2019年春七年级数学下册第4章因式分解4.3第2课时用完全平方公式分解因式练习新版浙教
第四章 因式分解复习
第一步：先看多项式各项有无公因式，
如有公因式则要先提取公因式； 第二步：再看有几项，
如两项，则考虑用平方差公式；
如三项，则考虑用完全平方公式；
第三步：最后看各因式能否再分解，
如能分解，应分解到不能再分解为止。
公式法
用平方差公式分解因式的关键：多项式是否
能看成两个数的平方的差；
2 2 (x+y-2) (x+y) -4(x+y)+4=____________.
(x-2)(3x+1) 3x(x-2)-(2-x)=__________
选一选：
1. 下列多项式能分解因式的是( A. x2-y B. x2+1
x2+y+y 2
D
)
C. D. x2-4x+4 2. 下列多项式中,能用提取公因式分解因式的是( 2+2x 2-y x x A. B. C.
2
）
5, c 2
B、b
5, c 2
5, c 2
D、b
5, c 2
练一练：
1、把下列多项式分解因式：
a(a-b) a2-ab=_________. 3ab(a+3b) 3a2b+9ab2=__________. (a-2)2 a2-4a+4=__________.
2
(x+2y)(x-2y) x2-4y2=__________.
( x 3) x2-2 3x+3=__________.
( a b) 14( a b) 49
2
[(a b) 7]
2
2、将下列各式分解因式： （1）18a2c-8b2c
2019年春七年级数学下册第4章因式分解4.3第1课时用平方差公式分解因式练习新版浙教版
4.3 用乘法公式分解因式第1课时用平方差公式分解因式知识点1平方差公式分解因式把乘法公式(a＋b)(a－b)＝a2－b2反过来，得a2－b2＝(a＋b)(a－b)．两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积．我们可以运用这个公式对某些多项式进行分解因式，这种方法叫运用平方差公式法．1．把下列多项式分解因式：(1)x2－36；(2)36－25y2；(3)(x＋p)2－(x＋q)2.一提公因式与平方差公式综合运用把下列各式分解因式：(1)18a2－8b2；(2)a5－81ab4.[归纳总结] (1)用平方差公式分解因式的条件：①二次(能写成平方的形式)；②异号．(2)对于多项式中的两部分不是很明显的平方形式，应先变形为平方形式，再运用公式进行因式分解，以免出现16a2－9b2＝(16a＋9b)·(16a－9b)的错误．(3)还要注意不要出现分解后又乘开的现象．(4)因式分解应遵循：一提二公式．同时因式分解需彻底．二尝试用平方差公式进行简便运算教材作业题第3题变式题用简便方法计算：(1)3142－2142；(2)3.14×752－3.14×252.探究三平方差公式分解因式的应用教材补充题如图4－3－1所示，在半径为R的大圆内部挖去四个半径为r的小圆．(1)用含R，r的式子表示剩余部分的面积S；(2)当R＝35 cm，r＝12.5 cm时，应用分解因式的知识计算剩余部分的面积(结果保留π)．图4－3－1[反思] 判断下列分解因式的过程是否正确，若不正确，请改正．①4a2－1＝(4a－1)(4a＋1)；②(x－y)2－4x2＝x2－2xy＋y2－4x2＝－3x2－2xy＋y2.1．下列各式中，不能用平方差公式分解因式的是( )A．－m4－n4B．－16x2＋y2C．1.21－a2D．9a2－64b22．将整式9－x2分解因式的结果是( )A．(3－x)2B．(3＋x)(3－x)C．(9－x)2D．(9＋x)(9－x)3．将多项式x3－xy2分解因式，结果正确的是( )A．x(x2－y2) B．x(x－y)2C．x(x＋y)2D．x(x＋y)(x－y)4．已知－(2a－b)(2a＋b)是下列一个多项式分解因式的结果，则这个多项式是( )A．4a2－b2B．4a2＋b2C．－4a2－b2D．－4a2＋b25．观察下面4个分解因式的过程：(1)(x－3)2－y2＝x2－6x＋9－y2；(2)a2－4b2＝(a＋4b)(a－4b)；(3)4x6－1＝(2x3＋1)(2x3－1)；(4)m4n2－9＝(m2n＋3)(m2n－3)；(5)－a2－b2＝(－a＋b)(－a－b)．其中正确的有( )A．1个B．2个C．3个D．4个6．某同学粗心大意，在分解因式时，把等式x4－■＝(x2＋4)(x＋2)(x－▲)中的两个数字弄污了，则式子中的■，▲对应的一组数字可以是( )A．8，1 B．16，2C．24，3 D．64，8二、填空题7．xx·嘉兴、舟山分解因式：a2－9＝__________．8．xx·长沙分解因式：x2y－4y＝________．9．xx·荆门分解因式：(m＋1)(m－9)＋8m＝________．10．xx·株洲因式分解：x2(x－2)－16(x－2)＝____________________．11．已知58－1能被20～30之间的两个整数整除，则这两个整数是________．三、解答题12．分解因式：(1)a3－16a；(2)16(a＋b)2－9(a－b)2；(3)m4(m－2)＋16(2－m)．13.用简便方法计算：(1)6.42－3.62；(2)1.42×16－2.22×4.14．设n是整数，用因式分解的方法说明：(2n＋1)2－25能被4整除．n(m>2n)的小正方形．(1)用含m，n的式子表示剩余部分的面积S；(2)当m＝13.2厘米，n＝3.4厘米时，利用分解因式计算剩余部分的面积．图4－3－2详解详析【预习效果检测】1．解：(1)x2－36＝x2－62＝(x＋6)(x－6)．(2)36－25y2＝62－(5y)2＝(6＋5y)(6－5y)．(3)(x＋p)2－(x＋q)2＝[(x＋p)＋(x＋q)][(x＋p)－(x＋q)]＝(2x＋p＋q)(p－q)．【重难互动探究】例1[解析] 分解因式时，要先观察多项式，有公因式的要先提取公因式再考虑是否符合公式．解：(1)18a2－8b2＝2(9a2－4b2)＝2(3a＋2b)(3a－2b)．(2)a5－81ab4＝a(a4－81b4)＝a(a2＋9b2)(a2－9b2)＝a(a2＋9b2)(a＋3b)(a－3b)．例2解：(1)原式＝(314＋214)×(314－214)＝52800.(2)原式＝3.14×(752－252)＝3.14×(75＋25)×(75－25)＝15700.例3[解析] 剩余部分的面积为大圆面积减去四个小圆的面积．解：(1)剩余部分的面积为S＝πR2－4πr2＝π(R2－4r2)＝π(R＋2r)(R－2r)．(2)当R＝35 cm，r＝12.5 cm时，S＝π(R＋2r)(R－2r)＝π(35＋2×12.5)×(35－2×12.5)＝π·60×10＝600π(cm2)．【课堂总结反思】[反思] 两个均不正确．改正：①4a2－1＝(2a)2－12＝(2a－1)(2a＋1)．②(x－y)2－4x2＝(x－y)2－(2x)2＝(x－y－2x)·(x－y＋2x)＝－(x＋y)(3x－y)．【作业高效训练】[课堂达标]1．A 2.B3．[解析] D x3－xy2＝x(x2－y2)＝x(x＋y)(x－y)．4．D 5.B 6.B7．[答案] (a＋3)(a－3)8．[答案] y(x＋2)(x－2)9．[答案] (m－3)(m＋3)10．[答案] (x－2)(x－4)(x＋4)11．[答案] 26，24[解析] 58－1＝(54＋1)(52＋1)(52－1)，因为52＋1＝26，52－1＝24，所以这两个数是26，24. 12．解：(1)原式＝a(a＋4)(a－4)．(2)原式＝(7a＋b)(a＋7b)．(3)原式＝m4(m－2)－16(m－2)＝(m－2)(m4－16)＝(m－2)(m2＋4)(m2－4)＝(m－2)(m2＋4)(m＋2)(m－2)＝(m－2)2(m＋2)(m2＋4)．13．[解析] 利用平方差公式简化计算过程．解：(1)6.42－3.62＝(6.4＋3.6)(6.4－3.6)＝10×2.8＝28.(2)1.42×16－2.22×4＝(1.4×4)2－(2.2×2)2＝5.62－4.42＝(5.6＋4.4)(5.6－4.4)＝10×1.2＝12.14．解：原式＝(2n＋1)2－52＝(2n＋1＋5)(2n＋1－5)＝(2n＋6)(2n－4)＝4(n＋3)(n－2)，即(2n＋1)2－25能被4整除．[数学活动][解析] 剩余部分的面积为大正方形的面积减去四个小正方形的面积．解：(1)S＝m2－4n2＝(m＋2n)(m－2n)．(2)当m＝13.2厘米，n＝3.4厘米时，S＝(m＋2n)(m－2n)＝(13.2＋3.4×2)(13.2－3.4×2)＝20×6.4＝128(厘米2)．所以剩余部分的面积为128平方厘米．。
2019年精选数学七年级下册第四章 因式分解4.2 提取公因式浙教版习题精选【含答案解析】五十
D、x^3-8=（x-2）（x^2+2x+4）
【答案】：
【解析】：
分解因式8m^2n+2mn^2时，提出的公因式是______．
A、2mn
【答案】：
【解析】：
分解因式：有误______．
【答案】：
【解析】：
①6m^2n与2mn^2的公因式是______；
2019年精选数学七年级下册第四章因式分解4.2提取公因式浙教版习题精选【含答案解析】五十
