中考数学专题复习教(学)案圆

合集下载

九年级数学上人教版《圆》教案

《圆》教案
一、教学目标
(一)知识与技能
了解圆的有关基本概念，掌握圆的基本性质，理解垂径定理、弧、弦的关系以及圆心角、弧、弦的关系，并能运用这些性质进行简单的计算。

(二)过程与方法
通过观察、操作、推理、交流等活动，发展学生的空间观念和推理能力，同时培养学生的观察力和动手操作能力。

(三)情感态度和价值观
让学生在学习过程中感受圆在生活中的广泛应用，体会数学的价值，同时培养学生的合作精神和独立思考的习惯。

二、教学重难点
(一)教学重点
1.掌握圆的基本性质，理解垂径定理、弧、弦的关系以及圆心角、弧、弦的
关系。

2.能运用圆的相关性质进行简单的计算。

(二)教学难点
1.理解垂径定理及其推论。

2.理解弧、弦的关系以及圆心角、弧、弦的关系。

3.能运用圆的相关性质解决实际问题。

三、教学准备
教师准备多媒体课件、圆规、直尺等教学工具；学生准备圆规、直尺等学习工具。

四、教学过程
(一)导入新课
教师通过多媒体展示一些与圆有关的图片或动画，引导学生观察并思考：什么是圆？圆有哪些基本性质？如何画出一个标准的圆？……从而引出本节课的主题——圆。

(二)学习新课
1.了解圆的基本概念
教师通过多媒体展示一些与圆有关的图片或动画，引导学生观察并思考：什么是圆？圆有哪些基本性质？如何画出一个标准的圆？……从而引出本节课的主题——圆。

中考考前专题复习——圆

中考考前专题复习——圆一、考点知识1、圆心角和圆周角及其定理2、点、直线、圆与圆的位置关系3、切线及其定理4、弧长及扇形的面积二、中考题型回顾1. (湖南湘西,7,3分)若两圆外切，圆心距是7，其中一圆的半径为4，另一个圆的半径为________.2．如图，P 是⊙O 的直径AB 延长线上的一点，PC 与⊙O 相切于点C ，若∠P=-20°，则∠A=___________°。

3．如图2，已知⊙O 是△ABC 的外接圆，且∠C=70°，则∠OAB=____． 4．（2011湖南衡阳，16，3分）如图，⊙O 的直径CD 过弦EF 的中点G ，∠EOD =40°，则∠FCD 的度数为．5．若⊙O 的半径为5cm ，点A 到圆心O 的距离为4cm ，那么点A 与⊙O 的位置关系是A. 点A 在圆外B. 点A 在圆上C. 点A 在圆内D. 不能确定 6.如图2,以O 为圆心的两个同心圆中,大圆的弦AB 切小圆于点C , 若120AOB ∠= ,则大圆半径R 与小圆半径r 之间满足A.3R r =B.3R r =C.2R r =D.22R r =7．如图，在平面直角坐标系中，⊙P 的圆心是（2，a ）(a ＞2)，半径为2，函数y =x 的图象被⊙P 的弦AB 的长为23，则a 的值是 A ．23B ．222+C ．23D ．23+8．（2011浙江杭州，5，3）在平面直角坐标系xOy 中，以点(-3，4)为圆心，4为半径的圆（）A ．与x 轴相交，与y 轴相切B ．与x 轴相离，与y 轴相交C ．与x 轴相切，与y 轴相交D ．与x 轴相切，与y 轴相离ABO C 图2(第6题)A BBPxyy=x三、中考考前专题训练1．如图5，△ABC 内接于⊙O ，已知∠A =55︒，则∠BOC = .2．如图2，AB 是⊙O 的切线，半径OA =2，OB 交⊙O 于C ， ∠B ＝30°，则劣弧AC 的长是．（结果保留π）3．（11·永州）如图，在⊙O 中，直径CD 垂直弦AB 于点E ，连接OB,CB ，已知⊙O 的半径为2，AB=32,则∠BCD=________度．4.如图，AB 切⊙O 于点B ，OA=23，AB=3，弦BC//OA ，则劣弧BC 的弧长为（）A.π33 B. π23C. πD. π235．矩形ABCD 中，AB ＝8，35BC =，点P 在边AB 上，且BP ＝3AP ，如果圆P 是以点P 为圆心，PD 为半径的圆，那么下列判断正确的是（）．(A) 点B 、C 均在圆P 外； (B) 点B 在圆P 外、点C 在圆P 内； (C) 点B 在圆P 内、点C 在圆P 外； (D) 点B 、C 均在圆P 内． 6.如图5，在O 中，圆心角120AOB ∠= ，弦23AB cm =，则_______OA cm =。

人教版中考数学考点系统复习第六章圆第一节圆的基本性质

论有
( C)
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
10．(2021·随州第12题3分)如图，⊙O是△ABC的外接圆，连接AO并延长交⊙O于点D，若∠C＝50°，则∠BAD的度数为440 0°°.
11．(2022·随州第12题3分)如图，点A，B，C在⊙O上，若∠ABC＝60 °，则∠AOC的度数为121020°°.
另解：计算∠AEB＝135°也可以得证．
(2)若AB＝10，BE＝2 10，求BC的长．解：如图，连接 OC，CD，OD，OD 交 BC 于点 F. ∵∠DBC＝∠CAD＝∠BAD＝∠BCD，∴BD＝DC. ∵OB＝OC，∴OD 垂直平分 BC. ∵△BDE 是等腰直角三角形，BE＝2 10， ∴BD＝2 5. ∵AB＝10，∴OB＝OD＝5. 设 OF＝t，则 DF＝5－t. 在 Rt△BOF 和 Rt△BDF 中， 52－t2＝(2 5)2－(5－t)2. 解得 t＝3.∴BF＝4.∴BC＝8.
长是
( A)
A．10
B．8
C．6
D．4
7．★(2019·十堰第8题3分)如图，四边形ABCD内接于⊙O，AE⊥CB交CB 的延长线于点E，若BA平分∠DBE，AD＝5，CE＝ 13，则AE的长为( D ) A．3 B．3 2 C．4 3 D．2 3
8．(2022·宜昌第7题3分)如图，四边形ABCD内接于⊙O，连接OB, OD,
(4)若∠CAB＝30°，则∠CDB＝3300°°，∠COB＝6600°°，∠OCB＝6600°°；若
B 为︵CD的中点，则∠BCD＝3300°°； (5)当 CD⊥AB 时，若 AB＝10，CD＝8，则 BE＝22，AE＝88，BC＝22 5 ， AC＝44 5 ；

中考数学复习-几何专题复习-教案

中考数学复习-几何专题复习-教案一、教学目标1. 知识与技能：巩固和掌握初中阶段几何的基本知识和技能，提高解题能力。

2. 过程与方法：通过复习，使学生能够灵活运用几何知识解决实际问题，培养学生的逻辑思维能力和空间想象能力。

3. 情感态度与价值观：激发学生学习几何的兴趣，提高学生对数学学科的认同感和自信心。

二、教学内容1. 第一课时：三角形的全等和相似教学重点：全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质。

