浅谈逻辑函数中的任意项、约束项与无关项
约束项、任意项和无关项的辨析
约束项、任意项和⽆关项的辨析约束项、任意项和⽆关项等⼀、逻辑代数的基本定理带⼊定理，⽤⼀个逻辑式代替等式中所有同⼀个变量，等式仍然成⽴。
反演定理，与或互换，原反互换，结果为原来结果的取反。
--注：1.仍要注意先括号再乘，最后加的优先次次序。
2.不属于单个变量上的反号要保留不变。
对偶定理，所谓对偶，就是把逻辑式中与、或互换，0、1互换（注意，不是逻辑式取反。
），如果两逻辑式相等，那么他们的对偶式也相等。
⼆、从真值表写出逻辑函数式的⼀般⽅法找出真值表中Y=1的输⼊变量的组合；取值为1的取原变量，为0的取反变量，然后与起来；这些乘积项相加即得Y的逻辑函数式。
三、逻辑函数的标准形式，最⼩项之和、最⼤项之积。
最⼩项，所有变量（或其反变量）都在⼀个乘积项中出现⼀次。
最⼤项，所有变量（或其反变量）都在和式中出现⼀次。
四、逻辑函数的化简⽅法最简形式，在逻辑式中，乘积项最少，乘积项中的因⼦也最少。
五、卡诺图，将n变量的全部最⼩项⽤⼀个⼩⽅块表⽰，并使具有逻辑相邻性(6) 若两个最⼩项只有⼀个因⼦不同，则称他们有逻辑相邻性）的最⼩项在⼏何位置上也相邻的排列起来的图形。
⽤卡诺图化简的步骤：将逻辑函数化为最⼩项之和的形式；画出卡诺图（1表⽰原变量，0表⽰取反的；有相应最⼩项的地⽅添1，没有则添0）；找出可以合并的最⼩项；--允许重复使⽤最⼩项；选取化简后的乘积项。
选取化简后的乘积项。
注：也可以合并0求出Y反再把Y反求反得到Y，因为所有的最⼩项之和为1，Y与Y反之和也为⼀，Y为添1那部分最⼩项的和，所以Y反⼀定就是添0那部分最⼩项的和了。
六、具有⽆关项的逻辑函数以及其化简1、与函数⽆关的最⼩项称为⽆关项，⽆关项是约束项和任意项的总称，⽤d 表⽰。
2、约束项⑴⼀个n变量的函数并不⼀定与2n个最⼩项都有关，有时，它仅与其中⼀部分有关，⽽与另⼀部分⽆关。
例如BCD 码，只⽤了4位⼆进制数组成的16个最⼩项中的10个编码，其中必有6个最⼩项是不会出现的，我们称这些最⼩项为约束项。
《数字电子技术基础》读书笔记02逻辑代数基础
《数字电子技术基础》读书笔记02 逻辑代数基础2.1从布尔代数到逻辑代数1849年英国数学家乔治布尔(George Boole)提出布尔代数，使用数学方法进行逻辑运算。
把布尔代数应用到二值逻辑电路中，即为逻辑代数。
2.2逻辑代数中的运算(想想初等代数中的加减乘除)2.2.1三种基本运算与(AND)：逻辑乘，Y=A B或(OR)：逻辑加，Y=A+B非(NOT)：逻辑求反，Y=Aˊ简单逻辑运算(与、或、非)的两套图形符号，均为IEEE(国际电气与电子工程师协会)和IEC(国际电工协会)认定。
上排为国外教材和EDA软件中普遍使用的特定外形符号；下排为矩形符号。
2.2.2复合逻辑运算(都可以表示为与、或、非的组合)与非(NAND)：先与后非，与的反运算，Y=(A B)ˊ或非(NOR)：先或后非，非的反运算，Y=(A+B)ˊ与或非(AND-NOR)：先与再或再非，Y=(A B+C D)ˊ异或(Exclusive OR)：Y=A⊕B=A Bˊ+AˊB A和B不同，Y为1；A和B相同，Y为0。
当A与B相反时，A Bˊ和AˊB，肯定有一个结果为1，则Y为1。
同或(Exclusive NOR)：Y=A⊙B=A B+AˊBˊA和B相同，Y为1；A和B不同，Y为0。
当A与B相同时，A B和AˊBˊ，肯定有一个结果为1，则Y为1。
同或与同或互为反运算，即两组运算，只要输入相同，一定结果相反。
A⊕B=(A⊙B)ˊA⊙B=(A⊕B)ˊ复合逻辑运算的图像符号和运算符号。
2.3逻辑代数的基本公式和常用公式2.3.1基本公式(见对偶定理)2.3.2若干常用公式(见逻辑函数化简方法之公式化简法)2.4逻辑代数的基本定理2.4.1代入定理(相当于初等代数中的换元)任何一个包含逻辑变量A的逻辑等式中，若以另外一个逻辑式代入式中所有A的位置，则等式依然成立。
2.4.2反演定理对于任意一个逻辑式Y，若将其中所有的""换成"+"，"+"换成""，"0"换成"1"，"1"换成"0"，原变量换成反变量，反变量换成原变量，则得到的结果就是Yˊ。
逻辑电路设计中约束项与任意项的使用
逻辑电路设计中约束项与任意项的使用摘要：本文通过对约束项和任意项的讨论，提出只有正确地识别和合理地使用约束项和任意项，才可以设计出最简单、最科学、最适用的逻辑电路。
关键词：逻辑电路约束项任意项逻辑函数逻辑电路的关键是建立数学模型（即将逻辑问题转化成逻辑表达方式）。
