教室内吊扇最优化安装

教室内吊扇最优化安装北大附中高一（10）冯雨孙昱姣100080

关键词：风扇场强

一引言 (2)

1问题的提出 (2)

2问题的矛盾所在 (2)

二数学模型的建立 (2)

1几点假设 (2)

1.1假设1 (2)

1.2假设2 (2)

1.3假设3 (3)

2数学模型 (3)

三模型的分析 (4)

1获得φ的解析式 (4)

2求出φa, φb (5)

3φ的叠加性 (5)

⎰⎰ψ的几何意义 (5)

4Ω=ds

S

5在无限大平面上两个波源时Ω是如何取得最值的 (5)

5.1简单说明 (5)

5.2详细论述 (6)

5.3结论 (6)

6在无限大平面上推广到N个波源时的情况 (6)

7模型解构 (7)

四结语 (7)

五附录 (7)

1附图一 (8)

2参考文献 (8)

3作者简介 (8)

4合作经历 (9)

4.1选题背景 (9)

4.2合作过程 (9)

一引言

1问题的提出

夏天将至，旧教室里的电风扇们马上要开始工作了。而北大附中的新教学楼也正在计划建设之中。教室里的风扇应当如何安装，才能既省钱，又有最好的效果呢？现在旧教室的电风扇设计是否是最科学的呢？一连串的问号摆在了我们的面前，本文就将解决这几个问题。

2问题的矛盾所在

注意这样一个事实，在风扇数目一定的情况下，风扇的位置如果不同，造成的效果也会有不同，但一定可以找到效果最好的那组位置。设法量化这个效果，求出它和风扇的总价格的比值，随着风扇数目的变化，这个比值也在变化。它取到最大值时，我们就找到最佳方案了，因为这时单位支出得到了最大的效果。

二数学模型的建立

1几点假设

当然我们的教室是一个很复杂的环境，电风扇的影响是一个很复杂的事件，所以我们需要做一些假设，以简化我们的讨论。

1.1 假设1

人是均匀的连续的分布在教室的地面上的，人上的每一个点对风扇气流的感觉能力是相同的。

1.2 假设2

电扇的影响强度的量化方法：

每一个电扇都伴随着一个“影响场”，场的概念，就不详说了，参阅[参考文献1]。这个场我们用字母φ来表示：

φ=φ(x ,y)

显然φ是一个标量场。对以它的大小，我们将用实验来定义。

1.3 假设3

人对风的作用效果的感觉有阈值，表现为，人不能够感觉到过小的影响场，而

且对超过一个限度的影响场的感觉也是有限的。定义一个影响场φ对应这人的感觉场为ψ，ψ 同φ 满足如下关系：（φa 称为感觉下限，φb 称为感觉上限）

⎪⎩⎪

⎨⎧>-≤≤-<=b a b

b a a a

ϕ

ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕψ当当当 0

2 数学模型

以风扇的中心O 为圆心，我们在相当大的一个范围内平均的撒上大小适度的纸

片。定义单位时间内一个直径为10cm 的圆内纸片平均密度的变化量（视为常数）为该点处φ的大小。

在平面S 上的特定区域，考察其中φ场的强度，做

出这样一个平面图：图中点的密度即可近似的表现出φ场。可以定性看出，在以叶扇长为半径的圆内，几乎没有φ场的分布，而在其外，场强呈放射性减弱。

因此，为了量化考虑场强与点到圆心的距离之关

系，在平面S 上取一条过圆心O 的直线，在直线上以O 为原点建立坐标系(R)，这样对这直线上的点而言，我们可以画出φ ~R 图。

三模型的分析

1获得φ的解析式

通过将纸片撒在地上，将风级固定，在一定时间t内，观察测定纸片的密度变化，得到如下试验结果：

将这些点（r，Δρ）标于坐标纸上，通过拟和，可以得到一个经验公式：

⎪⎩⎪⎨⎧<≥∝-0

03.002

r r r r e r 当当 ϕ

以下我们取比例系数为1。

2 求出φa, φb

直接求出φa, φb 是不可能的，这里我们由经验来确定之。不妨将感觉上限设为

φb =0.72（即叶片半径处的影响场强），现在应用纸条来确定感觉下限φa 。将纸条放置于平面内，距圆心不同的位置上，打开风扇，观察纸条的振动情况。找到距圆心最近的使纸条几乎不动的位置（大约在2.2m 处，记下它所在位置的场强即为φa （≈0.25）。

3 φ的叠加性

由于φ的定义是根据风扇对纸片的作用效果，在最简单的情况下，不同风扇的效果是互不相干的，即φ 是具有可加性的。 因此平面S 上的每一个点处的影响场都可表示为

∑=i ϕϕ

4

Ω=ds S ⎰⎰ψ的几何意义

在S 上，作与之垂直的Z 轴，用以标记φ 的大小。那么我们就得到了一幅如同

丘陵地图的立体图像。做出两平面S 1:Z=φa 和S 2:Z=φb 那么Ω就是S 1,S 2之间的体积。

5

在无限大平面上两个波源时Ω是如何取得最值的

5.1

简单说明

为了从简单入手，我们不妨先考虑在两个波源的连心线上φ 场的叠加。那么我

们以连心线的中心为原点，仍然建立一个r-φ 图将两个波源的φ 场强标在图上，再将

其叠加即可得到这条线上的点的φ 场总强度。但是在这时，随着两波源的圆心O 1,O 2的距离a 的改变，而φ 的图像也是千变万化的。这一点由平面S 上的场强分布叠加即可明确的表现出来。

5.2 详细论述

因此我们根据叠加后图像与同一坐标系上直线φ=φa的关系，可以将图像分为以下三类：

1）叠加后的图像最低点在直线φ =φa以下。

2）叠加后的图像最低点在直线φ =φa以上。

3）叠加后的图像最低点恰在直线φ =φa上。

显然，与第三类比较起来第一类中的效果不够显著，第二类中的资源有浪费现

象，而且φ场较强部位过多。

5.3 结论

由此我们可以得出：两个波源时Ω=

ds

S

⎰⎰ψ是在两个波源连线中点处的φ场

强为φa时取得。可以计算得出：此时的波源距离为：2×2.04=4.08(m)

6在无限大平面上推广到N个波源

时的情况