八年级数学公式法课件1
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鲁教版数学(五四制)八年级数学上册.1平方差公式课件
(4)方法一：－16x4＋81y4＝－(16x4－81y4) ＝－(4x2＋9y2)(4x2－9y2) ＝－(4x2＋9y2)(2x＋3y)(2x－3y)．
方法二：－16x4＋81y4＝81y4－16x4＝(9y2＋4x2) (9y2－4x2)＝(9y2＋4x2)(3y＋2x)(3y－2x)．
知1－练
感悟新知
知识点 2 平方差公式在分解因式中的应用
知2－讲
请你写出几个能用平方差公式因式分解的多项 式(每人写两个).
用平方差公式分解因式时，若多项式有公因式， 要先提取公因式，再用平方差公式分解因式.
感悟新知
例2 把下列各式因式分解： (1)9(m＋n)2－(m－n)2； (2) 2x3－8x.
知2－练
感悟新知
知2－练
3. 小强是一位密码编译爱好者，在他的密码手册
中，有这样一条信息：a－b，x－y，x＋y，a＋
b，x2－y2，a2－b2分别对应下列六个字：昌、
爱、我、宜、游、美，现将(x2－y2)a2－(x2－y2)b2
因式分解，结果呈现的密码信C息可能是( )
A．我爱美
B．宜昌游
C．爱我宜昌
感悟新知
3. 如图，在一块边长为a cm的正方形
知1－练
纸片的四角，各剪去一个边长为b cm 的正方形，求剩余部分的面积. 如果
a＝3.6，b＝0.8 呢？ 解：剩余部分的面积为a2－4b2＝(a＋2b)(a－2b)(cm2)．
当a＝3.6，b＝0.8时，
剩余部分的面积为a2－4b2＝(3.6＋1.6)×(3.6－1.6)
知1－练
解：(1)a2b2－m2＝(ab＋m)(ab－m)． (2)(m－a)2－(n＋b)2＝[(m－a)＋(n＋b)]·[(m－a) －(n＋b)]＝(m－a＋n＋b)(m－a－n－b)．
方法二：－16x4＋81y4＝81y4－16x4＝(9y2＋4x2) (9y2－4x2)＝(9y2＋4x2)(3y＋2x)(3y－2x)．
知1－练
感悟新知
知识点 2 平方差公式在分解因式中的应用
知2－讲
请你写出几个能用平方差公式因式分解的多项 式(每人写两个).
用平方差公式分解因式时，若多项式有公因式， 要先提取公因式，再用平方差公式分解因式.
感悟新知
例2 把下列各式因式分解： (1)9(m＋n)2－(m－n)2； (2) 2x3－8x.
知2－练
感悟新知
知2－练
3. 小强是一位密码编译爱好者，在他的密码手册
中，有这样一条信息：a－b，x－y，x＋y，a＋
b，x2－y2，a2－b2分别对应下列六个字：昌、
爱、我、宜、游、美，现将(x2－y2)a2－(x2－y2)b2
因式分解，结果呈现的密码信C息可能是( )
A．我爱美
B．宜昌游
C．爱我宜昌
感悟新知
3. 如图，在一块边长为a cm的正方形
知1－练
纸片的四角，各剪去一个边长为b cm 的正方形，求剩余部分的面积. 如果
a＝3.6，b＝0.8 呢？ 解：剩余部分的面积为a2－4b2＝(a＋2b)(a－2b)(cm2)．
当a＝3.6，b＝0.8时，
剩余部分的面积为a2－4b2＝(3.6＋1.6)×(3.6－1.6)
知1－练
解：(1)a2b2－m2＝(ab＋m)(ab－m)． (2)(m－a)2－(n＋b)2＝[(m－a)＋(n＋b)]·[(m－a) －(n＋b)]＝(m－a＋n＋b)(m－a－n－b)．
人教版数学八年级上册公式法(一)-课件
=(x2+y2)(x+y)(x-y)
• （2）原式= ab(a2 -1) =ab(a+1)(a-1)
把下列各式分解因式：
① x2 - 1 y2 16
② 0.25m2n2 – 1 ③ (2a+b)2 - (a+2b)2 ④ 25(x+y)2 - 16(x-y)2
• 利用因式分解计算： （1）2.882-1.882； （2）782-222。
子天
是开
梅放
花；
，有
选的
择孩
在子
冬是
天荷
开花
放，
选
择
在
夏
我们，还在路上……
a2 － b2= (a ＋ b) (a － b)
下列多项式能转化成（ ）２－（ ）２的形式吗？ 如果能，请将其转化成（ ）２－（ ）２的形式。
(1) m2 －1 = m2 －12 (2)4m2 －9 = (2m)2 －32 (3)4m2+9 不能转化为平方差形式
(4)x2 －25y 2 ＝ x2 －(5y)2 (5) －x2 －25y2 不能转化为平方差形式 (6) －x2+25y2 = 25y2－x2 =(5y)2 －x2
y2
+
4x2=(2x +
1 3
y) (2x －
1 3
y)
(44) 4k2 －25m2n2=(2k+5mn) (2k －5mn)
a 2 - b 2 = ( a + b )( a - b )
（2(2x0m+0nz6)）22－-22-0(y0(+5p32)x=2y)=2 =
结论： 公式中的a、b无论表示数、单项式、还是多 项式，只要被分解的多项式能转化成平方差 的形式，就能用平方差公式因式分解。
• （2）原式= ab(a2 -1) =ab(a+1)(a-1)
把下列各式分解因式：
① x2 - 1 y2 16
② 0.25m2n2 – 1 ③ (2a+b)2 - (a+2b)2 ④ 25(x+y)2 - 16(x-y)2
• 利用因式分解计算： （1）2.882-1.882； （2）782-222。
子天
是开
梅放
花；
，有
选的
择孩
在子
冬是
天荷
开花
放，
选
择
在
夏