数学模型越简单，所设计的逻辑电路就越简单。
逻辑电路设计的步骤是：将逻辑问题转化成表达式，使用卡诺图或公式化简表达式，由化简的表达式画逻辑电路图。
由于一个逻辑函数的表达式不是唯一的，这就决定了相同功能的逻辑电路也不是唯一的。
逻辑函数的表达方式越简单，我们得到的逻辑电路也就越简单。
正确地识别、使用约束项和任意项是我们得到最简逻辑函数表达式的重要手段。
一、约束项和任意项的概念实践中不会出现的，或者是实践中可能出现但不允许出现的取值组合所对应的最小项称之为约束项；有一些逻辑函数在一些输入变量的组合情况下取值是任意的，我们称它们所对应的最小项为任意项（约束项和任意项在真值表或卡诺图中用φ来表示）。
例：试用三个主从jk触发器设计一个能自启动的异步六进制减法计数器。
解：（1）根据要求选择d2、d1、d0三个主从jk触发器。
设d2、d1、d0三个主从jk触发器的状态输出端分别为q2、q1、q0，非状态输出端分别为2、1、0，d2、d1、d0三个触发器的时钟脉冲分别选择为cp2=0、cp1=q0、cp1=cp（计数脉冲）。
（2）由逻辑问题：六进制减法计数器可得状态转化表，即表1。
设三个触发器的初态分别用q2、q1、q0表示，次态分别用q2n+1、q1n+1、q0n+1表示。
三个变量有八种组合，表1中没有出现的两种状态组合110、111是六进制计数所不允许出现的，笔者把它们当作约束项来处理。
表1中101、011、001三种状态的组合，由于cp2=0、cp1=q0，触发器d2、d1的时钟脉冲q0的下降沿还没有来，触发器的次态应等于初态，保持不变。
若把次态当作相反的状态，实际上也不会翻过来改变结果。
无关项及其在逻辑函数中的应用
注意:在考虑无关项时，哪些无关项当作1，哪些无关项当 作0，要以尽量扩大卡诺圈、减少圈的个数，使逻辑函 数更简为原则。
例11：某逻辑函数输入是8421BCD码，其逻辑表达式为：
L（A,B,C,D）=∑m（1,4,5,6,7,9）+∑d（10,11,12,13,14,15）
用卡诺图法化简该逻辑函数。
解：（1）画出4变量卡诺图。将1、4、5、6、7、9号小方格填入1； 将10、11、12、13、14、15号小方格填入×。
（2）合并最小项，如图（a）所示。注意，1方格不能漏。×方格 根据需要，可以圈入，也可以放弃。
（3）写出逻辑函数的最简与—或表达式:
如果不考虑无关项，如图（b）所示，写出表达式为：
数字电路逻辑设计
1.1 约束项、任意项和逻辑函数中的无关项
1．无关项——在有些逻辑函数中，输入变量的某些取值组合不会出现， 或者一旦出现，逻辑值可以是任意的。这样的取值组合所对应的最小项 称为无关项、任意项或约束项。
例10：在十字路口有红绿黄三色交通信号灯，规定红灯亮停，绿灯亮行，黄灯亮 等一等，试分析车行与三色信号灯之间逻辑关系。
数字电路逻辑设计
解：设红、绿、黄灯分别用A、B、C表示，且灯亮为1，灯灭为0。 车用L表示，车行L=1，车停L=0。列出该函数的真值。
显而易见，在这个函数中，有5个 最小项为无关项。
带有无关项的逻辑函数的最 小项表达式为：
L=∑m（ ）+∑d（ ）
如本例函数可写成
L=∑m（2）具有无关项的逻辑函数的化简 化简具有无关项的逻辑函数时，要充分利用无关项可以当0也可以当 1的特点，尽量扩大卡诺圈，使逻辑函数更简。 例10： 不考虑无关项时，表达式为：
2.7 具有无关项的逻辑函数及其化简
Y B AC
[例] 化简逻辑函数
约束条件
Y AC D ABC D AB C D AB AC 0
CD AB 简与或表达式
01 11 10
1
1
Y C D B D AD AB AC 0
1
注意：合并时，究竟把 ╳ 作为 1 还是作为 0 应以得到 的包围圈最大且个数最少为原则。
111
(2) 约束项：不会出现的变量取值所对应的最小项。
(3) 约束条件： 由约束项相加所构成的值为 0 的 逻辑表达式。
2. 约束条件的表示方法
① 在真值表和卡诺图上用叉号(╳)表示。 ② 在逻辑表达式中，用等于 0 的条件等式表示。 例如，上例中 ABC 的不可能取值为 000 011 101 110 约束项： ABC
例:
Y ( A, B, C , D) m(1,2,5,6,9) 约束条项: m10 m11 m12 m13 m14 0
CD AB 00 01 11 10 1 1 00 1 1 01 11 10 1
Y CD C D
一、 约束的概念和约束条件
1. 约束、约束项、约束条件 (1) 约束： 输入变量取值所受的限制 例如，逻辑变量 A、B、C，分别表示电梯的 升、降、停 命令。 A = 1 表示升，B = 1 表示降，C = 1 表示停。
