§8 复系数与实系数多项式的因式分解
实系数多项式因式分解定理
实系数多项式因式分解定理实系数多项式因式分解定理是高中数学中的基础知识点之一，也是数学学习的重要环节。
它是指给定一个实系数多项式，可以通过分解成若干个单项式之积的形式来表示。
本文将通过分步骤阐述，来简单介绍实系数多项式因式分解定理。
一、根据多项式的次数选择合适的方法在进行实系数多项式因式分解时，首先需要确定多项式的次数。
如果是1次多项式，则可以直接进行一次式的分解；如果是2次多项式，则考虑二次方程求根的方法来分解；如果是3次或3次以上的多项式，则可应用求有理根和非有理根的方法来进行分解。
二、确定多项式的所有根求出多项式的所有根是进行因式分解的前提。
对于n次多项式，根据代数学基本定理可知，其最多有n个根。
可以利用有理根定理、因式定理、综合除法等方法，求出多项式的所有根。
三、利用多项式各个根的特点进行分解将多项式的根全部求出后，就需要利用这些根的特点，进行分解。
比如一次多项式可以表示为(x-a)，二次多项式可以分解为(x-a)(x-b)，三次多项式则可分解为(x-a)(x-b)(x-c)等等。
对于没有有理根的多项式，可以进行辗转相除法，将这个多项式化为一个低一次多项式与一个高一次的多项式之积的形式，再进行分解。
四、检验分解是否正确分解完多项式后，需要检查分解是否正确。
可以通过将每个单项式展开相加，来比较与原多项式的系数是否一致。
如果展开后得到的式子，与原多项式相同，则说明该分解是正确的。
综上所述，通过利用以上的步骤，我们就可以较为简便地进行实系数多项式因式分解了。
多项式的因式分解是数学学习的重要环节，对于熟练掌握多项式的因式分解方法的人来说，不仅可以简化计算，而且可以在考试中快速地得出正确答案。
因此，我们要认真学习多项式的因式分解这一知识点，提高自己的数学水平。
高等代数
说明
的标准分解式, ① 若已知两个多项式 f ( x ), g ( x ) 的标准分解式, 则可直接写出
( f ( x ), g( x ) ) .
f ( x ), g ( x ) 的标准
( f ( x ), g( x ) ) 就是那些同时在
分解式中出现的不可约多项式方幂的乘积, 分解式中出现的不可约多项式方幂的乘积,所带 方幂指数等于它在 f ( x ), g ( x ) 中所带的方幂指数 中较小的一个. 中较小的一个.
(
)(
x2 + 2
)
(在有理数域上) 在有理数域上)
= x 2 = x 2
(
)(
x+ 2
)(
x2 + 2
)
(在实数域上) 在实数域上)
(
) ( x + 2 ) ( x 2i ) ( x +
在复数域上) 2i (在复数域上)
)
§1.5 因式分解定理
一,不可约多项式
定义: 定义: 设 p( x ) ∈ P[ x ] ,且 ( p ( x ) ) ≥ 1 ,若 p( x )
f ( x ) = p1 ( x ) p2 ( x ) ps ( x )
= q1 ( x )q2 ( x ) qt ( x )
⑴
pi ( x ), q j ( x ) ( i = 1,2, , s ; j = 1,2, , t . ) 都是不可约
多项式. 多项式 作归纳法. 对 s 作归纳法. 若 s = 1, 则必有 s = t = 1, f ( x ) = p1 ( x ) = q1 ( x )
§1.5 因式分解定理
例如, 例如,若 f ( x ), g ( x ) 的标准分解式分别为
2010年硕士研究生《高等代数》考试大纲
五邑大学2010年硕士学位研究生招生《高等代数》课程考试大纲一、课程的性质，目的和任务高等代数是数学（数学与应用数学，数学教育）专业的一门重要基础课程。
通过本课程的教学，应培养学生良好的数学素养，打下较扎实的代数学理论基础，提高学生的抽象思维的能力和逻辑推理能力，并掌握较系统的代数基础知识，为学习后继课程服务。
二、基本要求这门课程大致分为两部分:多项式理论和线性代数。
前者以数域上一元多项式的因式分解理论为中心内容；后者主要讲授线性方程组的理论，向量空间和线性变换。
本课程应着重于基本理论的讲授和基本技能的培养和训练,不适求内容上的完备和全面.三、考试范围(一)多项式理论1. 数域 (A)2. 整除的概念 (A)3. 最大公因式. (A)4. 因式分解定理. (A)5. 重因式. (A)6. 多项式函数. (A)8. 复系数与实系数多项式的因式分解. (A)9. 有理系数多项式. (A)*10.多元多项式. (B)*11.对称多程式. (B)(二) 行列式1. 排列. (A)2. n阶行列式的定义和性质. (A)3. 行列式的依行和依列展开. (A)4. 行列式的计算. (A)5. Crammer法则(克莱姆法则). (A)6. Laplace(拉普拉斯)定理. 行列式的乘法规则. (A)(三)线性方程组1. 线性方程组的消元法. (A)2. n维向量空间 (A)3. 线性相关性. (A)4. 矩阵的秩. (A)5. 线性方组有解的判定定理. (A)6. 线性方程组解的结构. (A)7. 二元高次方程. (B)(四) 矩阵1. 矩阵的概念与运算. (A)2. 矩阵乘积的行列式与秩. (A)3. 矩阵的逆. (A)4. 矩阵的分块. (A)5. 初等矩阵. (A)(五) 二次型1. 二次型的矩阵表示. (A)2. 