组合数学课件

§1.2 线排列推论 § 1.2 排列 2
推论1.1.1：如n, r∈N且n≥r≥2，则 两个推论 P(n,r)=n×P(n-1,r-1) 。 推论1.1.2：如n, r∈N且n≥r≥2，则 P(n,r)= r×P(n-1,r-1)+P(n-1,r) 。 证明：当r≥2时，把集合A的r−排列分为两大类：一类包含 A中的某个固定元素，不妨设为 a1，另一类不包含 a1 。第 一类排列相当于先从 A-{a1} 中取 r-1 个元素进行排列，有 P(n-1,r-1)种取法，再将a1放入每一个上述排列中，对任一 排列， a1 都有 r 种放法。由乘法法则，第一类排列共有 r×P(n-1,r-1) 个。第二类排列实质上是 A-{a1} 的 r− 排列，共 有P(n-1,r)个。再由加法法则有 P(n,r)= r×P(n-1,r-1)+P(n-1,r) 证毕。
S
S S
i 1 i i 1
m
m
i
。
§1.1 乘法法则例4
§1.1 加法法则和乘法法则
例 4 、从 A 地到 B 地有二条不同的道 路，从 B 地到 C 地有四条不同的道路， 而从 C 地到 D 地有三条不同的道路。 求从A地经B、C两地到达D地的道路 数。
1.1.2 乘法法则
例 题
目录（2） 4.6* 在组合恒等式中的应用 本章小结 习题 6.4 Burnside引理 6.5 Pó lya定理 6.6 Pó lya定理的应用 6.7 母函数形式的Pó lya定理 6.8* 图的计数 6.9* Pó lya定理的若干推广 本章小结 习题
第5章 递推关系
5.1 递推关系的建立 5.2 常系数线性齐次递推关系 5.3 常系数线性非齐次递推关系 5.4 迭代法与归纳法 5.5 母函数在递推关系中的应用 5.6* 典型的递推关系 本章小结 习题
例6、求出从8个计算机系的学生、 9 个数学系的学生和10个经济系的学生 中选出两个不同专业的学生的方法数。
1.1.2 乘法法则
例 题
解：由乘法法则有 选一个计算机系和一个数学系的方法数为8×9=72 选一个数学系和一个经济系的方法数为9×10=90 选一个经济系和一个计算机系的方法数为10×8=80 由加法法则，符合要求的方法数为 72+90+80=242
组合数学课件
课程简介
本课程针对计算机科学中的一个重要学科 ——组合数学， 组合数学是数学的一个分支，它研究事物在结定模式下的配 置，研究这种配置的存在性，所有可能配置的计数和分类以 及配置的各种性质。组合数学在计算机科学中有着极其广泛 的应用。 组合学问题求解方法层出不穷、干变万化，应以理解为 基础，善于总结各种技巧，掌握科学的组织和推理方法。
例 题
所有数字互不相同的四位偶数？
解：所求的是四位偶数，故个位只能选2或4，有两种选 择方法；又由于要求四位数字互不相同，故个位选中后， 十位只有四种选择方法；同理，百位、千位分别有三种、 两种选择方法，根据乘法法则，四位数互不相同的偶数 个数为 2×4×3×2=48
§1.1 乘法法则例6
§1.1 加法法则和乘法法则
解：设S是所有这些奖品的集合，Si是第i类奖品的集合 (i=1,2,3)，显然，Si∩Sj=Φ (i≠j) ，根据加法法则有
|S|
S
i 1
3
i
|S1 ||S2 ||S3 | 3 4 2 9
§1.1 加法法则例2、3 §1.1 加法法则和乘法法则
1.1.1 加法法则
例 题
§1.2 线排列
§1.2 排列
1.2.1 线排列
从n个不同元素中，取r个(0≤r≤n)按一 定义 1.1 定顺序排列起来，其排列数P(n,r)。 设A={an} ，从A中选择r个(0≤r≤n)元素排 集合论定义 列起来，A的r−有序子集，A的r−排列。 如n, r∈Z且n≥r≥0, P(n,r)=n!/(n-r)!。 定理 1.1 如n=r，称全排列P(n,n)= n!； 如n＜r, P(n,r)=0；如r=0, P(n,r)=1。 证明：构造集合A的r−排列时，可以从A的n各元素中任 选一个作为排列的第一项，有n种选法；第一项选定后 从剩下的n-1个元素中选排列的第二项有n-1种选法；… 由此类推，第r项有n-r+1种选法。根据乘法法则有 n! P ( n, r ) n( n 1)...( n r 1) ( n r )!