若多项式x^2+2ax+4能用完全平方公式进行因式分解，则a值为( )
A、2
B、﹣2
C、±2
D、±4
【答案】：
【解析】：
不改变代数式a-（b-3c）的值，把代数式括号前的“－”号变成“＋”号，结果应是( )
②2a（m﹣n）与36（n﹣m）的公因式是___答案】：
【解析】：
因式分解：2a^2﹣4a=______
【答案】：
【解析】：
把多项式﹣16x^3+40x^2y提出一个公因式﹣8x^2后，另一个因式是______．
A、2x﹣5y
【答案】：
【解析】：
多项式24m^2n^2+18n各项的公因式是______．
A、a+（b-3c）
B、a+（-b-3c）
C、a+（b+3c）
D、a+（-b+3c）
【答案】：
【解析】：
多项式3x+x^3的公因式是( )
A、3
B、x
C、3x
D、x^3
【答案】：
苏科版数学七年级下册《用完全平方公式因式分解》说课稿
苏科版数学七年级下册《用完全平方公式因式分解》说课稿一. 教材分析《苏科版数学七年级下册》中的《用完全平方公式因式分解》一节，是在学生已经掌握了有理数的乘方、平方差公式和完全平方公式的知识基础上进行讲解的。
本节内容主要让学生掌握利用完全平方公式进行因式分解的方法，培养学生解决实际问题的能力。
教材通过例题和练习题的安排，使学生能够逐步理解和掌握完全平方公式因式分解的应用。
二. 学情分析面对七年级的学生，他们在数学学习方面已经有了一定的基础，对于平方差公式和完全平方公式已经有了一定的了解。
但是，学生在运用完全平方公式进行因式分解时，可能会出现对公式记忆不牢、理解不透彻、应用不熟练的问题。
因此，在教学过程中，我需要关注学生的学习需求，针对性地进行教学，帮助学生巩固知识，提高解题能力。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：使学生掌握完全平方公式，并能运用完全平方公式进行因式分解。
2.过程与方法目标：通过合作交流、探索发现，培养学生运用完全平方公式解决实际问题的能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的自主学习能力。
四. 说教学重难点1.教学重点：完全平方公式的记忆和应用。
2.教学难点：如何引导学生发现完全平方公式的内涵，以及如何灵活运用完全平方公式解决实际问题。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、合作交流法、探究发现法等，引导学生主动参与学习，提高学生的学习效果。
2.教学手段：利用多媒体课件、黑板等教学工具，直观展示教学内容，帮助学生理解和记忆。
六. 说教学过程1.导入新课：通过复习平方差公式，引出完全平方公式，激发学生的学习兴趣。
2.讲解新课：讲解完全平方公式的推导过程，让学生理解并记忆完全平方公式。
3.例题讲解：通过典型例题，讲解如何利用完全平方公式进行因式分解，引导学生掌握解题方法。
4.练习巩固：安排练习题，让学生运用完全平方公式进行因式分解，巩固所学知识。
5.拓展提高：引导学生发现完全平方公式的内涵，探讨如何灵活运用完全平方公式解决实际问题。
用完全平方公式因式分解教案
用完全平方公式因式分解教案一、教学目标1、学生能正确理解并使用完全平方公式因式分解原理；2、能熟练掌握并使用完全平方公式因式分解；3、能够正确使用完全平方公式因式分解解决实际问题。
二、教学重点1、教育学生正确理解并使用完全平方公式因式分解原理；2、让学生熟练掌握并使用完全平方公式因式分解；3、让学生能够正确使用完全平方公式因式分解解决实际问题。
三、教学内容1、完全平方公式因式分解的概念：完全平方公式因式分解是指把已知的式子按照公式的形式进行因式分解，它将一个多项式分解成多个完全平方式，可以利用此方法减少复杂的运算，求出更简单的表达式，便于解题。
2、完全平方公式因式分解的原理：完全平方公式因式分解的原理是把一个多项式按完全平方的方式分解，因为是平方的变化，所以可以得到输出的式子乘积比输入的式子中的幂次（未分解之前的）总数要少，因而也能得到不那么复杂的结果，更便于进行解答。
3、完全平方公式因式分解的步骤：（1）将多项式分开化简；（2）查看乘积中对称的字母数量；（3）如果有两个就可以分解出平方根；（4）如果只有一个就可以把它们包装成一个平方；（5）将结果拆分成平方根；（6）最后将项按照完全平方的左右结构组合，即完成完全平方公式因式分解。
四、教学方法主要采用讲授法、示范法、讨论法等，使学生运用完全平方公式因式分解解决实际问题，即“先上一道习题，把学生教会讲解，通过几道练习让学生自己解决，通过交流方式归纳总结，使得学生由解答变为分析，从而更好的掌握完全平方公式因式分解的知识。
五、教学设计（1）课前准备：准备若干相关的实际问题供学生讨论解答；（2）课前检测：通过一些随机出的习题，检测学生对完全平方公式因式分解的现有知识水平；（3）概念讲解：讲解完全平方公式因式分解的定义、特征及原理；（4）实例讲解：以实例分析演示完全平方公式因式分解的步骤和思想；（5）讨论练习：准备一些重难点习题，学生分组分析，练习完全平方公式因式分解；（6）总结归纳：学生就讨论的情况发表自己的看法，总结归纳完全平方公式因式分解的方法。
2019-2020年七年级数学下册第4章因式分解4.3用乘法公式分解因式第1课时校本作业A本新版浙教版
2019-2020年七年级数学下册第4章因式分解4.3用乘法公式分解因式第1课时校本作业A本新版浙教版课堂笔记两个数的平方差，等于这两个数的与这两个数的的积. 即a2-b2=（a+b）（a-b）.分层训练A组基础训练1. 下列各式能用平方差公式分解因式的是（）A. 2x2+y2B. -x2+y2C. -x2-y2D. x3+（-y）22. 把多项式-4n2+m2分解因式，其结果正确的是（）A. （m+2n）（m-2n）B. （m+2n）2C. （m-2n）2D. （2n+m）（2n-m）3. 下列因式分解中，正确的有（）①4x2-1=（4x+1）（4x-1）②m2-n2=（m+n）（m-n）③-16+9x2=（4+3x）（-4+3x）④a2+（-b）2=（a+b）（a-b）A. ①②B. ②③C. ③④D. ①④4. 在一个边长为12.75cm的正方形内挖去一个边长为7.25cm的正方形，则剩下部分的面积是（）A． 11cm2 B． 20cm2 C． 110cm2 D． 200cm25. （金华中考）把代数式2x2-18分解因式，结果正确的是（）A. 2（x2-9）B. 2（x-3）2C. 2（x+3）（x-3）D. 2（x+9）（x-9）6. 下列各式不是多项式x3-x的因式的是（）A. xB. 3x-1C. x-1D. x+17．小敏是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：a－b，x－y，x＋y，a＋b，x2－y2，a2－b2分别对应下列六个字：乡、爱、我、家、游、美，现将（x2－y2）a2－（x2－y2）b2因式分解，结果呈现的密码信息可能是（）A. 我爱美B. 家乡游C. 爱我家乡D. 美我家乡8．小华在抄因式分解的题目时，不小心漏抄了x的指数，他只知道该数为不大于10的正整数，且能利用平方差公式分解因式，他抄到作业本上的式子是x□-4y2（□表示漏抄的指数），则这个指数可能的结果共有（）A． 2种 B． 3种 C． 4种 D． 5种9. 填空：（1）36x2y2-49a2=（）2-（）2；（2）-4n2+m2=（）2-（）2；（3）m4- =（m2+5）（m2- ）.10．（杭州中考）若整式x2+ky2（k为不等于零的常数）能在有理数范围内因式分解，则k 的值可以是（写出一个即可）.11．已知x+y=2，则x2-y2+4y= ．12. 分解因式：9x2（a-b）+y2（b-a）= .13. 把下列各式分解因式：（1）1-16x2；（2）-n2+0.81m2；（3）x2-64y2；（4）（a+b）2-4；（5）4m2-（m+n）2.（6）a4-b4；（7）x3y2-x3；（8）25（m+n）2-81（m-n）2.14. 用简便方法计算：（1）552-452；（2）99×100；（3）已知a+2b=5，a-2b=3，求5a2-20b2的值.B组自主提高15. 两个偶数的平方差，一定是（）A. 2B. 4C. 8D. 4的倍数16. 如图，某筑路工程队需要一种空心混凝土管道，它的规格是：内径d=120cm，外径D=150cm，长L=200cm. 利用分解因式计算：浇筑一节这样的管道需要多少立方米的混凝土（π取3.14，结果精确到0.1m3）.17. 阅读题：我们在计算（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1）时，发现直接运算很麻烦，如果在算式前乘以（2-1）即1，原式的值不变，而且还使整个算式能运用平方差公式计算，解答过程如下：原式=（2-1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1）=（22-1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1）=（24-1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1）=…=264-1.