九年级数学公式法课件
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人教九年级数学上册《解一元二次方程——公式法》课件
(2)化为一般形式为8x2＋4x＋3＝0，∵a＝8，b＝4，c＝3， ∴Δ＝42－4×8×3＝－80＜0，∴此方程没有实数根
(3)化为一般形式为2x2＋5x－2＝0，∵a＝2，b＝5，c＝－2， ∴Δ＝52－4×2×(－2)＝41＞0， ∴此方程有两个不相等的实数根
知识点2：用公式法解一元二次方程
14．当x满足条件
x＋1＜3x－3， 12（x－4）＜31（x－4）
时，求出方程x2－2x
－4＝0的根．
解：解不等式组得2<x<4，解方程得x1＝1＋ 5，x2＝1－ 5， ∴x＝1＋ 5
15．(2014·梅州)已知关于x的方程x2＋ax＋a－2＝0. (1)若该方程的一个根为1，求a的值及该方程的另一根； (2)求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根． 解：(1)a＝12，另一个根为x＝－32
知识点1：根的判别式
1．下列关于x的方程有实数根的是( B )
A．x2－x＋1＝0
B．x2＋x＋1＝0
C．(x－1)(x＋2)＝0
D．(x－1)2＋1＝0
2．(2014·兰州)一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个不相等的
实数根，下列选项中正确的是( C )
A．b2－4ac＝0
B．b2－4ac＞0
C．b2－4ac＜0
D．b2－4ac≥0
3．一元二次方程x2－4x＋5＝0的根的情况是( D )
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根
D．没有实数根
4．利用判别式判断下列方程的根的情况： (1)9x2－6x＋1＝0； (2)8x2＋4x＝－3； (3)2(x2－1)＋5x＝0. 解:(1)∵a＝9，b＝－6，c＝1，∴Δ＝(－6)2－4×9×1＝0， ∴此方程有两个相等的实数根
(3)化为一般形式为2x2＋5x－2＝0，∵a＝2，b＝5，c＝－2， ∴Δ＝52－4×2×(－2)＝41＞0， ∴此方程有两个不相等的实数根
知识点2：用公式法解一元二次方程
14．当x满足条件
x＋1＜3x－3， 12（x－4）＜31（x－4）
时，求出方程x2－2x
－4＝0的根．
解：解不等式组得2<x<4，解方程得x1＝1＋ 5，x2＝1－ 5， ∴x＝1＋ 5
15．(2014·梅州)已知关于x的方程x2＋ax＋a－2＝0. (1)若该方程的一个根为1，求a的值及该方程的另一根； (2)求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根． 解：(1)a＝12，另一个根为x＝－32
知识点1：根的判别式
1．下列关于x的方程有实数根的是( B )
A．x2－x＋1＝0
B．x2＋x＋1＝0
C．(x－1)(x＋2)＝0
D．(x－1)2＋1＝0
2．(2014·兰州)一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个不相等的
实数根，下列选项中正确的是( C )
A．b2－4ac＝0
B．b2－4ac＞0
C．b2－4ac＜0
D．b2－4ac≥0
3．一元二次方程x2－4x＋5＝0的根的情况是( D )
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根
D．没有实数根
4．利用判别式判断下列方程的根的情况： (1)9x2－6x＋1＝0； (2)8x2＋4x＝－3； (3)2(x2－1)＋5x＝0. 解:(1)∵a＝9，b＝－6，c＝1，∴Δ＝(－6)2－4×9×1＝0， ∴此方程有两个相等的实数根
初中数学人教版九年级上册《公式法》课件
ax2+bx=-c．
二次项系数化为1，得
2 + = − ．
2
配方，得 +
即
2
+
2
=
+
2
2
2 −4
．
42
=
−
+
2
．
2
+
2
2
2 − 4
=
42
因为a≠0，所以4a2＞0．
式子b2－4ac的值有以下三种情况：
2
(1) − 4>0
的实数根.试判断此三角形的形状.