标准形. (A)3. 唯一性. (A)4. 正定二次型. (A)(六) 线性空间1. 线性空间的定义与简单性质. (A)2. 维数.基与坐标. (A)3. 基变换. (A)4. 线性子空间 (A)5. 子空间的交与和. (A)6. 子空间的直和. (A)7. 线性空间的同构. (A)(七) 线性变换1. 定义和例子 (B)2. 线性变换的运算. (A)3. 线性变换的矩阵. (A)4. 特征值与特征向量. (A)5. 对角矩阵. (A)6. 线性变换的值域与核. (A)7. 不变子空间. (A)8. Jordan标准形介绍. (B)(八) 入一矩阵1. 入一矩阵. (A)2. 入一矩阵在初等变换下的标准形. (A)3. 不变因子. (A)4. 矩阵相似条件. (A)5. 初等因子. (A)*6.Jordan标准形的理论推导. (C)(九) 欧几里得空间1. 定义与基本性质. (A)2. 标准正交基. (A)3. 同构. (A)4. 正交变换. (A)5. 子空间. (A)6. 对称矩阵的准形. (A)四、主要教材和参考书1. 北京大学数学力学系，高等代数（第二版），高教出版社。
复数域与实数域上多项式的因式分解
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设 f ( x) C[x], 并且( f ( x)) 1, 则存在 C, 使得f ( x) ( x ) f1( x),其中( f1( x)) 0.
2
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推论1 设 p( x) C[x], 则p( x)是C上的不可约多 项式 ( p( x)) 1.
即:在复数域C上所有次数大于1的多项式全是 可约的.
an n
a n1 n1
a1 a0 0
即 f ( ) 0, 所以也是 f ( x)的根.
7
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因此 f ( x)能被
g( x) ( x )( x ) x2 -( )x
整除.
因 和 都是实数,所以g( x)是实系数多
项式, 故有
f ( x) g( x)h(x),
证 对f ( x)的次数用数学归纳法. 因一次多项式本身不可约,定理成立. 假设定理对次数 n的多项式来说成立.
设f ( x)是n次多项式,由代数基本定理, f ( x)有一复根.
如果是实数, 那么
f ( x) ( x ) f1( x)
其中f1 ( x)是n 1次实系数多项式.
如果不是实数, 那么也是f ( x)的根,于是
次式与二次不可约多项式的乘积. 故f ( x)也可以分解成实系数的一次式与二次不
可约多项式的乘积.
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实系数多项式
55
第一章 多项式
若 不为实数，则 也是 f ( x) 的复根，于是
f ( x) ( x )( x ) f2( x) x2 ( )x f2( x)
设 a bi ，则 a bi, 2a R , a2 b2 R 即在R上 x2 ( )x 是 一个二次不可约多项式．
从而 ( f2 ) n 2. 由归纳假设 f1( x) 、f2( x)可分解成一次因式与二次
不可约多项式的乘积． 由归纳原理，定理得证．
§8 复系数与实系数多项式的因式分解 © 2009, Henan Polytechnic University
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推论1
第一章 多项式
f ( x) R[ x], f ( x) 在R上具有标准分解式 f ( x) an( x c1)k1 ( x c2 )k2 ( x cs )ks ( x2 p1x q1)l1
一、复系数多项式
第一章 多项式
1. 代数基本定理
f ( x) C[x] , 若 ( f ( x)) 1 , 则 f ( x) 在复数域 C上必有一根．
推论1（代数基本定理的等价叙述） f ( x) C[x] , 若 ( f ( x)) 1 , 则存在 x a C[x] ,
f ( x) a( x 1)r1 ( x 2 )r2 ( x s )rs
其中1,2 , ,s是不同的复数，r1,r2, ,rs Z+
推论2 f ( x) C[x]，若 ( f ( x)) n ，则 f ( x) 有n个 复根（重根按重数计算）．
§8 复系数与实系数多项式的因式分解 © 2009, Henan Polytechnic Un多项式
§8复系数与实系数多项式的因式分解
的共轭复数 也是 f ( x ) 的复根．
证：设
f ( x ) a n x a n1 x
n n1
a0 ,
ai R
若 为根，则
f ( ) a n
n
a n 1
n1
a0 0
n1
两边取共轭有
f ( ) a n
2 n1
解： 1)
这里
co s
2 n
i sin
2 n
,
n
1
k
co s
n
2 k n
i sin
2 k n
,
k 1, 2 , , n
2 n1
∴ 2)
∵
x 1 ( x 1)( x )( x ) ( x
)
在实数域范围内
i 1, 2 r
，即
x pi x qi
2
为
R上的不可约多项式.
