四下第2讲-整除

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小学数学四年级奥数基础教程目录

小学奥数基础教程（四年级）第1讲速算与巧算（一）第2讲速算与巧算（二）第3讲高斯求和第4讲 4，8，9整除的数的特征第5讲弃九法第6讲数的整除性（二）第7讲找规律（一）第8讲找规律（二）第9讲数字谜（一）第10讲数字谜（二）第11讲归一问题与归总问题第12讲年龄问题第13讲鸡兔同笼问题与假设法第14讲盈亏问题与比较法（一）第15讲盈亏问题与比较法（二）第16讲数阵图（一）第17讲数阵图（二）第18讲数阵图（三）第19将乘法原理第20讲加法原理（一）第21讲加法原理（二）第22讲还原问题（一）第23讲还原问题（二）第24讲页码问题第25讲智取火柴第26讲逻辑问题（一）第27讲逻辑问题（二）第28讲最不利原则第29讲抽屉原理（一）第30讲抽屉原理（二）第1讲速算与巧算（一）计算是数学的基础，小学生要学好数学，必须具有过硬的计算本领。

准确、快速的计算能力既是一种技巧，也是一种思维训练，既能提高计算效率、节省计算时间，更可以锻炼记忆力，提高分析、判断能力，促进思维和智力的发展。

我们在三年级已经讲过一些四则运算的速算与巧算的方法，本讲和下一讲主要介绍加法的基准数法和乘法的补同与同补速算法。

例1 四年级一班第一小组有10名同学，某次数学测验的成绩（分数）如下：86，78，77，83，91，74，92，69，84，75。

求这10名同学的总分。

分析与解：通常的做法是将这10个数直接相加，但这些数杂乱无章，直接相加既繁且易错。

观察这些数不难发现，这些数虽然大小不等，但相差不大。

我们可以选择一个适当的数作“基准”，比如以“80”作基准，这10个数与80的差如下：6，-2，-3，3，11，-6，12，-11，4，-5，其中“-”号表示这个数比80小。

于是得到总和=80×10＋（6-2-3＋3＋11-＝800＋9＝809。

实际计算时只需口算，将这些数与80的差逐一累加。

为了清楚起见，将这一过程表示如下：通过口算，得到差数累加为9，再加上80×10，就可口算出结果为809。

第二讲数的整除

数的整除【知识点回顾】数的整除特征：1、能被9整出的书的特征：各个数位数字之和是9的倍数。

2、能被8（或125）整除的数的特征：末三位能被8（或125）整除。

3、能被4（或25）整除的数的特征：末两位数能被4（或25）整除。

4、能被11整除的数的特征:这个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差（大减小）能被11整除。

5、能被7（或11或13）整除的数的特征：这个整数的末三位与末三位之前的数字所组成的数的差（大减小）能被7、（或11或13）整除。

【例题讲解】例1 在□处填入适当的数字使四位数24□1是3的倍数。

□处有几种不同的填法？思路分析：要想使24□1是3的倍数，就要满足各数字之和是3的倍数。

2+4+1=7,7加上几是3的倍数呢？7+2=9,7+5=12,7+8=15. 解：□里可以填2,5,8. 这个四位数是2421,2451,2481. 所以有3种填法。

例2 最高位上的数字是1，并且能同时被2，3，5整除的最小四位数是多少？思路分析：能同时被2，5整除，个位数字只能是0，为使这四位数最小，百位数字取0，进而由3的倍数特征知十位数字为2,5,8，从而最小数字1020.解：最小四位数是1020.例3 在□内填上适当的数字，使六位数43217□能被4或25整除。

思路分析：43217□的个位数字不知是几，不妨记作x，那么43217□=432100+70+x。

而432100能被4和25整除，所以，只要70+x能被4或25整除，这个六位数就能被4或25整除。

70+ x要能被4整除，x只能是2或6。

70+x要能被25整除，x只能是5.解：所以432172和432176能被4整除，432175能被25整除。

例4 四位数3AA1能被9整除，求A。

思路分析：四位数3AA1要是9的倍数，它的各个数位之和就必须是9的倍数，3+A+A+1的和可能是9或18.当3+A+A+1=9时，A=2.5. 2.5不是自然数，不符合题目要求。

初中数学《数的整除》讲义及练习 (2)

5-2数的整除教学目标本讲是数论知识体系中的一个基石，整除知识点的特点介于“定性分析与定量计算之间”即本讲中的题型有定性分析层面的也有定量计算层面的，是很重要的一讲，也是竞赛常考的知识板块。

本讲力求实现的一个核心目标是让孩子熟悉和掌握常见数字的整除判定特性，在这个基础上对没有整除判定特性的数字可以将其转化为几个有整除判定特性的数字乘积形式来分析其整除性质。

