几何分布的定义以及期望与方差的证明

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二项分布,超几何分布数学期望与方差公式的推导

二项分布,超几何分布数学期望与方差公式的推导数学期望与方差是概率论和统计学中常见的概念，它们可以帮助我们更准确地测量随机变量，了解概率分布的形状和特性。

本文将分别介绍二项分布和超几何分布的数学期望和方差的推导，并给出其计算公式，以便更深入地理解两个概率分布。

二、二项分布的数学期望二项分布是两个离散随机变量之间的统计分布。

假设有一个二进制试验，其实验结果只有两种情况，即可能出现的次数n有x次成功和(n-x)次失败，而成功的概率为p。

二项分布可以记作$B(n,p)$。

二项分布的数学期望记作$E(x)$，用如下公式表示：$$E(x)=np$$三、二项分布的方差二项分布的方差记作$D(x)$，用如下公式表示：$$D(x)=np(1-p)$$四、超几何分布的数学期望超几何分布是一种概率分布，它是描述一组有限类别，每类之间的不同的观察结果的概率分布，可以用来描述在一组概率分布中样本的数据。

它可以用如下式子来表示：$$P(X=i)=frac{C_i^n}{N^n}*frac{r_i}{N}$$其中，$C_i$表示第i类的总数，$r_i$表示第i类的选择次数，$N$表示总样本数，$n$表示总抽样次数。

超几何分布的数学期望记作$E(x)$，其计算公式为：$$E(x)=frac{sum_{i=1}^nr_iC_i^n}{N^nsum_{i=1}^n{C_i^n}}$$五、超几何分布的方差超几何分布的方差记作$D(x)$，其计算公式为：$$D(x)=frac{sum_{i=1}^nr_iC_i^n(N-r_i)}{N^{n+1}sum_{i=1}^n{ C_i^n}}$$六、结论本文介绍了二项分布和超几何分布的数学期望和方差推导，并给出了计算公式。

从上述内容可以看出，数学期望和方差是概率分布研究的两个重要概念，它们可以帮助我们更好地了解概率分布。

几何分布的定义以及期望与方差的证明

几何分布的定义以及期望与方差中，伯努利试验n次几何分布（Geometric distribution）是离散型概率分布。

其中一种定义为：在次成功的概率。

次皆失败，第k试验k 次才得到第一次成功的机率。

详细的说，是：前k-1 公式：它分两种情况：; ...』2，3，概率分布次伯努利实验，n的，取值范围为『1，11. 得到次成功而进行，n. ...』，3，的概率分布，取值范围为『次成功，m0，1，22. m = n-1次失败，第n 由两种不同情况而得出的期望和方差如下：,;,。

的分布列：首次发生所进行的试验次数，则XA的事件A，以X记概率为p，)。

~Geo(pX具有这种分布列的随机变量X，称为服从参数p的几何分布，记为几何分布的期望，方差。

）比原来的修订本新增加随机变量的几何分布，但书中II高中数学教科书新版第三册（选修p?11???D?E）2，而未加以证明。

本文给出证明，并用于解题。

1只给出了结论：（），（2pp1?k?q?)k?p(P）由，知1（供参考．2k?12k?1??p??kq3p??1?E2?p?2pq?3q?pkqq?q)???(?下面用倍差法（也称为错位相减法）求上式括号内的值。

记2k?1kq3q??S?1?2q??k2k?1k kq?1?2qq??k?qS?q)?(k两式相减，得2k?1k kqq?q?q????(1q)S?1?kkk kqq1?S??k21?q(1?q)k0?limq110?q?p0??，知由，则，故??k111k?2?S???2p?3qkq???1lim??k22(1?q)p??k1??E从而pa1(|q|?1)S?也可用无穷等比数列各项和公式（见教科书91页阅读材料），推导如下：q1?2k?1???3q?kq?S?12q??记2k?1?k?1qqS?q?2q???)(?相减，11k2????????(1q)S1?qqq??1?q11??S则22pq1(?)供参考．nn?1nx?(x)'，推导如下：还可用导数公式2k?1???3xkx?1?2x??23k)'?(xx)'??x'?(x?)'?(??k23)'??x???(x?xx??)?(?xx(1?x)()'??2x?1)x(1?1?2)(1?xq?x上式中令，则得111?2k???3q??kq?1?2q??22p)1?q(22???)EE?D(?来推导（该性质的证明，可见本刊6页）。

