空间直角坐标系
空间直角坐标系
长度：使用直角坐标 系中的坐标值计算
面积：使用直角坐标 系中的坐标值计算
体积：使用直角坐标 系中的坐标值计算
角度：使用直角坐标 系中的坐标值计算
距离：使用直角坐标 系中的坐标值计算
相似性：使用直角坐 标系中的坐标值计算
平移：沿某个方向移动一定距 离不改变形状的大小和方向
旋转：绕某个轴旋转一定角 度改变形状的位置和方向
向量的坐标表示应用：向量的坐标表示方法在物理、工程、计算机科学等领域有着广泛的应 用。
向量的模：向量的长度表示为向量的平方和的平方根
向量的数量积：两个向量的点积表示为两个向量的坐标乘积的和
向量的坐标表示方法：用三个坐标值表示向量每个坐标值对应一个坐标轴
向量的数量积的坐标表示方法：用两个向量的坐标乘积的和表示向量的数量积每个坐标乘积 对应一个坐标轴
平移：沿坐标轴方 向移动保持原点位 置不变
旋转和平移的复合 ：先旋转后平移或 先平移后旋转
旋转和平移的逆操 作：旋转和平移的 逆操作可以恢复原 坐标系
空间直角坐标系的 表示方法
空间直角坐标 系：由三个互 相垂直的坐标 轴组成通常用x、
y、z表示
点的坐标表示： 用三个数字表 示分别对应x、 y、z轴上的坐
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汇报人：
示。
单位长度：平面直角坐标系中 的单位长度是固定的通常用1表
示。
空间直角坐标系是 三维的平面直角坐 标系是二维的
空间直角坐标系中的点 可以用三个坐标表示平 面直角坐标系中的点可 以用两个坐标表示
空间直角坐标系中 的点可以通过投影 变换转换为平面直 角坐标系中的点
平面直角坐标系中 的点可以通过升维 变换转换为空间直 角坐标系中的点
坐标轴：x轴、y轴、z 轴分别代表三个方向 的坐标。
空间直角坐标系
图 5－ 16－ 2
第 16 讲 │ 要点热点探究
(方法二)如图，以点 C 为坐标原点， 以 CB，CF 和 CD 分别为作 x 轴，y 轴和 z 轴，建立空间直角坐标系 C－xyz. 设 AB＝a，BE＝b，CF＝c，(b<c) 则 C(0,0,0)，A( 3，0，a)，B( 3， 0,0)，E( 3，b,0)，F(0，c,0)，D(0,0，a)． → ＝( 3，0,0)，CB → ＝( 3，0,0)， (1)DA → ＝( 3，b－c,0)， FE → |＝2，得 3＋(b－c)2＝4，∴b 由|FE －c＝－1.
→＝ (3)设 Q 为侧棱 PC 上一点，PQ →， λPC 试确定 λ 的值， 使得二面角 Q－ BD － P 为 45° .
点P的位置
坐标形式
(x,y,0) (0,y,z) (x,0,z)
例1 : 在长方体OABC DABC中， OA 3， OC 4， OD 2, 写出所有点的坐标 .
z
2 D ' (0, 0, 2)
C '0,4,2
B '(3, 4, 2)
4
3,0,2 A '
O 0,0,0
第 16 讲 │ 要点热点探究
如图 5－ 16－ 2，矩形 ABCD 和直角梯形 BEFC 所在 平面互相垂直，∠ BCF＝ 90° ， BE∥ CF， CE⊥ EF， AD＝ 3 ， EF＝ 2. (1)求异面直线 AD 与 EF 所成的角； (2) 当 二 面 角 D— EF— B 的 大 小 为 45° 时，求二面角 A— EC— F 的大小．
第 16 讲 │ 要点热点探究
要点热点探究 ► 探究点二 空间距离的有关问题
例 2 如图 5－ 16－ 3， 四面体 ABCD 中， O 是 BD 的中点， △ ABD 和△ BCD 均为等边三角形， AB＝ 2， AC＝ 6. (1)求证：AO⊥平面 BCD； (2)求二面角 A－ BC－ D 的余弦值； (3)求点 O 到平面 ACD 的距离．
空间直角坐标系
第 1 页 共 2 页空间直角坐标系1、空间直角坐标系：从空间某一个定点O 引三条 且有 单位长度的数轴Ox 、Oy 、Oz ，这样的坐标系叫做空间直角坐标系O-xyz ，点O 叫做 ，x 轴、y 轴、z 轴叫做 。
在画空间直角坐标系O-xyz 时，一般使∠xOy=135°，∠yOz=90°。
2、坐标平面：通过每两个坐标轴的平面叫做 ，分别称为xOy 平面、yOz 平面、 zOx 平面。