另外一个难点是将数字的整除性上升到字母和代数式的整除性上，这个对于学生的代数思维是一个良好的训练也是一个不小的挑战。

知识点拨一、常见数字的整除判定方法1. 一个数的末位能被2或5整除，这个数就能被2或5整除；一个数的末两位能被4或25整除，这个数就能被4或25整除；一个数的末三位能被8或125整除，这个数就能被8或125整除；2. 一个位数数字和能被3整除，这个数就能被3整除；一个数各位数数字和能被9整除，这个数就能被9整除；3. 如果一个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差能被11整除，那么这个数能被11整除.4. 如果一个整数的末三位与末三位以前的数字组成的数之差能被7、11或13整除，那么这个数能被7、11或13整除.【备注】（以上规律仅在十进制数中成立.）二、整除性质性质1 如果数a和数b都能被数c整除，那么它们的和或差也能被c整除．即如果c︱a，c︱b，那么c︱(a±b)．性质2 如果数a能被数b整除，b又能被数c整除，那么a也能被c整除．即如果b∣a，c∣b，那么c∣a．用同样的方法，我们还可以得出：性质3如果数a能被数b与数c的积整除，那么a也能被b和c整除．即如果bc∣a，那么b∣a，c∣a．性质4如果数a能被数b整除，也能被数c整除，且数b和数c互质，那么a一定能被b 与c的乘积整除．即如果b∣a，c∣a，且(b，c)=1，那么bc∣a．例如：如果3∣12，4∣12，且(3，4)=1，那么(3×4) ∣12．性质5 如果数a能被数b整除，那么am也能被bm整除．如果b｜a，那么bm｜am（m为非0整数）；性质6如果数a能被数b整除，且数c能被数d整除，那么ac也能被bd整除．如果b｜a，且d｜c，那么bd｜ac；例题精讲模块一、常见数的整除判定特征【例 1】已知道六位数20□279是13的倍数，求□中的数字是几？【巩固】六位数2008能被99整除，是多少？【巩固】六位数20□□08能被49整除，□□中的数是多少？【例 2】173□是个四位数字。

数学四年级下册专题复习第2讲：四则运算(二)-乘除运算

数学四年级下册专题复习第2讲：四则运算（二）-乘除运算姓名:________ 班级:________ 成绩:________同学们，经过一段时间的学习，你一定长进不少，让我们好好检验一下自己吧！一、选择题1 . 下面的算式，（）与”5+5+5+3”的计算结果相同。

A．5×3B．5×3+3C．5×4-22 . 25×40＝（）．A．100B．1000C．100003 . 下列算式中，积的末尾有3个0的是（）A．50×30B．50×20C．50×704 . 与720÷12结果相等的是（）A．720÷6÷6B．720÷6÷2C．720÷3×4D．720÷4×35 . 一个糖果罐重50克，一颗糖果重2克，小巧放x颗糖果到糖果罐里，糖果罐和糖果一共有多少克重？（）A．2x B．2x－50C．50D．2x+506 . 已知△÷○=口，下面算式正确的是（）．A．○ = □÷△B．△= ○×□C．○= 口×△7 . 根据下面的算式（）可以直接写出4128÷16的结果。

A．258×16 ＝4128B．4128×16 ＝66048C．24×172 ＝41288 . 用一根a米长的铁丝围成一个正方形,则正方形的面积是（）平方米。

A．a2B．(a÷4)2C．4a二、填空题9 . 一个四位数6□□6能被134整除，这个四位数除以134的商是（________）。

10 . 在括号里填上“＞”“＜”或“＝”。

72÷2÷3（______）72÷（2×3）800÷4×5（______）800÷（4×5）42×5＋42×6（______）42×（5＋6） 815－405＋240（______）815＋405－24058＋121＋0（______）58×121×0 30＋（200＋132）×0（______）31－0÷（48÷4）11 . 125的4倍，除以2个25的和，商是（______）。

第02讲整除问题进阶(学生版)-四升五暑期数学奥数培优讲义

一、整除问题进阶（五上）一、两位截断与三位截断1、在1234，1144，17456789，35442，153153中，（1）哪些是7的倍数？（2）哪些是13的倍数？（3）哪些是99的倍数？2、六位数2008□□能同时被9和11整除．这个六位数是多少？第2讲整除问题进阶知识点课堂例题3、已知九位数1234789□□能被99整除，这个九位数是__________．4、卡莉娅写了一个两位数59，墨莫写了一个两位数89，他们让小高写一个一位数放在59与89之间拼成一个五位数5989□，使得这个五位数能被7整除．请问：小高写的数是多少？□是13的倍数，□中的数字是（）．5、已知六位数20279A．1B．5C．7D．96、小高写了一个五位数，用方格盖住了两个数字后变成365□□，并告诉墨莫说这个五位数既是7的倍数，又是125的倍数．那么小高写的五位数可能是__________．7、用数字6，7，8各两个，要组成能同时被6，7，8整除的六位数．请写出一个满足要求的六位数．二、综合应用8、已知51位数255259555999个个□能被13整除，中间方格内的数字是多少？9、已知52位数255255555555个个□□能被13整除，中间方格内的数字是__________．10、（2011年四中入学）一个五位数abcba （相同字母表示相同数字）是7的倍数．若将它的十位和个位互换，新数是11的倍数，若将它的十位和百位互换，新数是13的倍数．那么原五位数是________．11、萱萱的爸爸买回来两箱杯子．两个箱子上各贴有一张价签，分别写着“总价117.□△元”、“总价127.○◇元”（□、△、○、◇四个数字已辨认不清，但是它们互不相同）．爸爸告诉萱萱，其中一箱装了99只A 型杯子，另一箱装了75只B 型杯子，每只杯子的价格都是整数分．但是爸爸记不清每个价签具体是多少钱，也不记得哪个箱子装的是A 型杯子，哪个箱子装的是B 型杯子了．爸爸知道萱萱的数学水平很厉害，于是他想考考萱萱．萱萱看了看，说：“这可难不倒我，我刚好学了一些复杂的整除性质，这下可以派上用场了．”同学们，你能像萱萱一样把价签上的数分辨出来吗？12、能同时被7、9、11整除的最小三位数是，最大四位数是？13、一个整数能被15整除，这个整数的最后三位是215，那么这样的整数中最小是多少？14、一个五位数，它的末三位为999．如果这个数能被23整除，那么这个五位数最小是多少？1、四位数23□□能同时被9和11整除，这个四位数是__________．2、已知八位数123678□□能被99整除，这个八位数是__________．3、四位数572□能被7整除，那么这个四位数可能是__________．4、已知多位数 2010120103111333 个个能被13整除，那么中间方格内的数字是多少？1、有一个六位数，前四位是2857，即2857□□，这六位数能被143整除，则这个数的后组成的两位数为（）．A ．12B ．14C ．21D ．412、66ab ab 是77的倍数，则ab 最大为（）． A ．16B ．93C ．98D．99随堂练习课后作业3、在7315，58674，325702，96723，360360中，7的倍数有__________个．4、四位数33□□能同时被9和11整除，这个四位数是__________．5、四位数278□能被7整除，那么这个四位数是__________．6、（龙校五年级春季）（1）一个六位数2356□□是88的倍数，这个数除以88所得的商是________或________．（2）在□内填上适当的数字，使五位数236□□既能被3整除又能被5整除．7、（2011希望杯五年级初赛）如果六位数2011□□能被90整除，那么它的最后两位数是_________．8、已知多位数201225881258258258 个□能同时被7和13整除，方格内的数字是__________．9、已知多位数 2011120113111333 个个□能被7整除，那么中间方格内的数字是__________．10、八位数1235678a 能被7整除，a 等于多少？。

