年高中数学(人教A版)必修一课时达标训练：(二十四) Word版含解析

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人教A版高中数学必修1全册课后习题(附解析)

结合全新各地模拟考试相关题目人教A版高中数学必修1全册课后习题（附解析）第一章集合与常用逻辑用语1.1集合的概念第1课时集合的概念与几种常见的数集课后巩固1.设集合A={2,4,5},B={2,4,6},若x∈A,且x∉B,则x的值为()A.2B.4C.5D.62.若a是R中的元素,但不是Q中的元素,则a可以是()A.3.14B.-5C.D.是实数,但不是有理数,故选D.3.若集合A只含有元素a,则下列各式正确的是()A.0∈AB.a∉AC.a∈AD.a=AA中只有一个元素a,∴0∉A,a∈A,元素a与集合A的关系不应该用“=”,故选C.4.下列对象能构成集合的是()A.高一年级全体较胖的学生B.sin 30°,sin 45°,cos 60°,1C.全体很大的自然数D.平面内到△ABC三个顶点距离相等的所有点较胖”与“很大”的标准不明确,所以A、C不能构成集合;对于B,由于sin 30°=cos 60°=,不满足集合中元素的互异性,故B错误;对于D,平面内到△ABC三个顶点距离相等的所有点,可知这个点就是△ABC外接圆的圆心,满足集合的定义,故选D.5.(多选题)下列关系正确的有()A.∈RB.∉RC.|-3|∈ND.|-|∈Q中,∈R,正确;B中,∉R,错误;C中,|-3|∈N,正确;D中,|-|∈Q,错误,所以正确的个数是两个,故选A,C.6.已知集合S中的元素a,b是一个四边形的两条对角线的长,那么这个四边形一定不是()A.梯形B.平行四边形C.矩形D.菱形,所以a≠b,即四边形对角线不相等,故选C.7.已知集合A中含有2个元素x+2和x2,若1∈A,则实数x的值为.x+2=1或x2=1,所以x=1或x=-1.当x=-1时,x+2=x2,不符合题意,所以x=-1舍去;当x=1时,x+2=3,x2=1,满足题意.故x=1.8.设P,Q为两个非空实数集合,P中含有0,2,5三个元素,Q中含有1,2,6三个元素,定义集合P+Q中的元素是a+b,其中a∈P,b∈Q,则P+Q中元素的个数是.a∈P,b∈Q,则a+b的取值分别为1,2,3,4,6,7,8,11,则组成的集合P+Q中有8个元素.9.已知集合A中含有两个元素a-3和2a-1.(1)若-3是集合A中的元素,试求实数a的值;(2)-5能否为集合A中的元素?若能,试求出该集合中的所有元素;若不能,请说明理由.因为-3是集合A中的元素,所以-3=a-3或-3=2a-1.若-3=a-3,则a=0,此时集合A含有两个元素-3,-1,符合要求;若-3=2a-1,则a=-1,此时集合A中含有两个元素-4,-3,符合要求.综上所述,满足题意的实数a的值为0或-1.(2)若-5为集合A中的元素,则a-3=-5,或2a-1=-5.当a-3=-5时,解得a=-2,此时2a-1=2×(-2)-1=-5,显然不满足集合中元素的互异性;当2a-1=-5时,解得a=-2,此时a-3=-5,显然不满足集合中元素的互异性.综上,-5不能为集合A中的元素.10.已知集合A中含有3个元素:x,,1,B中含有3个元素:x2,x+y,0,若A=B,则x2 017+y2 018=.A=B,∴解得则x2 017+y2 018=(-1)2 017+02 018=-1.11.设x,y,z是非零实数,若a=,则以a的值为元素的集合中元素的个数是.x,y,z都是正数时,a=4;当x,y,z都是负数时,a=-4;当x,y,z中有一个是正数另两个是负数或有两个是正数另一个是负数时,a=0.所以以a的值为元素的集合中有3个元素.12.设A是由一些实数构成的集合,若a∈A,则∈A,且1∉A.(1)若3∈A,求集合A;(2)证明:若a∈A,则1-∈A;(3)集合A中能否只有一个元素?若能,求出集合A;若不能,说明理由.3∈A,∴=-∈A,∴∈A,∴=3∈A,∴A=.a∈A,∴∈A,∴=1-∈A.A只有一个元素,记A={a},则a=,即a2-a+1=0有且只有一个实数解.∵Δ=(-1)2-4=-3<0,∴a2-a+1=0无实数解.这与a2-a+1=0有且只有一个实数解相矛盾,故假设不成立,即集合A中不能只有一个元素.第2课时集合的表示课后巩固1.已知集合A={x|x(x+4)=0},则下列结论正确的是()A.0∈AB.-4∉AC.4∈AD.2∈AA={x|x(x+4)=0}={0,-4},∴0∈A.2.一次函数y=x+2和y=-2x+8的交点组成的集合是()A.{2,4}B.{x=2,y=4}C.(2,4)D.{(x,y)|x=2且y=4}解得∴一次函数y=x+2与y=-2x+8的图象的交点为(2,4),∴组成的集合是{(x,y)|x=2且y=4}.3.集合用描述法可表示为()A. B.C. D.3,,即,从中发现规律,x=,n∈N*,故可用描述法表示为.4.已知集合A=m y=∈N,m∈N,用列举法表示集合A=.集合A=m y=∈N,m∈N,∴A={1,2,4}.5.(一题多空题)设集合A={x|x2-3x+a=0},若4∈A,则a=,集合A用列举法表示为.4∈A,∴16-12+a=0,∴a=-4,∴A={x|x2-3x-4=0}={-1,4}.6.用列举法表示下列集合:(1)方程组的解集;(2)不大于10的非负奇数集;(3)A=.由故方程组的解集为{(2,1)}.(2)不大于10,即小于或等于10,非负是大于或等于0,故不大于10的非负奇数集为{1,3,5,7,9}.(3)由式子可知4-x的值为1,2,3,6,从而可以得到x的值为3,2,1,-2,所以A={-2,1,2,3}.7.用另一种形式表示下列集合:(1){绝对值不大于3的整数};(2){所有被3整除的数};(3){x|x=|x|,x∈Z且x<5};(4){x|(3x-5)(x+2)(x2+3)=0,x∈Z}.绝对值不大于3的整数可以表示为{x||x|≤3,x∈Z},也可表示为{-3,-2,-1,0,1,2,3};(2){x|x=3n,n∈Z};(3)∵x=|x|,∴x≥0.∵x∈Z且x<5,∴{x|x=|x|,x∈Z且x<5}还可表示为{0,1,2,3,4};(4){-2}.(特别注意x∈Z这一约束条件)8.用适当的方法表示下列集合:(1)大于2且小于5的有理数组成的集合;(2)24的所有正因数组成的集合;(3)平面直角坐标系内与坐标轴的距离相等的点组成的集合.用描述法表示为{x|2<x<5且x∈Q}.(2)用列举法表示为{1,2,3,4,6,8,12,24}.(3)在平面直角坐标系内,点(x,y)到x轴的距离为|y|,到y轴的距离为|x|,所以该集合用描述法表示为{(x,y)||y|=|x|}.能力提升1.已知集合P={x|x=2k,k∈Z},Q={x|x=2k+1,k∈Z},R={x|x=4k+1,k∈Z},a∈P,b∈Q,则()A.a+b∈PB.a+b∈QC.a+b∈RD.a+b不属于P,Q,R中的任意一个a=2m(m∈Z),b=2n+1(n∈Z),则a+b=2m+2n+1=2(m+n)+1.因为m+n∈Z,与集合Q中的元素特征x=2k+1(k∈Z)相符合,所以a+b∈Q,故选B.2.已知集合A={1,2},B={(x,y)|x∈A,y∈A,x+y∈A},则B中所含元素的个数为.A={1,2},B={(x,y)|x∈A,y∈A,x+y∈A},所以B={(1,1)},只有一个元素.3.如图,用适当的方法表示阴影部分的点(含边界上的点)组成的集合M=.(x,y)xy≥0,-2≤x≤,-1≤y≤4.已知集合A={x|ax2-3x+2=0},其中a为常数,且a∈R.(1)若A中至少有一个元素,求a的取值范围;(2)若A中至多有一个元素,求a的取值范围.当A中恰有一个元素时,若a=0,则方程化为-3x+2=0,此时关于x的方程ax2-3x+2=0只有一个实数根x=;若a≠0,则令Δ=9-8a=0,解得a=,此时关于x的方程ax2-3x+2=0有两个相等的实数根.当A中有两个元素时,则a≠0,且Δ=9-8a>0,解得a<,且a≠0,此时关于x的方程ax2-3x+2=0有两个不相等的实数根.综上,a≤时,A中至少有一个元素.(2)当A中没有元素时,则a≠0,Δ=9-8a<0,解得a>,此时关于x的方程ax2-3x+2=0没有实数根.当A中恰有一个元素时,由(1)知,此时a=0或a=.综上,a=0或a≥时,A中至多有一个元素.1.2集合间的基本关系课后巩固1.已知集合A={x|x是平行四边形},B={x|x是矩形},C={x|x是正方形},D={x|x是菱形},则()A.A⊆BB.C⊆BC.D⊆CD.A⊆D.2.下列集合中表示空集的是()A.{x∈R|x+5=5}B.{x∈R|x+5>5}C.{x∈R|x2=0}D.{x∈R|x2+x+1=0}分别表示的集合为{0},{x|x>0},{0},∵x2+x+1=0无解,∴{x∈R|x2+x+1=0}表示空集.3.(多选题)下列命题中,错误的是()A.空集没有子集B.任何集合至少有两个子集C.空集是任何集合的真子集D.若⌀⫋A,则A≠⌀错,空集是任何集合的子集;B错,如⌀只有一个子集;C错,空集不是空集的真子集;D正确,因为空集是任何非空集合的真子集.4.设集合A={-1,0,1},B={a,a2},则使B⊆A成立的a的值是()A.-1B.0C.1D.-1或1B⊆A,∴∴a=-1.5.满足{1}⊆A⊆{1,2,3}的集合A的个数是()A.2B.3C.4D.8满足{1}⊆A⊆{1,2,3}的集合A为:{1},{1,2},{1,3},{1,2,3},共4个.6.设集合M={y|y=x2+1},N={x|y=x2+1},能正确表示集合M与集合N的关系的Venn图是()M={y|y=x2+1}={y|y≥1},N={x|y=x2+1}=R,∴M⫋N,对应的Venn图是D.7.集合{x|1<x<6,x∈N*}的非空真子集的个数为.{x|1<x<6,x∈N*}={2,3,4,5},有4个元素,故有非空真子集24-2=14(个).8.下列各组中的两个集合相等的所有序号是.①P={x|x=2n,n∈Z},Q={x|x=2(n-1),n∈Z};②P={x|x=2n-1,n∈N*},Q={x|x=2n+1,n∈N*};③P={x|x2-x=0},Q=x x=,n∈Z.中对于Q,n∈Z,所以n-1∈Z,Q表示偶数集,所以P=Q;②中P是由1,3,5,…所有正奇数组成的集合,Q是由3,5,…所有大于1的正奇数组成的集合,1∉Q,所以集合P与集合Q不相等;③中P={0,1},Q中当n为奇数时,x==0;当n为偶数时,x==1,Q={0,1},所以P=Q.9.集合A={x|-1≤x≤1},B={x|a-1≤x≤2a-1},若B⊆A,则实数a的取值范围是.B=⌀,即2a-1<a-1,即a<0时,满足B⊆A.若B≠⌀,即a-1≤2a-1,即a≥0时,要使B⊆A,则满足解得0≤a≤1.综上:a≤1.≤110.已知集合A={1,3,-x3},B={x+2,1},是否存在实数x,使得B是A的子集?若存在,求出集合A,B;若不存在,请说明理由.B是A的子集,所以B中元素必是A中的元素,若x+2=3,则x=1,符合题意.若x+2=-x3,则x3+x+2=0,所以(x+1)(x2-x+2)=0.因为x2-x+2≠0,所以x+1=0,所以x=-1,此时x+2=1,集合B中的元素不满足互异性.综上所述,存在实数x=1,使得B是A的子集,此时A={1,3,-1},B={1,3}.能力提升1.M={x|6x2-5x+1=0},P={x|ax=1},若P⊆M,则a的取值集合为()A.{2}B.{3}C.{2,3}D.{0,2,3}{x|6x2-5x+1=0}=,P={x|ax=1}.∵P⊆M,∴P=⌀或P=或P=, ∴相应地,有a=0或a=3或a=2.∴a的取值集合为{0,2,3}.2.已知集合A=x x=(2k+1),k∈Z,B=x x=k±,k∈Z,则集合A,B之间的关系为.A,k=2n时,x=(4n+1)=,n∈Z,当k=2n-1时,x=(4n-2+1)=,n∈Z, 即集合A=x x=,n∈Z,由B=x x=,k∈Z,可知A=B.3.集合A={x|-2≤x≤5},B={x|m+1≤x≤2m-1},(1)若B⊆A,求实数m的取值范围.(2)当x∈Z时,求A的非空真子集个数.(3)当x∈R时,没有元素x使x∈A与x∈B同时成立,求实数m的取值范围.当m+1>2m-1即m<2时,B=⌀,满足B⊆A.当m+1≤2m-1即m≥2时,要使B⊆A成立,需可得2≤m≤3.综上,m≤3时有B⊆A.(2)当x∈Z时,A={-2,-1,0,1,2,3,4,5},所以A的非空真子集个数为:28-2=254.(3)∵x∈R,且A={x|-2≤x≤5},B={x|m+1≤x≤2m-1},没有元素x使x∈A与x∈B同时成立.则①若B=⌀,即m+1>2m-1,得m<2时满足条件.②若B≠⌀,则要满足条件:解得m>4.综上,有m<2或m>4.1.3集合的基本运算第1课时并集和交集课后巩固1.设集合A={0,2,4,6,8,10},B={x|2x-3<4},则A∩B=()A.{4,8}B.{0,2,6}C.{0,2}D.{2,4,6}{x|x<3.5},又A={0,2,4,6,8,10},∴A∩B={0,2}.2.已知集合M={-1,0,1,2}和N={0,1,2,3}的关系的Venn图如图所示,则阴影部分所表示的集合是()A.{0}B.{0,1}C.{0,1,2}D.{-1,0,1,2,3}M∩N={0,1,2},故选C.3.设集合A={1,2,3,4},B={-1,0,2,3},C={x∈R|-1≤x<2},则(A∪B)∩C=()A.{-1,1}B.{0,1}C.{-1,0,1}D.{2,3,4}4.集合A={0,2,a},B={1,a2}.若A∪B={0,1,2,4,16},则a的值为()A.0B.1C.2D.4A={0,2,a},B={1,a2},A∪B={0,1,2,4,16},∴∴a=4.故选D.5.已知集合A={x|x<1或x>5},B={x|a≤x≤b},且A∪B=R,A∩B={x|5<x≤6},则2a-b=.,可知a=1,b=6,∴2a-b=-4.6.已知关于x的方程3x2+px-7=0的解集为A,方程3x2-7x+q=0的解集为B,若A∩B=,求A∪B.A∩B=,∴-∈A且-∈B.由-∈A,设3x2+px-7=0的另一根为m.由根与系数的关系得m=-,解得m=7.∴A=,同理B=,∴A∪B=.7.已知集合A={x|-2<x<3},B={x|m<x<m+9}.(1)若A∪B=B,求实数m的取值范围;(2)若A∩B≠⌀,求实数m的取值范围.A∪B=B,∴A⊆B,∴解得-6≤m≤-2,∴实数m的取值范围是[-6,-2].(2)当A∩B=⌀时,3≤m或者m+9≤-2,解得m≥3或m≤-11,∴A∩B≠⌀时,-11<m<3,∴实数m的取值范围是(-11,3).能力提升1.设A={x|2≤x≤6},B={x|2a≤x≤a+3},若A∪B=A,则实数a的取值范围是()A.[1,3]B.[3,+∞)C.[1,+∞)D.(1,3)A∪B=A,∴B⊆A,当B=⌀时,2a>a+3,解得a>3;当B≠⌀时,且a≤3,解得1≤a≤3.综上,a≥1.∴实数a的取值范围是[1,+∞).2.(一题多空题)设集合A={x|-1≤x≤2},B={x|-1<x≤4},C={x|-3<x<2},且集合A∩(B∪C)={x|a≤x≤b},则a=,b=.B∪C={x|-3<x≤4},∴A⫋(B∪C).∴A∩(B∪C)=A,由题意{x|a≤x≤b}={x|-1≤x≤2}.∴a=-1,b=2.第2课时补集及其应用课后提升1.已知全集U={1,2,3,4,5},∁U A={1,3,5},则A=()A.{1,2,3,4,5}B.{1,3,5}C.{2,4}D.⌀全集U={1,2,3,4,5},∁U A={1,3,5},∴A={2,4}.2.已知集合A={x|-1<x-3≤2},B={x|3≤x<4},则∁A B=()A.(2,3)∪(4,5)B.(2,3]∪(4,5]C.(2,3)∪[4,5]D.(2,3]∪[4,5]{x|2<x≤5},因为B={x|3≤x<4},所以∁A B=(2,3)∪[4,5].3.若全集U={1,2,3,4,5},且∁U A={x∈N|1≤x≤3},则集合A的真子集共有()A.3个B.4个C.7个D.8个A={1,2,3},所以A={4,5},其真子集有22-1=3个,故选A.U4.设全集U=R,集合A={x|x≤3},B={x|x≤6},则集合(∁U A)∩B=()A.{x|3<x≤6}B.{x|3<x<6}C.{x|3≤x<6}D.{x|3≤x≤6}U=R,集合A={x|x≤3},B={x|x≤6},则集合∁U A={x|x>3},所以(∁U A)∩B={x|3<x≤6}.5.已知全集U={1,3,5,7},集合A={1,3},B={3,5},则如图所示阴影区域表示的集合为()A.{3}B.{7}C.{3,7}D.{1,3,5},知A∪B={1,3,5},如图所示阴影区域表示的集合为∁U(A∪B)={7}.6.已知集合U={2,3,a2+2a-3},A={2,3},∁U A={5},则实数a的值为.5∈U,故得a2+2a-3=5,即a2+2a-8=0,解得a=-4或a=2.当a=-4时,U={2,3,5},A={2,3},符合题意.当a=2时,U={2,3,5},A={2,3},符合题意.所以a=-4或a=2.7.(一题多空题)设集合U=-2,,2,3,A={x|2x2-5x+2=0},B=3a,,若∁U A=B,则a=,b=.A={x|2x2-5x+2=0}=,2,∁U A=B,故B={-2,3},则3a=3,=-2,所以a=1,b=-2.-28.已知全集U=R,集合A={x|-5<x<5},B={x|0≤x<7},求:(1)A∩B;(2)A∪B;(3)A∪(∁U B);(4)B∩(∁U A);(5)(∁U A)∩(∁U B).①.(1)A∩B={x|0≤x<5}.(2)A∪B={x|-5<x<7}.图①(3)如图②.图②∁U B={x|x<0,或x≥7},∴A∪(∁U B)={x|x<5,或x≥7}.(4)如图③.图③∁U A={x|x≤-5,或x≥5},B∩(∁U A)={x|5≤x<7}.(5)(方法一)∵∁U B={x|x<0,或x≥7},∁U A={x|x≤-5,或x≥5},∴如图④.图④(∁U A)∩(∁U B)={x|x≤-5,或x≥7}.(方法二)(∁U A)∩(∁U B)=∁U(A∪B)={x|x≤-5,或x≥7}.9.已知全集U=R,集合A={x|1≤x≤2},若B∪(∁R A)=R,B∩(∁R A)={x|0<x<1,或2<x<3},求集合B.A={x|1≤x≤2},∴∁R A={x|x<1,或x>2}.又B∪(∁R A)=R,A∪(∁R A)=R,可得A⊆B.而B∩(∁R A)={x|0<x<1,或2<x<3},∴{x|0<x<1,或2<x<3}⊆B.借助于数轴可得B=A∪{x|0<x<1,或2<x<3}={x|0<x<3}.能力提升1.设全集U={1,2,3,4,5},若A∩B={2},(∁U A)∩B={4},(∁U A)∩(∁U B)={1,5},则下列结论正确的是()A.3∉A,且3∉BB.3∉B,但3∈AC.3∉A B.3∈A,且3∈BA∩B={2},故2∈B,且2∈A,(∁U A)∩B={4},所以4∈B但4∉A,(∁U A)∩(∁U B)=∁U(A∪B)={1,5},故1∉A,1∉B且5∉A,5∉B,所以3∉B,但3∈A.2.已知全集U={1,2,3,4,5},集合A={x|x2-3x+2=0},B={x|x=2a,a∈A},则集合∁U(A∪B)中的元素个数为()A.1B.2C.3D.4A={1,2},B={x|x=2a,a∈A}={2,4},∴A∪B={1,2,4},∴∁U(A∪B)={3,5},故选B.3.设全集U={1,2,3,4,5,6},且U的子集可表示为由0,1组成的6位字符串,如:{2,4}表示的是自左向右的第2个字符为1,第4个字符为1,其余字符均为0的6位字符串010100,并规定空集表示的字符串为000000.(1)若M={2,3,6},则∁U M表示的6位字符串为;(2)已知A={1,3},B⊆U,若集合A∪B表示的字符串为101001,则满足条件的集合B的个数是.由已知得,∁U M={1,4,5},则∁U M表示的6位字符串为100110.(2)由题意可知A∪B={1,3,6},而A={1,3},B⊆U,则B可能为{6},{1,6},{3,6},{1,3,6},故满足条件的集合B的个数是4.(2)44.设U=R,集合A={x|x2-x-2=0},B={x|x2+mx+m-1=0}.(1)当m=1时,求(∁R B)∩A;(2)若(∁U A)∩B=⌀,求实数m的取值.x2-x-2=0,即(x+1)(x-2)=0,解得x=-1或x=2.故A={-1,2}.(1)当m=1时,方程x2+mx+m-1=0为x2+x=0,解得x=-1或x=0.故B={-1,0},∁R B={x|x≠-1,且x≠0}.所以(∁R B)∩A={2}.(2)由(∁U A)∩B=⌀可知,B⊆A.方程x2+mx+m-1=0的判别式Δ=m2-4×1×(m-1)=(m-2)2≥0.①当Δ=0,即m=2时,方程x2+mx+m-1=0为x2+2x+1=0,解得x=-1,故B={-1}.此时满足B⊆A.②当Δ>0,即m≠2时,方程x2+mx+m-1=0有两个不同的解,故集合B中有两个元素.又因为B⊆A,且A={-1,2},所以A=B.故-1,2为方程x2+mx+m-1=0的两个解,由根与系数之间的关系可得解得m=-1.综上,m的取值为2或-1.1.4充分条件与必要条件课后巩固1.“四边形是平行四边形”是“四边形是正方形”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件“四边形是平行四边形”不一定得出“四边形是正方形”,但由“四边形是正方形”必推出“四边形是平行四边形”,故“四边形是平行四边形”是“四边形是正方形”的必要不充分条件.2.设a,b∈R,则“a>b”是“a2>b2”的()A.充分必要条件B.既不充分也不必要条件C.充分不必要条件D.必要不充分条件a=1,b=-4,满足a>b,此时a2>b2不成立;若a2>b2,如a=-4,b=1,此时a>b不成立.3.的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件当x=1,y=7时,满足但不能满足故为必要不充分条件.4.设集合A={1,a2,-2},B={2,4},则“a=2”是“A∩B={4}”的()条件.A.充分不必要B.必要不充分C.充要D.既不充分也不必要“a=2”时,显然“A∩B={4}”;但当“A∩B={4}”时,a可以为-2,故不能推出“a=2”.5.已知p:a≠0,q:ab≠0,则p是q的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件≠0,不一定有ab≠0,如b=0时;但是ab≠0则一定需a≠0.6.已知p,q都是r的必要条件,s是r的充分条件,q是s的充分条件,那么:(1)s是q的什么条件?(2)p是q的什么条件?∵q⇒s,s⇒r⇒q,∴s是q的充分也是必要条件.(2)∵q⇒s⇒r⇒p,∴p是q的必要条件.7.设x,y∈R,求证:|x+y|=|x|+|y|成立的充要条件是xy≥0.:如果xy=0,那么,①x=0,y≠0;②x≠0,y=0;③x=0,y=0.于是|x+y|=|x|+|y|.如果xy>0,即x>0,y>0或x<0,y<0,当x>0,y>0时,|x+y|=x+y=|x|+|y|,当x<0,y<0时,|x+y|=-x-y=(-x)+(-y)=|x|+|y|,总之,当xy≥0时,|x+y|=|x|+|y|.必要性:由|x+y|=|x|+|y|及x,y∈R,得(x+y)2=(|x|+|y|)2,即x2+2xy+y2=x2+2|xy|+y2,得|xy|=xy,所以xy≥0,故必要性成立.综上,原命题成立.能力提升1.已知条件p:x>1,条件q:≤1,则p是q的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件≤1,得-1≤0,≤0,即x≥1或x<0.所以由p能推出q,反之不成立.故p是q的充分不必要条件.2.已知ab≠0,求证:a+b=1的充要条件是a3+b3+ab-a2-b2=0.:因为a+b=1,所以a+b-1=0.所以a3+b3+ab-a2-b2=(a+b)(a2-ab+b2)-(a2-ab+b2)=(a+b-1)(a2-ab+b2)=0.充分性:因为a3+b3+ab-a2-b2=0,即(a+b-1)(a2-ab+b2)=0,又ab≠0,所以a≠0且b≠0.因为a2-ab+b2=b2>0,所以a+b-1=0,即a+b=1.综上可得,当ab≠0时,a+b=1的充要条件是a3+b3+ab-a2-b2=0.1.5全称量词与存在量词课后巩固1.下列命题中全称量词命题的个数为()①平行四边形的对角线互相平分;②梯形有两边平行;③存在一个菱形,它的四条边不相等.A.0B.1C.2D.32.命题“∃x∈R,使得x+1<0”的否定是()A.∀x∈R,均有x+1<0B.∀x∈R,均有x+1≥0C.∃x∈R,使得x+1≥0D.∃x∈R,使得x+1=03.已知命题p:某班所有的男生都爱踢足球,则命题p为()A.某班至多有一个男生爱踢足球B.某班至少有一个男生不爱踢足球C.某班所有的男生都不爱踢足球D.某班所有的女生都爱踢足球p是一个全称量词命题,它的否定是一个存在量词命题.4.下列四个命题中,既是存在量词命题又是真命题的是()A.斜三角形的内角是锐角或钝角B.至少有一个实数x,使x3>0C.任一无理数的平方必是无理数D.存在一个负数x,使>2A,C中的命题是全称量词命题,选项D中的命题是存在量词命题,但是假命题.只有B既是存在量词命题又是真命题.5.已知命题p:∀x>3,x>m成立,则实数m的取值范围是()A.m≤3B.m≥3C.m<3D.m>3x>3,x>m恒成立,即大于3的数恒大于m,所以m≤3.6.命题“有些负数满足不等式(1+x)(1-9x)>0”用“∃”或“∀”可表述为.,所以命题可改写为“∃x<0,(1+x)(1-9x)>0”.x<0,(1+x)(1-9x)>07.已知命题p“∃x≥3,使得2x-1<m”是假命题,则实数m的最大值是.p“∃x≥3,使得2x-1<m”是假命题,所以“∀x≥3,使得2x-1≥m”是真命题,故m≤5.8.用符号“∀”(“∀”表示“任意”)或“∃”(“∃”表示“存在”)表示下面的命题,并判断真假:(1)实数的平方大于或等于0;(2)存在一对实数(x,y),使2x-y+1<0成立.这是全称量词命题,隐藏了全称量词“所有的”.改写后命题为:∀x∈R,x2≥0,它是真命题.(2)改写后命题为:∃(x,y),x∈R,y∈R,2x-y+1<0,它是真命题.如x=0,y=2时,2x-y+1=0-2+1=-1<0成立.能力提升1.“x∈R,关于x的不等式x3+1>0有解”等价于()A.∃x∈R,使得x3+1>0成立B.∃x∈R,使得x3+1≤0成立C.∀x∈R,使得x3+1>0成立D.∀x∈R,使得x3+1≤0成立x∈R,“关于x的不等式x3+1>0有解”为存在量词命题,则根据存在量词命题的定义可知命题等价为∃x∈R,使得x3+1>0成立.2.命题“∀x∈R,x2-2ax+1>0”是假命题,则实数a的取值范围是.,命题“∀x∈R,x2-2ax+1>0”是假命题,可得出二次函数与x轴有公共点, 又由二次函数的性质,可得Δ≥0,即4a2-4≥0,解得a≤-1或a≥1.-∞,-1]∪[1,+∞)3.已知命题p:∀x∈R,x2+(a-1)x+1≥0成立,命题q:∃x∈R,ax2-2ax-3>0不成立,若p假q真,求实数a的取值范围.p:∀x∈R,x2+(a-1)x+1≥0是假命题,所以命题p:∃x∈R,x2+(a-1)x+1<0是真命题,则Δ=(a-1)2-4>0,即(a-1)2>4,故a-1<-2或a-1>2,即a<-1或a>3.因为命题q:∃x∈R,ax2-2ax-3>0不成立,所以命题q:∀x∈R,ax2-2ax-3≤0成立,当a=0时,-3<0成立;当a<0时,必须Δ=(-2a)2+12a≤0,即a2+3a≤0,解得-3≤a<0,故-3≤a≤0.综上所述,-3≤a<-1.所以实数a的取值范围是[-3,-1).。