教学难点：全等三角形和相似三角形的应用。

2. 第二课时：四边形的性质和判定教学重点：四边形的性质和判定方法。

教学难点：四边形性质和判定方法的综合运用。

3. 第三课时：圆的性质和判定教学重点：圆的性质和判定方法。

教学难点：圆的性质和判定方法在实际问题中的应用。

4. 第四课时：角的计算和证明教学重点：角的计算方法和证明方法。

教学难点：角的计算和证明在实际问题中的应用。

5. 第五课时：几何图形的面积和体积教学重点：几何图形的面积和体积计算方法。

教学难点：几何图形面积和体积计算在实际问题中的应用。

三、教学过程1. 复习导入：通过复习已学过的几何知识，引导学生回顾和巩固相关概念、定理和公式。

2. 讲解与示范：针对每个课时的教学内容，进行详细的讲解和示范，引导学生理解和掌握相关知识和技能。

3. 练习与讨论：布置适量的练习题，组织学生进行练习和讨论，巩固所学知识，提高解题能力。

四、教学评价1. 课堂表现：观察学生在课堂上的参与程度、提问回答等情况，了解学生的学习状态。

2. 练习成果：评估学生在练习中的表现，检查学生对知识的掌握程度。

3. 期中期末考试：通过期中期末考试，全面评估学生的复习效果。

五、教学资源1. 教材：选用合适的中考数学复习教材，为学生提供系统的复习资料。

2. 习题集：挑选适合学生水平的习题集，提高学生的解题能力。

3. 教学课件：制作精美的教学课件，辅助讲解和展示教学内容。

4. 教学视频：收集相关的教学视频，为学生提供更多学习资源。

浙江中考数学考点专题复习--专题七《圆》

浙江中考数学考点专题复习----专题七《圆》●中考点击考点分析：内容要求 1、圆、等圆、等弧等概念及圆的对称性，点和圆的位置关系以及其有关概念 Ⅰ 2、弧、弦、圆心角、弦心距四者之间的关系，能根据具体条件确定这四者之间的关系Ⅱ 3、圆的性质及圆周角与圆心角的关系、直径所对圆周角的特征，灵活运用圆周角的知识进行有关的推理论证及计算Ⅱ 4、垂径定理的应用及逆定理的应用，会添加与之相关的辅助线 Ⅱ 5、圆与三角形和圆内接四边形的知识及综合运用Ⅱ命题预测：本专题主要考查圆的重要性质以及和圆有关的角、线段、环长和面积的计算，另外也会考查圆与勾股定理、相似三角形知识的综合应用．其中，点和圆、直线和圆的位置关系的判断以及和圆有关的简单计算一般以选择填空题形式考查；有关圆与图形的相似、三角函数、函数等知识的综合应用一般是以证明、阅读理解、探索存在等解答题的形式考查．从2005和2006年各地区中考试题中有关圆的考查内容占分比例分析，课改区一般占到10%左右，而非课改区以往对这一部分较为看重，前几年一般占到20%以上，但近年已降至14%左右，不难看出正逐步向课改区靠拢，而且难度也有所降低．预测2008年中考这部分内容的考查会更加贴近生活，重视实用，同时强调基础，突出能力的考查．●难题透视例1如图7-1，在中，弦平行于弦BC ，若80AOC ∠=，则DAB ∠=____度．【考点要求】本题主要考查圆中圆心角与圆周角之间的关系．【思路点拔】∵∠B=12∠AOC ，80AOC ∠= ∴∠B=40° ∵AD ∥BC∴DAB ∠=∠B =40°【答案】填：40【方法点拨】本题部分学生不能很快发现所求角与已知角之间的关系．突破方法：抓住题中的所在条件，如本题中的两条弦平行，由此可将∠DAB 转化为∠ABC ，然后再利用圆周角与圆心的角关系求解．解题关键：本题要求学生要熟悉同弧所对的圆周角与圆心角之间的关系，即同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，同时还要根据平行线的性质进行解题．例2如图8-2，AB 是的⊙O 的直径，BC 、CD 、DA 是⊙O 的弦，且BC=CD=DA ，则∠BCD=（）A ．1000B ．1100C ．1200D ．1350【考点要求】本题考查了圆中弧、弦、圆心（周）角之间的关系，以及直径所对的弧是半圆等基本知识．【思路点拔】∵AB 是的⊙O 的直径ADC B O图7-1图7-2∴ACB 度数是1800 ∵BC=CD=DA ∴BC =CD =DA ∵∠BCD=001(18060)2=1200 【答案】选填C【方法点拨】本题要求学生要能比较熟悉圆中的弧、弦和圆心角之间的有关系，即同圆中相等的弦所对的弧相等，所对的圆心角也相等，同时还要知道直径是圆的一条特殊的弦，其所对的圆心角等于180°，以及圆心角与圆周角之间的关系，综合运用这些知识，容易理解要求某个圆周角，只需求得其所对的弧的度数．例3已知：AB 和CD 为⊙O 的两条平行弦，⊙O 的半径为5cm ，AB=8cm ，CD=6cm ，求AB 、CD 间的距离是．【考点要求】本题考查圆中弦、弦心距等与弦有关的计算问题．【思路点拔】由于圆内的的两条弦均小于圆的直径，因此可确定出圆中的两条平行弦的位置关系有两种：一是位于圆心的同侧；二是位于圆心的异侧．如图8-3：过O 作EF ⊥AB ，分别交AB 、CD 于E 、F ，则AE=4㎝，CF=3㎝，由勾股定理可求出OE=3㎝，OF=4㎝．故当AB 、CD 在圆心异侧时，距离为7㎝，在圆心同侧时，距离为1㎝．【答案】填：7㎝或1㎝【方法点拨】本题难点有两个：一是有不少学生容易只考虑其中的一种情形，而忽视另一情形；二是辅助线的添加．突破方法：一般几何填空题中，如果不配图，在自己作图时，应全面考虑各种可能情况．圆中与弦有关的计算或证明问题，往往需要连结半径和弦心距，以构造直角三角形，从而应用勾股定理进行计算．例4用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹．某居民小区一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需确定管道圆形截面的半径，如图7-5图是水平放置的破裂管道有水部分的截面．（1）请你补全这个输水管道的圆形截面；（2）若这个输水管道有水部分的水面宽AB ＝16cm ，水面最深地方的高度为4cm ，求这个圆形截面的半径．【考点要求】本题考查圆内心的确定，及与弦有关计算问题，同时考查学生动手操作图形的能力和利用基本知识解决简单问题的能力．【思路点拔】（1）正确作出图形，如图7-6并做答．（2）过O 作OC ⊥AB 于D ，交弧AB 于C ，∵OC ⊥AB ， ∴BD ＝21AB ＝21×16＝8cm ．由题意可知，CD ＝4cm ．设半径为x cm ，则OD ＝（x －4）cm ．在Rt △BOD 中，由勾股定理得：OD 2＋BD 2＝OB 2， ∴( x －4)2＋82＝x 2．图7-5B A (A)(B)CD E F 图7-3图7-6∴x ＝10．【答案】这个圆形截面的半径为10cm ．【方法点拨】这是一道作图与解答相结合的中考题，部分学生不会补全整个圆面或者补全之后不知如何进行计算．突破方法：补全圆面的关键在于确定圆心，然后再利用勾股定理进行计算．解题关键：确定圆心时，主要根据圆的定义，取弧上的两条弦，作出两条弦的垂直平分线，交点即为圆心，然后连结半径构造直角三角形．例5如图7-7，有一木制圆形脸谱工艺品，H 、T 两点为脸谱的耳朵，打算在工艺品反面两耳连线中点D 处打一小孔．现在只有一块无刻度单位的直角三角板（斜边大于工艺品的直径），请你用两种不同的方法确定点D 的位置（画出图形表示），并且分别说明理由．【考点要求】本题考查线段垂直平分线知识，通过对圆中弦的中点的确定，考查学生综合运用知识的能力．【思路点拔】方法一：画弦的垂直平分线常用的依据是根据垂径定理，如图7-8中，图①，画TH 的垂线L 交TH 于D ，则点D 就是TH 的中点．方法二：利用全等三角形，如图②，分别过点T 、H 画HC ⊥TO ，TE ⊥HO ，HC 与TE 相交于点F ，过点O 、F 画直线L 交HT 于点D ，由画图知，Rt △HOC ≌Rt △TOE ，易得HF=TF ，又OH=OT ，所以点O 、F 在HT 的中垂线上，所以HD=TD 了，则点D 就是HT 的中点．方法三：如图③，（原理同方法二）图7-7 图7-8 ③②①D L H TO 反面D L H T O 反面反面O T H L C EF GD【答案】见图．【方法点拨】这一道题有一定的开放性，题目中只提供了一块无刻度单位的直角三角板（斜边大于工艺品的直径），工具的限至使用学生思维不易完全打开．突破方法：充分利用三角板直角，可画垂直线段，从而能够根据垂径定理或者构造全等的直角三角形来确定弦的中点．例6如图7-9，AB 是⊙O 的直径，BD 是⊙O 的弦，延长BD 到点C ，使DC =BD ，连接AC 交⊙O 与点F ．（1）AB 与AC 的大小有什么关系?为什么?（2）按角的大小分类，请你判断△ABC 属于哪一类三角形，并说明理由．【考点要求】本题考查与圆有关的性质在三角中的应用．【思路点拔】（1）（方法1）连接DO ，∵OD 是△ABC的中位线，∴DO ∥CA ，∵∠ODB ＝∠C ，∴OD ＝BO ，∴∠OBD ＝∠ODB ，∴∠OBD ＝∠ACB ，∴AB ＝AC（方法2）连接AD ， ∵AB 是⊙O 的直径，∴AO ⊥BC ， ∵BD ＝CD ，∴AB ＝AC（方法3）连接DO ∵OD 是△ABC 的中位线，∴OD=21AC ，OB=OD=21AB ，∴AB=AC （2）连接AD ，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB ＝90°∴∠B ＜∠ACB ＝90°．∠C ＜∠ACB ＝90°．∴∠B 、∠C 为锐角 ∵AC 和⊙O 交于点F ，连接BF ，∴∠A ＜∠BFC ＝90°．∴△ABC 为锐角三角形【答案】（1）AB ＝AC ；（2）△ABC 为锐角三角形【方法点拨】部分学生第（1）题会做出判断，但不知如何证明，而第（2）题又容易将问题结果简单、特殊化，易错误的判断为等边三角形．突破方法：判断或证明线段的大小关系时，一般结论是相等，在同一个三角形中可根据等角对等边证明，如果在两个三角形中，往往会根据三角形全等证明，同时还要看清题目要求，如本题就是要求按角的大小分类进行判断，而不是边的大小关系．解题关键：证明同一个三角形中的两边相等，一般根据等角对等边进行证明．例7如图7-13，已知AB 为⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为H ．（1）求证：AH ·AB =AC 2；（2）若过A 的直线与弦CD （不含端点）相交于点E ，与⊙O 相交于点F ，求证：AE ·AF =AC 2；（3）若过A 的直线与直线CD 相交于点P ，与⊙O 相交于点Q ，判断AP ·AQ =AC 2是否成立(不必证明)．