3、在空间直角坐标系中，空间一点M 的坐标可以用有序数组(x ，y ，z)来表示，有序数组(x ，y ，z)叫做点M 在空间直角坐标系中的坐标，记作M(x ，y ，z)，其中x 叫做 坐标，y 叫做 坐标，z 叫做 坐标.4、右手直角坐标系：在空间直角坐标系中，令右手大拇指、食指和中指相互垂直时，让右手大拇指指向为x 轴的正方向，食指指向y 轴的正方向，中指指向z 轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系。
注意：(1)在空间直角坐标系中，坐标平面xOy ，xOz ，yOz 上非原点的坐标有什么特点？(2)y 轴、z 轴上非原点的坐标有什么特点？5（1）空间中任意一点),,(1111z y x P 到点),,(2222z y x P 之间的距离公式： 22122122121)()()(z z y y x x P P -+-+-=（2）在空间直角坐标系O-xyz 中，设点P(x ，y ，z)、()111,,z y x A 、()222,,z y x B ， 则：点P 到原点O 的距离|OP|=222z y x ++ A 与B 两点间距离公式|AB|=212212212)()()(z z y y x x -+-+- 点A 与B 的中点()000,,z y x P 坐标公式：2,2,2210210210z z z y y y x x x +=+=+= 专题例题与练习：例1. 在空间直角坐标系中，到点M(3，—1，2)，N(0，2，1)距离相等且在y 轴上的点的坐标为___________例2. 与点P(1,3,5)关于原点对称的点是( )A 、(—1，—3，5)B 、(1，—3，5)C 、(—1，3，—5)D 、(—1，—3，—5) 例3. 已知空间两点M(2，3，6)，N(—m ，3，—2n)关于xOy 平面对称，则m+n=_________例4. 如图右侧，已知正方体ABCD －A′B′C′D′的棱长为a ，|BM|=|2MD’|，点N 在A′C′上，且|A′N|＝3|NC′|，试求MN 的长．练习1．若已知点A(1,1,1)，B(－3，－3，－3)，则线段AB 的长为( )A ．4 3B ．2 3C ．4 2D ．3 22．在空间直角坐标系中，点P(－5，－2,3)到x 轴的距离为( )第 2 页 共 2 页 A ．5 B.29 C.13 D.343．在空间直角坐标系中，已知点P(x ，y ，z)满足方程(x ＋2)2＋(y －1)2＋(z －3)2＝3， 则点P 的轨迹是( )A ．直线B ．圆C ．球面D ．线段4．已知点A(－3，1，4)，B(5，－3，－6)，则点B 关于点A 的对称点C 的坐标为________．5．以正方体ABCD －A1B1C1D1的棱AB 、AD 、AA1所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，且正方体的棱长为一个单位长度，则棱CC1的中点的坐标为( ) A.(21，1，1). B.(1，21，1). C. (1，1，21). D. (21，21，1).6．空间直角坐标系中，x 轴上到点P(4,1,2)的距离为30的点有( )A ．2个B ．1个C ．0个D ．无数个7．已知A(1，－2,11)，B(4，2，3)，C(6，－1，4)，则△ABC 的形状是( )A ．等腰三角形B ．锐角三角形C ．直角三角形D ．钝角三角形8．在空间直角坐标系中，一定点到三个坐标轴的距离都是1，则该点到原点的距离是() A.62 B.3 C.32 D.63。
空间直角坐标系.
(2) y z 坐标面上的抛物线 z = ay2 绕 z 轴旋转所 得的曲面方程为
z a( x y ),
2 2
z
该曲面称为旋转抛物面. 其特征是: 当 a < 0 时，旋转 抛物面的开口向下. 一般地，
方程
x y z 2 2 a b
2
2
2 2 2
1 2 1 2 2 ( x ) y (z ) 1 . 2 2
1 1 所以， 原方程表示球心在 ( , 0 , ) 半径为 1 的 2 2 球面.
2.母线平行于坐标轴的柱面方程
动直线 L 沿给定曲线 C 平行移动形成的曲面， 称为柱面，动直线 L 称为柱面的母线，定曲线 C 称 为柱面的准线. L 柱面的形成 C
z
一般地，方程
O x
y
四、空间曲线的方程
1.空间曲线的一般方程
F1 ( x , y , z ) 0 F2 ( x , y , z ) 0
称为空间曲线的一般方程 例 3 下列方程组表示什么曲线?
2 2 2 x 2 y 2 z 2 25 , x y z 25 , (1) (2) z 3 ; z 0 .
同理，曲线 C 绕 y 轴旋转成的曲面方程为
M
C
f ( y , x z ) 0.
