初二三角形压轴题分类解析

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解三角形压轴题

解三角形压轴题
【实用版】
目录
一、解三角形压轴题
1.介绍解三角形压轴题的概念。

2.分析解三角形压轴题的难点和重点。

3.提出解决解三角形压轴题的思路和方法。

4.总结解三角形压轴题的解题技巧。

正文
一、解三角形压轴题的概念
解三角形压轴题是数学中的一种题型，主要考察学生的空间想象能力、解题能力和推理能力。

它通常涉及三角形的边长、角度、周长等参数，需要学生运用几何、代数等知识来解决。

二、解三角形压轴题的难点和重点
解三角形压轴题的难点在于需要学生具备扎实的数学基础和较强的
解题能力，需要学生结合三角形的性质和几何图形的特点进行推导和分析。

重点在于掌握解三角形的基本方法和解题技巧，能够灵活运用数学知识解决实际问题。

三、解决解三角形压轴题的思路和方法
1.确定三角形的边长和角度，建立方程式。

2.利用三角函数、勾股定理等知识进行求解。

3.结合几何图形的特点进行推导和分析，解决复杂的几何问题。

4.注意方程式的求解方法和计算细节，避免出现错误。

四、解三角形压轴题的解题技巧
1.认真审题，分析题目中的条件和问题，确定解题思路。

2.运用基础知识，建立方程式并进行求解。

3.注意计算细节，避免出现错误。

4.结合几何图形的特点进行推导和分析，提高解题效率。

专题02三角形压轴题真题分类(原卷版)—2022-2023学年八年级数学上册重难点题型分类高分必刷题

专题02《三角形》压轴题真题分类-高分必刷题（原卷版）专题简介：本份资料包含《三角形》这一章中求角度的的四种类型的常考压轴题，所选题目源自各名校期中、期末试题中的典型考题，具体包含的题型有：与内角外角平分线有关的压轴题、与8字模型有关的压轴题、与燕尾模型有关的压轴题、与动角有关的压轴题。

适合于培训机构的老师给学生作复习培训时使用或者学生考前刷题时使用。

题型一：与内角外角平分线有关的压轴题1.（上海）（1）在锐角ABC ∆中，AC 边上的高所在直线和AB 边上的高所在直线的交点为P ，110BPC ∠=︒，求A ∠的度数．（2）如图，AF 和CE 分别平分BAD ∠和BCD ∠，当点D 在直线AC 上时，且B 、P 、D 三点共线，100APC ∠=︒，则B ∠=_________．（3）在（2）的基础上，当点D 在直线AC 外时，如下图：130ADC ∠=︒，100APC ∠=︒，求B Ð的度数．2．∠MOQ＝90°，点A，B分别在射线OM、OQ上运动（不与点O重合）．(1)如图1，AI平分∠BAO，BI平分∠ABO，若∠BAO＝40°，求∠AIB的度数．(2)如图2，AI平分∠BAO，BC平分∠ABM，BC的反向延长线交AI于点D．①若∠BAO＝40°，则∠ADB＝°；②点A、B在运动的过程中，∠ADB是否发生变化，若不变，试求∠ADB的度数；若变化，请说明变化规律．3．（江苏）直线MN 与直线PQ 垂直相交于点O ，点A 在直线PQ 上运动，点B 在直线MN 上运动．（1）如图1，已知AE BE 、分别是BAO ∠和ABO ∠角的平分线，点AB 、在运动的过程中，AEB ∠的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明变化的情况；若不发生变化，试求出AEB ∠的大小．（2）如图2，已知AB 不平行CD AD BC ，、分别是BAP ∠和ABM ∠的角平分线，又DE CE 、分别是ADC∠和BCD ∠的角平分线，点AB 、在运动的过程中，CED ∠的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，试求出CED ∠的度数．（3）如图3，延长BA 至G ，已知BAO OAG ∠∠、的角平分线与BOQ ∠的角平分线及反向延长线相交于E F 、，在AEF 中，如果有一个角是另一个角的3倍，则ABO ∠的度数为____（直接写答案）4．已知△ABC在平面直角坐标系内，满足：点A在y轴正半轴上移动，点B在x轴负半轴上移动，点C 为y轴右侧一动点．（1）若点A（0，a）和点B（b，0）坐标恰好满足：（a﹣2）2+|a+b+1|＝0，直接写出a、b的值．（2）如图①，当点C在第四象限时，若AM、AO将∠BAC三等分，BM、BO将∠ABC三等分，在A、B、C的运动过程中，试求出∠C和∠M的大小．探究：（1）如图②，当点C在第四象限时，若AM平分∠CAO，BM平分∠CBO，在A、B、C的运动过程中，∠C和∠M是否存在确定的数量关系？若存在，请证明你的结论；若不存在，请说明理由．（2）如图③，当点C在第一象限时，且在（1）中的条件不变的前提下，∠C和∠M又有何数量关系？证明你的结论．题型二：与8字模型有关的压轴题5．（江苏）图1，线段AB、CD相交于点O，连接AD、CB，我们把形如图1的图形称之为“8字形”．如图2，在图1的条件下，∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，并且与CD、AB分别相交于M、N．试解答下列问题：（1）在图1中，请直接写出∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关系：；（2）仔细观察，在图2中“8字形”的个数：个；（3）图2中，当∠D＝50度，∠B＝40度时，求∠P的度数．（4）图2中∠D和∠B为任意角时，其他条件不变，试问∠P与∠D、∠B之间存在着怎样的数量关系．（直接写出结果，不必证明）．6．（四川）（1）如图1的图形我们把它称为“8字形”，请说理证明∠A+∠B＝∠C+∠D．（2）（可直接使用问题（1）中的结论）如图2，BP、DP分别平分∠ABC、∠ADC；①若∠A＝36°，∠C＝28°，求∠P的度数；②∠A和∠C为任意角时，其他条件不变，猜想∠P与∠A、∠C之间数量关系，并给出证明．（3）在图3中，点E为CD延长线上一点，BQ、DP分别是∠ABC、∠ADE的四等分线，且∠CBQ＝14∠ABC，∠EDP＝14∠ADE，QB的延长线与DP交于点P，请直接写出∠P与∠A、∠C的关系，无需证明．7．（江苏）已知：线段AD 、BC 相交于点O ，连接AB 、C D ．(1)如图1的图形我们把它称为“8字形”，则∠A 、∠B 、∠C 、∠D 之间的数量关系为；(2)如图2，AP 、CP 分别平分∠BAD 、∠BC D ．若∠B ＝36°，∠D ＝44°，则∠P 的度数=°；(3)如图3，∠BAD 和∠BCD 的三等分线AP 和CP 相交于点P ，123BAD ∠=∠，143BCD ∠=∠，试探究∠B 、∠D 、∠P 三者之间存在的数量关系，并说明理由．(4)如图4，CP 、AG 分别平分∠BCE 、∠FAD ，AG 反向延长线交CP 于点P ，请猜想∠P 、∠B 、∠D 之间的数量关系，直接写出结论，不需要说明理由．6．如图①，已知线段AB ，CD 相交于点O ，连接AC ，BD ，我们把形如图①的图形称之为“8字形”．如图②，∠CAB 和∠BDC 的平分线AP 和DP 相交于点P ，并且与CD ，AB 分别相交于M ，N ．试解答下列问题：(1)在图①中，写出一个关于∠A 、∠B 、∠C 、∠D 的关系的等式．(2)在图②中，若∠B ＝96°，∠C ＝100°，求∠P 的度数；(3)在图②中，若设∠C ＝α，∠B ＝β，∠CAP ＝13∠CAB ，∠CDP ＝13∠CDB ，试问∠P 与∠C ，∠B 之间存在着怎样的数量关系（用α，β表示∠P ），并说明理由；(4)如图③，则∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＋∠F 的度数为．8．（江苏）如图1的图形我们把它称为“8字形”，显然有A B C D ∠+∠=∠+∠；阅读下面的内容，并解决后面的问题：(1)如图2，AP 、CP 分别平分BAD ∠、BCD ∠，若36ABC ∠=︒，16ADC ∠=︒，求P ∠的度数；(2)①在图3中，直线AP 平分BAD ∠的外角FAD ∠，CP 平分BCD ∠的外角BCE ∠，猜想P ∠与B ∠、D ∠的关系，并说明理由．②在图4中，直线AP 平分BAD ∠的外角FAD ∠，CP 平分BCD ∠的外角BCE ∠，猜想P ∠与B ∠、D ∠的关系，直接写出结论，无需说明理由．③在图5中，AP 平分BAD ∠，CP 平分BCD ∠的外角BCE ∠，猜想P ∠与B ∠、D ∠的关系，直接写出结论，无需说明理由．题型三：与燕尾模型有关的压轴题9．利用“模型”解决几何综合问题往往会取得事半功倍的效果．几何模型：如图（1），我们称它为“A”型图案，易证明：∠EDF＝∠A+∠B+∠C．运用以上模型结论解决问题：（1）如图（2），“五角星”形，求∠A1+∠A2+∠A3+∠A4+∠A5＝？分析：图中A1A3DA4是“A”型图，于是∠A2DA5＝∠A1+∠A3+∠A4，所以∠A1+∠A2+∠A3+∠A4+∠A5＝；（2）如图（3），“七角星”形，求∠A1+∠A2+∠A3+∠A4+∠A5+∠A6+∠A7的度数．10．（山西晋中）请阅读下列材料，并完成相应的任务：有趣的“飞镖图”如图，这种形似飞镖的四边形，可以形象地称它为“飞镖图”．当我们仔细观察后发现，它实际上就是凹四边形．那么它具有哪些性质呢？又将怎样应用呢？下面我们进行认识与探究：凹四边形通俗地说，就是一个角“凹”进去的四边形，其性质有：凹四边形中最大内角外面的角等于其余三个内角之和．（即如图1，∠ADB=∠A＋∠B＋∠C）理由如下：方法一：如图2，连接AB，则在△ABC中，∠C+∠CAB+∠CBA=180°，即∠1+∠2+∠3+∠4+∠C=180°，又∵在△ABD中，∠1+∠2+∠ADB=180°，∴∠ADB=∠3+∠4+∠C，即∠ADB=∠CAD+∠CBD+∠C．方法二：如图3，连接CD并延长至F，∵∠1和∠3分别是△ACD和△BCD的一个外角，......大家在探究的过程中，还发现有很多方法可以证明这一结论，你有自己的方法吗？任务：(1)填空：“方法一”主要依据的一个数学定理是；(2)探索：根据“方法二”中辅助线的添加方式，写出该证明过程的剩余部分；(3)应用：如图4，AE是∠CAD的平分线，BF是∠CBD的平分线，AE与BF交于G，若∠ADB=150°，∠AGB=110°，请你直接写出∠C的大小．11．（江苏）模型规律：如图1，延长CO 交AB 于点D ，则1BOC B A C B ∠=∠+∠=∠+∠+∠．因为凹四边形ABOC 形似箭头，其四角具有“BOC A B C ∠=∠+∠+∠”这个规律，所以我们把这个模型叫做“箭头四角形”．模型应用（1）直接应用：①如图2，60,20,30A B C ∠=︒∠=︒∠=︒，则BOC ∠=__________︒；②如图3，A B C D E F ∠+∠+∠+∠+∠+∠=__________︒；（2）拓展应用：①如图4，ABO ∠、ACO ∠的2等分线（即角平分线）1BO 、1CO 交于点1O ，已知120BOC ∠=︒，50BAC ∠=︒，则1BO C ∠=__________︒；②如图5，BO 、CO 分别为ABO ∠、ACO ∠的10等分线1,2,3,,(,)89i =⋯．它们的交点从上到下依次为1O 、2O 、3O 、…、9O ．已知120BOC ∠=︒，50BAC ∠=︒，则7BOC ∠=__________︒；③如图6，ABO ∠、BAC ∠的角平分线BD 、AD 交于点D ，已知120,44BOC C ∠=︒∠=︒，则ADB =∠__________︒；④如图7，BAC ∠、BOC ∠的角平分线AD 、OD 交于点D ，则B Ð、C ∠、D ∠之同的数量关系为__________．12．（福建）如图1所示的图形，像我们常见的符号——箭号．我们不妨把这样图形叫做“箭头四角形”．探究：（1）观察“箭头四角形”，试探究BDC ∠与A ∠、B Ð、C ∠之间的关系，并说明理由；应用：（2）请你直接利用以上结论，解决以下两个问题：①如图2，把一块三角尺XYZ 放置在ABC ∆上，使三角尺的两条直角边XY 、XZ 恰好经过点B 、C ，若60A ∠=︒，则ABX ACX ∠+∠=o ；②如图3，ABE ∠、ACE ∠的2等分线（即角平分线）BF 、CF 相交于点F ，若60BAC ∠=︒，130BEC ∠=︒，求BFC ∠的度数；拓展：（3）如图4，i BO ，i CO 分别是ABO ∠、ACO ∠的2020等分线（12320182019i = ，，，，，），它们的交点从上到下依次为1O 、2O 、3O 、…、2019O ．已知BOC m ∠=︒，BAC n ∠=︒，则1000BO C ∠=度．题型四：与动角有关的压轴题13．（江苏泰州）直线AB、CD相交于点O，∠AOC＝α，点F在直线AB上且在点O的右侧，点E在直线CD上（点E与点O不重合），连接EF，直线EM、FN交于点G．（1）如图1，若点E在射线OC上，α＝60°，EM、FN分别平分∠CEF和∠AFE，求∠EGF的度数；（2）如图2，点E在射线OC上，∠MEF＝m∠CEF，∠NFE＝（1﹣2m）∠AFE，若∠EGF的度数与∠AFE 的度数无关，求m的值及∠EGF的度数（用含有α的代数式表示）；（3）如图3，若将（2）中的“点E在射线OC上”改为“点E在射线OD上”，其他条件不变，直接写出∠EGF 的度数（用含有a的代数式表示）14．如图1，含30°角的直角三角板()30DEF EDF ∠=︒与含45︒角的直角三角板的斜边在同一直线上，D 为BC 的中点，将直角三角板DEF 绕点D 按逆时针方向旋转()0180αα∠︒<<︒，在旋转过程中：（1）如图2，当α∠=________︒时，//DE AB ；当α∠=______︒时，DE AB ⊥；（2）如图③，当直角三角板DEF 的边DF 、DE 分别交BA 、CA 的延长线于点M 、N 时；①1∠与2∠度数的和是否变化？若不变，求出1∠与2∠度数的和；若变化，请说明理由；②若使得122∠=∠，求出1∠、2∠的度数，并直接写出此时α∠的度数；③若使得2123∠≥∠，求α∠的度数范围．15．（河南郑州）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，O是AB边上的中点，三角板OMN的直角顶点与O重台，∠MON=90°，直角三角形板MON绕点O旋转使边OM交AC于点D，边ON交BC于点E（D、E不与A、B重合），连接DE．(1)如图①，当CA=CB=4时，①请直接写出DE的取值范围：②判断△DOE的形状并说明理由；③判断四边形ODCB的面积在旋转的过程中是否变化，若不变，求出该四边形的面积；若变化，请说明变化的范围；(2)如图②，判断并说明线段AD，DE和BE的数量关系．16.（辽宁大连）已知：△ABC，点M是平面上一点，射线BM与直线AC交于点D，射线CM与直线AB交于点E．过点A作AF∥CE，AF与BC所在的直线交于点F．（1）如图1，当BD⊥AC，CE⊥AB时，写出∠BAD的一个余角，并证明∠ABD＝∠CAF；（2）若∠BAC＝80°，∠BMC＝120°．①如图2，当点M在△ABC内部时，用等式表示∠ABD与∠CAF之间的数量关系，并加以证明；②如图3，当点M在△ABC外部时，依题意补全图形，并直接写出用等式表示的∠ABD与∠CAF之间的数量关系．。

初二全等三角形难题压轴题

全等三角形难题易错点剖析一、错用三角对应相等说明全等例1如图，∠CAB=∠DBA，∠C=∠D，E为AC和BD的交点.△ADB与△BCA全等吗?说说理由.错解:△ADB≌△BCA.因为∠C=∠D,∠CAB=∠DBA，∠DAB=CBA,所以△CBE≌△DAE（AAA）.分析:两个三角形全等是对的，但说明的理由不正确.三个角对应相等不能作为三角形全等的识别方法.因为三个角对应相等的两个三角形不一定全等.正解:△CBE≌△DAE.因为∠CAB=∠DBA,∠C=∠D,AB=BA（公共边）,所以△CAB≌△DBA（AAS）.二、错用两边及一角对应相等说明全等例2如图,已知△ABC中,AB=AC,D，E分别是AB，AC的中点，且CD=BE，△ADC与△AEB全等吗？说说理由.错解:△ADC≌△AEB.因为AB=AC,BE=CD,∠BAE=∠CAD,所以△ADC≌△AEB（SSA）.分析:错解在把SSA作为三角形全等的识别方法,实际上，SSA不能作为三角形全等的识别条件.因为两边及一边对角相等的两个三角形不一定全等.正解:△ADC≌△AEB.因为AB=AC,D，E为AB，AC的中点，所以AD=AE.在△ADC和△AEB中,因为AB=AC,AD=AE,CD=BE,所以△ADC≌△AEB（SSS）.三、错用部分当整体说明全等例3如图，已知AB=AC，BD=CE,试说明△ABE与△ACD全等的理由.错解:因为AB=AC,所以∠B=∠C,在△ABE和△ACD中,因为AB=AC,∠B=∠C,AD=CE,所以△ABE≌△ACD（SAS）.分析:错解在把三角形边上的一部分当作说明的条件,这不符合三角形全等的识别方法.正解:△ABE与△ACD全等.因为AB=AC,所以∠B=∠C,因为BD=CE,所以BD+DE=CE+DE,即BE=CD.在△ABE和△ACD中,因为AB=AC,B=C,BE=CD,所以△ABC≌△ACF（SAS）.四、错用减法运算说明全等例4如图，已知AC，BD相交于点O，∠A=∠B，∠1=∠2，AD=BC.试说明△AOD≌△BOC.错解：在△ADC和△BCD中，因为∠A=∠B，∠2=∠1，DC=CD，所以△ADC≌△BCD（AAS），所以△ADC-△DEC=△BCD-△DEC，即△A0D≌△B0C.分析：错解在将等式的性质盲目地用到三角形全等中，实际上，三角形全等是不能根据等式的性质说明的.正解：在△ADO和△BCD中，∠A=∠B，∠AOD=∠BOC，AD=BC，所以△AOD≌△BOC（AAS）.。

八年级数学全等三角形中的动点问题压轴题汇总

八年级数学全等三角形中的动点问题压轴题汇总教学重点难点利用熟悉的知识点解决陌生的问题思路：1.利用图形想到三角形全等2.分析题目，了解有几个动点，动点的路程，速度3.结合图形和题目，得出已知或能间接求出的数据4.分情况讨论，把每种可能情况列出来，不要漏5.动点一般都是压轴题，步骤不重要，重要的是思路6.动点类问题一般都有好几问，前一问大都是后一问的提示，就像几何探究类题一样，如果后面的题难了，可以反过去看看前面问题的结论.【典型例题】例1. 如图1，在△ABC中，∠ACB为锐角，点D为射线BC上一点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF．解答下列问题：（1）如果AB=AC，∠BAC=90°，点D在射线BC上运动时（与点B不重合），如图，线段CF，BD 之间的位置关系为_____________，数量关系为______________．请利用图2或图3予以证明（选择一个即可）．例2. 如图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=CB，AC=8，F是AB边上的中点，点D、E分别在AC、BC边上运动，且始终保持AD=CE，连接DE、DF、EF.（1）求证：△ADF≌△CEF.（2）试证明△DFE是等腰直角三角形.（3）在此运动变化的过程中，四边形CDFE的面积是否保持不变？试说明理由．（4）求△CDE面积的最大值．变式如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，F是AB边上的中点，点D、E分别在AC、BC边上运动，且保持AD=CE．连接DE、DF、EF．在此运动变化的过程中，下列结论：①△DFE是等腰直角三角形；②DE长度的最小值为4；③四边形CDFE的面积保持不变；④△CDE面积的最大值为8．其中正确的结论是（）A．①②③B．①③C．①③④D．②③④例3. 正方形ABCD和正方形AEFG有一公共点A，点G．E分别在线段AD、AB上（如图（1）所示），连接DF、BF．（1）求证：DF=BF（2）若将正方形AEFG绕点A按顺时针方向旋转，连接DG、BE（如图（2）所示），在旋转过程中，请猜想线段DG、BE始终有什么数量关系和位置关系并证明你的猜想．例4.如图，已知△ABC中，AB=AC=10cm，BC=8cm，点D为AB的中点.（1）如果点P在线段BC上以3cm/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A 点运动.①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由；②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？（2）若点Q以②中的速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿△ABC三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在△ABC的哪条边上相遇？变式如图，在等边△ABC中，AB=9cm，点P从点C出发沿CB边向点B点以2cm/s的速度移动，点Q 点从B点出发沿BA边向A点以5cm/s速度移动．P、Q两点同时出发，它们移动的时间为t秒钟．（1）你能用t表示BP和BQ的长度吗？请你表示出来．（2）请问几秒钟后，△PBQ为等边三角形？（3）若P、Q两点分别从C、B两点同时出发，并且都按顺时针方向沿△ABC三边运动，请问经过几秒钟后点P与点Q第一次在△ABC的哪条边上相遇？【拓展提高】1..两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图1所示放置，图2是由它抽象出的几何图形，B，C，E在同一条直线上，连结DC．（1）请找出图2中的全等三角形，并给予证明（说明：结论中不得含有未标识的字母）；（2）证明：DC⊥BE2.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AC=2AB，点D是AC的中点，将一块锐角为45°的直角三角板如图放置，使三角板斜边的两个端点分别与A、D重合，连结BE、EC．试猜想线段BE和EC的数量及位置关系，并证明你的猜想．3. 已知Rt△ABC中，AC=BC，∠C=90°，D为AB边的中点，∠EDF=90°，∠EDF绕D点旋转，它的两边分别交AC、CB（或它们的延长线）于E、F.当∠EDF绕D点旋转到DE⊥AC于E时（如图1），易证12DEF CEF ABCS S S+=△△△．当∠EDF绕D点旋转到DE和AC不垂直时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，S△DEF、S△CEF、S△ABC又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．4. 如图，AC为正方形ABCD的一条对角线，点E为DA边延长线上的一点，连接BE，在BE上取一点F，使BF=BC，过点B做BK⊥BE与B，交AC于点K，连接CF，交AB于点H，交BK于点G.（1）求证：BH=BG；（2）求证：BE=BG+AE.5.正方形四条边都相等，四个角都是90°．如图，已知正方形ABCD在直线MN的上方，BC在直线MN 上，点E是直线MN上一点，以AE为边在直线MN的上方作正方形AEFG．（1）如图1，当点E在线段BC上（不与点B、C重合）时：①判断△ADG与△ABE是否全等，并说明理由；②过点F作FH⊥MN，垂足为点H，观察并猜测线段BE与线段CH的数量关系，并说明理由；（2）如图2，当点E在射线CN上（不与点C重合）时：①判断△ADG与△ABE是否全等，不需说明理由；②过点F作FH⊥MN，垂足为点H，已知GD=4，求△CFH的面积．6.如图1，若△ABC和△ADE为等边三角形，M、N分别为EB、CD的中点，易证：CD=BE，△AMN是等边三角形.（1）当把△ADE绕点A旋转到图2的位置时，CD=BE是否依然成立？若成立请证明，若不成立请说明理由；（2）当△ADE绕点A旋转到图3位置时，△AMN是否还是等边三角形？若是，请给出证明，并求出当AB=2AD时，△ADE与△ABC及△AMN的面积之比；若不是，请说明理由.7.在△ABC中，AB=AC，点D是直线BC上一点（不与B、C重合），以AD为一边在AD的右侧做△ADE，使AD=AE，∠DAE=∠BAC，连接CE.（1）如图1，当点D在线段BC上，如果∠BAC=90°，则∠BCE=_________度；（2）设∠BAC=α，∠BCE=β.①如图2，当点D在线段BC上移动，则α，β之间有怎样的数量关系？请说明理由；②当点D在直线BC上移动，则α，β之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论.8.思考与推理如图，在四边形ABCD中，AB=AD=6cm，CB=CD，AB⊥BC，CD⊥AD，∠BCD=120°. ∠PCQ=60°，两边分别交线段AB、AD于点P、Q，把△PBC绕点C顺时针旋转120°得到△MDC.请在图中找出一对全等的三角形并加以证明（△PBC与△MDC除外）.探究与应用在上边的条件下，若∠PCQ绕顶点C在∠BCD内转动，两边始终与线段AB、AD相较于点P、Q，试探究在转动过程中△APQ的周长是否变化，若不变，求它的周长；若变化，请说明理由.9.问题情境：如图1，在直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于点D，可知：∠BAD=∠C（不需要证明）；特例探究：如图2，∠MAN=90°，射线AE在这个角的内部，点B、C在∠MAN的边AM、AN上，且AB=AC，CF⊥AE于点F，BD⊥AE于点D．证明：△ABD≌△CAF；归纳证明：如图3，点B，C在∠MAN的边AM、AN上，点E，F在∠MAN内部的射线AD上，∠1、∠2分别是△ABE、△CAF的外角．已知AB=AC，∠1=∠2=∠BAC．求证：△ABE≌△CAF；拓展应用：如图4，在△ABC中，AB=AC，AB＞BC．点D在边BC上，CD=2BD，点E、F在线段AD 上，∠1=∠2=∠BAC．若△ABC的面积为15，则△ACF与△BDE的面积之和为______________.10.如图①，已知△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，BC=2，AD是BC边上的高．作正方形DEFG，使点A、C分别在DG和DE上，且DE=BC，且连接AE、BG．（1）试猜想线段BG和AE的数量关系，请直接写出你得到的结论；（2）将正方形DEFG绕点D逆时针方向旋转一定角度后（旋转角度大于0°，或小于90°），DG、DE分别交AB、AC于点M和N（如图②），则（1）中的结论是否仍然成立？如果成立，请予以证明；如果不成立，请说明理由．11.如下图，已知正方形ABCD中，边长为10厘米，点E在AB边上，BE=6厘米．（1）如果点P在线段BC上以4厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CD上由C点向D点运动．①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPE与△CQP是否全等，请说明理由；②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPE与△CQP全等？（2）若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿正方形ABCD四边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在正方形ABCD边上的何处相遇？12.（1）操作发现：如图①，D是等边△ABC边BA上一动点（点D与点B不重合），连接DC，以DC为边在BC上方作等边△DCF，连接AF．你能发现线段AF与BD之间的数量关系吗？并证明你发现的结论．（2）类比猜想：如图②，当动点D运动至等边△ABC边BA的延长线上时，其他作法与（1）相同，猜想AF与BD在（1）中的结论是否仍然成立？（3）深入探究：Ⅰ．如图③，当动点D在等边△ABC边BA上运动时（点D与点B不重合）连接DC，以DC为边在BC 上方、下方分别作等边△DCF和等边△DCF′，连接AF、BF′，探究AF、BF′与AB有何数量关系？并证明你探究的结论．Ⅱ．如图④，当动点D在等边三角形边BA的延长线上运动时，其他作法与图③相同，Ⅰ中的结论是否成立？若不成立，是否有新的结论？并证明你得出的结论．。

三角形中考压轴题(带答案)