【考点要求】本题考查与圆有关的三角形相似问题，是一道几何综合证明题．【思路点拔】（1）连结CB ，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB =90°．而∠CAH =∠BAC ，∴△CAH ∽△BAC ． ∴ACAH AB AC ，即AH ·AB =AC 2 ．（2）连结FB ，易证△AHE ∽△AFB ， ∴ AE ·AF =AH ·AB ，图7-9OFD C B A 图7-13∴ AE ·AF =AC 2 ．(也可连结CF ，证△AEC ∽△ACF ) （3）结论AP ·AQ =AC 2成立．【答案】（3）结论AP ·AQ =AC 2成立．【规律总结】等积式的证明往往要转化为比例式进行，部分学生不知改写为何种比例式比较合适．突破方法：把等积式转化为比例式时，要结合图形书写，如证明AH ·AB =AC 2时，可将其先转化为ACAHAB AC，然后从比例式中对应边的比容易看出证明的目标为△CAH ∽△BAC ，从而使得解题变得有的放矢．解题关键：证明圆中的等积式或比例式问题时，往往会利用三角形的相似，因为圆中容易证明角相等．●难点突破方法总结在求解有关圆的中考试题，尤其是难题时，应尽量注意巧妙而又快速地找到其突破口，把题目由繁化简，变难为易．归纳下来，有这样几个方面值得考生们注意：1.掌握解题的关键点．（1）有直径，常作其所对的圆周角；（2）有切线，常将切点与圆心连结起来；（3）有关弦的问题，常需作弦心距．联系垂径定理和直角三角形中的勾股定理；（4）研究两圆位置关系时，常作公切线和连心线；（5）有关切线的判定问题，根据题目条件，主要是两条思路，连半径证明垂直，或者是作垂直证明半径．2.重视基本定理与基本图形相结合，计算与推理相结合，灵活运用各种方法．3.重视数学思想方法的应用．运用分析法、演绎法、截补法，结合方程思想、分类讨论思想、数形结合思想解有关圆的应用题，探索开放性题和方案设计． ●拓展演练一、选择题 1．已知⊙O 的半径为5cm ，A 为线段OP 的中点，当OP=6cm ，点A 与⊙O 的位置关系时（） A ．点A 在⊙O 内 B ．点A 在⊙O 上 C ．点A 在⊙O 外 D ．不能确定2．已知⊙O 1与⊙O 2的半径分别为3cm 和4cm ，圆心距=10cm ，那么⊙O 1与⊙O 2的位置关系是（）A ．内切B ．相交C ．外切D ．外离 3．下列语句中正确的有（）①相等的圆心角所对的弧相等 ②平分弦的直径垂直于弦 ③长度相等的两条弧是等弧 ④ 经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个4．已知圆的半径为6．5cm ，如果一条直线和圆心的距离为9cm ，那么这条直线和这个圆的位置关系是（）A ．相交B ．相切C ．相离D ．相交或相离 5．如图，点P 是⊙O 的直径BA 延长线上一点，PC 与⊙O 相切于点C ，CD ⊥AB ，垂足为D ，连结AC ．BC ．OC ，那么下列结论中：①PC 2=PA ·PB ；②PC ·OC =OP ·CD ；③OA 2=OD ·OP ．正确的有（）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个6．AB 是⊙O 的直径，点D ．E 是半圆的三等分点，AE ．BD 的延长线交于点C ，若CE=2，则图中阴影部分的面积是（）A ．43π－3B ．23π C ．π－D ．π二、填空题7．直角三角形的两条边长分别为6和8，那么这个三角形的外接圆半径等于．8．如图，已知AB是⊙O的直径，CD是弦，且CD⊥AB，BC=6，AC=8，则sin∠ABD 的值是9．用48m长的竹篱笆在空地上，围成一个绿化场地，现有两种设计方案，一种是围成正方形场地；另一种是围成圆形场地．现请你选择，围成（圆形．正方形两者选一）场地的面积较大．10．某落地钟钟摆的摆长为0．5m，来回摆动的最大夹角为20°，已知在钟摆的摆动过程中，摆锤离地面的最低高度为am，最大高度为bm，则b a-= m（不取近似值）．11．如图，圆锥的底面半径为6cm，高为8cm，则将该圆锥沿母线剪开后所得扇形对应的圆心角为12．“圆材埋壁”是我国古代著名数学著作《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”此问题的实质就是解决下面的问题：“如图8，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD于点E，CE=1，AB=10，求CD的长”．根据题意可得CD的长为．三、解答题13．如图，在△ABC中，∠C=900，AC=8，AB=10，点P在AC上，AP=2，若⊙O的圆心在线段BP上，且⊙O与AB．AC都相切，求⊙O的半径．14．已知: 如图，AB是⊙O的直径，⊙O过AC的中点D，DE切⊙O于点D，交BC于点E．(1)求证: DE⊥BC; (2)如果CD=4，CE=3，求⊙O的半径．15．如图所示，外切于P点的⊙O1和⊙O2是半径为3cm的等圆，连心线交⊙O1于点A，交⊙O2于点B，AC与⊙O2相切于点C，连接PC，求PC的长．ODECBA16．如图，已知：C是以AB为直径的半圆O上一点，CH⊥AB于点H，直线AC与过B点的切线相交于点D，E为CH中点，连接AE并延长交BD于点F，直线CF交直线AB于点G．（1）求证：点F是BD中点；（2）求证：CG是⊙O的切线；（3）若FB=FE=2，求⊙O的半径．17．已知：AB为⊙O的直径，P为AB弧的中点．（1）若⊙O′与⊙O外切于点P（见图甲），AP．BP的延长线分别交⊙O′于点C．D，连接CD，则△PCD是三角形；（2）若⊙O′与⊙O相交于点P．Q（见图乙），连接AQ．BQ并延长分别交⊙O′于点E．F，请选择下列两个问题中的一个．．作答：问题一：判断△PEF的形状，并证明你的结论；问题二：判断线段AE与BF的关系，并证明你的结论．我选择问题，结论：．●专题七《圆》习题答案1.【答案】A [点拨：根据圆的定义及点和圆的位置关系进行分析]2.【答案】D [点拨：根据圆与圆的位置关系进行判断]3.【答案】A [点拨：这是一道概念辨析题，正确理解等弧的概念是解此类题目的关键．等弧只能在同圆中，长度相等或度数相等的两条弧都不能判断是等弧，因此①③ 都是错误的，圆内任意两条直径都互相平分，但不一定垂直，故②不正确]4.【答案】C [点拨：根据已知条件圆心到直线的距离为9cm ，大于圆的半径6.5cm ，所以直线与圆相离]5.【答案】D [点拨：由题目已知条件，容易证明△PCA ∽△PBC ．△OCD ∽△OPC ，所以PC PB PA PC =，PC CD OP OC =，OC OPOD OC=，又由于OA=OC ，从而可推得三个结论全部正确] 6.【答案】A [点拨：∵AE ED DB ==，∴ ∠A=∠ABC=600，∴△ABC 是等边三角形，又 AB 是⊙O 的直径，∴∠AEB=900 ，即 BE ⊥AE ，∴AC=2CE=4=AB ， ∴S 阴=S 扇形OBE －S ▲ABE =43π－3]7.【答案】5 [点拨：直角三角形外接圆的圆心在斜边的中点上，且半径等于斜边的一半] 8.【答案】45[由已知已知AB 是⊙O 的直径，得∠ACB=90O ，AB 垂直平分CD ，∴△BCD 为等腰三角形，∴∠ABD=∠ABC ，∴sin ∠ABD=sin ∠ABC=45AC AB =]9.【答案】圆 [点拨：用同样长度的材料，圆形场地的面积较大] 10.【答案】0.5(1cos10)-︒ [点拨：根据垂径定理计算]11.【答案】216o [226810l =+=（cm ），C=2πr=12π，∴n=00180216CLπ=] 12.【答案】26 [点拨：由垂径定理可知，CD 平分弦AB ，所以152AE AB ==，设⊙O 的半径为R ，连结OA ，在Rt △AOE 中，222AO AE OE =+，所以2225(1)R R =+-，解之，得R=13，所以CD=2R=26] 13.【答案】解：由题意，BC=22AB AC -=6，过O 分别作OD ⊥AB ，OE ⊥OE ，则D ．E分别是AB ．AC与⊙O相切的切点，则AD=AE ，OD=OE ，，,OE CP BC CP ⊥⊥又，∴BCP △∽△OEP ，∴EP=OE ，设OE=x ，则BD =AB -AD =AB -AE =10-(2+x )=8-x ，OB =BP-OP =2，∴(8-x )2+x 2=2(6-x )2 ，∴x =1，∴⊙O 的半径为1 14.【答案】解：（1）连结OD ．∵DE 切⊙O 于点D ，∴DE ⊥OD ， ∴∠ODE =900 ，又∵AD =DC ， AO =OB ，∴OD //BC ，∴∠DEC =∠ODE =900，∴DE ⊥BC（2）连结BD ．∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ADB =900 ，∴BD ⊥AC ， ∴∠BDC =900 ，又∵DE ⊥BC ， △Rt CDB ∽△Rt CED ，∴CE DC DC BC =， ∴BC=3163422==CE DC 又∵OD=21BC ，∴OD =3831621=⨯，即⊙O 的半径为38． 15.【答案】解：设PC =x cm ，BC =y cm ，连结BC ，则∠BCP =90o ，AC 2=AP ·AB ， ∴AC =62，又∠ACP =∠CBP ，∴△ACP ∽△ABC ，2PC BC x AC AB∴=，即y=①2AB PB +=2又PC ，即236x y +=2②，由①、②得，x=23，y=26( x=-23，y=-26（舍去），∴PC =23cm16.【答案】解：（1）∵CH ⊥AB ，DB ⊥AB ，∴△AEH ∽△AFB ，△ACE ∽△ADF∴FDCEAF AE BF EH ==，∵HE ＝EC ，∴BF ＝FD （2）方法一：连接CB ．OC ，∵AB 是直径， ∴∠ACB ＝90°，∵F 是BD 中点，∴∠BCF =∠CBF =90°－∠CBA =∠CAB =∠ACO ，∴∠OCF =90°，∴CG 是⊙O 的切线方法二：可证明△OCF ≌△OBF（3）解：由FC =FB =FE 得：∠FCE=∠FEC ，可证得：FA ＝FG ，且AB ＝BG ，由切割线定理得：[2＋FG ]2＝BG ×AG =2BG 2 ①在Rt △BGF 中，由勾股定理得：BG 2＝FG 2－BF 2 ②由①、②得：FG 2－4FG －12=0，解之得：FG 1＝6，FG 2＝－2（舍去）∴AB ＝BG ＝24，∴⊙O 半径为22。