新教材人教A版高中数学必修第一册全册课时练习(一课一练,附解析)

新教材人教A版高中数学必修第一册全册课时练习1.1.1集合的概念 (2)1.1.2集合的表示 (3)1.2集合间的基本关系 (5)1.3.1并集与交集 (7)1.3.2补集及集合运算的综合应用 (8)1.4.1充分条件与必要条件 (11)1.4.2充要条件 (12)1.5.1全称量词与存在量词 (13)1.5.2全称量词命题与存在量词命题的否定 (14)2.1等式性质与不等式性质 (16)2.2.1基本不等式 (17)2.2.2利用基本不等式求最值 (18)2.3.1二次函数与一元二次方程、不等式 (19)2.3.2一元二次不等式的应用 (20)3.1.1.1函数的概念 (21)3.1.1.2函数概念的应用 (22)3.1.2.1函数的表示法 (24)3.1.2.2分段函数 (25)3.2.1.1函数的单调性 (26)3.2.2.1函数奇偶性的概念 (30)3.2.2.2函数奇偶性的应用 (32)3.3幂函数 (36)3.4函数的应用(一) (37)4.1.1根式 (40)4.1.2指数幂及其运算 (41)4.2.1指数函数及其图象性质 (43)4.2.2指数函数的性质及其应用 (44)4.3.1对数的概念 (47)4.3.2 对数的运算 (48)4.4.1对数函数及其图象 (49)4.2.2对数函数的性质及其应用 (51)4.4.3不同函数增长的差异 (53)4.5.1函数的零点与方程的解 (54)4.5.2用二分法求方程的近似解 (57)4.5.3函数模型的应用 (58)5.1.1任意角 (60)5.1.2弧度制 (61)5.2.1三角函数的概念 (62)5.2.2同角三角函数的基本关系 (64)5.3.1诱导公式二、三、四 (66)5.3.2诱导公式五、六 (67)5.4.1正弦函数、余弦函数的图象 (69)5.4.2.1正弦函数、余弦函数的性质(一) ...................................................................... 71 5.4.2.2正弦函数、余弦函数的性质(二) ...................................................................... 73 5.4.3正切函数的性质与图象 ........................................................................................ 75 5.5.1.1两角差的余弦公式 ............................................................................................. 76 5.5.1.2两角和与差的正弦、余弦公式 ......................................................................... 78 5.5.1.3两角和与差的正切公式 ..................................................................................... 80 5.5.1.4二倍角的正弦、余弦、正切公式 ..................................................................... 81 5.5.2.1简单的三角恒等变换 ......................................................................................... 83 5.5.2.2三角恒等变换的应用 ......................................................................................... 84 5.6.1函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象(一) .......................................................................... 86 5.6.2函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象(二) .......................................................................... 88 5.7三角函数的应用 . (90)1.1.1集合的概念1．已知a ∈R ，且a ∉Q ，则a 可以为( ) A ． 2 B ．12 C ．－2 D ．－13[解析]2是无理数，所以2∉Q ，2∈R .[答案] A2．若由a 2,2019a 组成的集合M 中有两个元素，则a 的取值可以是( ) A ．a ＝0 B ．a ＝2019 C ．a ＝1D ．a ＝0或a ＝2019[解析] 若集合M 中有两个元素，则a 2≠2019a .即a ≠0，且a ≠2019.故选C ． [答案] C3．下列各组对象能构成集合的有( )①接近于0的实数；②小于0的实数；③(2019,1)与(1,2019)；④1,2,3,1. A ．1组 B ．2组 C ．3组D ．4组[解析] ①中“接近于0”不是一个明确的标准，不满足集合中元素的确定性，所以不能构成集合；②中“小于0”是一个明确的标准，能构成集合；③中(2019,1)与(1,2019)是两个不同的对象，是确定的，能构成集合，注意该集合有两个元素；④中的对象是确定的，可以构成集合，根据集合中元素的互异性，可知构成的集合为{1,2,3}．[答案] C4．若方程ax2＋ax＋1＝0的解构成的集合中只有一个元素，则a为( )A．4 B．2C．0 D．0或4[解析] 当a＝0时，方程变为1＝0不成立，故a＝0不成立；当a≠0时，Δ＝a2－4a ＝0，a＝4，故选A．[答案] A5．下列说法正确的是________．①及第书业的全体员工形成一个集合；②2019年高考试卷中的难题形成一个集合；③方程x2－1＝0与方程x＋1＝0所有解组成的集合中共有3个元素；④x，3x3，x2，|x|形成的集合中最多有2个元素．[解析] ①及第书业的全体员工是一个确定的集体，能形成一个集合，正确；②难题没有明确的标准，不能形成集合，错误；③方程x2－1＝0的解为x＝±1，方程x＋1＝0的解为x＝－1，由集合中元素的互异性知，两方程所有解组成的集合中共有2个元素1，－1，故错误；④x＝3x3，x2＝|x|，故正确．[答案] ①④1.1.2集合的表示1．用列举法表示集合{x|x2－2x＋1＝0}为( )A．{1,1} B．{1}C．{x＝1} D．{x2－2x＋1＝0}[解析] ∵x2－2x＋1＝0，即(x－1)2＝0，∴x＝1，选B.[答案] B2．已知集合A＝{x∈N*|－5≤x≤5}，则必有( )A．－1∈A B．0∈AC.3∈A D．1∈A[解析] ∵x∈N*，－5≤x≤5，∴x＝1,2，即A＝{1,2}，∴1∈A，选D. [答案] D3．一次函数y ＝x －3与y ＝－2x 的图象的交点组成的集合是( ) A ．{1，－2} B ．{x ＝1，y ＝－2} C ．{(－2,1)}D ．{(1，－2)}[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －3，y ＝－2x 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－2，∴交点为(1，－2)，故选D.[答案] D4．若A ＝{－2,2,3,4}，B ＝{x |x ＝t 2，t ∈A }，用列举法表示集合B 为________． [解析] 当t ＝－2时，x ＝4；当t ＝2时，x ＝4；当t ＝3时，x ＝9；当t ＝4时，x ＝16； ∴B ＝{4,9,16}． [答案] {4,9,16}5．选择适当的方法表示下列集合： (1)绝对值不大于2的整数组成的集合；(2)方程(3x －5)(x ＋2)＝0的实数解组成的集合； (3)一次函数y ＝x ＋6图象上所有点组成的集合．[解] (1)绝对值不大于2的整数是－2，－1,0,1,2，共有5个元素，则用列举法表示为{－2，－1,0,1,2}．(2)方程(3x －5)(x ＋2)＝0的实数解仅有两个，分别是53，－2，用列举法表示为⎩⎨⎧⎭⎬⎫53，－2. (3)一次函数y ＝x ＋6图象上有无数个点，用描述法表示为{(x ，y )|y ＝x ＋6}．课内拓展课外探究集合的表示方法1．有限集、无限集根据集合中元素的个数可以将集合分为有限集和无限集．当集合中元素的个数有限时，称之为有限集；而当集合中元素的个数无限时，则称之为无限集．当集合为有限集，且元素个数较少时宜采用列举法表示集合；对元素个数较多的集合和无限集，一般采用描述法表示集合．对于元素个数较多的集合或无限集，其元素呈现一定的规律，在不产生误解的情况下，也可以列举出几个元素作为代表，其他元素用省略号表示．【典例1】用列举法表示下列集合： (1)正整数集；(2)被3整除的数组成的集合．[解] (1)此集合为无限集，且有一定规律，用列举法表示为{1,2,3,4，…}．(2)此集合为无限集，且有一定规律，用列举法表示为{…，－6，－3,0,3,6，…}．[点评] (1){1,2,3,4，…}一般不写成{2,1,4,3，…}；(2)此题中的省略号不能漏掉．2．集合含义的正确识别集合的元素类型多是以数、点、图形等形式出现的．对于已知集合必须弄清集合元素的形式，特别是对于用描述法给定的集合要弄清它的代表元素是什么，代表元素有何属性(如表示数集、点集等)．【典例2】已知下面三个集合：①{x|y＝x2＋1}；②{y|y＝x2＋1}；③{(x，y)|y＝x2＋1}．问：它们是否为同一个集合？它们各自的含义是什么？[解] ∵三个集合的代表元素互不相同，∴它们是互不相同的集合．集合①{x|y＝x2＋1}的代表元素是x，即满足条件y＝x2＋1中的所有x，∴{x|y＝x2＋1}＝R.集合②{y|y＝x2＋1}的代表元素是y，满足条件y＝x2＋1的y的取值范围是y≥1，∴{y|y ＝x2＋1}＝{y|y≥1}．集合③{(x，y)|y＝x2＋1}的代表元素是(x，y)，可认为是满足条件y＝x2＋1的实数对(x，y)的集合，也可认为是坐标平面内的点(x，y)，且这些点的坐标满足y＝x2＋1.∴{(x，y)|y＝x2＋1}＝{P|P是抛物线y＝x2＋1上的点}．[点评] 使用特征性质描述来表示集合时，首先要明确集合中的元素是什么，如本题中元素的属性都与y＝x2＋1有关，但由于代表元素不同，因而表示的集合也不一样．1.2集合间的基本关系1．下列四个关系式：①{a，b}⊆{b，a}；②∅＝{∅}；③∅{0}；④0∈{0}．其中正确的个数是( )A．4 B．3C．2 D．1[解析] 对于①，任何集合是其本身的子集，正确；对于②，相对于集合{∅}来说，∅∈{∅}，也可以理解为∅⊆{∅}，错误；对于③，空集是非空集合的真子集，故∅{0}正确；对于④，0是集合{0}的元素，故0∈{0}正确．[答案] B2．集合A＝{x|－1≤x<2，x∈N}的真子集的个数为( )A ．4B ．7C ．8D ．16[解析] A ＝{－1,0,1}，其真子集为∅，{－1}，{0}，{1}，{－1,0}，{－1,1}，{0,1}，共有22－1＝4(个)．[答案] A3．已知集合A ＝{3，－1}，集合B ＝{|x －1|，－1}，且A ＝B ，则实数x 等于( ) A ．4 B ．－2 C ．4或－2D ．2[解析] ∵A ＝B ，∴|x －1|＝3，解得x ＝4或x ＝－2. [答案] C4．已知集合A ⊆{0,1,2}，且集合A 中至少含有一个偶数，则这样的集合A 的个数为________．[解析] 集合{0,1,2}的子集为：∅，{0}，{1}，{2}，{0,1}，{0,2}，{1,2}，{0,1,2}，其中含有偶数的集合有6个．[答案] 65．设集合A ＝{x |－1≤x ≤6}，B ＝{x |m －1≤x ≤2m ＋1}，已知B ⊆A . (1)求实数m 的取值范围；(2)当x ∈N 时，求集合A 的子集的个数．[解] (1)当m －1>2m ＋1，即m <－2时，B ＝∅，符合题意．当m －1≤2m ＋1，即m ≥－2时，B ≠∅. 由B ⊆A ，借助数轴(如图)，得⎩⎪⎨⎪⎧m －1≥－1，2m ＋1≤6，解得0≤m ≤52.综上所述，实数m 的取值范围是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫m ⎪⎪⎪m <－2或0≤m ≤52. (2)当x ∈N 时，A ＝{0,1,2,3,4,5,6}， ∴集合A 的子集的个数为27＝128.1.3.1并集与交集1．设集合A ＝{－1,1,2,3,5}，B ＝{2,3,4}，C ＝{x ∈R |1≤x <3}，则(A ∩C )∪B ＝( ) A ．{2} B ．{2,3} C ．{－1,2,3}D ．{1,2,3,4}[解析] 因为A ∩C ＝{1,2}，所以(A ∩C )∪B ＝{1,2,3,4}，选D. [答案] D2．集合P ＝{x ∈Z |0≤x <3}，M ＝{x ∈R |x 2≤9}，则P ∩M 等于( ) A ．{1,2} B ．{0,1,2} C ．{x |0≤x ≤3}D ．{x |0≤x <3}[解析] 由已知得P ＝{0,1,2}，M ＝{x |－3≤x ≤3}，故P ∩M ＝{0,1,2}． [答案] B3．已知集合A ＝{x |x >2或x <0}，B ＝{x |－5<x <5}，则( ) A ．A ∩B ＝∅ B ．A ∪B ＝R C ．B ⊆AD ．A ⊆B[解析] ∵A ＝{x |x >2或x <0}，B ＝{x |－5<x <5}，∴A ∩B ＝{x |－5<x <0或2<x <5}，A ∪B ＝R .故选B.[答案] B4．设集合M ＝{x |－3≤x <7}，N ＝{x |2x ＋k ≤0}，若M ∩N ≠∅，则实数k 的取值范围为________．[解析] 因为N ＝{x |2x ＋k ≤0}＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ≤－k 2，且M ∩N ≠∅，所以－k2≥－3⇒k ≤6.[答案] k ≤65．已知集合M ＝{x |2x －4＝0}，集合N ＝{x |x 2－3x ＋m ＝0}， (1)当m ＝2时，求M ∩N ，M ∪N . (2)当M ∩N ＝M 时，求实数m 的值．[解] (1)由题意得M ＝{2}．当m ＝2时，N ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}＝{1,2}，则M ∩N ＝{2}，M ∪N ＝{1,2}．(2)∵M ∩N ＝M ，∴M ⊆N .∵M ＝{2}，∴2∈N . ∴2是关于x 的方程x 2－3x ＋m ＝0的解，即4－6＋m＝0，解得m＝2.由(1)知，M∩N＝{2}＝M，适合题意，故m＝2.1.3.2补集及集合运算的综合应用1．已知全集U＝R，A＝{x|x≤0}，B＝{x|x≥1}，则集合∁U(A∪B)＝( )A．{x|x≥0} B．{x|x≤1}C．{x|0≤x≤1} D．{x|0<x<1}[解析] ∵A＝{x|x≤0}，B＝{x|x≥1}，∴A∪B＝{x|x≤0或x≥1}，∴∁U(A∪B)＝{x|0<x<1}．故选D.[答案] D2．已知三个集合U，A，B之间的关系如图所示，则(∁U B)∩A＝( )A．{3} B．{0,1,2,4,7,8}C．{1,2} D．{1,2,3}[解析] 由Venn图可知U＝{0,1,2,3,4,5,6,7,8}，A＝{1,2,3}，B＝{3,5,6}，所以(∁U B)∩A＝{1,2}．[答案] C3．设全集U＝{x∈N|x≤8}，集合A＝{1,3,7}，B＝{2,3,8}，则(∁U A)∩(∁U B)＝( )A．{1,2,7,8} B．{4,5,6}C．{0,4,5,6} D．{0,3,4,5,6}[解析] ∵U＝{x∈N|x≤8}＝{0,1,2,3,4,5,6,7,8}，∴∁U A＝{0,2,4,5,6,8}，∁U B＝{0,1,4,5,6,7}，∴(∁U A)∩(∁U B)＝{0,4,5,6}．[答案] C4．全集U＝{x|0<x<10}，A＝{x|0<x<5}，则∁U A＝________.[解析] ∁U A＝{x|5≤x<10}，如图所示．[答案] {x|5≤x<10}5．设全集U＝{2,3，a2＋2a－3}，A＝{|2a－1|,2}，且∁U A＝{5}，求实数a的值．[解] ∵∁U A＝{5}，∴5∈U，但5∉A，∴a2＋2a－3＝5，解得a＝2或a＝－4.当a＝2时，|2a－1|＝3，这时A＝{3,2}，U＝{2,3,5}．∴∁U A＝{5}，适合题意．∴a＝2.当a＝－4时，|2a－1|＝9，这时A＝{9,2}，U＝{2,3,5}，A⃘U，∴∁U A无意义，故a ＝－4应舍去．综上所述，a＝2.课内拓展课外探究空集对集合关系的影响空集是不含任何元素的集合，它既不是有限集，也不是无限集．空集就像一个无处不在的幽灵，解题时需处处设防，提高警惕．空集是任何集合的子集，其中“任何集合”当然也包括了∅，故将会出现∅⊆∅.而此时按子集理解不能成立，原因是前面空集中无元素，不符合定义，因此知道这一条是课本“规定”．空集是任何非空集合的真子集，即∅A(而A≠∅)．既然A≠∅，即必存在a∈A而a∉∅，∴∅A.由于空集的存在，关于子集定义的下列说法有误，如“A⊆B，即A为B中的部分元素所组成的集合”．因为从“部分元素”的含义无法理解“空集是任何集合的子集”、“A是A 的子集”、“∅⊆∅”等结论．在解决诸如A⊆B或A B类问题时，必须优先考虑A＝∅时是否满足题意．【典例1】已知集合A＝{x|x2－2x－8＝0}，B＝{x|x2＋ax＋a2－12＝0}，求满足B⊆A 的a的值组成的集合．[解] 由已知得A＝{－2,4}，B是关于x的一元二次方程x2＋ax＋a2－12＝0(*)的解集．方程(*)根的判别式Δ＝a2－4(a2－12)＝－3(a2－16)．(1)若B＝∅，则方程(*)没有实数根，即Δ<0，∴－3(a2－16)<0，解得a <－4或a >4.此时B ⊆A .(2)若B ≠∅，则B ＝{－2}或{4}或{－2,4}．①若B ＝{－2}，则方程(*)有两个相等的实数根x ＝－2， ∴(－2)2＋(－2)a ＋a 2－12＝0，即a 2－2a －8＝0. 解得a ＝4或a ＝－2.当a ＝4时，恰有Δ＝0；当a ＝－2时，Δ>0，舍去．