1自然数的序数理论与基数理论

比较大小。
等 代
数
性质9：自然数集具有阿基米德性质（即对任何两个
自然数a，b，一定存在自然数 c，使 ac b
研 究
性质10：自然数集具有离散性（即对任何两个相邻自然数 a, a 之间都不存在第三个自然数）。
性质11：(最小数原理)自然数集的任何非空子集都存在 一个最小数。
三、数学归纳法
定理12：（第一归纳法原理）：
3、自然数的减法和除法
自然数的减法与除法分别是加乘运算的逆运算
定义8：设A、B是两个有限集，并且 AI B , A B
集合C是集合A中与B等价的子集， 用符号 CA 表示集合C在集合A中的补集
则称集合 CA 的基数是 A 与 B 的差，记为
初 等
代
CA A B
数 研
究
定义9：对于两个自然数a、b，如果存在自然数c使 bc a, a,b,c N
设 p(n)是一个与自然数有关的命题，
如果：
（1）命题 p(n) 对n=1时成立；
初 等
代
（2）假设命题 p(n) 对自然数n=k 成立时，
数 研
命题 p(n) 对 n k 1 也成立。
究
那么，对一切不小于n0 的自然数命题 p(n) 都成立。
思考与练习
1、在自然数的基数理论中，证明自然数的乘法满足交换律
思考
如何读？有何区别？ 401室；401吨
双重意义：
一方面表示“数量”的意义，即回答“多少个”的问题；
一方面表示“次序”上的意义，即回答“第几个”的问初
题。
等 代
科学上有两种理论：一是基数理论，二是序数理论。
数 研
基数理论较好的反映了“多少个”的问题；序数理论较究
好的反映了“第几个”的问题，二者互相弥补。
（3）若 a b 那么 a c b c
推论：设 a, b, c, d 是四个自然数，并且 a b, c d
（或 a b, c d ），那么 a c b d（或 a c b d ）。
自然数的加法还满足加法消去律：
定理6：设 a, b, c 是三个自然数，
（1）若 a c b c 那么 a b
如此一步一步做下去，直到 3 7 3 6 (3 6) 9 10
定理3：自然数的加法满足结合律和交换律，即对于任意 a,b,c N 有
（1） (a+b)+c = a+(b+c)
（2） a+b = b+a （证明略）
2、自然数的大小
初
等
定义12：对于 a,b N 如果存在 c N 使 a c b
AUB A B
定理1：自然数的加法满足结合律和交换律，即对于任意
初
a,b,c N 有
等 代
数
研
（1） (a+b)+c = a+(b+c)
究
（2） a+b = b+a
ຫໍສະໝຸດ Baidu
（证明略）
2、自然数的乘法
定义7 设b个等价集合A1，A2，…，Ab(其中任何两个集合的 交集都是空集)的基数都是a，如果A1∪A2∪…∪Ab=C，那么 集合C的基数c叫做a与b的积，记作a·b=c(或a×b=c，或
2、利用最小数原理证明定理12.
3、用数学归纳法证明：平面上的n条直线至多可以把
平面分割成
n2 n 1
2
初 等 代 数
个互不相通的平面区域
研 究
ab=c)。a叫做被乘数，b叫做乘数。求积的运算叫做乘法。
初
注：求自然数a乘以b的积就是求b个相同加数a的和
等 代
数
定理2：自然数的乘法满足下列算律，即对于任意 a,b,c N 有
研 究
(1) (ab)c a(bc) (2) ab ba
结合律 交换律
证明略
(3) a(b c) ab ac 乘法对加法的分配率
叫做自然数集
第二节 自然数的基数理论与序数理论
2.1 自然数的基数理论 2.2 自然数的序数理论
初 等 代 数 研 究
2.1 自然数的基数理论
一、自然数的概念
1、集合的对等
自然数的基数理论以集合论的基本概念为基础。在集合论
中，如果集合A和B的元素之间可以建立一一对应关系，就
称集合A与B等价，记作A∽B，且满足以下的性质：
即 a b a b 等
（4）除1外，N的任何一个元素只能是一个元素的后继，
代 数
即
a b a b
研 究
（5）（归纳公理）对于N的任何一个子集M，如果满足
10 20
1 M
a
M
a
M
就可以推出M N
那么这个集合的元素叫做自然数。
二、序数理论下的自然数四则运算
1、加法
定义11：设 a N 定义 a 1 a
