2019届江西省红色七校高三第二次联考数学(理)试卷(PDF版)

江西省红色七校2019届高三第二次联考理科数学试题（分宜中学、会昌中学、莲花中学、南城一中、永新中学、瑞金一中、遂川中学）命题人：永新中学 文建华 莲花中学 徐 敏一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合2{|log (2)2}A x R x =∈-<，{1,0,1,2,3}B =-，则A B ⋂真子集的个数（ ）A ．8B ．7C ．4D ．162．若复数(2)()z ai a i =+-在复平面内对应的点在第三象限,其中a R ∈，i 为虚数单位，则实数a 取值范围为（ ） A．(B．( C． D ．[3.已知0.21.1a =，0.2log 1.1b =， 1.10.2c =，则（ ）A ．a b c >>B ．b c a >>C ．a c b >>D ．c a b >> 4.下图为国家统计局发布的2018年上半年全国居民消费价格指数（CPI ）数据折线图，（注：同比是今年第n 个月与去年第n 个月之比，环比是现在的统计周期和上一个统计周期之比）下列说法错误的是（ ）A 2018年6月CPI 环比下降0.1%，同比上涨1.9%B 2018年3月CPI 环比下降1.1%，同比上涨2.1%C 2018年2月CPI 环比上涨0.6%，同比上涨1.4%D 2018年6月CPI 同比涨幅比上月略微扩大0.1个百分点5．261(1)(1)x x+-的展开式中，常数项为( )A ．－15B ．16C ．15D ．－16 6.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为 （ ）A 362π-B 364π-C 482π-D 484π-7．函数()sin()(0,0,)2f x A x A πωϕωϕ=+>><的部分图像如图所示，则1cos2sin 2ϕϕ-=（ ）A ．12B8.有一程序框图如图所示，要求运行后输出的值为大于1000的最小数值，则在空白的判断框内可以填入的是A ．5i ≥B ．6i ≥C ．7i ≥D ．8i ≥9．已知点F 双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>右焦点，直线2y b =与双曲C 交于,A B 两点，且90AFB ∠=o ，则该双曲线的离心率为 （ ）A.10．杨辉三角，又称帕斯卡三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列.在我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》（1261年）一书中用如图所示的三角形解释二项式乘方展开式的系数规律.现把杨辉三角中的数从上到下，从左到右依次排列，得数列：1,1,1,1,2,1,1,3,3,1,1,4,6,4,1…….记作数列{}n a ，若数列{}n a 的前n 项和为n S ，则80S = （ ）A. 2059B. 4108C. 2048D. 409511.如图，单位正方体1111ABCD A B C D -的对角面11BB D D 上存在一动点P ，过点P 作垂直于平面11BB D D 的直线，与正方体表面相交于M N 、两点.则BMN V 的面积最大值为 （ ）1212.已知()1,1(01),,1xx a x f x a a a a x ⎧-+>⎪=>≠⎨+≤⎪⎩且若()f x 有最小值，则实数a 的取值范围是 （ ）A 2(,1)3B (1,)+∞C 2(0,(1,)3⎤⋃+∞⎥⎦D 2(,1)(1,)3⋃+∞二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知向量,a b 满足||||2==a b ,且2=g a b ,则向量a 与b 的夹角为 .14.已知实数x ，y 满足02601x y x y x -≤⎧⎪+-≤⎨⎪≥-⎩，则13y x --的取值范围为_____． 15.某外商计划在4个候选城市中投资3个不同的项目，且在同一个城市投资的项目不超过2个，则该外商不同的投资方案有________种． 16.在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，若4cos a bC b a+=，且2c =，则ABC ∆的周长取值范围为__________________。

三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17.已知数列{}n a 为等差数列，n S 为{}n a 的前n 项和，25852,25a a a S +==.数列{}n b 为等比数列且2112150,,n b b a b a a >==.（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）记34(2log 3)n n n c b a =+g ，其前n 项和为n T ，求证：43n T ≥.18.如图，多面体11ABCDB C 为正三棱柱111ABC A B C -沿平面11DB C 切除部分所得，M 为1CB 的中点，且12BC BB ==.(1)若D 为1AA 中点,求证11//AM DB C 平面； (2)若二面角11D B C B --大小为3π，求直线1DB 与平面1ACB 所成角的正弦值.19．当前，以“立德树人”为目标的课程改革正在有序推进．高中联招对初三毕业学生进行体育测试，是激发学生、家长和学校积极开展体育活动，保证学生健康成长的有效措施．某地区 2018年初中毕业生升学体育考试规定，考生必须参加立定跳远、掷实心球、1分钟跳绳三项测试，三项考试满分为50分，其中立定跳远15分，掷实心球15分，1分钟跳绳20分．