第6讲小升初计数重点考查内容————计数方法综合(1)——标数法、递推法

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小升初数字必考知识点归纳

小升初数字必考知识点归纳小升初是学生学习生涯中的一个重要阶段，数学作为基础学科，在这个阶段的考试中占有重要地位。

以下是小升初数学必考知识点的归纳：# 数的认识- 自然数、整数、正数、负数的概念- 数的分类和数位顺序表- 数的大小比较# 四则运算- 加法、减法、乘法、除法的基本运算规则- 四则混合运算的顺序和法则- 运算定律：交换律、结合律、分配律# 分数和小数- 分数的意义和基本性质- 分数的加减乘除运算- 小数的意义和读写法- 小数的加减乘除运算# 度量单位- 长度单位：米、厘米、毫米- 面积单位：平方米、平方厘米- 体积单位：立方米、立方厘米- 质量单位：千克、克# 几何初步- 平面图形：三角形、四边形、圆等的基本性质- 立体图形：长方体、正方体、圆柱、圆锥等的基本性质- 周长、面积、体积的计算方法# 比和比例- 比的意义和基本性质- 比例的意义和基本性质- 正比例和反比例# 应用题- 基本数量关系：单价、数量、总价- 行程问题：速度、时间、路程- 工程问题：工作效率、工作时间、工作总量- 利息问题：本金、利率、利息# 数据的收集与处理- 数据的收集方法- 数据的整理：条形统计图、折线统计图、饼图- 数据的描述：平均数、中位数、众数# 逻辑推理- 简单的逻辑推理能力- 判断和推理问题解决# 综合运用- 将所学知识综合运用到实际问题中- 解决生活中的数学问题这些知识点是小升初数学考试中常见的内容，学生应该在老师和家长的指导下，通过不断的练习和复习，掌握这些基础知识和技能，为顺利过渡到初中阶段打下坚实的基础。

小升初数学复习重点知识点归纳

小升初数学复习重点知识点归纳
小升初数学复习的重点知识点包括以下内容：
1. 数的整数性质：正整数、负整数、零、相反数、绝对值等。

2. 数的四则运算：加法、减法、乘法、除法的运算法则，以及实际问题的运算。

3. 分数和小数：分数的基本概念和性质，分数的四则运算，分数与小数的相互转化。

4. 计算方法：口算技巧，如列竖式计算、连加连减、倍数关系等。

5. 算式的解法：方程的概念和解法，如一元一次方程、两个未知数的方程等。

6. 图形的认识：平行线、垂直线、等腰三角形、直角三角形、平行四边形、正方形、长方形等的性质和计算。

7. 线段的计算：线段的长短比较和计算，线段的延长与截取等。

8. 角的认识：平角、直角、锐角、钝角等的性质和计算。

9. 时间和钟表：时间的基本概念和表示方法，钟表的读取和计算。

10. 数据的统计：数据的收集和整理，频数和频率的计算，平均数和中位数的计算。

以上是小升初数学复习的一些重点知识点，希望对你有帮助。

你还有其他问题吗？。

小升初数学的重点知识点

小升初数学的重点知识点在小升初数学中，有一些重点知识点需要掌握和理解。

这些知识点在学习数学的过程中起着重要的作用，对于提高学生的数学能力和解题能力具有重要的指导意义。

下面将逐一介绍几个小升初数学的重点知识点。

1. 数的认识和计数数的认识是数学学习的基础，也是理解数学概念的关键。

在小升初数学中，学生需要从认识1、2、3等基本数开始，逐步认识更大的数，并理解数的大小关系。

同时，学生还需要学会进行计数，包括正常的计数和倒数计数。

通过数的认识和计数，学生能够在解题中准确地使用数字，并进行正确的计算。

2. 四则运算四则运算是小学数学的重点内容之一，也是小升初数学的基础。

四则运算包括加法、减法、乘法和除法，学生需要掌握这些运算的基本概念和运算方法。

在解题时，学生需要结合实际问题，运用四则运算进行计算，求解问题。

因此，熟练掌握四则运算对于提高解题能力至关重要。

3. 分数和小数分数和小数是数学中的重要表示方法，也是小升初数学的难点。

学生需要理解分数和小数的概念，并掌握它们的相互转换。

在解题时，学生需要能够将一个数转化为分数或小数，并能够根据题意进行计算。

同时，学生还需要学习分数和小数的比较和运算规则，以便在解题过程中准确地使用分数和小数进行计算。

4. 基本的几何概念在小升初数学中，还有一些基本的几何概念需要学生掌握。

这些概念包括点、线、面以及与其相关的图形和关系。

学生需要了解这些几何概念的基本定义和性质，并能够应用它们进行几何分析和解题。

同时，学生还需要学习如何使用几何工具，如尺子、量角器等，进行准确的测量和绘图。

5. 简单的代数方程代数方程是小升初数学中的拓展内容，学生需要初步了解代数符号和代数方程的基本概念。

学生需要学习如何通过代数符号表示未知数，并能够根据方程解决实际问题。

此外，学生还需要学习如何解一元一次方程、列方程、解方程等基本的代数运算方法和技巧。

通过掌握上述数学的重点知识点，学生能够在小升初数学考试中更好地应对各类数学题目。

西安小升初考点

小学升初中重点考查内容一、计算专题（一）抵消思想--裂项（二）抵消思想--约分（三）数学基本功--四则混合运算（四）初中基本功--解方程（五）定义新运算（六）计算技巧综合--重要公式、常用结论、经典方法等等。

如循环小数与分数互化、等比数列求和、平方和公式等等例1. 计算15%)]203132(5232[922⨯⨯--÷ （分数、小数四则混合运算）分析：此类题中包含了分数、小数和百分数。