几何概率与几何分布

几何概率与几何分布几何概率是概率论中的一个重要概念，它是描述试验中第一次成功所需要的试验次数的概率分布。

而几何分布则是以几何概率为基础的一种离散型概率分布。

在本文中，我将详细介绍几何概率和几何分布的概念、性质和应用。

一、几何概率的定义与性质几何概率是指在相同条件下，从事若干次试验，观察一次事件的成功（或失败）直到成功为止所需的试验次数的概率。

几何概率是在无限个等可能性事件中选取第一个特定事件的概率。

例如，投掷一枚均匀硬币，第一次出现正面的概率即为几何概率。

几何概率的性质如下：1.概率范围：几何概率的值域为[0,1]之间。

2.递归关系：设事件A的几何概率为p，那么第n次试验成功的几何概率为(1-p)^(n-1)*p。

3.和为1：多次独立重复试验中成功的几何概率之和为1。

二、几何分布的定义与性质几何分布是描述几何概率的离散型概率分布。

它表示进行独立重复试验，直到第一次成功所需的试验次数的概率分布。

具体而言，几何分布是二项分布的一种特殊情况，只考虑第一个成功的试验次数。

几何分布的性质如下：1.概率函数：设事件A的几何概率为p，那么进行第n次试验才成功的概率为P(X=n) = (1-p)^(n-1)*p，其中X表示第一次成功所需的试验次数。

2.期望和方差：几何分布的期望为E(X) = 1/p，方差为Var(X) = (1-p)/p^2。

3.无记忆性：几何分布具有无记忆性，即在已知未取得成功前所进行的试验次数的条件下，下一次试验所需的次数与之前的试验无关。

三、几何概率与几何分布的应用几何概率和几何分布在实际问题中有着广泛的应用。

以下列举几个例子：1.生命科学：研究某种疾病在人群中传播的过程，可以利用几何分布推断患者在感染之前所需的接触人数。

2.工程学：研究在制造过程中出现某种缺陷的概率，可以使用几何分布来估计首次制造成功所需的试验次数。

3.金融学：研究股票价格的上涨或下跌趋势，可以用几何分布来描述首次出现特定价格的概率。

几何分布的定义以及期望与方差的证明

几何分布的定义以及期望与方差几何分布（Geometric distribution ）是离散型概率分布。

其中一种定义为：在n 次伯努利试验中，试验k 次才得到第一次成功的机率。

详细的说，是：前k-1次皆失败，第k 次成功的概率。

公式：它分两种情况：1. 得到1次成功而进行，n 次伯努利实验，n 的概率分布，取值范围为『1，2，3，...』;2. m = n-1次失败，第n 次成功，m 的概率分布，取值范围为『0，1，2，3，...』.由两种不同情况而得出的期望和方差如下：,;,。

概率为p 的事件A ，以X 记A 首次发生所进行的试验次数，则X 的分布列：，具有这种分布列的随机变量X ，称为服从参数p 的几何分布，记为X ~Geo (p )。

几何分布的期望，方差。

高中数学教科书新版第三册（选修II ）比原来的修订本新增加随机变量的几何分布，但书中只给出了结论：（1）E p ξ=1，（2）D p p ξ=-12，而未加以证明。

本文给出证明，并用于解题。

（1）由P k q p k ()ξ==-1，知下面用倍差法（也称为错位相减法）求上式括号内的值。

记两式相减，得由01<<p ，知01<<q ，则lim k kq →∞=0，故从而E pξ=1 也可用无穷等比数列各项和公式S a q q =-<111(||)（见教科书91页阅读材料），推导如下：记S q q kqk =+++++-12321相减，则S q p =-=11122() 还可用导数公式()'x nxn n =-1，推导如下：上式中令x q =，则得（2）为简化运算，利用性质D E E ξξξ=-22()来推导（该性质的证明，可见本刊6页）。

可见关键是求E ξ2。

对于上式括号中的式子，利用导数，关于q 求导：k q kq k k 21-=()'，并用倍差法求和，有则E p p p p p ξ23222=-=-()，因此D E E p p p p pξξξ=-=--=-22222211()() 利用上述两个结论，可以简化几何分布一类的计算问题。