华东师大初中数学中考总复习：圆综合复习--知识讲解(基础)

中考总复习：圆综合复习—知识讲解（基础）【考纲要求】1.圆的基本性质和位置关系是中考考查的重点，但圆中复杂证明及两圆位置关系中证明定会有下降趋势，不会有太复杂的大题出现；2.今后的中考试题中将更侧重于具体问题中考查圆的定义及点与圆的位置关系，对应用、创新、开放探究型题目，会根据当前的政治形势、新闻背景和实际生活去命题，进一步体现数学来源于生活，又应用于生活．【知识网络】【考点梳理】考点一、圆的有关概念1. 圆的定义如图所示，有两种定义方式：①在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆．固定的端点O叫做圆心，以O为圆心的圆记作⊙O，线段OA叫做半径；②圆是到定点的距离等于定长的点的集合．要点诠释：圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小．2.与圆有关的概念①弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦；如上图所示线段AB ，BC ，AC 都是弦．②直径：经过圆心的弦叫做直径，如AC 是⊙O 的直径，直径是圆中最长的弦．③弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，如曲线BC 、BAC 都是⊙O 中的弧，分别记作BC ，BAC ．④半圆：圆中任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆，如AC 是半圆． ⑤劣弧：像BC 这样小于半圆周的圆弧叫做劣弧．⑥优弧：像BAC 这样大于半圆周的圆弧叫做优弧．⑦同心圆：圆心相同，半径不相等的圆叫做同心圆．⑧弓形：由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形．⑨等圆：能够重合的两个圆叫做等圆．⑩等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧．⑪圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角，如上图中∠AOB ，∠BOC 是圆心角．⑫圆周角：顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角，如上图中∠BAC 、∠ACB 都是圆周角．考点二、圆的有关性质1.圆的对称性圆是轴对称图形，经过圆心的直线都是它的对称轴，有无数条．圆是中心对称图形，圆心是对称中心，又是旋转对称图形，即旋转任意角度和自身重合．2.垂径定理①垂直于弦的直径平分这条弦，且平分弦所对的两条弧．②平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．如图所示：要点诠释：在图中(1)直径CD ，(2)CD ⊥AB ，(3)AM ＝MB ，(4)C C A B =，(5)AD BD =．若上述5个条件有2个成立，则另外3个也成立．因此，垂径定理也称“五二三定理”．即知二推三．注意：(1)(3)作条件时，应限制AB 不能为直径．3.弧、弦、圆心角之间的关系①在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等；②在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，它们所对应的其余各组量也相等．4.圆周角定理及推论①圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．②圆周角定理的推论：半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．要点诠释：圆周角性质的前提是在同圆或等圆中．考点三、与圆有关的位置关系1.点与圆的位置关系如图所示．d表示点到圆心的距离，r为圆的半径．点和圆的位置关系如下表：点与圆的位置关系d与r的大小关系点在圆内d＜r点在圆上d＝r点在圆外d＞r要点诠释：(1)圆的确定：①过一点的圆有无数个，如图所示．②过两点A、B的圆有无数个，如图所示．③经过在同一直线上的三点不能作圆．④不在同一直线上的三点确定一个圆．如图所示．(2)三角形的外接圆经过三角形三个顶点可以画一个圆，并且只能画一个．经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆．三角形外接圆的圆心叫做这个三角形的外心．这个三角形叫做这个圆的内接三角形．三角形的外心就是三角形三条边的垂直平分线交点．它到三角形各顶点的距离相等，都等于三角形外接圆的半径．如图所示．2.直线与圆的位置关系①设r为圆的半径，d为圆心到直线的距离，直线与圆的位置关系如下表．②圆的切线．切线的定义：和圆有唯一公共点的直线叫做圆的切线．这个公共点叫切点．切线的判定定理：经过半径的外端．且垂直于这条半径的直线是圆的切线．友情提示：直线l是⊙O的切线，必须符合两个条件：①直线l经过⊙O上的一点A；②OA⊥l．切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径．切线长定义：我们把圆的切线上某一点与切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长．切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角．③三角形的内切圆：与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形，三角形的内心就是三角形三个内角平分线的交点．要点诠释：找三角形内心时，只需要画出两内角平分线的交点．三角形外心、内心有关知识比较3.圆与圆的位置关系在同一平面内两圆作相对运动，可以得到下面5种位置关系，其中R、r为两圆半径(R≥r)．d为圆心距．要点诠释：①相切包括内切和外切，相离包括外离和内舍．其中相切和相交是重点．②同心圆是内含的特殊情况．③圆与圆的位置关系可以从两个圆的相对运动来理解．④“r 1－r 2”时，要特别注意，r 1＞r 2．考点四、正多边形和圆1.正多边形的有关概念正多边形的外接圆(或内切圆)的圆心叫正多边形的中心．外接圆的半径叫正多边形的半径，内切圆的半径叫正多边形的边心距，正多边形各边所对的外接圆的圆心角都相等，这个角叫正多边形的中心角，正多边形的每一个中心角都等于360n°．要点诠释：通过中心角的度数将圆等分，进而画出内接正多边形，正六边形边长等于半径．2.正多边形的性质任何一个正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两圆是同心圆．正多边形都是轴对称图形，偶数条边的正多边形也是中心对称图形，同边数的两个正多边形相似，其周长之比等于它们的边长(半径或边心距)之比．3.正多边形的有关计算定理：正n 边形的半径和边心距把正n 边形分成2n 个全等的直角三角形．正n 边形的边长a 、边心距r 、周长P 和面积S 的计算归结为直角三角形的计算．360n a n =°，1802sin n a R n =°，180cos n r R n=°， 2222n n a R r ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，n n P n a =，1122n n n n n S a r n P r ==．考点五、圆中的计算问题1.弧长公式：180n R l π=，其中l 为n °的圆心角所对弧的长，R 为圆的半径． 2.扇形面积公式：2360n R S π=扇，其中12S lR =扇．圆心角所对的扇形的面积，另外12S lR =扇． 3.圆锥的侧面积和全面积：圆锥的侧面展开图是扇形，这个扇形的半径等于圆锥的母线长，弧长等于圆锥底面圆的周长．圆锥的全面积是它的侧面积与它的底面积的和．要点诠释：在计算圆锥的侧面积时要注意各元素之间的对应关系，千万不要错把圆锥底面圆半径当成扇形半径．考点六、求阴影面积的几种常用方法(1)公式法；(2)割补法；(3)拼凑法；(4)等积变形法；(5)构造方程法．【典型例题】类型一、圆的有关概念及性质1．（2015•石景山区一模）如图，A ，B ，E 为⊙0上的点，⊙O 的半径OC ⊥AB 于点D ，若∠CEB=30°，OD=1，则AB 的长为（）A ．B ．4C ．2D ．6【思路点拨】连接OB ，由垂径定理可知，AB=2BD ，由圆周角定理可得，∠COB=60°，在Rt △DOB 中，OD=1，则BD=1×tan60°=，故AB=2．【答案】C ；【解析】连接OB ，∵AB 是⊙O 的一条弦，OC ⊥AB ，∴AD=BD ，即AB=2BD ，∵∠CEB=30°，∴∠COB=60°，∵OD=1， ∴BD=1×tan60°=，∴AB=2，故选C ．【总结升华】弦、弦心距，则应连接半径，构造基本的直角三角形是垂径定理应用的主要方法．举一反三：【变式】如图，⊙O 的直径CD=5cm ，AB 是⊙O 的弦，AB ⊥CD ，垂足为M ，OM ：OD=3：5．则AB 的长是（）A 、2cmB 、3cmC 、4cmD 、221cm【答案】解：连接OA ，∵CD 是⊙O 的直径，AB 是⊙O 的弦，AB ⊥CD ，∴AB=2AM ，∵CD=5cm ，∴OD=OA=12CD=12×5=52cm ， ∵OM ：OD=3：5，∴OM=35OD=×=， ∴在Rt △AOM 中，AM =22OA OM -=2253()()22-=2，∴AB=2AM=2×2=4cm．故选C ．类型二、与圆有关的位置关系2．如图所示，已知AB 为⊙O 的直径，直线BC 与⊙O 相切于点B ，过A 作AD ∥OC 交⊙O 于点D ，连接CD ．(1)求证：CD 是⊙O 的切线；(2)若AD ＝2，直径AB ＝6，求线段BC 的长．【思路点拨】要证明DC 是⊙O 的切线，因为点D 在⊙O 上，所以连接交点与圆心证垂直即可．【答案与解析】(1)证明：如图(2)，连接OD ．∵ AD ∥OC ，∴ ∠1＝∠3，∠2＝∠A ，∴ OA ＝OD ，∴ ∠3＝∠A ，∴ ∠1＝∠2．∵ OD ＝OB ，OC ＝OC ．∴ △COD ≌△COB ，∴ ∠CDO ＝∠CBO ＝90°，∴ CD 是⊙O 的切线．(2)解：连接BD ，∵ AB 是⊙O 的直径，∴ ∠ADB ＝90°．在△DAB 和△BOC 中，∵ ∠ADB ＝∠OBC ，∠A ＝∠2，∴ △DAB ∽△BOC ，∴AD BD OB BC =， ∴ OB BD BC AD =．在Rt △DAB 中，由勾股定理得22226242BD AB AD =-=-=．∴ 342622BC ⨯==．【总结升华】如果已知直线经过圆上一点，那么连半径，证垂直；如果已知直线与圆是否有公共点在条件中并没有给出，那么作垂直，证半径．举一反三：【变式】如图所示，已知CD 是△ABC 中AB 边上的高，以CD 为直径的⊙O 分别交CA 、CB 于点E 、F ，点G 是AD 的中点．求证：GE 是⊙O 的切线．【答案与解析】证法1：连接OE 、DE(如图(1))．∵ CD 是⊙O 的直径，∴ ∠AED ＝∠CED ＝90°．∵ G 是AD 的中点，∴ EG ＝12AD ＝DG ． ∴ ∠1＝∠2．∵ OE ＝OD ，∴ ∠3＝∠4．∴ ∠1+∠3＝∠2+∠4，即∠OEG ＝∠ODG ＝90°．∴ GE 是⊙O 的切线．证法2：连接OE 、ED(如图(2))．在△ADC 中，∠ADC ＝90°，∴ ∠A+∠ACD ＝90°．又∵ CD 是⊙O 的直径，∴ ∠AED ＝∠CED ＝90°．在△AED 中，∠AED ＝90°，G 是AD 中点，∴ AG ＝GE ＝DG ，∴ ∠A ＝∠AEG ．又∵ OE ＝OC ，∴ ∠OEC ＝∠ACD ．又∵ ∠A+∠ACD ＝90°，∴ ∠AEG+∠OEC ＝90°．∴ ∠OEG ＝90°，∴ OE ⊥EG ．∴ GE 是⊙O 的切线．类型三、与圆有关的计算3．在一节数学实践活动课上，老师拿出三个边长都为5cm 的正方形硬纸板，他向同学们提出了这样一个问题：若将三个正方形纸板不重叠地放在桌面上，用一个圆形硬纸板将其盖住，这样的圆形硬纸板的最小直径应有多大？问题提出后，同学们经过讨论，大家觉得本题实际上就是求将三个正方形硬纸板无重叠地适当放置，圆形硬纸板能盖住时的最小直径．老师将同学们讨论过程中探索出的三种不同摆放类型的图形画在黑板上，如下图所示：（1）通过计算（结果保留根号与π）．（Ⅰ）图①能盖住三个正方形所需的圆形硬纸板最小直径应为 cm；（Ⅱ）图②能盖住三个正方形所需的圆形硬纸板最小直径为 cm；（Ⅲ）图③能盖住三个正方形所需的圆形硬纸板最小直径为 cm；（2）其实上面三种放置方法所需的圆形硬纸板的直径都不是最小的，请你画出用圆形硬纸板盖住三个正方形时直径最小的放置方法，（只要画出示意图，不要求说明理由），并求出此时圆形硬纸板的直径．【思路点拨】（1）（Ⅰ）连接正方形的对角线BD，利用勾股定理求出BD的长即可；（Ⅱ）利用勾股定理求出小正方形对角线的长即可；（Ⅲ）找出过A、B、C三点的圆的圆心及半径，利用勾股定理求解即可；（2）连接OB，ON，延长OH交AB于点P，则OP⊥AB，P为AB中点，设OG=x，则OP=10-x，再根据勾股定理解答．【答案与解析】解：（1）（Ⅰ）如图连接BD，∵ AD=3×5=15cm，AB=5cm，∴ BD==cm；（Ⅱ）如图所示，∵三个正方形的边长均为5，∴ A、B、C三点在以O为圆心，以OA为半径的圆上，∴ OA==5cm，∴能盖住三个正方形所需的圆形硬纸板最小直径为10cm；（Ⅲ）如图所示，连接OA，OB，∵ CE⊥AB，AC=BC，∴ CE是过A、B、C三点的圆的直径，∵ OA=OB=OD，∴ O为圆心，∴⊙O的半径为OA，OA==5cm，∴能盖住三个正方形所需的圆形硬纸板最小直径为5×2=10cm；（2）如图④为盖住三个正方形时直径最小的放置方法，连接OB，ON，延长OH交AB于点P，则OP⊥AB，P为AB中点，设OG=x，则OP=10-x，则有：，解得：，则ON=，∴直径为．【总结升华】此题比较复杂，解答此题的关键是找出以各边顶点为顶点的圆的圆心及半径，再根据勾股定理解答．举一反三：【变式】如图，图1、图2、图3、…、图n分别是⊙O的内接正三角形ABC，正四边形ABCD、正五边形ABCDE、…、正n边形ABCD…，点M、N分别从点B、C开始以相同的速度在⊙O上逆时针运动．（1）求图1中∠APN的度数是；图2中，∠APN的度数是，图3中∠APN的度数是．（2）试探索∠APN的度数与正多边形边数n的关系（直接写答案）．【答案】解：（1）图1：∵点M 、N 分别从点B 、C 开始以相同的速度在⊙O 上逆时针运动，∴∠BAM=∠CBN ，又∵∠APN=∠BPM ，∴∠APN=∠BPM=∠ABN+∠BAM=∠ABN+∠CBN=∠ABC=60°；同理可得：图2中，∠APN=90°；图3中∠APN=108°．（2）由（1）可知，∠APN=所在多边形的内角度数，故在图n 中，．4．如图所示，半圆的直径AB ＝10，P 为AB 上一点，点C ，D 为半圆的三等分点，则阴影部分的面积等于________．【思路点拨】观察图形，可以适当进行“割”与“补”，使阴影面积转化为扇形面积.【答案】256π；【解析】连接OC 、OD 、CD ．∵ C 、D 为半圆的三等分点，∴ ∠AOC ＝∠COD ＝∠DOB ＝180603=°°．又∵ OC ＝OD ，∴ ∠OCD ＝∠ODC ＝60°，∴ DC ∥AB ，∴ PCD OCD S S =△△，∴ 2605253606S S ππ===阴影扇形OCD．答案：256π．【总结升华】用等面积替换法将不规则的图形转化为简单的规则图形是解本类题的技巧．类型四、与圆有关的综合应用5．（2014•黄陂区模拟）如图，在△ABC中，以AC为直径的⊙O交BC于D，过C作⊙O的切线，交AB的延长线于P，∠PCB=∠BAC．（1）求证：AB=AC；（2）若sin∠BAC=35，求tan∠PCB的值．【思路点拨】（1）连接AD，根据圆周角定理求得∠ADC=90°，根据弦切角定理求得∠PCB=∠CAD，进而求得∠CAD=∠BAD，然后根据ASA证得△ADC≌△ADB，即可证得结论．（2）作BE⊥AC于E，得出BE∥PC，求得∠PCB=∠CBE，根据已知条件得出=，从而求得=，根据AB=AC，得出tan∠CBE===，就可求得tan∠PCB=．【答案与解析】解：（1）连接AD，∵AC是⊙O的直径，∴∠ADC=90°，∴AD⊥BC，∵PC是⊙O的切线，∴∠PCB=∠CAD，∵∠PCB=∠BAC，∴∠CAD=∠BAD，在△ADC和△ADB中，，∴△ADC≌△ADB（ASA），∴AB=AC．（2）作BE⊥AC于E，∵PC是⊙O的切线，∴AC⊥PC，∴BE ∥PC ，∴∠PCB=∠CBE ，∵sin ∠BAC==， ∴=， ∵AB=AC ，∴tan ∠CBE===，∴tan ∠PCB=．【总结升华】本题考查了圆周角定理，切线的性质，三角形全等的判定和性质，直角三角函数等，作出辅助线构建直角三角形是解题的关键．举一反三：【高清课堂：圆的综合复习例2】【变式】已知：如图，⊙O 是Rt △ABC 的外接圆，AB 为直径，∠ABC=30°，CD 是⊙O 的切线，ED ⊥AB 于F ．(1)判断△DCE 的形状并说明理由；(2)设⊙O 的半径为1，且213-=OF ，求证△DCE ≌△OCB ．【答案】(1)解：∵∠ABC=30°，∴∠BAC=60°．又∵OA=OC,∴△AOC 是正三角形．又∵CD 是切线，∴∠OCD=90°，∴∠DCE=180°-60°-90°=30°．而ED ⊥AB 于F ，∴∠CED=90°-∠BAC=30°．故△CDE 为等腰三角形．(2)证明：在△ABC 中，∵AB=2，AC=AO=1，∴BC=2212-=3．OF=213-,∴AF=AO+OF=213+．又∵∠AEF=30°,∴AE=2AF=3+1．∴CE=AE-AC=3=BC ．而∠OCB=∠ACB-∠ACO=90°-60°=30°=∠ABC,故△CDE ≌△COB.6．如图，已知⊙O 的直径AB ＝2，直线m 与⊙ O 相切于点A ，P 为⊙ O 上一动点（与点A 、点B 不重合），PO 的延长线与⊙ O 相交于点C ，过点C 的切线与直线m 相交于点D ．（1）求证：△APC ∽△COD ．（2）设AP ＝x ，OD ＝y ，试用含x 的代数式表示y ．（3）试探索x 为何值时， △ACD 是一个等边三角形．【思路点拨】(1)可根据“有两个角对应相等的两个三角形相似”来说明 △APC ∽△COD ； (2)根据相似三角形的对应边成比例,找出x 与y 的关系；(3)若△ACD 是一个等边三角形,逆推求得x 的值.【答案与解析】解（1）∵PC 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的切线, ∴∠PAC ＝∠OCD ＝90°.由△DOA ≌△DOC ,得到∠DOA ＝∠DOC , ∴∠APC ＝∠COD , ∴△APC∽△COD.（2）由△APC∽△COD，得AP OC PC OD = , ∴y x 12= 则 xy 2= (3)若ACD △是一个等边三角形，则6030ADC ODC ∠=∠=，于是2OD OC =,可得2y =，从而1=x ,故当1x =时，ACD △是一个等边三角形.【总结升华】本例是一道动态几何题.(1)考查了相似三角形的判定,证三角形相似有:两个角分别对应相等的两个三角形相似;两条边分别对应成比例,且夹角相等的两个三角形相似;三条边分别对应成比例的两个三角形相似;(2)考查了相似三角形的性质.利用第一问的结论,得出对应边成比例,找出y 与x 间的关系.(3)动点问题探求条件.一般运用结论逆推的方法找出结论成立的条件.本题应从ACD △是一个等边三角形出发,逆推6030ADC ODC ∠=∠=，,于是2OD OC =，可得2y =，从而1=x , 故当1x =时，ACD △是一个等边三角形.举一反三：【高清课堂：圆的综合复习例1】【变式】如图，MN 是⊙O 的直径，2MN =，点A 在⊙O 上，30AMN =∠，B 为弧AN 的中点，P 是直径MN 上一动点，则PA PB +的最小值为（）Ａ．22 Ｂ．2 Ｃ．1 Ｄ．2【答案】选B ；解：过B 作BB ′⊥MN 交⊙O 于B ′，连接AB ′交MN 于P ，此时PA+PB ＝AB ′最小．连AO 并延长交⊙O 于C ，连接CB ′，在Rt △ACB ′中，AC ＝2，∠C ＝190452⨯=°°， ∴ 2sin 45222AB AC '==⨯=°．。

