天津市2017届高三数学理一轮复习专题突破训练：函数 Word版含答案
天津市2017届高三数学理一轮复习专题突破训练：函数 含答案
天津市2017届高三数学理一轮复习专题突破训练函数一、选择、填空题1、（2016年天津市高考)已知函数f （x ）=2(4,0,log (1)13,03)a x a x a x x x ⎧+<⎨++≥-+⎩（a 〉0，且a ≠1)在R 上单调递减，且关于x 的方程|()|2f x x =-恰好有两个不相等的实数解,则a 的取值范围是( ）（A ）（0，23］ （B)[23，34］ (C ）［13,23]｛34｝(D ）［13，23）｛34｝2、（2016年天津市高考）已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间（—∞，0）上单调递增。
若实数a满足1(2)(a f f ->,则a 的取值范围是______。
3、（2015年天津市高考）已知定义在R 上的函数()21x mf x -=- (m为实数）为偶函数，记()()0.52(log 3),log 5,2a f b f c f m === ,则,,a b c 的大小关系为(A ）a b c << （B ）a c b << （C ）c a b << (D)c b a << 4、（2015年天津市高考)已知函数()()22,2,2,2,x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩函数()()2g x b f x =--,其中b R ∈，若函数()()y f x g x =- 恰有4个零点，则b 的取值范围是(A)7,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭（B ）7,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭（C ）70,4⎛⎫ ⎪⎝⎭（D ）7,24⎛⎫⎪⎝⎭5、（天津市八校2016届高三12月联考)设13log 2a =，2log 3b =，0.31()2c =，则( )．A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c b a >>D ．b c a >>6、(天津市八校2016届高三12月联考）已知函数25()2x f x x +=+，定义在R 上的函数()g x 周期为2，且满足,则函数()()()h x f x g x =-在区间[5,1]-上的所有零点之和为（ ）．A ．4-B ．6-C ．7-D ．8- 7、（和平区2016届高三第四次模拟）设函数2log 1y x =-与22x y -=的图象的交点为()0,x y ，则0x 所在的区间是( ）A ．()0,1B ．()1,2C ．()2,3D ．()3,48、(和平区2016届高三第四次模拟）已知函数()3232f x xx =-+,函数则关于x 的方程()()00g f x a a -=>⎡⎤⎣⎦的实根个数取得最大值时，实数a 的取值范围是（ ）A ．51,4⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．51,4⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．51,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．50,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦9、(河北区2016届高三总复习质量检测(三））已知函数10()ln 0kx x f x x x +⎧=⎨>⎩，≤，，则下列关于函数[()]1y f f x =+的零点个数的判断 正确的是（A ）当0k >时，有3个零点，当0k <时，有2个零点 （B ）当0k >时,有4个零点，当0k <时，有1个零点 (C ）无论k 为何值,均有2个零点 （D ）无论k 为何值,均有4个零点10、(河北区2016届高三总复习质量检测（一））已知函数ln ()=e xf x ,若12x x ≠且12()()f x f x =，则下列结论一定不成立的是（A)21()1x f x > （B ）21()1x f x <（C ）21()1x f x = （D ）2112()()x f x x f x <11、(河北区2016届高三总复习质量检测(一））已知函数2ln 0()410x x >f x =x +x+x ⎧⎪⎨⎪⎩，，，≤，若关于x 的方程2()()0fx bf x +c =-(b c ∈R，）有8个不同的实数根，则b+c 的取值范围是（A)(3)∞-， （B ）(03]，(C ）[03]， （D ）(03)，12、（河东区2016届高三第二次模拟)已知函数x x f ln )(=与ex x g =)(,则它们的图象交点个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．不确定13、（河东区2016届高三第二次模拟）已知函数()a a x x f +-=，()24x x g -=，若存在R x ∈使()()g x f x ≥学科网，则a 的取值范围是____________．(A)31(，)32 (B ）31(-，)32(C)31(,)34 （D ）31(-，)3415、(河西区2016届高三第二次模拟）函数⎩⎨⎧>≤-=1,ln 1,1)(2x x x x x f ，若方程21)(-=mx x f 恰有四个不相等的实数根，则实数m的取值范围是 .16、（河西区2016届高三下学期总复习质量调查（一）)已知函数)(x f 在R 上是单调函数,且满足对任意R x ∈，3)2)((=-xx f f ，则)3(f 的值是（A ）3 （B)7(C ）9 （D ）1217、（河西区2016届高三下学期总复习质量调查（一））已知kxx x x f ++-=221)(在0(，)2上有两个零点,则实数k 的取值范围是18、(红桥区2016届高三上学期期末考试）已知函数()xf x a = （a >0且a ≠1),其关于y x=对称的函数为()g x ．若f (2)＝9,则1()(3)9g f +的值是 ．19、（红桥区2016届高三上学期期中检测）设0.30.33log 2,log 2,2,a b c ===则这三个数的大小关系是（ ） (A ）b c a >>（B ）a c b >> （C ）a b c >> (D ）c b a >>20、（红桥区2016届高三上学期期中检测）已知()f x 是定义在R 上的奇函数，对任意x ∈R ，都有(4)()f x f x +=,若(1)2f =，则(2015)f = ． 21、（天津市六校2016届高三上学期期末联考）已知定义在R 上的函数，当[]0,2x ∈时，()()811f x x =--，且对任意的实数122,22nn x +⎡⎤∈--⎣⎦（*N n ∈，且2n ≥)，都有()1122x f x f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,若方程|log|)(x x f a=有且仅有四个实数解，则实数a 的取值范围为 A ．B ．C ．()2,10D ．[]2,1022、（天津市十二区县重点高中2016届高三毕业班第一次联考)已知()f x 为偶函数，当0x ≥时，()(24),(0)f x m x x m =-+->，若函数[]()4y f f x m =-恰有4个零点，则实数m 的取值范围A ．10,6⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1550,,662⎛⎫⎛⎫⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．1550,,442⎛⎫⎛⎫⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．10,4⎛⎫⎪⎝⎭23、(天津市十二区县重点学校2016届高三下学期毕业班联考（二））若函数1+=kx y 的图象与函数|1||1|xx xx y --+=的图象恰有五个交点，则实数k 的取值范围是________．24、（武清区2016届高三5月质量调查(三)）已知2.1424.0,6log ,3log -===c b a ,则（ ）（A ）c b a >> （B ）c a b >> (C ）b a c >> (D ）a b c >>25、（武清区2016届高三5月质量调查(三））已知函数()()()221+-+--=x e x ax x f 恰有两个零点，则实数a 的取值范围是（ ）（A ）0>a （B)21-≥a（C ）021<<-a （D)021≤<-a5、D6、C7、C8、A9、B 10、B 11、D 12、B13、⎥⎦⎤ ⎝⎛∞-817, 14、A 15、21(，)ee16、C17、127-<<-k 18、25 19、D 20、－221、A 22、B 23、11,00,88⎛⎫⎛⎫-⋃⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭24、C 25、A二、解答题1、（红桥区2016届高三上学期期中检测） (I ）设函数12log 0()60x x f x x x >⎧⎪=⎨⎪+⎩≤，计算((4))f f -的值; （Ⅱ）计算:2log 151log 25lg2100++； （Ⅲ)计算：20.5123910()(3)0.75(2)1627---+-÷-.2、（红桥区2016届高三上学期期中检测） 已知函数2()(0)f x axbx c a =++≠，满足(0)2,(1)()21f f x f x x =+-=-（Ⅰ）求函数()f x 的解析式；（Ⅱ）当[]1,2x ∈-时,求函数的最大值和最小值.（Ⅲ)若函数()()g x f x mx =-的两个零点分别在区间(1,2)-和(2,4)内，求m 的取值范围.3、（红桥区2016届高三上学期期中检测） 已知：1()lg 1ax f x x+=-，a ∈R 且1a ≠-（Ⅰ)若函数()f x 为奇函数，求实数a 的值； （Ⅱ）求函数()f x 的定义域；(Ⅲ）若函数()f x 在［10，＋∞)上是单调增函数,求a 的取值范围．参考答案一、填空、选择题 1、【答案】C考点:函数性质综合应用 2、【答案】13(,)223、【答案】C 【解析】试题分析：因为函数()21x mf x -=-为偶函数，所以0m =，即()21xf x =-，所以221log log 330.521(log 3)log 2121312,3a f f ⎛⎫===-=-=-= ⎪⎝⎭()()2log 502log 5214,2(0)210b f c f m f ==-====-=所以c a b <<，故选C 。
高中数学一轮复习训练：函数(Ⅱ) Word版含答案
高三数学单元练习题：函数（Ⅱ）一、填空题： 1、函数y =的定义域为 ▲ 。
2、已知全集U =AB 中有m 个元素，()()u uC A C B ⋃中有n 个元素．若A B ⋂非空，则A B ⋂的元素个数为 ▲ 个。
3、设函数2()()f x g x x =+，曲线()y g x =在点(1,(1))g 处的切线方程为21y x =+，则曲线()y f x =在点(1,(1))f 处切线的斜率为 ▲ 。
4、函数)86(log 221+-=x x y 的单调递增区间是 ▲ 。
5、函数21)(++=x ax x f 在区间()+∞-,2上是增函数，那么a 的取值范围是 ▲ 。
6、已知偶函数()f x 在区间[0,)+∞单调增加，则满足(21)f x -＜1()3f 的x 取值范围是▲ 。
7、()(21),f x a x b R =-+设函数是上的减函数则a 的范围为 . 8、已知二次函数f(x)＝4x2－2(p －2)x －2p2－p ＋1，若在区间［－1，1］内至少存在一个实数c ，使f(c)＞0，则实数p 的取值范围是 ▲ 。
9、二次函数f(x)的二次项系数为正，且对任意实数x 恒有f(2＋x)＝f(2－x)，若 f(1－2x2)<f(1＋2x －x2)，则x 的取值范围是 ▲ 。
10、函数)(x f 的定义域为开区间),(b a ，导函数)(x f '在),(b a 内的图象如图所示，则函数)(x f 在开区间),(b a 内有极小值点 ▲ 个。
11、设函数()0)f x a =<的定义域为D ，若所有点(,())(,)s f t s t D ∈构成一个正方形区域，则a 的值为 ▲ 。
12、(2)k x ≤+[],a b ，且2b a -=，则k ＝ ▲ 。
二、解答题：13、设函数()x e f x x=（1）求函数()f x 的单调区间； （2）若0k >，求不等式()(1)()0f x k x f x '+->的解集。
《高考调研》大一轮复习(新课标,数学理)题组训练第二章函数与基本初等函数题组4 Word版含解析
题组层级快练(四)1．下列表格中的x与y能构成函数的是()A.B.C.D.答案 C解析A中0既是非负数又是非正数；B中0又是偶数；D中自然数也是整数，也是有理数．2．下列图像中不能作为函数图像的是()答案 B解析B项中的图像与垂直于x轴的直线可能有两个交点，显然不满足函数的定义．故选B.3．已知f(x 5)＝lgx ，则f(2)等于( ) A ．lg2 B ．lg32 C ．lg 132D.15lg2 答案 D解析 令x 5＝t ，则x ＝t 15(t>0)， ∴f(t)＝lgt 15＝15lgt.∴f(2)＝15lg2，故选D.4．(2016·江南十校联考)设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ，x ≤0，x 2，x>0.若f(a)＝4，则实数a ＝( )A ．－4或－2B ．－4或2C ．－2或4D ．－2或2 答案 B解析 当a>0时，有a 2＝4，∴a ＝2；当a ≤0时，有－a ＝4，∴a ＝－4，因此a ＝－4或a ＝2.5．设f ，g 都是由A 到A 的映射，其对应法则如下表(从上到下)： 表1 映射f 的对应法则表2 映射g 的对应法则则与f[g(1)]相同的是( ) A ．g[f(1)] B ．g[f(2)] C ．g[f(3)] D ．g[f(4)]答案 A解析 f[g(1)]＝f(4)＝1，g[f(1)]＝g(3)＝1.故选A.6．若二次函数g(x)满足g(1)＝1，g(－1)＝5，且图像过原点，则g(x)的解析式为( ) A ．g(x)＝2x 2－3x B ．g(x)＝3x 2－2x C ．g(x)＝3x 2＋2x D ．g(x)＝－3x 2－2x答案 B解析 用待定系数法，设g(x)＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)， ∵g(1)＝1，g(－1)＝5，且图像过原点，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋c ＝1，a －b ＋c ＝5，c ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3b ＝－2，c ＝0，∴g(x)＝3x 2－2x ，选B. 7．(2016·山东临沂一中月考)如图所示是张校长晨练时所走的离家距离(y)与行走时间(x)之间的函数关系的图像．若用黑点表示张校长家的位置，则张校长散步行走的路线可能是( )答案 D解析 由y 与x 的关系知，在中间时间段y 值不变，只有D 符合题意．8．已知A ＝{x|x ＝n 2，n ∈N }，给出下列关系式：①f(x)＝x ；②f(x)＝x 2；③f(x)＝x 3；④f(x)＝x 4；⑤f(x)＝x 2＋1，其中能够表示函数f ：A →A 的个数是( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5答案 C解析 对⑤，当x ＝1时，x 2＋1∉A ，故⑤错误，由函数定义可知①②③④均正确． 9．(2014·江西理)已知函数f(x)＝5|x|，g(x)＝ax 2－x(a ∈R )．若f[g(1)]＝1，则a ＝( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．－1答案 A解析 由已知条件可知：f[g(1)]＝f(a －1)＝5|a －1|＝1，∴|a －1|＝0，得a ＝1.故选A. 10．已知f ：x →2sinx 是集合A(A ⊆[0，2π])到集合B 的一个映射，若B ＝{0，1，2}，则A 中的元素个数最多为( ) A ．6 B ．5 C ．4 D ．3答案 A解析 ∵A ⊆[0，2π]，由2sinx ＝0，得x ＝0，π，2π；由2sinx ＝1，得x ＝π6，5π6；由2sinx＝2，得x ＝π2.故A 中最多有6个元素．故选A.11．已知f(x －1x )＝x 2＋1x 2，则f(3)＝______．答案 11解析 ∵f(x －1x )＝(x －1x )2＋2，∴f(x)＝x 2＋2(x ∈R )，∴f(3)＝32＋2＝11. 12．已知x ∈N *，f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－35，x ≥3，f （x ＋2），x<3，其值域设为D.给出下列数值：－26，－1，9，14，27，65，则其中属于集合D 的元素是________．(写出所有可能的数值) 答案 －26，14，65解析 注意函数的定义域是N *，由分段函数解析式可知，所有自变量的函数值最终都是转化为大于等于3的对应自变量函数值计算的f(3)＝9－35＝－26，f(4)＝16－35＝－19，f(5)＝25－35＝－10，f(6)＝36－35＝1，f(7)＝49－35＝14，f(8)＝64－35＝29，f(9)＝81－35＝46，f(10)＝100－35＝65.故正确答案应填－26，14，65. 13．已知f(1－cosx)＝sin 2x ，则f(x)＝________． 答案 －x 2＋2x(0≤x ≤2)解析 令1－cosx ＝t(0≤t ≤2)，则cosx ＝1－t. ∴f(1－cosx)＝f(t)＝sin 2x ＝1－cos 2x ＝1－(1－t)2＝－t 2＋2t. 故f(x)＝－x 2＋2x(0≤x ≤2)．14．(2016·沧州七校联考)已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧（12）x －2，x ≤0，f （x －2）＋1，x ＞0，则f(2 016)＝________．答案 1 007解析 根据题意：f(2 016)＝f(2 014)＋1＝f(2 012)＋2＝…＝f(2)＋1 007＝f(0)＋1 008＝1 007. 15．(2016·衡水调研卷)具有性质：f(1x )＝－f(x)的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，下列函数：①y ＝x －1x ；②y ＝x ＋1x ；③y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，0<x<1，0，x ＝1，－1x ，x>1.其中满足“倒负”变换的函数是________．答案 ①③解析 对于①，f(x)＝x －1x ，f(1x )＝1x －x ＝－f(x)，满足；对于②，f(1x )＝1x＋x ＝f(x)，不满足；对于③，f(1x)＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，0<1x<1，0，1x ＝1，－x ，1x >1，即f(1x)＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，x>1，0，x ＝1，－x ，0<x<1.故f(1x)＝－f(x)，满足．综上可知，满足“倒负”变换的函数是①③.16．(2015·浙江理)已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2x －3，x ≥1，lg （x 2＋1），x<1，则f(f(－3))＝________，f(x)的最小值是________． 答案 0 22－3解析 ∵－3<1，∴f(－3)＝lg[(－3)2＋1]＝lg10＝1， ∴f(f(－3))＝f(1)＝1＋21－3＝0.当x ≥1时，f(x)＝x ＋2x －3≥22－3(当且仅当x ＝2时，取“＝”)；当x<1时，x 2＋1≥1，∴f(x)＝lg(x 2＋1)≥0.又∵22－3<0，∴f(x)min ＝22－3.17．一个圆柱形容器的底面直径为d cm ，高度为h cm ，现以S cm 3/s 的速度向容器内注入某种溶液，求容器内溶液高度y(cm)与注入时间t(s)的函数关系式及定义域． 答案 y ＝4Sπd2·t ， [0，πhd 24S ]解析 依题意，容器内溶液每秒升高4Sπd 2 cm.于是y ＝4Sπd2·t.又注满容器所需时间h÷(4Sπd 2)＝πhd 24S (秒)，故函数的定义域是 [0，πhd 24S]．18．已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧cx ＋1，0<x<c ，2－x c2＋1，c ≤x<1满足f(c 2)＝98. (1)求常数c 的值； (2)解不等式f(x)>28＋1. 答案 (1)12 (2)⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|24<x<58解析 (1)∵0<c<1，∴c 2<c.由f(c 2)＝98，即c 3＋1＝98，∴c ＝12.(2)由(1)得f(x)＝⎩⎨⎧12x ＋1，0<x<12，2－4x＋1，12≤x<1.由f(x)>28＋1，得当0<x<12时，解得24<x<12. 当12≤x<1时，解得12≤x<58. ∴f(x)>28＋1的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|24<x<58.1．(2016·浙江杭州质检)已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1（x>0），1－2x （x ≤0），则f(1)＋f(－1)的值是( )A ．0B ．2C ．3D ．4答案 D解析 由已知得，f(1)＝1，f(－1)＝3，则f(1)＋f(－1)＝4.故选D.2．下列各图中，不可能表示函数y ＝f(x)的图像的是( )答案 B解析 B 中一个x 对应两个函数值，不符合函数定义． 3．若定义x ⊙y ＝3x －y ，则a ⊙(a ⊙a)等于( ) A ．－a B ．3a C ．a D ．－3a答案 C解析 由题意知：a ⊙a ＝3a －a ，则a ⊙(a ⊙a)＝3a －(a ⊙a)＝3a －(3a －a)＝a.选C.4．已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x>0，x ＋1，x ≤0.若f(a)＋f(1)＝0，则实数a 的值等于( )A ．－3B ．－1C ．1D ．3答案 A解析 方法一：当a>0时，由f(a)＋f(1)＝0，得2a ＋2＝0，可见不存在实数a 满足条件；当a<0时，由f(a)＋f(1)＝0，得a ＋1＋2＝0，解得a ＝－3，满足条件，故选A.方法二：由指数函数的性质可知：2x >0，又因为f(1)＝2，所以a<0，所以f(a)＝a ＋1，即a ＋1＋2＝0，解得a ＝－3，故选A.方法三：验证法，把a ＝－3代入f(a)＝a ＋1＝－2，又因为f(1)＝2，所以f(a)＋f(1)＝0，满足条件，从而选A.。
高三数学(理)一轮复习：阶段检测卷三 word版含解析
阶段检测三数列与不等式一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.若a,b,c为实数,且a<b<0,则下列结论正确的是()A.ac2<bc2B.<C.>D.a2>ab>b22.若集合A={x|x(x-2)<3},B={x|(x-a)(x-a+1)=0},且A∩B=B,则实数a的取值范围是()A.-1<a<3B.0<a<3C.0<a<4D.1<a<43.已知等比数列{a n}满足a1=3,a1+a3+a5=21,则a3+a5+a7=()A.21B.42C.63D.844.已知{a n}是等差数列,a5=15,a10=-10,记数列{a n}的第n项到第n+5项的和为T n,则|T n|取得最小值时的n的值为()A.5或6B.4或5C.6或7D.9或105.设变量x,y 满足约束条件则目标函数z=y-2x的最小值为()A.-7B.-4C.1D.26.已知函数f(x)=若数列{a n}(n∈N*)的前n项和为S n,且a1=,a n+1=f(a n),则S2016=()A.895B.896C.897D.8987.已知定义在R上的函数f(x)对任意x1,x2∈R,x1≠x2,都有(x1-x2)f(x1)-f(x2)]>0,若函数f(x+1)为奇函数,则不等式f(1-x)>0的解集为()A.(-∞,-1)B.(-∞,0)C.(0,+∞)D.(1,+∞)8.已知不等式2x+m+>0对一切x∈(1,+∞)恒成立,则实数m的取值范围是()A.(-10,+∞)B.(-∞,-10)C.(-∞,+∞)D.(-∞,-8)9.已知点P(m,n)到点A(0,4)和B(-8,0)的距离相等,则+的最小值为()A.-3B.3C.16D.410.函数y=f(x)为定义在R上的减函数,函数y=f(x-1)的图象关于点(1,0)对称,若x,y满足不等式f(x2-2x)+f(2y-y2)≤0,M(1,2),N(x,y),O为坐标原点,则当1≤x≤4时,·的取值范围为()A.12,+∞)B.0,3]C.3,12]D.0,12] 11.已知数列{a n}是等差数列,数列{b n}满足b n=a n a n+1a n+2(n∈N*),设S n为{b n}的前n项和,若a12=a5>0,则当S n取得最大值时n 的值为()A.15B.16C.17D.1812.在数列{a n}中,对于任意n∈N*,若存在常数λ1,λ2,…,λk,使得a n+k=λ1a n+k-1+λ2a n+k-2+…+λk a n(λi≠0,i=1,2,…,k)恒成立,则称数列{a n}为k阶数列.现给出下列三个结论:①若a n=2n,则数列{a n}为1阶数列;②若a n=2n+1,则数列{a n}为2阶数列;③若a n=n2,则数列{a n}为3阶数列.其中正确结论的序号是()A.①②B.①③C.②③D.①②③1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 得分二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把正确答案填在题中的横线上)13.已知集合A={x|x2-2x-3≤0},B={x|log2(x2-x)>1},则A∩B=.14.已知正实数m,n满足m+n=1,且使+取得最小值.若曲线y=x a过点P,则a的值为.15.在数列{a n}中,已知a1=1,a n+1-a n=sin,记S n为数列{a n}的前n项和,则S2016=.16.已知公差为2的等差数列{a n}及公比为2的等比数列{b n}满足a1+b1>0,a2+b2<0,则a3+b3的取值范围是.三、解答题(共70分,解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)设数列{a n}的前n项和为S n,已知a2=2,S4=4,a n+a n+2=2a n+1对任意n∈N*恒成立.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)在平面直角坐标系中,设u=(4,S2),v=(4k,-S3),若u∥v,求实数k的值.18.(本小题满分12分)已知关于x的不等式ax2-3x+2>0的解集为{x|x<1或x>b}.(1)求a,b的值;(2)当c∈R时,解关于x的不等式ax2-(ac+b)x+bc<0(用c表示).19.(本小题满分12分)设数列{a n}满足a1=2,a2+a4=8,且对任意n∈N*,函数f(x)=(a n-a n+1+a n+2)x+a n+1cosx-a n+2sinx满足f'=0.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)若b n =2,求数列{b n}的前n项和S n. 20.(本小题满分12分)经过多年的运作,“双十一”抢购活动已经演变成为整个电商行业的大型集体促销盛宴.在2015年“双十一”网购狂欢节前,某厂家拟投入适当的广告费,对网上所售产品进行促销.经调查测算,该促销产品在“双十一”的销售量p万件与促销费用x万元满足p=3-(其中0≤x≤a,a为正常数).已知生产该产品还需投入成本(10+2p)万元(不含促销费用),产品的销售价格定为元/件,假定厂家的生产能力能满足市场的销售需求.(1)将该产品的利润y万元表示为促销费用x万元的函数;(2)促销费用投入多少万元时,厂家的利润最大?并求出最大利润.21.(本小题满分12分)已知正项数列{a n},{b n},{c n}满足b n=a2n-1,c n=a2n,n∈N*,数列{b n}的前n项和为S n,(b n+1)2=4S n,数列{c n}的前n项和T n=3n-1.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)求数列{a n}的前n项和A n.22.(本小题满分12分)已知等差数列{a n}的前n项和为S n,a2=2,S5=15,数列{b n}满足:b1=,b n+1=b n(n∈N*),数列{b n}的前n 项和为T n.(1)求数列{a n}的通项公式及前n项和;(2)求数列{b n}的通项公式及前n项和;(3)记集合M=,若M的子集个数为16,求实数λ的取值范围.阶段检测三数列与不等式一、选择题1.D因为a<b<0,所以>,<1,>1,故<,>均不成立;当c2=0时,ac2<bc2不成立.故选D.2.B因为集合A={x|x(x-2)<3}={x|-1<x<3},B={x|(x-a)(x-a+1)=0}={a,a-1},且A∩B=B,所以B⊆A,即B中的两个元素a,a-1都在集合A中,则-1<a<3且-1<a-1<3,那么a的取值范围是0<a<3.3.B由于a1+a3+a5=a1(1+q2+q4)=21,a1=3,所以q4+q2-6=0,所以q2=2(q2=-3舍去),所以a3=6,a5=12,a7=24,所以a3+a5+a7=42.故选B.4.A 由得从而等差数列{a n}的通项公式为a n=40-5n,得T n=(40-5n)+…+(15-5n)=165-30n,因为|T n|≥0,且n∈N*,故当n=5或6时,|T n|取得最小值15.5.A解法一:将z=y-2x化为y=2x+z,作出可行域和直线y=2x(如图所示),当直线y=2x向右下方平移时,直线y=2x+z 在y轴上的截距z减小,数形结合知当直线y=2x+z经过点B(5,3)时,z取得最小值3-10=-7.故选A.解法二:易知平面区域的三个顶点坐标分别为(1,3),(2,0),(5,3),分别代入z=y-2x得z的值为1,-4,-7,故z的最小值为-7.