§8 复系数与实系数多项式的因式分解
实系数多项式因式分解定理
实系数多项式因式分解定理
实系数多项式因式分解定理是高中数学中的基础知识点之一，也
是数学学习的重要环节。它是指给定一个实系数多项式，可以通过分
解成若干个单项式之积的形式来表示。本文将通过分步骤阐述，来简
单介绍实系数多项式因式分解定理。
一、根据多项式的次数选择合适的方法
在进行实系数多项式因式分解时，首先需要确定多项式的次数。如果
是1次多项式，则可以直接进行一次式的分解；如果是2次多项式，
则考虑二次方程求根的方法来分解；如果是3次或3次以上的多项式，则可应用求有理根和非有理根的方法来进行分解。
二、确定多项式的所有根
求出多项式的所有根是进行因式分解的前提。对于n次多项式，根据
代数学基本定理可知，其最多有n个根。可以利用有理根定理、因式
定理、综合除法等方法，求出多项式的所有根。
三、利用多项式各个根的特点进行分解
将多项式的根全部求出后，就需要利用这些根的特点，进行分解。比
如一次多项式可以表示为(x-a)，二次多项式可以分解为(x-a)(x-b)，
三次多项式则可分解为(x-a)(x-b)(x-c)等等。对于没有有理根的多项式，可以进行辗转相除法，将这个多项式化为一个低一次多项式与一
个高一次的多项式之积的形式，再进行分解。
四、检验分解是否正确
分解完多项式后，需要检查分解是否正确。可以通过将每个单项式展
开相加，来比较与原多项式的系数是否一致。如果展开后得到的式子，与原多项式相同，则说明该分解是正确的。
综上所述，通过利用以上的步骤，我们就可以较为简便地进行实
系数多项式因式分解了。多项式的因式分解是数学学习的重要环节，
《高等代数选讲》课程教学大纲
《高等代数选讲》课程教学大纲
浙江教育学院
《高等代数选讲》课程教学大纲一、课程基本情况
课程代码:22026
总学时数:50
课程类型: 专业选修课
适用对象: 数学与应用数学专业四年制本科
二、课程性质和目标
1、课程的基本特性
高等代数选讲是为全国硕士研究生入学考试数学系各专业设置的课程，一般在大学
三年级开设，要求学生已学过高等代数课程并取得优异成绩. 2、课程的教学目标
高等代数选讲是数学专业的专业选修课. 通过本课程的教学，使学生对高等代数的
基础知识、基本概念和性质有深刻的理解和认识，并掌握综合运用各知识的方法和技巧，
为考研作准备.
三、课程教学方法与手段
课堂讲授+习题课训练
四、课程教学内容、要求及重点、难点
第一章多项式
(一)主要教学内容
第一节数域
第二节一元多项式
第三节整除的概念
第四节最大公因式
第五节因式分解定理
第六节重因式
第七节多项式函数
第八节复系数与实系数多项式的因式分解
第九节有理系数多项式
第十节多元多项式
第十一节对称多项式
(二)学习目的要求
1(掌握数域的概念.
2(掌握一元多项式的概念、多项式的整除及其性质.
3(掌握两个多项式的最大公因式的概念及其性质. 4(理解多项式的因式分解定理.
1
5(掌握复系数与实系数多项式的因式分解定理 6(理解有理系数多项式的因式分解. (三)重点和难点
重点:多项式的整除及其性质，两个多项式的最大公因式的概念及其性质，复系数与实
系数多项式的因式分解，有理系数多项式的因式分解.
难点:多项式的因式分解定理，有理系数多项式的因式分解.
第二章行列式
(一)主要教学内容
第一节引言
复数域与实数域上多项式的因式分解
主要内容
复数域上多项式的根和因式分解 实数域上多项式的根和因式分解
1
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一、复数域上多项式的根和因式分解
1. 代数基本定理及其推论 代数基本定理 每个次数 1的复系数多项式
在复数域中至少有一个根 . 代数基本定理可以等价地叙述为：
每个次数 1的复系数多项式,在复数域上至少 有一个一次因式. 即有
设 f ( x) C[x], 并且( f ( x)) 1, 则存在 C, 使得f ( x) ( x ) f1( x),其中( f1( x)) 0.
2
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推论1 设 p( x) C[x], 则p( x)是C上的不可约多 项式 ( p( x)) 1.
即:在复数域C上所有次数大于1的多项式全是 可约的.
其中h( x)也是实系数多项式.