推论2 实数域上不可约多项式只有一次多项式和某些二 次不可约多项式，所有次数≥3的多项式皆可约.
例1
求 x n 1 在 C 上与在 R 上的标准分解式. 在复数范围内 x n 1 有n个复根，
1, , , ,
k
nk
,
k
k
2 co s
2 k n
,
k
k
1
k 1, 2 , , n
∴
n
当n为奇数时
2 n1
x 1 ( x 1)[ x (
n1 n1
) x
n1 2
n1
842高等代数考试内容范围
高等代数考试内容范围
1．多项式：数域，一元多项式，整除的概念，最大公因式，因式分解定理，重因式，多项式函数，复系数与实系数多项式的因式分解，有理系数多项式；2．行列式：排列，级行列式的概念、性质和计算，行列式按行（列）展开，法则；
3．线性方程组：消元法，维向量空间，线性相关性，矩阵的秩，线性方程组有解判别定理，线性方程组解的结构；
4．矩阵：矩阵的概念及运算，矩阵乘积的行列式与秩，矩阵的逆及分块，初等矩阵，矩阵分块乘法的初等变换及应用；
5．二次型：二次型及矩阵表示，标准型，唯一性，正定二次型；
6．线性空间：集合与映射，线性空间的定义与简单性质，维数、基与坐标，基变换与坐标变换，线性子空间及其交与和，子空间的直和，线性空间的同构；7．线性变换：线性变换的定义、运算与矩阵表示，特征值与特征向量，对角矩阵，线性变换的值域与核，不变子空间，标准形；
8．欧几里得空间：欧几里得空间的定义与基本性质，标准正交基，同构，正交变换，子空间，实对称矩阵的标准形，向量到子空间的距离与最小二乘法；9．双线性函数与辛空间：线性函数，对偶空间，双线性函数。
主要参考教材：
《高等代数》（第三版），北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组编，王萼芳，石生明修订。
第一章多项式(教案)
高等代数 北大三版第一章 多项式教学目的：1．了解多项式的概念，多项式的运算及运算律。
2．会求多项式的最大公因式及各数域上的因式分解。
3．了解多项式与对称多项式的概念。
教学重点与难点：1．整除理论。
2．有理数域上的因式分解。
§1． 数域代数性质：关于数的加减乘除等运算性质 引入：关于数的范围的讨论定义：设P 是一些复数组成的集合，其中包括0和1，如果P 中任意两个数的和、差、积、商（除数不为0）仍是P 中的数，那么称P 为一个数域。
另一说法： 如果包含0和1 的一个数集P ，对于加减乘除（除数不为0）运算都是封闭的，那么称P 为一个数域。
例： 1．Q R C Z W 2Z （前3个是，后3个不是） 2．R * C + }0{ +C （均不是）3．},|2{1Q b a b a P ∈+=＝)2(Q 是 证明封闭 }|2{2N n n P ∈= 不是4．},,|{, (31)10+++++∈∈=N m n Z a P j n mnn b i b b b a a a ππππ 是 重要结论： 最小数域为有理数域 （任何数域包含有理数域）§2．一元多项式一． 一元多项式的概念定义：设n 是一非负整数，x 是一个符号（文字），形式表达式：01111...a x a x a x a n n n n ++++-- 其中P n i a i ∈=)...0(。
称为系数在数域P 中的一元多项式。
（数域P 上的一元多项式）① 记 )(x f ＝01111...a x a x a x a n n n n ++++--＝i ni i x a ∑=0)(x g ＝01111...b x b x b x b m m m m ++++--＝j mj j x b ∑=0② 其中ini i xa ∑=0称为)(x f 的i 次项 i a 为i 次项系数。
③ 0≠n a ，则n n x a 为)(x f 的首项 n a 为首项系数，n 为)(x f 的次数。
高等代数实系数和复系数多项式的因式分解
−
n−2
(ε 2
+
ε
n+2 2
)x
+
1].
. . . .... .... .... . . . . .... .... .... . .
. .. . . ..
例题选讲
例 设 f(x), g(x) 是两多项式，且 f(x3) + xg(x3) 可被 x2 + x + 1 整除， 则 f(1) = g(1) = 0.
两边取共轭数，有
f(α¯) = anα¯n + an−1α¯n−1 + · · · + a0 = 0,
这就是说，f(α¯) = 0，α¯ 也是 f(x) 的根.
. . . .... .... .... . . . . .... .... .... . .
. .. . . ..
实系数多项式因式分解定理
. .. . . ..
高斯与代数基本定理
代数基本定理在代数乃至整个数学中起着基础作用. 据说，关于 代数学基本定理的证明，现有 200 多种证法. 迄今为止，该定理 尚无纯代数方法的证明. 大数学家 J.P. 塞尔曾经指出：代数基本 定理的所有证明本质上都是拓扑的. 美国数学家 John Willard Milnor 在数学名著《从微分观点看拓扑》一书中给了一个几何直 观的证明，但是其中用到了和临界点测度有关的 sard 定理. 复变 函数论中，对代数基本定理的证明是相当优美的，其中用到了很 多经典的复变函数的理论结果.
