2020高中数学 课时分层作业1 变化率问题 导数的概念 新人教A版选修2-2
高中数学1.1变化率与导数课时作业2导数的概念新人教A版选修2_2
课时作业2 导数的概念知识点一 瞬时速度1.一木块沿一光滑斜面自由下滑，测得下滑的水平距离s 与时间t 之间的函数关系为s (t )＝18t 2，当t ＝2时，此木块在水平方向的瞬时速度为( ) A ．2 B ．1 C.12 D.14答案 C解析 Δs ＝18(2＋Δt )2－18×22＝18[4＋4Δt ＋(Δt )2－4]＝18[(Δt )2＋4Δt ]，∴Δs Δt ＝18Δt ＋12.∴当Δt 趋近于0时，Δs Δt 趋近于12.即t ＝2时，瞬时速度为12.2．如果一个函数的瞬时变化率处处为0，则这个函数的图象是( ) A ．圆 B ．抛物线 C ．椭圆 D ．直线答案 D解析 当f (x )＝b 时，瞬时变化率li m Δx →0Δy Δx ＝li m Δx →0b －b Δx＝0，所以f (x )的图象为一条直线．3．物体的运动方程是s ＝－4t 2＋16t ，在某一时刻的速度为零，则相应时刻为( ) A ．t ＝1 B ．t ＝2 C ．t ＝3 D ．t ＝4答案 B解析 设物体在t 时刻的速度为零，则li m Δt →0Δs Δt ＝0，Δs Δt ＝－4(t ＋Δt )2＋16(t ＋Δt )＋4t 2－16t Δt ＝－8Δt ·t －4Δt 2＋16ΔtΔt＝－8t －4Δt ＋16，∴li m Δt →0ΔsΔt＝－8t ＋16＝0，∴t ＝2.知识点二 导数的定义 4.函数f (x )在x 0处可导，则lim h →0f (x 0＋h )－f (x 0)h( )A ．与x 0，h 都有关B ．仅与x 0有关，而与h 无关C ．仅与h 有关，而与x 0无关D ．与x 0，h 均无关 答案 B解析 由导数的概念可知，lim h →0f (x 0＋h )－f (x 0)h＝f ′(x 0)，仅与x 0有关，与h 无关，故选B.5．若f ′(x 0)＝1，则li m Δx →0f (x 0－Δx )－f (x 0)2Δx＝( )A.12 B ．－12C ．1D ．－1答案 B解析 f ′(x 0)＝li m Δx →0f (x 0－Δx )－f (x 0)－Δx＝1，∴li m Δx →0f (x 0－Δx )－f (x 0)Δx＝－1，∴li m Δx →0f (x 0－Δx )－f (x 0)2Δx ＝12×(－1)＝－12.6．一物体的运动方程为s ＝7t 2＋8，则其在t ＝________时的瞬时速度为1. 答案114解析 Δs Δt ＝7(t 0＋Δt )2＋8－(7t 20＋8)Δt＝7Δt ＋14t 0，当li m Δt →0(7Δt ＋14t 0)＝1时，t ＝t 0＝114. 知识点三 导数的实际意义7.一条水管中流过的水量y (单位：m 3)是时间t (单位：s)的函数y ＝f (t )＝3t .求函数y ＝f (t )在t ＝2处的导数f ′(2)，并解释它的实际意义．解 根据导数的定义，得Δy Δt ＝f (2＋Δt )－f (2)Δt ＝3(2＋Δt )－3×2Δt＝3，所以f ′(2)＝lim Δt →0Δy Δt＝3.f ′(2)的意义是：水流在2 s 时的瞬时流速为3 m 3/s ，即如果保持这一速度，每经过1 s ，水管中流过的水量为3 m 3.一、选择题1．一物体的运动方程是s ＝12at 2(a 为常数)，则该物体在t ＝t 0时的瞬时速度是( )A ．at 0B ．－at 0 C.12at 0 D ．2at 0答案 A解析 ∵Δs Δt ＝s (t 0＋Δt )－s (t 0)Δt ＝12a Δt ＋at 0，∴lim Δt →0ΔsΔt＝at 0.2．若可导函数f (x )的图象过原点，且满足li m Δx →0f (Δx )Δx＝－1，则f ′(0)＝( ) A ．－2 B ．－1 C ．1 D ．2答案 B解析 ∵f (x )图象过原点，∴f (0)＝0，∴f ′(0)＝li m Δx →0f (0＋Δx )－f (0)Δx ＝li m Δx →0f (Δx )Δx＝－1，∴选B.3．已知f (x )＝2x ，且f ′(m )＝－12，则m 的值等于( )A ．－4B ．2C ．－2D ．±2答案 D解析 f ′(x )＝li m Δx →0f (x ＋Δx )－f (x )Δx ＝－2x 2，于是有－2m 2＝－12，m 2＝4，解得m ＝±2.4．设函数f (x )在点x 0处附近有定义，且f (x 0＋Δx )－f (x 0)＝a Δx ＋b (Δx )2(a ，b 为常数)，则( )A ．f ′(x 0)＝－aB ．f ′(x 0)＝－bC ．f ′(x 0)＝aD ．f ′(x 0)＝b答案 C解析 ∵f (x 0＋Δx )－f (x 0)＝a Δx ＋b (Δx )2， ∴f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx＝a ＋b ·Δx .∴lim Δx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx＝lim Δx →0(a ＋b ·Δx )＝a .∴f ′(x 0)＝a .故选C.5．已知奇函数f (x )满足f ′(－1)＝1，则li m Δx →0f (Δx －1)＋f (1)Δx等于( )A ．1B ．－1C ．2D ．－2答案 A解析 由f (x )为奇函数，得f (1)＝－f (－1)，所以li m Δx →0f (Δx －1)＋f (1)Δx＝li m Δx →0f (－1＋Δx )－f (－1)Δx＝f ′(－1)＝1.二、填空题6．已知自由落体的运动方程为s (t )＝5t 2，则t 在2到2＋Δt 这一段时间内落体的平均速度为______，落体在t ＝2时的瞬时速度为________．答案 20＋5Δt 20解析 由题物体在t ＝2到t ＝2＋Δt 这一段时间内的平均速度为v －＝5(2＋Δt )2－5×22Δt ＝20＋5Δt ，则当Δt →0时v －→20，即t ＝2时的瞬时速度为20.7．设函数y ＝f (x )＝ax 3＋2，若f ′(－1)＝3，则a ＝________. 答案 1解析 Δy ＝f (－1＋Δx )－f (－1)＝a (－1＋Δx )3＋2－a (－1)3－2＝a (Δx )3－3a (Δx )2＋3a Δx .∴Δy Δx ＝a (Δx )3－3a (Δx )2＋3a Δx Δx ＝a (Δx )2－3a Δx ＋3a . 当Δx 无限趋近于0时，a (Δx )2－3a Δx ＋3a 无限趋近于3a .∴f ′(－1)＝3a ＝3，∴a ＝1.8．已知y ＝x ＋4，则y ′|x ＝1＝________. 答案510解析 由题意知Δy ＝1＋Δx ＋4－1＋4＝5＋Δx －5，所以Δy Δx ＝5＋Δx －5Δx.所以y ′|x ＝1＝li m Δx →0Δy Δx ＝li m Δx →05＋Δx －5Δx＝li m Δx →0(5＋Δx －5)(5＋Δx ＋5)Δx (5＋Δx ＋5)＝li m Δx →015＋Δx ＋5＝510. 三、解答题 9．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x ，x ≥0，1＋x 2，x <0，求f ′(1)·f ′(－1)的值．解 当x ＝1时，Δy Δx ＝f (1＋Δx )－f (1)Δx ＝1＋Δx －1Δx ＝11＋Δx ＋1.由导数的定义，得f ′(1)＝lim Δx →011＋Δx ＋1＝12.当x ＝－1时，Δy Δx ＝f (－1＋Δx )－f (－1)Δx＝1＋(－1＋Δx )2－1－(－1)2Δx＝Δx －2.由导数的定义，得f ′(－1)＝lim Δx →0(Δx －2)＝－2.所以f ′(1)·f ′(－1)＝12×(－2)＝－1.10．枪弹在枪筒中运动可以看作匀加速运动，如果它的加速度是5.0×105m/s 2，枪弹从枪口射出时所用时间为1.6×10－3s ，求枪弹射出枪口时的瞬时速度．解 位移公式为s ＝12at 2，∵Δs ＝12a (t 0＋Δt )2－12at 20＝at 0Δt ＋12a (Δt )2，∴Δs Δt ＝at 0＋12a Δt ， ∴li m Δt →0Δs Δt ＝li m Δt →0⎝⎛⎭⎪⎫at 0＋12a Δt ＝at 0，已知a ＝5.0×105 m/s 2，t 0＝1.6×10－3s ， ∴at 0＝800 m/s.所以枪弹射出枪口时的瞬时速度为800 m/s.。
最新人教A版选修2-2高中数学1.1变化率问题1.2导数的概念教学设计
§3．1.1 变化率问题
§3．1.2 导数的概念
【学情分析】：
本节的中心任务是形成导数的概念.概念形成划分为两个层次：
1、借助气球膨胀率问题，了解变化率的含义；借助高台跳水问题，明确瞬时速度的含义.
2、以速度模型为出发点，结合其他实例抽象出导数概念，使学生认识到导数就是瞬时变化率，了解导数内涵.
学生对导数概念的理解会有些困难，所以要对课本上的两个问题进行深入的探讨，以便顺利地使学生形成导数的概念。
【教学目标】：
知道了物体的运动规律，用极限来定义物体的瞬时速度，学会求物体的瞬时速度掌握导数的定义.
【教学重点】：
理解掌握物体的瞬时速度的意义和导数的定义.
【教学难点】：
理解掌握物体的瞬时速度的意义和导数的定义.
【教学过程设计】：
x
x f
x
x
f
x
∆-
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1
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2020高中数学 课时分层作业1 变化率问题 导数的概念 新人教A版选修2-2
课时分层作业(一) 变化率问题 导数的概念(建议用时：40分钟)[基础达标练]一、选择题1．函数f (x )＝x 2－1在区间[1，m ]上的平均变化率为3，则实数m 的值为( )A ．3B ．2C ．1D ．4B [由已知得：m 2－1－2－m －1＝3，∴m ＋1＝3，∴m ＝2.]2．一质点运动的方程为s ＝5－3t 2，若该质点在时间段[1,1＋Δt ]内相应的平均速度为－3Δt －6，则该质点在t ＝1时的瞬时速度是( )【导学号：31062006】A ．－3B ．3C ．6D ．－6D [由平均速度和瞬时速度的关系可知，v ＝s ′(1)＝lim Δt →0(－3Δt －6)＝－6.]3．若f (x )在x ＝x 0处存在导数，则lim h →0f x 0＋h －f x 0h( )A ．与x 0，h 都有关B ．仅与x 0有关，而与h 无关C ．仅与h 有关，而与x 0无关D ．以上答案都不对B [由导数的定义知，函数在x ＝x 0处的导数只与x 0有关．]4．设函数f (x )在点x 0附近有定义，且有f (x 0＋Δx )－f (x 0)＝a Δx ＋b (Δx )2(a ，b 为常数)，则( ) A ．f ′(x )＝a B ．f ′(x )＝b C ．f ′(x 0)＝a D ．f ′(x 0)＝bC [∵f ′(x 0)＝lim Δx →0f x 0＋Δx －f x 0Δx＝lim Δx →0a Δx ＋b Δx 2Δx ＝lim Δx →0(a ＋b Δx )＝a ，∴f ′(x 0)＝a .]5．已知函数f (x )＝2x 2－4的图象上一点(1，－2)及附近一点(1＋Δx ，－2＋Δy )，则Δy Δx＝( )【导学号：31062007】A ．4B ．4xC ．4＋2ΔxD ．4＋2(Δx )2C [因为Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝2(1＋Δx )2－4－(2×12－4)＝4Δx ＋2(Δx )2， 所以Δy Δx ＝4Δx ＋Δx 2Δx ＝4＋2Δx .]二、填空题6．已知函数y ＝2x＋3，当x 由2变到1.5时，函数的增量Δy ＝________.[解析] Δy ＝f (1.5)－f (2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫21.5＋3－⎝ ⎛⎭⎪⎫22＋3＝43－1＝13.[答案] 137.汽车行驶的路程s 和时间t 之间的函数图象如图113所示．在时间段[t 0，t 1]，[t 1，t 2]，[t 2，t 3]上的平均速度分别为v 1，v 2，v 3，其三者的大小关系是________.【导学号：31062008】图113[解析] ∵v 1＝s t 1－s t 0t 1－t 0＝k MA ，v 2＝s t 2－s t 1t 2－t 1＝k AB ，v 3＝s t 3－s t 2t 3－t 2＝k BC ，由图象可知：k MA <k AB <k BC ，∴v 3>v 2>v 1. [答案] v 3>v 2>v 18．一物体位移s 和时间t 的关系是s ＝2t －3t 2，则物体的初速度是__________． [解析] 物体的速度为v ＝s ′(t )， ∴s ′(t )＝lim Δt →0s t ＋Δt －s tΔt＝lim Δt →0t ＋Δt －t ＋Δt 2－2t ＋3t2Δt＝lim Δt →0 2Δt －6t Δt －3Δt 2Δt ＝2－6t .即v ＝2－6t ，所以物体的初速度是v 0＝2－6×0＝2.[答案] 2 三、解答题9．若函数f (x )＝ax 2＋c ，且f ′(1)＝2，求a 的值.【导学号：31062009】[解] ∵f (1＋Δx )－f (1)＝a (1＋Δx )2＋c －a －c ＝a (Δx )2＋2a Δx . ∴f ′(1)＝lim Δx →0f＋Δx －fΔx＝lim Δx →0a Δx2＋2a ΔxΔx＝lim Δx →0(a Δx ＋2a )＝2a ，即2a ＝2，∴a ＝1.10．一做直线运动的物体，其位移s 与时间t 的关系是s ＝3t －t 2(位移：m ；时间：s)． (1)求此物体的初速度；(2)求此物体在t ＝2时的瞬时速度； (3)求t ＝0到t ＝2时平均速度．[解] (1)初速度v 0＝lim Δt →0s Δt －sΔt ＝lim Δt →03Δt －Δt2Δt ＝lim Δt →0(3－Δt )＝3(m/s)．即物体的初速度为3 m/s. (2)v ＝lim Δt →0s＋Δt －sΔt＝lim Δt →0＋Δt －＋Δt 2－－Δt＝lim Δt →0－Δt 2－Δt Δt＝lim Δt →0(－Δt －1)＝－1(m/s)．即此物体在t ＝2时的瞬时速度为1 m/s ， 方向与初速度相反． (3)v ＝s－s 2－0＝6－4－02＝1(m/s)．即t ＝0到t ＝2时的平均速度为1 m/s.[能力提升练]1.A ，B 两机关开展节能活动，活动开始后两机关的用电量W 1(t )，W 2(t )与时间t (天)的关系如图114所示，则一定有( )图114A ．两机关节能效果一样好B ．A 机关比B 机关节能效果好C ．A 机关的用电量在[0，t 0]上的平均变化率比B 机关的用电量在[0，t 0]上的平均变化率大D ．A 机关与B 机关自节能以来用电量总是一样大B [由图可知，A ，B 两机关用电量在[0，t 0]上的平均变化率都小于0，由平均变化率的几何意义知，A 机关用电量在[0，t 0]上的平均变化率小于B 机关的平均变化率，从而A 机关比B 机关节能效果好．]2．设函数f (x )可导，则lim Δx →0f＋Δx －f3Δx等于( )【导学号：31062010】A ．f ′(1)B ．3f ′(1) C.13f ′(1) D ．f ′(3)C [lim Δx →0f＋Δx －f3Δx＝13lim Δx →0f ＋Δx －fΔx＝13f ′(1)．] 3．如图115所示，函数y ＝f (x )在[x 1，x 2]，[x 2，x 3]，[x 3，x 4]这几个区间内，平均变化率最大的一个区间是________．图115[解析] 由平均变化率的定义可知，函数y ＝f (x )在区间[x 1，x 2]，[x 2，x 3]，[x 3，x 4]上的平均变化率分别为：f x 2－f x 1x 2－x 1，f x 3－f x 2x 3－x 2，f x 4－f x 3x 4－x 3，结合图象可以发现函数y ＝f (x )的平均变化率最大的一个区间是[x 3，x 4]．[答案] [x 3，x 4]4．给出下列结论：①函数y ＝2x 2－1在x ＝3处的导数为11；②若物体的运动规律是s ＝f (t )，则物体在时刻t 0的瞬时速度v 等于f ′(t 0)；③物体做直线运动时，它的运动规律可以用函数v ＝v (t )描述，其中v 表示瞬时速度，t 表示时间，那么该物体运动的加速度为a ＝lim Δt →0v t ＋Δt －v tΔt.其中正确的结论序号为____．[解析] ①函数y ＝2x 2－1在x ＝3处的导数为12，故①错，根据变化率在物理学中的含义知②③正确． [答案] ②③5．若一物体运动方程如下：(位移：m ，时间：s)s ＝⎩⎪⎨⎪⎧3t 2＋t ， ①29＋t －2t ＜， ②【导学号：31062011】求：(1)物体在t ∈[3,5]内的平均速度． (2)物体的初速度v 0.(3)物体在t ＝1时的瞬时速度．....[解] (1)因为物体在t ∈[3,5]内的时间变化量为Δt ＝5－3＝2， 物体在t ∈[3,5]内的位移变化量为Δs ＝3×52＋2－(3×32＋2)＝3×(52－32)＝48，所以物体在t ∈[3,5]上的平均速度为Δs Δt ＝482＝24(m/s)．(2)求物体的初速度v 0即求物体在t ＝0时的瞬时速度． 因为物体在t ＝0附近的平均变化率为 Δs Δt ＝f ＋Δt －fΔt＝29＋＋Δt －3]2－29－－2Δt＝3Δt －18.所以物体在t ＝0处的瞬时变化率为 li m Δt →0 ΔsΔt ＝li m Δt →0 (3Δt －18)＝－18. 即物体的初速度为－18 m/s.(3)物体在t ＝1时的瞬时速度即为函数在t ＝1处的瞬时变化率． 因为物体在t ＝1附近的平均变化率为Δs Δt ＝f＋Δt －fΔt＝29＋＋Δt －3]2－29－－2Δt＝3Δt －12.所以物体在t ＝1处的瞬时变化率为lim Δt →0 ΔsΔt ＝lim Δt →0 (3Δt －12)＝－12.即物体在t ＝1时的速度为－12 m/s.。
高中新课程数学(新课标人教A版)选修2-2《1.1.1变化率与导数》课件
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1．1 变化率与导数
1．1.1 变化率问题 1．1.2 导数的概念
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【课标要求】
1．通过对大量实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率
的过程，了解导数概念的实际背景． 2．会求函数在某一点附近的平均变化率． 3．会利用导数的定义求函数在某点处的导数． 【核心扫描】
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误区警示 忽略导数定义中 Δx 与 Δy 的对应关系 【示例】 设函数 y＝f(x)在 x＝x0 处可导， fx0－3Δx－fx0 且 lim ＝1, 则 (x0)等于( Δ x Δx→0 A．1 1 C．－3 [错解] B．－1 1 D.3 fx0－3Δx－fx0 lim ＝ Δ x Δx→0
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Δy fx2－fx1 fx1＋Δx－fx1 (3)在公式 ＝ ＝ 中，当 x1 取定值，Δx Δx Δx x2－x1 取不同的数值时，函数的平均变化率是不同的；当 Δx 取定值，x1 取不同的数值时，函数的平均变化率也是不同的．特别地，当函 Δy 数 f(x)为常数函数时，Δy＝0，则 ＝0. Δx
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题型二 物体运动的瞬时速度 【例 2】 一质点按规律 s(t)＝at2＋1 作直线运动(位移单位：m， 时间单位：s)，若该质点在 t＝2 s 时的瞬时速度为 8 m/s，求 常数 a 的值． Δs [思路探索] 求物体的瞬时速度，应先求出平均速度 Δt ，再取 极限．
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2020年高中数学课时跟踪检测含解析(全一册)新人教A版
