山东师范大学高等代数与解析几何2018到2010,2008到2007十一套考研真题
成人教育高等代数复习题及参考答案
山东师范大学成人高等教育《高等代数》课程
复习题A
参考答案在试卷后
一、单项选择题（每小题 2 分，共 12 分）
1. 欧氏空间V 的基12,,,n εεεL
为标准正交基当且仅当它的度量矩阵为 ( ).
(A) 正定矩阵 (B) 正交矩阵
(C) 单位矩阵 (D) 对称矩阵
2．设A 是数域P 上n 维线性空间V 的线性变换，则A 在某 组基下的矩阵可为对角形的充要条件是( ).
(A) A 有n 个不同的特征向量
(B) A 的特征多项式在复数域中无重根
(C) A 的特征多项式在P 中无重根
(D) A 有n 个线性无关的特征向量
3．设A ,B 均为n n ⨯数字矩阵. 下面四个条件之一与其余三个均不等价的是( ).
(A) A 与B 相似
(B) A 与B 有相同的初等因子
(C) 存在正交阵T , 使1B T AT -=
(D) E A E B λλ--与等价
4．设A 是数域P 上n 维线性空间V 的线性变换, A 关于两组基的矩阵分别是,A B ,则下列结论不成立的是。
山东师范大学825信号与线性系统分析2007--2018年考研真题试卷
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成人教育高等几何复习题及参考答案
山东师范大学成人高等教育《高等几何》课程复习题A参考答案在试卷后一、 填空题（每小题 2 分，共 20 分）1、平行四边形的仿射对应图形为： ；2、直线0521=+x x 上无穷远点坐标为： ;3、已知3),(4321=l l l l ,则=),(1234l l l l =),(4231l l l l4、过点A(1,i - ,2)的实直线的齐次方程为：5、方程065222121=+-u u u u 表示的图形坐标 6、已知OX 轴上的射影变换式为312'+-=x x x ，则原点的对应点 7、求点)0,1,1(-关于二阶曲线054753323121232221=+++++x x x x x x x x x 的极线方程 8、两个线束点列成透视的充要条件是 .9、直线02321=+-x x x 上的三点)1,3,1(A ，)1,5,2(B ，)0,2,1(C 的单比)(ABC =10. 两点决定一条直线的对偶命题为二、判断题（每小题2分，共10分）1、两全等三角形经仿射对应后得两全等三角形 （ ）2、射影对应保持交比不变，也保持单比不变 （ ）3、一个角的内外角平分线调和分离角的两边 （ ）4、欧氏几何是射影几何的子几何，所以对应内容是射影几何对应内容的子集 （ ）5、共线点的极线必共点，共点线的极点必共线 （ ）三、解答题（共50 分）1. 求一仿射变换，它使直线210x y +-=上的每个点都不变，且使点（1,-1）变为（-1，2）(7分)2. 求证:点 (1,2,1),(1,1,2),(3,0,5)A B C --三点共线，并求,t s ，使,(1,2,3)i i i c ta sb i =+=（8分）3. 求通过两直线[1,3,1],[1,5,1]a b -交点且属于二级曲线 222123420u u u +-=的直线。
（10分）4.（1）求点（5，1，7）关于二阶曲线222123121323236240x x x x x x x x x ++---=的极线（2）已知二阶曲线外一点P 求作其极线。
山东师范大学21年下半年高等代数考试题
一.单项选择题答题要求：1.A.B.C.两个子空间的并还是子空间D.两个维数相同的有限维空间同构.参考答案：C2.A.B.C.D.参考答案：B3.A.B.C.D.参考答案：C 4.A.B.C.D.0参考答案：C 5.A.B.C.D.参考答案：C 6.A.B.C.D.参考答案：D7.A.0B.1C.2D.3参考答案：C8.A.B.C.D.参考答案：B 9.A.B.C.D.参考答案：A 10.A.正定矩阵B.正交矩阵C.单位矩阵D.对称矩阵参考答案：C11.A.正定二次型B.半正定二次型C.半负定二次型D.不定二次型参考答案：A12.A.B.C.D.参考答案：B13.A.B.C.D.参考答案：C 14.A.B.C.D.参考答案：D15.A.A为对称矩阵B.P为实数域C.A 有n个线性无关的特征向量D.A是正交矩阵参考答案：C16.A.B.C.D.参考答案：C17.A.B.C.D.参考答案：D 18.A.B.C.D.参考答案：A 19.A.单位矩阵B.正定矩阵C.零矩阵D.