我们，还在路上……
a2 － b2= (a ＋ b) (a － b)
下列多项式能转化成（ ）２－（ ）２的形式吗？ 如果能，请将其转化成（ ）２－（ ）２的形式。
(1) m2 －1 = m2 －12 (2)4m2 －9 = (2m)2 －32 (3)4m2+9 不能转化为平方差形式
(4)x2 －25y 2 ＝ x2 －(5y)2 (5) －x2 －25y2 不能转化为平方差形式 (6) －x2+25y2 = 25y2－x2 =(5y)2 －x2
y2
+
4x2=(2x +
1 3
y) (2x －
1 3
y)
(44) 4k2 －25m2n2=(2k+5mn) (2k －5mn)
a 2 - b 2 = ( a + b )( a - b )
（2(2x0m+0nz6)）22－-22-0(y0(+5p32)x=2y)=2 =
结论： 公式中的a、b无论表示数、单项式、还是多 项式，只要被分解的多项式能转化成平方差 的形式，就能用平方差公式因式分解。
北师大版八年级数学下册运用公式法(一)课件
分解因式
1、提出问题 问题：什么样的多项式能用平方差公式分解因式呢？
整式乘法公式的逆向变形得到分解因式的方法。 这种分解因式的方法称为运用公式法。
说一说 找特征
（１）公式左边：（是一个将要被分解因式的多项式）
被分解的多项式含有两项，且这两项异号，并 且能写成（ ）２－（ ）２的情势。
(2) 公式右边: （是分解因式的结果）
分解的结果是两个底数的和乘以两个底数的 差的情势。
(二)探究新知 问题２：对照平方差公式分解因式:
m²- 16= m²- 4²=( m + 4)( m - 4) a²- b²= ( a + b)( a - b )
4x²- 9y²=(2x)²-(3y)²=(2x+3y)(2x-3y)
试一试 写一写
下列多项式能转化成（ ）２－（ ）２的情势吗？如果 能，请将其转化成（ ）２－（ ）２的情势。
(1) m2 －81 = m2 －92 (2) 1 －16b2 = 12－(4b)2 (3) 4m2+9 不能转化为平方差情势
(4) a2x2 －25y 2 ＝ (ax)2 －(5y)2 (5) －x2 －25y2 不能转化为平方差情势
哪种方法好？
提示： 第一提取公因式， 然后考虑用公式， 最终必是连乘式。
巩固练习 A
巩固练习 C
拓展练习
把下列各式分解因式：
（四）课堂小结 能说出你这节课的收获和体验让大家与你分享吗？
1、因式分解的一个重要工具—平方差公式 2、我们在进行因式分解时应注意的问题
第一提取公因式 然后考虑用公式 最终必是连乘式
第二章 因式分解
3 运用公式法（一）
(一)引入新课 1.如果一个多项式的各
1、提出问题 问题：什么样的多项式能用平方差公式分解因式呢？
整式乘法公式的逆向变形得到分解因式的方法。 这种分解因式的方法称为运用公式法。
说一说 找特征
（１）公式左边：（是一个将要被分解因式的多项式）
被分解的多项式含有两项，且这两项异号，并 且能写成（ ）２－（ ）２的情势。
(2) 公式右边: （是分解因式的结果）
分解的结果是两个底数的和乘以两个底数的 差的情势。
(二)探究新知 问题２：对照平方差公式分解因式:
m²- 16= m²- 4²=( m + 4)( m - 4) a²- b²= ( a + b)( a - b )
4x²- 9y²=(2x)²-(3y)²=(2x+3y)(2x-3y)
试一试 写一写
下列多项式能转化成（ ）２－（ ）２的情势吗？如果 能，请将其转化成（ ）２－（ ）２的情势。
(1) m2 －81 = m2 －92 (2) 1 －16b2 = 12－(4b)2 (3) 4m2+9 不能转化为平方差情势
(4) a2x2 －25y 2 ＝ (ax)2 －(5y)2 (5) －x2 －25y2 不能转化为平方差情势
哪种方法好？
提示： 第一提取公因式， 然后考虑用公式， 最终必是连乘式。
巩固练习 A
巩固练习 C
拓展练习
把下列各式分解因式：
（四）课堂小结 能说出你这节课的收获和体验让大家与你分享吗？
1、因式分解的一个重要工具—平方差公式 2、我们在进行因式分解时应注意的问题
第一提取公因式 然后考虑用公式 最终必是连乘式
第二章 因式分解
3 运用公式法（一）
(一)引入新课 1.如果一个多项式的各
公式法ppt课件
度。
数值稳定
在推导和求解公式时，要注意 数值的稳定性，防止计算过程
中的误差积累。
自适应算法
根据问题的特性，设计自适应 的算法，以更好地求解问题。
03
公式法的实际应用
公式法在科学计算中的应用
数学建模
公式法在科学计算中常用于建立 数学模型，通过公式表达自然规 律和现象，为科学研究提供基础
。
物理定律表达
衍生品定价涉及复杂的数学模型 ，公式法为衍生品定价提供了有
效的解决方案。
风险管理
风险管理需要利用公式法进行量 化分析和预测，以识别和降低潜
在风险。
04
公式法的优缺点分析
公式法的优点
明确性
公式法通过明确的数学公式和符号， 能够精确地表达复杂的概念和关系， 避免歧义和误解。
简洁性
公式法通常以简洁的形式呈现，能够 快速传达核心信息，提高信息传递效 率。
控制系统设计涉及数学模型的建立和 优化，公式法在此过程中发挥了重要 作用。
流体动力学计算
在航空、航海和流体机械等领域，公 式法用于计算流体动力学参数，如压 力、速度和阻力等。
公式法在金融分析中的应用
投资组合优化
金融分析中，投资组合优化需要 利用公式法进行风险评估和资产
配置，以实现收益最大化。
衍生品定价
可复制性