计算时应先统一化成分数，再按照运算顺序计算。

解：原式=15)5131********(920⨯⨯+-÷ =15)5131(920⨯⨯÷ =1515920⨯⨯ =500例2. 655161544141433121⨯+⨯+⨯（运用四则运算定律和性质速算和巧算）分析：观察发现3121拆分为31+34后再用乘法分配律，可简便运算，以此类推。

解：原式=（20+34）43⨯+（40+45）54⨯+65)5660(⨯+ =15+1+32+1+50+1=100例3.x5.6%18:203= （解方程）分析：这道题符号右边的分数线变为比号，即x x :5.65.6=就成了一个比例方程，解比例方程，需用到比的性质，内相积=外向积。

解：x5.6%18:203= （先变“—”为“：”） x5.6%18:203=6.5⨯18%=203：xx =32010018213⨯⨯ x =539 二、计数专题（一）尝试性探索思维--枚举法（二）计数两大原理--加乘原理（三）排列组合--盘点排列组合常见的三个考点（四）容斥原理--总结容斥原理中常考的几种题型（五）计数方法综合（1）--标数法、递推法等（六）计数方法综合（2）--对应法、整体法等（七）概率与统计--两个知识点：古典概型与概率可乘性例1. 六个人分成3组，每组2人，有几种分法？分析：很多人认为，应该是p （6,3）或者c （6,3），很明显不对，这6人必须都得分出去。

小升初计数重点考查内容————计数方法综合（1）——标数法、递推法

小升初计数重点考查内容————计数方法综合（1）——标数法、递推法图中，“我爱希望杯”有______种不同的读法。

【举一反三】如图，要从A 去B ，C 不能通过，最短线路有______条。

游乐园门票1元1张，每人限购1张。

现有10个小朋友排队购买，其中5个小朋友只有1元的钞票，另外5个小朋友只有2元的钞票，售票员没有零钱。

10个小朋友排队，不同的排队方法总共有10！＝3628800种，问其中有______种排队方法，售票员总能找的开零钱。

【举一反三】在一次选举中甲、乙两人参加竞选，甲得5张选票，乙也得5张选票，问在对这10张选票逐一唱票的过程中，乙的得票始终未能领先的点票记录共有______种可能。

(★★)(★★★★★)一个楼梯共有10级阶梯，规定每步可以逐一级台阶或两级台阶，走完这10级台阶，一共有______种不同走法。

对一个自然数进行如下操作：如果是偶数则除以2，如果是奇数则加1，如此进行下去直到得数为1停止。

问经过9次操作变为1的数有______个。

在平面上画8个圆，最多可以把平面分成_______部分。

在线测试题温馨提示：请在线作答，以便及时反馈孩子的薄弱环节。

1．如下图所示，要从A 点沿线段走到B ，要求每一步都是向右、向上或者斜上方。

问有多少种不同的走法？B AA A ．18B ．20C ．22D ．24(★★★)(★★★)(★★★☆)2．有15个相同的棋子，一个人分若干次取，每次可取1个，2个，3个或4个，但要求每次取之后留下的棋子数不是3或4的倍数，有种不同的方法取完这堆棋子。

A．11B．22C．33D．183．上一段12级楼梯，规定每一步只能上一级或两级楼梯，要登上第12级楼梯，不同的走法共有多少种？A．233B．230C．243D．2534．给你一架天平和两个砝码，这两个砝码分别重20克和50克，如果再添四个砝码，则这六个砝码可以称的重量种类最多是多少种。

（天平的左右两盘均可放砝码）A．268B．256C．364D．2805．平面上的5个圆和3条直线最多能把平面分成多少部分？A．55B．57C．32D．48。

小升初数学复习重点知识点归纳

小升初数学复习重点知识点归纳一、算术运算1.四则运算：加减乘除法的运算规则及运算顺序。

2.整数的加减乘除：整数之间的加减乘除法运算规则。

3.小数的加减乘除：小数之间的加减乘除法运算规则。

4.分数的加减乘除：分数之间的加减乘除法运算规则。

二、数的认识与应用1.数的读法与写法：整数、小数、分数的读写方法。

2.数的大小比较：数的大小比较方法（带小数、分数的大小比较）。

3.数的进退位：整数、小数的进退位方法。

4.数轴与有向数：数轴的认识，有向数的概念及表示方法。

三、数的整体认识1.数的整体认识：自然数、整数、有理数、无理数的概念及区间表示。

2.数的分类：正数、负数的分类及特点。

3.数的因数与倍数：因数、倍数的概念及应用。

4.数的连续与集合：数的连续性及集合的概念。

四、量与单位1.长度与面积：长度与面积的常用单位及换算。

2.质量与容量：质量与容量的常用单位及换算。

3.时间与速度：时间与速度的常用单位及换算。

五、比例与百分数1.比例的基本概念：比例的定义，比的性质及化简比例。

2.比例的运用：比例在实际问题中的应用。

3.百分数的基本概念：百分数的定义及换算。

4.百分数的运用：百分数在实际问题中的应用。

六、图形的认识1.平面图形：各种平面图形的特征及性质。

2.立体图形：各种立体图形的特征及性质。

3.坐标系与坐标：平面直角坐标系的认识及坐标的表示方法。

4.坐标的运用：图形的平移、旋转、翻折等操作。

七、数据的收集与处理1.统计图表的认识：柱状图、折线图、饼图等统计图表的读取与绘制。

2.数据的总结与分析：对一组数据进行整理、归类及分析。

以上是小升初数学复习的重点知识点归纳。

希望同学们能够认真复习，熟练掌握这些知识，为顺利过渡到新课程打下坚实基础。

祝同学们取得优异的成绩！。

小升初数学拔高之计数方法之标数法、递推法

---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------ 小升初数学拔高之计数方法之标数法、递推法1 、标数法、递推法2 、标数法的应用。

3 、递推法的应用。

本讲主线一轮复习计数方法之标数法、递推法 1 、标数法，寻找最短路径的条数.2、基本步骤：⑴ 确定大方向；⑵ 在起始点标、基本步骤：⑴ 确定大方向；⑵ 在起始点标1；⑶ 某点数字＝它前面两个点的方法数之和；⑷ 终点数字即为最短路径条数。