数学中考一轮复习学案第24节圆的有关概念与性质（含解析）

第四章图形的性质第24节圆的有关概念与性质■知识点一：圆的有关概念(1)圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆，其中定点为圆心，定长为半径．(2)弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，大于半圆的弧称为优弧，小于半圆的弧称为劣弧．(3)弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径．(4)相关概念：同心圆、弓形、等圆、等弧．(5)圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角．(6)圆周角：顶点在圆上，并且两边和圆相交的角是圆周角．(7)确定圆的条件：过已知一点可作无数个圆，过已知两点可作无数个圆，过不在同一条直线上的三点可作一个圆．(8)圆的对称性：圆是轴对称图形，其对称轴是直径所在的直线；圆是中对称图形，对称中心为圆心，并且圆具有旋转不变性．■知识点二：垂径定理及推论：①垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．②平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧，③弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．④平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．⑤圆的两条平行弦所夹的弧相等．■知识点三：圆心角、弧、弦的关系（1）定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．（2）推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．说明：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中的“弧”是指同为优弧或劣弧．（3）正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系三者关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．这源于圆的旋转不变性，即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图形完全重合．（4）在具体应用上述定理解决问题时，可根据需要，选择其有关部分．■知识点四：圆周角定理及推论①圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半．推论１：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等．推论2：直径所对的网周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径．推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形．②圆内接四边形的任意一组对角互补．■考点1.圆的有关概念◇典例：（2017年黑龙江大庆）如图，点M，N在半圆的直径AB上，点P，Q在上，四边形MNPQ 为正方形．若半圆的半径为，则正方形的边长为．【考点】正方形的性质；勾股定理；圆的认识．【分析】连接OP，设正方形的边长为a，则ON=，PN=a，再由勾股定理求出a的值即可．解：连接OP，设正方形的边长为a，则ON=，PN=a，在Rt△OPN中，ON2+PN2=OP2，即（）2+a2=（）2，解得a=2．故答案为：2．【点评】本题考查的是正方形的性质，勾股定理；圆的认识，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．◆变式训练（2017•宁夏）如图，点 A，B，C均在6×6的正方形网格格点上，过A，B，C三点的外接圆除经过A，B，C三点外还能经过的格点数为 __________■考点2.垂径定理及其推论◇典例：（2018年黑龙江省龙东、七台河、佳木斯、鸡西、伊春、鹤岗、双鸭山）如图，AB为⊙O 的直径，弦CD⊥AB于点E，已知CD=6，EB=1，则⊙O的半径为．【考点】垂径定理，勾股定理【分析】连接OC，由垂径定理知，点E是CD的中点，AE=CD，在直角△OCE中，利用勾股定理即可得到关于半径的方程，求得圆半径即可．解：连接OC，∵AB为⊙O的直径，AB⊥CD，∴CE=DE=CD=×6=3，设⊙O的半径为xcm，则OC=xcm，OE=OB﹣BE=x﹣1，在Rt△OCE中，OC2=OE2+CE2，∴x2=32+（x﹣1）2，解得：x=5，∴⊙O的半径为5，故答案为：5．【点评】本题利用了垂径定理和勾股定理求解，熟练掌握并应用定理是解题的关键．◆变式训练1.（2018年山东省烟台）如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点O，A，B，C在格点（两条网格线的交点叫格点）上，以点O为原点建立直角坐标系，则过A，B，C 三点的圆的圆心坐标为．2.（2018年浙江省绍兴市）如图，公园内有一个半径为20米的圆形草坪，A，B是圆上的点，O为圆心，∠AOB=120°，从A到B只有路，一部分市民为走“捷径”，踩坏了花草，走出了一条小路AB．通过计算可知，这些市民其实仅仅少走了步（假设1步为0.5米，结果保留整数）．（参考数据：≈1.732，π取3.142）■考点3. 圆心角、弧、弦的关系◇典例（2017•牡丹江）如图，在⊙O中，=，CD⊥OA于D，CE⊥OB于E，求证：AD=BE．【考点】圆心角、弧、弦的关系；垂径定理．【分析】连接OC，先根据=得出∠AOC=∠BOC，再由已知条件根据AAS定理得出△COD ≌△COE，由此可得出结论．证明：连接OC，∵=，∴∠AOC=∠BOC．∵CD⊥OA于D，CE⊥OB于E，∴∠CDO=∠CEO=90°在△COD与△COE中，∵，∴△COD≌△COE（AAS），∴OD=OE，∵AO=BO，∴AD=BE．【点评】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系，熟知在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等是解答此题的关键．◆变式训练（2017•宜昌）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC平分∠BAD，则下列结论正确的是（）A．AB=AD B．BC=CD C． D．∠BCA=∠DCA■考点4. 圆周角定理及其推论◇典例：1.（2018 年广西梧州市）如图，已知在⊙O 中，半径 OA=2，弦 AB=2，∠BAD=18°，OD 与AB 交于点 C，则∠ACO=__________度．【考点】圆周角定理，勾股定理的逆定理，等腰三角形的性质【分析】根据勾股定理的逆定理可以判断△AOB 的形状，由圆周角定理可以求得∠BOD 的度数，再根据三角形的外角和不相邻的内角的关系，即可求得∠AOC的度数．解：∵OA=2，OB=2，AB=2，∴OA 2+OB2=AB2，OA=OB，∴△AOB 是等腰直角三角形，∠AOB=90°，∴∠OBA=45°，∵∠BAD=18°，∴∠BOD=36°，∴∠ACO=∠OBA+∠BOD=45°+36°=81°，故答案为：81．【点评】本题考查圆周角定理、勾股定理的逆定理、等腰三角形的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．◆变式训练1.（2018年四川省南充）如图，BC是⊙O的直径，A是⊙O上的一点，∠OAC=32°，则∠B 的度数是（）A．58° B．60° C．64° D．68°2.（2017•锦州）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AD与BC的延长线交于点E，BA与CD的延长线交于点F，∠DCE=80°，∠F=25°，则∠E的度数为（）A．55°B．50°C．45°D．40°一、选择题1.（2018年广西柳州市）如图，A，B，C，D是⊙O上的四个点，∠A=60°，∠B=24°，则∠C的度数为（）A．84°B．60°C．36°D．24°2.（2018年内蒙古赤峰市）如图，AB是⊙O的直线，C是⊙O上一点（A．B除外），∠AOD=130°，则∠C的度数是（）A．50°B．60°C．25°D．30°3.（2018年浙江省衢州市）如图，点A，B，C在⊙O上，∠ACB=35°，则∠AOB的度数是（）A．75°B．70°C．65°D．35°4.（2018年湖北省襄阳）如图，点A，B，C，D都在半径为2的⊙O上，若OA⊥BC，∠CDA=30°，则弦BC的长为（）A．4 B．2C． D．25.（2018年四川省甘孜州）如图，在⊙O中，直径CD⊥弦AB，则下列结论中正确的是（）A．AC=AB B．∠C=∠BOD C．∠C=∠B D．∠A=∠BOD二、填空题6.（2018年广东省）同圆中，已知弧AB所对的圆心角是100°，则弧AB所对的圆周角是．7.（2018年青海省）如图，A．B、C是错误!未找到引用源。