公式法具有高度的可复制性，方便在 不同场合和情境下重复使用，提高工 作效率。
科学性
公式法基于数学原理和逻辑推理，具 有高度的科学性和严谨性，能够客观 地反映事物的本质和规律。
公式法的缺点
技术门槛高
适用范围有限
公式法需要使用者具备一定的数学基础和 公式推导能力，技术门槛较高，不易被广 泛掌握。
数值稳定
在推导和求解公式时，要注意 数值的稳定性，防止计算过程
中的误差积累。
自适应算法
根据问题的特性，设计自适应 的算法，以更好地求解问题。
03
公式法的实际应用
公式法在科学计算中的应用
数学建模
公式法在科学计算中常用于建立 数学模型，通过公式表达自然规 律和现象，为科学研究提供基础
。
物理定律表达
衍生品定价涉及复杂的数学模型 ，公式法为衍生品定价提供了有
效的解决方案。
风险管理
风险管理需要利用公式法进行量 化分析和预测，以识别和降低潜
在风险。
04
公式法的优缺点分析
公式法的优点
明确性
公式法通过明确的数学公式和符号， 能够精确地表达复杂的概念和关系， 避免歧义和误解。
简洁性
公式法通常以简洁的形式呈现，能够 快速传达核心信息，提高信息传递效 率。
控制系统设计涉及数学模型的建立和 优化，公式法在此过程中发挥了重要 作用。
流体动力学计算
在航空、航海和流体机械等领域，公 式法用于计算流体动力学参数，如压 力、速度和阻力等。
公式法在金融分析中的应用
投资组合优化
金融分析中，投资组合优化需要 利用公式法进行风险评估和资产
配置，以实现收益最大化。
衍生品定价
可复制性
公式法具有高度的可复制性，方便在 不同场合和情境下重复使用，提高工 作效率。
科学性
公式法基于数学原理和逻辑推理，具 有高度的科学性和严谨性，能够客观 地反映事物的本质和规律。
公式法的缺点
技术门槛高
适用范围有限
公式法需要使用者具备一定的数学基础和 公式推导能力，技术门槛较高，不易被广 泛掌握。
人教版数学八年级上册《因式分解公式法》(一)课件
（3）0.16x2-0.09y2z2 （4）16(x-1)2-9(x+2)2
（5）–16x4＋81y4 （6）3x3y–12xy
(a+b)(a-b)=a2-b2 （整式乘法）
a2-b2 =(a+b)(a-b)ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ因式分解）
想一想
（1）下列多项式中，他们有什么共同特征？
①x2-25 ②9x2-y2
□2 －△2
（2）尝试将它们分别写成两个因式的乘积,并与同伴交流.
①x2-25=(x+5)(x-5)
②9x2-y2=(3x+y)(3x-y)
□2－△2＝(□＋△)(□－△)
议一议
平方差公式有哪些特点？
a2−b2= (a+b)(a−b)
左边：有两项；每一项都是平方项；两项符号相反 右边：两数的和与差的积
关键：确定公式中的a和b
火眼金睛
下列多项式可不可以用平方差公式因式分解？
①x2+y2
②-x2+y2
③-x2-y2
④x2-(-y)2
例题讲解
公式法因式分解（1）
回顾与思考
1、把下列各式分解因式：
（1）3a3b2-12ab3 关键：确定公因式 =3ab2(a2-4b)
（2）a(m-2)+b(2-m) =(m-2)(a-b)
一 看系数 二 看字母 三 看指数
最大公约数 相同字母最低次幂
回顾与思考
2、填空： ①25x2＝(__5_x__)2
名言警句
严谨性之于数学 犹如道德之于人
自我检测
1、判断正误：
（1）x2+y2=（x+y）(x–y) （2）–x2+y2=–（x+y）(x–y) （3）x2–y2=（x+y）(x–y) （4）–x2–y2=–（x+y）(x–y)
人教八年级数学上册《公式法》课件
公式法(1)
一、情景导入 问题情景1：
看谁算得最快：①982-22 ②已知x+y=4，x-y=2，则x2-y2=______
问题情景2： 你能将多项式x2-4与多项式y2-25分解因
式吗？这两个多项式有什么共同的特点吗?
这两个多项式都可写成两个数的 平方差的形式。
二、回顾与思考
1、什么叫因式分解？ 把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变形叫做把这
整式乘法
因式分解两个数ຫໍສະໝຸດ 平方差,等于这两个数的和 与这两个数的差的积。
a2-b2 =(a+b)(a-b)
这就是用平方差公式进行因式分解。
四、应用新知，尝试练习
例1、因式分解（口答）： ① x2-4=_(_x_+_2_)(_x_-_2) ②9-t2=_(_3_+_t)_(_3_-t_)_
例2、下列多项式能用平方差公式因式分解吗？
例4 分解因式:
(1)x4-y4; (2) a3b – ab.
分析:(1)x4-y4可以写成(x2)2-(y2)2的形式,这样 就可以利用平方差公式进行因式分解了。
解:(1) x4-y4
(2) a3b-ab=ab(a2-1)
= (x2+y2)(x2-y2) = (x2+y2)(x+y)(x-y)
=ab(a+1)(a-1).
比如：①a3b – ab=ab(a2-1)=ab(a+1)(a-1) ②x(x-y)2-x=x[(x-y)2-1]=x(x-y+1)(x-y-1)
3、因式分解应分解到每一个因式都不能分解 为止。 比如：x3-x=x(x2-1)，做完了吗？
=x(x+1)(x-1)
一、情景导入 问题情景1：
看谁算得最快：①982-22 ②已知x+y=4，x-y=2，则x2-y2=______
问题情景2： 你能将多项式x2-4与多项式y2-25分解因
式吗？这两个多项式有什么共同的特点吗?