∴当a ＝4时，B ⊆A . ②若B ＝{4}，则方程(*)有两个相等的实数根x ＝4， ∴42＋4a ＋a 2－12＝0，解得a ＝－2，此时Δ>0，舍去．③若B ＝{－2,4}，则方程(*)有两个不相等的实数根x ＝－2或x ＝4，由①②知a ＝－2，此时Δ>0，－2与4恰是方程的两根．∴当a ＝－2时，B ⊆A .综上所述，满足B ⊆A 的a 值组成的集合是{a |a <－4或a ＝－2或a ≥4}．[点评] ∅有两个独特的性质，即：(1)对于任意集合A ，皆有A ∩∅＝∅；(2)对于任意集合A ，皆有A ∪∅＝A .正因如此，如果A ∩B ＝∅，就要考虑集合A 或B 可能是∅；如果A ∪B ＝A ，就要考虑集合B 可能是∅.【典例2】设全集U ＝R ，集合M ＝{x |3a －1<x <2a ，a ∈R }，N ＝{x |－1<x <3}，若N ⊆(∁UM )，求实数a 的取值集合．[解] 根据题意可知：N ≠∅，又∵N ⊆(∁U M )． ①当M ＝∅，即3a －1≥2a 时，a ≥1. 此时∁U M ＝R ，N ⊆(∁U M )显然成立． ②当M ≠∅，即3a －1<2a 时，a <1.由M ＝{x |3a －1<x <2a }，知∁U M ＝{x |x ≤3a －1或x ≥2a }．又∵N ⊆(∁U M )，∴结合数轴分析可知⎩⎪⎨⎪⎧a <1，3≤3a －1，或⎩⎪⎨⎪⎧a <1，2a ≤－1，得a ≤－12.综上可知，a 的取值集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a ⎪⎪⎪a ≥1或a ≤－12. [点评] 集合的包含关系是集合知识重要的一部分，在后续内容中应用特别广泛，涉及集合包含关系的开放性题目都以子集的有关性质为主，因此需要对相关的性质有深刻的理解．对于有限集，在处理包含关系时可列出所有的元素，然后依条件讨论各种情况，找到符合条件的结果．1.4.1充分条件与必要条件1．若a∈R，则“a＝2”是“(a－1)(a－2)＝0”的( )A．充分条件B．必要条件C．既不是充分条件，也不是必要条件D．无法判断[解析] 因为a＝2⇒(a－1)(a－2)＝0，而(a－1)(a－2)＝0不能推出a＝2，故a＝2是(a－1)(a－2)＝0的充分条件，应选A.[答案] A2．设x∈R，则x>2的一个必要条件是( )A．x>1 B．x<1C．x>3 D．x<3[解析] 因为x>2⇒x>1，所以选A.[答案] A3．下列命题中，是真命题的是( )A．“x2>0”是“x>0”的充分条件B．“xy＝0”是“x＝0”的必要条件C．“|a|＝|b|”是“a＝b”的充分条件D．“|x|>1”是“x2不小于1”的必要条件[解析] A中，x2>0⇒x>0或x<0，不能推出x>0，而x>0⇒x2>0，故x2>0是x>0的必要条件．B中，xy＝0⇒x＝0或y＝0，不能推出x＝0，而x＝0⇒xy＝0，故xy＝0是x＝0的必要条件．C中，|a|＝|b|⇒a＝b或a＝－b，不能推出a＝b，而a＝b⇒|a|＝|b|，故|a|＝|b|是a＝b的必要条件．D中，|x|>1⇒x2不小于1，而x2不小于1不能推出|x|>1，故|x|>1是x2不小于1的充分条件，故本题应选B.[答案] B4．若集合A＝{1，m2}，B＝{2,4}，则“m＝2”是“A∩B＝{4}”的____________条件．[答案] 不必要(填必要、不必要)5．(1)若“x<m”是“x>2或x<1”的充分条件，求m的取值范围．(2)已知M＝{x|a－1<x<a＋1}，N＝{x|－3<x<8}，若N是M的必要条件，求a的取值范围．[解] (1)记A＝{x|x>2或x<1}，B＝{x|x<m}由题意可得B⊆A，即{x|x<m}⊆{x|x>2或x<1}．所以m ≤1.故m 的取值范围为{m |m ≤1}． (2)因为N 是M 的必要条件，所以M ⊆N .于是⎩⎪⎨⎪⎧a －1≥－3，a ＋1≤8，从而可得－2≤a ≤7.故a 的取值范围为{a |－2≤a ≤7}．1.4.2充要条件1．设x ∈R ，则“x <－1”是“|x |>1”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[解析] 因为x <－1⇒|x |>1，而|x |>1⇒x <－1或x >1，故“x <－1”是“|x |>1”的充分不必要条件．[答案] A2．“x 2＋(y －2)2＝0”是“x (y －2)＝0”的( ) A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[解析] x 2＋(y －2)2＝0，即x ＝0且y ＝2，∴x (y －2)＝0.反之，x (y －2)＝0，即x ＝0或y ＝2，x 2＋(y －2)2＝0不一定成立．[答案] B3．已知A ，B 是非空集合，命题p ：A ∪B ＝B ，命题q ：A B ，则p 是q 的( ) A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．既不充分也不必要条件D ．必要不充分条件[解析] 由A ∪B ＝B ，得A B 或A ＝B ；反之，由A B ，得A ∪B ＝B ，所以p 是q 的必要不充分条件．[答案] D4．关于x 的不等式|x |>a 的解集为R 的充要条件是________． [解析] 由题意知|x |>a 恒成立，∵|x |≥0，∴a <0. [答案] a <05．已知x ，y 都是非零实数，且x >y ，求证：1x <1y的充要条件是xy >0.[证明] 证法一：①充分性：由xy >0及x >y ，得x xy >y xy ，即1x <1y.②必要性：由1x <1y ，得1x －1y <0，即y －xxy<0.因为x >y ，所以y －x <0，所以xy >0. 所以1x <1y的充要条件是xy >0.证法二：1x <1y ⇔1x －1y <0⇔y －xxy<0.由条件x >y ⇔y －x <0，故由y －xxy<0⇔xy >0. 所以1x <1y⇔xy >0，即1x <1y的充要条件是xy >0.1.5.1全称量词与存在量词1．下列命题中，不是全称量词命题的是( ) A ．任何一个实数乘0都等于0 B ．自然数都是正整数C ．对于任意x ∈Z,2x ＋1是奇数D ．一定存在没有最大值的二次函数 [解析] D 选项是存在量词命题． [答案] D2．下列命题中，存在量词命题的个数是( )①有些自然数是偶数；②正方形是菱形；③能被6整除的数也能被3整除；④任意x ∈R ，y ∈R ，都有x 2＋|y |>0.A ．0B ．1C ．2D ．3[解析] 命题①含有存在量词；命题②可以叙述为“所有的正方形都是菱形”，故为全称量词命题；命题③可以叙述为“一切能被6整除的数也能被3整除”，是全称量词命题；命题④是全称量词命题．故有1个存在量词命题．[答案] B3．下列命题是“∀x ∈R ，x 2>3”的另一种表述方法的是( ) A ．有一个x ∈R ，使得x 2>3B ．对有些x ∈R ，使得x 2>3 C ．任选一个x ∈R ，使得x 2>3 D ．至少有一个x ∈R ，使得x 2>3[解析] “∀x ∈R ，x 2>3”是全称量词命题，改写时应使用全称量词． [答案] C4．对任意x >8，x >a 恒成立，则实数a 的取值范围是________． [解析] ∵对于任意x >8，x >a 恒成立，∴大于8的数恒大于a ，∴a ≤8. [答案] a ≤85．判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题？并判断其真假． (1)∃x ∈R ，|x |＋2≤0；(2)存在一个实数，使等式x 2＋x ＋8＝0成立；(3)在平面直角坐标系中，任意有序实数对(x ，y )都对应一点． [解] (1)存在量词命题．∵∀x ∈R ，|x |≥0，∴|x |＋2≥2，不存在x ∈R ，使|x |＋2≤0.故命题为假命题． (2)存在量词命题．∵x 2＋x ＋8＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋314>0，∴命题为假命题．(3)在平面直角坐标系中，任意有序实数对(x ，y )与平面直角坐标系中的点是一一对应的，所以该命题是真命题．1.5.2全称量词命题与存在量词命题的否定1．命题“∃x ∈R ，x 2－2x －3≤0”的否定是( ) A ．∀x ∈R ，x 2－2x －3≤0 B ．∃x ∈R ，x 2－2x －3≥0 C ．∃x 0∈R ，x 2－2x －3>0 D ．∀x ∈R ，x 2－2x －3>0[解析] 存在量词命题的否定是全称量词命题，一方面要改量词即“∃”改为“∀”；另一方面要否定结论，即“≤”改为“>”．故选D.[答案] D2．已知命题p ：∀x >0，x 2≥2，则它的否定为( )A ．∀x >0，x 2<2 B ．∀x ≤0，x 2<2 C ．∃x ≤0，x 2<2 D ．∃x >0，x 2<2[答案] D3．全称量词命题“所有能被5整除的整数都是奇数”的否定是( ) A ．所有能被5整除的整数都不是奇数 B ．所有奇数都不能被5整除C ．存在一个能被5整除的整数不是奇数D ．存在一个奇数，不能被5整除[解析] 全称量词命题的否定是存在量词命题，而选项A ，B 是全称量词命题，所以选项A ，B 错误．因为“所有能被5整除的整数都是奇数”的否定是“存在一个能被5整除的整数不是奇数”，所以选项D 错误，选项C 正确，故选C.[答案] C4．对下列命题的否定，其中说法错误的是( )A ．p ：∀x ≥3，x 2－2x －3≥0；p 的否定：∃x ≥3，x 2－2x －3<0B ．p ：存在一个四边形的四个顶点不共圆；p 的否定：每一个四边形的四个顶点共圆C ．p ：有的三角形为正三角形；p 的否定：所有的三角形不都是正三角形D ．p ：∃x ∈R ，x 2＋2x ＋2≤0；p 的否定：∀x ∈R ，x 2＋2x ＋2>0[解析] 若p ：有的三角形为正三角形，则p 的否定：所有的三角形都不是正三角形，故C 错误．[答案] C5．写出下列命题的否定，并判断其真假． (1)菱形是平行四边形；(2)与圆只有一个公共点的直线是圆的切线； (3)存在一个三角形，它的内角和大于180°； (4)∃x ∈R ，使得x 2＋x ＋1≤0.[解] (1)题中命题的否定为“存在一个菱形不是平行四边形”，这个命题为假命题． (2)是全称量词命题，省略了全称量词“任意”，即“任意一条与圆只有一个公共点的直线是圆的切线”，否定为：存在一条与圆只有一个公共点的直线不是圆的切线；这个命题为假命题．(3)题中命题的否定为“所有三角形的内角和都小于或等于180°”，这个命题为真命题．(4)题中命题的否定为“∀x ∈R ，x 2＋x ＋1>0”，这个命题为真命题．因为x 2＋x ＋1＝x 2＋x ＋14＋34＝⎝⎛⎭⎪⎫x ＋122＋34>0.2.1等式性质与不等式性质1．下列说法正确的为( ) A ．若1x ＝1y，则x ＝yB ．若x 2＝1，则x ＝1 C ．若x ＝y ，则x ＝yD ．若x <y ，则x 2<y 2[解析] ∵1x ＝1y，且x ≠0，y ≠0，两边同乘以xy ，得x ＝y .[答案] A2．设a ，b 为非零实数，若a b ，b ≠0，则a b>1； ②若a >b ，且a ＋c >b ＋d ，则c >d ； ③若a >b ，且ac >bd ，则c >d . A ．0 B ．1 C ．2 D ．3[解析] ①若a ＝2，b ＝－1，则不符合；②取a ＝10，b ＝2，c ＝1，d ＝3，虽然满足a >b 且a ＋c >b ＋d ，但不满足c >d ，故错；③当a ＝－2，b ＝－3，取c ＝－1，d ＝2，则不成立．[答案] A4．若x ≠2或y ≠－1，M ＝x 2＋y 2－4x ＋2y ，N ＝－5，则M 与N 的大小关系为________． [解析] ∵x ≠2或y ≠－1，∴M －N ＝x 2＋y 2－4x ＋2y ＋5＝(x －2)2＋(y ＋1)2>0，∴M >N . [答案] M >N5．若－1≤a ≤3,1≤b ≤2，则a －b 的范围为________． [解析] ∵－1≤a ≤3，－2≤－b ≤－1， ∴－3≤a －b ≤2. [答案] －3≤a －b ≤22.2.1基本不等式1．若ab >0，则下列不等式不一定能成立的是( ) A ．a 2＋b 2≥2ab B ．a 2＋b 2≥－2ab C ．a ＋b2≥abD ．b a ＋a b≥2[解析] C 选项由条件可得到a 、b 同号，当a 、b 均为负号时，不成立． [答案] C 2．已知a >1，则a ＋12，a ，2aa ＋1三个数的大小顺序是( ) A.a ＋12<a <2a a ＋1 B.a <a ＋12<2aa ＋1C.2a a ＋1<a <a ＋12 D.a <2a a ＋1≤a ＋12 [解析] 当a ，b 是正数时，2ab a ＋b ≤ab ≤a ＋b2≤a 2＋b 22(a ，b ∈R ＋)，令b ＝1，得2aa ＋1≤a ≤a ＋12.又a >1，即a ≠b ，故上式不能取等号，选C.[答案] C3.b a ＋ab≥2成立的条件是________．[解析] 只要b a 与a b都为正，即a 、b 同号即可． [答案] a 与b 同号4．设a ，b ，c 都是正数，试证明不等式：b ＋c a ＋c ＋a b ＋a ＋bc≥6. [证明] 因为a >0，b >0，c >0，所以b a ＋ab ≥2，c a ＋a c ≥2，b c ＋c b≥2，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c a ＋a c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b c ＋c b ≥6，当且仅当b a ＝a b ，c a ＝a c ，c b ＝bc，即a ＝b ＝c 时，等号成立．所以b ＋c a ＋c ＋a b ＋a ＋bc≥6.2.2.2利用基本不等式求最值1．已知y ＝x ＋1x－2(x >0)，则y 有( )A ．最大值为0B ．最小值为0C ．最小值为－2D ．最小值为2[答案] B2．已知0<x <1，则当x (1－x )取最大值时，x 的值为( ) A.13 B.12 C.14D.23[解析] ∵0<x <1，∴1－x >0.∴x (1－x )≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1－x 22＝14，当且仅当x ＝1－x ，即x ＝12时，等号成立．[答案] B3．已知p ，q ∈R ，pq ＝100，则p 2＋q 2的最小值是________． [答案] 2004．已知函数f (x )＝4x ＋ax(x >0，a >0)在x ＝3时取得最小值，则a ＝________. [解析] 由基本不等式，得4x ＋a x≥24x ·a x ＝4a ，当且仅当4x ＝a x，即x ＝a2时，等号成立，即a2＝3，a ＝36.[答案] 365．某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位月处理成本y (元)与月处理量x (吨)之间的函数关系可近似地表示为y ＝12x 2－200x ＋80000，该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？[解] 由题意可知，二氧化碳每吨的平均处理成本为y x ＝12x ＋80000x－200≥212x ·80000x－200＝200，当且仅当12x ＝80000x，即x ＝400时等号成立，故该单位月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低，最低成本为200元．2.3.1二次函数与一元二次方程、不等式1．不等式－x 2－5x ＋6≤0的解集为( ) A ．{x |x ≥6或x ≤－1} B ．{x |－1≤x ≤6} C ．{x |－6≤x ≤1}D ．{x |x ≤－6或x ≥1}[解析] 由－x 2－5x ＋6≤0得x 2＋5x －6≥0，即(x ＋6)(x －1)≥0， ∴x ≥1或x ≤－6. [答案] D2．一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的根为2，－1，则当a <0时，不等式ax 2＋bx ＋c ≥0的解集为( )A ．{x |x <－1或x >2}B ．{x |x ≤－1或x ≥2}C ．{x |－1<x <2}D ．{x |－1≤x ≤2}[解析] 结合二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a <0)的图象可得{x |－1≤x ≤2}，故选D. [答案] D3．若不等式ax 2＋8ax ＋21<0的解集是{x |－7<x <－1}，那么a 的值是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4[解析] 由题可知－7和－1为ax 2＋8ax ＋21＝0的两个根，∴－7×(－1)＝21a，a ＝3.[答案] C4．不等式x 2－4x ＋5≥0的解集为________． [解析] ∵Δ＝(－4)2－4×5＝－4<0， ∴不等式x 2－4x ＋5≥0的解集为R . [答案] R5．当a >－1时，关于x 的不等式x 2＋(a －1)x －a >0的解集是________． [解析] 原不等式可化为(x ＋a )(x －1)>0，方程(x ＋a )(x －1)＝0的两根为－a,1， ∵a >－1，∴－a <1，故不等式的解集为{x |x <－a 或x >1}． [答案] {x |x <－a 或x >1}2.3.2一元二次不等式的应用1．不等式x －2x ＋3>0的解集是( ) A ．{x |－3<x <2} B ．{x |x >2} C ．{x |x <－3或x >2} D ．{x |x <－2或x >3}[解析] 不等式x －2x ＋3>0⇔(x －2)(x ＋3)>0的解集是{x |x <－3或x >2}，所以C 选项是正确的．[答案] C2．若集合A ＝{x |－1≤2x ＋1≤3}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x －2x ≤0，则A ∩B ＝( ) A ．{x |－1≤x <0} B ．{x |0<x ≤1} C ．{x |0≤x ≤2}D ．{x |0≤x ≤1}[解析] ∵A ＝{x |－1≤x ≤1}，B ＝{x |0<x ≤2}，∴A ∩B ＝{x |0<x ≤1}． [答案] B3．若不等式x 2＋mx ＋m2>0的解集为R ，则实数m 的取值范围是( )A ．m >2B ．