2 2
O
y
旋转曲面的形成
例2
将下列平面曲线绕指定坐标轴旋转，试求
所得旋转曲面方程:
(1) y z 坐标面上的直线 z = ay( a 0 )， 绕 z 轴. 绕 z 轴. (2) y z 坐标面上的抛物线 z = ay2( a > 0 )，
空间直角坐标系
空间直角坐标系空间直角坐标系是一种用来描述物体在三维空间中位置的坐标系统。
它是一种常见且重要的坐标系，被广泛应用于数学、物理、工程等各个领域。
本文将详细介绍空间直角坐标系的定义、特点和使用方法。
一、空间直角坐标系的定义空间直角坐标系是由三个相互垂直的坐标轴构成的，通常用x、y、z表示。
x轴和y轴在水平平面上，z轴垂直于水平平面向上延伸。
在这个坐标系中，每个点可以由一个有序的三元组(x, y, z)唯一确定。
其中，x表示点在x轴上的坐标值，y表示点在y轴上的坐标值，z表示点在z轴上的坐标值。
二、空间直角坐标系的特点1. 三维描述：空间直角坐标系能够准确描述物体在三维空间中的位置。
通过确定点在x、y、z轴上的坐标值，可以得知物体在坐标系中的具体位置。
2. 直角关系：空间直角坐标系中的三个坐标轴彼此垂直。
这意味着任意两个轴的夹角为直角，使得坐标系的描述更加简洁明了。
3. 正负号：在空间直角坐标系中，每个坐标轴都有正负号之分。
通过正负号的不同，可以识别出点在轴的正方向还是负方向上。
三、空间直角坐标系的使用方法1. 坐标表示：在空间直角坐标系中，可以通过坐标表示物体的位置。
例如，一个点的坐标为(2, 3, 4)，表示该点在x轴上的坐标值为2，在y轴上的坐标值为3，在z轴上的坐标值为4。
2. 图形表示：使用空间直角坐标系，可以绘制出物体在三维空间中的图形。
例如，通过连接多个点可以绘制直线、曲线，通过连接多个面可以绘制立方体、圆柱体等。
3. 距离计算：在空间直角坐标系中，可以计算物体之间的距离。
根据勾股定理，可以计算出两点之间的直线距离。
例如，两点A(x1, y1,z1)和B(x2, y2, z2)之间的距离可以用以下公式表示：AB = √[(x2-x1)² + (y2-y1)² + (z2-z1)²]。
四、应用举例空间直角坐标系在许多领域有着广泛的应用。
以下是一些例子：1. 建筑设计：在建筑设计中，使用空间直角坐标系可以准确描述建筑物的位置、大小和形状，方便施工和规划工作。
空间直角坐标系
空间直角坐标系在数学和物理学中，空间直角坐标系是一种常用的坐标系统，用于描述三维空间中的点、向量和物体的位置。
它由三个互相垂直的坐标轴（x轴、y轴和z轴）组成，构成了一个三维的直角坐标系。
一、空间直角坐标系的定义空间直角坐标系以原点为起点，通过选定的单位长度建立了三个相互垂直的坐标轴。
x轴代表水平方向，y轴代表垂直于x轴的水平方向，z轴代表竖直方向垂直于x、y轴。
这样，每一个点都可以用三个数字（x，y，z）表示其在空间直角坐标系中的位置。
二、坐标轴的性质和方向在空间直角坐标系中，每个坐标轴都具有以下性质：1. x轴：位于水平方向，从负无穷到正无穷延伸。
正方向为从左往右。
2. y轴：位于垂直于x轴的水平方向，从负无穷到正无穷延伸。
正方向为从前往后。
3. z轴：位于竖直方向，从负无穷到正无穷延伸。
正方向为从下往上。
空间直角坐标系中，x轴和y轴的交点称为原点（O），z轴的正方向与x轴和y轴的正方向形成右手螺旋规则关系。
三、点的表示和距离计算在空间直角坐标系中，任意一点P的坐标为（x，y，z）。
这意味着点P在x轴上的坐标为x，在y轴上的坐标为y，在z轴上的坐标为z。
点P到原点的距离可以由勾股定理计算：距离= √(x² + y² + z²)四、向量和运算在空间直角坐标系中，向量可以用其起点和终点的坐标差来表示。
例如，向量V可以表示为V = (x2 - x1, y2 - y1, z2 - z1)，其中(x1, y1, z1)为起点坐标，(x2, y2, z2)为终点坐标。
向量的加法和减法可以分别通过坐标的相加和相减进行计算。
例如，向量A = (x1, y1, z1)和向量B = (x2, y2, z2)的加法结果为A + B = (x1 +x2, y1 + y2, z1 + z2)。
五、空间坐标系的应用空间直角坐标系在几何学、物理学、工程学等领域中都有广泛的应用。
它可以用来描述点、线、面和三维物体的位置关系和运动状态。
空间直角坐标系
返回
空间中点 P 坐标的确定方法 (1)由 P 点分别作垂直于 x 轴、y 轴、z 轴的平面，依次 交 x 轴、y 轴、z 轴于点 Px、Py、Pz，这三个点在 x 轴、y 轴、z 轴上的坐标分别为 x、y、z，那么点 P 的坐标就是(x， y，z)． (2)若题所给图形中存在垂直于坐标轴的平面，或点 P 在坐标轴或坐标平面上，则要充分利用这一性质解题．
返回
总结 1．求空间对称点的规律方法 空间的对称问题可类比平面直角坐标系中点的对称问 题，要掌握对称点的变化规律，才能准确求解．对称点的 问题常常采用“关于谁对称，谁保持不变，其余坐标相反” 这个结论． 2．空间直角坐标系中，任一点 P(x，y，z)的几种特殊 对称点的坐标如下： ①关于原点对称的点的坐标是 P1(－x，－y，－z)；
返回
空间中点的对称
[例 2] (1)点 A(1,2，－1)关于坐标平面 xOy 及 x 轴的 对称点的坐标分别是________．
