九年级数学上册课件精 《公式法》精品课件
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初中数学人教版九年级上册《公式法》课件
ax2+bx=-c．
二次项系数化为1，得
2 + = − ．
2
配方，得 +
即
2
+
2
=
+
2
2
2 −4
．
42
=
−
+
2
．
2
+
2
2
2 − 4
=
42
因为a≠0，所以4a2＞0．
式子b2－4ac的值有以下三种情况：
2
(1) − 4>0
的实数根.试判断此三角形的形状.
解：方程整理得(b+c)x2-2ax-(b-c)=0，
因为方程b(x2-1)-2ax+c(x2+1)=0有两个相等的实数根，
所以Δ=4a2-4(b+c)·[-(b-c)]=0，
即a2+b2=c2，
所以此三角形为直角三角形．
谢谢大家
1
为 > − 4 且 ≠ 0 ．
解：因为a=m 2 ，b=2m+1，c=1，方程有两个不相等的实数根，
所以Δ=b2-4ac=(2m+1)2-4m2=1+4m＞0，
1
4
所以m＞− ．
又因为二次项系数不为0，
所以m≠0，
1
4
即m＞− 且m≠0．
一元二次方程 ax2＋bx＋c=0(a≠0) 根的判别式 Δ＝b2－4ac．
人教版 九年级数学上
21.2.2
公式法
用配方法解一元二次方程的一般步骤：
一移 → 二化 → 三配→ 四开．
北师大版九年级数学上册 用公式法求解一元二次方程 第1课时 课件
1.判断下列方程解的情况：
（1）x2 –7x=-18；
（2）2x2 +3=7x；
（3）3x2+2x+2=0 ；
（4）9x2+6x+1=0；
（5）16x2+8x=3；
（6）2x2–9x+8=0.
当堂训练
答案：（1）没有实数根；（2）有两个不相等的实数根；
（3）没有实数根； （4）有两个相等的实数根；
两边开平方，得
即
b
b2 4ac
x+ =
,
2
2a
4a
b 2 4ac
时， 2
4a
是一个非负数，此时
b
b2 4ac
x=
.
2
2a
4a
b b 2 4ac
x=
.
2a
这就是说，对于一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a≠0)，当 b2-4ac≥0 时，
它的根是：
b b 2 4ac
﹣± 2−4
∴x=
2
=
即
7± 25 7±5
= .
2×2
4
1
x1=3，x2=
2
.
归纳小结
对于一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a ≠ 0)，
当 b2 –4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；
当 b2–4ac=0时，方程有两个相等的实数根；
当 b2–4ac＜0时，方程没有实数根.
当堂训练
配方，得 x 2 b x b b c 0 ,
a
2 a 2a a
b b2 4ac
（1）x2 –7x=-18；
（2）2x2 +3=7x；
（3）3x2+2x+2=0 ；
（4）9x2+6x+1=0；
（5）16x2+8x=3；
（6）2x2–9x+8=0.
当堂训练
答案：（1）没有实数根；（2）有两个不相等的实数根；
（3）没有实数根； （4）有两个相等的实数根；
两边开平方，得
即
b
b2 4ac
x+ =
,
2
2a
4a
b 2 4ac
时， 2
4a
是一个非负数，此时
b
b2 4ac
x=
.
2
2a
4a
b b 2 4ac
x=
.
2a
这就是说，对于一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a≠0)，当 b2-4ac≥0 时，
它的根是：
b b 2 4ac
﹣± 2−4
∴x=
2
=
即
7± 25 7±5
= .
2×2
4
1
x1=3，x2=
2
.
归纳小结
对于一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a ≠ 0)，
当 b2 –4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；
当 b2–4ac=0时，方程有两个相等的实数根；
当 b2–4ac＜0时，方程没有实数根.
当堂训练
配方，得 x 2 b x b b c 0 ,
a
2 a 2a a
b b2 4ac
人教版九年级数学上册2122公式法课件共27张
a
a
配方
x2
?
b a
x?
?b ?? 2a
2
? ??
?
?
c a
?
?b ?? 2a
2
? ??
,
即
? ??
x
?
b 2a
2
? ? ?
?
b2 ? 4ac 4a 2
.
②
因为a≠0,4a2>0,当b2－4ac≥0时，
b2 ? 4ac 4a 2
?
0,
由②式得
x ? b ? ? b2 ? 4ac .
2a
2a
x ? ? b ? b2 ? 4ac . 2a
例2.解下列方程.
(2)2x2 ? 2 2x ? 1 ? 0;
解： a ? 2,b ? ? 2 2 ,c ? 1
Δ ? b2 ? 4ac ? (? 2 2)2 ? 4 ? 2 ? 1 ? 0
x ? ? (?2 2) ? 0 2? 2
2
x1 ? x2 ?
. 2
例2.解下列方程.
(3)5x2 ? 3x ? x ? 1; 解： 5x2 ? 4x ? 1 ? 0
由上可知，一元二次方程
ax2 ? bx ? c ? 0 （a ? 0）.
的根由方程的系数a，b，c确定．因此，解一元二次方程
时，可以先将方程化为一般形式 ax2 ? bx ? c ? 0 ，当 b2 ? 4ac ? 0 时，将a，b，c代入式子
x ? ? b ? b2 ? 4ac 2a
就得到方程的根，这个式子叫做一元二次方程的求根公 式，利用它解一元二次方程的方法叫做公式法，由求根 公式可知，一元二次方程最多有两个实数根．
? 通过用已学的配方法解 ax2＋bx＋c = 0 （a≠0）导出解一元二次方程的求根公式，
人教版九年级数学上册优质课件-公式法(共15张PPT)
新人教版>数学>> 九年级上>>第二十一章一元二次方程>>用公式法解一元二次方程
2. x 21 3x 6
b b2 4ac x
2a
解：去括号，化简为一般式：
3x2 7x 8 0
这里 a 3、 b= - 7、 c= 8 b2 4ac （ 7）2 4 3 8
49 96 - 47 0
方程没有实数根.
