2014年上海市高考数学试卷(理科)

2014年上海市高考数学试卷（理科）一、填空题（共14题，满分56分）1．（4分）（2014•上海）函数y＝1﹣2cos2（2x）的最小正周期是．2．（4分）（2014•上海）若复数z＝1+2i，其中i是虚数单位，则（z+）•＝．3．（4分）（2014•上海）若抛物线y2＝2px的焦点与椭圆的右焦点重合，则该抛物线的准线方程．4．（4分）（2014•上海）设f（x）＝，若f（2）＝4，则a的取值范围为．5．（4分）（2014•上海）若实数x，y满足xy＝1，则x2+2y2的最小值为．6．（4分）（2014•上海）若圆锥的侧面积是底面积的3倍，则其母线与底面角的大小为（结果用反三角函数值表示）．7．（4分）（2014•上海）已知曲线C的极坐标方程为ρ（3cosθ﹣4sinθ）＝1，则C与极轴的交点到极点的距离是．8．（4分）（2014•上海）设无穷等比数列{a n}的公比为q，若a1＝（a3+a4+…a n），则q ＝．9．（4分）（2014•上海）若f（x）＝﹣，则满足f（x）＜0的x的取值范围是．10．（4分）（2014•上海）为强化安全意识，某商场拟在未来的连续10天中随机选择3天进行紧急疏散演练，则选择的3天恰好为连续3天的概率是（结果用最简分数表示）．11．（4分）（2014•上海）已知互异的复数a，b满足ab≠0，集合{a，b}＝{a2，b2}，则a+b ＝．12．（4分）（2014•上海）设常数a使方程sin x+cos x＝a在闭区间[0，2π]上恰有三个解x1，x2，x3，则x1+x2+x3＝．13．（4分）（2014•上海）某游戏的得分为1，2，3，4，5，随机变量ξ表示小白玩该游戏的得分，若E（ξ）＝4.2，则小白得5分的概率至少为．14．（4分）（2014•上海）已知曲线C：x＝﹣，直线l：x＝6，若对于点A（m，0），存在C上的点P和l上的Q使得+＝，则m的取值范围为．二、选择题（共4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，选对得5分，否则一律得零分15．（5分）（2014•上海）设a，b∈R，则“a+b＞4”是“a＞2且b＞2”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件16．（5分）（2014•上海）如图，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，AB是一条侧棱，P i（i＝1，2，…8）是上底面上其余的八个点，则•（i＝1，2，…，8）的不同值的个数为（）A．1B．2C．3D．417．（5分）（2014•上海）已知P1（a1，b1）与P2（a2，b2）是直线y＝kx+1（k为常数）上两个不同的点，则关于x和y的方程组的解的情况是（）A．无论k，P1，P2如何，总是无解B．无论k，P1，P2如何，总有唯一解C．存在k，P1，P2，使之恰有两解D．存在k，P1，P2，使之有无穷多解18．（5分）（2014•上海）设f（x）＝，若f（0）是f（x）的最小值，则a的取值范围为（）A．[﹣1，2]B．[﹣1，0]C．[1，2]D．[0，2]三、解答题（共5题，满分72分）19．（12分）（2014•上海）底面边长为2的正三棱锥P﹣ABC，其表面展开图是三角形P1P2P3，如图，求△P1P2P3的各边长及此三棱锥的体积V．20．（14分）（2014•上海）设常数a≥0，函数f（x）＝．（1）若a＝4，求函数y＝f（x）的反函数y＝f﹣1（x）；（2）根据a的不同取值，讨论函数y＝f（x）的奇偶性，并说明理由．21．（14分）（2014•上海）如图，某公司要在A、B两地连线上的定点C处建造广告牌CD，其中D为顶端，AC长35米，CB长80米，设点A、B在同一水平面上，从A和B看D 的仰角分别为α和β．（1）设计中CD是铅垂方向，若要求α≥2β，问CD的长至多为多少（结果精确到0.01米）？（2）施工完成后，CD与铅垂方向有偏差，现在实测得α＝38.12°，β＝18.45°，求CD 的长（结果精确到0.01米）．