(2)已知点 P(2,3，－1)关于坐标平面 xOy 的对称点为 P1， 点 P1 关于坐标平面 yOz 的对称点为 P2，点 P2 关于 z 轴的对 称点为 P3，则点 P3 的坐标为________．
返回
②关于x轴(横轴)对称的点的坐标是P2(x，－y，－z)； ③关于y轴(纵轴)对称的点的坐标是P3(－x，y，－z)； ④关于z轴(竖轴)对称的点的坐标是P4(－x，－y，z)； ⑤关于xOy坐标平面对称的点的坐标是P5(x，y，－z)； ⑥关于yOz坐标平面对称的点的坐标是P6(－x，y，z)； ⑦关于xOz坐标平面对称的点的坐标是P7(x，－y，z)．
空间直角坐标系
解: D( 0, 0, 2),
C( 0, 4, 0), A( 3, 0, 2), 过点 A 的 x 轴的垂面 AB 交 x 轴于点 A, 得 x 坐标为 3;
z
2 D
A
3A O
x
C B
C
4y
B
过点 A 的 y 轴的垂面 AO 交 y 轴于原点,
得 y 坐标为 0;
过点 A 的 z 轴的垂面 AC 交 z 轴于点 D,
得 z 坐标为 2.
例1. 如图, 在长方体 OABC-DABC中, |OA|=3,
|OC|=4, |OD|=2. 写出 D, C, A, B 四点的坐标.
解: D( 0, 0, 2),
C( 0, 4, 0), A( 3, 0, 2), B( 3, 4, 2). 过点 B 的 x 轴的垂面 BA
o
y
y
o
o
y
x
x
课本中采用的是右手直角坐标系, (如图)
二、点的坐标
点P的坐标: P (x, y, z), z 过点P作 x 轴的垂面,
与 x 轴交点的坐标
就是点P的 x 坐标; 过点P作 y 轴的垂面,
z
P● (x, y, z)
与 y 轴交点的坐标
o
y
y
就是点P的 y 坐标;
x
过点P作 z 轴的垂面, x
N22( 1,
1 2
,
12),
N24(
1 2
,
1,
1 2
),
N14( 1, 1, 1 ),
N21(
1 2
,
0,
1 2
),
N23( 0,
空间直角坐标系
一、空间向量的基本概念
平面向量
空间向量
定义
具有大小和方向的量
表示法 几何表示：有向线段 AB 字母表示: a
向量的模
向量的大小 AB a
相等向量 相反向量 单位向量 零向量
长度相等且方向相同的向量 长度相等且方向相反的向量 模为1的向量，没有规定方向 模为0的向量，与任何向量共线
空间任意两个向量都可以平移到同一个平面内，
( x y z 1)
判断四点共面，或直线平行 于平面
1.下列命题中正确的有：B
(1) p xa yb p 与 a 、b 共面 ; (2) p 与 a 、b 共面 p xa yb ；
(3) MP x MA y MB P、M、A、B共面；
(4) P、M、A、B共面 MP xMA yMB ；
预备知识
数轴Ox上的点M
实数x
O
直角坐标平面上的点M
y
M
x
x
实数对(x，y)
y A(x,y)
Ox
x
一、空间直角坐标系 —Oxyz
z
竖轴
1
纵轴
o
1
1
y
x
右手直角坐标系
横轴
右手直角坐标系：在空间直角坐标系中，让 右手拇指指向 x 轴的正方向，食指指向 y 轴的 正方向，如果中指指向 z 轴的正方向，则称这 个坐标系为右手直角坐标系．
【温故知新】
平面向量基本定理：
如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量， 那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有
一对实数1，2，使a＝1e1＋2 e2。
（e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。）
五、共面向量
2. 如果两个向量 a,不b 共线，
空间直角坐标系
4
3
O
y
1
D`
x
P3(1, 1,1) z
o
x
P1(1, 1, 1)
P(1,1,1)
y
P2 (1,1, 1)
四、空间点的对称问题：
点M(x,y,z)是空间直角坐标系O-xyz中的一点
(1)与点M关于x轴对称的点: (x,-y,-z) (2)与点M关于y轴对称的点: (-x,y,-z) (3)与点M关于z轴对称的点: (-x,-y,z) (4)与点M关于原点对称的点: (-x,-y,-z)
的坐标．并指出哪些点在坐标轴上，哪些点在坐标平面上．
z
(0，0，1) D '
(1，0，1) A '
C '(0，1，1)
B '(1，1，1)
O(0，0，0) C(0，1，0) y
A(1，0，0) B(1，1，0)
x
三、特殊位置的点的坐标：
z
•C
1
•
E
•
F
B
O• 1 •
•1
A
•D
x
点P的位置
y
原点O
小提示：坐标轴
[答案] A
空间直角坐标系中任意 一点的位置如何表示？
二、空间点的坐标：
设点M是空间的一个定点，过点M分别作垂直 于x 轴、y 轴和z 轴的平面，依次交x 轴、y 轴 和z 轴于点P、Q和R．
z
R M
O
Qy
P
M’
x
二、空间点的坐标：
设点P、Q和R在x轴、y轴和z轴上的坐标分别
是x,y和z,这样空间一点M的坐标可以用有序实
上的点至少有两个
坐标等于0；坐标面
空间直角坐标系
x轴和z轴所确定的坐标面称为xoz坐标面；
y轴和z轴所确定的坐标面称为yoz坐标面.
