2005年高考湖北省理科数学试题

2005年高考理科数学湖北卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的上个选项中，中有一项是符合题目要求的）1．设P 、Q 为两个非空数集，定义集合P+Q={a+b|a ∈P ，b ∈Q}若P={0，2，5}，Q={1，2，6}，则P+Q 中元素的个数是A ．9B ．8C ．7D ．6 2．对任意实数a ，b ，c ，给出下列命题：①“a=b ”是“ac=bc ”的充要条件；②“a+5是无理数”是“a 是无理数”的充要条件；③“a>b ”是“a 2>b 2”的充分条件； ④“a<5”是“a<3”的必要条件 其中真命题的个数是A ．1B ．2C ．3D ．43．ii i ++-1)21)(1(=A ．-2-iB ．-2+iC ．2-iD ．2+i4． 函数|1|||ln --=x e y x 的图象大致是 （ ）A B C D5．双曲线)0(122≠=-mn ny m x 的离心率为2，有一个焦点与抛物线x y 42=的焦点重合，则mn 的值为A ．163 B ．83 C ．316 D ．38 6．在x y x y x y y x2cos ,,log ,222====这四个函数中，当1021<<<x x 时，使2)()()2(2121x f x f x x f +>+恒成立的函数的个数是 A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 7．若)20(tan cos sin παααα<<=+，则∈αA ．（0，6π） B ．（6π，4π） C ．（4π，3π） D ．（3π，2π） 8．若1)11(lim 21=---→x bx a x ，则常数a ，b 的值为A ．a=-2，b=4B ．a=2，b=-4C ．a=-2，b=-4D ．a=2，b=4 9．若20π<<x ，则2x 与3sinx 的大小关系：A ．2x>3sinxB ．2x<3sinxC ．2x=3sinxD ．与x 的取值有关 10．如图，在三棱柱C B A ABC '''-中，点E 、F 、H 、K 分别为C A '、B C '、B A '、C B '' 的中点，G 为ΔABC 的重心从K 、H 、G 、B '中取一点作为P ，使得该棱柱恰有2条棱与平面PEF 平行，则P 为 A ．K B ．H C ．G D ．B '11．某初级中学有学生270人，其中一年级108人，二、三年级各81人，现要利用抽样方法抽取10人参加某项调查，考虑选用简单随机抽样、分层抽样和系统抽样三种方案，使用简单随机抽样和分层抽样时，将学生按一、二、三年级依次统一编号为1，2，…，270；使用系统抽样时，将学生统一随机编号为1，2，…，270，并将整个编号依次分为10段，如果抽得号码有下列四种情况： ①7，34，61，88，115，142，169，223，250；②5，9，100，107，111，121，180，195，200，265； ③11，38，65，92，119，146，173，200，227，254； ④305784111138165192219246270 关于上述样本的下列结论中，正确的是A ．②、③都不能为系统抽样B ．②、④都不能为分层抽样C ．①、④都可能为系统抽样D ．①、③都可能为分层抽样12．以平行六面体D C B A ABCD ''''-的任意三个顶点为顶点作三角形，从中随机取出两个三角形，则这两个三角形不共面的概率p 为A ．385367B ．385376C ．385192D ．38518二、填空题（本大题共4小题，每小题4分 ,共16分把答案填写在答题卡相应的位置上）13．已知向量a=（-2，2），b=（5，k |a+b|不超过5，则k 的取值范围是14．5)212(++xx 的展开式中整理后的常数项等于 15．设等比数列{n a }的公比为q ，前n 项和为n S ，若1+n S ，n S ，2+n S 成等差数列，则q 的值为16．某实验室需购某种化工原料106千克，现在市场上该原料有两种包装，一种是每袋35千克，价格为140元；另一种是每袋24千克，价格为120元在满足需要的条件下，最少要花费 元三、解答题（本大题共6小题，共74分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17．（本小题满分12分）已知向量a =(2x ，x+1)，b = (1-x ，t)若函数)(x f =a ·b 在区间（-1，1）上是增函数，求t 的取值范围 18．