m <2C ．m <0或m >2D ．0<m <2[解析] 由题意得Δ＝m 2－4×m2<0，即m 2－2m <0，解得0<m <2.[答案] D4．已知不等式x 2＋ax ＋4<0的解集为空集，则a 的取值范围是( ) A ．－4≤a ≤4 B ．－4<a <4 C ．a ≤－4或a ≥4D ．a <－4或a >4[解析] 依题意应有Δ＝a 2－16≤0，解得－4≤a ≤4，故选A. [答案] A5．某产品的总成本y (万元)与产量x (台)之间的函数关系式为y ＝3000＋20x －0.1x 2(0<x <240，x ∈R )，若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本(销售收入不小于总成本)时最低产量是( )A ．100台B ．120台C ．150台D ．180台 [解析] 3000＋20x －0.1x 2≤25x ⇔x 2＋50x －30000≥0，解得x ≤－200(舍去)或x ≥150. [答案] C3.1.1.1函数的概念1．函数f (x )＝x －1x －2的定义域为( ) A ．[1,2)∪(2，＋∞) B ．(1，＋∞) C ．[1,2)D ．[1，＋∞)[解析] 由题意可知，要使函数有意义，需满足{ x －1≥0，x －2≠0，即x ≥1且x ≠2.[答案] A2．函数y ＝1－x 2＋x 的定义域为( ) A ．{x |x ≤1}B ．{x |x ≥0}C ．{x |x ≥1或x ≤－1}D ．{x |0≤x ≤1}[解析] 由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2≥0，x ≥0，解得0≤x ≤1.[答案] D 3．函数f (x )＝(x ＋2)(1－x )x ＋2的定义域为( )A ．{x |－2≤x ≤1}B ．{x |－2<x <1}C ．{x |－2<x ≤1}D ．{x |x ≤1}[解析] 要使函数有意义，需⎩⎪⎨⎪⎧(x ＋2)(1－x )≥0，x ＋2≠0，解得－2≤x ≤1，且x ≠－2，所以函数的定义域是{x |－2<x ≤1}．[答案] C4．集合{x |－1≤x <0或1<x ≤2}用区间表示为________． [解析] 结合区间的定义知，用区间表示为[－1,0)∪(1,2]． [答案] [－1,0)∪(1,2]5．已知矩形的周长为1，它的面积S 是其一边长为x 的函数，则其定义域为________(结果用区间表示)．[解析] 由实际意义知x >0，又矩形的周长为1，所以x <12，所以定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12.[答案] ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，123.1.1.2函数概念的应用1．下列各组函数中，表示同一个函数的是( )A ．y ＝x －1和y ＝x 2－1x ＋1B ．y ＝x 0和y ＝1C ．f (x )＝(x －1)2和g (x )＝(x ＋1)2D ．f (x )＝(x )2x 和g (m )＝m(m )2[解析] A 中的函数定义域不同；B 中y ＝x 0的x 不能取0；C 中两函数的对应关系不同，故选D.[答案] D2．设f (x )＝x 2－1x 2＋1，则f (2)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝( )A ．1B ．－1 C.35 D ．－35[解析] f (2)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝22－122＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫122－1⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋1＝35－3454＝35×⎝ ⎛⎭⎪⎫－53＝－1.[答案] B3．下列函数中，值域为(0，＋∞)的是( ) A ．y ＝x B ．y ＝1xC ．y ＝1xD ．y ＝x 2＋1[解析] y ＝x 的值域为[0，＋∞)，y ＝1x的值域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，y ＝x 2＋1的值域为[1，＋∞)．[答案] B4．已知函数f (x )的定义域是[0,2]，则函数g (x )＝f (2x )x －1的定义域是( ) A ．[0,1] B ．[0,1) C ．[0,1)∪(1,4]D ．(0,1)[解析] 由f (x )的定义域是[0,2]知，{ 0≤2x ≤2，x －1≠0，解得0≤x <1，所以g (x )＝f (2x )x －1的定义域为[0,1)． [答案] B5．已知函数f (x )＝2x －3，x ∈{x ∈N |1≤x ≤5}，则函数f (x )的值域为________． [解析] ∵x ∈{1,2,3,4,5} ∴f (x )＝2x －3∈{－1,1,3,5,7}． ∴f (x )的值域为{－1,1,3,5,7}． [答案] {－1,1,3,5,7}3.1.2.1函数的表示法1．y 与x 成反比，且当x ＝2时，y ＝1，则y 关于x 的函数关系式为( ) A ．y ＝1xB ．y ＝－1xC ．y ＝2xD ．y ＝－2x[解析] 设y ＝k x ，当x ＝2时，y ＝1，所以1＝k 2，得k ＝2.故y ＝2x.[答案] C2．由下表给出函数y ＝f (x )，则f [f (1)]等于( )x 1 2 3 4 5 y45321A.1 B ．2 C ．4 D ．[解析] 由题意得f (1)＝4，所以f [f (1)]＝f (4)＝2. [答案] B3．小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间后，为了赶时间加快速度行驶．与以上事件吻合得最好的图象是( )[解析] 距学校的距离应逐渐减小，由于小明先是匀速运动，故前段是直线段，途中停留时距离不变，后段加速，直线段比前段下降的快，故应选C.[答案] C4．若3f (x －1)＋2f (1－x )＝2x ，则f (x )的解析式为__________________． [解析] (换元法)令t ＝x －1，则x ＝t ＋1，t ∈R ，原式变为3f (t )＋2f (－t )＝2(t ＋1)，①以－t 代替t ，①式变为3f (－t )＋2f (t )＝2(1－t )，②由①②消去f (－t )得f (t )＝2t ＋25，∴f (x )＝2x ＋25.[答案] f (x )＝2x ＋255．已知f (x )＝x ＋b ，f (ax ＋1)＝3x ＋2，求a ，b 的值． [解] 由f (x )＝x ＋b ，得f (ax ＋1)＝ax ＋1＋b . ∴ax ＋1＋b ＝3x ＋2，∴a ＝3，b ＋1＝2，即a ＝3，b ＝1.3.1.2.2分段函数1．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧10，x <0，10x ，x ≥0，则f [f (－7)]的值为( )A ．100B ．10C ．－10D ．－100[解析] ∵f (－7)＝10，∴f [f (－7)]＝f (10)＝10×10＝100. [答案] A2．下列图形是函数y ＝x |x |的图象的是( )[解析] ∵f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≥0，－x 2，x <0，分别画出y ＝x 2(取x ≥0部分)及y ＝－x 2(取x <0部分)即可．[答案] D3．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，0≤x ≤1，2，1<x <2，3，x ≥2的值域是( )A ．RB ．[0,2]∪{3}C ．[0，＋∞)D ．[0,3][解析] 当0≤x ≤1时，0≤f (x )≤2，当1<x <2时，f (x )＝2，当x ≥2时，f (x )＝3.故0≤f (x )≤2或f (x )＝3，故选B.[答案] B4．下图中的图象所表示的函数的解析式为( )A ．y ＝32|x －1|(0≤x ≤2)B ．y ＝32－32|x －1|(0≤x ≤2)C ．y ＝32－|x －1|(0≤x ≤2)D ．y ＝1－|x －1|(0≤x ≤2)[解析] 可将原点代入，排除选项A ，C ；再将点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32代入，排除D 项． [答案] B5．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ＋2，x ≤0，－x 2，x >0.若f [f (a )]＝2，则a ＝________.[解析] 当a ≤0时，f (a )＝a 2＋2a ＋2>0，f [f (a )]<0，显然不成立；当a >0时，f (a )＝－a 2，f [f (a )]＝a 4－2a 2＋2＝2，则a ＝±2或a ＝0，故a ＝ 2.[答案] 23.2.1.1函数的单调性1．如图所示，函数y ＝f (x )在下列哪个区间上是增函数( )A ．[－4,4]B ．[－4，－3]∪[1,4]C ．[－3,1]D ．[－3,4][解析] 观察题中图象知，函数在[－3,1]上是增函数． [答案] C2．下列函数中，在(－∞，0]内为增函数的是( ) A ．y ＝x 2－2 B ．y ＝3xC ．y ＝1＋2xD ．y ＝－(x ＋2)2[解析] 选项A ，B 在(－∞，0)上为减函数，选项D 在(－2，0]上为减函数，只有选项C 满足在(－∞，0]内为增函数．故选C.[答案] C3．若函数f (x )＝(2a －1)x ＋b 是R 上的减函数，则实数a 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞B.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，12C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞ D.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，12 [解析] 由一次函数的性质得2a －1<0，即a <12.故选D.[答案] D4．已知函数f (x )为定义在区间[－1,1]上的增函数，则满足f (x )<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12的实数x 的取值范围为________．[解析] 因为f (x )在区间[－1,1]上为增函数，且f (x )<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，所以⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x ≤1，x <12，解得－1≤x <12.[答案] ⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，125．已知函数f (x )＝x －1x ＋1，判断f (x )在(0，＋∞)上的单调性并用定义证明． [解] f (x )在(0，＋∞)上单调递增．证明如下：任取x 1>x 2>0，f (x 1)－f (x 2)＝x 1－1x 1＋1－x 2－1x 2＋1＝2(x 1－x 2)(x 1＋1)(x 2＋1)，由x 1>x 2>0知x 1＋1>0，x 2＋1>0，x 1－x 2>0，故f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x )在(0，＋∞)上单调递增．3.2.1.2函数的最大(小)值1．函数f (x )在[－2，＋∞)上的图象如图所示，则此函数的最大、最小值分别为( )A ．3,0B ．3,1C ．3，无最小值D ．3，－2[解析] 观察图象可以知道，图象的最高点坐标是(0,3)，从而其最大值是3；另外从图象看，无最低点，即该函数不存在最小值．故选C.[答案] C2．已知函数f (x )＝|x |，x ∈[－1,3]，则f (x )的最大值为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3[解析] 作出函数f (x )＝|x |，x ∈[－1,3]的图象，如图所示．根据函数图象可知，f (x )的最大值为3.[答案] D3．下列函数在[1,4]上最大值为3的是( ) A ．y ＝1x＋2B ．y ＝3x －2C ．y ＝x 2D ．y ＝1－x[解析] B 、C 在[1,4]上均为增函数，A 、D 在[1,4]上均为减函数，代入端点值，即可求得最值，故选A.[答案] A4.在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x 为________(m)．[解析] 设矩形花园的宽为y m ，则x 40＝40－y 40，即y ＝40－x ，矩形花园的面积S ＝x (40－x )＝－x 2＋40x ＝－(x －20)2＋400，当x ＝20时，面积最大．[答案] 205．已知二次函数y ＝x 2－4x ＋5，分别求下列条件下函数的最小值： (1)x ∈[－1,0]；(2)x ∈[a ，a ＋1]．[解] (1)∵二次函数y ＝x 2－4x ＋5的对称轴为x ＝2且开口向上， ∴二次函数在x ∈[－1,0]上是单调递减的． ∴y min ＝02－4×0＋5＝5.(2)当a ≥2时，函数在x ∈[a ，a ＋1]上是单调递增的，y min ＝a 2－4a ＋5；当a ＋1≤2即a ≤1时，函数在[a ，a ＋1]上是单调递减的，y min ＝(a ＋1)2－4(a ＋1)＋5＝a 2－2a ＋2；当a <2<a ＋1即1<a <2时，y min ＝22－4×2＋5＝1.故函数的最小值为⎩⎪⎨⎪⎧a 2－2a ＋2，a ≤1，1，1<a <2，a 2－4a ＋5，a ≥2.3.2.2.1函数奇偶性的概念1．函数y ＝f (x )，x ∈[－1，a ](a >－1)是奇函数，则a 等于( ) A ．－1 B ．0 C ．1D ．无法确定[解析] 由－1＋a ＝0，得a ＝1.选C. [答案] C2．下列函数是偶函数的是( ) A ．y ＝x B ．y ＝2x 2－3C ．y ＝1xD ．y ＝x 2，x ∈[0,1][解析] A 项中的函数为奇函数；C 、D 选项中的函数定义域不关于原点对称，既不是奇函数，也不是偶函数；B 项中的函数为偶函数．故选B.[答案] B3．函数f (x )＝1x－x 的图象( )A ．关于y 轴对称B ．关于直线y ＝x 对称C ．关于坐标原点对称D ．关于直线y ＝－x 对称[解析] 函数f (x )＝1x－x 的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，且f (－x )＝－1x －(－x )＝x －1x＝－f (x )，所以f (x )是奇函数，图象关于原点对称．[答案] C4．若f (x )＝(x ＋a )(x －4)为偶函数，则实数a ＝________.[解析] 由f (x )＝(x ＋a )(x －4)得f (x )＝x 2＋(a －4)x －4a ，若f (x )为偶函数，则a －4＝0，即a ＝4.[答案] 45．已知y ＝f (x )是偶函数，y ＝g (x )是奇函数，它们的定义域都是[－3,3]，且它们在[0,3]上的图象如图所示，求不等式f (x )g (x )<0的解集．[解] 由题知，y ＝f (x )是偶函数，y ＝g (x )是奇函数．根据函数图象的对称性画出y ＝f (x )，y ＝g (x )在[－3，0]上的图象如图所示．由图可知f (x )>0⇔0<x <2或－2<x <0，g (x )>0⇔1<x <3或－1<x <0.f (x )g (x )<0⇔⎩⎪⎨⎪⎧f (x )>0，g (x )<0或⎩⎪⎨⎪⎧f (x )<0，g (x )>0，可求得其解集是{x |－2<x <－1或0<x <1或2<x <3}．3.2.2.2函数奇偶性的应用1．函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x >0时，f (x )＝－x ＋1，则当x <0时，f (x )的解析式为( )A ．f (x )＝－x ＋1B ．f (x )＝－x －1C ．f (x )＝x ＋1D ．f (x )＝x －1[解析] 设x <0，则－x >0.∴f (－x )＝x ＋1，又函数f (x )是奇函数． ∴f (－x )＝－f (x )＝x ＋1， ∴f (x )＝－x －1(x <0)． [答案] B2．设f (x )是R 上的偶函数，且在[0，＋∞)上单凋递增，则f (－2)，f (－π)，f (3)的大小顺序是( )A ．f (－π)>f (3)>f (－2)B ．f (－π)>f (－2)>f (3)C ．f (3)>f (－2)>f (－π)D ．f (3)>f (－π)>f (－2) [解析] ∵f (x )是R 上的偶函数， ∴f (－2)＝f (2)，f (－π)＝f (π)，又f (x )在[0，＋∞)上单调递增，且2<3<π， ∴f (π)>f (3)<f (2)，即f (－π)>f (3)>f (－2)． [答案] A3．已知偶函数f (x )在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f (2x －1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13的x 的取值范围为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，23B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，23C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，23D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，23 [解析] 由于f (x )为偶函数，且在[0，＋∞)上单调递增，则不等式f (2x －1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，即－13<2x －1<13，解得13<x <23.。