三个坐标平面将空间分为八个部分，称其 每个部分为卦限，它们分别是： 第一卦限
x>0,y>0,z>0， 第二卦限 x<0,y>0,z>0， 第三卦限 x<0,y<0,z>0，
第四卦限
第五卦限 第六卦限 第七卦限
z
Ⅲ Ⅳ O Ⅶ Ⅷ x Ⅴ
原点O 坐标为(0,0,0).
练习
1、在空间直角坐标系中标出下列各点： A(0,2,4) B(1,0,5) C(0,2,0) D(1,3,4)
z D 4
哪些在坐标轴上, 哪些在坐标平面上, 哪些在卦限里?
3
O
1 D`
y
x
点M（x，y，z）关于坐标轴的对称点 M（x，y，z） x轴 （x，－y，－z）
例3
试判定以A(4,1,9)，B(10,–1,6)，C(2,4,3)
为顶点的三角形ABC的几何特性. 解 由空间两点间距离公式有
| AB |2 (10 4) 2 (1 1) 2 (6 9) 2 49,
同理有
| AC | 49,
2
| BC | 98.
2
| AB | | AC | , AB AC，
1 1 （ ， ，1）． 2 2
思考：类比平面直角坐标系中两点间距离, 空间的两点之间的距离公式如何？
设空间两点 M1 ( x1, y1, z1)、M2 ( x2 , y2 , z2 ), 求 它们之间的距离 d = |M1M2|. 过点 M1 M2 各作三张平 z 面分别垂直于三个坐标轴，形成如图的长方体. 易知
空间直角坐标系
3.数量积不满足消去律
1.下列命题成立吗?
①若 a b a c ,则 b c
②若 a b k
,则 a
k b
③ ( a b) c a (b c )
2 ,ab 2 , 2. 已知 a 2 2 , b 2 135 则 a 与b 的夹角大小为_____.
角线长都等于a，点E、F、G分别是AB、AD、
DC的中点。求下列向量的数量积：
A F E D G C
(1) AB AC;(2) AD BD; (3)GF AC ;(4) EF BC.
4.如图，在空间四边形 ABCD 中，B AB 2 ， BC 3 ， BD 2 3 ， CD 3 ， ABD 30 ， ABC 60 ， 求 AB 与 CD 的夹角的余弦值
D' A' O B' z C'
A C 与 D B 相交于点P
写出点P的坐标。
C y x A
B
中点坐标公式
x1 x2 y1 y2 平面：P1 P2 的中点 ( , ) 2 2
类比
猜想
x1 x2 y1 y2 z1 z2 空间：P1 P2 的中点 ( , , ) 2 2 2
3.已知点M在平面ABC内，并且对空间任 1 1 意一点O， OM xOA ＋ OB ＋ OC ,则x 3 3 的值为： D
A. 1
B. 0
C. 3
4.已知A、B、C三点不共线，对平面外一点 O，在下列条件下，点P是否与A、B、C共面？ 2 1 2 (1) OP OA OB OC ; 5 5 5
预备知识
数轴Ox上的点M
M x
空间直角坐标系
坐标为
0,
7 8
,
1 2
.
P(x,y,z) P(x,y,z) P(x,y,z) P(x,y,z) P(x,y,z) P(x,y,z) P(x,y,z)
空间直角坐标系中的点的对称问题
P1(-x,-y,-z); P2(-x,y,z); P3(x,-y,z); P4(x,y,-z);
P5(x,-y,-z); P6(-x,y,-z); P7(-x,-y,z).
4.3.1 空间直角坐标系
坐标系 空间直角 坐标系
右手直角 坐标系
空间直角坐标系
定义
图示
空间直角坐标系Oxyz,其中点O 叫做① 坐标原点 ,x轴、y 轴、z轴叫做坐标轴,通过每两 个坐标轴的平面叫做② 坐标 平面 ,分别称为xOy平面、yOz 平面、zOx平面
在空间直角坐标系中,让右手拇 指指向x轴的正方向,③ 食指
确定空间中的点的坐标
1.确定空间中的点P(x,y,z)的方法 (1)垂面法:找到点P在三条坐标轴上的射影,方法是过点P作三个平面分别垂直于x 轴、y轴、z轴于A、B、C三点(A、B、C即为点P在三条坐标轴上的射影),点A、 B、C在x轴、y轴、z轴上对应的数分别为a、b、c,则(a,b,c)就是点P的坐标. (2)垂线法:先将P投射(沿与z轴平行的方向)到xOy平面上,记为点P1,由P1P的长度 及点P和z轴正方向在xOy平面哪侧确定竖坐标z,再在xOy平面上用同平面直角坐 标系中一样的方法确定P1的横坐标x、纵坐标y,最后得出点P的坐标(x,y,z).