22．（16分）（2014•上海）在平面直角坐标系xOy中，对于直线l：ax+by+c＝0和点P1（x1，y1），P2（x2，y2），记η＝（ax1+by1+c）（ax2+by2+c），若η＜0，则称点P1，P2被直线l 分隔，若曲线C与直线l没有公共点，且曲线C上存在点P1、P2被直线l分隔，则称直线l为曲线C的一条分隔线．（1）求证：点A（1，2），B（﹣1，0）被直线x+y﹣1＝0分隔；（2）若直线y＝kx是曲线x2﹣4y2＝1的分隔线，求实数k的取值范围；（3）动点M到点Q（0，2）的距离与到y轴的距离之积为1，设点M的轨迹为曲线E，求证：通过原点的直线中，有且仅有一条直线是E的分隔线．23．（16分）（2014•上海）已知数列{a n}满足a n≤a n+1≤3a n，n∈N*，a1＝1．（1）若a2＝2，a3＝x，a4＝9，求x的取值范围；（2）设{a n}是公比为q的等比数列，S n＝a1+a2+…a n，若S n≤S n+1≤3S n，n∈N*，求q的取值范围．（3）若a1，a2，…a k成等差数列，且a1+a2+…a k＝1000，求正整数k的最大值，以及k 取最大值时相应数列a1，a2，…a k的公差．2014年上海市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题（共14题，满分56分）1．（4分）（2014•上海）函数y＝1﹣2cos2（2x）的最小正周期是．【分析】由二倍角的余弦公式化简，可得其周期．【解答】解：y＝1﹣2cos2（2x）＝﹣[2cos2（2x）﹣1]＝﹣cos4x，∴函数的最小正周期为T＝＝故答案为：【点评】本题考查二倍角的余弦公式，涉及三角函数的周期，属基础题．2．（4分）（2014•上海）若复数z＝1+2i，其中i是虚数单位，则（z+）•＝6．【分析】把复数代入表达式，利用复数代数形式的混合运算化简求解即可．【解答】解：复数z＝1+2i，其中i是虚数单位，则（z+）•＝＝（1+2i）（1﹣2i）+1＝1﹣4i2+1＝2+4＝6．故答案为：6【点评】本题考查复数代数形式的混合运算，基本知识的考查．3．（4分）（2014•上海）若抛物线y2＝2px的焦点与椭圆的右焦点重合，则该抛物线的准线方程x＝﹣2．【分析】由题设中的条件y2＝2px（p＞0）的焦点与椭圆的右焦点重合，故可以先求出椭圆的右焦点坐标，根据两曲线的关系求出p，再由抛物线的性质求出它的准线方程【解答】解：由题意椭圆，故它的右焦点坐标是（2，0），又y2＝2px（p＞0）的焦点与椭圆右焦点重合，故＝2得p＝4，∴抛物线的准线方程为x＝﹣＝﹣2．故答案为：x＝﹣2【点评】本题考查圆锥曲线的共同特征，解答此类题，关键是熟练掌握圆锥曲线的性质及几何特征，熟练运用这些性质与几何特征解答问题．4．（4分）（2014•上海）设f（x）＝，若f（2）＝4，则a的取值范围为（﹣∞，2]．【分析】可对a进行讨论，当a＞2时，当a＝2时，当a＜2时，将a代入相对应的函数解析式，从而求出a的范围．【解答】解：当a＞2时，f（2）＝2≠4，不合题意；当a＝2时，f（2）＝22＝4，符合题意；当a＜2时，f（2）＝22＝4，符合题意；∴a≤2，故答案为：（﹣∞，2]．【点评】本题考察了分段函数的应用，渗透了分类讨论思想，本题是一道基础题．5．（4分）（2014•上海）若实数x，y满足xy＝1，则x2+2y2的最小值为2．【分析】由已知可得y＝，代入要求的式子，由基本不等式可得．【解答】解：∵xy＝1，∴y＝∴x2+2y2＝x2+≥2＝2，当且仅当x2＝，即x＝±时取等号，故答案为：2【点评】本题考查基本不等式，属基础题．6．（4分）（2014•上海）若圆锥的侧面积是底面积的3倍，则其母线与底面角的大小为arccos（结果用反三角函数值表示）．【分析】由已知中圆锥的侧面积是底面积的3倍，可得圆锥的母线是圆锥底面半径的3倍，在轴截面中，求出母线与底面所成角的余弦值，进而可得母线与轴所成角．