若是 f ( x)的重根,则一定是h( x)的根, 根据前
面所证,也是 h( x)的根,这样也是 f ( x)的重根.
重复应用这个推理方法,可知和的重数相同.
8
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推论1 (1) 实系数多项式的实根个数与它的次 数具有相同的奇偶性,并且奇数次实系数多项式至 少有一实根.
an n
a n1 n1
a1 a0 0
即 f ( ) 0, 所以也是 f ( x)的根.
高等代数--第八章 多项式_OK
定义4 所有系数在数域P中的多项式的全体，
称为数域P上的一元多项式环，记为P[x],
P称为P[x]的系数域
BACK
19
§3 整除的概念
以后讨论都是在某一固定的数域P上的 多项式环中进行。 带余除法 整除 整除的性质
20
带余除法
对于P[x]中任意两个多项式f(x)与g(x)，其
中 g(x) 0 ，一定有P[x]中的多项式q(x),r(x)存在，
ac 2bd a 2 2b2
ad bc a 2 2b2
2 Q( 2)
4
由上两式可以得出 Q( 2) 乘、除法也 是封闭的。
例2 所有可以表成形式
a0 a1 an n b0 b1 bm m
的数组成一数域，其中n,m为任意非负整 数，
ai , bj (i 0,1,, n; j 0,1,, m)是整数。
称为 i 次项, 称为i 次项的系数
多项式用 f (x), g(x) 或 f , g 来表示。 注：x 代表未知量或符号（如矩阵）。
10
定义3 如果在多项式f(x)与g(x)中，除去 系数为零的项外，同次项的系数全相等， 那么f(x)与g(x)就称为相等，记为 f(x)=g(x)。
系数全为零的多项式称为零多项式，记为0 anxn (an 0) 称为（1）的首项；
BACK
32
§4 最大公因式
实系数多项式
55
第一章 多项式
若 不为实数，则 也是 f ( x) 的复根，于是
f ( x) ( x )( x ) f2( x) x2 ( )x f2( x)
设 a bi ，则 a bi, 2a R , a2 b2 R 即在R上 x2 ( )x 是 一个二次不可约多项式．
f ( ) an n an1 n1 a0 0 两边取共轭有 f ( ) an n an1 n1 a0 0
∴ 也是为 f ( x)复根．
§8 复系数与实系数多项式的因式分解 © 2009, Henan Polytechnic University
R上的不可约多项式.
Байду номын сангаас
§8 复系数与实系数多项式的因式分解 © 2009, Henan Polytechnic University
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推论2
第一章 多项式
实数域上不可约多项式只有一次多项式和某些二 次不可约多项式，所有次数 3的多项式皆可约.
§8 复系数与实系数多项式的因式分解 © 2009, Henan Polytechnic University
一、复系数多项式
第一章 多项式
1. 代数基本定理
f ( x) C[x] , 若 ( f ( x)) 1 , 则 f ( x) 在复数域 C上必有一根．
复系数与实系数多项式的因式分解
§1.8 复系数与实系数多项式的因式分解
一.复系数多项式
1．代数基本定理：()[]f x C x ∀∈，若(())1f x ∂≥， 则 ()f x 在复数域C 上必有一根．
（在复变函数中有证明）
注：
1） ()[]f x C x ∀∈，若(())1f x ∂≥，则存在[]x a C x -∈，使)|()x a f x -(， 即()f x 在复数域上必有一个一次因式．
2）复数域上的不可约多项式只有一次多项式，即()[]f x C x ∀∈，若(())1f x ∂>，则()f x 可约的．
2．复系数多项式因式分解
定理：条件 1）()[]f x C x ∀∈，2）若(())1f x ∂≥，
结论 1）()f x 在C 上可分解成一次因式的乘积．2）分解式唯一
推论1． ()[]f x C x ∀∈，若(())1f x ∂≥，则()f x 在C 上具有标准分解式
1212()()()()s r r r s f x c x x x ααα=--⋅⋅⋅-
其中1）12,,,s ααα⋅⋅⋅是不同的复数，2）12s r r r ⋅⋅⋅∈+,z 3） 12(())s f x r r r ∂=++
推论2． ()[]f x C x ∀∈，若(())f x n ∂=，则()f x 有n 个复根(重根按重数计算)．
二、实系数多项式
1．命题：若α是实系数多项式()f x 的复根，则α的共轭复数α也是()f x 的复根．
证：设110(),n n n n i f x a x a x a a R --=++⋅⋅⋅+∈，若α为根，则
高等代数实系数和复系数多项式的因式分解
证 定理对一次多项式显然成立. 假设定理对次数 < n 的多项式已经证明. 设 f(x) 是 n 次实系数多项式，由代数基本定理，f(x) 有一个复根 α. 如果 α 是实数，那么
f(x) = (x − α)f1(x),
其中 f1(x) 是 n − 1 次实系数多项式. 如果 α 不是实数，那么 α¯ 也是 f(x) 的根且 α¯ ̸= α. 于是
f(x) = an(x − α1)l1 (x − α2)l2 · · · (x − αs)ls ,
其中 α1, α2, · · · , αs 是不同的复数，l1, l2, · · · , ls 是正整数.