你能用上述方法算出下列式子的值吗？请试试看.（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）（316+1）.C组综合运用18．如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“和谐数”．如4=22-02，12=42-22，20=62-42，因此4，12，20这三个数都是和谐数．（1）36和xx这两个数是和谐数吗？为什么？（2）设两个连续偶数为2k+2和2k（其中k取非负整数），由这两个连续偶数构造的和谐数是4的倍数吗？为什么？（3）介于1到200之间的所有“和谐数”之和为．参考答案4.3 用乘法公式分解因式（第1课时）【课堂笔记】和差【分层训练】1—6. BABCC 6. B7. C 【点拨】原式＝（x2－y2）（a2－b2）＝（x＋y）（x－y）（a＋b）（a－b）．∵x＋y，x －y，a＋b，a－b四个代数式分别对应我、爱、家、乡，∴结果呈现的密码信息可能是“爱我家乡”．8. D9. （1）6xy 7a （2）m 2n （3）25 510. 答案不唯一，如-1，-4等11. 412. （a-b）（3x+y）（3x-y）13. （1）（1+4x）（1-4x）（2）（0.9m+n）（0.9m-n）（3）（x+8y）（x-8y）（4）（a+b+2）（a+b-2）（5）（3m+n）（m-n）（6）（a-b）（a+b）（a2+b2）（7）x3（y+1）（y-1）（8）4（7m-2n）（7n-2m）14. （1）1000 （2）9999 （3）7515. D16. 所需混凝土为[π（）2-π（）2]L=πL（-）（+）≈3.14×200（75-60）（75+60）=1271700（cm3）=1.2717（m3）≈1.3（m3）. 所以浇筑一节这样的管道需要1.3立方米的混凝土. 【点拨】混凝土的立方数即为图中阴影部分的体积，亦即大圆柱体与小圆柱体的体积差. 17. 原式=（3-1）（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）（316+1）=（32-1）（32+1）（34+1）（38+1）（316+1）=…=×（332-1）=.18. （1）36是“和谐数”，xx不是“和谐数”．理由如下：36=102-82，xx=1008×2；（2）∵两个连续偶数为2k+2和2k（k为自然数），∵（2k+2）2-（2k）2=（2k+2+2k）（2k+2-2k）=（4k+2）×2=4（2k+1），∵4（2k+1）能被4整除，∴“和谐数”一定是4的倍数；（3）介于1到200之间的所有“和谐数”之和，S=（22-02）+（42-22）+（62-42）+…+（502-482）=502=2500. 故答案：2500．2019-2020年七年级数学下册第4章因式分解4.3用乘法公式分解因式第2课时校本作业B本新版浙教版课堂笔记两数的平方和，加上（或者减去）这两数的积的倍，等于这两数和（或者差）的平方. 即a2+2ab+b2=（a+b）2； a2-2ab+b2=（a-b）2.注意：一般地，利用公式a2-b2=（a-b）（a+b），或a2±2ab+b2=（a±b）2把一个多项式分解因式的方法，叫做公式法. 公式中的a，b可以是数，也可以是整式.分层训练A组基础训练1. 下列各式是完全平方式的是（）A. x2-x+1B. 4x2+4xy+1C. x2+xy+y2D. x2-4xz+z22. （长春中考）把多项式x2-6x+9分解因式，结果正确的是（）A．（x-3）2 B．（x-9）2C．（x+3）（x-3） D. （x+9）（x-9）3. 若等式x2-x+k=（x-）2成立，则k的值是（）A. B. - C. D. ±4. 把代数式ax2-4ax+4a分解因式，下列结果中正确的是（）A. a（x-2）2B. a（x+2）2C. a（x-4）2D. a（x+2）（x-2）5. 如果A（5a+2b）=25a2+20ab+4b2，则A等于（）A. 5a+2bB. 5a-2bC. 5a+2ab+2bD. a2-2b26. 已知正方形的面积是（16-8x+x2）cm2（x>4），则正方形的周长是（）A．（4-x）cm B．（x-4）cm C．（16-4x）cm D．（4x-16）cm7. 下列多项式中，①x2+2xy+4y2；②a2-2a+3；③x2-xy+y2；④m2-（-n）2可以进行因式分解的个数有（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个8. 分解因式，若5a2+ma+=5（a-）2，则m的值是（）A. -2B. 2C.D. -9. 在括号内填入适当的数或单项式.（1）9a2-（）+b2=（ -b）2；（2）x4+4x2+（）=（）2；（3）p2-3p+（）=（p- ）2；（4）（a-b）2-2（a-b）+1=（ -1）2.10. 多项式a3c-4a2bc+4ab2c因式分解的结果是 .11. 若x=156，y=144，则多项式x2+xy+y2= .12．填空：（1）分解因式：x2－4x＋4＝．（2）4x2＋9y2＝（）2.（3）若4x2＋mx＋25是一个完全平方式，则实数m＝．（4）分解因式：x3＋2x2＋x＝．（5）分解因式：a2－2ab＋b2－1= ．13. 多项式9x2+1加上一个单项式后，使它能成为一个多项式的完全平方，那么加上的单项式可以是（填上一个你认为正确的即可）.14. 把下列各式分解因式：（1）x2+8x+16；（2）-4x2+12xy-9y2；（3）m2+mn+n2；（4）a3+2a2+a；（5）（a+b）2-18（a+b）+81；（6）（x2+2x）2+2（x2+2x）+1.15. 利用因式分解计算下列各式：（1）872+87×26+132；（2）xx2-4034×xx+xx2.B组自主提高16．把下列各式分解因式：（1）3x2－12xy＋12y2；（2）a2－ab＋b2；（3）－2x3＋24x2－72x；（4）9（p－q）2－6p＋6q＋1；（5）（x2－7）2－4（x2－7）＋4.17. （1）已知b-a=-3，ab=-2，求-a3b+a2b2-ab3的值. （2）已知x2+y2-2x+6y+10=0，求x+y的值.C组综合运用18.问题背景：对于形如x2-120x+3600这样的二次三项式，可以直接用完全平方公式将它分解成（x-60）2，对于二次三项式x2-120x+3456，就不能直接用完全平方公式分解因式了．此时常采用将x2-120x加上一项602，使它与x2-120x的和成为一个完全平方式，再减去602，整个式子的值不变，于是有：x2-120x+3456=x2-2×60x+602-602+3456=（x-60）2-144=（x-60）2-122=（x-60+12）（x-60-12）=（x-48）（x-72）.问题解决：（1）请你按照上面的方法分解因式：x2-140x+4756；（2）已知一个长方形的面积为a2+8ab+12b2，长为a+2b，求这个长方形的宽．参考答案4.3 用乘法公式分解因式（第2课时）【课堂笔记】2【分层训练】1—5. CACAA 6—8. DBA9. （1）6ab 3a （2）4 x2+2 （3）（4）a-b10. ac（a-2b）211. 4500012. （1）（x－2）2（2）±12xy 2x±3y （3）±20（4）x（x＋1）2 （5）（a－b＋1）（a－b－1）13. 6x或-6x或x414. （1）（x+4）2（2）-（2x-3y）2 （3）（m+n）2（4）a（a+1）2（5）（a+b-9）2（6）（x+1）415. （1）10000 （2）116. （1）原式＝3（x2－4xy＋4y2）＝3（x－2y）2（2）原式＝a2－2·a·b＋（b）2＝（a－b）2（3）原式＝－2x（x2－12x＋36）＝－2x（x－6）2（4）原式＝9（p－q）2－6（p－q）＋1＝[3（p－q）－1]2＝（3p－3q－1）2（5）原式＝（x2－7－2）2＝（x2－9）2＝[（x＋3）（x－3）]2＝（x＋3）2（x－3）217. （1）-a3b+a2b2-ab3=-ab（a2-2ab+b2）=-ab（a-b）2=9（2）由题意，得（x2-2x+1）+（y2+6y+9）=0，（x-1）2+（y+3）2=0. ∵（x-1）2与（y+3）2的值都是非负数，∴（x-1）2=0且（y+3）2=0，∴x=1，y=-3，∴x+y=-2.18. （1）x2-140x+4756=x2-2×70x+702-702+4756=（x-70）2-144=（x-70）2-122=（x-70+12）（x-70-12）=（x-58）（x-82）（2）∵a2+8ab+12b2=a2+2×a×4b+（4b）2-（4b）2+12b2=（a+4b）2-4b2=（a+4b+2b）（a+4b-2b）=（a+2b）（a+6b），∴长为a+2b时这个长方形的宽为a+6b.。
因式分解(第2课时)-2022-2023学年七年级数学下册教材配套教学课件(沪科版)
几个非负数的和为 0，则这几个非负 数都为0.
∴x2y2＋2xy＋1＝(xy＋1)2
＝112＝121.