2.求空间几何体中的点的坐标 (1)建立适当的空间直角坐标系. ①在几何体中找到三条两两垂直且共点的直线. ②以这三条直线为坐标轴建立空间直角坐标系. ③建立的坐标系不同,求出的点的坐标不尽相同. (2)通过解三角形等方法求出相关线段的长度. (3)利用线段长度结合符号写出各点坐标.
空间直角坐标系
从空间某一点O引三条互相垂直的射线 从空间某一点 引三条互相垂直的射线Ox、Oy、Oz. 引三条互相垂直的射线 并取定长度单位和方向， 并取定长度单位和方向，就建立了空间直角坐标系 .其 其 点称为坐标原点 数轴Ox, Oy, Oz称为坐标轴，每两 坐标原点， 称为坐标轴 中O 点称为坐标原点，数轴 称为坐标轴， 个坐标轴所在的平面Oxy、Oyz、Ozx叫做坐标平面 叫做坐标平面 个坐标轴所在的平面 叫做坐标平面. 三个坐标轴的正方向符合右手系 右手系. 三个坐标轴的正方向符合右手系 z 竖轴
2
解得x = 9或x = −1.
所以点P的坐标为（9，0，0）或（－1，0，0）。
12
例3 在xoy平面内的直线x+y=1上确定一点M，使M到 点N（6，5，1）的距离最小。 解 由已知，可设M（x，1－x，0），则
MN = ( x − 6) 2 + (1 − x − 5) 2 + (0 − 1) 2
射线AB， 分别为x轴 轴的正半轴， 射线 ，AD,AA分别为 轴，Y轴，z轴的正半轴，建立空间 分别为 轴 轴的正半轴 直角坐标系，求各顶点坐标。 直角坐标系，求各顶点坐标。
z
A’ B’ O C’ D’
o A
D C
Cy
x
B
7
回顾与复习
长方体的对角线公式 已知长方体的长、宽、高分别为a，b，c
D1 A1 D C b A a B B1 C1 c
P (3,−2,5), P2 (6,0,−1) 两点间 1
11
例2 给定空间直角坐标系，在x轴上找一点P，
使它与点P0 (4,1,2)的距离为 30。
解 设点P的坐标是( x,0,0),由题意，0 P = 30 , P
空间直角坐标系
空间直角坐标系4．3．1空间直角坐标系主要概念：空间直角坐标系----从空间某一个定点O引三条互相垂直且有相同单位长度的数轴Ox、Oy、Oz，这样的坐标系叫做空间直角坐标系O-xyz，点O叫做坐标原点，x轴、y轴、z轴叫做坐标轴。
坐标平面----通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为xOy平面、yOz平面、zOx平面。
右手直角坐标系----在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y 轴的正方向，若中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系。
空间直角坐标系中的坐标----对于空间任一点M，作出M点在三条坐标轴Ox轴、Oy 轴、Oz轴上的射影，若射影在相应数轴上的坐标依次为x、y、z，则把有序实数对(x, y, z)叫做M点在此空间直角坐标系中的坐标，记作M(x, y, z)，其中x叫做点M的横坐标，y 叫做点M的纵坐标，z叫做点M的竖坐标。
一、重点难点本节教学重点是建立空间直角坐标系，难点是用空间直角坐标系刻画点的位置和根据点的位置表示出点的坐标。
二、教材解读如果把坐标法理解为通过某一特定系统中的若干数量来决定空间位置的方法，那么战国时代魏人石申用距度（或入宿度）和去极度两个数据来表示恒星在天球上位置的星表，可以说是一种球面坐标系统的坐标法。
古希腊的地理学家和天文学家也广泛地使用球面坐标法。
西晋人裴秀（223－271）提出“制图六体”，在地图绘制中使用了相当完备的平面网络坐标法。
用坐标法来刻划动态的、连结的点，是它沟通代数与几何而成为解析几何的主要工具的关键。
阿波罗尼在<<圆锥曲线论>>中，已借助坐标来描述曲线。
十四世纪法国学者奥雷斯姆用“经度”和“纬度”(相当于纵坐标和横坐标)的方程来刻划动点的轨迹。
十七世纪，费马和笛卡儿分别创立解析几何，他们使用的都是斜角坐标系：即选定一条直线作为X轴，在其上选定一点为原点，y的值则由那些与X轴成一固定角度的线段的长表示。
空间直角坐标系
05
空间直角坐标系的发展 历程
空间直角坐标系的起源和发展
起源：古希腊时期， 欧几里得提出平面 直角坐标系
发展：16世纪， 笛卡尔将平面直角 坐标系推广到三维 空间
应用：17世纪， 牛顿和莱布尼茨使 用空间直角坐标系 进行科学研究