. . . .... .... .... . . . . .... .... .... . .
. .. . . ..
高斯与代数基本定理
该定理的第一个证明是法国数学家达朗贝尔给出的，但证明不完 整. 接着，欧拉也给出了一个证明，但也有缺陷，拉格朗日于 1772 年又重新证明了该定理，后经高斯分析，证明仍然很不严 格的. 代数基本定理的第一个严格证明通常认为是高斯给出的 (1799 年在哥廷根大学的博士论文)，高斯后来又给出了另外三个 证法，其中第四个证法是他 71 岁公布的，并且在这个证明中他 允许多项式的系数是复数.
高等代数期末速成
因式分解
1. 不可约多项式
(1)定义 如果数域P上次数1的多项式p(x)不能表 成数域P上的两个次数比p(x)的次数低的多项 式的乘积,称其为域P上的不可约多项式.
解(续2) 即
x 1 [1 2x( 1 x 1)]g( x) ( 1 x 1) f ( x)
33
33
(1 x 1) f ( x) ( 2 x2 2 x 1)g( x)
33
33
两端同乘以-1，得
( f (x), g(x)) ( 1 x 1) f (x) ( 2 x2 2 x 1)g(x)
c d 2 (c d 2)(a b 2) a b 2 (a b 2)(a b 2)
ac 2bd ad bc a2 2b2 a2 2b2 2 Q( 2)
带余除法
定理 设f(x) , g(x) P[x], g(x) 0，则存在唯一的多项
式q(x) , r(x) P[x], 使
x5 2x4 x2 2x
x4 x3
x1
x4 2x3
x2
x3
1
得商q(x)= x+1，余式 r(x)= -x3-1.即
f(x) = (x+1) g(x) +(-x3-1)
例1 求f(x)= x5+3x4+ x3+x2+ 3x+1与 g(x)= x4+2x3+x+2 的最大公因式.(解法小结)
高等代数教学大纲
高等代数课程教学大纲一、课程说明1、课程性质：高等代数是高等院校数学系数学与应用数学专业的一门重要基础课。
对学生数学思想的形成有着重要意义，是进一步学习近世代数、常微分方程等后继课的基础，也为深入理解中学数学打下必要的基础。
高等代数是现代数学的基础知识，是学习其它数学学科和现代科学知识的必备基础和重要工具，尤其在本世纪，计算机技术、通讯信息技术和现代生物工程技术已成为最热门的学科领域，这些学科的发展均需要代数学的知识与支持。
高等代数也是师范院校数学与应用数学专业的一门重要基础课程，既是中学代数的继续和提高，对于中学数学教学工作具有重要的理论指导作用，又是输送更高层次优秀人才的专业知识保证。
2、课程教学目的要求（1）使学生掌握多项式理论、线性代数理论的基础知识和基本理论，着重培养学生解决问题的基本技能。
(2) 使学生熟悉和掌握本课程所涉及的现代数学中的重要思想方法，提高其抽象思维、逻辑推理和代数运算的能力。
(3) 使学生进一步掌握具体与抽象、特殊与一般、有限与无限等辩证关系，培养其辩证唯物主义观点。
(4) 逐步培养学生的对真理知识的发现和创新的能力，训练其对特殊实例的观察、分析、归纳、综合、抽象概括和探索性推理的能力。
(5) 使学生对中学数学有关内容从理论上有更深刻的认识，以便能够居高临下地掌握和处理高级中学数学教材，进一步提高中学数学教学质量。
(6) 根据教学的实际内容的需要，对大纲所列各章内容，分别提出了具体的目的要求，教学时必须着重抓住重点内容进行教学。
本课程分以一元多项式为主体的多项式理论和线性代数两部分。
线性代数部分涉及行列式、矩阵、线性方程组、二次型、线性空间、线性变换、λ-矩阵、欧几里得空间等。
本课程教学重点应放在多项式理论与线性代数理论。
多项式理论以一元多项式的因式分解唯一性定理为主体介绍了有关多项式的一些必要的知识，为后继课提供准备；线性代数部分则较为系统地介绍了线性方程组，线性空间与线性变换理论。
多项式理论
an x n 为 f ( x )的首项， n 为首项 a 首项， ② 若 an ≠ 0, 则称
系数， 次数， 系数，n 称为多项式 f ( x ) 的次数，记作 ∂ ( f ( x ))=n . ③ 若 a0 = a1 = ⋅ ⋅ ⋅ = an = 0 ，即 f ( x ) = 0，则称之 为零多项式．零多项式不定义次数． 零多项式．零多项式不定义次数．
n n −1
+ L + a1 x + a0 ,
g ( x ) = bm x m + bn−1 x m −1 + ⋅ ⋅ ⋅ + b1 x + b0 ,
f ( x ) = g ( x ) ⇔ m = n, ai = bi , i = 0,1,2, ⋅ ⋅ ⋅, n .
3．多项式运算性质 ．
1) f ( x ) g ( x ) 为数域 P上任意两个多项式，则 上任意两个多项式， 上任意两个多项式
∂ ( f ( x ) g ( x )) = ∂ ( f ( x )) + ∂ ( g ( x ))
f ( x ) g ( x ) 的首项系数 = f ( x ) 的首项系数× g ( x ) 的首项系数 的首项系数× 的首项系数.