方法总结：此类问题一般情况是通过配方将原 式转化为非负数的和的形式，然后利用非负数 性质解答问题．
ห้องสมุดไป่ตู้ 当堂练习
1.下列多项式中能用平方差公式分解因式的是( D )
A．a2＋(－b)2 B．5m2－20mn
C．－x2－y2
D．－x2＋9
2.分解因式(2x+3)2 -x2的结果是（ D ）
A．3(x2+4x+3)
B．3(x2+2x+3)
C．(3x+3)(x+3) D．3(x+1)(x+3)
3.若a+b=3，a-b=7，则b2-a2的值为（ A ）
A．-21 B．21 C．-10 D．10
4.把下列各式分解因式： (1) 16a2-9b2=__(_4_a_+_3_b_)_(4_a_-_3_b_)___; (2) (a+b)2-(a-b)2=_____4_a_b__________; (3) -a4+16=__(_4_+_a_2_)(_2_+_a_)_(_2_-a_)__.
沪科版七年级下册配套课件
第8章 整式乘法与因式分解
第4节 因式分解 第2课时 公式法与分组分解法
学习目标
1.探索并运用平方差公式和完全平方公式进行因式分 解，体会转化思想．（重点）
2.能会综合运用平方差公式和完全平方公式对多项式 进行因式分解．（难点）
导入新课
情境引入
如图，在边长为a米的正方形上剪掉一个边长为b米的小
完全平方式: a 2 2ab b2
【新浙教版】七年级数学下册第四章因式分解4.3《用乘法公式分解因式二》练习(含答案)
4.3 用乘法公式分解因式(二)A 组1．填空：(1)分解因式：x 2－4x ＋4＝(x －2)2．(2)分解因式：4a 2－4a ＋1＝(2a －1)2．(3)若4x 2＋mx ＋25是一个完全平方式，则实数m ＝±20．(4)分解因式：2x 2－4x ＋2＝2(x －1)2．(5)分解因式：x 3＋2x 2＋x ＝x(x ＋1)2．2．下列多项式中，不能用完全平方公式分解因式的是(C )A. m ＋1＋m 24B. －x 2＋2xy －y 2C. －a 2＋14ab ＋49b 2D. n 29－23n ＋1 3．把多项式x 2－6x ＋9分解因式，结果正确的是(A )A. (x －3)2B. (x －9)2C. (x ＋3)(x －3)D. (x ＋9)(x －9)4．分解因式：(1)x 2－x ＋14. 【解】原式＝x 2－2·x ·12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122 ＝⎝⎛⎭⎪⎫x －122. (2)a 2－12ab ＋116b 2.【解】原式＝a 2－2·a ·14b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫14b 2 ＝⎝⎛⎭⎪⎫a －14b 2. (3)9m 2－6mn ＋n 2.【解】原式＝(3m )2－2·(3m )·n ＋n 2＝(3m －n )2.5．把下列各式分解因式：(1)3x 2－12xy ＋12y 2.【解】原式＝3(x 2－4xy ＋4y 2)＝3(x －2y )2.(2)－2x 3＋24x 2－72x .【解】原式＝－2x (x 2－12x ＋36)＝－2x (x －6)2.(3)(a ＋b )2－12(a ＋b )－36.【解】原式＝[(a ＋b )－6]2＝(a ＋b －6)2.(4)2m 2＋2m ＋12. 【解】原式＝2⎝⎛⎭⎪⎫m 2＋m ＋14 ＝2⎝⎛⎭⎪⎫m ＋122. 6．用简便方法计算：(1)9992＋2×999＋1.【解】原式＝9992＋2×999×1＋12＝(999＋1)2＝10002＝1000000.(2)552－110×45＋452.【解】原式＝552－2×55×45＋452＝(55－45)2＝102＝100.B组7．若(x2＋y2)(x2＋y2－2)＝8，则x2＋y2的值为__4__．【解】∵(x2＋y2)(x2＋y2－2)＝8，∴(x2＋y2)2－2(x2＋y2)＝8，(x2＋y2)2－2(x2＋y2)＋1＝9，∴(x2＋y2－1)2＝9，∴x2＋y2－1＝3或x2＋y2－1＝－3，∴x2＋y2＝4或x2＋y2＝－2.∵x2＋y2≥0，∴x2＋y2＝4.8．分解因式：(1)(a2＋1)2－4a2.【解】原式＝(a2＋1＋2a)(a2＋1－2a)＝(a＋1)2(a－1)2.(2)81＋x4－18x2.【解】原式＝x4－18x2＋81＝(x 2)2－2·x 2·9＋92＝(x 2－9)2＝[(x ＋3)(x －3)]2＝(x ＋3)2(x －3)2.9．(1)已知x 2＋4x ＋y 2＋2y ＋5＝0，求x y 的值．【解】x 2＋4x ＋y 2＋2y ＋5＝0，x 2＋4x ＋4＋y 2＋2y ＋1＝0，(x ＋2)2＋(y ＋1)2＝0，∴x ＋2＝0且y ＋1＝0，∴x ＝－2，y ＝－1，∴x y ＝(－2)－1＝－12. (2)已知a ＋b ＝3，ab ＝2，求代数式a 3b ＋2a 2b 2＋ab 3的值．【解】a 3b ＋2a 2b 2＋ab 3＝ab (a 2＋2ab ＋b 2)＝ab (a ＋b )2＝2×32＝18.10．阅读材料，并回答问题：分解因式：x 2－120x ＋3456.分析：由于常数项数值较大，可以把x 2－120x ＋3456变为平方差的形式进行分解，这样就简便易行．解：x 2－120x ＋3456＝x 2－2×60x ＋3600－3600＋3456＝(x －60)2－144＝(x－60)2－122＝(x－60＋12)(x－60－12)＝(x－48)(x－72)．请按照上面方法分解因式：x2－16x－561.【解】x2－16x－561＝x2－16x＋64－64－561＝(x－8)2－625＝(x－8)2－252＝(x－8＋25)(x－8－25)＝(x＋17)(x－33)．11．已知(a＋2b)2－2a－4b＋1＝0，求(a＋2b)2018的值．【解】∵(a＋2b)2－2a－4b＋1＝0，∴(a＋2b)2－2(a＋2b)＋1＝0，∴(a＋2b－1)2＝0，∴a＋2b－1＝0，∴a＋2b＝1，∴(a＋2b)2018＝12018＝1.数学乐园12．阅读材料，并回答问题：分解因式：x4＋4.分析：这个二项式既无公因式可提，也不能直接利用乘法公式，怎么办呢？19世纪的法国数学家苏菲·热门抓住了该式只有两项，且都是数或式的平方和的形式的特点，添加了一项4x2组成完全平方公式，然后将4x2减去，即可得x4＋4＝x4＋4x2＋4－4x2＝(x2＋2)2－(2x)2＝(x2＋2x＋2)·(x2－2x＋2)．人们为了纪念苏菲·热门给出的这一解法，就把它叫做“热门定理”．请你依照苏菲·热门的做法，将下面各式分解因式：(1)x4＋4y4. (2)x2－2ax－b2－2ab.【解】(1)x4＋4y4＝x4＋4x2y2＋4y4－4x2y2＝(x2＋2y2)2－(2xy)2＝(x2＋2y2＋2xy)(x2＋2y2－2xy)．(2)x2－2ax－b2－2ab＝x2－2ax＋a2－a2－2ab－b2＝(x－a)2－(a＋b)2＝[(x－a)＋(a＋b)][(x－a)－(a＋b)]＝(x＋b)(x－2a－b)．。
北师大版八年级数学下册第四章因式分解4.3完全平方公式(教案)
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了完全平方公式的推导、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对完全平方公式的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在解决数学问题时灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
北师大版八年级数学下册第四章因式分解4.3完全平方公式（教案）
一、教学内容
北师大版八年级数学下册第四章因式分解4.3节，主要围绕完全平方公式展开教学。本节课内容如下：
1.探索完全平方公式的推导过程，掌握完全平方公式：（a±b）^2 = a^2 ± 2ab + b^2。
2.学会运用完全平方公式分解因式，解决实际问题。
其次，对于完全平方公式的应用，我发现学生们在解决具体问题时，有时会忽略符号的判断。在讲解过程中，我特别强调了“同号得正，异号得负”的规律，并通过大量练习帮助学生加深记忆。但在实际操作中，仍有个别学生会出现错误。为此，我考虑在今后的教学中，增加一些关于符号判断的专项训练，以提高学生们的准确率。
此外，在学生小组讨论环节，我发现学生们能够积极参与，主动提出自己的观点和想法。但在讨论过程中，部分学生可能会偏离主题，讨论一些与完全平方公式无关的内容。为了提高讨论效率，我计划在今后的教学中，明确讨论主题，并在讨论过程中适时引导，确保学生们围绕主题展开讨论。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调完全平方公式的推导和运用这两个重点。对于难点部分，如符号判断，我会通过举例和比较来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与完全平方公式相关的实际问题。
湘教版七年级下册数学第2课时 用完全平方公式因式分解
x2-10x+25 x2+2x+4
2 y 1+ y + 4 4x2-12xy+9y2
(x-5)2
不适用
a表示x,b表示5
不适用
2 y 1+ 2
y a表示1,b表示 2
a表示2x,b表示3y
(2x-3y)2
2、下列各式是不是完全平方式？ 1 2 2 （3）4a +2ab+ 4 b 是 （1）a2-4a+4 是 （2）x2+4x+4y2 不是
分解因式的步骤：一提二套
即：(1)优先考虑提取公因式法
(2)其次看是否能用公式法 （如平方差公式，完全平方公式）
分解因式的要求：
1、提公因式时不要漏项，掌握公因式的结构， 全部提出来. 2、套用公式时，根据公式特征选择.