故选A.6.B a1=,a2=f =,a3=f =-3=-,a4=,……,可得数列{a n}是周期为3的数列,一个周期内的三项之和为,又2016=672×3,所以S2016=672×==896.7.B令x1<x2,因为(x1-x2)f(x1)-f(x2)]>0,所以f(x1)<f(x2),故f(x)在R上是增函数.由f(x+1)为奇函数,得f(x)的图象关于点(1,0)对称,由不等式f(1-x)>0,得1-x>1,即x<0.8.A解法一:不等式2x+m+>0可化为2(x-1)+>-m-2,∵x>1,∴2(x -1)+≥2×2=8,当且仅当x=3时取等号.∵不等式2x+m+>0对一切x∈(1,+∞)恒成立,∴-m-2<8,解得m>-10,故选A.解法二:不等式2x+m+>0对一切x∈(1,+∞)恒成立可化为m>,x∈(1,+∞),令f(x)=-2x-,x∈(1,+∞),则f(x)=--2≤-2-2=-2×4-2=-10,当且仅当x=3时取等号,∴m>-10,故选A.9.C因为点P(m,n)到点A(0,4)和B(-8,0)的距离相等,所以=,即2m+n=-6,又>0,>0,所以+≥2=2=2=16,当且仅当即2m=n=-3时取等号.10.D由题意得函数y=f(x)的图象关于点(0,0)对称,则函数y=f(x)为奇函数,由f(x2-2x)+f(2y-y2)≤0,得f(x2-2x)≤f(-2y+y2),又y=f(x)为定义在R上的减函数,所以x2-2x≥-2y+y2,即(x-y)(x+y-2)≥0.作出不等式组表示的平面区域,如图中阴影部分所示,易得·=x+2y,设t=x+2y.易知当直线t=x+2y过点C(4,-2)时,t取得最小值0,当直线过点B(4,4)时,t取得最大值12,即·的取值范围为0,12].11.B设{a n}的公差为d,由a12=a5>0,得a1=-d,d<0,所以a n =d,从而当1≤n≤16时,a n>0,当a≥17时,a n<0,所以当1≤n≤14时,b n>0,b15=a15a16a17<0,b16=a16a17a18>0,当n≥17时,b n<0,故S14>S13>…>S1,S14>S15,S15<S16,S16>S17>S18>….因为a15=-d>0,a18=d<0,所以a15+a18=-d+d=d<0,所以b15+b16=a16a17(a15+a18)>0,所以S16>S14,故当S n取得最大值时n=16.12.D①∵a n=2n,∴∃k=1,λ=2,使a n+k=λa n+k-1成立,∴{a n}为1阶数列,故①正确;②∵a n=2n+1,∴∃k=2,λ1=2,λ2=-1,使a n+k=λ1a n+k-1+λ2a n+k-2成立,∴{a n}为2阶数列,故②正确;③∵a n=n2,∴∃k=3,λ1=3,λ2=-3,λ3=1,使a n+k=λ1a n+k-1+λ2a n+k-2+λ3a n+k-3成立,∴{a n}为3阶数列,故③正确.二、填空题13.答案(2,3]解析因为A={x|x2-2x-3≤0}=-1,3],B={x|log2(x2-x)>1}={x|x2-x>2}=(-∞,-1)∪(2,+∞),所以A∩B=(2,3]. 14.答案解析+=(m+n)=17++≥17+2=25,当且仅当n=4m=时取等号,故点P,由于曲线y=x a过点P,所以=,从而可得a=.15.答案1008解析由a n+1-a n =sin⇒a n+1=a n +sin,∴a2=a1+sinπ=1+0=1,a3=a2+sin=1+(-1)=0,a4=a3+sin2π=0+0=0,a5=a4+sin=0+1=1,如此继续可得a n+4=a n(n∈N*),数列{a n}是一个以4为周期的数列,而2016=4×504,因此S2016=504×(a1+a2+a3+a4)=504×(1+1+0+0)=1008.16.答案(-∞,-2)解析由题意可得该不等式组在平面直角坐标系a1Ob1中表示的平面区域如图中阴影部分所示.当直线a3+b3=a1+4+4b1经过点(2,-2)时a3+b3取得最大值-2,又(2,-2)不在平面区域内,则a3+b3<-2.三、解答题17.解析(1)∵a n+a n+2=2a n+1对任意n∈N*恒成立,∴数列{a n}是等差数列.设数列{a n}的公差为d,∵a2=2,S4=4,∴解得∴a n=a1+(n-1)d=-2n+6.(2)S n =·n=·n=-n2+5n,∴S2=6,S3=6,∴u=(4,6),v=(4k,-6),∵u∥v,∴4×(-6)=6×4k,∴k=-1.18.解析(1)由已知得1,b是方程ax2-3x+2=0的两个实数根,且b≥1,a>0,所以解得(2)由(1)得原不等式可化为x2-(2+c)x+2c<0,即(x-2)(x-c)<0,所以当c>2时,所求不等式的解集为{x|2<x<c},当c<2时,所求不等式的解集为{x|c<x<2},当c=2时,所求不等式的解集为⌀.19.解析(1)由题设可得f'(x)=a n-a n+1+a n+2-a n+1sinx-a n+2·cosx.对任意n∈N*,f'=a n-a n+1+a n+2-a n+1=0,即a n+1-a n=a n+2-a n+1,故{a n}为等差数列.由a1=2,a2+a4=8,求得{a n}的公差d=1,所以a n=2+(n-1)×1=n+1.(2)b n =2=2=2n++2,故S n=b1+b2+…+b n=2n+2·+=n2+3n+1-.20.解析(1)由题意知y=p-x-(10+2p),将p=3-代入,化简得y=16--x(0≤x≤a).(2)由(1)知y=17-,当a≥1时,y≤17-2=13,当且仅当=x+1,即x=1时取等号.所以促销费用投入1万元时,厂家的利润最大,最大利润为13万元.当a<1时,函数y=17-在0,a]上单调递增,所以当x=a时,函数有最大值,所以促销费用投入a万元时,厂家的利润最大,最大利润为万元.综上,当a≥1时,促销费用投入1万元,厂家的利润最大,且最大利润为13万元;当a<1时,促销费用投入a万元,厂家的利润最大,且最大利润为万元.21.解析(1)由(b n+1)2=4S n,得(b1+1)2=4b1,∴b1=1.又(b n-1+1)2=4S n-1,n≥2,则(b n+1)2-(b n-1+1)2=4S n-4S n-1=4b n,n≥2,化简得-=2(b n+b n-1),n≥2,又b n>0,所以b n-b n-1=2,n≥2,则数列{b n}是首项为1,公差为2的等差数列,所以b n=1+2(n-1)=2n-1=a2n-1,所以当n为奇数时,a n=n.由T n=3n-1得c1=2,T n-1=3n-1-1,n≥2,则c n=3n-3n-1=2×3n-1,n≥2,当n=1时,上式也成立,所以c n=2×3n-1=a2n,所以当n为偶数时,a n =2×.所以a n =(2)①当n为偶数时,A n 中有个奇数项,个偶数项,奇数项的和为=,偶数项的和为=-1,所以A n =+-1;②当n为奇数时,n+1为偶数,A n=A n+1-a n+1=+-1-2×=+-1.综上,可得A n =22.解析(1)设数列{a n}的公差为d,由题意得解得所以a n=n,S n =.(2)由题意得=·,当n≥2时,b n =··…··b1=·=,又b1=也满足上式,故b n =.故T n =+++…+①,T n =+++…++②,①-②得T n =+++…+-=-=1-,所以T n =2-.(3)由(1)(2)知=,令f(n)=,n∈N*,则f(1)=1,f(2)=,f(3)=,f(4)=,f(5)=.因为f(n+1)-f(n)=-=,所以当n≥3时,f(n+1)-f(n)<0,f(n+1)<f(n),因为集合M的子集个数为16,所以M中的元素个数为4,所以不等式≥λ,n∈N*的解的个数为4,所以<λ≤1.。
【数学】天津市2017届高三毕业班联考一数学理试题Word版含答案
【关键字】数学2017年天津市十二重点中学高三毕业班联考（一）数学(理)本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分.考试时间120分钟．第Ⅰ卷选择题(共40分)注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目填涂在答题卡规定的位置上．2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑；参考公式：·如果事件、互斥，那么柱体的体积公式. 其中表示柱体的底面积,表示柱体的高.一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．1.已知集合,，则= （）A. B. C. D.2.设变量满足线性约束条件则目标函数的最小值是（）A．B．C． D．3.阅读右边程序框图，当输入的值为时，运行相应程序，则输出的值为（）A．B．C．D．4.下列命题中真命题的个数是（）①若是假命题，则都是假命题；②命题“”的否定是“”；③若则是的充分不必要条件.A．B．C．D．5. 已知数列为等差数列，且满足.若展开式中项的系数等于数列的第三项，则的值为（）A．B．C．D．6.设的内角所对边的长分别为.若，，则的面积为（）A．B．C．D．7.已知函数是定义在上的偶函数，且在上单调递加，若对于任意，恒成立，则的取值范围是（）A．B．C．D．8．已知函数其中，对于任意且，均存在唯一实数，使得，且，若有4个不相等的实数根，则的取值范围是（）A．B．C．D．第Ⅱ卷非选择题(共110分)二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡中的相应横线上. 9．为虚数单位，则复数的模为.10. 向如图所示的边长为的正方形区域内任投一点，则该点落入阴影部分的概率为.11. 已知直线的参数方程为（为参数），圆的极坐标方程为，则圆上的点到直线的最大距离为.12. 一个几何体的三视图如图所示（单位：），则该几何体的体积为.13. 设抛物线（）的焦点为，准线为.过焦点的直线分别交抛物线于两点，分别过作的垂线，垂足.若，且三角形的面积为，则的值为.14.如图，直角梯形中，∥，.在等腰直角三角形中，，点分别为线段上的动点，若，则的取值范围是.三、解答题：本大题6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．15．（本小题满分13分）设函数.（Ⅰ）求的定义域及最小正周期；（Ⅱ）求在区间上的最值.16．（本小题满分13分）某厂生产的产品在出厂前都要做质量检测，每件一等品都能通过检测，每件二等品通过检测的概率为12．现有10件产品，其中6件是一等品，4件是二等品．（Ⅰ）随机选取3件产品，设至少有一件通过检测为事件A ，求事件A 的概率； （Ⅱ）随机选取3件产品，其中一等品的件数记为X ，求X 的分布列及数学期望EX .17．（本小题满分13分）如图，已知菱形ABCD 与直角梯形ABEF 所在的平面互相垂直，其中BE AF ∥ ，AB AF ⊥，122AB BE AF ===，3CBA π∠=，P 为DF 的中点.（Ⅰ）求证：PE ∥平面ABCD ； （Ⅱ）求二面角D EF A －－的余弦值；（Ⅲ）设G 为线段AD 上一点，AG AD λ=， 若直线FG 与平面ABEF 所成角的正弦值AG 的长.18．（本小题满分13分）已知等比数列{}n a 的公比1q >，且2031=+a a ，82=a ． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设n n a n b =，n S 是数列{}n b 的前n 项和，对任意正整数n 不等式a nS n n n ⋅->++)1(21恒成立，求实数a 的取值范围.19．（本小题满分14分）已知椭圆:E 22221x y a b+=的焦点在x 轴上，椭圆E 的左顶点为A ，斜率为(0)k k >的直线交椭圆E 于,A B 两点，点C 在椭圆E 上，AB AC ⊥，直线AC 交y 轴于点D ．（Ⅰ）当点B 为椭圆的上顶点，ABD ∆的面积为2ab 时，求椭圆的离心率；（Ⅱ）当b AB AC ==时，求k 的取值范围．20．（本小题满分14分）设函数()2ln f x x a x =-，()g x =()2a x -.（Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）若函数()()()F x f x g x =-有两个零点12,x x .(1)求满足条件的最小正整数a 的值；F EP EDEC DB AA C(2)2017年天津市十二重点中学高三毕业班联考（一）数学理科参考答案一、选择题:每小题5分，满分40分二、填空题:每小题5分，共30分.10.18；11.12.1；；14. 1⎤-⎥⎣⎦.三、解答题：本大题6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．（本小题满分13分）………2分………4分由()42xk k Zππ≠+∈得()f x的定义域为(){}|24x x k k Zππ≠+∈………6分（k Z∈占1分）故()f x的最小正周期为2412Tππ==……7分（Ⅱ）0xπ-≤≤23266xπππ∴-≤-≤-……8分2,,()26326xx f xπππππ⎡⎤⎡⎤∴-∈--∈--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，即，单调递减……9分0,()26266xx f xππππ⎡⎤⎡⎤∴-∈-∈-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，-,即，单调递增……10分min()()6f x fπ∴=-=……11分而3(0)()2f f π∴=-=- ……12分max ()(0)2f x f ∴==-. ……13分 （注：结果正确，但没写单调区间扣2分）16．（本小题满分13分）解：(Ⅰ) 3343101239(A)1()2240C P C =-⋅=所以随机选取3件产品，至少有一件通过检测的概率为239240. ……5分 （Ⅱ）由题可知X 可能取值为0,1,2,3. ……6分30463101(0)30C C P X C ===,21463103(1)10C C P X C ===,12463101(2)2C C P X C ===,03463101(3)6C C P X C ===. ……10分则随机变量X 的分布列为……11分1311901233010265EX =⨯+⨯+⨯+⨯= ……13分 17．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）取AD 的中点Q ，连接PQ BQ ，，则PQ ∥AF ∥BE ,且12PQ AF BE ＝＝，所以四边形BEPQ 为平行四边形 ……2分所以PE ∥BQ ，又BQ ⊂平面ABCD ，PE ⊄ 平面ABCD ，则PE ∥平面ABCD . ……3分（Ⅱ）取AB 中点O ，连接CO ，则CO AB ⊥， 因为平面ABCD ⊥平面ABEF ，交线为AB ，则CO ⊥平面ABEF……4分作OM ∥AF ，分别以,,OB OM OC 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，则((1,4,0),E(1,2,0)D F -- ……5分于是(1,4,3),(2,2,0)DF EF =-=- ，设平面DEF 的法向量(,,)m x yz = ，则{4022x y x +-=-+令1x =，则1,y z == ……6分平面AEF 的法向量(0,0,1)n = ……7分所以3cos ,3131m n == (8)分又因为二面角D EF A －－. ……9分 （Ⅲ）(1,0,0),(1,0,3),(),A AD AG λ-=-=-则()G λ-- ，(,)FG λ=-- ，而平面ABEF 的法向量为(0,0,1)m =，设直线FG与平面ABEF 所成角为θ，于是sinθ==……11分于是λ=AG = . ……13分 18．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）设数列{}n a 的公比为q ，则⎩⎨⎧==+820)1(121q a q a ，……1分 ∴02522=+-q q …2分∵1q >，∴⎩⎨=21q ，∴数列{}n a 的通项公式为12+=n n a ．……5分（Ⅱ）解：12+=n n n b∴14322232221+++++=n n nS =n S 21 21432212221+++-+++n n nn ∴2143222121212121++-+++=n n n nS ……7分 ∴1321221212121+-+++=n n n n S =1112212212121++++-=--n n n n n ……9分∴n n a 211)1(-<⋅-对任意正整数n 恒成立，设n n f 211)(-=，易知)(n f 单调递增． ……10分n 为奇数时，)(n f 的最小值为21，∴21<-a 得21->a ， ……11分n 为偶数时，)(n f 的最小值为43，∴43<a ， ……12分综上，4321<<-a ，即实数a 的取值范围是)43,21(-． ……13分19．（本小题满分14分） 解：直线AB 的方程为by x b a=+ 直线AC 的方程为()ay x a b =-+，令0x =，2a y b =- ……2分21()22ABDa Sb a ab b∆=⋅+⋅= ……3分于是2224a b b += ，223,e c a b a === ……5分（Ⅱ）直线AB 的方程为()y k x a =+，联立()213a y k x a +=⎪⎨⎪=+⎩并整理得，()222324223230a k x a k x a k a +++-=解得x a =-或322233a k a x a k -=-+， ……7分2263a AB a a k==+所以 ……8分263aAC a k k=+同理 ……9分 因为2AB AC =22266233aaa a kk k=++所以，整理得，223632k k a k -=-． ……11分因为椭圆E 的焦点在x 轴，所以23a >，即236332k kk ->-，……13分整理得()()231202kk k +-<-2k <<．……14分20．（本小题满分14分）解：……1分当0a ≤时， ()'0f x >在()0,+∞上恒成立，所以函数()f x 单调递增区间为()0,+∞， 此时()f x 无单调减区间． ……2分 当0a >时，由()'0f x >，()'0f x <，得所以函数()f x……3分 （Ⅱ）（1因为函数()F x 有两个零点，所以0a >，此时函数()f x 在,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递增，在0,2a ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减. ……4分 所以()F x 的最小值244ln 02a a a a -+-<. ……5分 因为0a >，所以4ln 402aa +->. 令()4ln42ah a a =+-，显然()h a 在()0,+∞上为增函数，且 ()()381220,34ln 1ln 10216h h =-<=-=->，所以存在()()002,3,0a h a ∈=.…6分当0a a >时，()0h a >；当00a a <<时，()0h a <，所以满足条件的最小正整数3a =. ……7分又当3a =时，()()()332ln30,F 10F =->=，所以3a =时，()f x 有两个零点． 综上所述，满足条件的最小正整数a 的值为3. ……8分（2）证明 ：不妨设120x x <<，于是()()22111222-2ln -2ln ,x a x a x x a x a x --=-- 即()()221112222ln 2ln 0x a x a x x a x a x ----+-+=，()2211221122112222ln ln ln ln x x x x ax a x ax a x a x x x x +--=+--=+--．所以221122112222ln ln ＋－－＋－－x x x x a x x x x =. ……10分0,2a x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0F x '<，当,2a x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()F'0x >， 2a 即可，即证明22112211221222ln ln ＋－－＋－－x x x x x x x x x x +>， ……11分即证()()22221212121122ln ln 22x x x x x x x x x x -++-<+--，也就是证11221222ln－＋x x x x x x <. ……12分 设()1201x t t x =<<．因为0t >，所以()0m t '≥， ……13分 当且仅当1t =时，()0m t '=， 所以()m t 在()0,+∞上是增函数．又()10m =，所以当()()0,1,m 0m t ∈<总成立,所以原题得证． ……14分此文档是由网络收集并进行重新排版整理.word 可编辑版本！。
天津市和平区2017届高三总复习质量检测数学(理)试题Word版含解析
天津市和平区2017届高三总复习质量检测数学（理）试题一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合A={x|x 2﹣3x ＜0，x ∈R}，B={x||x|＞2，x ∈R}，则A∩B=（ ）A ．（2，3）B ．（﹣2，0）C ．（﹣2，3）D ．（0，2）2．若复数z=是纯虚数（i 是虚数单位），则实数a 的值为（ ）A ．B ．﹣1C ．1D ．3．某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．16+2πB ．16+πC ．8+2πD ．8+π4．设a ，b ∈R ，则“2a +2b =2a+b ”是“a+b≥2”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．已知双曲线的中心在原点，焦点在x 轴上，若其渐近线与圆x 2+y 2﹣4y+3=0相切，则此双曲线的离心率等于（ ）A ．B ．C ．D ．26．实数x ，y 满足不等式组为常数），且x+3y 的最大值为12，则实数k=（ ）A ．9B ．﹣9C ．﹣12D ．127．已知函数y=f （x ）是R 上的偶函数，当x 1，x 2∈（0，+∞）时，都有（x 1﹣x 2）•[f （x 1）﹣f （x 2）]＜0．设，则（ ）A ．f （a ）＞f （b ）＞f （c ）B ．f （b ）＞f （a ）＞f （c ）C ．f （c ）＞f （a ）＞f （b ）D ．f （c ）＞f （b ）＞f （a ）8．若存在至少一个x （x≥0）使得关于x 的不等式x 2≤4﹣|2x ﹣m|成立，则实数m 的取值范围为（ ）A ．[﹣4，5]B ．[﹣5，5]C ．[4，5]D ．[﹣5，4]二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上.9．执行如图所示的程序框图，则输出的结果是 ．10．如图，切线PA切圆O于点A，割线PBC与圆O交于点B，C，且PC=2PA，D为线段PC的中点，AD的延长线交圆O于点E．若PB=，则AD•DE的值为．11．（x﹣）6的展开式中常数项为．12．由曲线y=3x2与直线y=3所围成的封闭图形的面积是．13．设x，y是正实数，且x+y=1，则的最小值是．14．在△ABC中，||=3，||=5，M是BC的中点， =λ（λ∈R），若=+，则△ABC的面积为．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．已知函数f（x）=4cosωx•sin（ωx+）+a（ω＞0）图象上最高点的纵坐标为2，且图象上相邻两个最高点的距离为π．（Ⅰ）求a和ω的值；（Ⅱ）求函数f（x）在[0，π]上的单调递减区间．16．已知盒中有4个红球，4个黄球，4个白球，且每种颜色的四个球均按A ，B ，C ，D 编号．现从中摸出4个球（除颜色与编号外球没有区别）．（Ⅰ）求恰好包含字母A ，B ，C ，D 的概率；（Ⅱ）设摸出的4个球中出现的颜色种数为X ，求随机变量X 的分布列和期望E （X ）．17．如图，在四棱锥S ﹣ABCD 中，底面ABCD 是正方形，SA ⊥底面ABCD ，SA=AB ，点M 是SD 的中点，AN ⊥SC ，且交SC 于点N ．（Ⅰ）求证：SB ∥平面ACM ；（Ⅱ）求证：平面SAC ⊥平面AMN ；（Ⅲ）求二面角D ﹣AC ﹣M 的余弦值．18．设数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1=1，a n+1=λS n +1（n ∈N *，λ≠﹣1），且a 1、2a 2、a 3+3为等差数列{b n }的前三项．（Ⅰ）求数列{a n }、{b n }的通项公式；（Ⅱ）求数列{a n b n }的前n 项和．19．在平面直角坐标系xoy 中，椭圆的焦距为2，一个顶点与两个焦点组成一个等边三角形．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）椭圆C 的右焦点为F ，过F 点的两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与椭圆C 交于P ，Q 两点，直线l 2与直线x=4交于T 点．（i ）求证：线段PQ 的中点在直线OT 上；（ii ）求的取值范围．20．已知关于x 函数g （x ）=﹣alnx （a ∈R ），f （x ）=x 2+g （x ）（Ⅰ）试求函数g （x ）的单调区间；（Ⅱ）若f （x ）在区间（0，1）内有极值，试求a 的取值范围；（Ⅲ）a ＞0时，若f （x ）有唯一的零点x 0，试求[x 0]．（注：[x]为取整函数，表示不超过x 的最大整数，如[0.3]=0，[2.6]=2[﹣1.4]=﹣2；以下数据供参考：ln2=0.6931，ln3=1.099，ln5=1.609，ln7=1.946）天津市和平区2017届高三总复习质量检测数学（理）试题参考答案与试题解析一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合A={x|x2﹣3x＜0，x∈R}，B={x||x|＞2，x∈R}，则A∩B=（）A．（2，3）B．（﹣2，0）C．（﹣2，3）D．（0，2）【考点】交集及其运算．【分析】求出A与B中不等式的解集确定出A与B，找出A与B的交集即可．【解答】解：由A中不等式变形得：x（x﹣3）＜0，解得：0＜x＜3，即A=（0，3），由B中不等式解得：x＞2或x＜﹣2，即B=（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞），则A∩B=（2，3），故选：A．2．若复数z=是纯虚数（i是虚数单位），则实数a的值为（）A．B．﹣1 C．1 D．【考点】复数代数形式的乘除运算；复数的基本概念．【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部为0且虚部不为0求得a值．【解答】解：∵z==是纯虚数，∴，解得：a=﹣1．故选：B．3．某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．16+2πB．16+πC．8+2πD．8+π【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】根据三视图可知几何体下部为长方体，上部为两个半圆柱，代入体积公式计算即可．【解答】解：由三视图可知几何体由一个长方体和两个半圆柱组成．长方体的棱长分别为4，2，1，半圆柱的底面半径为1，高为2，∴几何体的体积V=4×2×1+π×12×2=8+2π．故选：C．4．设a，b∈R，则“2a+2b=2a+b”是“a+b≥2”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合不等式的性质进行判断即可．【解答】解：若a=0，b=3，满足a+b≥2但2a+2b=1+8=9，2a+b=8，则2a+2b=2a+b不成立，若2a+2b=2a+b，则2a+b=2a+2b，即（2a+b）2≥4（2a+b），解得2a+b≥4或2a+b≤0（舍去），即a+b≥2成立，即“2a+2b=2a+b”是“a+b≥2”的充分不必要条件，故选：A5．已知双曲线的中心在原点，焦点在x轴上，若其渐近线与圆x2+y2﹣4y+3=0相切，则此双曲线的离心率等于（）A．B．C．D．2【考点】双曲线的简单性质．【分析】利用双曲线（a＞0，b＞0）的一条渐近线y=x与圆x2+y2﹣4y+3=0相切⇔圆心（0，2）到渐近线的距离等于半径r，利用点到直线的距离公式和离心率的计算公式即可得出．【解答】解：取双曲线（a＞0，b＞0）的一条渐近线y=x，即bx﹣ay=0．由圆x2+y2﹣4y+3=0化为x2+（y﹣2）2=1．圆心（0，2），半径r=1．∵渐近线与圆x2+y2﹣4y+3=0相切，∴ =1化为3a2=b2．∴该双曲线的离心率e===2．故选：D．6．实数x，y满足不等式组为常数），且x+3y的最大值为12，则实数k=（）A．9 B．﹣9 C．﹣12 D．12【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对于的平面区域，设z=x+3y，利用数形结合即可得到结论．【解答】解：作出不等式组对于的平面区域如图：设z=x+3y，则z的最大值为12，即x+3y=12，且y=，则直线y=的截距最大时，z 也取得最大值，则不等式组对应的平面区域在直线y=的下方，由，解得，即A （3，3），此时A 也在直线2x+y+k=0上，即6+3+k=0，解得k=﹣9，故选：B ．7．已知函数y=f （x ）是R 上的偶函数，当x 1，x 2∈（0，+∞）时，都有（x 1﹣x 2）•[f （x 1）﹣f （x 2）]＜0．设，则（ ）A ．f （a ）＞f （b ）＞f （c ）B ．f （b ）＞f （a ）＞f （c ）C ．f （c ）＞f （a ）＞f （b ）D ．f （c ）＞f （b ）＞f （a ）【考点】函数奇偶性的性质．【分析】根据已知条件便可判断f （x ）在（0，+∞）上单调递减，f （x ）是偶函数，所以f （x ）=f （|x|），所以根据对数的运算，及对数的取值比较|a|，|b|，|c|的大小即可得出f （a ），f （b ），f （c ）的大小关系．【解答】解：根据已知条件便知f （x ）在（0，+∞）上是减函数；且f （a ）=f （|a|），f （b ）=f （|b|），f （c ）=f （|c|）；|a|=ln π＞1，b=（ln π）2＞|a|，c=；∴f （c ）＞f （a ）＞f （b ）．故选：C ．8．若存在至少一个x （x≥0）使得关于x 的不等式x 2≤4﹣|2x ﹣m|成立，则实数m 的取值范围为（ ）A ．[﹣4，5]B ．[﹣5，5]C ．[4，5]D ．[﹣5，4]【考点】函数的最值及其几何意义．【分析】不等式可化为|2x ﹣m|≤﹣x 2+4；先求对任意x≥0，都有|2x ﹣m|＞﹣x 2+4；作函数图象，由数形结合求实数m 的取值范围．