ABC 的可能取值 001 不可能取值 000
010 011
100 101
110
2.7具有无关项的逻辑函数及其化简
约束项 任意项
在逻辑函数中，不能出现的变量取 值用最小项等于0来表示，称这些恒 为0的最小项为约束项 在输入变量某些取值下，函数值为1 或为0不影响逻辑电路的功能，称这 些最小项称为任意项
浅谈逻辑函数中的任意项、约束项与无关项
教 育教 学论 坛
Ｅ Ｄ ＵＣ ＡＴ Ｉ Ｏ Ｎ ＴＥ Ａ ＣＨＩ Ｎ Ｇ Ｆ Ｏ ＲＵＭ
Ｓ ｅＰ ． ２ ０１ ４ Ｎ０ ． ３ ７
浅谈逻辑 函数 中的任意项 、 约 束项 与无关项
景 亚 霓
（ 江南 大学 物 联 网学 院电子工 程 系 ， 江苏 无锡 ２ １ ４ １ ２ ２ ） 来自、实例 解析
教材定义 ， “ 在输人变量的某些取值下函数值是 １ 还是０ 皆可 ， 并 不影 响 电路 的逻辑 功能 。在 这些 变 量取 值下 ， 其值 等于１ 的那些最小项称为任意项。 ” “ 我们将约束项和任意项 统称 为逻 辑 函数式 中 的无 关项 。” “ 因为约 束项 根本 不 会 出 现， 或 不 允许 出现 ， 所 以在化 简 时 ， 可 以充 分利 用 约 束项 取 值 的任意性 ， 有时将约束项认为是１ ， 有时又可将其认为是 ０ ， 完 全视 需要 而定 ， 取１ 或取０ 都 不会 影 响其 函数 值 。” 学生 纠结 ：①函数相应的约束条件逻辑表达式为什么可以用它 们对应的最小项 的值等于０ 来表示？ ②比如一个函数包括最 小项Ａ Ｂ Ｃ ， 自然在 卡诺 图 中ｍ ７ 处写１ 。 如果 Ａ Ｂ Ｃ 是约 束项 ， 则 约束条件 中Ａ Ｂ Ｃ ＝ ０ ， 但在卡诺 图化简时可 以认为它是 １ ， 也 在卡诺 图中ｍ ７ 处仍写 １ 。这两 种情 况有 什么 区别 ？难道 “ 函 数包括最小项Ａ Ｂ Ｃ ” 和“ Ａ Ｂ Ｃ 是 约束 项 ” 没 有 区别 ？ ③ 如果
《 数字 电子技术》 课程是教育部对 自动化 、 电子信息工 程、 通信工程及电气工程等专业要求的重要专业（ 技术 ） 基 础必修课程 ， 是 学 生 学 习 电子设 计 自动 化 （ Ｅ Ｄ Ａ） 、 传感器 、 电子 测量 、 单 片机 等后 续课 程理 论和 实践 的基 础 。 本课 程涉 及 到 一个 重要 的概 念 即逻辑 函数 ， 逻 辑 函数 中 的任意 项 、 约 束 项 与无关 项 以及 约束 条件逻 辑 表达 式 ，在用 卡诺 图化简 逻辑 函数 时 ， 都是 很重要 的概念 ， 但 同时又 是 比较难 以理解 的概 念 。 学生 常 常纠结 在课 本 的定义 上 ， 仅仅 按 照课本 的定 义按部就班， 知其然不知其所以然。 本文 以广泛应用的普通 高校教育“ 十五” 国家级规划教材及高等学校规划教材为基 础， 结合实例 ， 进一步明确这些概念 的本质意义。
知识点4.具有无关项逻辑函数化简
逻辑函数的化简——具有无关项逻辑函数化简
（4）含无关项逻辑函数的表达式：逻辑表达式 + 约束条件
（无关项组成的表达式称为约束条件）
或者 Y= ∑m(1,2,4)+∑d(0,3,5,6,7)
逻辑函数的化简——具有无关项逻辑函数化简
2、具有无关项逻辑函数的化简
【例1】化简函数: Y(A, B,C) m(1,3,5) d(6,7)
逻辑函数的化简——具有无关项逻辑函数化简
结论：
合理地利用无关项，可得更简单的化简结果。 加入（或去掉）无关项，应使化简后的项数最少，每 项因子最少。 从卡诺图上直观地看，加入无关项的目的是为矩形圈 最大，圈数最少。
解: (辑函数的化简——具有无关项逻辑函数化简
【例2】 化简逻辑函数Y(A，B，C，D)= ∑m(1,2,5,6,9)+ ∑d（0,7,8,10,13,14,15）
逻辑函数的化简——具有无关项逻辑函数化简
【例3】 化简逻辑函数X(A,B,C,D)= ∑m(4,6,10,12,15)+ ∑d(0,1,2,5,7,8）
逻辑函数的化简——具有无关项逻辑函数化简
由于每一组输入变量的取值都使一个、而且仅有一个最小项的 值为1，所以当限制某些输入变量的取值不能出现时，可以用它们 对应的最小项等于0来表示。这样，上述例子中的约束条件可以表 示为
或写成： 同时，把这些恒等于0的最小项叫做约束项。
逻辑函数的化简——具有无关项逻辑函数化简
（2）任意项 有时还会遇到另外一种情况：在输入变量的某些取值下函