这两个多项式都可写成两个数的 平方差的形式。
二、回顾与思考
1、什么叫因式分解？ 把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变形叫做把这
整式乘法
因式分解两个数ຫໍສະໝຸດ 平方差,等于这两个数的和 与这两个数的差的积。
a2-b2 =(a+b)(a-b)
这就是用平方差公式进行因式分解。
四、应用新知，尝试练习
例1、因式分解（口答）： ① x2-4=_(_x_+_2_)(_x_-_2) ②9-t2=_(_3_+_t)_(_3_-t_)_
例2、下列多项式能用平方差公式因式分解吗？
例4 分解因式:
(1)x4-y4; (2) a3b – ab.
分析:(1)x4-y4可以写成(x2)2-(y2)2的形式,这样 就可以利用平方差公式进行因式分解了。
解:(1) x4-y4
(2) a3b-ab=ab(a2-1)
= (x2+y2)(x2-y2) = (x2+y2)(x+y)(x-y)
=ab(a+1)(a-1).
比如：①a3b – ab=ab(a2-1)=ab(a+1)(a-1) ②x(x-y)2-x=x[(x-y)2-1]=x(x-y+1)(x-y-1)
3、因式分解应分解到每一个因式都不能分解 为止。 比如：x3-x=x(x2-1)，做完了吗？
=x(x+1)(x-1)
八年级数学下公式法(一)课件
公式法（一）
2 2 a -b =(a+b)(a-b)
分解因式：
① ax+ay ②Biblioteka 2 ax -4a③
2 2xy -50x
乘法公式： 2 2 (a+b)(a-b)=a -b
因式分解公式：
2 2 a -b =(a+b)(a-b)
判断：下列多项式能否用平方差 公式分解因式？
①
x2 +
y2
y2
( 否)
(否 )
② - x2 + y 2 ( 是 )
③-
x2 -
④4
2 x –
9 (是 )
⑤ (x+p)2 - (x+q)2 ( 是 )
谁最快？ ① (x+2)(x-2)是下列哪个多项 ②下列式子中能用平方差公 CD 式分解因式的结果 式分解因式的是 （（ ） ）
2 2 2 A -–xx +–4 y 2 2 Bx m+ +(4 2 n)
测题。 要求：1.题量4—6道 2.满分100分 3.写清出题人
战胜困难 勇做强者
再见
C 169a -
2 x - 24
2 2 2 2 –x- – 4(x+y) -81b D x
套用公式填空：
① 4 - 9m2=( 2 )2- ( 3m )2=(2+3m ) ( 2-3m) 4a+9b)( 4a-9b) ② 16a2 - 81b2 =( 4a)2-( 9b)2=( ③ 36x2 - 49 y2 =(6x )2-( 7y)2 = ( 6x +7y)( 6x -7y) ④ 25m4 - 0.81n2 = ( 5m2 )2 - ( 0.9n)2 = ( 5m2+0.9n)( 5m2-0.9n ) ⑤ 2x2 – 50 = 2( X2-25 ) = 2( X+5)( X-5 )
2 2 a -b =(a+b)(a-b)
分解因式：
① ax+ay ②Biblioteka 2 ax -4a③
2 2xy -50x
乘法公式： 2 2 (a+b)(a-b)=a -b
因式分解公式：
2 2 a -b =(a+b)(a-b)
判断：下列多项式能否用平方差 公式分解因式？
①
x2 +
y2
y2
( 否)
(否 )
② - x2 + y 2 ( 是 )
③-
x2 -
④4
2 x –
9 (是 )
⑤ (x+p)2 - (x+q)2 ( 是 )
谁最快？ ① (x+2)(x-2)是下列哪个多项 ②下列式子中能用平方差公 CD 式分解因式的结果 式分解因式的是 （（ ） ）
2 2 2 A -–xx +–4 y 2 2 Bx m+ +(4 2 n)
测题。 要求：1.题量4—6道 2.满分100分 3.写清出题人
战胜困难 勇做强者
再见
C 169a -
2 x - 24
2 2 2 2 –x- – 4(x+y) -81b D x
套用公式填空：
① 4 - 9m2=( 2 )2- ( 3m )2=(2+3m ) ( 2-3m) 4a+9b)( 4a-9b) ② 16a2 - 81b2 =( 4a)2-( 9b)2=( ③ 36x2 - 49 y2 =(6x )2-( 7y)2 = ( 6x +7y)( 6x -7y) ④ 25m4 - 0.81n2 = ( 5m2 )2 - ( 0.9n)2 = ( 5m2+0.9n)( 5m2-0.9n ) ⑤ 2x2 – 50 = 2( X2-25 ) = 2( X+5)( X-5 )
用公式法求解一元二次方程ppt课件
题 k=0 总有实数根，∴Δ=（2 ）2+4k≥0，解得 k≥-7，
型
突 ∴k 的取值范围是 k≥-7；
破
（2）∵ 方程有两个相等的实数根，
∴Δ=（2 ）2+4k=0，∴k=-7，代入方程，
得x2+2 x+7=0，即（x+ ）2=0，解得 x1=x2=- ．
2.3 用公式法求解一元二次方程
突
破 地的面积为144 m2，则 x=______．
2.3 用公式法求解一元二次方程
重
难
题
型
突
破
［解析］ 根据题意，得（18-2x）（15-x）=144
解得 x=21（不合题意，舍去）或 x=3，
∴ 道路的宽为 3 m．
［答案］ 3
2.3 用公式法求解一元二次方程
变式衍生
重
难
如图，在宽为 20 m，长为 30 m 的矩形地面上修建两
错
易 2×100-4x）cm，宽为（40-2x）cm，根据题意得（1 000混 2×100-4x）（40-2x）=15200， 整理得 x2-220x+2100=0
分
析 ，解得 x1=210，x2=10.因为当 x=210 时，1000-2×1004x＜0，40-2x＜0，即画心的长与宽为负值，不符合实际意
清
单
解 用的最大长度为 15 m，一面利用旧墙，其余三面用篱笆围
读 成，篱笆总长为 24 m．若计划在花圃中间再用一道篱笆隔
成两个小矩形，且围成的花圃面积为50 m2，问能否成功围
成花圃？
2.3 用公式法求解一元二次方程
重 ■题型 甬道问题
难
例
如图，世纪广场有一块矩形绿地，AB=18 m，