4 n 次复系数多项式在 C 中恰有 n 个根 (k 重根算 k 个根).
. . . .... .... .... . . . . .... .... .... . .
. . . .... .... .... . . . . .... .... .... . .
. .. . . ..
伟达定理
下面我们讨论一元多项式的根与系数的关系. 设
f(x) = xn + a1xn−1 + · · · + an 是 P[x] 中的一个多项式. 如果 f(x) 在数域 P 中有 n 个根 α1, α2, · · · , αn，那么 f(x) 就可以分解成
定理 实系数多项式因式分解定理 每个次数 ≥ 1 的实系数多项式在实 数域上都可以唯一地分解成一次因式与二次不可约因式的乘积.
1.8复、实系数多项式
( x 2 pr x qr )kr
其中 c1 , c2 , , cs , p1 , , pr , q1 , , qr R,
k1 , , ks , l1 , , l s Z ,
且 p 4q 0, i 1,2 r ，即 x pi x qi 为
复根（重根按重数计算）．
§1.8 复系数于是系数多项式的因式分解 鲁东大学教师教育学院
二、实系数多项式
命题：若 是实系数多项式 f ( x ) 的复根，则 的共轭复数 也是 f ( x ) 的复根．
n n1 f ( x ) a x a x a0 , ai R 证：设 n n1
上具有标准分解式
f ( x ) a( x 1 ) ( x 2 ) ( x s )rs
r1 r2
+ r , r , , r Z 其中 1 , 2 , , s 是不同的复数， 1 2 s
推论2
f ( x ) C [ x ]，若 ( f ( x )) n ，则 f ( x ) 有n个
使
(x a ) | f ( x ) .
即， f ( x ) 在复数域上必有一个一次因式．
§1.8 复系数于是系数多项式的因式分解 鲁东大学教师教育学院
推论2 复数域上的不可约多项式只有一次多项式，即
1.8 复系数与实系数多项式的分解课件
实系数多项式因式分解定理
f ( x) R[x]，若 ( f ( x)) 1， 则 f ( x)可唯一 地分解成一次因式与二次不可约因式的乘积．
( x2 pr x qr )kr
其中 c1,c2 , ,cs , p1, , pr ,q1, ,qr R, k1, ,ks ,l1, , ls Z ,
且 p2 4q 0, i 1,2 r ，即 x2 pi x qi 为 R上的不可约多项式.
从而 ( f2 ) n 2. 由归纳假设 f1( x) 、f2( x)可分解成一次因式与二次 不可约多项式的乘积． 由归纳原理，定理得证．
推论1
f ( x) R[ x], f ( x) 在R上具有标准分解式 f ( x) an( x c1)k1 ( x c2 )k2 ( x cs )ks ( x2 p1x q1)k1
推论2 实数域上不可约多项式只有一次多项式和某些二 次不可约多项式，所有次数≥3的多项式皆可约.