对角矩阵参考答案：D20.A.B.C.D.参考答案：A21.同一线性变换在不同基下的矩阵( ).A.相等B.合同C.等价D.相似参考答案：D22.A.1B.2C.3D.不确定参考答案：C23.A.B.C.D.参考答案：D24.A.B.C.D.参考答案：A25.对于线性变换，下列叙述正确的是 ( ).A.线性变换把线性无关的向量组变成线性无关的向量组B. 若两个线性变换的乘积为零变换，则必有其中一个线性变换是零变换 C.线性变换把线性相关的向量组变成线性相关的向量组 D.以上都不对参考答案：C26.欧氏空间的度量矩阵为（）A.正定矩阵B.负定矩阵C.半正定矩阵D.半负定矩阵参考答案：A27.A.B.C.D.参考答案：A28.A.B.C.D.参考答案：D29.A.正定矩阵B.正交矩阵C.单位矩阵D.对称矩阵参考答案：C30.A.B.C.D.参考答案：C 31.A.B.C.D.参考答案：B 32.A.A是单射B.A的秩为nC.A是双射D.参考答案：D33.A.B.C.D.参考答案：C34.A.4B.C.D.8参考答案：C35.设数字矩阵A和B相似，则下列说法不正确的是（）A.矩阵A和B有相同的特征多项式B.矩阵A和B有相同的不变因子C.D.参考答案：C36.A.零矩阵B.负定矩阵C.单位矩阵D.参考答案：D37.A.1B.2C.5D.9参考答案：A38.下列论断正确的是( ).A.两两正交的向量组必线性无关B.C.由单个非零向量构成的向量组不是正交向量组D.参考答案：D39.A.B.C. 它的特征根一定是整数D.属于不同特征根的特征向量必定线性无关，但不一定正交参考答案：B40.A.B.C.D.参考答案：D二.多选题答题要求：41.(2分)正确错误参考答案：错误42.(2分)正确错误参考答案：错误43.(2分)相似的矩阵其特征值和特征向量相同.( ) 正确错误参考答案：错误44.(2分)正交变换的乘积仍是正交变换. ( ) 正确错误参考答案：正确45.(2分)正确错误参考答案：错误46.(2分)两个有限维欧氏空间同构的充要条件是它们的维数相同.( ) 正确错误参考答案：正确47.(2分)若两个矩阵相似，则它们的秩相等，反之亦然. ( ) 正确错误参考答案：错误48.(2分)n维线性空间的线性变换在某组基下的矩阵是对角阵的充分必要条件是它有n个不同的特征值. ( )正确错误参考答案：错误49.(2分)可以用非退化线性替换将任意二次型化为标准形，且标准形是唯一的. ( )正确错误参考答案：错误50.(2分)若维V=n,则V中任何n个线性无关的向量都是V的基..( ) 正确错误参考答案：正确51.(2分)正确错误参考答案：错误52.(2分)正确错误参考答案：错误53.(2分)保持向量的长度不变的变换一定保持向量的内积不变.( ) 正确错误参考答案：错误54.(2分)正确错误参考答案：正确55.(2分)若矩阵A,B正定，则AB也正定.( ) 正确错误参考答案：错误56.(2分)两个矩阵的秩相同，则它们必等价. ( )正确错误参考答案：错误57.(2分)正确错误参考答案：正确58.(2分)可逆的正交变换的逆变换仍是正交变换. ( ) 正确错误参考答案：正确59.(2分)任意一个线性变换都有特征根和特征向量。
(整理)数学分析(3)期末试题B答案
2.()Lx y ds +=⎰ 其中L 是以)1,0(),0,1(),0,0(B A O 为顶点的三角形 （ A ）A. 1+B. 1C.D. 03.()Ly x dy -=⎰.，其中L 为直线,AB(1,1),(2,2)A B （ D ）A. 1B. 2C.12D. 0 4 Syzdxdy =⎰⎰ ,其中S 是球面2221x y z ++=的上半部分并取外侧为正向。
( D )A. 2πB. πC. 1D. 05.Lydx xdy +=⎰. , 其中22:1L x y += （ A ）A. 0B. 1C. 2D. 3精品文档二、填空题：（本题共5小题, 每小题4分，共20分）1. 22()Dx y dxdy +=⎰⎰8π, 其中22:4D x y +≤ 2.Vxyzdxdydz =⎰⎰⎰8. 其中:02,0V x y z ≤≤≤≤≤≤3. 将(,)DI f x y d σ=⎰⎰ 化成先对x 后对y 的累次积分为24422(,)y y dy f x y dx +-⎰⎰其中D 由24,2y x y x =-=围成。
4. 设L 是半圆周,0,sin ,cos :π≤≤⎩⎨⎧==t t a y t a x L则第一型曲线积分()22Lxy ds +=⎰ π5. 格林公式建立了区域D 上二重积分与D 的边界曲线L的第二型曲线积分之间的联系。