（本小题满分12分）在ΔABC 中，已知66cos ,364==B AB ，AC 边上的中线BD=5，求sinA 的值19．（本小题满分12分）某地最近出台一项机动车驾照考试规定：每位考试者一年之内最多有4次参加考试的机会，一量某次考试通过，便可领取驾照，不再参加以后的考试，否则就一直考到第4次为止如果李明决定参加驾照考试，设他每次参加考试通过的概率依次为0.6，0.7，0.8，0.9求在一年内李明参加驾照考试次数ξ的分布列和ξ的期望，并求李明在一所内领到驾照的概率 20．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P —ABC 右，底面ABCD 为矩形，侧棱PA ⊥底面ABCD ，AB=3，BC=1，PA=2，E 为PD 的中点（Ⅰ）求直线AC 与PB 所成角的余弦值；（Ⅱ）在侧面PAB 内找一点N ，使NE ⊥面PAC ， 并求出N 点到AB 和AP 的距离21．（本小题满分12分）设A 、B 是椭圆λ=+223y x 上的两点，点N （1，3）是线段AB 的中点，线段AB 的垂直平分线与椭圆相交于C 、D 两点（Ⅰ）确定λ的取值范围，并求直线AB 的方程；（Ⅱ）试判断是否存在这样的λ，使得A 、B 、C 、D 四点在同一个圆上？并说明理由 22．（本小题满分14分）已知不等式][log 21131212n n >+++ ，其中n 为大于2的整数，][log 2n 表示不超过n 2log {n a }的各项为正，且满足111,)0(--+≤>=n n n a n na a b b a ，,4,3,2=n（Ⅰ）证明：][log 222n b ba n +<， ,5,4,3=n ；（Ⅱ）猜测数列{n a }是否有极限？如果有，写出极限的值； （Ⅲ）试确定一个正整数N ，使得当n>N 时，对任意b>0，都有51<n a2005年高考理科数学湖北卷试题及答案参考答案1．B 2．B 3．C 4．D 5．A 6．B 7．C 8．C 9．D 10．C 11．D 12．A 13．[-6，2] 14．2263 15．-2 16．500 17．解法一：依定义t tx x x x t x x x f +++-=++-=232)1()1()(则t x x x f ++-='23)(2，若)(x f 在（-1，1）上是增函数，则在（-1，1）上可设)(x f '≥0∴)(x f '≥0x x t 232-≥⇔在（-1，1）上恒成立考虑函数x x x g 23)(2-=，由于)(x g 的图象是对称轴为31=x ，开口向上的抛物线，故要使x x t 232-≥在（-1，1）上恒成立)1(-≥⇔g t ，即t ≥5而当t ≥5时，)(x f '在（-1，1）上满足)(x f '>0，即)(x f 在（-1，1）上是增函数故t 的取值范围是t ≥5解法二：依定义t tx x x x t x x x f +++-=++-=232)1()1()(，t x x x f ++-='23)(2若)(x f 在（-1，1）上是增函数，则在（-1，1）上可设)(x f '≥0∵)(x f '的图象是开口向下的抛物线，∴当且仅当01)1(≥-='t f ，且05)1(≥-=-'t f 时，)(x f '在（-1，1）上满足)(x f '>0，即)(x f 在（-1，1）上是增函数故t 的取值范围是t ≥518．解法一：设E 为BC 的中点，连接DE ，则DE//AB ，且36221==AB DE ，设BE=x 在ΔBDE 中利用余弦定理可得：BED ED BE ED BE BD cos 2222⋅-+=，x x 6636223852⨯⨯++=，解得1=x ，37-=x （舍去） 故BC=2，从而328cos 2222=⋅-+=B BC AB BC AB AC ，即3212=AC 又630sin =B ，故6303212sin 2=A ，1470sin =A 解法二：以B 为坐标原点，为x 轴正向建立直角坐标指法，且不妨设点A 位于第一象限由630sin =B ，则)354,34()sin 364,cos 364(==B B ， 设=（x ，0），则352,634(x += 由条件得)352()634(||22=++=x 从而x=2，314-=x （舍去）故354,32(-=CA 于是14149809498091698098||||cos =+⋅++-=⋅=CA BA A ∴1470cos 1sin 2=-=A A 解法三：过A 作AH ⊥BC 交BC 于H ，延长BD 到P 使BP=DP ，连接AP 、PC过窗PN ⊥BC 交BC 的延长线于N ，则354,34cos ===AH B AB HB ， 310)354()52(222222=-=-=-=AH BP PN BP BN ， 而34==HB CN ，∴BC=BN=CN=2，32=HC ，321222=+=HC AH AC 故由正弦定理得6303212sin 2=A ，∴1470sin =A 19．