3、务必检查是否分解彻底了，结果写成最简形式.
谢谢！
1 2 ( 4 ) m - 3mn + 9n 2 4 1
( 2 m-3n)2
(5) a4+2a2b+b2 (a2+b)2
(6)
4a 12ab 9b
2
2
(2a+3b)2
(7) -x2-4y2＋4xy
-(x-2y)2
(8)
49a b 14ab
2 2
(7a+b)2
中考零距离
1.已知 4x2+kxy+9y2 是一个完全平式，则k= ±12 2.因式分解 x - 2 x y + xy =
先提公因式 分解要彻底
新课标教学网（）--海量教学资源欢迎下载！
你能将多项式a2+2ab+b2 与a2－2ab+b2分解因 式吗？这两个多项式有什么特点？ 从项数看：都是有 3 项 从每一项看：都有两项可化为两个数(或整式)的平方, 另一项为这两个数(或整式)的乘积的2倍. 从符号看：平方项符号相同
2019年春七年级数学下册第4章因式分解4-2提取公因式法练习新版浙教版
第4章因式分解4．2提取公因式法知识点1多项式的公因式一般地，一个多项式中每一项都含有的相同的因式，叫做这个多项式各项的公因式．1．多项式－6m3n－3m2n2＋12m2n3的公因式为()A．3mn B．－3m2nC．3mn2D．－3m2n2知识点2提取公因式法分解因式如果一个多项式的各项含有公因式，那么可把该公因式提取出来进行因式分解．这种分解因式的方法，叫做提取公因式法．[注意]当多项式的某项恰为公因式时，提公因式后，另一个因式中不要漏掉“＋1”或“－1”．2．把下列各式分解因式：(1)x2－5x；(2)2x2y2－4y3z；(3)－5a2＋25a；(4)14x2y－21xy2＋7xy.知识点3添括号法则括号前面是“＋”号，括到括号里的各项都不变号；括号前面是“－”号，括到括号里的各项都变号．3．添括号：1－2a＝＋(________)；－a2＋2ab－b2＝－(____________)．一用提取公因式法处理较复杂的因式分解题2变式题分解因式：(1)x2(y－2)－x(2－y)；(2)2(a－3)2－a＋3.[归纳总结]提取公因式法分解因式的关键是确定多项式中各项的公因式，尤其需要注意的是公因式可以是数，也可以是单项式和多项式．二提取公因式法的简单应用523－521能被120整除吗？[反思]分解因式：－6ab2＋9a2b－3b.解：－6ab2＋9a2b－3b＝－(6ab2－9a2b＋3b)①＝－(3b·2a b－3b·3a2＋3b)②＝－3b(2ab－3a2)．③(1)找错：从第________步开始出现错误；(2)纠错：一、选择题1．2015·武汉把a2－2a分解因式，正确的是()A．a(a－2) B．a(a＋2)C．a(a2－2) D．a(2－a)2．在把多项式5xy 2－25x 2y 提取公因式时，被提取的公因式为() A ．5 B ．5x C ．5xy D ．25xy3．下列多项式中，能用提取公因式法进行因式分解的是() A ．x 2－y B ．x 2＋2x C ．x 2＋y 2D ．x 2－xy ＋y 24．下列各式用提公因式因式分解正确的是() A ．a 2b ＋7ab －b ＝b(a 2＋7a)B ．3x 2y －3xy ＋6y ＝3y(x 2－x ＋2)C ．4x 4－2x 3y ＝x 3(4x －2y)D ．－2a 2＋4ab －6ac ＝－2a(a －2b －3c)5．若m －n ＝－1，则(m －n)2－2m ＋2n 的值是() A ．3 B ．2 C ．1 D ．－16.()－82018＋(－8)2017能被下列数整除的是()A ．3B ．5C ．7D ．9二、填空题7．2016·丽水分解因式：am －3a ＝____________． 8．在括号前面添上“＋”或“－”号或在括号内填空． (1)－a ＋b ＝________(a －b)；(2)－m 2－2m ＋5＝－(______________)；(3)(x －y)3＝________(y －x)3.9．因式分解：m(x －y)＋n(x －y)＝________．10．已知x ＋y ＝6，xy ＝－3，则x 2y ＋xy 2＝________．11．计算22016＋(－2)2017的结果为________．12．已知(2x －21)(3x －7)－(3x －7)(x －13)可分解因式为(3x ＋a)(x ＋b)，其中a ，b 均为整数，则a ＋3b ＝____________．三、解答题13．用提取公因式法将下列各式分解因式：(1)6xyz －3xz 2；(2)x 4y －x 3z ；(3)x(m －x)(m －y)－m(x －m)(y －m)．14.边长分别为a，b的长方形，它的周长为14，面积为10，求a2b＋ab2的值．15.已知2x＋y＝6，x－3y＝1，求7y(x－3y)2－2(3y－x)3的值．16．试说明：对于任意自然数n，2n＋4－2n都能被5整除．17．如图4－2－1，长方形的长为a，宽为b，试说明：长方形中带有阴影的三角形的面积之和等于该长方形面积的一半．图4－2－118．三角形ABC的三边长分别为a，b，c，且a＋2ab＝c＋2bc，请判断三角形ABC的形状，并说明理由．阅读下列因式分解的过程，解答下列问题：1＋x＋x(x＋1)＋x(x＋1)2＝(1＋x)[1＋x＋x(x＋1)]＝(1＋x)2(1＋x)＝(1＋x)3.(1)上述分解因式的方法是________，共应用了________次．(2)若分解1＋x＋x(x＋1)＋x(x＋1)2＋…＋x(x＋1)2017，则需要应用上述方法________次，结果是________．(3)分解因式：1＋x＋x(x＋1)＋x(x＋1)2＋…＋x(x＋1)n(n为正整数)．详解详析【预习效果检测】1．[解析] B 因为首项系数为负，各项系数的最大公约数是3，字母m的最低次幂是2，字母n的最低次幂是1，所以公因式是－3m2n.2．[解析]在用提取公因式法分解因式时，关键是确定公因式，然后用多项式除以这个公因式，所得的商即为另一个因式．解：(1)x2－5x＝x(x－5)．(2)2x2y2－4y3z＝2y2(x2－2yz)．(3)－5a2＋25a＝－5a(a－5)．(4)14x2y－21xy2＋7xy＝7xy(2x－3y＋1)．3．1－2aa2－2ab＋b2【重难互动探究】例1[解析] (1)显然只需将2－y变形后，即可提取公因式x(y－2)．(2)首先把2(a－3)2－a＋3变为2(a－3)2－(a－3)，再将a－3看成整体提取公因式即可．解：(1)原式＝x2(y－2)＋x(y－2)＝x(y－2)(x＋1)．(2)原式＝2(a－3)2－(a－3)＝(a－3)(2a－7)．例2解：∵原式＝520×(53－5)＝520×120，∴523－521能被120整除．【课堂总结反思】[反思] (1)③(2)－6ab2＋9a2b－3b＝－(6ab2－9a2b＋3b)＝－(3b·2a b－3b·3a2＋3b)＝－3b(2ab－3a2＋1)．【作业高效训练】[课堂达标]1．A2.C3.B4．[解析] BA选项括号内的多项式的项数漏掉了一项．C选项括号内的多项式中仍有公因式．D选项提取负号后括号里有一项没有改变符号．5．A6．[解析] C原式＝82018－82017＝82017×(8－1)＝82017×7.故能被7整除．7．[答案] a(m－3)8．[答案] (1)－(2)m2＋2m－5(3)－9．[答案] (x－y)(m＋n)10．[答案]－1811．[答案]－22016[解析] 22016＋(－2)2017＝22016－2×22016＝22016×(1－2)＝－22016.12．[答案]－3113．[解析] (1)(2)题直接提取公因式分解因式即可，(3)题要进行适当地变形后再运用提取公因式法分解因式．解：(1)6xyz －3xz 2＝3xz(2y －z)．(2)x 4y －x 3z ＝x 3(xy －z)．(3)x(m －x)(m －y)－m(x －m)(y －m) ＝x(m －x)(m －y)－m(m －x)(m －y)＝(m －x)(m －y)(x －m)＝－(m －x)2(m －y)．14．[解析]先可得ab 和a ＋b 的值，然后将a 2b ＋ab 2分解因式即可得到答案． 解：由题意得ab ＝10，a ＋b ＝7，所以a 2b ＋ab 2＝ab(a ＋b)＝10×7＝70.15．[解析]先提取公因式分解因式，然后代入求值．解：原式＝7y(x －3y)2＋2(x －3y)3＝(x －3y)2[7y ＋2(x －3y)]＝(x －3y)2(2x ＋y) ＝12×6 ＝6.16．解：∵2n ＋4－2n ＝2n (24－1)＝2n ×15＝2n×3×5， ∴2n ＋4－2n一定能被5整除．17．解：S 阴影＝12a 1b ＋12a 2b ＋12a 3b ＋12a 4b＝12b(a 1＋a 2＋a 3＋a 4) ＝12ab ＝12S 长方形． 即长方形中带有阴影的三角形的面积之和等于该长方形面积的一半． 18．解：三角形ABC 是等腰三角形．理由：∵a ＋2ab ＝c ＋2bc ， ∴(a －c)＋2b(a －c)＝0，∴(a －c)(1＋2b)＝0. 故a ＝c 或1＋2b ＝0，显然b ≠－12，故a ＝c.∴三角形ABC 为等腰三角形． [数学活动]解：(1)上述分解因式的方法是提公因式法，共应用了2次．(2)需应用上述方法2017次，结果是(1＋x)2018.(3)原式＝(1＋x)[1＋x ＋x(x ＋1)＋x(x ＋1)2＋…＋x(x ＋1)n －1]＝(1＋x)2[1＋x ＋x(x ＋1)＋x(x ＋1)2＋…＋x(x ＋1)n －2]＝(1＋x)3[1＋x ＋x(x ＋1)＋x(x ＋1)2＋…＋x(x ＋1)n －3] ＝ …＝(1＋x)n(1＋x)＝(1＋x)n ＋1.。