解：方程整理得(b+c)x2-2ax-(b-c)=0，
因为方程b(x2-1)-2ax+c(x2+1)=0有两个相等的实数根，
所以Δ=4a2-4(b+c)·[-(b-c)]=0，
即a2+b2=c2，
所以此三角形为直角三角形．
谢谢大家
1
为 > − 4 且 ≠ 0 ．
解：因为a=m 2 ，b=2m+1，c=1，方程有两个不相等的实数根，
所以Δ=b2-4ac=(2m+1)2-4m2=1+4m＞0，
1
4
所以m＞− ．
又因为二次项系数不为0，
所以m≠0，
1
4
即m＞− 且m≠0．
一元二次方程 ax2＋bx＋c=0(a≠0) 根的判别式 Δ＝b2－4ac．
人教版 九年级数学上
21.2.2
公式法
用配方法解一元二次方程的一般步骤：
一移 → 二化 → 三配→ 四开．
《解一元二次方程—公式法》课件PPT
方程没有实数解。
当堂检测—不做不讲
1.不解方程，判断下列一元二次 方程的根的情况（每小题5分）
(1)2x2-3x-1.5=0
(2)16x2-24x+9=0
(3)x2-4x+9=0 (4)3x2+10=2x2+8x
2.用公式法解下列方程：（1-4每小题10分 5，6每小题20分）。
(1)2x2-x-1=0
(3)4x-x2=x2+2
• 解：方程整理为：x2-2x+1=0 • a=1,b=-2,c=1 • ∵ ⊿=b2-4ac • =(-2)2-4 ×1 ×1 • =4-4=0 • ∴方程有两个相等的实数根。
利用判别式判断根的情况的 步骤
• 1、化成一般形式 ax2+bx+c=0(a≠0)
• 2、找准 a,b,c • 3、求出⊿=b2-4ac的值 • 4、判断根的情况
例2.用公式法解方程2x2+5x-3=0
解: a=2, b=5, c= -3,
①
∴ b2-4ac=52-4×2×(-3)=49>0 ②
∴x= 即
= x1= -3 , x2=
③
=
④
用公式法解一元二次方程的 一般步骤：
• 1、化成一般形式 ax2+bx+c=0(a≠0) • 2、找准 a,b,c • 3、求出⊿=b2-4ac的值 • 4、判断根的情况
人民教育出版社九年级数学上册
21.2 解一元二次方程 —公式法
学习目标:
1、理解一元二次方程求根公式的推导过 程
2 、会熟练应用公式法解一元二次方 程．
重点和难点
1重点：求根公式的推导和公式 法的应用．
初三数学公式法课件
我们把式子 2 4ac叫做方程ax2 bx c 0(a 0) b 根的判别式，用希腊字 表示，即 b 4ac 母
2
(1)当 0时，方程ax bx c 0(a 0)
2
有两个相等的实数根
(2)当 0时，方程ax bx c 0(a 0)
22.2.2 公式法
4x 6x 3 0 2 移项得 4 x 6 x 3
2
2
3 3 化二次项系数为1得 x x 2 4 3 3 2 3 3 2 配方得 2 x x ( ) ( )
3 12 9 ( x )2 4 16
2
4
4
43Βιβλιοθήκη 21 x 4 42有相等的实数根 2 (3)当 0时，方程ax bx c 0(a 0)
没有实数根
即：当 0时，方程ax bx c 0(a 0)
2
b b 4ac 的实数根可写为 x 2a 这个式子叫做一元二次 方程的求根公式
2
例1：用公式法解下列方程
(1) x 4 x 7 0
2
(2)2x 2 2x 1 0
2
(3) x 4 2x 9 0
2
(4)5x 3x x 1
2
(1) x 4 x 7 0
2
解：)a 1, b 4, c 7 (1
b 2 4ac (4) 2 4 1 (7) 44 0 b b 2 4ac 4 44 方程的根为x 2 11 2a 2 即方程有两个不相等的 实数根x1 2 11, x 2 2 11
原方程有两个相等的实数根
b x1 x 2 2a
人教版九年级数学上册《公式法》优秀ppt
由上可知，一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0)的根由方
程的系数a，b，c确定．因此，解一元二次方程时，可以先将
方程化为一般形式ax2+bx+c=0 (a≠0) ，当b2-4ac ≥0 时，
将a，b，c 代入式子
x b
b2 4ac .
2a
就得到方程的根，这个式子叫做一元二次方程的求根公
式，利用它解一元二次方程的方法叫做公式法，由求根公式
人教版九年级数学上册《21.2.2公式 法》课 件（共2 8张PPT ）
∵a ≠0,4a2>0， 当b2-4ac ＜0时，
x
b
2
2a
b
2
4ac 4a2
＜0.
而x取任何实数都不能使上式成立.
因此，方程无实数根.
人教版九年级数学上册《21.2.2公式 法》课 件（共2 8张PPT ）
人教版九年级数学上册《2公1.式2.法2公 》式优 法秀》 ppt课 件（共2 8张PPT ）
x 7 121 7 11.
21
2
即 x1 = -9, x2 = 2 .
2. 解方程（x - 2) (1 - 3x) = 6.
解：去括号 ，得
x –2 - 3x2 + 6x = 6,
化简为一般式
3x2 - 7x + 8 = 0,
这里 a = 3, b = -7 , c = 8.
∵b2 - 4ac =(-7 )2 – 4 × 3 × 8 = 49–96
人教版九年级数学上册《2公1.式2.法2公 》式优 法秀》 ppt课 件（共2 8张PPT ）
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人教版九年级数学上册公式法课件
x （-2 3）
0 2
3
3.
21
2
即 ： x1 x2 3.
b b2 4ac x
2a
例3 解方程： x2 x 1 0 （精确到0.001）. 解： a 1,b 1, c 1,
b2 4ac 12 41 (1) 5 0
x 1 5 2
用计算器求得： 5 2.2361
1.化为一般式，确定a,b,c的值.
2.计算 的值，确定 的符号.
3.判别根的情况，得出结论.
例5:已知一元二次方程x2+x=1，下列判断正确的是( B )
A.该方程有两个相等的实数根 B.该方程有两个不相等的实数根 C.该方程无实数根 D.该方程根的情况不确定
解析：原方程变形为x2+x-1=0.∵b2-4ac=1-4×1×（-1）=5
导入新课
问题：老师写了4个一元二次方程让同学们判断它们是否有解， 大家都才解第一个方程呢，小红突然站起来说出每个方程解 的情况，你想知道她是如何判断的吗？
讲授新课
合作探究
求根公式的推导
任何一个一元二次方程都可以写成一般情势
ax2+bx+c=0
能否也用配方法得出它的解呢？
用配方法解一般情势的一元二次方程
例6:若关于x的一元二次方程kx2-2x-1=0有两个不相等的
实数根，则k的取值范围是( B )
A.k>-1
B.k>-1且k≠0
C.k<1
D.k<1且k≠0
解析：由根的判别式知，方程有两个不相等的实数根，
则b2-4ac>0，同时要求二次项系数不为0， 即 (2)2 4k 0 ，k≠0.解得k>-1且k≠0，故选B.