“中考数学专题复习圆来如此简单”经典几何模型之隐圆专题(含答案)

经典几何模型之隐圆”“圆来如此简单”一.名称由来在中考数学中，有一类高频率考题，几乎每年各地都会出现，明明图形中没有出现“圆”，但是解题中必须用到“圆”的知识点，像这样的题我们称之为“隐圆模型”。

正所谓：有“圆”千里来相会，无“圆”对面不相逢。

“隐圆模型”的题的关键突破口就在于能否看出这个“隐藏的圆”。

一旦“圆”形毕露，则答案手到擒来！二.模型建立【模型一：定弦定角】【模型二：动点到定点定长（通俗讲究是一个动的点到一个固定的点的距离不变）】【模型三：直角所对的是直径】【模型四：四点共圆】三．模型基本类型图形解读【模型一：定弦定角的“前世今生”】【模型二：动点到定点定长】【模型三：直角所对的是直径】【模型四：四点共圆】四．“隐圆”破解策略牢记口诀：定点定长走圆周，定线定角跑双弧。

直角必有外接圆，对角互补也共圆。

五．“隐圆”题型知识储备3六．“隐圆”典型例题【模型一：定弦定角】1.（2017 威海）如图 1，△ABC 为等边三角形，AB =2，若 P 为△ABC 内一动点，且满足 ∠PAB =∠ACP ，则线段 P B 长度的最小值为_ 。

简答：因为∠PAB =∠PCA ，∠PAB +∠PAC =60°，所以∠PAC +∠PCA =60°，即∠APC =120°。

因为 A C 定长、∠APC =120°定角，故满足“定弦定角模型”，P 在圆上，圆周角∠APC =120°，通过简单推导可知圆心角∠AOC =60°，故以 AC 为边向下作等边△AOC ，以 O 为圆心，OA 为半径作⊙O ，P 在⊙O 上。

当 B 、P 、O 三点共线时，BP 最短（知识储备一：点圆距离），此时 B P =2 -22. 如图 1 所示，边长为 2 的等边△ABC 的原点 A 在 x 轴的正半轴上移动，∠BOD =30°，顶点 A在射线 O D 上移动，则顶点 C 到原点 O 的最大距离为。

(名师整理)最新中考数学专题复习《正多边形与圆的位置关系》精品教案

中考数学人教版专题复习：正多边形与圆的位置关系一、教学内容正多边形和圆1.正多边形的有关概念.2.正多边形和圆的关系.3.正多边形的有关计算.二、知识要点1.正多边形的定义各边相等、各角也相等的多边形叫做正多边形.如正三角形（即等边三角形）、正四边形（即正方形）、正五边形、正六边形、正n边形等.2.正多边形与圆的关系（1）从圆的角度看：等分圆周可获得正多边形，把圆分成n（n≥3）等份.①依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形.②经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形.（2）从正多边形的角度看：任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆.13.正多边形的有关概念（1）正多边形的中心：正多边形的外接圆（或内切圆）的圆心.（2）正多边形的半径：正多边形外接圆的半径.（3）正多边形的边心距：中心到正多边形的一边的距离（即正多边形的内切圆的半径）.（4）正多边形的中心角：正多边形每一边所对的圆心角.正多边形的每一个中心角的度数是360°n.ORB1A1B2A2B3A3Cr4.正n边形的对称性当n为奇数时，正n边形只是轴对称图形；当n为偶数时，正n边形既是轴对称图形，也是中心对称图形.5.一些特殊正多边形的计算公式边数n内角A n中心角αn半径R 边长a n边心距r n周长P n面积S n360°120°R3R12R 33R343R2490°90°R2R22R42R 2R26120°60°R R32R6R323R22三、重点难点重点是正多边形的概念和计算，难点是正确理解正多边形和圆的关系.【典型例题】例1.如图所示，既是轴对称图形，又是中心对称图形的有__________.线段正三角形正方形正五边形正六边形（1）（2）（3）（4）（5）解：（1）（3）（5）评析：因正方形、正六边形的边数为偶数，所以线段、正方形、正六边形既是轴对称图形，又是中心对称图形.例2.（1）如果一个正多边形的中心角为24°，那么它的边数是__________.（2）正多边形的一个外角等于45°，那么这个正多边形的内角和等于__________，中心角是__________.分析：利用正多边形的内角和及中心角的计算公式求解.（1）依题意得360°n＝24°，∴n＝15.（2）n×45°＝360°，∴n＝8.由内角和公式得（8－2）·180°＝1080°，∴中心角为360°8＝45°.解：（1）15，（2）1080°，45°.例3.如图所示，小明同学在手工制作中，把一个边长为12cm的等边三角形纸片贴在一个圆形纸片上.若三角形的三个顶点恰好都在这个圆上，求该圆的半径.34A BCOD分析：由题意知这个三角形是圆的内接正三角形.解：如图所示，连结OB ，过O 作OD ⊥BC 于D ，则正△ABC 的中心角＝360°3＝120°，∠BOD ＝12×120°＝60°，∠OBD ＝90°－∠BOD ＝30°，∴OD ＝12BO .又BD ＝12BC ＝12×12＝6（cm ），∴OB 2－OD 2＝62，即OB 2－（12OB ）2＝62， ∴OB ＝43cm .评析：把实际问题转化为正三角形的外接圆的问题是解题的关键.例4. 已知圆内接正方形的面积为8，求同圆内接正六边形的面积.分析：解决问题的关键是“同圆”，通过圆的半径可以把正方形的条件转化为正六边形的条件，从而解决问题.解：由正方形的面积为8，可知正方形的边长为22，设该圆半径为R ，正六边形的边长和边心距分别为a 6和r 6. 则2R ＝4，a 6＝R ，r 6＝32·a 6.∴S 6＝6×12a 6·r 6＝6×12×2×32×2＝63.例5. 用折纸的方法，可直接剪出一个正五边形（如图所示）方法是：拿一张长方形纸对折，折痕为AB ，以AB 的中点O 为顶点将平角五等分，并沿五等份的线折叠，再沿CD 剪5开，使展开后的图形为正五边形，则∠OCD 等于（）A . 108°B . 90°C . 72°D . 60°AB ABOOCD分析：本题考查学生的动手能力和灵活运用所学知识的能力，这里的O 点是所剪正五边形的中心，由题可知∠COD ＝36°，所以剪得的三角形正好是五边形一边和两条半径所构成的三角形的一半，所以∠OCD ＝90°. 解：B例6. 如图（1）、（2）、（3）、…、（n ），M 、N 分别是⊙O 的内接正三角形ABC 、正方形ABCD 、正五边形ABCDE 、…、正n 边形ABCDE …的边AB 、BC 上的点，且BM ＝CN ，连接OM 、ON .（1）求图（1）中∠MON 的度数；（2）图（2）中∠MON 的度数是__________，图（3）中∠MON 的度数是__________；（3）试探究∠MON 的度数与正n 边形边数n 的关系（直接写出答案）.分析：（1）连接OB 、OC ，注意△OBM ≌△OCN ，可得∠MON ＝∠BOC ＝120°. （2）同理，由△OBM ≌△OCN ，可得∠MON ＝∠BOC ＝90°. （3）由（1）（2）知，∠MON ＝∠BOC ，即∠MON ＝∠BOC ＝90°.A BCO M N A B C DOM N BC D E O MN ABOM…(1)(2)(3)(n )A解：（1）方法一：连接OB 、OC ，∵正△ABC 内接于⊙O ，∴∠OBM ＝∠OCN ＝30°，∠BOC ＝120° 又∵BM ＝CN ，OB ＝OC ，∴△OBM ≌△OCN ，6∴∠BOM ＝∠CON ，∴∠MON ＝∠BOC ＝120°. 方法二：连接OA 、OB ，∵正△ABC 内接于⊙O . AB ＝BC ，∠OAM ＝∠OBN ＝30°，∠AOB ＝120°. 又∵BM ＝CN ，∴AM ＝BN ，又∵OA ＝OB ，∴△AOM ≌△BON ，∴∠AOM ＝∠BON ，∴∠MON ＝∠AOB ＝120°. （2）图（2）中，∠MON ＝360°4＝90°，图（3）中，∠MON ＝360°5＝72°. （3）图（n ）中，∠MON ＝360°n .评析：（1）△OBM 与△O CN 是旋转全等三角形. 图（1）中△OCN 绕点O 顺时针旋转120°，与△OBM 重合；图（2）旋转90°，图（3）旋转72°……. （2）注意由特殊到一般的思想，归纳出∠MON ＝360°n .【方法总结】1. 正n 边形的中心角为360°n ，与正n 边形的一个外角相等，与正n 边形的一个内角互补. 求中心角常用以上方法.2. 正多边形的外接圆半径R 与边长a 、边心距r 之间的关系式为R 2＝r 2＋（12a ）2，这是把正n 边形分成了2n 个全等的直角三角形，把正n 边形的有关计算转化为直角三角形中的问题.【模拟试题】（答题时间：50分钟）一、选择题1. 若一个正多边形的一个外角是40°，则这个正多边形的边数是（）A. 10B. 9C. 8D. 62.下列命题中正确的是（）A.正多边形都是中心对称图形B.正多边形一个内角的大小与边数成正比C.正多边形一个外角的大小随边数的增加而减小D.边数大于3的正多边形对角线都相等3.一个正多边形的中心角是36°，则其一定是（）A.正五边形B.正八边形C.正九边形D.正十边形4.正多边形的一边所对的中心角与该正多边形一个内角的关系是（）A.两角互余B.两角互补C.两角互余或互补D.不能确定5.圆内接正三角形的边心距与半径的比是（）A. 2∶1B. 1∶2C.3∶4D.3∶26.下列命题中：①三边都相等的三角形是正三角形；②四边都相等的四边形是正四边形；③四角都相等的四边形是正四边形；④各边都相等的圆的内接多边形是正多边形.其中正确的有（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个*7.已知四边形ABCD内接于⊙O，给出下列三个条件：①︵AB＝︵BC＝︵CD＝︵DA；②AB＝BC＝CD＝DA；③∠A＝∠B＝∠C＝∠D.则在这些条件中，能够判定四边形ABCD是正四边形的条件共有（）A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个**8. A点是半圆上一个三等分点，B点是︵AN的中点，P是直径MN上一动点，⊙O的半径为1，则AP＋BP的最小值为（）7M NA. 1B.22C. 2 D.3－1二、填空题1.用一张圆形的纸片剪一个边长为4cm的正六边形，则这个圆形纸片的半径最小为__________cm.2.如果一个正多边形的内角和是900°，则这个多边形是正__________边形.3.正十边形至少绕中心旋转__________度，它与原正十边形重合.4.若正三角形、正方形、正六边形的周长都相等，它们的面积分别为S3、S4、S6，则S3、S4、S6由大到小的排列顺序是__________.5.正六边形DEFGHI的顶点都在边长为6cm的正三角形ABC的边上，则这个正六边形的边长是__________cm.*6.如图是某广场地面的一部分，地面的中央是一块正六边形地砖，周围用正三角形和正方形的大理石密铺，从里向外共铺了12层（不包括正六边形地砖），每一层的外边界都围成一个多边形.若正中央正六边形地砖的边长为0.5米，则第12层的外边界所围成的多边形的周长是__________.三、解答题1.解答下列各题：89（1）分别求出正十边形、正十二边形的中心角.（2）已知一个正多边形的一个中心角为18°，求它的内角的度数. （3）正六边形的两条平行边间的距离为12cm ，求它的外接圆的半径.2. 如图所示，求中心为原点O ，顶点A 、D 在x 轴上，半径为4cm 的正六边形ABCDEF 的各个顶点坐标.3. 用一块半径R ＝60cm 的圆形木料，做“八仙桌”（正方形）桌面或“八角桌”（正八边形）桌面，哪个面积大？大多少？（结果保留三个有效数字）**4. 请阅读，完成证明和填空. 九年级数学兴趣小组在学校的“数学长廊”中兴奋地展示了他们小组探究发现的结果，内容如下：A A A BBB CCCD DO OOM M M NNN E图1图2图3…（1）如图1，正三角形ABC 中，在AB 、AC 边上分别取点M 、N ，使BM ＝AN ，连接BN 、CM ，发现BN ＝CM ，且∠NOC ＝60°. 请证明：∠NOC ＝60°.（2）如图2，正方形ABCD 中，在AB 、BC 边上分别取点M 、N ，使AM ＝BN ，连接AN 、DM ，那么AN ＝__________，且∠DON ＝__________度.（3）如图3，正五边形ABCDE 中，在AB 、BC 边上分别取点M 、N ，使AM ＝BN ，连接AN 、EM ，那么AN ＝__________，且∠EON ＝__________度.（4）在正n边形中，对相邻的三边实施同样的操作过程，也会有类似的结论.请大胆猜测，用一句话概括你的发现：______________________________.1011【试题答案】一、选择题1. B2. C3. D4. B5. B6. B7. C8. C （解析：如图所示，作点B 关于直线MN 的对称点B ’，连结OB ’，PB ’，BB ’.M N二、填空题1. 42. 七3. 364. S 6＞S 4＞S 35. 26. 39米三、解答题1. （1）正十边形的中心角为360°10＝36°，正十二边形的中心角是360°12＝30°. （2）中心角为18°的正多边形的边数为36018＝20，正二十边形的内角为（20－2）·180°20＝162°. （3）由题意得r 6＝6（cm ），由于正六边形的边长与半径相等，∴R 2＝（12R ）2＋r 62，∴34R 2＝36，R ＝43（cm ）.2. A （－4，0）、B （－2，－23）、C （2，－23）、D （4，0）、E （2，23）、F （－2，23）3. “八仙桌”的面积为7200平方厘米，“八角桌”的面积为72002平方厘米，所以“八角桌”比“八仙桌”的面积大2980平方厘米.4. （1）证明：∵△ABC 是正三角形，∴∠A ＝∠ABC ＝60°，AB ＝BC ，在△ABN 和△BCM 中，⎩⎨⎧AB ＝BC∠A ＝∠ABCAN ＝BM，∴△ABN ≌△BCM . ∴∠ABN ＝∠BCM . 又∵∠ABN ＋∠OBC ＝60°，∴∠BCM＋∠OBC＝60°，∴∠NOC＝60°.（2）在正方形中，AN＝DM，∠DON＝90°.（3）在正五边形中，AN＝EM，∠EON＝108°.（4）以上所求的角恰好等于正n边形的内角（n－2）·180°n.12。

