数值分析习题集

11. 证明 D ( f k g k ) = f k Dg k + g k +1 Df k .
n -1 n -1
12. 证明
å
k =0 n -1
f k Dg k = f n g n - f 0 g 0 - å g k +1 Df k .
k = 0 2
13. 证明
å D
j = 0
b
2
b
2
b
2
b
ii) 若 f ( xi ) = S ( xi )(i = 0,1,L , n) , 式 中 x i 为 插 值 节 点 , 且 a = x0 < x1 < L < xn = b , 则
ò S ²( x) [ f ²( x) - S ²( x) ]dx = S ²(b) [ f ¢(b) - S ¢(b)] - S ²(a ) [ f ¢(a ) - S ¢(a) ] .
4. 给出 cos x,0°≤x ≤90°的函数表,步长 h =1′=(1/60)°,若函数表具有 5 位有效数字, 研究用线性插值求 cos x 近似值时的总误差界. 5. 设 xk = x0 + kh ,k=0,1,2,3,求 max l2 ( x) .
x0 £ x £ x 3
并证明当 n ® ¥ 时, jn ( x ) 在 [ a , b ] 上一致收敛到 f ( x ) . 21. 设 f ( x ) = 1/(1 + x 2 ) ,在 -5 £ x £ 5 上取 n = 10 ,按等距节点求分段线性插值函数 I h ( x ) , 计算各节点间中点处的 I h ( x ) 与 f ( x ) 的值,并估计误差. 22. 求 f ( x) = x 2 在 [ a , b ] 上的分段线性插值函数 I h ( x ) ,并估计误差. 23. 求 f ( x) = x 4 在 [ a , b ] 上的分段埃尔米特插值,并估计误差. 24. 给定数据表如下:
25. 若 f ( x ) Î C 2 [ a , b ] , S ( x ) 是三次样条函数,证明 i)
; òa [ f ²( x)] dx - òa [ S ²( x)] dx = òa [ f ²( x) - S ²( x)] dx + 2 òa S ²( x) [ f ²( x) - S ²( x) ]dx
Da, Db, Dc. 证明面积的误差 Ds 满足 Ds Da Db Dc £ + + . s a b c
第二章 插值法
1. 根据(2.2)定义的范德蒙行列式,令
1 Vn ( x) = Vn ( x0 , x1 ,L , xn -1 , x ) = L 1
证明 Vn ( x ) 是 n 次多项式,它的根是 x0 ,L , xn -1 ,且
误差增加,而相对误差却减小. 11. 序列 { y 满足递推关系 yn = 10 yn -1 - 1 (n=1,2,…),若 y0 = n } 计算到 y 10 时误差有多大?这个计算过程稳定吗?
6 12. 计算 f = ( 2 - 1) ,取 2 » 1.4 ,利用下列等式计算,哪一个得到的结果最好?
1 1 3 , (3 2 2) , ,99 - 70 2. ( 2 + 1)6 (3 + 2 2)3
13. f ( x) = ln( x -
x 2 - 1) ,求 f(30)的值.若开平方用六位函数表,问求对数时误差有多大?若
改用另一等价公式
ln( x - x 2 - 1) = - ln( x + x 2 + 1)
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3. 在次数不超过 6 的多项式中,求 f ( x) = sin 4 x 在 [ 0, 2p ] 的最佳一致逼近多项式. 4. 假设 f ( x ) 在 [ a , b ] 上连续,求 f ( x ) 的零次最佳一致逼近多项式. 5. 选取常数 a ,使 max x - ax 达到极小,又问这个解是否唯一?
* * * * * x1 = 1.1021, x2 = 0.031, x3 = 385.6, x4 = 56.430, x5 = 7 ´ 1.0.
4. 利用公式(3.3)求下列各近似值的误差限:
* * * * * * * * * * * (i ) x1 + x2 + x4 , (ii) x1* x2 x3 , (iii ) x2 / x4 , 其中 x1 , x2 , x3 , x 4 均为第 3 题所给的数.