2020年高中数学课时跟踪检测含解析新人教A版课时跟踪检测一变化率问题导数的概念课时跟踪检测二导数的几何意义课时跟踪检测三几个常用函数的导数基本初等函数的导数公式及导数的运算法则课时跟踪检测四复合函数求导及应用课时跟踪检测五函数的单调性与导数课时跟踪检测六函数的极值与导数课时跟踪检测七函数的最大小值与导数课时跟踪检测八生活中的优化问题举例课时跟踪检测九定积分的概念课时跟踪检测十微积分基本定理课时跟踪检测十一定积分的简单应用课时跟踪检测十二合情推理课时跟踪检测十三演绎推理课时跟踪检测十四综合法和分析法课时跟踪检测十五反证法课时跟踪检测十六数学归纳法课时跟踪检测十七数系的扩充和复数的概念课时跟踪检测十八 复数的几何意义课时跟踪检测十九 复数代数形式的加减运算及其几何意义 课时跟踪检测二十 复数代数形式的乘除运算课时跟踪检测（一） 变化率问题、导数的概念一、题组对点训练对点练一 函数的平均变化率1．如果函数y ＝ax ＋b 在区间[1,2]上的平均变化率为3,则a ＝( ) A ．－3 B ．2 C ．3 D ．－2解析：选C 根据平均变化率的定义,可知Δy Δx ＝(2a ＋b )－(a ＋b )2－1＝a ＝3.2．若函数f (x )＝－x 2＋10的图象上一点⎝ ⎛⎭⎪⎫32，314及邻近一点⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋Δx ，314＋Δy ,则Δy Δx ＝( )A ．3B ．－3C ．－3－(Δx )2D ．－Δx －3解析：选D ∵Δy ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋Δx －f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝－3Δx －(Δx )2,∴Δy Δx ＝－3Δx －(Δx )2Δx ＝－3－Δx . 3．求函数y ＝f (x )＝1x在区间[1,1＋Δx ]内的平均变化率．解：∵Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝11＋Δx－1＝1－1＋Δx 1＋Δx ＝1－(1＋Δx )(1＋1＋Δx )1＋Δx＝－Δx(1＋1＋Δx )1＋Δx, ∴Δy Δx ＝－1(1＋1＋Δx )1＋Δx. 对点练二 求瞬时速度4．某物体的运动路程s (单位：m)与时间t (单位：s)的关系可用函数s (t )＝t 3－2表示,则此物体在t ＝1 s 时的瞬时速度(单位：m/s)为( )A ．1B ．3C ．－1D ．0 答案：B5．求第4题中的物体在t 0时的瞬时速度． 解：物体在t 0时的平均速度为v ＝s (t 0＋Δt )－s (t 0)Δt＝(t 0＋Δt )3－2－(t 30－2)Δt ＝3t 20Δt ＋3t 0(Δt )2＋(Δt )3Δt＝3t 20＋3t 0Δt ＋(Δt )2.因为lim Δt →0 [3t 20＋3t 0Δt ＋(Δt )2]＝3t 20,故此物体在t ＝t 0时的瞬时速度为3t 20 m/s. 6．若第4题中的物体在t 0时刻的瞬时速度为27 m/s,求t 0的值．解：由v ＝s (t 0＋Δt )－s (t 0)Δt ＝(t 0＋Δt )3－2－(t 30－2)Δt＝3t 20Δt ＋3t 0(Δt )2＋(Δt )3Δt ＝3t 20＋3t 0Δt ＋(Δt )2,因为lim Δt →0 [3t 20＋3t 0Δt ＋(Δt )2]＝3t 20. 所以由3t 20＝27,解得t 0＝±3, 因为t 0>0,故t 0＝3,所以物体在3 s 时的瞬时速度为27 m/s. 对点练三 利用定义求函数在某一点处的导数 7．设函数f (x )可导,则lim Δx →0 f (1＋3Δx )－f (1)3Δx等于( )A ．f ′(1)B ．3f ′(1)C ．13f ′(1) D ．f ′(3)解析：选A lim Δx →0f (1＋3Δx )－f (1)3Δx＝f ′(1)．8．设函数f (x )＝ax ＋3,若f ′(1)＝3,则a 等于( ) A ．2 B ．－2 C ．3 D ．－3 解析：选C ∵f ′(1)＝lim Δx →0 f (1＋Δx )－f (1)Δx＝lim Δx →0a (1＋Δx )＋3－(a ＋3)Δx＝a ,∴a ＝3.9．求函数f (x )＝x 在x ＝1处的导数f ′(1)．解：由导数的定义知,函数在x ＝1处的导数f ′(1)＝lim Δx →0f (1＋Δx )－f (1)Δx,而f (1＋Δx )－f (1)Δx ＝1＋Δx －1Δx ＝11＋Δx ＋1,又lim Δx →0 11＋Δx ＋1＝12,所以f ′(1)＝12.二、综合过关训练1．若f (x )在x ＝x 0处存在导数,则lim h →0 f (x 0＋h )－f (x 0)h( )A ．与x 0,h 都有关B ．仅与x 0有关,而与h 无关C ．仅与h 有关,而与x 0无关D ．以上答案都不对解析：选B 由导数的定义知,函数在x ＝x 0处的导数只与x 0有关．2．函数y ＝x 2在x 0到x 0＋Δx 之间的平均变化率为k 1,在x 0－Δx 到x 0之间的平均变化率为k 2,则k 1与k 2的大小关系为( )A ．k 1>k 2B ．k 2<k 2C ．k 1＝k 2D ．不确定解析：选D k 1＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ＝(x 0＋Δx )2－x 20Δx＝2x 0＋Δx ；k 2＝f (x 0)－f (x 0－Δx )Δx ＝x 20－(x 0－Δx )2Δx＝2x 0－Δx .因为Δx 可正也可负,所以k 1与k 2的大小关系不确定． 3．A ,B 两机关开展节能活动,活动开始后两机关的用电量W 1(t ),W 2(t )与时间t (天)的关系如图所示,则一定有( )A ．两机关节能效果一样好B ．A 机关比B 机关节能效果好C ．A 机关的用电量在[0,t 0]上的平均变化率比B 机关的用电量在[0,t 0]上的平均变化率大D ．A 机关与B 机关自节能以来用电量总是一样大解析：选B 由题图可知,A 机关所对应的图象比较陡峭,B 机关所对应的图象比较平缓,且用电量在[0,t 0]上的平均变化率都小于0,故一定有A 机关比B 机关节能效果好．4．一个物体的运动方程为s ＝1－t ＋t 2,其中s 的单位是：m,t 的单位是：s,那么物体在3 s 末的瞬时速度是( )A ．7 m/sB ．6 m/sC ．5 m/sD ．8 m/s解析：选C ∵Δs Δt ＝1－(3＋Δt )＋(3＋Δt )2－(1－3＋32)Δt＝5＋Δt ,∴lim Δt →0 Δs Δt ＝lim Δt →0 (5＋Δt )＝5 (m/s)． 5．如图是函数y ＝f (x )的图象,则(1)函数f (x )在区间[－1,1]上的平均变化率为________； (2)函数f (x )在区间[0,2]上的平均变化率为________． 解析：(1)函数f (x )在区间[－1,1]上的平均变化率为f (1)－f (－1)1－(－1)＝2－12＝12.(2)由函数f (x )的图象知,f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋32，－1≤x ≤1，x ＋1，1<x ≤3.所以,函数f (x )在区间[0,2]上的平均变化率为f (2)－f (0)2－0＝3－322＝34.答案：(1)12 (2)346．函数y ＝－1x在点x ＝4处的导数是________．解析：∵Δy ＝－14＋Δx＋14＝12－14＋Δx ＝4＋Δx －224＋Δx ＝Δx24＋Δx (4＋Δx ＋2). ∴Δy Δx ＝124＋Δx (4＋Δx ＋2). ∴lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0124＋Δx (4＋Δx ＋2) ＝12×4×(4＋2)＝116.∴y ′|x ＝4＝116.答案：1167．一做直线运动的物体,其位移s 与时间t 的关系是s ＝3t －t 2(位移：m ；时间：s)． (1)求此物体的初速度；(2)求此物体在t ＝2时的瞬时速度； (3)求t ＝0到t ＝2时平均速度．解：(1)初速度v 0＝lim Δt →0 s (Δt )－s (0)Δt ＝lim Δt →0 3Δt －(Δt 2)Δt＝lim Δt →0 (3－Δt )＝3(m/s)． 即物体的初速度为3 m/s. (2)v ＝lim Δt →0s (2＋Δt )－s (2)Δt＝lim Δt →0 3(2＋Δt )－(2＋Δt )2－(3×2－4)Δt＝lim Δt →0 －(Δt )2－Δt Δt ＝lim Δt →0 (－Δt －1)＝－1(m/s)． 即此物体在t ＝2时的瞬时速度为1 m/s,方向与初速度相反． (3)v ＝s (2)－s (0)2－0＝6－4－02＝1(m/s)．即t ＝0到t ＝2时的平均速度为1 m/s.8．若函数f (x )＝－x 2＋x 在[2,2＋Δx ](Δx >0)上的平均变化率不大于－1,求Δx 的范围．解：因为函数f (x )在[2,2＋Δx ]上的平均变化率为： Δy Δx ＝f (2＋Δx )－f (2)Δx＝－(2＋Δx )2＋(2＋Δx )－(－4＋2)Δx＝－4Δx ＋Δx －(Δx )2Δx ＝－3－Δx ,所以由－3－Δx ≤－1, 得Δx ≥－2. 又因为Δx >0,即Δx 的取值范围是(0,＋∞)．课时跟踪检测（二） 导数的几何意义一、题组对点训练对点练一 求曲线的切线方程1．曲线y ＝x 3＋11在点(1,12)处的切线与y 轴交点的纵坐标是( ) A ．－9 B ．－3 C ．9 D ．15解析：选C ∵切线的斜率k ＝lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0 (1＋Δx )3＋11－12Δx ＝lim Δx →0 1＋3·Δx ＋3·(Δx )2＋(Δx )3－1Δx ＝lim Δx →0[3＋3(Δx )＋(Δx )2]＝3, ∴切线的方程为y －12＝3(x －1)． 令x ＝0得y ＝12－3＝9.2．求曲线y ＝1x 在点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2的切线方程．解：因为y ′＝lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0 1x ＋Δx －1x Δx ＝lim Δx →0 －1x 2＋x ·Δx ＝－1x 2, 所以曲线在点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2的切线斜率为k ＝y ′|x ＝12＝－4.故所求切线方程为y －2＝－4⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12,即4x ＋y －4＝0.对点练二 求切点坐标3．若曲线y ＝x 2＋ax ＋b 在点(0,b )处的切线方程是x －y ＋1＝0,则( ) A ．a ＝1,b ＝1 B ．a ＝－1,b ＝1 C ．a ＝1,b ＝－1D ．a ＝－1,b ＝－1解析：选A ∵点(0,b )在直线x －y ＋1＝0上,∴b ＝1. 又y ′＝lim Δx →0 (x ＋Δx )2＋a (x ＋Δx )＋1－x 2－ax －1Δx ＝2x ＋a , ∴过点(0,b )的切线的斜率为y ′|x ＝0＝a ＝1.4．已知曲线y ＝2x 2＋4x 在点P 处的切线斜率为16,则点P 坐标为________． 解析：设P (x 0,2x 20＋4x 0),则f ′(x 0)＝lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ＝lim Δx →0 2(Δx )2＋4x 0Δx ＋4ΔxΔx＝4x 0＋4, 又∵f ′(x 0)＝16,∴4x 0＋4＝16,∴x 0＝3,∴P (3,30)． 答案：(3,30)5．曲线y ＝f (x )＝x 2的切线分别满足下列条件,求出切点的坐标． (1)平行于直线y ＝4x －5； (2)垂直于直线2x －6y ＋5＝0； (3)切线的倾斜角为135°.解：f ′(x )＝lim Δx →0 f (x ＋Δx )－f (x )Δx ＝lim Δx →0(x ＋Δx )2－x2Δx＝2x , 设P (x 0,y 0)是满足条件的点．(1)∵切线与直线y ＝4x －5平行,∴2x 0＝4,∴x 0＝2,y 0＝4,即P (2,4),显然P (2,4)不在直线y ＝4x －5上,∴符合题意．(2)∵切线与直线2x －6y ＋5＝0垂直,∴2x 0·13＝－1,∴x 0＝－32,y 0＝94,即P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，94.(3)∵切线的倾斜角为135°,∴其斜率为－1,即2x 0＝－1,∴x 0＝－12,y 0＝14,即P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，14. 对点练三 导数几何意义的应用 6．下面说法正确的是( )A ．若f ′(x 0)不存在,则曲线y ＝f (x )点(x 0,f (x 0))处没有切线B ．若曲线y ＝f (x )在点(x 0,f (x 0))处有切线,则f ′(x 0)必存在C ．若f ′(x 0)不存在,则曲线y ＝f (x )在点(x 0,f (x 0))处的切线斜率不存在D ．若曲线y ＝f (x )在点(x 0,f (x 0))处没有切线,则f ′(x 0)有可能存在解析：选C 根据导数的几何意义及切线的定义知曲线在(x 0,y 0)处有导数,则切线一定存在,但反之不一定成立,故A,B,D 错误．7．设曲线y ＝f (x )在某点处的导数值为0,则过曲线上该点的切线( ) A ．垂直于x 轴B ．垂直于y 轴C ．既不垂直于x 轴也不垂直于y 轴D ．方向不能确定解析：选B 由导数的几何意义知曲线f (x )在此点处的切线的斜率为0,故切线与y 轴垂直．8．如图所示,单位圆中弧AB 的长为x ,f (x )表示弧AB 与弦AB 所围成的弓形面积的2倍,则函数y ＝f (x )的图象是( )解析：选D 不妨设A 固定,B 从A 点出发绕圆周旋转一周,刚开始时x 很小,即弧AB 长度很小,这时给x 一个改变量Δx ,那么弦AB 与弧AB 所围成的弓形面积的改变量非常小,即弓形面积的变化较慢；当弦AB 接近于圆的直径时,同样给x 一个改变量Δx ,那么弧AB 与弦AB 所围成的弓形面积的改变量将较大,即弓形面积的变化较快；从直径的位置开始,随着B点的继续旋转,弓形面积的变化又由变化较快变为越来越慢．由上可知函数y ＝f (x )图象的上升趋势应该是首先比较平缓,然后变得比较陡峭,最后又变得比较平缓,对比各选项知D 正确．9．已知函数y ＝f (x )的图象如图所示, 则函数y ＝f ′(x )的图象可能是________(填序号)．解析：由y ＝f (x )的图象及导数的几何意义可知,当x <0时f ′(x )>0,当x ＝0时,f ′(x )＝0,当x >0时,f ′(x )<0,故②符合．答案：②二、综合过关训练1．函数f (x )的图象如图所示,则下列结论正确的是( ) A ．0<f ′(a )<f ′(a ＋1)<f (a ＋1)－f (a ) B ．0<f ′(a ＋1)<f (a ＋1)－f (a )<f ′(a ) C ．0<f ′(a ＋1)<f ′(a )<f (a ＋1)－f (a ) D ．0<f (a ＋1)－f (a )<f ′(a )<f ′(a ＋1)解析：选B f ′(a ),f ′(a ＋1)分别为曲线f (x )在x ＝a ,x ＝a ＋1处的切线的斜率,由题图可知f ′(a )>f ′(a ＋1)>0,而f (a ＋1)－f (a )＝f (a ＋1)－f (a )(a ＋1)－a表示(a ,f (a ))与(a ＋1,f (a＋1))两点连线的斜率,且在f ′(a )与f ′(a ＋1)之间．∴0<f ′(a ＋1)<f (a ＋1)－f (a )<f ′(a )．2．曲线y ＝1x －1在点P (2,1)处的切线的倾斜角为( ) A ．π6 B ．π4 C ．π3 D ．3π4解析：选D Δy ＝12＋Δx －1－12－1＝11＋Δx －1＝－Δx 1＋Δx ,lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0 －11＋Δx ＝－1,斜率为－1,倾斜角为3π4.3．曲线y ＝x 3－2x ＋1在点(1,0)处的切线方程为( ) A ．y ＝x －1 B ．y ＝－x ＋1 C ．y ＝2x －2D ．y ＝－2x ＋2解析：选 A 由Δy ＝(1＋Δx )3－2(1＋Δx )＋1－(1－2＋1)＝(Δx )3＋3(Δx )2＋Δx 得lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0 (Δx )2＋3Δx ＋1＝1,所以在点(1,0)处的切线的斜率k ＝1,切线过点(1,0),根据直线的点斜式可得切线方程为y ＝x －1.4．设P 0为曲线f (x )＝x 3＋x －2上的点,且曲线在P 0处的切线平行于直线y ＝4x －1,则P 0点的坐标为( )A ．(1,0)B ．(2,8)C ．(1,0)或(－1,－4)D ．(2,8)或(－1,－4)解析：选C f ′(x )＝lim Δx →0 (x ＋Δx )3＋(x ＋Δx )－2－(x 3＋x －2)Δx＝lim Δx →0 (3x 2＋1)Δx ＋3x (Δx )2＋(Δx )3Δx ＝3x 2＋1.由于曲线f (x )＝x 3＋x －2在P 0处的切线平行于直线y ＝4x －1,所以f (x )在P 0处的导数值等于4.设P 0(x 0,y 0),则有f ′(x 0)＝3x 20＋1＝4,解得x 0＝±1,P 0的坐标为(1,0)或(－1,－4)．5．已知二次函数y ＝f (x )的图象如图所示,则y ＝f (x )在A 、B 两点处的导数f ′(a )与f ′(b )的大小关系为：f ′(a )________f ′(b )(填“<”或“>”)．解析：f ′(a )与f ′(b )分别表示函数图象在点A 、B 处的切线斜率,故f ′(a )>f ′(b )．答案：>6．过点P (－1,2)且与曲线y ＝3x 2－4x ＋2在点M (1,1)处的切线平行的直线方程为____________．解析：曲线y ＝3x 2－4x ＋2在点M (1,1)处的切线斜率k ＝y ′|x ＝1＝lim Δx →03(1＋Δx )2－4(1＋Δx )＋2－3＋4－2Δx＝lim Δx →0 (3Δx ＋2)＝2.所以过点 P (－1,2)的直线的斜率为2.由点斜式得y－2＝2(x＋1),即2x－y＋4＝0.所以所求直线方程为2x－y＋4＝0.答案：2x－y＋4＝07．甲、乙二人跑步的路程与时间关系以及百米赛跑路程和时间关系分别如图①②,试问：(1)甲、乙二人哪一个跑得快？(2)甲、乙二人百米赛跑,问快到终点时,谁跑得较快？解：(1)图①中乙的切线斜率比甲的切线斜率大,故乙跑得快；(2)图②中在快到终点时乙的瞬时速度大,故快到终点时,乙跑得快．8．“菊花”烟花是最壮观的烟花之一,制造时通常期望它在达到最高时爆裂．如果烟花距地面的高度h(m)与时间t(s)之间的关系式为h(t)＝－4.9t2＋14.7t.其示意图如图所示．根据图象,结合导数的几何意义解释烟花升空后的运动状况．解：如图,结合导数的几何意义,我们可以看出：在t＝1.5 s附近曲线比较平坦,也就是说此时烟花的瞬时速度几乎为0,达到最高点并爆裂；在0～1.5 s之间,曲线在任何点的切线斜率大于0且切线的倾斜程度越来越小,也就是说烟花在达到最高点前,以越来越小的速度升空；在1.5 s后,曲线在任何点的切线斜率小于0且切线的倾斜程度越来越大,即烟花达到最高点后,以越来越大的速度下降,直到落地．课时跟踪检测（三） 几个常用函数的导数、基本初等函数的导数公式及导数的运算法则一、题组对点训练对点练一 利用导数公式求函数的导数 1．给出下列结论：①(cos x )′＝sin x ；②⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π3′＝cos π3；③若y ＝1x 2,则y ′＝－1x ；④⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x ′＝12x x.其中正确的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选B 因为(cos x )′＝－sin x ,所以①错误．sin π3＝32,而⎝ ⎛⎭⎪⎫32′＝0,所以②错误.⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2′＝0－(x 2)′x 4＝－2x x 4＝－2x 3,所以③错误.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x ′＝－0－(x 12)′x ＝12x －12x ＝12x －32＝12x x,所以④正确． 2．已知f (x )＝x α(α∈Q *),若f ′(1)＝14,则α等于( )A ．13B ．12C ．18D ．14 解析：选D ∵f (x )＝x α,∴f ′(x )＝αx α－1.∴f ′(1)＝α＝14.对点练二 利用导数的运算法则求导数 3．函数y ＝sin x ·cos x 的导数是( ) A ．y ′＝cos 2x ＋sin 2x B ．y ′＝cos 2x －sin 2x C ．y ′＝2cos x ·sin xD ．y ′＝cos x ·sin x解析：选B y ′＝(sin x ·cos x )′＝cos x ·cos x ＋sin x ·(－sin x )＝cos 2x －sin 2x . 4．函数y ＝x 2x ＋3的导数为________．解析：y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2x ＋3′＝(x 2)′(x ＋3)－x 2(x ＋3)′(x ＋3)2＝2x (x ＋3)－x 2(x ＋3)2＝x 2＋6x (x ＋3)2.答案：x 2＋6x (x ＋3)25．已知函数f (x )＝ax ln x ,x ∈(0,＋∞),其中a 为实数,f ′(x )为f (x )的导函数．若f ′(1)＝3,则a 的值为________．解析：f ′(x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln x ＋x ·1x ＝a (1＋ln x )．由于f ′(1)＝a (1＋ln 1)＝a ,又f ′(1)＝3, 所以a ＝3.答案：36．求下列函数的导数．(1)y ＝sin x －2x 2；(2)y ＝cos x ·ln x ；(3)y ＝exsin x.解：(1)y ′＝(sin x －2x 2)′＝(sin x )′－(2x 2)′＝cos x －4x .(2)y ′＝(cos x ·ln x )′＝(cos x )′·ln x ＋cos x ·(ln x )′＝－sin x ·ln x ＋cos xx.(3)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫e x sin x ′＝(e x )′·sin x －e x ·(sin x )′sin 2x ＝e x ·sin x －e x ·cos x sin 2x ＝e x(sin x －cos x )sin 2x. 对点练三 利用导数公式研究曲线的切线问题7．(2019·全国卷Ⅰ)曲线y ＝3(x 2＋x )e x在点(0,0)处的切线方程为________． 解析：∵y ′＝3(2x ＋1)e x ＋3(x 2＋x )e x ＝e x (3x 2＋9x ＋3), ∴切线斜率k ＝e 0×3＝3,∴切线方程为y ＝3x . 答案：y ＝3x8．若曲线f (x )＝x ·sin x ＋1在x ＝π2处的切线与直线ax ＋2y ＋1＝0互相垂直,则实数a ＝________.解析：因为f ′(x )＝sin x ＋x cos x ,所以f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝sin π2＋π2cos π2＝1.又直线ax ＋2y ＋1＝0的斜率为－a2,所以根据题意得1×⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2＝－1,解得a ＝2.答案：29．已知a ∈R,设函数f (x )＝ax －ln x 的图象在点(1,f (1))处的切线为l ,则l 在y 轴上的截距为________．解析：因为f ′(x )＝a －1x,所以f ′(1)＝a －1,又f (1)＝a ,所以切线l 的方程为y －a＝(a －1)(x －1),令x ＝0,得y ＝1.答案：110．在平面直角坐标系xOy 中,点P 在曲线C ：y ＝x 3－10x ＋13上,且在第一象限内,已知曲线C 在点P 处的切线的斜率为2,求点P 的坐标．解：设点P 的坐标为(x 0,y 0),因为y ′＝3x 2－10,所以3x 20－10＝2,解得x 0＝±2.又点P 在第一象限内,所以x 0＝2,又点P 在曲线C 上,所以y 0＝23－10×2＋13＝1,所以点P 的坐标为(2,1)．二、综合过关训练1．f 0(x )＝sin x ,f 1(x )＝f ′0(x ),f 2(x )＝f ′1(x ),…,f n ＋1(x )＝f ′n (x ),n ∈N,则f 2 019(x )＝( )A ．sin xB ．－sin xC ．cos xD ．－cos x解析：选D 因为f 1(x )＝(sin x )′＝cos x ,f 2(x )＝(cos x )′＝－sin x ,f 3(x )＝(－sin x )′＝－cos x ,f 4(x )＝(－cos x )′＝sin x ,f 5(x )＝(sin x )′＝cos x ,所以循环周期为4,因此f 2 019(x )＝f 3(x )＝－cos x .2．已知曲线y ＝x 24－3ln x 的一条切线的斜率为12,则切点的横坐标为( )A ．3B ．2C ．1D ．12解析：选A 因为y ′＝x 2－3x ,所以根据导数的几何意义可知,x 2－3x ＝12,解得x ＝3(x ＝－2不合题意,舍去)．3．曲线y ＝sin x sin x ＋cos x －12在点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0处的切线的斜率为( )A ．－12B ．12C ．－22D ．22解析：选B y ′＝cos x (sin x ＋cos x )－sin x (cos x －sin x )(sin x ＋cos x )2＝11＋sin 2x ,把x ＝π4代入得导数值为12,即为所求切线的斜率．4．已知直线y ＝3x ＋1与曲线y ＝ax 3＋3相切,则a 的值为( ) A ．1 B ．±1 C ．