若 源自文库不为实数，则 也是 f ( x)的复根，于是
f ( x) ( x )( x ) f2( x) ( x2 ( )x ) f2( x)
专业课《高等代数》考研大纲和参考书目
线性空间的同构；
＊线性变换
线性变换的运算，线性变换的矩阵
特征值与特征向量；
可对角化问题；
线性变换的值域与核；
不变子空间；
若尔当标准型的概念；
最小多项式；
-矩阵
-矩阵等价标准型；
＊不变因子、行列式因子、初等因子的概念及其关系；
＊矩阵相似的条件；
若尔当标准型理论及求法；
欧氏空间
内积与欧氏空间定义，度量矩阵；
矩阵线性运算，乘法，转置及运算律；
矩阵初等变换，初等矩阵；
逆矩阵极其存在条件，求逆矩阵；
分块矩阵运算；
二次型：
＊二次型的矩阵表示；
矩阵合同
＊可逆线性变换化二次型为标准型；
Байду номын сангаас惯性定理；
＊正定二次型判定；
线性空间
线性空间的定义与性质；
＊有限维线性空间的基与维数，向量坐标；
＊基变换与坐标变换；
＊子空间定义，维数与基、维数公式；
专业课《高等代数》考研大纲和参考书目
参考教材及参考书：《高等代数》（第三版），北京大学编，高等教育出版社
《高等代数教程》（上、下册），王萼芳等编，清华大学出版社
课程内容（打＊部分内容或章节要求重点掌握）
多项式：
＊整除概念，带余除法理论；
最大公因式定义及求法；
高等代数期末速成
g(x)| f(x) (m2 +p+1)x+(q-m) =0
方法2
m2 +p+1=0且q-m=0
p= -1- m2 且q= m .
利用整除的定义，比较 g(x)与 f(x)的次数及首项系数. g(x)| f(x) 存在h(x)=x+a 使 x3+px+q=(x+a)(x2+mx-1) 比较等式两边同次项的系数，得
例3 设f1(x)= x6-7x4+8x3 - 7x+7,f2(x)= 3x5-7x3+3x3 – 7 f3(x)= x4+x3 - 7x2-4x-1, f4(x)= x3+x2- x-1
求(f1(x),f2(x) , f3(x) ,f4(x)).
解 利用 (f1(x),f2(x) , f3(x) ,f4(x))= (((f1(x),f2(x)) , f3(x)) ,f4(x)) 逐步计算.
33
33
因此，有
u( x) 1 x 1 , v( x) 2 x2 2 x 1.
33
33
2.互素多项式
(1)定义 设f(x),g(x)P[x], 如果(f(x), g(x))=1,称f(x) 与g(x)互素（也称互质）.
易知，两个互素多项式的公因式只有零次多项式.
(2)互素的充分必要条件 定理 P[x]中多项式f(x),g (x)互素存在有u (x), v (x) P[x]，使 u(x)f (x)+v(x)g(x)=1。 证明 ()因(f(x), g(x))=1，由最大公因式存在定理， 有u (x),v (x)P[x]，使 1=u(x)f (x)+v(x)g(x) .
为f(x)的因式
定理2 设
是
的最大公因式，则一定存在
使得
即 可以表示成
的一个组合.
例1 已知 易得 则
§ 4 最大公因式
辗转相除法 对
进行如下的辗转相除:
§ 4 最大公因式
由引理，
其中 为
的首项系数.
§ 4 最大公因式
由辗转相除，由倒数第二式 从倒数第三式往上逐步代入，消去
最后整理后得 是
的一个组合.
最大公因式 故 也是 即存在
(2) 为
的重根当且仅当 为
(3)若
则 无重根.
例5 求多项式
有重根的条件.
的根.
例6 证明多项式
不能有重根.
§ 7 多项式函数 四 . 根的个数与多项式相等
1.定理7(根的个数定理) 中n次多项式在P中 的根不可能多于n个(重根按重数计).
2.定理8 若多项式 且它们对n+1个不同的数
且次数都不超过n 有相同的值,即
§ 3 整除的概念
3.性质 (1) 若 则
(2) 若
(3) 若 则
有
为某个常数.
则 ( 整除的传递性)
注称 为
的一个组合.
§ 3 整除的概念
例3 证明：(1)若
则
且
(2)若
但
则
注1.
与它的任意非零常数倍
复系数和实系数多项式的因式分解
§8 复系数与实系数多项式的因式分解
一、 复系数多项式因式分解定理
1．代数基本定理 每个次数1≥的复系数多项式在复数域中有一个根. 利用根与一次因式的关系，代数基本定理可以等价地叙述为：
每个次数1≥的复系数多项式在复数域上一定有一个一次因式. 由此可知，在复数域上所有次数大于1的多项式都是可约的，不可约多项式只有
一次多项式. 于是，因式分解定理在复数域上可以叙述成：
2．复系数多项式因式分解定理 每个次数1≥的复系数多项式在复数域上都可以唯一
地分解成一次因式的乘积.
因此，复系数多项式具有标准分解式
其中s ααα,,,21 是不同的复数，s l l l ,,,21 是正整数.