期望-方差公式-方差和期望公式

期望与方差的相关公式 -、数学期望的来由早在17世纪，有一个赌徒向法国著名数学家帕斯卡挑战，给他出了一道题目，题目是这样的：甲乙两个人赌博，他们两人获胜的机率相等，比赛规则是先胜三局者为赢家，赢家可以获得100法郎的奖励。

当比赛进行到第三局的时候，甲胜了两局，乙胜了一局，这时由于某些原因中止了比赛，那么如何分配这100法郎才比较公平？用概率论的知识，不难得知，甲获胜的概率为1/2+(1/2)*(1/2)=3/4，或者分析乙获胜的概率为(1/2)*(1/2)＝1/4。

因此由此引出了甲的期望所得值为100*3/4=75法郎，乙的期望所得值为25法郎。

这个故事里出现了“期望”这个词，数学期望由此而来。

定义1 若离散型随机变量ξ可能取值为i a （i =1，2，3 ，…），其分布列为i p （i =1，2，3， …），则当i i i p a ∑∞=1<∞时，则称ξ存在数学期望，并且数学期望为E ξ=∑∞=1i i i p a ，如果i i i p a ∑∞=1=∞，则数学期望不存在。

[]1定义2期望：若离散型随机变量ξ，当ξ=x i 的概率为P （ξ=x i ）=P i （i =1，2，…，n ，…），则称E ξ=∑x i p i 为ξ的数学期望，反映了ξ的平均值.期望是算术平均值概念的推广，是概率意义下的平均.E ξ由ξ的分布列唯一确定.二、数学期望的性质（1）设C 是常数，则E(C )=C 。

（2）若k 是常数，则E (kX )=kE (X )。

（3）)E(X )E(X )X E(X 2121+=+。

三、方差的定义前面我们介绍了随机变量的数学期望，它体现了随机变量取值的平均水平，是随机变量一个重要的数字特征。

但是在一些场合下，仅仅知道随机变量取值的平均值是不够的，还需要知道随机变量取值在其平均值附近的离散程度，这就是方差的概念。

定义3方差：称D ξ=∑（x i －E ξ）2p i 为随机变量ξ的均方差，简称方差.ξD 叫标准差，反映了ξ的离散程度.定义4设随机变量X 的数学期望)(X E 存在，若]))([(2X E X E -存在，则称]))([(2X E X E -为随机变量X 的方差，记作)(X D ，即]))([()(2X E X E X D -=。