型
突 ∴k 的取值范围是 k≥-7；
破
（2）∵ 方程有两个相等的实数根，
∴Δ=（2 ）2+4k=0，∴k=-7，代入方程，
得x2+2 x+7=0，即（x+ ）2=0，解得 x1=x2=- ．
2.3 用公式法求解一元二次方程
突
破 地的面积为144 m2，则 x=______．
2.3 用公式法求解一元二次方程
重
难
题
型
突
破
［解析］ 根据题意，得（18-2x）（15-x）=144
解得 x=21（不合题意，舍去）或 x=3，
∴ 道路的宽为 3 m．
［答案］ 3
2.3 用公式法求解一元二次方程
变式衍生
重
难
如图，在宽为 20 m，长为 30 m 的矩形地面上修建两
错
易 2×100-4x）cm，宽为（40-2x）cm，根据题意得（1 000混 2×100-4x）（40-2x）=15200， 整理得 x2-220x+2100=0
分
析 ，解得 x1=210，x2=10.因为当 x=210 时，1000-2×1004x＜0，40-2x＜0，即画心的长与宽为负值，不符合实际意
清
单
解 用的最大长度为 15 m，一面利用旧墙，其余三面用篱笆围
读 成，篱笆总长为 24 m．若计划在花圃中间再用一道篱笆隔
成两个小矩形，且围成的花圃面积为50 m2，问能否成功围
成花圃？
2.3 用公式法求解一元二次方程
重 ■题型 甬道问题
难
例
如图，世纪广场有一块矩形绿地，AB=18 m，
人教版八年级数学上册《公式法》整式的乘法与因式分解PPT精品课件
1
-1
1
-2
1×(-2)+1×(-1)=-3
(2)
1
-2
1
5
1×5+1×(-2)=3
解：(1) x2-3x+2=(x-1)(x-2)； (2) x2+3x-10=(x-2)(x+5).
随堂练习
x(x+2)(x+3)
1.（2019·淄博）分解因式：x3+5x2+6x=___________.
分析：x3+5x2+6x
(1)当多项式的各项有公因式时，应先提取公因式；当
多项式的各项没有公因式时（或提取公因式后），若
符合平方差公式或完全平方公式，就利用公式法分解
因式；
(2)当不能直接提取公因式或用公式法分解因式时，可
根据多项式的特点，把其变形为能提取公因式或能用
公式法的形式，再分解因式；
(3)当乘积中的每一个因式都不能再分解时，因式分解
一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公
因式提取出来，将多项式写成公因式与另外一个因式
的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法.
提公因式法一般步骤：
(1)确定公因式：先确定系数，再确定字母和字母的指
数；
(2)提公因式并确定另外一个因式：用多项式除以公因
式，所得的商就是提公因式后剩下的另一个因式；
1
2
=x(x2+5x+6)
1
3
=x(x+2)(x+3).
1×3+1×2=5
2.（2019·威海）分解因式：2x2-6x+4=__________.
2(x-1)(x-2)
-1
1
-2
1×(-2)+1×(-1)=-3
(2)
1
-2
1
5
1×5+1×(-2)=3
解：(1) x2-3x+2=(x-1)(x-2)； (2) x2+3x-10=(x-2)(x+5).
随堂练习
x(x+2)(x+3)
1.（2019·淄博）分解因式：x3+5x2+6x=___________.
分析：x3+5x2+6x
(1)当多项式的各项有公因式时，应先提取公因式；当
多项式的各项没有公因式时（或提取公因式后），若
符合平方差公式或完全平方公式，就利用公式法分解
因式；
(2)当不能直接提取公因式或用公式法分解因式时，可
根据多项式的特点，把其变形为能提取公因式或能用
公式法的形式，再分解因式；
(3)当乘积中的每一个因式都不能再分解时，因式分解
一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公
因式提取出来，将多项式写成公因式与另外一个因式
的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法.
提公因式法一般步骤：
(1)确定公因式：先确定系数，再确定字母和字母的指
数；
(2)提公因式并确定另外一个因式：用多项式除以公因
式，所得的商就是提公因式后剩下的另一个因式；
1
2
=x(x2+5x+6)
1
3
=x(x+2)(x+3).
1×3+1×2=5
2.（2019·威海）分解因式：2x2-6x+4=__________.
2(x-1)(x-2)
一元二次方程解法公式法初中数学课件完美版PPT
例 3 解方程：（x-2)(1-3x)=6
解：去括号：x-2-3x2+6x=6 化简为一般式：-3x2+7x-8=0 3x2-7x+8=0 这里 a=3, b= -7, c= 8.
∵b2 - 4ac=(-7)2 - 4×3×8=49 - 96= - 47< 0,
∴原方程没有实数根.
我最棒
,用公式法解下列方程
列方程解应用题的一般步骤: 一审;二设;三列;四解;五验;六答. 用配方法解一元二次方程的一般步骤: 1.化1: 2.移项: 3.配方:; 4.变形: 5.开方: 6.求解: 7.定解:一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式:
x 9 17. 44
x 9 17. 44
5.开方:根据平方根意义, 方程两边开平方;
6.求解:解一元一次方程;
x19417;x29417. 7.定解:写出原方程的解.
心动 不如行动 公式法是这样生产的
你能用配方法解方程 ax2+bx+c=0(a≠0) 吗?
解 xx2x :当 2xba22bbaxba2 ba2x4x2abba2cacac42a.0 4时 20a.,c2b.a2ac方.右5系12程4..3.边.开数化移.两变配合方绝1项边形:方并:对把:开:根:把同方值二方平据常类程一次程方平数;左半项 两;方项分的系边根移解平数都意到因方化加义方式;为上,程,一1的;次右项边;
解：这里 a=1, b= -7, c= -18.