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用公式法解一元二次方程的一般步骤：
1、把方程化成一般形式，并写出 a、b、c 的值。
2、求出 b2 4ac 的值，
特别注意:当 b2 4ac 0 时无实数根 3、代入求根公式 : x b b2 4ac
2a
4、写出方程的解： x1、x2
b 2
时无实数根
4ac
（
7）2
4
1（18）
121
精编优质课PPT人教版九年级数学上册课件：公式法(共15张PPT)(获奖课件推荐下载)
会熟练应用公式法解一元二次方程．
7 121 7 11 精编优质课PPT人教版九年级数学上册课件：公式法(共15张PPT)(获奖课件推荐下载)
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2. x 21 3x 6
b b2 4ac x
2a
解：去括号，化简为一般式：
3x2 7x 8 0
这里 a 3、 b= - 7、 c= 8 b2 4ac （ 7）2 4 3 8
49 96 - 47 0
方程没有实数根.
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新人教版>数学>> 九年级上>>第二十一章一元二次方程>>用公式法解一元二次方程
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用公式法解一元二次方程的一般步骤：
1、把方程化成一般形式，并写出 a、b、c 的值。
2、求出 b2 4ac 的值，
特别注意:当 b2 4ac 0 时无实数根 3、代入求根公式 : x b b2 4ac
2a
4、写出方程的解： x1、x2
b 2
时无实数根
4ac
（
7）2
4
1（18）
121
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会熟练应用公式法解一元二次方程．
7 121 7 11 精编优质课PPT人教版九年级数学上册课件：公式法(共15张PPT)(获奖课件推荐下载)
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北师大版数学九年级上册 用公式法求解一元二次方程课件(共25张)
解：（1）∵关于x的一元二次方程x2-（2m+1）x+m （m+1）=0． ∴△=（2m+1）2-4m（m+1）=1＞0， ∴方程总有两个不相等的实数根； （2）∵x=0是此方程的一个根， ∴把x=0代入方程中得到m（m+1）=0， ∴m=0或m=-1， ∵（2m-1）2+（3+m）（3-m）+7m-5=4m2-4m+1+9m2+7m-5=3m2+3m+5， 把m=0代入3m2+3m+5得：3m2+3m+5=5； 把m=-1代入3m2+3m+5得：3m2+3m+5=3×1-3+5=5．
0(a≠0)没有实数根．
练习
参考答案:
1.用公式法解下列方程.
1). 2x2-4x－1＝0； 2). 5+2＝3x2 ； 3). (x-2)(3x-5) =1;
2.一个直角三角形三边的长为三个连续偶数,求这个三 角形的三边长.
B
A
C
课堂练习
1．下列一元二次方程中，有两个不相等的 实数根的方程是( A )
x2＝
1－ 2
5
x2＝1－
6 2
.
探究新知
知识模块一 探索一元二次方程的求根公式 (一)自主探究
1.你能用配方法解方程 ax2+bx+c=0(a≠0) 吗?
解: 移项，得 ax2 bx c，
方程两边都除以a x2 b x c ，
a
a
配方，得
x2
b a
x
b 2a
2
c a
b 2a
2
.
人教版数学九年级上册公式法课件(1)
2．一元二次方程x2＋2x－3＝0根的情况是( )
A．有两个不相等的实数根
A
B．有两个相等的实数根
C．没有实数根
D．无法确定
3．若一元二次方程x2－6x＋m＝0有两个相等的实数
根，则m的值为____9______．
4．已知关于x的方程x2－4x＋m＝0没有实数根，那
么m的取值范围是___m__＞___4__．
x2-(k+2)x+2k=0,得k=3,此时方程变为x2-5x+6=0,解方程得 x1=2,x2=3,所以等腰三角形的底为2,周长为3+3+2=8.
课后练习
1．用公式法解方程 6x－8＝5x2 时，a，b，c 的值分别是
(C)
A．5，6，－8 C．5，－6，8
B．5，－6，－8 D．6，5，－8
课后练习
解:(1)证明:∵Δ=[-(k+2)]2-4×2k=(k-2)2≥0,∴无论k取何值,它总有
实数根. (2)当a=3是等腰三角形的底时,则Δ=0,即(k-2)2=0,解得k=2,则方
程为x2-4x+4=0,解得x1=x2=2,此时等腰三角形的周长为2+2+3=7; 当a=3是等腰三角形的腰时,则a=3是方程的一个根,将x=3代入
b2 4ac
x 2a
4a2
2a
.
b b2 4ac
x
.
2a
方程有两个不等的实数根，
x1 b
b2 4ac , 2a
b b2 4ac
x2
2a
课堂导学
【例1】若一元二次方程x2－2x＋k＝0有两个不相等
的实数根，则k的取值范围是( )
A．k＞1
九年级数学上册教学课件《公式法》
=24－4×（﹣1）×（-6）=0.
=16-4×1×（-2）=24＞0.
该方程有两个相等的实数根.
该方程有两个不相等的实数根.
探究新知
（3）4x2+1=-3x;
21.2 解一元二次方程
（4）x²-2mx+4（m-1）=0.
解：移项，得4x2+3x+1=0， 解：a＝1，b＝-2m ，c＝4（m-1）,
2
2
由此可得
x
2
1
2.
2
x1
1
2
2， x2
1
2.
2
导入新知
21.2 解一元二次方程
用配方法解一元二次方程的步骤
化：把原方程化成 x2＋px＋q = 0 的形式.
移项：把常数项移到方程的右边，如x2＋px =－q.
配方：方程两边都加上一次项系数一半的平方.
p 2
p 2
m为任意实数，试说明关于x的方程x2-（m-1）x-3
（m+3）=0恒有两个不相等的实数根.
b2 −4ac= − m−1 2 −4 −3 m+3
解：
=m2 +10m+37
=m2 +10m+52 −52 +37
= m+5 2 +12.
∵不论m取任何实数，总有（m+5）2≥0,
∴b2-4ac=（m+5）2+12≥12＞0,
数学 九年级 上册
21.2 解一元二次方程
21.2.2 公式法
导入新知
21.2 解一元二次方程
7
x x 0.