几何分布的特点

几何分布的特点几何分布是离散型概率分布的一种，描述了在进行一系列独立的伯努利试验中，直到第一次成功出现的次数。

它的主要特点有以下几个方面：1.无记忆性：几何分布的最显著特点是其无记忆性质。

无论前面进行了多少次试验，下一次试验成功的概率始终保持不变。

这意味着几何分布的每次试验都是相互独立的，之前的试验结果不会影响到后续试验的结果。

这个特点在实际问题中有着广泛的应用，比如在队伍中等待一个人到来的时间，每个人的到达时间是独立的，不会因为前面已经等待了很久而影响后面的等待时间。

2.成功概率固定：几何分布的另一个特点是成功概率固定不变。

在几何分布中，每次试验成功的概率都是固定的，记作p。

这个概率可以代表某一事件发生的概率，比如投掷一枚硬币出现正面的概率。

在进行每次试验时，成功的概率都是独立且固定的。

3.期望和方差：几何分布的期望和方差可以通过成功概率计算得出。

期望是指在一系列试验中，获得第一次成功所需要的平均次数。

对于几何分布来说，期望值E(X)等于1/p。

方差是对试验结果的离散程度的度量，对于几何分布来说，方差等于(1-p)/p^2。

4.可以用于描述稀有事件：几何分布在实际问题中常用于描述出现稀有事件的概率。

比如，在一个足球比赛中，某支球队进球的概率很低，那么我们可以使用几何分布来计算该球队在第几次射门后才能进球的概率。

几何分布可以很好地描述这种稀有事件的发生概率。

5.概率递减：几何分布的概率随着试验次数的增加而递减。

每次试验成功的概率是固定的，但是每次试验失败的概率是递减的。

这是因为每次试验失败后，下一次试验成功的概率都会增加，直到成功为止。

这个特点在实际问题中可以用来计算某一事件在经过多次试验后仍然没有发生的概率。

以上是几何分布的一些特点，它们使得几何分布在实际问题中有着广泛的应用。

几何分布能够描述独立试验中首次成功出现的次数，具有无记忆性、固定成功概率、期望和方差可计算、适用于稀有事件等特点。

通过对几何分布的研究和应用，我们可以更好地理解和解决实际问题，提高决策的准确性和效率。

二项分布,超几何分布数学期望与方差公式的推导

二项分布,超几何分布数学期望与方差公式的推导二项分布、超几何分布是统计学中常见的概率分布，它们的期望、方差均具有重要的数学意义。

在本文中，我们将就二项分布、超几何分布的期望与方差分别建立数学模型，并通过推导求出其公式，帮助大家来理解二项分布、超几何分布的期望与方差之间的关系。

一、二项分布的期望二项分布的期望[X]是指在概率观测中，把观测值X的概率求和后，得到的数值。

记二项分布的观测概率为P(X=x)，那么二项分布的期望可以表示为：[X] =xP(X=x)其中，x是观察值，P(X=x)是观察值x的概率。

根据二项分布的概率计算公式，可以推导出二项分布的期望公式为：[X] = np其中，n是实验次数，p是实验成功的概率。

二、二项分布的方差二项分布的方差[X]是指在概率观测中，观测值X的方差。

二项分布的方差可以表示为：[X] =(x-[X])2P(X=x)其中，x是观察值，P(X=x)是观察值x的概率，[X]是二项分布的期望。

根据二项分布的概率计算公式，可以推导出二项分布的方差公式为：[X] = np(1-p)其中，n是实验次数，p是实验成功的概率。

三、超几何分布的期望超几何分布的期望[X]是指在超几何分布中，把观测值X的概率求和后，得到的数值。

记超几何分布的观测概率为P(X=x)，那么超几何分布的期望可以表示为：[X] =xP(X=x)其中，x是观察值，P(X=x)是观察值x的概率。

根据超几何分布的概率计算公式，可以推导出超几何分布的期望公式为：[X] = nq/p其中，n是总的实验次数，q是第一次实验的概率，p是实验成功的概率。

四、超几何分布的方差超几何分布的方差[X]是指在概率观测中，观测值X的方差。

超几何分布的方差可以表示为：[X] =(x-[X])2P(X=x)其中，x是观察值，P(X=x)是观察值x的概率，[X]是超几何分布的期望。

根据超几何分布的概率计算公式，可以推导出超几何分布的方差公式为：[X] = nqp(1-p)其中，n是总的实验次数，q是第一次实验的概率，p是实验成功的概率。

超几何分布的数学期望和方差的算法

超几何分布的数学期望和方差的算法
超几何分布期望值的简单公式法，E(X)=(n*M)/N，［其中x是指定样品数，n为样品容量，M为指定样品总数，N为总体中的个体总数］，可以直接求出均值。

方差有两种算法：V(X)=(X1-a)^2*P1+(x2-a)^2*P2+...+(Xn-a)*Pn。

另一种是V(X)=X1^2*P1+X2^2*P2+...Xn^2*Pn-a^2。

超几何分布简介：
超几何分布是统计学上一种离散概率分布。

它描述了从有限N个物件（其中包含M个指定种类的物件）中抽出n个物件，成功抽出该指定种类的物件的次数（不放回）。

称为超几何分布，是因为其形式与“超几何函数”的级数展式的系数有关。

超几何分布中的参数是M,N,n，上述超几何分布记作X~H(n,M,N)。

几何分布的定义以及期望与方差的证明

几何分布的定义以及期望与方差的证明几何分布的定义以及期望与方差分布。

其中一种定义为：在n次伯努利试验中，试验k次才得到第一次成功的机率。

详细的说，是：前k-1次皆失败，第k次成功的概率。

公式：它分两种情况：1. 得到1次成功而进行，n次伯努利实验，n的概率分布，取值范围为『1，2，3，...』;2. m = n-1次失败，第n次成功，m的概率分布，取值范围为『0，1，2，3，...』.由两种不同情况而得出的期望和方差如下：高中数学教科书新版第三册（选修II ）比原来的修订本新增加随机变量的几何分布，但书中只给出了结论：（1），（2），而未加以证明。