【解答】解：不等式x2≤4﹣|2x﹣m|可化为|2x﹣m|≤﹣x2+4；若对任意x≥0，都有|2x﹣m|＞﹣x2+4，作函数y=|2x﹣m|与y=﹣x2+4的图象如下，结合图象可知，当m＞5或m＜﹣4时，对任意x≥0，都有|2x﹣m|＞﹣x2+4；故实数m的取值范围为[﹣4，5]；故选A．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上.9．执行如图所示的程序框图，则输出的结果是20 ．【考点】程序框图．【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：模拟程序的运行，可得S=0，n=1执行循环体，S=3，n=2不满足条件S≥15，执行循环体，S=9，n=3不满足条件S≥15，执行循环体，S=20，n=4满足条件S≥15，退出循环，输出S的值为20．故答案为：20．10．如图，切线PA切圆O于点A，割线PBC与圆O交于点B，C，且PC=2PA，D为线段PC的中点，AD的延长线交圆O于点E．若PB=，则AD•DE的值为．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】利用切割线定理，可得PA，利用切割线定理证明PD=2PB，PB=BD，结合相交弦定理可得AD•DE=2PB2，即可得出结论【解答】解：∵PA是切线，A为切点，割线PBC与⊙O相交于点B，C，∴PA2=PB•PC，∵PC=2PA，PB=，∴PA2=•2PA，∴PA=．∵PA2=PB•PC，PC=2PA，∴PA=2PB，∴PD=2PB，∴PB=BD=，∴BD•DC=PB•2PB，∵AD•DE=BD•DC，∴AD•DE=2PB2=．故答案为：．11．（x﹣）6的展开式中常数项为﹣．【考点】二项式系数的性质．【分析】利用二项展开式的通项公式求出二项展开式的第r+1项，令x的指数为0得常数项．【解答】解：展开式的通项公式为T r+1=（﹣）r C 6r x 6﹣2r ，令6﹣2r=0得r=3，得常数项为C 63（﹣）3=﹣．故答案为：﹣．12．由曲线y=3x 2与直线y=3所围成的封闭图形的面积是 4 ．【考点】定积分．【分析】联立，解得x=±1．曲线y=3x 2与直线y=3所围成的封闭图形的面积S=，解出即可得出．【解答】解：联立，解得x=±1．曲线y=3x 2与直线y=3所围成的封闭图形的面积S===4．故答案为：4．13．设x ，y 是正实数，且x+y=1，则的最小值是 ． 【考点】基本不等式．【分析】该题是考查利用基本不等式求最值问题，但直接运用基本不等式无从下手，可考虑运用换元思想，把要求最值的分母变为单项式，然后利用“1”的代换技巧转化为能利用基本不等式求最值得问题．【解答】解：设x+2=s ，y+1=t ，则s+t=x+y+3=4， 所以==．因为所以．故答案为．14．在△ABC中，||=3，||=5，M是BC的中点， =λ（λ∈R），若=+，则△ABC的面积为．【考点】平面向量的基本定理及其意义．【分析】在△ABC的顶点A作边BC的垂线BO，垂足为O，这样可表示出cosB=，cosC=，从而得到，而根据已知条件及中线向量的表示即可得到，所以便得出O是BC的中点，即M，O重合．所以在Rt△ABM中可以求出sinB，所以根据三角形的面积公式可求出△ABC 的面积．【解答】解：如图所示，过A作边BC的垂线，垂足为O，则：cosB=，cosC=；∴；根据题意知λ≠0；∴；∴；∴；即O是边BC的中点，M与O重合；∴在Rt△ABM中，；∴；∴．故答案为：．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．已知函数f（x）=4cosωx•sin（ωx+）+a（ω＞0）图象上最高点的纵坐标为2，且图象上相邻两个最高点的距离为π．（Ⅰ）求a和ω的值；（Ⅱ）求函数f（x）在[0，π]上的单调递减区间．【考点】正弦函数的单调性；两角和与差的正弦函数．【分析】（Ⅰ）根据条件确定函数最值和周期，利用三角函数的公式进行化简即可求a和ω的值；（Ⅱ）根据三角函数的单调性即可求出函数的单调递减区间．【解答】解：（Ⅰ）==．当时，f（x）取得最大值2+1+a=3+a又f（x）最高点的纵坐标为2，∴3+a=2，即a=﹣1．又f（x）图象上相邻两个最高点的距离为π，∴f（x）的最小正周期为T=π故，ω=1（Ⅱ）由（Ⅰ）得由．得．令k=0，得：．故函数f（x）在[0，π]上的单调递减区间为16．已知盒中有4个红球，4个黄球，4个白球，且每种颜色的四个球均按A，B，C，D编号．现从中摸出4个球（除颜色与编号外球没有区别）．（Ⅰ）求恰好包含字母A，B，C，D的概率；（Ⅱ）设摸出的4个球中出现的颜色种数为X，求随机变量X的分布列和期望E（X）．【考点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差．【分析】（Ⅰ）记事件“恰好包含字母A，B，C，D”为E，利用古典概型的概率公式计算即可；（Ⅱ）由题意可得随机变量X的取值可能为：1，2，3，分别求其概率，可得分布列为，进而可得数学期望．【解答】（本小题满分13分）解：（Ⅰ）记事件“恰好包含字母A，B，C，D”为E，则P（E）==．…（Ⅱ）随机变量X的所有可能取值为1，2，3．…∵P（X=1）==，P（X=2）==，P（X=3）==，…∴随机变量X的分布列为：1 2 3∴EX=1×=．…17．如图，在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，SA⊥底面ABCD，SA=AB，点M是SD的中点，AN⊥SC，且交SC于点N．（Ⅰ）求证：SB∥平面ACM；（Ⅱ）求证：平面SAC⊥平面AMN；（Ⅲ）求二面角D﹣AC﹣M的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）连结BD交AC于E，连结ME，由△DSB的中位线定理，得ME∥SB，由此能证明SB∥平面ACM．（Ⅱ）法一：由DC⊥SA，DC⊥DA，得DC⊥平面SAD，从而AM⊥DC，由等腰三角形性质得AM⊥SD，从而AM ⊥平面SDC，进而SC⊥AM，由SC⊥AN，能证明平面SAC⊥平面AMN．法二：以A为坐标原点，建立空间直角坐标系O﹣xyz，利用向量法能证明平面SAC⊥平面AMN．（Ⅲ）法一：取AD中点F，则MF∥SA．作FQ⊥AC于Q，连结MQ，由已知得∠FQM为二面角D﹣AC﹣M的平面角，由此能求出二面角D﹣AC﹣M的余弦值．法二：分别求出平面ABCD的一个法向量和平面ACM的一个法向量，由此利用向量法能求出二面角D﹣AC﹣M 的余弦值．【解答】（选修2一1第109页例4改编）（Ⅰ）证明：连结BD交AC于E，连结ME，∵ABCD是正方形，∴E是BD的中点．∵M是SD的中点，∴ME是△DSB的中位线．∴ME∥SB．…又ME⊂平面ACM，SB⊄平面ACM，∴SB∥平面ACM．…（Ⅱ）证法一：由条件有DC⊥SA，DC⊥DA，∴DC⊥平面SAD，且AM⊂平面SAD，∴AM⊥DC．又∵SA=AD，M是SD的中点，∴AM⊥SD．∴AM⊥平面SDC．SC⊂平面SDC，∴SC⊥AM．…由已知SC⊥AN，∴SC⊥平面AMN．又SC⊂平面SAC，∴平面SAC⊥平面AMN．…（Ⅱ）证法二：如图，以A为坐标原点，建立空间直角坐标系O﹣xyz，由SA=AB，可设AB=AD=AS=1，则．∵，，∴，∴，即有SC⊥AM…又SC⊥AN且AN∩AM=A．∴SC⊥平面AMN．又SC⊂平面SAC，∴平面SAC⊥平面AMN．…（Ⅲ）解法一：取AD中点F，则MF∥SA．作FQ⊥AC于Q，连结MQ．∵SA⊥底面ABCD，∴MF⊥底面ABCD．∴FQ为MQ在平面ABCD内的射影．∵FQ⊥AC，∴MQ⊥AC．∴∠FQM为二面角D﹣AC﹣M的平面角．…设SA=AB=a，在Rt△MFQ中，，∴．∴二面角D﹣AC﹣M的余弦值为．…（Ⅲ）解法二：∵SA⊥底面ABCD，∴是平面ABCD的一个法向量，．设平面ACM 的法向量为，，则即，∴令x=﹣1，则．…，由作图可知二面角D ﹣AC ﹣M 为锐二面角∴二面角D ﹣AC ﹣M 的余弦值为．…18．设数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1=1，a n+1=λS n +1（n ∈N *，λ≠﹣1），且a 1、2a 2、a 3+3为等差数列{b n }的前三项．（Ⅰ）求数列{a n }、{b n }的通项公式；（Ⅱ）求数列{a n b n }的前n 项和．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（1）由a n+1=λS n +1（n ∈N *，λ≠﹣1），当n≥2时，a n =λS n ﹣1+1，可得a n+1=（1+λ）a n ，利用等比数列的通项公式可得a 3，再利用等差数列的通项公式即可得出；（2）利用“错位相减法”、等比数列的前n 项和公式即可得出．【解答】解：（1）∵a n+1=λS n +1（n ∈N *，λ≠﹣1），∴当n≥2时，a n =λS n ﹣1+1，∴a n+1﹣a n =λa n ，即a n+1=（1+λ）a n ，又a 1=1，a 2=λa 1+1=λ+1，∴数列{a n }为以1为首项，公比为λ+1的等比数列，∴a 3=（λ+1）2，∵a 1、2a 2、a 3+3为等差数列{b n }的前三项．∴4（λ+1）=1+（λ+1）2+3，整理得（λ﹣1）2=0，解得λ=1．∴a n =2n ﹣1，b n =1+3（n ﹣1）=3n ﹣2．（2）a n b n =（3n ﹣2）•2n ﹣1，∴数列{a n b n }的前n 项和T n =1+4×2+7×22+…+（3n ﹣2）•2n ﹣1，2T n =2+4×22+7×23+…+（3n ﹣5）×2n ﹣1+（3n ﹣2）×2n ，∴﹣T n =1+3×2+3×22+…+3×2n ﹣1﹣（3n ﹣2）×2n =﹣（3n ﹣2）×2n =（5﹣3n ）×2n ﹣5，∴T n =（3n ﹣5）×2n +5．19．在平面直角坐标系xoy 中，椭圆的焦距为2，一个顶点与两个焦点组成一个等边三角形．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）椭圆C 的右焦点为F ，过F 点的两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与椭圆C 交于P ，Q 两点，直线l 2与直线x=4交于T 点．（i ）求证：线段PQ 的中点在直线OT 上；（ii ）求的取值范围．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）根据条件求出a ，b ，c 即可求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）设PQ 的方程为：x=my+1代入椭圆方程，利用根与系数之间的关系求出OG 和OT 的斜率，利用直线和椭圆相交的相交弦公式进行求解即可．【解答】解：（Ⅰ）由椭圆得，解得a=2，c=1，b=，故所求椭圆的标准方程为．（Ⅱ）（i ）设直线PQ 的方程为：x=my+1，代入椭圆方程得（3m 2+4）y 2+6my ﹣9=0，则判别式△=36m 2+4×9（3m 2+4）＞0，设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），PQ 的中点G （x 0，y 0），则y 1+y 2=，y 1y 2=，则y 0=（y 1+y 2）=，x 0=my 0+1=，即G （，），k OG ==﹣，设直线FT 的方程为：y=﹣m （x ﹣1），得T 点坐标为（4，﹣3m ），∵k OT =﹣，∴k OG =k OT ，即线段PQ 的中点在直线OT 上；（ii ）当m=0时，PQ 的中点为F ，T （4，0），则|TF|=3，|PQ|=，，当m≠0时，|TF|==，|PQ|====12，则==（3+），设t=，则t ＞1，则y=3+=3t+=3（t+）在（1，+∞）为增函数，则y ＞3+1=4，则（3+），综上≥1，故求的取值范围是[1，+∞）．20．已知关于x 函数g （x ）=﹣alnx （a ∈R ），f （x ）=x 2+g （x ）（Ⅰ）试求函数g （x ）的单调区间；（Ⅱ）若f （x ）在区间（0，1）内有极值，试求a 的取值范围；（Ⅲ）a ＞0时，若f （x ）有唯一的零点x 0，试求[x 0]．（注：[x]为取整函数，表示不超过x 的最大整数，如[0.3]=0，[2.6]=2[﹣1.4]=﹣2；以下数据供参考：ln2=0.6931，ln3=1.099，ln5=1.609，ln7=1.946）【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．【分析】（I ）g （x ）=﹣alnx （x ＞0），g′（x ）==﹣，对a 分类讨论：当a≥0时，当a ＜0时，即可得出单调性；（II ）f （x ）=x 2+g （x ），其定义域为（0，+∞）．f′（x ）=2x+g′（x ）=，令h （x ）=2x 3﹣ax ﹣2，x ∈[0，+∞），h′（x ）=6x 2﹣a ，当a ＜0时，可得：函数h （x ）在（0，1）内至少存在一个变号零点x 0，且x 0也是f′（x ）的变号零点，此时f （x ）在区间（0，1）内有极值．当a≥0时，由于函数f （x ）单调，因此函数f （x ）无极值．（III ）a ＞0时，由（II ）可知：f （1）=3知x ∈（0，1）时，f （x ）＞0，因此x 0＞1．又f′（x ）在区间（1，+∞）上只有一个极小值点记为x 1，由题意可知：x 1即为x 0．得到，即，消去a 可得：，a ＞0，令t 1（x ）=2lnx （x ＞1），，分别研究单调性即可得出x 0的取值范围．【解答】解：（I ）g （x ）=﹣alnx （x ＞0），g′（x ）==﹣，（i ）当a≥0时，g′（x ）＜0，∴（0，+∞）为函数g （x ）的单调递减区间；（ii ）当a ＜0时，由g′（x ）=0，解得x=﹣．当x ∈时，g′（x ）＜0，此时函数g （x ）单调递减；当x ∈时，g′（x ）＞0，此时函数g （x ）单调递增．（II ）f （x ）=x 2+g （x ），其定义域为（0，+∞）．f′（x ）=2x+g′（x ）=，令h （x ）=2x 3﹣ax ﹣2，x ∈[0，+∞），h′（x ）=6x 2﹣a ，当a ＜0时，h′（x ）≥0恒成立，∴h （x ）为（0，+∞）上的增函数，又h （0）=﹣2＜0，h （1）=﹣a ＞0，∴函数h （x ）在（0，1）内至少存在一个变号零点x 0，且x 0也是f′（x ）的变号零点，此时f （x ）在区间（0，1）内有极值．当a≥0时，h （x ）=2（x 3﹣1）﹣ax ＜0，即x ∈（0，1）时，f′（x ）＜0恒成立，函数f （x ）无极值．综上可得：f （x ）在区间（0，1）内有极值的a 的取值范围是（﹣∞，0）． （III ）∵a ＞0时，由（II ）可知：f （1）=3知x ∈（0，1）时，f （x ）＞0， ∴x 0＞1．又f′（x ）在区间（1，+∞）上只有一个极小值点记为x 1，且x ∈（1，x 1）时，函数f （x ）单调递减，x ∈（x 1，+∞）时，函数f （x ）单调递增， 由题意可知：x 1即为x 0．∴，∴，消去a 可得：，a ＞0，令t 1（x ）=2lnx （x ＞1），， 则在区间（1，+∞）上t 1（x ）单调递增，t 2（x ）单调递减．t 1（2）=2ln2＜2×0.7==t 2（2），t 1（3）=2ln3＞2＞=t 2（3）． ∴2＜x 0＜3，∴[x 0]=2．。
高考数学(理)大一轮复习习题：第二章 函数的概念与基本初等函数ⅰ word版含答案
第二章⎪⎪⎪函数的概念与基本初等函数Ⅰ第一节函数及其表示 突破点(一) 函数的定义域基础联通 抓主干知识的“源”与“流”1．函数与映射的概念 函数映射两集合A ，B设A ，B 是两个非空的数集 设A ，B 是两个非空的集合 对应关系f ：A →B如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数f (x )和它对应如果按某一个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个元素x ，在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应名称 称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数称对应f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个映射记法y ＝f (x )，x ∈A对应f ：A →B(1)函数的定义域、值域：在函数y ＝f (x )，x ∈A 中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f (x )|x ∈A }叫做函数的值域．显然，值域是集合B 的子集．(2)函数的三要素：定义域、值域和对应关系．(3)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据．考点贯通 抓高考命题的“形”与“神”求给定解析式的函数的定义域(1)分式函数中分母不等于零．(2)偶次根式函数的被开方式大于或等于0. (3)一次函数、二次函数的定义域均为R. (4)y ＝x 0的定义域是{x |x ≠0}．(5)y ＝a x (a >0且a ≠1)，y ＝sin x ，y ＝cos x 的定义域均为R. (6)y ＝log a x (a >0且a ≠1)的定义域为(0，＋∞)．(7)y ＝tan x 的定义域为⎩⎨⎧ x ⎪⎪⎭⎬⎫x ≠k π＋π2，k ∈Z .[例1] y ＝x －12x－log 2(4－x 2)的定义域是( ) A ．(－2,0)∪(1,2) B ．(－2,0]∪(1,2) C ．(－2,0)∪[1,2)D ．[－2,0]∪[1,2][解析] 要使函数有意义，必须⎩⎪⎨⎪⎧x －12x ≥0，x ≠0，4－x 2>0，∴x ∈(－2,0)∪[1,2)．即函数的定义域是(－2,0)∪[1,2)． [答案] C [易错提醒](1)不要对解析式进行化简变形，以免定义域发生变化．(2)当一个函数由有限个基本初等函数的和、差、积、商的形式构成时，定义域一般是各个基本初等函数定义域的交集．(3)定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示，不能用“或”连接，而应该用并集符号“∪”连接．求抽象函数的定义域对于抽象函数定义域的求解(1)若已知函数f (x )的定义域为[a ，b ]，则复合函数f (g (x ))的定义域由不等式a ≤g (x )≤b 求出；(2)若已知函数f (g (x ))的定义域为[a ，b ]，则f (x )的定义域为g (x )在x ∈[a ，b ]上的值域． [例2] 若函数y ＝f (x )的定义域是[0,2]，则函数g (x )＝f (2x )x －1的定义域为________．[解析] 由题意得，⎩⎪⎨⎪⎧x －1≠0，0≤2x ≤2，解得0≤x ＜1，即g (x )的定义域是[0,1)．[答案] [0,1)[易错提醒]函数f [g (x )]的定义域指的是x 的取值范围，而不是g (x )的取值范围．已知函数定义域求参数[例3] 若函数f (x )＝mx 2＋mx ＋1的定义域为一切实数，则实数m 的取值范围是( )A ．[0,4)B ．(0,4)C ．[4，＋∞)D ．[0,4][解析] 由题意可得mx 2＋mx ＋1≥0恒成立． 当m ＝0时，1≥0恒成立；当m ≠0时，则⎩⎪⎨⎪⎧m >0，Δ＝m 2－4m ≤0，解得0<m ≤4. 综上可得：0≤m ≤4. [答案] D[方法技巧]已知函数定义域求参数的思想方法已知函数的定义域，逆向求解函数中参数的取值，需运用分类讨论以及转化与化归的思想方法．转化与化归的思想方法是通过某种转化过程，将一个难以解决的问题转化为一个已经解决或者比较容易解决的问题，从而获解．基础联通 抓主干知识的“源”与“流” 1．[考点一]函数y ＝x ln(2－x )的定义域为( ) A ．(0,2) B ．[0,2) C ．(0,1]D ．[0,2]解析：选B 由题意知，x ≥0且2－x >0，解得0≤x ＜2，故其定义域是[0,2)． 2．[考点一](2017·青岛模拟)函数y ＝1－x 22x 2－3x －2的定义域为( )A ．(－∞，1]B ．[－1,1]C ．[1,2)∪(2，＋∞)D.⎣⎡⎭⎫－1，－12∪⎝⎛⎦⎤－12，1 解析：选D 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2≥0，2x 2－3x －2≠0，解得⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x ≤1，x ≠2且x ≠－12，即－1≤x ≤1且x ≠－12，所以函数的定义域为⎣⎡⎭⎫－1，－12∪⎝⎛⎦⎤－12，1.故选D. 3．[考点一]函数f (x )＝1－|x －1|a x －1(a >0且a ≠1)的定义域为________．解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ 1－|x －1|≥0，a x －1≠0，解得⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤2，x ≠0，即0<x ≤2，故所求函数的定义域为(0,2]．答案：(0,2]4．[考点二]已知函数y ＝f (x 2－1)的定义域为[－3， 3 ]，则函数y ＝f (x )的定义域为________．解析：∵y ＝f (x 2－1)的定义域为[－3， 3 ]，∴x ∈[－3， 3 ]，x 2－1∈[－1,2]，∴y ＝f (x )的定义域为[－1,2]．答案：[－1,2]5．[考点三]若函数f (x )＝ax 2＋abx ＋b 的定义域为{x |1≤x ≤2}，则a ＋b 的值为________．解析：函数f (x )的定义域是不等式ax 2＋abx ＋b ≥0的解集．不等式ax 2＋abx ＋b ≥0的解集为{x |1≤x ≤2}，所以⎩⎪⎨⎪⎧a <0，1＋2＝－b ，1×2＝b a ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－32，b ＝－3，所以a ＋b ＝－32－3＝－92.答案：－92突破点(二) 函数的表示方法1．函数的表示方法函数的表示方法有三种，分别为解析法、列表法和图象法．同一个函数可以用不同的方法表示．2．应用三种方法表示函数的注意事项(1)解析法：一般情况下，必须注明函数的定义域；(2)列表法：选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征；(3)图象法：注意定义域对图象的影响．与x 轴垂直的直线与其最多有一个公共点． 3．函数的三种表示方法的优缺点(2)求x与y的对应关系时需逐个计算，比较繁杂列表法能鲜明地显示自变量与函数值之间的数量关系只能列出部分自变量及其对应的函数值，难以反映函数变化的全貌图象法形象直观，能清晰地呈现函数的增减变化、点的对称关系、最大(小)值等性质作出的图象是近似的、局部的，且根据图象确定的函数值往往有误差考点贯通抓高考命题的“形”与“神”求函数的解析式[典例](1)如图，修建一条公路需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连接(相切)．已知环湖弯曲路段为某三次函数图象的一部分，则该函数的解析式为()A．y＝12x3－12x2－xB．y＝12x3＋12x2－3xC．y＝14x3－xD．y＝14x3＋12x2－2x(2)定义在R上的函数f(x)满足f(x＋1)＝2f(x)．若当0≤x≤1时，f(x)＝x(1－x)，则当－1≤x ≤0时，f (x )＝________.(3)(2017·合肥模拟)已知f (x )的定义域为{x |x ≠0}，满足3f (x )＋5f ⎝⎛⎭⎫1x ＝3x ＋1，则函数f (x )的解析式为________．[解析] (1)设该函数解析式为f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d ，则f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c ， 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧f (0)＝d ＝0，f (2)＝8a ＋4b ＋2c ＋d ＝0，f ′(0)＝c ＝－1，f ′(2)＝12a ＋4b ＋c ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝－12，c ＝－1，d ＝0，∴f (x )＝12x 3－12x 2－x .(2)∵－1≤x ≤0，∴0≤x ＋1≤1，∴f (x )＝12f (x ＋1)＝12(x ＋1)[1－(x ＋1)]＝－12x (x ＋1)．故当－1≤x ≤0时，f (x )＝－12x (x＋1)．(3)用1x代替3f (x )＋5f ⎝⎛⎭⎫1x ＝3x ＋1中的x ，得3f ⎝⎛⎭⎫1x ＋5f (x )＝3x ＋1， ∴⎩⎨⎧3f (x )＋5f ⎝⎛⎭⎫1x ＝3x ＋1， ①3f ⎝⎛⎭⎫1x ＋5f (x )＝3x ＋1， ②①×3－②×5得f (x )＝1516x －916x ＋18(x ≠0)．[答案] (1)A (2)－12x (x ＋1) (3)f (x )＝1516x －916x ＋18(x ≠0)[易错提醒]1.已知函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且f (x )＝2f ⎝⎛⎭⎫1x x －1，则f (x )＝________. 解析：在f (x )＝2f ⎝⎛⎭⎫1x x －1中，用1x 代替x ，得f ⎝⎛⎭⎫1x ＝2f (x )1x －1，将f ⎝⎛⎭⎫1x ＝2f (x )1x －1代入f (x )＝2f ⎝⎛⎭⎫1x x －1中，求得f (x )＝23x ＋13(x >0)．答案：23x ＋13(x >0) 2．函数f (x )满足2f (x )＋f (－x )＝2x ，则f (x )＝________.解析：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧2f (x )＋f (－x )＝2x ，2f (－x )＋f (x )＝－2x ，解得f (x )＝2x . 答案：2x3．已知f (x ＋1)＝x ＋2x ，求f (x )的解析式． 解：设t ＝x ＋1，则x ＝(t －1)2，t ≥1，代入原式有 f (t )＝(t －1)2＋2(t －1)＝t 2－2t ＋1＋2t －2＝t 2－1. 故f (x )＝x 2－1，x ≥1.4．已知f (x )是二次函数，且f (0)＝0，f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1，求f (x )的解析式． 解：设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， 由f (0)＝0，知c ＝0，f (x )＝ax 2＋bx ， 又由f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1，得a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＝ax 2＋bx ＋x ＋1， 即ax 2＋(2a ＋b )x ＋a ＋b ＝ax 2＋(b ＋1)x ＋1，所以⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝b ＋1，a ＋b ＝1，解得a ＝b ＝12.所以f (x )＝12x 2＋12x ，x ∈R.5．已知f ⎝⎛⎭⎫x ＋1x ＝x 2＋1x 2，求f (x )的解析式． 解：由于f ⎝⎛⎭⎫x ＋1x ＝x 2＋1x 2＝⎝⎛⎭⎫x ＋1x 2－2， 所以f (x )＝x 2－2，x ≥2或x ≤－2，故f (x )的解析式是f (x )＝x 2－2，x ≥2或x ≤－2.突破点(三) 分段函数基础联通 抓主干知识的“源”与“流”1．分段函数若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数．2．分段函数的相关结论(1)分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．(2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，值域等于各段函数的值域的并集． 考点贯通 抓高考命题的“形”与“神”分段函数求值[例1] (1)设f (x )＝⎩⎨⎧1－x ，x ≥0，2x ，x <0，则f (f (－2))＝( )A ．－1 B.14 C.12D.32(2)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫12x ，x ≥4，f (x ＋1)，x <4，则f (1＋log 25)的值为( ) A.14 B.⎝⎛⎭⎫12错误!未找到引用源。
天津市宝坻区2017届高三数学理科训练4Word版含答案