4
利用配方法解一元二次方程
=16-4×1×（-2）=24＞0.
该方程有两个相等的实数根.
该方程有两个不相等的实数根.
探究新知
（3）4x2+1=-3x;
21.2 解一元二次方程
（4）x²-2mx+4（m-1）=0.
解：移项，得4x2+3x+1=0， 解：a＝1，b＝-2m ，c＝4（m-1）,
2
2
由此可得
x
2
1
2.
2
x1
1
2
2， x2
1
2.
2
导入新知
21.2 解一元二次方程
用配方法解一元二次方程的步骤
化：把原方程化成 x2＋px＋q = 0 的形式.
移项：把常数项移到方程的右边，如x2＋px =－q.
配方：方程两边都加上一次项系数一半的平方.
p 2
p 2
m为任意实数，试说明关于x的方程x2-（m-1）x-3
（m+3）=0恒有两个不相等的实数根.
b2 −4ac= − m−1 2 −4 −3 m+3
解：
=m2 +10m+37
=m2 +10m+52 −52 +37
= m+5 2 +12.
∵不论m取任何实数，总有（m+5）2≥0,
∴b2-4ac=（m+5）2+12≥12＞0,
数学 九年级 上册
21.2 解一元二次方程
21.2.2 公式法
导入新知
21.2 解一元二次方程
7
x x 0.
4
利用配方法解一元二次方程
初中数学九年级上册(人教版)精品课件-21.2.2公式法.ppt
a 1、 b -2 3、 c 3.
Q b2 4ac （ 2 3）2 41 3 0，
x （-2 3）
ห้องสมุดไป่ตู้
0 2
3
3.
21
2
即 ：x1 x2 3.
b b2 4ac x
2a
例3 解方程：x2 x 1 0（精确到0.001）.
解： a 1,b 1,c 1,
b2 4ac 12 41 (1) 5 0
x 1 5 2
用计算器求得： 5 2.2361
x1 0.618, x2 1.618.
例4 解方程：4x2-3x+2=0 解： Q a 4,b 3,c 2. b2 4ac (3)2 4 4 2 9 32 23 0.
第二十一章 一元二次方程
21.2 解一元二次方程
21.2.2 公式法
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
学习目标
1.经历求根公式的推导过程.（难点） 2.会用公式法解简单系数的一元二次方程.(重点） 3.理解并会计算一元二次方程根的判别式. 4.会用判别式判断一元二次方程的根的情况.
导入新课
复习引入
解析：原方程变形为x2+x-1=0.∵b2-4ac=1-4×1× （-1）=5＞0，∴该方程有两个不相等的实数根， 故选B.
方法归纳
判断一元二次方程根的情况的方法： 利用根的判别式判断一元二次方程根的情况时，
要先把方程转化为一般形式ax2+bx+c=0(a≠0).
•b2 - 4ac > 0时,方程有两个不相等的实数根. •b2 - 4ac = 0时,方程有两个相等的实数根. •b2 - 4ac < 0时,方程无实数根.
人教版九年级上册数学课件公式法1
（2）
ax2 bx c 0
母
表示，即 b2 4ac 。
探究：利用公式法解一元二次方程
活动 1 用求根公式解简单的一元二次方程
重点、难点知识★▲
例1.用公式法解下列方程 2x2+x-6=0
解：因为 a=2，b=1，c=-6
b2-4ac=12-4×2×（-6）=1+48=49
所以 x b
重点、难点知识★▲
练习3.用公式法解方程： 2x2﹣2 5x 2 0
解： a 2，b 2 5，c 2
Δ=b2-4ac=20-8=12
x 2 5 12 2 10 2 6 10 6
22
4
2
x1
10 2
6 ，x2
10 2
6
人教版九年级上册数学课件公式法1
人教版九年级上册数学课件公式法1
人教版九年级上册数学课件公式法1
重难点归纳
（1）用求根公式解方程的一般步骤：
1.把方程化成一般形式，并写出a，b，c的值。 2.求出b2-4ac的值。 3.代入求根公式 ： x b b2 4ac （a≠0， b2-4ac≥0）
2a
4.写出方程的解： x1=？， x2=？
（2）公式法解一元二次方程的前提：b2-4ac≥0
探究：利用公式法解一元二次方程
重点、难点知识★▲
1
那么例ba 5.如（果Ca、）b都是正实数，且a
1 b
a
1
b
0
，
A. 1 5
2
B.1 2
2
C.
1 2
5
1 2
D. 2
【思路点拔】整理原式后得到a2+ab-b2=0，把b当作 已知数，先求出a的值，再代入求出即可。
《公式法》精品课件
a2+2ab+b2=(a+b)2，a2-2ab+b2=(a-b)2. 语言叙述：两个数的平方和加上（或减去）这两个数的 积的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方.
因式分解的一般步骤： (1)当多项式的各项有公因式时，应先提取公因式；当 多项式的各项没有公因式时（或提取公因式后），若符 合平方差公式或完全平方公式，就利用公式法分解因式； (2)当不能直接提取公因式或用公式法分解因式时，可 根据多项式的特点，把其变形为能提取公因式或能用公 式法的形式，再分解因式； (3)当乘积中的每一个因式都不能再分解时，因式分解 就结束了.
下角； (2)分解常数项，分别写在十字交 叉线的右上角和右下角； (3)交叉相乘，求代数和，使其等
1p
1q 1×q+1×p=q+p
于一次项系数.
一次项系数
(1)运用x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)进行因式分解需要 满足的条件：①分解因式的多项式是二次三项式； ②二次项系数是1，常数项可以分解成两个数的积， 且一次项系数是这两个数的和； (2)当常数项是正数时，可以分解成两个同号的数的 积，符号与一次项的符号相同；当常数项是负数时， 可以分解成两个异号的数的积，绝对值大的因数的 符号与一次项的符号相同； (3)有时候需要多次尝试才能分解.