九年级数学上册教学课件《公式法》
2. 已知一元二次方程：①x2+2x+3=0，②x2-2x-3=0. 下列说法正确的是（ ） A.①②都有实数解 B.①无实数解，②有实数解 C.①有实数解，②无实数解 D.①②都无实数解
B
C
解：Δ=b2-4ac =(-24)2-4×16×9 =0方程有两个相等的实数根
6.无论p取何值，方程(x-3)(x-2)-p2=0总有两个不等 的实数根吗？给出你的答案并说明理由.
解：方程化简为x2-5x+6-p2=0 ∴b2-4ac=(-5)2-4×1×(6-p2)=4p2+1≥1, ∴Δ>0 ∴无论p取何值，方程(x-3)(x-2)-p2=0总有两个不等的实数根.
1.从课后习题中选取；2.完成练习册本课时的习题。
知识点1
一元二次方程根的判别式
任何一个一元二次方程都可以写成一般形式 ax2+bx+c=0(a≠0) 那么我们能否也用配方法得出它的解呢？
ax2+bx+c=0(a≠0)
二次项系数化为1，得
配方，得
即
因为a≠0，所以4a2＞0. 式子ax2+bx+c=0的根有以下三种情况：
一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个不相等的实数根，则b2-4ac满足的条件是（ ） A.b2-4ac=0 B.b2-4ac＞0 C.b2-4ac＜0 D.b2-4ac≥0
B
3. 利用求根公式求5x2+ =6x的根时，a，b，c的值分 别是（ ）
解：方程化为x2-8x+17=0 a=1，b=-8，c=17 Δ= b2－4ac =(-8)2-4×1×17 =-4＜0
方程无实数根
思考：运用公式法解一元二次方程时，有哪些注意事项？
B
C
解：Δ=b2-4ac =(-24)2-4×16×9 =0方程有两个相等的实数根
6.无论p取何值，方程(x-3)(x-2)-p2=0总有两个不等 的实数根吗？给出你的答案并说明理由.
解：方程化简为x2-5x+6-p2=0 ∴b2-4ac=(-5)2-4×1×(6-p2)=4p2+1≥1, ∴Δ>0 ∴无论p取何值，方程(x-3)(x-2)-p2=0总有两个不等的实数根.
1.从课后习题中选取；2.完成练习册本课时的习题。
知识点1
一元二次方程根的判别式
任何一个一元二次方程都可以写成一般形式 ax2+bx+c=0(a≠0) 那么我们能否也用配方法得出它的解呢？
ax2+bx+c=0(a≠0)
二次项系数化为1，得
配方，得
即
因为a≠0，所以4a2＞0. 式子ax2+bx+c=0的根有以下三种情况：
一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个不相等的实数根，则b2-4ac满足的条件是（ ） A.b2-4ac=0 B.b2-4ac＞0 C.b2-4ac＜0 D.b2-4ac≥0
B
3. 利用求根公式求5x2+ =6x的根时，a，b，c的值分 别是（ ）
解：方程化为x2-8x+17=0 a=1，b=-8，c=17 Δ= b2－4ac =(-8)2-4×1×17 =-4＜0
方程无实数根
思考：运用公式法解一元二次方程时，有哪些注意事项？
九年级数学 用公式法求解一元二次方程》(共21张PPT)
2、解下列方程: (1) x2-2x－8＝0； (2) 9x2＋6x＝8； (3) (2x-1)(x-2) =-1;
1.x1 2; x2 4.
2.x1
2 3
;
x2
4 3
.
3.x1
1;
x2
3. 2
3、不解方程判断下列方程根的情况:
（1）2x2+5=7x
（2）4x（x-1)+3=0
次项系数绝对值一半的平方；
x
b
2
2a
b2 4ac 4a2 .
4.开方:根据平方根意 义,方程两边开平方
当b2 4ac 0时,
b
b2 4ac
x
.
2a
2a
x b b2 4ac . b2 4ac 0 . 2a
结论：
一般地，对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0), 当b2-4ac ≥0时，它的根是：ac＜0时，原方程无解． 上面这个式子称为一元二次方程的求根公式， 用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法．
【例1】解方程：x2-7x-18=0．
【解析】这里 a=1, b= -7, c= -18.
∵b2 - 4ac=(-7)2 - 4×1×(-18)=121﹥0,
x
7
121 21
7
11 2
,
即：x1=9, x2= -2．
【例2】解方程： 4x2 1 4x
【解析】化简为一般式得
4x2 4x 1 0
这里 a=4, b= -4 , c= 1.
∵b2 - 4ac=( )42 - 4×4×1=0,
九年级数学人教版(上册)21.2.2《公式法》教学课件
1. 将方程化成一般形式，并写出a，b，c 的值。
2. 求出 ∆ 的值。 3. (a)当 ∆ >0 时，代入求根公式 : x b b2 4ac
2a
写出一元二次方程的根：
x1 = ______ ，x2 = ______ 。 (b)当∆=0时，代入求根公式：
写出一元二次方程的根：
x1 = x2 = ______ 。
b2 4ac 62 432 60.
x 6 60 6 2 15 3 15 ,
6
6
3
3 15 3 15
x1
3
, x2
. 3
4 4x2 6x 0
解： a 4,b 6, c 0.
b2 4ac 62 4 40 36.