；⑶ 某点数字＝它前面两个点的方法数之和；⑷ 终点数字即为最短路径条数。

2、应用：⑴ 最短路径；⑵ 拼单词；⑶ 买票问题、应用：⑴ 最短路径；⑵ 拼单词；⑶ 买票问题.知识要点屋( ★)如图，从A 到B 的最短路线有_____条。

【课前小练习】条。

【课前小练习】1、、AB2、、G点学校家点学校家如图，小明从家去往学校，途中G点有积水不能通过。

从家去学校的最短路线有点有积水不能通过。

从家去学校的最短路线有_____ 条。

【例1】】( ★) 如图，为一幅街道图，从A 出发经过十字路口B，但不经过，但不经过C 走到D 的不同的最短路线有多少条？例题1 / 4精讲1【拓展】( ★★) 如图，从A 到B 沿网格线不经过线段CD 和EF的最短路径的条数是多少条？的最短路径的条数是多少条？AC DEFB【例2】】( ★★☆) 如图所示，科学家爱因斯坦的英文名拼写为Einstein ，按图中箭头所示方向有______种不同的方法拼出英文单词种不同的方法拼出英文单词Einstein。

【例3】】( ★★★★) 游乐园门票5 元1 张，每人限购1 张. 现有10个小朋友排队购买，其中个小朋友排队购买，其中5 个小朋友只有5 元的钞票，另外5个小朋友只有个小朋友只有10 元的钞票，售票员没有零钱。

小升初奥数计数问题之递推方法的解题技巧

小升初奥数计数问题之递推方法的解题技巧数学给予人们的不仅是知识，更重要的是能力，这种能力包括观察实验、收集信息、归纳类比、直觉判断、逻辑推理、建立模型和精确计算。

这些能力和培养，将使人终身受益。

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【篇一】递推方法的概述在不少计数问题中，要很快求出结果是比较困难的，有时可先从简单情况入手，然后从某一种特殊情况逐渐推出与以后比较复杂情况之间的关系，找出规律逐步解决问题，这样的方法叫递推方法。

例 1、线段 AB 上共有 10 个点（包括两个端点），那么这条线段上一共有多少条不同的线段 ?分析与解答：从简单情况研究起：AB 上共有 2 个点，有线段： 1 条AB 上共有 3 个点，有线段： 1+2=3（条）AB 上共有 4 个点，有线段： 1+2+3=6（条）AB 上共有 5 个点，有线段： 1+2+3+4=10（条）AB 上共有 10 个点，有线段： 1+2+3+4+ ⋯+9=45（条）一般地， AB 上共有 n 个点，有线段：1+2+3+4+ ⋯+（n-1）=n ×（n-1） ÷2即：线段数 =点数×（点数-1） ÷2例 2 、2000 个学生排成一行，依次从左到右编上 1 ～2000 号，然后从左到右按一、二报数，报一的离开队伍，剩下的人继续按一、二报数，报一的离开队伍，⋯⋯按这个规律此下去，直至当队伍只剩下一人为止。

问：这时一共报了多少次 ?最后留下的这个人原来的号码是多少 ?分析与解答：难的不会想简单的，数大的不会想数小的。

我们先从这2000 名同学中选出 20 人代替 2000 人进行分析，试着找出规律，然后再用这个规律来解题。

这 20 人第一次报数后共留下 10 人，因为 20 ÷2=10 ，这10 人开始时的编号依次是： 2、4、6、8、10、12、14、16、18 、20，都是 2 的倍数。

六年级计数重点考查内容————计数方法综合(对应法、整体法等)

小升初计数重点考查内容
从1985到4891的整数中，十位数字与个位数字计数方法综合(对法、整体法等)
—计数方法综合(对应法、整体法等)
学习要点
1．对应法一般解题思路
2．整体法适用条件及具体应用
()
【例2】★★★☆
圆周上有12个点，其中一个点涂红，还有一个点涂
了蓝色，其余10个点没有涂色。

以这些点为顶点的
多边形中其顶点包含了红点及蓝点的多边形称
凸多边形中，其顶点包含了红点及蓝点的多边形称
为双色多边形；只包含红点(蓝点)的多边形称为红
色(蓝色)多边形。

不包含红点及蓝点的称无色多边
色(蓝色)多边形不包含红点及蓝点的称无色多边
形。

试问：以这12个点为顶点的所有凸多边形(边数
可角形到边形)中，色多边形的个数与
可以从三角形到12边形)中，双色多边形的个数与无
色多边形的个数，哪一种较多？多多少个？
55
对话
阿情：阿增，我每讲最后都弄了个通知，总结阿增：嗯，确实不错，从今天开始俺也整～
通知
对应法：通过一一对应关系，把复杂计数。

小升初数学六年级重点-计数

一、本讲任务熟练掌握树形图、标数法、韦恩图、分类枚举及乘法原理的应用。

【举一反三】(★★★)一个六位数由1、2、3、4、5组成，而且任意相邻两个数位的数字之差都是1，这样的六位数有多少个？(★★)有些四位数的各位数字均取自1，2，3，4，5(可重复选取)，并且任意相邻两位数字(大减小)的差都是1。

则这样的四位数共有_______个。

计数例1【举一反三】(★★★)体育课上，60名学生面向老师站成一行，按老师口令，从左到右报数：1，2，3，…，60，然后，老师让所报的数是4的倍数的同学向后转，接着又让所报的数是5的倍数的同学向后转，最后让所报的数是6的倍数的同学向后转，现在面向老师的学生有________人。

(★★★)50名同学面向老师站成一行，老师先让大家从左至右按1，2，3…，49，50依次报数；先让报数是5的倍数的同学向后转，再让报数是4的倍数的同学向后转，接着又让报数是6的倍数的同学向后转，这时面向老师的同学还有______名。