本文给出证明，并用于解题。

（1）由，知下面用倍差法（也称为错位相减法）求上式括E p ξ=1D p p ξ=-12P k q p k ()ξ==-1E p pq q p kq p q q kq pk k ξ=++++=+++++--231232121 ()号内的值。

记两式相减，得由，知，则，故从而也可用无穷等比数列各项和公式（见教科书91页阅读材料），推导如下：记相减，S q q kq k k =++++-12321qS q q k q kq k k k=+++-+-2121 ()()1121-=++++--q S q q q kq k k k S q q kq q k k k=----1112()01<<p 01<<q lim k k q →∞=01231112122+++++==-=-→∞p q kq S q p k k k lim ()E pξ=1S a q q =-<111(||)S q q kq k =+++++-12321qS q q k q k =+++-+-2121()()111121-=+++++=--q S q q q qk则还可用导数公式，推导如下：上式中令，则得（2）为简化运算，利用性质来推导（该性质的证明，可见本刊6页）。

二项分布,超几何分布数学期望与方差公式的推导

二项分布,超几何分布数学期望与方差公式的推导在概率论和数理统计中，二项分布和超几何分布是重要的概率分布，它们的数学期望与方差可以用一定的公式来表示，并可以通过推导来算出。

本文从实际问题出发，详细介绍了二项分布和超几何分布数学期望与方差公式的推导过程。

一、二项分布1.1义在概率论中，“二项分布”又称为“伯努利分布”，是指在若干次独立重复实验中，只有两种结果：实验成功和实验失败之间的概率分布。

1.2学期望与方差公式假设在每次实验中，实验成功的概率为$p$，共进行$n$次实验，则二项分布的概率函数为：$$P(X=x)=C_{n}^{x}p^{x}(1-p)^{n-x}$$其中，$x$为实验成功的次数，$C_{n}^{x}$为$n$个不同元素中取$x$个的组合数，即$$C_{n}^{x}=frac{n!}{x!(n-x)!}$$数学期望和方差用如下公式表示：$$E(X)=np$$$$D(X)=np(1-p)$$二、超几何分布2.1义超几何分布也称为超几何试验、超几何抽样或者超几何实验，可用于描述一种只有限数量的可能事件的抽样模型，其中，采用的方法是在一大堆里随机的抽取一定数量的元素。

超几何分布用参数$n$、$N$和$p$来描述，它的概率分布为：$$P(X=x)=C_{N}^{x}C_{n}^{x}p^{x}(1-p)^{N-x}$$ 其中，$x$为抽取到实验成功的次数，$N$为堆里元素的总数量，$p$为实验成功的概率，$n$为抽取的总次数。