天津市宝坻区2017届高三数学理科训练4一、选择题： 1. 已知集合},2|{2R x x x x A ∈-==，},1{m B =，若B A ⊆，则m 的值为( )A . 2B . 1-C . 1-或2D . 2或22.执行如题(1)图所示的程序框图，则输出的结果为（ ） A ．189 B ．381 C ．93 D ．453.某几何体的三视图如题(2)图所示，则该几何体的体积为（ ） A ．1333π+ B ．52π+ C ．53π+ D ．1332π+4. 将函数sin 2y x =的图象向右平移4π个单位，再向上平移1个单位，所得函数图象对应的解析式为( ) A ．sin(2)14y x π=-+ B ．22cos y x = C ．22sin y x = D ．cos 2y x =-5.设20(12)a x dx =-⎰,则二项式62a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的常数项是( )A. 240-B. 240C. 160-D. 1606. 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足23142,4,4,a a a a ≤≤+≥当4a 取得最大值时，数列{}n a 的公差为( )A ．1B ．4C ．2D ．37.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数,它的图象关于1x =对称,且() (01)f x x x =<≤.若函数1()y f x a x =--在区间[10,10]-上有10个不同零点，则实a 数的取值范围是（ ） A. 44[,]55- B. 44(,)55- C. 11[,]1010- D. 11(,)1010-8. 如图，内外两个椭圆的离心率相同，从外层椭圆顶点向内层椭圆引切线,AC BD ，设内层椭圆方程为22221(0)x y a b a b+=>>，若直线AC 与图（1）图（2）AOCD B y xBD 的斜率之积为14-，则椭圆的离心率为（ ）A ． 12 B．． 34二、填空题： 9. 已知复数32iz -=+（i 为虚数单位），则||z 的值为 ． 10.已知曲线C的参数方程为x ty t⎧=⎪⎨=⎪⎩ (t 为参数), C 在点(1,1)处的切线为l ,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,则l 的极坐标方程为 ．11. 如图，AB 是半圆O 的直径，延长AB 到C ，使BC =，CD 切半圆O 于点D ，DE ⊥AB ，垂足为E ．若AE ∶EB =3∶1，求DE 的长 ．12. O 是平面上一点，,,A B C 是平面上不共线三点，动点P 满足：(),[1,2],OP OA AB AC λλ=++∈- 已知1λ=时，||2AP =，则PA PB PA PC ⋅+⋅ 的最大值为 .13.抛物线24(0)y mx m =>的焦点为F ，点P 为该抛物线上的动点，又点A(,0)m -，则PF PA的最小值为 .14. 函数)(x f 的导函数为)(x f '，对x ∀∈R ，都有2()()f x f x '>成立，若2)4ln (=f ，则不等式2()x f x e >的解集是 ． 三、解答题：15.设角A ，B ，C 是△ABC 的三个内角，已知向量m＝(sin A ＋sin C ，sin B －sin A )， n ＝(sin A －sin C ，sin B )，且m ⊥n.(1)求角C 的大小；(2)若向量s ＝(0，－1)，t ＝(cos A,2cos 2B 2)，求|s ＋t |的取值范围．16.生产A ，B 两种元件，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于82为正品，小于 82为次品，现随机抽取这两种元件各100件进行检测，检测结果统计如下：（1）试分别估计元件A 、元件B 为正品的概率；（2）生产一件元件A ，若是正品可盈利50元，若是次品则亏损10元；生产一件元件B ，若是正品可盈利100元，若是次品则亏损20元，在（1）的前提下；（i ）求生产5件元件B 所获得的利润不少于300元的概率；（ii ）记X 为生产1件元件A 和1件元件B 所得的总利润，求随机变量X 的分布列和数学期望．17．如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 为直角梯形，AD //BC ，∠ADC =90°，平面PAD ⊥底面ABCD ，Q 为AD 的中点，M 是棱PC 上的点，PA =PD =2，BC =12AD =1，CD （1）若点M 是棱PC 的中点，求证：PA // 平面BMQ ； （2）求证：平面PQB ⊥平面PAD ；（3）若二面角M-BQ-C 为30°，设PM =tMC ，试确定t 的值 ．PABCDQM天津市宝坻区2017届高三数学理科训练4参考答案一、 选择题：AADCB BCC二、填空题：9.10. sin()4πρθ+=11. 3212. 2413.214. (ln 4,)+∞三、解答题：15. (1)由题意得m·n ＝(sin 2A －sin 2C )＋(sin 2B －sin A sin B )＝0，即sin 2C ＝sin 2A ＋sin 2B －sin A sin B ，设a ，b ，c 为内角A ，B ，C 所对的边长，由正弦定理得c 2＝a 2＋b 2－ab ，再由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝12，∵0<C <π，∴C ＝π3.(2)∵s ＋t ＝(cos A,2cos 2B2－1)＝(cos A ，cos B )， ∴|s ＋t |2＝cos 2A ＋cos 2B＝cos 2A ＋cos 2(2π3－A )＝1＋cos2A2＋1＋cos(4π3－2A )2＝14cos2A －34sin2A ＋1 ＝－12sin(2A －π6)＋1，∵0<A <2π3，∴－π6<2A －π6<7π6，∴－12<sin(2A －π6)≤1，∴12≤|s ＋t |2<54，∴22≤|s ＋t |<52. 16. （Ⅰ）由题可知 元件A 为正品的概率为45，元件B 为正品的概率为34。
天津市和平区2017届高三总复习质量检测数学(理)试卷Word版含答案
天津市和平区2017届高三总复习质量检测数学（理）试卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟． 第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至8页．第Ⅰ卷（选择题 共40分）注意事项：1． 答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考号、科目涂写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。
2． 每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，在选涂其他答案标号。
答在试卷上的无效。
3． 本卷共8小题，每小题5分，共40分。
参考公式：· 如果事件A ，B 互斥，那么P （A ∪B ）＝P （A ）＋P （B ）· 如果事件A ，B 相互独立，那么P （AB ）＝P （A ）⋅P （B ）· 球的表面积公式 S ＝24Rπ球的体积公式 V ＝343R π其中R 表示球的半径一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）已知集合={01234}U ，，，，，={123}A ，，，={24}B ，，则()U C A B =（A ）{2} （B ）{24}，（C ）{04}， （D ）{4}（2）i 是虚数单位，复数34i12i+=-（A ）12i + （B ）12i -（C ）12i -+ （D ）12i --（3）执行如图所示的程序框图，则输出的结果是 （A ）2016 （B ）2（C ）12（D ）1-（4）已知实数x y ，满足条件226y x x +y x +y ⎧⎪⎨⎪⎩，≥，≥，≤ 则32z x +y =的取值范围是（A ）(10]∞-，（B ）[510]，（C ）[8+)∞， （D ）[810]，（5）设x y ∈R ，，则“1x ≥且2y ≥”是“+3x y ≥”的（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件（C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件（6）已知双曲线22221(00)x y =a >b >a b，-的一条渐近线平行于直线l ：+2+5=0x y ，且双曲线的一个焦点在直线l 上，则双曲线的方程为（A ）22=1205x y - （B ）22=1520x y -（C ）2233=125100x y - （D ）2233=110025x y -（7）已知函数ln ()=exf x ，若12x x ≠且12()()f x f x =，则下列结论一定不成立的是（A ）21()1x f x > （B ）21()1x f x <（C ）21()1x f x = （D ）2112()()x f x x f x <（8）已知函数2ln 0()410x x >f x =x +x+x ⎧⎪⎨⎪⎩，，，≤，若关于x 的方程2()()0f x bf x +c =-(b c ∈R ，)有8个不同的实数根，则b+c 的取值范围是（A ）(3)∞-， （B ）(03]，（C ）[03]， （D ）(03)，第Ⅱ卷注意事项：1． 答卷前将密封线内的项目填写清楚。
高考数学(理)一轮复习文档 第二章 基本初等函数、导数及其应用 第5讲 指数与指数函数 Word版含答案
第5讲 指数与指数函数1．根式 (1)根式的概念①若x n＝a ，则x 叫做a 的n 次方根，其中n >1且n ∈N *.这里n 叫做根指数，a 叫做被开方数．②a 的n 次方根的表示：x n＝a ⇒⎩⎨⎧x ＝n a ，当n 为奇数且n ∈N *，n >1时，xn 为偶数且n ∈N *时.(2)根式的性质①(na )n ＝a (n ∈N *，且n >1)．②n a n＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，n 为奇数，|a |＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≥0，－a ，a <0，n 为偶数. 2．有理数指数幂 (1)幂的有关概念①正分数指数幂：a mna >0，m ，n ∈N *，且n >1)；②负分数指数幂：a －m n＝1a m n＝1(a >0，m ，n ∈N *，且n >1)；③0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂无意义． (2)有理数指数幂的运算性质 ①a r a s＝ar ＋s(a >0，r ，s ∈Q )；②(a r )s ＝a rs(a >0，r ，s ∈Q )； ③(ab )r＝a r b r(a >0，b >0，r ∈Q )． 3．指数函数的图象及性质1．辨明三个易误点(1)指数幂的运算容易出现的问题是误用指数幂的运算法则，或在运算变换中方法不当，不注意运算的先后顺序等．(2)指数函数y ＝a x(a >0，a ≠1)的图象和性质与a 的取值有关，要特别注意区分a >1或0<a <1.(3)在解形如a 2x＋b ·a x ＋c ＝0或a 2x ＋b ·a x＋c ≥0(≤0)的指数方程或不等式时，常借助换元法解决，但应注意换元后“新元”的范围．2．指数函数图象画法的三个关键点画指数函数y ＝a x(a >0，且a ≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a )，(0，1)，⎝⎛⎭⎪⎫－1，1a .1.教材习题改编有下列四个式子：①3（－8）3＝－8；② （－10）2＝－10；③4（3－π）4＝3－π；④2 017（a －b ）2 017＝a －b . 其中正确的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4B ①④正确，（－10）2＝|－10|＝10，②错误； 4（3－π）4＝|3－π|＝－(3－π)＝π－3，③错误，故选B.2．下列函数中，满足“f (x ＋y )＝f (x )f (y )”的单调递增函数是( ) A ．f (x )＝x 12B ．f (x )＝x 3C ．f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12xD ．f (x )＝3xD 根据各选项知，选项C 、D 中的指数函数满足f (x ＋y )＝f (x )·f (y )．又f (x )＝3x是增函数，所以D 正确．3．(2017·东北三校联考)函数f (x )＝a x －1(a ＞0，a ≠1)的图象恒过点A ，下列函数中图象不经过点A 的是( )A ．y ＝1－xB ．y ＝|x －2|C ．y ＝2x－1 D ．y ＝log 2(2x )A 由f (x )＝ax －1(a ＞0，a ≠1)的图象恒过点(1，1)，又0＝1－1，知(1，1)不在y＝1－x 的图象上．4．(2017·皖北协作区联考)函数f (x )＝1－e x的值域为________． 由1－e x ≥0，e x≤1，故函数f (x )的定义域为{x |x ≤0}． 所以0<e x ≤1，－1≤－e x <0，0≤1－e x<1，函数f (x )的值域为 由题意知0<a 2－1<1，即1<a 2<2， 得－2<a <－1或1<a < 2. (－2，－1)∪(1，2)指数幂的运算化简下列各式：(1)0.027－13－⎝ ⎛⎭⎪⎫17－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫27912－(2－1)0；(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫56a 13b －2·(－3a －12b －1)÷(4a 23b －3)12·ab .【解】 (1)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫271 000－13－72＋⎝ ⎛⎭⎪⎫25912－1＝103－49＋53－1＝－45. (2)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－52a －16b －3÷(2a 13b －32)·a 12b 12＝－54a －12b －32·a 12b 12＝－54b －1＝－54b.化简下列各式：(1)(0.027)23＋⎝ ⎛⎭⎪⎫27125－13－⎝ ⎛⎭⎪⎫2790.5； (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫14－12·（4ab －1）3（0.1）－1·（a 3·b －3）12.(1)原式＝0.32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1252713－ 259＝9100＋53－53＝9100.(2)原式＝2（4ab －1）3210a 32b －32＝16a 32b －3210a 32b－32＝85.指数函数的图象及应用(1)函数f (x )＝21－x的大致图象为()(2)若方程|3x－1|＝k 有一解，则k 的取值范围为________．【解析】 (1)函数f (x )＝21－x＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，单调递减且过点(0，2)，选项A 中的图象符合要求．(2)函数y ＝|3x－1|的图象是由函数y ＝3x的图象向下平移一个单位后，再把位于x 轴下方的图象沿x 轴翻折到x 轴上方得到的，函数图象如图所示．当k ＝0或k ≥1时，直线y ＝k 与函数y ＝|3x－1|的图象有唯一的交点，所以方程有一解．【答案】 (1)A (2){0}∪上单调递减，则k 的取值范围如何？由本例(2)作出的函数y ＝|3x－1|的图象知，其在(－∞，0]上单调递减，所以k ∈(－∞，0]．指数函数的图象及应用(1)与指数函数有关的函数图象的研究，往往利用相应指数函数的图象，通过平移、对称、翻折变换得到其图象．(2)一些指数型方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象数形结合求解．)1.函数f (x )＝a x －b的图象如图所示，其中a ，b 为常数，则下列结论正确的是( )A ．a >1，b <0B ．a >1，b >0C ．0<a <1，b >0D ．0<a <1，b <0 D 由f (x )＝a x －b 的图象可以观察出函数f (x )＝ax －b在定义域上单调递减，所以0<a <1.函数f (x )＝a x －b 的图象是在f (x )＝a x 的基础上向左平移得到的，所以b <0.2．若函数y ＝21－x＋m 的图象不经过第一象限，求m 的取值范围．y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1＋m ，函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1的图象如图所示，则要使其图象不经过第一象限，则m ≤－2.指数函数的性质及应用(高频考点)指数函数的性质主要是其单调性，特别受到高考命题专家的青睐，常以选择题、填空题的形式出现．高考对指数函数的性质的考查主要有以下三个命题角度： (1)比较指数幂的大小； (2)解简单的指数方程或不等式； (3)研究指数型函数的性质．(1)已知a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1223，b ＝2－43，c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1213，则下列关系式中正确的是( )A ．c <a <bB ．b <a <cC ．a <c <bD ．a <b <c(2)已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13ax 2－4x ＋3. ①若a ＝－1，求f (x )的单调区间； ②若f (x )有最大值3，求a 的值； ③若f (x )的值域是(0，＋∞)，求a 的值．【解】 (1)选B.把b 化简为b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1243，而函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x在R 上为减函数，43>23>13，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫1243<⎝ ⎛⎭⎪⎫1223<⎝ ⎛⎭⎪⎫1213，即b <a <c . (2)①当a ＝－1时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－x 2－4x ＋3， 令g (x )＝－x 2－4x ＋3，由于g (x )在(－∞，－2)上单调递增，在(－2，＋∞)上单调递减，而y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13t在R 上单调递减，所以f (x )在(－∞，－2)上单调递减，在(－2，＋∞)上单调递增，即函数f (x )的单调递增区间是(－2，＋∞)，单调递减区间是(－∞，－2)．②令g (x )＝ax 2－4x ＋3，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13g （x ），由于f (x )有最大值3，所以g (x )应有最小值－1，因此必有⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，3a －4a＝－1，解得a ＝1，即当f (x )有最大值3时，a 的值等于1.③令g (x )＝ax 2－4x ＋3，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13g （x ），由指数函数的性质知，要使y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13g （x ）的值域为(0，＋∞)．应使g (x )＝ax 2－4x ＋3的值域为R ，因此只能a ＝0.(因为若a ≠0，则g (x )为二次函数，其值域不可能为R ) 故f (x )的值域为(0，＋∞)时，a 的值为0.有关指数函数性质的问题类型及解题策略(1)比较指数幂大小问题，常利用指数函数的单调性及中间值(0或1)．(2)求解简单的指数不等式问题，应利用指数函数的单调性，要特别注意底数a 的取值范围，并在必要时进行分类讨论．(3)求解与指数函数有关的复合函数问题，首先要熟知指数函数的定义域、值域、单调性等相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断，最终将问题归结为内层函数相关的问题加以解决．在研究指数型函数单调性时，当底数与“1”的大小关系不明确时，要分类讨论．角度一 比较指数幂的大小 1．下列各式比较大小正确的是( ) A ．1.72.5>1.73B ．0.6－1>0.62C ．0.8－0.1>1.250.2D ．1.70.3<0.93.1BA 中，因为函数y ＝1.7x在R 上是增函数，2.5<3，所以1.72.5<1.73. B 中，因为y ＝0.6x在R 上是减函数，－1<2， 所以0.6－1>0.62. C 中，因为0.8－1＝1.25，所以问题转化为比较1.250.1与1.250.2的大小． 因为y ＝1.25x在R 上是增函数，0.1<0.2， 所以1.250.1<1.250.2，即0.8－0.1<1.250.2.D 中，因为1.70.3>1，0<0.93.1<1，所以1.70.3>0.93.1.角度二 解简单的指数方程或不等式2．(2015·高考江苏卷)不等式2x 2－x <4的解集为________． 因为2x 2－x <4，所以2x 2－x <22，所以x 2－x <2，即x 2－x －2<0，所以－1<x <2. {x |－1<x <2}(或(－1，2))角度三 研究指数型函数的性质 3．若函数f (x )＝2|x －a |(a ∈R )满足f (1＋x )＝f (1－x )，且f (x )在 因为f (x )＝2|x －a |，所以f (x )的图象关于x ＝a 对称．又由f (1＋x )＝f (1－x )，知f (x )的图象关于直线x ＝1对称，故a ＝1，且f (x )的增区间是 1——换元法解决指数型函数的值域问题函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x＋1在x ∈上的值域是________． 【解析】 因为x ∈，若令t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，则t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，8.y ＝t 2－t ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122＋34.当t ＝12时，y min ＝34；当t ＝8时，y max ＝57.所以函数f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，57.【答案】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，57(1)此题利用了换元法，把函数f (x )转化为y ＝t 2－t ＋1，其中t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，8，将问题转化为求二次函数在闭区间上的最值(值域)问题，从而减少了运算量．(2)对于同时含有a x与a 2x(log a x 与log 2a x )(a >0且a ≠1)的函数、方程、不等式问题，通常令t ＝a x(t ＝log a x )进行换元巧解，但一定要注意新元的范围．已知函数y ＝9x＋m ·3x－3在区间上单调递减，则m 的取值范围为________．设t ＝3x ，则y ＝9x ＋m ·3x －3＝t 2＋mt －3.因为x ∈，所以t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤19，9.又函数y ＝9x＋m ·3x －3在区间上单调递减，即y ＝t 2＋mt －3在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤19，9上单调递减， 故有－m2≥9，解得m ≤－18.所以m 的取值范围为(－∞，－18]． (－∞，－18]1．下列函数中值域为正实数的是( )A ．y ＝－5xB ．y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫131－xC ．y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x－1 D ．y ＝1－2xBA 中，y ＝－5x<0，B 中，因为1－x ∈R ，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x的值域是正实数，所以y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫131－x的值域是正实数，C 中，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x－1≥0，D 中，y ＝1－2x ，由于2x >0，故1－2x <1，又1－2x≥0，故0≤y <1，故符合条件的只有B.2．化简4a 23·b －13÷⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－23a －13b 23的结果为( ) A ．－2a3bB ．－8a bC ．－6a bD ．－6abC 原式＝4÷⎝ ⎛⎭⎪⎫－23a 23－(－13)b －13－23＝－6ab －1＝－6a b，故选C.3．函数y ＝a x－1a(a >0，a ≠1)的图象可能是( )D 函数y ＝a x －1a 的图象由函数y ＝a x的图象向下平移1a个单位长度得到，A 项显然错误；当a >1时，0<1a <1，平移距离小于1，所以B 项错误；当0<a <1时，1a>1，平移距离大于1，所以C 项错误．4．已知a ＝20.2，b ＝0.40.2，c ＝0.40.6，则( ) A ．a >b >cB ．a >c >bC ．c >a >bD ．b >c >aA 由0.2<0.6，0.4<1，并结合指数函数的图象可知0.40.2>0.40.6，即b >c ；因为a ＝20.2>1，b ＝0.40.2<1，所以a >b .综上，a >b >c .5．(2017·莱芜模拟)若函数f (x )＝a |2x －4|(a >0，a ≠1)满足f (1)＝19，则f (x )的单调递减区间是( )A ．(－∞，2]B ．B 由f (1)＝19得a 2＝19.又a >0，所以a ＝13，因此f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13|2x －4|. 因为g (x )＝|2x －4|在 当a <0时，不等式f (a )<1可化为⎝ ⎛⎭⎪⎫12a －7<1，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12a <8，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12a<⎝ ⎛⎭⎪⎫12－3，因为0<12<1，所以a >－3，此时－3<a <0；当a ≥0时，不等式f (a )<1可化为a <1， 所以0≤a <1.故a 的取值范围是(－3，1)．7．指数函数y ＝f (x )的图象经过点(m ，3)，则f (0)＋f (－m )＝________． 设f (x )＝a x(a ＞0且a ≠1)，所以f (0)＝a 0＝1. 且f (m )＝a m ＝3.所以f (0)＋f (－m )＝1＋a －m＝1＋1a m ＝43.438.614－(π－1)0－⎝ ⎛⎭⎪⎫33813＋⎝ ⎛⎭⎪⎫164－23＝________． 原式＝52－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫27813＋(4－3)－23＝32－32＋42＝16. 169．(2015·高考山东卷)已知函数f (x )＝a x＋b (a ＞0，a ≠1)的定义域和值域都是，则a ＋b ＝________．①当a >1时，函数f (x )＝a x＋b 在上为增函数，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a －1＋b ＝－1，a 0＋b ＝0，无解．②当0<a <1时，函数f (x )＝a x＋b 在上为减函数，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a －1＋b ＝0，a 0＋b ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝－2，所以a ＋b ＝－32.－3210．当x ∈(－∞，－1]时，不等式(m 2－m )·4x －2x＜0恒成立，则实数m 的取值范围是________．原不等式变形为m 2－m ＜⎝ ⎛⎭⎪⎫12x， 因为函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x在(－∞，－1]上是减函数， 所以⎝ ⎛⎭⎪⎫12x≥⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＝2，当x ∈(－∞，－1]时，m 2－m ＜⎝ ⎛⎭⎪⎫12x恒成立等价于m 2－m ＜2，解得－1＜m ＜2.(－1，2)11．求下列函数的定义域和值域． (1)y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122x －x 2；(2)y ＝ 32x －1－19. (1)显然定义域为R .因为2x －x 2＝－(x －1)2＋1≤1，且y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 为减函数．所以⎝ ⎛⎭⎪⎫122x －x 2≥⎝ ⎛⎭⎪⎫121＝12. 故函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122x －x 2的值域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞.(2)由32x －1－19≥0，得32x －1≥19＝3－2， 因为y ＝3x为增函数，所以2x －1≥－2，即x ≥－12，此函数的定义域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，＋∞， 由上可知32x －1－19≥0，所以y ≥0. 即函数的值域为 (1)因为f (x )为偶函数， 所以对任意的x ∈R ，都有f (－x )＝f (x )， 即a|x ＋b |＝a|－x ＋b |，|x ＋b |＝|－x ＋b |，解得b ＝0.(2)记h (x )＝|x ＋b |＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋b ，x ≥－b ，－x －b ，x <－b .①当a >1时，f (x )在区间 因为函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x＋a 的图象经过第二、三、四象限，所以a <－1.则g (a )＝f (a )－f (a ＋1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13a＋a －⎝ ⎛⎭⎪⎫13a ＋1－a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＝23·⎝ ⎛⎭⎪⎫13a.因为a <－1，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫13a>3，则23·⎝ ⎛⎭⎪⎫13a>2，故g (a )的取值范围是(2，＋∞)． 14．(2017·济南模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，0≤x <1，2x －12，x ≥1，设a >b ≥0，若f (a )＝f (b )，则b ·f (a )的取值范围是________．画出函数图象如图所示，由图象可知要使a >b ≥0，f (a )＝f (b )同时成立，则12≤b <1. b ·f (a )＝b ·f (b )＝b (b ＋1)＝b 2＋b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋122－14，所以34≤b ·f (a )<2.⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，215．已知函数y ＝2－x 2＋ax ＋1在区间(－∞，3)内递增，求a 的取值范围． 函数y ＝2－x 2＋ax ＋1是由函数y ＝2t 和t ＝－x 2＋ax ＋1复合而成．因为函数t ＝－x 2＋ax ＋1在区间 (－∞，a 2]上单调递增，在区间[a2，＋∞)上单调递减，且函数y ＝2t在R 上单调递增，所以函数y ＝2－x 2＋ax ＋1在区间(－∞，a 2]上单调递增，在区间[a2，＋∞)上单调递减． 又因为函数y ＝2－x 2＋ax ＋1在区间(－∞，3)上单调递增，所以3≤a2，即a ≥6.16．已知函数f (x )＝1－42a x＋a(a >0且a ≠1)是定义在(－∞，＋∞)上的奇函数． (1)求a 的值； (2)求函数的值域；(3)当x ∈(0，1]时，tf (x )≥2x－2恒成立，求实数t 的取值范围． (1)因为f (x )是定义在(－∞，＋∞)上的奇函数， 所以f (0)＝0，即1－42a 0＋a ＝0.解得a ＝2.(2)因为y ＝f (x )＝2x－12x ＋1，所以2x＝1＋y 1－y .由2x>0知1＋y 1－y >0，所以－1<y <1.即f (x )的值域为(－1，1)． (3)不等式tf (x )≥2x －2等价于t （2x －1）2x＋1≥2x －2，即(2x )2－(t ＋1)2x＋t －2≤0.令2x ＝u ，因为x ∈(0，1]，所以u ∈(1，2]． 又u ∈(1，2]时，u 2－(t ＋1)u ＋t －2≤0恒成立．所以⎩⎪⎨⎪⎧12－（t ＋1）＋t －2≤0，22－2（t ＋1）＋t －2≤0，解得t ≥0.故所求t 的取值范围为[0，＋∞)．。