(★★★)在下图的街道示意图中，C 处因施工不能通行，从A 到B 的最短路线有多少种？例2例3例4(★★★☆)有______个这样的三位数abc，满足abc与cba除以7的余数相同。

(a，b，c可以相同)【举一反三】(★★★☆)在图中1×5的格子中填入1，2，3，4，5，6，7，8中的5个数，要求，填入的数各不相同并且填在黑格里的数比它旁边的两个数都大。

共有种不同的填法。

例5(★★★☆)用数字0，1，2，3，4，5一共可以组成______个没有重复数字且能被5整除的四位数。

【举一反三】(★★★★)某信号兵用红、黄、蓝三面旗子从上到下挂在竖直的旗杆上表示信号，每次可以挂一面、二面或三面，并且不同的顺序表示不同的信号，一共可以表示( )种信号。

(★★★★)学学和思思一起洗5个互不相同的碗，思思洗好的碗一个一个往上摞，学学再从最上面一个一个地拿走放入碗柜摞成一摞，思思一边洗，学学一边拿，那么学学摞好的碗一共有种不同的摞法。

小学五六年级奥数学竞赛第6讲计数方法之标数法、递推法

【例3】(★★★★) 在下图中，左下角有1枚棋子，每次可以向上，向右，或沿对角线的方向向右上走任意多步，但不能不走。那么走到右上角一共有多少种方法？
【例4】(★★★★★) 中10片莲叶如右图排列．青蛙在莲叶间跳跃，每次只能从一，池塘中片莲叶跳到相邻的另一片莲叶．一只青蛙盘算着从其中一片莲叶上起跳，连跳4步，那么它有种不同的跳法．
【例6】(★★★) 如下图，一只蜜蜂从A处出发，回到家里B处，每次只能从一个蜂房爬向右侧邻近的蜂房而不准逆行，共有多少种回家的方法？
A
B
【例7】(★★★) 一个楼梯共有12级台阶，规定每步可以迈1级台阶或2级台阶，最多可以迈3级台阶，从地面到最阶一共可以有多少种不同的走法？
重点例题：例3、例4、例5、例7、例8
2
【例8】(★★★) 在平面上画8个圆，最多可以把平面分成_______部分。
本讲总结 ①标数法与递推法都是加法原理 ②按最后一步进行分类，做加法 ③标数时要注意限制条件 ④ 平 ④分平面问题要确定交点个数要确点个
【例9】(★★★★) 一个长方形把平面分成两部分，那么个长方形把平面分成两部分那么10个长方形最多把平面分成 _______部分.
计数方法之标数法、递推法
【例1】(★★) 如图所示科学家“爱因斯坦”的英文名拼写为“ 如图所示，科学家爱因斯坦的英文名拼写为 Einstein Einstein”，按按图中箭头所示方向有______种不同的方法拼出英文单词 “Einstein”。
【例2】(★★) 如图，为一幅街道图，从A出发经过十字路口B，但不经过C走到D的不同的最短路线有多少条？
○
1
【例5】(★★★★★) 游乐园门票1元1张，每人限购1张.现有10个小朋友排队购买，其中5个小朋友只有1元的钞票，另外5个小朋友只有2元的钞票，售票员没有零钱。10个小朋友排队，不同的排队方法总共有10！＝3628800种，问其中有种问其中有______种排队方法，售票员总能找的开种排队方法售票员总能找的开零钱。