中考专题-------三角形一．选择题（共3小题）1．（2014?山西）如图，点E在正方形ABCD的对角线AC上，且EC=2AE，直角三角形FEG的两直角边a2a2Ca2a2aEC=EP=PC==×a=aa②EF=BD，③∠ADC=∠BEF+∠BFE，④AD=DC，其中正确的是（）EF=EF=3．（2013?河北模拟）四边形ABCD中，AC和BD交于点E，若AC平分∠DAB，且AB=AE，AC=AD，有以下四个命题：①AC⊥BD；②BC=DE；③∠DBC=∠DAB；④AB=BE=AE．其中命题一定成立的DAC=二．填空题（共6小题）4．（2015?泰安一模）如图，将一个正三角形纸片剪成四个全等的小正三角形，再将其中的一个按同样的…如此继续下去，结果如下表，则a n=3n+1（用含n的代数式表示）．的任意两个顶点构成△PAB，△PBC，△PAC均是等腰三角形，则满足上述条件的所有点P的个数为6得到四边形EDAF，它的面积记为S1，取BE的中点E1，作E1D1∥FB，E1F1∥EF．得到四边形E1D1FF1，它的面积记作S2，照此规律，则S2012=．的面积是，求出==×，=×，求出××××，××××××，×××…××（个AB=），的面积是××=×，=，=×=×﹣××，×××××××××××××…××）故答案为：AF=5，那么正方形ABCD的面积等于．=，即=．（x，x ．无需算出算出正确的是②．（只填序号）①a2b2+h4=（a2+b2+1）h2；②b4+c2h2=b2c2；③由可以构成三角形；④直角三角形的面积的最大值是．ab=chh=h=）（））））=h=）））））（（ab9．（2013?贺州）如图，A、B、C分别是线段A1B，B1C，C1A的中点，若△ABC的面积是1，那么△A1B1C1三．解答题（共5小题）10．（2013?昭通）已知△ABC为等边三角形，点D为直线BC上的一动点（点D不与B、C重合），以AD 为边作菱形ADEF（A、D、E、F按逆时针排列），使∠DAF=60°，连接CF．（1）如图1，当点D在边BC上时，求证：①BD=CF；②AC=CF+CD；（2）如图2，当点D在边BC的延长线上且其他条件不变时，结论AC=CF+CD是否成立？若不成立，请写出AC、CF、CD之间存在的数量关系，并说明理由；（3）如图3，当点D在边CB的延长线上且其他条件不变时，补全图形，并直接写出AC、CF、CD之间11．（2013?青羊区一模）如图，△ABC中AB=AC，BC=6，，点P从点B出发沿射线BA移动，同时，点Q从点C出发沿线段AC的延长线移动，已知点P、Q移动的速度相同，PQ与直线BC相交于点D．（1）如图①，当点P为AB的中点时，求CD的长；（2）如图②，过点P作直线BC的垂线垂足为E，当点P、Q在移动的过程中，线段BE、DE、CD中是CFCFBC=3 CD=；AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF．（1）如果AB=AC，∠BAC=90°，①当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图2，线段CF、BD所在直线的位置关系为垂直，线段CF、BD的数量关系为相等；②当点D在线段BC的延长线上时，如图3，①中的结论是否仍然成立，并说明理由；（2）如果AB≠AC，∠BAC是锐角，点D在线段BC上，当∠ACB满足什么条件时，CF⊥BC（点C、F（1）操作发现如图2，固定△ABC，使△DEC绕点C旋转，当点D恰好落在AB边上时，填空：①线段DE与AC的位置关系是DE∥AC；②设△BDC的面积为S1，△AEC的面积为S2，则S1与S2的数量关系是S1=S2．（2）猜想论证当△DEC绕点C旋转到如图3所示的位置时，小明猜想（1）中S1与S2的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了△BDC和△AEC中BC、CE边上的高，请你证明小明的猜想．（3）拓展探究已知∠ABC=60°，点D是角平分线上一点，BD=CD=4，DE∥AB交BC于点E（如图4）．若在射线BA AC=CD=AC=∠DCB=×，ABD=×BE=×÷的长为AF的中点，连接MB、ME．（1）如图1，当CB与CE在同一直线上时，求证：MB∥CF；（2）如图1，若CB=a，CE=2a，求BM，ME的长；BM=ME=AGAC=CD=BM=CG=CF=ME=a AG=DF=×a=BE=BM=DFME=AG BD仅供个人参考仅供个人用于学习、研究；不得用于商业用途。

初二三角形全等几何压轴题

初二三角形全等几何压轴题
初二三角形全等几何压轴题三角形是一种最常见的多边形，它的三条边和三个内角都是确定的，在数学中，我们可以使用它来探究各种几何理论。

今天我们要讨论的是一道初二三角形全等几何压轴题。

题目是：已知三角形ABC的三个内角A、B、C的度数均相等，点D是边BC的中点，求证：线段AD与线段AC相等。

为了解决这道题，我们可以先画出三角形ABC和点D，
并给出角A、B、C三个内角均相等。

根据定义，我们可以得出：（1）由于角A、B、C均相等，所以边AB、BC、AC也
是相等的。

（2）由于点D是边BC的中点，所以线段BD等于线段CD的一半。

（3）由第一步和第二步得出，线段AD等于线段AC。

由此可见，线段AD和线段AC是相等的。

以上就是解决初二三角形全等几何压轴题的详细步骤，从中可以看出几何常识的重要性，以及在解决实际问题时应该怎样运用数学知识，建立正确的推理框架。

同时，也提醒学生们要善于发现问题的规律，以便更好地解决问题。

初二全等三角形所有知识点总结和常考题提高难题压轴题练习(含答案解析)

初二全等三角形所有知识点总结和常考题1.基本定义：⑴全等形：能够完全重合的两个图形叫做全等形 .⑵全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形.⑶对应顶点：全等三角形中互相重合的顶点叫做对应顶点.⑷对应边：全等三角形中互相重合的边叫做对应边 .⑸对应角：全等三角形中互相重合的角叫做对应角 .2.基本性质：⑴三角形的稳定性：三角形三边的长度确定了，这个三角形的形状、大小就全确定，这个性质叫做三角形的稳定性.⑵全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等.3.全等三角形的判定定理：⑴边边边（SSS）:三边对应相等的两个三角形全等.⑵边角边（SAS）：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等.⑶角边角（ASA）:两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等.⑷角角边（AAS）:两角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等⑸斜边、直角边（HL ）：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.4.角平分线：⑴画法：⑵性质定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等 .⑶性质定理的逆定理：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上5.证明的基本方法：⑴明确命题中的已知和求证.（包括隐含条件，如公共边、公共角、对顶角、角平分线、中线、高、等腰三角形等所隐含的边角关系）⑵根据题意，画出图形，并用数字符号表示已知和求证.⑶经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程 .一.选择题（共14小题）1.使两个直角三角形全等的条件是（）A. 一个锐角又t应相等B.两个锐角对应相等C. 一条边对应相等D.两条边对应相等2.如图，已知AE=CF /AFD=/ CEB那么添加下列一个条件后，仍无法判定△AD陷4CBE的是（）A. /A=/ CB. AD=CBC. BE=DFD. AD // BC3.如图所示，亮亮书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与书上完全一样的三角形，那么这两个三角形完全一样的依据是（）A. SSSB. SASC. AASD. ASA4.到三角形三条边的距离都相等的点是这个三角形的（A.三条中线的交点B.三条高的交点C.三条边的垂直平分线的交点D.三条角平分线的交点5.如图，△ AC阴NA CB'/BCB =30°则/ ACA的度数为（A. 20°B. 300C. 350D. 40°6.如图，直线11、12、13表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则供选择的地址有（）A. 1处B. 2处C. 3处D. 4处7.如图，AD是4ABC中/ BAC的角平分线，D已AB于点E, S AABC=7, DE=ZAB=4,则AC长是（）8.如图，在△ ABC和4DEC中，已知AB=DE还需添加两个条件才能使△ ABCDEC不能添加的一组条件是（）A. BC=EC /B=/ EB. BC=EC AC=DCC. BC=DC /A=/DD. / B=/ E,/ A=/ D9.如图，已知在△ ABC中，CD是AB边上的高线，BE平分/ ABC,交CD于点E, BC=5 DE=2,贝BCE的面积等于（）A. 10B. 7C. 5D. 410.要测量河两岸相对的两点A, B的距离，先在AB的垂线BF上取两点C, D, 使CD=BC再定出BF的垂线DE,使A, C, E在一条直线上（如图所示），可以说明△ED8 AABC,彳3ED=AB因此测得ED的长就是AB的长，判定△ ED8 △ ABC最恰当的理由是（）A.边角边B.角边角C.边边边D.边边角11.如图，4ABC的三边AB, BC, CA长分别是20, 30, 40,其三条角平分线将△ ABC分为三个三角形，则S A ABO）：S A BCO：S A CAO等于（）BC AA. 1:1:1B. 1: 2: 3C. 2: 3: 4D. 3: 4: 512.尺规作图作/ AOB的平分线方法如下：以O为圆心，任意长为半径画弧交OA, OB于C, D,再分别以点C, D为圆心，以大于tCD长为半径画弧，两弧交于点P,作射线OP由作法得^ OC国4ODP的根据是（）A.有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等B.有两边对应相等，且有一角为 30°的两个等腰三角形全等C.有一角和一边对应相等的两个直角三角形全等D.有两角和一边对应相等的两个三角形全等14.如图，已知/ 1=/2, AC=AD,增加下列条件：① AB=AE ②BC=ED ③C C= /D;④/ B=/ E.其中能使△ AB ®ZXAED 的条件有（）A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个二.填空题（共11小题）15 .如图，在△ ABC 中，/C=90°, AD 平分/CAB BC=8cm, BD=5cm,那么点 D 到线段AB 的距离是 cm.16 .如图，△ ABC 中，/ C=90°, AD 平分/BAC AB=5, CD=2,则△ ABD 的面积17 .如图为6个边长等的正方形的组合图形，则/ 1+/ 2+/3=19 .如图所示，某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是带去玻璃店.18.如图，△AB ®ADEF5请根据图中提供的信息，写出* F x= ______是 _______20.如图，已知AB// CF, E为DF的中点，若AB=9cm, CF=5cm 贝U BD=cm.B C21.在数学活动课上，小明提出这样一个问题：/ B=Z C=90°, E是BC的中点, DE 平分/ADC, /CED=35,如图，则/ EAB是多少度？大家一起热烈地讨论交流，小英第一个得出正确答案，是度.D C22.如图，/XABeAADEE, / B=100°, / BAC=30,那么/ AED=度.23.如图所示，将两根钢条AA', BB'的中点。

三角形压轴题解析

三角形【知识脉络】【基础知识】 1、三角形的定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形.三角形有三条边，三个内角，三个顶点.组成三角形的线段叫做三角形的边;相邻两边所组成的角叫做三角形的内角; 相邻两边的公共端点是三角形的顶点， 2、三角形的表示三角形ABC 用符号表示为△ABC，三角形ABC 的边AB 可用边AB 所对的角C 的小写字母c表示，AC 可用b 表示，BC 可用a 表示.三个顶点用大写字母A,B,C 来表示。

注意：（1）三条线段要不在同一直线上，且首尾顺次相接；（2）三角形是一个封闭的图形；（3）△ABC 是三角形ABC 的符号标记，单独的△没有意义． 3、三角形的分类： (1)按边分类：（2）按角分类三角形等腰三角形不等边三角形底边和腰不相等的等腰三角形等边三角形三角形直角三象形斜三角形锐角三角形钝角三角形 _C _B _A4、三角形的主要线段的定义：（1）三角形的中线（在中文中，中有中间的意思而在这里就是边上的中线）三角形中，连结一个顶点和它对边中点的线段．表示法：（1）AD是△ABC的BC上的中线.（2）BD=DC=12 BC.注意：①三角形的中线是线段；②三角形三条中线全在三角形的内部且交于三角形内部一点（注：这点叫重心：当我们用一条线穿过重心的时候，三角形不会乱晃）③中线把三角形分成两个面积相等的三角形．（2）三角形的角平分线三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角顶点与交点之间的线段表示法：（1）AD是△ABC的∠BAC的平分线. （2）∠1=∠2=12∠BAC.注意：①三角形的角平分线是线段；②三角形三条角平分线全在三角形的内部且交于三角形内部一点；（注：这一点角三角形的内心。

角平分线的性质：角平分线上的点到角的两边距离相等）③用量角器画三角形的角平分线．（3）三角形的高从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段．表示法①AD是△ABC的BC上的高线②AD⊥BC于D③∠ADB=∠ADC=90°.注意：①三角形的高是线段；②锐角三角形三条高全在三角形的内部，直角三角形有两条高是边，钝角三角形有两条高在形外；(三角形三条高所在直线交于一点．这点叫垂心）③由于三角形有三条高线，所以求三角形的面积的时候就有三种（因为高底不一样）5、三角形的主要线段的表示法：三角形的角平分线的表示法：如图1，根据具体情况使用以下任意一种方式表示：①AD是 ABC的角平分线；② AD 平分∠BAC ，交BC 于D ；③ 如果AD 是∆ABC 的角平分线，那么∠BAD=∠DAC=21∠BAC. (2)三角形的中线表示法：如图1，根据具体情况使用以下任意一种方式表示： ①AE 是∆ABC 的中线；②AE 是∆ABC 中BC 边上的中线； ③如果AE 是∆ABC 的中线，那么BE=EC=21BC.(3)三角线的高的表示法：如图2，根据具体情况，使用以下任意一种方式表示： ① AM 是∆ABC 的高；② AM 是∆ABC 中BC 边上的高；③ 如果AM 是∆ABC 中BC 边上高，那么AM ⊥BC ，垂足是E ； ④ 如果AM 是∆ABC 中BC 边上的高，那么∠AMB=∠AMC=90︒. ⒌ 在画三角形的三条角平分线，三条中线，三条高时应注意： (1)如图3，三角形三条角平分线交于一点，交点都在三角形内部. (2)如图4，三角形的三条中线交点一点，交点都在三角形内部.如图5,6,7，三角形的三条高交于一点，锐角三角形的三条高的交点在三角形内部，钝角三角形的三条高的交点在三角形的外部，直角三角形的三条高的交点在直角三角形的直角顶点上.图3图4ABCD E 图1图26、三角形的三边关系三角形的任意两边之和大于第三边;任意两边之差小于第三边. 注意：（1）三边关系的依据是：两点之间线段是短；（2）围成三角形的条件是任意两边之和大于第三边． 7、三角形的角与角之间的关系： (1)三角形三个内角的和等于180 ;(2)三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和； (3)三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角. (4)直角三角形的两个锐角互余. 8、三角形的内角和定理定理：三角形的内角和等于180°．推论：直角三角形的两个锐角互余。

全等三角形压轴题及分类解析

B AOD C E图88年级三角形综合题归类一、双等边三角形模型1. 1如图7,点O 是线段AD 的中点,分别以AO 和DO 为边在线段AD 的同侧作等边三角形OAB 和等边三角形OCD,连结AC 和BD,相交于点E,连结BC ．求∠AEB 的大小；2如图8,ΔOAB 固定不动,保持ΔOCD 的形状和大小不变,将ΔOCD 绕着点O 旋转ΔOAB 和ΔOCD 不能重叠,求∠AEB 的大小.2. 已知:点C 为线段AB 上一点,△ACM,△CBN 都是等边三角形,且AN 、BM 相交于O.① 求证：AN=BM② 求 ∠AOB 的度数;③ 若AN 、MC 相交于点P,BM 、NC 交于点Q,求证：PQ ∥AB;湘潭·中考题同类变式：如图a,△ABC 和△CEF 是两个大小不等的等边三角形,且有一个公共顶点C,连接AF 和BE. 1线段AF 和BE 有怎样的大小关系请证明你的结论；2将图a 中的△CEF 绕点C 旋转一定的角度,得到图b,1中的结论还成立吗作出判断并说明理由； 3若将图a 中的△ABC 绕点C 旋转一定的角度,请你画出一个变换后的图形c 草图即可,1中的结论还成立吗作出判断不必说明理由.图c3. 如图9,若△ABC 和△ADE 为等边三角形,,M N 分别为,EB CD 的中点,易证：CD BE =,△AMN 是等边三角形．1当把△ADE 绕A 点旋转到图10的位置时,CD BE =是否仍然成立若成立,请证明；若不成立,请说明理由；2当△ADE 绕A 点旋转到图11的位置时,△AMN 是否还是等边三角形若是,请给出证明,若不是,请说明理由．同类变式：已知,如图①所示,在ABC△和ADE△中,AB AC =,AD AE =,BAC DAE ∠=∠,且点B A D ，，在一条直线上,连接BE CD M N ，，，分别为BE CD ，的中点．1求证：①BE CD =；②AN AM =；图9 图10 图11C BO D 图7 A EA BCMNOPQ2在图①的基础上,将ADE △绕点A 按顺时针方向旋转180,其他条件不变,得到图②所示的图形．请直接写出1中的两个结论是否仍然成立.4. 如图,四边形ABCD 和四边形AEFG 均为正方形,连接BG 与DE 相交于点H ．1证明：△ABG ≌△ADE ；2试猜想∠BHD 的度数,并说明理由；3将图中正方形ABCD 绕点A 逆时针旋转0°＜∠BAE ＜180°,设△ABE 的面积为1S ,△ADG 的面积为2S ,判断1S 与2S 的大小关系,并给予证明． 5.已知：如图,ABC △是等边三角形,过AB 边上的点D 作DG BC ∥,交AC 于点G ,在GD 的延长线上取点E ,使DE DB =,连接AE CD ，． 1求证：AGE DAC △≌△；2过点E 作EF DC ∥,交BC 于点F ,请你连接AF ,并判断AEF △是怎样的三角形,试证明你的结论．二、垂直模型该模型在基础题和综合题中均为重点考察内容考点1：利用垂直证明角相等1. 如图,△ABC 中,∠ACB ＝90°,AC ＝BC ,AE 是BC 边上的中线,过C 作CF ⊥AE ,垂足为F ,过B 作BD ⊥BC 交CF 的延长线于D ．求证：1AE ＝CD ； 2若AC ＝12 cm,求BD 的长．2. 西安中考如图1, 已知△ABC 中, ∠BAC=900, AB=AC, AE 是过A 的一条直线, 且B 、C 在A 、E 的异侧, BD ⊥AE 于D, CE ⊥AE 于E ;图1 图2 图3 1试说明: BD=DE+CE.2 若直线AE 绕A 点旋转到图2位置时BD<CE, 其余条件不变, 问BD 与DE 、CE 的关系如何写结论,并说明理由;3 若直线AE 绕A 点旋转到图3位置时BD>CE, 其余条件不变, 问BD 与DE 、CE 的关系如何写出结论,可不说明理由;3. 直线CD 经过BCA ∠的顶点C ,CA=CB ．E 、F 分别是直线CD 上两点,且BEC CFA α∠=∠=∠． 1若直线CD 经过BCA ∠的内部,且E 、F 在射线CD 上,请解决下面两个问题： ①如图1,若90,90BCA α∠=∠=,则EF AF -填“>”,“<”或“=”号；②如图2,若0180BCA <∠<,若使①中的结论仍然成立,则 α∠与BCA ∠ 应满足的关系是；2如图3,若直线CD 经过BCA ∠的外部,BCA α∠=∠,请探究EF 、与BE 、AF 三条线段的数量关系,并给予证明．考点2：利用角相等证明垂直1. 已知BE,CF 是△ABC 的高,且BP=AC,CQ=AB,试确CF GE D BAH ABCE F DDABCE F ADFC EB图1图2图3CEND A BM图① C AEM BDN图②定AP 与AQ 的数量关系和位置关系2. 如图,在等腰R t△ABC 中,∠ACB =90°,D 为BC 的中点,DE ⊥AB ,垂足为E ,过点B 作BF ∥AC 交DE 的延长线于点F ,连接CF ． 1求证：CD=BF ； 2求证：AD ⊥CF ；3连接AF ,试判断△ACF 的形状.拓展巩固：如图9所示,△ABC 是等腰直角三角形,∠ACB ＝90°,AD 是BC 边上的中线,过C 作AD 的垂线,交AB 于点E,交AD 于点F,求证：∠ADC ＝∠BDE ．提示：对比此题的条件和上面那题的条件,对比此题的图形和上题的图像,有什么区别和联系 3. 如图1,已知正方形ABCD 的边CD 在正方形DEFG 的边DE 上,连接AE ,GC .1试猜想AE 与GC 有怎样的位置关系,并证明你的结论；2将正方形DEFG 绕点D 按顺时针方向旋转,使E 点落在BC 边上,如图2,连接AE 和GC .你认为1中的结论是否还成立若成立,给出证明；若不成立,请说明理由.4.如图1,ABC ∆的边BC 在直线l 上,,AC BC ⊥且,AC BC =EFP ∆的边FP 也在直线l 上,边EF 与边AC 重合,且EF FP =（1）在图1中,请你通过观察、测量,猜想并写出AB 与AP 所满足的数量关系和位置关系；（2）将EFP ∆沿直线l 向左平移到图2的位置时,EP 交AC 于点Q ,连接,AP BQ .猜想并写出BQ 与AP 所满足的数量关系和位置关系,请证明你的猜想； 3将EFP ∆沿直线l 向左平移到图3的位置时,EP 的延长线交AC 的延长线于点Q,连结,AP BQ ,你认为2中所猜想的BQ 与AP 的数量关系和位置关系和位置关系还成立吗若成立,给出证明；若不成立,请说明理由.三、等腰三角形中考重难点之一考点1：等腰三角形性质的应用1. 如图,ABC ∆中,AB AC =,90BAC ∠=︒,D 是BC 中点,ED FD ⊥,ED 与AB 交于E ,FD 与AC 交于F ．求证：BEAF =,AE CF =． 2. 两个全等的含30,60角的三角板ADE 和三角板ABC ,如图所示放置,,,E AC 三点在一条直线上,连结BD ,取BD 的中点M ,连结,ME MC ．试判断EMC ∆的形状,并说明理由．压轴题拓展：三线合一性质的应用已知Rt ABC ∆中,AC BC =,90C ∠=︒,D 为AB 边的中点,90EDF ∠=︒,EDF ∠绕D 点旋转,它的两边分别交AC 、CB 或它们的延长线于E 、F ．当EDF ∠绕D 点旋转到DE AC ⊥于E 时如图1,易证12DEF CEF ABC S S S ∆∆∆+=．当EDF ∠绕D 点旋转到DE 和AC 不垂直时,在图2和图3这两种情况下,上述结论是否成立若成立,请给予证明；若不成立,DEF S ∆,CEF S ∆,ABC S ∆又有怎样的数量关系请写出你的猜想,不需证明．l1 A B F EC P ABEC F P Q2 lABECF P l 3Q AB CD E F 图9提示：此题为上面题目的综合应用,思路与第一题相似;3. 已知：如图,△ABC 中,∠ABC =45°,CD ⊥AB 于D,BE 平分∠ABC ,且BE ⊥AC 于E ,与CD 相交于点F,H 是BC 边的中点,连结DH 与BE 相交于点G ;1 BF =AC 2 CE =12BF 3CE 与BC 的大小关系如何;考点2：等腰直角三角形45度的联想1. 如图1,四边形ABCD 是正方形,M 是AB 延长线上一点;直角三角尺的一条直角边经过点D,且直角顶点E 在AB 边上滑动点E 不与点A,B 重合,另一条直角边与∠CBM 的平分线BF 相交于点F.⑴ 如图14―1,当点E 在AB 边的中点位置时：① 通过测量DE,EF 的长度,猜想DE 与EF 满足的数量关系是； ② 连接点E 与AD 边的中点N,猜想NE 与BF 满足的数量关系是； ③ 请证明你的上述两猜想.⑵ 如图14―2,当点E 在AB 边上的任意位置时,请你在AD 边上找到一点N, 使得NE=BF,进而猜想此时DE 与EF 有怎样的数量关系并证明2. 在Rt△ABC 中,AC ＝BC,∠ACB ＝90°,D 是AC 的中点,DG ⊥AC 交AB 于点G.1如图1,E 为线段DC 上任意一点,点F 在线段DG 上,且DE=DF,连结EF 与 CF,过点F 作FH ⊥FC,交直线AB 于点H ． ①求证：DG=DC②判断FH 与FC 的数量关系并加以证明．2若E 为线段DC 的延长线上任意一点,点F 在射线DG 上,1中的其他条件不变,借助图2画出图形;在你所画图形中找出一对全等三角形,并判断你在1中得出的结论是否发生改变．本小题直接写出结论,不必证明边经过点A,且60o1如图1当点E 在BC 错误!猜想AE 与EF 错误!连结点E 错误!２如图２当点Ｅ在ＢＣ边得任意位置时,ＡＥ和EF 有怎样的数量关系,并说明你的理由四、角平分线问题1. 如图：E 在线段CD 上,EA 、EB 分别平分∠DAB 和∠CBA, ∠AEB=90°,设AD ＝x ,BC ＝y ,且,x y 满足2268250x y x y +--+=D B E图1E图（2）图12－2图12－11求AD 和BC 的长；2你认为AD 和BC 还有什么关系并验证你的结论； 3你能求出AB 的长度吗若能,请写出推理过程；若不能,请说明理由.2. 如图①,OP 是∠MON 的平分线,请你利用该图形画一对以OP 所在直线为对称轴的全等三角形;请你参考这个作全等三角形的方法,解答下列问题：1如图②,在△ABC 中,∠ACB 是直角,∠B =60°,AD 、CE 分别是∠BAC 、∠BCA 的平分线,AD 、CE 相交于点F ;请你判断并写出FE 与FD 之间的数量关系； 2如图③,在△ABC 中,如果∠ACB 不是直角,而1中的其它条件不变,请问,你在1中所得结论是否仍然成立若成立,请证明；若不成立,请说明理由;3.北京市中考模拟题如图,在四边形ABCD 中,AC 平分BAD ∠,过C 作CE AB ⊥于E ,并且1()2AE AB AD =+,则ABC ADC ∠+∠等于多少4. 如图,△ABC 中,AD 平分∠BAC,DG ⊥BC 且平分BC,DE ⊥AB 于E,DF ⊥AC 于F.1说明BE=CF 的理由；2如果AB=a ,AC=b ,求AE 、BE 的长.五、中点问题1. 在△ABC 中, D 为BC 的中点, 过D 点的直线GF 交AC 于F , 交AC 的平行线BG 于点G ;DE GF ⊥, 并交AB 于点E . 连结EG . 1求证: BG CF =；2请猜想BE CF +与EF 的大小关系, 并加以证明2.如右下图,在ABC ∆中,若2B C ∠=∠,AD BC ⊥,E 为BC边的中点．求证：2AB DE =．3. 已知ABC ∆中,AB AC =,BD 为AB 的延长线,且BD AB =,CE为ABC ∆的AB 边上的中线．求证2CD CE =提示：倍长中线试试附加思考题：此题有很好地思维训练价值,值得深入思考探究以ABC ∆的两边AB 、AC 为腰分别向外作等腰Rt ABD ∆和等腰Rt ACE ∆,90BAD CAE ∠=∠=︒.连接DE ,M 、N 分别是BC 、DE 的中点．探究：AM 与DE 的位置关系及数量关系．⑴如图① 当ABC ∆为直角三角形时,AM 与DE 的位置关系是；线段AM 与DE 的数量关系是；⑵将图①中的等腰Rt ABD ∆绕点A 沿逆时针方向旋转θ︒090θ<<后,如图②所示,⑴问中得到的两个结论是否发生改变并说明理由．1．判断与说理1如图11－1,△ADE 中,AE=AD 且∠AED=∠ADE,∠EAD=90°,EC、DB 分别平分∠AED、∠ADE,交AD 、AE 于点C 、B,连接BC ．请你判断AB 、AC 是否相等,并说明理由；2△ADE 的位置保持不变,将△ABC 绕点A 逆时针旋转至图11－2的位置,AD 、BE 相交于O,请你判断线段BE 与CD 的关系,并说明理由．2．某课外学习小组在一次学习研讨中,得到如下两个命题：①如图12-1,在正三角形ABC 中,M 、N 分别是AC 、AB 上的点,BM 与相交于点O,若∠BON = 60°,则BM = CN.ACBDEE DGFC BA第23题图OP AM NE B CDF ACE F BD图① 图② 图③ 图11－1 图11－2ED DEACBBCO图12－3图12－4图12－5②如图12-2,在正方形ABCD 中,M 、N 分别是CD 、AD 上的点,BM 与CN 相交于点O,若∠BON = 90°,则BM = CN.学习小组成员根据上述两个命题运用类比．．的思想又提出了如下的命题：③如图12-3,在正五边形ABCDE 中,M 、N 分别是CD 、DE 上的点,BM 与CN 相交于点O,若∠BON = 108°,则BM = CN. 友情提示：正多边形的各边相等且各内角也相等1请你从①、②、③三个命题中选择一个．．说明理由； 2请你继续完成下面的探索：①如图12-4,在正n 边形n ≥6中,M 、N 分别是CD 、DE 上的点,BM 与CN 相交于点O,问当∠BON 等于多少度时,结论BM = CN 成立不要求证明②如图12-5,在正五边形ABCDE 中,M 、N 分别是DE 、AE 上的点,BM 与CN 相交于点O,当∠BON = 108°时,请问结论BM = CN 是否还成立若成立,请给予证明；若不成立,请说明理由. 解：1我选 .仅填写①、②、③中的一个理由如下： 23. 如图9所示,△ABC 是等腰直角三角形,∠ACB ＝90°,AD 是BC 边上的中线,过C 作AD 的垂线,交AB 于点E,交AD 于点F; 请你猜想∠ADC 和∠BDE 关系,并证明你的猜想;4. 如下几个图形是五角星和它的变形．1图⑴ 中是一个五角星形状,求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E= ；2图⑴中的点A 向下移到BE 上时如图⑵五个角的和即∠CAD+∠B+∠C+∠D+∠E 有无变化说明你的结论的正确性；3把图⑵中的点C 向上移动到BD 上时如图⑶,五个角的和即∠CAD+∠B+∠ACE+∠D+∠E 有无变化说明你的结论的正确性．4如图,在ABC 中,CD 、BE 分别是AB 、AC 边上的中线,延长CD 到F,使FD=CD,延长BE 到G,使EG=BE,那么AF 与AG 是否相等 F 、A 、G 三点是否在一条直线上说说你的理由.5、操作实验：如图,把等腰三角形沿顶角平分线对折并展开,发现被折痕分成的两个三角形成轴对称．所以△ABD≌△ACD,所以∠B=∠C．归纳结论：如果一个三角形有两条边相等,那么这两条边所对的角也相等．根据上述内容,回答下列问题：思考验证：如图4, 探究应用：如图5,CB⊥AB,垂足为A,DA⊥AB,垂足为B ．E 为AB 1BE 与AD 是否相等为什么A CDEF 图9AB C D E 1AB C D E 2 BAC D E 3D B A B C 图1 图22小明认为AC 是线段DE 的垂直平分线,你认为对吗说说你的理由; 3∠DBC 与∠DCB 相等吗试说明理由．6. 如图13-1,在边长为5的正方形ABCD 中,点E 、F 分别是BC 、DC 边上的点,且AE EF ⊥,2BE =. 1求EC ∶CF 的值；2延长EF 交正方形外角平分线CP P 于点如图13-2,试判断AE EP 与的大小关系,并说明理由； 3在图13-2的AB 边上是否存在一点M ,使得四边形DMEP 是平行四边形若存在,请给予证明；若不存在,请说明理由．7. 团体购买某 “素质拓展训练营”的门票,票价如表a 为正整数：团体购票人数 1～50 51～100100以上每人门票价a 元a3元a6元⑴某中学高一1、高一2班同学准备参加“素质拓展训练营”活动,其中高一1班人数不超过50,高一2的人数超过50但不超过80;当a=48时,若两班分别购票,两班总计应付门票费4914元；若合在一起作为一个团体购票,总计支付门票费4452元;问这两个班级各有多少人⑵某校学生会现有资金4429元用于购票,打算组织本校初三年级团员参加该项活动;为了让更多的人能参加活动,学生会统一组织购票,购票资金恰好全部用完,且参加人数超过了100人,问共有多少人参加了这一活动并求出此时a 的值;8. 如下图,在△ABC 中,AD 平分∠BAC,AB+BD=AC,则∠B∶∠C 的值为．9. 如左下图,AB∥CD,AD∥BC,OE=OF,则图中全等三角形的组数是A. 3B. 4C. 5D. 610. 两个全等的含300, 600角的三角板ADE 和三角板ABC 如图所示放置,E,A,C 三点在一条直线上,连结BD,取BD 的中点M,连结ME,MC ．试判断△EMC 的形状,并说明理由．11、1不用量角器,只利用刻度尺就能画出一个角的平分线,下面是小明的画法,你认为他的画法对吗请你按照小明的画法,画出图形,说明理由 ;①利用刻度尺在∠AOB 的两边上分别取OC ＝OD ；②连结CD,利用刻度尺画出CD 的中点E ③画射线OE 射线OE 即为∠AOB 的角平分线;2请你探索只利用你的三角尺可以量长度、画直角．．．．．．．画出一个角的平分线的画法; 要求：①画出图形；②简要说明画法；③说明理由;12.1如图1,正方形ABCD 中,E 为边CD 上一点,连结AE,过点A 作AF ⊥AE 交CB 的延长线于F,猜想AE 与AF 的数量关系,并说明理由；2如图2,在1的条件下,连结AC,过点A 作AM ⊥AC 交CB 的延长线于M,观察并猜想CE 与MF 的数量关系不必说明理由； 3解决问题：①王师傅有一块如图所示的板材余料,其中∠A =∠C =90°,AB=AD ．王师傅想切一刀后把它拼成正方形．请你帮王师傅在图3中画出剪拼的示意图；②王师傅现有两块同样大小的该余料,能否在每块上各切一刀,然后拼成一个大的正方形呢若能,请你画出剪拼的示意图；若不能,简要说明理由．图13-1 A DC B E 图13-2 B C E DA F P F AB CDEFOADADAD…………方程组集合对应方程组解的集合 13.下图是按一定规律排列的方程组集合和它解的集合的对应关系图,若方程组集合中的方程组自左至右依次记作方程组1、方程组2、方程组3、……方程组n ． 1将方程组1的解填入图中；2请依据方程组和它的解变化的规律,将方程组n 和它的解直接填入集合图中； 3若方程组⎩⎨⎧=-=+161my x ny x 的解是⎩⎨⎧-==9y 10x ,求m 、n 的值,并判断该方程组是否符合 2中的规律14．某工厂用如图甲所示的长方形和正方形纸板,做成如图乙所示的竖式与横式两种无盖的长方体纸盒．长方形的宽与正方形的边长相等1现有正方形纸板50张,长方形纸板l 00张,若要做竖式纸盒x 个,横式纸盒y 个． ①根据题意,完成以下表格： ②若纸板全部用完,求x 、y 的值；2若有正方形纸板80张,长方形纸板a 张,做成上述两种纸盒,纸板恰好全部用完．已知 162<n<172,求n 的值．15．1如图1,图2,图3,在ABC △中,分别以AB AC ，为边,向ABC △外作正三角形,正四边形,正五边形,BE CD ，相交于点O ．说明：每条边都相等,每个角都相等的多边形叫做正多边形 ①如图1,求证：ABE ADC △≌△；②探究：如图1,BOC ∠= ；如图2,BOC ∠= ；如图3,BOC ∠= ． 2如图4,已知：AB AD ，是以AB 为边向ABC △外所作正n 边形的一组邻边；AC AE ，是以AC 为边向ABC △外所作正n 边形的一组邻边．BE CD ，的延长相交于点O ．①猜想：如图4,BOC ∠= 用含n 的式子表示；②根据图4证明你的猜想． 16．按照指定要求画图1如下图1所示,黑粗线把一个由18个小正方形组成的图形分割成两个全等图形,请在图2中,仿图1沿着虚线用四种不同的画法,把每图形分割成两个全等图形．2请将下面由16个小正方形组成的图形,用两种不同的画法沿正方形的网格线用粗线把它分割成两个全等图形17.用两个全等的等边三角形△ABC 和△ACD 拼成四边形ABCD,把一个含60°角的三角尺与这个四边形叠合,使三角尺的60°角的顶点与点A 重合,两边分别与AB 、AC 重合,将三角尺绕点A 按逆时针方向旋转;1当三角尺的两边分别与四边形的两边BC 、CD 相交于点E 、F 时如图a,通过观察或测量BE 、CF 的长度,你能得出什么结论并说明理由；2当三角尺的两边分别与四边形的两边BC 、CD 的延长线相交于点E 、F 时如图b,你在1中得到的结论还成立吗简要说明理由;本题12分18. 如图,在下列网格中,⊿ABC 和⊿DEF 全等,且DE 与AB 是对应线段,则符合条件的F 点的个数为 .个个 C. 3个个19、已知：如图①所示,在ABC △和ADE △中,AB AC =,AD AE =,∠BAC=∠DAE=α,且点B A D ，，在一条直线上,连接BE CD M N ，，，分别为BE CD ，的中点． 1求证：BE CD =；2在图①的基础上,将ADE △绕点A 按顺时针方向旋转180,其他条件不变,得到图②所示的图形．请直接写出1中的两个结论是否仍然成立；3在旋转的过程中,若直线BE 与CD 相交于点P,试探究∠APB 与∠MAN 的关系,并说明理由;结果用含α的代数式表示21.如右图所示,方格纸中有A 、B 、C 、D 、E 五个格点图中的每一个方格均表示边长为1个单位的正方形,以其中的任意3个点为顶点,画出所有的三角形,数一下,共构成________个三角形,其中有_______对全等三角形,它们分别____________________________ _______________________请选取一对非直角全等三角形,说明全等的理由．22．已知∠AOB=900,在∠AOB 的平分线OM 上有一点C,将一个三角板的直角顶点与C 重合,它的两条直角边分别与OA 、OB 或它们的反向延长线相交于点D 、E ．当三角板绕点C 旋转到CD 与OA 垂直时如图1,易证：CD=CE当三角板绕点C 旋转到CD 与OA 不垂直时,在图2、图3这两种情况下,上述结论是否还成立若成立,请给予证明；若不成立,请写出你的猜想,不需证明．23．如图,△DAC 和△EBC 均是等边三角形,AE 、BD 分别与CD 、CE 交于点M 、N,有如下结论：① △ACE ≌△DCB ； ② CM ＝CN ；③ EM ＝BN ．其中,正确结论的个数是A ．3个B ．2个C ．1个D ．0个24．锐角为45o的直角三角形的两直角边长也相等,这样的三角形称为等腰直角三角形．我们常用的三角板中有一块就是这样的三角形,也可称它为等腰直角三角板．把两块全等的等腰直角三角板按如图1放置,其中边BC 、FP 均在直线l 上,边EF 与边AC 重合．1将△EFP 沿直线l 向左平移到图2的位置时,EP 交AC 于点Q ,连结AP ,BQ ．猜想并写出BQ 与AP 所满足的数量关系和位置关系,请证明你的猜想；2将△EFP 沿直线l 向左平移到图3的位置时,EP 的延长线交AC 的延长线于点Q ,连结AP ,BQ ．你认为1中所猜想的BQ 与AP 的数量关系和位置关系还成立吗若成立,给出证明；若不成立,请说明理由．C EN DABM图①CAEMBDN图②第27题图··· ··A B CD EAE lEAQC P l25.如图,△ABC 和△ADC 都是每边长相等的等边三角形,点E 、F 同时分别从点B 、A 出发,各自沿BA 、AD 方向运动到点A 、D 停止,运动的速度相同,连接EC 、FC ．1在点E 、F 运动过程中∠ECF 的大小是否随之变化请说明理由；2在点E 、F 运动过程中,以点A 、E 、C 、F 为顶点的四边形的面积变化了吗请说明理由.3连接EF,在图中找出和∠ACE 相等的所有角,并说明理由． 4若点E 、F 在射线BA 、射线AD 上继续运动下去,1小题中的结论还成立吗直接写出结论,不必说明理由26．如图,方格纸中△ABC 的3个顶点分别在小正方形的顶点格点上,这样的三角形叫格点三角形,图中与△ABC 全等的格点三角形共有__________个不含△ABC ． 27、我校“心动数学”社团活动小组,在网格纸上为学校的一块空地设计植树方案如下：第k 棵树种植在点第k x 行k y 列处,其中11=x ,11=y ,当k≥2时,⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧---+=----+=--]52[]51[])52[]51([5111k k y y k k x x k k k k ,a 表示非负数a 的整数部分,例如=2,=0．按此方案,第2009棵树种植点所在的行数是4,则所在的列数是A 、401B 、402C 、2009D 、2010 28．如图,已知△ABC 中,AB=AC=6cm,BC=4cm,点D 为AB 的中点．1如果点P 在线段BC 上以1 cm ／s 的速度由点B 向点C 运动,同时,点Q 在线段CA 上由点C 向点A 运动．①若点Q 的运动速度与点P 的运动速度相等,经过1秒后,△BPD 与△CQP 是否全等, 请说明理由；②若点Q 的运动速度与点P 的运动速度不相等,当点Q 的运动速度为多少时,能够使 △BPD 与△CQP 全等2若点Q 以②中的运动速度从点C 出发,点P 以原来的运动速度从点B 同时出发,都逆时针沿△ABC 三边运动,求经过多长时间点P 与点Q 第一次在△ABC 的哪条边上相遇A EBCDF。