设函数(,),(,)P x y Q x y 在闭区域D 上连续，且有一阶连续的偏导数，则格林公式可表示为LPdx Qdy +=⎰()DQ Pdxdy x y∂∂-∂∂⎰⎰。
(本题共2小题，每题10分, 共20分）1．计算DI dxdy =⎰⎰，其中D 由0,1x y y x ===及围成。
解：此三条直线的交点分别为(1,1)，(0,1)，(0,0)，所围区域如下图。
。
3分先对x 后对y 积分：11112yxI dy dx dx dy ===⎰⎰⎰⎰ 。
6分2. 计算xdxdydz Ω⎰⎰⎰，其中Ω 是三个坐标面与平面 x精品文档+ y + z =1所围成的区域解 画出区域 D ： 0101y x x ≤≤-≤≤ 。
山东师范大学21年下半年高等几何考试题
一.单项选择题答题要求：1.(2分)下列名称或者定理不属于仿射几何学的是A.三角形的垂心B.梯形C.在平面内三线共点的四条直线有六个交点D.椭圆参考答案：A2.(2分)矩形的仿射对应图形是：（）A.四边形B.平行四边形C.梯形D.圆参考答案：B3.(2分)圆以外的实的有心二次曲线有几个焦点？（）A.1B.2C.3D.4参考答案：D4.(2分)对于非恒等二维射影变换下列说法错误的是（）A.是非奇线性对应B.保持共线四点的交比不变C.不变直线不能超过三条D.不共线的不变点至多有三个参考答案：C5.(2分)欧式平面内所有正交变换的集合构成群，称为正交变换群，它是（）A.3维群B.4维群C.6维群D.8维群参考答案：A6.(2分)二次曲线的渐近线与二次曲线的位置关系是（）A.相割B.相切C.相离D.以上都不是参考答案：B7.椭圆型曲线与穷远直线的关系是（）A.相交B.相切C.相离D.以上都不是参考答案：C8.(2分)直角三角形经过中心射影后的对应图形是（）A.三角形B.等腰三角形C.直角三角形D.四边形参考答案：A9.(2分)下列哪些图形具有射影性质？（）A.三直线共点B.两相等线段C.两直线的夹角D.平行直线参考答案：A10.(2分)在欧式平面上，两条相交直线可以把平面分成几个区域？（）A.1B.2C.3D.4参考答案：D11.(2分)下列哪个性质或者量是仿射的？（）A.角的平分线B.三角形的面积C.线段的中点D.二相交线段之比参考答案：C12.(2分)在射影平面上，两条相交直线可以把平面分成几个区域？（）A.1B.2C.3D.4参考答案：B13.(2分)A.椭圆B.双曲线C.抛物线D.平行直线参考答案：B14.(2分)有心二次曲线的直径（）A.有限多条B.有唯一一条C.有两条D.至少有一条参考答案：A15.(2分)下面哪一个属于仿射几何学？（）A.正方形B.垂心C.二次曲线的中心D.德萨格定理参考答案：C16.(2分)菱形的仿射对应图形是（）A.菱形B.平行四边形C.正方形D.不等边四边形参考答案：B17.(2分)在射影平面上二阶曲线可共分为（）类.A.2B.3C.4D.5参考答案：D18.(2分)双曲型曲线与穷远直线的关系是（）A.相交B.相切C.相离D.相割参考答案：A19.(2分)正六边形经过中心射影后的对应图形是（）A.正六边形B.二次曲线C.二平行直线D.内接于二次曲线的六边形参考答案：D20.(2分)抛物线有几条主轴？（）A.1B.2C.3D.4参考答案：A二.判断题答题要求：21.直角三角形是仿射不变图形.()正确错误参考答案：错误22.两全等三角形经仿射对应后得两全等三角形（）正确错误参考答案：错误23.当正负号任意选取时，齐次坐标表示两个相宜的点正确错误参考答案：错误24.菱形的仿射对应图形是四边形.（）正确错误参考答案：错误25.两个点列间的一一对应是射影对应的充要条件是任何四个对应点的交比相等.()正确错误参考答案：正确26.射影直线上的一点能将射影直线剖分成两部分.（）正确错误参考答案：错误27.两个封闭图形面积之比不是仿射不变量。
山东师范大学2006-2007学年第二学期期末考试试题
第1页 共3页
试题类别：B
4. 试述守恒量的概念及其性质
5. 给出氢原子的能级简并度并与一般中心力场中运动粒子的能级简并度进行比较
6. 试述旋量波函数的概念及物理意义
10分，共30分）
1. 一维粒子波函)(x ψ数满足定态Schrödinger 方程，若)(1x ψ、)(2x ψ都是方程的
解，则有无关）（与常数x =ψψ-ψψ''1221
第2页 共3页
)(2ˆ)(2ˆ2
2222r V r
L r r r r H ++∂∂∂∂-=μμ ，证明
1题10分，第2、3题各15分，共40分）
子能量本征函数为n ψ。
试利用递推公式
⎪⎪⎭