标准分解式说明：每个n 次复系数多项式恰有n 个复根（重根按重数计算）. 3结论 ：设
(),()f x g x 是复数域上的两个多项式，如果 ()f x 的根都是
()g x 的根， 则 ()|()f x g x
例：若)(|
1n x f x -，则 )(|1n n x f x - 4、n 次多项式的根与系数的关系.
令
.)(11n n n a x a x x f +++=- (1)
是一个n (>0)次多项式,那么在复数域C 中
)(x f 有n 个根,,,,21n ααα 因而在
][x C 中)(x f 完全分解为一次因式的乘积: 展开这一等式右端的括号,合并同次项,然后比较所得出的系数与(1)式右端的系数,得到根与系数的关系.
其中第),,2,1(n k k =个等式的右端是一切可能的k 个根的乘积之与,乘以k )1(-.
高等代数教学大纲
高等代数课程教学大纲
一、课程说明
1、课程性质：
高等代数是高等院校数学系数学与应用数学专业的一门重要基础课。对学生数学思想的形成有着重要意义，是进一步学习近世代数、常微分方程等后继课的基础，也为深入理解中学数学打下必要的基础。高等代数是现代数学的基础知识，是学习其它数学学科和现代科学知识的必备基础和重要工具，尤其在本世纪，计算机技术、通讯信息技术和现代生物工程技术已成为最热门的学科领域，这些学科的发展均需要代数学的知识与支持。
高等代数也是师范院校数学与应用数学专业的一门重要基础课程，既是中学代数的继续和提高，对于中学数学教学工作具有重要的理论指导作用，又是输送更高层次优秀人才的专业知识保证。
2、课程教学目的要求
（1）使学生掌握多项式理论、线性代数理论的基础知识和基本理论，着重培养学生解决问题的基本技能。
(2) 使学生熟悉和掌握本课程所涉及的现代数学中的重要思想方法，提高其抽象思维、逻辑推理和代数运算的能力。
(3) 使学生进一步掌握具体与抽象、特殊与一般、有限与无限等辩证关系，培养其辩证唯物主义观点。
(4) 逐步培养学生的对真理知识的发现和创新的能力，训练其对特殊实例的观察、分析、归纳、综合、抽象概括和探索性推理的能力。
(5) 使学生对中学数学有关内容从理论上有更深刻的认识，以便能够居高临下地掌握和处理高级中学数学教材，进一步提高中学数学教学质量。
(6) 根据教学的实际内容的需要，对大纲所列各章内容，分别提出了具体的目的要求，教学时必须着重抓住重点内容进行教学。
本课程分以一元多项式为主体的多项式理论和线性代数两部分。线性代数部分涉及行列式、矩阵、线性方程组、二次型、线性空间、线性变换、λ-矩阵、欧几里得空间等。
§8复系数与实系数多项式的因式分解
为根， 若 α 为根，则
f (α ) = anα n + an−1α n−1 + ⋅ ⋅ ⋅ + a0 = 0
n n −1
两边取共轭有
f (α ) = an α + an−1α
+ ⋅ ⋅ ⋅ + a0 = 0
复根． ∴ α 也是为 f ( x ) 复根．
实系数多项式因式分解定理
∀f ( x ) ∈ R[ x ]，若 ∂ ( f ( x )) ≥ 1， 则 f ( x ) 可唯一
2 2
R上的不可约多项式 上的不可约多项式.
推论2 推论 实数域上不可约多项式只有一次多项式和某些二 次不可约多项式，所有次数大于3的多项式皆可约 次不可约多项式，所有次数大于 的多项式皆可约. 大于 的多项式皆可约.
例1
上的标准分解式. 求 x n − 1 在 C 上与在 R 上的标准分解式. 个复根， 在复数范围内 x n − 1 有n个复根， 个复根
地分解成一次因式与二次不可约因式的乘积． 地分解成一次因式与二次不可约因式的乘积． 证：对 f ( x ) 的次数作数学归纳 的次数作数学归纳． 结论显然成立. ① ∂ ( f ( x )) = 1 时，结论显然成立. 假设对次数<n的多项式结论成立 的多项式结论成立． ② 假设对次数 的多项式结论成立． 由代数基本定理, 设 ∂ ( f ( x )) = n，由代数基本定理 f ( x )有一复根 α ． 为实数, 若 α 为实数, 则 f ( x ) = ( x − α ) f1 ( x )，其中 ∂ ( f1 ) = n − 1.