小学计数综合计数方法与技巧

计数方法与技巧知识结构（1）归纳法：从条件值较小的数开始，找出其中规律，或找出其中的递推数量关系，归纳出一般情况下的数量关系．（2）整体法：解决计数问题时，有时要“化整为零”，使问题变得简单；有时反而要从整体上来考虑，从全局、从整体来研究问题，反而有利于发现其中的数量关系．（3）对应法：将难以计数的数量与某种可计量的事物联系起来，只要能建立一一对应的关系，那么这两种事物在数量上是相同的．事实上插入法和插板法都是对应法的一种表现形式．（4）递推法：对于某些难以发现其一般情形的计数问题，可以找出其相邻数之间的递归关系，有了这一递归关系就可以利用前面的数求出后面未知的数，这种方法称为递推法．例题精讲【例 1】一条直线分一个平面为两部分．两条直线最多分这个平面为四部分．问5条直线最多分这个平面为多少部分?【考点】计数之归纳法【难度】3星【题型】解答【解析】方法一：我们可以在纸上试着画出1条直线，2条直线，3条直线，……时的情形，于是得到下表：由上表已知5条直线最多可将这个平面分成16个部分，并且不难知晓，当有n条直线时，最多可将平面分成2+2+3+4+…+n=()12n n++1个部分．方法二：如果已有k条直线，再增加一条直线，这条直线与前k条直线的交点至多k个，因而至多被分成k+1段，每一段将原有的部分分成两个部分，所以至多增加k+1个部分．于是3条直线至多将平面分为4+3=7个部分，4条直线至多将平面分为7+4=11个部分，5条直线至多将平面分为11+5=16个部分．一般的有k条直线最多将平面分成：1+1+2+…+k=()12k k++1个部分，所以五条直线可以分平面为16个部分．【答案】16【巩固】平面上5条直线最多能把圆的内部分成几部分？平面上100条直线最多能把圆的内部分成几部分？【考点】计数之归纳法【难度】4星【题型】解答【解析】假设用a k 表示k 条直线最多能把圆的内部分成的部分数，这里k ＝0，1，2，……a 0＝1 a 1=a 0+1＝2 a 2=a 1＋2=4 a 3=a 2＋3=7 a 4=a 3+4＝11 ……故5条直线可以把圆分成16部分，100条直线可以把圆分成5051部分【答案】5051部分【例 2】平面上10个两两相交的圆最多能将平面分割成多少个区域？【考点】计数之归纳法【难度】4星【题型】解答【解析】先考虑最简单的情形．为了叙述方便，设平面上k 个圆最多能将平面分割成k a 个部分．从图中可以看出，12a =，24221a ==+⨯，38422a ==+⨯，414823a ==+⨯，…… 可以发现k a 满足下列关系式：()121k k a a k -=+-．实际上，当平面上的(1k -)个圆把平面分成1k a -个区域时，如果再在平面上出现第k 个圆，为了保证划分平面的区域尽可能多，新添的第k 个圆不能通过平面上前()1k -个圆之间的交点．这样，第k 个圆与前面()1k -个圆共产生2(1)k ⨯-个交点，如下图：141312111098765432187652134431221这2(1)k ⨯-个交点把第k 个圆分成了2(1)k ⨯-段圆弧，而这2(1)k ⨯-段圆弧中的每一段都将所在的区域一分为二，所以也就是整个平面的区域数增加了2(1)k ⨯-个部分．所以，()121k k a a k -=+-．那么，10987292829272829a a a a =+⨯=+⨯+⨯=+⨯+⨯+⨯=12122...272829a =+⨯+⨯++⨯+⨯+⨯()2212...78992=+⨯+++++=．故10个圆最多能将平面分成92部分．【答案】92【巩固】 10个三角形最多将平面分成几个部分？【考点】计数之归纳法【难度】4星【题型】解答【解析】设n 个三角形最多将平面分成n a 个部分．1n =时，12a =；2n =时，第二个三角形的每一条边与第一个三角形最多有2个交点，三条边与第一个三角形最多有236⨯=（个）交点．这6个交点将第二个三角形的周边分成了6段，这6段中的每一段都将原来的每一个部分分成2个部分，从而平面也增加了6个部分，即2223a =+⨯．3n =时，第三个三角形与前面两个三角形最多有4312⨯=（个）交点，从而平面也增加了12个部分，即：322343a =+⨯+⨯． ……一般地，第n 个三角形与前面()1n -个三角形最多有()213n -⨯个交点，从而平面也增加()213n -⨯个部分，故()()222343213224213332n a n n n n ⎡⎤=+⨯+⨯++-⨯=++++-⨯=-+⎣⎦；特别地，当10n =时，2103103102272a =⨯+⨯+=，即10个三角形最多把平面分成272个部分．【答案】272【例 3】一个长方形把平面分成两部分，那么3个长方形最多把平面分成多少部分？【考点】计数之归纳法【难度】4星【题型】解答【解析】一个长方形把平面分成两部分．第二个长方形的每一条边至多把第一个长方形的内部分成2部分，这样第一个长方形的内部至多被第二个长方形分成五部分．同理，第二个长方形的内部至少被第一个长方形分成五部分．这两个长方形有公共部分(如下图，标有数字9的部分)．还有一个区域位于两个长方形外面，所以两个长方形至多把平面分成10部分．第三个长方形的每一条边至多与前两个长方形中的每一个的两条边相交，故第一条边被隔成五条小线段，其中间的三条小线段中的每一条线段都把前两个长方形内部的某一部分一分为二，所以至多增加3×4=12个部分．而第三个长方形的4个顶点都在前两个长方形的外面，至多能增加4个部分．所以三个长方形最多能将平面分成10+12+4=26．【小结】n 个图形最多可把平面分成部分数：直线：()112n n ⨯++；圆：()21n n +⨯-；三角形：()231n n +⨯⨯- ；长方形：()241n n +⨯⨯-．【答案】26【巩固】在平面上画5个圆和1条直线，最多可把平面分成多少部分?【考点】计数之归纳法【难度】5星【题型】解答【解析】先考虑圆．1个圆将平面分成2个部分．这时增加1个圆，这个圆与原有的1个圆最多有两个交点，成为2条弧，每条弧将平面的一部分一分为二，增加了2个部分，所以2个圆最多将平面分成4个部分．当有3个圆时，第3个圆与原有的2个产生4个交点而增加4个部分，所以3个圆最多将平面分成8个部分．