数值是1还是0皆可，并不影响电路的功能。在这些变量取值下 ，其值等于1的那些最小项称为任意项。
逻辑函数的化简——具有无关项逻辑函数化简
逻辑函数中的约束和约束项的利用
逻辑函数中的约束和约束项的利用
逻辑函数中的约束和约束项的利用
约束和约束项是解决大型线性问题的有效方法。
它们有助于定义问题的解，以
及允许它们以一种有效的方式进行求解。
约束的定义源于数学概念，它们是用来满足问题的结果的一些限制条件。
约束项是约束的实现方式，它们可以帮助建立逻辑函数，并限制函数的参数的变化。
约束和约束项的重要性无可厚非。
它们有助于将问题解决的可能性从无限质量
缩小到实用的质量。
而把限制条件融入逻辑函数中，对可能理解和控制系统行为是至关重要的。
另外，它们还可以节省一次次尝试和错误式的时间，从而提高问题解决速度。
约束项不仅允许有效地求解大型线性问题，还可以实现更加复杂的搜索以获得
最优解。
这些方法为以后更复杂的解决方案的搜索提供了可能性。
此外，约束项还有助于减少搜索的次数，从而缩短到最优解的路径，从而提高逻辑函数的求解速度。
总的来说，约束和约束项的应用有助于更强大的算法，可以有效地解决大型线
性问题，同时还能减少搜索次数，从而使问题求解更加容易、快速。
逻辑问题中最小项和无关项的应用
逻辑问题中最小项和无关项的应用
逻辑问题中最小项和无关项的应用
最小项是指一个逻辑表达式中的最小乘积项，也就是只包含一个变量
或其补的项。
最小项分解是一种将逻辑表达式分解为只包含最小项的
乘积项的方法，这对于简化逻辑表达式非常有用。
无关项是指一个逻辑表达式中没有在任何乘积项中出现的变量或其补，这些变量或其补对表达式的结果没有影响。
在简化逻辑表达式时，可
以省略这些无关项。
在逻辑电路设计中，最小项和无关项的应用具有重要的作用。
首先，
最小项分解可以将逻辑电路设计中的逻辑表达式转化为基本的逻辑门
电路，简化电路的设计和布局。
其次，通过省略无关项，可以减少逻
辑电路中的元器件数量，从而减小了电路的尺寸和功耗。
如果一个逻辑电路需要设计一个加法电路，可以利用最小项分解将加
法器设计为由多个基本逻辑门构成的电路。
同时，对于一些不必要的
输入变量，可以省略它们对电路的影响，从而减小电路的尺寸和功耗。
这种方法被广泛应用于数字电路和计算机系统的设计中。
总之，最小项和无关项在逻辑电路设计中具有重要的应用价值，可以
帮助设计师更快速、更准确和更经济地实现逻辑电路的设计和布局。
高二物理竞赛课件电路中具有无关项的逻辑函数及其化简
逻辑函数的化简方法
两个相邻最小项可合并为一项，消去一对因子
逻辑函数的化简方法
四个排成矩形的相邻最小项可合并为一项，消去两 对因子
八个相邻最小项可合并为一项，消去三CD00 01 11 10 00 m0 m1 m3 m2 01 m4 m5 m7 m6 11 m12 m13 m15 m14 10 m8 m9 m11 m10
例：
Y ( A, B,C) AC AC BC BC
AB AC BC
AC AB BC
化简结果不唯一
例：
Y ( A, B,C) AC AC BC BC
BC A 00
00
11
01 1 1 1 0 111 101
AB AC BC
逻辑函数的化简方法
例：
Y ( A, B,C) AC AC BC BC
BC A 00
00
01 1 1 1 0 111
11
1
0
1
AC AB BC
逻辑函数的化简方法
电路中具有无关项的逻辑 函数及其化简
电路中具有无关项的逻辑函数及其 化简
一、约束项、任意项和逻辑函数式中的无关项
❖约束
在逻辑函数中，对输入变量取值 的限制
❖约束项：
约束所对应的最小项称为约束项
❖任意项：
在输入变量某些取值下，函数值为1或 为0不影响逻辑电路的功能，在这些取 值下为1的最小项称为任意项
01 0 1 1 1
11 1 1 1 0
10 0 0 1 0
CD
AB
00 01 11 10
00 1 0 1 1
01 1 1 1 1
11 1 1 1 1
10 1 0 1 1
逻辑函数的化简方法
逻辑电路设计中约束项与任意项的使用
口 Ｉ
０ １
口 Ｉ
０ Ｏ
Ｑ ｏ
０ １ １ １ ０ Ｏ
Ｑ 暑 ＋
１ Ｏ
诺 图 化 简 逻 辑 函数 时 ，对 于 约 束 项 和 任 意 项 来 说 既可 以 把 它当作 “ １ ”， 也 可 以把 它 当作 “ ０ ”来 处 理 ，还 可 以 把 它 们 中 的一 部 分 当作 “ ０ ” ，一 部 分 当作 “ １ ”来 处理 。 例 ： 将表 ２ 中的 最 小项 填 进 卡 诺 图 ， 并利 用 卡 诺 图 得 到 化 简 后 的 逻 辑 函数 表 达 式 ， 与主 从Ｊ Ｋ 触 发 器 的特 性 方 程 比 较 ，求 出六 进制 计 数 器 的 驱动 方 程 。 方 法 一 ：将 所 有 的任 意 项 和 约束 项 都 看 作 “ ０ ” 化 简 结果 ：