【解答】解：设圆锥母线与轴所成角为θ，∵圆锥的侧面积是底面积的3倍，∴＝＝3，即圆锥的母线是圆锥底面半径的3倍，故圆锥的轴截面如下图所示：则cosθ＝＝，∴θ＝arccos，故答案为：arccos【点评】本题考查的知识点是旋转体，其中根据已知得到圆锥的母线是圆锥底面半径的3倍，是解答的关键．7．（4分）（2014•上海）已知曲线C的极坐标方程为ρ（3cosθ﹣4sinθ）＝1，则C与极轴的交点到极点的距离是．【分析】由题意，θ＝0，可得C与极轴的交点到极点的距离．【解答】解：由题意，θ＝0，可得ρ（3cos0﹣4sin0）＝1，∴C与极轴的交点到极点的距离是ρ＝．故答案为：．【点评】正确理解C与极轴的交点到极点的距离是解题的关键．8．（4分）（2014•上海）设无穷等比数列{a n}的公比为q，若a1＝（a3+a4+…a n），则q＝．【分析】由已知条件推导出a1＝，由此能求出q的值．【解答】解：∵无穷等比数列{a n}的公比为q，a 1＝（a3+a4+…a n）＝（﹣a 1﹣a1q）＝，∴q2+q﹣1＝0，解得q＝或q＝（舍）．故答案为：．【点评】本题考查等比数列的公比的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意极限知识的合理运用．9．（4分）（2014•上海）若f（x）＝﹣，则满足f（x）＜0的x的取值范围是（0，1）．【分析】直接利用已知条件转化不等式求解即可．【解答】解：f（x）＝﹣，若满足f（x）＜0，即＜，∴，∵y＝是增函数，∴的解集为：（0，1）．故答案为：（0，1）．【点评】本题考查指数不等式的解法，指数函数的单调性的应用，考查计算能力．10．（4分）（2014•上海）为强化安全意识，某商场拟在未来的连续10天中随机选择3天进行紧急疏散演练，则选择的3天恰好为连续3天的概率是（结果用最简分数表示）．【分析】要求在未来的连续10天中随机选择3天进行紧急疏散演练，选择的3天恰好为连续3天的概率，须先求在10天中随机选择3天的情况，再求选择的3天恰好为连续3天的情况，即可得到答案．【解答】解：在未来的连续10天中随机选择3天共有种情况，其中选择的3天恰好为连续3天的情况有8种，分别是（1，2，3），（2，3，4），（3，4，5），（4，5，6），（5，6，7），（6，7，8），（7，8，9），（8，9，10），∴选择的3天恰好为连续3天的概率是，故答案为：．【点评】本题考查古典概型以及概率计算公式，属基础题．11．（4分）（2014•上海）已知互异的复数a，b满足ab≠0，集合{a，b}＝{a2，b2}，则a+b ＝﹣1．【分析】根据集合相等的条件，得到元素关系，即可得到结论．【解答】解：根据集合相等的条件可知，若{a，b}＝{a2，b2}，则①或②，由①得，∵ab≠0，∴a≠0且b≠0，即a＝1，b＝1，此时集合{1，1}不满足条件．若b＝a2，a＝b2，则两式相减得a2﹣b2＝b﹣a，∵互异的复数a，b，∴b﹣a≠0，即a+b＝﹣1，故答案为：﹣1．【点评】本题主要考查集合相等的应用，根据集合相等得到元素相同是解决本题的关键，注意要进行分类讨论．12．（4分）（2014•上海）设常数a使方程sin x+cos x＝a在闭区间[0，2π]上恰有三个解x1，x2，x3，则x1+x2+x3＝．【分析】先利用两角和公式对函数解析式化简，画出函数y＝2sin（x+）的图象，方程的解即为直线与三角函数图象的交点，在[0，2π]上，当a＝时，直线与三角函数图象恰有三个交点，进而求得此时x1，x2，x3最后相加即可．【解答】解：sin x+cos x＝2（sin x+cos x）＝2sin（x+）＝a，如图方程的解即为直线与三角函数图象的交点，在[0，2π]上，当a＝时，直线与三角函数图象恰有三个交点，令sin（x+）＝，x+＝2kπ+，即x＝2kπ，或x+＝2kπ+，即x＝2kπ+，∴此时x1＝0，x2＝，x3＝2π，∴x1+x2+x3＝0++2π＝．故答案为：【点评】本题主要考查了三角函数图象与性质．运用了数形结合的思想，较为直观的解决问题．13．（4分）（2014•上海）某游戏的得分为1，2，3，4，5，随机变量ξ表示小白玩该游戏的得分，若E（ξ）＝4.2，则小白得5分的概率至少为0.2．