6
x
36 6 6 ,
24
8
3
x1
0,
x2
公式法
❖ 例2：用公式法解方程 （1）x2-4x-7=0
解a 1,b 4, c 7
△ b2 4ac 42 41 (7) 44 0.
方程有两个不相等的实数根：
❖1.变形:化已知方 程为一般形式;
❖2.确定系数:用 a,b,c写出各项系 数;
x b b2 4ac 2a
4 44 4 2 11 .
2
c a
b 2a
2
,
即
x
b 2a
2
b2 4ac 4a2
.
②
因为a≠0,4a2>0,式子b2－4ac的值有以下三种情况：
（1）当 b2 4ac 0时，一元二次方程 ax2 bx c 0 （a 0）有实数根．
x1 b
b2 2a
4ac
,
x2
北师大版数学九年级上册 用公式法求解一元二次方程课件(共25张)
解：（1）∵关于x的一元二次方程x2-（2m+1）x+m （m+1）=0． ∴△=（2m+1）2-4m（m+1）=1＞0， ∴方程总有两个不相等的实数根； （2）∵x=0是此方程的一个根， ∴把x=0代入方程中得到m（m+1）=0， ∴m=0或m=-1， ∵（2m-1）2+（3+m）（3-m）+7m-5=4m2-4m+1+9m2+7m-5=3m2+3m+5， 把m=0代入3m2+3m+5得：3m2+3m+5=5； 把m=-1代入3m2+3m+5得：3m2+3m+5=3×1-3+5=5．
0(a≠0)没有实数根．
练习
参考答案:
1.用公式法解下列方程.
1). 2x2-4x－1＝0； 2). 5+2＝3x2 ； 3). (x-2)(3x-5) =1;
2.一个直角三角形三边的长为三个连续偶数,求这个三 角形的三边长.
B
A
C
课堂练习
1．下列一元二次方程中，有两个不相等的 实数根的方程是( A )
x2＝
1－ 2
5
x2＝1－
6 2
.
探究新知
知识模块一 探索一元二次方程的求根公式 (一)自主探究
1.你能用配方法解方程 ax2+bx+c=0(a≠0) 吗?
解: 移项，得 ax2 bx c，
方程两边都除以a x2 b x c ，
a
a
配方，得
x2
b a
x
b 2a
2
c a
b 2a
2
.
21.2.2 一元二次方程的解法——公式法课件 2024-2025学年人教版数学九年级上册
第二十一章 一元二次方程
第2课时
一元二次方程的解法
——公式公式法解一元二次方程，知道使用公式前先将方
程化为一般形式.
❸ (2022新课标)能用公式法解数字系数的一元二次方程.
复习引入
1.如何用配方法解方程 2x2 4x 10?
解：方程整理得
．
小结：注意一元二次方程的二次项系数不能为0.
2
2
★10．若a ＋5ab－b ＝0(ab≠0)，求 的值．
2
2
解：∵a ＋5ab－b ＝0，∴ ＋ －1＝0，
令t＝ ，∴方程可化为t2＋5t－1＝0，
∴52－4×1×(－1)＝29＞0，
根据公式法得t＝
－±
×
＝
－±
)±
±
＝
，
×
即x1＝2 ，x2＝ ．
3．【例1】用公式法解方程：x2＋3x＋1＝0．
解：a＝1，b＝3，c＝1，b2－4ac＝5＞0，
x＝
－±
所以x1＝
－
－± －±
＝
＝
，
×
－＋
－－
，x2＝
．
小结：用公式法解方程时，先确定出a，b，c和b2-4ac的值.
x＝
x－ ＝0．
±
8．用公式法解方程：2x2＋3x＝3．
x＝
－±
9．用公式法解方程：x2－5＝2(x＋1)．
x＝1±2
＋
6．某数学小组对关于x的方程(m＋1)
＋(m－2)x－1＝0提出了问题：
第2课时
一元二次方程的解法
——公式公式法解一元二次方程，知道使用公式前先将方
程化为一般形式.
❸ (2022新课标)能用公式法解数字系数的一元二次方程.
复习引入
1.如何用配方法解方程 2x2 4x 10?
解：方程整理得
．
小结：注意一元二次方程的二次项系数不能为0.
2
2
★10．若a ＋5ab－b ＝0(ab≠0)，求 的值．
2
2
解：∵a ＋5ab－b ＝0，∴ ＋ －1＝0，
令t＝ ，∴方程可化为t2＋5t－1＝0，
∴52－4×1×(－1)＝29＞0，
根据公式法得t＝
－±
×
＝
－±
)±
±
＝
，
×
即x1＝2 ，x2＝ ．
3．【例1】用公式法解方程：x2＋3x＋1＝0．
解：a＝1，b＝3，c＝1，b2－4ac＝5＞0，
x＝
－±
所以x1＝
－
－± －±
＝
＝
，
×
－＋
－－
，x2＝
．
小结：用公式法解方程时，先确定出a，b，c和b2-4ac的值.
x＝
x－ ＝0．
±
8．用公式法解方程：2x2＋3x＝3．
x＝
－±
9．用公式法解方程：x2－5＝2(x＋1)．
x＝1±2
＋
6．某数学小组对关于x的方程(m＋1)
＋(m－2)x－1＝0提出了问题：
初中数学九年级上册(人教版)精品课件-21.2.2公式法.ppt
a 1、 b -2 3、 c 3.