4.3 公式法 第2课时 完全平方公式北师大版八年级下册数学 4.3 公式法 第2课时 完全平方公式 教案
第2课时完全平方公式1．理解完全平方公式，弄清完全平方公式的形式和特点；(重点)2．掌握运用完全平方公式分解因式的方法，能正确运用完全平方公式把多项式分解因式．(难点)一、情境导入1．分解因式：(1)x2－4y2；(2)3x2－3y2；(3)x4－1；(4)(x＋3y)2－(x－3y)2；2．根据学习用平方差公式分解因式的经验和方法，你能将形如“a2＋2ab＋b2、a2－2ab＋b2”的式子分解因式吗？二、合作探究探究点一：用完全平方公式因式分解【类型一】判定能否利用完全平方公式分解因式下列多项式能用完全平方公式分解因式的有()(1)a2＋ab＋b2；(2)a2－a＋14；(3)9a2－24ab＋4b2；(4)－a2＋8a－16.A．1个B．2个C．3个D．4个解析：(1)a2＋ab＋b2，乘积项不是两数的2倍，不能运用完全平方公式；(2)a2－a＋14＝(a－12)2；(3)9a2－24ab＋4b2，乘积项是这两数的4倍，不能用完全平方公式；(4)－a2＋8a－16＝－(a2－8a＋16)＝－(a－4)2.所以(2)(4)能用完全平方公式分解．故选B.方法总结：能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数(或式)的平方和的形式，另一项是这两个数(或式)的积的2倍．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第1题【类型二】运用完全平方公式分解因式因式分解：(1)－3a2x2＋24a2x－48a2；(2)(a2＋4)2－16a2.解析：(1)有公因式，因此要先提取公因式－3a2，再把另一个因式(x2－8x＋16)用完全平方公式分解；(2)先用平方差公式，再用完全平方公式分解．解：(1)原式＝－3a2(x2－8x＋16)＝－3a2(x－4)2；(2)原式＝(a2＋4)2－(4a)2＝(a2＋4＋4a)(a2＋4－4a)＝(a＋2)2(a－2)2.方法总结：分解因式的步骤是一提、二用、三查，即有公因式的首先提公因式，没有公因式的用公式，最后检查每一个多项式的因式，看能否继续分解．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第6题探究点二：用完全平方公式因式分解的应用【类型一】运用因式分解进行简便运算利用因式分解计算：(1)342＋34×32＋162；(2)38.92－2×38.9×48.9＋48.92.解析：利用完全平方公式转化为(a±b)2的形式后计算即可．解：(1)342＋34×32＋162＝(34＋16)2＝2500；(2)38.92－2×38.9×48.9＋48.92＝(38.9－48.9)2＝100.方法总结：此题主要考查了运用公式法分解因式，正确掌握完全平方公式是解题关键．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第8题【类型二】利用因式分解判定三角形的形状已知a，b，c分别是△ABC三边的长，且a2＋2b2＋c2－2b(a＋c)＝0，请判断△ABC的形状，并说明理由．解析：首先利用完全平方公式分组进行因式分解，进一步分析探讨三边关系得出结论即可．解：由a2＋2b2＋c2－2b(a＋c)＝0，得a2－2ab＋b2＋b2－2bc＋c2＝0，即(a－b)2＋(b－c)2＝0，∴a－b＝0，b－c＝0，∴a＝b＝c，∴△ABC是等边三角形．方法总结：通过配方将原式转化为非负数的和的形式，然后利用非负数性质解答，这是解决此类问题一般的思路．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第6题【类型三】整体代入求值已知a＋b＝5，ab＝10，求12a3b＋a2b2＋12ab3的值．解析：将12a3b＋a2b2＋12ab3分解为12ab与(a＋b)2的乘积，因此可以运用整体代入的数学思想来解答．解：12a3b＋a2b2＋12ab3＝12ab(a2＋2ab＋b2)＝12ab(a＋b)2.当a＋b＝5，ab＝10时，原式＝12×10×52＝125.方法总结：解答此类问题的关键是对原式进行变形，将原式转化为含已知代数式的形式，然后整体代入．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第9题三、板书设计1．完全平方公式：a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2，a2－2ab＋b2＝(a－b)2.2．完全平方公式的特点：(1)必须是三项式(或可以看成三项的)；(2)有两个同号的平方项；(3)有一个乘积项(等于平方项底数的±2倍)．简记口诀：首平方，尾平方，首尾两倍在中央．本节课学生的探究活动比较多，教师既要全局把握，又要顺其自然，千万不可拔苗助长，为了后面多做几道练习而主观裁断时间安排．其实公式的探究活动本身既是对学生能力的培养，又是对公式的识记过程，而且还可以提高他们应用公式的本领.。
2019年春七年级数学下册第4章因式分解4.3第2课时用完全平方公式分解因式课件浙教版
4.3 用乘法公式分解因式
勤反思
小结
完 全 平 方 公 式
特征
运用完全平方公式分解因式
运用完全平方公式简化运算
4.3 用乘法公式分解因式
反思
判断下面分解因式的过程是否正确，若不正确，请改正．
a3b－2a2b＋ab＝ab(a2－2a＋1)．
解：不正确．改正：a3b－2a2b＋ab＝ab(a2－2a＋1)＝ab(a－1)2.
4.3 用乘法公式分解因式
筑方法
类型一 用完全平方公式分解因式
例1 教材例3变式题用完全平方公式进行因式分解：
(1)9m2＋24mn＋16n2；(2)(x2－4x＋4)－4(x－2)＋4.
解： (1)9m2＋24mn＋16n2＝(3m＋4n)2.
(2)(x2－4x＋4)－4(x－2)＋4＝(x－2)2－4(x－2)＋4＝(x－2－2)2＝(x－4)2.
解：(1)x3－2x2＋x＝x(x2－2x＋1)＝x(x－1)2. (2)16a4－8a2＋1＝(4a2)2－2×4a2×1＋12＝(4a2－1)2＝(2a＋1)2(2a－1)2.
4.3 用乘法公式分解因式
【归纳总结】因式分解的一般步骤 (1)观察多项式是否存在公因式； (2)若提取公因式后的式子是两项或三项，则考虑是否符合平 方差公式或完全平方公式的特点； (3)检查每个因式是否分解彻底．
第4章
4.3
分解因式
用乘法公式分解因式
第4章 因式分解
第2课时
用完全平方公式 分解因式
学知识 筑方法
勤反思
4.3 用乘法公式分解因式
学知识
知识2ab＋b2＝(a＋b)2，a2－2ab＋b2＝(a－b)2.
平方和 ，加上(或者减去)这两数的积的2倍，等于这两数 即两数的________
运用完全平方公式分解因式教材分析
运用完全平方公式分解因式教材分析因式分解是进行代数恒等变形的重要手段之一，它是在学习有理数和整式四则运算的基础上进行的，因式分解不仅在多项式的除法、简便运算中有直接作用，也为以后学习分式运算、解方程、方程组及代数式的恒等变形提供了必要的基础。
因式分解是中学代数教材中的一个重要内容。
进行因式分解时要灵活、综合运用过去学过的有关数学基础知识，并且分解的途径很多，技巧性强，逆向思维能力要求较高。
所以因式分解是发展学生智力、培养能力、深化学生的逆向思维能力的良好载体。
在学习本节课之前，已经学过了因式分解的有关概念和方法，特别是学过了运用平方差公式分解因式与本节课有类似之处，为本节课打下了基础。
本节课还正式提出了换元这一重要的数学思想，应该培养学生的观察、分析、判断能力和预见能力。
（二）教学目标课时教学目标对课堂教学起着导向作用、激励作用和标准作用，研究教材的一个重要内容是为了制定明确、具体、可行的教学目标。
根据大纲和教材的要求，结合目标分类理论和学生实际，制定目标如下：1、知识目标⑴能记住完全平方公式；⑵能辨认完全平方式；⑶能灵活运用完全平方公式进行因式分解。
２、能力目标⑴提高学生的运算能力；⑵培养学生的观察分析能力；⑶渗透换元与整体的思想。
３、情感目标培养科学的质疑精神与积极地将新旧知识进行关联的倾向，以及学习数学的兴趣。
（三）教学的重点和难点本节课的重点是灵活运用完全平方公式分解因式，特别是对完全平方式的判断，对学生的观察分析能力有较高的要求，本节课的难点是整体、换元思想的掌握。
换元与整体的思想是数学中的一个重要思想方法，要启发学生注意不断总结规律和积累解体经验。
浙教版2019年七年级数学下册第4章因式分解4.3第2课时用完全平方公式分解因式练习(含答案)
2.