专题01 三角形边或角关系的三种模型(解析版)(人教版)

专题01 三角形边或角关系的三种模型几何探究类问题一直属于考试压轴题范围，在三角形这一章，压轴题主要考查是证明角的数量关系，或者三角形的三边和差关系等，接来下我们针对这两个版块做出详细分析与梳理。

类型一、燕尾角模型例1．在社会实践手工课上，小茗同学设计了一个形状如图所示的零件，如果52,25A B °°Ð=Ð=，30,35,72C D E °°°Ð=Ð=Ð=，那么F Ð的度数是（）．A ．72°B ．70°C ．65°D ．60°【答案】A 【详解】延长BE 交CF 的延长线于O ，连接AO ，如图，∵180,OAB B AOB Ð+Ð+Ð=° ∴180,AOB B OAB Ð=°-Ð-Ð同理得180,AOC OAC C Ð=°-Ð-Ð∵360,AOB AOC BOC Ð+Ð+Ð=°∴360BOC AOB AOC Ð=°-Ð-Ð 360(180)(180)B OAB OAC C =°-°-Ð-Ð-°-Ð-Ð107,B C BAC =Ð+Ð+Ð=°∵72,BED Ð=°∴180108,DEO BED Ð=°-Ð=°∴360DFO D DEO EOF Ð=°-Ð-Ð-Ð 36035108107110,=°-°-°-°=°∴180********DFC DFO Ð=°-Ð=°-°=°,故选：A ．【变式训练1】如图，若115EOC Ð=°，则A B C D E F Ð+Ð+Ð+Ð+Ð+Ð=____________．【答案】230°【详解】解：如图∵∠EOC =∠E +∠2=115°，∠2=∠D +∠C ， ∴∠E +∠D +∠C =115°，∵∠EOC =∠1+∠F =115°，∠1=∠A +∠B ， ∴∠A +∠B +∠F =115°，∴∠A +∠B +∠C +∠D +∠E +∠F =230°，故答案为：230°．【变式训练2】如右图，∠A +∠B +∠C +∠D +∠E +∠F +∠G +∠H ＝__．【答案】360°【详解】解：由图形可知：∠BNP ＝∠A ＋∠B ，∠DPQ ＝∠C ＋∠D ，∠FQM ＝∠E ＋∠F ，∠HMN ＝∠G ＋∠H ，∵∠BNP ＋∠DPQ ＋∠FQM ＋∠HMN ＝360°，∴∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＋∠F ＋∠G ＋∠H ＝∠BNP ＋∠DPQ ＋∠FQM ＋∠HMN ＝360°．故答案为：360°．【变式训练3】如图，求∠A +∠B +∠C +∠D +∠E +∠F +∠G +∠H +∠I ＝__．【答案】900°【详解】解：连EF ，GI ，如图，∵6边形ABCDEFK 的内角和＝（6－2）×180°＝720°，∴∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＋∠F ＝720°－（∠1＋∠2），即∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＋∠F ＋（∠1＋∠2）＝720°，∵∠1＋∠2＝∠3＋∠4，∠5＋∠6＋∠H ＝180°，∴∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＋∠F ∠H ＋（∠3＋∠4）＝900°，∴∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＋∠F （∠3＋∠4）＋∠5＋∠6＋∠H ＝720°＋180°，∴∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＋∠F ＋∠G ＋∠H ＋∠I ＝900°，故答案为：900°．【变式训练4】模型规律：如图1，延长CO 交AB 于点D ，则1BOC B A C B Ð=Ð+Ð=Ð+Ð+Ð．因为凹四边形ABOC 形似箭头，其四角具有“BOC A B C Ð=Ð+Ð+Ð”这个规律，所以我们把这个模型叫做“箭头四角形”．模型应用（1）直接应用：①如图2，60,20,30A B C Ð=°Ð=°Ð=°，则BOC Ð=__________°；②如图3，A B C D E F Ð+Ð+Ð+Ð+Ð+Ð=__________°；（2）拓展应用：①如图4，ABO Ð、ACO Ð的2等分线（即角平分线）1BO 、1CO 交于点1O ，已知120BOC Ð=°，50BAC Ð=°，则1BO C Ð=__________°；②如图5，BO 、CO 分别为ABO Ð、ACO Ð的10等分线1,2,3,,(,)89i =¼．它们的交点从上到下依次为1O 、2O 、3O 、…、9O ．已知120BOC Ð=°，50BAC Ð=°，则7BO C Ð=__________°；③如图6，ABO Ð、BAC Ð的角平分线BD 、AD 交于点D ，已知120,44BOC C Ð=°Ð=°，则ADB =∠__________°；④如图7，BAC Ð、BOC Ð的角平分线AD 、OD 交于点D ，则B Ð、C Ð、D Ð之同的数量关系为__________．【答案】（1）①110；②260；（2）①85；②110；③142；④∠B -∠C +2∠D =0【详解】解：（1）①∠BOC =∠A +∠B +∠C =60°+20°+30°=110°；②∠A +∠B +∠C +∠D +∠E +∠F =∠BOC +∠DOE =2×130°=260°；（2）①∠BO 1C =∠BOC -∠OBO 1-∠OCO 1=∠BOC -12（∠ABO +∠ACO ）=∠BOC -12（∠BOC -∠A ）=∠BOC -12（120°-50°）=120°-35°=85°；②∠BO 7C =∠BOC -17（∠BOC -∠A ）=120°-17（120°-50°）=120°-10°=110°；③∠ADB =180°-（∠ABD +∠BAD ）=180°-12（∠BOC -∠C ）=180°-12（120°-44°）=142°；④∠BOD =12∠BOC =∠B +∠D +12∠BAC ，∠BOC =∠B +∠C +∠BAC ，联立得：∠B -∠C +2∠D =0．类型二、折叠模型例1.如图，在ABC V 中，46C Ð=°，将ABC V 沿直线l 折叠，点C 落在点D 的位置，则12Ð-Ð的度数是（）．A ．23°B ．92°C ．46°D ．无法确定【答案】B 【详解】解：由折叠的性质得：46D C Ð=Ð=°，根据外角性质得：13C Ð=Ð+Ð，32D Ð=Ð+Ð，则1222292C D C Ð=Ð+Ð+Ð=Ð+Ð=Ð+°，则1292Ð-Ð=°．故选：B ．【变式训练1】如图，将△ABC 纸片沿DE 折叠，使点A 落在点A '处，且A 'B 平分∠ABC ，A 'C 平分∠ACB ，若∠BA 'C ＝120°，则∠1+∠2的度数为（）A ．90°B ．100°C ．110°D ．120°【答案】D【详解】解：如图，连接AA'，∵A'B平分∠ABC，A'C平分∠ACB，∴∠A'BC=12∠ABC，∠A'CB=12∠ACB，∵∠BA'C=120°，∴∠A'BC+∠A'CB=180°-120°=60°，∴∠ABC+∠ACB=120°，∴∠BAC=180°-120°=60°，∵沿DE折叠，∴∠DAA'=∠DA'A，∠EAA'=∠EA'A，∵∠1=∠DAA'+∠DA'A=2∠DAA'，∠2=∠EAA'+∠EA'A=2∠EAA'，∴∠1+∠2=2∠DAA'+2∠EAA'=2∠BAC=2×60°=120°，故选：D．【变式训练2】如图，把△ABC沿EF对折，叠合后的图形如图所示．若∠A＝55°，∠1＝95°，则∠2的度数为（）．A．14°B．15°C．28°D．30°【答案】B【详解】解：∵∠A＝55°，∴∠AEF＋∠AFE＝180°－55°＝125°，∴∠FEB＋∠EFC＝360°－125°＝235°，由折叠可得：∠B′EF＋∠EFC′＝∠FEB＋∠EFC＝235°，∴∠1＋∠2＝235°－125°＝110°，∵∠1＝95°，∴∠2＝110°－95°＝15°，故选：B ．【变式训练3】如图,将△ABC 沿着DE 翻折,使B 点与B'点重合,若∠1+∠2=80°,则∠B 的度数为（）A ．20°B ．30°C ．40°D ．50°【答案】C 【详解】由折叠的性质可知','BED B ED BDE B DEÐ=ÐÐ=Ð∵1'180,2'180BED B ED BDE B DE Ð+Ð+Ð=°Ð+Ð+Ð=°∴11(36012)(36080)14022BED BDE Ð+Ð=°-Ð-Ð=´°-°=°∴180()18014040B BED BDE Ð=°-Ð+Ð=°-°=°故选C【变式训练4】如图，将矩形纸片ABCD 沿EF 折叠，点C 落在边AB 上的点H 处，点D 落在点G 处，若111GEF Ð=°，则AHG ∠的度数为（）．A ．42°B ．69°C ．44°D ．32°【答案】A 【详解】由图形翻折的性质可知，111GEF DEF Ð=Ð=°，180111AEF \Ð=°-°=69°，1116942AEG GEF AEF Ð=Ð-Ð=°-°=°，90A G Ð=Ð=°Q ，利用“8”字模型，42AHG AEG \Ð=Ð=°，故选：A ．类型三、“8”字模型例1.如图，BP 平分ABC Ð，交CD 于点F ，DP 平分ADC Ð交AB 于点E ，AB 与CD 相交于点G ，42A Ð=°．（1）若60ADC Ð=°，求AEP Ð的度数；（2）若38C Ð=°，求P Ð的度数．【答案】（1）72°；（2）40°．【详解】解：（1）∵DP 平分∠ADC ，∴∠ADP=∠PDF=12ADC Ð，∵60ADC Ð=°，∴30ADP Ð=°，∴304272AEP ADP A Ð=Ð+Ð=°+°=°；（2）∵BP 平分∠ABC ，DP 平分∠ADC ，∴∠ADP=∠PDF ，∠CBP=∠PBA ，∵∠A+∠ADP=∠P+∠ABP ，∠C+∠CBP=∠P+∠PDF ，∴∠A+∠C=2∠P ，∵∠A=42°，∠C=38°，∴∠P=12（38°+42°）=40°．【变式训练1】如图，求∠A +∠B +∠C +∠D +∠E +∠F +∠G +∠H +∠K 的度数．【答案】540°【详解】解：如图所示：由三角形的外角的性质可知：∠A ＋∠B ＝∠IJL ，∠C ＋∠D ＝∠MLJ ，∠H ＋∠K ＝∠GIJ ，∠E ＋∠F ＝∠GML ，∴∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＋∠F ＋∠G ＋∠H ＋∠K ＝∠IJL ＋∠MLJ ＋∠GML ＋∠G ＋∠GIJ ＝（5－2）×180°＝3×180°＝540°．【变式训练2】（1）已知：如图①的图形我们把它称为“8字形”，试说明：A B C D Ð+Ð=Ð+Ð．（2）如图②，AP ，CP 分别平分BAD Ð，BCD Ð，若36ABC Ð=°，16ADC Ð=°，求P Ð的度数．（3）如图（3），直线AP 平分BAD Ð，CP 平分BCD Ð的外角BCE Ð，猜想P Ð与B Ð、D Ð的数量关系是__；（4）如图（4），直线AP 平分BAD Ð的外角FAD Ð，CP 平分BCD Ð的外角BCE Ð，猜想P Ð与B Ð、D Ð的数量关系是________．【答案】（1）见解析；（2）26°；（3）()1902P B D Ð=°+Ð+Ð；（4）()11802P B D Ð=°-Ð+Ð【详解】解：（1）A B AOB Ð+Ð+Ð=Q 180°，C D COD Ð+Ð+Ð=180°，A B AOB C D COD \Ð+Ð+Ð=Ð+Ð+Ð．AOB COD Ð=ÐQ ，A B C D \Ð+Ð=Ð+Ð；（2）AP Q ，CP 分别平分BAD Ð，BCD Ð，设BAP PAD x Ð=Ð=，BCP PCD y Ð=Ð=，则有x ABC y P x P y ADC +Ð=+Ðìí+Ð=+Ðî， ABC P P ADC \Ð-Ð=Ð-Ð，()1122P ABC ADC \Ð=Ð+Ð=（36°+16°）=26°（3）Q 直线AP 平分BAD Ð，CP 平分BCD Ð的外角BCE Ð，1=2PAB PAD BAD \Ð=Ð∠，1=2PCB PCE BCE Ð=ÐÐ，∴2PAB B Ð+Ð=180°-2PCB D Ð+Ð，∴180°()2PAB PCB D B-Ð+Ð+Ð=Ð∵∠P +∠PAD =∠PCD +∠D ，∠BAD +∠B =∠BCD +∠D ，∴=P PAD BAD B PCD BCD Ð+---∠∠∠∠∠,P PAB B PCB \Ð-Ð-Ð=Ð∴P B PAB PCBÐ-=Ð+Ð∠∴180°()2P B D B -Ð-Ð+Ð=Ð，即P Ð=90°()12B D +Ð+Ð．（4）连接PB ，PDQ 直线AP 平分BAD Ð的外角FAD Ð，CP 平分BCD Ð的外角BCE Ð，FAP PAO \Ð=Ð，PCE PCB Ð=Ð，∵APB PBA PAB +Ð+Ð=∠180°，PCB PBC BPC +Ð+Ð=∠180°∴APC ABC PCB PAB Ð+Ð+Ð+=∠360°同理得到：APC ADC PCD PAD Ð+Ð+Ð+=∠360°∴2APC ABC ADC PCB PAB PCD PAD Ð+Ð+Ð+Ð++Ð+=∠∠720°∴2APC ABC ADC PCE PAB PCD PAF Ð+Ð+Ð+Ð++Ð+=∠∠720°∵=PCE PCD Ð+Ð180°，=PAB PAF +∠∠180°∴2APC ABC ADC Ð+Ð+Ð=360°，APC \Ð=180°-()12ABC ADC Ð+Ð。

三角形(五大压轴题专练)(解析版)-2023-2024学年八年级数学上册单元速记巧练(人教版)