⎫
ψ+
-+112n n n
求谐振子坐标在能量表象中的矩阵表示
第3页 共3页
0=t 时氢原子的波函数为]322[10
1)0,(121211210100-ψ+
ψ+ψ+ψ=
ψr 。
忽略自旋和跃迁。
（1）写出系统能量、角动量平方2L 及角动量z 分量z L 的可能测值（表示成基本物
理的函数即可）；
（2）上述物理量的可能测值出现的几率和期望值； （3）写出t 时刻的波函数。
3. 有一两能级体系，哈密顿量为'ˆˆˆ0H H H +=，在0ˆH 表象中，'ˆˆ0H H 和表示为 2121
0,01
10
'ˆ,0
0ˆE E b H E E H >⎪⎪⎭
⎫ ⎝
⎛=⎪⎪⎭
⎫ ⎝
⎛=
'ˆH
为微扰，b 表示微扰程度，试求H ˆ的本征值和本征态。
山东师范大学2010-2018历年教育硕士333真题汇编
2010年硕士研究生入学考试自命题科目试卷报考专业教育学硕士考试科目及代码教育综合333一、名词解释1.教育目的2.教学3.教育制度4.学校管理5.最近发展区6.精细加工策略二、简答1.简要回答《大学》中“三纲领，八条目”的内容及其含义。
2.简述人文主义教育的主要特征。
3.简述问题解决的过程。
4.简要分析罗杰斯的学习理论。
三、论述1.有人认为“近墨者黑”，有人认为“近墨者未必黑”。
请联系相关理论和个体实践谈谈你对这个问题的看法。
2.中国当前的教育不公平主要表现在哪几个方面？请你选择某一方面并分析其产生的原因，尝试提出解决的对策。
3.试论述陶行知“生活教育”理论的主要内容。
4.试论述杜威的教育本质论。
2011年硕士研究生入学考试自命题科目试卷报考专业教育学硕士考试科目及代码教育综合333一、名词解释1、课程2、三纲领八条目3、苏格拉底法4、德育二、简答1、简述稷下学宫的性质与特点2、简述德育的政治功能。
3、简述裴斯泰洛齐的“教育心理学化”理论。
4、简要分析影响自我效能感感形成的因素。
5、简述陶行知生活教育的主要内容。
6、简述皮亚杰认知发展阶段理论。
三、论述1、中国当前的教育不公平主要表现在哪几个方面？请您选择某一方面并分析其产生的原因，尝试提出解决的对策。
2、什么是教育的社会制约性和相对独立性？怎样协调二者的关系？2012年硕士研究生入学考试自命题科目试卷报考专业教育学硕士考试科目及代码教育综合333一、名词解释教育心理学化"三纲领八条目""稷下学宫"二、简答题教育的政治功能"稷下学宫"的性质和特点德育的功能三、论述题当今中国教育不公平现象例举，并就其中一例说明出现的原因以及解决的措施教育的社会制约性和独立性，以及两者的关系2013年硕士研究生入学考试自命题科目试卷报考专业教育学硕士考试科目及代码教育综合333一、名词解释1、中体西用2、朱子读书法3、京师同文馆4、导生制5、学习风格二、简答题1、北宋的三次兴学及其结果2、学生的学习特点3、人文主义教育的主要特征4、要素主义教育学派的理论5、教学过程的性质6、问题解决的含义及心理过程三、论述题1、结合实际谈谈教师应具备哪些素质？应该怎样培养？2、评价教育目的价值取向中的个人本位论和社会本位论2014年硕士研究生入学考试自命题科目试卷报考专业教育学硕士考试科目及代码教育综合333一、名词解释（5*4=20）1、综合实践活动2、学园3、骑士教育4、潜伏学习二、辨析题（10*4=40）1、人的身心发展的不平衡要求教育要循序渐进2、学习引起个体的行为发生变化，因此，一个人行为发生了变化可以判定发生了学习3、教育要求促进学生的全面发展，.......学生的个性发展，因此，促进学生的全面发展与个性发展是相对立的4、卡特尔认为，流体智力是在实践中获得的，因此人的一生流体智力都是在生长的三、简答题（10*6=60）1、政治经济制度对教育的影响2、教师劳动的特点3、清朝末期的教育改革4、《国防教育法》的主要内容及意义5、改造主义的主要观点6、维果茨基的理论中，低级心理机能向高级心理机能的转化中发生了哪些变化？四、分析题（15*2=30）1、教育中直接经验与间接经验的关系2、孟子和荀子的教育思想的不同2015年硕士研究生入学考试自命题科目试卷报考专业教育学硕士考试科目及代码教育综合333一、名词解释1.个人本位论2.三舍法3.学在官府4.智者二、辨析题1“近朱者赤近墨者黑??，所以说明环境在人的身心发展中起决定作用2.教师劳动具有专业性3.法家的绝对“性恶论”否定了教育的价值4.经典性条件反射和操作性条件反射没有实质性的区别三、简答1.现代教育的特征2.学科课程的特点3.汉代“独尊儒术”文件政策4.巴特勒法案5.奥苏伯尔的认知同化理论6.简述规范学习的心里过程四、论述题1.