－1D ．－2解析：选A 设切点为(x 0,y 0),则y 0＝3x 0＋1,且y 0＝ax 30＋3,所以3x 0＋1＝ax 30＋3…①.对y ＝ax 3＋3求导得y ′＝3ax 2,则3ax 20＝3,ax 20＝1…②,由①②可得x 0＝1,所以a ＝1.5．设a 为实数,函数f (x )＝x 3＋ax 2＋(a －3)x 的导函数为f ′(x ),且f ′(x )是偶函数,则曲线y ＝f (x )在点(2,f (2))处的切线方程为____________．解析：f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋a －3, ∵f ′(x )是偶函数,∴a ＝0, ∴f (x )＝x 3－3x ,f ′(x )＝3x 2－3, ∴f (2)＝8－6＝2,f ′(2)＝9,∴曲线y ＝f (x )在点(2,f (2))处的切线方程为y －2＝9(x －2), 即9x －y －16＝0. 答案：9x －y －16＝06．设f (x )＝x (x ＋1)(x ＋2)…(x ＋n ),则f ′(0)＝________. 解析：令g (x )＝(x ＋1)(x ＋2)…(x ＋n ),则f (x )＝xg (x ), 求导得f ′(x )＝x ′g (x )＋xg ′(x )＝g (x )＋xg ′(x ), 所以f ′(0)＝g (0)＋0×g ′(0)＝g (0)＝1×2×3×…×n . 答案：1×2×3×…×n7．已知曲线y ＝x ＋ln x 在点(1,1)处的切线与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切,则a ＝________.解析：法一：∵y ＝x ＋ln x , ∴y ′＝1＋1x,y ′|x ＝1＝2.∴曲线y ＝x ＋ln x 在点(1,1)处的切线方程为y －1＝2(x －1),即y ＝2x －1. ∵y ＝2x －1与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切,∴a ≠0(当a ＝0时曲线变为y ＝2x ＋1与已知直线平行)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －1，y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1，消去y ,得ax 2＋ax ＋2＝0.由Δ＝a 2－8a ＝0,解得a ＝8. 法二：同法一得切线方程为y ＝2x －1.设y ＝2x －1与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切于点(x 0,ax 20＋(a ＋2)x 0＋1)． ∵y ′＝2ax ＋(a ＋2), ∴y ′|x ＝x 0＝2ax 0＋(a ＋2)．由⎩⎪⎨⎪⎧2ax 0＋(a ＋2)＝2，ax 20＋(a ＋2)x 0＋1＝2x 0－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－12，a ＝8.答案：88．设f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋1的导数f ′(x )满足f ′(1)＝2a ,f ′(2)＝－b ,其中常数a ,b ∈R.求曲线y ＝f (x )在点(1,f (1))处的切线方程．解：因为f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋1,所以f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b . 令x ＝1,得f ′(1)＝3＋2a ＋b , 又f ′(1)＝2a,3＋2a ＋b ＝2a , 解得b ＝－3,令x ＝2得f ′(2)＝12＋4a ＋b , 又f ′(2)＝－b , 所以12＋4a ＋b ＝－b , 解得a ＝－32.则f (x )＝x 3－32x 2－3x ＋1,从而f (1)＝－52.又f ′(1)＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝－3, 所以曲线y ＝f (x )在点(1,f (1))处的切线方程为y －⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝－3(x －1), 即6x ＋2y －1＝0.9．已知两条直线y ＝sin x ,y ＝cos x ,是否存在这两条曲线的一个公共点,使在这一点处,两条曲线的切线互相垂直？并说明理由．解：不存在．由于y ＝sin x ,y ＝cos x ,设两条曲线的一个公共点为P (x 0,y 0),所以两条曲线在P (x 0,y 0)处的斜率分别为k 1＝y ′|x ＝x 0＝cos x 0,k 2＝y ′|x ＝x 0＝－sinx 0.若使两条切线互相垂直,必须使cos x 0·(－sin x 0)＝－1,即sin x 0·cos x 0＝1,也就是sin 2x 0＝2,这是不可能的,所以两条曲线不存在公共点,使在这一点处的两条切线互相垂直．课时跟踪检测（四） 复合函数求导及应用一、题组对点训练对点练一 简单复合函数求导问题 1．y ＝cos 3x 的导数是( ) A ．y ′＝－3cos 2x sin x B ．y ′＝－3cos 2x C ．y ′＝－3sin 2xD ．y ′＝－3cos x sin 2x解析：选A 令t ＝cos x ,则y ＝t 3,y ′＝y t ′·t x ′＝3t 2·(－sin x )＝－3cos 2x sin x . 2．求下列函数的导数． (1)y ＝ln(e x ＋x 2)； (2)y ＝102x ＋3；(3)y ＝sin 4x ＋cos 4x .解：(1)令u ＝e x ＋x 2,则y ＝ln u .∴y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝1u ·(e x ＋x 2)′＝1e x ＋x 2·(e x＋2x )＝e x＋2x e x ＋x2.(2)令u ＝2x ＋3,则y ＝10u,∴y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝10u·ln 10·(2x ＋3)′＝2×102x ＋3ln10.(3)y ＝sin 4x ＋cos 4x ＝(sin 2x ＋cos 2x )2－2sin 2x ·cos 2x ＝1－12sin 22x ＝1－14(1－cos 4x )＝34＋14cos 4x . 所以y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫34＋14cos 4x ′＝－sin 4x . 对点练二 复合函数与导数运算法则的综合应用 3．函数y ＝x 2cos 2x 的导数为( ) A ．y ′＝2x cos 2x －x 2sin 2x B ．y ′＝2x cos 2x －2x 2sin 2x C ．y ′＝x 2cos 2x －2x sin 2xD ．y ′＝2x cos 2x ＋2x 2sin 2x解析：选B y ′＝(x 2)′cos 2x ＋x 2(cos 2x )′＝2x cos 2x ＋x 2(－sin 2x )·(2x )′＝2x cos 2x －2x 2sin 2x .4．函数y ＝x ln(2x ＋5)的导数为( ) A ．ln(2x ＋5)－x2x ＋5B ．ln(2x ＋5)＋2x2x ＋5C ．2x ln(2x ＋5)D ．x2x ＋5解析：选 B y ′＝[x ln(2x ＋5)]′＝x ′ln(2x ＋5)＋x [ln(2x ＋5)]′＝ln(2x ＋5)＋x ·12x ＋5·(2x ＋5)′＝ln(2x ＋5)＋2x 2x ＋5. 5．函数y ＝sin 2x cos 3x 的导数是________． 解析：∵y ＝sin 2x cos 3x ,∴y ′＝(sin 2x )′cos 3x ＋sin 2x (cos 3x )′＝2cos 2x cos 3x －3sin 2x sin 3x . 答案：2cos 2x cos 3x －3sin 2x sin 3x6．已知f (x )＝e πxsin πx ,求f ′(x )及f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫12.解：∵f (x )＝e πxsin πx ,∴f ′(x )＝πe πxsin πx ＋πe πxcos πx ＝πe πx(sin πx ＋cos πx )． f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝πe π2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π2＋cos π2＝πe 2π. 对点练三 复合函数导数的综合问题7．设曲线y ＝ax －ln(x ＋1)在点(0,0)处的切线方程为y ＝2x ,则a ＝( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析：选D 令y ＝ax －ln(x ＋1),则f ′(x )＝a －1x ＋1.所以f (0)＝0,且f ′(0)＝2.联立解得a ＝3.8．曲线y ＝ln(2x －1)上的点到直线2x －y ＋3＝0的最短距离是( ) A. 5 B ．2 5 C ．3 5D ．0解析：选A 设曲线y ＝ln(2x －1)在点(x 0,y 0)处的切线与直线2x －y ＋3＝0平行． ∵y ′＝22x －1,∴y ′|x ＝x 0＝22x 0－1＝2,解得x 0＝1,∴y 0＝ln(2－1)＝0,即切点坐标为(1,0)．∴切点(1,0)到直线2x －y ＋3＝0的距离为d ＝|2－0＋3|4＋1＝5,即曲线y ＝ln(2x －1)上的点到直线2x －y ＋3＝0的最短距离是 5.9．放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素,其含量不断减少,这种现象称为衰变．假设在放射性同位素铯137的衰变过程中,其含量M (单位：太贝克)与时间t (单位：年)满足函数关系：M (t )＝M 02－t30,其中M 0为t ＝0时铯137的含量．已知t ＝30时,铯137含量的变化率是－10ln 2(太贝克/年),则M (60)＝( )A ．5太贝克B ．75ln 2太贝克C ．150ln 2 太贝克D ．150太贝克解析：选D M ′(t )＝－130ln 2×M 02-t30,由M ′(30)＝－130ln 2×M 02-3030＝－10 ln 2,解得M 0＝600, 所以M (t )＝600×2-t 30,所以t ＝60时,铯137的含量为M (60)＝600×2-6030＝600×14＝150(太贝克)．二、综合过关训练1．函数y ＝(2 019－8x )3的导数y ′＝( ) A ．3(2 019－8x )2B ．－24xC ．－24(2 019－8x )2D ．24(2 019－8x 2)解析：选C y ′＝3(2 019－8x )2×(2 019－8x )′＝3(2 019－8x )2×(－8)＝－24(2 019－8x )2.2．函数y ＝12(e x ＋e －x)的导数是( )A ．12(e x －e －x) B ．12(e x ＋e －x) C ．e x－e －xD ．e x＋e －x解析：选A y ′＝12(e x ＋e －x )′＝12(e x －e －x)．3．已知直线y ＝x ＋1与曲线y ＝ln(x ＋a )相切,则a 的值为( ) A ．1 B ．2 C ．－1D ．－2解析：选B 设切点坐标是(x 0,x 0＋1),依题意有⎩⎪⎨⎪⎧1x 0＋a＝1，x 0＋1＝ln (x 0＋a )，由此得x 0＋1＝0,x 0＝－1,a ＝2.4．函数y ＝ln ex1＋ex 在x ＝0处的导数为________．解析：y ＝ln e x1＋e x ＝ln e x －ln(1＋e x )＝x －ln(1＋e x),则y ′＝1－e x1＋e x .当x ＝0时,y ′＝1－11＋1＝12. 答案：125．设曲线y ＝e ax在点(0,1)处的切线与直线x ＋2y ＋1＝0垂直,则a ＝________. 解析：令y ＝f (x ),则曲线y ＝e ax在点(0,1)处的切线的斜率为f ′(0),又切线与直线x ＋2y ＋1＝0垂直,所以f ′(0)＝2.因为f (x )＝e ax ,所以f ′(x )＝(e ax )′＝e ax ·(ax )′＝a e ax,所以f ′(0)＝a e 0＝a ,故a ＝2.答案：26．f (x )＝ax 2－1且f ′(1)＝2,则a 的值为________．解析：∵f (x )＝(ax 2－1)12,∴f ′(x )＝12(ax 2－1)－12·(ax 2－1)′＝ax ax 2－1 .又f ′(1)＝2,∴aa －1＝2,∴a ＝2. 答案：27．求函数y ＝a sin x3＋b cos 22x (a ,b 是实常数)的导数．解：∵⎝⎛⎭⎪⎫a sin x 3′＝a cos x 3·⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3′＝a 3cos x3,又(cos 22x )′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋12cos 4x ′＝12(－sin 4x )×4＝－2sin 4x , ∴y ＝a sin x3＋b cos 22x 的导数为y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a sin x 3′＋b (cos 22x )′＝a 3cos x 3－2b sin 4x .8．曲线y ＝e 2xcos 3x 在(0,1)处的切线与l 的距离为5,求l 的方程． 解：由题意知y ′＝(e 2x)′cos 3x ＋e 2x(cos 3x )′ ＝2e 2x cos 3x ＋3(－sin 3x )·e 2x＝2e 2x cos 3x －3e 2xsin 3x ,所以曲线在(0,1)处的切线的斜率为k ＝y ′|x ＝0＝2. 所以该切线方程为y －1＝2x ,即y ＝2x ＋1. 设l 的方程为y ＝2x ＋m ,则d ＝|m －1|5＝ 5.解得m ＝－4或m ＝6.当m ＝－4时,l 的方程为y ＝2x －4;当m＝6时,l的方程为y＝2x＋6.综上,可知l的方程为y＝2x－4或y＝2x＋6.课时跟踪检测（五）函数的单调性与导数一、题组对点训练对点练一函数与导函数图象间的关系1．f′(x)是函数f(x)的导函数,y＝f′(x)的图象如图所示,则y＝f(x)的图象最有可能是下列选项中的( )解析：选C 题目所给出的是导函数的图象,导函数的图象在x轴的上方,表示导函数大于零,原函数的图象呈上升趋势；导函数的图象在x轴的下方,表示导函数小于零,原函数的图象呈下降趋势．由x∈(－∞,0)时导函数图象在x轴的上方,表示在此区间上,原函数的图象呈上升趋势,可排除B、D两选项．由x∈(0,2)时导函数图象在x轴的下方,表示在此区间上,原函数的图象呈下降趋势,可排除A选项．故选C.2．若函数y＝f′(x)在区间(x1,x2)内是单调递减函数,则函数y＝f(x)在区间(x1,x2)内的图象可以是( )解析：选B 选项A中,f′(x)>0且为常数函数；选项C中,f′(x)>0且f′(x)在(x1,x2)内单调递增；选项D中,f′(x)>0且f′(x)在(x1,x2)内先增后减．故选B.3．如图所示的是函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象,则在[－2,5]上函数f(x)的递增区间为________．解析：因为在(－1,2)和(4,5]上f′(x)>0,所以f(x)在[－2,5]上的单调递增区间为(－1,2)和(4,5]．答案：(－1,2)和(4,5]对点练二判断(证明)函数的单调性、求函数的单调区间4．函数f(x)＝(x－3)e x的单调递增区间是( )A．(－∞,2)B．(0,3)C．(1,4) D．(2,＋∞)解析：选D f′(x)＝(x－3)′e x＋(x－3)(e x)′＝e x(x－2)．由f′(x)>0得x>2,∴f(x)的单调递增区间是(2,＋∞)．5．函数f (x )＝2x 2－ln x 的递增区间是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0和⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ D.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－12和⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12解析：选C 由题意得,函数的定义域为(0,＋∞),f ′(x )＝4x －1x ＝4x 2－1x＝(2x ＋1)(2x －1)x ,令f ′(x )＝(2x ＋1)(2x －1)x >0,解得x >12,故函数f (x )＝2x 2－ln x 的递增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞.故选C. 6．已知f (x )＝ax 3＋bx 2＋c 的图象经过点(0,1),且在x ＝1处的切线方程是y ＝x . (1)求y ＝f (x )的解析式； (2)求y ＝f (x )的单调递增区间．解：(1)∵f (x )＝ax 3＋bx 2＋c 的图象经过点(0,1),∴c ＝1,f ′(x )＝3ax 2＋2bx ,f ′(1)＝3a ＋2b ＝1,切点为(1,1),则f (x )＝ax 3＋bx 2＋c 的图象经过点(1,1),得a ＋b ＋c ＝1,解得a ＝1,b ＝－1,即f (x )＝x 3－x 2＋1.(2)由f ′(x )＝3x 2－2x >0得x <0或x >23,所以单调递增区间为(－∞,0)和⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞.对点练三 与参数有关的函数单调性问题7．若函数f (x )＝x －a x 在[1,4]上单调递减,则实数a 的最小值为( ) A ．1 B ．2 C ．4D ．5解析：选C 函数f (x )＝x －a x 在[1,4]上单调递减,只需f ′(x )≤0在[1,4]上恒成立即可,令f ′(x )＝1－12ax －12≤0,解得a ≥2x ,则a ≥4.∴a min ＝4.8．若函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 的单调递减区间为(－1,2),则b ＝________,c ＝________.解析：f ′(x )＝3x 2＋2bx ＋c ,由题意知－1<x <2是不等式f ′(x )<0的解,即－1,2是方程3x 2＋2bx ＋c ＝0的两个根,把－1,2分别代入方程,解得b ＝－32,c ＝－6.答案：－32－69．已知函数f (x )＝(x －2)e x＋a (x －1)2.讨论f (x )的单调性． 解：f ′(x )＝(x －1)e x＋2a (x －1)＝(x －1)·(e x＋2a )．(1)设a ≥0,则当x ∈(－∞,1)时,f ′(x )<0；当x ∈(1,＋∞)时,f ′(x )>0.所以f (x )在(－∞,1)上单调递减,在(1,＋∞)上单调递增．(2)设a <0,由f ′(x )＝0得x ＝1或x ＝ln(－2a )．①若a ＝－e 2,则f ′(x )＝(x －1)(e x－e),所以f (x )在(－∞,＋∞)上单调递增；②若－e2<a <0,则ln(－2a )<1,故当x ∈(－∞,ln(－2a ))∪(1,＋∞)时,f ′(x )>0；当x∈(ln(－2a ),1)时,f ′(x )<0.所以f (x )在(－∞,ln(－2a ))∪(1,＋∞)上单调递增,在(ln(－2a ),1)上单调递减；③若a <－e2,则ln(－2a )>1,故当x ∈(－∞,1)∪(ln(－2a ),＋∞)时,f ′(x )>0；当x ∈(1,ln(－2a ))时,f ′(x )<0.所以f (x )在(－∞,1)∪(ln(－2a ),＋∞)上单调递增,在(1,ln(－2a ))上单调递减．二、综合过关训练1．若函数e xf (x )(e ＝2.718 28…是自然对数的底数)在f (x )的定义域上单调递增,则称函数f (x )具有M 性质．下列函数中具有M 性质的是( )A ．f (x )＝2－xB ．f (x )＝x 2C ．f (x )＝3－xD ．f (x )＝cos x解析：选A 对于选项A,f (x )＝2－x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ,则e x f (x )＝e x·⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫e 2x ,∵e 2＞1,∴e x f (x )在R 上单调递增,∴f (x )＝2－x具有M 性质．对于选项B,f (x )＝x 2,e xf (x )＝e x x 2,[e xf (x )]′＝e x(x 2＋2x ),令e x (x 2＋2x )＞0,得x ＞0或x ＜－2；令e x (x 2＋2x )＜0,得－2＜x ＜0,∴函数e xf (x )在(－∞,－2)和(0,＋∞)上单调递增,在(－2,0)上单调递减,∴f (x )＝x 2不具有M 性质．对于选项C,f (x )＝3－x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ,则e x f (x )＝e x·⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫e 3x ,∵e3＜1, ∴y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫e 3x在R 上单调递减,∴f (x )＝3－x不具有M 性质．对于选项D,f (x )＝cos x ,e xf (x )＝e xcos x ,则[e x f (x )]′＝e x (cos x －sin x )≥0在R 上不恒成立,故e x f (x )＝e xcos x 在R 上不是单调递增的,∴f (x )＝cos x 不具有M 性质．故选A.2．若函数f (x )＝x －eln x,0<a <e<b ,则下列说法一定正确的是( ) A ．f (a )<f (b ) B ．f (a )>f (b ) C ．f (a )>f (e)D ．f (e)>f (b )解析：选C f ′(x )＝1－e x ＝x －ex,x >0,令f ′(x )＝0,得x ＝e,f (x )在(0,e)上为减函数,在(e,＋∞)上为增函数,所以f (a )>f (e),f (b )>f (e),f (a )与f (b )的大小不确定．3．设f ′(x )是函数f (x )的导函数,将y ＝f (x )和y ＝f ′(x )的图象画在同一直角坐标系中,不可能正确的是( )解析：选D 对于选项A,若曲线C 1为y ＝f (x )的图象,曲线C 2为y ＝f ′(x )的图象,则函数y ＝f (x )在(－∞,0)内是减函数,从而在(－∞,0)内有f ′(x )<0；y ＝f (x )在(0,＋∞)内是增函数,从而在(0,＋∞)内有f ′(x )>0.因此,选项A 可能正确．同理,选项B 、C 也可能正确．对于选项D,若曲线C 1为y ＝f ′(x )的图象,则y ＝f (x )在(－∞,＋∞)内应为增函数,与C 2不相符；若曲线C 2为y ＝f ′(x )的图象,则y ＝f (x )在(－∞,＋∞)内应为减函数,与C 1不相符．