人教A版高一数学必修第一册全册复习训练题卷含答案解析(24)

人教A 版高一数学必修第一册全册复习训练题卷（共22题）一、选择题（共10题）1. 已知全集 U ={1,2,3,4}，集合 A ={2,3}，集合 B ={1,3}，则 A ∩(∁U B )= ( ) A ． {3} B ． {2} C ． {2,3} D ． {2,3,4}2. 已知函数 f (x )={x 2+4x,−3≤x ≤02x −3,x >0，若方程 f (x )+∣x −2∣−kx =0 有且只有三个不相等的实数集，则实数 k 的取值范围是 A ． [−23,3−2√2) B ． [−23,3+2√2) C ． (−∞,−23]D ． [−23,16]3. 已知函数 f (x )=√x +1+k ，若存在区间 [a,b ]，使得函数 f (x ) 在区间 [a,b ] 上的值域为 [a +1,b +1]，则实数 k 的取值范围为 ( ) A ． (−1,+∞) B ． (−1,0] C ． (−14,+∞)D ． (−14,0]4. 若 x >0，y >0，且 1x+4y =1，则 x +y 的最小值是 ( )A ． 3B ． 6C ． 9D ． 125. 若函数 f (x )=(1+√3tanx)cosx ，则 f (π12)= ( ) A ．√6−√22B ． −√3C ． 1D ． √26. 设正实数 x ，y 满足 x >12，y >1，不等式4x 2y−1+y 22x−1≥m 恒成立，则 m 的最大值为 ( )A ． 2√2B ． 4√2C ． 8D ． 167. 函数 y =12+sinx+cosx的最大值是 ( )A ．√22−1 B ． −√22−1 C ． 1−√22D ． 1+√228. 已知函数 f (x )={∣log 5(1−x )∣,x <1−(x −2)2+2,x ≥1，则方程 f (x +1x −2)=a (a ∈R ) 的实数根个数不可能为 ( ) A ． 5 个 B ． 6 个 C ． 7 个 D ． 8 个9. 将函数 y =sin (2x +π5) 的图象向右平移 π10 个单位长度，所得图象对应的函数 ( ) A ．在区间 [3π4,5π4] 上单调递增 B ．在区间 [3π4,π] 上单调递减C ．在区间 [5π4,3π2] 上单调递增 D ．在区间 [3π2,2π] 上单调递减10. 已知函数 f (x )={1−12∣1−x ∣,x ≤212f (x −2),2<x ≤6，则方程 xf (x )−1=0 的解得个数是 ( )A ． 5B ． 6C ． 7D ． 8二、填空题（共6题）11. 若函数 f (x )=sin (ωx +π6)(ω>0) 满足 f (0)=f (π3)，且函数在 [0,π2] 上有且只有一个零点，则 f (x ) 的最小正周期为．12. 已知函数 f (x )=√x −a ，若存在实数 x 0 满足 f [f (x 0)]=x 0，则实数 a 的取值范围是．13. 已知 x,y ∈(0,+∞)，x +2y =1，可以利用不等式 ax +1x ≥2√a 和 2ay +4y ≥4√2a (a >0) 求得 1x+4y 的最小值，则其中正数 a 的值是．14. 设集合 A ={x∣ x >2}，B ={x∣ x ≤a }，若 A ∪B =R ，则 a 的取值范围是．15. 已知 sinα+cosβ=1，cosα+sinβ=0，则 sin (α+β)= ．16. 已知函数 f (x )=2[sinx ]+3[cosx ]，x ∈[0,2π]，其中 [x ] 表示不超过 x 的最大整数．例如：[1]=1，[0.5]=0，[−0.5]=−1．（1）f (2π3)= ．（2）若 f (x )>x +a 对任意 x ∈[0,2π] 都成立，则实数 a 的取值范围是．三、解答题（共6题）17. 设函数 f (x )=x 2+b ∣x −2∣+1(b ∈R )．(1) 当数列{f(n)}为单调递增数列时，求b的范围；(2) 当函数f(x)在区间[0,2]上有零点时，求b的范围；(3) 设f(x)在区间[0,2]上的最小值为g(b)，求函数g(b)的表达式．,π]．18.已知函数f(x)=√3sin2x+sinxcosx，x∈[π2(1) 求函数f(x)的零点；(2) 求函数f(x)的单调递减区间．19.(1) 若a∈R，解关于x的不等式：(x+a−2)(x+2a2−4a)≥0．(2) 若−1≤a≤2时，不等式(x+a−2)(x+2a2−4a)≥0恒成立，求x的取值范围．20.已知函数f(x)=m−2是R上的奇函数．2x+1(1) 求m的值；(2) 先判断f(x)的单调性，再证明．21.如图，一边靠学校院墙，其他三边用40m长的篱笆围成一个矩形花圃，设矩形ABCD的边AB=x m，面积为S m2．求S与x之间的函数关系式，并求当S=200m2时x的值．22.已知函数f(x)=x∣x−m∣，x∈R，且f(3)=0．(1) 求实数m的值；(2) 作出函数f(x)的图象并直接写出f(x)单调递减区间．(3) 若不等式f(x)≥ax在[4,6]上都成立，求a的取值范围．答案一、选择题（共10题） 1. 【答案】B【知识点】交、并、补集运算2. 【答案】A【知识点】函数零点的概念与意义3. 【答案】D【知识点】函数的值域的概念与求法4. 【答案】C【解析】因为 x >0，y >0， 1x+4y =1，x +y =(x +y )(1x +1y )=1+4+y x +4x y=5+y x+4x y．由 x >0，y >0， yx +4x y≥2√y x ⋅4x y=4．当 y =2x =6 时等号成．所以 x +y ≥5+4=9．所以 x +y 的最小值为 9．故选C ．【知识点】均值不等式的应用5. 【答案】D【解析】因为f (x )=(1+√3⋅sinxcosx )cosx =cosx +√3sinx =2(12cosx +√32sinx)=2sin (x +π6),所以 f (π12)=2sin (π12+π6)=2sin π4=√2．【知识点】辅助角公式6. 【答案】C【解析】设y−1=b，则y=b+1，令2x−1=a，则x=12(a+1)，因为x>12，y>1，所以a>0，b>0．所以4x2 y−1+y22x−1=(a+1)2b +(b+1)2a≥√ab =√ab=2(√ab +√ab√ab≥2(2√√ab√ab √ab √ab)=2×(2+2)=8.（当且仅当a=b=1即x=1，y=2时取等号）．所以4x 2y−1+y22x−1的最小值为8，即m的最大值为8．【知识点】恒成立问题、均值不等式的应用7. 【答案】D【解析】y=12+sinx+cosx=2+√2sin(x+π4)≤2−√2=2+√22.【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质8. 【答案】A【解析】作出f(x)的图象，如图所示．1∘当a>2时，x+1x −2≤−24或2425<x+1x−2<2，此时对应x的个数为4；2∘当a=2时，x+1x −2=−24或x+1x−2=2425或x+1x−2=2，此时对应x的个数为6；3∘当1<a<2时，−24<x+1x −2<−4或45<x+1x−2<2425或1<x+1x−2<2或2<x+1x−2<3，此时对应x的个数为8；4∘当a=1时，x+1x −2=−4或x+1x−2=45或x+1x−2=1或x+1x−2=3，此时对应x的个数为7；5∘当0<a<1时，−4<x+1x −2<0或0<x+1x−2<45或3<x+1x−2<2+√2，此时对应x的个数为4；6∘当a=0时，x+1x −2=0或x+1x−2=2+√2，此时对应x的个数为3；7∘当a<0时，x+1x−2>2+√2，此时对应x的个数为2．综上可知，实数根个数不可能为5个．故选A．【知识点】函数的零点分布9. 【答案】A【解析】将函数y=sin(2x+π5)的图象向右平移π10个单位长度后，得到函数y=sin2x的图象，函数y=sin2x的单调递增区间为[kπ−π4,kπ+π4]，k∈Z，单调递减区间为[kπ+π4,kπ+3π4]，k∈Z，故其在区间[3π4,5π4]上单调递增．【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质、三角函数的图象变换10. 【答案】C【解析】方程xf(x)−1=0的解得个数，等价于函数y=f(x)与y=1x的图象交点的个数在同一坐标系作出y=f(x)与y=1x的图象，由图象可知，函数得零点个数为7．【知识点】函数的零点分布二、填空题（共6题）11. 【答案】π【解析】因为f(0)=f(π3)，所以x=π6是f(x)图象的一条对称轴，所以f(π6)=±1，所以π6×ω+π6=π2+kπ，k∈Z，所以ω=6k+2，k∈Z，所以T=π3k+1(k∈Z)．又f(x)在[0,π2]上有且只有一个零点，所以π6<T4≤π2−π6，所以2π3<T≤4π3，所以2π3<π3k+1≤4π3(T>0)，所以−112≤k<16，又因为k∈Z，所以k=0，所以T=π．【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质12. 【答案】a≤14【知识点】函数的零点分布13. 【答案】9+4√2【解析】ax+1x +2ay+4y=a(x+2y)+1x+4y=a+1x+4y．由基本不等式得ax+1x≥2√a，当且仅当ax=1x (x>0,a>0)，即x=√a时，等号成立．由基本不等式得2ay+4y≥4√2a，当且仅当2ay=4y (y>0,a>0)，即y=√2√a时，等号成立．由题意得，两个等号同时成立．此时，x +2y =√a√2√a=√2√a=1，则 √a =1+2√2，所以 a =(1+2√2)2=9+4√2．【知识点】均值不等式的应用14. 【答案】 a ≥2【知识点】交、并、补集运算15. 【答案】 −12【解析】由 {sinα+cosβ=1,cosα+sinβ=0⇒{sinα=1−cosβ,cosα=−sinβ⇒(1−cosβ)2+(−sinβ)2=1⇒1−2cosβ+cos 2β+sin 2β=1⇒cosβ=12．从而 sin (α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ=(1−cosβ)⋅cosβ+(−sinβ)sinβ=cosβ−cos 2β−sin 2β=cosβ−1=12−1=−12.【知识点】两角和与差的正弦16. 【答案】 43； (−∞,32−2π]【解析】（1）f (2π3)=2[sin 23π]+3[cos2π3]，因为 sin2π3=√32，所以 [sin 2π3]=[√32]=0，因为 cos2π3=−12，所以 [cos2π3]=[−12]=−1，所以 f (2π3)=20+3−1=1+13=43．（2）① x =0 或 x =2π 时，sinx =0，cosx =1，即 [sinx ]=0，[cosx ]=1，所以f(x)=20+31=4，若x=0，则a<4；若x=2π，则4>2π+a，即a<4−2π；② 0<x<π2时，sinx∈(0,1)，cosx∈(0,1)，即[sinx]=[cosx]=0，所以f(x)=20+30=2，因为f(x)>x+a恒成立，所以a<2−x，即a≤2−π2；③ x=π2时，sinx=1，cosx=0，即[sinx]=1，[cosx]=0，所以f(x)=21+30=3，因为f(x)>x+a恒成立，所以a<3−x即a<3−π2；④ π2<x≤π时，sinx∈[0,1)，cosx∈[−1,0)，即[sinx]=0，[cosx]=−1，所以f(x)=20+3−1=43，因为f(x)>x+a恒成立，所以a<43−x，即a<43−π；⑤ π<x<3π2时，sinx∈(−1,0)，cosx∈(−1,0)，即[sinx]=[cosx]=−1，所以f(x)=2−1+3−1=12+13=56，因为f(x)>x+a恒成立，所以a<56−x，即a≤56−3π2；⑥ 3π2≤x<2π时，sinx∈[−1,0)，cosx∈[0,1)，即[sinx]=−1，[cosx]=0，所以f(x)=2−1+30=12+1=32，因为f(x)>x+a恒成立，所以a<32−x，即a≤32−2π，因为 3−π2>2−π2，4−π>4−2π>32−2π，且 2−π2>3π2−2π，所以 a ≤32−2π，即 a 的取值范围是 (−∞,32−2π]．【知识点】指数函数及其性质三、解答题（共6题）17. 【答案】(1) f (x )=x 2+b ∣x −2∣+1={x 2+bx −2b +1,x ≥2x 2−bx +2b +1,x <2，当数列 {f (n )} 为单调递增时，{b 2≤52,f (2)>f (1), 即 {b ≤5,5>2+b, 解得 b <3，故 b 的取值范围是 (−∞,3)．(2) 当 x ∈[0,2] 时，f (x )=x 2−bx +2b +1，若函数 f (x ) 在区间 [0,2] 上有零点，则 f (0)⋅f (2)<0 或 { 00,f (0)>0,f (2)>0,所以 2b +1<0 或 {00,2b +1>0,当 2b +1<0 时，b <−12；当 {00,2b +1>0时，不等式组无解，综上，b 的范围为 (−∞,−12)．(3) 当 b ≤−4 时，−b 2≥2，b 2≤−2，则函数 f (x ) 在 (−∞,b 2) 递减，在 (b 2,2) 递增，在 (2,−b 2) 递减，在 (−b 2,+∞) 递增，因为 f (b 2)=−b 24+2b +1，f (−b 2)=−b 24−2b +1，f (b 2)<f (−b 2)，所以 f (x ) 的最小值为 −b 24+2b +1；当 −4<b <4 时，−2<−b 2<2，−2<b 2<2，则函数 f (x ) 在 (−∞,b 2) 递减，在 (b 2,2) 递增，在 (2,+∞) 递增，所以 f (x ) 的最小值为 f (b 2)=−b 24+2b +1；当 b ≥4 时，−b 2≤−2，b 2≥2，则函数 f (x ) 在 (−∞,2) 递减，在 (2,+∞) 递增，所以 f (x ) 的最小值为 f (2)=5，综上所述，当 b <4 时，f (x ) 的最小值为 −b 24+2b +1；当 b ≥4 时，f (x ) 的最小值为 5，故 g (b )={−b 24+2b +1,b <45,b ≥4．【知识点】函数的零点分布、函数的最大（小）值、绝对值不等式的求解18. 【答案】(1) f (x )=√3sin 2x +sinxcosx=√3⋅1−cos2x 2+12sin2x =12sin2x −√32cos2x +√32=sin (2x −π3)+√32. 由 f (x )=0，得 sin (2x −π3)+√32=0，得 sin (2x −π3)=−√32，因为 x ∈[π2,π]，所以 2x −π3∈[2π3,5π3]，所以 2x −π3=4π3 或 2x −π3=5π3，则 x =5π6或 x =π． (2) 由 π2+2kπ≤2x −π3≤3π2+2kπ，得 5π12+kπ≤x ≤11π12+kπ，k ∈Z ．因为x∈[π2,π]，所以函数f(x)的单调递减区间为[π2,11π12]．【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质19. 【答案】(1) 原不等式即：[x−(2−a)]×[x−(4a−2a2)]≥0，方程[x−(2−a)]×[x−(4a−2a2)]=0的二根为2−a，4a−2a2，令2−a<4a−2a2即2a2−5a+2<0，解得12<a<2，所以当12<a<2时，原不等式解集为{x∣ x≥4a−2a2或x≤2−a}．令2−a=4a−2a2即2a2−5a+2=0，解得a=12或a=2，所以当a=12或a=2时，原不等式解集为R．令2−a>4a−2a2即2a2−5a+2>0，解得a<12或a>2，所以当a<12或a>2时，原不等式解集为{x∣ x≥2−a或x≤4a−2a2}．(2) 因为−1≤a≤2，所以0≤2−a≤3，因为4a−2a2=−2(a−1)2+2，所以−6≤4a−2a2≤2，所以当−1≤a≤2时，2−a，4a−2a2二式的最小值为−6，最大值为3．所以欲使−1≤a≤2时，不等式[x−(2−a)]×[x−(4a−2a2)]≥0恒成立，应有x≤−6或x≥3．【知识点】恒成立问题、二次不等式的解法20. 【答案】(1) 据题意，得f(0)=0，则m=1．(2) f(x)在R上单调递增．证明如下：任取x1,x2∈R且x1<x2，f(x2)−f(x1)=−22x2+1+22x1+1=2(2x2−2x1)(2x2+1)(2x1+1).因为x2>x1，所以2x2>2x1，又(2x2+1)(2x1+1)>0，所以f(x2)−f(x1)>0⇒f(x2)>f(x1)．故 f (x ) 在 R 上单调递增．【知识点】指数函数及其性质、函数的单调性、函数的奇偶性21. 【答案】 S =x (40−2x )，0<x <20，S =200 时，x =10．【知识点】函数模型的综合应用22. 【答案】(1) 因为 f (x )=x ∣x −m ∣，由 f (3)=0 得 4×∣3−m ∣=0，即 ∣3−m ∣=0，解得：m =3；故实数 m 的值为 3．(2) 由（1）得 f (x )=x ∣x −3∣，即 f (x )={x 2−3x,x ≥33x −x 2,x <3，则函数的图象如图所示：单调递减区间为：(32,3)． (3) 由题意得 x 2−3x ≥ax 在 [4,6] 上都成立，即 x −3≥a 在 [4,6] 上都成立，即 a ≤x −3 在 [4,6] 上都成立，当 4≤x ≤6 时，(x −3)min =1，所以 a ≤1．故实数 a 的取值范围为 (−∞,1]．【知识点】函数的最大（小）值、分段函数、函数的单调性。