某学校在初三上期开始时要掌握全年级学生每分钟跳绳的情况，随机抽取了100名学生进行测试，得到右边频率分布直方图，且规定计分规则如下表：（Ⅰ）现从样本的100名学生中，任意选取2人，求两人得分之和不大于35分的概率；（Ⅱ）若该校初三年级所有学生的跳绳个数X 服从正态分布N （μ，σ2），用样本数据的平均值和方差估计总体的期望和方差，已知样本方差S 2≈169（各组数据用中点值代替）．根据往年经验，该校初三年级学生经过一年的训练，正式测试时每人每分钟跳绳个数都有明显进步，假设今年正式测试时每人每分钟跳绳个数比初三上学期开始时个数增加10个，现利用所得正态分布模型：（ⅰ）预估全年级恰好有2000名学生时，正式测试每分钟跳182个以上的人数；（结果四舍五入到整数） （ⅱ）若在全年级所有学生中任意选取3人，记正式测试时每分钟跳195个以上的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列和期望．附：若随机变量X 服从正态分布N （μ，σ2），则P （μ﹣σ＜X ＜μ+σ）＝0.6826，P （μ﹣2σ＜X ＜μ+2σ）＝0.9544，P （μ﹣3σ＜X ＜μ+3σ）＝0.997420.已知椭圆()2222:10x y C ab a b +=>>的离心率2e =，且椭圆过点,33⎛ ⎝⎭. （I ）求椭圆C 的标准方程；（II ）已知点A 为椭圆C 的下顶点，,D E 为椭圆C 上与A 不重合的两点，若直线AD 与直线AE 的斜率之和为2a ，试判断是否存在定点G ，使得直线DE 恒过点G ，若存在，求出点G 的坐标；若不存在，请说明理由．21.已知函数(),()ln x f x e g x x ==.（1）求函数()y g x =在点(1,0)A 处的切线方程；（2）已知函数()()()(0)h x f x a g x a a =--+>区间()0,+∞上的最小值为1，求实数a 的值.请考生在第22，23两题中任选一题做答.只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题记分.做答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题号后方框涂黑. 选修4-4：极坐标与参数方程22.已知在极坐标系中，直线l 的极坐标方程为cos()6πρθ+=，曲线C 的极坐标方程为2(1cos )2cos 0ρθθ--=，以极点为原点，极轴为x 轴正半轴，建立平面直角坐标系.（1）写出直线l 和曲线C 的直角坐标方程；（2）若直线'l ：2)y x -与曲线C 交于,P Q 两点，(2,0)M ，求22||||MP MQ +的值.选修4-5：不等式选讲23．已知函数()|2||1|,f x x a x a R =++-∈. （1）当1a =时，解不等式()5f x ≤；（2）若()2f x ≥对于x R ∀∈恒成立，求实数a 的取值范围.江西省红色七校2019届高三第二次联考理科数学试题答案一、选择题：二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 133π14 71[,]42- 15 60 16 (4,6]三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17.解析：（1）设公差为d ，则由25852,25a a a S +==得，112()3,545252a d d d a +=⎧⎪⎨⨯⨯+=⎪⎩解得11,2a d =⎧⎨=⎩所以21n a n =- (3)设{}n b 的公比q ， 所以2152151,9,0n a a b a a b ===>由且，3q =，∴13n n b -=………….6 （2）344112()(2log 3)(21)(21)2121n n n c b a n n n n ===-++--+ (8)1111112(1)2(1)335212121n T n n n =-+-++-=--++，………………………………………11 易知n T 随着n 的增大而增大，所以1142(1)33n T T ≥=-= (12)18.解析：（1）取11B C 中点N ，连接MN ，则MN 为11B C C ∆的中位线11||2MN CC ∴=1D AA Q 为中点11||2AD CC ∴=||MN AD ∴= (2)ADMN ∴四边形为平行四边形………………………………………………4 //AM DN ∴ 11//AM DB C ∴平面 (6)(2) 由1111,B C DN B C MN ⊥⊥可得DNM∠二面角11D B C B --平面角，二面角11D B C B --大小为3π可得112AD BB = (8)如图建立空间直角坐标系A ，(1,0,0)C -,1(1,2,0)B ,D1(1,1,DB ∴=u u u r (1,0,AC =-uu u r 1(1,2,AB =u u u r设平面1ACB 的法向量为(,,)n x y z =r10(0n AB n n AC ⎧⋅=⎪⇒=⎨⎪=⎩r uuu r r r uuu r g …………………………………………10……111cos ,35||||DB n n DB DB n <>==uuu r rr uuu r g uuuu r r g (11)所以直线1DB 与平面1ACB.………………………………………………12 19．解析：（Ⅰ）两人得分之和不大于35分，即两人得分均为17分，或两人中1人17分，1人18分， (3)（Ⅱ）＝160×0.06+170×0.12+180×0.34+190×0.30+200×0.1+210×0.08＝185（个）…………5 又σ2≈169，σ＝13，所以正式测试时，μ＝195，σ＝13，∴μ﹣σ＝182． （ⅰ）∴P （ξ＞182）＝1﹣＝0.8413，∴0.8413×2000＝1682.6≈1683．（人） ………………7（ⅱ）由正态分布模型，全年级所有学生中任取1人，每分钟跳绳个数195以上的概率为0.5，即ξ～B （3，0.5），∴P （ξ＝0）＝033(10.5)0.125C -=，P （ξ＝1）＝1230.5(10.5)0.375C -=，P （ξ＝2）＝2230.5(10.5)0.375C -=，P （ξ＝3）＝3330.50.125C =， (10)∴ξ的分布列为20.