因此,选项D 不可能正确．4．设f (x ),g (x )是定义在R 上的恒大于0的可导函数,且f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )<0,则当a <x <b 时有( )A ．f (x )g (x )>f (b )g (b )B ．f (x )g (a )>f (a )g (x )C ．f (x )g (b )>f (b )g (x )D ．f (x )g (x )>f (a )g (a )解析：选C 因为⎣⎢⎡⎦⎥⎤f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2,又因为f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )<0,所以f (x )g (x )在R 上为减函数．又因为a <x <b ,所以f (a )g (a )>f (x )g (x )>f (b )g (b ),又因为f (x )>0,g (x )>0,所以f (x )g (b )>f (b )g (x )．5．(2019·北京高考)设函数f (x )＝e x ＋a e －x(a 为常数)．若f (x )为奇函数,则a ＝________；若f (x )是R 上的增函数,则a 的取值范围是________．解析：∵f (x )＝e x ＋a e －x(a 为常数)的定义域为R, ∴f (0)＝e 0＋a e －0＝1＋a ＝0,∴a ＝－1.∵f (x )＝e x ＋a e －x ,∴f ′(x )＝e x －a e －x ＝e x－ae x .∵f (x )是R 上的增函数,∴f ′(x )≥0在R 上恒成立, 即e x≥ae x 在R 上恒成立,∴a ≤e 2x在R 上恒成立．又e 2x>0,∴a ≤0,即a 的取值范围是(－∞,0]． 答案：－1 (－∞,0]6．如果函数f (x )＝2x 2－ln x 在定义域内的一个子区间(k －1,k ＋1)上不是单调函数,则实数k 的取值范围是________．解析：函数f (x )的定义域为(0,＋∞),f ′(x )＝4x －1x ＝4x 2－1x.由f ′(x )>0,得函数f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞；由f ′(x )<0,得函数f (x )的单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12.由于函数在区间(k －1,k ＋1)上不是单调函数,所以⎩⎪⎨⎪⎧k －1<12<k ＋1，k －1≥0.解得：1≤k <32.答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，32 7．已知函数f (x )＝x ln x .(1)求曲线f (x )在x ＝1处的切线方程；(2)讨论函数f (x )在区间(0,t ](t >0)上的单调性． 解：(1)f (x )的定义域为(0,＋∞),f ′(x )＝ln x ＋1. 曲线f (x )在x ＝1处的切线的斜率为k ＝f ′(1)＝1.把x ＝1代入f (x )＝x ln x 中得f (1)＝0,即切点坐标为(1,0)．所以曲线f (x )在x ＝1处的切线方程为y ＝x －1.(2)令f ′(x )＝1＋ln x ＝0,得x ＝1e.①当0<t <1e时,在区间(0,t ]上,f ′(x )<0,函数f (x )为减函数．②当t >1e 时,在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 上,f ′(x )<0,f (x )为减函数；在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，t 上,f ′(x )>0,f (x )为增函数．8．已知函数f (x )＝ln x ,g (x )＝12ax 2＋2x ,a ≠0.若函数h (x )＝f (x )－g (x )在[1,4]上单调递减,求a 的取值范围．解：h (x )＝ln x －12ax 2－2x ,x ∈(0,＋∞),所以h ′(x )＝1x －ax －2.因为h (x )在[1,4]上单调递减,所以x ∈[1,4]时,h ′(x )＝1x－ax －2≤0恒成立,即a ≥1x 2－2x恒成立,令G (x )＝1x 2－2x,则a ≥G (x )max .而G (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x－12－1.因为x ∈[1,4],所以1x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，1,所以G (x )max ＝－716(此时x ＝4),所以a ≥－716.当a ＝－716时,h ′(x )＝1x ＋716x －2＝16＋7x 2－32x 16x ＝(7x －4)(x －4)16x .因为x ∈[1,4],所以h ′(x )＝(7x －4)(x －4)16x ≤0,即h (x )在[1,4]上为减函数． 故实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－716，＋∞.课时跟踪检测（六） 函数的极值与导数一、题组对点训练对点练一 求函数的极值1．函数y ＝x 3－3x 2－9x (－2<x <2)有( ) A ．极大值5,极小值－27 B ．极大值5,极小值－11 C ．极大值5,无极小值D ．极小值－27,无极大值解析：选C 由y ′＝3x 2－6x －9＝0, 得x ＝－1或x ＝3.当x <－1或x >3时,y ′>0； 当－1<x <3时,y ′<0.∴当x ＝－1时,函数有极大值5； 3∉(－2,2),故无极小值．2．已知函数f (x )＝x 3－px 2－qx 的图象与x 轴切于(1,0)点,则f (x )的极大值、极小值分别为( )A ．427,0 B ．0,427C ．－427,0D ．0,－427解析：选A f ′(x )＝3x 2－2px －q , 由f ′(1)＝0,f (1)＝0,得⎩⎪⎨⎪⎧3－2p －q ＝0，1－p －q ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝2，q ＝－1，∴f (x )＝x 3－2x 2＋x .由f ′(x )＝3x 2－4x ＋1＝0得x ＝13或x ＝1,易得当x ＝13时f (x )取极大值427,当x ＝1时f (x )取极小值0.3．已知函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ,其导函数y ＝f ′(x )的图象经过点(1,0),(2,0),如图所示,则下列说法中不正确的序号是________． ①当x ＝32时,函数取得极小值；②f (x )有两个极值点； ③当x ＝2时,函数取得极小值； ④当x ＝1时,函数取得极大值．解析：由题图知,当x ∈(－∞,1)时,f ′(x )>0；当x ∈(1,2)时,f ′(x )<0；当x ∈(2,＋∞)时,f ′(x )>0,所以f (x )有两个极值点,分别为1和2,且当x ＝2时函数取得极小值,当x ＝1时函数取得极大值．只有①不正确．答案：①对点练二 已知函数的极值求参数4．函数f (x )＝ax 3＋bx 在x ＝1处有极值－2,则a ,b 的值分别为( )A ．1,－3B ．1,3C ．－1,3D ．－1,－3解析：选A f ′(x )＝3ax 2＋b , 由题意知f ′(1)＝0,f (1)＝－2,∴⎩⎪⎨⎪⎧3a ＋b ＝0，a ＋b ＝－2，∴a ＝1,b ＝－3.5．若函数f (x )＝x 2－2bx ＋3a 在区间(0,1)内有极小值,则实数b 的取值范围是( ) A ．b <1 B ．b >1 C ．0<b <1 D ．b <12解析：选C f ′(x )＝2x －2b ＝2(x －b ),令f ′(x )＝0,解得x ＝b ,由于函数f (x )在区间(0,1)内有极小值,则有0<b <1.当0<x <b 时,f ′(x )<0；当b <x <1时,f ′(x )>0,符合题意．所以实数b 的取值范围是0<b <1.6．已知函数f (x )＝x 3＋3ax 2＋3(a ＋2)x ＋1既有极大值又有极小值,则实数a 的取值范围是________．解析：f ′(x )＝3x 2＋6ax ＋3(a ＋2),∵函数f (x )既有极大值又有极小值,∴方程f ′(x )＝0有两个不相等的实根,∴Δ＝36a 2－36(a ＋2)>0.即a 2－a －2>0,解之得a >2或a <－1.答案：(－∞,－1)∪(2,＋∞) 对点练三 函数极值的综合问题7．设f (x )＝x ln x －ax 2＋(2a －1)x ,a ∈R. (1)令g (x )＝f ′(x ),求g (x )的单调区间；(2)已知f (x )在x ＝1处取得极大值,求实数a 的取值范围． 解：(1)由f ′(x )＝ln x －2ax ＋2a , 可得g (x )＝ln x －2ax ＋2a ,x ∈(0,＋∞)． 则g ′(x )＝1x －2a ＝1－2ax x.当a ≤0时,x ∈(0,＋∞)时,g ′(x )>0,函数g (x )单调递增；当a >0时,x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12a 时,g ′(x )>0,函数g (x )单调递增,x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ，＋∞时,函数g (x )单调递减．所以当a ≤0时,g (x )的单调增区间为(0,＋∞)； 当a >0时,g (x )的单调增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12a ,单调减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ，＋∞. (2)由(1)知,f ′(1)＝0.。
2020-2021学年高二数学人教A版选修2-2学案：1.1.1 变化率问题 1.1.2 导数的概念
1．1.1 变化率问题 1．1.2 导数的概念[目标] 1.理解函数平均变化率、瞬时变化率的概念.2.掌握函数平均变化率的求法.3.掌握导数的概念，会用导数的定义求简单函数在某点处的导数．[重点] 理解导数的概念．[难点] 理解导数与瞬时变化率的关系．知识点一 平均变化率[填一填]1．平均变化率的定义对于函数f (x )，当自变量x 从x 1变到x 2时，函数值从f (x 1)变到f (x 2)，则称式子f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1为函数f (x )从x 1到x 2的平均变化率．2．符号表示习惯上，自变量的改变量用Δx 表示，即Δx ＝x 2－x 1，函数值的改变量用Δy 表示，即Δy ＝f (x 2)－f (x 1)，于是平均变化率可以表示为ΔyΔx .3．平均变化率的几何意义如图所示，函数f (x )的平均变化率的几何意义是：直线AB 的斜率．事实上，k AB ＝y A －y B x A －x B ＝f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1＝ΔyΔx .根据平均变化率的几何意义，可求解有关曲线割线的斜率．[答一答]1．若函数在某区间上的平均变化率为零，能否说明此函数在此区间上的函数值都相等？提示：不能．比如，f(x)＝x2在[－2,2]上的平均变化率为0，但其图象在[－2,2]上先下降后上升，值域是[0,4]．2．一次函数f(x)＝ax＋b从x1到x2的平均变化率有什么特点？提示：一次函数的图象为直线，图象上任意两点间连线的斜率固定不变，故一次函数定义域内的任意两个自变量之间的平均变化率等于常数a.知识点二导数的概念[填一填]1．导数的定义一般地，函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率是limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0f(x0＋Δx)－f(x0)Δx，称它为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数．2．导数的符号表示用f′(x0)或y′|x＝x表示函数f(x)在x＝x0处的导数，即f′(x0)＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0f(x0＋Δx)－f(x0)Δx.[答一答]3．根据平均速度与瞬时速度的定义探究以下问题： (1)物体的平均速度能反映它在某一时刻的瞬时速度吗？ (2)如何计算物体的平均速度和瞬时速度？提示：(1)不能，物体的瞬时速度是指某一时刻的速度，而平均速度是指某一段时间或一段路程的速度．(2)平均速度：一物体的运动方程为s ＝s (t )，则它在[t 1，t 2]这个时间段内的平均速度为s (t 2)－s (t 1)t 2－t 1.瞬时速度：一物体的运动方程为s ＝s (t )，则它在t 0时刻的瞬时速度为lim Δt →0s (t 0＋Δt )－s (t 0)Δt. 4．根据函数的瞬时变化率与在某点处导数的定义，回答下列问题： (1)瞬时变化率与平均变化率的关系是什么？它们的物理意义分别是什么？(2)瞬时变化率与函数在某点处导数的关系是什么？(3)设函数f (x )在x ＝x 0处可导，则导数值与x 0，Δx 都有关吗？ 提示：(1)瞬时变化率是平均变化率在Δx 无限趋近于0时，ΔyΔx 无限趋近的值，瞬时变化率的物理意义是指物体运动的瞬时速度，平均变化率的物理意义是指物体运动的平均速度．(2)函数在某点处的瞬时变化率就是函数在此点处的导数． (3)导数是一个局部性的概念，它与函数y ＝f (x )在x 0及附近的函数值有关，与Δx 无关．1．对Δx ，Δy 的理解(1)Δx ，Δy 是一个整体符号，而不是Δ与x ，y 相乘．(2)x 1，x 2是定义域内不同的两点，因此Δx ≠0，但Δx 可正也可负；Δy ＝f (x 2)－f (x 1)是Δx ＝x 2－x 1相应的改变量，Δy 的值可正可负，也可为零，因此平均变化率可正、可负、也可为零．2．导数概念的解读(1)导数是一个局部概念，它只与函数y ＝f (x )在x ＝x 0处及其附近的函数值有关，与Δx 无关．(2)f ′(x 0)是一个常数，即当Δx →0时，存在一个常数与f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx无限接近．如果当Δx →0时，lim Δx →0ΔyΔx 不存在，则称函数f (x )在x ＝x 0处不可导．类型一 求函数的平均变化率【例1】 已知函数f (x )＝2x 2＋1. (1)求函数f (x )在[2,2.01]上的平均变化率； (2)求函数f (x )在[x 0，x 0＋Δx ]上的平均变化率．【思路分析】 先求Δx ，Δy ，再利用平均变化率的定义求解． 【解】 (1)由f (x )＝2x 2＋1， 得Δy ＝f (2.01)－f (2)＝0.080 2，Δx ＝2.01－2＝0.01，∴Δy Δx ＝0.080 20.01＝8.02. (2)∵Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)＝2(x 0＋Δx )2＋1－2x 20－1＝2Δx (2x 0＋Δx )，∴Δy Δx ＝2Δx (2x 0＋Δx )Δx＝4x 0＋2Δx .求函数平均变化率的步骤(1)求自变量的改变量Δx ＝x 2－x 1；(2)求函数值的改变量Δy ＝f (x 2)－f (x 1)；(3)求平均变化率Δy Δx ＝f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1.分别计算下列三个图象表示的函数h (t )在区间[0,3]上的平均变化率．解：对于(1)，Δh ＝h (3)－h (0)＝10－0＝10，∴Δh Δt ＝103－0＝103，即平均变化率为103.同理可以算得(2)(3)中函数h (t )在区间[0,3]上的平均变化率均为103.类型二 求瞬时速度【例2】 已知s (t )＝5t 2(s 单位：m)． (1)求t 从3 s 到3.1 s 的平均速度； (2)求t 从3 s 到3.01 s 的平均速度； (3)求t ＝3 s 时的瞬时速度．【解】 (1)当3≤t ≤3.1时，Δt ＝0.1， Δs ＝s (3.1)－s (3)＝5×(3.1)2－5×32 ＝5×(3.1－3)×(3.1＋3)，∴Δs Δt ＝5×0.1×6.10.1＝30.5(m/s)． (2)当3≤t ≤3.01时，Δt ＝0.01， Δs ＝s (3.01)－s (3)＝5×(3.01)2－5×32 ＝5×(3.01－3)×(3.01＋3)， ∴Δs Δt ＝5×0.01×6.010.01＝30.05(m/s)． (3)在t ＝3附近取一个时间段Δt ， 即3≤t ≤3＋Δt (Δt >0)，∴Δs ＝s (3＋Δt )－s (3)＝5×(3＋Δt )2－5×32 ＝5·Δt ·(6＋Δt )，∴Δs Δt ＝5Δt (6＋Δt )Δt ＝30＋5Δt . 当Δt 趋于0时，ΔsΔt 趋于30. ∴在t ＝3时的瞬时速度为30 m/s.瞬时速度即是平均速度\x\to(v )在Δt →0时的极限值，为此，要求瞬时速度，应先求出平均速度，再求\x\to(v )在Δt →0时的极限值.甲、乙两工厂经过排污治理，污水的排放流量(W )与时间(t )的关系如图所示，则治污效率较高的是甲．解析：在t 0处，虽然W 1(t 0)＝W 2(t 0)，然而W 2(t 0－Δt )<W 1(t 0－Δt )(Δt >0)，所以|W 1(t 0)－W 1(t 0－Δt )Δt |>|W 2(t 0)－W 2(t 0－Δt )Δt|， 所以在相同时间内甲比乙的平均治污效率高． 类型三 求函数在某点处的导数【例3】 (1)设函数f (x )在点x 0附近有定义，且有f (x 0＋Δx )－f (x 0)＝a Δx ＋b (Δx )2(a ，b 为常数)，则( )A ．f ′(x )＝aB ．f ′(x )＝bC ．f ′(x 0)＝aD ．f ′(x 0)＝b(2)求函数f (x )＝x 在x ＝1处的导数．【思路分析】 按导数的定义：①求Δy 与Δx ；②求ΔyΔx ；③求lim Δx →0Δy Δx .【解析】 (1)f ′(x 0)＝lim Δx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx＝lim Δx →0(a ＋b ·Δx )＝a . (2)解：由导数的定义知，函数在x ＝1处的导数f ′(1)＝lim Δx →0f (1＋Δx )－f (1)Δx ，而 f (1＋Δx )－f (1)Δx ＝1＋Δx －1Δx ＝11＋Δx ＋1， 又lim Δx →011＋Δx ＋1＝12，所以f ′(1)＝12.【答案】 (1)C (2)见解析由导数的定义知，求一个函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数的步骤如下：,(1)求函数值的改变量Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)；(2)求平均变化率Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx；(3)取极限，得导数f ′(x 0)＝lim Δx →0ΔyΔx .简认为：一差，二比，三趋近.求函数y ＝3x 2在x ＝1处的导数．解：∵Δy ＝3(1＋Δx )2－3×12＝6Δx ＋3(Δx )2， ∴ΔyΔx ＝6＋3Δx ，∴y ′|x ＝1＝lim Δx →0ΔyΔx ＝lim Δx →0(6＋3Δx )＝6.理解导数概念不到位导致出错【例4】 设函数f (x )在点x 0处可导，且f ′(x 0)已知，求下列各式的极限值．(1)lim Δx →0f (x 0－Δx )－f (x 0)Δx； (2)lim h →0f (x 0＋h )－f (x 0－h )2h. 【错解】 (1)lim Δx →0f (x 0－Δx )－f (x 0)Δx＝f ′(x 0)． (2)lim h →0f (x 0＋h )－f (x 0－h )2h＝12lim h →0f (x 0＋h )－f (x 0－h )h＝12f ′(x 0)． 【错因分析】 在导数的定义中，增量Δx 的形式是多种多样的，但不论Δx是哪种形式，Δy必须选择相对应的形式．如(1)中Δx的改变量为Δx＝x0－(x0－Δx)，(2)中Δx的改变量为2h＝(x0＋h)－(x0－h)．【正解】(1)limΔx→0f(x0－Δx)－f(x0)Δx＝－limΔx→0f(x0)－f(x0－Δx)Δx＝－f′(x0)．(2)limh→0f(x0＋h)－f(x0－h)2h＝f′(x0)．若函数f(x)在x＝a的导数为m，那么lim Δx→0f(a＋2Δx)－f(a－2Δx)Δx的值为4m.解析：limΔx→0f(a＋2Δx)－f(a－2Δx)Δx＝limΔx→0f(a＋2Δx)－f(a)＋f(a)－f(a－2Δx)Δx＝limΔx→0f(a＋2Δx)－f(a)Δx＋limΔx→0f(a)－f(a－2Δx)Δx＝2limΔx→0f(a＋2Δx)－f(a)2Δx＋2limΔx→0f(a－2Δx)－f(a)－2Δx＝2m＋2m＝4m.1．一质点的运动方程是s ＝4－2t 2，则在时间段[1,1＋Δt ]内相应的平均速度为( D )A ．2Δt ＋4B ．－2Δt ＋4C ．2Δt －4D ．－2Δt －4解析：v ＝Δs Δt ＝4－2(1＋Δt )2－4＋2×12Δt ＝－4Δt －2(Δt )2Δt＝－2Δt －4. 2．物体自由落体运动的方程为s ＝s (t )＝12gt 2(g ＝9.8 m/s 2)．若v ＝lim Δt →0s (1＋Δt )－s (1)Δt＝9.8 m/s ，那么说法正确的是( C ) A ．9.8 m/s 是在0～1 s 这段时间内的速率 B ．9.8 m/s 是从1 s 到(1＋Δt )s 这段时间内的速率 C ．9.8 m/s 是物体在t ＝1 s 这一时刻的速率D ．9.8 m/s 是物体在1 s 到(1＋Δt ) s 这段时间内的平均速率 解析：v ＝lim Δt →0s (1＋Δt )－s (1)Δt＝s ′(1)，即s (t )在t ＝1 s 时的导数值．由导数的物理意义，得9.8 m/s 是物体在t ＝1 s 这一时刻的速率．故选C.3．一物体的运动方程是s (t )＝3＋t 2，则在一小段时间[2,2.1]内相应的平均速度为4.1.解析：v ＝s (2.1)－s (2)2.1－2＝(3＋2.12)－(3＋22)0.1＝4.1. 4．如果质点按规律s ＝3t 2运动，则在t ＝3时的瞬时速度为18. 解析：v ＝lim Δt →0ΔsΔt ＝lim Δt →03(3＋Δt )2－3×32Δt＝lim Δt →0(3Δt ＋18)＝18. 5．利用导数的定义求函数f (x )＝－x 2＋3x 在x ＝2处的导数．解：由导数的定义知，函数在x＝2处的导数f′(2)＝limΔx→0 f(2＋Δx)－f(2)Δx，而f(2＋Δx)－f(2)＝－(2＋Δx)2＋3(2＋Δx)－2＝－(Δx)2－Δx，于是f′(2)＝limΔx→0－(Δx)2－ΔxΔx＝limΔx→0(－Δx－1)＝－1.莘莘学子，最重要的就是不要去看远方模糊的，而要做手边清楚的事。
高中数学选修2-2人教A版作业及测试课时作业1变化率问题导数的概念含解析
C．6 D．－6
解析：由平均速度和瞬时速度的关系可知，v＝s′(1)＝li (－3Δt－6)＝－6.