Q b2 4ac （ 2 3）2 41 3 0，
x （-2 3）
ห้องสมุดไป่ตู้
0 2
3
3.
21
2
即 ：x1 x2 3.
b b2 4ac x
2a
例3 解方程：x2 x 1 0（精确到0.001）.
解： a 1,b 1,c 1,
b2 4ac 12 41 (1) 5 0
x 1 5 2
用计算器求得： 5 2.2361
x1 0.618, x2 1.618.
例4 解方程：4x2-3x+2=0 解： Q a 4,b 3,c 2. b2 4ac (3)2 4 4 2 9 32 23 0.
第二十一章 一元二次方程
21.2 解一元二次方程
21.2.2 公式法
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
学习目标
1.经历求根公式的推导过程.（难点） 2.会用公式法解简单系数的一元二次方程.(重点） 3.理解并会计算一元二次方程根的判别式. 4.会用判别式判断一元二次方程的根的情况.
导入新课
复习引入
解析：原方程变形为x2+x-1=0.∵b2-4ac=1-4×1× （-1）=5＞0，∴该方程有两个不相等的实数根， 故选B.
方法归纳
判断一元二次方程根的情况的方法： 利用根的判别式判断一元二次方程根的情况时，
要先把方程转化为一般形式ax2+bx+c=0(a≠0).
•b2 - 4ac > 0时,方程有两个不相等的实数根. •b2 - 4ac = 0时,方程有两个相等的实数根. •b2 - 4ac < 0时,方程无实数根.
一元二次方程的解法(三)公式法(课件)数学九年级上册(人教版)
D．a 且 a 0
8
8
4
8
2
【分析】∵一元二次方程ax2-x+2=0有实数根，
∴b 4ac -1 -4a 2 1 8a 0 ，且a≠0，
1
解得 a ≤ 且a≠0．
8
2
2
例3.已知关于x的一元二次方程 kx 2 (k 3) x 3 0(k 0)．求证：
若b2-4ac<0，则方程没有实数根.
用公式法解下列方程：
(1)x2+x-6=0
(2)x2-
1
3x- =0
4
解：(1) a=1，b=1，c=-6.
Δ=b2-4ac=12-4×1×(-6)=25＞0
方程有两个不等的实数根
b b 2 4ac 1 25 1 5
x
2a
2 1
2
∴
，得 k 且 k 1
4
Δ 1 4(k 1) 0
解得
且 k 1．
【点睛】一元二次方程有实根，说明方程可能有两个不等实根或
两个相等实根两种情况.
已知一元二次方程 ax x 2 0 有实根，a的取值范围是（ B）
1
1
1
1
a≤ 且a 0
A．a ≤
B．
C．a
将x=2代入 x 2 kx k 1 0 有
4-2k+k-1=0
解得k=3
2
则方程为 x 3x 2 0
解得x1=2，x2=1
等腰三角形三边长为2，2，1，符合三角形三边关系．
2
例4.已知关于x的一元二次方程 x kx k 1 0．
（1）求证：无论k取何值，该方程总有实数根；
8
8
4
8
2
【分析】∵一元二次方程ax2-x+2=0有实数根，
∴b 4ac -1 -4a 2 1 8a 0 ，且a≠0，
1
解得 a ≤ 且a≠0．
8
2
2
例3.已知关于x的一元二次方程 kx 2 (k 3) x 3 0(k 0)．求证：
若b2-4ac<0，则方程没有实数根.
用公式法解下列方程：
(1)x2+x-6=0
(2)x2-
1
3x- =0
4
解：(1) a=1，b=1，c=-6.
Δ=b2-4ac=12-4×1×(-6)=25＞0
方程有两个不等的实数根
b b 2 4ac 1 25 1 5
x
2a
2 1
2
∴
，得 k 且 k 1
4
Δ 1 4(k 1) 0
解得
且 k 1．
【点睛】一元二次方程有实根，说明方程可能有两个不等实根或
两个相等实根两种情况.