同样的道理，5个圆最多将平面分成22个部分．再考虑直线．直线与每个圆最多有2个交点，这样与5个圆最多有10个交点．它们将直线分成11条线段或射线，而每条线段又将平面的一部分一分为二，2条射线增加了一部分，因此5个圆和1条直线最多可将平面分成32个部分．【答案】32【例 4】一个正方形的内部有1996个点，以正方形的4个顶点和内部的1996个点为顶点，将它剪成一些三角形．问：一共可以剪成多少个三角形?如果沿上述这些点中某两点之间所连的线段剪开算作一刀，那么共需剪多少刀?【考点】计数之整体法【难度】4星【题型】解答【解析】方法一：归纳法，如下图，采用归纳法，列出1个点、2个点、3个点…时可剪出的三角形个数，需剪的刀数．不难看出，当正方形内部有n个点时，可以剪成2n＋2个三角形，需剪3n+l刀，现在内部有1996个点，所以可以剪成2×1996+2=3994个三角形，需剪3×1996+1=5989刀．方法二：整体法．我们知道内部一个点贡献360度角，原正方形的四个顶点共贡献了360度角，所以当内部有n个点时，共有360n+360度角，而每个三角形的内角和为180度角，所以可剪成(360n+360)÷180=2n+2个三角形．2n+2个三角形共有3×(2n+2)=6n+6条边，但是其中有4条是原有的正方形的边，所以正方形内部的三角形边有6n+6—4=6n+2条边，又知道每条边被2个三角形共用，即每2条边是重合的，所以只用剪(6n+2)÷2＝3n+1刀．本题中n=1996，所以可剪成3994个三角形，需剪5989刀．【答案】可剪成3994个三角形，需剪5989刀【巩固】在三角形ABC内有100个点，以三角形的顶点和这100点为顶点，可把三角形剖分成多少个小三角形？【考点】计数之整体法【难度】4星【题型】解答【解析】整体法．100个点每个点周围有360度，三角形本身内角和为180度，所以可以分成()⨯+÷=个小三角形．360100180180201【答案】201个小三角形【例 5】在8×8的黑白相间染色的国际象棋棋盘中，以网格线为边的、恰包含两个白色小方格与一个黑色小方格的长方形共有多少个？【考点】计数之图形中的对应关系【难度】3星【题型】解答【解析】首先可以知道题中所讲的13⨯长方形中间的那个小主格为黑色，这是因为两个白格不相邻，所以不能在中间．显然，位于棋盘角上的黑色方格不可能被包含在这样的长方形中．下面分两种情况来分析：第一种情况，一个位于棋盘内部的黑色方格对应着两个这样的13⨯长方形(一横一竖)；第二种情况，位于边上的黑色方格只能对应一个13⨯长方形．由于在棋盘上的32个黑色方格中，位于棋盘内部的18个，位于边上的有12个，位于角上的有2个，所以共有1821248⨯+=个这样的长方形．本题也可以这样来考虑：事实上，每一行都有6个13⨯长方形，所以棋盘上横、竖共有13⨯⨯=个．由于棋盘上的染色具有对称性，因此包含两个白色小方格与一⨯长方形68296个黑色小方格的长方形正好与包含两个黑色小方格与一个白色小方格的长方形具有一一对应关系，这说明它们各占一半，因此所求的长方形个数为96248÷=个．【答案】48【巩固】用一张如图所示的纸片盖住66⨯方格表中的四个小方格，共有多少种不同的放置方法？【考点】计数之图形中的对应关系【难度】3星【题型】解答【解析】【解析】如图，将纸片中的一个特殊方格染为黑色，下面考虑此格在66⨯方格表中的位置．易见它不能位于四个角上；若黑格位于方格表中间如图浅色阴影所示的44⨯正方形内的某格时，纸片有4种不同的放法，共计44464⨯⨯=种；若黑格位于方格表边上如图深色阴影所示的方格中时，纸片的位置随之确定，即只有1种放法，此类放法有4416⨯=种．所以，纸片共有641680+=种不同的放置方法．【答案】80种【例 6】有多少个四位数，满足个位上的数字比千位数字大，千位数字比百位大，百位数字比十位数字大？【考点】计数之数字问题中的对应关系【难度】4星【题型】解答【解析】由于四位数的四个数位上的数的大小关系已经非常明确，而对于从0～9中任意选取的4个数字，它们的大小关系也是明确的，那么由这4个数字只能组成1个符合条件的四位数(题目中要求千位比百位大，所以千位不能为0，本身已符合四位数的首位不能为0的要求，所以进行选择时可以把0包含在内)，也就是说满足条件的四位数的个数与从0～9中选取4个数字的选法是一一对应的关系，那么满足条件的四位数有41010987210 4321C⨯⨯⨯==⨯⨯⨯个．【答案】210个【巩固】三位数中，百位数比十位数大，十位数比个位数大的数有多少个？【考点】计数之数字问题中的对应关系【难度】4星【题型】解答【解析】相当于在10个数字中选出3个数字，然后按从大到小排列.共有10×9×8÷（3×2×1）=120种．实际上，前铺中每一种划法都对应着一个数．【答案】120种【例 7】学学和思思一起洗5个互不相同的碗（顺序固定），思思洗好的碗一个一个往上摞，学学再从最上面一个一个地拿走放入碗柜摞成一摞，思思一边洗，学学一边拿，那么学学摞好的碗一共有种不同的摞法．【考点】计数之对应与阶梯型标数法【难度】5星【题型】解答【关键词】2008年，第一届，学而思杯，5年级，第7题【解析】方法一：如下所示，共有42种不同的摞法：54321----，45321----，35421----，53421----，34521----，54231----，45231----，25431----，52431----，24531----，52341----，25341----，23541----，23451----，54312----，45312----，53412----，35412----，34512----，54132----，45132----，15432----，51432----，14532----，51342----，15342----，13542----，13452----，54123----，45123----，15423----，51423----，14523----，12543----，51243----，15243----，12453----，12354----，12534----，15234----，51234----， 12345----。