称它们所对 应的最小项为任意项 （ 约 束项 和任 意 项 在 真 值 表 或 卡 诺 图 中用 由来表 示 ）。
例 ：试用三个主从Ｊ Ｋ 触 发器 设 计 一 个 能 自启 动 的异 步 六 进 制减 法 计 数 器 。 解： （１ ）根 据 要 求 选 择 Ｄ 、Ｄ 、Ｄ。 三个主从Ｊ Ｋ 触 发 器 。设 Ｄ 、Ｄ 、Ｄ０ 三 个 主从 Ｊ Ｋ 触 发 器 的状 态 输 出端 分 别 为 Ｑ。 、Ｑ 、 ，非 状 态 输 出端 分 别 为 。 、 、 。 ，Ｄ。 、Ｄ 、
＝Ｑ Ｑ Ｑ 。 Ｑ ＝Ｑ 。 。
案例 Ｉ Ｃ Ａ Ｓ Ｅ Ｓ
逻辑 电路设计中约束项 与任意 项的使用
孙 建 伟
摘 要： 本 文 通 过 对 约束 项 和任 意项 的讨 论 ，提 出 只有 正 确地 识 别 和 合 理地 使 用约 束 项和 任 意 项 ，才可 以设 计 出最 简
第10讲 约束项、任意项和无关项
二、任意项
任意项：函数可以随意取值（可以为0，也可以 为1）或不会出现的变量取值组合所对应的最小项称 为任意项。 例如：判断一位十进制数是否为偶数。 ABCD Y ABCD Y 说 明 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 1 1 0 1 0 × 不会出现 0 0 1 1 0 1 0 1 1 × 不会出现 0 1 0 0 1 1 1 0 0 × 不会出现 0 1 0 1 0 1 1 0 1 × 不会出现 0 1 1 0 1 1 1 1 0 × 不会出现 0 1 1 1 0 1 1 1 1 × 不会出现
A，B，C，D取值为1010 ～1111的情况不会出现 或不允许出现，对应的最小项取值是任意的（可取0也 可取1）是任意项。用符号“φ”、“×”或“d”表示。 无关项可以用一个值恒为 0 的条件等式表示。
d ( 10,11,12,13,14,15 ) 0
F ( A, B , C , D ) m( 0 ,2 ,4 ,6 ,8 ) d ( 10,11,12,13,14,15 )
CD 输入变量A，B，C，D取 AB 值为0000～1001时，逻辑函数 00 Y有确定的值，根据题意，偶 01 数时为1，奇数时为0。 11 Y ( A, B ,C , D ) 10 m( 0 ,2 ,4 ,6 ,8 )
00 01 11 10 1 0 0 1 1 0 0 1
× × × ×
1 0 × ×
输入变量ABC是一组有约束的变量。限制条件 叫做约束条件。 不能出现的取值组合对应的最小项恒等于零。 记作：
ABC 0, ABC 0, ABC 0, ABC 0, ABC 0
也可以写成：
ABC ABC ABC ABC ABC 0
数字电路ch3补充：最大项、最小项、无关项
Y AC BC B D C D A( B C ) ABC D A BDE 根据A AB A消去ABC D AC BC B D C D A BC A BDE 根据A AB A B消去A BC中BC AC BC B D C D A A BDE A BC B D C D 由AB AC BC AB AC A BC B D
i
【例1】将逻辑函数展开为最小项之和的形式。
Y ABCD ACD AC
解： Y A BC D A( B B )CD A( B B)C
ABC D ABCD ABCD ABC ABC ABC D ABCD ABCD ABC( D D) ABC ( D D) ABC D ABCD ABCD ABCD ABCD ABCD ABC D
解
Y AB AB(C C ) BC ( A A) BC AB ABC ABC BC ABC ABC ( AB ABC ) ( BC ABC ) ( ABC ABC ) AB BC AC
小结：
并项：利用 AB AB A 将两项并为一项， 且消去一个变量B。 吸收： 利用A + AB = A消去多余的项AB。
i
所以 Y
m
k i
k
m 2 m 5 ABC A BC
此即所求的函数与或非形式。
2 逻辑函数的公式化简法
一. 并项法
利用公式
AB AB A
【例3】
Y1 ABCD ABCD Y2 AB ACD A B ACD Y3 ABC AC B C Y4 BCD BC D BC D BCD
逻辑函数无关项概念辨析
逻辑函数无关项概念辨析
