域；(2）为使市场平衡价格不高于每千克10元，政府补贴至少为每千克多少元?25．（12分）设｛a n}是由正数组成的等比数列，S n是其前n项和．（1)证明；（2)是否存在常数c＞0，使得成立？并证明你的结论．26．（12分）已知椭圆，直线．P是l上点，射线OP交椭圆于点R，又点Q在OP上且满足｜OQ｜•|OP|=|OR|2，当点P在l上移动时，求点Q的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．1995年全国统一高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共15小题，1-10每小题4分，11—15每小题5，满分65分）1．(4分）已知I为全集,集合M,N⊂I，若M∩N=N，则（）A．B．C．D．考点：集合的包含关系判断及应用．分析：根据题意，做出图示，依次分析选项可得答案．解答: 解:根据题意,若M∩N=N，则N⊆M，做出图示如图，分析可得，必有，故选C．点评：本题考查集合间关系的判定，要根据图示，简单直接的解题．2．（4分）（2007•奉贤区一模）函数y=1+的图象是（）A．B．C．D．考点：函数的图象与图象变化．专题: 数形结合．分析: 把函数y=的图象先经过左右平移得到y=的图象，再经过上下平移得到y=+1的图象．解答：解：将函数y=的图象向右平移1个单位，得到y=的图象，再把y=的图象向上平移一个单位，即得到y=+1的图象，故选A．点评：本题考查函数图象的平移规律和平移的方法，体现了数形结合的数学思想．3．(4分）函数y=4sin(3x+）+3cos（3x+）的最小正周期是（)A．6πB．2πC．D．考点：函数y=Asin(ωx+φ）的图象变换；三角函数中的恒等变换应用．专题：计算题．分析：先根据三角函数的辅角公式将函数化简为y=Asin（wx+ρ）的形式，再由T=可得到答案．解答：解：∵y=4sin（3x+）+3cos（3x+）=5sin（3x++φ）（其中sinφ=，cosφ=）∴T=故选C．点评：本题主要考查三角函数最小正周期的求法，即先将函数化简为y=Asin（wx+ρ）的形式,再由T=确定结果．4．（4分）正方体的表面积是a2，它的顶点都在一个球面上,则这个球的表面积是（)A．B．C．2πa2D．3πa2考点: 球内接多面体．专题: 计算题．分析：设球的半径为R,则正方体的对角线长为2R，利用正方体的表面积求出与球的半径的等式，然后求出球的表面积．解答：解:设球的半径为R，则正方体的对角线长为2R，依题意知R2=a2，即R2=a2，∴S球=4πR2=4π•a2=．故选B点评：本题是基础题，解题的突破口是正方体的体对角线就是球的直径，正确进行正方体的表面积的计算，是解好本题的关键，考查计算能力．5．（4分)若图中的直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则（）A．k1＜k2＜k3B．k3＜k1＜k2C．k3＜k2＜k1D．k1＜k3＜k2考点：直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系．分析：由直线斜率（倾斜角的正切值)的定义和正切函数的单调性可得．解答：解：直线l1的倾斜角是钝角,则斜率k1＜0；直线l2与l3的倾斜角都是锐角，斜率都是正数，但直线l2的倾斜角大于l3的倾斜角，所以k2＞k3＞0，所以k1＜k3＜k2,故选D．点评: 本题考查直线斜率和图象的关系．6．（4分)（2008•湖南)在（1﹣x3)(1+x)10展开式中,x5的系数是（）A．﹣297 B．﹣252 C．297 D．207考点：二项式定理的应用．专题：计算题．分析：先将多项式展开，转化成两二项式系数的差，利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x 的指数为5，2求出二项展开式的系数．解答：解：（1﹣x3）（1+x）10=（1+x）10﹣x3（1+x)10∴（1﹣x3）（1+x）10展开式的x5的系数是（1+x）10的展开式的x5的系数减去（1+x）10的x2的系数∵(1+x）10的展开式的通项为T r+1=C10r x r令r=5，2得(1+x）10展开式的含x5的系数为C105;展开式的含x2的系数为C102C105﹣C102=252﹣45=207故选项为D点评：本题考查等价转化的能力及利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题．7．（4分）使arcsinx＞arccosx成立的x的取值范围是（)A．B．C．D．[﹣1，0）考点: 反三角函数的运用．专题: 计算题;转化思想．分析: 注意arcsinx、arccosx的范围以及正弦函数的单调性,利用反三角函数的性质，化简不等式，反三角函数的定义域，然后求解即可．解答：解:因为arcsinx＞arccosx 所以sin（arcsinx)＞sin（arccosx）即：x＞，且x∈［0，1］，所以解得x∈故选B．点评：本题考查反三角函数的运用,注意函数的定义域，是基础题．8．（4分)（2008•西城区二模）双曲线3x2﹣y2=3的渐近线方程是（）A．y=±3x B．y=±x C．y=±x D．y=±x考点：双曲线的简单性质．专题：计算题．分析：双曲线3x2﹣y2=3的标准形式为，其渐近线方程是，整理后就得到双曲线的渐近线．解答：解:双曲线3x2﹣y2=3的标准形式为,其渐近线方程是，整理得．故选C．点评：把双曲线方程转化成标准形式后再进行求解．9．（4分）已知θ是第三象限角，且sin4θ+cos4θ=，那么sin2θ等于（）A．B．C．D．考点：三角函数中的恒等变换应用．分析：根据已知正弦和余弦的四次方和的值和要求的结论是sin2θ，所以把正弦和余弦的平方和等于1两边平方，又根据角是第三象限的角判断出要求结论的符号，得到结果．解答：解:∵sin2θ+cos2θ=1，∴sin4θ+cos4θ+2sin2θcos2θ=1，∵∴∵角是第三象限角,∴sin2θ=,故选A点评: 已知一个角的某个三角函数式的值,求这个角的其他三角函数式的值，一般需用三个基本关系式及其变式，通过恒等变形或解方程求解．10．（4分）（2014•市中区二模)已知直线l⊥平面α,直线m⊂平面β,给出下列命题①α∥β=l⊥m；②α⊥β⇒l∥m；③l∥m⇒α⊥β；④l⊥m⇒α∥β．其中正确命题的序号是（）A．①②③B．②③④C．①③D．②④考点：平面与平面之间的位置关系．专题：综合题．分析：由两平行平面中的一个和直线垂直,另一个也和平面垂直得直线l⊥平面β,再利用面面垂直的判定可得①为真命题；当直线与平面都和同一平面垂直时，直线与平面可以平行,也可以在平面内，故②为假命题；由两平行线中的一条和平面垂直，另一条也和平面垂直得直线m⊥平面α，再利用面面垂直的判定可得③为真命题;当直线与平面都和同一平面垂直时，直线与平面可以平行，也可以在平面内，如果直线m在平面α内，则有α和β相交于m，故④为假命题．解答：解:l⊥平面α且α∥β可以得到直线l⊥平面β，又由直线m⊂平面β，所以有l⊥m；即①为真命题；因为直线l⊥平面α且α⊥β可得直线l平行与平面β或在平面β内，又由直线m⊂平面β,所以l与m，可以平行，相交，异面；故②为假命题;因为直线l⊥平面α且l∥m可得直线m⊥平面α,又由直线m⊂平面β可得α⊥β；即③为真命题；由直线l⊥平面α以及l⊥m可得直线m平行与平面α或在平面α内，又由直线m⊂平面β得α与β可以平行也可以相交,即④为假命题．所以真命题为①③．故选C．点评：本题是对空间中直线和平面以及直线和直线位置关系的综合考查．重点考查课本上的公理,定理以及推论，所以一定要对课本知识掌握熟练，对公理,定理以及推论理解透彻，并会用．11．（5分)(2012•荆州模拟)函数y=log a（2﹣ax)在[0，1］上是减函数，则a的取值范围是（）A．（0，1) B．(0，2) C．(1，2）D．（2,+∞)考点: 函数单调性的性质．专题：常规题型．分析: a＞0⇒2﹣ax在[0，1]上是减函数由复合函数的单调性可得a＞1,在利用对数函数的真数须大于0可解得a的取值范围．解答：解:∵a＞0，∴2﹣ax在［0，1］上是减函数．∴y=log a u应为增函数，且u=2﹣ax在[0,1］上应恒大于零．∴∴1＜a＜2．故答案为：C．点评：本题考查了对数函数与其它函数复合在一起的一新函数的单调性，复合函数的单调性遵循的原则是同增异减，即单调性相同复合在一起为增函数,单调性相反，复合在一起为减函数．12．（5分）等差数列{a n｝,{b n｝的前n项和分别为S n与T n,若，则等于（)A．1B．C．D．考点：等差数列的前n项和；极限及其运算．专题: 压轴题．分析：利用等差数列的性质求得，再求极限．解答: 解:∵=∴故选C点评：本题主要考查等差数列的性质的运用．13．(5分）用1，2,3，4，5这五个数字,组成没有重复数字的三位数，其中偶数共（）A．24个B．30个C．40个D．60个考点: 排列、组合的实际应用．专题：计算题；压轴题．分析：根据题意，分2步进行,首先分析个位数字,要求是偶数，则其个位数字为2或4，有2种情况，进而分析百位、十位,将剩下的4个数字，任取2个，分配在百位、十位即可，由分步计数原理，计算可得答案．解答：解：根据题意,要求是偶数，则其个位数字为2或4，有2种情况，将剩下的4个数字,任取2个,分配在百位、十位，有A42=12种情况，由分步计数原理，可得共2×12=24个，故选A．点评：本题考查排列、组合的综合运用，注意题目中要求是偶数，要优先分析个位数字．14．（5分)在极坐标系中，椭圆的二焦点分别在极点和点（2c，0），离心率为e，则它的极坐标方程是()A．B．C．D．考点：简单曲线的极坐标方程．专题：计算题;压轴题．分析: 欲求椭圆的极坐标方程，根据圆锥曲线统一的极坐标方程，只要求出几何量p即可，从而确定它们的极坐标方程．解答：解:∵椭圆的极坐标方程,p即椭圆的焦点到相应准线的距离,∴,∴椭圆的极坐标方程是：．故填：D．点评: 本题主要考查了圆锥曲线的极坐标方程，属于基础题．15．(5分）（2010•内江二模）如图,A1B1C1﹣ABC是直三棱柱，∠BCA=90°,点D1、F1分别是A1B1、A1C1的中点,若BC=CA=CC1,则BD1与AF1所成角的余弦值是(）A．B．C．D．考点: 异面直线及其所成的角．专题: 计算题;压轴题．分析：先取BC的中点D，连接D1F1,F1D，将BD1平移到F1D，则∠DF1A就是异面直线BD1与AF1所成角,在△DF1A中利用余弦定理求出此角即可．解答：解:取BC的中点D，连接D1F1，F1D∴D1B∥DF1∴∠DF1A就是BD1与AF1所成角设BC=CA=CC1=2，则AD=，AF1=，DF1=在△DF1A中,cos∠DF1A=,故选A点评: 本小题主要考查异面直线所成的角，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．二、填空题（共5小题，每小题4分，满分20分）16．(4分）不等式的解集是{x|﹣2＜x＜4}．考点：其他不等式的解法．专题：计算题．分析：化简不等式，利用指数函数的性质，化为二次不等式求解即可．解答：解：不等式，化为所以有指数函数的性质可知：x2﹣8＜2x解得：x|﹣2＜x＜4故答案为：x|﹣2＜x＜4点评：本题考查指数函数的性质,二次不等式的解法，是基础题．17．（4分)已知圆台上、下底面圆周都在球面上，且下底面过球心，母线与底面所成的角为，则圆台的体积与球体积之比为．考点：球的体积和表面积；棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：计算题；综合题．分析: 设出球的半径,求出圆台上底面半径,圆台的高，求出圆台体积，球的体积即可．解答：解:设球的半径为2，由题意可得圆台上底面半径为1,圆台的高为,所以圆台的体积是：球的体积:圆台的体积与球体积之比为：故答案为：点评: 本题考查球的体积和表面积,棱柱、棱锥、棱台的体积，考查计算能力，逻辑思维能力,是基础题．18．（4分）(2012•许昌二模）函数y=sin（x﹣）cosx的最小值．考点：三角函数的最值．专题：计算题．分析：先根据两角和与差的公式和二倍角公式进行化简,再由正弦函数的最值可得到答案．解答：解：y=sin（x﹣）cosx=（sinx﹣cosx）cosx=sinxcosx﹣cos2x=（cos2x+1）=﹣∴y=sin(x﹣）cosx的最小值为:故答案为：﹣．点评：本题主要考查两角和与差的公式和二倍角公式的应用和正弦函数的最值．考查基础知识的综合应用和灵活能力．19．（4分）（2010•郑州二模）若直线l过抛物线y=ax2（a＞0)的焦点，并且与y轴垂直，若l被抛物线截得的线段长为4,则a=．考点：抛物线的应用．专题：计算题；压轴题．分析: 先把抛物线方程整理成标准方程，可得焦点坐标．进而可得l被抛物线截得的线段长，进而求得a．