2017天津高考真题数学理(含解析)
2017年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（理工类）第I卷一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）：在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. （1）已知全集，集合，集合，则集合（A）（B）（C）（D）（2）设变量、满足约束条件，则目标函数的最大值为（A）（B）（C）（D）（3）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出的值为（A）（B）（C）（D）（4）设，则“”是“”的（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件（5）如图，在圆中，、是弦的三等分点，弦、分别经过点、.若，，，则线段的长为（A）（B）（C）（D）（6）已知双曲线的一条渐近线过点，且双曲线的一个焦点在抛物线的准线上，则双曲线的方程为（A）（B）（C）（D）（7）已知定义在上的函数（为实数）为偶函数，记，，，则、、的大小关系为（A）（B）（C）（D）（8）已知函数函数，其中，若函数恰有4个零点，则的取值范围是（A）（B）（C）（D）第II卷二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）.（9）是虚数单位，若复数是纯虚数，则实数的值为.（10）一个几何体的三视图如图所示（单位：），则该几何体的体积为.（11）曲线与直线所围成的封闭图形的面积为.（12）在的展开式中，的系数为.（13）在中，内角、、所对的边分别为、、，已知的面积为，，则的值为.（14）在等腰梯形中,已知，，，，动点和分别在线段和上，且，，则的最小值为.三、解答题（本大题共6小题，共80分），解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15.（本小题满分13分）已知函数，(I)求最小正周期；(II)求在区间上的最大值和最小值.16.（本小题满分13分）为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加.现有来自甲协会的运动员名，其中种子选手名；乙协会的运动员名，其中种子选手名.从这名运动员中随机选择人参加比赛.(I)设为事件“选出的人中恰有名种子选手，且这名种子选手来自同一个协会”求事件发生的概率；(II)设为选出的人中种子选手的人数，求随机变量的分布列和数学期望.17.（本小题满分13分）如图，在四棱柱中，侧棱底面，，，，，且点和分别为和的中点.(I)求证：平面；(II)求二面角的正弦值；(III)设为棱上的点，若直线和平面所成角的正弦值为，求线段的长18.（本小题满分13分）已知数列满足（为实数，且），，，，且，，成等差数列.(I)求的值和的通项公式；(II)设（），求数列的前项和.19.（本小题满分14分）已知椭圆的左焦点为,离心率为，点在椭圆上且位于第一象限，直线被圆截得的线段的长为，.(I)求直线的斜率；(II)求椭圆的方程；(III)设动点在椭圆上，若直线的斜率大于，求直线（为原点）的斜率的取值范围.20.（本小题满分14分）已知函数（），其中，.(I)讨论的单调性；(II)设曲线与轴正半轴的交点为，曲线在点处的切线方程为,求证：对于任意的正实数，都有；(III)若关于的方程（为实数）有两个正实根、，求证：．2017年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（理工类）第I卷一、选择题（满分40分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8答案 A C B A A D C D二、填空题（满分30分）9．10．11．12．13．14．三、解答题（满分80分）15．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由题意可知所以．（Ⅱ）因为，所以，，所以的最小值为，最大值为．16．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）设事件：“选出的人中恰有名种子选手，且这名种子选手来自同一个协会”．由题意可知，．（Ⅱ）由题意，的可能取值为，，，．由题意可知，，，，．所以的分布列为：所以．17．（本小题满分14分）证明：（Ⅰ）在,且与交于点，由题意可知四棱柱中，所以，又因为为的中点，所以，,又因为为的中点，所以，．所以四边形是平行四边形．所以．平面因为平面，所以平面．（Ⅱ）以为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，如图：则，，，，，,平面的法向量为,为，，，令得，．设平面的法向量为，、为，，，令得，．所以，因为二面角为锐角，所以二面角的正弦值为．（Ⅲ）设，，，．所以．平面的法向量为,由已知得，，解得，所以，线段的长为.18.（本小题满分13分）解：(I)依题意，，．因为，，成等差数列，所以，所以，或者（舍）当时，；当时，。
【经典双基题】高三数学(理)(通用版)一轮复习检测试题12 word版含解析
一．单项选择题。
（本部分共5道选择题）1．已知不等式ax 2－bx －1≥0的解集是⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－12，－13，则不等式x 2－bx －a ＜0的解集是( )．A ．(2,3)B ．(－∞，2)∪(3，＋∞) C.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13，12 D.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－∞，13∪⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12，＋∞解析 由题意知－12，－13是方程ax 2－bx －1＝0的根，所以由根与系数的关系得－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－13＝b a ，－12×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－13＝－1a .解得a ＝－6，b ＝5，不等式x 2－bx －a ＜0即为x 2－5x ＋6＜0，解集为(2,3)． 答案 A2．若函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)，x ∈R(其中ω＞0，|φ|＜π2)的最小正周期是π，且f (0)＝3，则( )． A ．ω＝12，φ＝π6B ．ω＝12，φ＝π3C ．ω＝2，φ＝π6D ．ω＝2，φ＝π3解析 由T ＝2πω＝π，∴ω＝2.由f (0)＝3⇒2sin φ＝3，∴sin φ＝32，又|φ|＜π2，∴φ＝π3.答案 D3．已知函数f(x)＝－x3＋ax2－4在x＝2处取得极值，若m、n∈[－1,1]，则f(m)＋f′(n)的最小值是( )A．－13 B．－15C．10 D．15解析：求导得f′(x)＝－3x2＋2ax，由函数f(x)在x＝2处取得极值知f′(2)＝0，即－3×4＋2a×2＝0，∴a＝3.由此可得f(x)＝－x3＋3x2－4，f′(x)＝－3x2＋6x，易知f(x)在(－1,0)上单调递减，在(0,1)上单调递增，∴当m∈[－1，1]时，f(m)min＝f(0)＝－4.又f′(x)＝－3x2＋6x的图象开口向下，且对称轴为x＝1，∴当n∈[－1,1]时，f′(n)min＝f′(－1)＝－9.故f(m)＋f′(n)的最小值为－13.答案：A4．设集合M＝{1,2}，N＝{a2}，则“a＝1”是“N⊆M”的( )．A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件解析若N⊆M，则需满足a2＝1或a2＝2，解得a＝±1或a＝± 2.故“a＝1”是“N⊆M”的充分不必要条件．答案 A5．某品牌香水瓶的三视图如图(单位：cm)，则该几何体的表面积为( )（三视图：主（正）试图、左（侧）视图、俯视图）A.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫95－π2 c m 2B.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫94－π2 cm 2C.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫94＋π2 cm 2D.⎝⎛⎭⎪⎪⎫95＋π2 cm 2解析 这个空间几何体上面是一个四棱柱、中间部分是一个圆柱、下面是一个四棱柱．上面四棱柱的表面积为2×3×3＋12×1－π4＝30－π4；中间部分的表面积为2π×12×1＝π，下面部分的表面积为2×4×4＋16×2－π4＝64－π4.故其表面积是94＋π2.答案 C二．填空题。
天津市南开区2017届高三毕业班联考数学(理)试题Word版含解析
天津市南开区2017届高三毕业班联考数学（理）试题一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设复数z满足（z+2i）（2+i）=5，则z=（）A． 3﹣2i B． 3+2i C． 2﹣3i D． 2+3i【考点】：复数代数形式的乘除运算．【专题】：数系的扩充和复数．【分析】：利用复数的运算法则即可得出．【解析】：解：∵复数z满足（z+2i）（2+i）=5，∴（z+2i）（2+i）（2﹣i）=5（2﹣i），化为z+2i=2﹣i，∴z=2﹣3i，故选；C．【点评】：本题考查了复数的运算法则，属于基础题．2．（5分）已知x，y满足约束条件，则z=x+2y的最大值为（） A．﹣2 B．﹣1 C． 1 D． 2【考点】：简单线性规划．【专题】：不等式的解法及应用．【分析】：先画出满足条件的平面区域，将z=x+2y转化为：y=﹣x+，通过图象得出函数过（0，1）时，z取到最大值，求出即可．【解析】：解：画出满足条件的平面区域，如图示：，将z=x+2y转化为：y=﹣x+，通过图象得出函数过（0，1）时，z取到最大值，z max=2，故选：D．【点评】：本题考查了简单的线性规划问题，考查了数形结合思想，是一道基础题．3．（5分）若按右侧算法流程图运行后，输出的结果是，则输入的N的值可以等于（）A． 4 B． 5 C． 6 D． 7【考点】：程序框图．【专题】：图表型；算法和程序框图．【分析】：模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的K，S的值，由题意，当K=5，S=时应该不满足条件K＜N，退出循环，输出S的值为，即可得解．【解析】：解：模拟执行程序框图，可得K=1，S=0，第1次循环，S=，满足条件K＜N，K=2，S=，满足条件K＜N，K=3，S=，满足条件K＜N，K=4，S=，满足条件K＜N，K=5，S=，由题意，此时应该不满足条件K＜N，退出循环，输出S的值为，故输入的N的值可以等于5．故选：B．【点评】：本题主要考察了循环结构的程序框图，正确写出每次循环得到的K，S的值判断循环退出的条件是解题的关键，属于基本知识的考查．4．（5分）一个四棱锥的三视图如图所示，其侧视图是等边三角形．则该四棱锥的体积等于（）A． B． C． D．【考点】：由三视图求面积、体积．【专题】：空间位置关系与距离．【分析】：由已知中的三视图可得，该几何体是一个以俯视图为底面的四棱锥，代入棱锥体积公式，可得答案．【解析】：解：由已知中的三视图可得，该几何体是一个以俯视图为底面的四棱锥，其底面为上底2，下底四，高为4的梯形，锥体的高为=2，故锥体的体积V==×[×（2+4）×4]×2=8，故选：A【点评】：本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状．5．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左顶点与抛物线y2=2px（p＞0）的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为（﹣1，﹣2），则双曲线的焦距为（）A． B． C． D．【考点】：双曲线的简单性质．【专题】：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】：根据题意，点（﹣1，﹣2）在抛物线的准线上，结合抛物线的性质，可得p=2，进而可得抛物线的焦点坐标，依据题意，可得双曲线的左顶点的坐标，即可得a的值，由点（﹣1，﹣2）在双曲线的渐近线上，可得渐近线方程，进而可得b的值，由双曲线的性质，可得c的值，进而可得答案．【解析】：解：根据题意，双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为（﹣1，﹣2），即点（﹣1，﹣2）在抛物线的准线上，则p=2，则抛物线的焦点为（1，0）；则双曲线的左顶点为（﹣3，0），即a=3；点（﹣1，﹣2）在双曲线的渐近线上，则其渐近线方程为y=±2x，由双曲线的性质，可得b=6；则c==3，则焦距为2c=6故选：A．【点评】：本题考查双曲线与抛物线的性质，注意题目“双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为（﹣1，﹣2）”这一条件的运用，另外注意题目中要求的焦距即2c，容易只计算到c，就得到结论．6．（5分）数列{a n}满足a1=1，且对于任意的n∈N*都有a n+1=a1+a n+n，则等于（）A． B． C． D．【考点】：数列的求和．【专题】：等差数列与等比数列．【分析】： a1=1，且对于任意的n∈N*都有a n+1=a1+a n+n，可得a n+1﹣a n=n+1，利用“累加求和”可得：a n=，，再利用“裂项求和”即可得出．【解析】：解：∵a1=1，且对于任意的n∈N*都有a n+1=a1+a n+n，∴a n+1﹣a n=n+1，∴当n≥2时，a n=（a n﹣a n﹣1）+（a n﹣1﹣a n﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1=n+（n﹣1）+…+2+1=，当n=1时也成立，∴a n=，∴，∴数列的前n项和S n=2+…+=2=．∴==．故选：C．【点评】：本题考查了数列的“累加求和”、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．7．（5分）已知以下4个命题：①若p∨q为真命题，则p∧q为真命题；②若p：∀x∈R，x2﹣3x﹣2＜0，则￢q：∃x∈R，x2﹣3x﹣2≥0；③设a，b∈R，则a＞b是（a﹣1）|a|＞（b﹣1）|b|成立的充分不必要条件；④若关于实数x的不等式|1﹣2x|+|1+3x|＜a|x|无解，则实数a的取值范围是（﹣∞，5]．其中正确命题的个数是（）A． 1 B． 2 C． 3 D． 4【考点】：命题的真假判断与应用．【专题】：阅读型；不等式的解法及应用；简易逻辑．【分析】：运用复合命题的真假和真值表，即可判断①；由全称性命题的否定为存在性命题，即可判断②；由充分必要条件的定义和特殊值比如a=，b=，即可判断③；对x讨论，x=0．x≠0，运用分离参数，结合绝对值不等式的性质，求得最小值，即可判断④．【解析】：解：对于①，若p∨q为真命题，则p，q中至少有一个为真，则p∧q不一定为真命题，则①错误；对于②，若p：∀x∈R，x2﹣3x﹣2＜0，则￢q：∃x∈R，x2﹣3x﹣2≥0，则②正确；对于③，设a，b∈R，当a＞b，比如a=，b=，则（a﹣1）|a|=﹣，（b﹣1）|b|=﹣，推出（a﹣1）|a|＜（b﹣1）|b|，则③错误；对于④，若关于实数x的不等式|1﹣2x|+|1+3x|＜a|x|无解，当x=0，2＜0无解，成立；当x≠0时，即有a＞|﹣2|+|+3|，由|﹣2|+|+3|≥|（+3）﹣（﹣2）|=5，当a≤5时，不等式|1﹣2x|+|1+3x|＜a|x|无解，则④正确．综上可得，②④正确．故选：B．【点评】：本题考查简易逻辑的基础知识，主要考查复合命题的真假和命题的否定及充分必要条件的判断，同时考查不等式的性质和绝对值不等式的基本性质，属于基础题和易错题．8．（5分）定义域为R的函数f（x）满足f（x+2）=2f（x）﹣2，当x∈（0，2]时，f（x）=，若x∈（0，4]时，t2﹣≤f（x）恒成立，则实数t的取值范围是（）A． [1，2] B． [2，] C． [1，] D． [2，+∞）【考点】：分段函数的应用；函数恒成立问题．【专题】：函数的性质及应用；不等式的解法及应用．【分析】：由f（x+2）=2f（x）﹣2，求出x∈（2，3），以及x∈[3，4]，的函数的解析式，分别求出（0，4]内的四段的最小值，注意运用二次函数的最值和函数的单调性，再由t2﹣≤f（x）恒成立即为由t2﹣≤f（x）min，解不等式即可得到所求范围．【解析】：解：当x∈（2，3），则x﹣2∈（0，1），则f（x）=2f（x﹣2）﹣2=2（x﹣2）2﹣2（x﹣2）﹣2，即为f（x）=2x2﹣10x+10，当x∈[3，4]，则x﹣2∈[1，2]，则f（x）=2f（x﹣2）﹣2=﹣2．当x∈（0，1）时，当x=时，f（x）取得最小值，且为﹣；当x∈[1，2]时，当x=2时，f（x）取得最小值，且为；当x∈（2，3）时，当x=时，f（x）取得最小值，且为﹣；当x∈[3，4]时，当x=4时，f（x）取得最小值，且为﹣1．综上可得，f（x）在（0，4]的最小值为﹣．若x∈（0，4]时，t2﹣≤f（x）恒成立，则有t2﹣≤﹣．解得1≤t≤．故选：C．【点评】：本题考查分段函数的运用，主要考查分段函数的最小值，运用不等式的恒成立思想转化为求函数的最值是解题的关键．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡中的相应横线上.9．（5分）某中学有高中生3500人，初中生1500人，为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n的样本，若从初中生中抽取了30人，则n的值等于100 ．【考点】：分层抽样方法．【专题】：概率与统计．【分析】：根据分层抽样的定义建立比例关系即可得到结论．【解析】：解：由分层抽样的定义得n==100，故答案为：100【点评】：本题主要考查分层抽样的应用，根据条件建立比例关系是解决本题的关键．比较基础．10．（5分）已知a=dx，在二项式（x2﹣）5的展开式中，含x的项的系数为﹣10 ．【考点】：二项式系数的性质；定积分．【专题】：二项式定理．【分析】：求定积分求得a的值，在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于1求出r的值，即可求得含x的项的系数．【解析】：解：a=dx=（2x﹣x2）=2﹣1=1，二项式（x2﹣）5 =（ x2﹣）5，∴二项式（x2﹣）5的展开式的通项公式为T r+1=•（﹣1）r•x10﹣3r，令10﹣3r=1，求得r=3，含x的项的系数为﹣=﹣10，故答案为：﹣10．【点评】：本题主要考查求定积分，二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，属于基础题．11．（5分）已知△ABC中，AB=1，sinA+sinB=sinC，S△ABC=sinC，则cosC= ．【考点】：余弦定理；正弦定理．【专题】：解三角形．【分析】： sinA+sinB=sinC，利用正弦定理可得：a+b=c，利用三角形面积计算公式可得：sinC，ab=，再利用余弦定理即可得出．【解析】：解：∵sinA+sinB=sinC，由正弦定理可得：a+b=c，∵S△ABC=sinC，∴sinC，sinC≠0，化为ab=，由余弦定理可得：c2=a2+b2﹣2abcosC=（a+b）2﹣2ab﹣2abcosC，∴1=﹣2×（1+cosC），解得cosC=．故答案为：．【点评】：本题查克拉正弦定理、余弦定理、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12．（5分）如图，△ABC是圆O的内接三角形，PA是圆O的切线，A为切点，PB交AC于点E，交圆O于点D，若PE=PA，∠ABC=60°，且PD=2，BD=6，则AC= 6 ．【考点】：与圆有关的比例线段．【专题】：选作题；立体几何．【分析】：由PDB为圆O的割线，PA为圆的切线，由切割线定理，结合PD=2，BD=6易得PA长，由∠ABC=60°结合弦切角定理易得△PAE为等边三角形，进而根据PE长求出AE长及ED，DB长，再根据相交弦定理可求出CE，进而得到答案．【解析】：解：∵PD=2，BD=6，∴PB=PD+BD=8由切割线定理得PA2=PD•PB=16∴PA=4又∵PE=PA，∴PE=4又∠PAC=∠ABC=60°∴AE=4又由DE=PE﹣PD=2BE=BD﹣DE=4由相交弦定理可得：AE•CE=BE•ED=8，即CE=2∴AC=AE+CE=6故答案为：6．【点评】：本题考查的知识点是与圆相关的比例线段，根据已知条件求出与圆相关线段的长是解答的关键．13．（5分）在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线M的极坐标方程为，曲线N的参数方程为（t为参数）．若曲线M与N相交于A，B 两点，则线段AB的长等于8 ．【考点】：简单曲线的极坐标方程．【专题】：坐标系和参数方程．【分析】：把极坐标方程与参数方程分别化为直角坐标方程、普通方程，把方程联立可得根与系数的关系，再利用弦长公式即可得出．【解析】：解：曲线M的极坐标方程为，展开为（ρcosθ﹣ρsinθ）=1，∴x﹣y=1．曲线N的参数方程为（t为参数），消去参数t可得：y2=4x．设A（x1，y1），B（x2，y2）．联立，化为y2﹣4y﹣4=0，∴y1+y2=﹣4，y1y2=﹣4．∴|AB|===8．故答案为：8．【点评】：本题考查了直线与抛物线的极坐标方程与参数方程分别化为直角坐标方程、普通方程、直线与抛物线成绩问题转化为方程联立可得根与系数的关系、弦长公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．14．（5分）已知O为△ABC的外心，AB=2a，AC=，∠BAC=120°，若=x+y，则3x+6y的最小值为．【考点】：平面向量的基本定理及其意义．【专题】：平面向量及应用．【分析】：根据几何图形求解出O点的坐标，先求出，的坐标，再由=x+y，运用向量的坐标相等求解出x，y的值，得出3x+6y=，运用基本不等式求解即可得出最小值．【解析】：解：根据题意，建立坐标系如图，过O作AB的垂直平分线，垂足为E，则A（0，0），C（，0），B（﹣a，），E（，），O（，m），∵∠BAC=120°，∴，化简得，∴O（，），∴，，，∵=x+y，∴解得，，∴3x+6y=3（）=≥+6=6+，故答案为：．【点评】：本题考查了平面向量的坐标运算，结合基本不等式求解，属于中档题，关键是准确求解向量的坐标．三、解答题：本大题6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．15．（13分）已知函数（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期与单调递减区间；（Ⅱ）求函数f（x）在区间上的最大值和最小值．【考点】：三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．【专题】：三角函数的图像与性质．【分析】：（Ⅰ）由三角函数化简可得f（x）=2sin（2x+）+3，由周期公式可得，解不等式2kπ+≤2x+≤2kπ+可得单调递减区间；（Ⅱ）由x∈结合三角函数的性质逐步计算可得2sin（2x+）+3∈[2，5]，可得最值．【解析】：解：（Ⅰ）化简可得=•2sinxcosx+2cos2x+2=sin2x+cos2x+1+2=2sin（2x+）+3，∴函数f（x）的最小正周期T==π，由2kπ+≤2x+≤2kπ+可得kπ+≤x≤kπ+∴函数的单调递减区间为[kπ+，kπ+]（k∈Z）；（Ⅱ）∵x∈，∴2x+∈[，]，∴sin（2x+）∈[，1]，∴2sin（2x+）∈[﹣1，2]，∴2sin（2x+）+3∈[2，5]，∴函数的最大值和最小值分别为5，2．【点评】：本题考查三角函数恒等变换，涉及三角函数的周期性和单调性及最值，属中档题．16．（13分）某银行招聘，设置了A、B、C三组测试题供竞聘人员选择．现有五人参加招聘，经抽签决定甲、乙两人各自独立参加A组测试，丙独自参加B组测试，丁、戊两人各自独立参加C组测试．若甲、乙两人各自通过A组测试的概率均为；丙通过B组测试的概率为；而C组共设6道测试题，每个人必须且只能从中任选4题作答，至少答对3题者就竞聘成功．假设丁、戊都只能答对这6道测试题中4道题．（Ⅰ）求丁、戊都竞聘成功的概率．（Ⅱ）记A、B两组通过测试的总人数为ξ，求ξ的分布列和期望．【考点】：离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【专题】：概率与统计．【分析】：（I）设丁竞聘成功为M事件，戊竞聘成功为N事件，则事件的总数，而事件M竞聘成功分为两种情况：一种是戊会其中4题都选上，另一种是选上会其中4题的其中3道题和另一道题，再利用概率计算公式即可得出．（Ⅱ）ξ可取0，1，2，3．ξ=0表示甲乙丙三人都没有通过；ξ=1表示三人中只有一人通过；ξ=3表示由3人都通过，利用分类讨论和独立事件的概率计算公式及其互斥事件的概率计算公式及其对立事件的概率，列出分布列，求出期望．【解析】：解：（I）设“丁竞聘成功”为M事件，戊竞聘成功为N事件，而事件M竞聘成功分为两种情况：一种是戊会其中4题都选上，另一种是选上会其中4题的其中3道题和另一道题，基本事件的总数为．∴P（M）==．P（N）==．丁、戊都竞聘成功的概率：P（MN）=P（M）P（N）==．（Ⅱ）ξ可取0，1，2，3．可得P（ξ=0）=（1﹣）2（1﹣）2=，P（ξ=1）==，P（ξ=2）==，P（ξ=3）==．列表如下：∴Eξ=0×+1×+2×+3×=．【点评】：本题中考查了超几何分布、互斥事件的概率计算公式、随机变量的分布列及其数学期望、分类讨论等基础知识与基本方法，属于中档题．17．（13分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥面ABC，BC⊥AC，BC=AC=2，AA1=3，D为AC的中点．（Ⅰ）求证：AB1∥面BDC1；（Ⅱ）求二面角C1﹣BD﹣C的余弦值；（Ⅲ）在侧棱AA1上是否存在点P，使得CP⊥面BDC1？并证明你的结论．【考点】：二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定．【专题】：计算题；证明题．【分析】：（I）连接B1C，与BC1相交于O，连接OD，我们由三角形的中位线定理，易得OD∥AB1，进而由线面平行的判定定理得到AB1∥面BDC1；（Ⅱ）建立如图所示的空间直角坐标系，分别求出平面C1BD和平面BDC的法向量，代入向量夹角公式，即可得到二面角C1﹣BD﹣C的余弦值；（Ⅲ）假设侧棱AA1上存在点P，使得CP⊥面BDC1，我们可以设出P点坐标，进而构造方程组，若方程组有解说明存在，若方程组无解，说明满足条件的P点不存在．【解析】：证明：（I）连接B1C，与BC1相交于O，连接OD∵BCC1B1是矩形，∴O是B1C的中点．又D是AC的中点，∴OD∥AB1．（2分）∵AB1⊄面BDC1，OD⊂面BDC1，∴AB1∥面BDC1．（4分）解：（II）如图，建立空间直角坐标系，则C1（0，0，0），B（0，3，2），C（0，3，0），A（2，3，0），D（1，3，0）（5分）设=（x，y，z）是面BDC1的一个法向量，则即，令x=1则=（1，，）．（6分）易知=（0，3，0）是面ABC的一个法向量．∴cos＜，＞=．（8分）∴二面角C1﹣BD﹣C的余弦值为．（9分）（III）假设侧棱AA1上存在一点P（2，y，0）（0≤y≤3），使得CP⊥面BDC1．则，即∴方程组无解．∴假设不成立．∴侧棱AA1上不存在点P，使CP⊥面BDC1．（14分）【点评】：本题考查的知识点是二面角的平面角及求法，直线与平面平行的判定，直线与平面垂直的判定，其中（I）的关键是证得OD∥AB1，（II）（III）的关键是建立空间坐标系，将二面角问题和线面垂直问题转化为空间向量夹角问题．18．（13分）已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的左、右顶点分别为A，B，右焦点为F（c，0），直线l是椭圆C在点B处的切线．设点P是椭圆C上异于A，B的动点，直线AP与直线l的交点为D，且当|BD|=2c 时，△AFD是等腰三角形．（Ⅰ）求椭圆C的离心率；（Ⅱ）设椭圆C的长轴长等于4，当点P运动时，试判断以BD为直径的圆与直线PF的位置关系，并加以证明．【考点】：椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的关系．【专题】：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】：（Ⅰ）首先，结合给定的条件，得到a=2c，然后，确定其离心率即可；（Ⅱ）分情况进行讨论，然后，结合直线与圆相切的条件进行判断即可．