2.2学期望与方差公式数学期望和方差用如下公式表示：$$E(X)=np$$$$D(X)=frac{n(N-n)p(1-p)}{N-1}$$三、推导3.1导期望根据定义可得：$$E(X)=sum_{x=0}^{n}xP(X=x) $$二项分布的推导：$$E(X)=sum_{x=0}^{n}xC_{n}^{x}p^{x}(1-p)^{n-x}$$$$E(X)=npsum_{x=0}^{n}C_{n}^{x}p^{x-1}(1-p)^{n-x}$$ 由于$C_{n}^{x}$是以$x$为底的等比数列，有：$$sum_{x=0}^{n}C_{n}^{x}p^{x-1}(1-p)^{n-x}=frac{1-(1-p)^{n} }{p}=frac{1-q^{n}}{p}=1$$所以：$$E(X)=np $$超几何分布的推导：$$E(X)=sum_{x=0}^{n}xC_{N}^{x}C_{n}^{x}p^{x}(1-p)^{N-x}$$$$E(X)=npsum_{x=0}^{n}C_{N}^{x}C_{n}^{x}p^{x-1}(1-p)^{N-x}$ $由于$C_{n}^{x}$是以$x$为底的等比数列，有：$$sum_{x=0}^{n}C_{N}^{x}C_{n}^{x}p^{x-1}(1-p)^{N-x}=frac{1-(1-p)^{N}}{p}=frac{1-q^N}{p}=frac{Np-(N-n)p}{p}=N-n+1$$ 所以：$$E(X)=np(N-n+1) $$3.2导方差根据定义可得：$$D(X)=E(X^{2})-E(X)^2$$二项分布的推导：$$D(X)=E(X^{2})-E(X)^2$$$$D(X)=sum_{x=0}^{n}x^2C_{n}^{x}p^{x}(1-p)^{n-x}-np^2$$ 由于$C_{n}^{x}$是以$x$为底的等比数列，有：$$sum_{x=0}^{n}x^2C_{n}^{x}p^{x}(1-p)^{n-x}=npsum_{x=0}^{n} xC_{n}^{x}p^{x-1}(1-p)^{n-x}=np^2frac{1-(1-p)^{n}}{p}=np^2f rac{1-q^{n}}{p}=np^2$$所以：$$D(X)=np(1-p) $$超几何分布的推导：$$D(X)=E(X^{2})-E(X)^2$$$$D(X)=sum_{x=0}^{n}x^2C_{N}^{x}C_{n}^{x}p^{x}(1-p)^{N-x}-n p^2(N-n+1)^2$$由于$C_{n}^{x}$是以$x$为底的等比数列，有：$$sum_{x=0}^{n}x^2C_{N}^{x}C_{n}^{x}p^{x}(1-p)^{N-x}=np(N-n +1)sum_{x=0}^{n}xC_{N}^{x}C_{n}^{x}p^{x-1}(1-p)^{N-x}$$$$=np(N-n+1)^2frac{1-(1-p)^{N}}{p}=np(N-n+1)^2frac{1-q^N}{p }=np(N-n+1)^2frac{Np-(N-n)p}{p}$$$$=np(N-n+1)^2frac{N-n}{p}=np[N(N-n+1)-n(N-n+1)]$$ 所以：$$D(X)=frac{n(N-n)p(1-p)}{N-1} $$四、总结从上文可以看出，二项分布和超几何分布的数学期望与方差公式都有具体的推导过程，数学期望与方差之间也有一定的关系。

几何分布的方差

几何分布的方差几何分布是一种经典的概率分布，它是用来描述不断重复的独立随机试验结果的概率模型，并且它可以用来预测某种行为的后续次数。

它的形状是一组在一起的正多边形，它的形状式定义的，它的定义是：根据随机试验的结果计算未来结果的概率。

几何分布有一个重要的参数是方差，它可以帮助我们来预测将来发生的事件的概率，以及预测事件发生的可能性。

本文将介绍几何分布的方差，影响其变化的因素以及如何利用它来预测一个事件发生的概率。

几何分布的方差是指每次独立随机试验的结果可能产生不同的变化。

它受两个主要因素的影响：一是均值的大小，二是试验次数的多少。

均值是指每次试验发生的期望结果；试验次数是指每次试验发生的期望结果的次数。

当均值较小，而试验次数也较少时，则可能产生较小的方差；反之，当均值较大，而试验次数较多时，则可能产生较大的方差。

当均值和试验次数的大小较小时，几何分布的方差也很小；反之，如果均值和试验次数较大，则几何分布的方差也较大。

几何分布的方差用来描述一个事件的概率。

它的变化可以用来描述某个行为的可能性。

例如，我们可以使用几何分布的方差来预测一个抽奖活动的概率。

假设这次抽奖活动有20个奖项，其中10个人将获得一份奖品。

如果这10个人是随机选出，则每个人获奖的概率为1/20，即1/2，那么这次抽奖活动有1/2的概率会有10个人获奖。

因此，几何分布的方差可用来衡量一个事件发生的可能性，从而帮助我们预测某一个行为发生的概率。

几何分布的方差是一个重要的参数，它与均值和试验次数有关，它可以用来衡量一个事件发生的可能性，并帮助我们预测某一行为发生的概率。

因此，当我们希望预测一个事件的发生概率时，应该考虑几何分布的方差。

超几何分布的期望和方差-资料类

超几何分布的期望和方差－资料类关键信息项：1、超几何分布的定义及适用场景2、超几何分布期望的计算公式及推导过程3、超几何分布方差的计算公式及推导过程4、超几何分布期望和方差的性质5、超几何分布期望和方差在实际问题中的应用案例6、资料的使用权限和限制7、资料的更新和维护方式11 超几何分布的定义超几何分布是统计学上一种离散概率分布。