第二讲整除问题进阶

练习一：
四位数 □23□，能同时被9和11整除，这个四位数是多少？
例题二：
已知九位数，1234□□789，能被99整除，这个九位数是多少？分析：这个九位数是99的倍数，说明两位截断以后，各段之和是99的倍数。这个99 的倍数可能是多少呢？
练习二：
已知八位数，123□□678，能被99整除，这个八位数是多少？
能被7、11、13整餘的特征：从个位开始，每三位一截，奇数段之和与偶数段之和的差能被7、11或13整除.
例题三：
阿呆写了一个两位数59，阿瓜写了一个两位数89，他们让小高写一个一位数放在59 与89之间，拼成一个五位数59□89，使得这个五位数能被7整除，请问小高写的是多少？分析：根据能被7整除的数的特征，末三位组成的数与末三位之前的数组成的数之差能被7整除，我们可以由此将问题简化。
现特征：从个位开始每两位一截，得到的所有两位数（最前面的可以是一位数）之和被99整除.
例题一：
六位数□ 2008□ ，能同时被9和11整除，这个六位数是多少？分析：能同时被9和11整除，说明这个6位数能被99整除。想一想，99的整除特性是什么？
例题六：
有一个五位数，它的末三位为999。如果这个数能被23整除，那么这个五位数最小是多少？分析：我们没有学过能被23整除的数的特征，而且23也不能拆分成两个特殊数的乘积，因此不可能根据整除特征来考虑，我们尝试从整除的定义来入手，这个五位数能被23整除，就是说，它能写成23与另一个数的乘积，接下来大家想到该怎么办了吗？
练习三：
四位数57□2，能被7整除，那么这个四位数可能是多少？
{ {
例题四：
已知51位数 55...5□ 99...9能被13整除，中间方框内的数字是多少?

名校真题精讲(共7讲)_第02讲_数论专题—学生版

余数是________
例 2014除以某数的余数都为10，这样的数共有多少个？ 14.
例三个连续自然数依次是13、11、7的倍数，那么这三个连续自然 15. 数之和最小为_______．
例如图，在一个圆周上有100多个孔．小明像玩跳棋那样，从A孔出 16. 发，沿着逆时针方向，每隔几个孔跳一步，希望一圈以后能跳回
中，这个数最小是______
例的和是_________． 19.
例一个特殊的圆形钟表只有一根指针，指针每秒转动的角度为连续 20. 自然数数列．现在设定指针第一秒转动的角度为a（a为小于360
的整数）度，则其第二秒转动度，第三秒转动度……如果指针在第一圈内恰好能指回出发位置，那么a一共有________种设定方法，最小可以被设定为________．
A孔．他先试着每隔2个孔跳一步，结果只能跳到B孔．他又试着每隔4个孔跳一步，也只能跳到B孔．最后他每隔6个孔挑一步，正好回到A孔．那么这个圆圈上至少有________个孔． Image
例的末两位数是________． 17.
五、其他数论问题
例一个自然数用四进制表示，它的数字和是5；用六进制表示，它 18. 的数字和是8；用八进制表示，它的数字和是11．那么在十进制
作对于自然数nБайду номын сангаасn的约数个数用表示，n的所有约数的和用表示．
业（1）n为最小的质数，
；（2）n为最小的合数，
；
5. （3）当时，A一定是数；（4）当时，n最小是
．
作 a×b＋6＝x，x是偶数，a和b是1000以下的质数，问x的最大值．
业 6.
作将77写成几个连续自然数相加的形式（至少两个数相加），其中业积最大的一组写法是_______ 7.