解答：解：抛物线方程整理得x2=y，焦点（0，）l被抛物线截得的线段长即为通径长，故=4,a=；故答案为．点评: 本题主要考查抛物线的应用，属基础题．20．（4分)四个不同的小球放入编号为1,2，3，4的四个盒子中，则恰有一个空盒的放法共有144种（用数字作答）．考点: 计数原理的应用．专题：计算题;压轴题．分析：由题意知需要先选两个元素作为一组再排列，恰有一个盒子中有2个小球,从4个小球中选两个作为一个元素,同另外两个元素在三个位置全排列，根据分步计数原理得到结果．解答: 解：四个不同的小球放入编号为1，2，3，4的四个盒子中，恰有一个空盒，说明恰有一个盒子中有2个小球，从4个小球中选两个作为一个元素，同另外两个元素在三个位置全排列故共有C42A43=144种不同的放法．故答案为144．点评：本题考查分步计数原理，是一个基础题，解题的过程中注意这种有条件的排列要分两步走,先选元素再排列．三、解答题(共6小题，满分65分)21．（7分）在复平面上，一个正方形的四个顶点按照逆时针方向依次为Z1，Z2，Z3,O (其中O是原点），已知Z2对应复数．求Z1和Z3对应的复数．考点: 复数的代数表示法及其几何意义．分析：由复数的三角形式和辐角主值可直接求解．解答：本小题主要考查复数基本概念和几何意义,以及运算能力．解:设Z1,Z3对应的复数分别为z1,z3,依题设得====点评: 采取合适的复数表达形式可给计算带来很大方便．22．（10分）求sin220°+cos250°+sin20°cos50°的值．考点：三角函数中的恒等变换应用．专题：计算题．分析: 先根据二倍角公式降幂，再由积化和差公式、和和差化积化简即可得到答案．解答: 解:原式====点评: 本小题主要考查三角恒等式和运算能力．属基础题．23．（12分）如图,圆柱的轴截面ABCD是正方形，点E在底面的圆周上,AF⊥DE，F是垂足．（1）求证：AF⊥DB；（2）如果圆柱与三棱锥D﹣ABE的体积的比等于3π，求直线DE与平面ABCD所成的角．考点：平面与圆柱面的截线；直线与平面所成的角．专题：计算题;证明题．分析: （1）欲证AF⊥DB，先证AF⊥平面DEB，根据线面垂直的判定定理可知只需证EB⊥AF，AF⊥DE，且EB∩DE=E，即可证得线面垂直；（2）点E作EH⊥AB,H是垂足，连接DH，易证∠EDH是DE与平面ABCD所成的角,在三角形EDH中求出此角即可．解答：（1)证明：根据圆柱性质，DA⊥平面ABE．∵EB⊂平面ABE，∴DA⊥EB．∵AB是圆柱底面的直径，点E在圆周上，∴AE⊥EB，又AE∩AD=A，故得EB⊥平面DAE．∵AF⊂平面DAE，∴EB⊥AF．又AF⊥DE，且EB∩DE=E，故得AF⊥平面DEB．∵DB⊂平面DEB，∴AF⊥DB．（2）解：过点E作EH⊥AB，H是垂足，连接DH．根据圆柱性质，平面ABCD⊥平面ABE,AB是交线．且EH⊂平面ABE，所以EH⊥平面ABCD．又DH⊂平面ABCD,所以DH是ED在平面ABCD上的射影，从而∠EDH是DE与平面ABCD所成的角．设圆柱的底面半径为R，则DA=AB=2R,于是V圆柱=2πR3，．由V圆柱：V D﹣ABE=3π，得EH=R，可知H是圆柱底面的圆心,AH=R,DH=∴∠EDH=arcctg=arcctg（/5），点评: 本小题主要考查空间线面关系、圆柱性质、空间想象能力和逻辑推理能力．24．(12分)某地为促进淡水鱼养殖业的发展，将价格控制在适当范围内,决定对淡水鱼养殖提供政府补贴．设淡水鱼的市场价格为x元/千克，政府补贴为t元/千克．根据市场调查，当8≤x≤14时，淡水鱼的市场日供应量P千克与市场日需求量Q千克近似地满足关系：P=1000（x+t﹣8）( x≥8，t≥0），Q=500(8≤x≤14）．当P=Q时市场价格称为市场平衡价格．（1）将市场平衡价格表示为政府补贴的函数，并求出函数的定义域；（2）为使市场平衡价格不高于每千克10元，政府补贴至少为每千克多少元？考点：根据实际问题选择函数类型．专题：应用题；压轴题．分析：本题综合考查函数、方程、不等式的解法等基础知识和方法．p=Q得到方程，当根的判别式≥0时，方程有解，求出解可得函数．然后△≥0，原题t≥0，8≤x≤14以及二次根式自变量取值范围得t的另一范围,联立得两个不等式组，求出解集可得自变量取值范围．第二小题，价格不高于10元,得x≤10，求出t的取值范围．解答: 解：(1）依题设有1000（x+t﹣8）=500，化简得5x2+(8t﹣80）x+（4t2﹣64t+280)=0．当判别式△=800﹣16t2≥0时，可得x=8﹣±．由△≥0,t≥0，8≤x≤14，得不等式组：①②解不等式组①，得0≤t≤，不等式组②无解．故所求的函数关系式为函数的定义域为[0,］．（2）为使x≤10,应有8≤10化简得t2+4t﹣5≥0．解得t≥1或t≤﹣5，由t≥0知t≥1．从而政府补贴至少为每千克1元．点评: 本小题主要考查运用所学数学知识和方法解决实际问题的能力，以及函数的概念、方程和不等式的解法等基础知识和方法．25．（12分）设{a n}是由正数组成的等比数列，S n是其前n项和．(1）证明；（2)是否存在常数c＞0，使得成立？并证明你的结论．考点：等比数列的前n项和；对数的运算性质；不等式的证明．专题：计算题；证明题；压轴题．分析：（1）设{a n}的公比为q，当q=1时根据S n•S n+2﹣S n+12求得结果小于0,不符合；当q≠1时利用等比数列求和公式求得S n•S n+2﹣S n+12＜0，进而推断S n•S n+2,＜S n+12．根据对数函数的单调性求得lg（S n•S n+2）＜lgS n+12，原式得证．(2）要使．成立,则有进而分两种情况讨论当q=1时根据（S n﹣c）（S n+2﹣c)=（S n+1﹣c）2求得﹣a12＜0不符合题意；当q≠1时求得（S n﹣c）（S n+2﹣c)﹣（S n+1﹣c）2=﹣a1q n[a1﹣c（1﹣q）]，进而推知a1﹣c（1﹣q）=0，判断出0＜q＜1，但此时不符合题意,最后综合可得结论．解答：(1）证明：设｛a n}的公比为q，由题设a1＞0,q＞0．(i)当q=1时，S n=na1，从而S n•S n+2﹣S n+12=na1•（n+2）a1﹣(n+1）2a12=﹣a12＜0（ⅱ）当q≠1时,，从而S n•S n+2﹣S n+12==﹣a12q n＜0．由（i)和（ii）得S n•S n+2,＜S n+12．根据对数函数的单调性,知lg(S n•S n+2)＜lgS n+12，即．（2)解：不存在．要使．成立，则有分两种情况讨论:（i）当q=1时,（S n﹣c）(S n+2﹣c）=(S n+1﹣c）2=（na1﹣c)［（n+2）a1﹣c]﹣［(n+1）a1﹣c］2=﹣a12＜0．可知,不满足条件①，即不存在常数c＞0，使结论成立．（ii)当q≠1时，若条件①成立，因为（S n﹣c）（S n+2﹣c）﹣（S n+1﹣c）2==﹣a1q n[a1﹣c(1﹣q）］，且a1q n≠0，故只能有a1﹣c(1﹣q）=0,即此时，因为c＞0,a1＞0,所以0＜q＜1．但0＜q＜1时，，不满足条件②，即不存在常数c＞0，使结论成立．综合（i）、（ii），同时满足条件①、②的常数c＞0不存在，即不存在常数c＞0，使．点评：本小题主要考查等比数列、对数、不等式等基础知识,考查推理能力以及分析问题和解决问题的能力．26．(12分）已知椭圆，直线．P是l上点，射线OP交椭圆于点R,又点Q在OP上且满足|OQ|•｜OP|=｜OR|2，当点P在l上移动时，求点Q的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．考点：轨迹方程；椭圆的简单性质;曲线与方程．专题：计算题；压轴题．分析：先设三个点P、R、Q的坐标分别为（x P，y P），（x R,y R),（x，y)，利用共线条件得出它们坐标的关系，再依据条件｜OQ｜•｜OP|=｜OR|2,将三点的坐标代入，最终得到关于x，y的方程即为所求．解答：解：由题设知点Q不在原点．设P、R、Q的坐标分别为（x P,y P），（x R，y R），（x，y），其中x,y不同时为零．当点P不在y轴上时，由于点R在椭圆上及点O、Q、R共线，得方程组解得由于点P在直线l上及点O、Q、P共线，得方程组．解得当点P在y轴上时，经验证①～④式也成立．由题设｜OQ|•｜OP|=｜OR|2，得将①～④代入上式，化简整理得因x与x p同号或y与yp同号，以及③、④知2x+3y＞0，故点Q的轨迹方程为(其中x,y不同时为零）．所以点Q的轨迹是以（1,1)为中心,长、短半轴分别为和且长轴与x轴平行的椭圆、去掉坐标原点．点评：本小题主要考查直线、椭圆的方程和性质，曲线与方程的关系,轨迹的概念和求法，利用方程判定曲线的性质等解析几何的基本思想和综合运用知识的能力．。
1985年全国高中数学联合竞赛试题及解答
46 ．
而
B1EF
在平面
A1C1
上的射影面积为
1 4
．
∴ cos 3 ，即所求角为 arccos 3 ．
46
46
D A
CA
C1
B1 C
E B
又解：设平面
B1EF
与平面
AD1 交于
FG
，( G
在
AD
上)，则由平
F A1
H
D1
面 AD1 // 平面 BC1 ，得 FG // B1E ．于是，延长 GF 、 D1A1 交于 P ，P K
7
1985*8、 方程 2x1 x2 x3 x10 3 的非负整数解共有 ◆答案：174 ★解析：当 x1 1 时， x2 x3 x10 1，共有 9 解；
组．
x1 0 时， x2 x3 x10 3 ，共有 9 A92 C93 165 解． ∴ 共有174 解．
∴ S1 S2 ，当且仅当 900 时等号成立．选 C．
1985*3、已知方程 arccos 4 arccos 4 arcsin x ，则( )
5
5
A． x 24 25
B． x 24 25
C． x 0
D．这样的 x 不存在．
◆答案：D
★解析：即 arcsin x 2 arccos 4 ．设 arccos 4 ，则 cos 4 ， sin 3 ．
C1 B1
1985 年全国高中数学联合竞赛一试 第 4 页 共 6 页
则
P
为截面与平面
A1C1 的公共点，故
PB1 为所求二面角的棱．
AG
1985年全国普通高等学校招生统一考试数学理.pdf
学习目标： 1、认识课本附录P142——P144页常见的化学实验仪器，了解它们的主要用途和实验注意事项； 2、理解和牢记化学实验室安全规则，提高遵守实验室安全规则的自觉性。
知识点（含重点、难点）： 重点：化学实验室常见的仪器名称、用途、使用的注意事项。
难点：提高学生遵守实验室安全规则的意识。
实验准备： 试管、蒸发皿、燃烧匙、烧杯、锥形瓶、酒精灯、量筒、铁架台（带铁夹、铁圈）、试管夹、试管架、漏斗、分液漏斗、广口瓶、细口瓶、滴瓶、药匙、胶头滴管、等 板书设计： 化学实验基本技能训练（一）(第一课时) 一、认识你的实验室 二、切记实验室安全规则 ①直接加热的仪器 1、三不原则1、反应容器2、用剩药品的处理（安全环保原则） ②垫石棉网加热 3、化学危险品图标 2、加热仪器 4、烫伤 3、计量仪器 5、酸、碱灼伤 4、固定、支持仪器 6、实验台着火 5、分离物质仪器 6、存放物质的仪器 学习过程： 师生互动活动意图【创设情景引入新课】 【教师】首先我给大家讲一只烧坏的挎包的故事：在美国一所著名中学，化学实验室的陈列窗中有一只烧坏的挎包，关于这个挎包还有一个有趣的故事呢。
很多年以前，这个学校的一个学生在做实验时，看到金属钠非常神奇，就偷偷的在自己的挎包里放了一小块金属钠，打算下课后再玩，但是还没等下课他的挎包就着火了，原来金属钠的化学性质非常活泼，在他的挎包里很快就自燃了，他不遵守实验室的规则而导致了实验时的危险，为了警示以后的学生，因此学校把这个学生的挎包留了下来并陈列在橱窗里。
【学生】聆听，意识到不遵守实验室安全规则带来的危险 【过渡】今天，我们就一起走进化学实验室来了解化学实验室的有关知识。
【板书课题】化学实验基本技能训练（一） 【出示学习目标】 【教师】首先我们来了解一下本节课的学习目标， 投影：学习目标 师生明确学习的目标和具体的任务，知道学习时的重点和难点。
【学生】明确目标，知道本节课的学习任务。
2023年全国统一高考数学试卷(理科)(甲卷)含答案解析
绝密★启用前2023年全国统一高考数学试卷（理科）（甲卷）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项:1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。
