因式分解学案05十字相乘法同步练习05
因式分解之十字相乘法专项练习题
十字相乘法进行因式分解1. 二次三项式多项式cix2 +bx + c ,称为字母“的二次三项式，其中ax'称为二次项，&为一次项，c 为常数项.例如，x2 -2x-3和疋+5尤+ 6都是关于x的二次三项式.在多项式X2-6A>-+8V2中，如果把y看作常数，就是关于“的二次三项式；如果把x 看作常数，就是关于y的二次三项式.在多项式2a2b2-lab+3中，把訪看作一个整体,即2(“尸-7(ab) + 3，就是关于訪的二次三项式.同样，多项式(x+)y+7(x+y) + 12 ,把x+y看作一个整体，就是关于x +卩的二次三项式.2. 十字相乘法的依据和具体内容利用十字相乘法分解因式，实质上是逆用(»+ © (cx+小竖式乘法法则.它的一般规律是：(1) 对于二次项系数为1的二次三项式x2+px + q f如果能把常数项g分解成两个因数曰，6的积，并且a+b为一次项系数。
那么它就可以运用公式[x' + {a + b)x + ab = (x + a){x + b)分解因式.这种方法的特征是''拆常数项，凑一次项”.公式中的"可以表示单项式，也可以表示多项式，当常数项为正数时，把它分解为两个同号因数的积，因式的符号与一次项系数的符号相同；当常数项为负数时，把它分解为两个异号因数的积，其中绝对值较大的因数的符号与一次项系数的符号相同.(2) 对于二次项系数不是1的二次三项式a^+bx + c (a, b, c都是整数且mfO)来说，如果存在四个整数a v a19c v c2,使a〕・a2=a f c{*c2=c ,且a{c2 + a2c} = b ,3. 因式分解一般要遵循的步骤多项式因式分解的一般步骤：先考虑能否提公因式，再考虑能否运用公式或十字相乘法，最后考虑分组分解法.对于一个还能継续分解的多项式因式仍然用这一步骤反复进行.以上步骤可用口诀概括如下：“首先提取公因式，然后考虑用公式、十字相乘试一试, 分组分解要合适，四种方法反复试，结果应是乘积式”.【典型热点考题】例1把下列各式分解因式：(1) x2—2x—15 ; (2) x2 -5xy+6y2.解：例2把下列各式分解因式：(1) 2X2-5X-3; (2) 3X2+8X-3.解：点拨：二次项系数不等于1的二次三项式应用十字相乘法分解时，二次项系数的分解和常数项的分解随机性较大，往往要试验多次，这是用十字相乘法分解的难点，要适当增加练习，积累经验，才能提高速度和准确性.■例3把下列各式分解因式：(1) X4-10X2+9; (2) 7(x + y)3 -5(x + y)2 -2(x + y):(3) (a2 +8a)2 +22(a2 +8a) + 120 .十字相乘法专项练习题(1) a2—7a+6; (3)18X2-21X+5; <(5) 2X2+3X+1;(7) 6x2—13x+6; <(9) 6X2-11X+3; (2)8X2+6X-35; (4) 20-9y-20y2; (6) 2y2+y—6; (8) 3a z—7a —6;(10) 4m z+8m+3;(11)10x2-21x+2; (12) 8m2-22m+15;(13) 4n2+4n —15; (14) 6a'+a —35;(15) 5x2—8x —13;(17)15X2+X-2：(19) 2 (a+b)2 + (a+b) (a —b) —6 (a —b) I把下列各式分解因式：(1) x4 -7x2 +6 ;(16) 4x z+15x+9;(18) 6y2+19y+10;(20)7(x-1)2 +4(x-1)-20：(2) X4-5X2-36;(3) 4x4 -65x2y2 +16y4: (4)泸一7/戻一8胪；(5) 6宀5/-4/；(6) 4? 一37/，+9/戻.15.把下列各式分解因式:(2) /(兀一2尸一9; ( 3) (3x 2 + 2x +1)2-(2x 2 + 3x + 3)2:(6)(2“ + /?)2—14(2a+b) + 48 ・(1) 2x 2+15x + 7(2) 3/一&/ + 4 (3) 5x 2+7x-6(5) 5a 2b 2+23ab-lQ(6) 3a 2b 2 -\7abxy + \0x 2y 2(7)7与+ i2),2(1) (X 2-3)2-4X 2:(4)(x 2 +x)2-17(x 2 +x) + 60 ;(5)(x" + 2x)~ —7(疋 +2x) — 8 :(4) 6于一11)，一10⑻X4+7X2-18 (9) 4m2+8mn + 3n2 (10) 5x5-15x3y-2O^2六、解下列方程(1) X2-X-2=O (2) X2+5X-6=O (3) 3/+4& — 4 = 0 ⑷ 2戾+7〃一15 = 0。
因式分解(十字相乘法)专项训练(5)
因式分解——十字相乘法专项训练（一）自主学习我们知道()()22356x x x x ++=++，反过来，就得到二次三项式256x x ++的因式分解形式，即()()25623x x x x ++=++，其中常数项6分解成2,3两个因数的积，而且这两个因数的和等于一次项的系数5，即=⨯623，且+=235。
一般地，由多项式乘法，()()()2x a x b x a b x ab ++=+++，反过来，就得到（二）探索发现这就是说，对于二次三项式2x px q ++，如果能够把常数项q 分解成两个因数a 、b 的积，并且a b +等于一次项的系数p ，那么它就可以分解因式，即()()()22x px q x a b x ab x a x b ++=+++=++。
