北京市东城区普通高中示范校2014届高三12月教学质量调研数学文

北京市东城区普通高中示范校2014届高三12月教学质量调研
数学试卷（文科）
本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共150分。

考试时长120分钟。

第Ⅰ卷（选择题 共40分）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 已知集合{1,0,1,2}=-A ，集合{0,2,4,6}=B ，则集合A ∩B ＝ A. {1，2，4}
B. {2，4}
C. {0，2}
D. {－1，0，1，2，4，6}
2. 若向量a ＝（1，2），b ＝（2，1），c ＝（－5，－1），则c ＋a －2b ＝ A. （－8，－1） B. （8，1） C. （0，3） D. （0，－3）
3. 抛物线2
4=y x 的焦点坐标为 A. （0，2）
B. （2，0）
C. （0，1）
D. （1，0）
4. 下列命题：①2,∀∈≥x R x x ；②2,∃∈≥x R x x ；③43≥；④“2
1≠x ”的充要条件是“1≠x 且1≠-x ”中，其中正确命题的个数是
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
5. 已知4,0,cos()25⎛⎫
∈--=- ⎪⎝⎭
x x ππ，则tan 2=x
A.
7
24
B. 724
-
C.
247
D. 247
-
6. 如图，是一个简单空间几何体的三视图，其主视图与左视图都是边长为2的正三角形，俯视图轮廓为正方形，则其全面积是
A. 12
B. 443+
C.
43
3
D.
83
7. 函数()ln |1|=-f x x 的图象大致是
8. 在圆2250+-=x y y 内，过点35(,)22
作n 条弦()+∈n N ，它们的长构成等差数列{}n a ，若1a 为过该点最短的弦，n a 为过该点最长的弦，且公差11(,)53
∈d ，则n 的值为
A. 4
B. 5
C. 6
D. 7
第Ⅱ卷（非选择题 共110分）
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

9. 若曲线3=+y x ax 在原点处的切线方程是20-=x y ，则实数a ＝__________。

10. 已知{}n a 是等比数列，251
2,4
==
a a ，则公比q ＝_________。

11. 已知x 、y 满足约束条件0,1,1,-≥⎧⎪
+≤⎨⎪≥-⎩
x y x y y 则2=+z x y 的最小值为_________。

12. 某算法的程序框如图所示，则输出量y 与输入量x 满足的关系是_________。

13. 在△ABC 中，∠A ＝
3
π
，BC ＝3，6=AB ，则∠B ＝_________。

14. 函数2,0,()4cos ,0,2
⎧<⎪
=⎨≤<⎪⎩x x f x x x π则不等式()2>f x 的解集是_________。

三、解答题：本大题共6小题，共计80分，解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤。

15. （本题满分12分）
设函数()2sin cos cos(2)6
=--f x x x x π。

（Ⅰ）设函数()f x 的最小正周期； （Ⅱ）当2[0,]3
∈x π
时，求函数()f x 的最大值及取得最大值时的x 的值。

16. （本小题满分14分）
如图，矩形ABCD 中，AD ⊥平面ABE ，2===AE EB BC ，F 为CE 上的点，且BF ⊥平面ACE 。

（Ⅰ）求证：AE ⊥平面BCE ； （Ⅱ）求证：AE ∥平面BFD ； （Ⅲ）求三棱锥-C BGF 的体积。

17. （本小题共12分）
关于x 的方程2
2
2
(1)|1|0---+=x x k 。

（Ⅰ）当0=k 时，写出方程的所有实数解；
（Ⅱ）求实数k 的范围，使得方程恰有8个不同的实数解。

18. （本小题共14分）
已知函数()ln 1,=-+∈f x x ax a R 是常数。

（Ⅰ）求函数()=y f x 的图象在点(1,(1))P f 处的切线l 的方程； （Ⅱ）证明：函数()(1)=≠y f x x 的图象在直线l 的下方； （Ⅲ）若函数()=y f x 有零点，求实数a 的取值范围。

19. （本题满分14分）
已知椭圆22
21:1(0)+=>>x y M a b a b
的左右焦点分别为12(2,0),(2,0)-F F 。

在椭圆M 中有一内接三角形ABC ，其顶点C 的坐标为(3,1)，AB 所在直线的斜率为
3
3。

（Ⅰ）求椭圆M 的方程；
（Ⅱ）当△ABC 的面积最大时，求直线AB 的方程。

20. （本题满分14分）
已知数列{}n a 是等差数列，256,18==a a ；数列{}n b 的前n 项和是n T ，且1
12
+=n n T b 。

（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）求证：数列{}n b 是等比数列；
（Ⅲ）记=⋅n n n c a b ，求{}n c 的前n 项和n S 。

参考答案
一、选择题： 1. C
2. A
3. D
4. D
5. D
6. A
7. B
8. B
二、填空题： 9. 2
10.
1
2
11. －3
12. 2,12,1
⎧≤=⎨->⎩x x y x x 13. 75° 14. (,2)-∞-∪0,3⎡⎫
⎪⎢⎣⎭π
三、解答题： 15. （共12分）
（Ⅰ）因为()2sin cos cos(2)6
=--
f x x x x π
sin 2(cos 2cos
sin 2sin )66
=-+x x x π
π
13
sin 2cos 222=-x x
4分
sin(2)3
=-x π
，
6分
所以()sin(2)3
=-
f x x π。

函数()f x 的最小正周期为π。

7分
（Ⅱ）因为2[0,
]3∈x π，所以2,33⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦
x πππ。

所以，当23
2
-
=
x π
π
，即512
=
x π
时 10分 函数()f x 的最大值为1。

12分
16. （共14分）
（Ⅰ）证明：∵AD ⊥平面ABE ，AD ∥BC ， ∴BC ⊥平面ABE ，则AE ⊥BC ， 又∵BF ⊥平面ACE ，则AE ⊥BF ， ∴AE ⊥平面BCE 。