第2讲整除—完整版

第2讲整除内容概述掌握整除的概念和基本性质，掌握能被某些特殊数整除的数的特征。

通过分析整除特征解决数的补填问题，以及多位数的构成问题等。

兴趣篇1．下面有9个自然数：14，35，80，152，650，434，4375，9064，24125。

在这些自然数中，请问：(1)有哪些数能被2整除？哪些能被4整除？哪些能被8整除？(2)有哪些数能被5整除？哪些能被25整除？哪些能被125整除？答案：（1）能被2整除的有：14，80, 152, 650，434，9064；能被4整除的有：80，152，9064；能被8整除的有：80，152，9064(2)能被5整除的有：35，80，650，4375，24125；能被25整除的有：650，4375，24 125；能被125整除的有：4375, 24125解析：能被2、5整除的数的特征：个位数字能被2、5整除；能被4、25整除的数的特征：末两位能被4、25整除；能被8、125整除的数的特征：末三位能被8、125整除．运用这些性质可迅速得出答案．2．有如下9个三位数：452，387，228，975，525，882，715，775，837。

这些数中哪些能被3整除？哪些能被9整除？哪些能同时被2和3整除？答案：能被3整除的有：387，228，975，525，882，837;能被9整除的有：387，882，837；能同时被2和3整除的有：228和882解析：依次计算每个数的各位数字之和：4+5+2=11, 3+8+7=18, 2+2+8=12,9+7+5=21, 5+2+5=12,8+8+2=18, 7+1+5 =13, 7+7+5 =19, 8+3+7 =18.根据3和9的整除特征可知：387，228，975，525，882，837能被3整除；其中，387，882，837能被9整除。

能被3整除的数中偶数是228和882，所以能同时被2和3整除的数是228和882.3．有如下4个自然数：2695，1804，1963，23205。

第2讲整除性与位值原理

第2讲整除性与位值原理重点摘要1、位值原理位值原理的定义：同一个数字，由于它在所写的数里的位置不同，所表示的数值也不同。

也就是说，每一个数字除了有自身的一个值外，还有一个“位置值”。

例如“2”,写在个位上，就表示2个一，写在百位上，就表示2个百，这种数字和数位结合起来表示数的原则，称为写数的位值原理。

位值原理的表达形式：以六位数为例，abcdef＝a×100000+b×10000+c×1000+d×100+e×10+f。

2、数的整除我们学习过的常见整除判定方法有：（1）能被2、4、8整除的数，根据这个数的末一位、两位、三位判断；（2）能被5、25、125整除的数，根据这个数的末一位、两位、三位判断；（3）能被3、9整除的数，根据这个数各个数位上的数字和判断；（4）能被7、11、13整除的数，将这个数三位分段相减求差后判断。

精讲精练例题1、一个四位数能被9整除，去掉末位数字后所得到的三位数恰是4的倍数，这样的四位数中最大一个的末位数字是几？练习1、有一种四位数，这种四位数能被7整除，把它前后分成两部分，前两位数可以被3整除，后两位可以被5整除。

这种四位数最小的是几？例题2、证明：当a c>时，abc cba-必能被9整除？练习2、证明：一个三位数减去它的各个数位的数字之和后，必能被9整除。

例题3、三位数abc比三位数cba小99，若a、b、c互不相同，则abc最大是几？练习3、一个两位数，其十位与个位上的数字交换以后，所得的两位数比原来小27，则满足条件的两位数共有多少个？例题4、在一个两位数的两个数字中间加一个0，那么所得的三位数是原数的9倍，求这个两位数。

练习4、在两位自然数的十位与个位中间插入0～9中的一个数码，这个两位数就变成了三位数，有些两位数中间插入某个数码后变成的三位数，恰好是原来两位数的9倍。

这样的三位数有多少个？例题5、用2，8，7三张数字卡片可以组成若干个不同的三位数，所有这些三位数的平均值是多少？练习5、a，b，c是1～9中的三个不同数码，用它们组成的六个没有重复数字的三位数之和是(a＋b＋c)的多少倍？例题6、已知一个四位数加上它的各位数字之和后等于2008，则所有这样的四位数之和为多少。

知识点总讲解二：整除

奥数知识点总讲解二（五年级）●整除的性质◎性质1（整除的和差性）如果整数a 、b 都能被c 整除，那么，他们的和a+b 或a-b （a ≥b ）也能被c 整除。

简称：如果c|a ，c|b ，那么，c|(a+b)◎性质2（整除的可乘性）如果m 能整除a ，n 能整除b ，那么，mn 能整除ab 。

简称：如果m|a ，n|b ，那么，mn|ab 。

◎性质3（整除的传递性）如果a 能整除b ，b 又能整除c ，那么，a 能整除c 。

简称：如果a|b ，b|c ，那么，a|c◎性质4（约数互质时的可乘性）如果b ，c 都能整除a ，且b 与c 互质（即b ，c 除1外再没有其他的相同的约数），那么，b 与c 的乘积也能整除a 。

简称：如果b|a ，c|a ，且b ，c 互质，那么，bc|a 。

●整除中的个数问题◎在整除中有如下两个常见的个数问题，它们相应的有两个计算公式（1）在1~n （n 为大于0的整除）这n 个整数中，能被a 整除的数有[]n =n a a ⎡⎤÷⎢⎥⎣⎦（个）。

（2）在-1-2321n n n ⨯⨯⨯⨯⨯⨯ （）（）（简记为n ！ n 为大于0的整数）中含因数p （p 为质数）的个数为23n n n p p p ⎡⎤⎡⎤⎡⎤+++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦（个） ●数的整除特性◎个位数字是0 2 4 6 8的整除，能被2整除。