可以用交叉线来表示：十字相乘法的定义：利用十字交叉来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法。
（三）应用举例：【例1】 把232x x ++分解因式。
分析：这里，常数项2是正数，所以分解成的两个因数必是同号，而()()=⨯=-⨯-21212，要使两个因数的和等于3，只需取1,2即可。
【例2】 把276x x -+分解因式。
【例3】 把2421x x --分解因式。
【例4】 把2215x x +-分解因式。
（四）归纳升华通过例1︿4可以看出，怎样对2x px q ++分解因式？如果常数项q 是正数，那么把它分解成两个同号因数，它们的符号与一次项系数p 的符号相同。
如果常数项q 是负数，那么把它分解成两个异号因数，其中绝对值较大的因数与一次项系数p 的符号相同。
对于分解的两个因数，还要看它们的和是不是等于一次项的系数p 。
（五）拓展提高【例5】 把下列各式分解因式：(1) 4268x x ++ (2) ()()243a b a b +-++ （3）2232x xy y -+x x +a +b（六）课堂检测：1、因式分解：（1）62--x x （2）652++x x （3）62-+x x（4）432-+x x （5）432--x x2、（1）若多项式m x x +-82可分解为)6)(2(--x x ，则m 的值为 .（2）若多项式122--kx x 可分解为)6)(2(+-x x ，则k 的值为 .3、若多项式m x x +-22可分解为))(3(n x x -+，求m 、n 的值.十字相乘法分解因式（2）（一）自主学习()()223531110x x x x ++=++。
第05讲因式分解公式法与十字相乘法(原卷版)
第05讲 因式分解—公式法与十字相乘法1. 平方差公式分解因式的内容：两个数的平方差等于这两个数的 乘以这两个数的 。
即：=-22b a 2. 式子特点分析与因式分解结果：①式子特点分析：式子是一个 ，符号 且都可以写成 的形式。
②因式分解结果：等于写成平方形式时的 的和乘以 的差。
考点题型：①判断式子能否用平方差公式分解。
②利用平方差公式分解因式。
【即学即练1】1．下列各式能用平方差公式进行分解因式的是（ ）A ．x 2﹣25B ．x 3﹣4C ．x 2﹣2x +1D ．x 2+1【即学即练2】2．下列各个多项式中，不能用平方差公式进行因式分解的是（ ）A ．﹣m 2+n 2B ．﹣m 2﹣n 2C ．4m 2﹣1D ．（m +n ）2﹣9【即学即练3】3．把下列各式因式分解：（1）x 2﹣25y 2． （2）﹣4m 2+25n 2． （3）（a +b ）2﹣4a 2．（4）a 4﹣1． （5）9（m +n ）2﹣（m ﹣n ）2． （6）mx 2﹣4my 2．知识点02 完全平方公式分解因式1. 完全平方公式分解因式的内容： =+±222b ab a 。
2. 式子特点分析与因式分解结果： ①式子特点分析：式子是一个 ，其中两项符号 且都能写成 的形式，第三项是平方两项 乘积的 。
②因式分解结果：等于 的平方或 的平方。
若第三项与平方两项符号 ，则等于底数和的平方，若第三项与平方两项符号 ，则等于底数差的平方。
若平方两项是符号，则在括号前添加负号。
题型考点：①判断式子能否用平方差公式分解。
②利用平方差公式分解因式。
③求值【即学即练1】4．下列各式中能用完全平方公式分解因式的是（ ）A ．a 2+ab +b 2B ．9y 2﹣4yC ．4a 2+1﹣4aD ．q 2+2q ﹣1【即学即练2】5．下列各式中：①x 2﹣2xy +y 2；②a 2+ab +b 2；③﹣4ab ﹣a 2+4b 2；④4x 2+9y 2﹣12xy ；⑤3x 2﹣6xy +3y 2，能用完全平方公式分解的个数有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【即学即练3】6．把下列各式分解因式．（1）n 2﹣6mn +9m 2 （2）a 2﹣14ab +49b 2（3）a 2﹣4ab +4b 2 （4）m 2﹣10m +25．【即学即练4】7．分解因式：①x 2+6x +9＝ ；②1﹣4x +4y 2＝ ；③﹣a 2+2a ﹣1＝ ．【即学即练5】8．已知x 2﹣y 2＝69，x +y ＝3，则x ﹣y ＝ ．【即学即练6】9．若x 2+mx +16＝（x +n ）2，其中m 、n 为常数，则n 的值是（ ）A ．n ＝8B ．n ＝±8C ．n ＝4D ．n ＝±4【即学即练7】10．若x 2+5x +m ＝（x +n ）2，则m ，n 的值分别为（ ）A ．m ＝，n ＝B ．m ＝，n ＝5C ．m ＝25，n ＝5D ．m ＝5，n ＝知识点03 十字相乘法分解因式1. 十字相乘法分解因式：对于一个二次三项式c bx ax ++2，若存在21a a a ⋅=，21c c c ⋅=，且b c a c a =+1221，那么二次三项式c bx ax ++2可以分解为：()()22112c x a c x a c bx ax ++=++ 举例说明：3522++x x 12⨯ 13⨯23== 523=+。