已知一元二次方程 ax x 2 0 有实根，a的取值范围是（ B）
1
1
1
1
a≤ 且a 0
A．a ≤
B．
C．a
将x=2代入 x 2 kx k 1 0 有
4-2k+k-1=0
解得k=3
2
则方程为 x 3x 2 0
解得x1=2，x2=1
等腰三角形三边长为2，2，1，符合三角形三边关系．
2
例4.已知关于x的一元二次方程 x kx k 1 0．
（1）求证：无论k取何值，该方程总有实数根；
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坛
[问答题,简答题]中国的情人节是哪一天？ [单选]Aluminumlifeboatsaresubjecttodamagebyelectrolyticcorrosion(thealuminumbeingeatenaway).Inworkingaroundboatsofaluminumyoumustbeverycareful（）.A.tokeeptheboatscoveredatalltimesB.nottoleavesteelorirontoolslyinginorneartheseboatsC.tokeepanelectricchargeonth [名词解释]声波的衍射或绕射 [单选]农村土地的发包方不包括（）。A.依法管理、使用土地的集体经济组织B.村民委员会C.村民小组D.村干部 [单选,A2型题,A1/A2型题]促进红细胞缗钱状形成最强有力的物质为（）A.纤维蛋白原B.γ-球蛋白C.α-球蛋白D.β-球蛋白E.清蛋白 [单选,A2型题,A1/A2型题]对小儿胸外电除颤最常用的电能是（）A.1J/kgB.2J/kgC.3J/kgD.4J/kgE.5J/kg [单选]王某租赁张某一套住房，租赁期间为2009年1月1日至12月31日，约定2009年6月30日之前支付房租，但王某一直未付房租，张某也未催要。根据民事诉讼法律制度关于诉讼时效的规定，张某可以向法院提起诉讼、主张其民事权利的法定期间是()。A.2010年6月30日之前B.2010年12月31日之前 [单选]蒸汽锅炉（）的总排放量必须大于锅炉最大连续蒸发量。A、水位表B、排污阀C、安全阀D、压力表 [单选,A1型题]关于正常产褥的叙述，哪项是错误的()A.出汗较多，睡眠和初醒时更为明显B.产后约2周经腹部检查不易摸到子宫底C.子宫复旧主要是肌细胞数目减少及体积缩小D.浆液性恶露内含细菌E.一般在产后24小时内体温轻度升高，不超过38℃ [单选]关于外阴硬化性苔藓的描述错误的是()A．是一种以外阴及肛周皮肤萎缩变薄为主的皮肤病B．可发生包括幼女在内的任何年龄妇女C．主要症状为病损区皮肤发痒D．最后诊断的唯一方法是病理检查E．常采用外科疗法治疗 [单选]主合同和从合同是以（）条件划分的。A.按照当事人是否相互负有义务划分B.按照合同的成立是否以标的物的交付为必要条件划分C.按照合同表现形式划分D.按照相互之间的从属关系划分 [单选]确定胎龄及估计胎儿发育最简便可靠的方法是（）.A.测宫高、腹围B超C.羊水测定胎儿成熟度D.羊水泡沫功能监测E.胎儿胎盘功能监测 [名词解释]交换 [单选,A2型题,A1/A2型题]下列关于儿童孤独症的流行病学的描述中正确的是（）A.根据DSM-Ⅳ，其患病率约为儿童人口的万分之二～万分之五B.女孩明显多于男孩C.男童患儿的症状往往都比较重D.社会经济状况较高的家庭患病率较高E.近些年来随着新的治疗手段的出现，孤独症的患病率越来越 [填空题]一般常见比赛是（）人制和（）人制。 [单选]关于考试焦虑症的处理，以下哪种说法是不正确的?（）A．考试焦虑症必要时可以心理治疗配合抗焦虑的药物来处理B．学业压力和考试焦虑会形成恶性循环，令考试焦虑症越来越严重C．考试焦虑症的形成原因主要是学生内部的压力，所以只要处理好学生的心态和观念就可以了D．系统脱 [单选]按照抗震要求，梁端加密区的箍筋肢距正确的是（）。A．一级不宜大于200ramB．二级不宜大于250ramC．三级不宜大于280ramD．四级不宜大于300mm [填空题]在分析实验过程中，如找不出可疑值出现原因，不应随意（）或（），而应经过数据处理来决定（）。 [单选]下列属于行政处罚的是（）。A．没收财产B．罚金C．撤职D．责令停产停业 [单选]热处理基础工艺代号中，第四位数字代表（）。A．加热方法B．工艺类型C．附加工艺代号 [单选,A2型题,A1/A2型题]神经病理性疼痛的感觉不同于伤害性刺激，不包括（）A.烧灼样B.刀割样C.Tinel征D.阿片治疗有效E.异常感觉，如"蚁走感" [单选]不属于煮炉加药前的准备工作的是（）。A.操作人员要配备工作服、胶皮手套、胶鞋、防护镜等劳保用品以及救护药品，操作地点附近要有清水B.准备好加药桶和其他工具C.不得将固体药品注入锅筒内，更不得使药液进入过滤器内D.将煮炉用药品先调成20%浓度的水溶液，搅拌均匀，使其 [单选,B1型题]β-珠蛋白生成障碍性贫血的实验室诊断指标（）A.Coombs试验B.Ham试验C.Rous试验D.PK活性定量测定E.血红蛋白电泳测定 [填空题]在旋风预热器的各级管道和旋风筒中，气流和物料热交换作用相对运动方向（），但如果从整体来看，则运动方向（）。 [单选]烧伤患者出现下列哪种情况，应考虑合并吸入性损伤()A．高热B．烦躁C．少尿或无尿D．烧伤面积超过70%E．颜面部烧伤 [判断题]对冲基金又称避险基金，是充分利用各种金融衍生品的杠杆效应，承担较高风险，追求较高收益的投资模式。（）A.正确B.错误 [单选]关于输精管的叙述，下列哪项不对？（）A.为一个肌性管道B.是构成精索的主要结构C.起自附睾尾D.管腔较细，管壁较薄E.末段膨大形成输精管壶腹 [单选,A1型题]下列哪种症状、体征和检查可确诊为后尿道完全断裂（）A.会阴部血肿B.下腹及骨盆部皮下瘀斑C.骨盆挤压痛D.插导尿管不能进入膀胱E.尿道造影，见造影剂外溢于后尿道周围未进入膀胱 [单选,A4型题,A3/A4型题]男，70岁.受凉后发热，伴胸痛2天，T38.5℃。近2个月来，常有干咳，少量白色泡沫痰，无咯血及痰中带血。体格检查，左下肺呼吸音减弱，心音正常。胸片：左下肺叶见直径3cm的块影，分叶状，边缘毛糙。假设：如医生为进一步明确诊断，可以采取的方法是()A．痰 [单选]可出现明显意识障碍的疾病是（）。A.强迫症B.恐惧症C.疑病症D.癔病E.惊恐发作 [单选,A1型题]必须附有说明书的是（）A.药品上市销售的最小包装B.药品包装C.药品内包装D.药品中包装E.药品的包装和标签 [单选]接触胶结是指胶结物含量（），分布于颗粒相互接触的地方，颗粒呈点状或线状接触的胶结。A、很少B、很多C、较少D、较多 [填空题]合成塔环隙主气流的作用是保持合成塔壳体（）。 [单选]导致膀胱肿瘤的危险因素是（）A.吸烟B.膀胱慢性感染C.长期接触联苯胺D.上述都是E.上述都不是 [单选]对于人的举止行为是否合乎一定的道德准则而产生的态度体验是（）A．理智感B．美感C．激情D．道德感 [单选,A2型题,A1/A2型题]血清RF有IgG、IgA、IgM型。目前实验室采用散射比浊法检测的RF主要为（）。A.IgGB.IgAC.IgMD.IgEE.IgD [单选,A1型题]健康喂养的3个月婴儿，体重5kg。用牛奶喂养，每天应给予（）A.8％糖牛奶（ml）5.50另给水分（ml）200B.8％糖牛奶（ml）450另给水分（ml）200C.8％糖牛奶（ml）600另给水分（ml）100D.8％糖牛奶（ml）500另给水分（ml）300E.8％糖牛奶（ml）650另给水分（ml）200 [多选]某建筑公司承建写字楼工程，根据我国《建筑法》和《建设工程安全生产管理条例》投保了建筑职工意外伤害保险。该险种承保的范围包括（）。A.工程本身受损B.施工用设施受损C.被保险人从事建筑施工时由于操作不当受伤害致残D.被保险人在施工现场被高空坠物砸死E.场地清理费 [单选]在混凝土用砂量不变的条件下，砂的级配良好，说明()。A.砂的空隙率大B.砂的空隙率小C.砂的总表面积大D.砂的总表面积小 [单选,A型题]以下属于胃癌的X线征象是（）A.黏膜皱襞纠集B.胃蠕动增强C.龛影显著D.胃腔变形和狭窄E.激惹征
[问答题,简答题]中国的情人节是哪一天？ [单选]Aluminumlifeboatsaresubjecttodamagebyelectrolyticcorrosion(thealuminumbeingeatenaway).Inworkingaroundboatsofaluminumyoumustbeverycareful（）.A.tokeeptheboatscoveredatalltimesB.nottoleavesteelorirontoolslyinginorneartheseboatsC.tokeepanelectricchargeonth [名词解释]声波的衍射或绕射 [单选]农村土地的发包方不包括（）。A.依法管理、使用土地的集体经济组织B.村民委员会C.村民小组D.村干部 [单选,A2型题,A1/A2型题]促进红细胞缗钱状形成最强有力的物质为（）A.纤维蛋白原B.γ-球蛋白C.α-球蛋白D.β-球蛋白E.清蛋白 [单选,A2型题,A1/A2型题]对小儿胸外电除颤最常用的电能是（）A.1J/kgB.2J/kgC.3J/kgD.4J/kgE.5J/kg [单选]王某租赁张某一套住房，租赁期间为2009年1月1日至12月31日，约定2009年6月30日之前支付房租，但王某一直未付房租，张某也未催要。根据民事诉讼法律制度关于诉讼时效的规定，张某可以向法院提起诉讼、主张其民事权利的法定期间是()。A.2010年6月30日之前B.2010年12月31日之前 [单选]蒸汽锅炉（）的总排放量必须大于锅炉最大连续蒸发量。A、水位表B、排污阀C、安全阀D、压力表 [单选,A1型题]关于正常产褥的叙述，哪项是错误的()A.出汗较多，睡眠和初醒时更为明显B.产后约2周经腹部检查不易摸到子宫底C.子宫复旧主要是肌细胞数目减少及体积缩小D.浆液性恶露内含细菌E.一般在产后24小时内体温轻度升高，不超过38℃ [单选]关于外阴硬化性苔藓的描述错误的是()A．是一种以外阴及肛周皮肤萎缩变薄为主的皮肤病B．可发生包括幼女在内的任何年龄妇女C．主要症状为病损区皮肤发痒D．最后诊断的唯一方法是病理检查E．常采用外科疗法治疗 [单选]主合同和从合同是以（）条件划分的。A.按照当事人是否相互负有义务划分B.按照合同的成立是否以标的物的交付为必要条件划分C.