2
当 x＝ 156，y＝ 144 时，
原式＝
1 2×（156＋ 144)
2 ＝45000.
[ 点评 ]
本题应先把
x2 的系数
1 2提出来，使其他各项的系数均为整数．
并且分解因式要分解到每个因
7
16．解：－ a4b2＋ 4a3b3－ 4a2 b4＝－ a2b2(a 2－ 4ab＋4b2) ＝－ a2b2(a － 2b) 2.
4.3 用乘法公式分解因式
第 2 课时 用完全平方公式分解因式
知识点 1 完全平方公式分解因式 由完全平方公式可得： a2＋ 2ab＋b2＝ (a ＋ b) 2， a2－ 2ab＋ b2＝(a － b) 2. 即两数的平方和，加上 ( 或者减去 ) 这两数的积的 2 倍，等于这两数和 ( 或者差 ) 的平方． 1．把下列各式分解因式： (1)a 2－ 8a＋ 16；
分解因式： x 4＋4.
4
解： x ＋ 4
＝x 4＋4x 2＋ 4－ 4x2
＝(x 2＋ 2) 2－ 4x2
＝(x 2＋ 2x＋ 2)(x 2－ 2x＋ 2) ．
以上解法中，在 x 4＋ 4 的中间加上一项，使得三项组成一个完全平方式，为了使原式的值保持不变，必须减
去同样的一项．按照这个思路，试把多项式
2
＝(x － y－ 5) . (4)(x 2＋ 4) 2－ 16x2 ＝(x 2＋ 4＋ 4x)(x 2＋ 4－ 4x) ＝(x ＋ 2) 2(x －2) 2. (5) 原式＝ (x 2－2x＋ 1) 2 ＝[(x － 1) 2] 2 ＝(x － 1) 4. 14．解： (1)96 2＋96×8＋ 16 ＝962＋2×96×4＋ 42 ＝(96 ＋ 4) 2
第4章 因式分解(单元小结)-2023-2024学年七年级数学下册同步精品课堂
两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去） 它们的积的2倍.
这两个公式叫做（乘法的）完全平方公式. 简记为： “首平方，尾平方，积的2倍放中间”
单元小结
考点训练一 判断是否是因式分解
【例1】下列各式由左边到右边的变形中，是因式分解的为（ ）
单元小结
考点训练二 已知因式分解的结果求参数
【例3】多项式2x2-5x-3可因式分解成(ax+1)(x+b)，其中a、b均 为整数，则ab的值为（ ） A．-5B．-6C．6 D．5
【详解】解：∵(ax+1)(x+b)=ax2+(ab+1)x+b=2x2-5x-3 ∴ab+1=-5，即ab=-6． 故选：B．
单元小结
知识点三、乘法公式进行因式分解 知识要点
平方差公式：(a+b)(a−b)=a2−b2 两数和与这两数差的积,等于这两数的平方差. 公式变形:
(a–b) (a+b) =a2−b2 (b+a)(−b+a )=a2−b2
公式中字母的不仅可代表具体的数字、字母、单项式或多项式等代数式
单元小结 知识概括 完全平方公式
C．-9x2-4y2
D．x2-4y2+4xy
【详解】解：A．x2-2xy-y2无法分解因式，故此选项错误，不符 合题意； B．-9x2+4y2 ，用平方差公式分解，故此选项正确，符合题意； C．-9x2-4y2 无法分解因式，故此选项错误，不符合题意； D． x2-4y2+4xy无法分解因式，故此选项错误，不符合题意； 故选：B．
2024春七年级数学下册第4章因式分解4.2提取公因式法教案(新版)浙教版
过程：
开场提问：“你们知道什么是提取公因式法吗？它与我们的生活有什么关系？”
展示一些关于提取公因式法的图片或视频片段，让学生初步感受其魅力或特点。
简短介绍提取公因式法的基本概念和重要性，为接下来的学习打下基础。
2. 提取公因式法基础知识讲解（10分钟）
3. 信息化资源：教学软件、在线教育平台、数学教育网站和论坛。
4. 教学手段：讲授法、案例分析法、讨论法、小组合作学习法、练习法和反馈法。
5. 教具：多媒体课件、练习题、教学案例、实物模型、教学图示和教学视频。
6. 辅助材料：教材、教师用书、参考书、练习册、测试卷和学生作品集。
教学过程设计
1. 导入新课（5分钟）
其他学生和教师对展示内容进行提问和点评，促进互动交流。
教师总结各组的亮点和不足，并提出进一步的建议和改进方向。
6. 课堂小结（5分钟）
目标：回顾本节课的主要内容，强调提取公因式法的重要性和意义。
过程：
简要回顾本节课的学习内容，包括提取公因式法的基本概念、组成部分、案例分析等。
强调提取公因式法在现实生活或学习中的价值和作用，鼓励学生进一步探索和应用提取公因式法。
4. 数学运算：学生能够熟练运用提取公因式法进行多项式的运算，提高学生的数学运算能力，培养学生的数学思维习惯。
重点难点及解决办法
重点：
1. 提取公因式的原则和方法。
2. 多项式中公因式的寻找和提取。
3. 提取公因式法在解决实际问题中的应用。
难点：
1. 正确找出多项式中的公因式。
2. 在复杂多项式中，如何合理运用提取公因式法进行因式分解。
（3）数学竞赛：推荐学生参加一些因式分解相关的数学竞赛，如全国中学生数学奥林匹克竞赛中的因式分解题目，让学生在竞赛中提高因式分解的能力。
七年级数学下册第3章因式分解3.3公式法第2课时用完全平方公式因式分解教案
第2课时用完全平方公式因式分解【知识与技能】使学生了解运用公式法分解因式的意义；会用公式法（直接用公式不超过两次）分解因式（指数是正整数）；使学生清楚地知道提公因式法是分解因式的首先考虑的方法，再考虑用平方差公式或完全平方公式进行分解因式。
【过程与方法】经历通过整式乘法的完全平方公式逆向得出运用公式法分解因式的方法的过程，发展学生的逆向思维和推理能力.【情感态度】培养学生灵活的运用知识的能力和积极思考的良好行为，体会因式分解在数学学科中的地位和价值.【教学重点】掌握公式法中利用完全平方公式进行分解因式.【教学难点】灵活地运用公式法或已学过的提公因式法进行分解因式,正确判断因式分解的彻底性问题.一、情景导入，初步认知1.把下列各式分解因式（学生上台板演):（1)ax4－ax2；（2)16m4－n4.解：(1）ax4－ax2=ax2(x+1)（x－1)(2)16m4－n4=（4m2)2－(n2）2=(4m2+n2)（4m2－n2）=（4m2+n2）（2m+n）（2m－n)2.除了平方差公式外，还有哪些公式？如何表示？3.怎样用语言表述？（a+b）2=a2+2ab+b2(a－b）2=a2－2ab+b2【教学说明】复习铺垫对学习新知识是必要的，它可以扫清学习新知识的障碍,顺利进入新的知识学习之中。
二、思考探究,获取新知1。
由因式分解和整式乘法的关系，大家能否猜想出用完全平方公式分解因式的公式呢?将完全平方公式倒写：a2+2ab+b2=（a+b)2；a2－2ab+b2=（a －b)2。
左边的特点有：（1）多项式是三项式；（2)其中有两项同号，且此两项能写成两数或两式的平方和的形式；（3）另一项是这两数或两式乘积的2倍.右边的特点:这两数或两式和(差）的平方.如何利用完全平方公式进行因式分解呢？2.把9x2-3x+14分解因式。
分析:9x2=（3x)2，14=(12)2，3x=2·3x·12,原式即可用完全平方公式进行因式分解.解：9x2-3x+14=(3x）2-2·3x·12+(12）2=(3x-14)2【教学说明】在进一步引导学生掌握完全平方式的特征的同时，能让学生对公式的特征有足够的理解,并在此的基础上,让学生用自己的语言来阐述思考过程，这是符合学生的认知规律的,也体现了新课程标准下的理念。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