解：ξ的取值分别为1，2，3，4ξ=1，表明李明第一次参加驾照考试就通过了，故P （ξ=1）=0.6ξ=2，表明李明在第一次考试未通过，第二次通过了，故P （ξ=2）=（1-0.6）×0.7=0.28ξ=3，表明李明在第一、二次考试未通过，第三次通过了，故P （ξ=3）=（1-0.6）×（1-0.7）×0.8=0.096ξ=4，表明李明在第一、二、三次考试都未通过，故P （ξ=4）=（1-0.6）×（1-0.7）×（1-0.8）=0.024∴李明实际参加考试次数ξ的分布列为∴ξ的期望E ξ=1×0.6+2×0.28+3×0.096+4×0.024=1.544李明在一年内领到驾照的概第为1-（1-0.6）×（1-0.7）×（1-0.8）×（1-0.9）=0.9976 20．解法一：（Ⅰ）建立如图所示的空间直角坐标系，则A 、B 、C 、D 、P 、E 的坐标分别为A （0，0，0），B （3，0，0），C （3，1，0），D （0，1，0）， P （0，0，2），E （0，21，2） 从而=（3，1，0），=（3，0，-2）设AC 与PB 的夹角为θ，则1473723||||cos ==⋅=PB AC θ， ∴AC 与PB 1473（Ⅱ）由于N 点在侧面PAB 内，故可设N 点坐标为（x ，0，z ）， 则1,21,(z x ME --= 由NE ⊥面PAC 可得：⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅,0,0即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⋅--=⋅--,0)0,1,3()1,21,(,0)2,0,0()1,21,(z x z x化简得⎪⎩⎪⎨⎧==⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-.1,63.0213,01z x x z即N 点的坐标为（63，0，1），从而N 点到AB 、AP 的距离分别为163解法二：（Ⅰ）设AC ∩BD=O ，连OE ，则OE//PB ，∴∠EOA 即为AC 与PB 所成的角或其补角在ΔAOE 中，AO=1，OE=21PB=27，AE=21PD=25，∴14173127245471cos =⨯⨯-+=EOA 即AC 与PB 14173 （Ⅱ）在面ABCD 内过D 作AC 的垂线交AB 于F ，则6=∠ADF连PF ，则在Rt ΔADF 中DF=33tan ,332cos ===ADF AD AF ADF AD 设N 为PF 的中点，连NE ，则NE//DF ，∵DF ⊥AC ，DF ⊥PA ，∴DF ⊥面PAC 从而NE ⊥面PAC∴N 点到AB 的距离=21AP=1，N 点到AP 的距离=216321．（Ⅰ）解法一：依题意，可设直线AB 的方程为y=k （x-1）+3，代入λ=+223y x ，整理得：0)3()3(2)3(222=--+--+λk x k k x k ①设A （11,y x ），B （22,y x ），则1x ，2x 是方程①的两个不同的根， ∴0])3(3)3([422>--+=∆k k λ，② 且3)3(2221+-=+k k k x x 由N （1，3）是线段AB 的中点，得21x x +=2， ∴)3(2+=-k k k 解得k=-1，代入②得12>λ，即λ的取值范围是（12，+∞）于是直线AB 的方程为)1(3--=-x y ，即4=-+y x 解法二：设A （11,y x ），B （22,y x ），则有)())((3.3,321212122222121=-++-⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+=+y y x x x x y x y x λλ 依题意，212121,y y k x x AB +=∴≠∵N （1，3）是AB 的中点，∴21x x +=2，21y y +=6，从而1-=AB k又由N （1，3）在椭圆内，∴1231322=+⨯>λ， ∴λ的取值范围是（12，+∞）直线AB 的方程为)1(3--=-x y ，即4=-+y x（Ⅱ）解法一：∵CD 垂直平分AB ，∴直线CD 