答案：D
3．某物体的运动规律是s＝s(t)，则该物体在t到t＋Δt这段时间内的平均速度是()
A. ＝ ＝
B. ＝
C. ＝
D. ＝
解析：由平均速度的定义可知，物体在t到t＋Δt这段时间内的平均速度是其位移改变量与时间改变量的比．
14．建造一栋面积为xm2的房屋需要成本y万元，y是x的函数，y＝f(x)＝ ＋ ＋0.3，求f′(100)，并解释它的实际意义．
解析：根据导数的定义，得
f′(100)＝li
＝li
＝liБайду номын сангаас
＝li
＝li
＝0.105.
f′(100)＝0.105表示当建筑面积为100 m2时，成本增加的速度为1 050元/m2，也就是说当建筑面积为100 m2时，每增加1 m2的建筑面积，成本就要增加1 050元．
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．若函数y＝f(x)＝x2－1，图象上点P(2,3)及其邻近点Q(2＋Δx,3＋Δy)，则 ＝()
A．4B．4Δx
C．4＋ΔxD．Δx
解析：∵Δy＝(2＋Δx)2－1－(22－1)＝4Δx＋(Δx)2，
∴ ＝ ＝4＋Δx.
答案：C
2．一质点运动的方程为s＝5－3t2，若一质点在时间段[1,1＋Δt]内相应的平均速度为－3Δt－6，则该质点在t＝1时的瞬时速度是()
答案：
7．已知函数y＝2x2－1的图象上一点(1,1)及其邻近一点(1＋Δx,1＋Δy)，则 等于________．
解析： ＝ ＝4＋2Δx.
答案：4＋2Δx
2020版人教A版数学选修2-2同步配套_第一章 导数及其应用 变化率问题-- 变化率问题--1.1.2 导数的概念
1+ 1
1+Δ ������
= 2, ∴f'(1)=2.
典例透析
题型一
题型二
题型三
典例透析
反思由导数的定义,我们可以得到求函数y=f(x)在点x0处的导数 的步骤:
(1)求函数值的改变量Δy=f(x0+Δx)-f(x0);
(2)求平均变化率 Δ������ = ������(������0+Δ������)-������(������0) ;
x1
到
x2
的平均变化率为
f (x 2 )-f (x 1 x 2 -x 1
)
.
习惯上用Δx 表示 x2-x1,Δy 表示 f(x2)-f(x1),则平
均变化率可表示为 ������y
������x
刻画函数
y=f(x)在区间 [x1,x2]上变化 的快慢
瞬 时 变 化 率
函数 y=f(x)在 x=x0 处的瞬时变化率是函数
函数s(t)在区间[t,t+Δt]上的平均变化率就是物体在t到t+Δt这段时
间内的平均速率, 即������
=
������ ������.
知识梳理
【做一做
1-1】
函数
y=
1 ������
在区间[2,4]上的平均变化率等于
.
解析:平均变化率 Δ������ = ������(4)-������(2) = 14-12 = − 1.
=
lim (3Δt-18)=-18,
Δ������→0
即物体的初速度v0为-18 m/s.
题型一
题型二
高中数学选修2-2课时作业4：1.1.1 变化率问题_1.1.2 导数的概念
1.1 变化率与导数1.1.1 变化率问题1.1.2 导数的概念一、基础达标1.函数y ＝f (x )在x 0到x 0＋Δx 之间的平均变化率f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx中，Δx 不可能是( ) A.大于0B.小于0C.等于0D.大于0或小于0[答案] C2.如图，函数y ＝f (x )在A ，B 两点间的平均变化率是( )A.1B.－1C.2D.－2 [答案] B[解析] Δy Δx ＝f (3)－f (1)3－1＝1－32＝－1. 3.如果某物体的运动方程为s ＝2(1－t 2) (s 的单位为m ，t 的单位为s)，那么其在1.2 s 末的瞬时速度为( )A.－4.8 m /sB.－0.88 m/sC.0.88 m /sD.4.8 m/s [答案] A[解析] 物体运动在1.2 s 末的瞬时速度即为s 在1.2处的导数，利用导数的定义即可求得.4.设函数f (x )可导，则lim Δx →0 f (1＋3Δx )－f (1)3Δx等于( )A.f ′(1)B.3f ′(1)C.13f ′(1)D.f ′(3) [答案] A[解析] lim Δx →0f (1＋3Δx )－f (1)3Δx ＝f ′(1). 5.已知函数y ＝2x＋3，当x 由2变到1.5时，函数的增量Δy ＝________. [答案] 13[解析] Δy ＝f (1.5)－f (2)＝⎝⎛⎭⎫21.5＋3－⎝⎛⎭⎫22＋3＝43－1＝13. 6.一做直线运动的物体，其位移s 与时间t 的关系是s ＝3t －t 2，则物体的初速度是________.[答案] 3[解析] v 初＝s ′|t ＝0＝lim Δt →0 s (0＋Δt )－s (0)Δt ＝lim Δt →0(3－Δt )＝3. 7.求函数f (x )＝x ＋2x在x ＝1处的导数. 解 由导数定义得Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝(1＋Δx )＋21＋Δx－3 ＝(Δx )2－Δx 1＋Δx， ∴Δy Δx ＝Δx －11＋Δx， ∴f ′(1)＝lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0 Δx －11＋Δx＝－1. 二、能力提升8.甲、乙两厂污水的排放量W 与时间t 的关系如图所示，治污效果较好的是( )A.甲B.乙C.相同D.不确定[答案] B[解析] 在t 0处，虽然W 1(t 0)＝W 2(t 0)，但是，在t 0－Δt 处，W 1(t 0－Δt )<W 2(t 0－Δt )，即⎪⎪⎪⎪⎪⎪W 1(t 0)－W 1(t 0－Δt )Δt <⎪⎪⎪⎪⎪⎪W 2(t 0)－W 2(t 0－Δt )Δt ，所以，在相同时间Δt 内，甲厂比乙厂的平均治污率小.所以乙厂治污效果较好.9.过曲线y ＝f (x )＝x 2＋1上两点P (1,2)和Q (1＋Δx,2＋Δy )作曲线的割线，当Δx ＝0.1时，割线的斜率k ＝________，当Δx ＝0.001时，割线的斜率k ＝________.[答案] 2.1 2.001[解析] ∵Δy ＝(1＋Δx )2＋1－(12＋1)＝2Δx ＋(Δx )2，∴Δy Δx＝2＋Δx ，∴割线斜率为2＋Δx ， 当Δx ＝0.1时，割线PQ 的斜率k ＝2＋0.1＝2.1.当Δx ＝0.001时，割线PQ 的斜率k ＝2＋0.001＝2.001.10.已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的导数为f ′(x )，f ′(0)>0，对于任意实数x ，有f (x )≥0，则f (1)f ′(0)的最小值为________. [答案] 2[解析] 由导数的定义，得f ′(0)＝lim Δx →0 f (Δx )－f (0)Δx＝lim Δx →0a (Δx )2＋b (Δx )＋c －c Δx ＝lim Δx →0[a ·(Δx )＋b ]＝b ＞0. 又⎩⎨⎧Δ＝b 2－4ac ≤0a >0，∴ac ≥b 24，∴c >0. ∴f (1)f ′(0)＝a ＋b ＋c b ≥b ＋2ac b ≥2b b ＝2. 11.求函数y ＝f (x )＝2x 2＋4x 在x ＝3处的导数.解 Δy ＝2(3＋Δx )2＋4(3＋Δx )－(2×32＋4×3)＝12Δx ＋2(Δx )2＋4Δx ＝2(Δx )2＋16Δx ，∴Δy Δx ＝2(Δx )2＋16Δx Δx ＝2Δx ＋16. ∴y ′|x ＝3＝lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0(2Δx ＋16)＝16.12.若函数f (x )＝ax 2＋c ，且f ′(1)＝2，求a 的值. 解 ∵f (1＋Δx )－f (1)＝a (1＋Δx )2＋c －a －c ＝a (Δx )2＋2a Δx .∴f ′(1)＝lim Δx →0 f (1＋Δx )－f (1)Δx ＝lim Δx →0a (Δx )2＋2a Δx Δx ＝lim Δx →0(a Δx ＋2a )＝2a ，即2a ＝2，∴a ＝1. 三、探究与创新13.设函数f (x )在x ＝x 0处的导数为A ，试求下列各式的值.(1)lim Δx →0 f (x 0－Δx )－f (x 0)Δx； (2)lim Δx →0f (x 0＋4Δx )－f (x 0＋5Δx )2Δx . 解 (1)原式＝lim Δx →0 f (x 0－Δx )－f (x 0)－(－Δx )＝－lim Δx →0 f (x 0－Δx )－f (x 0)－Δx＝－f ′(x 0)＝－A . (2)原式＝lim Δx →0f (x 0＋4Δx )－f (x 0)＋f (x 0)－f (x 0＋5Δx )2Δx ＝2lim Δx →0f (x 0＋4Δx )－f (x 0)4Δx －52lim Δx →0 f (x 0＋5Δx )－f (x 0)5Δx ＝2A －52A ＝－12A.。
2019高中数学 课时分层作业1 变化率问题 导数的概念 新人教A版选修2-2
课时分层作业(一) 变化率问题 导数的概念(建议用时：40分钟)[基础达标练]一、选择题1．函数f (x )＝x 2－1在区间[1，m ]上的平均变化率为3，则实数m 的值为( )A ．3B ．2C ．1D ．4B [由已知得：m 2－1－2－m －1＝3，∴m ＋1＝3，∴m ＝2.]2．一质点运动的方程为s ＝5－3t 2，若该质点在时间段[1,1＋Δt ]内相应的平均速度为－3Δt －6，则该质点在t ＝1时的瞬时速度是( )【导学号：31062006】A ．－3B ．3C ．6D ．－6D [由平均速度和瞬时速度的关系可知，v ＝s ′(1)＝lim Δt →0(－3Δt －6)＝－6.]3．若f (x )在x ＝x 0处存在导数，则lim h →0f x 0＋h －f x 0h( )A ．与x 0，h 都有关B ．仅与x 0有关，而与h 无关C ．仅与h 有关，而与x 0无关D ．以上答案都不对B [由导数的定义知，函数在x ＝x 0处的导数只与x 0有关．]4．设函数f (x )在点x 0附近有定义，且有f (x 0＋Δx )－f (x 0)＝a Δx ＋b (Δx )2(a ，b 为常数)，则( ) A ．f ′(x )＝a B ．f ′(x )＝b C ．f ′(x 0)＝a D ．f ′(x 0)＝bC [∵f ′(x 0)＝lim Δx →0f x 0＋Δx －f x 0Δx＝lim Δx →0a Δx ＋b Δx 2Δx ＝lim Δx →0(a ＋b Δx )＝a ，∴f ′(x 0)＝a .]5．已知函数f (x )＝2x 2－4的图象上一点(1，－2)及附近一点(1＋Δx ，－2＋Δy )，则Δy Δx＝( )【导学号：31062007】A ．4B ．4xC ．4＋2ΔxD ．4＋2(Δx )2C [因为Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝2(1＋Δx )2－4－(2×12－4)＝4Δx ＋2(Δx )2， 所以Δy Δx ＝4Δx ＋Δx 2Δx ＝4＋2Δx .]二、填空题6．已知函数y ＝2x＋3，当x 由2变到1.5时，函数的增量Δy ＝________.[解析] Δy ＝f (1.5)－f (2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫21.5＋3－⎝ ⎛⎭⎪⎫22＋3＝43－1＝13.[答案] 137.汽车行驶的路程s 和时间t 之间的函数图象如图113所示．在时间段[t 0，t 1]，[t 1，t 2]，[t 2，t 3]上的平均速度分别为v 1，v 2，v 3，其三者的大小关系是________.【导学号：31062008】图113[解析] ∵v 1＝s t 1－s t 0t 1－t 0＝k MA ，v 2＝s t 2－s t 1t 2－t 1＝k AB ，v 3＝s t 3－s t 2t 3－t 2＝k BC ，由图象可知：k MA <k AB <k BC ，∴v 3>v 2>v 1. [答案] v 3>v 2>v 18．一物体位移s 和时间t 的关系是s ＝2t －3t 2，则物体的初速度是__________． [解析] 物体的速度为v ＝s ′(t )， ∴s ′(t )＝lim Δt →0s t ＋Δt －s tΔt＝lim Δt →0t ＋Δt －t ＋Δt 2－2t ＋3t2Δt＝lim Δt →0 2Δt －6t Δt －3Δt 2Δt ＝2－6t .即v ＝2－6t ，所以物体的初速度是v 0＝2－6×0＝2.[答案] 2 三、解答题9．若函数f (x )＝ax 2＋c ，且f ′(1)＝2，求a 的值.【导学号：31062009】[解] ∵f (1＋Δx )－f (1)＝a (1＋Δx )2＋c －a －c ＝a (Δx )2＋2a Δx . ∴f ′(1)＝lim Δx →0f＋Δx －fΔx＝lim Δx →0a Δx2＋2a ΔxΔx＝lim Δx →0(a Δx ＋2a )＝2a ，即2a ＝2，∴a ＝1.10．一做直线运动的物体，其位移s 与时间t 的关系是s ＝3t －t 2(位移：m ；时间：s)． (1)求此物体的初速度；(2)求此物体在t ＝2时的瞬时速度； (3)求t ＝0到t ＝2时平均速度．[解] (1)初速度v 0＝lim Δt →0s Δt －sΔt ＝lim Δt →03Δt －Δt2Δt ＝lim Δt →0(3－Δt )＝3(m/s)．即物体的初速度为3 m/s. (2)v ＝lim Δt →0s＋Δt －sΔt＝lim Δt →0＋Δt －＋Δt 2－－Δt＝lim Δt →0－Δt 2－Δt Δt＝lim Δt →0(－Δt －1)＝－1(m/s)．即此物体在t ＝2时的瞬时速度为1 m/s ， 方向与初速度相反． (3)v ＝s－s 2－0＝6－4－02＝1(m/s)．即t ＝0到t ＝2时的平均速度为1 m/s.[能力提升练]1.A ，B 两机关开展节能活动，活动开始后两机关的用电量W 1(t )，W 2(t )与时间t (天)的关系如图114所示，则一定有( )图114A ．两机关节能效果一样好B ．A 机关比B 机关节能效果好C ．A 机关的用电量在[0，t 0]上的平均变化率比B 机关的用电量在[0，t 0]上的平均变化率大D ．A 机关与B 机关自节能以来用电量总是一样大B [由图可知，A ，B 两机关用电量在[0，t 0]上的平均变化率都小于0，由平均变化率的几何意义知，A 机关用电量在[0，t 0]上的平均变化率小于B 机关的平均变化率，从而A 机关比B 机关节能效果好．]2．设函数f (x )可导，则lim Δx →0f＋Δx －f3Δx等于( )【导学号：31062010】A ．f ′(1)B ．3f ′(1) C.13f ′(1) D ．f ′(3)C [lim Δx →0f＋Δx －f3Δx＝13lim Δx →0f ＋Δx －fΔx＝13f ′(1)．] 3．如图115所示，函数y ＝f (x )在[x 1，x 2]，[x 2，x 3]，[x 3，x 4]这几个区间内，平均变化率最大的一个区间是________．图115[解析] 由平均变化率的定义可知，函数y ＝f (x )在区间[x 1，x 2]，[x 2，x 3]，[x 3，x 4]上的平均变化率分别为：f x 2－f x 1x 2－x 1，f x 3－f x 2x 3－x 2，f x 4－f x 3x 4－x 3，结合图象可以发现函数y ＝f (x )的平均变化率最大的一个区间是[x 3，x 4]．[答案] [x 3，x 4]4．给出下列结论：①函数y ＝2x 2－1在x ＝3处的导数为11；②若物体的运动规律是s ＝f (t )，则物体在时刻t 0的瞬时速度v 等于f ′(t 0)；③物体做直线运动时，它的运动规律可以用函数v ＝v (t )描述，其中v 表示瞬时速度，t 表示时间，那么该物体运动的加速度为a ＝lim Δt →0v t ＋Δt －v tΔt.其中正确的结论序号为____．[解析] ①函数y ＝2x 2－1在x ＝3处的导数为12，故①错，根据变化率在物理学中的含义知②③正确． [答案] ②③5．若一物体运动方程如下：(位移：m ，时间：s)s ＝⎩⎪⎨⎪⎧3t 2＋t ， ①29＋t －2t ＜， ②【导学号：31062011】求：(1)物体在t ∈[3,5]内的平均速度． (2)物体的初速度v 0.(3)物体在t ＝1时的瞬时速度．[解] (1)因为物体在t ∈[3,5]内的时间变化量为Δt ＝5－3＝2， 物体在t ∈[3,5]内的位移变化量为Δs ＝3×52＋2－(3×32＋2)＝3×(52－32)＝48，所以物体在t ∈[3,5]上的平均速度为Δs Δt ＝482＝24(m/s)．(2)求物体的初速度v 0即求物体在t ＝0时的瞬时速度． 因为物体在t ＝0附近的平均变化率为 Δs Δt ＝f ＋Δt －fΔt＝29＋＋Δt －3]2－29－－2Δt＝3Δt －18.所以物体在t ＝0处的瞬时变化率为 li m Δt →0 ΔsΔt ＝li m Δt →0 (3Δt －18)＝－18. 即物体的初速度为－18 m/s.(3)物体在t ＝1时的瞬时速度即为函数在t ＝1处的瞬时变化率． 因为物体在t ＝1附近的平均变化率为Δs Δt ＝f＋Δt －fΔt＝29＋＋Δt －3]2－29－－2Δt＝3Δt －12.所以物体在t ＝1处的瞬时变化率为lim Δt →0 ΔsΔt ＝lim Δt →0 (3Δt －12)＝－12.即物体在t ＝1时的速度为－12 m/s.。
高中数学 1.1.11.1.2变化率问题、导数的概念课时作业 新人教A版选修22