第I卷（选择题）一、单选题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合A={x|x=3k+1,k∈Z}，B={x|x=3k+2,k∈Z}，U为整数集，则∁U(A⋃B)=( )A. {x|x=3k,k∈Z}B. {x|x=3k−1,k∈Z}C. {x|x=3k−2,k∈Z}D. ⌀2.若复数(a+i)(1−ai)=2，a∈R，则a=( )A. −1B. 0C. 1D. 23.执行下面的程序框图，输出的B=( )A. 21B. 34C. 55D. 89第1页，共18页4.向量|a⃗|=|b⃗⃗|=1，|c⃗⃗|=√ 2，且a⃗⃗+b⃗⃗+c⃗⃗=0⃗⃗，则cos〈a⃗⃗−c⃗⃗，b⃗⃗−c⃗⃗〉=( )A. −15B. −25C. 25D. 455.已知等比数列{a n}中，a1=1，S n为{a n}前n项和，S5=5S3−4，则S4=( )A. 7B. 9C. 15D. 306.有50人报名足球俱乐部，60人报名乒乓球俱乐部，70人报名足球或乒乓球俱乐部，若已知某人报足球俱乐部，则其报乒乓球俱乐部的概率为( )A. 0.8B. 0.4C. 0.2D. 0.17.“sin2α+sin2β=1”是“sinα+cosβ=0”的( )A. 充分条件但不是必要条件B. 必要条件但不是充分条件C. 充要条件D. 既不是充分条件也不是必要条件8.已知双曲线x 2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为√ 5，其中一条渐近线与圆(x−2)2+(y−3)2=1交于A，B两点，则|AB|=( )A. 15B. √ 55C. 2√ 55D. 4√ 559.有五名志愿者参加社区服务，共服务星期六、星期天两天，每天从中任选两人参加服务，则两天中恰有1人连续参加两天服务的选择种数为( )A. 120B. 60C. 40D. 3010.已知f(x)为函数y=cos(2x+π6)向左平移π6个单位所得函数，则y=f(x)与y=12x−12的交点个数为( )A. 1B. 2C. 3D. 411.在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为正方形，AB=4，PC=PD=3，∠PCA=45°，则△PBC的面积为( )A. 2√ 2B. 3√ 2C. 4√ 2D. 5√ 212.已知椭圆x29+y26=1，F1，F2为两个焦点，O为原点，P为椭圆上一点，cos∠F1PF2=35，则|PO|=( )A. 25B. √ 302C. 35D. √ 352第II卷（非选择题）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
1995年全国统一高考数学试卷(理科)
1995年全国统一高考数学试卷（理科）一、选择题（共 小题， 每小题 分， 每小题 ，满分 分） ．（ 分）已知✋为全集，集合 ，☠②✋，若 ✆☠☠，则（）✌． ． ． ．．（ 分）（ ❿奉贤区一模）函数⍓的图象是（）✌．． ． ．．（ 分）函数⍓♦♓⏹（ ⌧） ♍☐♦（ ⌧）的最小正周期是（）✌． ⇨ ． ⇨ ． ．．（ 分）正方体的表面积是♋ ，它的顶点都在一个球面上，则这个球的表面积是（）✌． ． ． ⇨♋ ． ⇨♋．（ 分）若图中的直线● ，● ，● 的斜率分别为 ， ， ，则（）✌． ＜ ＜ ． ＜ ＜． ＜ ＜． ＜ ＜．（ 分）（ ❿湖南）在（ ﹣⌧ ）（ ⌧） 展开式中，⌧ 的系数是（）✌．﹣ ．﹣ ． ． ．（ 分）使♋❒♍♦♓⏹⌧＞♋❒♍♍☐♦⌧成立的⌧的取值范围是（）．（ 分）（ ❿西城区二模）双曲线 ⌧ ﹣⍓ 的渐近线方程是（）✌．⍓ ⌧ ．⍓ ⌧ ．⍓ ⌧ ．⍓ ⌧．（ 分）已知→是第三象限角，且♦♓⏹ →♍☐♦ →，那么♦♓⏹→等于（）✌． ． ． ．．（ 分）（ ❿市中区二模）已知直线●平面↑，直线❍②平面↓，给出下列命题♊↑↓●❍；♋↑↓●❍；♌●❍↑↓；♍●❍↑↓．其中正确命题的序号是（）✌．♊♋♌ ．♋♌♍ ．♊♌ ．♋♍．（ 分）（ ❿荆州模拟）函数⍓●☐♑♋（ ﹣♋⌧）在☯， 上是减函数，则♋的取值范围是（）✌．（ ， ） ．（ ， ） ．（ ， ） ．（ ， ）．（ 分）等差数列 ♋⏹❝， ♌⏹❝的前⏹项和分别为 ⏹与❆⏹，若，则等于（）✌． ． ． ．．（ 分）用 ， ， ， ， 这五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共（）✌． 个 ． 个 ． 个 ． 个．（ 分）在极坐标系中，椭圆的二焦点分别在极点和点（ ♍， ），离心率为♏，则它的极坐标方程是（）✌． ．． ．．（ 分）（ ❿内江二模）如图，✌ ﹣✌是直三棱柱， ✌，点 、☞ 分别是✌ 、✌ 的中点，若 ✌ ，则 与✌☞ 所成角的余弦值是（）✌． ． ． ．二、填空题（共 小题，每小题 分，满分 分）．（ 分）不等式的解集是♉♉♉♉♉♉♉♉♉．．（ 分）已知圆台上、下底面圆周都在球面上，且下底面过球心，母线与底面所成的角为，则圆台的体积与球体积之比为♉♉♉♉♉♉♉♉♉．．（ 分）（ ❿许昌二模）函数⍓♦♓⏹（⌧﹣）♍☐♦⌧的最小值♉♉♉♉♉♉♉♉♉．．（ 分）（ ❿郑州二模）若直线●过抛物线⍓♋⌧ （♋＞ ）的焦点，并且与⍓轴垂直，若●被抛物线截得的线段长为 ，则♋♉♉♉♉♉♉♉♉♉．．（ 分）四个不同的小球放入编号为 ， ， ， 的四个盒子中，则恰有一个空盒的放法共有♉♉♉♉♉♉♉♉♉种（用数字作答）．三、解答题（共 小题，满分 分）．（ 分）在复平面上，一个正方形的四个顶点按照逆时针方向依次为☪ ，☪ ，☪ ， （其中 是原点），已知☪ 对应复数．求☪ 和☪ 对应的复数．．（ 分）求♦♓⏹ ♍☐♦ ♦♓⏹♍☐♦的值．．（ 分）如图，圆柱的轴截面✌是正方形，点☜在底面的圆周上，✌☞☜，☞是垂足．（ ）求证：✌☞；（ ）如果圆柱与三棱锥 ﹣✌☜的体积的比等于 ⇨，求直线 ☜与平面✌所成的角．．（ 分）某地为促进淡水鱼养殖业的发展，将价格控制在适当范围内，决定对淡水鱼养殖提供政府补贴．设淡水鱼的市场价格为⌧元 千克，政府补贴为♦元 千克．根据市场调查，当♎⌧♎时，淡水鱼的市场日供应量 千克与市场日需求量✈千克近似地满足关系：（⌧♦﹣ ）（ ⌧♏，♦♏），✈（ ♎⌧♎）．当 ✈时市场价格称为市场平衡价格．（ ）将市场平衡价格表示为政府补贴的函数，并求出函数的定义域；（ ）为使市场平衡价格不高于每千克 元，政府补贴至少为每千克多少元？．（ 分）设 ♋⏹❝是由正数组成的等比数列， ⏹是其前⏹项和．（ ）证明；（ ）是否存在常数♍＞ ，使得成立？并证明你的结论．．（ 分）已知椭圆，直线． 是●上点，射线 交椭圆于点 ，又点✈在 上且满足 ✈❿ ，当点 在●上移动时，求点✈的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．年全国统一高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共 小题， 每小题 分， 每小题 ，满分 分）．（ 分）已知✋为全集，集合 ，☠②✋，若 ✆☠☠，则（）✌． ． ． ．考点：集合的包含关系判断及应用．分析：根据题意，做出图示，依次分析选项可得答案．解答：解：根据题意，若 ✆☠☠，则☠⑥，做出图示如图，分析可得，必有，故选 ．点评：本题考查集合间关系的判定，要根据图示，简单直接的解题．．（ 分）（ ❿奉贤区一模）函数⍓的图象是（）✌． ． ． ．考点：函数的图象与图象变化．专题：数形结合．分析：把函数⍓的图象先经过左右平移得到⍓的图象，再经过上下平移得到⍓ 的图象．解答：解：将函数⍓的图象向右平移 个单位，得到⍓的图象，再把⍓的图象向上平移一个单位，即得到⍓ 的图象，故选 ✌．点评：本题考查函数图象的平移规律和平移的方法，体现了数形结合的数学思想．．（ 分）函数⍓♦♓⏹（ ⌧） ♍☐♦（ ⌧）的最小正周期是（）✌． ⇨ ． ⇨ ． ．考点：函数⍓✌♦♓⏹（▫⌧）的图象变换；三角函数中的恒等变换应用．专题：计算题．分析：先根据三角函数的辅角公式将函数化简为⍓✌♦♓⏹（♦⌧⇧）的形式，再由❆可得到答案．解答：解： ⍓♦♓⏹（ ⌧） ♍☐♦（ ⌧） ♦♓⏹（ ⌧ ）（其中♦♓⏹，♍☐♦）❆故选 ．点评：本题主要考查三角函数最小正周期的求法，即先将函数化简为⍓✌♦♓⏹（♦⌧⇧）的形式，再由❆确定结果．．（ 分）正方体的表面积是♋ ，它的顶点都在一个球面上，则这个球的表面积是（）✌． ． ． ⇨♋ ． ⇨♋考点：球内接多面体．专题：计算题．分析：设球的半径为 ，则正方体的对角线长为 ，利用正方体的表面积求出与球的半径的等式，然后求出球的表面积．解答：解：设球的半径为 ，则正方体的对角线长为 ，球 ⇨ ⇨❿♋ ．故选点评：本题是基础题，解题的突破口是正方体的体对角线就是球的直径，正确进行正方体的表面积的计算，是解好本题的关键，考查计算能力．．（ 分）若图中的直线● ，● ，● 的斜率分别为 ， ， ，则（）✌． ＜ ＜ ． ＜ ＜． ＜ ＜． ＜ ＜考点：直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系．分析：由直线斜率（倾斜角的正切值）的定义和正切函数的单调性可得．解答：解：直线● 的倾斜角是钝角，则斜率 ＜ ；直线● 与● 的倾斜角都是锐角，斜率都是正数，但直线● 的倾斜角大于● 的倾斜角，所以 ＞ ＞ ，所以 ＜ ＜ ，故选 ．点评：本题考查直线斜率和图象的关系．．（ 分）（ ❿湖南）在（ ﹣⌧ ）（ ⌧） 展开式中，⌧ 的系数是（）✌．﹣ ．﹣ ． ． 考点：二项式定理的应用．专题：计算题．分析：先将多项式展开，转化成两二项式系数的差，利用二项展开式的通项公式求出第❒项，令⌧的指数为 ， 求出二项展开式的系数．解答：解：（ ﹣⌧ ）（ ⌧） （ ⌧） ﹣⌧ （ ⌧） （ ⌧） 的⌧ 的系数（ ⌧） 的展开式的通项为❆❒ ❒⌧❒令❒， 得（ ⌧） 展开式的含⌧ 的系数为 ；展开式的含⌧ 的系数为 ﹣ ﹣ 故选项为点评：本题考查等价转化的能力及利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题．．（ 分）使♋❒♍♦♓⏹⌧＞♋❒♍♍☐♦⌧成立的⌧的取值范围是（）✌． ． ． ．☯﹣ ， ）考点：反三角函数的运用．专题：计算题；转化思想．分析：注意♋❒♍♦♓⏹⌧、♋❒♍♍☐♦⌧的范围以及正弦函数的单调性，利用反三角函数的性质，化简不等式，反三角函数的定义域，然后求解即可．解答：解：因为♋❒♍♦♓⏹⌧＞♋❒♍♍☐♦⌧ 所以♦♓⏹（♋❒♍♦♓⏹⌧）＞♦♓⏹（♋❒♍♍☐♦⌧）即：⌧＞，且⌧ ☯， ，所以解得⌧故选 ．点评：本题考查反三角函数的运用，注意函数的定义域，是基础题．．（ 分）（ ❿西城区二模）双曲线 ⌧ ﹣⍓ 的渐近线方程是（）✌．⍓ ⌧ ．⍓ ⌧ ．⍓ ⌧ ．⍓ ⌧考点：双曲线的简单性质．专题：计算题．分析：双曲线 ⌧ ﹣⍓ 的标准形式为，其渐近线方程是，整理后就得到双曲线的渐近线．解答：解：双曲线 ⌧ ﹣⍓ 的标准形式为，整理得．故选 ．点评：把双曲线方程转化成标准形式后再进行求解．．（ 分）已知→是第三象限角，且♦♓⏹ →♍☐♦ →，那么♦♓⏹→等于（）✌． ． ． ．考点：三角函数中的恒等变换应用．分析：根据已知正弦和余弦的四次方和的值和要求的结论是♦♓⏹→，所以把正弦和余弦的平方和等于 两边平方，又根据角是第三象限的角判断出要求结论的符号，得到结果．解答：解： ♦♓⏹ →♍☐♦ →，♦♓⏹ →♍☐♦ →♦♓⏹ →♍☐♦ →，角是第三象限角，♦♓⏹→，故选✌点评：已知一个角的某个三角函数式的值，求这个角的其他三角函数式的值，一般需用三个基本关系式及其变式，通过恒等变形或解方程求解．．（ 分）（ ❿市中区二模）已知直线●平面↑，直线❍②平面↓，给出下列命题♊↑↓●❍；♋↑↓●❍；♌●❍↑↓；♍●❍↑↓．其中正确命题的序号是（）✌．♊♋♌ ．♋♌♍ ．♊♌ ．♋♍考点：平面与平面之间的位置关系．分析：由两平行平面中的一个和直线垂直，另一个也和平面垂直得直线●平面↓，再利用面面垂直的判定可得♊为真命题；当直线与平面都和同一平面垂直时，直线与平面可以平行，也可以在平面内，故♋为假命题；由两平行线中的一条和平面垂直，另一条也和平面垂直得直线❍平面↑，再利用面面垂直的判定可得♌为真命题；当直线与平面都和同一平面垂直时，直线与平面可以平行，也可以在平面内，如果直线❍在平面↑内，则有↑和↓相交于❍，故♍为假命题．解答：解：●平面↑且↑↓可以得到直线●平面↓，又由直线❍②平面↓，所以有●❍；即♊为真命题；因为直线●平面↑且↑↓可得直线●平行与平面↓或在平面↓内，又由直线❍②平面↓，所以●与❍，可以平行，相交，异面；故♋为假命题；因为直线●平面↑且●❍可得直线❍平面↑，又由直线❍②平面↓可得↑↓；即♌为真命题；由直线●平面↑以及●❍可得直线❍平行与平面↑或在平面↑内，又由直线❍②平面↓得↑与↓可以平行也可以相交，即♍为假命题．所以真命题为♊♌．故选 ．点评：本题是对空间中直线和平面以及直线和直线位置关系的综合考查．重点考查课本上的公理，定理以及推论，所以一定要对课本知识掌握熟练，对公理，定理以及推论理解透彻，并会用．．（ 分）（ ❿荆州模拟）函数⍓●☐♑♋（ ﹣♋⌧）在☯， 上是减函数，则♋的取值范围是（）✌．（ ， ） ．（ ， ） ．（ ， ） ．（ ， ）考点：函数单调性的性质．专题：常规题型．