高中人教A版数学必修1课时作业24 Word版含解析

课时作业(二十四)用二分法求方程的近似解一、选择题．函数()的图象如图所示，能够用二分法求出的函数()的零点个数为( )．．．．答案：解析：由图可知，图象与轴有四个公共点，其中有个变号零点，故选..下列函数中，不能用二分法求零点的是( )．＝＋．＝－．＝(－) ．＝(－)答案：解析：结合函数＝(－)的图象可知，该函数在＝的左右两侧函数值的符号均为正，故其不能用二分法求零点．．在用“二分法”求函数()的零点近似值时，第一次所取的区间是[－]，则第三次所取的区间可能是( )．[] ．[－]答案：解析：由于第一次所取的区间为[－]，∴第二次所取区间为[－]或[]，第三次所取区间为，，或.．为了求函数()＝＋－的零点，某同学利用计算器得到自变量和函数()的部分对应值(精确度)如下表所示．．．．．答案：解析：函数()＝＋－的零点在区间( )内，且－＝<，所以方程＋＝的近似解(精确到)可取为.．函数＝与函数＝的图象的交点的横坐标(精确度)约是( ) ．．．．答案：解析：设()＝－，经计算()＝－＜，()＝－＞，所以方程－＝在[]内有解．应用二分法逐步缩小方程实数解所在的区间，可知选项符合要求．二、填空题．若函数()的图象是连续不间断的，根据下面的表格，可以断定()的零点所在的区间为．(填序号)①(－∞，]；②[]；③[]；④[]；⑤[]；⑥[]；⑦[，＋∞)．正确．．用二分法求函数＝()在区间()上的近似解，验证()·()＜，给定精确度ε＝，取区间()的中点＝＝.计算()·()＜，则此时零点∈.(填区间)答案：() 解析：∵()·()＜，()·()＜，故∈()．．用二分法求方程－＝在区间()内的近似解，经过次“二分”。

年高中数学(人教A版)必修一课时达标训练：(四)Word版含解析

课时达标训练（四） [ 即时达标对点练 ]
题组 1 并集
1． (2015 ·四川高考 )设集合 A＝ { x|－ 1< x<2} ，集合 B＝ { x|1<x<3} ，则 A∪ B＝ ( )
A ． { x|－ 1<x<3}
B．{ x|－ 1<x<1}
C．{ x|1<x<2}
D ．{ x|2<x<3}
2．满足 {0,1} ∪ A＝ {0,1,2} 的所有集合 A 是 ________．
3．已知集合 A＝ { x|x≥ 2} ，B＝ { x|x≥m} ，且 A∪ B＝A，则实数 m 的取值范围是 ________．
题组 2 交集
4． (2015 ·广东高考 )若集合 M ＝ { －1,1} ， N＝ { － 2,1,0} ，则 M ∩N＝ ( )
3．解析： ∵ A∪ B＝ A，∴ B? A，∴ m≥2. 答案： { m|m≥ 2}
题组 2 交集
4． A ． {0 ，－ 1}
B ． {1}
C ． {0}
解析：选 B M ∩ N＝ {1} ，故选 B.
D ． { － 1,1}
5．解析：选 B 因为 A＝ { － 1,0,1} ， B＝{ x|－ 1≤ x＜ 1} ，所以 A∩ B＝ { － 1,0} ． 6．解析：选 C 依题意，由 A∩ B＝ {2} 知 2a＝2，所以， a＝ 1，b＝ 2， a＋ b＝ 3，故选 C. 题组 3 利用集合交集、并集的性质求参数
A ． {1,2}
B． {1,5}
C．{2,5}
D． {1,2,5}
4．设集合 A＝{ x|－ 1≤x≤2} ，集合 B＝{ x|x≤ a} ，若 A∩ B＝ ?，则实数 a 的取值集合为

高中人教A版数学必修1课时作业14 Word版含解析

课时作业(十四)根式
一、选择题
．下列各式正确的是( )
．＝
＝－＝－
答案：解析：＝－.
．化简－的结果是( )
．．
．或－．－或或
答案：解析：原式＝＋－(－)
＝(\\(，≥－，,－，<－.))
．若<，则化简的结果是( )
．－．－
答案：解析：∵<，∴－<，
∴＝.
·有意义，则的取值范围是( )
．{≥} ．{≤}
．{≤≤} ．答案：解析：由题意，知－≥且－≥，
所以≤≤.
．化简：(－)＝( )
．－
．．
答案：解析：由知<，
又当<时，＝＝－，
因此(－)＝＝－.
．当有意义时，化简：－＝( )
．－．－－
．－．－答案：解析：∵有意义，∴－≥，即≤.
－
＝－
＝－－－＝－－(－)
＝－－＋＝－.
二、填空题
．化简：＝.
答案：－解析：＝＝－＝－.
．化简：＋＝.
答案：或－解析：原式＝(－)＋－＝或－.
．若＋(－)有意义，则实数的取值范围是．答案：[)∪(，＋∞) 解析：由－≥且－≠，得≥且≠.
．如果，是实数，则下列等式：
①＋＝＋；
②(＋)＝＋＋；
③＝＋；
④＝＋.
其中一定成立的是．(写出所有成立的式子的序号)答案：②③解析：∵＝±，∴①不一定成立；
根据根式的性质，②③都一定成立；
＝＋，∴④不一定成立．
三、解答题。

高中数学(人教A版)必修一课时达标训练(二) Word版含解析

课时达标训练（二）[即时达标对点练]题组列举法表示集合．下列命题中正确的是( )①与{}表示同一个集合；②由组成的集合可表示为{}或{}；③方程(－)(－)＝的所有解的集合可表示为{}；④集合{<<}可以用列举法表示．只有①和④．只有②和③．只有②．只有②和④．集合{∈*－＜}的另一种表示形式是( )．{}．{}．{}．{}．设＝{，}，＝{，}，若＝，则＋＝.题组描述法表示集合．集合{(，)＝－}表示( )．方程＝－．点(，)．平面直角坐标系中的所有点组成的集合．函数＝－图象上的所有点组成的集合．集合＝{(，)>，∈，∈}是指( )．第一象限内的点集．第三象限内的点集．第一、三象限内的点集．第二、四象限内的点集．由大于－且小于的偶数所组成的集合是( )．{－<<，∈}．{－<<}．{－<<，＝，∈}．{－<<，＝，∈}．能被整除的正整数的集合，用描述法可表示为．题组选择适当的方法表示集合．集合{－＋＝}中所有的元素之和是( )．．．．．选择适当的方法表示下列集合．()由方程(－－)＝的所有实数根组成的集合；()大于且小于的有理数；()由直线＝－＋上的横坐标和纵坐标都是自然数的点组成的集合．[能力提升综合练]．已知集合＝{≤}，＝＋，则与集合的关系是( )．∈．∉．＝．{}∈．已知集合＝{，＋}，且∈，则实数等于( )．．．．．下列四个集合中，不同于另外三个的是( )．{＝}．{＝}．{}．{－＋＝}．已知集合＝{}，＝{(，)∈，∈，－∈}，则中所含元素的个数为( )．．．．．已知集合＝{－}，集合＝{＝，∈}，则＝.．用描述法表示图中阴影部分的点构成的集合为．．已知集合＝，()用列举法表示集合；()求集合的所有元素之和．．已知集合＝{∈＋＋＝}，其中∈.()若∈，用列举法表示；()若中有且仅有一个元素，求的值组成的集合.答案[即时达标对点练]题组列举法表示集合．解析：选①中“”不能表示集合，而“{}”可以表示集合．根据集合中元素的无序性可知②正确；根据集合的互异性可知③错误；④不能用列举法表示，原因是集合中有无数个元素不能一一列举，故选.．解析：选由－＜，得＜，又∈*，所以＝，即集合的另一种表示形式是{}．．解析：由＝得(\\(＝，＝，))故(\\(＝，＝，))∴＋＝.答案：题组描述法表示集合。

高中数学(人教A版)必修一课时达标训练(二十) Word版含解析

课时达标训练（二十）[即时达标对点练]题组对数函数的概念．下列函数是对数函数的是( )．＝() ．＝．＝＋．＝．已知对数函数()的图象过点()，则＝.题组对数函数的图象及应用．函数＝的图象如图所示，则实数的可能取值是( )．．如图，若，分别为函数＝和＝的图象，则( )．＜＜＜．＜＜＜．＞＞．＞＞．函数()＝－(－)＋(>，≠)的图象恒过定点，则点的坐标是．．已知()＝.()作出这个函数的图象；()若()<()，利用图象求的取值范围．题组与对数函数有关的定义域问题．(·长沙高一月考)函数()＝＋(＋)的定义域是( )．(－∞，－) ．(，＋∞)．(－)∪(，＋∞) ．(－∞，＋∞)．求下列函数的定义域．()＝(－－)；()＝.[能力提升综合练]．函数＝的图象大致是( )．(·株洲高一检测)已知函数()＝(\\((≤(，(＞(，))那么的值为( )．．－．－．已知函数()＝，()＝，()＝，直线＝(＜)与这三个函数的交点的横坐标分别是，，，则，，的大小关系是( )．＜＜．＜＜．＜＜．＜＜．(·唐山高一检测)若函数()＝(＋)的图象如图，其中，为常数，则函数()＝＋的图象大致是( )．(·烟台高一检测)数()＝－＋(－)＋(>，≠)的图象必经过点．．设函数()＝的反函数为＝()，且()＝，则＝.．若函数()为定义在上的奇函数，且∈(，＋∞)时，()＝(＋)，求()的表达式，并画出大致图象．．若不等式－<在内恒成立，求实数的取值范围．答案[即时达标对点练]题组对数函数的概念．解析：选选项、、中的函数都不具有“＝(＞，且≠)”的形式，只有选项符合．．解析：设对数函数()＝，∵()的图象过点()，。

高中人教版数学a版高一必修1(45分钟课时作业与单元测试卷)：第24课时对数函数的性质及其应用(含解析)

C. <a<2且a≠1 D. <a<1或a>2
答案：C
解析：|f(x)|>1在[2，＋∞)上恒成立．
当a>1时，由logax>1⇒x>a，
由logax<－1⇒x< ，得a<2，所以1<a<2.
当0<a<1时，由logax>1⇒x<a，
由logax<－1⇒x> ，得 <a<1.
综上可知 <a<2且a≠1.
A．(0,1)∪(1，＋∞) B．(0,1)
C．(1，＋∞) D．[1，＋∞)
答案：C
解析：∵log0.25(a2＋1)>log0.25(a3＋1)，∴a2<a3，即a2(1－a)<0，∴a>1，故选C.
4．若函数f(x)＝，则f(log43)＝()
A. B．3
C. D．4
答案：B
解析：由0<log43<1，得f(log43)＝4 ＝3.
二、填空题(本大题共3个小题，每小题5分，共15分)
7．三个数0.76,60.7，log0.76的大小关系为________．
答案：log0.76＜0.76＜60.7
解析：因为60.7＞60＝1,0＜0.76＜0.70＝1.又因为log0.76＜0，所以log0.76＜0.76＜60.7.
8．函数y＝log |x－3|的单调递减区间是________．
13．(15分)如图所示，在函数f(x)＝logax(0＜a＜1，x≥1)的图象上有A，B，C三点，它们的横坐标分别是t，t＋2，t＋4.
(1)若△ABC的面积为S，求S＝f(t)；
(2)判断S＝f(t)的单调性；