3) 运算律
f ( x ) + g( x ) = g( x ) + f ( x ) ( f ( x ) + g( x )) + h( x ) = f ( x ) + ( g ( x ) + h( x )) f ( x ) g( x ) = g( x ) f ( x ) ( f ( x ) g ( x ))h( x ) = f ( x )( g( x )h( x )) f ( x )( g( x ) + h( x )) = f ( x ) g ( x ) + f ( x )h( x )
高等代数(1)课程教学大纲
高等代数（1）课程教学大纲第一部分前言一、课程基本信息1.课程类别：专业基础课2.开课单位：数学与财经系3.适用专业：数学与应用数学专业4.备选教材：《高等代数（第三版）》，北京大学数学系几何与代数教研室前代数组编.高等教育出版社，2003.二、课程性质和目标高等代数是数学与应用数学专业的一门重要基础课程。
本课程的主要内容是多项式理论和线性代数理论。
通过本课程的教学，使学生掌握代数基本理论和基本方法，培养学生代数方面的科学的思维、抽象的思维，逻辑推理、提高运算以及解决实际应用的能力，为进一步学习专业后续课程奠定坚实的代数基础。
本课程的教学目的是使学生获得一元多项式，行列式，线性方程组，矩阵等方面的系统知识,为进一步学习近世代数，复变函数、等后续课程打下坚实的基础，也为深入理解初等数学、指导中学数学教学提供了高等的专业知识与重要的方法论。
通过本门课程系统的学习与严格的训练，全面掌握高等代数的基本理论知识；培养抽象的逻辑思维能力与推理论证能力；具备熟练的运算能力与技巧；提高建立数学模型，并应用代数学的理论知识解决实际应用问题的能力。
三、课程学时与学分教学时数：96学时，其中理论教学81学时，实践教学15学时学分数： 6 学分教学时数具体分配：第二部分教学内容及其要求第一章多项式1.教学目标：要求学生理解数域的概念；掌握一元多项式的概念、运算及基本性质；掌握带余除法与整除性的关系，会进行相关运算；会求多项式的最大公因式；理解不可约多项式的概念，掌握求重因式的方法；理解多项式在不同的数域的因式分解形式；掌握Eisenstein判别法，会求有理系数多项式的根。
2.教学重点：整除概念，带余除法及整除的性质，最大公因式、互素、辗转相除法、不可约多项式概念、性质，k重因式与k重根的关系。
3.教学难点：因式分解及唯一性定理，多项式根的理论，复（实）系数多项式分解定理，本原多项式，Eisenstein 判别法。
4.教学时数5.教学内容纲要:第一节数域一、代数研究的基本问题。
复系数和实系数多项式的因式分解
§8 复系数与实系数多项式的因式分解一、 复系数多项式因式分解定理1．代数基本定理 每个次数1≥的复系数多项式在复数域中有一个根. 利用根与一次因式的关系，代数基本定理可以等价地叙述为：每个次数1≥的复系数多项式在复数域上一定有一个一次因式. 由此可知，在复数域上所有次数大于1的多项式都是可约的，不可约多项式只有一次多项式. 于是，因式分解定理在复数域上可以叙述成：2．复系数多项式因式分解定理 每个次数1≥的复系数多项式在复数域上都可以唯一地分解成一次因式的乘积.因此，复系数多项式具有标准分解式其中s ααα,,,21 是不同的复数，s l l l ,,,21 是正整数.标准分解式说明：每个n 次复系数多项式恰有n 个复根（重根按重数计算）. 3结论 ：设(),()f x g x 是复数域上的两个多项式，如果 ()f x 的根都是()g x 的根， 则 ()|()f x g x例：若)(|1n x f x -，则 )(|1n n x f x - 4、n 次多项式的根与系数的关系.令.)(11n n n a x a x x f +++=- (1)是一个n (>0)次多项式,那么在复数域C 中)(x f 有n 个根,,,,21n ααα 因而在][x C 中)(x f 完全分解为一次因式的乘积: 展开这一等式右端的括号,合并同次项,然后比较所得出的系数与(1)式右端的系数,得到根与系数的关系.其中第),,2,1(n k k =个等式的右端是一切可能的k 个根的乘积之与,乘以k )1(-.若多项式的首项系数,10≠a 那么应用根与系数的关系时须先用0a 除所有的系数,这样做多项式的根并无改变.这时根与系数的关系取以下形式:利用根与系数的关系容易求出有已知根的多项式.例1． 求出有单根5与-2,有二重根3的四次多项式.二、实系数多项式因式分解定理对于实系数多项式有：如果α是实系数多项式)(x f 的复根，那么α的共轭数α也是)(x f 的根,即实系数多项式的非实的复数根两两成对出现。