它描述了从有限 N 个物件（其中包含 M 个指定种类的物件）中抽出 n 个物件，成功抽出该指定种类的物件的数量 X 的概率分布。

111 适用场景常用于不放回抽样的情况，例如从一批产品中随机抽取一定数量的产品，检验其中的合格品数量；从一群学生中随机抽取一定数量的学生，统计其中具有某种特征的学生数量等。

12 超几何分布期望的计算公式及推导过程超几何分布的期望公式为：E(X) ＝ n M ／ N 。

推导过程如下：设随机变量 X 表示从 N 个物件中抽出 n 个物件中指定种类物件的数量。

则 X 的取值为 0, 1, 2,， min(n, M) 。

对于 X ＝ k 的概率为：P(X ＝ k) ＝ C(M, k) C(N M, n k) ／ C(N, n) 。

期望 E(X) ＝Σ k P(X ＝ k) ，经过一系列的数学运算和组合数的性质，可推导出 E(X) ＝ n M ／ N 。

121 示例说明假设一批产品共有 100 件，其中合格品有 80 件。

现从中随机抽取20 件，那么抽取到合格品的数量 X 的期望为：E(X) ＝ 20 80 ／ 100 ＝16 。

13 超几何分布方差的计算公式及推导过程超几何分布的方差公式为：Var(X) ＝ n M ／ N （1 M ／ N) （N n) ／（N 1) 。

推导过程较为复杂，需要运用到组合数的性质和数学期望的性质。

131 示例说明沿用上述产品抽样的例子，方差 Var(X) ＝ 20 80 ／ 100 （1 80 ／100) （100 20) ／（100 1) 。

几何分布的概率密度函数

几何分布的概率密度函数引言几何分布是概率论中一种重要的离散随机变量分布，描述了在进行一系列独立的伯努利试验中，第一次成功所需的试验次数。

在概率密度函数中，我们将研究几何分布的概率密度函数的特点、计算方法以及应用场景。

几何分布的概率密度函数定义几何分布是一种描述离散概率的随机变量分布，其概率密度函数定义如下：P(X=k)=(1−p)k−1⋅p其中，k表示第一次成功所需的试验次数，p表示每次试验成功的概率。

几何分布的性质几何分布具有以下性质：1.概率的非负性：几何分布的概率值均为非负数，概率密度函数满足0≤P(X=k)≤1。

2.概率的归一性：几何分布所有可能结果的概率总和为1，即$ _{k=1}^P(X=k) = 1$。

3.几何分布的期望：几何分布的期望值为E(X)=1。

p4.几何分布的方差：几何分布的方差为Var(X)=1−p。

p2计算几何分布的概率要计算几何分布的概率，可以使用概率密度函数公式，也可以利用累积概率函数。

下面将介绍这两种计算方法。

计算概率密度函数使用概率密度函数公式可以计算特定试验次数的概率。

例如要计算第5次试验成功的概率，可以使用以下公式：P(X=5)=(1−p)5−1⋅p其中，p是每次试验成功的概率。

计算累积概率函数累积概率函数表示随机变量的取值小于等于某个给定值的概率。

要计算几何分布的累积概率函数，可以使用以下公式：P(X≤k)=1−(1−p)k其中，k是试验次数。

通过例子理解计算方法为了更好地理解计算方法，我们举一个例子来计算几何分布的概率。

假设某人独立地进行射击练习，每次命中目标的概率为0.2。

现在我们想计算他第一次命中的概率。

根据几何分布的概率密度函数公式可知，我们需要计算P(X=1)，其中p=0.2。

P(X=1)=(1−0.2)1−1⋅0.2=0.2因此，他第一次命中的概率为0.2。

几何分布的应用场景几何分布在实际问题中有着广泛的应用。

以下是几个典型的应用场景：1.故障排除问题：在排除故障时，通常需要多次尝试才能找到问题的根本原因。

期望-方差公式-方差和期望公式

资料范本本资料为word版本，可以直接编辑和打印，感谢您的下载期望-方差公式-方差和期望公式地点：__________________时间：__________________说明：本资料适用于约定双方经过谈判，协商而共同承认，共同遵守的责任与义务，仅供参考，文档可直接下载或修改，不需要的部分可直接删除，使用时请详细阅读内容期望与方差的相关公式-、数学期望的来由早在17世纪，有一个赌徒向法国著名数学家帕斯卡挑战，给他出了一道题目，题目是这样的：甲乙两个人赌博，他们两人获胜的机率相等，比赛规则是先胜三局者为赢家，赢家可以获得100法郎的奖励。

