第20题 正方体涂漆

第20题正方体涂漆
由n3(n=2，3，…)个单位正方体可以组成一个体积为n×n×n的正方体(如图20—1，由53个单位正方体组成一个体积为5×5×5的正方体)，将它的表面涂漆后，再把它分解成原来的单位正方体。

问有多少个单位正方体三面涂漆？有多少个两面涂漆？有多少个一面涂漆？有多少个没有涂漆？
分析：我们可以通过观察n=2，3，4，5，6…的特例，编排数表，寻找模式。

从表20—1可以发现，对任一个n(n=2，3，4，…)，3面涂漆的单位正方体的个数都是8，而且这8个单位正方体恰好位于n×n×n的正方体的顶点处。

进一步观察，又将发现，2面涂漆的单位正方体都位于大正
方体的12条棱处。

对于n=3，每条棱上恰有1个，所以共有12个；对于n＝4，每条棱上恰有2个，所以共有2×12=24个……同样，1面涂漆的单位正方体都位于大正方体的6个面上，而不在大正方体表面的单位正方体都没有涂漆。

由以上规律，我们将很容易给出问题的解。

解：因为只有在n×n×n的正方体的8个顶点处的单位正方体才是3面涂漆的，所以共有8个单位正方体3面涂漆。

因为只有在n×n×n的正方体的12条棱处且不在顶点处的单位正方体才是2面涂漆的，所以共有12(n-2)个单位正方体2面涂漆。

同样，1面涂漆的单位正方体都位于n×n×n的正方体的6个面上且不在12条棱处，所以共有6(n-2)2个单位正方体1面涂漆。

余下的(n-2)3个单位正方体都没有涂漆。

回顾：观察n=2，3，4，…时，3面涂漆的单位正方体的个数所组成的数列(表20-1的第3列)，2面涂漆的单位正方体的个数所组成的数列(表20-1的第4列)，1面涂漆的单位正方体的个数所组成的数列(表20-1的第5列)，0面涂漆的单位正方体的个数所组成的数列(表20-1的第6列)，我们发现，第1个数列8，8，8，8，8…是一个常数列，而第2个数列0，12，24，36，48，…有什么性质呢？如果我们把这数列的每一项去减它右边的项。

0—12—24—36—48…
↓↓ ↓ ↓
12 12 12 12…
就得到一个新的数列12，12，12，12…，它也是一个常数列。

如果我们把第3个数列0，6，24，54，96，…的每一项去减它右边的项，
0—6—24—54—96…
↓↓↓↓
6 18 30 42…
得到一个新的数列6，18，30，42，…，再把这数列的每一项去减它右边的项，再次得到一个常数列12，12，12，…。

给定一个数列｛a n｝=｛a0，a1，a2，…，a n，…｝，我们把
b n＝a n+1—a n
叫做数列｛a n｝的差分，把数列｛b n｝=｛a1-a0，a2-a1，…，a n-a n-1，…｝叫做｛a n｝的一阶差分数列，把数列｛b n｝的一阶差分数列｛b2-b1，b3-b2，…，b n+1-b n，…｝叫做｛a n｝的二阶差分数列，再把｛a n｝的二阶差分数列的一阶差分数列叫做｛a n｝的三阶差分数列，依次类推。

有了差分数列的概念后，再看上述问题所得到的4个数列，就会发现这样的规律：
第2个数列0，12，24，36，48，…，12(n-2)，…的一阶差分数列
12，12，12，12，…
是非零的常数列，它的通项12(n-2)为n的1次多项式；第3个数列
0， 6， 24， 54， 96，…， 6(n-2)2，…
的二阶差分数列也是非零的常数列，它的通项6(n-2)2为n的2次多项式；
对于第4个数列
0， 1， 8， 27， 64， 125， 216，…，(n-2)3 ，…，
它的通项(n-2)3为n的3次多项式，那么是否它的三阶差分数是一个非零的常数列呢？
可以看到，第4个数列的三阶差分数列是一个非零的常数列。

一般地，数列｛a n｝的k阶差分数列为非零的常数列的充要条件是它的通项a n为n的k次多项式。

利用上述结果，我们可以从一个数列的前若干项来猜测它的通项。

因为数列｛a n｝的通项an不一定是n的k次多项式，而用计算差分所猜
测的通项只能是n的多项式，所以对猜测的结果必须加以证明。

例如，我们从上述的第4个数列的前7项
0，1，8，27，64，125，216，
发现它的三阶差分数列是一个非零常数列6，6，6，6。

于是，我们立即可以猜测它的通项是n的3次多项式，设为
a n=an3+bn2+cn+d
这样就可以用待定系数法求出a，b，c，d，因为
a2＝23·a+22·b＋2c+d＝0
a3=33·a＋32·b+3c+d＝1
a4=43·a＋42·b＋4c＋d＝8
a5＝53·a＋52·b+5c＋d＝27
所以由解上述方程组可得
a=1，b=-6，c=12，d=-8
于是，我们从表20—1的前若干项，用差分的方法，可以猜测第4个数列的通项为
a n=n3-6n2+12n-8=(n-2)3
因此，可以猜测，一个表面涂漆的体积为n×n×n的正方体中有(n-2)3个单位正方体没有涂漆。

同样，据观察n=2，3，4，5，6的特例，直接利用差分方法，可以猜测，2面涂漆的有12(n-2)个，1面涂漆的有6(n-2)2个。

根据一个数列｛a n｝的前若干项，利用差分方法，猜测它的通项。

在通项a n恰是n的多项式时，这确是一个有效的方法。

因为从所猜测的结果可以受到某些启示，帮助我们最终解决问题。

下面我们再来讨论一个问题：
顺次计算数列12，12＋22，12＋22＋32，12＋22＋32＋42，12＋22＋32＋42＋52，12＋22+32+42＋52＋62，…的前6项的值，由此猜测
a n=12＋22+…＋n2
求和的结果。

根据12=1，12＋22=5，12＋22＋32=14，12＋22＋32＋42=30，12+22+32＋42＋52=55，12＋22＋32+42＋52+62=91，计算数列1，5，14，30，55，91，…的差分
由于三阶差分数列是非零的常数列，所以猜测an是n的3次多项式an3＋bn2＋cn＋d，利用待定系数法，还可进一步求出a，b，c，d的值：
解四元一次方程组
得
因此，可以猜测
即
有了上式的猜测，如果我们学过数学归纳法，就可以用数学归纳法证明(1)式对任何的自然数n都成立。

注：差分是“计算方法”(数学的一个分支)中的一个重要概念，而计算方法所研究的数学问题的求解算法是与计算机密切相关的。

虽然差分非常有用，但这里就不再进一步介绍了。

练习20
1．用差分方法从给定数列｛an｝的前6项
4，9，18，31，48，69，
猜测它的通项(a n｝。

2．计算凸n边形当n=3，4，5，6，7时的对角线条数，用差分方法猜测凸n边形的对角线条数a n。

3．
上表中r(n)表示将n写成若干个数字1和2之和的方式的个数(不考虑和式中各数的前后次序)。

例如，
4=1＋1＋1+1=1＋1＋2=2＋2，
所以r(4)=3，其中1＋1＋2，1＋2＋1，2＋1＋1都是同一种方式。

(1)计算r(6)，r(7)和r(8)；
(2)猜测r(n)的公式，并给予证明。