1.1.1 变化率问题 1.1.2 导数的概念课时目标 1.了解导数概念的实际背景.2.会求函数在某一点附近的平均变化率.3.会利用导数的定义求函数在某点处的导数．1．函数的变化率定义实例平均变化率函数y ＝f (x )从x 1到x 2的平均变化率为________，简记作：Δy Δx. ①平均速度；②曲线割线的斜率．瞬时 变化率函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率是函数f (x )从x 0到x 0＋Δx 的平均变化率在Δx →0时的极限，即__________＝lim Δx →0 Δy Δx . ①瞬时速度：物体在某一时刻的速度 ②切线斜率.2.导数的概念：一般地，函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率是lim Δx →0 ΔyΔx＝____________，我们称它为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的________，记为____________，即f ′(x 0)＝li m Δx →0 ΔyΔx ______.一、选择题1．当自变量从x 0变到x 1时，函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数( ) A ．在[x 0，x 1]上的平均变化率 B ．在x 0处的变化率 C ．在x 1处的变化率 D ．以上都不对2．已知函数f (x )＝2x 2－1的图象上一点(1,1)及邻近一点(1＋Δx ，f (1＋Δx ))，则Δy Δx等于( )A ．4B ．4＋2ΔxC ．4＋2(Δx )2D ．4x3．如图，函数y ＝f (x )在A ，B 两点间的平均变化率是( )A ．1B ．－1C ．2D ．－24．设f (x )在x ＝x 0处可导，则li m Δx →0f (x 0－Δx )－f (x 0)Δx等于( )A ．－f ′(x 0)B ．f ′(－x 0)C ．f ′(x 0)D ．2f ′(x 0)5．已知f (x )＝－x 2＋10，则f (x )在x ＝32处的瞬时变化率是( )A ．3B ．－3C ．2D ．－26．一物体的运动方程是s ＝12at 2(a 为常数)，则该物体在t ＝t 0时的瞬时速度是( )A ．at 0B ．－at 0 C.12at 0 D ．2at 0 题 号 1 2 3 4 5 6 答 案 二、填空题7．已知函数y ＝f (x )＝x 2＋1，在x ＝2，Δx ＝0.1时，Δy 的值为________．8．过曲线y ＝2x上两点(0,1)，(1,2)的割线的斜率为______．9．已知物体运动的速度与时间之间的关系是：v (t )＝t 2＋2t ＋2，则在时间间隔[1,1＋Δt ]内的平均加速度是________，在t ＝1时的瞬时加速度是________． 三、解答题10．已知函数f (x )＝x 2－2x ，分别计算函数在区间[－3，－1]，[2,4]上的平均变化率．11．用导数的定义，求函数y ＝f (x )＝1x在x ＝1处的导数．能力提升12．已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的导数为f ′(x )，f ′(0)>0，对于任意实数x ，有f (x )≥0，则f (1)f ′(0)的最小值为________． 13．枪弹在枪筒中可以看作匀加速直线运动，如果它的加速度是a ＝5×105 m/s 2，枪弹从枪口射出时所用的时间为1.6×10－3s ．求枪弹射出枪口时的瞬时速度．1．做直线运动的物体，它的运动规律可以用函数s ＝s (t )描述，设Δt 为时间改变量，在t 0＋Δt 这段时间内，物体的位移(即位置)改变量是Δs ＝s (t 0＋Δt )－s (t 0)，那么位移改变量Δs 与时间改变量Δt 的比就是这段时间内物体的平均速度v ，即v ＝ΔsΔt＝s (t 0＋Δt )－s (t 0)Δt.2．由导数的定义可得求导数的一般步骤(三步法)： (1)求函数的增量Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)；(2)求平均变化率ΔyΔx；(3)取极限，得导数f ′(x 0)＝lim Δx →0 ΔyΔx. 答案知识梳理 1.定义 实例平均变化率 函数y ＝f (x )从x 1到x 2的平均变化率为f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1，简记作：Δy Δx .①平均速度； ②曲线割线的斜率．瞬时变化率函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率是函数f (x )从x 0到x 0＋Δx 的平均变化率在Δx →0时的极限， 即lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ＝lim Δx →0 Δy Δx . ①瞬时速度：物体在某一时刻的速度；②切线斜率.2.lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx 导数 f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0 lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx 作业设计 1．A2．B [∵Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝2(1＋Δx )2－1－2×12＋1＝4Δx ＋2(Δx )2，∴Δy Δx ＝4Δx ＋2(Δx )2Δx＝4＋2Δx .] 3．B [Δy Δx ＝f (3)－f (1)3－1＝1－32＝－1.]4．A [li m Δx →0 f (x 0－Δx )－f (x 0)Δx＝li m Δx →0－f (x 0)－f (x 0－Δx )Δx＝－li m Δx →0 f (x 0)－f (x 0－Δx )Δx＝－f ′(x 0)．] 5．B [∵Δy Δx ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋Δx －f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32Δx ＝－Δx －3，∴li m Δx →0 ΔyΔx＝－3.] 6．A [∵Δs Δt ＝s (t 0＋Δt )－s (t 0)Δt ＝12a Δt ＋at 0，∴li m Δt →0 ΔsΔt ＝at 0.] 7．0.41 8．1解析 由平均变化率的几何意义知k ＝2－11－0＝1.9．4＋Δt 4解析 在[1,1＋Δt ]内的平均加速度为Δv Δt ＝v (1＋Δt )－v (1)Δt＝Δt ＋4，t ＝1时的瞬时加速度是li m Δt →0 ΔvΔt ＝li m Δt →0(Δt ＋4)＝4. 10．解 函数f (x )在[－3，－1]上的平均变化率为： f (－1)－f (－3)(－1)－(－3)＝[(－1)2－2×(－1)]－[(－3)2－2×(－3)]2＝－6.函数f (x )在[2,4]上的平均变化率为： f (4)－f (2)4－2＝(42－2×4)－(22－2×2)2＝4.11．解 ∵Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝11＋Δx －11＝1－1＋Δx 1＋Δx ＝－Δx1＋Δx ·(1＋1＋Δx )∴Δy Δx ＝－11＋Δx ·(1＋1＋Δx )， ∴li m Δx →0 Δy Δx ＝li m Δx →0－11＋Δx ·(1＋1＋Δx )＝－11＋0·(1＋1＋0)＝－12，∴y ′|x ＝1＝f ′(1)＝－12.12．2解析 由导数的定义，得f ′(0)＝lim Δx →0 f (Δx )－f (0)Δx＝lim Δx →0 a (Δx )2＋b (Δx )＋c －c Δx ＝lim Δx →0[a ·(Δx )＋b ]＝b . 又⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝b 2－4ac ≤0a >0，∴ac ≥b 24，∴c >0.∴f (1)f ′(0)＝a ＋b ＋c b ≥b ＋2ac b ≥2bb＝2. 13．解 运动方程为s ＝12at 2.因为Δs ＝12a (t 0＋Δt )2－12at 20＝at 0Δt ＋12a (Δt )2，所以Δs Δt ＝at 0＋12a Δt .所以li m Δt →0 Δs Δt ＝at 0. 由题意知，a ＝5×105 m/s 2，t 0＝1.6×10－3s ，所以at 0＝8×102＝800 (m/s)．即枪弹射出枪口时的瞬时速度为800 m/s.。
1.1.1变化率问题1.1.2导数的概念课件高二下学期数学人教A版选修22
度, 写成
lim
t 0
h(2
+
t) t
-
h(2)
.
即
lim
t 0
h(2
+
t) t
-
h(2)
=
-13.1.
2. 瞬时变化率
对于函数的平均变化率
y = f (x2 ) - f (x1) ,
x
x2 - x1
由△x=x2-x1 得 x2=△x+x1,
y = f (x + x1) - f (x1) .
x
x
当△x 很小很小时, △x+x1 就接近于 x1.
我们用符号
lim
x0
表示△x
趋近于零,
用平均变化
率的极限 lim y = lim f (x + x1) - f (x1)
x x0
x0
x
表示函数在 x1 处的瞬时变化率.
3. 导数
一般地, 函数 y=f(x) 在 x=x0 处的瞬时变化率是
lim f (x0 + x) - f (x0 ) = lim y ,
x0
x
x0 x
我们称它为函数 y=f(x) 在 x=x0 处的导数, 记作 f(x0)
或 y |x=x0, 即
f
(x0) =
lim
x0
f
(x0 + x)x
f
(x0) .
问题 1 中, 运动员在时间 t=2 时的瞬时速度就是 求函数 h(x) 在 t=2 时的导数.
导数可以描述任何物体的瞬时变化.
由导数的定义可知, 求函数 y = f (x)的导数的一般方法:
人教A版·高中数学·选修2-2 第一章
高中数学 专题1.1.2 导数的概念 1.1.2 变化率问题练习(含解析)新人教A版选修2-2(2
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1.1。
2 导数的概念 1。
1。
2 变化率问题1. 在求平均变化率中，自变量的增量x ∆（ ）A ．0>∆xB ．0<∆xC ．0=∆xD ．0≠∆x 【答案】D【解析】x ∆是自变量的改变量,他可以大于零也可以小于零，但不能等于零2。
如图，函数y ＝f （x ）在A ，B 两点间的平均变化率是（ )A ．1B ．－1C ．2D ．－2【答案】B3．函数在某一点的导数是( )A ．在该点的函数值的增量与自变量的增量的比B ．一个函数C ．一个常数，不是变数D ．函数在这一点到它附近一点之间的平均变化率 【答案】 C 【解析】 由定义,f ′(x 0）是当Δx 无限趋近于0时，错误!无限趋近的常数，故应选C 。
4．将半径为R 的球加热，若球半径增加R ∆,则球的体积增量V ∆等于（ ）A ．342RR ∆π B ．R R ∆24π C ．24R π D ．R R ∆π4【答案】B【解析】33233344434)(34R R R R R R R R V ∆+∆+∆=-∆+=∆πππππ5.一物体的运动方程是s ＝错误!at 2（a 为常数),则该物体在t ＝t 0时的瞬时速度是（ )A ．at 0B ．－at 0 C.错误!at 0 D ．2at 0【答案】A【解析】∵错误!＝错误!＝错误!aΔt＋at0，∴Δt趋于0时,错误!→at0。
[2020高中数学]人教A版选修1-1教案：1.1变化率问题、1.2 导数的概念(含答案)
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§3．1.1 变化率问题
§3．1.2 导数的概念
【学情分析】：
本节的中心任务是形成导数的概念.概念形成划分为两个层次：
1、借助气球膨胀率问题,了解变化率的含义；借助高台跳水问题,明确瞬时速度的含义.
2、以速度模型为出发点,结合其他实例抽象出导数概念,使学生认识到导数就是瞬时变化率,了解导数内涵.
学生对导数概念的理解会有些困难,所以要对课本上的两个问题进行深入的探讨,以便顺利地使学生形成导数的概念.
【教学目标】：
知道了物体的运动规律,用极限来定义物体的瞬时速度,学会求物体的瞬时速度掌握导数的定义.
【教学重点】：
理解掌握物体的瞬时速度的意义和导数的定义.
【教学难点】：
理解掌握物体的瞬时速度的意义和导数的定义.。
2020最新高中数学 课时分层作业13 变化率问题 导数的概念 新人教A版选修1-1
课时分层作业(十三) 变化率问题 导数的概念(建议用时：45分钟)[基础达标练]一、选择题1.如图311，函数y ＝f (x )在A ，B 两点间的平均变化率是( )图311A ．1B ．－1C ．2D ．－2B [Δy Δx＝f 3－f 13－1＝1－32＝－1.]2．已知点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)在函数y ＝f (x )的图象上，若函数f (x )从x 1到x 2的平均变化率为3，则下面叙述正确的是 ( )A ．曲线y ＝f (x )的割线AB 的倾斜角为π6B ．曲线y ＝f (x )的割线AB 的倾斜角为π3C ．曲线y ＝f (x )的割线AB 的斜率为－ 3D ．曲线y ＝f (x )的割线AB 的斜率为－33B [函数f (x )从x 1到x 2的平均变化率就是割线AB 的斜率，所以k AB ＝3，割线AB 的倾斜角为π3，选B.]3．若质点A 按照规律s ＝3t 2运动，则在t ＝3时的瞬时速度为( ) A ．6 B ．18 C ．54 D ．81 B [因为Δs Δt ＝33＋Δt 2－3×32Δt ＝18Δt ＋3Δt2Δt＝18＋3Δt ，所以lim Δt →0ΔsΔt＝18.]4．已知物体作自由落体运动的位移方程为s (t )＝12gt 2，g ＝9.8 m/s 2，若v ＝s 1＋Δt －s 1Δt，当Δt 趋于0时，v 趋近于9.8 m/s ，则9.8 m/s 是 ( )【导学号：97792124】A ．物体从0 s 到1 s 这段时间的平均速度B ．物体从1 s 到(1＋Δt )s 这段时间的平均速度C ．物体在t ＝1 s 这一时刻的瞬时速度D ．物体在t ＝Δt s 这一时刻的瞬时速度 C [由瞬时速度的定义可知选C.]5．设函数f (x )在点x 0附近有定义，且有f (x 0＋Δx )－f (x 0)＝a Δx ＋b (Δx )2(a ，b 为常数)，则( )A ．f ′(x )＝aB ．f ′(x )＝bC ．f ′(x 0)＝aD ．f ′(x 0)＝bC [因为Δy Δx ＝a Δx ＋b Δx2Δx ＝a ＋b Δx ，所以f ′(x 0)＝lim Δx →0ΔyΔx ＝lim Δx →0(a ＋b Δx )＝a .]二、填空题6．函数y ＝f (x )的图象如图312所示，则函数f (x )在[－2，1]上的平均变化率为__________；函数f (x )在[－2,3]上的平均变化率为__________．图31223 45 [从题图中可以看出f (－2)＝－1，f (1)＝1，f (3)＝3，所以函数f (x )在[－2,1]上的平均变化率为f 1－f －21－－2＝1－－13＝23，函数f (x )在[－2,3]上平均变化率为f 3－f －23－－2＝3－－15＝45.]7．国家环保局在规定的排污达标的日期前对甲、乙两家企业进行检查，其连续检测结果如图313所示．治污效果更好的企业是(其中W 表示排污量)__________．图313甲企业 [ΔW Δt＝Wt 1－W t 2Δt，在相同的时间内，由图可知甲企业的排污量减少的多，∴甲企业的治污效果更好．]8．已知函数f (x )＝1x，则f ′(2)＝________.－14 [lim Δx →0 f 2＋Δx －f 2Δx ＝lim Δx →0 －Δx 22＋Δx Δx ＝lim Δx →0 －122＋Δx ＝－14.]三、解答题9．求y ＝x 2＋1x＋5在x ＝2处的导数.【导学号：97792125】[解] ∵Δy ＝(2＋Δx )2＋12＋Δx ＋5－⎝⎛⎭⎪⎫22＋12＋5＝4Δx ＋(Δx )2＋－Δx22＋Δx，∴Δy Δx ＝4＋Δx －14＋2Δx， ∴y ′|x ＝2＝lim Δx →0Δy Δx＝lim Δx →0 ⎝ ⎛⎭⎪⎫4＋Δx －14＋2Δx ＝4＋0－14＋2×0＝154.10．假设在生产8到30台机器的情况下，生产x 台机器的成本是c (x )＝x 3－6x 2＋15x (元)，而售出x 台的收入是r (x )＝x 3－3x 2＋12x (元)，则生产并售出10台至20台的过程中平均利润是多少元？[解] 由题意，生产并售出x 台机器所获得的利润是：L (x )＝r (x )－c (x )＝(x 3－3x 2＋12x )－(x 3－6x 2＋15x )＝3x 2－3x ，故所求的平均利润为：L ＝L 20－L 1020－10＝87010＝87(元)．[能力提升练]1．一个物体做直线运动，位移s (单位：m)与时间t (单位：s)之间的函数关系为s (t )＝5t 2＋mt ，且这一物体在2≤t ≤3这段时间内的平均速度为26 m/s ，则实数m 的值为 ( )A ．2B ．1C ．－1D ．6B [由已知，得s 3－s 23－2＝26，∴(5×32＋3m )－(5×22＋2m )＝26，解得m ＝1，选B.]2．在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h (m)与起跳后的时间t (s)存在函数关系h (t )＝－4.9t 2＋6.5t ＋10，则瞬时速度为0 m/s 的时刻是( )A.6598 s B.6549 s C.9865 s D.4965s A [设t ＝t 0时刻的瞬时速度为0 m/s ，则Δh ＝h (t 0＋Δt )－h (t 0)＝－9.8t 0·Δt ＋6.5Δt －4.9(Δt )2，∴Δh Δt ＝－9.8t 0＋6.5－4.9Δt ，则h ′(t 0)＝lim Δx →0 Δh Δt ＝－9.8t 0＋6.5，∴－9.8t 0＋6.5＝0，解得t 0＝6598s ．]3．设函数f (x )在x ＝2处的导数存在，则lim Δx →0f 2－f 2＋Δx2Δx＝( )A ．－2f ′(2)B ．2f ′(2)C ．－12f ′(2)D.12f ′(2) C [因为函数f (x )在x ＝2处的导数存在，所以lim Δx →0f 2－f 2＋Δx 2Δx ＝－12lim Δx →0f 2＋Δx －f 2Δx ＝－12f ′(2)．]4．如图314所示，水波的半径以1 m/s 的速度向外扩张，当半径为5 m 时，这水波面的圆面积的膨胀率是__________m 2/s.图31410π [圆的半径r 与时间t 的关系为r ＝t m ，则圆的面积y ＝πr 2＝πt 2，当r ＝5 m 时，t ＝5 s ，Δy ＝π(5＋Δt )2－π×52＝π(Δt )2＋10πΔtΔyΔt ＝πΔt ＋10π，所以y ′|t ＝5＝lim Δx →0 (πΔt ＋10π)＝10π.] 5．蜥蜴的体温与阳光的照射有关，已知关系式为T (t )＝120t ＋5＋15，其中T (t )(单位：℃)为蜥蜴的体温，t (单位：min)为太阳落山后的时间．(1)从t ＝0到t ＝10，蜥蜴的体温下降了多少？(2)从t ＝0到t ＝10，蜥蜴体温的平均变化率是多少？它代表什么实际意义？ (3)求T ′(5)，并解释它的实际意义.【导学号：97792126】[解] (1)T (10)－T (0)＝12010＋5＋15－⎝ ⎛⎭⎪⎫1200＋5＋15＝－16，即从t ＝0到t ＝10，蜥蜴的体温下降了16 ℃. (2)从t ＝0到t ＝10, 蜥蜴的体温的平均变化率是T 10－T 010－0＝－1610＝－1.6 ℃/min， 它表示从t ＝0到t ＝10这段时间内，蜥蜴的体温平均每分钟下降1.6 ℃.(3)因为T5＋Δt －T 5Δt ＝1205＋Δt ＋5＋15－⎝ ⎛⎭⎪⎫1205＋5＋15Δt ＝－1210＋Δt，所以当Δt 趋近于0时，－1210＋Δt 趋近于－1.2，即T ′(5)＝－1.2，它表示当t ＝5时，蜥蜴体温的下降速度为1.2 ℃/min.。
高中数学 1.1变化率与导数要点讲解 新人教a版选修2-2