∵b2 - 4ac=(-7)2 - 4×1×(-18)=121﹥0,
x7211217211,
即：x1=9, x2= -2.
动脑筋
x b
b2 4 α c 2α
八年级数学上册教学课件《公式法(第1课时)》
=4×(1+2)=12．
课堂检测
基础巩固题
14.3 因式分解
1.下列多项式中能用平方差公式分解因式的是( D )
A．a2＋(–b)2
B．5m2–20mn
C．–x2–y2
D．–x2＋9
2. 将多项式x–x3因式分解正确的是( D )
A．x(x2–1)
B．x(1–x2)
C．x(x+1)(x–1)
D．x(1+x)(1–x)
( a + b )( a – b ) = a2 – b2 a 2 – b 2 = ( a + b )( a – b )
因式分解
两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个 数的差的乘积.
探究新知
14.3 因式分解
辨一辨：下列多项式能否用平方差公式来分解因式，为什么？
(1)x2+y2
×
(2)x2–y2
√
(2)原式＝(3m＋3n–m＋n)(3m＋3n＋m–n)
＝(2m＋4n)(4m＋2n) ＝4(m＋2n)(2m＋n)．
若用平方差公式分解后 的结果中有公因式，一定要 再用提公因式法继续分解.
探究新知
14.3 因式分解
素养考点 2 多次因式分解
例2 分解因式： (1) x4 y4 ;
(2) a3 b ab.
(2)原式＝(a2–4b2)–(a＋2b) ＝(a＋2b)(a–2b)–(a＋2b)
＝(a＋2b)(a–2b–1).
探究新知
14.3 因式分解
素养考点 3 利用因式分解求整式的值
例3 已知x2–y2＝–2，x＋y＝1，求x–y，x，y的值．
解：∵x2–y2＝(x＋y)(x–y)＝–2，
课堂检测
基础巩固题
14.3 因式分解
1.下列多项式中能用平方差公式分解因式的是( D )
A．a2＋(–b)2
B．5m2–20mn
C．–x2–y2
D．–x2＋9
2. 将多项式x–x3因式分解正确的是( D )
A．x(x2–1)
B．x(1–x2)
C．x(x+1)(x–1)
D．x(1+x)(1–x)
( a + b )( a – b ) = a2 – b2 a 2 – b 2 = ( a + b )( a – b )
因式分解
两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个 数的差的乘积.
探究新知
14.3 因式分解
辨一辨：下列多项式能否用平方差公式来分解因式，为什么？
(1)x2+y2
×
(2)x2–y2
√
(2)原式＝(3m＋3n–m＋n)(3m＋3n＋m–n)
＝(2m＋4n)(4m＋2n) ＝4(m＋2n)(2m＋n)．
若用平方差公式分解后 的结果中有公因式，一定要 再用提公因式法继续分解.
探究新知
14.3 因式分解
素养考点 2 多次因式分解
例2 分解因式： (1) x4 y4 ;
(2) a3 b ab.
(2)原式＝(a2–4b2)–(a＋2b) ＝(a＋2b)(a–2b)–(a＋2b)
＝(a＋2b)(a–2b–1).
探究新知
14.3 因式分解
素养考点 3 利用因式分解求整式的值
例3 已知x2–y2＝–2，x＋y＝1，求x–y，x，y的值．
解：∵x2–y2＝(x＋y)(x–y)＝–2，
北师大版八年级数学下册第四章4.3公式法(1)课件
=(3a+3b+2a-2b) (3a+3b-2a+2b)
=(5a+b)(a+5b)
把多项式x4-16因式分解.
解：x4-16 =(x2)2-42 =(x2+4)(x2-4) =(x2+4)(x+2)(x-2)
把下列各式因式分解:
(1) a4–b4=(a2)2-(b2)2= (a2+b2)(a2-b2)
(5) a2-4；
(6) a2+32.
因式分解： 9x2-4y2
解：9x2-4y2 =(3x)2-(2y)2 =(3x+2y) (3x- 2y)
a2 b2 (a b)(a b)
先确定a和b
例1 把下列各式因式分解：
（1）25-16x2 （2） 9a2 1 b2
4
解：（1）25-16x2 =52-（4x）2
补充练习
1、设n为整数，你能说明(2n+1)2-25一定 能被4整除吗？
3、已知3a+b=10000，3a-b=0.0001， 求 b2-9a2 的值.
小结
从今天的课程中，你学到了哪些知识？ 掌握了哪些方法？
（1）有公因式（包括负号）则先提取公因式； （2）整式乘法的平方差公式与因式分解的平方 差公式是互逆关系；
x2-25=x2-52=(x+5)(x-5)； 9x2-y2 =(3x)2-y2=(3x+y)(3x-y).
事实上，把乘法公式(a+b)(a-b)=a2-b2反过来，就 得到
a2-b2=(a+b)(a-b)
你对平方差公式认识有多深？
a2-b2=(a+b)(a-b)
△2- 2=（△+ ）（△- ）
=(5a+b)(a+5b)
把多项式x4-16因式分解.
解：x4-16 =(x2)2-42 =(x2+4)(x2-4) =(x2+4)(x+2)(x-2)
把下列各式因式分解:
(1) a4–b4=(a2)2-(b2)2= (a2+b2)(a2-b2)
(5) a2-4；
(6) a2+32.
因式分解： 9x2-4y2
解：9x2-4y2 =(3x)2-(2y)2 =(3x+2y) (3x- 2y)
a2 b2 (a b)(a b)
先确定a和b
例1 把下列各式因式分解：
（1）25-16x2 （2） 9a2 1 b2
4
解：（1）25-16x2 =52-（4x）2
补充练习
1、设n为整数，你能说明(2n+1)2-25一定 能被4整除吗？
3、已知3a+b=10000，3a-b=0.0001， 求 b2-9a2 的值.