人教版数学a版高一必修1(45分钟课时作业与单元测试卷)：第24课时对数函数的性质及其应用

第24课时对数函数的性质及其应用课时目标1.深刻理解对数函数的图象与性质，能够利用这些性质解决一些较为复杂的问题．2．理解互为反函数的观点．识记加强1．y＝logax(a>0，a≠1)，定义域为(0，＋∞)，a>1时为增函数，0<a<1时为减函数．2．互为反函数的两个函数图象对于 y＝x对称．课时作业(时间：45分钟，满分： 90分)5分，共30分)一、选择题(本大题共6小题，每题1．若y＝－3log(2a－3)x在(0，＋∞)上是减函数，则实数a的取值范围为()A．(0,1)B．(0,1)∪(1，＋∞)3C.2，2D．(2，＋∞)答案：D分析：由已知，得y＝log(2a－3)x在(0，＋∞)上是增函数，因此2a－3>1，解得a>2，应选D.12．设a＝log43，b＝ln3，c＝102，则()A．a<b<c B．b<c<aC ．c<a<bD ．c<b<a答案：C分析：log 43＝1，ln3＝1，1012＝1.由于 10>3>log34>log3e>0，因此0< 1 < 1 4 < 1，即log 34loge1010 log loge333c<a<b.应选C.2＋1)>log 3＋1)，则实数a 的取值范围是(3．若a>0，且log)(a(aA ．(0,1)∪(1，＋∞)B ．(0,1)C ．(1，＋∞)D ．[1，＋∞)答案：C分析：∵log 2＋1)>log 3＋1)，∴a 23，即a 2，∴a>1，应选C.(a(a<a(1－a)<04．若函数f(x)＝1x，x∈[－1，0，则f(log 43)＝()44x，x∈[0，1]1A.3B ．31C.4D ．4答案：B分析：由0<log44lo g 43＝3.3<1，得f(log 3)＝45．函数f(x)＝log2|2x －4|的图象为( )答案：A分析：函数f(x)＝log2|2x－4|的图象能够看作是将函数y＝log2|2x|的图象向右平移2个单位获得的，应选A.6．已知函数f(x)＝logax，在[2，＋∞)上恒有|f(x)|>1，则实数a的取值范围是()A．0<a<1或1<a<2B．0<a<1或a>22211C.2<a<2且a≠1D.2<a<1或a>21答案：C2分析：|f(x)|>1在[2，＋∞)上恒建立．3a>1时，由logax>1?x>a，4log a x<－1?x<1，得a<2，因此1<a<2.a50<a<1时，由logax>1?x<a，61由logax<－1?x>a，得2<a<1.1综上可知2<a<2且a≠1.二、填空题(本大题共3个小题，每题5分，共15分)7．三个数6,6，log6的大小关系为________．答案：log6＜6＜6分析：由于6＞60＝1,0＜6＜0＝1.又由于log6＜0，因此log6＜6＜6.8．函数y＝log1|x－3|的单一递减区间是________．2答案：(3，＋∞)分析：令t＝|x －3|，则在(－∞，3)上t为x的减函数，在(3，＋∞)上t为x的增函数，又∵0＜1＜1，2∴在区间(3，＋∞)上y为x的减函数．9．函数f(x)＝log1(mx＋6)在(1,3)上是增函数，则实数m的取值范围是________．3答案：[－2,0)分析：∵f(x)＝log1 (mx＋6)在(1,3)上是增函数，∴y＝mx＋6在(1,3)上是减函数，而且在(1,3)上恒有mx3＋6>0，∴m<0，解得－2≤m<0，即实数m的取值范围是[－2,0)．3m＋6≥0三、解答题(本大题共4小题，共45分)10．(12分)已知函数f(x)＝lg(2＋x)＋lg(2－x)．(1)求函数y＝f(x)的定义域；(2)判断函数y＝f(x)的奇偶性．解：(1)要使函数f(x)存心义，则2＋x>0，解得－2<x<2. 2－x>0∴函数y ＝f(x)的定域{x|－2<x<2}．(2)由(1)，可知函数 y ＝f(x)的定域{x|－2<x<2}，对于原点称，随意x∈(－2,2)，有－x∈(－2,2)． f(－x)＝lg(2－x)＋lg(2＋x)＝lg(2＋x)＋lg(2－x)＝f(x)， ∴函数y ＝f(x)偶函数．11．(13分)已知y ＝loga(2－ax)在[0,1]上是x 的减函数，求 a 的取范．解：因a>0且a≠1.x(1)当a>1，函数 t ＝2－a>0是减函数，y ＝loga(2－a x)在[0,1]上是对于x 的减函数，知y ＝logat 是增函数，∴a>1. x∈[0,1]，2－a x ≥2－a>0，得a<2. 1<a<2.(2)当0<a<1，函数t ＝2－a x>0是增函数，由y ＝loga(2－a x)在[0,1]上是对于x 的减函数，知y ＝logat 是减函数，∴0<a<1，由 x∈[0,1]，2－a x≥2－1>0.0<a<1.上，0<a<1或1<a<2. 能力提高12．(5分)函数f(x)＝logx(a>0，且a≠1)，若f(x·x·⋯·x)＝2 2 2)的等8，f(x)＋f(x)＋⋯＋f(xa1 2201312 2013于()A ．4B ．8C ．16D ．2loga8答案：C分析：∵f(x)＝logax ，f(x1·x 2·⋯·x 2013)＝8，∴由数的运算性，得f(x 2 )＋f(x 2 )＋⋯＋f(x 2 ) ＝f(x 2 ·x 2 ·⋯·x 2 1220132＝1220131 220132＝2loga)＝f[(x·x·⋯·x)] log a 1 2 2013 )1 22013)＝2×8＝16.(x·x·⋯ (x·x·⋯·x·x13．(15分)如所示，在函数f(x)＝logax(0＜a＜1，x≥1)的象上有A，B，C三点，它的横坐分是t，t＋2，t＋4.(1)若△ABC的面S，求S＝f(t)；(2)判断S＝f(t)的性；(3)求S＝f(t)的最大．解：(1)A，B，C三点的坐分A(t，logat)，B(t＋2，loga(t＋2))，C(t＋4，loga(t＋4))，S△ABC＝S梯形AA′B′B＋S梯形BB′C′C－S梯形AA′C′C＝2|loga(t＋2)|－(|logat|＋|loga(t＋4)|)．∵t≥1，∴t＋2＞1，t＋4＞1.t t＋4∵0＜a＜1，∴由数的性，得S＝－2loga(t＋2)＋logat＋loga(t＋4)＝loga t＋22.(2)由(1)知S＝log a tt＋4＝loga－t42增，4减，1－4 t＋22[1＋22]．当t≥1，(t＋2)t＋22t＋22增．∵0＜a＜1，∴S＝f(t)＝loga[1－42]减函数．t＋2(3)∵t≥1，∴(t＋2)2≥9,1－45，∵S＝f(t)是减函数，∴函数有最大5t＋22≥loga.99。

高中数学人教A版必修一课时达标训练(二)含解析

3
6．解析：依题设知：该集合为一点集，且其横坐标满足 0≤x≤2，纵坐标满足
0≤y≤1，所以该集合为{(x，y)|0≤x≤2,0≤y≤1}．
答案：{(x，y)|0≤x≤2,0≤y≤1}
4 7．解：(1)由3－x∈Z，得 3－x＝±1，±2，±4.解得 x＝－1，1,2,4,5,7.
[能力提升综合练] 1．解析：选 A 由于 2＋ 3＜10，所以 a∈A. 2．解析：选 B ∵4∈M，∴m＋1＝4，∴m＝3. 3．解析：选 B {x＝2}表示的是由一个等式组成的集合． 4．解析：选 D 列举得集合 B＝{(2,1)，(3,1)，(4,1)，(5,1)，(3,2)，(4,2)，(5,2)，(4,3)， (5,3)，(5,4)}，共 10 个元素．故选 D. 5．解析：∵x∈A，∴当 x＝－1 时，y＝|x|＝1；当 x＝0 时，y＝|x|＝0；当 x＝1 时，y＝|x|＝1. 答案：{0,1}
B．{x＝2}
C．{2}
D．{x|x2－4x＋4＝0}
4．已知集合 A＝{1,2,3,4,5}，B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，x－y∈A}，则 B 中所含元素的个
数为( )
A．3 B．6
C．8 D．10
5．已知集合 A＝{－1,0,1}，集合 B＝{y|y＝|x|，x∈A}，则 B＝________.
又∵x∈Z，
∴A＝{－1,1,2,4,5,7}．
(2)由(1)得集合 A 中的所有元素之和为－1＋1＋2＋4＋5＋7＝18.
8．解：(1)∵1∈A，
∴1 是方程 ax2＋2x＋1＝0 的根．
∴a·12＋2×1＋1＝0，即 a＝－3.
∴方程为－3x2＋2x＋1＝0.

高中人教版数学a版高一必修1(45分钟课时作业与单元测试卷)：第24课时对数函数的性质及其应用AKAMql

第24课时对数函数的性质及其应用课时目标1.深刻理解对数函数的图象与性质，能够利用这些性质解决一些较为复杂的问题．2．理解互为反函数的概念．识记强化1．y ＝log a x (a >0，a ≠1)，定义域为(0，＋∞)，a >1时为增函数，0<a <1时为减函数．2．互为反函数的两个函数图象关于y ＝x 对称．课时作业(时间：45分钟，满分：90分)一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)1．若y ＝－3log (2a －3)x 在(0，＋∞)上是减函数，则实数a 的取值范围为( )A ．(0,1)B ．(0,1)∪(1，＋∞)C.⎝⎛⎭⎫32，2 D ．(2，＋∞)答案：D解析：由已知，得y ＝log (2a －3)x 在(0，＋∞)上是增函数，所以2a －3>1，解得a >2，故选D.2．设a ＝log 43，b ＝ln 3，c ＝1012-，则( )A ．a 3>log 34>log 3e>0，所以0<110<1log 34<1log 3e，即c <a 0，且log 0.25(a 2＋1)>log 0.25(a 3＋1)，则实数a 的取值范围是( )A ．(0,1)∪(1，＋∞)B ．(0,1)C ．(1，＋∞)D ．[1，＋∞)答案：C解析：∵log 0.25(a 2＋1)>log 0.25(a 3＋1)，∴a 2<a 3，即a 2(1－a )<0，∴a >1，故选C.4．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫14x ，x ∈[－1，0)4x ，x ∈[0，1]，则f (log 43)＝( ) A.13B ．3 C.14D ．4 答案：B解析：由0<log 43<1，得f (log 43)＝44log 3＝3.5．函数f (x )＝log 2|2x －4|的图象为( )答案：A解析：函数f (x )＝log 2|2x －4|的图象可以看作是将函数y ＝log 2|2x |的图象向右平移2个单位得到的，故选A.6．已知函数f (x )＝log a x ，在[2，＋∞)上恒有|f (x )|>1，则实数a 的取值范围是( )A ．0<a <12或1<a <2B ．0<a <12或a >2 C.12<a <2且a ≠1 D.12<a <1或a >2 答案：C解析：|f (x )|>1在[2，＋∞)上恒成立．当a >1时，由log a x >1⇒x >a ，由log a x <－1⇒x <1a，得a <2，所以1<a <2. 当0<a <1时，由log a x >1⇒x <a ，由log a x <－1⇒x >1a ，得12<a <1. 综上可知12<a <2且a ≠1. 二、填空题(本大题共3个小题，每小题5分，共15分)7．三个数0.76,60.7，log 0.76的大小关系为________．答案：log 0.76＜0.76＜60.7解析：因为60.7＞60＝1,0＜0.76＜0.70＝1.又因为log 0.76＜0，所以log 0.76＜0.76＜60.7.8．函数y ＝log 12|x －3|的单调递减区间是________．答案：(3，＋∞)解析：令t ＝|x －3|，则在(－∞，3)上t 为x 的减函数，在(3，＋∞)上t 为x 的增函数，又∵0＜12＜1，∴在区间(3，＋∞)上y 为x 的减函数．9．函数f (x )＝log 13(mx ＋6)在(1,3)上是增函数，则实数m 的取值范围是________．答案：[－2,0)解析：∵f (x )＝log 13(mx ＋6)在(1,3)上是增函数，∴y ＝mx ＋6在(1,3)上是减函数，并且在(1,3)上恒有mx＋6>0，∴⎩⎪⎨⎪⎧m <03m ＋6≥0，解得－2≤m <0，即实数m 的取值范围是[－2,0)．三、解答题(本大题共4小题，共45分)10．(12分)已知函数f (x )＝lg (2＋x )＋lg (2－x )．(1)求函数y ＝f (x )的定义域；(2)判断函数y ＝f (x )的奇偶性．解：(1)要使函数f (x )有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧2＋x >02－x >0，解得－2<x <2.∴函数y＝f(x)的定义域为{x|－2<x<2}．(2)由(1)，可知函数y＝f(x)的定义域为{x|－2<x<2}，关于原点对称，对任意x∈(－2,2)，有－x∈(－2,2)．∵f(－x)＝lg (2－x)＋lg (2＋x)＝lg (2＋x)＋lg (2－x)＝f(x)，∴函数y＝f(x)为偶函数．11．(13分)已知y＝log a(2－a x)在[0,1]上是x的减函数，求a的取值范围．解：因为a>0且a≠1.(1)当a>1时，函数t＝2－a x>0是减函数，由y＝log a(2－a x)在[0,1]上是关于x的减函数，知y＝log a t是增函数，∴a>1.由x∈[0,1]时，2－a x≥2－a>0，得a<2.∴1<a<2.(2)当0<a<1时，函数t＝2－a x>0是增函数，由y＝log a(2－a x)在[0,1]上是关于x的减函数，知y＝log a t是减函数，∴0<a<1，由x∈[0,1]时，2－a x≥2－1>0.∴0<a<1.综上，0<a<1或1<a<2.能力提升12．(5分)设函数f(x)＝log a x(a>0，且a≠1)，若f(x1·x2·…·x2013)＝8，则f(x21)＋f(x22)＋…＋f(x22013)的值等于()A．4 B．8C．16 D．2log a8答案：C解析：∵f(x)＝log a x，f(x1·x2·…·x2013)＝8，∴由对数的运算性质，得f(x21)＋f(x22)＋…＋f(x22013)＝f(x21·x22·…·x22013)＝f[(x1·x2·…·x2013)2]＝log a(x1·x2·…·x2013)2＝2log a(x1·x2·…·x2013)＝2×8＝16.13．(15分)如图所示，在函数f(x)＝log a x(0＜a＜1，x≥1)的图象上有A，B，C三点，它们的横坐标分别是t，t＋2，t＋4.(1)若△ABC的面积为S，求S＝f(t)；(2)判断S＝f(t)的单调性；(3)求S＝f(t)的最大值．解：(1)设A，B，C三点的坐标分别为A(t，log a t)，B(t＋2，log a(t＋2))，C(t＋4，log a(t＋4))，S△ABC＝S 梯形AA′B′B＋S梯形BB′C′C－S梯形AA′C′C＝2|log a(t＋2)|－(|log a t|＋|log a(t＋4)|)．∵t≥1，∴t＋2＞1，t＋4＞1.∵0＜a＜1，∴由对数的性质，得S＝－2log a(t＋2)＋log a t＋log a(t＋4)＝log a t(t＋4)(t＋2)2.(2)由(1)知S＝log a t(t＋4)(t＋2)2＝log a[1－4(t＋2)2]．当t≥1时，(t＋2)2单调递增，4(t＋2)2单调递减，1－4(t＋2)2单调递增．∵0＜a＜1，∴S＝f(t)＝log a[1－4(t＋2)2]为递减函数．(3)∵t≥1，∴(t＋2)2≥9,1－4(t＋2)2≥59，∵S＝f(t)是减函数，∴函数有最大值log a59.。

高中数学必修一课时作业24

一、选择题1．图是某种豆类生长枝数y(枝)与时间t(月)的图像，那么此种豆类生长枝数与时间的关系用下列函数模型近似刻画最好的是()图A．y＝2t2B．y＝log2tC．y＝t3D．y＝2t【解析】由图像特征知，y＝2t近似刻画最好．【答案】 D2．某厂日产手套总成本y(元)与手套日产量x(副)的关系式为y＝5x＋4 000，而手套出厂价格为每副10元，则该厂为了不亏本，日产手套至少为() A．200副B．400副C．600副D．800副【解析】由题意知，10x－y＝10x－(5x＋4 000)≥0，解得x≥800.【答案】 D3．今有一组实验数据如下表：其中最接近的一个是()A ．v ＝log 2tB ．v ＝log 12tC ．v ＝t 2－12D ．v ＝2t【解析】将表中数据代入各函数解析式中验证即可．知选C. 【答案】 C4．我国为了加强对烟酒生产的宏观管理，除了应征税收外，还征收附加税．已知某种酒每瓶售价为70元，不收附加税时，每年大约销售100万瓶；若每销售100元国家要征附加税x 元(叫做税率x %)，则每年销售量将减少10x 万瓶，如果要使每年在此项经营中所收取的附加税额不少于112万元，则x 的最小值为( )A ．2B ．6C ．8D ．10【解析】依题意有(100－10x )×70×x100≥112. ∴2≤x ≤8. 【答案】 A5．某公司招聘员工，面试人数按拟录用人数分段计算，计算公式为：y ＝⎩⎨⎧4x ，1≤x <10，x ∈N ＋，2x ＋10，10≤x <100，x ∈N ＋，1.5x ，x ≥100，x ∈N ＋.其中，x 代表拟录用人数，y 代表面试人数，若应聘的面试人数为60，则该公司拟录用人数为( )A ．15B ．40C ．25D ．130【解析】令y ＝60，若4x ＝60，则x ＝15>10，不合题意；若2x ＋10＝60，则x ＝25，满足题意；若1.5x ＝60，则x ＝40<100，不合题意．故拟录用人数为25人．【答案】 C6．经市场调查，某商品的日销售量(单位：件)和价格(单位：元/件)均为时间t (单位：天)的函数．日销售量为f (t )＝2t ＋100，价格为g (t )＝t ＋4，则该种商品的日销售额S (单位：元)与时间t 的函数关系式为S (t )＝________.【解析】日销售额S ＝f (t )·g (t )＝(2t ＋100)(t ＋4)．【答案】 (2t ＋100)(t ＋4)7．将长度为1的铁丝分成两段，分别围成一个正方形和一个圆，要使正方形与圆的面积之和最小，正方形的周长应为________．【解析】设正方形的周长为x ，则圆的周长为1－x ，则正方形与圆的面积和为S ＝(x 4)2＋π·(1－x 2π)2 ＝π＋416πx 2－12πx ＋14π(0＜x ＜1)，∴x ＝－－12π2×π＋416π＝4π＋4时，S 有最小值．【答案】4π＋48．国家规定个人稿费纳税办法为：不超过800元的不纳税；超过800元而不超过4 000元的按超出800元部分的14%纳税；超过4 000元的按全稿酬的11.2%纳税．某人出版了一书共纳税420元，这个人的稿费为________元．【解析】设稿费为x 元，纳税为y 元，由题意可知 y ＝⎩⎪⎨⎪⎧0 (0＜x ≤800)，(x －800)·14% (800＜x ≤4 000)，11.2%·x (x ＞4 000).∵此人纳税为420元，∴(x －800)×14%＝420， ∴x ＝3 800. 【答案】 3 800图4－2－39．某单位用木料制作如图4－2－3所示的框架，框架的下部是一组邻边长分别为x，y(单位：m)的矩形，上部是等腰直角三角形，要求框架的总面积为8 m2.(1)写出y与x的函数关系式；(2)写出用料l与x的函数关系式．【解】(1)由题意，得14x2＋xy＝8，所以y＝8x －x4(0<x<42)．(2)由题意，得l＝2x＋2y＋2(2 2x)＝2x＋2x＋2y＝(32＋2)x＋16x，所以l＝(32＋2)x＋16x(0<x<42)．10．为应对国际金融危机对企业带来的不利影响，2011年底某企业实行裁员增效，已知现有员工200人，每人每年可创纯利润1万元，据评估，在生产条件不变的情况下，每裁员一人，则留岗员工每人每年可多创收0.01万元，但每年需付给下岗工人(被裁员的员工)0.4万元生活费，并且企业正常运行所需人数不得少于现有员工的34.设该企业裁员x人后纯收益为y万元．(1)写出y关于x的函数关系式，并指出x的取值范围；(2)问该企业裁员多少人，才能获得最大的经济效益？【解】(1)裁员x人后，企业员工数为(200－x)人，每人每年创纯利润(1＋0.01x)万元，企业每年需付给下岗工人0.4x万元，则y＝(200－x)(1＋0.01x)－0.4x＝－0.01x2＋0.6x＋200.∵200－x ≥34×200⇒x ≤50， ∴x 的取值范围为0<x ≤50且x ∈N ＋. (2)y ＝－0.01(x －30)2＋209， ∵0<x ≤50且x ∈N ＋，∴当x ＝30时，y 取得最大值209.∴该企业应裁员30人，可获得年最大纯收益209万元． 11．某地区不同身高的未成年男性的体重平均值如下表：(1)应这个地区未成年男性体重y (kg)与身高x (cm)的函数关系？若能，试写出这个函数模型的解析式；(2)若体重超过相同身高男性体重平均值的1.2倍为偏胖，低于0.8倍为偏瘦，那么这个地区一名身高为175 cm ，体重为78 kg 的未成年男性的体重是否正常？【解】 (1)以身高为横坐标，体重为纵坐标，画出散点图，如图．根据点的分布特征，可考虑以y ＝a ·b x 作为刻画这个地区未成年男性的体重与身高关系的函数模型．不妨取其中的两组数据(70,7.90)，(160,47.25)，代入y ＝a ·b x ，得⎩⎪⎨⎪⎧7.90＝a ·b 70，47.25＝a ·b 160，用计算器算得a ≈2，b ≈1.02.这样，我们就得到一个函数模型：y＝2×1.02x.将已知数据代入上述函数解析式或作出上述函数的图像，可以发现这个函数模型与已知数据的拟合程度较好，这说明它能较好地反映这个地区未成年男性的体重与身高的关系．(2)将x＝175代入y＝2×1.02x，得y＝2×1.02175，由计算器可得y≈63.98.由于78÷63.98≈1.22>1.2，所以该未成年男性偏胖.。