如何理解教学中的掌握知识与发展能力的关系2.对卢梭的自然主义教育进行述评2016年硕士研究生入学考试自命题科目试卷报考专业教育学硕士考试科目及代码教育综合333一、名词解释1、活动课程2、致良知3、大学区制4、自我效能感二、辨析1、教育目的是人制定，所以是主观的2、教师在教学过程中担任多种角色3、新教育运动是19世纪末20世纪初兴起于美国的教育革新运动4、场独立型的人适合学习人文知识场依存型的人适合学习数理知识三、简答1、教育的政治功能2、教学的任务3、九品中正制4、基督教教育的特点5、严复的三育论6、明治维新的教育改革四、论述1、论述教师主导与学生主动性的关系2、联系实际说明促进学习迁移的措施2017年硕士研究生入学考试自命题科目试卷报考专业教育学硕士考试科目及代码教育综合333一、名词解释1、上位学习2、成就动机3、教学评价4、苏湖教学法5、教育准备生活6、平民教育思潮二、简答题1、奥苏泊尔有意义学习条件2、文化对于教育的制约和影响三、简述1、夸美纽斯的教育思想，2、课程目标的几种表述形式四、论述1、结合材料评述教育对人发展的作用2、论述苏格拉底法课程目标的几种表述形式五、辨析题1、蔡元培的思想自由，兼容并包是无所不包2、课程内容即教材内容3、智力高的人创造力也高2018年硕士研究生入学考试自命题科目试卷报考专业教育学硕士考试科目及代码教育综合333一、名词解释1.教育中介系统2.认知风格3.社会本位论4.正迁移5.课程内容6、庚款兴学二、简答题1.中世纪大学的意义2.察举制与九品中正制异同3.直接经验和间接经验关系4.影响问题解决的因素5.永恒主义教育的原则6.理论联系实际原则三、辨析题1.负强化就是惩罚2.法国教育体制是地方分权式3.人的发展速度不同说明人的发展的阶段性四、论述题1.教师必备的素养2.王守仁的儿童教育思想。
山东师范大学高等代数期末考试试卷及参考答案
1山东师范大学成人高等教育期末考试试题（时间：120分钟 共100分）年级： 专业： 考试科目： 高等代数试题类别： A (A/B/C) 考试形式___(开、闭卷)一、选择题 （每题4分共20分） 1、 以下行列式中（ ）的值必为零（A ）n 阶行列式中有一行的元素全是0 （B ）行列式中有两行含有相同的公因子 （C ）行列式中有一行与另一列对应元素成比例 （D ）行列式D 的转置行列式D D T -= 2、n 元齐次线性方程组0=AX 有非零解的充分必要条件是：（ ）（A ）n A R =)( （B ）n A R <)( （C ）n A R >)( （D ）)(A R 与n 无关 3、 设有矩阵23⨯A ，33⨯B ，32⨯C ，则下面（ ）运算可行 （A ）BC （B ）ABC （C ）AC （D ）BC AB -4、 一个n 维向量组)1(,,,21>s s αααΛ线性相关的充要条件是其中（ ）（A ）含有零向量 （B ）有两个向量的对应分量成比例（C ）至少有一个向量是其余向量的线性组合 （D ）每一个向量是其余向量的线性组合5、 已知矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡=0110A ，则矩阵A 的特征值为（ ） （A ）1,1- （B ）1,0 （C ）1,0- （D ）2,0二、填空题（每题2分共12分）1、5000054000543005432054321的值为______________ 2、已知行列式543432321---=D ，其转置行列式_____________________=T D 3、若矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=625972413A ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=6297213y x B ，已知B A =，则_____________________==y x4、设A 为4阶方阵，且A =2，则_________________2=A5、1+n 个n 维向量构成的向量组一定是线性____________________的6、线性方程组B AX =有解的充分必要条件是__________________________ 三、判断题 （每题4分共20分）1、任何两个矩阵都可以相加减 ( )2、333231232221131211333231232221131211a a a a a a a a a k ka ka ka ka ka ka ka ka ka = ( ) 3、若齐次线性方程组0=AX 有非零解，则系数矩阵的行列式为0 ( )4、在一个向量组s ααα,,,21Λ中，如果有部分向量组线性相关，则向量组s ααα,,,21Λ 必线性相关 ( )5、对于矩阵B A ,，有TTTB A AB =)( ( ) 四、计算下列各题（每题6分共18分）1、求行列式122305403--中元素2的余子式和2-的代数余子式。