解析：（I ）∵椭圆C 的离心率2e =，∴2a =，即222a b =，∵点⎝⎭在椭圆C 上，∴2222133a b +=，由22222{ 22133a b a b =+=解得222{ 1a b ==， ∴椭圆C 的标准方程为2212x y +=．………………………………………………4 （II ）由（I ）知()0,1A -，当直线DE 的斜率存在时，设直线DE 的方程为()1y kx t t =+≠±，代入2212x y +=得，()222124220k x k t x t +++-=，∴()()222216412220k t k t ∆=-+->，即2221t k -<．设()()1122,,,D x y E x y ，则2121222422,1212kt t x x x x k k-+=-=++，………、…………6 ∵直线AD 与直线AE 的斜率之和为2a ， ∴121211AD AE y y k k x x +++=+=()()121212121112t x x kx t kx t k x x x x +++++++=+ ()22142222t kt k a t +⋅=-==-，整理得1t k =-， (8)∴直线DE 的方程为()111y kx t kx k k x =+=+-=-+，显然直线()11y k x =-+经过定点()1,1． 当直线DE 的斜率不存在时，设直线DE 的方程为x m =，∵直线AD 与直线AE 的斜率之和为2a ，设(),D m n ，则(),E m n -， ∴21122AD AE n n k k a m m m+-++=+===，解得1m =，………………………………………………10 此时直线DE 的方程为1x =，显然直线1x =经过定点()1,1．综上，存在定点()1,1G ，使得直线DE 恒过点G ．………………………………………………12 21.解析（1）'1()=,g x x'(1)1g =，则函数()y g x =在点(1,0)A 处的切线方程为1y x =-；……………4分(2)()()()=ln()(0)x a h x f x a g x a e x a a -=--+-+>，'1()x ah x ex a-=-+， x a e -Q 在区间()0,+∞上单调递增，1x a+在区间()0,+∞上单调递减，存在唯一的()00,x ∈+∞，使得0'001()=0x a h x e x a -=-+，即001=x a e x a-+ （*），……………7分 函数'1()x ah x ex a-=-+在()0,+∞上单调递增，()'00,()0x x h x ∴∈<时，，()h x 单调递减；()'0+()0x x h x ∈∞>，时，，单调递增，0min 00()()ln()x a h x h x e x a -∴==-+，由（*）式得min 0001()()ln()h x h x x a x a∴==-++，……………9分 001ln()1x a x a-+=+，显然01x a +=是方程的解，又1ln y x x =-Q 是单调减函数，方程001ln()1x a x a-+=+有且仅有唯一的解01x a +=，把01x a =-代入（*）式得， 1-21a e =，12a ∴=，所求实数a 的值为12. …………………………12分 解法2：()()()=ln()(0)x a h x f x a g x a e x a a -=--+-+>，'1()x ah x e x a-=-+， x a e -在区间()0,+∞上单调递增，1x a+在区间()0,+∞上单调递减，存在唯一的()00,x ∈+∞，使得0'001()=0x a h x e x a -=-+，即001=x a e x a-+ （*），……………7分 函数'1()x ah x ex a-=-+在()0,+∞上单调递增，()'00,()0x x h x ∴∈<时，，()h x 单调递减；()'0+()0x x h x ∈∞>，时，，单调递增，0min 00()()ln()x a h x h x e x a -∴==-+，由001=x a e x a-+式得00ln()x a x a -=-+，0min 00()()ln()x a h x h x e x a -∴==-+=222a a ≥-=-,（当且仅当时0()22h x a =-），由22=1a -得12=a ,此时012x =，把01122a x ==，代入（*）也成立， ∴实数a 的值为12.…………………………12分 选修4-4：极坐标与参数方程 22.解析：（1）因为直线l：cos()6πρθ+=cos sin 10θρθ--=， 即直线l10y --=； (3)因为曲线C ：2(1cos )2cos 0ρθθ--=，则曲线C 直角坐标方程：22y x = (5)（2）设直线'l参数方程为122()x tt y ⎧=+⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩为参数将其带入曲线C 的直角坐标系方程得234160t t --=， 设,P Q 对应的参数分别为12,,t t 则1212164,,33t t t t =-+=………………………………………………8 22222121212112||||||||()29MP MQ t t t t t t ∴+=+=+-=.………………………………………………10 选修4-5：不等式选讲 23．解析：（1）1a =时，不等式为|2||1|5x x ++-≤，等价于1(2)(1)5{x x x ≥++-≤或21(2)(1)5{x x x -≤≤+--≤或2(2)(1)5{x x x ≤--+--≤，………………………………3 解得，或或，∴，∴不等式的解集是 (5)（2）由绝对值的三角不等式得，∵对于恒成立， (7)∴，解得或.∴实数的取值范围为． (10)。