【分析】设小白得5分的概率至少为x，则由题意知小白得4分的概率为1﹣x，由此能求出结果．【解答】解：设小白得5分的概率至少为x，则由题意知小白得1，2，3，4分的概率为1﹣x，∵某游戏的得分为1，2，3，4，5，随机变量ξ表示小白玩该游戏的得分，E（ξ）＝4.2，∴4（1﹣x）+5x＝4.2，解得x＝0.2．故答案为：0.2．【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意离散型随机变量的数学期望的合理运用．14．（4分）（2014•上海）已知曲线C：x＝﹣，直线l：x＝6，若对于点A（m，0），存在C上的点P和l上的Q使得+＝，则m的取值范围为[2，3]．【分析】通过曲线方程判断曲线特征，通过+＝，说明A是PQ的中点，结合x 的范围，求出m的范围即可．【解答】解：曲线C：x＝﹣，是以原点为圆心，2为半径的圆，并且x P∈[﹣2，0]，对于点A（m，0），存在C上的点P和l上的Q使得+＝，说明A是PQ的中点，Q的横坐标x＝6，∴m＝∈[2，3]．故答案为：[2，3]．【点评】本题考查直线与圆的位置关系，函数思想的应用，考查计算能力以及转化思想．二、选择题（共4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，选对得5分，否则一律得零分15．（5分）（2014•上海）设a，b∈R，则“a+b＞4”是“a＞2且b＞2”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件【分析】根据不等式的性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判定．【解答】解：当a＝5，b＝0时，满足a+b＞4，但a＞2且b＞2不成立，即充分性不成立，若a＞2且b＞2，则必有a+b＞4，即必要性成立，故“a+b＞4”是“a＞2且b＞2”的必要不充分条件，故选：B．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据不等式的性质是解决本题的关键，比较基础．16．（5分）（2014•上海）如图，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，AB是一条侧棱，P i（i＝1，2，…8）是上底面上其余的八个点，则•（i＝1，2，…，8）的不同值的个数为（）A．1B．2C．3D．4【分析】建立空适当的间直角坐标系，利用坐标计算可得答案．【解答】解：＝，则•＝（）＝||2+，∵，∴•＝||2＝1，∴•（i＝1，2，…，8）的不同值的个数为1，故选：A．【点评】本题考查向量的数量积运算，建立恰当的坐标系，运用坐标进行向量数量积运算是解题的常用手段．17．（5分）（2014•上海）已知P1（a1，b1）与P2（a2，b2）是直线y＝kx+1（k为常数）上两个不同的点，则关于x和y的方程组的解的情况是（）A．无论k，P1，P2如何，总是无解B．无论k，P1，P2如何，总有唯一解C．存在k，P1，P2，使之恰有两解D．存在k，P1，P2，使之有无穷多解【分析】判断直线的斜率存在，通过点在直线上，推出a1，b1，P2，a2，b2的关系，然后求解方程组的解即可．【解答】解：P1（a1，b1）与P2（a2，b2）是直线y＝kx+1（k为常数）上两个不同的点，直线y＝kx+1的斜率存在，∴k＝，即a1≠a2，并且b1＝ka1+1，b2＝ka2+1，∴a2b1﹣a1b2＝ka1a2﹣ka1a2+a2﹣a1＝a2﹣a1，①×b2﹣②×b1得：（a1b2﹣a2b1）x＝b2﹣b1，即（a1﹣a2）x＝b2﹣b1．∴方程组有唯一解．故选：B．【点评】本题考查一次函数根与系数的关系，直线的斜率的求法，方程组的解和指数的应用．18．（5分）（2014•上海）设f（x）＝，若f（0）是f（x）的最小值，则a的取值范围为（）A．[﹣1，2]B．[﹣1，0]C．[1，2]D．[0，2]【分析】当a＜0时，显然f（0）不是f（x）的最小值，当a≥0时，解不等式：a2﹣a﹣2≤0，得﹣1≤a≤2，问题解决．