六年级下册数学试题-小升初能力训练：计数综合(解析版)全国通用

第06讲计数综合1：如图，每次只能走一格，从A 到B 有多少条最短路线？2：学学和思思一起洗5个互不相同的碗（顺序固定），思思洗好的碗一个一个往上摞，学学再从最上面一个一个地拿走放入碗柜摞成一摞，思思一边洗，学学一边拿，那么学学摞好的碗一共有种不同的摞法．我们把学学洗的5个碗过程看成从起点向右走5步（即洗几个碗就代表向右走几步），思思拿5个碗的过程看成是向上走5步（即拿几个碗就代表向上走几步），摞好碗的摞法，就代表向右、向上走5步到达终点最短路线的方法.由于洗的碗要多余拿的碗，所以向右走的路线要多余向上走的路线，所以我们用下面的斜三角形进行标数，共有42种走法，所以共有42种不同的摞法。

BA4242142814514952543211111111【重要一】标数法or 对应法/构造标数3：游乐园的门票1元1张，每人限购1张．现在有10个小朋友排队购票，其中5个小朋友只有1元的钞票，另外5个小朋友只有2元的钞票，售票员没有准备零钱．问有多少种排队方法，使售票员总能找得开零钱？与类似题目找对应关系．要保证售票员总能找得开零钱，必须保证每一位拿2元钱的小朋友前面的若干小朋友中，拿1元的要比拿2元的人数多，先将拿1元钱的小朋友看成是相同的，将拿2元钱的小朋友看成是相同的，可以利用斜直角三角模型．在下图中，每条小横线段代表1元钱的小朋友，每条小竖线段代表2元钱的小朋友，因为从A 点沿格线走到B 点，每次只能向右或向上走，无论到途中哪一点，只要不超过斜线，那么经过的小横线段都不少于小竖线段，所以本题相当于求下图中从A 到B 有多少种不同走法．使用标数法，可求出从A 到B 有42种走法．但是由于10个小朋友互不相同，必须将他们排队，可以分成两步，第一步排拿2元的小朋友，5个人共有5120=！种排法；第二步排拿到1元的小朋友，也有120种排法，所以共有5514400⨯=！！种排队方法．这样，使售票员能找得开零钱的排队方法共有4214400604800⨯=(种)．4：一个正在行进的8人队列，每人身高各不相同，按从低到高的次序排列，现在他们要变成并列的2列纵队，每列仍然是按从低到高的次序排列，同时要求并排的每两人中左边的人比右边的人要矮，那么，2列纵队有种不同排法.【解析】首先，将8人的身高从低到高依次编号为12345678、、、、、、、，现在就相当于要将这8个数填到一个42⨯的方格中，要求每一行的数依次增大，每一列上面的要比下面的大．下面我们将12345678、、、、、、、依次往方格中填，按照题目规则，很容易就发现：第二行填的的数字的个数永远都小于或等于第一行数字填的个数．而这个正好是“阶梯型标数”题型的基本原则．于是，我们可以把原题转化成：AB 424228145141494553221111111在这个阶梯型方格中，横格代表在第一行的四列，纵格代表第二行的四列，那么此题所有标数的方法就相当于从A走到B的最短路线有多少条．用“标数法”得出从A到B的最短路径有14种，如下图：5：在一次小组长选举中，铮铮与昊昊两人作为候选人参加竞选，一共得了7张选票。

小升初计数高频考点汇总与方法总结

2
排列组合【课前小练习】
2、计算：
A62 _____
A93 _____
A51 _____
C62 _____
C54 _____
C 98 100
2C1200
_____
【例4】(★★★☆)
有7个同学A、B、C、D、E、F、G (1)如果A、B、C、D 四人必须相邻，有多少种排法？ (例4】(★★★☆) 有7个同学A、B、C、D、E、F、G (3)如果把他们排成一圈，有多少种排法？
对称计数【例5】(★★★★)
一个长方体的各边都是整数，并且它的体积是2310，那么这样的长方体有多少个？(如果长方体经过旋转可以重合，则认为是同一个长方体)
3
1、枚举法 ⑴ 有序枚举，树状图，传球递推法(列表)。 ⑵ 传球递推法：加法原理。
枚举法【例1】(★) 四个人分别穿着红、黄、绿、蓝四种颜色的球衣练习传球，每人都可以把球传给另外三个人中的任意一个。先由红衣人发球，并作为第1次传球，经过4次传球后球仍然回到红衣人手中。请问：整个传球过程共有多少种不同的可能？
1
【拓展】三名篮球运动员甲，乙，丙进行传球训练，有甲开始传，经过 6次传递后，球又被传回甲，则不同的传球方式有多少种？
2、排列组合 ⑴ 排列：捆绑法，插空法，圆桌排序(除法)、定序法. ⑵ 组合：隔板法，相同小球放到不同盒子里，至少为1，中间插板.
3、对称法：除法消重，实际答案＝总数÷每组的排列数.
【今日讲题】例4，例5
【讲题心得】 _________________________________________________ ____________________________________.