§1.2 线排列推论 § 1.2 排列 1
1.2.1 线排列
两个推论
推论1.1.1：如n, r∈N且n≥r≥2，则 P(n,r)=n×P(n-1,r-1) 。
证明：在集合 A 的 n 个元素中，任一个元素都可以排在 它的r−排列首位，故首位有 n种取法；首位取定后，其 他位置的元素正好是从 A 的另 n-1 个元素中取 r-1 个的排 列，因此有P(n-1,r-1)种取法。由乘法法则有 P(n,r)=n×P(n-1,r-1) 证毕。
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使用教材
《数学分析》《高等代数》《离散数学》 书名：组合数学（第三版） 作者：孙淑玲 出版社：中国科学技术大学出版社ห้องสมุดไป่ตู้
目录（1）
目
引言 第1章 排列与组合
1.1 加法法则和乘法法则 1.2 排列 1.3 组合 1.4 二项式定理 1.5 组合恒等式及其含义 1.6 模型转换 本章小结 习题
录
§1.1 重集的概念
§1.1 加法法则和乘法法则
重集的概念
1.1.3 计数问题的分类
• 有序安排或有序选择 ——允许重复/不允许重复 • 无序安排或无序选择 ——允许重复/不允许重复
• 标准集的特性：确定、无序、 相异等。 • 重集：B={k *b , k *b ,…,
1 1 2 2
kn*bn}，其中：bi为n个互不相 同的元素，称 ki为bi的重数， i=1,2,…,n，n=1,2,…,∞， ki=1,2,…,∞。
§1.2 排列 1.2.1 线排列
例 题
§1.2 线排列例3
例 3 、有多少个 5 位数，每位数字都 不相同，不能取0，且数字7和9不能 相邻？
解：由于所有的5位数字互不相同，且不能取0，故每一 个 5 位数就是集合 {1,2,…,9} 的一个 5- 排列，其排列数为 P(9,5) ，其中 7 和 9 相邻的排列数为 [c(7,3)4!2]4×2×P(7,3) ， 满足题目要求的5位数个数为
1.1.2 乘法法则
乘法法则
相互独立的事件 A、B 分别有 k 和 l 种方法产生，则选取A以后 再选取B 的方法数为 k×l 种。 若|A|=k，|B|=l ，A×B={(a,b)|a∈A， b∈B}，则|A×B| = k×l 。 m
集合论定义
设 S i ( i 1, 2,..., m ) 是有限集合，且 S Si i 1 {(a1 , a2 ,..., am ) | ai S i , i 1, 2,..., m } ，则有
例2、大于0小于 10的奇偶数 有多少个？
解：设S是符合条件数的集合，S1、S2分别是符合条件的 奇数、偶数集合，显然，S1∩S2=Φ ，根据加法法则有
|S | |S1 ||S 2 | 5 4 9
例 3 、小于 20 可被 2 或 3 整除的自然 数有多少个？
§1.1 乘法法则 §1.1 加法法则和乘法法则
组合数学研究的中心问题是按照一定的规 则来安排有限多个对象
• 如果人们想把有限多个对象按照它们所应满足的条 件来进行安排，当符合要求的安排并非显然存在或显 然不存在时，首要的问题就是要证明或者否定它的存 在。这就是存在性问题。如果所要求的安排存在，则 可能有多种不同的安排，这又经常给人们提出这样的 问题：有多少种可能的安排方案？如何对安排的方案 进行分类？这就是计数问题。如果一个组合问题有解， 则往往需要给出求其某一特定解的算法，这就是所谓 的构造性问题。如果算法很多，就需要在一定的条件 下找出一个或者几个最优或近乎最优的安排方案，这 就是优化问题。
m
m
设S是有限集合，若 S i S , S S i，且 i j
时， Si S j ，则有 S
S S
i 1 i i 1
i 1 m
i
。
§1.1 加法法则例1 §1.1 加法法则和乘法法则
1.1.1 加法法则
例 题
例1、有一所学校给一名物理竞赛优胜 者发奖，奖品有三类，第一类是三种 不同版本的法汉词典；第二类是四种 不同类型的物理参考书；第三类是二 种不同的奖杯。这位优胜者只能挑选 一样奖品。那么，这位优胜者挑选奖 品的方法有多少种？
§ 1.2 线排列例 § 1.2 排列 2
1.2.1 线排列
例 题
例2、将具有9个字母的单词 FRAGMENTS进行排列，要求字母 A 总是紧跟在字母 R 的右边，问有 多少种这样的排法？如果再要求字 母M和N必须相邻呢？
解：由于A总是R的右边，故这样的排列相当于是8个元 素的集合{F,RA,G,M,E,N,T,S}的一个全排列，个数为 P(8,8) 8! 40320 如果再要求 M 和 N 必须相邻，可先把 M 和 N 看成一个整 体={M,N}，进行7个元素的集合{F,RA,G,E,T,S,}的全 排列，在每一个排列中再进行 {M,N}的全排列，由乘法 法则，排列个数为 P(7,7) P(2, 2) 7! 2! 10080
习题
第3章 容斥原理
3.1 容斥原理 3.2 重集r-组合 3.3 错排问题 3.4 有限制排列 3.5* 一般有限制排列 3.6* 广义容斥原理 本章小结 习题
第2章 鸽笼原理
2.1 鸽笼原理 2.2 鸽笼原理的推广 2.3 Ramsey定理 本章小结
第4章 母函数
4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 母函数的基本概念 母函数的基本运算 在排列组合中的应用 整数的拆分 Ferrers图