【解析】：解：（Ⅰ）根据题意，得直线l与x轴垂直，∵当|BD|=2c时，有△AFD是等腰三角形．∴AF=DF，∴（a+c）2=（a﹣c）2+（2）2，∴a=2c，∴e=．（Ⅱ）以BD为直径的圆与直线PF的位置关系是相切，证明如下：∵椭圆C的长轴长等于4，∴a=2，A（﹣2，0），B（2，0），根据（Ⅰ），得椭圆的标准方程为：，设直线l的方程为：y=k（x+2），则点D坐标为（2，4k），BD中点E的坐标为（2，2k），联立方程组，消去y，并整理，得（3+4k2）x2+16k2x+16k2﹣12=0，设点P的坐标为（x0，y0），则﹣2x0=，∴x0=，y0=k（x0+2）=，因为点F（1，0），（1）当k=±时，点P坐标为（1，±），直线PF的方程为x=1，点D的坐标为（2，±2），此时，以BD为直径的圆与直线PF相切；（2）当k≠±时，直线PF的斜率为=，直线PF的方程为：y=，∴x﹣，∴点E到直线PF的距离为d==2|k|，∵|BD|=2R=4|k|，∴以BD为直径的圆与直线PF相切．【点评】：本题重点考查了椭圆的简单的几何性质、直线与椭圆的位置关系等知识．19．（14分）设数列{b n}，{c n}，已知b1=3，c1=5，b n+1=，c n+1=（n∈N*）（Ⅰ）设a n=c n﹣b n，求数列{a n}的通项公式（Ⅱ）求证：对任意n∈N*，b n+c n为定值（Ⅲ）设S n为数列{c n}的前n项和，若对任意n∈N*，都有p•（S n﹣4n）∈[1，3]，求实数p的取值范围．【考点】：数列的求和；数列递推式．【专题】：等差数列与等比数列．【分析】：（I）由b n+1=，c n+1=（n∈N*），可得c n+1﹣b n+1=﹣，可得，利用等比数列的通项公式即可得出；（II）由b n+1=，c n+1=（n∈N*），相加可得b n+1+c n+1=，由于b1+c1=8，即可证明；（III）由（II）可得：b n=8﹣c n，得到，变形为，利用等比数列的通项公式可得：，可得S n=4n+，由于对任意n∈N*，都有p•（S n﹣4n）∈[1，3]，可得，对n分类讨论即可得出．【解析】：（I）解：∵b n+1=，c n+1=（n∈N*），∴c n+1﹣b n+1=﹣，∴，a1=c1﹣b1=5﹣3=2，∴数列{a n}是等比数列，首项为2，公比为﹣．∴．（II）证明：∵b n+1=，c n+1=（n∈N*），∴b n+1+c n+1=，∵b1+c1=8，∴b2+c2==8，依此类推可得：b n+c n=8为定值．（III）解：由（II）可得：b n=8﹣c n，∴，变形为，∴数列{c n﹣4}为等比数列，首项为1，公比为，∴c n﹣4=，∴，∴S n=4n+=4n+，∴S n﹣4n=，∵对任意n∈N*，都有p•（S n﹣4n）∈[1，3]，∴，∴≤p≤，当n为奇数时，p≤，∴．当n为偶数时，≤p≤，∴3≤．∴p=3．【点评】：本题考查了等比数列的通项公式及其前n项和公式、不等式的性质，考查了恒成立问题的等价转化方法、分类讨论思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．20．（14分）已知函数f（x）=x2﹣ax（a≠0），g（x）=lnx，f（x）图象与x轴异于原点的交点为M，f（x）在M处的切线与直线x﹣y+1=0平行．（Ⅰ）求函数T（x）=xf（x）的单调区间；（Ⅱ）已知实数t∈R，求函数y=f[xg（x）+t]，x∈[1，e]的最小值；（Ⅲ）令F（x）=g（x）+g′（x），给定x1，x2∈（1，+∞），x1＜x2，对于两个大于1的正数α，β，存在实数m满足：α=mx1+（1+m）x2，β=（1﹣m）x1+mx2，并且使得不等式|F（α）﹣F（β）|＜|F（x1）﹣F （x2）|恒成立，求实数m的取值范围．【考点】：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性．【专题】：分类讨论；导数的概念及应用；导数的综合应用；不等式的解法及应用．【分析】：（1）利用导数的几何意义，求函数f（x）在与x轴的交点处的切线斜率，由两直线平行的条件即可得a值，求出T（x）的导数，令导数大于0，可得增区间，令导数小于0，可得减区间；（2）令u=xlnx，再研究二次函数u2+（2t﹣1）u+t2﹣t图象是对称轴u=，开口向上的抛物线，结合其性质求出最值；（3）先由题意得到F（x）=g（x）+g′（x）=lnx+，再利用导数工具研究所以F（x）在区间（1，+∞）上单调递增，得到当x≥1时，F（x）≥F（1）＞0，下面对m进行分类讨论：①当m∈（0，1）时，②当m≤0时，③当m≥1时，结合不等式的性质即可求出m的取值范围．【解析】：解：（1）y=f（x）图象与x轴异于原点的交点M（a，0），f′（x）=2x﹣a，f（x）在M处的切线斜率为k=2a﹣a=a，由f（x）在M处的切线与直线x﹣y+1=0平行，则a=1，∴f（x）=x2﹣x，T（x）=xf（x）=x3﹣x2，T′（x）=3x2﹣2x，T′（x）＞0，可得x＞或x＜0，T′（x）＜0，可得0＜x＜，则有T（x）的增区间为（﹣∞，0），（，+∞），减区间为（0，）；（2）y=f[xg（x）+t]=[xlnx+t]2﹣（xlnx+t）=（xlnx）2+（2t﹣1）（xlnx）+t2﹣t，令u=xlnx，在x∈[1，e]时，u′=lnx+1＞0，∴u=xlnx在[1，e]单调递增，0≤u≤eu2+（2t﹣1）u+t2﹣t图象的对称轴u=，抛物线开口向上，①当u=≤0即t≥时，y最小，且为t2﹣t；②当u=≥e即t≤时，y最小，且为e2+（2t﹣1）e+t2﹣t；③当0＜＜e即＜t＜时，y最小且为y|=﹣．（3）F（x）=g（x）+g′（x）=lnx+，F′（x）=，所以F（x）在区间（1，+∞）上单调递增，∴当x≥1时，F（x）≥F（1）＞0，①当m∈（0，1）时，有α=mx1+（1﹣m）x2＞mx1+（1﹣m）x1=x1，α=mx1+（1﹣m）x2＜mx2+（1﹣m）x2=x2，得α∈（x1，x2），同理β∈（x1，x2），∴由f（x）的单调性知 0＜F（x1）＜F（α）、f（β）＜f（x2）从而有|F（α）﹣F（β）|＜|F（x1）﹣F（x2）|，符合题设．②当m≤0时，α=mx1+（1﹣m）x2≥mx2+（1﹣m）x2=x2，β=mx2+（1﹣m）x1≤mx1+（1﹣m）x1=x1，由f（x）的单调性知，F（β）≤F（x1）＜f（x2）≤F（α），∴|F（α）﹣F（β）|≥|F（x1）﹣F（x2）|，与题设不符；③当m≥1时，同理可得α≤x1，β≥x2，得|F（α）﹣F（β）|≥|F（x1）﹣F（x2）|，与题设不符．∴综合①、②、③得 m∈（0，1）．【点评】：本小题主要考查函数单调性的应用、利用导数研究曲线上某点切线方程、利用导数研究函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力、化归与转化思想．属于中档题．。
系统集成2017高考数学理一轮总复习教案：第二章 函数 Word版含解析
第二章函数高考导航结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程的根的知识网络2.1 函数的概念及表示法考点诠释重点：理解函数的模型化思想，用集合语言来表示函数，函数的定义域、解析式的求法. 难点：(1)函数概念的整体认识，即函数具有三个要素：定义域、对应法则、值域；(2)符号“y ＝f (x )”的含义，函数定义域和值域的区间表示；(3)分段函数和复合函数的意义及其定义域的求法，函数解析式的求法等.典例精析题型一 求函数的定义域【例1】(1)函数f (x )＝1ln(x ＋1)＋4－x 2的定义域为( )A.[－2,0)∪(0,2]B.(－1,0)∪(0,2]C.[－2,2]D.(－1,2](2)已知函数f (x )的定义域是[0,1]，求函数f (x 2－1)的定义域.【思路分析】(1)这是对给出解析式的函数求定义域，严格按照求定义域的法则列出不等式，解不等式组即可；(2)对于复合函数f (x 2－1)，若函数f (x )的定义域是[0,1]，即0≤x ≤1，那么函数g (x )＝ f (x 2－1)中x 2－1的值域是[0,1]，即0≤x 2－1≤1，从而得到x 的取值范围.【解析】(1)B.x满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，x ＋1≠1，4－x 2≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧x >－1，x ≠0，－2≤x ≤2，解得－1<x <0或0＜x ≤2.即x ∈(－1,0)∪(0,2].(2)f (x 2－1)以x 2－1为自变量，f (x )的定义域是[0,1]，所以0≤x 2－1≤1，即1≤x 2≤2，所以1≤|x |≤ 2. 所以－2≤x ≤－1或1≤x ≤ 2.故函数f (x 2－1)的定义域是[－2，－1]∪[1，2].【方法归纳】(1)对于给出解析式的函数定义域的求法，关键是根据求定义域的法则列不等式，求得解集即可；(2)若已知复合函数f (g (x ))的定义域，求f (x )的定义域，可令t ＝g (x )，由x 的范围推出t 的范围，再以x 代替t 即得f (x )的定义域；若已知f (x )的定义域求复合函数f (φ(x ))的定义域，可将f (x )的定义域写成关于x 的不等式，然后将x 换成中间变量φ(x )，再解不等式即可得到复合函数f (φ(x ))的定义域.【举一反三】1.函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d 的部分数值如下表：x －3 －2 －1 0 1 2 3 4 5 f (x )－80－2441660144则函数y ＝lg f (x )的定义域为 (－1,1)∪(2，＋∞) .【解析】结合三次函数的图象和已知表格可知f (x )＞0的解集为(－1,1)∪(2，＋∞)，即为y ＝lg f (x )的定义域.题型二 求函数的解析式【例2】(1)已知f (x )＝x 2，求f (2x ＋1)； (2)已知f (x ＋1)＝x ＋2x ，求f (x )；(3)设一次函数y ＝f (x )，且f (f (x ))＝4x ＋3，求f (x )；(4)设函数f (x )满足f (x )＋2f ⎝⎛⎭⎫1x ＝x (x ≠0)，求f (x ).【思路分析】(1)(2)中对应法则“f ”实际上就是对“x ”的一种程序或方法，因此要把“2x ＋1”及“x ＋1”看成一个整体来求解；(3)中函数f (x )是一次函数，可以利用待定系数法来解决；(4)中有个明显的特征就是“x ”与“1x ”互为倒数，把其中的“x ”换成“1x ”，就可得到另一个方程，利用消元的方法即可解得f (x )的解析式.【解析】(1)(代入法)f (2x ＋1)＝(2x ＋1)2＝4x 2＋4x ＋1，x ∈R . (2)(换元法)令x ＋1＝t ，则t ≥1，且x ＝t 2－2t ＋1， 所以f (t )＝t 2－2t ＋1＋2(t －1)＝t 2－1. 所以f (x )＝x 2－1，x ∈[1，＋∞).(3)(待定系数法)设f (x )＝kx ＋b ，则f (f (x ))＝k (kx ＋b )＋b ＝k 2x ＋kb ＋b ， 又因为f (f (x ))＝4x ＋3，所以⎩⎪⎨⎪⎧ k 2＝4，kb ＋b ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧ k ＝－2，b ＝－3或⎩⎪⎨⎪⎧k ＝2，b ＝1.所以f (x )＝－2x －3或f (x )＝2x ＋1.(4)(解方程组法)用1x 代替条件方程中的x 得f ⎝⎛⎭⎫1x ＋2f (x )＝1x ，把它与原条件式联立， 即得②－①×2得f (x )＝2－x 23x，x ∈(－∞，0)∪(0，＋∞).【方法归纳】求函数解析式的常用方法(1)代入法：求f (g (x ))的解析式，将g (x )看作自变量，将f (x )的解析式中的“x ”换成g (x )； (2)配凑法：由已知条件f (g (x ))＝F (x )，可将F (x )改写成关于g (x )的表达式，然后以x 替代g (x )，便得f (x )的表达式；(3)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法； (4)换元法：已知复合函数f (g (x ))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围；(5)解方程组法：已知关于f (x )与f ⎝⎛⎭⎫1x 或f (－x )的表达式，可根据已知条件再构造出另一个等式组成方程组，通过解方程求出f (x ).【举一反三】2.(1)函数f (x )是偶函数，g (x )是奇函数，若f (x )＋g (x )＝1x －1，求f (x )；(2)f (x )为二次函数且f (0)＝3，f (x ＋2)－f (x )＝4x ＋2.试求出f (x )的解析式.【解析】(1)由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧f (x )＋g (x )＝1x －1，f (x )－g (x )＝1－x －1，解得2f (x )＝1x －1－1x ＋1，所以f (x )＝1x 2－1(x ≠±1). (2)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，又因为f (0)＝c ＝3. 所以f (x )＝ax 2＋bx ＋3，所以f (x ＋2)－f (x )＝a (x ＋2)2＋b (x ＋2)＋3－(ax 2＋bx ＋3)＝4ax ＋4a ＋2b ＝4x ＋2.所以⎩⎪⎨⎪⎧ 4a ＝4，4a ＋2b ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1.所以f (x )＝x 2－x ＋3. 题型三 分段函数【例3】设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ＋2，x ≤0，－x 2，x ＞0.若f (f (a ))＝2，则a ＝ .【解析】 2.解法一：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ＋2，x ≤0，－x 2，x ＞0，所以当x ≤0时，f (x )＞0；当x ＞0时，f (x )＜0.由已知f (f (a ))＝2＞0， 所以f (a )≤0，所以a ＞0. 所以f (a )＝－a 2＜0，所以f (f (a ))＝f (－a 2)＝(1－a 2)2＋1＝2， 解得a 2＝0或2.又因为a ＞0，所以a ＝ 2.解法二：①若a ＞0，则f (f (a ))＝f (－a 2)＝(1－a 2)2＋1＝2，解得a ＝2； ②若a ≤0，则f (f (a ))＝f (a 2＋2a ＋2)＝－[(a ＋1)2＋1]2＝2，无解. 综上所述，a ＝ 2.【方法归纳】(1)求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f (f (a ))的形式时，应从内到外依次求值.(2)当给出函数值求自变量的值时，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围.【举一反三】3.已知实数a ≠0，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋a ，x ＜1，－x －2a ，x ≥1.若f (1－a )＝f (1＋a )，则a 的值为.【解析】当a ＞0时，1－a ＜1,1＋a ＞1. 此时f (1－a )＝2(1－a )＋a ＝2－a ， f (1＋a )＝－(1＋a )－2a ＝－1－3a . 由f (1－a )＝f (1＋a )，得2－a ＝－1－3a ，解得a ＝－32(舍去).当a ＜0时，1－a ＞1,1＋a ＜1， 此时f (1－a )＝－(1－a )－2a ＝－1－a ， f (1＋a )＝2(1＋a )＋a ＝2＋3a . 由f (1－a )＝f (1＋a )，得 －1－a ＝2＋3a ，解得a ＝－34.综上可知，a 的值为－34.体验高考(2015新课标Ⅰ)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1－2，x ≤1，－log 2(x ＋1)，x ＞1，且f (a )＝－3，则f (6－a )等于( )A.－74B.－54C.－34D.－14【解析】A.当a ≤1时，f (a )＝2a －1－2＝－3，即2a －1＝－1，不成立，舍去；当a ＞1时，f (a )＝－log 2(a ＋1)＝－3，即log 2(a ＋1)＝3，得a ＋1＝23＝8，所以a ＝7，此时f (6－a )＝f (－1)＝2－2－2＝－74.故选A.【举一反三】(2015山东)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －1，x ＜1，2x ，x ≥1.则满足f (f (a ))＝2f (a )的a 的取值范围是( C )A.⎣⎡⎦⎤23，1B.[0,1]C.⎣⎡⎦⎤23，＋∞ D.[1，＋∞) 【解析】①当a ＜23时，f (a )＝3a －1＜1，f (f (a ))＝3(3a －1)－1＝9a －4,2f (a )＝23a －1，显然f (f (a ))≠2f (a ).②当23≤a ＜1时，f (a )＝3a －1≥1，f (f (a ))＝23a －1，2f (a )＝23a －1，故f (f (a ))＝2f (a ).③当a ≥1时，f (a )＝2a ＞1，f (f (a ))＝2，2f (a )＝2，故f (f (a ))＝2f (a ).综合①②③知，a ≥23.2.2 函数的单调性考点诠释重点：函数的单调性、函数的最大(小)值及其几何意义.难点：对函数单调性的理解，利用函数的单调性定义判断、证明函数的单调性，利用函数的单调性求函数的最大(小)值.典例精析题型一 函数单调性的判断与证明【例1】已知函数f (x )＝x 2＋1－ax ，其中a ＞0. (1)若2f (1)＝f (－1)，求a 的值；(2)证明：当a ≥1时，函数f (x )在区间[0，＋∞)上为减函数. 【思路分析】(1)代入求值；(2)利用单调性的定义证明. 【解析】(1)由2f (1)＝f (－1)， 可得22－2a ＝2＋a ，所以a ＝23. (2)证明：任取x 1，x 2∈[0，＋∞)，且x 1＜x 2， f (x 1)－f (x 2)＝x 21＋1－ax 1－x 22＋1＋ax 2＝x 21＋1－x 22＋1－a (x 1－x 2)＝x 21－x 22x 21＋1＋x 22＋1－a (x 1－x 2)＝(x 1－x 2)⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x 1＋x 2x 21＋1＋x 22＋1－a . 因为0≤x 1＜x 21＋1，0＜x 2＜x 22＋1，所以0＜x 1＋x 2x 21＋1＋x 22＋1＜1.又因为a ≥1，所以f (x 1)－f (x 2)＞0， 所以f (x )在[0，＋∞)上单调递减.【方法归纳】判断函数单调性的常用方法(1)定义法：一般步骤为设元→作差→变形→判断符号→得出结论.其关键是作差变形，为了便于判断差的符号，通常将差变成因式连乘(除)或平方和的形式，再结合变量的范围、假定的两个自变量的大小关系及不等式的性质作出判断.若在给定区间上，f (x 1)－f (x 2)与x 1－x 2同号，则该函数是增函数；f (x 1)－f (x 2)与x 1－x 2异号，则该函数是减函数.(2)复合函数单调性的判断法则：“同增异减”，即对于y ＝f (g (x ))型的复合函数，我们令t ＝g (x )，则可以把它看成由y ＝f (t )和t ＝g (x )复合而成的，若它们的单调性相同，则复合后的函数为增函数；若它们的单调性相反，则复合后的函数为减函数.(3)利用函数的运算性质：若f (x )，g (x )为增函数，则①f (x )＋g (x )为增函数； ②1f (x )为减函数(f (x )＞0)； ③f (x )为增函数(f (x )≥0)；④f (x )·g (x )为增函数(f (x )＞0，g (x )＞0)； ⑤－f (x )为减函数.(4)图象法：根据图象上升或下降来确定函数的单调性. (5)导数法：利用导数研究函数的单调性.【举一反三】1.已知函数f (x )＝ax －1x ＋1.(1)若a ＝－2，试证f (x )在(－∞，－2)上单调递减.(2)函数f (x )在(－∞，－1)上单调递减，求实数a 的取值范围. 【解析】(1)证明：任取x 1，x 2∈(－∞，－2)，且x 1＜x 2， 则f (x 1)－f (x 2)＝－2x 1－1x 1＋1－－2x 2－1x 2＋1＝－x 1－x 2(x 1＋1)(x 2＋1).因为(x 1＋1)(x 2＋1)＞0，x 1－x 2＜0， 所以f (x 1)－f (x 2)＞0， 所以f (x 1)＞f (x 2)，所以f (x )在(－∞，－2)上单调递减. (2)解法一：f (x )＝ax －1x ＋1＝a －a ＋1x ＋1，任取x 1，x 2∈(－∞，－1)，且x 1＜x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －a ＋1x 1＋1－⎝ ⎛⎭⎪⎫a －a ＋1x 2＋1＝a ＋1x 2＋1－a ＋1x 1＋1＝(a ＋1)(x 1－x 2)(x 1＋1)(x 2＋1)， 又函数f (x )在(－∞，－1)上是减函数， 所以f (x 1)－f (x 2)>0. 由于x 1<x 2<－1，所以x 1－x 2<0，x 1＋1<0，x 2＋1<0， 所以a ＋1<0，即a <－1.故实数a 的取值范围是(－∞，－1).解法二：由f (x )＝ax －1x ＋1，得f (x )＝a ＋1(x ＋1)2，又因为f (x )＝ax －1x ＋1在(－∞，－1)上是减函数，所以f (x )＝a ＋1(x ＋1)2≤0在(－∞，－1)上恒成立，解得a ≤－1，而当a ＝－1时，f (x )＝－1在(－∞，－1)上不具有单调性，故实数a 的取值范围是(－∞，－1).题型二 求函数的单调区间【例2】求下列函数的单调区间： (1)f (x )＝－x 2＋3x －2； (2)f (x )＝3|x |；(3)f (x )＝－x 2＋2|x |＋3；(4)f (x )＝x ＋9x(x >0).【思路分析】求给定函数的单调区间通常采用以下方法：①利用已知函数的单调性；②图象法；③定义法(利用单调性的定义探讨)；④导数法.【解析】(1)f (x )＝－x 2＋3x －2＝－⎝⎛⎭⎫x －322＋14，对称轴为x ＝32，所以f (x )在⎝⎛⎦⎤－∞，32上是增函数，在⎣⎡⎭⎫32，＋∞上是减函数.(2)因为f (x )＝3|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ，x ≥0，－3x ，x <0.由一次函数的单调性可得，f (x )在(－∞，0]上是减函数，在[0，＋∞)上是增函数.(3)因为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ＋3，x ≥0，－x 2－2x ＋3，x <0.其图象如图所示：由图象可知，y ＝f (x )在(－∞，－1]，[0,1]上是增函数； y ＝f (x )在[－1,0]，[1，＋∞)上是减函数. (4)由f (x )＝x ＋9x ，得f ′(x )＝1－9x 2，令f ′(x )＝1－9x 2＝0，得x ＝±3.当x >3或x <－3时，f ′(x )>0， 所以f (x )在(3，＋∞)上是增函数； 当0<x <3时，f ′(x )<0， 所以f (x )在(0,3]上是减函数.【方法归纳】函数的单调区间是函数定义域的子集或真子集，求函数的单调区间必须首先确定函数的定义域，求函数的单调区间的运算应该在函数的定义域内进行.【举一反三】2.函数f (x )＝log 5(2x ＋1)的单调增区间是.【解析】要使y ＝log 5(2x ＋1)有意义，需满足2x ＋1＞0，即x >－12，令u ＝2x ＋1，则y ＝log 5u为(0，＋∞)上的增函数，当x >－12时，u ＝2x ＋1也为增函数，故原函数的单调增区间是⎝⎛⎭⎫－12，＋∞. 题型三 函数单调性的应用【例3】(1)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≥0，1，x ＜0，则满足不等式f (1－x 2)＞f (2x )的x 的取值范围是 ；(2)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(x ＋a )2，x ≤0，x ＋1x ＋a ，x ＞0，若f (0)是f (x )的最小值，则a 的取值范围为( )A.[]－1，2B.[]－1，0C.[]1，2D.[]0，2【思路分析】解题(1)的关键是结合图象利用单调性将“f ”脱掉；解题(2)的方法是先判断单调性，再利用单调性求解.【解析】(1)(－1，2－1).(数形结合法)画出f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≥0，1，x ＜0的图象如下，由图象可知，若f (1－x 2)＞f (2x )，则⎩⎪⎨⎪⎧ 1－x 2＞0，1－x 2＞2x ，即⎩⎪⎨⎪⎧－1＜x ＜1，－1－2＜x ＜－1＋2，所以x ∈(－1，2－1).(2)B.当a >0时，f (x )在(－∞，－a )上单调递减，在[－a ，0]上单调递增，显然f (0)不是f (x )的最小值；当a ≤0时，f (0)＝a 2，欲使结论成立，只需a 2≤⎝⎛⎭⎫x ＋1x ＋a min ＝a ＋2， 解得－1≤a ≤2，所以－1≤a ≤0.故选B. 【方法归纳】含“f ”号不等式的解法首先根据函数的性质把不等式转化为f (g (x ))＞f (h (x ))的形式，然后根据函数的单调性去掉“f ”号，转化为具体的不等式(组)，此时要注意g (x )与h (x )的取值应在外层函数的定义域内.【举一反三】3.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3，x ≤0，ln(x ＋1)，x ＞0，若f (2－x 2)＞f (x )，则实数x 的取值范围是( D )A.(－∞，－1)∪(2，＋∞)B.(－∞，－2)∪(1，＋∞)C.(－1,2)D.(－2,1)【解析】因为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3，x ≤0，ln(x ＋1)，x ＞0，所以函数y ＝f (x )在(－∞，0]和(0，＋∞)上单调递增，且当x ∈(0，＋∞)时，y ＝f (x )>0；当x ∈(－∞，0]时，y ＝f (x )≤0；这表明函数y ＝f (x )在整个定义域内均单调递增，所以由f (2－x 2)＞f (x )，得2－x 2>x ，解得－2<x <1.故选D.题型四 函数的最值及应用【例4】已知函数f (x )＝x 2＋2x ＋ax，x ∈[1，＋∞).(1)当a ＝12时，求函数f (x )的最小值；(2)若对任意x ∈[1，＋∞)，f (x )＞0恒成立，试求实数a 的取值范围.【思路分析】(1)代入a 的值，利用函数单调性求最值；(2)先求f (x )的最小值，只要f (x )的最小值大于零，即可求解.【解析】(1)当a ＝12时，f (x )＝x ＋12x＋2，所以f (x )在[1，＋∞)上为增函数，所以f (x )min ＝f (1)＝72.(2)f (x )＝x ＋ax ＋2，x ∈[1，＋∞).①当a ≤0时，f (x )在[1，＋∞)内为增函数. 最小值为f (1)＝a ＋3.要使f (x )＞0在[1，＋∞)上恒成立，只需a ＋3＞0，即a ＞－3，所以－3＜a ≤0. ②当0＜a ≤1时，f (x )在[1，＋∞)上为增函数， f (x )min ＝f (1)＝a ＋3.所以a ＋3＞0，即a ＞－3，所以0＜a ≤1.③当a ＞1时，f (x )在[1，a ]上为减函数，在(a ，＋∞)上为增函数，所以f (x )在[1，＋∞)上的最小值是f (a )＝2a ＋2,2a ＋2＞0显然成立，所以a ＞1满足题意.综上所述，f (x )在[1，＋∞)上恒大于零时，实数a 的取值范围是(－3，＋∞). 【方法归纳】1.求函数最值的常用方法(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值；(2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值；(3)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值；(4)导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值； (5)换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值. 2.恒成立问题的解法(1)m ＞f (x )恒成立⇔m ＞f (x )max ； (2)m ＜f (x )恒成立⇔m ＜f (x )min .【举一反三】4.设函数f (x )＝x 2－1，对任意x ∈⎣⎡⎭⎫32，＋∞，f ⎝⎛⎭⎫x m －4m 2f (x )≤f (x －1)＋4f (m )恒成立，求实数m 的取值范围.【解析】由题意知，x 2m2－1－4m 2(x 2－1)≤(x －1)2－1＋4(m 2－1)在⎣⎡⎭⎫32，＋∞上恒成立，即1m 2－4m 2≤－3x 2－2x＋1在⎣⎡⎭⎫32，＋∞上恒成立， 令y ＝－3x 2－2x ＋1＝－3⎝⎛⎭⎫1x ＋132＋43，因为x ∈⎣⎡⎭⎫32，＋∞，所以1x ∈⎝⎛⎦⎤0，23，故当1x ＝23，即x ＝32时，函数y ＝－3x 2－2x ＋1取得最小值－53，所以1m 2－4m 2≤－53，即(3m 2＋1)(4m 2－3)≥0，解得m ≤－32或m ≥32.即实数m 的取值范围为⎝⎛⎦⎤－∞，－32∪⎣⎡⎭⎫32，＋∞.体验高考(2014北京)下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是( )A.y ＝x ＋1B.y ＝(x －1)2C.y ＝2－x D.y ＝log 0.5(x ＋1)【解析】A.y ＝(x －1)2仅在[1，＋∞)上为增函数，排除B ；y ＝2－x ＝⎝⎛⎭⎫12x为减函数，排除C ；因为y ＝log 0.5t 为减函数，t ＝x ＋1为增函数，所以y ＝log 0.5(x ＋1)为减函数，排除D ；y ＝t 和t ＝x ＋1均为增函数，所以y ＝x ＋1为增函数，故选A.【举一反三】(2015浙江)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2x －3，x ≥1，lg(x 2＋1)，x ＜1，则f (f (－3))＝ 0 ，f (x )的最小值是.【解析】因为－3＜1，所以f (－3)＝lg[(－3)2＋1]＝lg 10＝1，所以f (f (－3))＝f (1)＝1＋21－3＝0.当x ≥1时，f (x )＝x ＋2x －3≥22－3(当且仅当x ＝2时，等号成立)；当x ＜1时，x 2＋1≥1， 所以f (x )＝lg(x 2＋1)≥0. 