喻俊淇;张华卫;王全宇;党建武;蒋占军
【期刊名称】《电气电子教学学报》
【年(卷),期】2022(44)4
【摘要】无关项是“数字电子技术”非完全定义逻辑函数理论教学中的重要内容,无关项包涵约束项和任意项,合理应用无关项对数字逻辑电路实践有重要意义。
当前,教学上对这三个概念存在争议和困惑,国内外通行教材讲解并不一致。
对约束项、任意项和无关项概念追本溯源进行了定义论证,并举具体实例就概念的理解和区分
进行说明。
对数字逻辑电路无关项内容的教学有一定的指导作用。
【总页数】4页(P100-103)
【作者】喻俊淇;张华卫;王全宇;党建武;蒋占军
【作者单位】兰州交通大学自动化与电气工程学院;兰州交通大学电子与信息工程
学院
【正文语种】中文
【中图分类】G642.0
【相关文献】
1.浅谈逻辑代数、逻辑函数、逻辑电路的概念
2.浅谈逻辑函数中的任意项、约束项与无关项
3.包含无关项逻辑函数的固定极性转换
4.检测含无关项旋转对称逻辑函
数的快速算法5.形式逻辑学中的概念与词项辨析
因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
第二章 逻辑代数基础(卡诺图应用及无关项).
1 0 0
11 10
1
1
1
1
1
1
0
Y AB C ACD AC D ABD
Y ( ABC ACD ACD ABD)
2.7.2 逻辑函数表达式类型的转换
Y ( ABC ACD ACD ABD)
或与式为
Y ( ABC ACD ACD ABD) ( ABC ) ( ACD) ( ACD) ( ABD) ( A B C )( A C D)( A C D)( A B D)
2.7.1 约束项、任意项和逻辑函数式中的无关项 例1.4.13 试简化下列逻辑函数，写最简成与或式和或 与式 Y ( A, B, C , D) ABC ABCD ABCD ABCD
约束条件：A ⊙ B＝0
解：约束条件为
AB AB 0
（即AB取值不能相同） 则Y的卡诺图如表2.6.4所示
BC A
表2.7.5 Y2的卡诺图 00 01 11 1 1 1 1 1 10
＋
0 1
BC 表2.7.7 Y的卡诺图 A 00 01 11 10
=
Y Y1 Y2 A B
0 1 1 1
1 1
1 1
2.7.1.判明函数关系和进行函数的运算 则两个函数的同或为
表2.7.4 Y1的卡诺图 BC A 0 1 1 00 01 11 1 10 1 1
BC A
表2.7.5 Y2的卡诺图 00 01 11 1 1 1 1 1 10
⊙
0 1
BC
=
A 0 1
表2.7.8 Y的卡诺图 00 01 11 10 1 1 1 1 1
利用无关项化简逻辑函数
尽量使用与尽量不用的辩证关系！
2.5.4 具有多个输出的逻辑函数的化简 本小节内容，请同学根据课件及教材，自学！ 不作为教学要求。
对于同一组输入变量，具有多个输出的函数称为多数出函数。 单输出函数的化简目标是：逻辑函数的表达式中项数最少，每项中的 变量数最少。 多输出函数的化简目标是总体最简，即多输出函数的总项数最少，每 项中的变量数最少。其方法是在单个函数化简的基础上，谋求使用多 输出函数的各个函数间的公共项。
请同学自画化简前后电路，比较之。
2. 禁止逻辑法
与项
AC BD
BC AD
CDAB
头因子
A
BC
CD
尾因子 C
BD AD
AB
替代尾因子 C , AC
BD , ABD AD , ACD , ABD , ABCD
AB , ABC , ABD , ABCD
按照共享替代尾因子的选择原则，应选 ABD 和 C
F = AC ABD + BC ABD + CD ABD
2.5.3 利用无关项化简逻辑函数
或称：不（非）完全定义的逻辑函数的化简
前面讨论中，逻辑函数取值和输入变量的 2n 种取值均相关，即： 有m种取值使函数值为1，则有（ 2n - m）种取值使函数值为0。
在某些特殊电路中，其输出并不是与 2n 种输入组合都有关的， 而是仅与其中一部分有关，而另一部分输入组合（无关项）不影响 输出。
例1：已知多数出函数，试用最少数目的与非门实现其电路。
⎧ ⎪ ⎨
F1 = ∑ m 4 ( 2 ,3,4 ,6 ,7 ,9 ,12 ,13 ,14 ,15 ) F2 = ∑ m 4 (0 ,2 ,4 ,6 ,7 ,8 ,12 ,14 ,15 )
10具有约束项的逻辑函数
约束项
约束项
具有约束项的逻辑函数（ 具有约束项的逻辑函数（2）
具有约束项函数的表示方法：真值表、逻辑函数式、卡诺图。 具有约束项函数的表示方法：真值表、逻辑函数式、卡诺图。 逻辑表达式： 逻辑表达式：