的方程为y-3=x-1，即x-y+2=0代入椭圆方程，整理得4442=-++λx x ③又设C （33,y x ），D （44,y x ），CD 的中点为M （00,y x ）， 则3x ，4x 是方程③的两根， ∴3x +4x =-1，且232,200210=+==+=x y x x x ，即M （21-，23）于是由弦长公式可得)3(2||)1(||432-=-⋅-+==λx x kCD ④将直线AB 的方程04=-+y x 代入椭圆方程得16842=-+-λx x ⑤同理可得)12(2||1||212-=-⋅+=λx x k AB ⑥∵当12>λ时，)3(2-λ>)12(2-λ，∴|AB|<|CD|假设存在12>λ，使得A 、B 、C 、D 四点共圆，则CD 必为圆的直径，点M 为圆心点M 到直线AB 的距离为2232|42321|2|4|00=-+-=-+=y x d 于是，由④⑥⑦式及勾股定理可得2222|2|2321229|2|||||CD AB d MB MA =-=-+=+==λλ故当12>λ时，A 、B 、C 、D 四点均在以M 为圆心，|2CD|为半径的圆上（注：上述解法中最后一步可按如下解法获得： A 、B 、C 、D 共圆⇔ACD 为直角三角形，A 为直角⇔||||||2DN CN AN ⋅=，即)2||)(2||()2||(2d CD d CD AB -+=⑧ 由⑥式知，⑧式左边=212-λ，由④⑦知，⑧式右边==--=--+-2923)2232)3(2)(2232)3(2(λλλ2∴⑧式成立，即A 、B 、C 、D 四点共圆）解法二：由（Ⅱ）解法一知12>λ，∵CD 垂直平分AB ，∴直线CD 的方程为y-3=x-1，代入椭圆方程，整理得4442=-++λx x ③将直线AB 的方程04=-+y x 代入椭圆方程整理得16842=-+-λx x ⑤解③和⑤式可得21222,1-±=λx ，2314,3-±-=λx ，不妨设A （12211-+λ，12213--λ）， C （231---λ，233--λ），D （231-+-λ，233-+λ）∴⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+---+-+=23123,23123λλλλCA ， ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------+=23123,23123λλλλDA ， 计算可得0=⋅，∴A 在以CD 为直径的圆上又B 为A 关于CD 的对称点， ∴A 、B 、C 、D 四点共圆（注：也可用勾股定理证明AC ⊥AD ）22．（Ⅰ）证法一：∵当n ≥2时，110--+≤<n n n a n na a ，∴n a a n a n a n n n n 111111+=++≥---，即na a n n 1111≥--， 于是有211112≥-a a ，311123≥-a a ，…，na a n n 1111≥--， 所有不等式两边相加可得na a n 3121111+++≥- 由已知不等式知，当n ≥3时有][log 211121n a a n ≥-∵b a <1，∴bn b a n 2][log 211122=+> ∴][log 22n b a n +<证法二：设nn f 13121)(+++=，首先利用数学归纳法证不等式,5,4,3,)(1=+≤n bn f b a n （ⅰ）当n=3时，由b f b a a a a a a )3(11223313333112223+=++⋅≤+=+≤， 知不等式成立 （ⅱ）假设当n=k （k ≥3）时，不等式成立，即b k f b a k )(1+≤，则 ,)1(1)11)((1)()1()1()1(1)(1)1(1111)1()1(1b k f b b k k f b b b k f k k b k bb k f k k a k k a k a k a k k k k ++=+++=+++++=++⋅++≤+++=+++≤+ 即当n=k+1时，不等式也成立由（ⅰ）（ⅱ）知，,5,4,3,)(1=+≤n b n f b a n 又由已知不等式得,5,4,3,][log 22][log 21122=+=+≤n n b b b n ba n （Ⅱ）有极限，且lim =∞→n n a （Ⅲ）∵][log 2][log 2222n n b b <+，令51][log 22<n ， 则有1024210][log log 1022=>⇒>≥n n n ，故取N=1024，可使沁n>N 时，都有51<n a。