◎个位数字的0 5的整除，能被5整除。

◎一个整数的各位之和能被3（或9）整除，则这个数能被3（或9）整除。

◎若一个整除的最末两位数能被4（或25）整除，则这个数能被4（或25）乘除。

◎若两个整数的最末三位数能被8（或125）整除，则这个数能被8（或125）整除。

◎若一个整数的奇数上的数字之和与偶数位上的数字之和的差（大减小）能被11整除，则这个数能被11整除。

◎若一个整数的末三位数与末三位数以前的数字所组成的数之差（大减小）能被7（或11，或13）整除，则这个数能被7（或11，或13）整除。

2讲数论问题能力进阶——数的整除进阶T

1第3级下·基础班·学生版整除： ①一个数的末位能被2或5整除，这个数就能被2或5整除；一个数的末两位能被4或25整除，这个数就能被4或25整除；一个数的末三位能被8或125整除，这个数就能被8或125整除；…②一个数各位数字之和能被3整除，这个数就能被3整除；一个数各位数字之和能被9整除，这个数就能被9整除；③如果一个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差能被11整除，那么这个数能被11整除；④如果一个整数的末三位与末三位以前的数字组成的数之差能被7，11或13整除，那么这个数能被7，11或13整除；⑤部分特殊数的分解：111＝3×37；1001＝7×11×13；11111＝41×271；10001＝73×137；10101＝3×7×13×37；1995＝3×5×7×19；1998＝2×3×3×3×37；2007＝3×3×223；2008＝2×2×2×251；六位数3ABABA 是6的倍数，这样的六位数有多少个？解析：这样的六位数共20个，求解过程：若该六位数是6的倍数，则1、该六位数是偶数；2；该六位数可以被3整除。

该六位数是偶数，则A 只能为0,2,4,6,8中的数字。

可以被3整除，则有3+A+B+A+B+A=3+3A+2B ，可以被3整除。

由3+3A+2B 可以被3整除可知，B 必须能被3整除，则B 只能为0,3,6,9。

有排列组合可以，这样的六位数有20个。

或者1)当A 为0时，B 可以取0,3,6,9；同理A 还可以取2,4,6,8。

则这样的六位数有4*5=20个。

拓展：六位数3ababa 是15的倍数,符合的六位数有几个？15=3×51.a=0b 是3的倍数，共有：4种经典精讲数论问题能力进阶——数的整除进阶例12.a=5b是3的倍数，共4种所以共4+4=8种。

数的整除性(二)讲解

数的整除性（二）讲解这一讲主要讲能被11整除的数的特征。

一个数从右边数起,第1,3,5,…位称为奇数位,第2,4,6,…数的整除性（二）讲解位……数的整除性（二）讲解位……是偶数位。

例如9位数768325419数的整除性（二）讲解能被11整除的数的特征：一个数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差（大数减小数）如果能被11整除,那么这个数就能被11整除。

例1判断七位数1839673能否被11整除。

分析与解：奇数位上的数字之和为1＋3＋6＋3=13,偶数位上的数字之和为8＋9＋7=24,因为24-13=11能被11整除,所以1839673能被11整除。

根据能被11整除的数的特征,也能求出一个数除以11的余数。

一个数除以11的余数,与它的奇数位上的数字之和减去偶数位上的数字之和所得的差除以11的余数相同。

如果奇数位上的数字之和小于偶数位上的数字之和,那么应在奇数位上的数字之和上再增加11的整数倍,使其大于偶数位上的数字之和。

例2 求下列各数除以11的余数：（1）41873；（2）296738185。

分析与解：（1）[（4＋8＋3）－（1＋7）]÷11=7÷11＝0……7,所以41873除以11的余数是7。

（2）奇数位之和为2＋6＋3＋1＋5=17,偶数位之和为9＋7＋8＋8＝32。

因为17＜32,所以应给17增加11的整数倍,使其大于32。

（17+11×2）-32＝7,所以296738185除以11的余数是7。

需要说明的是,当奇数位数字之和远远小于偶数位数字之和时,为了计算方便,也可以用偶数位数字之和减去奇数位数字之和,再除以11,所得余数与11的差即为所求。

如上题（2）中,（32-17）÷11＝1……4,所求余数是11-4=7。

例3求除以11的余数。

分析与解：奇数位是101个1,偶数位是100个9。

（9×100-1×101）÷11=799÷11=72……7,11-7=4,所求余数是4。

四年级数学数的整除性讲解(一)

四年级数学数的整除性讲解（一）我们在三年级已经学习了能被2.3.5整除的数的特征.这一讲我们将讨论整除的性质.并讲解能被4.8.9整除的数的特征。

数的整除具有如下性质：性质1 如果甲数能被乙数整除.乙数能被丙数整除.那么甲数一定能被丙数整除。

例如.48能被16整除.16能被8整除.那么48一定能被8整除。

性质2 如果两个数都能被一个自然数整除.那么这两个数的和与差也一定能被这个自然数整除。

例如.21与15都能被3整除.那么21＋15及21-15都能被3整除。

性质3 如果一个数能分别被两个互质的自然数整除.那么这个数一定能被这两个互质的自然数的乘积整除。

例如.126能被9整除.又能被7整除.且9与7互质.那么126能被9×7＝63整除。

利用上面关于整除的性质.我们可以解决许多与整除有关的问题。

为了进一步学习数的整除性.我们把学过的和将要学习的一些整除的数字特征列出来：（1）一个数的个位数字如果是0.2.4.6.8中的一个.那么这个数就能被2整除。

（2）一个数的个位数字如果是0或5.那么这个数就能被5整除。

（3）一个数各个数位上的数字之和如果能被3整除.那么这个数就能被3整除。

（4）一个数的末两位数如果能被4（或25）整除.那么这个数就能被4（或25）整除。

（5）一个数的末三位数如果能被8（或125）整除.那么这个数就能被8（或125）整除。

（6）一个数各个数位上的数字之和如果能被9整除.那么这个数就能被9整除。

其中（1）（2）（3）是三年级学过的内容.（4）（5）（6）是本讲要学习的内容。

因为100能被4（或25）整除.所以由整除的性质1知.整百的数都能被4（或25）整除。

因为任何自然数都能分成一个整百的数与这个数的后两位数之和.所以由整除的性质2知.只要这个数的后两位数能被4（或25）整除.这个数就能被4（或25）整除。

这就证明了（4）。

类似地可以证明（5）。

（6）的正确性.我们用一个具体的数来说明一般性的证明方法。

五年级下册数学试题-竞赛专题：第2讲-整除性(含答案)人教版

知识概述1.整除的概念：两个整数相除,余数为零（没有余数）我们就说被除数能被除数整除,即整数a除以整数b（0b≠）,除得的商正好是整数,我们就说a能被b整除（也可以说b能整除a）,记为|b a,如15能被3整除,即为3|15。