分析：♋＞ ﹣♋⌧在☯， 上是减函数由复合函数的单调性可得♋＞ ，在利用对数函数的真数须大于 可解得♋的取值范围．解答：解： ♋＞ ，⍓●☐♑♋◆应为增函数，且◆﹣♋⌧在☯， 上应恒大于零．＜♋＜ ．故答案为： ．点评：本题考查了对数函数与其它函数复合在一起的一新函数的单调性，复合函数的单调性遵循的原则是同增异减，即单调性相同复合在一起为增函数，单调性相反，复合在一起为减函数．．（ 分）等差数列 ♋⏹❝， ♌⏹❝的前⏹项和分别为 ⏹与❆⏹，若，则等于（）✌． ． ． ．考点：等差数列的前⏹项和；极限及其运算．专题：压轴题．分析：利用等差数列的性质求得，再求极限．解答：解：故选点评：本题主要考查等差数列的性质的运用．．（ 分）用 ， ， ， ， 这五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共（）✌． 个 ． 个 ． 个 ． 个考点：排列、组合的实际应用．专题：计算题；压轴题．分析：根据题意，分 步进行，首先分析个位数字，要求是偶数，则其个位数字为 或 ，有 种情况，进而分析百位、十位，将剩下的 个数字，任取 个，分配在百位、十位即可，由分步计数原理，计算可得答案．解答：解：根据题意，要求是偶数，则其个位数字为 或 ，有 种情况，将剩下的 个数字，任取 个，分配在百位、十位，有✌ 种情况，由分步计数原理，可得共 个，故选✌．点评：本题考查排列、组合的综合运用，注意题目中要求是偶数，要优先分析个位数字．．（ 分）在极坐标系中，椭圆的二焦点分别在极点和点（ ♍， ），离心率为♏，则它的极坐标方程是（）✌． ．． ．考点：简单曲线的极坐标方程．专题：计算题；压轴题．分析：欲求椭圆的极坐标方程，根据圆锥曲线统一的极坐标方程，只要求出几何量☐即可，从而确定它们的极坐标方程．解答：解： 椭圆的极坐标方程，☐即椭圆的焦点到相应准线的距离，，椭圆的极坐标方程是：．故填： ．点评：本题主要考查了圆锥曲线的极坐标方程，属于基础题．．（ 分）（ ❿内江二模）如图，✌ ﹣✌是直三棱柱， ✌，点 、☞ 分别是✌ 、✌ 的中点，若 ✌ ，则 与✌☞ 所成角的余弦值是（）✌． ． ． ．考点：异面直线及其所成的角．专题：计算题；压轴题．分析：先取 的中点 ，连接 ☞ ，☞ ，将 平移到☞ ，则 ☞ ✌就是异面直线 与✌☞ 所成角，在 ☞ ✌中利用余弦定理求出此角即可．解答：解：取 的中点 ，连接 ☞ ，☞ ☞☞ ✌就是 与✌☞ 所成角设 ✌ ，则✌，✌☞ ， ☞在 ☞ ✌中，♍☐♦ ☞ ✌，故选✌点评：本小题主要考查异面直线所成的角，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．二、填空题（共 小题，每小题 分，满分 分）．（ 分）不等式的解集是 ⌧﹣ ＜⌧＜ ❝．考点：其他不等式的解法．专题：计算题．分析：化简不等式，利用指数函数的性质，化为二次不等式求解即可．解答：解：不等式，化为所以有指数函数的性质可知：⌧ ﹣ ＜ ⌧解得：⌧﹣ ＜⌧＜故答案为：⌧﹣ ＜⌧＜点评：本题考查指数函数的性质，二次不等式的解法，是基础题．．（ 分）已知圆台上、下底面圆周都在球面上，且下底面过球心，母线与底面所成的角为，则圆台的体积与球体积之比为．考点：球的体积和表面积；棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：计算题；综合题．分析：设出球的半径，求出圆台上底面半径，圆台的高，求出圆台体积，球的体积即可．解答：解：设球的半径为 ，由题意可得圆台上底面半径为 ，圆台的高为，所以圆台的体积是：球的体积：圆台的体积与球体积之比为：故答案为：点评：本题考查球的体积和表面积，棱柱、棱锥、棱台的体积，考查计算能力，逻辑思维能力，是基础题．．（ 分）（ ❿许昌二模）函数⍓♦♓⏹（⌧﹣）♍☐♦⌧的最小值．考点：三角函数的最值．专题：计算题．分析：先根据两角和与差的公式和二倍角公式进行化简，再由正弦函数的最值可得到答案．解答：解：⍓♦♓⏹（⌧﹣）♍☐♦⌧（♦♓⏹⌧﹣♍☐♦⌧）♍☐♦⌧♦♓⏹⌧♍☐♦⌧﹣♍☐♦ ⌧（♍☐♦⌧） ﹣⍓♦♓⏹（⌧﹣）♍☐♦⌧的最小值为：故答案为：﹣．点评：本题主要考查两角和与差的公式和二倍角公式的应用和正弦函数的最值．考查基础知识的综合应用和灵活能力．．（ 分）（ ❿郑州二模）若直线●过抛物线⍓♋⌧ （♋＞ ）的焦点，并且与⍓轴垂直，若●被抛物线截得的线段长为 ，则♋．考点：抛物线的应用．专题：计算题；压轴题．分析：先把抛物线方程整理成标准方程，可得焦点坐标．进而可得●被抛物线截得的线段长，进而求得♋．解答：解：抛物线方程整理得⌧ ⍓，焦点（ ，）●被抛物线截得的线段长即为通径长，故 ，♋；故答案为．点评：本题主要考查抛物线的应用，属基础题．．（ 分）四个不同的小球放入编号为 ， ， ， 的四个盒子中，则恰有一个空盒的放法共有种（用数字作答）．考点：计数原理的应用．专题：计算题；压轴题．分析：由题意知需要先选两个元素作为一组再排列，恰有一个盒子中有 个小球，从 个小球中选两个作为一个元素，同另外两个元素在三个位置全排列，根据分步计数原理得到结果．解答：解：四个不同的小球放入编号为 ， ， ， 的四个盒子中，恰有一个空盒，说明恰有一个盒子中有 个小球，从 个小球中选两个作为一个元素，同另外两个元素在三个位置全排列故共有 ✌ 种不同的放法．故答案为 ．点评：本题考查分步计数原理，是一个基础题，解题的过程中注意这种有条件的排列要分两步走，先选元素再排列．三、解答题（共 小题，满分 分）．（ 分）在复平面上，一个正方形的四个顶点按照逆时针方向依次为☪ ，☪ ，☪ ， （其中 是原点），已知☪ 对应复数．求☪ 和☪ 对应的复数．考点：复数的代数表示法及其几何意义．分析：由复数的三角形式和辐角主值可直接求解．解答：本小题主要考查复数基本概念和几何意义，以及运算能力．解：设☪ ，☪ 对应的复数分别为 ， ，依题设得点评：采取合适的复数表达形式可给计算带来很大方便．．（ 分）求♦♓⏹ ♍☐♦ ♦♓⏹♍☐♦的值．考点：三角函数中的恒等变换应用．专题：计算题．分析：先根据二倍角公式降幂，再由积化和差公式、和和差化积化简即可得到答案．解答：解：原式点评：本小题主要考查三角恒等式和运算能力．属基础题．．（ 分）如图，圆柱的轴截面✌是正方形，点☜在底面的圆周上，✌☞☜，☞是垂足．（ ）求证：✌☞；（ ）如果圆柱与三棱锥 ﹣✌☜的体积的比等于 ⇨，求直线 ☜与平面✌所成的角．考点：平面与圆柱面的截线；直线与平面所成的角．专题：计算题；证明题．分析：（ ）欲证✌☞，先证✌☞平面 ☜，根据线面垂直的判定定理可知只需证☜✌☞，✌☞☜，且☜✆☜☜，即可证得线面垂直；（ ）点☜作☜☟✌，☟是垂足，连接 ☟，易证 ☜☟是 ☜与平面✌所成的角，在三角形☜☟中求出此角即可．解答：（ ）证明：根据圆柱性质， ✌平面✌☜．☜②平面✌☜，✌☜．✌是圆柱底面的直径，点☜在圆周上，✌☜☜，又✌☜✆✌✌，故得☜平面 ✌☜．✌☞②平面 ✌☜，☜✌☞．又✌☞☜，且☜✆☜☜，故得✌☞平面 ☜．②平面 ☜，✌☞．（ ）解：过点☜作☜☟✌，☟是垂足，连接 ☟．根据圆柱性质，平面✌平面✌☜，✌是交线．且☜☟②平面✌☜，所以☜☟平面✌．又 ☟②平面✌，所以 ☟是☜在平面✌上的射影，从而 ☜☟是 ☜与平面✌所成的角．设圆柱的底面半径为 ，则 ✌✌，于是✞圆柱 ⇨ ，．：✞ ﹣✌☜ ⇨，得☜☟，可知☟是圆柱底面的圆心，由✞圆柱✌☟，☟☜☟♋❒♍♍♦♑ ♋❒♍♍♦♑（ ），点评：本小题主要考查空间线面关系、圆柱性质、空间想象能力和逻辑推理能力．．（ 分）某地为促进淡水鱼养殖业的发展，将价格控制在适当范围内，决定对淡水鱼养殖提供政府补贴．设淡水鱼的市场价格为⌧元 千克，政府补贴为♦元 千克．根据市场调查，当♎⌧♎时，淡水鱼的市场日供应量 千克与市场日需求量✈千克近似地满足关系：（⌧♦﹣ ）（ ⌧♏，♦♏），✈（ ♎⌧♎）．当✈时市场价格称为市场平衡价格．（ ）将市场平衡价格表示为政府补贴的函数，并求出函数的定义域；（ ）为使市场平衡价格不高于每千克 元，政府补贴至少为每千克多少元？考点：根据实际问题选择函数类型．专题：应用题；压轴题．分析：本题综合考查函数、方程、不等式的解法等基础知识和方法．☐✈得到方程，当根的判别式♏时，方程有解，求出解可得函数．然后 ♏，原题♦♏， ♎⌧♎以及二次根式自变量取值范围得♦的另一范围，联立得两个不等式组，求出解集可得自变量取值范围．第二小题，价格不高于 元，得⌧♎，求出♦的取值范围．解答：解：（ ）依题设有（⌧♦﹣ ） ，化简得 ⌧ （ ♦﹣ ）⌧（ ♦ ﹣ ♦） ．当判别式 ﹣ ♦ ♏时，可得⌧﹣ ．由 ♏，♦♏， ♎⌧♎，得不等式组：♊♋解不等式组♊，得 ♎♦♎，不等式组♋无解．故所求的函数关系式为函数的定义域为☯， ．（ ）为使⌧♎，应有♎化简得♦ ♦﹣ ♏．解得♦♏或♦♎﹣ ，由♦♏知♦♏．从而政府补贴至少为每千克 元．点评：本小题主要考查运用所学数学知识和方法解决实际问题的能力，以及函数的概念、方程和不等式的解法等基础知识和方法．．（ 分）设 ♋⏹❝是由正数组成的等比数列， ⏹是其前⏹项和．（ ）证明；（ ）是否存在常数♍＞ ，使得成立？并证明你的结论．考点：等比数列的前⏹项和；对数的运算性质；不等式的证明．专题：计算题；证明题；压轴题．分析：（ ）设 ♋⏹❝的公比为❑，当❑时根据 ⏹❿⏹﹣ ⏹ 求得结果小于 ，不符合；当❑♊时利用等比数列求和公式求得 ⏹❿⏹﹣ ⏹ ＜ ，进而推断 ⏹❿⏹，＜⏹ ．根据对数函数的单调性求得●♑（ ⏹❿⏹）＜●♑⏹ ，原式得证．（ ）要使．成立，则有进而分两种情况讨论当❑时根据（ ⏹﹣♍）（ ⏹﹣♍） （ ⏹﹣♍） 求得﹣♋ ＜ 不符合题意；当❑♊时求得（ ⏹﹣♍）（ ⏹﹣♍）﹣（ ⏹﹣♍） ﹣♋ ❑⏹☯♋ ﹣♍（ ﹣❑） ，进而推知♋ ﹣♍（ ﹣❑），判断出 ＜❑＜ ，但此时不符合题意，最后综合可得结论．解答：（ ）证明：设 ♋⏹❝的公比为❑，由题设♋ ＞ ，❑＞ ．（♓）当❑时， ⏹ ⏹♋ ，从而⏹❿⏹﹣ ⏹⏹♋ ❿（⏹）♋ ﹣（⏹） ♋﹣♋ ＜（❑）当❑♊时，，从而⏹❿⏹﹣ ⏹﹣♋ ❑⏹＜ ．由（♓）和（♓♓）得 ⏹❿⏹，＜ ⏹ ．根据对数函数的单调性，知●♑（ ⏹❿⏹）＜●♑⏹ ，即．（ ）解：不存在．要使．成立，则有分两种情况讨论：（♓）当❑时，（ ⏹﹣♍）（ ⏹﹣♍） （ ⏹﹣♍）（⏹♋ ﹣♍）☯（⏹）♋ ﹣♍﹣☯（⏹）♋ ﹣♍﹣♋ ＜ ．可知，不满足条件♊，即不存在常数♍＞ ，使结论成立．（♓♓）当❑♊时，若条件♊成立，因为（ ⏹﹣♍）（ ⏹﹣♍）﹣（ ⏹﹣♍）﹣♋ ❑⏹☯♋ ﹣♍（ ﹣❑） ，且♋ ❑⏹♊，故只能有♋ ﹣♍（ ﹣❑） ，即此时，因为♍＞ ，♋ ＞ ，所以 ＜❑＜ ．但 ＜❑＜ 时，，不满足条件♋，即不存在常数♍＞ ，使结论成立．综合（♓）、（♓♓），同时满足条件♊、♋的常数♍＞ 不存在，即不存在常数♍＞ ，使．点评：本小题主要考查等比数列、对数、不等式等基础知识，考查推理能力以及分析问题和解决问题的能力．．（ 分）已知椭圆，直线． 是●上点，射线 交椭圆于点 ，又点✈在 上且满足 ✈❿ ，当点 在●上移动时，求点✈的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．考点：轨迹方程；椭圆的简单性质；曲线与方程．专题：计算题；压轴题．分析：先设三个点 、 、✈的坐标分别为（⌧ ，⍓ ），（⌧ ，⍓ ），（⌧，⍓），利用共线条件得出它们坐标的关系，再依据条件 ✈❿ ，将三点的坐标代入，最终得到关于⌧，⍓的方程即为所求．解答：解：由题设知点✈不在原点．设 、 、✈的坐标分别为（⌧ ，⍓ ），（⌧ ，⍓ ），（⌧，⍓），其中⌧，⍓不同时为零．当点 不在⍓轴上时，由于点 在椭圆上及点 、✈、 共线，得方程组解得由于点 在直线●上及点 、✈、 共线，得方程组．解得当点 在⍓轴上时，经验证♊～♍式也成立．由题设 ✈❿ ，得将♊～♍代入上式，化简整理得因⌧与⌧☐同号或⍓与⍓☐同号，以及♌、♍知 ⌧⍓＞ ，故点✈的轨迹方程为（其中⌧，⍓不同时为零）．所以点✈的轨迹是以（ ， ）为中心，长、短半轴分别为和且长轴与⌧轴平行的椭圆、去掉坐标原点．点评：本小题主要考查直线、椭圆的方程和性质，曲线与方程的关系，轨迹的概念和求法，利用方程判定曲线的性质等解析几何的基本思想和综合运用知识的能力．。
1995年全国统一高考数学试卷(理科)
