第七章应力和应变分析强度理论

3
T Wt
团结 信赖 创造 挑战
例题3 分析薄壁圆筒受内压时的应力状态
y
m
n
p
z
D
ml n
n
（1）沿圆筒轴线作用于筒底的总压力为F
F p πD2 4
′
D
p
薄壁圆筒的横截面面积
A π D F
A
p πD2 4
πD
pD
团4结信赖
n
创造
挑战
（2）假想用一直径平面将圆筒截分为二,并取下半环为研究对象
F n 0d A (xd y A c o )ss i n (x d A c o )cs o s (yd x A si)c no (sy 团d A 结s信i赖)s n 创造i n 挑0 战
F t 0d A (xd y A c o )cs o ( sx d A c o )ss i n (yd x A s i)s n i n (y d A s i)c n o 0 s
铸铁
为什么脆性材料扭转时沿45°螺旋面断开？ 团结 信赖 创造 挑战
3.重要结论
（1）拉中有剪,剪中有拉;
（2）不仅横截面上存在应力,斜截面上也存在ห้องสมุดไป่ตู้力;
（3）同一面上不同点的应力各不相同;
（4） 同一点不同方向面上的应力也是各不相同.
应力
哪一个面上？ 哪一点？
哪一点？ 哪个方向面？
4.一点的应力状态
2.平面应力状态
三个主应力1 ,2 ,3 中有两个不等于零
3.单向应力状态
三个主应力 1 ,2 ,3 中只有一个不等于零
2 3
2
1
1
1
1
1
3 2
2 团结 信赖 创造挑1 战
例题 1 画出如图所示梁S截面的应力状态单元体.
F
l/2
S平面 l/2
5 4 3 2
1
团结 信赖 创造 挑战
5
S平面
4
3 2
"
p
直径平面
FN
Ｏ
FN
d
F y 0 0πplD 2sindplD
2lplD0 pD
y
2
团结 信赖 创造 挑战
§7-2 平面应力状态分析-解析法
y
y
yx xy x
x
y yx
x xy
z
平面应力状态的普遍形式如图所示 .单元体上有x ,xy 和 y , yx
角标的意义；应力正负号的规定。
切应力对单元体内任一点取矩,顺时针转团结为正信赖 创造 挑战
1.最大切应力的方位
令 d d 2 [x 2y c2 o s xs y2 i] n 0
tan21
x y 2xy
11 90
1 和 1+90°确定两个互相垂直的平面,一个是最大切应力
所在的平面,另一个是最小切应力所在的团平结面信. 赖 创造 挑战
2.最大切应力
将1和 1+90°代入公式
4.主平面 切应力为零的截面
5.主应力 主平面上的正应力
说明:一点处必定存在这样的一个单元体, 三个相互垂直的面
均为主平面, 三个互相垂直的主应力分别记为1 ,2 , 3 且规定按
代数值大小的顺序来排列, 即
123
团结 信赖 创造 挑战
三、应力状态的分类
1.空间应力状态
三个主应力1 ,2 ,3 均不等于零
一、斜截面上的应力
1.截面法
假想地沿斜截面 e-f 将单元体截开,留下左边部分的单体元 eaf 作为研究对象
y n
e
x
a
yx
x xy
f
e
x
x
xy
α
α n
α
α
ayx
f
y
团结 信赖 创造 挑战
e
x
a
y
yx x
xy
f
n
x
2.符号的确定
e
x
xy
α
n
α
α
α
ayx
f
y
t
（1）由x轴转到外法线n,逆时针转向时为正
化简以上两个平衡方程最后得
x 2y x 2yco2 s xysin 2 x 2ysin 2xyco2 s
不难看出 9 0 xy
即两相互垂直面上的正应力之和保持一个常数 团结 信赖 创造 挑战
二、最大正应力及方位
xx 2 2yysi2n x 2yxcycoo 22 ssxysi2n
1.最大正应力的方位
（2）正应力仍规定拉应力为正 （3）切应力对单元体内任一点取矩,顺时针转为正
团结 信赖 创造 挑战
e
x
xy
α
n
α
α
α
ayx
f
y
t
e
dA
dAcos α
a dAsinf
3.任意斜截面上的应力
设斜截面的面积为dA , a-e的面积为dAcos, a-f 的面积为 dAsin
对研究对象列 n和 t 方向的平衡方程得
1
x1
1
x1 x2
2
x2
2
2
5 4 3 2
1
3
3
3
团结 信赖 创造 挑战
例题 2 画出如图所示梁危 险截面危险点的应力状态单 元体
y
S
1
4
2
z
3
x
FS
l
F
a
z2
T3
4 Mz
团结 信赖 创造 挑战
yy
FS
1
4
2
z
3
z2
4 Mz
x
T3
x
1 3
z
2
1
T Wt
x1
Mz Wz
2
T Wt
4FS 3A
x3
Mz Wz
令 d d 2 [x 2y s2 i n xc y2 o ] 0 s
tan20
2xy x y
00 90
0 和 0+90°确定两个互相垂直的平面,一个是最大正应力
所在的平面,另一个是最小正应力所在的团平结面信. 赖 创造 挑战
2.最大正应力
将 0和 0+90°代入公式
x 2yx 2y c2 o s xs y2 in
x2ysin2xyco2s
得到max和min
max( min
x 2
y)2x 2y
比较
ta2n0x2xyy 和
tan21
x y 2xy
可见
ta2n0
1
ta2n1
2120π 2, 10π 4
得到max和min (主应力）
m m a in xx 2y(x 2y)2x 2y
下面还必须进一步判断最大sigma的方位： 团结 信赖 创造 挑战
具体规则如下：
当x> y 时, 绝对值较小的那个角度是最大
应力的平面。
团结 信赖 创造 挑战
二、最大切应力及方位
xx 2 2yysi2n x 2yxcycoo 22 ssxysi2n
过一点不同方向面上应力的情况,称之为这一点的应力状
态, 亦指该点的应力全貌.
团结 信赖 创造 挑战
二、应力状态的研究方法
1. 单元体 2. 单元体特征
（1）单元体的尺寸无限小,每个面上应力均匀分布
（2）任意一对平行平面上的应力相等 2 3
3.主单元体
1
1
各侧面上切应力均为零的单元体
3
2
团结 信赖 创造 挑战
第七章应力和应变分析强度 理论
团结 信赖 创造 挑战
§7-1 应力状态概述
一、应力状态的概念
请看下面几段动画 1.低碳钢和铸铁的拉伸实验 2.低碳钢和铸铁的扭转实验
团结 信赖 创造 挑战
低碳钢和铸铁的拉伸
低碳钢
铸铁
塑性材料拉伸时为什么会出现滑移线？ 团结 信赖 创造 挑战
低碳钢和铸铁的扭转
低碳钢