中考数学专题复习圆专题--隐圆讲解解析

圆专题--隐圆知识点储备：构造出隐圆出来，可以运用与圆有关的几何性质去解题。

1、点圆距离。

点P 是圆O 外一点，连接PO 交圆与点A,点B ，则PA 是点P 到圆上的最短距离，PB 为点P 到圆上的最长距离。

证明：在△POB ’利用到三边关系：即PO+OB ’＞PB ’，OB ’=OB PO+OB=PB ＞PB ’.在△POA ’利用到三边关系:即 PA ’+OA ’＞ OA+PA,OA=OA ’,PA ’＞PA.点P 是圆O 内一点，连接PO 交圆与点A,点B ，则PA 是点P 到圆上的最短距离，PB 为点P 到圆上的最长距离。

证明：同上;2、直径最长。

在圆中所有的弦中，直径最长。

AB 为直径，最长的弦。

3、点弦距离。

点P 是弧AB 上一动点，过圆心作弦AB 的垂线交于点E,交圆O 于点C,点D,若点P 在劣弧AB 上，当点P 与点C 重合，则点P 到AB 的最大距离为CE,若点P 在优弧AB 上，当点P 与点D 重合,则点P 到AB 的最大距离为DE,（此时点C 为劣弧AB 的中点，点D 为优弧AB 的中点）证明：可以过点P 作AB 的平行线L ，L 与AB 的距离就是点P 到AB 的距离，当L 与圆O 只有一个交点时，即相切时，L 与AB 的距离最大，此时点P 与点C 重合，或点P 与点D 重合。

PA OBB'A'P AO BB'A'ABEF DA BOE CP P由上述结论可知：点P 在圆上运动，线段AB 长度固定，当△PAB,为等腰三角形时，△PAB 的面积取最大（也要分在优弧和劣弧两种情况。