高等代数第6章多项式
f(x)-g(x)q1(x)=f1(x) deg f1(x)≤n-1 ≤ f1(x)-g(x)q2(x)=f2(x) deg f2(x)≤n-2 ≤ … … … fk(x)-g(x)qk+1(x)=fk+1(x) f1(x), f2(x),…, fk(x)的次数渐减 直到小于 的次数渐减,直到小于 … 的次数渐减 直到小于g(x)的次数 的次数
设数域P上的多项式 设数域 上的多项式 f(x) = anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0 , … (1) an,an-1,…,a1,a0称为 的系数 系数全为 称为f(x)的系数,系数全为 系数全为0 … 的多项式称为零多项式 记作0. 零多项式,记作 的多项式称为零多项式 记作 (2) akxk (k=n,n-1,…,1,0)称为 的k次项 k 称为f(x)的 次项 次项,a 称为 称为f(x)的k次项系数 次项系数. 称为 的 次项系数 (3) 零次项 0也称为 零次项a 也称为f(x)的常数项. 的常数项. (4) 若an≠0,称anxn为f(x)的首项,an称为f(x)的 称 的首项 称为 的 首项系数,n称为 称为f(x)的次数,常记作 常记作degf(x). 首项系数 称为 的次数 常记作 (5) 非零常数是零次多项式 非零常数是零次多项式 零次多项式. (6) 零多项式是唯一无法确定次数的多项式 零多项式是唯一无法确定次数的多项式. (7) 只有 只有f(x)≠0, degf(x)才有意义 才有意义. ≠ 才有意义
乘法运算式
例1.设f(x)=2x2+3x-1, g(x)=x3+2x2-3x+2,则 设 则 f(x)=2x2+3x-1, g(x)=x3+2x2-3x+2 . ×) 2x5+3x4- x3 4x4+6x3-2x2 -6x3-9x2+3x 4x2+6x-2 . f(x)g(x)=2x5+7x4- x3- 7x2+9x-2 也可仅取系数,但要注意添 注.(1)也可仅取系数 但要注意添 也可仅取系数 但要注意添0. (2)也可按升幂排列 也可按升幂排列. 也可按升幂排列
§8 复系数与实系数多项式的因式分解
x + pi x + qi (i =1,2,L, r)
2
是不可约的，也就是满足
p − 4qi < 0,i =1,2,L, r.
2 i
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实系数多项式因式分解定理 每个次数 ≥1的实系数多项式在复数域上都可以 唯一地分解成一次因式与二次不可约因式的乘积 . 证明： 证明：定理对一次多项式显然成立 . 假设定理对次数< n的多项式已经证明 . 设 f (x)是n次实系数多项式 . 由代数基本定理， f (x)有一复根 α是实数，则 f (x) = (x −α) f1(x), 其中f 1(x)是n－1次实系数多项式 . 如果α 不是实数， 则 α 也是 f (x)的根且 α ≠ α.
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于是
f (x) = (x −α)(x −α) f2 (x).
显然 (x −α)(x −α) = x2 − (α +α)x +αα 是一实系数二 次不可约多项式 . 从而 f 2(x)是n－2次实系数多项式 . 由归纳法假设，f1(x)与 f2(x)可以分解成一次与二次不 约多项式的乘积，因此 f (x) (x)也可以如此分解 .
§8 复系数与实系数多项式的 因式分解
对与复数域，有下面重要的定理：
代数基本定理
每个次数 ≥ 1的复系数多项式在复数域中有一个 根.
注1 代数基本定理的内容十分明了，但它的证明
需要用到进一步的知识，例如复变函数论，或微分拓 扑学 .
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注2 代数基本定理显然可以等价叙述为：
每个次数 ≥1的复系数多项式，在复数域上一定 有一个一次因式 . 由此可知，在复数域上所有次数大于 1 的多项式 全是可约的 . 换句话说，不可约多项式只有一次多项 式 . 于是我们有 复系数多项式因式分解定理 每个次数 ≥1的复系数多项式在复数域上都可以 唯一地分解成一次因式的乘积 .ຫໍສະໝຸດ 上页下页返回
高等代数第1章.