1995年全国统一高考数学试卷（理科）一、选择题（共15小题,1—10每小题4分,11-15每小题5，满分65分）1．（4分)已知I为全集，集合M，N⊂I，若M∩N=N，则（)A．B．C．D．2．（4分）（2007•奉贤区一模）函数y=1+的图象是（）A．B．C．D．3．（4分）函数y=4sin（3x+）+3cos(3x+）的最小正周期是（）A．6πB．2πC．D．4．（4分）正方体的表面积是a2，它的顶点都在一个球面上,则这个球的表面积是（) A．B．C．2πa2D．3πa25．(4分）若图中的直线l1，l2，l3的斜率分别为k1,k2,k3,则()A．k1＜k2＜k3B．k3＜k1＜k2C．k3＜k2＜k1D．k1＜k3＜k26．（4分）（2008•湖南）在（1﹣x3)（1+x）10展开式中，x5的系数是(）A．﹣297 B．﹣252 C．297 D．2077．（4分)使arcsinx＞arccosx成立的x的取值范围是（）A．B．C．D．［﹣1，0）8．（4分)（2008•西城区二模）双曲线3x2﹣y2=3的渐近线方程是（）A．y=±3x B．y=±x C．y=±x D．y=±x9．(4分)已知θ是第三象限角，且sin4θ+cos4θ=，那么sin2θ等于（）A．B．C．D．10．(4分)（2014•市中区二模)已知直线l⊥平面α,直线m⊂平面β，给出下列命题①α∥β=l⊥m；②α⊥β⇒l∥m;③l∥m⇒α⊥β;④l⊥m⇒α∥β．其中正确命题的序号是(）A．①②③B．②③④C．①③D．②④11．（5分）（2012•荆州模拟)函数y=log a(2﹣ax)在［0，1]上是减函数,则a的取值范围是（）A．（0,1）B．(0,2) C．(1,2）D．（2，+∞)12．(5分）等差数列{a n}，｛b n}的前n项和分别为S n与T n，若，则等于（）A．1B．C．D．13．（5分)用1，2，3，4，5这五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共（）A．24个B．30个C．40个D．60个14．（5分)在极坐标系中,椭圆的二焦点分别在极点和点（2c,0）,离心率为e，则它的极坐标方程是（）A．B．C．D．15．（5分）（2010•内江二模）如图，A1B1C1﹣ABC是直三棱柱，∠BCA=90°，点D1、F1分别是A1B1、A1C1的中点,若BC=CA=CC1，则BD1与AF1所成角的余弦值是（)A．B．C．D．二、填空题（共5小题，每小题4分，满分20分）16．（4分）不等式的解集是_________．17．（4分）已知圆台上、下底面圆周都在球面上，且下底面过球心,母线与底面所成的角为，则圆台的体积与球体积之比为_________．18．（4分）（2012•许昌二模)函数y=sin（x﹣）cosx的最小值_________．19．（4分）(2010•郑州二模）若直线l过抛物线y=ax2（a＞0）的焦点，并且与y轴垂直，若l被抛物线截得的线段长为4，则a=_________．20．（4分）四个不同的小球放入编号为1，2，3，4的四个盒子中,则恰有一个空盒的放法共有_________种(用数字作答）．三、解答题（共6小题，满分65分)21．（7分）在复平面上，一个正方形的四个顶点按照逆时针方向依次为Z1，Z2，Z3，O （其中O是原点），已知Z2对应复数．求Z1和Z3对应的复数．22．（10分）求sin220°+cos250°+sin20°cos50°的值．23．（12分）如图,圆柱的轴截面ABCD是正方形,点E在底面的圆周上，AF⊥DE,F是垂足．（1）求证：AF⊥DB；（2）如果圆柱与三棱锥D﹣ABE的体积的比等于3π，求直线DE与平面ABCD所成的角．24．(12分)某地为促进淡水鱼养殖业的发展,将价格控制在适当范围内，决定对淡水鱼养殖提供政府补贴．设淡水鱼的市场价格为x元/千克,政府补贴为t元/千克．根据市场调查，当8≤x≤14时，淡水鱼的市场日供应量P千克与市场日需求量Q千克近似地满足关系：P=1000（x+t﹣8)( x≥8，t≥0），Q=500（8≤x≤14）．当P=Q时市场价格称为市场平衡价格．(1）将市场平衡价格表示为政府补贴的函数，并求出函数的定义域；（2）为使市场平衡价格不高于每千克10元，政府补贴至少为每千克多少元？25．（12分）设{a n}是由正数组成的等比数列，S n是其前n项和．（1）证明;（2）是否存在常数c＞0，使得成立？并证明你的结论．26．(12分)已知椭圆，直线．P是l上点，射线OP交椭圆于点R，又点Q在OP 上且满足｜OQ|•｜OP｜=｜OR｜2，当点P在l上移动时,求点Q的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．1995年全国统一高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共15小题，1-10每小题4分，11—15每小题5，满分65分)1．（4分）已知I为全集，集合M，N⊂I，若M∩N=N，则（）A．B．C ．D ．考点: 集合的包含关系判断及应用．分析: 根据题意,做出图示，依次分析选项可得答案．解答：解：根据题意，若M∩N=N，则N⊆M，做出图示如图，分析可得,必有，故选C ．点评：本题考查集合间关系的判定,要根据图示，简单直接的解题．2．(4分)（2007•奉贤区一模)函数y=1+的图象是（）A ．B ．C ．D ．考点：函数的图象与图象变化．专题：数形结合．分析：把函数y=的图象先经过左右平移得到y=的图象，再经过上下平移得到y=+1的图象．解答：解：将函数y=的图象向右平移1个单位,得到y=的图象，再把y=的图象向上平移一y=+1的图象，故选A．点评: 本题考查函数图象的平移规律和平移的方法，体现了数形结合的数学思想．3．(4分）函数y=4sin(3x+）+3cos(3x+）的最小正周期是(）A．6πB．2πC．D．考点: 函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；三角函数中的恒等变换应用．专题：计算题．分析：先根据三角函数的辅角公式将函数化简为y=Asin（wx+ρ）的形式，再由T=可得到答案．解答：解：∵y=4sin（3x+）+3cos（3x+）=5sin（3x++φ）（其中sinφ=，cosφ=）∴T=故选C．点评: 本题主要考查三角函数最小正周期的求法,即先将函数化简为y=Asin（wx+ρ）的形式，再由T=确定结果．4．（4分）正方体的表面积是a2,它的顶点都在一个球面上，则这个球的表面积是(）A．B．C．2πa2D．3πa2考点：球内接多面体．专题：计算题．分析：设球的半径为R，则正方体的对角线长为2R，利用正方体的表面积求出与球的半径的等式，然后求出球的表面积．解答: 解：设球的半径为R，则正方体的对角线长为2R，依题意知R2=a2，即R2=a2,∴S球=4πR2=4π•a2=．故选B点评：本题是基础题，解题的突破口是正方体的体对角线就是球的直径，正确进行正方体的表面积的计算，是解好本题的关键,考查计算能力．5．（4分)若图中的直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则（)A．k1＜k2＜k3B．k3＜k1＜k2C．k3＜k2＜k1D．k1＜k3＜k2考点：直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系．分析: 由直线斜率（倾斜角的正切值）的定义和正切函数的单调性可得．解答：解：直线l1的倾斜角是钝角，则斜率k1＜0；直线l2与l3的倾斜角都是锐角,斜率都是正数，但直线l2的倾斜角大于l3的倾斜角，所以k2＞k3＞0,所以k1＜k3＜k2，故选D．点评：本题考查直线斜率和图象的关系．6．（4分）（2008•湖南）在（1﹣x3)（1+x)10展开式中，x5的系数是(）A．﹣297 B．﹣252 C．297 D．207考点: 二项式定理的应用．专题：计算题．分析: 先将多项式展开，转化成两二项式系数的差，利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x 的指数为5，2求出二项展开式的系数．解答：解：（1﹣x3）（1+x）10=（1+x）10﹣x3(1+x)10∴（1﹣x3)（1+x）10展开式的x5的系数是(1+x）10的展开式的x5的系数减去（1+x）10的x2的系数∵（1+x)10的展开式的通项为T r+1=C10r x r令r=5，2得（1+x）10展开式的含x5的系数为C105；展开式的含x2的系数为C102C105﹣C102=252﹣45=207故选项为D点评：本题考查等价转化的能力及利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题．7．（4分）使arcsinx＞arccosx成立的x的取值范围是（）A．B．C．D．［﹣1，0）考点: 反三角函数的运用．专题：计算题;转化思想．分析：注意arcsinx、arccosx的范围以及正弦函数的单调性，利用反三角函数的性质，化简不等式,反三角函数的定义域,然后求解即可．解答: 解:因为arcsinx＞arccosx 所以sin（arcsinx）＞sin（arccosx）即:x＞,且x∈[0，1］，所以解得x∈故选B．点评：本题考查反三角函数的运用，注意函数的定义域，是基础题．8．(4分）（2008•西城区二模）双曲线3x2﹣y2=3的渐近线方程是()A．y=±3x B．y=±x C．y=±x D．y=±x考点：双曲线的简单性质．专题：计算题．分析：双曲线3x2﹣y2=3的标准形式为,其渐近线方程是，整理后就得到双曲线的解答：解：双曲线3x2﹣y2=3的标准形式为，其渐近线方程是，整理得．故选C．点评：把双曲线方程转化成标准形式后再进行求解．9．（4分)已知θ是第三象限角，且sin4θ+cos4θ=，那么sin2θ等于（）A．B．C．D．考点：三角函数中的恒等变换应用．分析: 根据已知正弦和余弦的四次方和的值和要求的结论是sin2θ，所以把正弦和余弦的平方和等于1两边平方，又根据角是第三象限的角判断出要求结论的符号，得到结果．解答：解：∵sin2θ+cos2θ=1，∴sin4θ+cos4θ+2sin2θcos2θ=1，∵∴∵角是第三象限角,∴sin2θ=，故选A点评：已知一个角的某个三角函数式的值，求这个角的其他三角函数式的值，一般需用三个基本关系式及其变式,通过恒等变形或解方程求解．10．（4分）（2014•市中区二模)已知直线l⊥平面α，直线m⊂平面β,给出下列命题①α∥β=l⊥m；②α⊥β⇒l∥m；③l∥m⇒α⊥β；④l⊥m⇒α∥β．其中正确命题的序号是（）A．①②③B．②③④C．①③D．②④考点：平面与平面之间的位置关系．专题: 综合题．分析: 由两平行平面中的一个和直线垂直，另一个也和平面垂直得直线l⊥平面β,再利用面面垂直的判定可得①为真命题;当直线与平面都和同一平面垂直时，直线与平面可以平行，也可以在平面内，故②为假命题；由两平行线中的一条和平面垂直，另一条也和平面垂直得直线m⊥平面α，再利用面面垂直的判定可得③为真命题；当直线与平面都和同一平面垂直时，直线与平面可以平行,也可以在平面内，如果直线m在平面α内，则有α和β相交于m,故④为假命题．题；因为直线l⊥平面α且α⊥β可得直线l平行与平面β或在平面β内，又由直线m⊂平面β，所以l与m，可以平行，相交，异面;故②为假命题；因为直线l⊥平面α且l∥m可得直线m⊥平面α，又由直线m⊂平面β可得α⊥β；即③为真命题;由直线l⊥平面α以及l⊥m可得直线m平行与平面α或在平面α内，又由直线m⊂平面β得α与β可以平行也可以相交，即④为假命题．所以真命题为①③．故选C．点评：本题是对空间中直线和平面以及直线和直线位置关系的综合考查．重点考查课本上的公理，定理以及推论,所以一定要对课本知识掌握熟练，对公理，定理以及推论理解透彻，并会用．11．（5分)(2012•荆州模拟）函数y=log a（2﹣ax）在［0,1］上是减函数，则a的取值范围是（）A．(0，1) B．（0，2）C．（1，2）D．(2，+∞）考点：函数单调性的性质．专题：常规题型．分析：a＞0⇒2﹣ax在［0，1］上是减函数由复合函数的单调性可得a＞1，在利用对数函数的真数须大于0可解得a的取值范围．解答: 解：∵a＞0，∴2﹣ax在[0，1］上是减函数．∴y=log a u应为增函数,且u=2﹣ax在［0，1]上应恒大于零．∴∴1＜a＜2．故答案为:C．点评：本题考查了对数函数与其它函数复合在一起的一新函数的单调性，复合函数的单调性遵循的原则是同增异减，即单调性相同复合在一起为增函数，单调性相反，复合在一起为减函数．12．（5分）等差数列{a n}，｛b n｝的前n项和分别为S n与T n，若，则等于（）A．1B．C．D．考点：等差数列的前n项和；极限及其运算．专题: 压轴题．分析：利用等差数列的性质求得，再求极限．解答：解:∵=∴故选C点评：本题主要考查等差数列的性质的运用．13．（5分）用1,2，3，4，5这五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共（)A．24个B．30个C．40个D．60个考点：排列、组合的实际应用．专题：计算题；压轴题．分析：根据题意，分2步进行，首先分析个位数字，要求是偶数，则其个位数字为2或4，有2种情况,进而分析百位、十位，将剩下的4个数字,任取2个，分配在百位、十位即可,由分步计数原理，计算可得答案．解答：解：根据题意，要求是偶数，则其个位数字为2或4，有2种情况,将剩下的4个数字,任取2个，分配在百位、十位，有A42=12种情况，由分步计数原理，可得共2×12=24个，故选A．