1.分解因式：x3+5x2+6x=___________. x(x+2)(x+3)
分析：x3+5x2+6x =x(x2+5x+6) =x(x+2)(x+3).
12
13 1×3+1×2=5
2.分解因式：2x2-6x+4=__________. 2(x-1)(x-2)
因式分解的一般步骤： (1)当多项式的各项有公因式时，应先提取公因式；当 多项式的各项没有公因式时（或提取公因式后），若符 合平方差公式或完全平方公式，就利用公式法分解因式； (2)当不能直接提取公因式或用公式法分解因式时，可 根据多项式的特点，把其变形为能提取公因式或能用公 式法的形式，再分解因式； (3)当乘积中的每一个因式都不能再分解时，因式分解 就结束了.
下角； (2)分解常数项，分别写在十字交 叉线的右上角和右下角； (3)交叉相乘，求代数和，使其等
1p
1q 1×q+1×p=q+p
于一次项系数.
一次项系数
(1)运用x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)进行因式分解需要 满足的条件：①分解因式的多项式是二次三项式； ②二次项系数是1，常数项可以分解成两个数的积， 且一次项系数是这两个数的和； (2)当常数项是正数时，可以分解成两个同号的数的 积，符号与一次项的符号相同；当常数项是负数时， 可以分解成两个异号的数的积，绝对值大的因数的 符号与一次项的符号相同； (3)有时候需要多次尝试才能分解.
1.分解因式：x3+5x2+6x=___________. x(x+2)(x+3)
分析：x3+5x2+6x =x(x2+5x+6) =x(x+2)(x+3).
12
13 1×3+1×2=5
2.分解因式：2x2-6x+4=__________. 2(x-1)(x-2)
2.3 课时1 公式法 课件 (共20张PPT) 数学北师版九年级上册
即 (x - 1)2 = 4. 两边开平方，得 x - 1= ±2.
∴ x1= 3，x2= -1.
情境导入
你能说一说，用配方法解一元二次方程的步骤吗？
①化：二次项系数化为 1 ； ②移：将常数项移到等号右边； ③配：配方，使等号左边成为完全平方式； ④开：等号两边开平方； ⑤解：求出方程的解.
你能用配方法解一般形式的一元二 次方程 ax2 + bx + c = 0 (a≠0)吗？
下课！ 同学们再见！
授课老师：
22200
时间：2024年9月15日
2023 课件
新知讲解
任何一个一元二次方程都可以写成一般形式ax2+bx+c=0(a≠0)，请用 配方法解此方程.
解：方程两边都除以 a，得 x2 b x + c 0 . aa
配方，得 x2 b x + ( b )2 ( b )2 + c 0， a 2a 2a a
(x
+
b 2a
)2
b2 4ac 4a 2
随堂练习
1.不解方程，判断下列方程的根的情况:
(1) 2x2 + 5 = 7x；
(2) 4x(x-1) + 3 = 0.
解：(1) 将方程化成一般形式： 2x2-7x + 5 = 0.
Δ = b2 -4ac =(-7)2 -4×2×5 = 9 > 0，
(2) 将方程化成一般形式： 4x2-4x + 3 = 0.
经典例题
例 解方程. (1) x2 -7x-18 = 0；
(2) 4x2 +1=4x.
分析：
(1) ①找对应系数：
(2) ①化一般形式：4x2-4x+1=0；
∴ x1= 3，x2= -1.
情境导入
你能说一说，用配方法解一元二次方程的步骤吗？
①化：二次项系数化为 1 ； ②移：将常数项移到等号右边； ③配：配方，使等号左边成为完全平方式； ④开：等号两边开平方； ⑤解：求出方程的解.
你能用配方法解一般形式的一元二 次方程 ax2 + bx + c = 0 (a≠0)吗？
下课！ 同学们再见！
授课老师：
22200
时间：2024年9月15日
2023 课件
新知讲解
任何一个一元二次方程都可以写成一般形式ax2+bx+c=0(a≠0)，请用 配方法解此方程.
解：方程两边都除以 a，得 x2 b x + c 0 . aa
配方，得 x2 b x + ( b )2 ( b )2 + c 0， a 2a 2a a
(x
+
b 2a
)2
b2 4ac 4a 2
随堂练习
1.不解方程，判断下列方程的根的情况:
(1) 2x2 + 5 = 7x；
(2) 4x(x-1) + 3 = 0.
解：(1) 将方程化成一般形式： 2x2-7x + 5 = 0.
Δ = b2 -4ac =(-7)2 -4×2×5 = 9 > 0，
(2) 将方程化成一般形式： 4x2-4x + 3 = 0.
经典例题
例 解方程. (1) x2 -7x-18 = 0；
(2) 4x2 +1=4x.