小升初计数题知识点总结

小升初计数题知识点总结一、计数的基本概念计数是数学中重要的基本概念之一。

所谓计数就是指把同类事物按照一定的顺序进行标记。

在小升初的数学学习中，计数是一个非常基础的概念，许多其他数学知识都是建立在计数的基础上的。

1.1 计数的概念计数是数学中一个非常基本的概念。

在日常生活中，我们经常要进行计数，比如数小朋友的人数、家里有多少个苹果等等。

计数的目的是为了对一组事物进行量化，使得我们能够更方便地理解和操作这组事物。

1.2 计数的表示方式在实际的计数中，我们通常会使用阿拉伯数字来表示数量，比如1、2、3、4……。

除了阿拉伯数字外，计数还可以用汉字、英文单词等不同的方式来表示。

1.3 整数和小数的计数在计数中，整数和小数都有其特定的用途。

整数通常用于表示事物的个数，比如有5本书、10个苹果等。

而小数通常用于表示事物的部分，比如0.5升水、1.5公斤大米等。

1.4 计数中的连续性在实际的计数中，有时需要对一段范围内的事物进行计数。

这时我们需要掌握计数的连续性，即能够按照一定的规律对事物进行连续计数。

1.5 计数中的分类在进行计数时，通常会遇到需要对事物进行分类的情况。

这时我们需要掌握对事物进行分类计数的方法，比如使用表格、图表等形式进行分类统计。

二、计数问题的解决方法在小升初的数学学习中，我们不仅需要了解计数的基本概念，还需要掌握如何解决各种不同形式的计数问题。

下面介绍几种常见的计数问题解决方法。

2.1 顺序计数顺序计数是最基本的计数方式，通常用于对一组事物进行依次编号。

解决顺序计数问题时，我们需要注意事物的顺序，确保每个事物都被正确地编号。

2.2 分类计数在实际的计数中，我们经常需要对一组事物进行分类计数。

解决分类计数问题时，我们需要对事物进行合适的分类，然后分别对不同的类别进行计数。

2.3 集合计数集合计数是对一组事物进行整体计数的方法。

解决集合计数问题时，我们需要对整个集合进行综合计数，确保每个事物都被正确地统计。

小升初计数高频知识点总结

小升初计数高频知识点总结一、整数的认识1. 整数是由全体正数、零、负数组成的，用来表示有向量的大小和方向，通常用Z表示。

2. 正整数、负整数和0的关系：0是自然数的补集，正整数和负整数的关系是互补的。

二、整数的加减法1. 加法：同号相加，异号相减，取绝对值大的数，符号不变。

例题：5 + (-2) = 5 - 2 = 32. 减法：加法的相反运算，先取相反数再相加。

例题：8 - (-3) = 8 + 3 = 11三、整数的乘除法1. 乘法：同号为正，异号为负。

绝对值相乘。

例题：3 × (-4) = (-3) × 4 = (-12)2. 除法：同号为正，异号为负。

被除数绝对值大于除数即为负数。

例题：(-14) ÷ 2 = 7四、整数的乘方及开方1. 乘方：同底数指数相加。

a的m次方 × a的n次方 = a的(m+n)次方。

例题：2的4次方 × 2的2次方 = 2的6次方2. 开方：开平方指的是一个数的二次方根。

√a×√b=√(a×b)。

五、约数和倍数1. 约数：a是b的约数，是指b可以被a整除，a除以b的余数为0。

2. 倍数：b是a的倍数，是指a是b的约数，a可以被b整除。

六、质数和合数1. 质数：大于1的自然数中，除了1和它本身以外没有其他的约数。

2. 合数：大于1的自然数中除了1和它本身以外，还有其他约数。

七、分数的认识1. 分数是指一个数与另一个数的比，由分子和分母组成。

2. 假分数：分子大于分母的分数。

3. 真分数：分子小于分母的分数。

八、分数的加减法1. 加法：要求分母相同，分子相加，分母不变。

例题：1/4 + 1/4 = 2/42. 减法：要求分母相同，分子相减，分母不变。

例题：3/5 - 2/5 = 1/5九、分数的乘除法1. 乘法：分子乘以分子，分母乘以分母。

例题：2/3 × 3/4 = 6/122. 除法：分子乘以分母的倒数，分母乘以分子的倒数。

小升初计数高频考点汇总与方法总结-精品

1
【例2】（★★★）
小悦买了10块相同的巧克力，每天最少吃一块，直到吃完，共有多少种吃法?
【例3】（★★★★）
用1至9这9个数字组成一个没有重复数字的九位数，满足以下要求：每一位上的数字要么大于它前面的所有数字，要么小于它前面的所有数字。请问：这样的九位数共有多少个?
【例4】（★★★）
正方形内部共有2016个点(结合正方形4个顶点，共2020个点，其中任意三点，不在同一条直线上)任意两点间可剪一刀，将正方形剪成以2020个点为顶点的三角形，最多可剪成多少个三角形？
五、常见方法 1．标数法——加法原理 2．递推法——枚举归纳 3．对应法 4．整体法 5．排除法
六、概率与统计 1．古典概型 2．概率可乘性
重点例题：例1，例3，例4，例6 3
小升初计数高频考点汇总与方法总结
加油站
一、枚举归纳
分类枚举——有序，规律树形枚举——对应，对称
二、加法原理
分类用加：结合容斥，合理分类分步用乘：特殊位置，优先考虑
三、排列组合 1．排列，组合意义，计算方法 2．三种经典方法：捆绑法，插空法，挡板法 3．先选后排思想
四、容斥原理 1．容斥计算公式——单层要加，双层要减 2．韦恩图及意义——各区域具体含义
【本讲总结】
一、枚举归纳ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
分类枚举——有序，规律树形枚举——对应，对称
二、加乘原理
分类用加：结合容斥，合理分类分步用乘：特殊位置，优先考虑
三、排列组合 1．排列，组合意义，计算方法 2．三种经典方法：捆绑法，插空法，挡板法 3．先选后排思想
四、容斥原理 1．容斥计算公式——单层要加，双层要减 2．韦恩图及意义——各区域具体含义
【例5】（★★★★）

小升初数学计数知识点

计数模块枚举法一内容概述:教学一对一：1. 冬冬在一张纸上画了一些图形，如图4-1所示，每个图形都是由若干条线段连接组成的。

请你数一数，纸上一共有多少条线段？（最外面的大长方形是纸的边框，不算在内）2. 要沿着如图2-4所示的道路从A点走到B点，并且每段路最多只能经过一次，一共有多少种不同的走法？3. 小明决定去香山、颐和园、圆明园这三个景点旅游，要走遍这三个景点，他一共有多少种不同的游览顺序？4. 小王准备从青岛、三亚、桂林、杭州这4个地方中选2个去旅游，小王有多少种不同的选择方式？如果小王想去其中的3个地方，又有多少种选择方式？5. 小烧饼每个5角钱，大烧饼每个2元钱，冬冬一共有6元钱，如果把这些钱全部用来买烧饼，一共有多少种不同的买法？6. 在一次知识抢答比赛中，小悦和冬冬两个人一共答对了10道题，并且每人都有答对的题目。

如果每道题1分，那么小悦和冬冬分别可能得多少分？请把所有的可能填写到下面的表格里：7. 两个海盗分20枚金币。

请问：（1）如果每个海盗最少分5枚金币，一共有多少种不同的分法？（2）如果每个海盗最多分到16枚金币，一共有多少种不同的分法？8. 有15个玻璃球，要把它们分成两堆，一共有几种不同的分法？这两堆球的个数可能相差几个？装10盒。

张奶奶一共有几种不同的装法？10. 小悦、冬冬、阿奇三个人一共有7本课外书，每个人至少有一本。

小悦、冬冬、阿奇分别有几本课外书？请写出全部可能的情况。

11. 如图4-3，小悦画了一个小房子，如果每画一笔都不能拐弯，那么她最少画了几笔？12. 小悦把8块绿豆糕摆成如图4-4所示的图形，让冬冬挑两块挨在一起的绿豆糕。

请问：冬冬一共有多少种不同的挑法？13. 小悦、冬冬、阿奇三个人去看电影，他们买了三张座位相邻的票。

他们三人的座位顺序一共有多少种不同的安排方法？14. 小李摆摊卖货，小木偶每个卖1元，大木偶每个卖2元。

他今天一共卖出了5个木偶。

小李今天一共可能卖了多少钱？15. （1）老师给小悦14个相同的练习本。