2019-2020学年新教材人教A版数学必修第一册课后作业24函数的应用(一)Word版含解析

课后作业 (二十四 )复习稳固一、选择题1．某厂生产中所需一些配件能够外购，也能够自己生产．假如外购，每个配件的价钱是 1.10 元；假如自己生产，则每个月的固定成本将增添 800 元，而且生产每个配件的资料和劳力需0.60 元，则决定此配件外购或自产的转折点(即生产多少件以上自产合算 )是()A ．1000 件B．1200 件C．1400 件D．1600 件[ 分析 ]设生产x件时自产合算，由题意得 1.1x≥800＋0.6x，解得 x≥1600，应选 D.[答案]D2．生产必定数目的商品的所有花费称为生产成本，某公司一个月生产某种商品 x 万件时的生产成本 (单位：万元 )为 C(x)＝12x2＋2x＋20.已知 1 万件售价是 20 万元，为获取更大收益，该公司一个月应生产该商品数目为()A ．36 万件B．22 万件C．18 万件D．9万件1[ 分析 ]∵收益L(x)＝20x－C(x)＝－2(x－18)2＋142，∴当x＝18时， L(x)取最大值．[答案]C3．某公司招聘职工，面试人数按拟录取人数分段计算，计算公4x，1≤x≤10，x∈N，式为 y＝2x＋10，10<x<100，x∈N，此中， x 代表拟录取人数， y1.5x，x≥100，x∈N，代表面试人数，若面试人数为60，则该公司拟录取人数为()A ．15B．40C．25D．130[分析 ]若 4x＝60，则 x＝15>10，不合题意；若2x＋10＝60，则 x＝25，知足题意；若 1.5x＝60，则 x＝40<100，不合题意．故拟录取 25 人．[答案]C4．某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，收益(单位：万元 )分别为 L1＝5.06x－0.15x2和 L2＝2x，此中 x 为销售量 (单位：辆 )．若该公司在这两地共销售15 辆车，则能获取的最大收益为()A ．45.606 万元B．45.6 万元C．45.56 万元D．45.51 万元[ 分析 ] 依题意，可设甲地销售x 辆，则乙地销售 (15－x)辆，故总利润 S ＝ 5.06x － 0.15x2＋ 2(15 － x) ＝－ 0.15x2＋ 3.06x ＋30(0≤x≤15)，∴对称轴为直线 x＝10.2，又 x∈N*，∴当x＝10 时，S max＝45.6.[答案]B5．依据统计，一名工人组装第x 件某产品所用的时间 (单位：分cx，x<A，，为常数．钟)为 f(x)＝(A c)c，x≥AA已知工人组装第 4 件产品用时30 min，组装第 A 件产品用时 15 min，那么 c 和 A 的值分别是 ()A ．75,25B．75,16C．60,25D．60,16[ 分析 ] 由题意知，组装第 A 件产品所需时间为c＝，故组装A15cc 第 4 件产品所需时间为4＝30，解得 c ＝60.将 c ＝60 代入A ＝15，得 A ＝16.[答案 ]D二、填空题6．若等腰三角形的周长为20，底边长y 是对于腰长x 的函数，则它的分析式为 __________________．[ 分析 ] 由题意，得 2x ＋y ＝20，∴y ＝20－2x.∵y>0，∴20－2x>0，2x>y ，∴x<10.又∵三角形两边之和大于第三边，∴解得x>5，y ＝20－2x ，∴5<x<10，故所求函数的分析式为 [ 答案 ] y ＝20－2x(5<x<10)y ＝20－ 2x(5<x<10)．7．某种型号的汽车紧迫刹车后滑行的距离 y(km)与刹车时的速度x(km/h)的关系能够用 y ＝ax 2 来描绘，已知这类型号的汽车在速度为60 km/h 时，紧迫刹车后滑行的距离为 b km.若一辆这类型号的汽车紧急刹车后滑行的距离为 3b km ，则这辆车的行驶速度为 ________km/h.[分析 ] 由题意得 a ×602＝，解得＝ b，所以＝ b x 2.因b a 3600 y 3600b为 y ＝3b ，所以3600x 2＝3b ，解得 x ＝－ 60 3(舍去 )或 x ＝60 3，所以这辆车的行驶速度是 60 3 km/h.[答案]60 38．某商铺每个月按出厂价每瓶 3 元购进一种饮料，依据从前的统计数据，若零售价定为每瓶 4 元，每个月可销售 400 瓶；若零售价每降低(高升 )0.5 元，则可多 (少)销售 40 瓶，在每个月的进货当月销售完的前提下，为获取最大收益，销售价应定为 ________元/瓶．[ 分析 ] 设销售价每瓶定为 x 元，收益为 y 元，则 y ＝ (x －3)400＋4－x×40 ＝80(x－3)(9－x)＝－ 80(x－6)2＋720(x≥3)，所以x 0.5＝6 时， y 获得最大值．[答案] 6三、解答题9．某种商品在近 30 天内每件的销售价钱 P(元)和时间 t(天)的函数关系为：t＋20，0<t<25，P＝－t＋100，25≤t≤30. (t∈N*)设该商品的日销售量Q(件)与时间t(天)的函数关系为Q＝40－t(0<t≤30，t∈N*)，求这类商品的日销售金额的最大值，并指出日销售金额最大是第几日？[ 解]设日销售金额为 y(元)，则 y＝PQ，－t2＋20t＋800，0<t<25，所以＝(t∈N* )y＋，≤≤t2－140t30.4000 25 t①当 0<t<25 且 t∈N*时， y＝－ (t－10)2＋900，所以当 t＝10 时， y max＝900(元)．②当 25≤t≤30 且 t∈N*时， y＝(t－70)2－900，所以当 t＝25 时， y max＝1125(元)．联合①②得 y max＝1125(元)．所以，这类商品日销售额的最大值为 1125 元，且在第 25 时节间销售金额达到最大．10．医院经过撒某种药物对病房进行消毒．已知开始撒放这类药物时，浓度激增，中间有一段时间，药物的浓度保持在一个理想状态，随后药物浓度开始降落．若撒放药物后 3 小时内的浓度变化可用下边的函数表示，此中x 表示时间 (单位：小时 )，f(x)表示药物的浓度：－x2＋4x＋40 0<x≤1 ，f(x)＝43 1<x≤2 ，－3x＋48 2<x≤3 .(1)撒放药物多少小时后，药物的浓度最高？能保持多长时间？(2)若需要药物浓度在41.75 以上消毒 1.5 小时，那么在撒放药物后，可否达到消毒要求？并简要说明原因．[ 解](1)当 0<x≤1 时，f(x)＝－ x2＋4x＋40＝－ (x－2)2＋44，∴f(x)在(0,1]上是增函数，其最大值为 f(1)＝43；f(x)在(2,3]上单一递减，故当 2<x≤3 时，f(x)<－3×2＋48＝42.所以，撒放药物 1 小时后，药物的浓度最高为43，并保持 1 小时．(2)当 0<x≤1 时，令 f(x)＝41.75，即－ (x－2)2＋44＝41.75，解得x＝3.5(舍去 )或 x＝0.5；当 2<x≤3 时，令 f(x)＝41.75，即－ 3x＋48＝41.75，解得 x≈2.08.所以药物浓度在41.75 以上的时间为 2.08－0.5＝1.58 小时，∴撒放药物后，能够达到消毒要求．综合运用11．制定从甲地到乙地通话m min 的电话费 f(m)＝1.06 ·(0.50[m]＋1)，此中 m>0，[m] 是大于或等于 m 的最小整数 (如[3] ＝3，[3.7] ＝4，[5.2] ＝6)，则从甲地到乙地通话时间为 5.5 min 的通话费为()A ．3.71B．3.97C．4.24D．4.77[分析] 5.5 min的通话费为f(5.5)＝1.06×(0.50×[5.5] ＋ 1)＝1.06×(0.50×6＋1)＝1.06×4＝4.24.[答案]C12．某商人购货，进价已按原价 a 扣去 25%，他希望对货物定一新价，以便按新价让利 20%销售后仍可获取售价 25%的收益，则此商人经营这类货物的件数x 与按新价让利总数y 之间的函数关系式是________．[ 分析 ]设新价为b，则售价为b(1－20%)．∵原价为 a，∴进价为 a(1－25%)．依题意，有b(1－20%)－a(1－25%)＝ b(1－×，化简得b ＝5a，∴y＝b×20%·x＝5a×20%·x，即 y＝a20%) 25%444 x(x∈N*)．[答案 ]ay＝ x(x∈N* )413．渔场中鱼群的最大养殖量为m(m>0)，为了保证鱼群的生长空间，实质养殖量x 小于 m，以便留出适合的安闲量．已知鱼群的年增添量 y 和实质养殖量与安闲率 (安闲率是安闲量与最大养殖量的比值)的乘积成正比，比率系数为k(k>0)．则 y 对于 x 的函数关系式为____________________．该函数的定义域是 ________．[分析 ]m－x依据题意知，安闲率是m，故 y 对于 x 的函数关系式m－x是 y＝kx·m，0<x<m.[答案 ]m－x{ x|0<x<m} y＝kx·m14．国庆时期，某旅行社组团去景色区旅行，若每团人数不超出30，旅客需付给旅行社飞机票每张 900 元；若每团人数多于 30，则赐予优惠：每多 1 人，机票每张减少 10 元，直抵达到规定人数 75 为止．旅行社需付给航空公司包机费每团15000 元．(1)写出飞机票的价钱y(单位：元 )对于人数 x(单位：人 )的函数关系式；(2)每团人数为多少时，旅行社可获取最大收益？900，0<x≤30，[ 解] (1)由题意，得 y＝900－10 x－30 ，30<x≤75，900，0<x≤30，即 y＝1200－10x，30<x≤75.(2)设旅行社赢利 S(x)元，则900x－15000，0<x≤30，S(x)＝x 1200－10x －15000，30<x≤75，900x－15000，0<x≤30，即 S(x)＝－10 x－60 2＋21000，30<x≤75.由于 S(x)＝900x－15000 在区间 (0,30]上为增函数，所以当 x＝30 时， S(x)取最大值 12000 元，又S(x)＝－10(x－60)2＋21000 在区间(30,75]上，当 x＝60 时， S(x)获得最大值 21000.故当每团人数为60 时，旅行社可获取最大收益．。

(2024版)充分条件与必要条件(练习及答案解析)-人教A版2024必修第一册高一数学教材配套练习

可编辑修改精选全文完整版1.4.1 充分条件与必要条件基础练巩固新知夯实基础1.(多选)下列语句是命题的是( ) A.3是15的约数 B.x 2+2x+1≥0C.4不小于2D.你准备考北京大学吗?2.“x>0”是“x ≠0”的( )A.充分条件B.必要条件C.既是充分条件又是必要条件D.既不是充分条件也不是必要条件3.“两个角是对顶角”是“这两个角相等”的( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．既是充分条件又是必要条件D ．既不充分也不必要条件4.使不等式－5x ＋3≥0成立的一个充分不必要条件是( ) A ．x <0 B ．x ≥0 C ．{3,5}D ．x ≤355.设p :-1≤x<2,q :x<a ,若q 是p 的必要条件,则a 的取值范围是( ) A.a ≤-1 B.a ≤-1或a ≥2 C.a ≥2D.-1≤a<26.“|x|<3”是“x<3”的条件.7.若“x>1”是“x>a ”的充分条件,则a 的取值范围是 . 8.试判断下列各题中,p 是q 的什么条件. (1)p :x -2=0,q :(x -2)(x -3)=0; (2)p :m<-3,q :方程x 2-x -m=0无实根; (3)p :a>b ,q :a>b+1.能力练综合应用核心素养9.一元二次方程ax2＋2x＋1＝0(a≠0)有一个正根和一个负根的充分不必要条件是()A．a<0 B．a>0 C．a<－1D．a<110.设x，y∈R，则“x≥2且y≥2”是“x2＋y2≥4”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．既是充分条件又是必要条件D．既不充分也不必要条件11.设x，y是两个实数，命题：“x，y中至少有一个数大于1”成立的充分不必要条件是()A．x＋y＝2 B．x＋y>2C．x2＋y2>2 D．xy>112.已知p是r的充分不必要条件，s是r的必要不充分条件，q是s的必要条件，那么p是q成立的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．既是充分条件又是必要条件D．既不充分也不必要条件13.不等式(a＋x)(1＋x)<0成立的一个充分而不必要条件是－2<x<－1，则a的取值范围是________．14.已知p:A={x|-1≤x≤5},q:B={x|-m<x<2m-1},若p是q的充分条件,则实数m的取值范围是.15.已知p：－2≤x≤10，q：x2－2x＋1－m2≤0(m>0)，若q是p的充分不必要条件，求实数m的取值范围．16.已知条件p：|x－1|>a和条件q：2x2－3x＋1>0，求使p是q的充分不必要条件的最小正整数a.【参考答案】1.ABC2.A 解析： “x>0”∈“x ≠0”,反之不一定成立.3.A 解析：对顶角必相等．4.A 解析：由－5x ＋3≥0，得{x |x ≤35}，选项A 中x 的范围为其真子集，选A.5.C 解析：因为q 是p 的必要条件,所以p ∈q ,在数轴上画出-1≤x<2,借助数轴可知a ≥2.6.充分解析：由|x|<3,解得-3<x<3,由-3<x<3∈x<3,但由x<3-3<x<3,故“|x|<3”是“x<3”的充分条件. 7.a ≤18.解：(1)因为x -2=0∈(x -2)(x -3)=0,而(x -2)(x -3)=0x -2=0,所以p 是q 的充分条件,不是必要条件.(2)因为x 2-x -m=0无实根时, Δ=(-1)2-4×(-m )=1+4m<0, 即m<-14,所以q :m<-14.所以p ∈q ,q p ,即p 是q 的充分条件,不是必要条件.(3)因为a>b+1∈a>b ,而a>b a>b+1,所以p 是q 的必要条件,不是充分条件. 9.C 解析∈一元二次方程ax 2＋2x ＋1＝0(a ≠0)有一正根和一负根．∈⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0，x 1x 2<0.即⎩⎪⎨⎪⎧4－4a >0，1a<0∈a <0，本题要求的是充分不必要条件．由于{a |a <－1}{a |a <0}，故答案为C.10.A 解析：x 2＋y 2≥4表示以原点为圆心，以2为半径的圆以及圆外的区域，即|x |≥2且|y |≥2，而x ≥2且y ≥2时，x 2＋y 2≥4，但x 2＋y 2≥4不一定推出x ≥2且y ≥2.故A 正确．11.B 解析：对于选项A ，当x ＝1，y ＝1时，满足x ＋y ＝2，但命题不成立；对于选项C 、D ，当x ＝－2，y ＝－3时，满足x 2＋y 2>2，xy >1，但命题不成立，也不符合题意．12.A 解析：本题主要考查连锁关系的充分性、必要性的判断，由题意知，p ⇒r ⇒s ⇒q ，故p ⇒q ，但q ⇒/ p ，故选A.13.a >2 解析：根据充分条件，必要条件与集合间的包含关系，应有(－2，－1) {x |(a ＋x )(1＋x )<0}，故有a >2.14.m >3 解析：因为p 是q 的充分条件,所以A ⊆B ,如图,则{-m <-1,2m -1>5,解得m>3. 综上,m 的取值范围为m>3.15.解 p ：－2≤x ≤10. q ：x 2－2x ＋1－m 2≤0∈[x －(1－m )][x －(1＋m )]≤0 (m >0)∈1－m ≤x ≤1＋m (m >0)．因为q 是p 的充分不必要条件，即{x |1－m ≤x ≤1＋m }{x |－2≤x ≤10}，故有⎩⎪⎨⎪⎧ 1－m ≥－21＋m <10或⎩⎪⎨⎪⎧1－m >－21＋m ≤10，解得m ≤3.又m >0，所以实数m 的取值范围为{m |0<m ≤3}．16.解依题意a >0.由条件p ：|x －1|>a 得x －1<－a ，或x －1>a ，∈x <1－a ，或x >1＋a .由条件q ：2x 2－3x ＋1>0，得x <12，或x >1. 要使p 是q 的充分不必要条件，即“若p ，则q ”为真命题，逆命题为假命题，应有⎩⎪⎨⎪⎧ 1－a ≤12，1＋a >1，或⎩⎪⎨⎪⎧1－a <12，1＋a ≥1，解得a ≥12.令a ＝1，则p ：x <0，或x >2，此时必有x <12，或x >1.即p ∈q ，反之不成立．∈a ＝1.。