高等代数与解析几何试卷(A)参考答案及评分标准
中国计量学院2011 ~ 2012学年第 2 学期《高等代数》(2)课程试卷（A ）参考答案及评分标准一、单项选择题(每小题3分，共15分)1.D2.B3.D4.C5.A二、填空题(每小题3分，共15分)1.1111⎛⎫ ⎪-⎝⎭；2. __1，-3__；3.100010011⎛⎫⎪ ⎪⎪⎝⎭； 4. 20x y +-= 5.222x y pz +=．三、计算题1．(12分)设A 是3P 中的线性变换，且A 在基)1,1,1(1-=η,)1,0,1(2-=η,)1,1,0(3=η下的矩阵为101110121A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭求A 在基123(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)εεε===下的矩阵.解 因为(1η,2η,3η)=(1ε,2ε，3ε)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--111101011， 所以 (1ε,2ε，3ε)=(1η,2η,3η)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---101110111=(1η,2η,3η)X ，-------------4分故A 在基1ε,2ε，3ε下的矩阵为B =X 1-AX=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--111101011⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-121011101⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---101110111=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--203022211 -------------12分2．(12分)求λ矩阵222211λλλλλλλλλλ()A ⎛⎫-⎪=- ⎪ ⎪+-⎝⎭的标准形、不变因子、行列式因子、初等因子．解 对-λ矩阵作初等变换,有A =)(λ ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+--222211λλλλλλλλλ→ ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--222101λλλλλλ→ ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+--)1(000001λλλλ→ )()1(0000001λλλλD =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+ 标准形为: ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=)1(0000001)(λλλλD ；----------------------6分 不变因子为：)1()(,)(,1)(321+===λλλλλλd d d ；----------------------8分行列式因子为：)1()(,)(,1)(2321+===λλλλλλD D D ；----------------------10分初等因子为：1,,2+λλλ.----------------------12分3．(12分) 设二次型()222123123121323,,22448f x x x x x x x x x x x x =---++ ，求一正交变换 x Ty =，将二次型化为标准形. 解 二次型对应的矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=242422221A ，----------------------2分且A 的特征多项式为 2)2)(7(-+=-λλλA E ，特征值为2,7321==-=λλλ．