分析：
(1) ①找对应系数：
(2) ①化一般形式：4x2-4x+1=0；
华东师大版九年级上册数学公式法课件
x1 x2 2
解：整理，得
3x ²-4x+5=0
∵b²-4ac=(-4) ²-4×3×5 =-44 ＜0
∴ 此方程无实数根。
用公式法解一元二次方程的一般步骤是什么？
1.把一元二次方程化为一般情势， 2.确定a、b、c的值， 3.求出b2-4ac的值， 4.当b2-4ac≥0时，把a、b、c的值代入求根公式求解。
ax2＋bx＋c = 0（a≠0）呢？
合作交流
ax2＋bx＋c = 0（a≠0）
解：因为a≠0 ，所以方程两边都除以a，得
x2 b x c 0
aa
移项，得 x2 b x c
aa
配方，得 x2 2 • b • x ( b )2 c ( b )2
2a
2a
a 2a
即 (x b )2 b2 4a
b2 4ac 4a2
能用直接开平方法解吗？
什么条件下就能用直接开平方法解？
因为a≠0，所以4a²＞0, 当 b²-4ac≥0时 ,可以直接开平方。
得 x b b2 4ac
2a
2a
∴ x b b2 4ac
2a
2a
即 x b b2 4ac 2a
你能得出什么结论？
的求根公式：
x b b2 4ac (b2 4ac 0) 2a
利用这个公式，我们可以将一元二次方程中系数a、b、 c的值，直接代入求得方程的解，这种解方程的方法叫
做公式法。
例1 用公式法解下列方程：
（1）2x2＋x－6＝0；
解:(1)∵a＝2,b＝1, c＝－6,
b2－4ac
＝ 12－4×2×(－6)
＝1＋48＝49＞0，
b b2 4ac 1 49 1 7
x
解：整理，得
3x ²-4x+5=0
∵b²-4ac=(-4) ²-4×3×5 =-44 ＜0
∴ 此方程无实数根。
用公式法解一元二次方程的一般步骤是什么？
1.把一元二次方程化为一般情势， 2.确定a、b、c的值， 3.求出b2-4ac的值， 4.当b2-4ac≥0时，把a、b、c的值代入求根公式求解。
ax2＋bx＋c = 0（a≠0）呢？
合作交流
ax2＋bx＋c = 0（a≠0）
解：因为a≠0 ，所以方程两边都除以a，得
x2 b x c 0
aa
移项，得 x2 b x c
aa
配方，得 x2 2 • b • x ( b )2 c ( b )2
2a
2a
a 2a
即 (x b )2 b2 4a
b2 4ac 4a2
能用直接开平方法解吗？
什么条件下就能用直接开平方法解？
因为a≠0，所以4a²＞0, 当 b²-4ac≥0时 ,可以直接开平方。
得 x b b2 4ac
2a
2a
∴ x b b2 4ac
2a
2a
即 x b b2 4ac 2a
你能得出什么结论？
的求根公式：
x b b2 4ac (b2 4ac 0) 2a
利用这个公式，我们可以将一元二次方程中系数a、b、 c的值，直接代入求得方程的解，这种解方程的方法叫
做公式法。
例1 用公式法解下列方程：
（1）2x2＋x－6＝0；
解:(1)∵a＝2,b＝1, c＝－6,
b2－4ac
＝ 12－4×2×(－6)
＝1＋48＝49＞0，
b b2 4ac 1 49 1 7
x
人教版九年级数学上册公式法2(根的判别式)课件
∆=b2-4ac =4-4×（k-1）=8-4k ∵方程有实数解 ∴8-4k≥0,k≤2 又k-1≠0，∴k≤2且k≠1
有实数解，则k
跟踪练习
1.关于x的方程
有两个相等
的实数根，则m的值为（ D ）
A．2 B．-2 C．0 D．±2
跟踪练习
2.关于x的方程x2＋2x－a=0没有实数根，则a的
值可能是( A )
的根的情况是（C ）
D．无法判定
跟踪练习
3.已知关于x的一元二次方程2x2−(m＋n)x＋mn＝0， 其中m，n在数轴上的对应点如图所示，则这个方
程的根的情况是（ B ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定
能力提升
已知关于x的一元二次方程
(1)求证：此方程一定有两个不相等的实数根； (1)证:A=a-1,B=2a+1,C=2
跟踪练习
1.探讨关于x的一元二次方程
总有实数根的条件，下面三名同学给出建议：
甲：a，b同号； 乙：
丙：
其中符合条件的是（ B ）
A．甲，乙，丙都正确 B．只有甲不正确 C．甲，乙，丙都不正确 D．只有乙正确
新知探究 根据根的判别式求字母系数的取值范围
已知一元二次方程
的取值范围是
.
解：a=k-1，b=2，c=1
A．－2 B．－1 C．0
D．2
本课小结
1.知道根的判别式的是b2-4ac并会求它的准确值 2.根据根的判别式判断方程根的情况 3.根据根的判别式求字母的取值范围.
当堂检测
1．下列一元二次方程有两个相等的实数根
的是（ ）
A．x2+2x=0 B．（x﹣1）2=0
有实数解，则k
跟踪练习
1.关于x的方程
有两个相等
的实数根，则m的值为（ D ）
A．2 B．-2 C．0 D．±2
跟踪练习
2.关于x的方程x2＋2x－a=0没有实数根，则a的
值可能是( A )
的根的情况是（C ）
D．无法判定
跟踪练习
3.已知关于x的一元二次方程2x2−(m＋n)x＋mn＝0， 其中m，n在数轴上的对应点如图所示，则这个方
程的根的情况是（ B ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定
能力提升
已知关于x的一元二次方程
(1)求证：此方程一定有两个不相等的实数根； (1)证:A=a-1,B=2a+1,C=2
跟踪练习
1.探讨关于x的一元二次方程
总有实数根的条件，下面三名同学给出建议：
甲：a，b同号； 乙：
丙：
其中符合条件的是（ B ）
A．甲，乙，丙都正确 B．只有甲不正确 C．甲，乙，丙都不正确 D．只有乙正确
新知探究 根据根的判别式求字母系数的取值范围
已知一元二次方程
的取值范围是
.
解：a=k-1，b=2，c=1
A．－2 B．－1 C．0
D．2
本课小结
1.知道根的判别式的是b2-4ac并会求它的准确值 2.根据根的判别式判断方程根的情况 3.根据根的判别式求字母的取值范围.
当堂检测
1．下列一元二次方程有两个相等的实数根
的是（ ）
A．x2+2x=0 B．（x﹣1）2=0
《公式法》一元二次方程 精品课件2
一元二次方程
你能用配方法解方程
2
2x2-7x+3=0
吗?
7 3 解: x - x + = 0. 1.化1:把二次项系数化为1; 2 2 7 3 2 x - x= - . 2.移项:把常数项移到方程的右边; 2 2 2 2 骣 7 7鼢 骣 7 3 3.配方:方程两边都加上一次 2 珑 x - x + 珑鼢 = - . 鼢 珑 桫 桫 2 4 4 2 项系数绝对值一半的平方;
2
1.化1:把二次项系数化为1;
2.移项:把常数项移到方 程的右边; 3.配方:方程两边都加上一 次项系数绝对值一半的平方; 4.变形:方程左边分解因 式,右边合并同类项; 5.开方:根据平方根意义, 方程两边开平方; 6.求解:解一元一次方程;
当b 2 4ac 0时,
b b 2 4ac x . 2a 2a b b 2 4ac 2 x . b 4ac 0 . 2a
2意, 舍去).
x 2 6, x 2 10.