点评：本题考查排列、组合的综合运用,注意题目中要求是偶数,要优先分析个位数字．14．(5分）在极坐标系中,椭圆的二焦点分别在极点和点(2c，0)，离心率为e，则它的极坐标方程是（)A．B．C．D．考点: 简单曲线的极坐标方程．专题：计算题;压轴题．分析：欲求椭圆的极坐标方程，根据圆锥曲线统一的极坐标方程，只要求出几何量p即可，从而确定它们的极坐标方程．解答：解：∵椭圆的极坐标方程，p即椭圆的焦点到相应准线的距离，∴，∴椭圆的极坐标方程是：．故填:D．点评: 本题主要考查了圆锥曲线的极坐标方程，属于基础题．15．（5分）（2010•内江二模）如图,A1B1C1﹣ABC是直三棱柱,∠BCA=90°，点D1、F1分别是A1B1、A1C1的中点，若BC=CA=CC1，则BD1与AF1所成角的余弦值是（）A．B．C．D．考点：异面直线及其所成的角．专题：计算题；压轴题．分析: 先取BC的中点D，连接D1F1，F1D,将BD1平移到F1D，则∠DF1A就是异面直线BD1与AF1所成角，在△DF1A中利用余弦定理求出此角即可．解答: 解:取BC的中点D，连接D1F1，F1D∴D1B∥DF1∴∠DF1A就是BD1与AF1所成角设BC=CA=CC1=2,则AD=，AF1=,DF1=在△DF1A中，cos∠DF1A=，故选A点评：本小题主要考查异面直线所成的角，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．二、填空题（共5小题，每小题4分，满分20分)16．（4分）不等式的解集是{x｜﹣2＜x＜4}．考点：其他不等式的解法．专题：计算题．分析：化简不等式，利用指数函数的性质，化为二次不等式求解即可．解答:解：不等式，化为所以有指数函数的性质可知：x2﹣8＜2x解得：x｜﹣2＜x＜4故答案为:x|﹣2＜x＜4点评：本题考查指数函数的性质，二次不等式的解法，是基础题．17．（4分)已知圆台上、下底面圆周都在球面上，且下底面过球心，母线与底面所成的角为，则圆台的体积与球体积之比为．考点：球的体积和表面积;棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：计算题；综合题．分析：设出球的半径，求出圆台上底面半径，圆台的高,求出圆台体积，球的体积即可．解答：解：设球的半径为2，由题意可得圆台上底面半径为1，圆台的高为，所以圆台的体积是：球的体积：圆台的体积与球体积之比为:故答案为：点评: 本题考查球的体积和表面积，棱柱、棱锥、棱台的体积，考查计算能力，逻辑思维能力,是基础题．18．（4分）（2012•许昌二模）函数y=sin（x﹣）cosx的最小值．考点：三角函数的最值．专题：计算题．分析: 先根据两角和与差的公式和二倍角公式进行化简，再由正弦函数的最值可得到答案．解答：解:y=sin（x﹣）cosx=（sinx﹣cosx）cosx=sinxcosx﹣cos2x=（cos2x+1)=﹣∴y=sin（x﹣）cosx的最小值为:故答案为：﹣．点评：本题主要考查两角和与差的公式和二倍角公式的应用和正弦函数的最值．考查基础知识的综合应用和灵活能力．19．（4分）（2010•郑州二模）若直线l过抛物线y=ax2（a＞0)的焦点，并且与y轴垂直,若l被抛物线截得的线段长为4，则a=．考点：抛物线的应用．专题：计算题；压轴题．分析：先把抛物线方程整理成标准方程，可得焦点坐标．进而可得l被抛物线截得的线段长，进而求得a．解答：解:抛物线方程整理得x2=y，焦点（0，）l被抛物线截得的线段长即为通径长,故=4，a=；故答案为．点评: 本题主要考查抛物线的应用，属基础题．20．(4分）四个不同的小球放入编号为1，2，3，4的四个盒子中，则恰有一个空盒的放法共有144种(用数字作答）．考点：计数原理的应用．专题：计算题;压轴题．分析：由题意知需要先选两个元素作为一组再排列，恰有一个盒子中有2个小球，从4个小球中选两个作为一个元素，同另外两个元素在三个位置全排列，根据分步计数原理得到结果．解答：解：四个不同的小球放入编号为1,2，3，4的四个盒子中,恰有一个空盒,说明恰有一个盒子中有2个小球,从4个小球中选两个作为一个元素，同另外两个元素在三个位置全排列故共有C42A43=144种不同的放法．故答案为144．点评：本题考查分步计数原理，是一个基础题,解题的过程中注意这种有条件的排列要分两步走，先选元素再排列．三、解答题（共6小题,满分65分)21．(7分）在复平面上,一个正方形的四个顶点按照逆时针方向依次为Z1，Z2，Z3,O （其中O是原点）,已知Z2对应复数．求Z1和Z3对应的复数．考点：复数的代数表示法及其几何意义．分析: 由复数的三角形式和辐角主值可直接求解．解答: 本小题主要考查复数基本概念和几何意义,以及运算能力．解：设Z1，Z3对应的复数分别为z1,z3，依题设得====点评：采取合适的复数表达形式可给计算带来很大方便．22．（10分)求sin220°+cos250°+sin20°cos50°的值．考点：三角函数中的恒等变换应用．专题：计算题．分析：先根据二倍角公式降幂，再由积化和差公式、和和差化积化简即可得到答案．解答：解:原式====点评：本小题主要考查三角恒等式和运算能力．属基础题．23．（12分）如图，圆柱的轴截面ABCD是正方形，点E在底面的圆周上，AF⊥DE，F是垂足．（1）求证:AF⊥DB；（2）如果圆柱与三棱锥D﹣ABE的体积的比等于3π，求直线DE与平面ABCD所成的角．考点: 平面与圆柱面的截线；直线与平面所成的角．专题: 计算题；证明题．分析：（1）欲证AF⊥DB,先证AF⊥平面DEB，根据线面垂直的判定定理可知只需证EB⊥AF，AF⊥DE，且EB∩DE=E，即可证得线面垂直;（2）点E作EH⊥AB，H是垂足，连接DH，易证∠EDH是DE与平面ABCD所成的角,在三角形EDH中求出此角即可．解答：(1）证明：根据圆柱性质,DA⊥平面ABE．∵EB⊂平面ABE,∴DA⊥EB．∵AB是圆柱底面的直径，点E在圆周上，∴AE⊥EB,又AE∩AD=A，故得EB⊥平面DAE．∵AF⊂平面DAE，∴EB⊥AF．又AF⊥DE,且EB∩DE=E，故得AF⊥平面DEB．∵DB⊂平面DEB，∴AF⊥DB．（2）解：过点E作EH⊥AB，H是垂足，连接DH．根据圆柱性质，平面ABCD⊥平面ABE，AB是交线．且EH⊂平面ABE，所以EH⊥平面ABCD．又DH⊂平面ABCD,所以DH是ED在平面ABCD上的射影，从而∠EDH是DE与平面ABCD所成的角．设圆柱的底面半径为R,则DA=AB=2R，于是V圆柱=2πR3，．由V圆柱：V D﹣ABE=3π,得EH=R，可知H是圆柱底面的圆心，AH=R，DH=∴∠EDH=arcctg=arcctg（/5)，点评: 本小题主要考查空间线面关系、圆柱性质、空间想象能力和逻辑推理能力．24．(12分)某地为促进淡水鱼养殖业的发展，将价格控制在适当范围内，决定对淡水鱼养殖提供政府补贴．设淡水鱼的市场价格为x元/千克,政府补贴为t元/千克．根据市场调查,当8≤x≤14时，淡水鱼的市场日供应量P千克与市场日需求量Q千克近似地满足关系：P=1000(x+t﹣8）( x≥8,t≥0），Q=500（8≤x≤14）．当P=Q时市场价格称为市场平衡价格．（1)将市场平衡价格表示为政府补贴的函数,并求出函数的定义域;（2）为使市场平衡价格不高于每千克10元，政府补贴至少为每千克多少元？考点：根据实际问题选择函数类型．专题：应用题；压轴题．分析: 本题综合考查函数、方程、不等式的解法等基础知识和方法．p=Q得到方程,当根的判别式≥0时,方程有解，求出解可得函数．然后△≥0,原题t≥0，8≤x≤14以及二次根式自变量取值范围得t的另一范围，联立得两个不等式组,求出解集可得自变量取值范围．第二小题，价格不高于10元，得x≤10,求出t的取值范围．解答：解：(1）依题设有1000（x+t﹣8）=500，化简得5x2+(8t﹣80）x+（4t2﹣64t+280）=0．当判别式△=800﹣16t2≥0时，可得x=8﹣±．由△≥0，t≥0，8≤x≤14，得不等式组：①②解不等式组①，得0≤t≤，不等式组②无解．故所求的函数关系式为函数的定义域为［0，］．（2）为使x≤10，应有8≤10化简得t2+4t﹣5≥0．解得t≥1或t≤﹣5，由t≥0知t≥1．从而政府补贴至少为每千克1元．点评：本小题主要考查运用所学数学知识和方法解决实际问题的能力，以及函数的概念、方程和不等式的解法等基础知识和方法．25．（12分)设{a n}是由正数组成的等比数列，S n是其前n项和．（1)证明;（2)是否存在常数c＞0，使得成立？并证明你的结论．考点: 等比数列的前n项和;对数的运算性质；不等式的证明．专题: 计算题；证明题；压轴题．分析：（1)设{a n}的公比为q，当q=1时根据S n•S n+2﹣S n+12求得结果小于0，不符合;当q≠1时利用等比数列求和公式求得S n•S n+2﹣S n+12＜0，进而推断S n•S n+2，＜S n+12．根据对数函数的单调性求得lg（S n•S n+2)＜lgS n+12，原式得证．（2）要使．成立，则有进而分两种情况讨论当q=1时根据（S n﹣c）（S n+2﹣c）=（S n+1﹣c)2求得﹣a12＜0不符合题意；当q≠1时求得（S n﹣c）（S n+2﹣c）﹣(S n+1﹣c）2=﹣a1q n[a1﹣c（1﹣q）]，进而推知a1﹣c（1﹣q）=0，判断出0＜q＜1,但此时不符合题意，最后综合可得结论．解答: （1）证明：设｛a n}的公比为q，由题设a1＞0，q＞0．（i）当q=1时,S n=na1，从而S n•S n+2﹣S n+12=na1•（n+2）a1﹣（n+1）2a12=﹣a12＜0（ⅱ)当q≠1时,，从而S n•S n+2﹣S n+12==﹣a12q n＜0．由(i)和（ii）得S n•S n+2,＜S n+12．根据对数函数的单调性，知lg（S n•S n+2）＜lgS n+12，即．（2）解:不存在．要使．成立，则有分两种情况讨论：(i）当q=1时，(S n﹣c）（S n+2﹣c）=（S n+1﹣c)2=（na1﹣c）[(n+2)a1﹣c]﹣［（n+1）a1﹣c]2=﹣a12＜0．可知，不满足条件①,即不存在常数c＞0，使结论成立．（ii）当q≠1时,若条件①成立，因为（S n﹣c）（S n+2﹣c)﹣（S n+1﹣c）2==﹣a1q n[a1﹣c（1﹣q）]，且a1q n≠0，故只能有a1﹣c(1﹣q）=0，即此时,因为c＞0,a1＞0，所以0＜q＜1．但0＜q＜1时，，不满足条件②，即不存在常数c＞0，使结论成立．综合（i）、（ii)，同时满足条件①、②的常数c＞0不存在，即不存在常数c＞0，使．点评：本小题主要考查等比数列、对数、不等式等基础知识，考查推理能力以及分析问题和解决问题的能力．26．（12分）已知椭圆，直线．P是l上点，射线OP交椭圆于点R，又点Q在OP上且满足|OQ|•｜OP|=｜OR｜2，当点P在l上移动时，求点Q的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．考点：轨迹方程；椭圆的简单性质；曲线与方程．专题: 计算题；压轴题．分析：先设三个点P、R、Q的坐标分别为(x P，y P），(x R,y R)，（x,y），利用共线条件得出它们坐标的关系，再依据条件|OQ|•｜OP|=|OR|2，将三点的坐标代入，最终得到关于x，y的方程即为所求．解答: 解：由题设知点Q不在原点．设P、R、Q的坐标分别为(x P，y P),(x R,y R），（x，y),其中x，y不同时为零．当点P不在y轴上时，由于点R在椭圆上及点O、Q、R共线,得方程组解得由于点P在直线l上及点O、Q、P共线，得方程组．解得当点P在y轴上时,经验证①～④式也成立．由题设｜OQ｜•|OP｜=｜OR｜2，得将①～④代入上式，化简整理得因x与x p同号或y与yp同号，以及③、④知2x+3y＞0，故点Q的轨迹方程为（其中x，y不同时为零）．所以点Q的轨迹是以（1,1)为中心，长、短半轴分别为和且长轴与x轴平行的椭圆、去掉坐标原点．点评：本小题主要考查直线、椭圆的方程和性质，曲线与方程的关系，轨迹的概念和求法，利用方程判定曲线的性质等解析几何的基本思想和综合运用知识的能力．。
普通高等学校招生全国统一考试数学1985年-文科数学