现代发展：20世 纪，空间直角坐标 系在物理学、工程 学等领域得到广泛 应用
04
空间直角坐标系与笛卡 尔坐标系的关系
笛卡尔坐标系的概念和性质
笛卡尔坐标系是 数学中常用的坐 标系之一，由法 国数学家笛卡尔 提出
笛卡尔坐标系由 三个相互垂直的 坐标轴组成，通 常用x、y、z表 示
笛卡尔坐标系中 的点可以用三个 坐标值（x、y、 z）来表示，这 三个坐标值分别 对应三个坐标轴 上的位置
空间直角坐标系
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汇报人：XXX
目录 /目录
01
空间直角坐标 系的定义
02
空间直角坐标 系的性质
03
空间直角坐标 系的应用
04
空间直角坐标 系与笛卡尔坐 标系的关系
05
空间直角坐标 系的发展历程
01 空间直角坐标系的定义
空间直角坐标系的定义和概念
空间直角坐标系是 描述三维空间中点 的位置的一种方法
空间直角坐标系由 三个互相垂直的坐 标轴组成，通常用 x、y、z表示
空间直角坐标系中 的点可以用三个坐 标值（x、y、z） 来表示
空间直角坐标系中 的点可以用向量来 表示，向量的起点 是原点，终点是点 所在的位置
空间直角坐标系的构成
原点：空间直角坐标系的中心点 坐标轴：x轴、y轴、z轴，分别代表三个相互垂直的方向 单位长度：规定每个坐标轴上的单位长度 坐标值：表示点在空间中的位置，由三个坐标值组成，分别对应x轴、y轴、z轴上的位置
空间直角坐标系
空间直角坐标系空间直角坐标系是在空间中用直角坐标来表示点的位置的一种坐标系。
它由三个相互垂直的坐标轴构成，分别为x轴、y轴和z轴。
这三个坐标轴通过原点O相交，并按照右手定则确定相互之间的正负方向。
在空间直角坐标系中，每个点P的位置可以用一个有序三元组(x, y, z)来表示。
其中，x表示点P在x轴上的投影长度，y表示点P在y轴上的投影长度，z表示点P在z轴上的投影长度。
这样，我们可以通过三个有序数来确定空间中的一个点的位置。
在空间直角坐标系中，各坐标轴之间的单位长度相等，且x轴与y轴在平面上呈直角，x轴与z轴在另一个平面上也呈直角，y轴与z轴在第三个平面上也呈直角。
这样，我们可以根据坐标轴的正负方向来确定点所在的象限和坐标轴。
空间直角坐标系在几何学、物理学、工程学等学科中广泛应用。
通过直角坐标系，我们可以描述和计算空间中的点、线、面、体等几何对象的位置和性质。
例如，在几何学中，可以通过坐标系方程来表示和研究直线、平面、球面等几何图形；在物理学中，可以利用坐标系对物体的运动、力学性质等进行描述和分析；在工程学中，可以利用坐标系来进行空间设计和布局等。
在空间直角坐标系中，我们还可以进行坐标变换、距离计算、角度计算、曲线方程的表示等操作。
通过坐标变换，我们可以将一个点在一个直角坐标系中的坐标转换到另一个直角坐标系中的坐标。
距离计算可以通过坐标差的运算来求得两点之间的距离。
角度计算可以通过向量的数量积来求得两个向量之间的夹角。
曲线方程的表示可以将曲线上的点的坐标表示为关于一个或多个变量的函数形式。
综上所述，空间直角坐标系是一种用于在空间中表示点位置的坐标系。
它通过三个相互垂直的轴和坐标的正负方向来确定点的位置。
空间直角坐标系在几何学、物理学和工程学等学科中都有广泛的应用，通过坐标系可以进行坐标变换、距离计算、角度计算和曲线方程的表示等操作。
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z
M（x，y，z）
O
x
y
y
x
思考:x轴、y轴、z轴上的点的坐标
有何特点？xOy平面、yOz平面、xOz
平面上的点的坐标有何特点？
z z
z O （x，y，z） M
y O
x
x
y
M′
y
x
思考:设点M的坐标为(a，b，c)过点M
分别作xOy平面、yOz平面、xOz平面的 垂线,那么三个垂足的坐标分别如何？
z
D1
A1 B1
C1
C
D
A B
y
x
知识探究
设点M是空间的一个定点，过点M分 别作垂直于x 轴、y 轴和z 轴的平面，依 次交x 轴、y 轴和z 轴于点P、Q和R．
z
R M
P
O
M’
Q
y
x
当建立空间直角坐标系后，
空间中的点M，可以用有序实 数（x，y，z）表示．
z
z M（x，y，z）
O
x
M′
y
y
x
有序实数组(x，y，z)称为点M的 空间坐标，其中x、y、z分别叫做点 M的横坐标、纵坐标、竖坐标.