（4）如果c能整除b,b能整除a,那么c能整除a。

即：如果|c b,|b a,那么|c a。

3.整除的特征：特征1：能被2整除的数为个位数字是0、2、4、6、8的整数。

“特征”包含两方面的意义：一方面,个位数字是偶数（包括0）的整数,必能被2整除,另一方面,能被2整除的数,其个位数字只能是偶数（包括0）。

（下同）特征2：能被5整除的数的个位是0或5。

特征3：能被3（或9）整除的数,各个数位数字之和能被3（或9）整除。

特征4：能被4（或25）整除的数其末两位数能被4（或25）整除。

特征5：能被8（或125）整除的数其末三位数能被8（或125）整除。

特征6：一个数奇数位上的数字和与偶数位上的数字和的差（大减小）能被11整除,这个数也能被11整除。

整除性请用数字9、7、2、5、1写出一个能被2整除的最大三位数。

【解析】这些数字组成的最大三位数是975,但是它不能被2整除,能被2整除的数末位数一定是“0、2、4、6、8”。

所以能被2整除的最大三位数为972。

在下面的数中,哪些能被2整除？哪些能被3整除？哪些能被5整除？234、79、775、885、378、864、63、75、26、40【解析】能被2整除的数有234、378、864、26、40；能被3整除的数有234、885、378、864、63、75；能被5整除的数有775、885、40。

四年级整除特征进阶主要内容及解题思路

四年级整除特征进阶主要内容及解题思路一、判断（三个家族）1、尾系（2，4，8，5，25，125）⏹能被2，5整数，看末1位⏹能被4，25整数，看末2位⏹能被8，125整除，看末3位2、和系（3，9，99）⏹各个位数之和可以被3,9整除⏹个位开始两位两位分，把新得到的数相加，若它们的和能被99整除，这个数就可以被99整除3、差系（7，11，13）⏹一个数从末位开始，每三位一段断开，若奇数段之和与偶数段之和的差是7 、11、13 的倍数，则这个数能被7、11、13 整除；如果差不是7、11、13 的倍数，那么这个差被7、11、13 除余几，这个数除以7、11、13 就余几。

如：1121876能否被7、11、13 整除？每三位一段进行分段：1-121-876，奇数段之和为：876+1=877；偶数段之和为：121；奇数段之和与偶数段之和的差为：877-121=756用这个差除以7、11、13：756÷7=108，756÷11=68....8，756÷13=58 (2)故1121876能被7整除，1121876除以11余8，1121876除以13余2。

二、组合数（先尾系，再和系）15=3×56=2×3三、试除法（末几位）1、添9试除，最后减余数2、添0试除，最后加补数===================================例题：1、判断下列书哪些能被7整除？被8整除？被9整除？被11整除？被13整除？这些数除以9的余数分别是多少？除以11的余数分别是多少？6741 5232 5868 585 7579 2992 2009解：以6741为例说明6741可以分割为6 741，则741-6=735；被7：差系判断735÷7=105 ok被8：尾系判断741÷8=92...5 no被9：和系判断6+7+4+1=18 ok被11：差系判断735÷11=66...9 no被13：差系判断735÷13=56...79 no这道题的解算最终结果：被7：6741 2009被8：5232 2992被9：6741 5868 585被11：7579 2992被13：585 7579除以9的余数：0 3 0 0 1 4 2除以11的余数：9 7 7 2 0 0 72、943口口14能被99整除，空格里的数字分别是多少？解题思路：99属于和系，因此应该从个位开始，每两位为一组，各组相加的和为99的倍数。