小结
从今天的课程中，你学到了哪些知识？ 掌握了哪些方法？
（1）有公因式（包括负号）则先提取公因式； （2）整式乘法的平方差公式与因式分解的平方 差公式是互逆关系；
x2-25=x2-52=(x+5)(x-5)； 9x2-y2 =(3x)2-y2=(3x+y)(3x-y).
事实上，把乘法公式(a+b)(a-b)=a2-b2反过来，就 得到
a2-b2=(a+b)(a-b)
你对平方差公式认识有多深？
a2-b2=(a+b)(a-b)
△2- 2=（△+ ）（△- ）
人教版八年级数学上册14.3.2《公式法》 课件第1课时(共17张PPT)
3．因式分解与整式乘法有着怎样的关系？ 因式分解与整式乘法是方向相反的变形，把整式 乘法的平方差公式 (a b)(a b) a2 b2 的等号两 边互换位置，就得到 a2 b2 (a b)(a b) ．
探究新知
4．将 a2 b2 (a b)(a b) 用文字语言表述， 并说明公式中的字母a，b可以表示什么？
（1）(a b)2 c2 a2 2ab b2 c2 ；
不正确． 对分解因式的概念不清，左边是多项式的形 式，右边应是整式乘积的形式，但右边还是多项 式的形式，因此，最终结果是未对所给多项式进 行因式分解.
课堂练习
（2）a4 1 (a2 )2 1 (a2 1)(a2 1) ．
不正确． 因式分解不彻底．
3．因式分解应进行到每一个因式不能分解为止． 4．计算中应用因式分解，可使计算简便．
课堂小结
本图片资源介绍了用平方差公式分解因式，适用于公 式法的教学.若需使用，请插入图片【知识点解析】 用平方差公式分解因式.
课堂小结
本图片资源介绍了因式分解的一般步骤，适用于因式 分解的教学.若需使用，请插入图片【知识点解析】 因式分解的一般步骤.
（1）x2 4 与多项式和 （2）a2 36 进行因式
分解？
（1）x2 4 x2 22 (x 2)(x 2) ； （2） a2 36 a2 62 (a 6)(a 6) ．
例题解析
【例1】分解因式：
（1）4x2 9 ； （2） (x p)2 (x q)2 ．
解：（1）4x2 9 (2x)2 32 (2x 3)(2x 3) ； （2）(x p)2 (x q)2 [(x p)+(x q)][(x p) (x q)] (2x p q)( p q) ．
文字语言表述：两个数的平方差，等于这两个数 的和与这两个数的差的积．字母a 、b可以表示任何 数、单项式或多项式．
探究新知
4．将 a2 b2 (a b)(a b) 用文字语言表述， 并说明公式中的字母a，b可以表示什么？
（1）(a b)2 c2 a2 2ab b2 c2 ；
不正确． 对分解因式的概念不清，左边是多项式的形 式，右边应是整式乘积的形式，但右边还是多项 式的形式，因此，最终结果是未对所给多项式进 行因式分解.
课堂练习
（2）a4 1 (a2 )2 1 (a2 1)(a2 1) ．
不正确． 因式分解不彻底．
3．因式分解应进行到每一个因式不能分解为止． 4．计算中应用因式分解，可使计算简便．
课堂小结
本图片资源介绍了用平方差公式分解因式，适用于公 式法的教学.若需使用，请插入图片【知识点解析】 用平方差公式分解因式.
课堂小结
本图片资源介绍了因式分解的一般步骤，适用于因式 分解的教学.若需使用，请插入图片【知识点解析】 因式分解的一般步骤.
（1）x2 4 与多项式和 （2）a2 36 进行因式
分解？
（1）x2 4 x2 22 (x 2)(x 2) ； （2） a2 36 a2 62 (a 6)(a 6) ．
例题解析
【例1】分解因式：
（1）4x2 9 ； （2） (x p)2 (x q)2 ．
解：（1）4x2 9 (2x)2 32 (2x 3)(2x 3) ； （2）(x p)2 (x q)2 [(x p)+(x q)][(x p) (x q)] (2x p q)( p q) ．
文字语言表述：两个数的平方差，等于这两个数 的和与这两个数的差的积．字母a 、b可以表示任何 数、单项式或多项式．
北师大版八年级下册数学课件公式法第1课时平方差公式
课堂导练
*12.若 xn－1＝(x＋1)(x－1)(x2＋1)(x4＋1)，则 n 等于( D )
A．16
B．4 C．6 D．8
【点拨】∵(x＋1)(x－1)(x2＋1)(x4＋1)＝(x2－1)(x2＋1)(x4＋1)＝ (x4－1)(x4＋1)＝x8－1＝xn－1，∴n＝8.
课堂导练
13．(中考·凉山州)多项式 3x2y－6y 在实数范围内分解因式正确
精彩一题 19．分解因式：x2－4y2－2x＋4y.细心观察这个式子就会发现，
前两项满足平方差公式的应用条件，后两项可提取公因式， 前、后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因 式就可以完成整个式子的分解因式．具体过程：x2－4y2－2x ＋4y＝(x＋2y)(x－2y)－2(x－2y)＝(x－2y)(x＋2y－2)．这种 分解因式的方法叫做分组分解法．请利用这种方法解决下列 问题：
解：原式＝25×(1012－992) ＝25×(101＋99)×(101－99) ＝25×200×2＝10 000；
课后训练 (2)251202－0020482；
解：原式＝（252＋248）10×00（0 252－248）＝510000×004＝5；
1 (3)5011
2－4911102.
原式＝50111＋491110×50111－491110＝100×121＝21010.