变化率与导数要点讲解一、求导的基本方法——导数极限定义函数y =f (x )在点x 0的导数，正好就等于函数曲线在点M （x 0，f （x 0））的切线斜率. 我们看看这个结论是如何得出的.右边这个图，在x 0右边距离为△x 的地方另取 一点，那么曲线上相应的点M 1的坐标为（x 0+△x ，f （x 0+△x ）），我们将点M 和M 1连起来，得到一条直线，我们称之为“割线”，显然它不是我们所要的切线. 这条割线的斜率是多少呢？割线MM 1的斜率=xx f x x f x x y y ∆-∆+=--)()(000101 请注意，如果这时我们沿着曲线f （x ）移动点M 1，使它逐渐接近点M （也就是让△x 缩小，最后变成0），割线MM 1就会逐步移动，渐渐靠近切线MT ，向切线MT 逼近. 从图中可以看出，当M 1沿着曲线逐渐向M 靠拢时，MM 1的斜率也会向MT 的斜率逐渐靠近. 我们可以把上面这句话写成：当△x →0，MM 1的斜率→MT 的斜率.用式子表示： 切线MT 的斜率=xx f x x f x ∆-∆+→∆)()(lim 000 这就是导数的定义.△x 中在x 前面的那个三角形，是一个大写希腊字母，读作delta ，相当于英文字母的D.据说牛顿年轻的时候，由于先天有某种障碍缺陷，无法精通某种秘密的握手方式，结果不幸因此被一个名称中带△的兄弟会拒绝了他的入会申请.当时他当然非常失望，他后来幽默地用了这个让他毕生最伤心的字母，作为他一生最伟大的成就（微积分）的基石.他用△x 这个符号，来代表x 的微小变化.导数的定义还可以有其他形式，比如用h 替代△x ：hx f h x f x f h )()(lim )(0000-+='→ 还可以用x 替代x 0，得到： x x f x x f x f x ∆-∆+='→∆)()(lim )(0我们假设x x x =∆+0，这样，当△x →0，就相当于x →x 0，可以把式子改写成： 00)()(lim )(0x x x f x f x f x x --='→从外表看，似乎跟原来的定义不一样了，但实质是一回事.什么时候我们会用到导数的极限定义去计算导数呢？只有在考核对导数定义的理解时才会遇到，平时是不会用到的.二、导数几何意义的应用函数y ＝f(x)在点x 0处的导数的几何意义就是曲线y ＝f(x)在点P(x 0，y 0)处的切线的斜率.它把函数的导数与曲线的切线联系在一起，使导数成为函数知识与解析几何知识交汇的一个重要载体.因此，用导数解决与切线有关的问题将是高考命题的一个热点.导数几何意义的应用涉及如下几类问题.一、切线的夹角问题例1已知抛物线y ＝x 2﹣4与直线y ＝x ＋2相交于A 、B 两点，过A 、B 两点的切线分别为l 1和l 2.(1)求直线l 1与l 2的夹角.解析：由方程组⎩⎨⎧ y ＝x 2﹣4y ＝x ＋2，解得A (－2，0)，B (3，5)， 由y '＝2x ，则y '|x ＝－2＝﹣4，y '|x ＝3＝6，设两直线的夹角为θ，根据两直线的夹角公式，tan θ＝|－4－61＋(－4)×6|＝1023,所以θ＝arctan 1023. 点拨：解答此类问题分两步：第一步根据导数的几何意义求出曲线两条切线的斜率；第二步利用两条直线的夹角公式求出结果(注意两条直线的夹角公式有绝对值符号).二、两条曲线的公切线问题例2已知抛物线C 1：y ＝x 2＋2x 和C 2：y ＝－x 2＋a .如果直线l 同时是C 1和C 2的切线，称直线l 是C 1和C 2的公切线，公切线上两个切点之间的线段，称为公切线段.(1)a 取什么值时，C 1和C 2有且仅有一条公切线？写出此公切线的方程；(2)若C 1和C 2有两条公切线，证明相应的两条公切线段互相平分.解析：(1)函数y ＝x 2＋2x 的导数y '＝2x ＋2，曲线C 1在点P (x 1，x 21＋2x 1)处的切线方程是y －(x 21＋2x 1)＝ (2x 1＋2)(x －x 1)，即y ＝(2x 1＋2)x －x 21…①， 函数y ＝－x 2＋a 的导数y '＝－2x ，曲线C 2在点Q (x 2，－x 22＋a )处的切线方程是y －(－x 22＋a )＝－2x 2(x －x 2)，即y ＝－2x 2x ＋x 22＋a ，…② 如果直线l 是过P 和Q 的公切线，则①式和②式都是直线l 的方程，所以⎩⎨⎧ x 1＋1＝－x 2－x 21＝x 22＋a ，消去x 2得方程2x 21＋2x 1＋1＋a ＝0. 当判别式△＝4－4×2(1＋a )＝0时，即a ＝－12时，解得x 1＝－12，此时点P 和Q 重合， 即当a ＝－12时，C 1和C 2有且仅有一条公切线，由①得公切线的方程为y ＝x －14. （Ⅱ）证明：略点拨：解答此类问题分三步：第一步分别在两条曲线设出切点，并求出切线方程；第二步根据两个切线方程表示同切线，利用直线重合的条件建立一个二次方程；第三步根据切线的唯一性，结合判别式为零求出结果.。
高中数学新人教版选修2-2课时作业：第一章 导数及其应用1.1.1_1.1.2变化率问题导数的概念
1.1.1变化率问题1.1.2 导数的概念明目标、知重点1．了解导数概念的实际背景．2．会求函数在某一点附近的平均变化率．3．会利用导数的定义求函数在某点处的导数．1．函数的变化率定义实例平均变化率函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率为f(x2)－f(x1)x2－x1，简记作：ΔyΔx①平均速度；②曲线割线的斜率瞬时变化率函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率是函数f(x)从x0到x0＋Δx的平均变化率在Δx→0时的极限，即limΔx→0f(x0＋Δx)－f(x0)Δx＝limΔx→0ΔyΔx①瞬时速度：物体在某一时刻的速度；②切线斜率0函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率称为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0f(x0＋Δx)－f(x0)Δx.情境导学]某市2013年5月30日最高气温是33.4℃，而此前的两天5月29日和5月28日最高气温分别是24.4℃和18.6℃，短短两天时间，气温“陡增”14.8℃，闷热中的人们无不感叹：“天气热得太快了！”但是，如果我们将该市2013年4月28日最高气温3.5℃和5月28日最高气温18.6℃进行比较，可以发现二者温差为15.1℃，甚至超过了14.8℃，而人们却不会发出上述感慨，这是什么原因呢？显然原因是前者变化得“太快”，而后者变化得“缓慢”，那么在数学中怎样来刻画变量变化得快与慢呢？探究点一平均变化率的概念思考1 气球膨胀率很多人都吹过气球．回忆一下吹气球的过程，可以发现，随着气球内空气容量的增加，气球的半径增加得越来越慢．从数学的角度，如何描述这种现象呢？答 气球的半径r (单位：dm)与体积V (单位：L)之间的函数关系是r (V )＝ 33V4π，(1)当空气容量V 从0增加到1 L 时，气球半径增加了r (1)－r (0)≈0.62 (dm)，气球的平均膨胀率为r (1)－r (0)1－0≈0.62(dm/L)．(2)当空气容量V 从1 L 增加到2 L 时，气球半径增加了r (2)－r (1)≈0.16 (dm)， 气球的平均膨胀率为r (2)－r (1)2－1≈0.16(dm/L)．可以看出，随着气球体积逐渐变大，它的平均膨胀率逐渐变小了． 结论 当空气容量从V 1增加到V 2时，气球的平均膨胀率是r (V 2)－r (V 1)V 2－V 1.思考2 高台跳水人们发现，在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h (单位：m)与起跳后的时间t (单位：s)存在函数关系h (t )＝－4.9t 2＋6.5t ＋10.计算运动员在时间段①0≤t ≤0.5，②1≤t ≤2内的平均速度v ，并思考平均速度有什么作用？ 答 ①在0≤t ≤0.5这段时间里，v ＝h (0.5)－h (0)0.5－0＝4.05(m/s)；②在1≤t ≤2这段时间里，v ＝h (2)－h (1)2－1＝－8.2(m/s)．由以上计算体会到平均速度可以描述运动员在某段时间内运动的快慢．思考3 什么是平均变化率，平均变化率有何作用？思考1和思考2中的平均变化率分别表示什么？答 如果上述两个思考中的函数关系用y ＝f (x )表示，那么思考中的变化率可用式子f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1表示，我们把这个式子称为函数y ＝f (x )从x 1到x 2的平均变化率，平均变化率可以描述一个函数在某个范围内变化的快慢．思考1中的平均变化率表示在空气容量从V 1增加到V 2时，气球半径的平均增长率．思考2中的平均变化率表示在时间从t 1增加到t 2时，高度h的平均增长率．思考4 平均变化率也可以用式子Δy Δx 表示，其中Δy 、Δx 的意义是什么？ΔyΔx 有什么几何意义？答 Δx 表示x 2－x 1是相对于x 1的一个“增量”；Δy 表示f (x 2)－f (x 1)．Δx 、Δy 的值可正可负，Δy 也可以为零，但Δx 不能为零．观察图象可看出，ΔyΔx 表示曲线y ＝f (x )上两点(x 1，f (x 1))、(x 2，f (x 2))连线的斜率．小结 平均变化率为Δy Δx ＝f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1，其几何意义是：函数y ＝f (x )的图象上两点(x 1，f (x 1))、(x 2，f (x 2))连线的斜率．例1 已知函数f (x )＝2x 2＋3x －5.(1)求当x 1＝4，x 2＝5时，函数增量Δy 和平均变化率ΔyΔx ；(2)求当x 1＝4，x 2＝4.1时，函数增量Δy 和平均变化率ΔyΔx ；(3)若设x 2＝x 1＋Δx .分析(1)(2)题中的平均变化率的几何意义． 解 f (x )＝2x 2＋3x －5， ∴Δy ＝f (x 1＋Δx )－f (x 1)＝2(x 1＋Δx )2＋3(x 1＋Δx )－5－(2x 21＋3x 1－5) ＝2(Δx )2＋2x 1Δx ]＋3Δx ＝2(Δx )2＋(4x 1＋3)Δx ＝2(Δx )2＋19Δx .Δy Δx ＝2(Δx )2＋19Δx Δx ＝2Δx ＋19. (1)当x 1＝4，x 2＝5时，Δx ＝1，Δy ＝2(Δx )2＋19Δx ＝2＋19＝21，Δy Δx ＝21.(2)当x 1＝4，x 2＝4.1时Δx ＝0.1， Δy ＝2(Δx )2＋19Δx ＝0.02＋1.9＝1.92. ΔyΔx＝2Δx ＋19＝19.2. (3)在(1)题中Δy Δx ＝f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1＝f (5)－f (4)5－4，它表示抛物线上点P 0(4,39)与点P 1(5,60)连线的斜率． 在(2)题中，Δy Δx ＝f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1＝f (4.1)－f (4)4.1－4，它表示抛物线上点P 0(4,39)与点P 2(4.1,40.92)连线的斜率． 反思与感悟 求平均变化率的主要步骤： (1)先计算函数值的改变量Δy ＝f (x 2)－f (x 1)． (2)再计算自变量的改变量Δx ＝x 2－x 1. (3)得平均变化率Δy Δx ＝f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1.跟踪训练1 (1)计算函数h (x )＝－4.9x 2＋6.5x ＋10从x ＝1到x ＝1＋Δx 的平均变化率，其中Δx 的值为①2；②1；③0.1；④0.01.(2)思考：当|Δx |越来越小时，函数h (x )在区间1,1＋Δx ]上的平均变化率有怎样的变化趋势？解 (1)∵Δy ＝h (1＋Δx )－h (1) ＝－4.9(Δx )2－3.3Δx ， ∴ΔyΔx＝－4.9Δx －3.3. ①当Δx ＝2时，ΔyΔx ＝－4.9Δx －3.3＝－13.1；②当Δx ＝1时，ΔyΔx ＝－4.9Δx －3.3＝－8.2；③当Δx ＝0.1时，ΔyΔx ＝－4.9Δx －3.3＝－3.79；④当Δx ＝0.01时，ΔyΔx＝－4.9Δx －3.3＝－3.349.(2)当|Δx |越来越小时，函数f (x )在区间1,1＋Δx ]上的平均变化率逐渐变大，并接近于－3.3.探究点二 函数在某点处的导数思考1 物体的平均速度能否精确反映它的运动状态？答 不能，如高台跳水运动员相对于水面的高度h 与起跳时间t 的函数关系h (t )＝－4.9t 2＋6.5t ＋10，易知h (6549)＝h (0)，v ＝h (6549)－h (0)6549－0＝0，而运动员依然是运动状态．思考2 观察跟踪训练1，当Δx ＝0.000 01时，ΔyΔx ＝？这个平均速度能描述物体的运动状态吗？答ΔyΔx＝－4.9Δx －3.3＝－3.300 049，说明当时间间隔非常小的时候平均速度约等于一个常数，这个常数就是x ＝1这一时刻的速度．思考 3 什么叫做瞬时速度？它与平均速度的区别与联系是什么？平均变化率与瞬时变化率的关系如何？答 可以使用瞬时速度精确描述物体在某一时刻的运动状态．如求t ＝2时的瞬时速度，可考察在t ＝2附近的一个间隔Δt ，当Δt 趋近于0时，平均速度v 趋近于lim Δt →0h (2＋Δt )－h (2)Δt，这就是物体在t ＝2时的瞬时速度．类似可以得出平均变化率与瞬时变化率的关系，我们把函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率 lim Δx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx＝lim Δx →0 ΔyΔx 叫做函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数． 思考4 导数或瞬时变化率反映函数变化的什么特征？答 导数或瞬时变化率可以反映函数在一点处变化的快慢程度． 小结 1.函数的瞬时变化率：函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率是 lim Δx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx＝lim Δx →0 Δy Δx . 2．函数在某点处的导数：我们称函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0，即 f ′(x 0)＝lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx＝lim Δx →0 ΔyΔx . 例2 利用导数的定义求函数f (x )＝－x 2＋3x 在x ＝2处的导数． 解 由导数的定义知，函数在x ＝2处的导数f ′(2)＝ lim Δx →0f (2＋Δx )－f (2)Δx，而f (2＋Δx )－f (2)＝－(2＋Δx )2＋3(2＋Δx )－(－22＋3×2)＝－(Δx )2－Δx ，于是f ′(2)＝lim Δx →0 －(Δx )2－ΔxΔx ＝lim Δx →0 (－Δx －1)＝－1. 反思与感悟 求一个函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数的步骤如下： (1)求函数值的变化量Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)； (2)求平均变化率Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ；(3)取极限，得导数f ′(x 0)＝lim Δx →0ΔyΔx. 跟踪训练2 求函数f (x )＝3x 2－2x 在x ＝1处的导数．解 Δy ＝3(1＋Δx )2－2(1＋Δx )－(3×12－2×1) ＝3(Δx )2＋4Δx ，∵Δy Δx ＝3(Δx )2＋4Δx Δx ＝3Δx ＋4， ∴y ′|x ＝1＝lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0(3Δx ＋4)＝4. 例3 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热．如果在第x h 时，原油的温度(单位：℃)为y ＝f (x )＝x 2－7x ＋15(0≤x ≤8)．计算第2 h 和第6 h 时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义．解 在第2 h 和第6 h 时，原油温度的瞬时变化率就是f ′(2)和f ′(6)． 根据导数的定义，Δy Δx ＝f (2＋Δx )－f (2)Δx＝(2＋Δx )2－7(2＋Δx )＋15－(22－7×2＋15)Δx＝4Δx ＋(Δx )2－7Δx Δx＝Δx －3，所以，f ′(2)＝lim Δx →0 ΔyΔx ＝lim Δx →0 (Δx －3)＝－3. 同理可得，f ′(6)＝5.在第2 h 和第6 h 时，原油温度的瞬时变化率分别为－3与5.它说明在第2 h 附近，原油温度大约以3 ℃/h 的速率下降；在第6 h 附近，原油温度大约以5 ℃/h 的速率上升． 反思与感悟 (1)本题中，f ′(x 0)反映了原油温度在时刻x 0附近的变化情况． (2)函数的平均变化率和瞬时变化率的关系：平均变化率Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ，当Δx 趋于0时，它所趋于的一个常数就是函数在x 0处的瞬时变化率，即求函数的瞬时变化率是利用平均变化率“逐渐逼近”的方法求解．另外，它们都是用来刻画函数变化快慢的，它们的绝对值越大，函数变化得越快．跟踪训练3 高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h (单位：m)与起跳后的时间t (单位：s)之间的关系式为h (t )＝－4.9t 2＋6.5t ＋10，求运动员在t ＝6598 s 时的瞬时速度，并解释此时的运动状况．解 令t 0＝6598，Δt 为增量．则h (t 0＋Δt )－h (t 0)Δt＝－4.9×⎝ ⎛⎭⎪⎫6598＋Δt 2＋6.5×⎝ ⎛⎭⎪⎫6598＋Δt ＋10＋4.9×⎝ ⎛⎭⎪⎫65982－6.5×6598－10Δt＝－4.9Δt ⎝ ⎛⎭⎪⎫6549＋Δt ＋6.5ΔtΔt＝－4.9⎝⎛⎭⎪⎫6549＋Δt ＋6.5，∴lim Δt →0h (t 0＋Δt )－h (t 0)Δt ＝lim Δt →0－4.9⎝ ⎛⎭⎪⎫6549＋Δt ＋6.5]＝0，即运动员在t 0＝6598 s 时的瞬时速度为0 m/s.说明此时运动员处于跳水运动中离水面最高的点处．1．如果质点M 按规律s ＝3＋t 2运动，则在一小段时间2，2.1]中相应的平均速度是( )． A ．4 B ．4.1 C ．0.41 D ．3 答案 B解析 v ＝(3＋2.12)－(3＋22)0.1＝4.1.2．函数f (x )在x 0处可导，则lim h →0 f (x 0＋h )－f (x 0)h( )A ．与x 0、h 都有关B ．仅与x 0有关，而与h 无关C ．仅与h 有关，而与x 0无关D ．与x 0、h 均无关 答案 B3．已知函数f (x )＝2x 2－1的图象上一点(1,1)及邻近一点(1＋Δx,1＋Δy )，则Δy Δx 等于( )A ．4B ．4xC ．4＋2ΔxD ．4＋2(Δx )2答案 C解析 Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝2(1＋Δx )2－1－1 ＝2(Δx )2＋4Δx ，∴Δy Δx ＝2Δx ＋4.4．已知函数f (x )＝1x，则f ′(1)＝________.答案 －12解析 f′(1)＝lim Δx →0f (1＋Δx )－f (1)Δx＝lim Δx →0 11＋Δx －1Δx＝lim Δx →0－11＋Δx (1＋1＋Δx )＝－12.呈重点、现规律]利用导数定义求导数三步曲：(1)求函数的增量Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)； (2)求平均变化率Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ；(3)取极限，得导数f ′(x 0)＝lim Δx →0 Δy Δx. 简记为一差，二比，三趋近．特别提醒 ①取极限前，要注意化简ΔyΔx ，保证使Δx →0时分母不为0.②函数在x 0处的导数f ′(x 0)只与x 0有关，与Δx 无关． ③导数可以描述任何事物的瞬时变化率，应用非常广泛.一、基础过关1．函数y ＝x 2－2x ＋1在x ＝－2附近的平均变化率为( ) A ．－6 B ．Δx －6 C ．－2 D ．Δx －2答案 B解析 设y ＝f (x )＝x 2－2x ＋1＝(x －1)2，Δy ＝f (－2＋Δx )－f (－2)＝(－2＋Δx －1)2－(－2－1)2＝(－3＋Δx )2－9＝(Δx )2－6Δx ， 所以ΔyΔx＝Δx －6，所以函数y ＝x 2－2x ＋1在x ＝－2附近的平均变化率为Δx －6. 2．函数y ＝1在2,2＋Δx ]上的平均变化率是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．Δx 答案 A解析Δy Δx ＝1－1Δx＝0. 3．如果某物体的运动方程为s ＝2(1－t 2)(s 的单位为m ，t 的单位为s)，那么其在1.2 s 末的瞬时速度为( )． A ．