三角形（五大压轴题专练）【题型一三角形中高线的综合问题】(1)如图1，连接AB 、AC ，求ABC 的面积；(2)如图2，延长BA 交直线m 交于点D ，在CD 上存在点P 坐标；(3)请在备用图中画图探究：若点P 是直线m 上的一个动点，连接1CMP BCM S S -=△时，直接写出点Ｍ的坐标．【答案】(1)3(2)点P 的坐标(3,2)或(9,2)，(3)点M 的坐标为2(,0)3或2(,0)3-【分析】（1）根据点A 、B 、C 的坐标得2,OA OC OB ===（2）设(,2),(,2)D m P n ，根据BCD △的面积：113322m ⨯=⨯113(6)3(6)2222n n ⨯-⨯-⨯-⨯=，或11(6)3(6)22n n ⨯-⨯-⨯-（3）设(,2),(,2)D m P n ，根据+PCB BCM PCM S S S =△△△得132⨯1CMP BCM S S -=△得111231223t t ⨯⨯-⨯⨯=，计算得2t =，则BCD △的面积：11322m ⨯=⨯6m =，∵12ABP ABC S S =△△，∴11(6)3(6)22n n ⨯-⨯-⨯-⨯解得，3n =或9n =，∴点P 的坐标(3,2)或(9,2)；（3）解：如图3中，设(D m +PCB BCM PCM S S S =△△△，111332222t a t ⨯⨯=⨯⨯=⨯⨯，13a t =，∵1CMP BCM S S -=△，(1)在题干的基础上，①如图2，点P 为BC 上一点，作PM AB ⊥，PN AC ⊥，设②如图3，当点P 在CB 延长线上时，猜想1d 、2d 之间又有什么样的数量关系，请证明你的猜想；(2)如图4，在ABC 中，10AB AC ==，12BC =，ABC S △点B 作BE BC ⊥，点P 是直线BE 上一动点，点Q 是直线值．【答案】(1)①见解析；②猜想：213412d d -=，证明见解析222∴124312d d +=②猜想：213412d d -=理由如下：，作PM AB ⊥，PN （2）作点D 关于直线BE 的对称点∴PD PD '=，PD PQ PD PQ'+=+∵点D 在BC 延长线上，则D ¢、B 、【点睛】本题考查了三角形高的定义，垂线段最短，熟练掌握等面积法求线段的长是解题的关键．3．在平面直角坐标系中，有点(),0A a ，(0,B 单位得到线段CD ．(1)直接写出=a ______，b =______；(2)如图1，点E 为线段CD 上任意一点，点F 为线段AB 上任意一点，，求则OP CD AB ∥∥，∴180DEO EOP ∠+∠=︒，∴DEO EOP AFO ∠+∠+∠即33135360x y ++︒=︒，∴75x y +=︒，过G 作GH CD ∥，则GH ∴EGH DEG x ∠=∠=，∵6k =，∴()0,3C ，()6,6D ，设(),3K n ，∵BCK ABC ACK S S S =+△△△，∴1116663222n n ⨯⨯=⨯⨯+⨯⨯，【题型二三角形中中线的综合问题】【深入探究】（1）如图2，点D 在ABC 的边BC 上，点P 在AD 上．①若AD 是ABC 的中线，求证：APB APC S S =△△；②若3BD DC =，则:APB APC S S =△△______．【拓展延伸】∵点A、B、C、D分别为∴AG，BC，CE，∴12 GAH GADS S S==∴12 ADC ADGS S S==(1)如图2，延长ABC 的边BC 到点D ，使CD BC =，连接DA ．若ACD 的面积为1S ，则1S =代数式表示）；(2)如图3，延长ABC 的边BC 到点D ，延长边CA 到点E ，使CD BC =，AE CA =，连接DE ．若面积为2S ，则2S =（用含a 的代数式表示）；(3)在图3的基础上延长AB 到点F ，使BF AB =，连接FD ，FE ，得到DEF （如图4）．若阴影部分的面积为3S ，则3S =（用含a 的代数式表示）；拓展应用：(4)如图5，点D 是ABC 的边BC 上任意一点，点E ，F 分别是线段AD ，CE 的中点，且ABC 的面积为延长ABC 的边BC ∴12ACD AED ECD S S S ∆∆∆==22ECD ABC S S a ∆∆∴==，即22S a =；（3）由（2）得ECD S ∆同理：2EFA ABC S S ∆∆=3ECD EFA S S S ∆∆∴=++（4）2BEF S a =△，理由如下：理由：∵点E 是线段∴ABE BDE S S = ，S △∴12BCE ABC S S = ．=，连接FD，FE，得到(3)在图3的基础上延长AB到点F，使BF AB积为3S，则3S=___________；（用含a的代数式表示）拓展与应用：(4)如图5，已知四边形ABCD的面积是a，E、F、G、H分别是AB、BC【答案】(1)a；(2)2a；(3)6a；(4)12 a．延长ABC∆的边BC∴12ACD AED ECD S S S∆∆∆==22ECD ABCS S a∆∆∴==，（4）解：如图5所示，连接则1,2AEO ABO S S S ∆∆=∴AEO AHO S S S ∆∆∆++【点睛】此题考查了阅读与理解：三角形中线的性质即等底同高的三角形面积相等，灵活运用这个结论并适当添加辅助线是解答此题的关键．【题型三三角形中角平分线的综合问题】1.已知，AB DE ∥，点C 是直线AB ，DE 下方一点，连接BC ，DC ．【点睛】本题考查平方数、二次根式的非负性，利用面积法求点的坐标，角平分线的定义，三角形内角和定理等，难度一般，解第二问的关键是熟练运用数形结合思想，解第三问的关键是利用角度等量代换．【题型四三角形内角和与外角和的综合问题】1.在ABC 中，点E 是CA 延长线上一点．(1)如图1，过点B 作BD BC ⊥，交CE 于点F ，D C ∠=∠．①若36C ∠=︒，则DAF ∠=______°；②试写出DAF ∠与C ∠的数量关系，并说明理由；③当DAF D ∠=∠时，求C ∠的度数；④若D ABD ∠=∠，请说明BA CF ⊥；(2)如图2，BD 交CE 于点F ，D C ∠=∠，直接写出DAC ∠、C ∠与DBC ∠之间的数量关系．【答案】(1)①18；②290DAF C ∠+∠=︒，理由见解析；③30C ∠=︒；④见解析(2)2DAC C DBC∠=∠+∠【分析】（1）①根据180BFC C DBC ∠=︒-∠-∠，DAF BFC D ∠=∠-∠，即可求得答案．②根据180BFC C DBC ∠=︒-∠-∠，DAF BFC D ∠=∠-∠，结合等量代换，即可求得答案．③根据②的结论，采用等量代换即可求得答案．④根据2+18090DAF C DAF D ABD FAB ∠+∠=∠+∠∠=︒-∠=︒，即可求得FAB ∠的度数，问题即可得证．（2）延长BA 至K ，根据DAC DAK CAK ∠=∠+∠，结合三角形的外角的性质可求得答案．【详解】（1）①∵0910********BFC C DBC ∠︒=︒-∠-∠=︒-︒=︒-，∴543618DAF BFC D ∠︒=︒-∠-==∠︒．故答案为：18．②290DAF C ∠+∠=︒．理由如下：∵DAK D DBA∠∠=∠+∠，CAK∴DAC DAK CAK D∠=∠+∠=∠+【点睛】本题主要考查三角形内角和定理、三角形的外角的性质（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和），牢记三角形的外角的性质是解题的关键．中，点2．（1）如图①所示，ABC，不用说明理由，直接填空．（2）如图③所示，13OBC DBC ∠=∠，13OCB ECB ∠=∠，若A α∠=，则BOC ∠填空并说明理由．【答案】（1）902α︒+，1203α︒+．；（2）1203α︒-1(1)如图1，若AD BC ∥，求证：AC BD ∥；(2)如图2，若BD BC ⊥，垂足为B ，BD 交CE 于点G ，请探究DAE ∠论，并说明理由；(3)如图3，在（2）的条件下，过点D 作DF BC ∥交射线CE 于点F ，当(1)如图1，如果点F 在线段AE 上，且50C ∠=︒，30B ∠=︒，则EFD ∠=______．(2)如果点F 在ABC 的外部，分別作出CAE ∠和EDF ∠的角平分线，交于点K ，请在图2中补全图形，探究AKD ∠、C ∠、B ∠三者之间的数量关系，并说明理由：(3)如图3，若点F 与点A 重合，PE 、PC 分别平分AEC ∠和ABC 的外角ACM ∠，连接PA PG BC ⊥交BC 延长线于点G ，PH AB ⊥交BA 的延长线于点H ，若EAD CAD ∠=∠，且44（3）解：设EAD CAD ∠=∠=∵AE 平分BAC ∠，∴BAE CAE EAD ∠=∠=+∠∠∴6BAD α∠=，∵AD BC⊥【题型五多边形的内角和与外角和综合问题】1.【感知】如图1所示，在四边形AEFC 中，EB FD 、分别是边AE CF 、的延长线，我们把BEF DFE ∠∠、称为四边形AEFC 的外角，若220A C ∠+∠=︒，则BEF DFE ∠+∠=___________；【探究】如图2所示，在四边形AECF 中，EB FD 、分别是边AE AF 、的延长线，我们把BEC DFC ∠∠、称为四边形AECF 的外角，试探究A C ∠∠、与BEC DFC ∠∠、之间的数量关系，并说明理由；【应用】如图3所示，FM EM 、分别是四边形AEFC 的外角DFE BEF ∠∠、的平分线，若200A C ∠+∠=︒，则M ∠的度数为___________．【答案】（感知）220︒；（探究）A C BEC DFC∠+∠=∠+∠，理由见解析；（应用）【分析】（感知）根据四边形的内角和和邻补角的定义即可求出答案．（探究）根据四边形的内角和和邻补角的定义即可求出答案．（应用）根据四边形的内角和和邻补角定义可求出BEF DFE∠+∠的度数，结合角平分线的定义即可求出∠的度数．MFE MEF∠+∠度数，最后利用三角形内角和即可求出M①如图1，若B C ∠=∠，则C ∠=________︒；②如图2，若ABC ∠的平分线BE 交DC 于点E 、且BE AD ∥，则C ∠=③如图3，若ABC ∠和BCD ∠的平分线相交于点E ，则BEC ∠=________(2)如图3，当A D αβ∠=∠=，时，若ABC ∠和BCD ∠的平分线交于点数量关系．∵,BE CE 平分,ABC ∠∴111,222ABC ∠=∠∠=∴112(2ABC ∠+∠=∠∴在BCE 中，BEC ∠故答案为：110︒．（2）解：在四边形ABCD ∴360ABC BCD ∠+∠=∵ABC ∠和BCD ∠的平分线交于点∴111,222ABC ∠=∠∠=、两外角平分线所成的(1)如图2，在四边形ABCD 中，BP 、CP 分别平分ABC ∠和BCD ∠，则(2)如图3，在四边形ABCD 中，BM 、CM 分别平分EBC ∠和BCF ∠，请探究并说明理由.(3)在四边形ABCD 中，F ∠为ABC ∠的平分线与边CD 和BC 延长线所成角的平分线所在的直线构成的锐角，若设A α∠=，D β∠=，则F ∠=.（用α、β表示）【答案】(1)()1P A D ∠=∠+∠BF 平分ABC ∠，CF 平分12CBF ABC ∴∠=∠，DCF ∠180DCG BCD ∠=︒-∠ ，。

完整版)初二三角形压轴题分类解析

完整版)初二三角形压轴题分类解析济南初中数学压轴——XXX老师XXX版七年级下三角形综合题归类一、双等边三角形模型1.（1）如图7，点O是线段AD的中点，分别以AO和DO为边在线段AD的同侧作等边三角形OAB和等边三角形OCD，连结AC和BD，相交于点E，连结BC，求∠AEB的大小。

2）如图8，ΔOAB固定不动，保持ΔOCD的形状和大小不变，将ΔOCD绕着点O旋转（ΔOAB和ΔOCD不能重叠），求∠AEB的大小。

同类变式：如图a，△ABC和△CEF是两个大小不等的等边三角形，且有一个公共顶点C，连接AF和BE。

1)线段AF和BE有怎样的大小关系？请证明你的结论。

2)将图a中的△CEF绕点C旋转一定的角度，得到图b，(1)中的结论还成立吗？作出判断并说明理由。

3)若将图a中的△ABC绕点C旋转一定的角度，请你画出一个变换后的图形c(草图即可)，(1)中的结论还成立吗？作出判断不必说明理由。

3.如图9，若△ABC和△ADE为等边三角形，M,N分别为EB,CD的中点，易证：CD=BE，△AMN是等边三角形。

1）当把△ADE绕A点旋转到图10的位置时，CD=BE是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由。

2）当△ADE绕A点旋转到图11的位置时，△AMN是否还是等边三角形？若是，请给出证明，若不是，请说明理由。

同类变式：已知，如图①所示，在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，且点B，A，D在一条直线上，连接BE，CD，M，N分别为BE，CD的中点。

1）求证：①BE=CD；②AM=AN；2）在图①的基础上，将△ADE绕点A按顺时针方向旋转180°，其他条件不变，得到图②所示的图形。

请直接写出（1）中的两个结论是否仍然成立。

4.如图，四边形ABCD和四边形AEFG均为正方形，连接BG与DE相交于点H。

3）将图中正方形ABCD绕点A逆时针旋转（0<∠BAE<180°），设△ABE的面积为S1，△ADG的面积为S2，判断S1与S2的大小关系，并说明理由。

专题02 直角三角形三种压轴题型全攻略(解析版)

专题02 直角三角形三种压轴题型全攻略类型一、与直角三角形有关最值问题例、如图，在ABC 中，90C ∠=︒，30A ∠=︒，点D 为边AB 的中点，点P 在边AC 上，则PDB△周长的最小值等于（）．A ．AC AB +B ．ABC ．AC BC +D ．AC【答案】C 【详解】解：作点B 关于AC 的对称点H ，连接HP 、HD ，如图所示：∴BP HP =，BC HC =，∴90C ∠=︒，30A ∠=︒，∴2AB BC BH ==，∴点D 为边AB 的中点，∴2AB BD =，∴BC BD =，∴ABC HBD ∠=∠，∴ABC HBD ≌（SAS ），∴AC HD =，∴PBD C BP PD BD HP PD BD =++=++，要使其最小，则需满足H 、P 、D 三点共线，即BP PD +的最小值为HD 的长，∴PBD △的周长最小值为AC BC +；故选C ．【变式训练1】如图，在R t∴ABC 中，∴ACB ＝90°，将R t∴ABC 绕顶点C 逆时针旋转得到R t∴A 'B 'C ，M 是BC 的中点，P 是A ′B '的中点，连接PM ．若BC ＝2，∴BAC ＝30°，则线段PM 的最大值为（）．A ．2.5B ．C ．3D ．4【答案】C 【详解】如图，连接PC在Rt ABC 中，2BC =，30BAC ∠=︒，∴24AB BC ==∴将ABC 绕顶点C 逆时针旋转得到A B C ''△∴A B C ''△也是直角三角形，且4A B AB ''==∴P 是A B ''的中点，∴122PC A B =''= ∴M 是BC 的中点。

∴1CM BM ==则由三角形的三边关系定理得：PC CM PM PC CM -<<+即13PM <<当点P 恰好在MC 的延长线上时，213PM PC CM =+=+=当点P 恰好在CM 的延长线上时，211PM PC CM =-=-=综上，13PM ≤≤则线段PM 的最大值为3故选：C ．【变式训练2】如图，在ABC 中，90ACB ∠=︒，30CAB ∠=︒，=AC D 为AB 上一动点（不与点A 重合），AED 为等边三角形，过D 点作DE 的垂线，F 为垂线上任意一点，G 为EF 的中点，则线段BG 长的最小值是（）A．B ．6 C．D ．9【答案】B 【详解】解：如图，连接DG ，AG ，设AG 交DE 于点H ，DE DF ⊥，G 为EF 的中点，DG GE ∴=，∴点G 在线段DE 的垂直平分线上， AED 为等边三角形，AD AE ∴=，∴点A 在线段DE 的垂直平分线上，AG ∴为线段DE 的垂直平分线，AG DE ∴⊥，1302DAG DAE ∠=∠=︒， ∴点G 在射线AH 上，当BG AH ⊥时，BG 的值最小，如图所示，设点G '为垂足， 90ACB ∠=︒，30CAB ∠=︒，ACB AG B '∴∠=∠，CAB BAG '∠=∠，则在BAC 和BAG '△中，ACB AG B CAB BAG AB AB ∠=∠⎧⎪∠=∠='⎨'⎪⎩，()BAC BAG AAS '∴≅．BG BC '∴=，∴90ACB ∠=︒，30CAB ∠=︒，=AC ∴12BC AB =，222BC AB +=，∴222(2)BC BC +=，解得：6BC =，∴6BG BC '==故选：B ．【变式训练3】如图，长方形ABCD 中，6AB =，8BC =，E 为BC 上一点，且2BE =，F 为AB 边上的一个动点，连接EF ，将EF 绕着点E 顺时针旋转30°到EG 的位置，连接FG 和CG ，则CG 的最小值为______．【答案】2【详解】解：如图，将线段BE 绕点E 顺时针旋转30°得到线段ET ，连接GT ，过E 作EJ CG ⊥，垂足为J ，∴四边形ABCD 是矩形，∴AB =CD =6，∴B =∴BCD =90°，∴∴BET =∴FEG =30°，∴∴BEF =∴TEG ，在∴EBF 和∴TEG 中，EB ET BEF TEG EF EG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴∴EBF ∴∴ETG （SAS ），∴∴B =∴ETG =90°，∴点G 的在射线TG 上运动，∴当CG ∴TG 时，CG 的值最小，∴∴EJG =∴ETG =∴JGT =90°，∴四边形ETGJ 是矩形，∴∴JET =90°,GJ =TE =BE =2，∴∴BET =30°，∴∴JEC =180°-∴JET -∴BET =60°，∴8BC =，∴6,3,EC BC BE EJ CJ =-===∴CG =CJ +GJ=2.∴CG的最小值为2+.故答案为：2.类型二、直角三角形中的存在性问题例、（1）在图1中，已知△ABC 中，∴B ＞∴C ，AD ∴BC 于D ，AE 平分∴BAC ，∴B ＝70°，∴C ＝40°，求∴DAE 的度数．（2）在图2中，∴B ＝x ，∴C ＝y ，其他条件不变，若把AD ∴BC 于D 改为F 是AE 上一点，FD ∴BC 于D ，试用x 、y 表示∴DFE ＝：（3）在图3中，当点F 是AE 延长线上一点，其余条件不变，则（2）中的结论还成立吗？若成立，请说明为什么；若不成立，请写出成立的结论，并说明为什么．（4）在图3中，分别作出∴BAE 和∴EDF 的角平分线，交于点P ，如图4．试用x 、y 表示∴P ＝．【答案】（1）15°；（2）1122x y -；（3）结论应成立．1122x y -（4）3144x y -．【详解】解：（1）∴∴B ＝70°，∴C ＝40°，∴∴BAC =180°-∴B -∴C =180°-70°-40°=70°，∴AE 平分∴BAC ，∴∴BAE =11703522BAC ∠=⨯︒=︒， ∴AD ∴BC ，∴∴BDA =90°，∴∴B +∴BAD =90°，∴∴BAD =90°-∴B =90°-70°=20°，∴∴DAE =∴BAE -∴BAD =35°-20°=15°；（2）∴∴B ＝x ，∴C ＝y ，∴∴BAC =180°-∴B -∴C =180°- x -y ，∴AE 平分∴BAC ，∴∴EAC =()1111180902222BAC x y x y ∠=⨯︒--=︒--， ∴FD ∴BC ，∴∴EDE =90°，∴∴DFE +∴FED =90°，∴∴FED 是△AEC 的外角，∴∴FED =∴C +∴EAC =111190902222y x y x y +︒--=︒-+， ∴∴DFE =90°-∴FED =1122x y -，故答案为：1122x y -；（3）结论应成立．过点A 作AG ∴BC 于G ，∴∴B ＝x ，∴C ＝y ，∴∴BAC =180°-∴B -∴C =180°- x -y ，∴AE 平分∴BAC ，∴∴BAE =()1111180902222BAC x y x y ∠=⨯︒--=︒--， ∴AG ∴BC ，∴∴AGB =90°，∴∴B +∴BAG =90°，∴∴BAG =90°-∴B =90°-x ，∴∴GAE =∴BAE -∴BAG =()11909022x y x ︒---︒-=1122x y -， ∴FD ∴BC ，AG ∴BC ，∴AG ∥FD ，∴∴EFD =∴GAE =1122x y -（4）设AF 与PD 交于H ，∴FD ∴BC ，PD 平分∴EDF ，∴∴HDF =11904522EDF ∠=⨯︒=︒， ∴P A 平分∴BAE ，∴BAE =()1111180902222BAC x y x y ∠=⨯︒--=︒--， ∴∴P AE =1111119045222244BAE x y x y ⎛⎫∠=︒--=︒-- ⎪⎝⎭， ∴∴AHP =∴FHD ，∴EFD =1122x y - ∴∴P +∴P AE =∴HDF +∴EFD ，即∴P +114544x y ︒--=45°+1122x y -， ∴∴P =1111314545224444x y x y x y ⎛⎫︒+--︒--=- ⎪⎝⎭，故答案为：3144x y -．【变式训练1】综合与探究：如图①，在∴ABC 中，∴C ＞∴B ，AD 是∴BAC 角平分线．（1）探究与发现：如图①，AE ∴BC 于点E ，①若∴B ＝30°，∴C ＝70°，则∴CAD ＝ °，∴DAE ＝ °；②若∴B ＝45°，∴C ＝65°，则∴DAE ＝ °；③试探究∴DAE 与∴B 、∴C 的数量关系，并说明理由．（2）判断与思考：如图②，F 是AD 上一点，FE ∴BC 于点E ，这时∴DFE 与∴B 、∴C 又有怎样的数量关系？【答案】（1）①40，20；②10；③∴DAE ＝12(∴C -∴B )，理由见解析；（2）∴DFE ＝12(∴C ﹣∴B )，理由见解析【详解】解：（1）①∴∴B ＝30°，∴C ＝70°，∴18080BAC B C ∠=︒-∠-∠=︒，∴AD 是∴BAC 角平分线，∴1402CAD BAD CAB ∠=∠=∠=︒，∴AE ∴BC ，∴90AEC ∠=︒，∴907020CAE ∠=︒-︒=︒，∴402020DAE CAD CAE ∠=∠-∠=︒-︒=︒，故答案为：40，20；②∴∴B ＝45°，∴C ＝65°，∴18070BAC B C ∠=-∠-∠=︒︒，∴AD 是∴BAC 角平分线，∴1352CAD BAD CAB ∠=∠=∠=︒，∴AE ∴BC ，∴90AEC ∠=︒，∴906525CAE ∠=︒-︒=︒，∴352510DAE CAD CAE ∠=∠-∠=︒-︒=︒，故答案为：10；③∴DAE ＝12(∴C -∴B )，理由如下：在∴AEC 中，∴AEC +∴C +∴EAC ＝180°，∴∴EAC ＝180°-∴AEC -∴C ＝180°-90°-∴C ＝90°-∴C ，∴∴DAE ＝∴CAD -∴EAC ＝12×(180°-∴B -∴C )＝(90°-12∴B -12∴C )-( 90°-∴C )＝12 (∴C -∴B )；（2）判断与思考；∴DFE ＝12(∴C ﹣∴B )，理由如下：证明：∴AD 平分∴BAC ，∴∴BAD ＝01802B C -∠-∠＝90°-12(∴C +∴B )， ∴∴ADC 为∴ABD 的外角，∴∴ADC ＝∴B +90°-12（∴C +∴B ）＝90°+12(∴B -∴C )，∴FE ∴BC ，∴∴FED ＝90°，∴∴DFE ＝90°- [90°+12(∴B -∴C )]＝90°-90°-12(∴B -∴C )，∴∴DFE ＝12(∴C -∴B )．【变式训练2】已知在直角三角形ABC 中，90C ∠=︒，AD 平分CAB ∠．（1）如图1，若DA DB =，求B 的度数；（2）如图2，点E 在AB 上，连接CE 交AD 于F ，若BCE BAD ∠=∠，求证：AC AE =；（3）如图3，在（2）的条件下，点M 在AB 上，连接CM 交AD 于G ，过点G 作GN BC ⊥于N ，交CF 于H ，2ACM B ∠=∠，2CH =，3DF =，求CGD △的面积．【答案】（1）30°；（2）见解析；（3）20【详解】证明：（1）∴DA =DB ，∴∴DAB =∴B ，∴AD 平分∴CAB ，∴∴CAD =∴DAB ，∴∴C =90°，∴∴B +∴CAB =90°，∴3∴B =90°，∴∴B =30°．（2）∴AD 平分∴CAB ，∴∴CAD =∴BAD ，∴∴BAD =∴BCE ，∴∴CAD =∴BCE ，∴∴BCE +∴ACE =90°，∴∴CAD +∴ACE =90°，∴∴AFE =∴AFC =90°，∴∴F AE +∴AEC =90°，∴∴ACE =∴AEC ，∴AC =AE ．（3）设∴ACM =α，∴CAB =2β，∴∴BCM =90°-α．∴2∴ACM =∴B ，∴∴B =2α，∴∴BMC =90°-α．∴AC =AE ，∴∴AEC =90°-β，∴∴MCE =180°-∴BMC -∴AEC =α+β．∴2α+2β=90°，∴∴MCE =45°．∴∴CFG =90°，∴∴FGC =∴FCG ，∴FC =FG ．∴GN ∴CD ，∴∴GNC =90°．∴∴FCD +∴FDC =∴FGH +∴FDC ，∴∴FCD =∴FGH ．∴∴FGH ∴∴FCD ，∴FH =FD =3．∴CH =2，∴CF =GF =5，GD =8，∴∴CGD 的面积为11852022DG CF ⋅=⨯⨯=．【变式训练3】已知：40MON ∠=︒，OE 平分MON ∠，点A 、B 、C 分别是射线OM 、OE 、ON 上的动点（A 、B 、C 不与点O 重合），连接AC 交射线OE 于点D ．设OAC x ∠=︒．（1）如图，若//AB ON ，则①ABO ∠的度数是______；②当BAD ABD ∠=∠时，x =______；当BAD BDA ∠=∠时，x =______．（2）如图，若AB OM ⊥，则是否存在这样的x 的值，使得ADB △中有两个相等的角？若存在，请画出图形，并求出x 的值；若不存在，说明理由．【答案】（1）①20°；②120，60；（2）存在，图形见解析，20x 、35、50、125【详解】解：（1）解：（1）①∴40MON ∠=︒，OE 平分MON ∠，∴20AOB BON ∠=∠=︒， ∴//AB ON ，∴20ABO ∠=︒；②当BAD ABD ∠=∠，∴20BAD ABD ︒∠=∠=，∴180OAC BAD MAB ∠+∠+∠=︒，∴//AB ON ，∴40MAB MON ∠=∠=︒,∴180120OAC MAB BAD ∠=︒-∠-∠=︒，当BAD BDA ∠=∠，20ABO ∠=︒，∴80BAD ∠=︒，∴180OAC BAD MAB ∠+∠+∠=︒，∴//AB ON ，∴40MAB MON ∠=∠=︒,∴18060OAC MAB BAD ∠=︒-∠-∠=︒；故答案为：①20°；②120，60；（2）①当点D 在线段OB 上时，∴OE 是MON ∠的角平分线，∴1202AOB MON ∠=∠=︒， ∴AB OM ⊥，∴90AOB ABO ∠+∠=︒，∴70ABO ∠=︒，若70BAD ABD ∠=∠=︒，则907020OACOAB BAD ，∴20x ；若()118070552BAD BDA ∠=∠=-︒=︒︒，则905535OAC OAB BAD ，∴35x =；若70ADB ABD ∠=∠=︒，则18027040BAD ∠=-︒⨯=︒︒，904050OAC OAB BAD ，∴50x =；②当点D 在射线BE 上时，因为110ABE ∠=︒，且三角形的内角和为180°，所以只有1(180110)352BAD BDA ∠=∠=︒-︒=︒，则9035125OAC OAB BAD ，∴125x =，综上可知，存在这样的x 的值，使得ADB △中有两个相等的角，且20x 、35、50、125．类型三、等腰三角形中的动点问题例、如图，在∴ABC 中，BC ＝7cm ，AC ＝24cm ，AB ＝25cm ，CD 为AB 边上的高，点E 从点B 出发沿直线BC 以2cm/s 的速度移动，过点E 作BC 的垂线交直线CD 于点F ．（1）求证：∴A ＝∴BCD ；（2）问：点E 运动多长时间，CF ＝AB ？说明理由．【答案】（1）见解析；（2）312或172，理由见解析【详解】解：（1）22222272425AC BC AB +=+==，∴∴ACB ＝90°∴CD ∴AB ，∴∴ADC ＝90°∴∴A ＋∴ACD ＝90°，∴BCD ＋∴ACD ＝90°，∴∴A ＝∴BCD ；（2）①点E 在BC 延长线上∴∴A ＝∴BCD ＝∴ECF ，∴ACB ＝∴FEC ＝90°， CF ＝AB∴∴ACB ∴∴CEF （AAS ），∴EC ＝AC ＝24 ，∴EB ＝31，∴t ＝312； ②点E 在CB 延长线上，同理∴ACB ∴∴CE''F'（AAS ），24E C AC '==，∴17E B '=，∴172t =综上所述，t ＝312或172．【变式训练1】如图1，在∴ABC 中，∴B ＜∴C ，AD 平分∴BAC ，E 为AD （不与点A ，D 重合）上的一动点，EF ∴BC 于点F ．（1）若∴B ＝40°，∴DEF ＝20°，求∴C 的度数．（2）求证：∴C ﹣∴B ＝2∴DEF ．（3）如图2，在∴ABC 中，∴B ＜∴C ，AD 平分∴BAC ，E 为AD 上一点，EF ∴AD 交BC 延长线于点F ，∴ACB ＝m °，∴B ＝n °，直接写出∴F 的度数（用含m ，n 的代数式表示）．【答案】（1）80︒；（2）证明过程见解析；（3）1122F m n ∠=︒-︒ 【详解】（1）∴EF ∴BC ，∴90EFD ∠=︒，又∴20DEF ∠=︒，∴90902070EDF DEF ∠=︒-∠=︒-︒=︒，又∴EDF B BAD ∠=∠+∠，∴704030BAD EDF B ∠=∠-∠=︒-︒=︒，又∴AD 平分∴BAC ，∴223060BAC BAD ∠=∠=⨯︒=︒，∴180180406080C B BAC ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒；（2）由（1）可知，90EDF DEF B BAD ∠=︒-∠=∠+∠，90DEF B BAD ∠=︒-∠-∠，1902B BAC =︒-∠-∠， ()1901802B C B =︒-∠-︒-∠-∠， 1122C B =∠-∠， ∴2C B DEF ∠-∠=∠；（3）∴AD 平分∴BAC ， ∴12BAD BAC ∠=∠，EDF B BAD ∠=∠+∠， ∴EF AD ⊥，∴90FED ∠=︒，∴9090F EDF B BAD ∠=︒-∠=︒-∠-∠，1902B BAC =︒-∠-∠， ()1901802B B ACB =︒-∠-︒-∠-∠， 1122ACB B =∠-∠， 1122m n =︒-︒， ∴1122F m n ∠=︒-︒．【变式训练2】如图所示，在ABC 中，9cm,12cm,15cm AB BC CA ===，点P 从点A 开始沿AB 边向B 点以每秒1cm 的速度移动，点Q 从点B 沿BC 边向点C 以每秒2cm 的速度移动，如果同时出发，问过3秒时，BPQ 的面积为多少？【答案】218cm 【详解】解：AB ＝9cm ，BC ＝12cm ，AC ＝15cm ， ∴AB 2+BC 2＝AC 2，∴∴ABC 是直角三角形，过3秒时，9316BP =-⨯=cm ，BQ ＝2×3＝6cm ， 11661822BPQ S BP BQ ∴==⨯⨯=2cm ，故过3秒时，∴BPQ 的面积为218cm ．。