课堂导练
3．下列多项式中，不能用平方差公式分解的是( A ) A．－m4－n4 B．－16x2＋y2 C．1.96－x2 D．a2－14b2
课堂导练
4．(2019·贺州)把多项式 4a2－1 分解因式，结果正确的是( B ) A．(4a＋1)(4a－1) B．(2a＋1)(2a－1) C．(2a－1)2 D．(2a＋1)2
北师大版初中八年级下册数学课件 《公式法》因式分解PPT(第1课时)
强化训练
2. 证明：任意两奇数的平方差能被8整除. 证明：设任何奇数为2m＋1,2n＋1(m,n是整数） 则(2m＋1) ²-(2n＋1) ² ＝（2m＋1＋2n+1）（2m-2n） ＝4(m-n)(m+n＋1) 可见只要证明(m-n)(m+n-1)是偶数即可， 若m,n都是奇数或偶数，则m-n为偶数, 4(m-n)(m+n＋1)能被8整除， 若m,n都为一奇一偶，则m+n+1为偶数, 4(m-n)(m+n＋1)也能被8整除， 所以，任意的两个奇数的平方差能被8整除.
解：∵b²+2ab=c²+2ac， ∴b²－c²+2ab－2ac=0， ∴（b+c）（b－c）+2a（b－c）=0， （b－c）（b+c+2a）=0． ∵a，b，c为三角形三边，所以b+c+2a＞0， ∴b－c=0，即b=c．所以△ABC为等腰三角形．
课堂小结
1.平方差公式运用的条件： （1）二项式 （2）两项的符号相反 （3）每项都能化成平方的形式 2.公式中的a和b可以是单项式，也可以是多项式 3.各项都有公因式，一般先提公因式，再进一步分解，直至不能再分解为止.
强化训练
1.已知a、b、c是∆ABC的三边，且满足a²c²－b²c²＝a4-b4，是判断∆ABC的形状. 解：a²c²-b²c²=a4-b4， a²c²-b²c²-a4+b4=0， c²(a²-b²)-(a²+b²)(a²-b²)=0 (a²-b²)(c²-a²-b²)=0 (a＋b) (a-b)(c²-a²-b²)=0 其中a＋b≠0， ∴a-b=0或c²-a²-b²=0 ∴a²＋b²=c²或a＝b. ∆ABC是直角三角形,或∆ABC是等腰直角三角形.
《公式法》课件1
这种因式分解的方法叫做公式法． 二、平方差公式： (a+b)(a-b)=a2-b2 三、完全平方差公式： a2+2ab+b2 =(a+b)2；a2-2ab+b2 =(a-b)2
形如a2+2ab+b2或a2-2ab+b2的式子称为完全平方式.
新课学习
由分解因式与整式乘法的关系可以看 出,如果把乘法公式反过来,那么就可以把 某些多项式分解因式,这种分解因式的方 法叫做运用公式法.
新课学习
例3、把下列完全平方式分解因式：
(1)x2+14x+49； (2) (m+n)2-6(m+n)+9.
课堂练习
2. 把下列各式分解因式： (1) a2b2-m2 (2) (x+y+z)2-(x-y-z)2 (3) x2-(a+b-c)2 (4) -16x4+81y4 答案：(1) (ab+m)(ab-m)
(2) 4x(y+z) (3) (x+a+b-c)(x-a-b+c) (4) (9y2+4x2)(3y+2x)(3y-3x)
解:(1) 3ax2+6axy+3ay2 = 3a(x2+2xy+y2) =3a(x+y)2；
(2)-x2-4y2+4xy =-(x2+4y2-4xy) =-(x2-4xy+4y2) =-[x2-2·x·2y+(2y)2] =-(x-2y)2.
结论总结
这节课你有什么收获？
1. 运用公式法分解因式： 平方差公式和完全平方公式；
是
(2) x2+4x+4y2
形如a2+2ab+b2或a2-2ab+b2的式子称为完全平方式.
新课学习
由分解因式与整式乘法的关系可以看 出,如果把乘法公式反过来,那么就可以把 某些多项式分解因式,这种分解因式的方 法叫做运用公式法.
新课学习
例3、把下列完全平方式分解因式：
(1)x2+14x+49； (2) (m+n)2-6(m+n)+9.
课堂练习
2. 把下列各式分解因式： (1) a2b2-m2 (2) (x+y+z)2-(x-y-z)2 (3) x2-(a+b-c)2 (4) -16x4+81y4 答案：(1) (ab+m)(ab-m)
(2) 4x(y+z) (3) (x+a+b-c)(x-a-b+c) (4) (9y2+4x2)(3y+2x)(3y-3x)
解:(1) 3ax2+6axy+3ay2 = 3a(x2+2xy+y2) =3a(x+y)2；
(2)-x2-4y2+4xy =-(x2+4y2-4xy) =-(x2-4xy+4y2) =-[x2-2·x·2y+(2y)2] =-(x-2y)2.
结论总结
这节课你有什么收获？
1. 运用公式法分解因式： 平方差公式和完全平方公式；
是
(2) x2+4x+4y2
《公式法》因式分解PPT课件(第1课时)
(1)( + ) −( − )
解： (1)( + ) −( − )
= ( + )
− ( − )
多项式
= + + ( − ) + − ( − )
=( + + − )( + − + )
=( + )( + )
＝4×100×7=2800.
连接中考
( −)( −)
（2020•河北）若
则 =
= × × ，
.
解析：方程两边都乘以，
得 − − = × × ，
∴ + − + − = × × ，
）
平方差公
式因式分
解的步骤
一找 二套 三彻底
解： 4x2+8x+11
=4(x2+2x)+11
=4(x2+2x+1-1)+11
=4(x+1)2-4+11
=4(x+1)2+7
∵4(x+1)2≥0，
∴4(x+1)2+7>0
即4x2+8x+11>0，所以小刚说得对.
课堂小结
公式
− = ( + )( − )
公式法
分解因式
（平方差公式
答：剩余部分的面积为36 cm2.
课堂检测
能力提升题
已知 = + ， = + ， ≠ ，则
+ + 的值为
16
.
解析：将 = + ， = + 相减，
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