【解答】解；当a＜0时，显然f（0）不是f（x）的最小值，当a≥0时，f（0）＝a2，由题意得：a2≤x++a，解不等式：a2﹣a﹣2≤0，得﹣1≤a≤2，∴0≤a≤2，故选：D．【点评】本题考察了分段函数的问题，基本不等式的应用，渗透了分类讨论思想，是一道基础题．三、解答题（共5题，满分72分）19．（12分）（2014•上海）底面边长为2的正三棱锥P﹣ABC，其表面展开图是三角形P1P2P3，如图，求△P1P2P3的各边长及此三棱锥的体积V．【分析】利用侧面展开图三点共线，判断△P1P2P3是等边三角形，然后求出边长，利用正四面体的体积求出几何体的体积．【解答】解：根据题意可得：P1，B，P2共线，∵∠ABP1＝∠BAP1＝∠CBP2，∠ABC＝60°，∴∠ABP1＝∠BAP1＝∠CBP2＝60°，∴∠P1＝60°，同理∠P2＝∠P3＝60°，∴△P1P2P3是等边三角形，P﹣ABC是正四面体，∴△P1P2P3的边长为4，V P﹣ABC＝＝【点评】本题考查空间想象能力以及逻辑推理能力，几何体的侧面展开图和体积的求法．20．（14分）（2014•上海）设常数a≥0，函数f（x）＝．（1）若a＝4，求函数y＝f（x）的反函数y＝f﹣1（x）；（2）根据a的不同取值，讨论函数y＝f（x）的奇偶性，并说明理由．【分析】（1）根据反函数的定义，即可求出，（2）利用分类讨论的思想，若为偶函数求出a的值，若为奇函数，求出a的值，问题得以解决．【解答】解：（1）∵a＝4，∴∴，∴，∴调换x，y的位置可得，x∈（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）．（2）若f（x）为偶函数，则f（x）＝f（﹣x）对任意x均成立，∴＝，整理可得a（2x﹣2﹣x）＝0．∵2x﹣2﹣x不恒为0，∴a＝0，此时f（x）＝1，x∈R，满足条件；若f（x）为奇函数，则f（x）＝﹣f（﹣x）对任意x均成立，∴＝﹣，整理可得a2﹣1＝0，∴a＝±1，∵a≥0，∴a＝1，此时f（x）＝，满足条件；当a＞0且a≠1时，f（x）为非奇非偶函数综上所述，a＝0时，f（x）是偶函数，a＝1时，f（x）是奇函数．当a＞0且a≠1时，f （x）为非奇非偶函数【点评】本题主要考查了反函数的定义和函数的奇偶性，利用了分类讨论的思想，属于中档题．21．（14分）（2014•上海）如图，某公司要在A、B两地连线上的定点C处建造广告牌CD，其中D为顶端，AC长35米，CB长80米，设点A、B在同一水平面上，从A和B看D 的仰角分别为α和β．（1）设计中CD是铅垂方向，若要求α≥2β，问CD的长至多为多少（结果精确到0.01米）？（2）施工完成后，CD与铅垂方向有偏差，现在实测得α＝38.12°，β＝18.45°，求CD 的长（结果精确到0.01米）．【分析】（1）设CD的长为x，利用三角函数的关系式建立不等式关系即可得到结论．（2）利用正弦定理，建立方程关系，即可得到结论．【解答】解：（1）设CD的长为x米，则tanα＝，tanβ＝，∵0，∴tanα≥tan2β＞0，∴tan，即＝，解得0≈28.28，即CD的长至多为28.28米．（2）设DB＝a，DA＝b，CD＝m，则∠ADB＝180°﹣α﹣β＝123.43°，由正弦定理得，即a＝，∴m＝≈26.93，答：CD的长为26.93米．【点评】本题主要考查解三角形的应用问题，利用三角函数关系式以及正弦定理是解决本题的关键．22．（16分）（2014•上海）在平面直角坐标系xOy中，对于直线l：ax+by+c＝0和点P1（x1，y1），P2（x2，y2），记η＝（ax1+by1+c）（ax2+by2+c），若η＜0，则称点P1，P2被直线l 分隔，若曲线C与直线l没有公共点，且曲线C上存在点P1、P2被直线l分隔，则称直线l为曲线C的一条分隔线．（1）求证：点A（1，2），B（﹣1，0）被直线x+y﹣1＝0分隔；（2）若直线y＝kx是曲线x2﹣4y2＝1的分隔线，求实数k的取值范围；（3）动点M到点Q（0，2）的距离与到y轴的距离之积为1，设点M的轨迹为曲线E，求证：通过原点的直线中，有且仅有一条直线是E的分隔线．