又因为22－3＜0， 所以f (x )min ＝22－3.2.3 函数的奇偶性与周期性考点诠释重点：函数的奇偶性及其图象特征，周期函数的意义.难点：判断函数的奇偶性的方法与步骤，周期性与奇偶性的综合应用.典例精析题型一 函数奇偶性的判断【例1】讨论下列函数的奇偶性：(1)f (x )＝(x ＋1)1－x1＋x；(2)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ＋1(x >0)，x 2＋2x －1(x <0)；(3)f (x )＝4－x 2|x ＋3|－3；(4)f (x )＝3－x 2＋x 2－3.【思路分析】判断函数的奇偶性，首先要检验其定义域是否关于原点对称，若是，再严格按照奇偶性定义进行推理判断，否则是非奇非偶函数.【解析】(1)由题意知1－x1＋x≥0且x ≠－1，所以－1<x ≤1，所以f (x )的定义域不关于原点对称， 所以f (x )不存在奇偶性.(2)当x ＞0时，－x ＜0，f (x )＝－x 2＋2x ＋1，f (－x )＝x 2－2x －1，所以f (－x )＝－f (x ). 同理可得，当x ＜0时，f (－x )＝－f (x ).又函数f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，所以f (x )是奇函数.(3)因为⎩⎪⎨⎪⎧4－x 2≥0，|x ＋3|≠3，所以－2≤x ≤2且x ≠0，所以函数定义域关于原点对称. 因为f (x )＝4－x 2x ＋3－3＝4－x 2x ， 又f (－x )＝4－(－x )2－x ＝－4－x 2x， 所以f (－x )＝－f (x )，所以函数f (x )是奇函数.(4)由⎩⎪⎨⎪⎧3－x 2≥0，x 2－3≥0，得x ＝－3或x ＝ 3.所以函数f (x )的定义域为{－3，3}.又因为对任意的x ∈{－3，3}，－x ∈{－3，3}， 且f (－x )＝－f (x )＝f (x )＝0. 所以f (x )既是奇函数，又是偶函数. 【方法归纳】1.判断函数奇偶性的程序2.复合函数奇偶性的判断有两种基本思路，一是直接利用奇函数、偶函数的定义，二是根据复合函数的内、外层函数来分析判断.【举一反三】1.判断下列函数的奇偶性： (1)f (x )＝x －1＋1－x ；(2)已知g (x )为偶函数，且f (x )＝g (x )·⎝⎛ 12x －1＋⎭⎫12，判断f (x )的奇偶性；(3)f (x )＝lg1x 2＋1－x.【解析】(1)由⎩⎪⎨⎪⎧x －1≥0，1－x ≥0，得x ＝1，所以函数f (x )的定义域不关于原点对称.所以f (x )既不是奇函数，也不是偶函数. (2)令h (x )＝12x －1＋12.因为h (－x )＝－h (x )(x ≠0)，且h (x )的定义域关于原点对称，所以h (x )是奇函数. 又g (x )为偶函数，所以f (x )为奇函数. (3)函数f (x )的定义域为R ，关于原点对称，因为f (x )＝lg 1x 2＋1－x ＝lg(x 2＋1＋x )，所以f (－x )＝lg(x 2＋1－x ).所以f (x )＋f (－x )＝lg(x 2＋1－x 2)＝0，所以f (x )为奇函数.题型二 函数的奇偶性的应用【例2】(1)已知f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，且f (－1)＋g (1)＝2，f (1)＋g (－1)＝4，则g (1)等于( )A.4B.3C.2D.1(2)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ＞0时，f (x )＝x 2－4x ，则不等式f (x )＞x 的解集用区间表示为 .【思路分析】(1)根据函数的奇偶性列出关于f (1)，g (1)的方程组求解；(2)先求出f (x )的解析式，然后分段解不等式.【解析】(1)B.由函数的奇偶性可得f (－1)＝－f (1)，g (－1)＝g (1)，则⎩⎪⎨⎪⎧－f (1)＋g (1)＝2，f (1)＋g (1)＝4，解得g (1)＝3.(2)(－5,0)∪(5,＋∞).因为f (x )是定义在R 上的奇函数，所以f (0)＝0. 又当x ＜0时，－x ＞0，所以f (－x )＝x 2＋4x . 又f (x )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )， 所以f (x )＝－x 2－4x (x ＜0)，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ，x ＞0，0，x ＝0，－x 2－4x ，x ＜0.①当x ＞0时，由f (x )＞x ，得x 2－4x ＞x ，解得x ＞5； ②当x ＝0时，f (x )＞x 无解；③当x ＜0时，由f (x )＞x ，得－x 2－4x ＞x ，解得－5＜x ＜0. 综上，不等式f (x )＞x 的解集为(－5,0)∪(5,＋∞).【方法归纳】应用函数奇偶性可解决的四类问题及解题方法 (1)求函数值将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解. (2)求解析式先将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求出，或利用奇偶性构造关于f (x )的方程(组)，从而得到f (x )的解析式.(3)求函数解析式中参数的值利用待定系数法求解，根据f (x )±f (－x )＝0得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得参数的值或方程(组)，进而得出参数的值.(4)画函数图象和判断单调性利用奇偶性可画出另一对称区间上的图象及判断另一区间上的单调性.【举一反三】2.设函数f (x )＝(x ＋1)2＋sin xx 2＋1的最大值为M ，最小值为m ，则M ＋m ＝ 2 .【解析】将函数化简，利用函数的奇偶性求解. f (x )＝(x ＋1)2＋sin x x 2＋1＝1＋2x ＋sin x x 2＋1，设g (x )＝2x ＋sin xx 2＋1，则g (－x )＝－g (x )，因此g (x )是奇函数，由奇函数图象的对称性知g (x )max ＋g (x )min ＝0，则M ＋m ＝[g (x )＋1]max ＋[g (x )＋1]min ＝2＋g (x )max ＋g (x )min ＝2. 题型三 函数的周期性及其应用【例3】已知函数y ＝f (x )(x ∈R )满足f (x ＋1)＝f (x －1)，且x ∈[－1,1]时，f (x )＝x 2，则方程f (x )＝log 6 x 的根的个数为( )A.3个B.4个C.5个D.6个【思路分析】利用函数的周期性并结合数形结合思想可求解.【解析】C.由题意可得，函数y ＝f (x )的周期为2，画出函数图象，如图所示.又f (6)＝log 6 6＝1，利用数形结合可得y ＝f (x )与y ＝log 6 x 的图象的交点个数为5个，故有5个根.故选C.【方法归纳】判断函数周期性的三个常用结论 若对于函数f (x )定义域内的任意一个x 都有：(1)f (x ＋a )＝－f (x )(a ≠0)，则函数f (x )必为周期函数，2|a |是它的一个周期；(2)f (x ＋a )＝1f (x )(a ≠0)，则函数f (x )必为周期函数，2|a |是它的一个周期；(3)f (x ＋a )＝－1f (x )，则函数f (x )必为周期函数，2|a |是它的一个周期.【举一反三】3.设偶函数f (x )对任意x ∈R ，都有f (x ＋3)＝－1f (x )，且当x ∈[－3，－2]时，f (x )＝4x ，则f (107.5)等于( B )A.10B.110C.－10D.－110【解析】因为f (x ＋3)＝－1f (x )，所以f (x ＋6)＝－1f (x ＋3)＝f (x )，所以f (x )是周期为6的函数. 又f (x )是偶函数，所以f (107.5)＝f (5.5)＝－1f (2.5)＝－1f (－2.5)＝－14×(－2.5)＝110.体验高考(2015新课标Ⅱ)设函数f (x )＝ln(1＋|x |)－11＋x 2，则使得f (x )＞f (2x －1)成立的x 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫13，1B.⎝⎛⎭⎫－∞，13∪(1，＋∞) C.⎝⎛⎭⎫－13，13D.⎝⎛⎭⎫－∞，－13∪⎝⎛⎭⎫13，＋∞ 【解析】A.当x ＞0时，f (x )＝ln(1＋x )－11＋x 2，所以f ′(x )＝11＋x ＋2x(1＋x 2)2＞0，所以f (x )在(0，＋∞)上为增函数. 因为f (－x )＝f (x )，所以f (x )为偶函数. 由f (x )＞f (2x －1)得f (|x |)＞f (|2x －1|)， 所以|x |＞|2x －1|，即3x 2－4x ＋1＜0，解得13＜x ＜1，故选A.【举一反三】(2015山东)若函数f (x )＝2x ＋12x －a是奇函数，则使f (x )＞3成立的x 的取值范围为( C )A.(－∞，－1)B.(－1,0)C.(0,1)D.(1，＋∞)【解析】因为f (x )＝2x ＋12x －a 是奇函数，所以对定义域内的任意x ，都有f (－x )＝－f (x )恒成立，即2－x ＋12－x －a ＝－2x ＋12x －a ，即1＋2x 1－a ·2x ＝2x ＋1a －2x，所以1－a ·2x ＝a －2x ，即(a －1)(2x ＋1)＝0对任意x 恒成立，所以a ＝1.所以f (x )＝2x ＋12x －1＝1＋22x －1.由f (x )＞3，得1＋22x －1＞3，解得0＜x ＜1，故选C.2.4 二次函数与幂函数考点诠释重点：二次函数的图象与性质，二次函数、二次方程与二次不等式的关系，幂函数的概念及性质.难点：二次函数的图象与性质的灵活应用，一元二次方程的实根分布及二次函数最值问题；从幂函数的图象概括其性质.典例精析题型一 求二次函数的解析式【例1】已知二次函数f (x )满足f (2)＝－1，f (－1)＝－1，且f (x )的最大值是8，试确定此二次函数.【思路分析】在已知f (x )是二次函数的情况下，待定系数法是通法，也可根据条件选择合适的形式表示二次函数，然后求其系数.【解析】利用二次函数一般式. 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，由题意得⎩⎨⎧ 4a ＋2b ＋c ＝－1，a －b ＋c ＝－1，4ac －b24a ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝4，c ＝7.所以所求二次函数为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7.【方法归纳】求二次函数的解析式时，要根据已知条件选择恰当的形式，三种形式可以相互转化，若二次函数的图象与x 轴相交，则两点间的距离为|x 1－x 2|＝b 2－4ac|a |.【举一反三】1.已知二次函数f (x )的图象经过点(4,3)，它在x 轴上截得的线段长为2，并且对任意x ∈R ，都有f (2－x )＝f (2＋x )，求f (x )的解析式.【解析】因为f (2－x )＝f (2＋x )对x ∈R 恒成立， 所以f (x )的对称轴为x ＝2.又因为f (x )图象被x 轴截得的线段长为2， 所以f (x )＝0的两根为1和3.设f (x )的解析式为f (x )＝a (x －1)(x －3)(a ≠0). 又因为f (x )的图象过点(4,3)， 所以3a ＝3，a ＝1.所以所求f (x )的解析式为f (x )＝(x －1)(x －3)，即f (x )＝x 2－4x ＋3.题型二 二次函数的图象与性质【例2】已知函数f (x )＝x 2＋2ax ＋3，x ∈[－4,6]. (1)当a ＝－2时，求f (x )的最值；(2)求实数a 的取值范围，使y ＝f (x )在区间[－4,6]上是单调函数； (3)当a ＝1时，求f (|x |)的单调区间.【思路分析】对于(1)和(2)可根据对称轴与区间的关系直接求解；对于(3)，应先将函数化为分段函数，再求单调区间，注意函数定义域的限制作用.【解析】(1)当a ＝－2时，f (x )＝x 2－4x ＋3＝(x －2)2－1，由于x ∈[－4,6]， 所以f (x )在[－4,2]上单调递减，在[2,6]上单调递增，所以f (x )的最小值是f (2)＝－1，又f (－4)＝35，f (6)＝15，故f (x )的最大值是35. (2)由于函数f (x )的图象开口向上，对称轴是x ＝－a ，所以要使f (x )在[－4,6]上是单调函数，应有－a ≤－4或－a ≥6，即a ≤－6或a ≥4.故所求实数a 的取值范围为(－∞，－6]∪[4，＋∞). (3)当a ＝1时，f (x )＝x 2＋2x ＋3，所以f (|x |)＝x 2＋2|x |＋3，此时定义域为x ∈[－6,6]，且所以f (|x |)的单调递增区间是(0,6]，单调递减区间是[－6,0].【方法归纳】(1)二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型，解决的关键是考查对称轴与区间的关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论；(2)二次函数的单调性问题则主要依据二次函数图象的对称轴进行分类讨论求解.【举一反三】2.求函数f (x )＝x 2－2ax ，x ∈[0,1]上的最小值.【解析】因为f (x )＝x 2－2ax ＝(x －a )2－a 2，对称轴为x ＝a . ①当a ＜0时，f (x )在[0,1]上是增函数， 所以f (x )min ＝f (0)＝0.②当0≤a ≤1时，f (x )min ＝f (a )＝－a 2. ③当a ＞1时，f (x )在[0,1]上是减函数， 所以f (x )min ＝f (1)＝1－2a ，综上所述，f (x )min＝⎩⎪⎨⎪⎧0，a ＜0，－a 2，0≤a ≤1，1－2a ，a ＞1.题型三 幂函数的图象及性质【例3】(1)设a ＝⎝⎛⎭⎫3525，b ＝⎝⎛⎭⎫2535，c ＝⎝⎛⎭⎫2525，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A.a ＞c ＞bB.a ＞b ＞cC.c ＞a ＞bD.b ＞c ＞a(2)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ≥2，(x －1)3，x ＜2.若关于x 的方程f (x )＝k 有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是 .【思路分析】(1)利用幂函数或指数函数的性质求解；(2)作出函数图象，利用数形结合的思想求解.【解析】(1)A.因为35＞25，所以⎝⎛⎭⎫3525＞⎝⎛⎭⎫2525，即a ＞c . 因为0＜25＜1，所以⎝⎛⎭⎫2535＜⎝⎛⎭⎫2525，即b ＜c ，所以a ＞c ＞b . (2)(0,1).作出函数y ＝f (x )的图象如图.则当0＜k ＜1时，关于x 的方程f (x )＝k 有两个不同的实根. 【方法归纳】1.比较幂值大小的常见类型及解决方法 (1)同底不同指，可以利用指数函数单调性进行比较； (2)同指不同底，可以利用幂函数单调性进行比较；(3)既不同底又不同指，常常找到一个中间值，通过比较两个幂值与中间值的大小来判断两个幂值的大小.2.在解决幂函数与其他函数的图象的交点个数、对应方程根的个数及近似解等问题时，常用数形结合的思想方法，即在同一坐标系下面画出两函数的图象，数形结合求解. 【举一反三】3.如图的曲线是幂函数y ＝x n 在第一象限内的图象.已知n 分别取±2，±12四个值，与曲线c 1，c 2，c 3，c 4对应的n 依次为( A )A.2，12，－12，－2B.2，12，－2，－12C.－12，－2，2，12D.－2，－12，12，2【解析】令x ＝2时，则22＞2＞2＞2－2，由图象，得y 1＞y 2＞y 3＞y 4，故选A.体验高考(2015四川)如果函数f (x )＝12(m －2)x 2＋(n －8)x ＋1(m ≥0，n ≥0)在区间⎣⎡⎦⎤12，2上单调递减，那么mn 的最大值为( )A.16B.18C.25D.812【解析】B.当m ＝2时，f (x )＝(n －8)x ＋1在区间⎣⎡⎦⎤12，2上单调递减，则n －8＜0⇒n ＜8，于是mn ＜16，则mn 无最大值.当m ∈[0,2)时，f (x )的图象开口向下，要使f (x )在区间⎣⎡⎦⎤12，2上单调递减，需－n －8m －2≤12，即2n ＋m ≤18，又n ≥0，则mn ≤m ⎝⎛⎭⎫9－m 2＝－12m 2＋9m . 而g (m )＝－12m 2＋9m 在[0,2)上为增函数，所以m ∈[0,2)时，g (m )＜g (2)＝16，故m ∈[0,2)时，mn 无最大值.当m ＞2时，f (x )的图象开口向上，要使f (x )在区间⎣⎡⎦⎤12，2上单调递减，需－n －8m －2≥2，即2m ＋n ≤12，而2m ＋n ≥22m ·n ，所以mn ≤18，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧ 2m ＋n ＝12，2m ＝n ，即⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，n ＝6时，等号成立，此时满足m ＞2. 故(mn )max ＝18.故选B.【举一反三】(2014浙江)在同一直角坐标系中，函数f (x )＝x a (x ＞0)，g (x )＝log a x 的图象可能是( D )【解析】因为a ＞0，所以f (x )＝x a在(0，＋∞)上为增函数，故A 错.在B 中，由f (x )的图象知a ＞1，由g (x )的图象知0＜a ＜1，矛盾，故B 错.在C 中，由f (x )的图象知0＜a ＜1，由g (x )的图象知a ＞1，矛盾，故C 错.在D 中，由f (x )的图象知0＜a ＜1，由g (x )的图象知0＜a ＜1，相符，故选D.2.5 指数与指数函数考点诠释重点：指数幂的运算，指数函数的概念、图象和性质. 难点：指数函数性质的归纳、概括及其应用.典例精析题型一 指数幂的运算【例1】化简下列各式(其中各字母均为正数).【思路分析】当化简的式子中既有根式又有分数指数幂时，应该把根式统一化成分数指数幂的形式，以便于运算.【解析】(1)原式＝＝.(2)原式＝0.4－1－1＋(－2) －4＋2－3＋0.1＝ 104－1＋116＋18＋110＝14380. 【方法归纳】根式运算或根式与指数式混合运算时，将根式化为指数运算较为方便，对于计算的结果，不强求统一形式，如果有特殊要求，要根据要求写出结果，但结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数. 【举一反三】1.计算下列各题：【解析】(2)原式＝⎝⎛⎭⎫271 000－(－7)2＋⎝⎛⎭⎫259－1＝103－49＋53－1＝－45.题型二 指数函数的图象【例2】(1)函数y ＝a x －1a(a ＞0，且a ≠1)的图象可能是( )(2)若曲线|y |＝2x＋1与直线y ＝b 没有公共点，则b 的取值范围是 .【思路分析】(1)分a＞1和0＜a＜1两种情况进行讨论，然后逐次排除；(2)利用数形结合的思想求解.【解析】(1)D.函数y＝a x－1a由函数y＝a x的图象向下平移1a个单位长度得到，A项显然错误；当a＞1时，0＜1a ＜1，平移距离小于1，所以B项错误；当0＜a＜1时，1a＞1，平移距离大于1，所以C项错误，故选D.(2)[－1,1].曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b的图象如图所示，由图象可知，如果|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b应满足的条件是b∈[－1,1].【方法归纳】有关指数函数图象问题的解题思路(1)已知函数解析式判断其图象一般是取特殊点，判断选项中的图象是否过这些点，若不满足则排除.(2)对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到.特别地，当底数a与1的大小关系不确定时，应注意分类讨论.(3)有关指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象，数形结合求解.【举一反三】2.设f(x)＝|3x－1|，c＜b＜a且f(c)＞f(a)＞f(b)，则下列关系式中一定成立的是( D )A.3c＞3bB.3b＞3aC.3c＋3a＞2D.3c＋3a＜2【解析】作f(x)＝|3x－1|的图象如图所示.由图可知，要使c＜b＜a且f(c)＞f(a)＞f(b)成立，则有c＜0且a＞0，所以3c＜1＜3a，所以f(c)＝1－3c，f(a)＝3a－1，又f(c)＞f(a)，所以1－3c＞3a－1，即3a＋3c＜2，故选D.题型三 指数函数的性质及应用【例3】已知函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫13 (1)若a ＝－1，求f (x )的单调区间； (2)若f (x )有最大值3，求a 的值；(3)若f (x )的值域是(0，＋∞)，求a 的值.【思路分析】(1)根据复合函数的单调性可求解；(2)由f (x )有最大值可知ax 2－4x ＋3有最小值－1，从而使问题得以解决；(3)由f (x )的值域是(0，＋∞)，可知ax 2－4x ＋3的值域为R ，再求a 的值.【解析】(1)当a ＝－1时，f (x )＝⎝⎛⎭⎫13，令g (x )＝－x 2－4x ＋3，由于g (x )在(－∞，－2)上单调递增，在(－2，＋∞)上单调递减，而y ＝⎝⎛⎭⎫13t 在R 上单调递减，所以f (x )在(－∞，－2)上单调递减，在(－2，＋∞)上单调递增，即函数f (x )的单调递增区间是(－2，＋∞)，单调递减区间是(－∞，－2).(2)令h (x )＝ax 2－4x ＋3，则f (x )＝⎝⎛⎭⎫13h (x )，因为f (x )有最大值3，所以h (x )应有最小值－1，因此必有⎝ ⎛a ＞0，3a －4a ＝－1，解得a ＝1，即当f (x )有最大值3时，a 的值等于1.(3)由指数函数的性质知，要使y ＝⎝⎛⎭⎫13h (x )的值域为(0，＋∞)，应使h (x )＝ax 2－4x ＋3的值域为R .因此只能a ＝0(因为若a ≠0，则h (x )为二次函数，其值域不可能为R ).故a 的值为0. 【方法归纳】(1)函数奇偶性与单调性是高考考查的热点问题，常以指数函数为载体考查函数的性质与恒成立问题；(2)求参数的范围也是常考内容，难度不大，但极易造成失分，因此要对题目进行认真分析，必要的过程不可少，这也是高考阅卷中十分强调的问题.【举一反三】3.已知定义域为R 的函数f (x )＝－2x ＋b2x ＋1＋a是奇函数.(1)求a ，b 的值；(2)解关于t 的不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－1)<0.【解析】(1)因为f (x )是定义在R 上的奇函数，所以f (0)＝0，即－1＋b2＋a ＝0，解得b ＝1，所以f (x )＝－2x ＋12x ＋1＋a.又由f (1)＝－f (－1)知，－2＋14＋a ＝－－12＋11＋a，解得a ＝2.(2)由(1)知f (x )＝－2x ＋12x ＋1＋2＝－12＋12x ＋1.由上式易知f (x )在(－∞，＋∞)上为减函数(可用定义法或导数法证明函数f (x )在R 上是减函数).又因为f (x )是奇函数，所以不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－1)<0等价于f (t 2－2t )<－f (2t 2－1)＝f (－2t 2＋1).因为f (x )是减函数，由上式推得t 2－2t >－2t 2＋1， 即3t 2－2t －1>0，解不等式可得.体验高考(2015天津)已知定义在R 上的函数f (x )＝2|x －m |－1(m 为实数)为偶函数.记a ＝f (log 0.53)，b ＝f (log 25)，c ＝f (2m )，则a ，b ，c 的大小关系为( )A.a ＜b ＜cB.a ＜c ＜bC.c ＜a ＜bD.c ＜b ＜a【解析】C.因为f (x )＝2|x －m |－1为偶函数，所以m ＝0. 因为a ＝f (log 3)＝f (log 23)，b ＝f (log 25)，c ＝f (0)，log 25＞log 23＞0，而函数f (x )＝2|x |－1在(0，＋∞)上为增函数，所以f (log 25)＞f (log 23)＞f (0)，即b ＞a ＞c ，故选C.【举一反三】(2015山东)已知函数f (x )＝a x ＋b (a ＞0，a ≠1)的定义域和值域都是[－1,0]，则a ＋b ＝.【解析】①当a ＞1时，f (x )在[－1,0]上单调递增， 则无解.②当0＜a ＜1时，f (x )在[－1,0]上单调递减， 则解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝－2.所以a ＋b ＝－32.2.6 对数与对数函数考点诠释重点：理解对数函数的定义，掌握对数函数的图象和性质，了解对数函数与指数函数的内在联系.难点：底数a 对对数函数图象的影响及对对数函数性质的作用.典例精析题型一 对数式的化简与计算 【例1】计算下列各题： (1)lg 2＋lg 5－lg 8lg 50－lg 40；(2)；(3)2(lg 2)2＋lg 2·lg 5＋(lg 2)2－lg 2＋1.【思路分析】对数式的化简和求值，要严格按照对数的运算法则进行，同式中不同底的对数式应先化为同底再计算.【解析】(1)原式＝lg 2×58lg 5040＝lg 54lg 54＝1.(2)原式＝＝⎝⎛⎭⎫34log 33－log 33·log 5(10－3－2) ＝⎝⎛⎭⎫34－1·log 55＝－14. (3)原式＝lg 2(2lg 2＋lg 5)＋(lg 2)2－2lg 2＋1＝lg 2(lg 2＋lg 5)＋|lg 2－1| ＝lg 2·lg(2×5)＋1－lg 2＝1.【方法归纳】(1)在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后再运用对数运算法则化简合并，在运算中要注意化同底和指数与对数互化；(2)熟练地运用对数的三个运算性质并配以代数式的恒等变形是对数计算、化简、证明常用的技巧. 【举一反三】1.求值：(1)log 2748＋log 212－12log 242－1；(2)(lg 2)2＋lg 2·lg 50＋lg 25； (3)(log 32＋log 92)(log 43＋log 83).【解析】(1)原式＝log 2748＋log 212－log 242－log 22＝log 27×1248×42×2＝log 2122＝log 22＝－32.(2)原式＝lg 2·(lg 2＋lg 50)＋lg 25＝2lg 2＋lg 25＝lg 100＝2.(3)原式＝⎝⎛⎭⎫lg 2lg 3＋lg 22lg 3⎝⎛⎭⎫lg 32lg 2＋lg 33lg 2 ＝3lg 22lg 3·5lg 36lg 2＝54. 题型二 对数函数的图象及应用【例2】已知函数f (x )＝log a (2x ＋b －1)(a ＞0，且a ≠1)的图象如图所示，则a ，b 满足的关系是( )A.0＜a －1＜b ＜1B.0＜b ＜a －1＜1。
2017年高考理科数学天津卷(含详细答案)