专题02 全等三角形的性质与判定压轴题八种模型全攻略(解析版)

专题02全等三角形的性质与判定压轴题八种模型全攻略考点一全等三角形的概念考点二利用全等图形求正方形网格中角度之和考点三全等三角形的性质考点四用SSS证明三角形全等考点五用SAS证明三角形全等考点六用ASA证明三角形全等考点七用AAS证明三角形全等考点八用HL证明三角形全等考点一全等三角形的概念例题：（2021·福建·福州三牧中学八年级期中）有下面的说法：①全等三角形的形状相同；②全等三角形的对应边相等；③全等三角形的对应角相等；④全等三角形的周长、面积分别相等．其中正确的说法有() A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】D【解析】【分析】先分别验证①②③④的正确性，并数出正确的个数，即可得到答案.【详解】①全等三角形的形状相同，根据图形全等的定义，正确；②全等三角形的对应边相等，根据全等三角形的性质，正确；③全等三角形的对应角相等，根据全等三角形的性质，正确；④全等三角形的周长、面积分别相等，正确；故四个命题都正确，故D为答案.【点睛】本题主要考查了全等的定义、全等三角形图形的性质，即全等三角形对应边相等、对应角相等、面积周长均相等.【变式训练】1．（2022·上海·七年级专题练习）如图，在△ABC和△A′B′C′中，已知AB＝A′B′，∠A＝∠A′，AC＝A′C′，那么△ABC≌△A′B′C′．说理过程如下：把△ABC放到△A′B′C′上，使点A与点A′重合，由于＝，所以可以使点B与点B′重合．又因为＝，所以射线能落在射线上，这时因为＝，所以点与重合．这样△ABC和△A′B′C′重合，即△ABC≌△A′B′C′．【答案】AB，A'B'，∠A，∠A′，AC，A'C'，AC＝A'C'，C，C'【解析】【分析】直接利用已知结合全等的定义得出答案．【详解】解：把△ABC放到△A′B′C′上，使点A与点A′重合，由于AB＝A'B'，所以可以使点B与点B′重合．又因为∠A＝∠A′，所以射线AC能落在射线A'C'上，这时因为AC＝A'C'，所以点C与C'重合．这样△ABC和△A′B′C′重合，即△ABC≌△A′B′C′．故答案为：AB，A'B'，∠A，∠A′，AC，A'C'，AC＝A'C'，C，C'．【点睛】本题考查了全等三角形的判定，解答本题的关键是仔细读题，理解填空．考点二利用全等图形求正方形网格中角度之和例题：（2021·全国·八年级专题练习）如图为6个边长相等的正方形的组合图形，则∠1+∠3-∠2=（）A．30°B．45°C．60°D．135°【答案】B【解析】【分析】首先利用SAS定理判定△ABC≌△DBE，根据全等三角形的性质可得∠3=∠ACB，再由∠ACB+∠1=∠1+∠3=90°，可得∠1+∠3-∠2．【详解】∵在△ABC 和△DBE 中AB BD A D AC ED ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴△ABC ≌△DBE （SAS ），∴∠3=∠ACB ，∵∠ACB +∠1=90°，∴∠1+∠3=90°，∵∠2=45°∴∠1+∠3-∠2=90°-45°=45°，故选B ．【点睛】此题主要考查了全等图形，关键是掌握全等三角形的判定，以及全等三角形对应角相等．【变式训练】1．（2022·山东·济南市槐荫区教育教学研究中心二模）如图，在44⨯的正方形网格中，求αβ+=______度．【答案】45【解析】【分析】连接AB ，根据正方形网格的特征即可求解．【详解】解：如图所示，连接AB∵图中是44⨯的正方形网格∴AD CE =，ADB AEC ∠=∠，DB AE =∴()ADB CEA SAS △≌△∴EAC ABD α∠=∠=，AB AC =∵90ABD BAD ∠+∠=︒∴90EAC BAD ∠+∠=︒，即90CAB ∠=︒∴45ACB ABC ∠=∠=︒∵BD CE ∥∴BCE DBC β==∠∠∵ABC ABD DBC αβ=+=+∠∠∠∴45αβ+=︒故答案为：45．【点睛】本题考查了正方形网格中求角的度数，利用了平行线的性质、同角的余角相等、等腰直角三角形的性质等知识点，解题的关键是能够掌握正方形网格的特征．2．（2020·江苏省灌云高级中学城西分校八年级阶段练习）如图，由4个相同的小正方形组成的格点图中，∠1+∠2+∠3=________度．【答案】135【解析】【分析】首先利用全等三角形的判定和性质求出13∠+∠的值，即可得出答案；【详解】如图所示，在△ACB 和△DCE 中，AB DE A D AC DC ⎧=⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()△△ACB DCE SAS ≅，∴3ABE ∠=∠，∴()12313459045135∠+∠+∠=∠+∠+︒=︒+︒=︒；故答案是：135︒．【点睛】本题主要考查了全等图形的应用，准确分析计算是解题的关键．考点三全等三角形的性质例题：（2021·重庆大足·八年级期末）如图，ABC 和DEF 全等，且A D ∠=∠，AC 对应DE ．若6AC =，5BC =，4AB =，则DF 的长为（）A ．4B ．5C ．6D ．无法确定【答案】A【解析】【分析】全等三角形对应边相等，对应角相等，根据题中信息得出对应关系即可．【详解】∵ABC 和DEF 全等，A D ∠=∠，AC 对应DE∴ABC DFE ≅∴AB =DF =4故选：A ．【点睛】本题考查了全等三角形的概念及性质，应注意①对应边、对应角是对两个三角形而言的，指两条边、两个角的关系，而对边、对角是指同一个三角形的边和角的位置关系②可以进一步推广到全等三角形对应边上的高相等，对应角的平分线相等，对应边上的中线相等，周长及面积相等③全等三角形有传递性．【变式训练】1．（2022·云南昆明·三模）如图，ABC DEF △≌△，若80,30A F ∠=︒∠=︒，则B 的度数是（）A ．80°B ．70°C ．65°D ．60°【答案】B【解析】【分析】由ABC DEF △≌△根据全等三角形的性质可得30C F ∠=∠=︒，再利用三角形内角和进行求解即可．【详解】ABC DEF ≌，C F ∠=∠∴，30F ∠=︒，30C ∴∠=︒，80,180A A B C ∠=︒∠+∠+∠=︒，18070B A C ∴∠=︒-∠-∠=︒，故选：B ．【点睛】本题考查了全等三角形的性质及三角形的内角和定理，熟练掌握知识点是解题的关键．2．（2022·上海·七年级专题练习）如图所示，D ，A ，E 在同一条直线上，BD ⊥DE 于D ，CE ⊥DE 于E ，且△ABD ≌△CAE ，AD ＝2cm ，BD ＝4cm ，求(1)DE 的长；(2)∠BAC 的度数．【答案】(1)6cm DE =；(2)90BAC ︒∠=【解析】【分析】（1）根据全等三角形的性质即可得到结论；（2）根据垂直的定义得到∠D ＝90°，求得∠DBA +∠BAD ＝90°，根据全等三角形的性质得到∠DBA ＝∠CAE 等量代换即可得到结论．(1)解：∵△ABD ≌△CAE ，AD ＝2cm ，BD ＝4cm ，∴AE ＝BD ＝4cm ，∴DE ＝AD +AE ＝6cm ．(2)∵BD ⊥DE ，∴∠D ＝90°，∴∠DBA +∠BAD ＝90°，∵△ABD ≌△CAE ，∴∠DBA ＝∠CAE∴∠BAD +∠CAE ＝90°，∴∠BAC ＝90°．【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质，垂直的定义，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．考点四用SSS 证明三角形全等例题：（2022·河北·平泉市教育局教研室二模）如图，BD BC =，点E 在BC 上，且BE AC =，DE AB =．(1)求证：ABC EDB ≌；(2)判断AC 和BD 的位置关系，并说明理由．【答案】(1)见解析(2)AC BD ，理由见解析【解析】【分析】（1）运用SSS 证明即可；（2）由（1）得DBE BCA ∠=∠，根据内错角相等，两直线平行可得结论．(1)在ABC ∆和EDB ∆中，BD BC BE AC DE AB =⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴ABC EDB ∆≅∆(SSS )；(2)AC 和BD 的位置关系是AC BD ，理由如下：∵ABC EDB ∆≅∆∴DBE BCA ∠=∠，∴AC BD ．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解答本题的关键．【变式训练】1．（2021·河南省实验中学七年级期中）如图，在线段BC 上有两点E ，F ，在线段CB 的异侧有两点A ，D ，且满足AB CD =，AE DF =，CE BF =，连接AF；(1)B 与C ∠相等吗？请说明理由．(2)若40B ∠=︒，20∠=DFC °，AF 平分BAE ∠时，求BAF ∠的度数．【答案】(1)B C ∠=∠，理由见解析(2)60︒【解析】【分析】（1）由“SSS ”可证△AEB ≌△DFC ，可得结论；（2）由全等三角形的性质可得∠AEB ＝∠DFC ＝20°，可求∠EAB ＝120°，由角平分线的性质可求解．(1)解：B C ∠=∠，理由如下：∵CE BF =∴BE CF =在AEB △和DFC △中AB CD AE DF BE CF =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴()SSS AEB DFC ≌△△∴B C ∠=∠(2)解：∵AEB DFC ≌∴20AEB DFC ∠=∠=︒∴180120EAB B AEB ∠=︒-∠-∠=︒∵AF 平分BAE ∠ ∴1602BAF BAE ∠=∠=︒ 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定是本题的关键．2．（2022·山东济宁·八年级期末）如图，在四边形ABCD 中，CB AB ⊥于点B ，CD AD ⊥于点D ，点E ，F 分别在AB ，AD 上，AE AF =，CE CF =．(1)若8AE =，6CD =，求四边形AECF 的面积；(2)猜想∠DAB ，∠ECF ，∠DFC 三者之间的数量关系，并证明你的猜想．【答案】(1)48(2)∠DAB ＋∠ECF ＝2∠DFC ，证明见解析【解析】【分析】（1）连接AC ，证明△ACE ≌△ACF ，则S △ACE ＝S △ACF ，根据三角形面积公式求得S △ACF 与S △ACE ，根据S 四边形AECF ＝S △ACF ＋S △ACE 求解即可；（2）由△ACE ≌△ACF 可得∠FCA ＝∠ECA ，∠F AC ＝∠EAC ，∠AFC ＝∠AEC ，根据垂直关系，以及三角形的外角性质可得∠DFC ＋∠BEC ＝∠FCA ＋∠F AC ＋∠ECA ＋∠EAC ＝∠DAB ＋∠ECF ．可得∠DAB ＋∠ECF ＝2∠DFC(1)解：连接AC ，如图，在△ACE 和△ACF 中AE AF CE CF AC AC =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴△ACE ≌△ACF （SSS ）．∴S △ACE ＝S △ACF ，∠F AC ＝∠EAC ．∵CB ⊥AB ，CD ⊥AD ，∴CD ＝CB ＝6．∴S △ACF ＝S △ACE ＝12AE ·CB ＝12×8×6＝24．∴S 四边形AECF ＝S △ACF ＋S △ACE ＝24＋24＝48．(2)∠DAB ＋∠ECF ＝2∠DFC证明：∵△ACE ≌△ACF ，∴∠FCA ＝∠ECA ，∠F AC ＝∠EAC ，∠AFC ＝∠AEC ．∵∠DFC 与∠AFC 互补，∠BEC 与∠AEC 互补，∴∠DFC ＝∠BEC ．∵∠DFC ＝∠FCA ＋∠F AC ，∠BEC ＝∠ECA ＋∠EAC ，∴∠DFC ＋∠BEC ＝∠FCA ＋∠F AC ＋∠ECA ＋∠EAC＝∠DAB ＋∠ECF ．∴∠DAB ＋∠ECF ＝2∠DFC【点睛】本题考查了三角形全等的性质与判定，三角形的外角的性质，掌握三角形全等的性质与判定是解题的关键．考点五用SAS 证明三角形全等例题：（2022·福建省福州第十九中学模拟预测）如图，点O 是线段AB 的中点，∥OD BC 且OD BC =．求证：AOD OBC ≌．【答案】见解析【解析】【分析】根据线段中点的定义得到AO BO =，根据平行线的性质得到AOD OBC ∠=∠，根据全等三角形的判定定理即可得到结论.【详解】证明：∵点O 是线段AB 的中点，∴AO BO =，∵∥OD BC ，∴AOD OBC ∠=∠，在△AOD 与△OBC 中，AO BO AOD OBC OD BC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()AOD OBC SAS ≌．【点睛】本题考查了全等三角形的判定，平行线的性质，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键．【变式训练】1．（2022·云南普洱·二模）如图，ABC 和EFD 分别在线段AE 的两侧，点C ，D 在线段AE 上，AC DE =，//AB EF ，.AB EF =求证：BC FD =．【答案】见解析【解析】【分析】利用//AB EF ，得到A E ∠=∠，再用AC DE =，AB EF =，得到ABC ≌EFD △（SAS ），然后用三角形全等的性质得到结论即可．【详解】证明：//AB EF ，A E ∴∠=∠，在ABC 和EFD △中AC DE A E AB EF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，ABC ∴≌EFD △（SAS ），BC FD ∴=．【点睛】本题考查三角形全等的判定，平行线的性质，找到三角形全等的条件是解答本题的关键．2．（2022·四川省南充市白塔中学八年级阶段练习）如图，点B 、C 、E 、F 共线，AB =DC ，∠B =∠C ，BF =CE ．求证：△ABE ≌△DCF．【答案】证明见解析；【解析】【分析】根据两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（简写成“边角边”或“SAS”）；即可证明；【详解】证明：∵点B、C、E、F共线，BF=CE，∴BF+EF=CE+EF，∴BE=CF，△ABE和△DCF中：BA=CD，∠ABE=∠DCF，BE=CF，∴△ABE≌△DCF（SAS）；【点睛】本题考查了全等三角形的判定；掌握（SAS）的判定条件是解题关键．考点六用ASA证明三角形全等例题：（2022·上海·七年级专题练习）已知：如图，AB⊥BD，ED⊥BD，C是BD上的一点，AC⊥CE，AB ＝CD，求证：BC＝DE．【答案】见解析【解析】【分析】根据直角三角形全等的判定方法，ASA即可判定三角形全等．【详解】证明：∵AB⊥BD，ED⊥BD，AC⊥CE（已知）∴∠ACE＝∠B＝∠D＝90°（垂直的意义）∵∠BCA+∠DCE+∠ACE＝180°（平角的意义）∠ACE＝90°（已证）∴∠BCA +∠DCE ＝90°（等式性质）∵∠BCA +∠A +∠B ＝180°（三角形内角和等于180°）∠B ＝90°（已证）∴∠BCA +∠A ＝90°（等式性质）∴∠DCE ＝∠A （同角的余角相等）在△ABC 和△CDE 中，A DCE AB CD B D ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△ABC ≌△CDE （ASA ）∴BC ＝DE （全等三角形对应边相等）【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质；熟练掌握三角形全等的判定定理是解题的关键．【变式训练】1．（2022·广西百色·二模）如图，在△ABC 和△DCB 中，∠A ＝∠D ，AC 和DB 相交于点O ，OA ＝OD ．(1)AB ＝DC ；(2)△ABC ≌△DCB ．【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析【解析】【分析】（1）证明△ABO ≌△DCO （ASA ），即可得到结论；（2）由△ABO ≌△DCO ，得到OB ＝OC ，又OA ＝OD ，得到BD ＝AC ，又由∠A ＝∠D ，即可证得结论．(1)证明：在△ABO 与△DCO 中，A D OA ODAOB DOC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△ABO ≌△DCO （ASA ）∴AB ＝DC ；(2)证明：∵△ABO ≌△DCO ，∴OB ＝OC ，∵OA ＝OD ，∴OB ＋OD ＝OC ＋OA ，∴BD ＝AC ，在△ABC 与△DCB 中，AC BD A D AB DC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABC ≌△DCB （SAS ）．【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握并灵活选择全等三角形的判定方法是解题的关键． 2．（2022·贵州遵义·八年级期末）如图，已知AB DE ∥，ACB D ∠=∠，AC DE =．(1)求证：ABC EAD ≅．(2)若60BCE ∠=︒，求BAD ∠的度数．【答案】(1)见解析(2)60︒【解析】【分析】（1）利用平行线的性质得CAB E ∠=∠，利用“角边角”即可证明ABC EAD ≅；（2）由邻补角的定义求出180120ACB BCE ∠=︒-∠=︒，进而得到120D ∠=︒，再利用两直线平行同旁内角互补求出BAD ∠．由两直线平行得(1)证明：AB DE ，CAB E ∴∠=∠，在ABC 和EAD中，CAB E AC DEACB D ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ABC EAD ∴≅．(2)解：60BCE ∠=︒，180ACB BCE ∠+∠=︒，180120ACB BCE ∴∠=︒-∠=︒，120D ACB ∴∠=∠=︒，AB DE ，180∴∠+∠=︒D BAD ，180********BAD D ∴∠=︒-∠=︒-︒=︒．【点睛】本题考查平行线的性质、邻补角的定义、全等三角形的判定等知识，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．平行线的性质：两直线平行，内错角相等；两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补．考点七用AAS 证明三角形全等例题：（2022·上海·七年级专题练习）如图，已知BE 与CD 相交于点O ，且BO ＝CO ，∠ADC ＝∠AEB ，那么△BDO 与△CEO 全等吗？为什么？【答案】△BDO ≌△CEO （AAS ）；原因见解析【解析】【分析】根据AAS 证明△BDO 与△CEO 全等即可．【详解】解：△BDO 与△CEO 全等；∵∠BDO ＝180°﹣∠ADC ，∠CEO ＝180°﹣∠AEB ，又∵∠ADC ＝∠AEB ，∴∠BDO ＝∠CEO，∵在△BDO 与△CEO 中，BDO CEO BOD COE BO CO ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BDO ≌△CEO （AAS ）．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS 、SAS 、ASA 、AAS 、HL ．注意：AAA 、SSA 不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．【变式训练】1．（2022·福建省福州第一中学模拟预测）如图，已知A ，F ，E ，C 在同一直线上，AB ∥CD ，∠ABE =∠CDF ，AF =CE ．求证：AB =CD ．【答案】见详解【解析】【分析】根据全等三角形证明△ABE ≌△CDF ，再根据全等三角形的性质解答即可．【详解】证明：∵AB ∥CD ，∴∠ACD =∠CAB ，∵AF=CE ，∴AF+EF=CE+EF ，即AE =FC ，在△ABE 和△CDF 中，ACD CAB ABE CDF AE CF ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝ ∴△ABE ≌△CDF （AAS ）．∴AB =CD ．【点睛】此题主要考查了三角形全等的判定及性质，一般证明线段相等先大致判断两个线段所在三角形是否全等，然后再看证明全等的条件有哪些．2．（2022·全国·九年级专题练习）如图，D 是△ABC 的边AB 上一点，CF //AB ，DF 交AC 于E 点，DE＝EF ．(1)求证：△ADE ≌△CFE ；(2)若AB ＝5，CF ＝4，求BD 的长．【答案】(1)证明见解析(2)BD ＝1【解析】【分析】（1）利用角角边定理判定即可；（2）利用全等三角形对应边相等可得AD 的长，用AB ﹣AD 即可得出结论．(1)证明：∵CF ∥AB ，∴∠ADF ＝∠F ，∠A ＝∠ECF ．在△ADE 和△CFE 中，A ECF ADE F DE FE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADE ≌△CFE （AAS ）．(2)∵△ADE ≌△CFE ，∴AD ＝CF ＝4．∴BD ＝AB ﹣AD ＝5﹣4＝1．【点睛】此题考查了全等三角形的判定及性质，熟记全等三角形的判定定理是解题的关键．考点八用HL 证明三角形全等例题：（2022·四川省南充市白塔中学八年级阶段练习）如图，AB =CD ，AE ⊥BC 于E ，DF ⊥BC 于F ，且BF =CE．(1)求证AE=DF；(2)判定AB和CD的位置关系，并说明理由．【答案】(1)见解析∥，理由见解析(2)AB CD【解析】【分析】（1）只需要利用HL证明Rt△ABE≌Rt△DCF即可证明结论；∥．（2）根据Rt△ABE≌Rt△DCF即可得到∠B=∠C，即可证明AB CD(1)解：∵BF=CE，∴BF-EF=CE-EF，即BE=CF，∵AE⊥BC，DF⊥BC，∴∠AEB=∠DFC=90°，又∵AB=DC，∴Rt△ABE≌Rt△DCF（HL），∴AE=DF；(2)∥，理由如下：解：AB CD∵Rt△ABE≌Rt△DCF，∴∠B=∠C，∥．∴AB CD【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，平行线的判定，熟知全等三角形的性质与判定条件是解题的关键．【变式训练】1．（2022·安徽安庆·八年级期末）如图，AD，BC相交于点O，AD=BC，∠C=∠D=90°．(1)求证：△ACB ≌△BDA ；(2)若∠CAB =54°，求∠CAO 的度数．【答案】(1)见解析(2)18°【解析】【分析】（1）根据HL 证明Rt △ABC ≌Rt △BAD ；（2）先求出∠ABC 的度数，即可利用全等三角形的性质求出∠BAD 的度数，由此即可得到答案．(1)证明：∵∠D =∠C =90°，∴△ABC 和△BAD 都是直角三角形，在Rt △ABC 和Rt △BAD 中，BC AD AB BA ⎧⎨⎩＝＝， ∴Rt △ABC ≌Rt △BAD （HL ）；(2)解：在Rt △ABC 中，∠CAB =54°，∠ACB =90°，∴∠ABC =36°，∵Rt △ABC ≌Rt △BAD ，∴∠ABC =∠BAD =36°，∴∠CAO =∠CAB -∠BAD =54°-36°=18°．【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，直角三角形两锐角互余，熟练掌握全等三角形的性质与判定条件是解题的关键．2．（2022·江西·永丰县恩江中学八年级阶段练习）如图，在△ABC 中，BC =AB ，∠ABC =90°，F 为AB 延长线上一点，点E 在BC 上，且AE =CF ．(1)求证：Rt △ABE ≌Rt △CBF ；(2)若∠CAB =30°，求∠ACF 的度数．【答案】(1)证明见解析(2)60︒【解析】【分析】（1）由“HL ”可证Rt △ABE ≌Rt △CBF ；（2）由AB =CB ，∠ABC =90°，即可求得∠CAB 与∠ACB 的度数，即可得∠BAE 的度数，又由Rt △ABE ≌Rt △CBF ，即可求得∠BCF 的度数，则由∠ACF =∠BCF +∠ACB 即可求得答案．(1)∵∠ABC =90°，∴∠CBF =∠ABE =90°，在Rt △ABE 和Rt △CBF 中，AE CF AB BC=⎧⎨=⎩ ∴Rt △ABE ≌Rt △CBF （HL ）；(2)∵AB =BC ，∠ABC =90°，∴∠CAB =∠ACB =45°，∴∠BAE =∠CAB -∠CAE =45°-30°=15°。

三角形全等的判定方法压轴题五种模型全攻略(解析版)