－4.8 m/s B ．－0.88 m/s C ．0.88 m/s D ．4.8 m/s答案 A解析 物体运动在1.2 s 末的瞬时速度即为s 在1.2处的导数，利用导数的定义即可求得． 4．一质点按规律s (t )＝2t 3运动，则t ＝1时的瞬时速度为( ) A ．4 B ．6 C ．24 D ．48 答案 B解析 ∵s ′(1)＝lim t →1s (t )－s (1)t －1＝lim t →1 2t 3－2t －1＝lim t →12(t 2＋t ＋1)＝6. 5．已知函数y ＝2＋1x，当x 由1变到2时，函数的增量Δy ＝________.答案 －12解析 Δy ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋12－(2＋1)＝－12. 6.甲、乙两厂污水的排放量W 与时间t 的关系如图所示，治污效果较好的是( ) A ．甲 B ．乙 C ．相同 D ．不确定答案 B解析 在t 0处，虽然W 1(t 0)＝W 2(t 0)，但是，在t 0－Δt 处，W 1(t 0－Δt )<W 2(t 0－Δt )， 即⎪⎪⎪⎪⎪⎪W 1(t 0)－W 1(t 0－Δt )Δt <⎪⎪⎪⎪⎪⎪W 2(t 0)－W 2(t 0－Δt )Δt ，所以，在相同时间Δt 内，甲厂比乙厂的平均治污率小．所以乙厂治污效果较好． 7．利用定义求函数y ＝－2x 2＋5在x ＝2处的瞬时变化率．解 因为在x ＝2附近，Δy ＝－2(2＋Δx )2＋5－(－2×22＋5)＝－8Δx －2(Δx )2，所以函数在区间2,2＋Δx ]内的平均变化率为Δy Δx ＝－8Δx －2(Δx )2Δx ＝－8－2Δx .故函数y ＝－2x 2＋5在x ＝2处的瞬时变化率为lim Δx →0(－8－2Δx )＝－8.二、能力提升8．过曲线y ＝x 2＋1上两点P (1,2)和Q (1＋Δx,2＋Δy )作曲线的割线，当Δx ＝0.1时，割线的斜率k ＝______，当Δx ＝0.001时，割线的斜率k ＝________. 答案 2.1 2.001解析 ∵Δy ＝(1＋Δx )2＋1－(12＋1) ＝2Δx ＋(Δx )2，∴Δy Δx ＝2＋Δx ，∴割线斜率为2＋Δx ，当Δx ＝0.1时，割线PQ 的斜率k ＝2＋0.1＝2.1. 当Δx ＝0.001时，割线PQ 的斜率k ＝2＋0.001＝2.001.9．一做直线运动的物体，其位移s 与时间t 的关系是s ＝3t －t 2，则物体的初速度是________． 答案 3解析 v 初＝s ′|t ＝0＝li m Δt →0 s (0＋Δt )－s (0)Δt＝li m Δt →0(3－Δt )＝3. 10．求y ＝x 在x 0到x 0＋Δx 之间的平均变化率． 解 因为Δy ＝x 0＋Δx －x 0，所以y ＝x 在x 0到x 0＋Δx 之间的平均变化率为Δy Δx ＝x 0＋Δx －x 0Δx ＝1x 0＋Δx ＋x 0.11．求函数y ＝f (x )＝2x 2＋4x 在x ＝3处的导数． 解 Δy ＝2(3＋Δx )2＋4(3＋Δx )－(2×32＋4×3) ＝12Δx ＋2(Δx )2＋4Δx ＝2(Δx )2＋16Δx ， ∴Δy Δx ＝2(Δx )2＋16ΔxΔx ＝2Δx ＋16. ∴y ′|x ＝3＝lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0(2Δx ＋16)＝16. 12．若函数f (x )＝ax 2＋c ，且f ′(1)＝2，求a 的值． 解 ∵f (1＋Δx )－f (1)＝a (1＋Δx )2＋c －a －c ＝a (Δx )2＋2a Δx .∴f ′(1)＝lim Δx →0 f (1＋Δx )－f (1)Δx ＝lim Δx →0 a (Δx )2＋2a ΔxΔx＝lim Δx →0 (a Δx ＋2a )＝2，即2a ＝2，∴a ＝1. 三、探究与拓展13．已知f (x )＝x 2，g (x )＝x 3，求满足f ′(x )＋2＝g ′(x )的x 的值． 解 由导数的定义知，林老师网络编辑整理林老师网络编辑整理f ′(x )＝lim Δx →0 (x ＋Δx )2－x 2Δx＝2x ， g ′(x )＝lim Δx →0 (x ＋Δx )3－x 3Δx＝3x 2. ∵f ′(x )＋2＝g ′(x )，∴2x ＋2＝3x 2.即3x 2－2x －2＝0，解得x ＝1－73或x ＝1＋73.。
2020年高中数学人教A版选修2-2 课时作业《变化率问题 导数的概念》(含答案解析)
2020年高中数学人教A 版选修2-2 课时作业《变化率问题 导数的概念》一、选择题1.如果一个函数的瞬时变化率处处为0，则这个函数的图象是( )A ．圆B ．抛物线C ．椭圆D ．直线2.设函数y=f(x)=x 2-1，当自变量x 由1变为1.1时，函数的平均变化率为( )A ．2.1B ．1.1C ．2D ．03.设函数f(x)在点x 0附近有定义，且有f(x 0＋Δx)-f(x 0)=aΔx＋b(Δx)2(a ，b 为常数)，则( )A ．f′(x)=aB ．f′(x)=bC ．f′(x 0)=aD ．f′(x 0)=b4.如果质点A 按照规律s=3t 2运动，则在t 0=3时的瞬时速度为( )A ．6B ．18C ．54D ．815.已知f(x)=x 2-3x ，则f′(0)=( )A ．Δx -3B ．(Δx)2-3ΔxC ．-3D ．06.已知函数f(x)=2x 2-4的图象上一点(1，-2)及邻近一点(1＋Δx，-2＋Δy)，则Δy Δx等于( ) A ．4 B ．4x C ．4＋2Δx D ．4＋2(Δx)27.甲、乙两人走过的路程s 1(t)，s 2(t)与时间t 的关系如图，则在[0，t 0]这个时间段内，甲、乙两人的平均速度v 甲，v 乙的关系是( )A ．v 甲＞v 乙B ．v 甲＜v 乙C ．v 甲=v 乙D ．大小关系不确定8.若可导函数f(x)的图象过原点，且满足li m Δx→0 f Δx Δx=-1，则f′ (0)=( ) A ．-2 B ．-1 C ．1 D ．29.已知f(x)=2x ，且f′(m)=-12，则m 的值等于( ) A ．-4 B ．2 C ．-2 D ．±2二、填空题10.设f(x)=ax ＋4，若f′(1)=2，则a=________.11.汽车行驶的路程s 和时间t 之间的函数图象如图，在时间段[t 0，t 1]，[t 1，t 2]，[t 2，t 3]上的平均速度分别为v 1，v 2，v 3，则三者的大小关系为________．12.球的半径从1增加到2时，球的体积平均膨胀率为______．13.已知函数f(x)=-x 2＋x 在区间[t,1]上的平均变化率为2，则t=________.14.一物体的运动方程为s=7t 2＋8，则其在t=________时的瞬时速度为1.三、解答题15.质点按规律s(t)=at 2＋1做直线运动(s 单位：m ，t 单位：s)．若质点在t=2时的瞬时速度为8 m/s ，求常数a 的值．16.已知函数f(x)=⎩⎪⎨⎪⎧ －1x ，x>0，1＋x 2，x≤0，求f′(4)·f′(-1)的值．17.枪弹在枪筒中运动可以看作匀加速运动，如果它的加速度是5.0×105m/s2，枪弹从枪口射出时所用时间为1.6×10-3 s，求枪弹射出枪口时的瞬时速度．答案解析1.答案为：D ；解析：当f(x)=b 时，瞬时变化率li m △x －0 Δy Δx =li m △x －0 b －b Δx=0，所以f(x)的图象为一条直线．2.答案为：A ；解析：Δy Δx =f 1.1－f 11.1－1=0.210.1=2.1.3.答案为：C ；解析：f′(x 0)=li m △x －0 f x 0＋Δx －f x 0Δx=li m △x －0 (a ＋b·Δx)=a.4.答案为：B ；解析：∵s(t)=3t 2，t 0=3，∴Δs =s(t 0＋Δt)-s(t 0)=3(3＋Δt)2-3·32=18Δt＋3(Δt)2.∴Δs Δt=18＋3Δt.∴li m △x －0 Δs Δt =li m △x －0 (18＋3Δt)=18，故应选B.5.答案为：C ；解析：f′(0)=li m △x －0 0＋Δx 2－30＋Δx －02＋3×0Δx=li m △x －0 Δx 2－3Δx Δx=li m △x －0 (Δx -3)=-3.故选C.6.答案为：C ；解析：Δy Δx =f 1＋Δx －f 1Δx =21＋Δx 2－4＋2Δx =2Δx 2＋4Δx Δx=2Δx＋4.7.答案为：B ；解析：设直线AC ，BC 的斜率分别为k AC ，k BC ，由平均变化率的几何意义知，s 1(t)在[0，t 0]上的平均变化率v 甲=k AC ，s 2(t)在[0，t 0]上的平均变化率v 乙=k BC .因为k AC ＜k BC ，所以v 甲＜v 乙．8.答案为：B ；解析：∵f(x)图象过原点，∴f(0)=0，∴f′(0)=li m Δx→0 f 0＋Δx －f 0Δx =li m Δx→0 f Δx Δx=-1，∴选B.9.答案为：D ；解析：f′(x)=li m △x －0 f x ＋Δx －f x Δx =-2x 2，于是有-2m 2=-12， m 2=4，解得m=±2.10.答案为：2；解析：∵f′(1)=li m △x －0f 1＋Δx －f 1Δx =li m △x －0 a 1＋Δx ＋4－a ＋4Δx=a ，∴a=2.11.答案为：v 1＜v 2＜v 3；解析：v 1=k OA ，v 2=k AB ，v 3=k BC ，由图象知k OA ＜k AB ＜k BC .12.答案为：28π3； 解析：∵Δy =43π×23-43π×13=28π3，∴Δy Δx =28π32－1=28π3.13.答案为：-2；解析：∵Δy =f(1)-f(t)=(-12＋1)-(-t 2＋t)=t 2-t ，∴Δy Δx =t 2－t 1－t =-t.又∵Δy Δx=2，∴t=-2.14.答案为：114； 解析：Δs Δt =7t 0＋Δt 2＋8－7t 20＋8Δt =7Δt＋14t 0，当li m Δx→0 (7Δt＋14t 0)=1时，t=t 0=114.15.解：∵Δs =s (2＋Δt)-s(2)=[a(2＋Δt)2＋1]-(a×22＋1)=4aΔt＋a(Δt)2，∴Δs Δt=4a ＋aΔt， ∴在t=2时，瞬时速度为li m △x －0 Δs Δt=4a,4a=8，∴a=2.16.解：当x=4时，Δy =-14＋Δx ＋14=12-14＋Δx =4＋Δx－224＋Δx =Δx 24＋Δx 4＋Δx＋2. ∴Δy Δx =124＋Δx 4＋Δx＋2. ∴li m Δx→0 Δy Δx =li m Δx→0 124＋Δx 4＋Δx＋2=12×4×4＋2=116.∴f′(4)=116. 当x=-1时，Δy Δx =f －1＋Δx －f －1Δx =1＋－1＋Δx 2－1－－12Δx=Δx -2， 由导数的定义，得f′(-1)=li m Δx→0(Δx -2)=-2， ∴f′(4)·f′(-1)=116×(-2)=-18.17.解：位移公式为s=12at 2， ∵Δs =12a(t 0＋Δt)2-12at 20=at 0Δt＋12a(Δt)2， ∴Δs Δt =at 0＋12aΔt，∴li m Δx→0 Δs Δt =li m Δx→0 ⎝ ⎛⎭⎪⎫at 0＋12aΔt =at 0， 已知a=5.0×105m/s 2，t 0=1.6×10-3s ，∴at 0=800 m/s.所以枪弹射出枪口时的瞬时速度为800 m/s.。
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课时分层作业(一) 变化率问题 导数的概念(建议用时：40分钟)[基础达标练]一、选择题1．函数f (x )＝x 2－1在区间[1，m ]上的平均变化率为3，则实数m 的值为( )A ．3B ．2C ．1D ．4B [由已知得：m 2－1－2－m －1＝3，∴m ＋1＝3，∴m ＝2.]2．一质点运动的方程为s ＝5－3t 2，若该质点在时间段[1,1＋Δt ]内相应的平均速度为－3Δt －6，则该质点在t ＝1时的瞬时速度是( )【导学号：31062006】A ．－3B ．3C ．6D ．－6D [由平均速度和瞬时速度的关系可知，v ＝s ′(1)＝lim Δt →0(－3Δt －6)＝－6.]3．若f (x )在x ＝x 0处存在导数，则lim h →0f x 0＋h －f x 0h( )A ．与x 0，h 都有关B ．仅与x 0有关，而与h 无关C ．仅与h 有关，而与x 0无关D ．以上答案都不对B [由导数的定义知，函数在x ＝x 0处的导数只与x 0有关．]4．设函数f (x )在点x 0附近有定义，且有f (x 0＋Δx )－f (x 0)＝a Δx ＋b (Δx )2(a ，b 为常数)，则( ) A ．f ′(x )＝a B ．f ′(x )＝b C ．f ′(x 0)＝a D ．f ′(x 0)＝bC [∵f ′(x 0)＝lim Δx →0f x 0＋Δx －f x 0Δx＝lim Δx →0a Δx ＋b Δx 2Δx ＝lim Δx →0(a ＋b Δx )＝a ，∴f ′(x 0)＝a .]5．已知函数f (x )＝2x 2－4的图象上一点(1，－2)及附近一点(1＋Δx ，－2＋Δy )，则Δy Δx＝( )【导学号：31062007】A ．4B ．4xC ．4＋2ΔxD ．4＋2(Δx )2C [因为Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝2(1＋Δx )2－4－(2×12－4)＝4Δx ＋2(Δx )2， 所以Δy Δx ＝4Δx ＋Δx 2Δx ＝4＋2Δx .]二、填空题6．已知函数y ＝2x＋3，当x 由2变到1.5时，函数的增量Δy ＝________.[解析] Δy ＝f (1.5)－f (2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫21.5＋3－⎝ ⎛⎭⎪⎫22＋3＝43－1＝13.[答案] 137.汽车行驶的路程s 和时间t 之间的函数图象如图113所示．在时间段[t 0，t 1]，[t 1，t 2]，[t 2，t 3]上的平均速度分别为v 1，v 2，v 3，其三者的大小关系是________.【导学号：31062008】图113[解析] ∵v 1＝s t 1－s t 0t 1－t 0＝k MA ，v 2＝s t 2－s t 1t 2－t 1＝k AB ，v 3＝s t 3－s t 2t 3－t 2＝k BC ，由图象可知：k MA <k AB <k BC ，∴v 3>v 2>v 1. [答案] v 3>v 2>v 18．一物体位移s 和时间t 的关系是s ＝2t －3t 2，则物体的初速度是__________． [解析] 物体的速度为v ＝s ′(t )， ∴s ′(t )＝lim Δt →0s t ＋Δt －s tΔt＝lim Δt →0t ＋Δt －t ＋Δt 2－2t ＋3t2Δt＝lim Δt →0 2Δt －6t Δt －3Δt 2Δt ＝2－6t .即v ＝2－6t ，所以物体的初速度是v 0＝2－6×0＝2.[答案] 2 三、解答题9．若函数f (x )＝ax 2＋c ，且f ′(1)＝2，求a 的值.【导学号：31062009】[解] ∵f (1＋Δx )－f (1)＝a (1＋Δx )2＋c －a －c ＝a (Δx )2＋2a Δx . ∴f ′(1)＝lim Δx →0f＋Δx －fΔx＝lim Δx →0a Δx2＋2a ΔxΔx＝lim Δx →0(a Δx ＋2a )＝2a ，即2a ＝2，∴a ＝1.10．一做直线运动的物体，其位移s 与时间t 的关系是s ＝3t －t 2(位移：m ；时间：s)． (1)求此物体的初速度；(2)求此物体在t ＝2时的瞬时速度； (3)求t ＝0到t ＝2时平均速度．[解] (1)初速度v 0＝lim Δt →0s Δt －sΔt ＝lim Δt →03Δt －Δt2Δt ＝lim Δt →0(3－Δt )＝3(m/s)．即物体的初速度为3 m/s. (2)v ＝lim Δt →0s＋Δt －sΔt＝limΔt →0＋Δt －＋Δt 2－－Δt＝lim Δt →0－Δt 2－Δt Δt＝lim Δt →0(－Δt －1)＝－1(m/s)．即此物体在t ＝2时的瞬时速度为1 m/s ， 方向与初速度相反． (3)v ＝s－s 2－0＝6－4－02＝1(m/s)．即t ＝0到t ＝2时的平均速度为1 m/s.[能力提升练]1.A ，B 两机关开展节能活动，活动开始后两机关的用电量W 1(t )，W 2(t )与时间t (天)的关系如图114所示，则一定有( )图114A ．两机关节能效果一样好B ．A 机关比B 机关节能效果好C ．A 机关的用电量在[0，t 0]上的平均变化率比B 机关的用电量在[0，t 0]上的平均变化率大D ．A 机关与B 机关自节能以来用电量总是一样大B [由图可知，A ，B 两机关用电量在[0，t 0]上的平均变化率都小于0，由平均变化率的几何意义知，A 机关用电量在[0，t 0]上的平均变化率小于B 机关的平均变化率，从而A 机关比B 机关节能效果好．]2．设函数f (x )可导，则lim Δx →0f＋Δx －f3Δx等于( )【导学号：31062010】A ．f ′(1)B ．3f ′(1) C.13f ′(1) D ．f ′(3)C [lim Δx →0f＋Δx －f3Δx＝13lim Δx →0f ＋Δx －fΔx＝13f ′(1)．] 3．如图115所示，函数y ＝f (x )在[x 1，x 2]，[x 2，x 3]，[x 3，x 4]这几个区间内，平均变化率最大的一个区间是________．图115[解析] 由平均变化率的定义可知，函数y ＝f (x )在区间[x 1，x 2]，[x 2，x 3]，[x 3，x 4]上的平均变化率分别为：f x 2－f x 1x 2－x 1，f x 3－f x 2x 3－x 2，f x 4－f x 3x 4－x 3，结合图象可以发现函数y ＝f (x )的平均变化率最大的一个区间是[x 3，x 4]．[答案] [x 3，x 4]4．给出下列结论：①函数y ＝2x 2－1在x ＝3处的导数为11；②若物体的运动规律是s ＝f (t )，则物体在时刻t 0的瞬时速度v 等于f ′(t 0)；③物体做直线运动时，它的运动规律可以用函数v ＝v (t )描述，其中v 表示瞬时速度，t 表示时间，那么该物体运动的加速度为a ＝lim Δt →0v t ＋Δt －v tΔt.其中正确的结论序号为____．[解析] ①函数y ＝2x 2－1在x ＝3处的导数为12，故①错，根据变化率在物理学中的含义知②③正确． [答案] ②③5．若一物体运动方程如下：(位移：m ，时间：s)s ＝⎩⎪⎨⎪⎧3t 2＋t ， ①29＋t －2t ＜， ②【导学号：31062011】求：(1)物体在t ∈[3,5]内的平均速度． (2)物体的初速度v 0.(3)物体在t ＝1时的瞬时速度．[解] (1)因为物体在t ∈[3,5]内的时间变化量为Δt ＝5－3＝2， 物体在t ∈[3,5]内的位移变化量为Δs ＝3×52＋2－(3×32＋2)＝3×(52－32)＝48，所以物体在t ∈[3,5]上的平均速度为Δs Δt ＝482＝24(m/s)．(2)求物体的初速度v 0即求物体在t ＝0时的瞬时速度． 因为物体在t ＝0附近的平均变化率为 Δs Δt ＝f ＋Δt －fΔt＝29＋＋Δt －3]2－29－－2Δt＝3Δt －18.所以物体在t ＝0处的瞬时变化率为 li m Δt →0 ΔsΔt ＝li m Δt →0 (3Δt －18)＝－18. 即物体的初速度为－18 m/s.(3)物体在t ＝1时的瞬时速度即为函数在t ＝1处的瞬时变化率． 因为物体在t ＝1附近的平均变化率为Δs Δt ＝f＋Δt －fΔt＝29＋＋Δt －3]2－29－－2Δt＝3Δt －12.所以物体在t ＝1处的瞬时变化率为lim Δt →0ΔsΔt ＝lim Δt →0(3Δt －12)＝－12. 即物体在t ＝1时的速度为－12 m/s.。