1985年全国普通高等学校招生统一考试（文史类）数学一、本题每个小题都给出代号为A,B,C,D的四个结论,其中只有一个结论是正确的,把正确结论的代号写在题后的括号.(1)设正方体ABCD—A′B′C′D′的棱长为a,那么三棱锥A′—ABD的体积是(A)必要条件(B)充分条件(C)充分必要条件(D)既不充分又不必要的条件(3)设集合X={0,1,2,4,5,7},Y={1,3,6,8,9},Z={3,7,8},那么集合(x∩Y)∪Z是(A){0,1,2,6,8} (B){3,7,8}(C){1,3,7,8} (D){1,3,6,7,8}以π为周期的偶函数?(A)y=x2 (x∈R) (B)y=│s i nx│(x∈R)(C)y=cos2x (x∈R) (D)y=e sin2x (x∈R)(5)用1,2,3,4,5这五个数字,可以组成比20000大,并且百位数不是数字3的没有重复数字的五位数,共有(A)96个(B)78个(C)72个(D)64个二、只要求直接写出结果.(2)求圆锥曲线3x2-y2+6x+2y-1=0的离心率.(3)求函数y=-x2+4x-2在区间[0,3]上的最大值和最小值.(4)设(3x-1)6=a6x6+a5x5+a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0,求a6+a5+a4+a3+a2+a1+a0的值.(5)设i是虚数单位,求(1+i)6的值.三、设S1=12, S2=12+22+12,S3=12+22+32+22+12,…,S n=12+22+32+…+n2+…+32+22+12,….用数学归纳法证明:公式对所有的正整数n都成立.四、证明三角恒等式五、(1)解方程lg(3-x)-lg(3+x)=lg(1-x)-lg(2x+1).(2)解不等式六、设三棱锥V-ABC的三个侧面与底面所成的二面角都是β,它的高是h.求这个三棱锥底面的切圆半径.七、已知一个圆C:x2+y2+4x-12y+39=0和一条直线l:3x-4y+5=0.求圆C关于直线l对称的圆的方程.1985年全国普通高等学校招生统一考试（文史卷）数学参考答案一、本题考查基本概念和基本运算.(1)D; (2)A; (3)C; (4)B; (5)B.二、本题考查基础知识和基本运算,只需直接写出结果.(1){x│-2≤x<1}∪{x│1<x≤2};(2)2;(3)最大值是2,最小值是-2;(4)64(或26;(5)-8i.三、本题考查应用数学归纳法证明问题的能力.证明:因为S n=12+22+32+…+n2+…+32+22+12,即要证明12+22+32+…+n2+…+32+22+12(Ⅱ)假设当n=k时,(A)式成立,即现设n=k+1,在上式两边都加上(k+1)2+k2,得12+22+…+k2+(k+1)2+k2+…+22+12即证得当n=k+1时(A)式也成立.根据(Ⅰ)和(Ⅱ),(A)式对所有的正整数n都成立,即证得四、本题考查三角公式和证明三角恒等式的能力.证法一:左边=2sin4x+3sin2xcos2x+5cos4x-(4cos3x-3cosx)cosx=2sin4x+3sin2xcos2x+cos4x+3cos2x=(2sin2x+cos2x)(sin2x+cos2x)+3cos2x=2sin2x+cos2x+3cos2x=2+2cos2x=右边.证法二:=右边.五、本题考查对数方程、无理不等式的解法以及分析问题的能力.(1)解法一:由原对数方程得于是解这个方程,得到x1=0, x2=7.检验:把x=0代入原方程,左边=0=右边;故x=0是原方程的根.把x=7代入原方程,由于3-x<0,1-x<0,它们的对数无意义,故x=7不是原方程的根,应舍去.因此,原对数方程的根是x=0.对原方程变形,同解法一,得x1=0, x2=7.2x+5>x2+2x+1,x2<4,即-2<x<2.但由条件x≥-1,因此-1≤x<2也是原不等式的解.综合(i)和(ii),得出原不等式的解集是六、本题考查三棱锥、二面角的概念,三垂线定理和解决空间图形问题的能力.解:自三棱锥的顶点V向底面作垂线,垂足为O.再过O分别作AB,BC,CA的垂线,垂足分别为E,F,G.连接VE,VF,VG.根据三垂线定理知VE⊥AB,VF⊥BC,VG⊥AC.因此∠VEO,∠VFO,∠VGO分别为侧面与底面所成二面角的平面角,由已知条件得∠VEO=∠VFO=∠VGO=β.在△VOE和△VOF中,由于VO⊥平面ABC,所以VO⊥OE,VO⊥OF.又因VO=VO,∠VEO=∠VFO,于是△VEO≌△VFO.由此得到OE=OF.同理可证OE=OG.因此OE=OF=OG.又因OE⊥AB,OF⊥BC,OG⊥AC,所以点O是△ABC的切圆的圆心.在直角三角形VEO中,VO=h,∠VEO=β,因此OE=hctgβ.即这个三棱锥底面的切圆半径为hctgβ.七、本题考查直线和圆的基础知识和用解析法解决几何问题的能力.解法一:已知圆C的方程是x2+y2+4x-12y+39=0,它可写成(x+2)2+(y-6)2=1,因此它的圆心为P(-2,6),半径为1.即3a-4b-20=0. (1)又PP′⊥l,故有即4a+3b-10=0. (2)解(1),(2)所组成的方程组,得a=4,b=-2.由此,所求圆的方程为(x-4)2+(y+2)2=1,即x2+y2-8x+4y+19=0.解法二:设圆C上任一点(x′,y′)关于直线l的对称点为(x,y).则有由此可得因点(x′,y′)在圆C上,故有(x′+2)2+(y′-6)2=1,即有化简,得x2+y2-8x+4y+19=0,这就是所求圆的方程.八、本题考查数列和极限的基础知识以及分析问题的能力.解:当公比q满足0<q<1时,于是因此当公比q=1时,S n=1+1+…+1=n,于是因此当公比q>1时,于是因此综合以上讨论得到。
1980年全国统一高考数学试卷（理科）
1980年全国统一高考数学试卷（理科）年全国统一高考数学试卷（理科）一、解答题（共10小题，满分0分）分）1．（6分）将多项式x 5y ﹣9xy 5分别在下列范围内分解因式：（1）有理数范围；（2）实数范围；（3）复数范围．复数范围． 2．（6分）半径为1、2、3的三个圆两两外切．证明：以这三个圆的圆心为顶点的三角形是直角三角形．形．3．（10分）用解析几何方法证明三角形的三条高线交于一点．分）用解析几何方法证明三角形的三条高线交于一点．4．（10分）证明对数换底公式：（a ，b ，N 都是正数，a≠1，b≠1）．5．（10分）直升飞机上一点P 在地面M 上的正射影是A ，从P 看地面上一物体B （不同于A ）．直线PB 垂直于飞机窗玻璃所在的平面N （如图）．证明：平面N 必与平面M 相交，且交线垂直于AB ．6．（12分）设三角函数，其中k≠0．（1）写出f （x ）极大值M 、极小值m 与最小正周期；与最小正周期；（2）试求最小的正整数k ，使得当自变量x 在任意两个整数间（包括整数本身）变化时，函数f （x ）至少有一个值是M 与一个值是m ． 7．（14分）CD 为直角三角形ABC 中斜边AB 上的高，已知△ACD 、△CBD 、△ABC 的面积成等比数列，求∠B （用反三角函数表示）．8．（14分）已知0＜α＜π，证明：；并讨论α为何值时等号成立．为何值时等号成立．9．（18分）抛物线的方程是y2=2x，有一个半径为1的圆，圆心在x轴上运动问这个圆运动到什么位置时，圆与抛物线在交点处的切线互相垂直？（注：设P（x0，y0）是抛物线y2=2px上一点，则抛物线在P点处的切线斜率是）．10．设直线（L）的参数方程是（t是参数）椭圆（E）的参数方程是（θ是参数）问a、b应满足什么条件，使得对于任意m值来说，直线（L）与椭圆（E）总有公共点．1980年全国统一高考数学试卷（理科）年全国统一高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析参考答案与试题解析一、解答题（共10小题，满分0分）分）1．（6分）将多项式x 5y ﹣9xy 5分别在下列范围内分解因式：（1）有理数范围；（2）实数范围；（3）复数范围．复数范围． 考点：考点： 虚数单位i 及其性质．及其性质．专题：专题： 计算题．计算题．分析：分析： 直接根据（1）有理数范围；（2）实数范围；（3）复数范围．的要求，分解因式即可．）复数范围．的要求，分解因式即可． 解答：解答：解：（1）x 5y ﹣9xy 5=xy （x 2+3y 2）（x 2﹣3y 2）． （2）x 5y ﹣9xy 5=xy （x 2+3y 2）（x+y ）（x ﹣y ）．（3）x 5y ﹣9xy 5=xy （x+yi ）（x ﹣yi ）（x+y ）（x ﹣y ）． 点评：点评：本题考查实数系与数系的扩充，考查学生的基础知识，是基础题．本题考查实数系与数系的扩充，考查学生的基础知识，是基础题． 2．（6分）半径为1、2、3的三个圆两两外切．证明：以这三个圆的圆心为顶点的三角形是直角三角形．形．考点：考点： 圆与圆的位置关系及其判定．圆与圆的位置关系及其判定．专题：专题： 证明题．证明题．分析：分析： 根据两圆外切时两圆心之间的距离等于两半径之和，由三个圆的半径分别求出三角形的三边，求出最长一边的平方且求出其余两边的平方和，发现其相等，利用勾股定理的逆定理即可得证．解答：解答：证明：设⊙O 1、⊙O 2、⊙O 3的半径分别为1、2、3． 因这三个圆两两外切，因这三个圆两两外切，故有O 1O 2=1+2=3，O 2O 3=2+3=5，O 1O 3=1+3=4， 则有O 1O 22+O 1O 32=32+42=52=O 2O 32 根据勾股定理的逆定理，根据勾股定理的逆定理，得到△O 1O 2O 3为直角三角形．为直角三角形．点评：点评：此题考查学生掌握两圆外切时圆心距与两半径之间的关系，此题考查学生掌握两圆外切时圆心距与两半径之间的关系，是一道基础题．是一道基础题．是一道基础题．通过此题，通过此题，通过此题，学生要学生要明白判断一个三角形是直角三角形的方法不仅可以根据一个角是直角得到三角形为直角三角形，还可以利用勾股定理的逆定理来判断一个三角形为直角三角形．形，还可以利用勾股定理的逆定理来判断一个三角形为直角三角形．3．（10分）用解析几何方法证明三角形的三条高线交于一点．分）用解析几何方法证明三角形的三条高线交于一点．考点：考点： 两条直线的交点坐标；直线的一般式方程．两条直线的交点坐标；直线的一般式方程． 专题：专题： 证明题；数形结合．证明题；数形结合． 分析：分析：建立直角坐标系，写出各点的坐标，利用两点的连线的斜率公式求出AB 的斜率，利用两直线垂直斜率互为倒数得到AB 边上的高的斜率，利用点斜式求出AB 边的高的方程，同理求出AC 边上的高，两高线的方程联立得到高线的交点．边上的高，两高线的方程联立得到高线的交点．解答：解答：证明：取△ABC 最长一边BC 所在的直线为X 轴，经过A 的高线为Y 轴，设A 、B 、C 的坐标分别为A （0，a ）、B （b ，0）、C （c ，0），根据所选坐标系，如图，有a ＞0，b ＜0，c ＞0，AB 的方程为，其斜率为，AC 的方程为，其斜率为，高线CE 的方程为高线BD 的方程为．解（1）、（2），得：（b ﹣c ）x=0 ∵b ﹣c≠0∴x=0 即高线CE 、BD 的交点的横坐标为0，也即交点在高线AO 上．上． 因此，三条高线交于一点．因此，三条高线交于一点．点评：点评： 本题考查通过建立直角坐标系将问题转化为代数问题、考查两点连线的斜率公式、考查两直线垂直斜率乘积为﹣1、考查两直线的交点坐标的求法．、考查两直线的交点坐标的求法．4．（10分）证明对数换底公式：（a ，b ，N 都是正数，a≠1，b≠1）．考点：考点： 换底公式的应用．换底公式的应用．专题：专题： 证明题．证明题．分析：分析： 利用指数式与对数式的互化，log b N=x 等价于b x=N ，两边同取对数后解除x 的解析式．的解析式．解答：解答：证明：令log b N =x ，则b x =N ，两边同取以a 为底的对数得：=log a N， ∴x•log a b =log a N ， ∴x=，∴log b N =成立．成立．点评：点评：本题考查对数的定义，体现解方程的思想．本题考查对数的定义，体现解方程的思想．5．（10分）直升飞机上一点P 在地面M 上的正射影是A ，从P 看地面上一物体B （不同于A ）．直线PB 垂直于飞机窗玻璃所在的平面N （如图）．证明：平面N 必与平面M 相交，且交线垂直于AB ．考点：考点： 平面与平面之间的位置关系；反证法．平面与平面之间的位置关系；反证法．专题：专题： 证明题．证明题．分析：分析：用反证法先证平面N 与平面M 相交，假如平面N 与平面M 平行，则P A 也垂直于N ，因此P A 与PB 重合，B 点与A 点重合，但这与题设“不同于A”矛盾，从而平面N 与平面M 相交，设平面N 与平面M 的交线为L ，然后证L ⊥平面P AB ，从而得到L 垂直于AB ．解答：解答：证明：假如平面N 与平面M 平行，则P A 也垂直于N ， 因此P A 与PB 重合，B 点与A 点重合，点重合， 但这与题设“不同于A”矛盾，矛盾， 所以平面N 与平面M 相交．相交． 设平面N 与平面M 的交线为L ， ∵P A ⊥平面M ，∴P A ⊥L ， 又∵PB ⊥平面N ，∴PB ⊥L ， ∴L ⊥平面P AB ，∴L ⊥AB ． 点评：点评： 本题主要考查了平面与平面之间的位置关系，本题主要考查了平面与平面之间的位置关系，以及反证法的应用，以及反证法的应用，以及反证法的应用，考查空间想象能力、考查空间想象能力、考查空间想象能力、运算能运算能力和推理论证能力，属于基础题．力和推理论证能力，属于基础题．6．