三角形全等的判定方法压轴题五种模型全攻略【考点导航】目录【典型例题】【考点一用SAS证明两三角形全等】【考点二用ASA证明两三角形全等】【考点三用AAS证明两三角形全等】【考点四用SSS证明两三角形全等】【考点五添一个条件使两三角形全等】【过关检测】【典型例题】【考点一用SAS证明两三角形全等】1(2023春·江苏苏州·七年级校联考阶段练习)如图，在△ABC中，AC>AB，射线AD平分∠BAC，交BC 于点E，点F在边AB的延长线上，AF=AC，连接EF．(1)求证：△AEC≌△AEF．(2)若∠AEB=50°，求∠BEF的度数．【答案】(1)证明见解析(2)80°【分析】(1)由射线AD平分∠BAC，可得∠CAE=∠FAE，进而可证△AEC≌△AEF SAS；(2)由△AEC≌△AEF SAS，可得∠C=∠F，由三角形外角的性质可得∠AEB=∠CAE+∠C=50°，则∠FAE+∠F=50°，根据∠FAE+∠F+∠AEB+∠BEF=180°，计算求解即可．【详解】(1)证明：射线AD平分∠BAC，∴∠CAE=∠FAE，在△AEC和△AEF中，∵AC=AF∠CAE=∠FAEAE=AE，∴△AEC≌△AEF SAS；(2)解：∵△AEC≌△AEF SAS，∴∠C =∠F ，∵∠AEB =∠CAE +∠C =50°，∴∠FAE +∠F =50°，∵∠FAE +∠F +∠AEB +∠BEF =180°，∴∠BEF =80°，∴∠BEF 为80°．【点睛】本题考查了角平分线，全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．【变式训练】1(2023春·云南昭通·九年级校考阶段练习)如图，点A 、C 、F 、D 在同一直线上，AF =DC ,∠A =∠D ,AB =DE ．求证：△ABC ≌△DEF．【答案】见解析【分析】由AF =CD ，可求得AC =DF ，利用SAS 可得出结论．【详解】解：∵ AF =CD ，∴AF -FC =CD -FC ，即AC =DF ，在△ABC 和△DEF 中，AB =DE∠A =∠D AC =DF，∴△ABC ≌△DEF (SAS )．【点睛】本题主要考查全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．2(2023春·四川成都·七年级统考期末)如图在△ABC 中，D 是BC 边上的一点，AB =DB ，BE 平分∠ABC ，交AC 边于点E ，连接DE．(1)求证：△ABE ≌△DBE ；(2)若∠A =100°，∠C =40°，求∠DEC 的度数．【答案】(1)证明见解析(2)60°【分析】(1)根据BE 平分∠ABC ，可得∠ABE =∠DBE ，进而利用SAS 证明△ABE ≌△DBE 即可；(2)根据全等三角形的性质可得∠BDE =∠A =100°，再由三角形外角的性质即可求解．【详解】(1)解：∵BE 平分∠ABC ，∴∠ABE =∠DBE ．∵AB=DB，BE=BE，∴△ABE≌△DBE SAS；(2)解：∵△ABE≌△DBE，∴∠BDE=∠A=100°，∴∠DEC=∠BDE-∠C=60°．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形外角的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键．3(2023春·江苏泰州·七年级统考期末)如图，在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=90°，连接BD、CE．(1)求证：△ABD≌△ACE．(2)图中BD和CE有怎样的关系？试证明你的结论．【答案】(1)见详解(2)见详解【分析】(1)先证明∠BAD=∠EAC，又因为AB=AC，AD=AE，即可求出三角形全等；(2)根据△ABD≌△ACE，得到∠ACE=∠ABD，进而证得∠ABD+∠DBC+∠ACB=90°，等量代换得∠ACE+∠DBC+∠ACB=90°即∠ECB+∠DBC=90°，再利用内角和，即可证明垂直．【详解】(1)解：∵∠BAC=∠DAE=90°∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD∴∠BAD=∠EAC∵AB=AC，AD=AE∴△ABD≌△ACE．(2)解：如图，设BD和CE交点为F∵△ABD≌△ACE∴∠ACE=∠ABD∵∠BAC=90°∴∠ABD+∠DBC+∠ACB=90°∴∠ACE+∠DBC+∠ACB=90°即∠ECB+∠DBC=90°∴∠BFC=180°-∠ECB+∠DBC=90°∴BD⊥CE．【点睛】此题考查全等三角形的判定和性质，和角与角之间关系，解题的关键是根据SAS三角形全等．4(2023·江苏南通·统考一模)如图，点A，B，C，D在同一条直线上，AB=CD=13BC，AE=DF，AE∥DF．(1)求证：△AEC ≌△DFB ；(2)若S △AEC =6，求四边形BECF 的面积．【答案】(1)见解析(2)9【分析】(1)由AE ∥DF ，得∠A =∠D ，进一步证得AC =DB ，根据边角边求证△AEC ≌△DFB SAS ；(2)以AC 为底作EH 为高，则S △AEC =12EH ∙AC ，S △BCE =12EH ·BC ，由AB =CD =13BC ，求得S △BEC =34S △AEC=4.5；求证△BEC ≌△CFB SAS ，得S △BEC =S △CFB ，所以S 四边形BECF =2S △BEC =9．【详解】(1)证明：∵AE ∥DF ，∴∠A =∠D ，∵AB =CD ，∴AC =DB ，在△AEC 和△DFB 中，AE =DF∠A =∠DAC =DB∴△AEC ≌△DFB SAS ；(2)解：在△AEC 中，以AC 为底作EH 为高，∴S △AEC =12EH ∙AC ，S △BCE =12EH ∙BC ，∵AB =CD =13BC ，∴AC =43BC ，∵S △AEC =6，∴S △BEC =34S △AEC =4.5，∵△AEC ≌△DFB ，∴∠ACE =∠DBF ，EC =FB ，在△BEC 和△CFB 中，EC =FB∠BCE =∠CBF BC =CB，∴△BEC ≌△CFB SAS ，∴S △BEC =S △CFB ，∴S 四边形BECF =2S △BEC =9．【点睛】本题考查平行的性质，全等三角形的判定和性质，三角形面积计算；能够灵活运用全等三角形性质是解题的关键．【考点二用ASA 证明两三角形全等】1(2023春·广东惠州·八年级校考期中)如图，BC ∥EF ，点C ，点F 在AD 上，AF =DC ，∠A =∠D ．求证：△ABC ≌△DEF．【答案】见解析【分析】首先根据平行线的性质可得∠ACB =∠DFE ，利用等式的性质可得AC =DF ，然后再利用ASA 判定△ABC ≌△DEF 即可．【详解】证明：∵BC ∥EF ，∴∠ACB =∠DFE ，∵AF =DC ，∴AF +CF =DC +CF ，即AC =DF ，在△ABC 和△DEF 中，∠A =∠DAC =DF ∠ACB =∠DFE，∴△ABC ≌△DEF ASA ．【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．【变式训练】1(2023·校联考一模)如图，点A 、D 、B 、E 在同一条直线上，若AD =BE ，∠A =∠EDF ，∠E =∠ABC .求证：AC =DF．【答案】见解析【分析】由AD =BE 知AB =ED ，结合∠A =∠EDF ，∠E =∠ABC ，依据“ASA ”可判定△ABC ≌△DEF ，依据两三角形全等对应边相等可得AC =DF ．【详解】证明：∵AD =BE ，∴AD +BD =BE +BD ，即AB =ED ，在△ABC 和△DEF 中，∠ABC =∠EAB =ED ∠A =∠EDF，∴△ABC≌△DEF ASA，∴AC=DF．【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．2(2023·浙江温州·温州市第八中学校考三模)如图，在△ABC和△ECD中，∠ABC=∠EDC=90°，点B为CE中点，BC=CD．(1)求证：△ABC≌△ECD．(2)若CD=2，求AC的长．【答案】(1)见解析(2)4，见解析【分析】(1)根据ASA判定即可；(2)根据△ABC≌△ECD ASA和点B为CE中点即可求出．【详解】(1)证明：∵∠ABC=∠EDC=90°，BC=CD，∠C=∠C，∴△ABC≌△ECD ASA(2)解：∵CD=2，△ABC≌△ECD ASA，∴BC=CD=2，AC=CE，∵点B为CE中点，∴BE=BC=CD=2，∴CE=4，∴AC=4；【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定条件是解答本题的关键．【考点三用AAS证明两三角形全等】1(2023·广东汕头·广东省汕头市聿怀初级中学校考三模)如图，点E在△ABC边AC上，AE=BC，BC∥AD，∠CED=∠BAD．求证：△ABC≌△DEA【答案】证明见解析【分析】根据平行线的性质，得到∠DAC=∠C，再根据三角形外角的性质，得出∠D=∠BAC，即可利用“AAS”证明△ΑBC≌△DEA．【详解】证明：∵BC∥AD，∴∠DAC=∠C，∵∠CED=∠BAD，∠CED=∠D+∠DAC，∠BAD=∠DAC+∠BAC，∴∠D=∠BAC，在△ABC和△DEA中，∠BAC=∠D ∠C=∠DAC BC=AE，∴△ΑBC≌△DEA AAS．【点睛】本题考查了全等三角形的判定，平行线的性质，三角形外角的性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题关键．【变式训练】1(2023·浙江温州·统考二模)如图，AB=BD，DE∥AB，∠C=∠E．(1)求证：△ABC≅△BDE．(2)当∠A=80°，∠ABE=120°时，求∠EDB的度数．【答案】(1)见解析(2)40°【分析】(1)根据平行线的性质，利用三角形全等的判定定理即可证明；(2)根据三角形全等的性质和平行线的性质即可求解【详解】(1)解：∵DE∥AB，∴∠BDE=∠ABC，又∵∠E=∠C，BD=AB，∴△ABC≅△BDE．(2)解：∵∠A=80°，△ABC≅△BDE，∴∠A=∠BDE=80°，∵∠ABE=120°，∴∠ABD=40°，∵DE∥AB，∴∠EDB=40°．【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形全等的判定和性质，熟练掌握各知识点，利用好数形结合的思想是解本题的关键．2(2023秋·八年级课时练习)如图，已知点C是线段AB上一点，∠DCE=∠A=∠B，CD=CE．(1)求证：△ACD ≌△BEC ；(2)求证：AB =AD +BE ．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】(1)由∠DCE =∠A 得∠D +∠ACD =∠ACD +∠BCE ，即∠D =∠BCE ，从而即可证得△ACD ≌△BEC ；(2)由△ACD ≌△BEC 可得AD =BC ，AC =BE ，即可得到AC +BC =AD +BE ，从而即可得证．【详解】(1)证明：∵∠DCE =∠A ，∴∠D +∠ACD =∠ACD +∠BCE ，∴∠D =∠BCE ，在△ACD 和△BEC 中，∠A =∠B∠D =∠BCE CD =EC，∴△ACD ≌△BEC AAS ；(2)解：∵△ACD ≌△BEC ，∴AD =BC ，AC =BE ，∴AC +BC =AD +BE ，∴AB =AD +BE ．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．【考点四用SSS 证明两三角形全等】1(2023·云南玉溪·统考三模)如图，点B ，E ，C ，F 在一条直线上，AB =DF ，AC =DE ，BE =CF ，求证：△ABC ≌△DFC．【答案】见解析【分析】根据题意，运用“边边边”的方法证明三角形全等．【详解】证明：∵BE =CF ，∴BE +CE =CF +CE ，即BC =EF ，在△ABC 和△DFE 中，AB =DFAC =DEBC =FE∴△ABC ≌△DFE (SSS )．【点睛】本题主要考查三角形全等的判定，掌握全等三角形的判定方法解题的关键．【变式训练】1(2023·云南·统考中考真题)如图，C 是BD 的中点，AB =ED ,AC =EC ．求证：△ABC ≌△EDC．【答案】见解析【分析】根据C 是BD 的中点，得到BC =CD ，再利用SSS 证明两个三角形全等．【详解】证明：∵C 是BD 的中点，∴BC =CD ，在△ABC 和△EDC 中，BC =CDAB =ED AC =EC，∴△ABC ≌△EDC SSS 【点睛】本题考查了线段中点，三角形全等的判定，其中对三角形判定条件的确定是解决本题的关键．2(2023春·全国·七年级专题练习)如图，已知∠E =∠F =90°，点B ，C 分别在AE ，AF 上，AB =AC ，BD =CD．(1)求证：△ABD ≌△ACD ；(2)求证：DE =DF ．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】(1)直接根据SSS 证明即可．(2)根据(1)得∠EAD =∠FAD ，然后证明△AED ≌△AFD 即可．【详解】(1)解：证明：在△ABD 和△ACD 中，AB =ACAD =AD BD =CD∴△ABD ≌△ACD (SSS )．(2)解：由(1)知△ABD ≌△ACD (SSS )，∴∠EAD =∠FAD ，在△AED和△AFD中，∠E=∠F∠EAD=∠FAD AD=AD∴△AED≌△AFD(AAS)，∴DE=DF．【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，熟记全等三角形的性质与判定是解题关键．【考点五添一个条件使两三角形全等】1(2023春·宁夏银川·七年级校考期末)如图，在△ABC和△FED中，AD=FC，∠A=∠F，要使△ABC≌△FED，需添加的一个条件是．【答案】AB=EF(∠B=∠E或∠ACB=∠FDE答案不唯一)【分析】要使△ABC≌△FED，现有一边一角分别对应相等，还少一个条件，可结合图形选择利用求解即可．【详解】解：∵AD=FC，∴AC=FD又∵∠A=∠F，∴添加AB=EF，利用SAS可以证明△ABC≌△FED；添加∠B=∠E，利用AAS可以证明△ABC≌△FED；添加∠ACB=∠FDE，利用ASA可以证明△ABC≌△FED故答案为：AB=EF(∠B=∠E或∠ACB=∠FDE(．【点睛】本题考查三角形全等的判定方法；判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．添加时注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，不能添加，根据已知结合图形及判定方法选择条件是正确解答本题的关键．【变式训练】1(2023·北京大兴·统考二模)如图，点B，E，C，F在一条直线上，AC∥DF，BE=CF，只需添加一个条件即可证明△ABC≌△DEF，这个条件可以是(写出一个即可)．【答案】AC=DF或∠A=∠D或∠ABC=∠DEF或AB∥DE(答案不唯一)．【分析】根据SAS，AAS或ASA添加条件即可求解．【详解】解：∵AC∥DF，∴∠ACB=∠DFE，∵BE=CF，∴BE+EC=CF+EC，即BC=EF，则有边角AS两个条件，要添加一个条件分三种情况，(1)根据“SAS”，则可添加：AC=DF，(2)根据“ASA”，则可添加：∠ABC=∠DEF或AB∥DE，(3)根据“AAS”，则可添加：∠A=∠D，故答案为：AC=DF或∠ABC=∠DEF或AB∥DE或∠A=∠D(答案不唯一)．【点睛】本题考查了全等三角形的判定，解此题的关键是熟练掌握全等三角形的几种判断方法．2(2023春·山东青岛·七年级统考期末)如图，点E，F在BC上，BE=CF，∠AFB=∠DEC，请你添加一个条件(不添加字母和辅助线)，使得△ABF≌△DCE，你添加的条件是．【答案】AF=DE或∠ABF=∠DCE或∠A=∠D【分析】本题要判定△ABF≌△DCE，已知∠AFB=∠DEC，由BE=CF可得BF=CE，那么只需添加一个条件即可．添边可以是AF=DE或添角可以是∠ABF=∠DCE或∠A=∠D．【详解】解：所添加条件为：AF=DE或∠ABF=∠DCE或∠A=∠D，∵BE=CF，∴BE+EF=CF+EF，即BF=CE，添加：AF=DE，在△ABF和△DCE中，AF=DE∠AFB=∠DECBF=CE，∴△ABF≌△DCE SAS；添加：∠ABF=∠DCE，在△ABF和△DCE中，∠ABF=∠DCEBF=CE∠AFB=∠DEC，∴△ABF≌△DCE ASA添加：∠A=∠D，在△ABF和△DCE中，∠A=∠D∠AFB=∠DECBF=CE，∴△ABF≌△DCE AAS．故答案为：AF=DE或∠ABF=∠DCE或∠A=∠D．【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，解题的关键是掌握判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．3(2023秋·八年级课前预习)如图，AB=AC，D，E分别是AB，AC上的点，要使△ABE≌△ACD，则还需添加的条件是．(只需填写一个合适的条件即可，图中不能再添加其他点或线)【答案】AE=AD或∠B=∠C或∠AEB=∠ADC(答案不唯一)【分析】根据全等三角形的判定方法即可求解．【详解】解：①∵AB=AC，∠A=∠A，AE=AD，∴△ABE≌△ACD(SAS)，∴添加的条件为AE=AD；②∵∠B=∠C，AB=AC，∠A=∠A，∴△ABE≌△ACD(ASA)，∴添加的条件为∠B=∠C；③∵∠A=∠A，∠AEB=∠ADC，AB=AC，∴△ABE≌△ACD(ASA)，∴添加的条件为∠AEB=∠ADC；综上所述，添加的条件为AE=AD或∠B=∠C或∠AEB=∠ADC，故答案为：AE=AD或∠B=∠C或∠AEB=∠ADC(答案不唯一)．【点睛】本题主要考查全等三角形的判定，掌握以上知识是解题的关键．【过关检测】一、单选题1(2023春·四川达州·七年级四川省大竹中学校考期末)如图，已知BE=DF，AF∥CE，不能使△ABF≌△CDE的是()A.BF=DEB.AF=CEC.AB∥CDD.∠A=∠C【答案】A【分析】根据BE =DF ，可得BF =DE ，根据AF ∥CE ，可得∠AFE =∠CEF ，由等角的补角相等可得∠AFB =∠CED ，然后根据全等三角形的判定定理逐一判断即可．【详解】解：∵BE =DF ，∴BF =DE ，∵AF ∥CE ，∴∠AFE =∠CEF ，∴∠AFB =∠CED ．A 、添加BF =DE 时，不能判定△ABF ≌△CDE ，故选项符合题意；B 、添加AF =CE ，根据SAS ，能判定△ABF ≌△CDE ，故选项不符合题意；C 、由AB ∥CD 可得∠B =∠D ，所以添加AB ∥CD ，根据ASA ，能判定△ABF ≌△CDE ，故选项不符合题意；D 、添加∠A =∠C ，根据AAS ，能判定△ABF ≌△CDE ，故选项不符合题意；故选：A ．【点睛】本题重点考查了三角形全等的判定定理，普通两个三角形全等共有四个定理，即AAS 、ASA 、SAS 、SSS ，直角三角形可用HL 定理，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．2(2023秋·河南漯河·八年级校考期末)如图，∠A =∠B ,AE =BE ，点D 在AC 边上，∠1=∠2，AE 和BD 相交于点O ，若∠1=42°，则∠BDE 的度数为()A.71°B.69°C.67°D.65°【答案】B【分析】证明△BED ≌△AEC ，得到DE =CE ，∠C =∠BDE 等边对等角，求出∠C 的度数，即可．【详解】解：∵∠A =∠B ,∠BOE =∠AOD ，∴∠2=∠3，∵∠1=∠2，∴∠1=∠3，∴∠BED =∠AEC ，又AE =BE ，∴△BED ≌△AEC ，∴DE =CE ，∠C =∠BDE ，∴∠CDE =∠C =12180°-∠1 =69°，∴∠BDE =69°．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质．解题的关键是证明三角形全等．3(2023春·辽宁丹东·八年级校考期中)如图，在△PAB中，PA=PB，M，N，K分别是PA，PB，AB上的点，且AM=BK，BN=AK，若∠MKN=42°，则∠P的度数为()A.42°B.74°C.84°D.96°【答案】D【分析】根据等腰三角形的性质得出两个底角相等，根据三角形全等的判定定理得出∠AMK=∠BKN，根据三角形的外角性质得出∠A的度数，即可得答案．【详解】解：∵PA=PB，∴∠A=∠B，∵AM=BK，BN=AK，∴△AMK≌△BKN，∴∠AMK=∠BKN，∵∠MKB=∠A+∠AMK=∠MKN+∠BKN，∴∠A=∠MKN=42°，∴∠P=180°-2×42°=96°．故选：D．【点睛】本题考查等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理及三角形外角性质，熟练掌握相关判定定理及性质是解题关键．二、填空题4(2023春·山东青岛·七年级统考期末)如图，∠l=∠2，现要添加一个条件使△ABD≌△ACD，可以添加．(只添一个即可)．【答案】CD=BD(答案不唯一)【分析】根据三角形全等的判定方法进行解答即可．【详解】解：∵∠l=∠2，∴180°-∠1=180°-∠2，即∠ADC =∠ADB ，∵AD =AD ，∴添加条件CD =BD ，根据SAS 证明△ABD ≌△ACD ；添加条件∠C =∠B ，根据AAS 证明△ABD ≌△ACD ；添加条件∠CAD =∠BAD ，根据ASA 证明△ABD ≌△ACD ．故答案为：CD =BD (答案不唯一)．【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法，SAS ，AAS ，ASA ，HL ，SSS ．5(2023秋·湖南娄底·八年级统考期末)如图，∠ACB =90°，AC =BC ，BE ⊥CE 于E ，AD ⊥CE 于D ．下面四个结论：①∠ABE =∠BAD ；②△CBE ≌△ACD ；③AB =CE ；④AD -BE =DE ，其中正确的有．【答案】①②④【分析】由BE ⊥CE 于E ，AD ⊥CE 于D ，得BE ∥AD ，则∠ABE =∠BAD ，可判断①正确；根据“同角的余角相等”推导出∠BCE =∠CAD ，即可证明△CBE ≌△ACD ，可判断②正确；由垂线段最短可证明AB >BC ，BC >CE ，则AB >CE ，可判断③错误；由CE =AD ，BE =CD ，且CE -CD =DE ，得AD -BE =DE ，可判断④正确，于是得到问题的答案．【详解】∵BE ⊥CE ，AD ⊥CE ，∴AD ∥BE ，∴∠ABE =∠BAD ，故①正确；∵∠E =∠ADC =∠ACB =90°，∴∠BCE =∠CAD =90°-∠ACD ，在△CBE 和△ACD 中，∠E =∠ADC∠BCE =∠CAD BC =CA，∴△CBE ≌△ACD AAS ，故②正确；∵BC ⊥AC ，CE ⊥BE ，∴AB >BC ，BC >CE ，∴AB >CE ，故③错误；∵△CBE ≌△ACD ，∴CE =AD ，BE =CD ，∵CE -CD =DE ，∴AD -BE =DE ，故④正确；故答案为：①②④．【点睛】此题考查了同角的余角相等、垂线段最短、平行线的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识，证明∠BCE =∠CAD 及△CBE ≌△ACD 是解题的关键．6(2023秋·江苏淮安·八年级淮安市浦东实验中学校考开学考试)如图，已知正方形ABCD中，边长为10cm，点E在AB边上，BE=6cm．如果点P在线段BC上以4cm/s的速度由B点向C点运动．同时，点Q在线段CD上以acm/s的速度由C点向D点运动．当a=时，△EBP和△PCQ全等．【答案】4或24 5【分析】分两种情况：当△EBP≌△PCQ时和当△EBP≌QCP时，根据边对应相等，分别求出a的值即可．【详解】解：当△EBP≌△PCQ时，此时BE=CP，BP=CQ，则有BP=4t=at，CP=BC-BP=10-4t=6，此时t=1，a=4，当△EBP≌QCP时，此时BE=CQ，BP=CP，则有CQ=at=6，CP=BC-BP=10-4t=4t，此时t=54，a=245，综上所述，a的值为4或24 5，故答案为：4或24 5．【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质，采用分类讨论的思想是解题的关键．三、解答题7(2023春·上海嘉定·七年级校考期末)如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，点E为对角线BD上一点，∠A=∠BEC，且AD=BE．(1)求证：△ABD≌△ECB；(2)如果∠BDC=75°，求∠ADB的度数．【答案】(1)见解析(2)∠ADB=30°【分析】(1)由平行线性质可得∠ADB=∠CBE，再由ASA可证△ABD≌△ECB；(2)由全等三角形的性质可得BD=BC，由等腰三角形的性质可求出∠DBC=30°，再由两直线平行内错角相等即可求解．【详解】(1)证明∵AD∥BC，∴∠ADB=∠CBE，在△ABD和△ECB中，∠A=∠BECAD=BE∠ADB=∠CBE，∴△ABD≌△ECB ASA；(2)∵△ABD≌△ECB，∴BD=BC，∴∠BDC=∠BCD=75°，∴∠DBC=180°-∠BDC-∠BCD=30°，∵AD∥BC，∴∠ADB=∠DBC=30°．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质，三角形内角和，熟练掌握两直线平行内错角相等是解答本题的关键．8(2023秋·江苏·八年级校考周测)如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，AE是BC边上的中线，过C作CF⊥AE，垂足为F，过B作BD⊥BC交CF的延长线于D．(1)试说明AE=CD；(2)若AC=12cm，求BD的长．【答案】(1)见解析(2)BD=6cm【分析】(1)由题意可得∠D+∠DCB=90°，∠DCB+∠AEC=90°，即∠D=∠AEC，根据“AAS”可证△DBC≌△ECA，可得；(2)先求出，然后根据全等三角形的性质即可求解．【详解】(1)∵，，∴，，∴，∵，，∴，∴；(2)∵，，∴．∵是边上的中线，∴．∵，∴．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练运用全等三角形的判定是本题的关键．9(2023秋·湖南长沙·八年级长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校校考开学考试)如图所示，在中，于D，于E，与交于点F，且．(1)求证：；(2)已知，求的长．【答案】(1)见解析(2)【分析】(1)根据垂直的定义得出，再根据同角的余角相等得出，然后由证明即可；(2)由全等三角形的性质得出，再根据线段的和差即可解决问题．【详解】(1)证明：∵，，∴，∴，∴，在和中∴，(2)解：∵，∴，∵，∴，∴；【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质的应用，证明三角形全等是解决问题的关键，属于中考常考题型．10(2023春·四川成都·七年级成都实外校考期末)已知：如图，点是等边三角形内一点，且，外一点满足，平分．(1)求证：；(2)求的度数．(3)若，试判断与的位置关系，并说明理由．【答案】(1)见解析(2)(3)，理由见解析【分析】(1)由三角形是等边三角形和可得，由角平分线的性质可得，由“”即可证明；(2)由三角形是等边三角形和可得，，由“”证明，从而得到，再由，；(3)由全等三角形的性质可得，由等腰三角形的性质可得，令交于点，通过计算得出，最后由三角形内角和定理可得出，从而得到答案．【详解】(1)证明：三角形是等边三角形，，，，平分，，在和中，，；(2)解：三角形是等边三角形，，，在和中，，，，，，由(1)得，，；(3)解：，理由如下：由(1)得，，，由(2)得，，，，，，如图，令交于点，，则，，，．【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质、三角形全等的判定与性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理、角平分线的性质，熟练掌握等边三角形的性质、三角形全等的判定与性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理、角平分线的性质，是解题的关键．11(2023春·四川达州·七年级校考期末)如图，在中，，，点在线段上运动(不与、重合)，连接，作，交线段于．(1)当时，，；点从向的运动过程中，逐渐变(填“大”或“小”)；(2)当等于多少时，，请说明理由．(3)在点的运动过程中，与的长度可能相等吗？若可以，请直接写出的度数，请说明理由．【答案】(1)；；小；(2)，理由见解析；(3)可能相等，，理由见解析【分析】(1)现根据邻补角的定义，得到，进而得到，然后利用三角形内角和定理，得到，，又因为点从向的运动过程中，逐渐增大，所以逐渐变小；(2)利用三角形内角和定理，得到，根据平角的性质，得到，进而得到，再根据“”证明，即可得到答案；(3)根据等边对等角的性质，得到，再利用三角形内角和定理，得出，由三角形外角的性质，得到，进而得到，最后利用邻补角，即可求出的度数．【详解】(1)解：，，，，，，，，点从向的运动过程中，逐渐增大，逐渐变小，故答案为：；；小；(2)解：当时，，理由如下：，，又，，，，当时，，，在和中，，，即当时，，；(3)解：在点的运动过程中，与的长度可能相等，理由如下：，，，，，，，，．【点睛】本题考查了邻补角，三角形内角和定理，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，三角形外角的性质，灵活运用相关知识解决问题是解题关键．12(2023春·广东梅州·八年级校考开学考试)在四边形中．(1)如图1，，，，分别是，上的点，且，探究图中，，之间的数量关系．小林同学探究此问题的方法是：延长到点，使．连接，先对比与结论是；(2)如图2，在四边形中，，，、分别是，上的点，且，则上述结论是否仍然成立，请说明理由．(3)如图3，在四边形中，，，若点在的延长线上，点在的延长线上，若，请写出与的数量关系，并给出证明过程．【答案】(1)，理由见解析(2)成立，理由见解析(3)，证明见解析【分析】(1)延长到点，使，连接，可判定，进而得出，，再判定，可得结论；(2)延长到点，使，连接，先判定，进而得出，，再判定，可得结论；(3)在延长线上取一点，使得，连接，先判定，再判定，得出，最后根据，推导得到【详解】(1)解：结论：．理由：如图1，延长到点，使，连接，在和中，，，，，，，，在和中，，，．故答案为：；(2)解：仍成立，理由：如图2，延长到点，使，连接，，，，在和中，，，，，，，，在和中，，，；(3)解：结论：．理由：如图3，在延长线上取一点，使得，连接，，，，在和中，，，，，在和中，，，，，，，即，．【点睛】本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定以及全等三角形的性质的综合应用，解题的关键是作辅助线构造全等三角形，根据全等三角形的对应角相等进行推导变形．解题时注意：同角的补角相等．。

2023学年人教版数学八年级上册压轴题专题精选汇编(含30°角的直角三角形)解析版

2023学年人教版数学八年级上册压轴题专题精选汇编含30°角的直角三角形考试时间：120分钟试卷满分：100分一、选择题(共10题；共20分)1．（2分）（2021八上·松桃期末）如图△ABC是等边三角形点E是AC的中点过点E作EF⊥AB于点F 延长BC交EF的反向延长线于点D 若EF=1 则DF的长为（）A．2B．2.5C．3D．3.5【答案】C【完整解答】解：连接BE∵△ABC是等边三角形点E是AC的中点∴∠ABC=60° ∠ABE=∠CBE=30°∵EF⊥AB∴∠D=90°-∠ABC=30° 即∠D=∠CBE=30°∴BE=DE在Rt△BEF中EF=1∴BE=2EF=2∴BE=DE=2∴DF=EF+DE=3故答案为：C.【思路引导】连接BE 根据等边三角形的性质得∠ABC=60° ∠ABE=∠CBE=30° 易求∠D=30° 即得∠D=∠CBE 由等角对等边可得BE=DE 根据含30°角的直角三角形的性质可得BE=2EF=2 即得DE=2 从而得出DF=EF+DE=32．（2分）（2021八上·平阴期末）如图 △ABC 中 ∠C ＝90° AB ＝8 ∠B ＝30° 点P 是BC 边上的动点则AP 长不可能是( )A ．3.5B ．4.2C ．5.8D ．7.3【答案】A 【完整解答】解：∵∠C=90° AB=8 ∠B=30°∴AC=12AB=12×8=4 ∵点P 是BC 边上的动点∴4＜AP ＜8∴AP 的值不可能是3.5．故答案为：A ．【思路引导】根据含30°角的直角三角形的性质可得AC=12AB=4 根据垂线段最短得出AP 的最小值然后得出AP 的范围即可判断.3．（2分）（2021八上·海丰期末）如图 OE 为AOB ∠的角平分线 30AOB ∠=︒ 6OB = 点P C 分别为射线OE OB 上的动点则PC PB +的最小值是（）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】A 【完整解答】解：过点B 作BD ⊥OA 于D 交OE 于P 过P 作PC ⊥OB 于C 此时PC PB +的值最小∵OE 为AOB ∠的角平分线 PD ⊥OA PC ⊥OB∴PD=PC∴PC PB +=BD∵30AOB ∠=︒ 6OB = ∴132BD OB == 故答案为：A ．【思路引导】根据角平分线的性质求出PD=PC 再求出PC PB +=BD 最后求出BD 的值即可。