4.3 用乘法公式分解因式第2课时用完全平方公式分解因式知识点1完全平方公式分解因式由完全平方公式可得：a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2，a2－2ab＋b2＝(a－b)2.即两数的平方和，加上(或者减去)这两数的积的2倍，等于这两数和(或者差)的平方．1．把下列各式分解因式：(1)a2－8a＋16；(2)4x2＋4x＋1.一综合运用乘法公式分解因式教材例3变式题把下列各式分解因式：(1)x3－2x2＋x；(2)9m2＋24mn＋16n2；(3)16a4－8a2＋1；(4)(x2－4x＋4)－4(x－2)＋4.[总结归纳] 运用完全平方公式分解因式前，应注意：(1)观察是否有公因式可提取；(2)首项系数为负时，需先提取“－”号；(3)用完全平方公式前需将该多项式化为“a2±2ab＋b2”的形式；(4)分解因式时，要观察所得的结果能否继续分解；(5)注意与提取公因式法和平方差公式的综合使用．二完全平方公式的简单应用教材补充题已知x(x－1)－(x2－y)＝－3，求x2＋y2－2xy的值．[归纳总结] 有些计算题可利用因式分解的方法来进行计算，以简化运算过程.[反思] 判断下面分解因式的过程是否正确，若不正确，请改正．a3b－2a2b＋ab＝ab(a2－2a＋1)．一、选择题1．下列各式中能用完全平方公式进行分解因式的是( ) A ．x 2＋x ＋1 B ．x 2＋2x －1 C ．x 2－1 D ．x 2－6x ＋92．若25n 2－np ＋36是一个完全平方式，则p 的值为( ) A ．±30 B ．±60 C ．30 D ．603．分解因式(x －1)2－2(x －1)＋1的结果是( ) A ．(x －1)(x －2) B ．x 2 C ．(x ＋1)2 D ．(x －2)24．2016·聊城把8a 3－8a 2＋2a 分解因式，结果正确的是( ) A ．2a(4a 2－4a ＋1) B ．8a 2(a －1) C ．2a(2a －1)2 D ．2a(2a ＋1)25．多项式(x 2＋y 2)(x 2＋y 2－8)＋16分解因式正确的是( ) A ．(x 2＋y 2－4)2 B ．(x －y)4C ．(x 2－y 2－4)2D ．(x 2＋y 2＋4)2 二、填空题6．分解因式：a 2－6a ＋9＝________．7．分解因式：ab 4－4ab 3＋4ab 2＝______________．8．[2015·威海] 分解因式：－2x 2y ＋12xy －18y ＝______________．9．已知a 2＋2ab ＋b 2＝0，则代数式a(a ＋4b)－(a ＋2b)(a －2b)的值为________． 10．利用1个a×a 的正方形，1个b×b 的正方形和2个a×b 的长方形可拼成一个大正方形(如图4－3－3所示)，从而可得到因式分解的公式：____________．图4－3－311．当s ＝t ＋12时，代数式s 2－2st ＋t 2的值为________．三、解答题12．给出三个多项式：12x 2＋x －1，12x 2＋3x ＋1，12x 2－x ，请你选择其中两个进行加法运算，并把结果分解因式．13．把下列各式分解因式：(1)x 2－6x ＋9；(2)－36m 2－60mn －25n 2；(3)(x －y)2－10(x －y)＋25；(4)(x 2＋4)2－16x 2；(5)(x 2－2x)2＋2(x 2－2x)＋1.14．利用因式分解计算下列各题：(1)962＋96×8＋16；(2)9.92＋1.98＋0.01.15．已知x ＝156，y ＝144，求代数式12x 2＋xy ＋12y 2的值．16．已知a －2b ＝12，ab ＝2，求－a 4b 2＋4a 3b 3－4a 2b 4的值．17．若|x －2|＋x 2－xy ＋14y 2＝0，求x ，y 的值．1．已知a ，b ，c 是△ABC 的三边长，且a ＋b ＋c ＝ab ＋bc ＋ac ，请你分析△ABC 三边之间的关系．2．[阅读理解题] 先阅读下列解题过程，然后完成后面的题目．分解因式：x 4＋4.解：x 4＋4＝x 4＋4x 2＋4－4x 2＝(x 2＋2)2－4x 2＝(x 2＋2x ＋2)(x 2－2x ＋2)．以上解法中，在x4＋4的中间加上一项，使得三项组成一个完全平方式，为了使原式的值保持不变，必须减去同样的一项．按照这个思路，试把多项式x4＋x2y2＋y4分解因式．详解详析【预习效果检测】1．[解析] (1)中的多项式可写成a2－2·a·4＋42，(2)中的多项式可以写成(2x)2＋2×2x·1＋12，再利用公式分解因式．解：(1)a2－8a＋16＝a2－2·a·4＋42＝(a－4)2.(2)4x2＋4x＋1＝(2x＋1)2.【重难互动探究】例1解：(1)x3－2x2＋x＝x(x2－2x＋1)＝x(x－1)2.(2)9m2＋24mn＋16n2＝(3m＋4n)2.(3)16a4－8a2＋1＝(4a2)2－2×4a2×1＋12＝(4a2－1)2＝(2a＋1)2(2a－1)2.(4)(x2－4x＋4)－4(x－2)＋4＝(x－2)2－4(x－2)＋4＝(x－2－2)2＝(x－4)2.例2解：∵x(x－1)－(x2－y)＝－3，∴x2－x－x2＋y＝－3，即x－y＝3，∴x2＋y2－2xy＝(x－y)2＝9.【课堂总结反思】[反思] 不正确．改正：a 3b －2a 2b ＋ab ＝ab(a 2－2a ＋1)＝ab(a －1)2. 【作业高效训练】 [课堂达标] 1．D2．[解析] B 因为25n 2－np ＋36是一个完全平方式，25n 2－np ＋36＝(5n)2－np ＋(±6)2，所以－np ＝2×5n·(±6)，即p ＝60或p ＝－60.3．D 4.C5．[解析] A 原式＝(x 2＋y 2)2－8(x 2＋y 2)＋16＝(x 2＋y 2－4)2.6．[答案] (a －3)27．[答案] ab 2(b －2)28．[答案] －2y(x －3)2[解析] 本题考查了因式分解的有关知识，可以先提取公因式－2y ，再运用完全平方公式进行因式分解，－2x 2y ＋12xy －18y ＝－2y(x －3)2.9．[答案] 010．[答案] a 2＋2ab ＋b 2＝(a ＋b)2[解析] 根据拼得的正方形面积，可得(a ＋b)2＝a 2＋2ab ＋b 2，即a 2＋2ab ＋b 2＝(a ＋b)2.11．[答案] 14[解析] s 2－2st ＋t 2＝(s －t)2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝14.12．解：12x 2＋x －1＋12x 2＋3x ＋1＝x 2＋4x ＝x ()x ＋4；12x 2＋x －1＋12x 2－x ＝x 2－1＝()x ＋1()x －1； 12x 2＋3x ＋1＋12x 2－x ＝x 2＋2x ＋1＝()x ＋12. 13．[解析] 运用公式法分解因式，不能直接使用公式的要适当加以变形，并且分解因式要分解到每个因式都不能再分解为止．解：(1)x 2－6x ＋9＝(x －3)2.(2)－36m 2－60mn －25n 2＝－(36m 2＋60mn ＋25n 2)＝－(6m ＋5n)2.(3)(x －y)2－10(x －y)＋25＝(x －y －5)2.(4)(x 2＋4)2－16x 2＝(x 2＋4＋4x)(x 2＋4－4x)＝(x ＋2)2(x －2)2.(5)原式＝(x 2－2x ＋1)2＝[(x －1)2]2＝(x －1)4.14．解：(1)962＋96×8＋16＝962＋2×96×4＋42＝(96＋4)2＝1002＝10000.(2)9.92＋1.98＋0.01＝9.92＋2×9.9×0.1＋0.12＝(9.9＋0.1)2＝102＝100. 15．解：12x 2＋xy ＋12y 2＝12(x 2＋2xy ＋y 2) ＝12(x ＋y)2. 当x ＝156，y ＝144时， 原式＝12×(156＋144)2＝45000.[点评] 本题应先把x 2的系数12提出来，使其他各项的系数均为整数．16．解：－a 4b 2＋4a 3b 3－4a 2b 4＝－a 2b 2(a 2－4ab ＋4b 2)＝－a 2b 2(a －2b)2. 而a －2b ＝12，ab ＝2，所以－a 4b 2＋4a 3b 3－4a 2b 4＝－a 2b 2(a －2b)2＝－4×14＝－1.17．解：因为|x －2|＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12y 2＝0， 所以x －2＝0且x －12y ＝0，所以x ＝2，y ＝4. [数学活动]1．解：因为a 2＋b 2＋c 2＝ab ＋bc ＋ac ，所以2a 2＋2b 2＋2c 2＝2ab ＋2bc ＋2ac ，则2a 2＋2b 2＋2c 2－2ab －2bc －2ac ＝0， a 2－2ab ＋b 2＋b 2－2bc ＋c 2＋a 2－2ac ＋c 2＝0，即(a －b)2＋(b －c)2＋(a －c)2＝0.因为(a －b)2≥0，(b －c)2≥0，(a －c)2≥0，所以(a －b)2＝0，(b －c)2＝0，(a －c)2＝0. 因为a ，b ，c 都是正数， 所以a ＝b ＝c ，所以△ABC 的三条边相等．2．[解析] 把原式中的第二项的系数1变为(2－1)，化简后三项结合构成完全平方式，剩下的一项写成平方的形式，然后再利用平方差公式即可分解因式．解：x 4＋x 2y 2＋y 4＝x 4＋2x 2y 2＋y 4－x 2y 2＝(x2＋y2)2－x2y2＝(x2＋y2＋xy)(x2＋y2－xy)．。