高等代数第1章.
sihuabin@ncu.edu.cn
推论 设f(x),g(x)是整系数多项式，且g(x) 是本原的，若f(x)=g(x)h(x)，h(x)∈Q[x]， Fra Baidu bibliotekh(x)必为整系数多项式。 证明：令f(x)=af1(x),h(x)=ch1(x),a∈Z,c∈Q 这里f1(x),h1(x)皆为本原多项式 于是有af1(x)=g(x)ch1(x)=cg(x)h1(x) 可得c=±a，即c∈Z 所以h(x)=ch1(x)为整系数多项式。
即在R上 x − (α + α ) x + αα 是1个二次不可约多项式 此时 ∂(f2)=n-2，且f2(x)是实系数多项式 由归纳假设，f1(x)、f2(x)可分解成一次因式与二 次不可约多项式的乘积 由归纳原理，定理得证。
sihuabin@ncu.edu.cn 南昌大学理学院数学系
推论1 对于任意的f(x)∈R[x]，若∂(f(x))≥1， 则f(x)在实数域R上具有标准分解式 f(x)=an(x-c1)l1(x-c2)l2…(x-cs)ls (x2+p1x+q1)k1… (x2+prx+qr)kr 其中c1,c2,…,cs,p1,p2,…,pr,q1,q2,…,qr全是实 数，l1,l2,…,ls,k1,k2,…,kr∈Z+，并且x2+pix+qi 是不可约的，即pi2-4qi<0 (i =1,2,…,r)。 推论2 实数域上不可约多项式只有一次多项 式和某些二次不可约多项式，所有次数≥3的 多项式皆可约。
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实系数多项式因式分解定理
每个次数 ≥1的实系数多项式在复数域上都可以 唯一地分解成一次因式与二次不可约因式的乘积 . 证明：定理对一次多项式显然成立 .
假设定理对次数< n的多项式已经证明 . 设 f (x)是n次实系数多项式 . 由代数基本定理， f (x)有一复根 是实数，则 f ( x) ( x ) f1 ( x),
由此可知，在复数域上所有次数大于 1 的多项式
全是可约的 . 换句话说，不可约多项式只有一次多项 式 . 于是我们有 复系数多项式因式分解定理 每个次数 ≥1的复系数多项式在复数域上都可以 唯一地分解成一次因式的乘积 .
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因此，复系数多项式具有标准分解式
f ( x) an ( x 1 )l1 ( x 2 )l2
次不可约多项式 . 从而 f 2(x)是n－2次实系数多项式 . 由归纳法假设，f1(x)与 f2(x)可以分解成一次与二次不 约多项式的乘积，因此 f (x)也可以如此分解 .
注 实系数多项式具有标准分解式
f ( x) an ( x c1 )l1 ( x cs )ls ( x 2 p1x q1 ) k1 ( x 2 pr x qr )kr , 其中c1 , , cs , p1 , , pr , q1 , , qr 全是实数，l , l , , l , k , 1 2 s 1 , kr 是正整数 . 且
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x 2 pi x qi (i 1,2, , r )
是不可约的，也就是满足
pi2 源自文库 4qi 0, i 1,2, , r.
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f ( x) an x n an1x n1
其中 a0 , a1 ,
a0 ,
, an 是实数 . 由假设
f ( ) an n an1 n1 a0 0. 两边取共轭数，有 f ( ) an n an1 n1 a0 0, 即 f ( ) 0, 也是 f (x)的根 .
其中f 1(x)是n－1次实系数多项式 . 如果 不是实数， 则 也是 f (x)的根且 .
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于是
f ( x) ( x )( x ) f 2 ( x).
显然 ( x )( x ) x 2 ( ) x 是一实系数二
§8 复系数与实系数多项式的 因式分解
对与复数域，有下面重要的定理：
代数基本定理
每个次数 ≥ 1的复系数多项式在复数域中有一个 根.
注1 代数基本定理的内容十分明了，但它的证明
需要用到进一步的知识，例如复变函数论，或微分拓 扑学 .
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注2 代数基本定理显然可以等价叙述为：
每个次数 ≥1的复系数多项式，在复数域上一定 有一个一次因式 .
其中 1 , 2 ,
( x s ) ls ,
, s 是不同的复数，l1 , l2 , , ls 是正整数 .
标准分解式说明了每个n个复系数多项式恰有n个复根 （重根按重数计算）. 即 l1 l2
ls n.
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实系数多项式的分解 如果 是实系数多项式 f (x)的复根，则 的共 轭复数 也是 f (x)的根 . 因为设