按照合同表现形式划分D.按照相互之间的从属关系划分 [单选]确定胎龄及估计胎儿发育最简便可靠的方法是（）.A.测宫高、腹围B超C.羊水测定胎儿成熟度D.羊水泡沫功能监测E.胎儿胎盘功能监测 [名词解释]交换 [单选,A2型题,A1/A2型题]下列关于儿童孤独症的流行病学的描述中正确的是（）A.根据DSM-Ⅳ，其患病率约为儿童人口的万分之二～万分之五B.女孩明显多于男孩C.男童患儿的症状往往都比较重D.社会经济状况较高的家庭患病率较高E.近些年来随着新的治疗手段的出现，孤独症的患病率越来越 [填空题]一般常见比赛是（）人制和（）人制。 [单选]关于考试焦虑症的处理，以下哪种说法是不正确的?（）A．考试焦虑症必要时可以心理治疗配合抗焦虑的药物来处理B．学业压力和考试焦虑会形成恶性循环，令考试焦虑症越来越严重C．考试焦虑症的形成原因主要是学生内部的压力，所以只要处理好学生的心态和观念就可以了D．系统脱 [单选]按照抗震要求，梁端加密区的箍筋肢距正确的是（）。A．一级不宜大于200ramB．二级不宜大于250ramC．三级不宜大于280ramD．四级不宜大于300mm [填空题]在分析实验过程中，如找不出可疑值出现原因，不应随意（）或（），而应经过数据处理来决定（）。 [单选]下列属于行政处罚的是（）。A．没收财产B．罚金C．撤职D．责令停产停业 [单选]热处理基础工艺代号中，第四位数字代表（）。A．加热方法B．工艺类型C．附加工艺代号 [单选,A2型题,A1/A2型题]神经病理性疼痛的感觉不同于伤害性刺激，不包括（）A.烧灼样B.刀割样C.Tinel征D.阿片治疗有效E.异常感觉，如"蚁走感" [单选]不属于煮炉加药前的准备工作的是（）。A.操作人员要配备工作服、胶皮手套、胶鞋、防护镜等劳保用品以及救护药品，操作地点附近要有清水B.准备好加药桶和其他工具C.不得将固体药品注入锅筒内，更不得使药液进入过滤器内D.将煮炉用药品先调成20%浓度的水溶液，搅拌均匀，使其 [单选,B1型题]β-珠蛋白生成障碍性贫血的实验室诊断指标（）A.Coombs试验B.Ham试验C.Rous试验D.PK活性定量测定E.血红蛋白电泳测定 [填空题]在旋风预热器的各级管道和旋风筒中，气流和物料热交换作用相对运动方向（），但如果从整体来看，则运动方向（）。 [单选]烧伤患者出现下列哪种情况，应考虑合并吸入性损伤()A．高热B．烦躁C．少尿或无尿D．烧伤面积超过70%E．颜面部烧伤 [判断题]对冲基金又称避险基金，是充分利用各种金融衍生品的杠杆效应，承担较高风险，追求较高收益的投资模式。（）A.正确B.错误 [单选]关于输精管的叙述，下列哪项不对？（）A.为一个肌性管道B.是构成精索的主要结构C.起自附睾尾D.管腔较细，管壁较薄E.末段膨大形成输精管壶腹 [单选,A1型题]下列哪种症状、体征和检查可确诊为后尿道完全断裂（）A.会阴部血肿B.下腹及骨盆部皮下瘀斑C.骨盆挤压痛D.插导尿管不能进入膀胱E.尿道造影，见造影剂外溢于后尿道周围未进入膀胱 [单选,A4型题,A3/A4型题]男，70岁.受凉后发热，伴胸痛2天，T38.5℃。近2个月来，常有干咳，少量白色泡沫痰，无咯血及痰中带血。体格检查，左下肺呼吸音减弱，心音正常。胸片：左下肺叶见直径3cm的块影，分叶状，边缘毛糙。假设：如医生为进一步明确诊断，可以采取的方法是()A．痰 [单选]可出现明显意识障碍的疾病是（）。A.强迫症B.恐惧症C.疑病症D.癔病E.惊恐发作 [单选,A1型题]必须附有说明书的是（）A.药品上市销售的最小包装B.药品包装C.药品内包装D.药品中包装E.药品的包装和标签 [单选]接触胶结是指胶结物含量（），分布于颗粒相互接触的地方，颗粒呈点状或线状接触的胶结。A、很少B、很多C、较少D、较多 [填空题]合成塔环隙主气流的作用是保持合成塔壳体（）。 [单选]导致膀胱肿瘤的危险因素是（）A.吸烟B.膀胱慢性感染C.长期接触联苯胺D.上述都是E.上述都不是 [单选]对于人的举止行为是否合乎一定的道德准则而产生的态度体验是（）A．理智感B．美感C．激情D．道德感 [单选,A2型题,A1/A2型题]血清RF有IgG、IgA、IgM型。目前实验室采用散射比浊法检测的RF主要为（）。A.IgGB.IgAC.IgMD.IgEE.IgD [单选,A1型题]健康喂养的3个月婴儿，体重5kg。用牛奶喂养，每天应给予（）A.8％糖牛奶（ml）5.50另给水分（ml）200B.8％糖牛奶（ml）450另给水分（ml）200C.8％糖牛奶（ml）600另给水分（ml）100D.8％糖牛奶（ml）500另给水分（ml）300E.8％糖牛奶（ml）650另给水分（ml）200 [多选]某建筑公司承建写字楼工程，根据我国《建筑法》和《建设工程安全生产管理条例》投保了建筑职工意外伤害保险。该险种承保的范围包括（）。A.工程本身受损B.施工用设施受损C.被保险人从事建筑施工时由于操作不当受伤害致残D.被保险人在施工现场被高空坠物砸死E.场地清理费 [单选]在混凝土用砂量不变的条件下，砂的级配良好，说明()。A.砂的空隙率大B.砂的空隙率小C.砂的总表面积大D.砂的总表面积小 [单选,A型题]以下属于胃癌的X线征象是（）A.黏膜皱襞纠集B.胃蠕动增强C.龛影显著D.胃腔变形和狭窄E.激惹征