初
等
（1）反身性：A∽A；
数 学
（2）对称性：A∽B，则B∽A；
专 题
研
（3）传递性：若A∽B，B∽C，那么A∽C
究
定义1：如果一个集合能与自己的一个真子集等价，这样 的集合叫无限集；否则叫做有限集
2、集合的基数
定义2：如果A、B是两个等价集，则我们称等价集的共
同特征为基数，集合A的基数记为 A
若 A B 则规定集合A的基数不小于集合B的基数
代 数
研
则称a小于b，记为 a b 也称b大于a，记为 b a
究
在这个定义下，任何两个自然数都可以比较大小（顺序）。
也就是说，自然数的大小关系具有三歧性：
定理4：任意两个自然数a、b，下面三个关系成立且
只成立一个： a b, a b, a b
证明从略
除了三歧性之外，这种顺序还有反对称性和传递性的特点；
等 代
即
N {0,1, 2,L , nL }
数 研
4、自然数的大小和顺序
究
定义5：设A、B是两个有限集，C是集合A的真子集，
如果B∽C，则称 A B
按照这个定义，自然数有下列大小关系，并且可按照序排列
01 2 3L
二、自然数的四则运算
1、自然数的加法 定义6：设A、B是两个有限集，并且 AI B 则称集合 AUB 的基数是集合A与B的基数的和，记为
关于0的争议——P13
有人认为自然数为正整数，即从1开始算起； 有人认为自然数为非负整数，即从0开始算起。 到21世纪关于这个问题也尚无一致意见。
在数论中，多采用前者；而在集合论中，则多
初 等
采用后者。
代 数
我国93年规定——自然数集包括0。现行九年
研 究
义务教育教科书和高中教科书都把非负整数集
则称c是a除以b的商，记为 c a b, a,b,c N
2.2 自然数的序数理论 一、自然数的皮亚诺公理
定义10：设N是非空集合，集合N的元素间有一个基本 关系叫“后继”（ 用符号“ˊ”表示），并且这个集合以及 这个关系满足下面五条公理:
（1） 1 N
（2）对任意 a N , a 1
初
（3）对任意 a N 都有一个后继元
对于 a、b N, 定义 a b (a b)
其中的 a、 b 叫做加数，
a b 叫做它们的和。
初
等
这个定义实质上给出了加法的具体步骤。
代 数
例1：求3+7
研 究
解：按定义11 3 1 3 4
3 2 3 1 (3 1) 4 5
3 3 3 2 (3 2) 5 6
究
跟基数理论一样，可以证明，自然数的乘法满足结合律、 交换律、乘法对加法的分配律。
5、除法
定义14：对于任意两个自然数 a, b 如果存在自然数c，使
那么c叫做a被b除得的商a，记b作 c c a b
三、自然数集的性质
性质8：自然数集是全序集。
这条性质是说，任何两个自然数都可以在运算的意义下
初
记为
cab
4、乘法
定义13：（1）设 a N 定义 a 1 a
（2）设 a,b N 定义 a b a b a
例2：求 3 7
解
3 1 3, 3 2 3 1 3 1 3 3 3 6
初
3 3 3 2 3 2 3 6 3 9
LLLL
等 代 数 研
3 7 3 6 3 6 3 18 3 21
即
A B
初
定义3：有限集的基数叫做自然数
等 代
数
3、冯·诺伊曼的自然数体系
研 究
定义4：设φ表示空集，规定集合φ的基数为0，即
0
其余的自然数按下列规则构造：
{} 1
{,{}} 2
{,{},{,{}}} 3
…………………………
依照上述规则，全体自然数就构造出来：
0，1，2，……，n，……
初
全体自然数作成的集合叫做自然数集，用N表示
若 ab 则 ba
若 a b, b c（或 a b, b c ），则 a c （或 a c ）。 初
等
在这种大小顺序下，自然数的加法满足加法单调律：
代
数
研
定理5：设 a, b, c 是三个自然数，
究
（1）若 a b 那么 a c b c （2）若 a b 那么 a c b c
（2）若 a c b c 那么 a b
初
（3）若 a c b c 那么 a b
等 代
数
3、减法
研 究
定理7：对于任意两个自然数 a, b
当 a b 时，必存在自然数c，使 a b c
定义12 对于任意两个自然数 a, b 并且 a b
使 a b c成立的自然数c叫做a减b的差