高一年级数学必修2
问题提出
直角坐标平面上的点M，怎样表示？
M(x,y) y
O
x
知识探究
在空间中，取三条交于一点且两两 互相垂直的数轴：x轴、y轴、z轴，组 成空间直角坐标系Oxyz.
z
∠xOy=135° ∠yOz=90°
x
O
y
知识探究
在空间直角坐标系中,对三条数 轴的方向作如下约定：拇指指向为x 轴正方向，食指指向为y轴正方向,中 指向为z轴正方向,并称这样的坐标系 为右手直角坐标系. z
| OA |= x +y
2
2 2
C
2
O
| OB |=
| OC |=
y +z ,
x +z
2 2
y x A
思考:在空间直角坐标系中,设点 P(x，y，z)在xOy平面上的射影 为M,则点M的坐标是什么？|PM|, |OM|的值分别是什么？ M(x,y,0)
z O
2 2
|PM|=|z|
| OM |= x +y
z B M O A x y
C(a,0,c)
C
(0,b,c)
(a,b,0)
典例讲评
例1 如图，在长方体OABCD′A′B′C′中，|OA|=3,|OC|=4， |OD′|=2,写出长方体各顶点的坐标.
z D′ A′ O A B′ C B y C′
x
例2 结晶体的基本单位称为晶胞,下图 是食盐晶胞的示意图（可看成是八个棱长为 0.5的小正方体堆积成的正方体）,其中色点 代表钠原子,白点代表氯原子.如图建立直角 坐标系Oxyz,试写出全部钠原子所在位置的 z 坐标.
O
y
x
z
y O x x
z
y O
(1)
z x y O y
(2)
O z x
(3)
(4)
知识探究
在空间直角坐标系Oxyz中,其中点 O叫做坐标原点,x轴、y轴、z轴叫做坐 标轴,通过每两个坐标轴的平面叫做坐 标平面,并分别称为xOy平面、yOz平面、 z xOz平面
O
y
x
在长方体ABCD-A1B1C1D1中,以点D 为坐标原点建立空间右手直角坐标系, 那么x轴、y轴、z轴应如何选取？
O x
y
作业: P136练习：1，2，3. P138习题4.3A组：2.
问题提出
1. 在平面直角坐标系中两点间的 距离公式是什么？
2. 在空间直角坐标系中，怎样求 两点间距离？
思考:若直线P1P2 是xOy平面的一条斜线， 则点P1、P2的距离如何计算？
z
P1 O y x P2
A
N
M
| P1P2 |=
2
O
P1 N y
思考:
2
x
M
|点M、N之间的距离如何？ - y 2 ) MN |= (x 1 - x 2 ) + (y 1
2
思考:若直线P1P2垂直于xOy平面， 则点P1、P2之间的距离如何？
z O x P2 P1 y
|P1P2|=|z1-z2|
思考:若直线P1P2平行于xOy平面，
则点P1、P2之间的距离如何？
z P1 O y x M N P2
| P1P2 |= | MN |=
(x 1 - x 2 ) + (y 1 - y 2 )
2
2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ例讲评
例1 在空间中,已知点A(1,0,-1),
B(4,3,-1),求A、B两点之间的距离. 例2 已知两点A(-4,1,7)和B(3,5,-2), 点P在z轴上,若|PA|=|PB|,求点P的坐标.
(x 1 - x 2 ) + (y 1 - y 2 ) + (z 1 - z 2 )
2
2
2
典例讲评
例1 在空间中,已知点A(1,0,-1),
B(4,3,-1),求A、B两点之间的距离. 例2 已知两点A(-4,1,7)和B(3,5,-2), 点P在z轴上,若|PA|=|PB|,求点P的坐标.
例3 如图,点P、Q分别在棱长为1的 正方体的对角线AB和棱CD上运动,求P、 Q两点间的距离的最小值,并指出此时P、 Q两点的位置. z
例3 如图,点P、Q分别在棱长为1的 正方体的对角线AB和棱CD上运动,求P、 Q两点间的距离的最小值,并指出此时P、 Q两点的位置. z
A
P O M N B D
Q
C y
x
作业: P138练习：1，2，3，4.
P y
x
M
思考:如何点 P（x，y，z）与坐标原 点O的距离公式吗？
z O x P
y M
| OP |=
x +y +z
2
2
2
思考:在空间直角坐标系中，方程 x2+y2+z2=r2（r>0为常数）表示什 么图形是什么？
z
P
O y
x
知识探究
在空间中,设点P1(x1，y1,z1), P2（x2，y2，z2）在xOy平面上的射 P 影分别为M、N. z
A
P O M N B D
Q
C y
x
知识探究
在空间直角坐标系中,坐标轴上
的点A（x，0，0）,B（0，y，0）, C（0，0，z）,与坐标原点O的距离分
z
B O A C
别是什么？ |OA|=|x|
|OB|=|y| |OC|=|z|
y
x
思考:在空间直角坐标系中,坐标平 面上的点A(x，y，0),B(0，y，z)， C(x，0，z),与坐标原点O的距离 分别是什么？ z B