数学试卷 第1页（共28页） 数学试卷 第2页（共28页）绝密★启用前2017年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数 学（理工类）本试卷分为Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟．第Ⅰ卷参考公式：·如果事件,A B 互斥，那么()()()P AB P A P B =+.·如果事件,A B 相互独立，那么()()()P AB P A P B =.·棱柱的体积公式V Sh =.其中S 表示棱柱的底面面积，h 表示棱柱的高. ·球的体积公式343V R π=.其中R 表示球的半径. 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合{}1,2,6A =，{}2,4B =，{}|15C x R x =∈-≤≤，则()A B C =A ．{}2B ．{124}，，C ．16}2{4，，， D ．{}1|5x R x ∈-≤≤2．设变量x ，y 满足约束条件20,220,0,3,x y x y x y +≥⎧⎪+-≥⎪⎨≤⎪⎪≤⎩则目标函数z x y =+的最大值为A ．23B ．1C ．32D ．33．阅读右边所示的程序框图，运行相应的程序，若输入N 的值为24，则输出N 的 A ．0B ．1C ．2D ．34．设θ∈R ，则“ππ121||2θ-<”是“1sin 2θ<”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左焦点为F若经过F 和()0,4P 两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为A ．22144y x -= B ．22188y x -= C ．22148y x -= D ．22184y x -=6．已知奇函数f x （）在R 上是增函数，g x xf x =（）（）．若25.1a g l o g =-（），0.82b g =（），3c g =（），则a ，b ，c 的大小关系为A ．a b c <<B ．c b a <<C ．b a c <<D ．b c a <<7．设函数2sin f x x ωϕ=+（）（），x ∈R ，其中0ω>，πϕ<．若5π28f ⎛⎫=⎪⎝⎭，11π08f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，且f x （）的最小正周期大于2π，则 A ．2π,312ωϕ== B ．211π,312ωϕ==-C ．111π,324ωϕ==-D ．17π,324ωϕ==8．已知函数()23,1,2, 1.x x x f x x x x ⎧-+≤⎪=⎨+>⎪⎩设a ∈R ，若关于x 的不等式()2f x a x ≥+在R 上恒成立，则a 的取值范围是毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________ ________________ _____________-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------数学试卷 第3页（共28页） 数学试卷 第4页（共28页）A ．47,216⎡⎤⎢⎥⎣⎦- B ．4739,1616-⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C．2-⎡⎤⎣⎦D．3916-⎡⎤⎢⎥⎣⎦第Ⅱ卷二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9．已知a ∈R ，i 为虚数单位，若i2ia -+为实数，则a 的值为 ． 10．已知一个正方形的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为 ．11．在极坐标系中，直线π4cos 106ρθ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭与圆2sinρθ=的公共点的个数为 ．12．若a ，b ∈R ，0ab >，则4441a b ab++的最小值为 ．13．在ABC ∆中，60A ∠=︒，3AB =，2AC =．若2BD DC =，()AE AC AB R λλ=-∈，且4AD AE ⋅=-，则λ的值为 ．14．用数字1，2，3，4，5，6，7，8，9组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有 个．（用数字作答）三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知a b >，5a =，6c =，3sin 5B =． （1）求b 和sin A 的值；（2）求π24sinA +（）的值． 16．（本小题满分13分）从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为12，13，14． （1）设X 表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量X 的分布列和数学期望；（2）若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共遇到1个红灯的概率．17．（本小题满分13分）如图，在三棱锥P ABC -中，PA ⊥底面ABC ，90BAC ∠=︒．点D ，E ，N 分别为棱PA ，PC ，BC 的中点，M 是线段AD 的中点，4PA AC ==，2AB =．（1）求证：MN ∥平面BDE ； （2）求二面角C EM N --的正弦值；（3）已知点H 在棱PA 上，且直线NH 与直线BE 所成角的AH 的长．数学试卷 第5页（共28页） 数学试卷 第6页（共28页）18．（本小题满分13分）已知{}n a 为等差数列，前n 项和为*n S n ∈Ν（），{}n b 是首项为2的等比数列，且公比大于0，2312b b +=，3412b a a =-，11411S b =． （1）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）求数列{}221n n a b -的前n 项和*n ∈N （）．19．（本小题满分14分）设椭圆222210x y a ba b +=>>（）的左焦点为F ，右顶点为A ，离心率为12．已知A 是抛物线()220y px p =>的焦点，F 到抛物线的准线l 的距离为12．（1）求椭圆的方程和抛物线的方程；（2）设l 上两点P ，Q 关于x 轴对称，直线AP 与椭圆相交于点B （B 异于点A ），直线BQ 与x 轴相交于点D ．若APD ∆AP 的方程．20．（本小题满分14分）设a Z ∈，已知定义在R 上的函数()4322336f x x x x x a =+--+在区间()12，内有一个零点0x ，()g x 为()f x 的导函数． （1）求()g x 的单调区间；（2）设0012[]m x x ∈，）（，，函数()()()()0h x g x m x f m =--，求证：()()00h m h x <；（3）求证：存在大于0的常数A ，使得对于任意的正整数p ，q ，且00[]12qx x p∈，）（，，满足041p x q Aq -≥．-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________________________ _____________42017年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学答案解析1．【答案】B 【解析】{}(){}1,2,4,6,1,2,4AB A BC ==，选项B 符合．【提示】解题时应根据集合的运算法则，以及集合元素的三大特征，借助数轴或图示求解． 【考点】集合的运算 2．【答案】D【解析】作出约束条件所表示的可行域如图中阴影部分所示，由z x y =+得y x z =-+，作出直线yx =-，平移使之经过可行域，观察可知，最优解在()03B，处取得，故max033z =+=，选项D 符合．【提示】常常需画出约束条件所表示的可行域，画图时一定要注意边界是实线还是虚线，求解时要注意z 的几何意义。
天津市2017届高三数学文一轮复习专题突破训练：不等式 含答案
天津市2017届高三数学文一轮复习专题突破训练不等式一、选择、填空题 1、(2015年天津市高考)设变量,y x 满足约束条件2020280x x y x y -≤⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩,则目标函数3y z x 的最大值为（ )（A ） 7 （B ） 8 (C ） 9 （D)142、（2015年天津市高考）已知0,0,8,a b ab >>= 则当a 的值为 时()22log log 2a b ⋅取得最大值。
3、(天津市八校2016届高三12月联考）设变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≤--≥-+.1,02,02y y x y x 则目标函数y x z 2+=的最小值为( B ）A 、2B 、3C 、4D 、54、(武清区2016届高三5月质量调查（三)）若对,[1,2]x y ∈，2xy =，总有不等式24a x y-≥-成立，则实数a 的取值范围是 ．5、（河北区2016届高三总复习质量检测（一））已知正数x y ，满足=x+y xy ,那么x +y 的最小值 为6、（河西区2016届高三下学期总复习质量调查(一)）若关于x 的不等式23x a x >--至少有一个负数解,则实数a 的取值范围是7、(天津市和平区2016届高三下学期第二次质量调查）若正实数yx ,满足xy y x =++60210,则xy 的最小值是8、(天津市五校2016届高三联考)已知a ,b 都是正实数，且满足93log (9)log a b ab +=，则3a b +的最小值为9、若变量x ，y满足2,239,0,x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩则x 2+y 2的最大值是（A ）4 （B ）9 （C ）10 （D)1210、已知a ，b >0,且a ≠1,b ≠1，若4log >1b ，则（ ）A 。
(1)(1)0a b --<B 。
(1)()0a a b -->C 。
天津市南开区2017届高三毕业班第一次联考数学(理)试题Word版含答案
天津市南开区2017届高三毕业班第一次联考数学（理）试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分.考试时间120分钟．第Ⅰ卷 选择题 (共40分)注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目填涂在答题卡规定的位置上． 2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑；参考公式：·如果事件A 、B 互斥，那么()()()P A B P A P B =+∙柱体的体积公式Sh V=. 其中S 表示柱体的底面积,h 表示柱体的高.一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．1. 已知全集{}0,1,2,3,4,5U =，集合{}{}1,2,3,5,2,4A B ==，则()U C A B 为 A ．{}0,2,4 B ．{}4 C ．{}1,2,4 D ．{}0,2,3,42. 设变量,x y 满足约束条件2030230x x y x y +≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩，则目标函数2z x y =+的最大值为A ．0B ．3C ．6D ．12 3. 如图所示的程序框图输出的所有点都在函数 A ．y ＝x ＋1的图象上 B ．y ＝2x 的图象上 C ．y ＝2x的图象上 D ．y ＝2x -1的图象上4. 下列说法正确的是A ．命题“若x 2＝1，则x ＝1”的否命题为“若x 2＝1，则x ≠1” B ．若 a b ∈R ，，则“0ab ≠”是“0a ≠”的充分不必要条件 C ．命题“∃x 0∈R，x 20＋x 0＋1<0”的否定是“∀x ∈R，x 2＋x ＋1>0” D ．若“q p 且”为假，则p ，q 全是假命题5. 已知双曲线C ：22221(0,0)y x a b a b -=>>的离心率e =P 是抛物线24y x =上的一动点，P 到双曲线C 的上焦点1(0,)F c 的距离与到直线1x =-，则该双曲线的方程为 A ．22123y x -= B ． 2214y x -= C ．2214x y -= D ．22132y x -=6. 在ABC ∆中，内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，若AB C ∆的面积为S ，且226c b a S -+=）（，则Ct an 等于A ．125B ．125-C ．125D ．125-7. 如图，PT 切O 于点T ，PA 交O 于,A B 两点，且与直径CT 交于点D ，3,CD =4,AD = 6BD =，则PB ＝A ．6B ．8C ．10D ．14 8.已知()f x 为偶函数，当0x ≥时，()(24),(0)f x m x x m =-+->，若函数[]()4y f f x m =-恰有4个零点，则实数m 的取值范围A ．10,6⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1550,,662⎛⎫⎛⎫⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ C ．1550,,442⎛⎫⎛⎫⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ D ．10,4⎛⎫⎪⎝⎭第Ⅱ卷 非选择题 (共110分)二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡中的相应横线上. 9. i 是虚数单位，复数21ii+=- ． 10. 在53⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x 的二项展开式中，2x 的系数为 ． 11. 已知曲线1-=x y 与直线1,3,x x x ==轴围成的封闭区域为A ，直线1,3,0,1x x y y ====围成的封闭区域为B ，在区域B 内任取一点P ，该点P 落在区域A 的概率为 ．12. 一个机器零件的三视图如图所示，其中俯视图是一个半圆内 切于边长为3的正方形，则该机器零件的体积为 ．13．直线l ：12x at y t=⎧⎨=-⎩（t 为参数），圆C：)4πρθ=+（极轴与x 轴的非负半轴重合，且单位长度相同），若圆C 上至少有三个点到直线l 的距离恰为22，则实数a 的取值范围为 ．14. 如图，在直角梯形ABCD 中，AB //CD ,2,AB =1,AD DC ==P 是线段BC 上一动点，Q 是线段DC上一动点，,DQ DC λ=(1),CP CB λ=-若集合}|{AQ AP x x M ⋅==，221,,13()a b N x x a b ab a b ⎧⎫++⎪⎪==>=⎨⎬-⎪⎪⎩⎭.则M N ⋂= ．三、解答题：本大题6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）已知函数)6(cos cos )(22π-+=x x x f ，R x ∈(Ⅰ)求()f x 最小正周期； (Ⅱ)求()f x 在区间]4,3[ππ-上的最大值和最小值.16．（本小题满分13分）某大学自主招生考试面试环节中，共设置两类考题，A 类题有4个不同的小题，B 类题有6个不同的小题, 某考生从中任抽取四道题解答.(Ⅰ)求该考生至少抽取到2道B 类题的概率；(Ⅱ)设所抽取的四道题中B 类题的个数为X,求随机变量X 的分布列与期望.17．（本小题满分13分）如图，在四棱锥A EFCB -中，AEF △为等边三角形，平面AEF ⊥平面EFCB ，//EF BC ,4BC =，2EF a =，60EBC FCB ∠=∠=︒，O 为EF 的中点．(Ⅰ) 求证：AO BE ⊥；(Ⅱ) 求二面角F AE B --的余弦值；(Ⅲ) 若直线CA 与平面BEA 所成的角的正弦值为562, 求实数a 的值．B18．（本小题满分13分）设椭圆E 的方程为()222210x y a b a b+=>>，点O 为坐标原点，点A 的坐标为()0a ，，点B 的坐标为()0b ，，点M 在线段AB 上，满足2BM MA =，直线OM 的斜率为41.(Ⅰ)求椭圆E 的离心率e ；(Ⅱ)PQ 是圆C :215)1()2(22=-++y x 的一条直径，若椭圆E 经过P ，Q 两点，求椭圆E 的方程．19．（本小题满分14分）已知非单调数列{}n a 是公比为q 的等比数列，且114a =-，2416a a =，记5.1n n na b a =- (Ⅰ)求{}n a 的通项公式；(Ⅱ)若对任意正整数n ，|1|3n m b -≥都成立，求实数m 的取值范围；(Ⅲ)设数列2{}n b ，21{}n b -的前n 项和分别为,n n S T ，证明：对任意的正整数n ，都有 223n n S T <+．20．（本小题满分14分）已知函数1()ln f x x x=-，()g x ax b =+． (Ⅰ)若函数()()()h x f x g x =-在(0,)+∞上单调递增，求实数a 的取值范围； (Ⅱ)若直线()g x ax b =+是函数1()ln f x x x=-图象的切线，求a b +的最小值； (Ⅲ)当0b =时，若()f x 与()g x 的图象有两个交点1122(,),(,)A x y B x y ，试比较12x x 与22e 的大小．（取e 为2.8，取ln 2为0.71.4）天津市南开区2017届高三毕业班第一次联考数学（理）试题参考答案一、选择题:每小题5分，满分40分二、填空题: 每小题5分，共30分.9．1322i + ； 10．90； 11．ln 32； 12．9278π+； 13．2,27⎡⎤⎢⎥⎣⎦； 14．2⎤⎥⎣⎦三、解答题：本大题6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）已知函数)6(cos cos )(22π-+=x x x f ，R x ∈(I)求()f x 最小正周期；(II)求()f x 在区间]4,3[ππ-上的最大值和最小值.解：22()cos cos ()6f x x x π=+-1cos(2)1cos 2322x x π+-+=+ ……2分 32cos 2144x x =++ ……3分)123x π=++ ……5分 1) 函数()f x 的最小正周期22T ππ== ……6分2) 函数()f x 在,312ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦单调递增，在,124ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递减。
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天津市2017届高三数学理一轮复习专题突破训练函数一、选择、填空题1、（2016年天津市高考）已知函数f （x ）=2(4,0,log (1)13,03)ax a x a x x x ⎧+<⎨++≥-+⎩（a >0,且a ≠1）在R 上单调递减，且关于x 的方程|()|2f x x =-恰好有两个不相等的实数解，则a 的取值范围是（ ） （A ）（0，23] （B ）[23，34] （C ）[13，23]{34}（D ）[13，23）{34}2、（2016年天津市高考）已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间（-∞，0）上单调递增.若实数a 满足1(2)(2)a f f ->-，则a 的取值范围是______.3、（2015年天津市高考）已知定义在R 上的函数()21x mf x -=- （m 为实数）为偶函数，记()()0.52(log 3),log 5,2a f b f c f m === ，则,,a b c 的大小关系为（A ）a b c << （B ）a c b << （C ）c a b << （D ）c b a <<4、（2015年天津市高考）已知函数()()22,2,2,2,x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩ 函数()()2g x b f x =-- ，其中b R ∈，若函数()()y f x g x =- 恰有4个零点，则b 的取值范围是（A ）7,4⎛⎫+∞⎪⎝⎭ （B ）7,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ （C ）70,4⎛⎫ ⎪⎝⎭（D ）7,24⎛⎫⎪⎝⎭5、（天津市八校2016届高三12月联考）设13log 2a =，2log 3b =，0.31()2c =，则( )．A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c b a >>D ． b c a >>6、（天津市八校2016届高三12月联考）已知函数25()2x f x x +=+，定义在R 上的函数()g x 周期为2，且满足，则函数()()()h x f x g x =-在区间[5,1]-上的所有零点之和为( )． A ．4-B ．6-C ．7-D ．8-7、（和平区2016届高三第四次模拟）设函数2log 1y x =-与22xy -=的图象的交点为()00,x y ，则0x 所在的区间是（ ）A ．()0,1B ．()1,2C ．()2,3D ．()3,48、（和平区2016届高三第四次模拟）已知函数()3232f x x x =-+，函数则关于x 的方程()()00g f x a a -=>⎡⎤⎣⎦的实根个数取得最大值时，实数a 的取值范围是（ ） A ．51,4⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．51,4⎛⎫⎪⎝⎭C ．51,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．50,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦9、（河北区2016届高三总复习质量检测（三））已知函数10()ln 0kx x f x x x +⎧=⎨>⎩，≤，，则下列关于函数[()]1y f f x =+的零点个数的判断正确的是（A ）当0k >时，有3个零点，当0k <时，有2个零点 （B ）当0k >时，有4个零点，当0k <时，有1个零点 （C ）无论k 为何值，均有2个零点 （D ）无论k 为何值，均有4个零点 10、（河北区2016届高三总复习质量检测（一））已知函数ln ()=e xf x ，若12x x ≠且12()()f x f x =，则下列结论一定不成立的是（A ）21()1x f x > （B ）21()1x f x <（C ）21()1x f x = （D ）2112()()x f x x f x <11、（河北区2016届高三总复习质量检测（一））已知函数2ln 0()410x x >f x =x +x+x ⎧⎪⎨⎪⎩，，，≤，若关于x 的方程2()()0f x bf x +c =-(b c ∈R ，)有8个不同的实数根，则b+c 的取值范围是（A ）(3)∞-， （B ）(03]，（C ）[03]， （D ）(03)，12、（河东区2016届高三第二次模拟）已知函数x x f ln )(=与exx g =)(，则它们的图象交点个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．不确定13、（河东区2016届高三第二次模拟）已知函数()a a x x f +-=，()24x x g -=，若存在R x ∈使()()g x f x ≥学科网，则a 的取值范围是____________．（A ）31(，)32（B ）31(-，)32（C ）31(，)34（D ）31(-，)3415、（河西区2016届高三第二次模拟）函数⎩⎨⎧>≤-=1,ln 1,1)(2x x x x x f ，若方程21)(-=mx x f 恰有四个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是 .16、（河西区2016届高三下学期总复习质量调查（一））已知函数)(x f 在R 上是单调函数，且满足对任意R x ∈，3)2)((=-x x f f ，则)3(f 的值是（A ）3（B ）7（C ）9 （D ）1217、（河西区2016届高三下学期总复习质量调查（一））已知kx x x x f ++-=221)(在0(，)2上有两个零点，则实数k 的取值范围是18、（红桥区2016届高三上学期期末考试）已知函数()x f x a = (a >0且a ≠1)，其关于y x =对称的函数为()g x ．若f (2)＝9，则1()(3)9g f +的值是 ．19、（红桥区2016届高三上学期期中检测）设0.30.33log 2,log 2,2,a b c ===则这三个数的大小关系是（ ） （A ）b c a >>（B ）a c b >> （C ）a b c >> （D ）c b a >>20、（红桥区2016届高三上学期期中检测）已知()f x 是定义在R 上的奇函数，对任意x ∈R ，都有(4)()f x f x +=，若(1)2f =，则(2015)f = ．21、（天津市六校2016届高三上学期期末联考）已知定义在R 上的函数，当[]0,2x ∈时，()()811f x x =--，且对任意的实数122,22n n x +⎡⎤∈--⎣⎦（*N n ∈，且2n ≥），都有()1122x f x f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，若方程|log |)(x x f a =有且仅有四个实数解，则实数a 的取值范围为A ．B ．C ．()2,10D ．[]2,1022、（天津市十二区县重点高中2016届高三毕业班第一次联考）已知()f x 为偶函数，当0x ≥时，()(24),(0)f x m x x m =-+->，若函数[]()4y f f x m =-恰有4个零点，则实数m 的取值范围A ．10,6⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．1550,,662⎛⎫⎛⎫⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ C ．1550,,442⎛⎫⎛⎫⋃ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ D ．10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭23、（天津市十二区县重点学校2016届高三下学期毕业班联考（二））若函数1+=kx y 的图象与函数|1||1|xx x x y --+=的图象恰有五个交点，则实数k 的取值范围是________． 24、（武清区2016届高三5月质量调查（三））已知2.1424.0,6log ,3log -===c b a ，则（ ）（A ）c b a >> （B ）c a b >> （C ）b a c >> （D ）a b c >>25、（武清区2016届高三5月质量调查（三））已知函数()()()221+-+--=x e x ax x f 恰有两个零点，则实数a 的取值范围是（ ）（A ）0>a （B ）21-≥a （C ）021<<-a （D ）021≤<-a5、D6、C7、C8、A9、B 10、B 11、D 12、B 13、⎥⎦⎤ ⎝⎛∞-817,14、A 15、21(，)e e 16、C 17、127-<<-k 18、25 19、D 20、－2 21、A 22、B 23、11,00,88⎛⎫⎛⎫-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭24、C 25、A 二、解答题1、（红桥区2016届高三上学期期中检测）（I ）设函数12log 0()6x x f x x x >⎧⎪=⎨⎪+⎩≤，计算((4))f f -的值；（Ⅱ）计算：2log 151log 25lgln 2100++; （Ⅲ）计算：20.5123910()(3)0.75(2)1627---+-÷-.2、（红桥区2016届高三上学期期中检测）已知函数2()(0)f x ax bx c a =++≠，满足(0)2,(1)()21f f x f x x =+-=- （Ⅰ）求函数()f x 的解析式；（Ⅱ）当[]1,2x ∈-时，求函数的最大值和最小值.（Ⅲ）若函数()()g x f x mx =-的两个零点分别在区间(1,2)-和(2,4)内，求m 的取值范围.3、（红桥区2016届高三上学期期中检测） 已知：1()lg1ax f x x+=-，a ∈R 且1a ≠- （Ⅰ）若函数()f x 为奇函数，求实数a 的值； （Ⅱ）求函数()f x 的定义域；（Ⅲ）若函数()f x 在[10，＋∞)上是单调增函数，求a 的取值范围．参考答案一、填空、选择题 1、【答案】C考点：函数性质综合应用 2、【答案】13(,)223、【答案】C 【解析】试题分析：因为函数()21x mf x -=-为偶函数，所以0m =，即()21xf x =-，所以221log log 330.521(log 3)log 2121312,3a f f ⎛⎫===-=-=-= ⎪⎝⎭()()2log 502log 5214,2(0)210b f c f m f ==-====-=所以c a b <<，故选C.考点：1.函数奇偶性；2.指数式、对数式的运算. 4、【答案】D 【解析】试题分析：由()()22,2,2,2,x x f x x x -≤⎧⎪=⎨->⎪⎩得 222,0(2),0x x f x x x --≥⎧⎪-=⎨<⎪⎩， 所以222,0()(2)42,0222(2),2x x x y f x f x x x x x x x ⎧-+<⎪=+-=---≤≤⎨⎪--+->⎩，即222,0()(2)2,0258,2x x x y f x f x x x x x ⎧-+<⎪=+-=≤≤⎨⎪-+>⎩()()()(2)y f x g x f x f x b =-=+--,所以()()y f x g x =-恰有4个零点等价于方程()(2)0f x f x b +--=有4个不同的解，即函数y b =与函数()(2)y f x f x =+-的图象的4个公共点，由图象可知724b <<.考点：1.求函数解析式；2.函数与方程；3.数形结合.二、解答题1、解：（Ⅰ）因为40-<，所以(4)4620f -=-+=>----------------1分 所以，12((4))(2)log 21f f f -===-. ---------------3分（Ⅱ）2log 151log 25lg2100++ 132(2)122=+-++= （每一项1分结论1分）---------------8分（Ⅲ）20.5123910()(3)0.75(2)1627---+-÷-3116943916=-÷- 339416160=--=； （每一项1分结论1分）---------------13分2、解：（Ⅰ）由(0)2,f =得2c =， 又(1)()21f x f x x +-=-得221ax a b x ++=-，故221a a b =⎧⎨+=-⎩解得：1,2a b ==-，所以2()22f x x x =-+.----------（a ，b ，c 各1分，解析式1分）-------------4分 （Ⅱ）22()22(1)1f x x x x =-+=-+，对称轴为[]11,2x =∈-， 故min ()(1)1f x f ==，又(1)5f -=，(2)2f =，所以max ()(1)5f x f =-=. -------------8分 （Ⅲ）2()(2)2g x x m x =-++,若()g x 的两个零点分别在区间(1,2)-和(2,4)内，则满足 (1)050(2)0220(4)01040g m g m g m ->+>⎧⎧⎪⎪<⇒-<⎨⎨⎪⎪>->⎩⎩ -------------12分解得：512m <<. -------------14分3、（Ⅰ）若函数()f x 为奇函数，则()()f x f x -=-，即11lg lg11ax ax x x-++=-+-， 有1111ax x x ax -+-=++，得22211a x x -=-，解得：1a =；--------------3分 （Ⅱ）当0a >时，由101ax x +>-得101x a x+>-，即1()(1)0x x a +-<. 因为11a -<，所以函数的定义域为1,1a ⎛⎫- ⎪⎝⎭-----------------5分当0a <且1a ≠-时，得101x a x+<-，即1()(1)0x x a +->． ① 1a <-时，11a -<，所以函数的定义域为()1,1,a ⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭；② 10a -<<，11a ->，所以函数的定义域为()1,1,a ⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭. 当0a =时，1()lg1f x x=-函数的定义域为(),1-∞-------------------8分 （Ⅲ）∵f (x )在[10，＋∞)上是增函数，∴1010110a +>-，∴110a <-.----------9分又11()lglg()11ax af x a x x ++==-+--，故对任意的12,x x ，当12x x <10≤时，恒有12()()f x f x <即1211lg()lg()11a aa a x x ++-+<-+--， ∴121111a ax x ++<--，---------------------------------------------------------------------12分 ∴1211(1)()011a x x +-<--,又∵121111x x <--，∴10a +>∴1a >- 综上可知1110a -<<-．------------------------------------------------------------14分。