4分
（Ⅱ）证明：依题意可知：G 是AC 中点， ∵BF ⊥平面ACE ，则CE ⊥BF ，而BC ＝BE ， ∴F 是EC 中点，
6分
在△AEC 中，FG ∥AE ， ∴AE ∥平面BFD 。

8分
（Ⅲ）解：∵AE ∥平面BFD ， ∴AE ∥FG ，而AE ⊥平面BCE ， ∴FG ⊥平面BCE ，∴FG ⊥平面BCF ， 10分
∵G 是AC 的中点，
∴F 是CE 的中点，∴FG ∥AE 且1
12
==FG AE ， ∵BF ⊥平面ACE ，∴BF ⊥CE 。

∴在Rt △BCE 中，1
22
==
=BF CF CE ， 1
2212
∆∴=
⋅⋅=CFB S ，
12分
11
33
--∆∴==⋅⋅=C BFG G BCF CFB V V S FG 。

14分
17. （共12分）
（Ⅰ）据题意可令2
|1|(0)-=≥x t t ①， 则方程化为2
0-+=t t k ②，
0=k 时0=t 或1=t
1,2,0=±=±=x x x
6分
（Ⅱ）当方程②有两个不等正根时，
12
12
0,
00,
∆>⎧⎪
+>⎨⎪>⎩t t t t ，得104<<k 9分
此时方程②有两个根且均小于1大于0，
故相应的满足方程的解有8个，即原方程的解有8个， 所以104
<<
k 。

12分
18. （共14分） （Ⅰ）1
()'=
-f x a x
， 2分
(1)1,(1)1'=-+==-l f a k f a ，所以切线l 的方程为 (1)(1)-=-l y f k x ，即(1)=-y a x 。

4分
（Ⅱ）令()()(1)ln 1,0=--=-+>F x f x a x x x x 则
11
()1(1)'=
-=-F x x x x
，解()0'=F x 得1=x 。

x
（0，1） 1 (1,)+∞
()'F x ＋ 0 － ()F x
↗
最大值
↘
(1)0=F ，所以0∀>x 且1,()0,()(1)≠<<-x F x f x a x ，
即函数()(1)=≠y f x x 的图象在直线l 的下方。

9分 （Ⅲ）()=y f x 有零点，即()ln 10=-+=f x x ax 有解，ln 1
+=x a x。

令22
ln 1ln 11(ln 1)ln (),()()++-+''=
===-x x x x
g x g x x x x x ， 解()0'=g x 得1=x 。

12分
则()g x 在（0，1）上单调递增，在(1,)+∞上单调递减， 当1=x 时，()g x 的最大值为(1)1=g ， 所以1≤a 。

14分
19. （共14分）
（Ⅰ）由椭圆的定义知222(23)1(23)1=
--++-+a 。

解得2
6=a ，所以2
2
2
2=-=b a c 。

所以椭圆M 的方程为22
162
+=x y 。

5分
（Ⅱ）由题意设直线AB 的方程为3
3
=
+y x m ， 由22
1,623,3⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩
x y y x m 得22223360++-=x mx m 。

7分
因为直线AB 与椭圆M 交于不同的两点A ，B ，且点C 不在直线AB 上，
所以221224(2)0,3
13.3⎧∆=-->⎪⎨≠⋅+⎪⎩
m m m 解得22-<<m ，且0≠m 。

9分
设A ，B 两点的坐标分别为1122(,),(,)x y x y ，
则2121211223633
3,,,233
-+=-==+=+m x x m x x y x m y x m 。

所以2
2
22212112124
||()()[()4]243
=-+-=
+-=-AB x x y y x x x x m 。

点(3,1)C 到直线33=
+y x m 的距离3||
2
=
m d 。

11分
于是△ABC 的面积222
133(4)||||432222
+-=⋅=⋅-≤⋅=m m S AB d m m ，
当且仅当2||4=
-m m ，即2=±m 时“＝”成立。

所以2=±m 时△ABC 的面积最大，此时直线AB 的方程为3
23
=±y x 。

即为360-±=x y 。

14分
20. （共14分）
（Ⅰ）设{}n a 的公差为d ，则：2151,4=+=+a a d a a d ，
125116,
6,18,2, 4.418,a d a a a d a d +=⎧==∴∴==⎨+=⎩
2分 24(1)42n a n n ∴=+-=-。

4分
（Ⅱ）当1n =时，11b T =，由11112T b +=，得12
3
b =。

5分 当2n ≥时，1111
1,122
n n n n T b T b --∴=-
=-， 111()2n n n n T T b b --∴-=
-，即11
()2
n n n b b b -=-。

7分
11
3
n n b b -∴=。

8分
{}n b ∴是以2
3
为首项，13为公比的等比数列。

（Ⅲ）由（Ⅱ）可知：1211
()2()333
n n n b -=
⋅=⋅。

10分
11
(42)2()(84)()33
n n n n n c a b n n ∴=⋅=-⋅⋅=-⋅。

11分
121n n n S c c c c -∴=++++
2111
11
4()12()(812)()(84)()33
33
n n n n -=⨯+⨯+
+-⨯+-⨯。

23111111
4()12()(812)()(84)()333
33
n n n S n n +∴=⨯+⨯++-⨯+-⨯。

231121111148()8()8()(84)()33333
33
n n n n n S S S n +∴-==⨯+⨯+⨯+
+⨯--⨯
21111()[1()]41338(84)()13313
n n n -+⋅-=+⨯--⨯-
1811
4()(84)()333n n n +=-⨯--⨯。

1
44(1)()3
n n S n ∴=-+⋅。

14分。