全等三角形压轴题及其详解

全等三角形压轴题1.在△ABC中，AB=AC，∠BAC=α（0°＜α＜60°），将线段BC绕点B逆时针旋转60°得到线段BD．（1）如图1，直接写出∠ABD的大小（用含α的式子表示）；（2）如图2，∠BCE=150°，∠ABE=60°，判断△ABE的形状并加以证明；（3）在（2）的条件下，连接DE，若∠DEC=45°，求α的值．【分析】（1）求出∠ABC的度数，即可求出答案；（2）连接AD，CD，ED，根据旋转性质得出BC=BD，∠DBC=60°，求出∠ABD=∠EBC=30°﹣α，且△BCD为等边三角形，证△ABD≌△ACD，推出∠BAD=∠CAD=∠BAC=α，求出∠BEC=α=∠BAD，证△ABD≌△EBC，推出AB=BE即可；（3）求出∠DCE=90°，△DEC为等腰直角三角形，推出DC=CE=BC，求出∠EBC=15°，得出方程30°﹣α=15°，求出即可．【解答】（1）解：∵AB=AC，∠A=α，∴∠ABC=∠ACB=（180°﹣∠A）=90°﹣α，∵∠ABD=∠ABC﹣∠DBC，∠DBC=60°，即∠ABD=30°﹣α；（2）△ABE是等边三角形，证明：连接AD，CD，ED，∵线段BC绕B逆时针旋转60°得到线段BD，则BC=BD，∠DBC=60°，∵∠ABE=60°，∴∠ABD=60°﹣∠DBE=∠EBC=30°﹣α，且△BCD为等边三角形，在△ABD与△ACD中∴△ABD≌△ACD（SSS），∴∠BAD=∠CAD=∠BAC=α，∵∠BCE=150°，∴∠BEC=180°﹣（30°﹣α）﹣150°=α=∠BAD，在△ABD和△EBC中∴△ABD≌△EBC（AAS），∴AB=BE，∴△ABE是等边三角形；（3）解：∵∠BCD=60°，∠BCE=150°，∴∠DCE=150°﹣60°=90°，∵∠DEC=45°，∴△DEC为等腰直角三角形，∴DC=CE=BC，∵∠BCE=150°，∴∠EBC=（180°﹣150°）=15°，∵∠EBC=30°﹣α=15°，∴α=30°．【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，等腰直角三角形的判定和性质的应用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，全等三角形的性质是全等三角形的对应边相等，对应角相等．2.已知，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°．分别以AB、AC为边，向三角形外作等边△ABD和等边△ACE．（1）如图1，连接线段BE、CD．求证：BE=CD；（2）如图2，连接DE交AB于点F．求证：F为DE中点．【解答】证明：（1）∵△ABD和△ACE是等边三角形，∴AB=AD，AC=AE，∠DAB=∠EAC=60°，∴∠DAB+∠BAC=∠EAC+∠BAC，即∠DAC=∠BAE，在△DAC和△BAE中，，∴△DAC≌△BAE（SAS），∴DC=BE；（2）如图，作DG∥AE，交AB于点G，由∠EAC=60°，∠CAB=30°得：∠FAE=∠EAC+∠CAB=90°，∴∠DGF=∠FAE=90°，又∵∠ACB=90°，∠CAB=30°，∴∠ABC=60°，又∵△ABD为等边三角形，∠DBG=60°，DB=AB，∴∠DBG=∠ABC=60°，在△DGB和△ACB中，，∴△DGB≌△ACB（AAS），∴DG=AC，又∵△AEC为等边三角形，∴AE=AC，∴DG=AE，在△DGF和△EAF中，，∴△DGF≌△EAF（AAS），∴DF=EF，即F为DE中点．3.在课外小组活动时，小慧拿来一道题（原问题）和小东、小明交流．原问题：如图1，已知△ABC，∠ACB=90°，∠ABC=45°，分别以AB、BC为边向外作△ABD与△BCE，且DA=DB，EB=EC，∠ADB=∠BEC=90°，连接DE交AB于点F．探究线段DF与EF的数量关系．小慧同学的思路是：过点D作DG⊥AB于G，构造全等三角形，通过推理使问题得解．小东同学说：我做过一道类似的题目，不同的是∠ABC=30°，∠ADB=∠BEC=60度．小明同学经过合情推理，提出一个猜想，我们可以把问题推广到一般情况．请你参考小慧同学的思路，探究并解决这三位同学提出的问题：（1）写出原问题中DF与EF的数量关系；（2）如图2，若∠ABC=30°，∠ADB=∠BEC=60°，原问题中的其他条件不变，你在（1）中得到的结论是否发生变化？请写出你的猜想并加以证明；（3）如图3，若∠ADB=∠BEC=2∠ABC，原问题中的其他条件不变，你在（1）中得到的结论是否发生变化？请写出你的猜想并加以证明．【分析】本题的解题思路是通过构建全等三角形来求解．先根据直角三角形的性质，等边三角形的性质得到一些隐含的条件，然后根据所得的条件来证明所构建的三角形的全等；再根据全等三角形的对应边相等得出DF=EF的猜想．【解答】解：（1）DF=EF．（2）猜想：DF=FE．证明：过点D作DG⊥AB于G，则∠DGB=90度．∵DA=DB，∠ADB=60度．∴AG=BG，△DBA是等边三角形．∴DB=BA．∵∠ACB=90°，∠ABC=30°，∴AC=AB=BG．在Rt△DBG和Rt△BAC中∴Rt△DBG≌Rt△BAC（HL）．∴DG=BC．∵BE=EC，∠BEC=60°，∴△EBC是等边三角形．∴BC=BE，∠CBE=60度．∴DG=BE，∠ABE=∠ABC+∠CBE=90°．∵∠DFG=∠EFB，∠DGF=∠EBF，在△DFG和△EFB中∴△DFG≌△EFB（AAS）．∴DF=EF．（3）猜想：DF=FE．证法一：过点D作DH⊥AB于H，连接HC，HE，HE交CB于K，则∠DHB=90度．∵DA=DB，∴AH=BH，∠1=∠HDB．∵∠ACB=90°，∴HC=HB．在△HBE和△HCE中∴△HBE≌△HCE（SSS）．∴∠2=∠3，∠4=∠BEH．∴HK⊥BC．∴∠BKE=90°．∴∠3+∠ABC=90°∵∠ADB=∠BEC=2∠ABC，∴∠HDB=∠BEH=∠ABC．∴∠DBC=∠DBH+∠ABC=∠DBH+∠HDB=90°，∴∠3=∠DBH∠EBH=∠EBK+∠ABC=∠EBK+∠BEK=90°=∠DHB又∵HB是公共边，所以△DBH≌△EHB∴DH=BE同理可以证明△DHF≌△EBF∴DF=EF．4.已知，点P是Rt△ABC斜边AB上一动点（不与A、B重合），分别过A、B向直线CP作垂线，垂足分别为E、F，Q为斜边AB的中点．（1）如图1，当点P与点Q重合时，AE与BF的位置关系是AE∥BF，QE与QF的数量关系是QE=QF；（2）如图2，当点P在线段AB上不与点Q重合时，试判断QE与QF的数量关系，并给予证明；（3）如图3，当点P在线段BA（或AB）的延长线上时，此时（2）中的结论是否成立？请画出图形并给予证明．【分析】（1）根据AAS推出△AEQ≌△BFQ，推出AE=BF即可；（2）延长EQ交BF于D，求出△AEQ≌△BDQ，根据全等三角形的性质得出EQ=QD，根据直角三角形斜边上中点性质得出即可；（3）延长EQ交FB于D，求出△AEQ≌△BDQ，根据全等三角形的性质得出EQ=QD，根据直角三角形斜边上中点性质得出即可．【解答】解：（1）如图1，当点P与点Q重合时，AE与BF的位置关系是AE∥BF，QE与QF的数量关系是AE=BF，理由是：∵Q为AB的中点，∴AQ=BQ，∵AE⊥CQ，BF⊥CQ，∴AE∥BF，∠AEQ=∠BFQ=90°，在△AEQ和△BFQ中∴△AEQ≌△BFQ，∴QE=QF，故答案为：AE∥BF，QE=QF；（2）QE=QF，证明：延长EQ交BF于D，∵由（1）知：AE∥BF，∴∠AEQ=∠BDQ，在△AEQ和△BDQ中∴△AEQ≌△BDQ，∴EQ=DQ，∵∠BFE=90°，∴QE=QF；，（3）当点P在线段BA（或AB）的延长线上时，此时（2）中的结论成立，证明：延长EQ交FB于D，如图3，∵由（1）知：AE∥BF，∴∠AEQ=∠BDQ，在△AEQ和△BDQ中∴△AEQ≌△BDQ，∴EQ=DQ，∵∠BFE=90°，∴QE=QF．5.在△ABC中，AB=AC，∠BAC=60°，点E为直线AC上一点，D为直线BC上的一点，且DA=DE．当点D在线段BC上时，如图①，易证：BD+AB=AE；当点D在线段CB的延长线上时，如图②、图③，猜想线段BD，AB和AE之间又有怎样的数量关系？写出你的猜想，并选择一种情况给予证明．【分析】图②中，论：BD+AE=AB，作EM∥AB交BC于M，先证明△EMC是等边三角形得CE=CM，AE=BM，再证明△ABD≌△DEM，得DB=EM=MC由此可以对称结论．图③中，结论：BD﹣AE=AB，证明方法类似．【解答】解；如图②中，结论：BD+AE=AB．理由：作EM∥AB交BC于M，∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=∠C=∠BAC=60°，AB=BC=AC，∴∠CEM=∠CAB=60°，∠CME=∠CBA=60°，∴△CME是等边三角形，∴CE=CM=EM，∠EMC=60°，∴AE=BM，∵DA=DE，∴∠DAE=∠DEA，∴∠BAC+∠DAB=∠C+∠EDM，∴∠DAB=∠EDM，∵∠ABD=180°﹣∠ABC=120°，∠EMD=180°﹣∠EMC=120°，∴∠ABD=∠DME，在△ABD和△DEM中，，∴△ABD≌△DEM，∴DB=EM=CM，∴DB+AE=CM+BM=BC=AB．如图③中，结论：BD﹣AE=AB．理由：作EM∥AB交BC于M，∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=∠C=∠BAC=60°，AB=BC=AC，∴∠CEM=∠CAB=60°，∠CME=∠CBA=60°，∴△CME是等边三角形，∴CE=CM=EM，∠EMC=∠MEC=60°，∴AE=BM，∵DA=DE，∴∠DAE=∠DEA，∴∠C+∠ADC=∠MEC+∠EDDEM，∴∠ADB=∠DEM，∵∠ABD=180°﹣∠ABC=120°，∠EMD=180°﹣∠EMC=120°，∴∠ABD=∠DME，在△ABD和△DEM中，，∴△ABD≌△DME，∴DB=EM=CM，∴DB﹣AE=CM﹣BM=BC=AB．【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是添加辅助线构造全等三角形，注意形变证明方法基本不变，属于中考常考题型．6.如图1，我们定义：在四边形ABCD中，若AD=BC，且∠ADB+∠BCA=180°，则把四边形ABCD叫做互补等对边四边形．（1）如图2，在等腰△ABE中，AE=BE，四边形ABCD是互补等对边四边形，求证：∠ABD=∠BAC=∠AEB．（2）如图3，在非等腰△ABE中，若四边形ABCD仍是互补等对边四边形，试问∠ABD=∠BAC=∠AEB是否仍然成立？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由．【分析】（1）根据等边对等角可得∠EAB=∠EBA，根据四边形ABCD是互补等对边四边形，可得AD=BC，根据SAS可证△ABD≌△BAC，根据全等三角形的性质可得∠ABD=∠BAC，再根据等腰三角形的性质即可证明；（2）仍然成立；理由如下：如图所示：过点A、B分别作BD的延长线与AC的垂线，垂足分别为G、F，证明△AGD≌△BFC，得到AG=BF，又AB=BA，所以△ABC≌△BAF，得到∠ABD=∠BAC，根据∠ADB+∠BCA=180°，得到∠EDB+∠ECA=180°，进而得到∠AEB+∠DHC=180°，由∠DHC+∠BHC=180°，所以∠AEB=∠BHC．因为∠BHC=∠BAC+∠ABD，∠ABD=∠BAC，所以∠ABD=∠BAC=∠AEB．【解答】解：（1）∵AE=BE，∴∠EAB=∠EBA，∵四边形ABCD是互补等对边四边形，∴AD=BC，在△ABD和△BAC中，，∴△ABD≌△BAC（SAS），∴∠ADB=∠BCA，又∵∠ADB+∠BCA=180°，∴∠ADB=∠BCA=90°，在△ABE中，∵∠EAB=∠EBA==90°﹣∠AEB，∴∠ABD=90°﹣∠EAB=90°﹣（90°﹣∠AEB）=∠AEB，同理：∠BAC=∠AEB，∴∠ABD=∠BAC=∠AEB；（2）仍然成立；理由如下：如图③所示：过点A、B分别作BD的延长线与AC的垂线，垂足分别为G、F，∵四边形ABCD是互补等对边四边形，∴AD=BC，∠ADB+∠BCA=180°，又∠ADB+ADG=180°，∴∠BCA=∠ADC，又∵AG⊥BD，BF⊥AC，∴∠AGD=∠BFC=90°，在△AGD和△BFC中，∴△AGD≌△BFC，∴AG=BF，在△ABG和△BAF中，∴△ABG≌△BAF，∴∠ABD=∠BAC，∵∠ADB+∠BCA=180°，∴∠EDB+∠ECA=180°，∴∠AEB+∠DHC=180°，∵∠DHC+∠BHC=180°，∴∠AEB=∠BHC．∵∠BHC=∠BAC+∠ABD，∠ABD=∠BAC，∴∠ABD=∠BAC=∠AEB．【点评】本题考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是根据SAS证明△ABD≌△BAC．7.已知△ABC为等边三角形，点D为直线BC上的一动点（点D不与B、C重合），以AD为边作等边△ADE（顶点A、D、E按逆时针方向排列），连接CE．（1）如图1，当点D在边BC上时，求证：①BD=CE，②AC=CE+CD；（2）如图2，当点D在边BC的延长线上且其他条件不变时，结论AC=CE+CD是否成立？若不成立，请写出AC、CE、CD之间存在的数量关系，并说明理由；（3）如图3，当点D在边BC的反向延长线上且其他条件不变时，补全图形，并直接写出AC、CE、CD之间存在的数量关系．【分析】（1）根据等边三角形的性质及等式的性质就可以得出△ABD≌△ACE，从而得出结论；（2）根据等边三角形的性质及等式的性质就可以得出△ABD≌△ACE，就可以得出BD=CE，就可以得出AC=CE﹣CD；（3）先根据条件画出图形，根据等边三角形的性质及等式的性质就可以得出△ABD≌△ACE，就可以得出BD=CE，就可以得出AC=CD﹣CE．【解答】解：（1）∵△ABC和△ADE都是等边三角形，∴AB=AC=BC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°．∴∠BAC﹣∠CAD=∠DAE﹣∠CAD，即∠BAD=∠CAE．在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴BD=CE．∵BC=BD+CD，AC=BC，∴AC=CE+CD；（2）AC=CE+CD不成立，AC、CE、CD之间存在的数量关系是：AC=CE﹣CD．理由：∵△ABC和△ADE都是等边三角形，∴AB=AC=BC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°．∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD，∴∠BAD=∠CAE在△ABD和△ACE中，∴△ABD≌△ACE（SAS）∴BD=CE∴CE﹣CD=BD﹣CD=BC=AC，∴AC=CE﹣CD；（3）补全图形（如图）AC、CE、CD之间存在的数量关系是：AC=CD﹣CE．理由：∵△ABC和△ADE都是等边三角形，∴AB=AC=BC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°．∴∠BAC﹣∠BAE=∠DAE﹣∠BAE，∴∠BAD=∠CAE在△ABD和△ACE中，∴△ABD≌△ACE（SAS）∴BD=CE．∵BC=CD﹣BD，∴BC=CD﹣CE，∴AC=CD﹣CE．【点评】本题考查了等边三角形的性质的运用，等式的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．8.如图，已知△ABC，分别以AB、AC为边作△ABD和△ACE，且AD=AB，AC=AE，∠DAB=∠CAE，连接DC与BE．G、F分别是DC与BE的中点．（1）求证：DC=BE；（2）当∠DAB=80°，求∠AFG的度数；（3）若∠DAB=α，则∠AFG与α的数量关系是．【分析】（1）根据等式的性质就可以得出∠DAC=∠BAE．就可以得出△ADC≌△ABE就可以得出DC=BE；（2）连接AG，根据条件就可以得出△ADG≌△ABF，就可以求出AG=AF，∠GAF=∠DAB，由等腰三角形的性质就可以求出∠AFG的值，（3）连接AG，根据条件就可以得出△ADG≌△ABF，就可以求出AG=AF，∠GAF=∠DAB，由等腰三角形的性质就可以表示∠AFG与a的关系．【解答】解：（1）∵∠DAB=∠CAE，∴∠DAB+∠BAC=∠CAE+∠BAC，∴∠DAC=∠BAE．在△ADC和△ABE中，∴△ADC≌△ABE（SAS），∴DC=BE；（2）连接AG．∵△ADC≌△ABE，∴∠ADC=∠ABE．AD=AB．∵G、F分别是DC与BE的中点，∴DG=DC，BF=BE，∴DG=BF．在△ADG和△ABF中，∴△ADG≌△ABF（SAS），∴AG=AF，∠DAG=∠BAF，∴∠AGF=∠AFG，∠DAG﹣∠BAG=∠BAF﹣∠BAG，∴∠DAB=∠GAF．∵∠DAB=80°，∴∠GAF=80°．∵∠GAF+∠AFG+∠AGF=180°，∴∠AFG=50°．答：∠AFG=50°；（3）∵∠DAB=α，∴∠GAF=α．∵∠GAF+∠AFG+∠AGF=180°，∴α+2∠AFG=180°，∴∠AFG=90°﹣α．故答案为：∠AFG=50°，90°﹣α．【点评】本题考查了全等三角形的判定及性质的运用，等式的性质的运用，等腰三角形的性质的运用，三角形内角和定理的运用，解答时证明三角形全等是关键．9.△ABC是等边三角形，点D、E分别在边AB、BC上，CD、AE交于点F，∠AFD=60°．（1）如图1，求证：BD=CE；（2）如图2，FG为△AFC的角平分线，点H在FG的延长线上，HG=CD，连接HA、HC，求证：∠AHC=60°；（3）在（2）的条件下，若AD=2BD，FH=9，求AF长．【分析】（1）根据等边三角形的性质得出AB=BC，∠BAC=∠C=∠ABE=60°，根据SAS推出△ABE≌△BCD，即可证得结论；（2）根据角平分线的性质定理证得CM=CN，利用∠CEM=∠ACE+∠CAE=60°+∠CAE，∠CGN=∠AFH+∠CAE=60°+∠CAE，得出∠CEM=∠CGN，然后根据AAS证得△ECM≌△GCN，得出CG=CE，EM=GN，∠ECM=∠GCN，进而证得△AMC≌△HNC，得出∠ACM=∠HCN，AC=HC，从而证得△ACH是等边三角形，证得∠AHC=60°；（3）在FH上截取FK=FC，得出△FCK是等边三角形，进一步得出FC=KC=FK，∠ACF=∠HCK，证得△AFC≌△HKC得出AF=HK，从而得到HF=AF+FC=9，由AD=2BD 可知AG=2CG，再由=，根据等高三角形面积比等于底的比得出===2，再由AF+FC=9求得．【解答】解：（1）如图1，∵△ABC是等边三角形，∴∠B=∠ACE=60°BC=AC，∵∠AFD=∠CAE+∠ACD=60°∠BCD+∠ACD=∠ACB=60°，∴∠BCD=∠CAE，在△ABE和△BCD中，∴△ABE≌△BCD（ASA），∴BD=CE；（2）如图2，作CM⊥AE交AE的延长线于M，作CN⊥HF于N，∵∠EFC=∠AFD=60°∴∠AFC=120°，∵FG为△AFC的角平分线，∴∠CFH=∠AFH=60°，∴∠CFH=∠CFE=60°，∵CM⊥AE，CN⊥HF，∴CM=CN，∵∠CEM=∠ACE+∠CAE=60°+∠CAE，∠CGN=∠AFH+∠CAE=60°+∠CAE，∴∠CEM=∠CGN，在△ECM和△GCN中∴△ECM≌△GCN（AAS），∴CE=CG，EM=GN，∠ECM=∠GCN，∴∠MCN=∠ECG=60°，∵△ABE≌△BCD，∵AE=CD，∵HG=CD，∴AE=HG，∴AE+EM=HG+GN，即AM=HN，在△AMC和△HNC中∴△AMC≌△HNC（SAS），∴∠ACM=∠HCN，AC=HC，∴∠ACM﹣∠ECM=∠HCN﹣∠GCN，即∠ACE=∠HCG=60°，∴△ACH是等边三角形，∴∠AHC=60°；（3）如图3，在FH上截取FK=FC，∵∠HFC=60°，∴△FCK是等边三角形，∴∠FKC=60°，FC=KC=FK，∵∠ACH=60°，∴∠ACF=∠HCK，在△AFC和△HKC中∴△AFC≌△HKC（SAS），∴AF=HK，∴HF=AF+FC=9，∵AD=2BD，BD=CE=CG，AB=AC，∴AG=2CG，∴==，作GW⊥AE于W，GQ⊥DC于Q，∵FG为△AFC的角平分线，∴GW=GQ，∵===，∴AF=2CF，∴AF=6．【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，角平分线的性质，找出辅助线根据全等三角形和等边三角形是解题的关键．10.如图1，△ABE是等腰三角形，AB=AE，∠BAE=45°，过点B作BC⊥AE于点C，在BC上截取CD=CE，连接AD、DE并延长AD交BE于点P；（1）求证：AD=BE；（2）试说明AD平分∠BAE；（3）如图2，将△CDE绕着点C旋转一定的角度，那么AD与BE的位置关系是否发生变化，说明理由．【分析】（1）利用SAS证明△BCE≌△ACD，根据全等三角形的对应边相等得到AD=BE．（2）根据△BCE≌△ACD，得到∠EBC=∠DAC，由∠BDP=∠ADC，得到∠BPD=∠DCA=90°，利用等腰三角形的三线合一，即可得到AD平分∠BAE；（3）AD⊥BE不发生变化．由△BCE≌△ACD，得到∠EBC=∠DAC，由对顶角相等得到∠BFP=∠ACF，根据三角形内角和为180°，所以∠BPF=∠ACF=90°，即AD⊥BE．【解答】解：（1）∵BC⊥AE，∠BAE=45°，∴∠CBA=∠CAB，∴BC=CA，在△BCE和△ACD中，∴△BCE≌△ACD，∴AD=BE．（2）∵△BCE≌△ACD，∴∠EBC=∠DAC，∵∠BDP=∠ADC，∴∠BPD=∠DCA=90°，∵AB=AE，∴AD平分∠BAE．（3）AD⊥BE不发生变化．如图2，∵△BCE≌△ACD，∴∠EBC=∠DAC，∵∠BFP=∠ACF，∴∠BPF=∠ACF=90°，∴AD⊥BE．【点评】本题考查了全等三角形的性质定理与判定定理，解决本题的关键是证明△BCE≌△ACD．11.情境观察：如图1，△ABC中，AB=AC，∠BAC=45°，CD⊥AB，AE⊥BC，垂足分别为D、E，CD与AE交于点F．①写出图1中所有的全等三角形△ABE≌△ACE，△ADF≌△CDB；②线段AF与线段CE问题探究：如图2，△ABC中，∠BAC=45°，BAC，AD⊥CD，垂足为D，AD与BC交于点E．求证：AE=2CD．拓展延伸：如图3，△ABC中，∠BAC=45°，AB=BC，点D在AC上，∠EDC=∠BAC，DE⊥CE，垂足为E，DE与BC交于点F．求证：DF=2CE．要求：请你写出辅助线的作法，并在图3中画出辅助线，不需要证明．【分析】情境观察：①由全等三角形的判定方法容易得出结果；②由全等三角形的性质即可得出结论；问题探究：延长AB、CD交于点G，由ASA证明△ADC≌△ADG，得出对应边相等CD=GD，即CG=2CD，证出∠BAE=∠BCG，由ASA证明△ADC≌△CBG，得出AE=CG=2CD即可．拓展延伸：作DG⊥BC交CE的延长线于G，同上证明三角形全等，得出DF=CG即可．【解答】情境观察：解：①图1中所有的全等三角形为△ABE≌△ACE，△ADF≌△CDB；故答案为：△ABE≌△ACE，△ADF≌△CDB②线段AF与线段CE的数量关系是：AF=2CE；故答案为：AF=2CE．问题探究：证明：延长AB、CD交于点G，如图2所示：∵AD平分∠BAC，∴∠CAD=∠GAD，∵AD⊥CD，∴∠ADC=∠ADG=90°，在△ADC和△ADG中，，∴△ADC≌△ADG（ASA），∴CD=GD，即CG=2CD，∵∠BAC=45°，AB=BC，∴∠ABC=90°，∴∠CBG=90°，∴∠G+∠BCG=90°，∵∠G+∠BAE=90°，∴∠BAE=∠BCG，在△ABE和△CBG中，，∴△ADC≌△CBG中（ASA），∴AE=CG=2CD．拓展延伸：解：作DG⊥BC交CE的延长线于G，如图3所示．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识；熟练掌握等腰三角形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．12.如图1，点P、Q分别是等边△ABC边AB、BC上的动点（端点除外），点P从顶点A、点Q从顶点B同时出发，且它们的运动速度相同，连接AQ、CP交于点M．（1）求证：△ABQ≌△CAP；（2）如图1，当点P、Q分别在AB、BC边上运动时，∠QMC变化吗？若变化，请说理由；若不变，求出它的度数．（3）如图2，若点P、Q在分别运动到点B和点C后，继续在射线AB、BC上运动，直线AQ、CP交点为M，则∠QMC=120度．（直接填写度数）【分析】（1）根据等边三角形的性质，利用SAS证明△ABQ≌△CAP；（2）由△ABQ≌△CAP根据全等三角形的性质可得∠BAQ=∠ACP，从而得到∠QMC=60°；（3）由△ABQ≌△CAP根据全等三角形的性质可得∠BAQ=∠ACP，从而得到∠QMC=120°．【解答】（1）证明：∵△ABC是等边三角形∴∠ABQ=∠CAP，AB=CA，又∵点P、Q运动速度相同，∴AP=BQ，在△ABQ与△CAP中，，∴△ABQ≌△CAP（SAS）；（2）解：点P、Q在运动的过程中，∠QMC不变．理由：∵△ABQ≌△CAP，∴∠BAQ=∠ACP，∵∠QMC=∠ACP+∠MAC，∴∠QMC=∠BAQ+∠MAC=∠BAC=60°；（3）解：∵△ABQ≌△CAP，∴∠BAQ=∠ACP，∵∠QMC=∠BAQ+∠APM，∴∠QMC=∠ACP+∠APM=180°﹣∠PAC=180°﹣60°=120°．故答案为：120°．【点评】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键．13.如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，D是斜边上AB上任一点，AE⊥CD于E，BF⊥CD交CD的延长线于F，CH⊥AB于H点，交AE于G．（1）试说明AH=BH（2）求证：BD=CG．（3）探索AE与EF、BF之间的数量关系．【分析】（1）根据等腰三角形的三线合一证明；（2）证明△ACG≌△CBD，根据全等三角形的性质证明；（3）证明△ACE≌△CBF即可．【解答】证明：（1）∵AC=BC，CH⊥AB，∴AH=BH；（2）∵ABC为等腰直角三角形，CH⊥AB，∴∠ACG=45°，∵∠CAG+∠ACE=90°，∠BCF+∠ACE=90°，∴∠CAG=∠BCF，在△ACG和△CBD中，，∴△ACG≌△CBD（ASA），∴BD=CG；（3）AE=EF+BF，理由如下：在△ACE和△CBF中，，∴△ACE≌△CBF，∴AE=CF，CE=BF，∴AE=CF=CE+EF=BF+EF．【点评】本题考查的是全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．14.在△ABC中，AB=AC，∠BAC=100°，点D在BC边上，△ABD和△AFD关于直线AD对称，∠FAC的平分线交BC于点G，连接FG．（1）求∠DFG的度数；（2）设∠BAD=θ，①当θ为何值时，△DFG为等腰三角形；②△DFG有可能是直角三角形吗？若有，请求出相应的θ值；若没有，请说明理由．【分析】（1）由轴对称可以得出△ADB≌△ADF，就可以得出∠B=∠AFD，AB=AF，在证明△AGF≌△AGC就可以得出∠AFG=∠C，就可以求出∠DFG的值；（2）①当GD=GF时，就可以得出∠GDF═80°，根据∠ADG=40+θ，就有40°+80°+40°+θ+θ=180°就可以求出结论；当DF=GF时，就可以得出∠GDF=50°，就有40°+50°+40°+2θ=180°，当DF=DG时，∠GDF=20°，就有40°+20°+40°+2θ=180°，从而求出结论；②有条件可以得出∠DFG=80°，当∠GDF=90°时，就有40°+90°+40°+2θ=180°就可以求出结论，当∠DGF=90°时，就有∠GDF=10°，得出40°+10°+40°+2θ=180°求出结论．【解答】解：（1）∵AB=AC，∠BAC=100°，∴∠B=∠C=40°．∵△ABD和△AFD关于直线AD对称，∴△ADB≌△ADF，∴∠B=∠AFD=40°，AB=AF∠BAD=∠FAD=θ，∴AF=AC．∵AG平分∠FAC，∴∠FAG=∠CAG．在△AGF和△AGC中，，∴△AGF≌△AGC（SAS），∴∠AFG=∠C．∵∠DFG=∠AFD+∠AFG，∴∠DFG=∠B+∠C=40°+40°=80°．答：∠DFG的度数为80°；（2）①当GD=GF时，∴∠GDF=∠GFD=80°．∵∠ADG=40°+θ，∴40°+80°+40°+θ+θ=180°，∴θ=10°．当DF=GF时，∴∠FDG=∠FGD．∵∠DFG=80°，∴∠FDG=∠FGD=50°．∴40°+50°+40°+2θ=180°，∴θ=25°．当DF=DG时，∴∠DFG=∠DGF=80°，∴∠GDF=20°，∴40°+20°+40°+2θ=180°，∴θ=40°．∴当θ=10°，25°或40°时，△DFG为等腰三角形；②当∠GDF=90°时，∵∠DFG=80°，∴40°+90°+40°+2θ=180°，∴θ=5°．当∠DGF=90°时，∵∠DFG=80°，∴∠GDF=10°，∴40°+10°+40°+2θ=180°，∴θ=45°∴当θ=5°或45°时，△DFG为直角三角形．【点评】本题考查了轴对称的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，等腰三角形的判定及性质的运用，直角三角形的判定及性质的运用，解答时证明三角形的全等是关键．15.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D是AB的中点，连接CD，过B 作BE⊥CD交CD的延长线于点E，连接AE，过A作AF⊥AE交CD于点F．（1）求证：AE=AF；（2）求证：CD=2BE+DE．【分析】（1）通过证△AEB≌△AFC（SAS），得到AE=AF；（2）如图，过点A作AG⊥EC，垂足为G，通过证△BED≌△AGD（AAS），得到ED=GD，BE=AG，易证CF=BE=AG=GF．因为CD=DG+GF+FC，所以CD=DE+BE+BE，故CD=2BE+DE．【解答】证明：（1）如图，∵∠BAC=90°，AF⊥AE，∴∠EAB+∠BAF=∠BAF+∠FAC=90°，∴∠EAB=∠FAC，∵BE⊥CD，∴∠BEC=90°，∴∠EBD+∠EDB=∠ADC+∠ACD=90°，∵∠EDB=∠ADC，∴∠EBA=∠ACF，∴在△AEB与△AFC中，，∴△AEB≌△AFC（ASA），∴AE=AF；（2）如图，过点A作AG⊥EC，垂足为G．∵AG⊥EC，BE⊥CE，∴∠BED=∠AGD=90°，∵点D是AB的中点，∴BD=AD．∴在△BED与△AGD中，，∴△BED≌△AGD（AAS），∴ED=GD，BE=AG，∵AE=AF∴∠AEF=∠AFE=45°∴∠FAG=45°∴∠GAF=∠GFA，∴GA=GF，∴CF=BE=AG=GF，∵CD=DG+GF+FC，∴CD=DE+BE+BE，∴CD=2BE+DE．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质．在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．16.如图，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AD⊥BC，垂足是D，AE平分∠BAD，交BC于点E．在△ABC外有一点F，使FA⊥AE，FC⊥BC．（1）求证：BE=CF；（2）在AB上取一点M，使BM=2DE，连接MC，交AD于点N，连接ME．求证：①ME⊥BC；②CM平分∠ACE．【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质求出∠B=∠ACB=45°，再求出∠ACF=45°，从而得到∠B=∠ACF，根据同角的余角相等求出∠BAE=∠CAF，然后利用“角边角”证明△ABE和△ACF全等，根据全等三角形对应边相等证明即可；（2）①过点E作EH⊥AB于H，求出△BEH是等腰直角三角形，然后求出HE=BH，再根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=HE，然后求出HE=HM，从而得到△HEM是等腰直角三角形，再根据等腰直角三角形的性质求解即可；②求出∠CAE=∠CEA=67.5°，根据等角对等边可得AC=CE，再利用“HL”证明Rt△ACM和Rt△ECM全等即可得到结论．【解答】证明：（1）∵∠BAC=90°，AB=AC，∴∠B=∠ACB=45°，∵FC⊥BC，∴∠BCF=90°，∴∠ACF=90°﹣45°=45°，∴∠B=∠ACF，∵∠BAC=90°，FA⊥AE，∴∠BAE+∠CAE=90°，∠CAF+∠CAE=90°，∴∠BAE=∠CAF，在△ABE和△ACF中，，∴△ABE≌△ACF（ASA），∴BE=CF；（2）①如图，过点E作EH⊥AB于H，则△BEH是等腰直角三角形，∴HE=BH，∠BEH=45°，∵AE平分∠BAD，AD⊥BC，∴DE=HE，∴DE=BH=HE，∵BM=2DE，∴HE=HM，∴△HEM是等腰直角三角形，∴∠MEH=45°，∴∠BEM=45°+45°=90°，∴ME⊥BC；②由题意得，∠CAE=45°+×45°=67.5°，∴∠CEA=180°﹣45°﹣67.5°=67.5°，∴∠CAE=∠CEA=67.5°，∴AC=CE，在Rt△ACM和Rt△ECM中，，∴Rt△ACM≌Rt△ECM（HL），∴∠ACM=∠ECM，∴CM平分∠ACE．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，熟记性质并作辅助线构造出等腰直角三角形和全等三角形是解题的关键，难点在于最后一问根据角的度数得到相等的角．17.如图，在△ABC中，已知∠ABC=45°，过点C作CD⊥AB于点D，过点B作BM ⊥AC于点M，CD与BM相交于点E，且点E是CD的中点，连接MD，过点D作DN⊥MD，交BM于点N．（1）求证：△DBN≌△DCM；（2）请探究线段NE、ME、CM之间的数量关系，并证明你的结论．【分析】（1）根据两角夹边相等的两个三角形全等即可证明．（2）结论：NE﹣ME=CM．作DF⊥MN于点F，由（1）△DBN≌△DCM 可得DM=DN，由△DEF≌△CEM，推出ME=EF，CM=DF，由此即可证明．【解答】（1）证明：∵∠ABC=45°，CD⊥AB，∴∠ABC=∠DCB=45°，∴BD=DC，∵∠BDC=∠MDN=90°，∴∠BDN=∠CDM，∵CD⊥AB，BM⊥AC，∴∠ABM=90°﹣∠A=∠ACD，在△DBN和△DCM中，，∴△DBN≌△DCM．（2）结论：NE﹣ME=CM．证明：由（1）△DBN≌△DCM 可得DM=DN．作DF⊥MN于点F，又ND⊥MD，∴DF=FN，在△DEF和△CEM中，，∴△DEF≌△CEM，∴ME=EF，CM=DF，∴CM=DF=FN=NE﹣FE=NE﹣ME．【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质，属于中考常考题型．18.问题情境：如图①，在△ABD与△CAE中，BD=AE，∠DBA=∠EAC，AB=AC，易证：△ABD≌△CAE．（不需要证明）特例探究：如图②，在等边△ABC中，点D、E分别在边BC、AB上，且BD=AE，AD与CE交于点F．求证：△ABD≌△CAE．归纳证明：如图③，在等边△ABC中，点D、E分别在边CB、BA的延长线上，且BD=AE．△ABD与△CAE是否全等？如果全等，请证明；如果不全等，请说明理由．拓展应用：如图④，在等腰三角形中，AB=AC，点O是AB边的垂直平分线与AC 的交点，点D、E分别在OB、BA的延长线上．若BD=AE，∠BAC=50°，∠AEC=32°，求∠BAD的度数．【分析】特例探究：利用等边三角形的三条边都相等、三个内角都是60°的性质推知AB=AC，∠DBA=∠EAC=60°，然后结合已知条件BD=AE，利用全等三角形的判定定理SAS证得△ABD≌△CAE．归纳证明：△ABD与△CAE全等．利用等边三角形的三条边都相等、三个内角都是60°的性质以及三角形外角定理推知AB=AC，∠DBA=∠EAC=120°，然后结合已知条件BD=AE，利用全等三角形的判定定理SAS证得△ABD≌△CAE；拓展应用：利用全等三角形（△ABD≌△CAE）的对应角∠BDA=∠AEC=32°，然后由三角形的外角定理求得∠BAD的度数．【解答】特例探究：证明：∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC，∠DBA=∠EAC=60°，在△ABD与△CAE中，，∴△ABD≌△CAE（SAS）；解：归纳证明：△ABD与△CAE全等．理由如下：∵在等边△ABC中，AB=AC，∠ABC=∠BAC=60°，∴∠DBA=∠EAC=120°．在△ABD与△CAE中，，∴△ABD≌△CAE（SAS）；拓展应用：∵点O在AB的垂直平分线上，∴OA=OB，∴∠OBA=∠BAC=50°，∴∠EAC=∠DBC．在△ABD与△CAE中，，∴△ABD≌△CAE（SAS），∴∠BDA=∠AEC=32°，∴∠BAD=∠OBA﹣∠BDA=18°．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，线段垂直平分线的性质等知识点．在证明两个三角形全等时，一定要找准对应角和对应边．19.情境创设：如图1，两块全等的直角三角板，△ABC≌△DEF，且∠C=∠F=90°，现如图放置，则∠ABE=90°．问题探究：如图2，△ABC中，AH⊥BC于H，以A为直角顶点，分别以AB、AC为直角边，向△ABC形外作等腰直角△ABE和等腰直角△ACF，过点E、F作射线HA的垂线，垂足分别为M、N，试探究线段EM和FN之间的数量关系，并说明理由．拓展延伸：如图3，△ABC中，AH⊥BC于H，以A为直角顶点，分别以AB、AC为一边，向△ABC形外作正方形ABME和正方形ACNF，连接E、F交射线HA于G点，试探究线段EG和FG之间的数量关系，并说明理由．【分析】（1）求出∠A=∠EDF，∠A+∠ABC=90°，推出∠EDF+∠ADC=90°，求出∠ADE的度数即可；（2）根据全等三角形的判定得出△EAM≌△ABH，进而求出EM=AH．同理AH=FN，因而EM=FN．（3）与（2）证法类似求出EG=FG，求出△EPG≌△FQG即可．【解答】解：（1）∵△ABC≌△DEF，∴∠A=∠EDF，∵∠C=90°，∴∠A+∠ABC=90°，∴∠EDF+∠ADC=90°，∴∠ADE=180°﹣90°=90°，故答案为：90；（2）解：EM=FN，如图2，理由如下：∵Rt△ABE是等腰三角形，∴EA=BA，∠BAE=90°，∴∠BAH+∠MAE=90°，∵AH⊥BC，EM⊥AH，∴∠AME=∠AHB=90°，∴∠ABH+∠BAH=90°，∴∠ABH=∠MAE，在△EAM与△ABH中∴△EAM≌△ABH（AAS），∴EM=AH．同理AH=FN．∴EM=FN；（3）解：EG=FG，如图3，作EP⊥HG，FQ⊥HG，垂足分别为P、Q，由（2）可得EP=FQ，∵EP⊥HG，FQ⊥HG，∴∠EPG=∠FQG=90°，在△EPG和△FQG中∵，∴△EPG≌△FQG，∴EG=FG．【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，注意：①全等三角形的对应角相等，对应边相等，②全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS．。