【分析】（1）把A、B两点的坐标代入η＝（ax1+by1+c）（ax2+by2+c），再根据η＜0，得出结论．（2）联立直线y＝kx与曲线x2﹣4y2＝1可得（1﹣4k2）x2＝1，根据此方程无解，可得1﹣4k2≤0，从而求得k的范围．（3）设点M（x，y），与条件求得曲线E的方程为[x2+（y﹣2）2]x2＝1①．由于y轴为x＝0，显然与方程①联立无解．把P1、P2的坐标代入x＝0，由η＝1×（﹣1）＝﹣1＜0，可得x＝0是一条分隔线．【解答】（1）证明：把点（1，2）、（﹣1，0）分别代入x+y﹣1可得（1+2﹣1）（﹣1﹣1）＝﹣4＜0，∴点（1，2）、（﹣1，0）被直线x+y﹣1＝0分隔．（2）解：联立直线y＝kx与曲线x2﹣4y2＝1可得（1﹣4k2）x2＝1，根据题意，此方程无解，故有1﹣4k2≤0，∴k≤﹣，或k≥．曲线上有两个点（﹣1，0）和（1，0）被直线y＝kx分隔．（3）证明：设点M（x，y），则•|x|＝1，故曲线E的方程为[x2+（y﹣2）2]x2＝1①．y轴为x＝0，显然与方程①联立无解．又P1（1，2）、P2（﹣1，2）为E上的两个点，且代入x＝0，有η＝1×（﹣1）＝﹣1＜0，故x＝0是一条分隔线．若过原点的直线不是y轴，设为y＝kx，代入[x2+（y﹣2）2]x2＝1，可得[x2+（kx﹣2）2]x2＝1，令f（x）＝[x2+（kx﹣2）2]x2﹣1，∵k≠2，f（0）f（1）＝﹣（k﹣2）2＜0，∴f（x）＝0在（0，1）有实数解，k＝2，f（x）＝[x2+（2x﹣2）2]x2﹣1＝0没有实数解，即y＝kx与E有公共点，∴y＝kx不是E的分隔线．∴通过原点的直线中，有且仅有一条直线是E的分隔线．【点评】本题主要考查新定义，直线的一般式方程，求点的轨迹方程，属于中档题．23．（16分）（2014•上海）已知数列{a n}满足a n≤a n+1≤3a n，n∈N*，a1＝1．（1）若a2＝2，a3＝x，a4＝9，求x的取值范围；（2）设{a n}是公比为q的等比数列，S n＝a1+a2+…a n，若S n≤S n+1≤3S n，n∈N*，求q 的取值范围．（3）若a1，a2，…a k成等差数列，且a1+a2+…a k＝1000，求正整数k的最大值，以及k 取最大值时相应数列a1，a2，…a k的公差．【分析】（1）依题意：，又将已知代入求出x的范围；（2）先求出通项：，由求出，对q分类讨论求出S n分别代入不等式S n≤S n+1≤3S n，得到关于q的不等式组，解不等式组求出q的范围．（3）依题意得到关于k的不等式，得出k的最大值，并得出k取最大值时a1，a2，…a k 的公差．【解答】解：（1）依题意：，∴；又∴3≤x≤27，综上可得：3≤x≤6（2）由已知得，，，∴，当q＝1时，S n＝n，S n≤S n+1≤3S n，即，成立．当1＜q≤3时，，S n≤S n+1≤3S n，即，∴不等式∵q＞1，故3q n+1﹣q n﹣2＝q n（3q﹣1）﹣2＞2q n﹣2＞0对于不等式q n+1﹣3q n+2≤0，令n＝1，得q2﹣3q+2≤0，解得1≤q≤2，又当1≤q≤2，q﹣3＜0，∴q n+1﹣3q n+2＝q n（q﹣3）+2≤q（q﹣3）+2＝（q﹣1）（q﹣2）≤0成立，∴1＜q≤2，当时，，S n≤S n+1≤3S n，即，∴此不等式即，3q﹣1＞0，q﹣3＜0，3q n+1﹣q n﹣2＝q n（3q﹣1）﹣2＜2q n﹣2＜0，q n+1﹣3q n+2＝q n（q﹣3）+2≥q（q﹣3）+2＝（q﹣1）（q﹣2）＞0∴时，不等式恒成立，上，q的取值范围为：．（3）设a1，a2，…a k的公差为d．由，且a1＝1，得即当n＝1时，﹣≤d≤2；当n＝2，3，…，k﹣1时，由，得d≥，所以d≥，所以1000＝k，即k2﹣2000k+1000≤0，得k≤1999所以k的最大值为1999，k＝1999时，a1，a2，…a k的公差为﹣．【点评】本题考查等比数列的通项公式及前n项和的求法；考查不等式组的解法；找好分类讨论的起点是解决本题的关键，属于一道难题．。