第2讲整除

第二讲整除主讲教师：贺航飞一、知识要点1．整除：,a b q Z b aq ⇔∃∈=⑴若,a b b c ，则a c ；⑵若,a b a c ，则(),,a mb nc m n N ±∈； ⑶若(),,1a bc a b =，则a c ；⑷若,a N b N ，且(),1a b =，则ab N ；⑸（费马小定理）p 为素数，对任意正整数n ，都有()p p n n -； ⑹n 个连续整数之积必能被!n 整除；⑺若p 为素数，且1ni i p a =∏，则至少有一个i a 使得()1i p a i n ≤≤．2．一些数整除的判定方法：设整数1210n n N a a a a a -= ，则：⑴若()02,5a ，则()2,5N ；⑵若()03,9ni i a =∑，则()3,9N ；⑶若()104,25a a ，则()4,25N ；⑷若()11072n n a a a a -- ，则7N ；⑸若()2108,125a a a ，则()8,125N ；⑹若0211[(a a ++…13)(a a -++…)]，则11N ； ⑺若()()210137,11,13n n a a a a a a -- ，则()7,11,13N ． 3．带余除法如果,a b 是二整数，0b ≠，那么一定有且只有两个整数,q r ，使得a bq r =+)0||(r b ≤<成立，q 称b 整除a 的商，r 称b 整除a 的余数．辗转相除法：()(),,a b r b =，求最大公因式的基本算法．例子：⑴利用辗转相除法求(180, 147)；⑵求出,x y Z ∈，使()180,147180147x y =+．4．最小公倍数，最大公约数（互素）约定：(),a b 表示整数,a b 的最大公约数，[],a b 表示整数,a b 的最小公倍数．若(),1a b =，则称a 与b 互素（互质）． ⑴12(,,a a …112,,)((,,n n a a a a -=…1,),)n n a a -；⑵()(),1,,a b a b a b ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭． 5．算术基本定理：任意整数1212A p p αα=…n np α其中质数12p p <<…n p <，i N α+∈，且表达式唯一确定．⑴A 的约数（正因数）个数为()()()1211d A αα=++…()()111nn i i αα=+=+∏⑵A 的一切约数（正因数）之和等于012111(p p p +++...10121222)(p p p p α++++ (2012)2)(n n n p p p p α++++ …)n n p α+121111212111111n n n p p p p p p ααα+++---=⨯⨯⨯--- ⑶欧拉函数()x ϕ表示不大于x 且与x 互素的数的个数，则()121111A A p p ϕ⎛⎫⎛⎫=-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭…11n p ⎛⎫- ⎪⎝⎭6．一些性质1°若()0a bq r r b =+≤<，则()(),,a b b r =； 2°不定方程ax by d +=有整数解(),a b d ⇔；特别地，1ax by +=有整数解(),1a b ⇔=； 3°(),11n n +=；()[],,a b a b ab =；4°若(),a b d =，则,1a b d d ⎛⎫= ⎪⎝⎭．二、例题分析例1：⑴设n N ∈，求证：3231322n n n ⎛⎫++ ⎪⎝⎭；⑵设n 为正奇数，求证：()606321n n n ---．例2：⑴试证：31n +能被2或22整除，而不能被2的更高次幂整除；⑵使3100n +能被10n +整除的正整数n 的最大值是多少？（美国第4届数学邀请赛）例3：⑴证明：12,1122,111222,…,111222n n 个个都是两个相邻正整数的积．⑵求一个最小的正整数，使得它的一半是平方数，它的13是立方数，它的15是5次方数．例4：⑴设p 是奇质数，且ba p =-++++1131211 ，则p a ． ⑵设,p q Z +∈,且13191131814131211+-+-+-= q p ,求证：1979p . （1979年IMO 试题）例5：⑴由数码0,1,2,3,4,5,6能组成若干个没有重复数字的七位数，其中有55的倍数，试在55的倍数的七位数中求最大的和最小的数．⑵求出最小的正整数n，使其恰有144个不同的正约数，且其中有10个连续约数．（第26届IMO预选题）n-能被7整除；例6：⑴求所有的正整数n，使得21n+不能被7整除．（曾经的IMO试题）⑵证明：对于任何正整数n，21例7：设n 为自然数，求证：3237632855235n n n n A =--+能被1985整除．例8：⑴设n N +∈，证明：分数214143n n ++不可约．（第一届IMO 试题）⑵求使1356n n -+是一个非零的可约分数的最小正整数n ．（1985年美国竞赛题）例9：一个自然数能表为两个自然数的平方差，则称这个数为“智慧数”，比如221653=-，16就是一个“智慧数”．在自然数列中，从1开始的第2007个“智慧数”是多少？请说明理由．例10：求出所有的正整数n，使得202n+．n+能整除20032002（2002年首届女子数学奥林匹克题）．例11：求所有正整数,x y，使得23++=．这里z是x与y的最大公约数．x y z xyz（第36届IMO预选题）22例12：求所有的正整数对(),a b使得()()++++．ab b a b a b7（第39届（1998年）IMO试题）三、课后练习1．求证：⑴若n 是奇数，则()281n -； ⑵()132730n n -．2．⑴证明：()()6121n n n ++；⑵证明：方程319880x x --=没有整数解．3．⑴证明：在100内有多少个恰有10个正约数的自然数，把它们求出来． ⑵设,x y 是正整数，,667x y x y <+=，它们的最小公倍数除以最大公约数所得的商为120，求x 和y ．4．设n N ∈，求证：⑴()()221201526n n n n --+；⑵()22512332241n n n -+-．5．求最大的正整数k ，使得集合1,2,3,…,2004的任何一个()2004k -元子集中都至少有两个元素互素．6．⑴求最大的自然数x ，使得对每一个自然数y ，x 能整除7121y y +-． ⑵数列101、104、109、116…，通项为2100,1,2,n a n n =+=…，若设),(,1+=∀n n n a a d n ，求n d 的最大值．7．⑴证明：如果u 和v 是整数，22u uv v ++被9整除，那么u 和v 都被3整除．⑵求出所有的正整数n ，使得n8．设n 为大于6的整数，k a a a ,,21是所有小于n 且与n 互质的自然数，若：2132a a a a -=-=…1k k a a -=-,求证：n 或者为素数或者为2的幂．9．证明：如果n 是正奇数，那么，数2212(21)n n A +=-在十进制中的最末两位数为28．（1983年荷兰竞赛题）10．求出有序整数对(m, n)的个数，其中2199,199,()3m n m n m n ≤≤≤≤+++是完全平方数．（1999年美国邀请赛题）。