F = A BC + AB C 或 约束条件： 约束条件 A BC + AB C + ABC + ABC = 0
解：（1）将F化为“与或”式， 化为“ ） 化为 与或” CD 即 00 F = CD ( A B + AB ) + A BC + A C D AB 00 = A BCD + AB CD + A BC + A C D 01 1 11 × （2）由卡诺图化简 ） 10 ×
F = B + A D + AC 约束条件： 约束条件： AB + CD + AC D = 0
具有约束项的逻辑函数（ 具有约束项的逻辑函数（1）
约束项的概念 在逻辑函数中不可能出现或不允许出现的 在逻辑函数中不可能出现或不允许出现的输入变量组合。 不可能出现 以电梯运行状态指示电路为例说明 A 有A、B、C为 0 表示电梯的上行、 表示电梯的上行、 0 下行与停止的逻 0 辑信号，设取“ 辑信号，设取“1” 真值表 0 时有效。 时有效。F表示电 1 梯的运行情况， 梯的运行情况， 1 取“1”时表示电 1 梯在运行中， 梯在运行中，取 1 “0”时表示电梯 停止。 停止。 B 0 0 1 1 0 0 1 1 C 0 1 0 1 0 1 0 1 F 0 0 1 × 1 × × ×
具有约束项的逻辑函数（ 具有约束项的逻辑函数（4）
例：化简具有约束项逻辑函数： 化简具有约束项逻辑函数：
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
浅谈逻辑函数中的任意项、约束项与无关项作者：景亚霓
来源：《教育教学论坛》2014年第37期
摘要：数字电子技术中的逻辑问题分完全描述与非完全描述两种。
在非完全描述逻辑函数中出现了两类特殊的最小项——任意项和约束项，它们又统称为无关项。
任意项、约束项是两个不同的概念，在设计逻辑电路时必须认真区别，但就它们对逻辑函数的影响而言，又可以不加区别。
本文通过实例来加以说明。
关键词：逻辑函数；任意项；约束项；无关项
中图分类号：G642.0 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2014）37-0093-02
《数字电子技术》课程是教育部对自动化、电子信息工程、通信工程及电气工程等专业要求的重要专业（技术）基础必修课程，是学生学习电子设计自动化（EDA）、传感器、电子测量、单片机等后续课程理论和实践的基础。
本课程涉及到一个重要的概念即逻辑函数，逻辑函数中的任意项、约束项与无关项以及约束条件逻辑表达式，在用卡诺图化简逻辑函数时，都是很重要的概念，但同时又是比较难以理解的概念。
学生常常纠结在课本的定义上，仅仅按照课本的定义按部就班，知其然不知其所以然。
本文以广泛应用的普通高校教育“十五”国家级规划教材及高等学校规划教材为基础，结合实例，进一步明确这些概念的本质意义。
一、实例解析
教材定义，“在输人变量的某些取值下函数值是1还是0皆可，并不影响电路的逻辑功能。
在这些变量取值下，其值等于1的那些最小项称为任意项。
”“我们将约束项和任意项统称为逻辑函数式中的无关项。
”“因为约束项根本不会出现，或不允许出现，所以在化简时，可以充分利用约束项取值的任意性，有时将约束项认为是1，有时又可将其认为是0，完全视需要而定，取1或取0都不会影响其函数值。
”学生纠结：①函数相应的约束条件逻辑表达式为什么可以用它们对应的最小项的值等于0来表示？②比如一个函数包括最小项ABC，自然在卡诺图中m7处写1。
如果ABC是约束项，则约束条件中ABC=0，但在卡诺图化简时可以认为它是1，也在卡诺图中m7处仍写1。
这两种情况有什么区别？难道“函数包括最小项ABC”和“ABC是约束项”没有区别？③如果ABC是约束项，即“ABC=111根本不会出现或有限制”，这里的“根本不会出现或有限制”指的是这一项在客观上就不可能出现或被限制呢？还是客观上可以出现但我们不让它出现呢？
1.约束条件逻辑表达式。
为了方便说明问题，现假设一个逻辑函数有两个约束项，分别为ABC和ABC’，则该函数相应的约束条件逻辑表达式则为ABC+ABC’=0。
这里先取ABC约束项为例加以说明。
三变量ABC可能取的值为以下8种：000、001、010、011、100、101、
110、111。
ABC是一个最小项（与项），上面8种取值中，唯有取值111能使ABC=1（即最小项的性质：任意一个最小项，有且仅有一组变量取值使其值为1），其他7中情况的取值（000、001、010、011、100、101、110）带入ABC，必然使ABC=0。