A
C
答 : 三角形的三条边长分别为6,8,10.
梦想的力量 当我充满自信地，朝着梦想的方向迈进
并且毫不畏惧地，过着我理想中的生活 成功，会在不期然间忽然降临！
名言摘抄 1、抓紧学习，抓住中心，宁精勿杂，宁专勿多。——周恩来 2、与雄心壮志相伴而来的，应老老实实循环渐进的学习方法。——华罗庚 3、惟有学习，不断地学习，才能使人聪明，惟有努力，不断地努力，才会出现才能。——华罗庚 4、发愤早为好，苟晚休嫌迟。最忌不努力，一生都无知。——华罗庚 5、自学，不怕起点低，就怕不到底。——华罗庚 6、聪明出于勤奋，天才在于积累。——华罗庚 7、应当随时学习，学习一切；应该集中全力，以求知道得更多，知道一切。——高尔基 8、学习永远不晚。——高尔基 9、学习是我们随身的财产，我们自己无论走在什么地方，我们的学习也跟着我们在一起。——莎士比亚 10、人不光是靠他生来就拥有的一切，而是靠他从学习中所得到的一切来造就自己。——歌德 11、单学知识仍然是蠢人。——歌德 12、终身努力便是天才。——门捷列夫 13、知之为知之，不知为不知，学而时习之，不亦说乎？三人行，必有我师焉。——孔子 14、三人行，必有我师也。择其善者而从之，其不善者而改之。——孔子 15、知之者不如好之者，好之者不如乐之者。——孔子 16、学而不厌，诲人不倦。——孔子 17、己所不欲，勿施于人。——孔子 18、学而不思则罔，思而不学则殆。——孔子 19、敏而好学，不耻下问。——孔子 20、兴于《诗》，立于礼，成于乐。——孔子 21、不要企图无所不知，否则你将一无所知。——德谟克利特 22、学习知识要善于思考，思考再思考，我就是用这个方法成为科学家的。——爱因斯坦 23、要想有知识，就必须学习，顽强地耐心地学习。——斯大林 24、向所有人学习，不论是敌人或朋友都要学习，特别是向敌人学习。——斯大林 25、自学，是我们当今造就人才的一条重要途径。——周培源 26、学习的敌人是自己的满足，要认真学习一点东西，必须从不自满开始。——毛泽东 27、情况在不断的变化，使用也是学习，而且是更重要的学习。——毛泽东 28、饭可以一日不吃，觉可以一日不睡，书不可以一日不读。——毛泽东 29、学习必须和蜜蜂一样，采过许多花，这才能酿出蜜来，倘若可在一处，所得就非常有限，枯燥了。——鲁迅 30、伟大的成绩和辛勤劳动是成正比例的，有一分劳动就有一分收获，日积月累，从少到多，奇迹就可以创造出来。——鲁迅
你能用配方法解方程
2
2x2-7x+3=0
吗?
7 3 解: x - x + = 0. 1.化1:把二次项系数化为1; 2 2 7 3 2 x - x= - . 2.移项:把常数项移到方程的右边; 2 2 2 2 骣 7 7鼢 骣 7 3 3.配方:方程两边都加上一次 2 珑 x - x + 珑鼢 = - . 鼢 珑 桫 桫 2 4 4 2 项系数绝对值一半的平方;
2
1.化1:把二次项系数化为1;
2.移项:把常数项移到方 程的右边; 3.配方:方程两边都加上一 次项系数绝对值一半的平方; 4.变形:方程左边分解因 式,右边合并同类项; 5.开方:根据平方根意义, 方程两边开平方; 6.求解:解一元一次方程;
当b 2 4ac 0时,
b b 2 4ac x . 2a 2a b b 2 4ac 2 x . b 4ac 0 . 2a
2意, 舍去).
x 2 6, x 2 10.
A
C
答 : 三角形的三条边长分别为6,8,10.
梦想的力量 当我充满自信地，朝着梦想的方向迈进
并且毫不畏惧地，过着我理想中的生活 成功，会在不期然间忽然降临！
名言摘抄 1、抓紧学习，抓住中心，宁精勿杂，宁专勿多。——周恩来 2、与雄心壮志相伴而来的，应老老实实循环渐进的学习方法。——华罗庚 3、惟有学习，不断地学习，才能使人聪明，惟有努力，不断地努力，才会出现才能。——华罗庚 4、发愤早为好，苟晚休嫌迟。最忌不努力，一生都无知。——华罗庚 5、自学，不怕起点低，就怕不到底。——华罗庚 6、聪明出于勤奋，天才在于积累。——华罗庚 7、应当随时学习，学习一切；应该集中全力，以求知道得更多，知道一切。——高尔基 8、学习永远不晚。——高尔基 9、学习是我们随身的财产，我们自己无论走在什么地方，我们的学习也跟着我们在一起。——莎士比亚 10、人不光是靠他生来就拥有的一切，而是靠他从学习中所得到的一切来造就自己。——歌德 11、单学知识仍然是蠢人。——歌德 12、终身努力便是天才。——门捷列夫 13、知之为知之，不知为不知，学而时习之，不亦说乎？三人行，必有我师焉。——孔子 14、三人行，必有我师也。择其善者而从之，其不善者而改之。——孔子 15、知之者不如好之者，好之者不如乐之者。——孔子 16、学而不厌，诲人不倦。——孔子 17、己所不欲，勿施于人。——孔子 18、学而不思则罔，思而不学则殆。——孔子 19、敏而好学，不耻下问。——孔子 20、兴于《诗》，立于礼，成于乐。——孔子 21、不要企图无所不知，否则你将一无所知。——德谟克利特 22、学习知识要善于思考，思考再思考，我就是用这个方法成为科学家的。——爱因斯坦 23、要想有知识，就必须学习，顽强地耐心地学习。——斯大林 24、向所有人学习，不论是敌人或朋友都要学习，特别是向敌人学习。——斯大林 25、自学，是我们当今造就人才的一条重要途径。——周培源 26、学习的敌人是自己的满足，要认真学习一点东西，必须从不自满开始。——毛泽东 27、情况在不断的变化，使用也是学习，而且是更重要的学习。——毛泽东 28、饭可以一日不吃，觉可以一日不睡，书不可以一日不读。——毛泽东 29、学习必须和蜜蜂一样，采过许多花，这才能酿出蜜来，倘若可在一处，所得就非常有限，枯燥了。——鲁迅 30、伟大的成绩和辛勤劳动是成正比例的，有一分劳动就有一分收获，日积月累，从少到多，奇迹就可以创造出来。——鲁迅
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公式法
人教版 九年级上册
导入新知
一、复习引入
（x-1）2 =25 x1=6，x2= -4 （x+3）2 =49 x1= 4，x2= -10
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导入新知
用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程的一般步骤：
1.把常数项移到方程右边； 2.方程两边同除以二次项系数，化二次 项系数为1； 3.方程两边都加上一次项系数一半的平方； 4.原方程变形为（x+m）2=n的形式； 5.如果右边是非负数，就可以直接开平方求出方程的解，如果右边是负数， 则一元二次方程无解。
新知讲解
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新知讲解
例4、用公式法解方程：x2+17=8x 解：由原方程移项，得 X2-8x+17=0 ∵△=（-8）2-4×1×17=-4＜0 所以，该方程无解.