整除特征初步

即：如果c｜a，c｜b，那么c｜（a±b）。
例如：如果2｜10，2｜6，那么2｜（10＋6），
并且2｜（10—6）。
性质2：如果b与c的积能整除a，那么b与c都能整除a.即：如果bc｜a，那么b｜a，c｜a。
2.数的整除性质
性质3：如果b、c都能整除a，且b和c互质，那么b与c的积能整除a。即：如果b｜a，c｜a，且（b，c）=1，那么bc｜a。
第8讲
整除问题初步
目录
01 简单的尾数判断法 02 数字和判断法 03 位置原理初识
第一部分添加：文字简添单加文的字尾数判断法
例1
下面6个自然数：152，650，434，4375，9064，24125中，（1）哪些能被2整除？哪些能被5整除？末一位（2）哪些能被4整除？添哪加些文能字被25整除？（3）哪些能被8整除？哪些能被125整除？
添加文字
知识点总结：数的整除特征
被2整除：一个数的个位数字如果是0，2，4， 6，8中的一个被5整除：一个数的个位数字如果是0，5中的一个
例1
下面6个自然数：152，650，434，4375，9064，24125中，（1）哪些能被2整除？哪些能被5整除？末一位（2）哪些能被4整除？添哪加些文能字被25整除？末两位（3）哪些能被8整除？哪些能被125整除？
第三部分添加：文字同添时加文满字足多个数的整除特征
例5
在下面每个数的里填上一个数字，使它符合所提要求。（1）238 ，63 2能被2整除，又能被3整除。
（2）5 0，4 ， 89 同时能被2，5，3整除。
练5
在下面每个数的里填上一个数字，使它符合所提要求。 5 2 既能被3整除，又能被2整除，又能被5整除，那么一共有（）种填法。

第二讲数的整除(2)

第二讲数的整除复习【知识点】1、素数和合数一个数,如果只有1和它本身两个因数,这样的数叫做素数,也叫质数.一个数,如果除了1和它本身以外还有别的因数,这样的数叫合数.2、分解素因数把一个合数用素因数相乘的形式表示出来,叫做分解素因数【基本习题限时训练】1填空:在正整数中,既不是素数也不是合数的数是________,既是素数又是偶数的数是____________。

2 在14=2×7中,2和7都是14的()。

(A)素数(B)互素数(C)素因数(D)公因数3 将下列各数分解素因数,并用连乘的形式表示结果。

48;120﹔3384、39、47、57、83中为素数的有()(A) 39,47 (B) 47,57 (C)57,97 (D)47,835、12的素因数是()(A)1,2,3,4 (B)2,3 (C)2,2,3 (D)1,2,3,4,6,126、下列分解素因数正确的是()(A)42=2×21 (B)48=1×2×2×2×2×3(C)24=4×6 (D)62=2×317、下列说法中正确的是()(A)自然数包括素数和合数两类 (B)不存在最小的素数(C)1既不是素数,也不是合数(D)2是最小的合数8、两个素数相乘的积一定是()(A)奇数(B)偶数(C)素数(D)合数9、根据要求填空:在1,2,9,21,43,51,59,64这八个数中,(1)是奇数又是素数的数是();(2)是奇数不是素数的数是();(3)是素数而不是奇数的数是();(4)是合数而不是偶数的数是();(5)是合数而不是奇数的数是().10、将20写成两个质数之和,这两个质数最大乘积是多少? 【拓展题】1、一个素数,是两个数字组成的两位数,两个数字之和是8,两个数字之差是2,那么这个素数是几?2 一个素数的3倍与另一个素数的2倍之和是100,求这两个素数。

数学四年级-复习第二讲-除数是一位数的除法-提升版(教师版)人教版

第2讲除数是一位数的除法知识点一：口算除法1.一位数除整十、整百、整千数〔被除数首位能被整除〕的口算方法：〔1〕利用数的组成口算，先把被除数看成几个十、几个百、几个千，再除以一位数；〔2〕利用表内除法口算，用被除数0前面的数除以一位数，求出商后，再看被除数末尾有几个0，就在商的末尾添几个0；〔3〕想乘法算除法，看一位数乘多少等于被除数，乘的数就是所求的商。

2.一位数除几百几十数或几千几百数〔被除数前两位数能被一位数整除〕的口算方法：先用被除数的前两位数除以一位数，再在得数的末尾添上与被除数末尾同样多的0。

3.一位数除几十几〔被除数每一位都能被除尽〕的口算方法：可以把几十几分成几十和几，再分别除以一位数，最后把两次所得的商加起来。

知识点二：笔算除法1.一位数除两位数〔被除数首位能被除尽〕的笔算方法：先用一位数去除被除数十位上的数，商写在十位上，再用一位数去除被除数的个位数，商写在个位上。

2.一位数除两位数〔被除数首位不能被除尽〕的笔算方法和除法的验算方法：当被除数十位上的数不能被一位数整除时，被除数十位上的数除以一位数后，余下的数要和被除数个位上的数合并，再用除数去除。

不要忘记验算方法：商×除数=被除数〔没有余数的除法〕。

3.一位数除三位数〔商是三位数〕的笔算方法：从被除数的最高位除起，除到被除数的哪一位，就把商写在那一位的上面，每一位与除数相除后假设无余数，直接用被除数下一位上的数除以除数；假设有余数，要把余数与下一位上的数合起来继续除，每次除得的余数要比除数小。

4.一位数除三位数〔商是两位数〕的笔算除法：记住三点：1.从被除数的高位除起，先用除数除被除数的最高位，如果最高位上的数字比除数小，就用除数除被除数的前两位数；2.除到被除数的哪一位，就把商写在那一位的上面；3.每次除得的余数必须比除数小。

笔算后要验算，有余数的除法的验算方法：商×除数+余数=被除数。

5.商中间有0的笔算除法：〔1〕0除以任何不是0的数，都得0； 0不能作除数。