7. 设 f ( x ) Î C 2 [ a , b ] 且 f ( a) = f (b) = 0 ,求证
max
a £ x£b
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x
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x
8. 在 -4 £ x £ 4 上给出 f ( x) = e 的等距节点函数表,若用二次插值求 e 的近似值,要使截 断误差不超过 10- 6 ,问使用函数表的步长 h 应取多少?
计算,求对数时误差有多大? 计算数学教研室 2
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14. 试用消元法解方程组 15. 已知三角形面积 s =
{
10 x1 +1010 x 2 =10 ; x1 + x2 = 2. 假定只用三位数计算,问结果是否可靠?
1 p ab sin c, 其中 c 为弧度, 0 < c < ,且测量 a ,b ,c 的误差分别为 2 2
5. 计算球体积要使相对误差限为 1％,问度量半径 R 时允许的相对误差限是多少? 6. 设 Y0 = 28, 按递推公式
1 Yn = Yn -1 - 783 ( n=1,2,…) 100
计算到 Y100 .若取 783 ≈27.982(五位有效数字),试问计算 Y 100 将有多大误差? 7. 求方程 x 2 - 56 x + 1 = 0 的两个根,使它至少具有四位有效数字( 783 ≈27.982). 8. 当 N 充分大时,怎样求
并由此求出分段三次埃尔米特插值的误差限. 18. 求一个次数不高于 4 次的多项式 P ( x ) ,使它满足 P(0) = P(- k + 1) 并由此求出分段三次 埃尔米特插值的误差限. 19. 试求出一个最高次数不高于 4 次的函数多项式 P ( x ) ,以便使它能够满足以下边界条件
ò
+¥
N
1 dx ? 1 + x 2
2
9. 正方形的边长大约为 100 ㎝,应怎样测量才能使其面积误差不超过 1 ㎝ ? 10. 设 S =
1 2 gt 假定 g 是准确的,而对 t 的测量有±0.1 秒的误差,证明当 t 增加时 S 的绝对 2 2 » 1.41 (三位有效数字),
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周 富 照
（适合课程《数值方法 A》和《数值方法 B》 ）
长沙理工大学
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第一章 绪 论
1. 设 x>0,x 的相对误差为δ,求 ln x 的误差.
n 2. 设 x 的相对误差为 2％,求 x 的相对误差.
3. 下列各数都是经过四舍五入得到的近似数,即误差限不超过最后一位的半个单位,试指出 它们是几位有效数字:
0 1 7 0 1 7 4 16. f ( x) = x + x + 3 x + 1 ,求 f é , 28 ù ë 2 , 2 , L , 2 ù û 及 f é ë 2 , 2 ,L û .
17. 证明两点三次埃尔米特插值余项是
R3 ( x) = f (4) (x)( x - xk ) 2 ( x - xk +1 ) 2 / 4!, x Î ( xk , xk +1 )
x0 L x
2 x0
L L L
n x 0
L x 2
L x n
1 xn -1
2 n xn L x -1 n -1
Vn ( x) = Vn -1 ( x0 , x1 ,L , xn -1 )( x - x0 )L ( x - xn -1 ) .
2. 当 x= 1 , ­1 , 2 时, f(x)= 0 , ­3 , 4 ,求 f(x)的二次插值多项式. 3. 给出 f(x)=ln x 的数值表用线性插值及二次插值计算 ln 0.54 的近似值. x lnx 0.4 ­0.916291 0.5 ­0.693147 0.6 ­0.510826 0.7 ­0.357765 0.8 ­0.223144
P(0) = P¢(0) = 0 , P(1) = P¢(1) = 1 , P (2) = 1 .
20. 设 f ( x) Î C [ a , b ] ,把 [ a , b ] 分为 n 等分,试构造一个台阶形的零次分段插值函数 jn ( x)
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x j y j
0.25 0.5000
0.30 0.5477
0.39 0.6245
0.45 0.6708
0.53 0.7280
试求三次样条插值 S ( x ) 并满足条件 i) ii)
S ¢(0.25) = 1.0000, S ¢(0.53) = 0.6868; S ²(0.25) = S ²(0.53) = 0.
y j = Dyn - Dy0 .
14. 若 f ( x) = a0 + a1 x + L + an -1 x n -1 + an x n 有 n 个不同实根 x1 , x2 ,L , x n ,证明
å f ¢( x ) = {