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新知讲解
总结归纳： 总结公式法解题步骤：
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新知讲解
四、实际应用
1.要设计一座2m高的人体雕像，修雕像的上部（腰以上）与下部（腰以下） 的高度比，等于下部与全部的高度比，雕像的下部应设计为多高？
x1
x2
b 2a
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新知讲解
(3) b2
4ac
0, 这时 b2 4ac 4 a2
0
而x取任何实数都不可能使
(x
b
2
) 0
，
2a
因此方程无实数根。
一般地，式子b2 -4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0根的判别式， 通常用希腊字母“⊿”表示它，即：⊿=b2-4ac
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新知讲解
活动3-观察分析：
因为a≠0,所以4a2>0，式子b2-4ac的值有以下三种情况：
(1) b2 4ac
0,
这
时
b2 4ac 4 a2
0
(2) b2 4ac
0,
这
时
b2 4ac 4 a2
0
(3) b2
4ac
0, 这时 b2 4ac 4 a2
0
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新知讲解
(1) b2 4ac
解：根据连续偶数相差是2，设中间的偶数是x，则另外 两个是x-2，x+2根据勾股定理，得 （x-2）2+x2=（x+2）2， x2-8x=0， x（x-8）=0， 解得x=8或0（0不符合题意，应舍去），所以 它的三边是6，8，10．
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课堂练习 D
2．用公式法解方程6x-8=5x2时，a、b、c的值分别是( C )
A．5、6、-8
B．5、-6、-8
C．5、-6、8
D．6、5、-8
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课堂练习 3．用公式法解方程：x2-5=2（x+1）
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课堂练习
4.用适当的方法解方程：3x2+6x-5=0．
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课堂小结
今天我们学习了哪些知识？
1.用根的判别式判断一个一元二次方程是否有实数根； 2.用求根公式求一元二次方程的根的一般步骤； 3. 一元二次方程求根公式适用于任意一个一元二次方程.
例 1 、用公式法解方程：x2-4x-7=0
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新知讲解
例2、用公式法解方程：（x-2)(1-3x）=6 解：去括号，化简为一般式：
3x2 7x 8 0 a=3 b=-7 c=8 ⊿=b2-4ac=(-7)2-4×3×8=49-96=-47＜0 方程无实数根。
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解：设雕像下部高xm，得方程 x2＋2x―4＝0．
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新知讲解
如果结果保留小数点后两位，那么，x1≈1.24，x2≈―3.24． 这两个根中，只有x1≈1.24符合问题的实际意义，因此雕像 下部的高度应设计为约1.24 m．
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新知讲解
2.求证：不论m取何值，关于x的一元二次方程x2-mx+m-2=0
就得到方程的根，这个式子叫做一元二次方程的求根公式，利用它解一元二次 方程的方法叫做公式法，由求根公式可知，一元二次方程最多有两个实数根。
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新知讲解
用公式法解一元二次方程的前提是： 1.必需是一般形式的一元二次方程： ax2+bx+c=0(a≠0)
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新知讲解 三、公式运用
新知讲解
活动4-总结归纳：
由上可知： 当⊿＞0时，方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不等的实数根； 当⊿=0时，方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个相等的实数根； 当⊿＜0时，方程ax2+bx+c=0(a≠0)无实数根。
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新知讲解
由上可知，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根由方程的系数a，b，c确定．
都有两个不想等的实数根. 解：∵a=1，b=m，c=m-2，
∴△=m2-4（m-2）=m2-4m+8=（m-2）2+4， ∵（m-2）2≥0． ∴（m-2）2+4＞0， ∴无论m取任何值，关于x的一元二次方程x2+mx+m-2=0 都有两个不相等的实数根．
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新知讲解
3.一个直角三角形三边长为三个连续的偶数，求这个三角形的边长。
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新知讲解
活动2-对比解题：
按配方法一般步骤同时对两个方程进行解答：
1.移项得到，
①6x2-7x+1=0 ②ax2+bx+c=0(a≠0) 6x2-7x=-1 ax2+bx=-c
2.二次项系数化为1得到，
3.配方得到
4.写成（x+m）2=n形式：
5.直接开平方，得
能直接开平方吗？
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导入新知
思考： 任何一个一元二次方程都可以写成一般形式：
ax2+bx+c=0(a≠0) 我们学习了用配方法解数字系数的一元二次方程，能否也 用配方法解一般形式的一元二次方程呢？
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新知讲解
二、探究新知
活动1-交流讨论：
请你观察下面两个方程思考它们有何异同？ ①6x2-7x+1=0 ②ax2+bx+c=0(a≠0)
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谢谢观看！
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0,
这
时
b2 4ac 4 a2
0
即
b
b2 4ac
x
2a
2a
此时，方程有两个不等的实数根
b
x1
b
x2
b2 4ac
2a
b2 4ac
2a
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新知讲解
(2) b2 4ac
பைடு நூலகம்
0,
这时
b2 4ac 4 a2
0
即
x b b2 4ac ＝0
2a
2a
此时，方程有两个相等的实数根：
人教版 九年级上册
导入新知
一、复习引入
（x-1）2 =25 x1=6，x2= -4 （x+3）2 =49 x1= 4，x2= -10
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导入新知
用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程的一般步骤：
1.把常数项移到方程右边； 2.方程两边同除以二次项系数，化二次 项系数为1； 3.方程两边都加上一次项系数一半的平方； 4.原方程变形为（x+m）2=n的形式； 5.如果右边是非负数，就可以直接开平方求出方程的解，如果右边是负数， 则一元二次方程无解。
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例4、用公式法解方程：x2+17=8x 解：由原方程移项，得 X2-8x+17=0 ∵△=（-8）2-4×1×17=-4＜0 所以，该方程无解.