---------------------4分 相应的特征向量为 ()()()1,0,2,0,1,2,2,2,1321=-=-=ααα，---------------------6分正交化,可得 ()()⎪⎭⎫ ⎝⎛=-=-=1,54,52,0,1,2,2,2,1321βββ， 再单位化,有⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫⎝⎛-=535,534,532,0,51,52,32,32,31321ηηη， ----------------------8分令X=TY ，其中⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=53503253451325325231T ，----------------------10分 则 232221'227y y y AX X ++-=．----------------------12分4.(12分) 求顶点在原点，准线为01,0122=+-=+-z y z x 的锥面方程. 解 设为锥面上任一点),,(z y x M ，过M 与O 的直线为：z Z y Y xX == ----------------------3分 设其与准线交于),,(000Z Y X ，即存在t ，使zt Z yt Y xt X ===000,,， -----------6分将它们代入准线方程，并消去参数t ，得：0)()(222=-+--y z y z z x即：0222=-+z y x此为所要求的锥面方程. ----------------------12分5. (12分)求过双曲抛物面z y x =-41622上的点（2,1,0）的直母线方程. 解：双曲抛物面z y x =-41622的两族直母线为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+z y x u uy x )24(24 及 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=-z yx v v yx )24(24----------------------6分将点（2,1,0）分别代入上面两族直母线的方程，求得,1==v u----------------------10分 因此，所求的直母线方程为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+z y x yx 24124 及 ⎪⎩⎪⎨⎧==-0024z yx ----------------------12分四、证明题((每小题5分，共10分)1.在2R 中，定义变换(,)(2,2)x y x y x y σ=++． （1）证明：σ是2R 的线性变换.（2）取2R 的一组基：12(1,0),(0,1)εε==，求σ的值域2()σR 及2()σR 的一组基.证明(1)设1221x x A y y σξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，σ是2R 到R 的映射，且2,,k αβ∀=∈∀∈R R ，有()()k l A k l kA lA σαβαβαβ+=+=+，所以σ是线性变换；-----------------3分(2) 对于2R 的基：12(1,0),(0,1)εε==，有12()(1,2),()(2,1)σεσε==，易知12(),()σεσε线性无关，于是它们构成2()σR 的一组基，且值域为12()((),())((1,2),(2,1))L L σσεσε==3R .-----------------5分2.欧氏空间V 中的线性变换A 称为反对称的，如果对任意α，β∈V ，有（A α，β）= —（ α，A β）．证明：如果V 1是反对称线性变换A —子空间，则V 1⊥也是A —子空间．证明 任取∈αV 1⊥，可证A ∈αV 1⊥，即A ∈αV 1，事实上，任取β∈V 1，由于V 1是A 子空间，因此A β1V ∈，而∈αV 1⊥，故（α，A β）=0．----------------------3分再由题设，A 是反对称的，知（A α，β）= —（α，A β）=0，----------------------4分由β的任意性，即证A ∈αV 1 ．从而V 1⊥也是A —子空间．----------------------5分（注：本资料素材和资料部分来自网络，仅供参考。