现在ABC作为一项约束项了，被限制为ABC=0了，则意味着唯一能使ABC这项最小项等于1的那组变量的取值111不允许出现了（被约束了），则ABC最小项必然恒等于零，即ABC这个最小项，A、B、C这三个变量在所有可能的8种组合的取值下恒等于0。
ABC’分析同上。
这就是为什么函数相应的约束条件逻辑表达式可以用它们对应的最小项的值恒等于0来表示的原因。
因为这些约束项均为0或它们为1的可能性就不会出现，所以处理这些约束项时，即“有时将约束项认为是1，有时又可将其认为是0，完全视需要而定，取1或取0都不会影响其函数值”。
但是，“函数包括最小项ABC”和“ABC是约束项”是有本质区别的。
这里之所以把约束项有时认为是1，有时又可认为是0，是因为这种认为并不影响逻辑函数结果的正确性，所以这里不是概念上的等同，而是作为一种化简函数的手段而已。
2.约束项实例。
上面以ABC约束项为例，说明了“ABC=111不会出现”，但这里的不会出现在客观上是可能出现的，只是为了使逻辑函数的结果不受影响，人为“不让它出现或加以限制”。
下面以设计一个七段显示译码器为例说明这个问题。
其真值表如表1。
由表1可以看出，该译码器是一个4个输入变量和7个输出函数的组合逻辑电路。
显然输入变量取值为1010～1111是不允许出现的。
但这里的不允许出现在客观上是可能出现的，字形会出现伪码。
为了使逻辑函数所对应的字形不出现伪码，就必须人为使输入变量取值为1010～1111对应的最小项DC’BA’、DC’BA、DCB’A’、DCB’A、DCBA’和DCBA为约束项，即“不让它们出现或加以限制”。
既然约束项是“不让它们出现或加以限制”了，所以约束项的值恒等于0。
正因为它们的值恒等于0了，所以这些约束项加或不加到逻辑函数式中去，都不会影响该函数所表示的逻辑功能。
在保证约束项“不让它们出现或加以限制”的前提下，可以将约束项当作逻辑函数的任意项，参与函数的化简。
3.任意项实例。
同上，这里仍然以设计一个拒绝伪码的七段显示译码器为例来说明任意项的问题。
设计的电路图如图1。
在a～g的输出端增加了一级缓冲器，同时还在缓冲器的输入端增加一个控制信号Y。
所谓拒绝伪码，是指在输入为1010～1111时输出无任何字形显示，即a～g输出全都等于0，其真值表如表2。
表2中的“×”仍然表示无关项。
从表2可以看出，当D、C、B、A取值为1010～1111时，a～g每个输出函数的取值是1或0都可以，输出a’～g’都为0（无任何显示）。
因此，在D、C、B、A取值为1010～1111时对应的六个最小项DC’BA’、DC’BA、DCB’A’、DCB’A、DCBA’和DCBA在约束项实例的情况下是函数a～g的约束项，在本例中就由约束项变为函数a～g的任意项了，即在化简a～g 的逻辑函数式时，既可以在式中写入这些任意项也可以不写入，所以任意项也是逻辑函数式中的无关项。
二、约束项与任意项的关系
约束项和任意项都是逻辑函数式中的无关项，但二者有区别。
约束项需要人为强行“不让它出现或加以限制”，在这个条件下，用卡诺图化简逻辑函数时，可以在卡诺图对应的方格中
写入“1”或“0”。
从这里也可以看出，含有约束项的逻辑函数在用卡诺图进行化简时，约束项对应的方格中的“1”只是一个“表象”，它实际上是不存在的，即实际上是“0”。
正因为如此，才将它称为无关项，即有时将约束项认为是1，有时又可将其认为是0，完全视需要而定，取1或取0都不会影响其函数值，不会影响电路设计的结果。
但是，如果客观上约束项出现了（干扰……），它的取值不等于0了，则电路的输出就会出现错误（如表1中的伪码）。
任意项则不然，任意项无需人为对这些变量取值进行干预，这些变量取值就可以出现（如表2中的D、C、B、A可以取值1010～1111），对应的函数值是1还是0皆可，并不影响电路的逻辑功能（即不会出现伪码，无任何显示）。
从上面的例子还可以看出，约束项通过电路的设计是可以转化为任意项的。
使输入变量的取值在变化的过程中不受限制，提高了电路的可靠性。
参考文献：
[1]阎石.数字电子技术基础[M].北京：高等教育出版社，2006：51-52.
[2]江晓安.计算机电子电路技——数字电子部分[M].西安电子科技大学出版社，1999：35-36.
[3]王选民.数字电路中任意项、约束项、无关项的探讨[J].电工教学，1995，（02）：17-19.
通讯作者：景亚霓（1961-），女，陕西西安人，硕士研究生，江南大学，讲师，研究方向：计算机模拟、微电子技术等。