例1 求方程2x4-x3+2x-3=0的有理根。 解： 由定理12，方程的有理根为r/s 则必有s⎪an=2，r⎪a0=-3 从而方程的可能有理根为±1,±3,±1/2,±3/2 用综合除法可知，只有1为方程的根。 例2 证明：f(x)=x3-5x+1在Q上不可约。 证明： 若f(x)可约 则f(x)至少有一个一次因式，即有一个有理根 但f(x)的有理根只可能是±1 而f(1)=-3，f(-1)=5 矛盾！ 所以f(x)不可约
§1.8 复系数与实系数多项式的因式分解
代数基本定理：对于任意的f(x)∈C[x]，若 ∂(f(x))≥1，则f(x)在复数域C上必有一根。 利用根与一次因式的关系，代数基本定理 可以等价地叙述为： 推论1 对于任意的f(x)∈C[x]，若∂(f(x))≥1， 则存在x-a∈C[x]，使得(x-a)⎪f(x)，即f(x)在 复数域上必有一个一次因式。 推论2 复数域上的不可约多项式只有一次多项 式，即对于任意的f(x)∈C[x]，若∂(f(x))>1， 则f(x)可约。
+ε
n+1 2
)x + ε
n −1 2
ε
n +1 2
]
当n为偶数时 x n − 1 = ( x − 1)( x + 1)[ x 2 − (ε + ε n+1 ) x + εε n+1 ] ⋅ ⋅ ⋅
n− 2 2 n+ 2 2 n− 2 2
[ x 2 − (ε + ε )x + ε ε ] 2π n−2 2 2 = ( x − 1)( x + 1)( x − 2 x cos + 1) ⋅ ⋅ ⋅ [ x − 2 x cos π + 1] n n
数分高代定理大全
数分高代定理大全《高等代数》第一章带余除法 对于[]P x 中任意两个多项式()f x 与()g x ，其中()0g x ≠，一定有[]P x 中的多项式(),()q x r x 存在，使()()()()f x q x g x r x =+成立，其中(())(())r x g x ∂<∂或者()0r x =，并且这样的(),()q x r x 是唯一决定的.定理 1 对于数域P 上的任意两个多项式(),()f x g x ，其中()0,()|()g x g x f x ≠的充分必要条件是()g x 除()f x 的余式为零.定理 2 对于[]P x 中任意两个多项式()f x ，()g x ，在[]P x 中存在一个最大公因式()d x ，且()d x 可以表示成()f x ，()g x 的一个组合，即有[]P x 中多项式(),()u x v x 使()()()()()d x u x f x v x g x =+.定理 3 []P x 中两个多项式()f x ，()g x 互素的充分必要条件是有[]P x 中的多项式(),()u x v x 使()()()()1u x f x v x g x +=.定理 4 如果((),())1f x g x =，且()|()()f x g x h x ，那么()|()f x h x .定理 5 如果()p x 是不可约多项式，那么对于任意的两个多项式(),()f x g x ，由()|()()p x f x g x 一定推出()|()p x f x 或者()|()p x g x .因式分解及唯一性定理 数域P 上每一个次数1≥的多项式()f x 都可以唯一地分解成数域P 上一些不可约多项式的乘积.所谓唯一性是说，如果有两个分解式1212()()()()()()(),s t f x p x p x p x q x q x q x ==那么必有s t =，并且适当排列因式的次序后有()(),1,2,,,i i i p x c q x i s ==其中(1,2,,)i c i s =是一些非零常数.定理 6 如果不可约多项式()p x 是()f x 的k 重因式(1)k ≥，那么它是微商()f x '的1k -重因式.定理 7（余数定理） 用一次多项式x α-去除多项式()f x ，所得的余式是一个常数，这个常数等于函数值()f α.定理 8 []P x 中n 次多项式(0)n ≥在数域P 中的根不可能多于n 个，重根按重数计算. 定理 9 如果多项式()f x ，()g x 的次数都不超过n ，而它们对1n +个不同的数121,,n ααα+有相同的值，即()(),1,2,1,i i f g i n αα==+那么()()f x g x =.代数基本定理 每个次数1≥的复系数多项式在复数域中有一根.复系数多项式因式分解定理 每个次数1≥的复系数多项式在复数域上都可以唯一地分解成一次因式的乘积.实系数多项式因式分解定理 每个次数1≥的实系数多项式在实数域上都可以唯一地分解成一次因式与二次不可约因式的乘积.定理 10（高斯（Gauss ）引理） 两个本原多项式的乘积还是本原多项式.定理 11 如果一非零的整系数多项式能够分解成两个次数较低的有理系数多项式的乘积，那么它一定能分解成两个次数较低的整系数多项式的乘积. 定理 12 设110()n n n n f x a x a x a --=+++是一个整系数多项式，而rs是它的有理根，其中,r s 互素，那么必有0|,|n s a r a .特别地，如果()f x 的首项系数1n a =，那么()f x 的有理根是整根，而且是0a 的因子.定理 13 （艾森斯坦（Eisenstein ）判别法） 设110()n n n n f x a x a x a --=+++是一个整系数多项式，如果有一个素数p ，使得 1.|n p a /； 2.120|,,,n n p a a a --；3.20|p a /那么()f x 在有理数域上是不可约的.第二章 定理 1 对换改变排列的奇偶性. 定理 2 任意一个n 级排列与排列12n 都可以经过一系列对换互变，并且所作对换的个数与这个排列有相同的奇偶性.定理 3 设111212122212n n n n nna a a a a a d a a a =，ij A 表示元素ij a 的代数余子式，则下列公式成立：1122,,0,.k i k i kn in d k i a A a A a A k i =⎧+++=⎨≠⎩当当 1122,,0,.l j l j nl nj d j a A a A a A j =⎧+++=⎨≠⎩当l 当l 定理 4 （克拉默法则） 如果线性方程组11112211211222221122,,n n n n n n nn n na x a x a xb a x a x a x b a x a x a x b +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩的系数矩阵111212122212n n n n nn a a a aa a A a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦的行列式0d A =≠，那么该线性方程组有解，并且解是唯一的，解可以通过系数表为1212,,,,nn d d d x x x d dd===其中j d 是把矩阵A 中第j 列换成方程组的常数项12,,,nb b b 所成的行列式，即1,11,111112,12,12122,1,11,1,2,,.j j n j j n j n j n j n n nna a ab a a a a b a d j n a a a b a -+-+-+==定理 5 如果齐次线性方程组1111221211222211220,0,0n n n n n n nn n a x a x a x a x a x a x a x a x a x +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩的系数矩阵的行列式0A ≠，那么它只有零解.