因此由此引出了甲的期望所得值为100*3/4=75法郎，乙的期望所得值为25法郎。

这个故事里出现了“期望”这个词，数学期望由此而来。

定义1 若离散型随机变量可能取值为（=1，2，3 ，…），其分布列为（=1，2，3，…），则当<时，则称存在数学期望，并且数学期望为E=，如果=，则数学期望不存在。

定义2 期望：若离散型随机变量ξ，当ξ=xi的概率为P（ξ=xi）=Pi （i=1，2，…，n，…），则称Eξ=∑xi pi为ξ的数学期望，反映了ξ的平均值.期望是算术平均值概念的推广，是概率意义下的平均.Eξ由ξ的分布列唯一确定.二、数学期望的性质（1）设C是常数，则E(C)=C 。

（2）若k是常数，则E(kX)=kE(X)。

（3）。

方差的定义前面我们介绍了随机变量的数学期望，它体现了随机变量取值的平均水平，是随机变量一个重要的数字特征。

但是在一些场合下，仅仅知道随机变量取值的平均值是不够的，还需要知道随机变量取值在其平均值附近的离散程度，这就是方差的概念。

几何分布的期望与方差总结

S k 1 2q 3q 2 kq k 1
2
qS k q 2q 2 ( k 1)q k 1 kq k
k 1
两式相减，得 (1 q ) S k 1 q q q
kq k
Sk
1 qk kq k k , 由 0 p 1 ，知 0 q 1 ，则 lim q 0 ，故 2 k 1 q (1 q ) 1 1 2 2 (1 q ) p
上式中令 x q ，则得 1 2q 3q kq
2
k 1

1 1 2 2 (1 q ) p
2
（2）为简化运算，利用性质 D E ( E ) 来推导,可见关键是求 E 。
2 2
E 2 p 2 2 qp 32 q 2 p k 2 q k 1 p p(1 2 2 q 32 q 2 k 2 q k 1 )
记sk1??2q?3q2???kqk?1qskq??2q2???k?1qk?1?kqk两式相减得1?qsk1??q?q2???qk?1?kqk1?qkkqkksk2?由0?p?1知0?q?1则limq0故1?q1?qk??2k?1111?2p?3q???kq??limsk22k??1?qp1从而e?pa11也可用无穷等比数列各项和公式sq?推导如下
对于上式括号中的式子，利用导数，关于 q 求导： k q
2
k 1
( kq k )' ，并用倍差法求和，有
1 2 2 q 32 q 2 k 2 q k 1 (q 2q 2 3q 3 kq k )'
(1 q ) 2 2(1 q )q 1 q 2 1 q 2 p q ]n [ 3 2 4 4 3 (1 q ) (1 q ) (1 q ) (1 q ) p

几何分布的定义以及期望与方差的证明

精心整理几何分布的定义以及期望与方差几何分布（Geometricdistribution ）是离散型概率分布。

其中一种定义为：在n 次伯努利试验中，试验k 次才得到第一次成功的机率。

详细的说，是：前k-1次皆失败，高中数学教科书新版第三册（选修II ）比原来的修订本新增加随机变量的几何分布，但书中只给出了结论：（1）E pξ=1，（2）D p p ξ=-12，而未加以证明。

本文给出证明，并用于解题。

（1）由P k q p k ()ξ==-1，知下面用倍差法（也称为错位相减法）求上式括号内的值。

记两式相减，得k （2）为简化运算，利用性质D E E ξξξ=-22()来推导（该性质的证明，可见本刊6页）。

可见关键是求E ξ2。

例1.一个口袋内装有5个白球和2个黑球，现从中每次摸取一个球，取出黑球就放回，取出白球则停止摸球。

求取球次数ξ的数学期望E ξ与方差D ξ。

1，2，3因此k ＝10ξ用倍差法，可求得所以E p pp p p p p p ξ=----+-=--[()()()()119110111929910说明：本例的试验是有限次的，并且P p ()()ξ==-1019，不符合几何分布的概率特征，因而随机变量ξ不服从几何分布，也就不能套用几何分布的相关公式。

但求解过程可参照相关公式的推导方法。