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总结归纳： 总结公式法解题步骤：
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四、实际应用
1.要设计一座2m高的人体雕像，修雕像的上部（腰以上）与下部（腰以下） 的高度比，等于下部与全部的高度比，雕像的下部应设计为多高？
x1
x2
b 2a
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(3) b2
4ac
0, 这时 b2 4ac 4 a2
0
而x取任何实数都不可能使
(x
b
2
) 0
，
2a
因此方程无实数根。
一般地，式子b2 -4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0根的判别式， 通常用希腊字母“⊿”表示它，即：⊿=b2-4ac
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活动3-观察分析：
因为a≠0,所以4a2>0，式子b2-4ac的值有以下三种情况：
(1) b2 4ac
0,
这
时
b2 4ac 4 a2
0
(2) b2 4ac
0,
这
时
b2 4ac 4 a2
0
(3) b2
4ac
0, 这时 b2 4ac 4 a2
0
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(1) b2 4ac
解：根据连续偶数相差是2，设中间的偶数是x，则另外 两个是x-2，x+2根据勾股定理，得 （x-2）2+x2=（x+2）2， x2-8x=0， x（x-8）=0， 解得x=8或0（0不符合题意，应舍去），所以 它的三边是6，8，10．
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课堂练习 D
2．用公式法解方程6x-8=5x2时，a、b、c的值分别是( C )
A．5、6、-8
B．5、-6、-8
C．5、-6、8
D．6、5、-8
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课堂练习 3．用公式法解方程：x2-5=2（x+1）
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课堂练习
4.用适当的方法解方程：3x2+6x-5=0．
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课堂小结
今天我们学习了哪些知识？
1.用根的判别式判断一个一元二次方程是否有实数根； 2.用求根公式求一元二次方程的根的一般步骤； 3. 一元二次方程求根公式适用于任意一个一元二次方程.
例 1 、用公式法解方程：x2-4x-7=0
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例2、用公式法解方程：（x-2)(1-3x）=6 解：去括号，化简为一般式：
3x2 7x 8 0 a=3 b=-7 c=8 ⊿=b2-4ac=(-7)2-4×3×8=49-96=-47＜0 方程无实数根。
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解：设雕像下部高xm，得方程 x2＋2x―4＝0．
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如果结果保留小数点后两位，那么，x1≈1.24，x2≈―3.24． 这两个根中，只有x1≈1.24符合问题的实际意义，因此雕像 下部的高度应设计为约1.24 m．
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2.求证：不论m取何值，关于x的一元二次方程x2-mx+m-2=0
就得到方程的根，这个式子叫做一元二次方程的求根公式，利用它解一元二次 方程的方法叫做公式法，由求根公式可知，一元二次方程最多有两个实数根。
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用公式法解一元二次方程的前提是： 1.必需是一般形式的一元二次方程： ax2+bx+c=0(a≠0)
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新知讲解 三、公式运用
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活动4-总结归纳：
由上可知： 当⊿＞0时，方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不等的实数根； 当⊿=0时，方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个相等的实数根； 当⊿＜0时，方程ax2+bx+c=0(a≠0)无实数根。
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由上可知，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根由方程的系数a，b，c确定．
都有两个不想等的实数根. 解：∵a=1，b=m，c=m-2，
∴△=m2-4（m-2）=m2-4m+8=（m-2）2+4， ∵（m-2）2≥0． ∴（m-2）2+4＞0， ∴无论m取任何值，关于x的一元二次方程x2+mx+m-2=0 都有两个不相等的实数根．
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3.一个直角三角形三边长为三个连续的偶数，求这个三角形的边长。
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活动2-对比解题：
按配方法一般步骤同时对两个方程进行解答：
1.移项得到，
①6x2-7x+1=0 ②ax2+bx+c=0(a≠0) 6x2-7x=-1 ax2+bx=-c
2.二次项系数化为1得到，
3.配方得到
4.写成（x+m）2=n形式：
5.直接开平方，得
能直接开平方吗？
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导入新知
思考： 任何一个一元二次方程都可以写成一般形式：
ax2+bx+c=0(a≠0) 我们学习了用配方法解数字系数的一元二次方程，能否也 用配方法解一般形式的一元二次方程呢？
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二、探究新知
活动1-交流讨论：
请你观察下面两个方程思考它们有何异同？ ①6x2-7x+1=0 ②ax2+bx+c=0(a≠0)
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谢谢观看！
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0,
这
时
b2 4ac 4 a2
0
即
b
b2 4ac
x
2a
2a
此时，方程有两个不等的实数根
b
x1
b
x2
b2 4ac
2a
b2 4ac
2a
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(2) b2 4ac
பைடு நூலகம்
0,
这时
b2 4ac 4 a2
0
即
x b b2 4ac ＝0
2a
2a
此时，方程有两个相等的实数根：