换句话说，如果该方程组有非零解，那么必有0A =.定理 6 （拉普拉斯定理） 设在行列式D 中任意取定了(11)k k n ≤≤-个行.由这k 行元素所组成的一切k 级子式与它们的代数余子式的乘积的和等于行列式D .定理 7 两个n 级行列式1112121222112n n n n nna a a a a a D a a a =和1112121222212n n n n nnb b b b b b D b b b =的乘积等于一个n 级行列式111212122212n n n n nnc c c c c c C c c c =，其中ij c 是1D 的第i 行元素分别与2D 的第j 列的对应元素乘积之和：1122ij i j i j in nj c a b a b a b =+++.第三章定理 1 在齐次线性方程组1111221211222211220,0,0n n n n n n nn n a x a x a x a x a x a x a x a x a x +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩中，如果s n ，那么它必有非零解.定理 2 设12,,r 与1,,,r 2是两个向量组，如果1）向量组12,,r 可以经1,,,r 2线性表出，2）rs ，那么向量组12,,r 必线性相关.定理 3 一向量组的极大线性无关组都含有相同个数的向量 定理 4 矩阵的行秩与列秩相等. 定理 5 n n 矩阵111212122212n n n n nn a a a aa a A a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦的行列式为零的充分必要条件是A 的秩小于n .定理 6 一矩阵的秩是r的充分必要条件为矩阵中有一个r级子式不为零，同时所有1r 级子式全为零.定理 7 （线性方程组有解判别定理） 线性方程组11112211211222221122,,n n n n n n nn n na x a x a xb a x a x a x b a x a x a x b +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩有解的充分必要条件为它的系数矩阵111212122212n n s s sn a a a aa a A a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦与增广矩阵11121121222212n n s s sn s a a a b a a a b A a a a b ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦有相同的秩。
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其中f 1(x)是n－1次实系数多项式 . 如果 不是实数， 则 也是 f (x)的根且 .
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于是
f ( x) ( x )( x ) f 2 ( x).
显然 ( x )( x ) x 2 ( ) x 是一实系数二
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x 2 pi x qi (i 1,2, , r )
是不可约的，也就是满足
pi2 4qi 0, i 1,2, , r.
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§8 复系数与实系数多项式的 因式分解
对与复数域，有下面重要的定理：
代数基本定理
每个次数 ≥ 1的复系数多项式在复数域中有一个 根.
注1 代数基本定理的内容十分明了，但它的证明
需要用到进一步的知识，例如复变函数论，或微分拓 扑学 .
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注2 代数基本定理显然可以等价叙述为：
每个次数 ≥1的复系数多项式，在复数域上一定 有一个一次因式 .
次不可约多项式 . 从而 f 2(x)是n－2次实系数多项式 . 由归纳法假设，f1(x)与 f2(x)可以分解成一次与二次不 约多项式的乘积，因此 f (x)也可以如此分解 .
注 实系数多项式具有标准分解式
f ( x) an ( x c1 )l1 ( x cs )ls ( x 2 p1x q1 ) k1 ( x 2 pr x qr )kr , 其中c1 , , cs , p1 , , pr , q1 , , qr 全是实数，l , l , , l , k , 1 2 s 1 , kr 是正整数 . 且
由此可知，在复数域上所有次数大于 1 的多项式
全是可约的 . 换句话说，不可约多项式只有一次多项 式 . 于是我们有 复系数多项式因式分解定理 每个次数 ≥1的复系数多项式在复数域上都可以 唯一地分解成一次因式的乘积 .
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因此，复系数多项式具有标准分解式
f ( x) an ( x 1 )l1 ( x 2 )l2
其中 1 , 2 ,
( x s ) ls ,
, s 是不同的复数，l1 , l2 , , ls 是正整数 .
标准分解式说明了每个n个复系数多项式恰有n个复根 （重根按重数计算）. 即 l1 l2
ls n.
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实系数多项式的分解 如果 是实系数多项式 f (x)的复根，则 的共 轭复数 也是 f (x)的根 . 因为设
f ( x) an x n an1x n1
其中 a0 , a1 ,
a0 ,
, an 是实数 . 由假设
f ( ) an n an1 n1 a0 0. 两边取共轭数，有 f ( ) an n an1 n1 a0 0, 即 f ( ) 0, 也是 f (x)的根 .
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实系数多项式因式分解定理
每个次数 ≥1的实系数多项式在复数域上都可以 唯一地分解成一次因式与二次不可约因式的乘积 . 证明：定理对一次多项式显然成立 .
假设定理对次数< n的多项式已经证明 . 设 f (x)是n次实系数多项式 . 由代数基本定理， f (x)有一复根 是实数，则 f ( x) ( x ) f1 ( x),