专题02 直角三角形三种压轴题型全攻略(解析版)

专题02 直角三角形三种压轴题型全攻略(解析版)专题02 直角三角形三种压轴题型全攻略(解析版)一、题型一：已知直角三角形两条直角边求斜边长度的题目直角三角形是其中一条边为直角边的三角形。

已知一个直角三角形的两条直角边长度，求斜边长度是我们经常碰到的一种题型。

解题步骤如下：1. 首先，根据题目已知条件，确定两条直角边的长度，并进行标记。

2. 根据勾股定理，直角三角形的斜边长度等于两条直角边长度的平方和的平方根。

即斜边长度= √(直角边1^2 + 直角边2^2)。

3. 将直角三角形的斜边长度计算出来，并将结果写在答案中。

举个例子：已知直角三角形的直角边分别为3和4，求斜边的长度。

解题步骤如下：1. 标记直角边1为3，直角边2为4。

2. 根据勾股定理，斜边长度= √(3^2 + 4^2) = √9 + 16 = √25 = 5。

3. 得出答案，斜边的长度为5。

以上就是题型一的解题步骤。

二、题型二：已知直角三角形一条直角边和斜边长度求另一直角边长度的题目题型二是已知直角三角形的一条直角边和斜边长度，求另一直角边长度的题目。

解题步骤如下：1. 首先，根据题目已知条件，确定直角边和斜边的长度，并进行标记。

2. 根据勾股定理，直角三角形的斜边长度等于两条直角边长度的平方和的平方根。

即斜边长度= √(直角边1^2 + 直角边2^2)。

3. 将已知条件代入上述公式，求解未知直角边的长度。

举个例子：已知直角三角形的斜边长度为5，直角边长度为3，求另一直角边的长度。

解题步骤如下：1. 标记直角边为3，斜边为5。

2. 根据勾股定理，5 = √(3^2 + 直角边2^2)。

3. 将已知条件代入公式，5 = √(9 + 直角边2^2)。

4. 平方去根，5^2 = 9 + 直角边2^2。

5. 计算得到直角边2的长度，直角边2^2 = 5^2 - 9 = 16。

6. 计算得到直角边2的长度，直角边2 = √16 = 4。

7. 得出答案，另一直角边的长度为4。

人教版八年级上册《全等三角形》解答题压轴题能力提升专练(含详细解析)

人教版八年级上册《全等三角形》解答题压轴题能力提升专练全等三角形的性质和判定1．全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等。

2．判断两个三角形全等常用的方法如下表：经典题型专练1.已知：在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点D是AB的中点，点E是AB边上一点．（1）直线BF垂直于直线CE于点F，交CD于点G（如图1），求证：AE=CG；（2）直线AH垂直于直线CE，垂足为点H，交CD的延长线于点M（如图2），找出图中与BE相等的线段，并证明．2．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AC=2AB，点D是AC的中点．将一块锐角为45°的直角三角板如图放置，使三角板斜边的两个端点分别与A、D重合，连接BE、EC．试猜想线段BE和EC的数量及位置关系，并证明你的猜想．3．如图，△ACD和△BCE都是等腰直角三角形，∠ACD=∠BCE=90°，AE交CD 于点F，BD分别交CE、AE于点G、H．试猜测线段AE和BD的数量和位置关系，并说明理由．4.课外兴趣小组活动时，许老师出示了如下问题：如图1，己知四边形ABCD 中，AC平分∠DAB，∠DAB=60°，∠B与∠D互补，求证：AB+AD=√3AC．小敏反复探索，不得其解．她想，若将四边形ABCD特殊化，看如何解决该问题．（1）特殊情况入手添加条件：“∠B=∠D”，如图2，可证AB+AD=√3AC；（请你完成此证明）（2）解决原来问题受到（1）的启发，在原问题中，添加辅助线：如图3，过C点分别作AB、AD的垂线，垂足分别为E、F．（请你补全证明）5．如图，△ABC中，AD⊥BC于D，点E在AD上，△ADC和△BDE是等腰三角形，EC=5cm，求AB的长．6． CD经过∠BCA顶点C的一条直线，CA=CB．E，F分别是直线CD上两点，且∠BEC=∠CFA=∠α．（1）若直线CD经过∠BCA的内部，且E，F在射线CD上，请解决下面两个问题：①如图1，若∠BCA=90°，∠α=90°，则BE CF；EF |BE﹣AF|（填“＞”，“＜”或“=”）；②如图2，若0°＜∠BCA＜180°，请添加一个关于∠α与∠BCA关系的条件，使①中的两个结论仍然成立，并证明两个结论成立．（2）如图3，若直线CD经过∠BCA的外部，∠α=∠BCA，请提出EF，BE，AF 三条线段数量关系的合理猜想（不要求证明）．7.在△ABC中，∠ACB=2∠B，如图①，当∠C=90°，AD为∠ABC的角平分线时，在AB上截取AE=AC，连接DE，易证AB=AC+CD．（1）如图②，当∠C≠90°，AD为∠BAC的角平分线时，线段AB、AC、CD又有怎样的数量关系？不需要证明，请直接写出你的猜想：（2）如图③，当AD为△ABC的外角平分线时，线段AB、AC、CD又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对你的猜想给予证明．8. 如图，在锐角△ABC中，AB=4√2，∠BAC=45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，求BM+MN的最小值．9. 如图，在△ABC中，AB≠AC，∠BAC的外角平分线交直线BC于D，过D作DE⊥AB，DF⊥AC分别交直线AB，AC于E，F，连接EF．（1）求证：EF⊥AD；（2）若DE∥AC，且DE=1，求AD的长．10．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连接AE、BE，BE⊥AE，延长AE交BC的延长线于点F．求证：（1）FC=AD；（2）AB=BC+AD．11. 如图，已知点D为等腰直角△ABC内一点，∠CAD=∠CBD=15°，E为AD延长线上的一点，且CE=CA．（1）求证：DE平分∠BDC；（2）若点M在DE上，且DC=DM，求证：ME=BD．12. 图1、图2中，点C为线段AB上一点，△ACM与△CBN都是等边三角形．（1）如图1，线段AN与线段BM是否相等？证明你的结论；（2）如图2，AN与MC交于点E，BM与CN交于点F，探究△CEF的形状，并证明你的结论．人教版八年级上册《全等三角形》解答题压轴题能力提升专练（答案版）全等三角形的性质和判定1．全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等。

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BA ODCE图8济南初中数学压轴 --------姜姜老师北师大版七年级下三角形综合题归类一、双等边三角形模型1. （1）如图7，点O 是线段AD 的中点，分别以AO 和DO 为边在线段AD 的同侧作等边三角形OAB 和等边三角形OCD ，连结AC 和BD ，相交于点E ，连结BC ．求∠AEB 的大小；（2）如图8，ΔOAB 固定不动，保持ΔOCD 的形状和大小不变，将ΔOCD 绕着点O 旋转（ΔOAB 和ΔOCD 不能重叠），求∠AEB 的大小.同类变式：如图a ，△ABC 和△CEF 是两个大小不等的等边三角形，且有一个公共顶点C ，连接AF 和BE. (1)线段AF 和BE 有怎样的大小关系?请证明你的结论；(2)将图a 中的△CEF 绕点C 旋转一定的角度，得到图b ，(1)中的结论还成立吗?作出判断并说明理由； (3)若将图a 中的△ABC 绕点C 旋转一定的角度，请你画出一个变换后的图形c(草图即可)，(1)中的结论还成立吗?作出判断不必说明理由. 图c3. 如图9，若△ABC 和△ADE 为等边三角形，,M N 分别为,EB CD 的中点，易证：CD BE =，△AMN 是等边三角形．（1）当把△ADE 绕A 点旋转到图10的位置时，CD BE =是否仍然成立？若成立,请证明；若不成立，请说明理由；（2）当△ADE 绕A 点旋转到图11的位置时，△AMN 是否还是等边三角形？若是，请给出证明，若不是，请说明理由．同类变式：已知，如图①所示，在ABC △和ADE△中，AB AC =，AD AE=，BAC DAE ∠=∠，且点B A D ，，在一条直线上，连接BE CD M N ，，，分别为BE CD ，的中点．（1）求证：①BE CD =；②AN AM =；（2）在图①的基础上，将ADE △绕点A 按顺时针方向旋转180，其他条件不变，得到图②所示的图形．请直接写出（1）中的两个结论是否仍然成立.4. 如图，四边形ABCD 和四边形AEFG 均为正方形，连接BG 与DE 相交于点H ．（1）证明：△ABG ≌△ADE ；G DA图9 图10 图11C BO D 图7A ECE N MCABDN（2）试猜想∠BHD的度数，并说明理由；（3）将图中正方形ABCD绕点A逆时针旋转（0°＜∠BAE＜180°），设△ABE的面积为1S，△ADG的面积为2S，判断1S与2S的大小关系，并给予证明．5.已知：如图，ABC△是等边三角形，过AB边上的点D作DG BC∥，交AC于点G，在GD的延长线上取点E，使DE DB=，连接AE CD，．（1）求证：AGE DAC△≌△；（2）过点E作EF DC∥，交BC于点F，请你连接AF，并判断AEF△是怎样的三角形，试证明你的结论．CGAEDB F二、垂直模型（该模型在基础题和综合题中均为重点考察内容）考点1：利用垂直证明角相等1.如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，AE是BC边上的中线，过C作CF⊥AE，垂足为F，过B作BD⊥BC交CF的延长线于D．求证：（1）AE＝CD；（2）若AC＝12 cm，求BD的长．2.（西安中考）如图(1), 已知△ABC中, ∠BAC=900, AB=AC, AE是过A的一条直线, 且B、C在A、E的异侧, BD⊥AE于D, CE⊥AE于E 。

图(1)图(2) 图(3)(1)试说明: BD=DE+CE.(2) 若直线AE绕A点旋转到图(2)位置时(BD<CE), 其余条件不变, 问BD与DE、CE的关系如何?写结论,并说明理由。

(3) 若直线AE绕A点旋转到图(3)位置时(BD>CE), 其余条件不变, 问BD与DE、CE的关系如何? 写出结论,可不说明理由。

3. 直线CD经过BCA∠的顶点C，CA=CB．E、F分别是直线CD上两点，且BEC CFAα∠=∠=∠．（1）若直线CD经过BCA∠的内部，且E、F在射线CD上，请解决下面两个问题：①如图1，若90,90BCAα∠=∠=，则EF BE AF-（填“>”，“<”或“=”号）；②如图2，若0180BCA<∠<，若使①中的结论仍然成立，则α∠与BCA∠应满足的关系是；（2）如图3，若直线CD经过BCA∠的外部，BCAα∠=∠，请探究EF、与BE、AF三条线段的数量关系，并给予证明．考点2：利用角相等证明垂直1.已知BE，CF是△ABC的高，且BP=AC，CQ=AB，试确定AP与AQ 的数量关系和位置关系2. 如图，在等腰R t△ABC中，∠ACB=90°，D为BC的中点，DE⊥AB，垂足为E，过点B作BF∥AC交DE的延长线于点F，连接CF．(1)求证：CD=BF；(2)求证：AD⊥CF；(3)连接AF，试判断△ACF的形状.拓展巩固：如图9所示，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，AD是BC边上的中线，过C作AD的垂线，交AB于点E，交AD于点F，求证：∠ADC＝∠BDE．3. 如图1，已知正方形ABCD的边CD在正方形DEFG的边DE上，连接AE，GC.（1）试猜想AE与GC有怎样的位置关系，并证明你的结论；（2）将正方形DEFG绕点D按顺时针方向旋转，使E点落在BC边上，如图2，连接AE和GC.你认为（1）中的结论是否还成立？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由.4.如图1，ABC∆的边BC在直线l上，,AC BC⊥且,AC BC=EFP∆的边FP也在直线l上，边EF与边AC重合，且EF FP=（1）在图1中，请你通过观察、测量，猜想并写出AB与AP所满足的数量关系和位置关系；（2）将EFP∆沿直线l向左平移到图2的位置时，EP交AC于点Q,连接,AP BQ.猜想并写出BQ与AP所满足的数量关系和位置关系，请证明你的猜想；（3）将EFP∆沿直线l向左平移到图3的位置时，EP的延长线交AC的延长ABCEF DDABCE FADFCEB图1 图2 图3BACEFQPDA BCDEF图9………………………………………………最新资料推荐………………………………………线于点Q,连结,AP BQ ,你认为（2）中所猜想的BQ 与AP 的数量关系和位置关系和位置关系还成立吗？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由.三、等腰三角形（中考重难点之一）考点1：等腰三角形性质的应用1. 如图，ABC ∆中，AB AC =，90BAC ∠=︒，D 是BC 中点，ED FD ⊥，ED 与AB 交于E ，FD 与AC 交于F ．求证：BE AF =，AE CF =．2. 两个全等的含30，60角的三角板ADE 和三角板ABC ，如图所示放置，,,E A C 三点在一条直线上，连结BD ，取BD 的中点M ，连结,ME MC ．试判断EMC ∆的形状，并说明理由．MED CBA压轴题拓展：（三线合一性质的应用）已知Rt ABC ∆中，AC BC =，90C ∠=︒，D 为AB 边的中点，90EDF ∠=︒，EDF ∠绕D 点旋转，它的两边分别交AC 、CB （或它们的延长线）于E 、F ．当EDF ∠绕D 点旋转到DE AC ⊥于E 时（如图1），易证12DEF CEF ABC S S S ∆∆∆+=．当EDF ∠绕D 点旋转到DE 和AC不垂直时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立? 若成立，请给予证明；若不成立，DEF S ∆，CEF S ∆，ABC S ∆又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．FEDCBA图1AECF BD图2AECFBD图33. 已知：如图，△ABC 中，∠ABC =45°，CD ⊥AB 于D ，BE 平分∠ABC ，且BE ⊥AC 于E ，与CD 相交于点F ，H是BC 边的中点，连结DH 与BE 相交于点G 。

(1) BF =AC (2) CE =12BF (3)CE 与BC 的大小关系如何。

考点2：等腰直角三角形（45度的联想）1. 如图1，四边形ABCD 是正方形，M 是AB 延长线上一点。

直角三角尺的一条直角边经过点D ，且直角顶点E 在AB 边上滑动（点E 不与点A ，B 重合），另一条直角边与∠CBM 的平分线BF 相交于点F .⑴ 如图14―1，当点E 在AB 边的中点位置时：① 通过测量DE ，EF 的长度，猜想DE 与EF 满足的数量关系是； ② 连接点E 与AD 边的中点N ，猜想NE 与BF 满足的数量关系是；l (1) A B (F) (E)C PAB EC F P Q (2)lAB ECFPl(3) Q AB CD EF③ 请证明你的上述两猜想.⑵ 如图14―2，当点E 在AB 边上的任意位置时，请你在AD 边上找到一点N, 使得NE=BF ，进而猜想此时DE 与EF 有怎样的数量关系并证明2. 在Rt △ABC 中，AC ＝BC ，∠ACB ＝90°，D 是AC 的中点，DG ⊥AC 交AB 于点G.（1）如图1，E 为线段DC 上任意一点，点F 在线段DG 上，且DE=DF ，连结EF 与 CF ，过点F 作FH ⊥FC ，交直线AB 于点H ． ①求证：DG=DC②判断FH 与FC 的数量关系并加以证明．（2）若E 为线段DC 的延长线上任意一点，点F 在射线DG 上，(1)中的其他条件不变，借助图2画出图形。

在你所画图形中找出一对全等三角形，并判断你在(1)中得出的结论是否发生改变．（本小题直接写出结论，不必证明）同类变式：过点A ，且60º（1）如图（1）当点○1猜想AE 与EF ○2连结点E ○3得任意位置时，ＡＥ和四、角平分线问题1. 如图：E 在线段CD 上，EA 、EB 分别平分∠DAB 和∠CBA, ∠AEB=90°,设AD ＝x , BC ＝y ，且,x y 满足2268250x y x y +--+=（1）求AD 和BC 的长；（2）你认为AD 和BC 还有什么关系？并验证你的结论；（3）你能求出AB 的长度吗？若能，请写出推理过程；若不能，请说明理由. 2. 如图①，OP 是∠MON 的平分线，请你利用该图形画一对以OP 所在直线为对称轴的全等三角形。

请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：（1）如图②，在△ABC 中，∠ACB 是直角，∠B =60°，AD 、CE 分别是∠BAC 、∠BCA 的平分线，AD 、CE 相交于点F 。

请你判断并写出FE 与FD 之间的数量关系；（2）如图③，在△ABC 中，如果∠ACB 不是直角，而(1)中的其它条件不变，请问，你在(1)中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由。