（12分）设三角函数，其中k≠0．（1）写出f （x ）极大值M 、极小值m 与最小正周期；与最小正周期；（2）试求最小的正整数k ，使得当自变量x 在任意两个整数间（包括整数本身）变化时，函数f （x ）至少有一个值是M 与一个值是m ．考点：考点： 函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换；三角函数的周期性及其求法；正弦函数的图象．）的图象变换；三角函数的周期性及其求法；正弦函数的图象． 专题：专题： 综合题．综合题．分析：分析：（1）根据正弦函数的性质可知函数最大值为1，最小值为﹣1，ω=进而根据T=可得函数的周期．可得函数的周期．（2）f （x ）在它的每一个周期中都恰好有一个值是M 与一个值是m ．而任意两个整数间的距离都≥1，因此要使任意两个整数间函数f （x ）至少有一个值是M 与一个值是m ，必须且只须使f （x ）的周期≤1，进而可知，可得k 的范围．的范围． 解答：解答：解：（1）M=1，m=﹣1，．（2）f （x ）在它的每一个周期中都恰好有一个值是M 与一个值是m ．而任意两个整数间的距离都≥1，因此要使任意两个整数间函数f （x ）至少有一个值是M 与一个值是m ， 必须且只须使f （x ）的周期≤1， 即：．可见，k=32就是这样的最小正整数．就是这样的最小正整数．点评：点评： 本题主要考查了函数y=Asin （ωx+φ）的图象的性质．属基础题．）的图象的性质．属基础题．7．（14分）CD 为直角三角形ABC 中斜边AB 上的高，已知△ACD 、△CBD 、△ABC 的面积成等比数列，求∠B （用反三角函数表示）．考点：考点： 直角三角形的射影定理．直角三角形的射影定理．专题：专题： 计算题．计算题．分析：分析：要用反三角函数表示∠B ，关键是要解三角形，求出含B 的三角形中对应的边长，再利用三角函数的定义求出∠B 的一个三角函数值，再用反三角函数表示∠B ．解答：解答：解：设CD=h ，AB=c ，BD=x ，则AD=c ﹣x 因此，△ACD 的面积为，△CBD 的面积为，△ABC 的面积为，依题意，，依题意，，即x 2=c （c ﹣x ），即x 2+cx ﹣c 2=0，．∵取负号不合题意，∴取正号，得．又依直角三角形的性质，有AC 2=AD•AB=c （c ﹣x ）．但x 2=c （c ﹣x ），∴AC 2=x 2，∴AC=x=DB=．在直角三角形ABC 中，．故．点评：点评：在双垂直问题（即过直角三角形的直角顶点做斜边上的高）中，要善于利用勾股定理、射影定理去寻求边与边之间的关系．理去寻求边与边之间的关系．8．（14分）已知0＜α＜π，证明：；并讨论α为何值时等号成立．为何值时等号成立．考点：考点： 弦切互化；不等式的证明．弦切互化；不等式的证明．分析：分析：根据倍角公式，把证明转变为证明，两端乘以sinα，进而转换为证明（1+cosα）[4（1﹣cosα）cosα﹣1]≤0，再利用倍角公式可证．，再利用倍角公式可证．解答：解答：解：即证：．两端乘以sinα，问题化为证明2sinαsin2α≤1+cosα． 而2sinαsin2α =4sin 2αcosα=4（1﹣cos 2α）cosα =4（1﹣cosα）（1+cosα）cosα 所以问题又化为证明不等式所以问题又化为证明不等式（1+cosα）[4（1﹣cosα）cosα﹣1]≤0（1+cosα）≤0∴不等式得证，不等式得证， ∵0＜α＜π， ∴等号成立当且仅当cosα﹣=0即α=60°点评：点评：本题主要考查利用三角函数中的常用公式，完成弦切之间的转换．属基础题．本题主要考查利用三角函数中的常用公式，完成弦切之间的转换．属基础题．9．（18分）抛物线的方程是y 2=2x ，有一个半径为1的圆，圆心在x 轴上运动问这个圆运动到什么位置时，圆与抛物线在交点处的切线互相垂直？（注：设P （x 0，y 0）是抛物线y 2=2px 上一点，则抛物线在P 点处的切线斜率是）．考点：考点： 圆锥曲线的共同特征；圆方程的综合应用；抛物线的应用．圆锥曲线的共同特征；圆方程的综合应用；抛物线的应用．专题：专题： 计算题．计算题．分析：分析：设出圆的方程，再设圆与抛物线的一个交点为P 进而可求得在P 点圆半径的斜率和在P 点抛物线的切线斜率的表达式，根据在P 点抛物线的切线与圆的切线垂直，必须且只须圆的半径与抛物线在P 点相切进而建立等式，把P 点代入抛物线方程和椭圆方程，联立方程组可求得k ，则圆的方程可得．则圆的方程可得．解答：解答：解：设圆的方程为（x ﹣k ）2+y 2=1再设圆与抛物线的一个交点为P （x 0，y 0） 在P 点圆半径的斜率=．在P 点抛物线的切线斜率=在P 点抛物线的切线与圆的切线垂直，必须且只须圆的半径与抛物线在P 点相切，点相切， ∴．（1）因P （x 0，y 0）是圆与抛物线的交点，）是圆与抛物线的交点， ∴y 02=2x 0．（2） （x 0﹣k ）2+y 02=1．（3） 由（1）、（2）式消去y 0，得x 0=﹣k ， 将（2）代入（3），得（x 0﹣k ）2+2x 0﹣1=0， 将x 0=﹣k 代入，得4k 2﹣2k ﹣1=0， ∴．由于抛物线在y 轴的右方，所以k=﹣x 0≤0故根号前应取负号，即．故所求圆的方程为．故圆心是（，0）时圆与抛物线在交点处的切线互相垂直）时圆与抛物线在交点处的切线互相垂直点评：点评： 本题主要考查了圆锥曲线的共同特征．解此类题应充分发挥判别式和韦达定理在解题中的作用．灵活应用数形结合的思想、函数思想、等价转化思想、分类讨论思想解题．用．灵活应用数形结合的思想、函数思想、等价转化思想、分类讨论思想解题．10．设直线（L ）的参数方程是（t 是参数）椭圆（E ）的参数方程是（θ是参数）问a 、b 应满足什么条件，使得对于任意m 值来说，直线（L ）与椭圆（E ）总有公共点．考点：考点： 直线的参数方程；直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的参数方程．直线的参数方程；直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的参数方程．专题：专题： 计算题；选作题；判别式法．计算题；选作题；判别式法．分析：分析： 首先题中的直线方程及椭圆方程都是参数方程的形式，需要消去参数化简为一般方程，然后求公共点问题，考虑到联立方程式由求判别式的方法求取值范围即可得到答案．公共点问题，考虑到联立方程式由求判别式的方法求取值范围即可得到答案．解答：解答：解：对于直线（L ）消去参数，得一般方程y=mx+b ；对于椭圆（E ）消去参数，得一般方程．：消去y ，整理得（1+a 2m 2）x 2+2（a 2mb ﹣1）x+a 2b 2﹣a 2+1=0． （L ）、（E ）有交点的条件是上式的判别式≥0，即（a 2mb ﹣1）2﹣（1+a 2m 2）（a 2b 2﹣a 2+1）≥0．化简并约去a 2得（a 2﹣1）m 2﹣2bm+（1﹣b 2）≥0．对任意m 的值，要使这个式子永远成立，条件是条件是或（1）、（2）合写成：即所求的条件．即所求的条件．故答案为．点评：点评： 此题主要考查直线及椭圆参数方程化简一般方程的问题，其中对于求公共点的问题可以把方程联立，然后根据判别式法求得取值范围，属于综合性试题，有一定的计算量．联立，然后根据判别式法求得取值范围，属于综合性试题，有一定的计算量．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
1985年全国统一高考数学试卷（理科）
一、选择题（共5小题，每小题3分，满分15分）
的体积是（）．．．．
2．（3分）的（）
3．（3分）在下面给出的函数中，哪一个函数既是区间上的增函数又是以π为周期的偶函
．．．．
．（3分）用1，2，3，4，5这五个数字，可以组成比20000大，并且百位数不是数字3的没有重复
5
二、解答题（共13小题，满分90分）
6．（4分）求方程解集．
7．（4分）设|a|≤1，求arccosa+arccos（﹣a）的值．
8．（4分）求曲线y2=﹣16x+64的焦点．
9．（4分）设（3x﹣1）6=a6x6+a5x5+a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0，求a6+a5+a4+a3+a2+a1+a0的值．
10．（4分）设函数f（x）的定义域是[0，1]，求函数f（x2）的定义域．
11．（7分）解方程log4（3﹣x）+log0.25（3+x）=log4（1﹣x）+log0.25（2x+1）．
12．（7分）解不等式
13．（15分）如图，设平面AC和BD相交于BC，它们所成的一个二面角为45°，P为平面AC内的一点，Q为面BD内的一点，已知直线MQ是直线PQ在平面BD内的射影，并且M在BC上又设PQ与平面BD所成的角为β，∠CMQ=θ（0°＜θ＜90°），线段PM的长为a，求线段PQ的长．
14．（15分）设O为复平面的原点，Z1和Z2为复平面内的两动点，并且满足：
（1）Z1和Z2所对应的复数的辐角分别为定值θ和﹣θ；
（2）△OZ1Z2的面积为定值S求△OZ1Z2的重心Z所对应的复数的模的最小值．
15．（15分）已知两点P（﹣2，2），Q（0，2）以及一条直线：L：y=x，设长为的线段AB在直线L上移动，如图，求直线PA和QB的交点M的轨迹方程．（要求把结果写成普通方程）
16．（14分）设，
（1）证明不等式对所有的正整数n都成立；
（2）设，用定义证明
17．（12分）设a，b是两个实数，
A={（x，y）|x=n，y=na+b，n是整数}，
B={（x，y）|x=m，y=3m2+15，m是整数}，
C={（x，y）|x2+y2≤144}，
是平面XOY内的点集合，讨论是否存在a和b使得
（1）A∩B≠φ（φ表示空集），
（2）（a，b）∈C
同时成立．
18．已知曲线y=x3﹣6x2+11x﹣6．在它对应于x∈[0，2]的弧段上求一点P，使得曲线在该点的切线在y轴上的截距为最小，并求出这个最小值．
1985年全国统一高考数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题（共5小题，每小题3分，满分15分）
的体积是（）．．．．
V=
2．（3分）的（）
，
x=，
的必要条件．
3．（3分）在下面给出的函数中，哪一个函数既是区间上的增函数又是以π为周期的偶函
，且根据正弦图象知在区间
．．．．
）的圆．
5．（3分）用1，2，3，4，5这五个数字，可以组成比20000大，并且百位数不是数字3的没有重复
二、解答题（共13小题，满分90分）
6．（4分）求方程解集．
化为：
解集为：
7．（4分）设|a|≤1，求arccosa+arccos（﹣a）的值．
8．（4分）求曲线y2=﹣16x+64的焦点．
9．（4分）设（3x﹣1）6=a6x6+a5x5+a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0，求a6+a5+a4+a3+a2+a1+a0的值．
10．（4分）设函数f（x）的定义域是[0，1]，求函数f（x2）的定义域．
11．（7分）解方程log4（3﹣x）+log0.25（3+x）=log4（1﹣x）+log0.25（2x+1）．
12．（7分）解不等式
分类讨论，当时，
，解得
，解得﹣
13．（15分）如图，设平面AC和BD相交于BC，它们所成的一个二面角为45°，P为平面AC内的一点，Q为面BD内的一点，已知直线MQ是直线PQ在平面BD内的射影，并且M在BC上又设PQ与平面BD所成的角为β，∠CMQ=θ（0°＜θ＜90°），线段PM的长为a，求线段PQ的长．
，故我们要先求
MR=
MR=
，
．
．
14．（15分）设O为复平面的原点，Z1和Z2为复平面内的两动点，并且满足：
（1）Z1和Z2所对应的复数的辐角分别为定值θ和﹣θ；
（2）△OZ1Z2的面积为定值S求△OZ1Z2的重心Z所对应的复数的模的最小值．
，即
=
15．（15分）已知两点P（﹣2，2），Q（0，2）以及一条直线：L：y=x，设长为的线段AB在直线L上移动，如图，求直线PA和QB的交点M的轨迹方程．（要求把结果写成普通方程）
，即
，
，
16．（14分）设，
（1）证明不等式对所有的正整数n都成立；（2）设，用定义证明
即证对任意指定的正数
，以及
＜[1+3+5+…+=
，
，即只要使
的整数部分，则数列
17．（12分）设a，b是两个实数，
A={（x，y）|x=n，y=na+b，n是整数}，
B={（x，y）|x=m，y=3m2+15，m是整数}，
C={（x，y）|x2+y2≤144}，
是平面XOY内的点集合，讨论是否存在a和b使得
（1）A∩B≠φ（φ表示空集），
（2）（a，b）∈C
同时成立．
6
x=±，与
18．已知曲线y=x3﹣6x2+11x﹣6．在它对应于x∈[0，2]的弧段上求一点P，使得曲线在该点的切线在y轴上的截距为最小，并求出这个最小值．。