）证明：因为 △PAB 底AB 不变，此时AB 边上的高最大，得面积也是最大的。

拓展：此时得到的△PAB 的周长也是最大的。

（也要分在优弧和劣弧两种情况。

）证明：1、当点P 在劣弧AB 上时，如图所示：AB 为定值，求△PAB 的周长最大，即求PA+PB 最大。

九年级数学专题复习圆综合复习

总复习圆综合复习【考纲要求】1.圆的基本性质和位置关系是中考考查的重点，但圆中复杂证明及两圆位置关系中证明定会有下降趋势，不会有太复杂的大题出现；2.今后的中考试题中将更侧重于具体问题中考查圆的定义及点与圆的位置关系，对应用、创新、开放探究型题目，会根据当前的政治形势、新闻背景和实际生活去命题，进一步体现数学来源于生活，又应用于生活．【知识网络】【考点梳理】考点一、圆的有关概念1. 圆的定义如图所示，有两种定义方式：①在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆．固定的端点O叫做圆心，以O为圆心的圆记作⊙O，线段OA叫做半径；②圆是到定点的距离等于定长的点的集合．要点进阶：圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小． 2.与圆有关的概念①弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦；如上图所示线段AB ，BC ，AC 都是弦． ②直径：经过圆心的弦叫做直径，如AC 是⊙O 的直径，直径是圆中最长的弦．③弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，如曲线BC 、BAC 都是⊙O 中的弧，分别记作BC ，BAC ．④半圆：圆中任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆，如AC 是半圆． ⑤劣弧：像BC 这样小于半圆周的圆弧叫做劣弧． ⑥优弧：像BAC 这样大于半圆周的圆弧叫做优弧． ⑦同心圆：圆心相同，半径不相等的圆叫做同心圆． ⑧弓形：由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形． ⑨等圆：能够重合的两个圆叫做等圆．⑩等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧．⑪圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角，如上图中∠AOB ，∠BOC 是圆心角．⑫圆周角：顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角，如上图中∠BAC 、∠ACB 都是圆周角．要点进阶：圆周角等于它所对的弧所对的圆心角的一半.圆外角度数等于它所夹弧的度数的差的一半. 圆内角度数等于它所夹弧的度数的和的一半.考点二、圆的有关性质 1.圆的对称性圆是轴对称图形，经过圆心的直线都是它的对称轴，有无数条．圆是中心对称图形，圆心是对称中心，又是旋转对称图形，即旋转任意角度和自身重合． 2.垂径定理①垂直于弦的直径平分这条弦，且平分弦所对的两条弧．②平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．如图所示．要点进阶：在图中(1)直径CD ，(2)CD ⊥AB ，(3)AM ＝MB ，(4)C C A B =，(5)AD BD =．若上述5个条件有2个成立，则另外3个也成立．因此，垂径定理也称“五二三定理”．即知二推三．注意：(1)(3)作条件时，应限制AB 不能为直径．3.弧、弦、圆心角之间的关系①在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等；②在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，它们所对应的其余各组量也相等．4.圆周角定理及推论①圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．②圆周角定理的推论：半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．要点进阶：圆周角性质的前提是在同圆或等圆中．考点三、与圆有关的位置关系1.点与圆的位置关系如图所示．d表示点到圆心的距离，r为圆的半径．点和圆的位置关系如下表：点与圆的位置关系d与r的大小关系点在圆内d＜r点在圆上d＝r点在圆外d＞r要点进阶：(1)圆的确定：①过一点的圆有无数个，如图所示．②过两点A、B的圆有无数个，如图所示．③经过在同一直线上的三点不能作圆．④不在同一直线上的三点确定一个圆．如图所示．(2)三角形的外接圆经过三角形三个顶点可以画一个圆，并且只能画一个．经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆．三角形外接圆的圆心叫做这个三角形的外心．这个三角形叫做这个圆的内接三角形．三角形的外心就是三角形三条边的垂直平分线交点．它到三角形各顶点的距离相等，都等于三角形外接圆的半径．如图所示．2.直线与圆的位置关系①设r为圆的半径，d为圆心到直线的距离，直线与圆的位置关系如下表．②圆的切线．切线的定义：和圆有唯一公共点的直线叫做圆的切线．这个公共点叫切点．切线的判定定理：经过半径的外端．且垂直于这条半径的直线是圆的切线．友情提示：直线l是⊙O的切线，必须符合两个条件：①直线l经过⊙O上的一点A；②OA⊥l．切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径．切线长定义：我们把圆的切线上某一点与切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长．切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角．③三角形的内切圆：与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形，三角形的内心就是三角形三个内角平分线的交点．要点进阶：找三角形内心时，只需要画出两内角平分线的交点．三角形外心、内心有关知识比较3.圆与圆的位置关系在同一平面内两圆作相对运动，可以得到下面5种位置关系，其中R、r为两圆半径(R≥r)．d为圆心距．要点进阶：①相切包括内切和外切，相离包括外离和内舍．其中相切和相交是重点．②同心圆是内含的特殊情况．③圆与圆的位置关系可以从两个圆的相对运动来理解．④“r1－r2”时，要特别注意，r1＞r2．考点四、正多边形和圆1.正多边形的有关概念正多边形的外接圆(或内切圆)的圆心叫正多边形的中心．外接圆的半径叫正多边形的半径，内切圆的半径叫正多边形的边心距，正多边形各边所对的外接圆的圆心角都相等，这个角叫正多边形的中心角，正多边形的每一个中心角都等于360n°．要点进阶：通过中心角的度数将圆等分，进而画出内接正多边形，正六边形边长等于半径．2.正多边形的性质任何一个正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两圆是同心圆．正多边形都是轴对称图形，偶数条边的正多边形也是中心对称图形，同边数的两个正多边形相似，其周长之比等于它们的边长(半径或边心距)之比．3.正多边形的有关计算定理：正n 边形的半径和边心距把正n 边形分成2n 个全等的直角三角形．正n 边形的边长a 、边心距r 、周长P 和面积S 的计算归结为直角三角形的计算．360n a n =°，1802sin n a R n =°，180cos n r R n=°， 2222n n a R r ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，n n P n a =，1122n nnn n S a r n P r ==．考点五、圆中的计算问题 1.弧长公式：180n Rl π=，其中l 为n °的圆心角所对弧的长，R 为圆的半径． 2.扇形面积公式：2360n R S π=扇，其中12S lR =扇．圆心角所对的扇形的面积，另外12S lR =扇．3.圆锥的侧面积和全面积：圆锥的侧面展开图是扇形，这个扇形的半径等于圆锥的母线长，弧长等于圆锥底面圆的周长．圆锥的全面积是它的侧面积与它的底面积的和．要点进阶：（1）在计算圆锥的侧面积时要注意各元素之间的对应关系，千万不要错把圆锥底面圆半径当成扇形半径．（2）求阴影面积的几种常用方法(1)公式法；(2)割补法；(3)拼凑法；(4)等积变形法；(5)构造方程法．考点六、四点共圆 1.四点共圆的定义四点共圆的定义：如果同一平面内的四个点在同一个圆上，则称这四个点共圆，一般简称为“四点共圆”.2.证明四点共圆一些基本方法：1.从被证共圆的四点中先选出三点作一圆，然后证另一点也在这个圆上，若能证明这一点，即可肯定这四点共圆．或利用圆的定义，证各点均与某一定点等距.2.如果各点都在某两点所在直线同侧，且各点对这两点的张角相等，则这些点共圆．（若能证明其两张角为直角，即可肯定这四个点共圆，且斜边上两点连线为该圆直径.）3.把被证共圆的四点连成四边形，若能证明其对角互补或能证明其一个外角等于其邻补角的内对角时，即可肯定这四点共圆．4.把被证共圆的四点两两连成相交的两条线段，若能证明它们各自被交点分成的两线段之积相等，即可肯定这四点共圆；或把被证共圆的四点两两连结并延长相交的两线段，若能证明自交点至一线段两个端点所成的两线段之积等于自交点至另一线段两端点所成的两线段之积，即可肯定这四点也共圆．即利用相交弦、切割线、割线定理的逆定理证四点共圆.考点七、与圆有关的比例线段（补充知识）1.相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等.2.切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项.3.割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等.圆幂定理（相交弦定理、切割线定理及其推论(割线定理)统一归纳为圆幂定理）定理图形已知结论证法相交弦定理⊙O中，AB、CD为弦，交于P.PA·PB＝PC·PD. 连结AC、BD，证：△APC∽△DPB.相交弦定理的推论⊙O中，AB为直径，CD⊥AB于P.PC2＝PA·PB. 用相交弦定理.切割线定理⊙O中，PT切⊙O于T，割线PB交⊙O于APT2＝PA·PB连结TA、TB，证：△PTB∽△PAT切割线定理推论PB、PD为⊙O的两条割线，交⊙O于A、CPA·PB＝PC·PD过P作PT切⊙O于T，用两次切割线定理【典型例题】类型一、圆的有关概念及性质例1． BC为O的弦，∠BOC=130°，△ABC为O的内接三角形，求∠A的度数.【变式】如图，∠AOB＝100°，点C 在⊙O 上，且点C 不与A 、B 重合，则∠ACB 的度数为（）A ．50B ．80或50C ．130D ．50 或130类型二、与圆有关的位置关系例2．如图，已知正方形的边长是4cm ，求它的内切圆与外接圆组成的圆环的面积．（答案保留π）例3．如图，已知⊙O 的半径为6cm ，射线PM 经过点O ，10cm OP ，射线PN 与⊙O 相切于点Q ．A,B 两点同时从点P 出发，点A 以5cm/s 的速度沿射线PM 方向运动，点B 以4cm/s 的速度沿射线PN 方向运动．设运动时间为t s ．（1）求PQ 的长；（2）当t 为何值时，直线AB 与⊙O 相切？A BO【变式】已知：如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，OD⊥BC于点D，过点C作⊙O的切线，交OD的延长线于点E，连接BE．（1）求证：BE与⊙O相切；（2）连接AD并延长交BE于点F，若OB=9，2sin3ABC∠=，求BF的长．类型三、与圆有关的计算例4．如图，有一个圆O和两个正六边形T1，T2． T1的6个顶点都在圆周上，T2的6条边都和圆O相切（我们称T1，T2分别为圆O的内接正六边形和外切正六边形）．（1）设T1，T2的边长分别为a，b，圆O的半径为r，求r：a及r：b的值；（2）求正六边形T1，T2的面积比S1：S2的值．【变式】有一个亭子，它的地基是半径为8m的正六边形，求地基的周长和面积．（结果保留根号）类型四、与圆有关的综合应用例5．如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，∠BAC的平分线交⊙O于点D，过点D作EF∥BC，交AB、AC的延长线于点E、F．（1）求证：EF为⊙O的切线；（2）若sin∠ABC=，CF=1，求⊙O的半径及EF的长．【变式】已知：如图，△ABC中，∠BAC=90°，点D在BC边上，且BD=BA，过点B画AD的垂线交AC于点O，以O为圆心，AO为半径画圆．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为8，tan∠C=，求线段AB的长，sin∠ADB的值．例6．（1）已知：如图1，△ABC是⊙O的内接正三角形，点P为弧BC上一动点，求证：PA=PB+PC；（2）如图2，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，点P为弧BC上一动点，求证：；（3）如图3，六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形，点P为弧BC上一动点，请探究PA、PB、PC 三者之间有何数量关系，并给予证明．【变式】（1）如图①，M、N分别是⊙O的内接正△ABC的边AB、BC上的点且BM=CN，连接OM、ON，求∠MON的度数；（2）图②、③、…④中，M、N分别是⊙O的内接正方形ABCD、正五边ABCDE、…正n边形ABCDEFG…的边AB、BC上的点，且BM=CN，连接OM、ON，则图②中∠MON的度数是，图③中∠MON的度数是；…由此可猜测在n边形图中∠MON的度数是；（3）若3≤n≤8，各自有一个正多边形，则从中任取2个图形，恰好都是中心对称图形的概率是 .一、选择题1．已知半径分别是3和5的两个圆没有公共点，那么这两个圆的圆心距d的取值范围是（）A．d＞8 B．d＞2 C．0≤d＜2 D．d＞8或d＜22．如图，等腰梯形ABCD内接于半圆D，且AB＝1，BC＝2，则OA＝( )A．132+B．2 C．323+D．152+3．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，BC＝4 cm，以点C为圆心，以2 cm的长为半径作圆，则⊙C与AB的位置关系是( )A．相离 B．相切 C．相交 D．相切或相交第2题第3题第5题4．已知圆O1、圆O2的半径不相等，圆O1的半径长为3，若圆O2上的点A满足AO1＝3，则圆O1与圆O2的位置关系是( )A．相交或相切 B．相切或相离 C．相交或内含 D．相切或内含5．如图所示，在圆O内有折线OABC，其中OA＝8，AB＝2，∠A＝∠B＝60°，则BC的长为( )A．19 B．16 C．18 D．206．如图，MN是半径为0.5的⊙O的直径，点A在⊙O上，∠AMN＝30°，B为AN弧的中点，P是直径MN 上一动点，则PA+PB的最小值为( )A．22B．2 C．1 D．27．如图，分别以A，B为圆心，线段AB的长为半径的两个圆相交于C，D两点，则∠CAD的度数为_______．8．如图，现有圆心角为90°的一个扇形纸片，该扇形的半径是50cm．小红同学为了在圣诞节联欢晚会上表演节目，她打算剪去部分扇形纸片后，利用剩下的纸片制作成一个底面半径为10cm的圆锥形纸帽(接缝处不重叠)，那么被剪去的扇形纸片的圆心角应该是________度．第7题第8题第9题9．如图，AB⊥BC，AB＝BC＝2 cm，OA与OC关于点O中心对称，则AB、BC、CO、OA所围成的面积是________cm2．10．如图，以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB是小圆的切线，C为切点，若两圆的半径分别为3 cm和5 cm，则AB的长为________cm．11．将半径为4 cm的半圆围成一个圆锥，在圆锥内接一个圆柱(如图所示)，当圆柱的侧面的面积最大时，圆柱的底面半径是________cm．第10题第11题12．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，过点O作EF∥BC交AB于E，交AC于F，过点O作OD⊥AC于D．下列四个结论：①∠BOC=90°+∠A；②以E为圆心、BE为半径的圆与以F为圆心、CF为半径的圆外切；③设OD=m，AE+AF=n，则S△AEF=mn；④EF是△ABC的中位线．其中正确的结论是．13．如图，已知点E在△ABC的边AB上，∠C=90°，∠BAC的平分线交BC于点D，且D在以AE为直径的⊙O上．（1）证明：BC是⊙O的切线；（2）若DC=4，AC=6，求圆心O到AD的距离；（3）若，求的值．14．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，斜边AC的垂直平分线交BC于点D，交AC于点E，连接BE．(1)若BE是△DEC外接圆的切线，求∠C的大小；(2)当AB＝1，BC＝2时，求△DEC外接圆的半径．15．如图，⊙O是△ABC的外接圆，FH是⊙O的切线，切点为F，FH∥BC，连接AF交BC于E，∠ABC的平分线BD交AF于D，连接BF．(1)证明：AF平分∠BAC；(2)证明：BF＝FD；(3)若EF＝4，DE＝3，求AD的长．16. 如图，已知：AC是⊙O的直径，PA⊥AC，连接OP，弦CB∥OP，直线PB交直线AC于D，BD＝2PA．(1)证明：直线PB是⊙O的切线；(2)探究线段PO与线段BC之间的数量关系，并加以证明；(3)求sin∠OPA的值．。

九年级数学中考一轮复习微专题二讲义：圆的基本性质

微专题二：圆的基本性质【知识点扫描】1. 圆上各点到圆心的距离都等于.2. 圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的；圆又是对称图形，是它的对称中心.3. 垂直于弦的直径平分，并且平分；平分弦（不是直径）的垂直于弦，并且平分.4. 在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦，两条弦心距，两个圆周角中有一组量，那么它们所对应的其余各组量都分别.5. 同弧或等弧所对的圆周角，都等于它所对的圆心角的.6. 半圆(或直径)所对的圆周角是，90°的圆周角所对的弦是.7.圆内接四边形的对角．8.圆的周长为，1°的圆心角所对的弧长为，n°的圆心角所对的弧长为，弧长公式为 .9.圆的面积为，1°的圆心角所在的扇形面积为，n°的圆心角所在的扇形面积为S= ×πr2 = = .10.圆锥的侧面积公式：S=rlπ.（其中为的半径，为的长）；圆锥的全面积：S全＝S侧＋S底＝πrl＋πr2.【难点突破】重难点1垂径定理及其应用一．选择题：1.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊙AB于点G，点F是CD上一点，且满足CF:FD =3:7，连接AF并延长交⊙O于点E，连接AD、DE，若CF=3，AF=3，给出下列结论：⊙FG=2；⊙5 tanE；⊙495DEFS=；其中正确的是( )A. ⊙⊙B. ⊙⊙C. ⊙⊙D.⊙⊙⊙二、填空题：1.在半径为1的⊙O中，两条弦AB，AC的长分别为3和2，则弧BC的长度为．三、解答题：1.已知：如图，AB是圆O的直径，CD是圆O的弦，AB⊙CD，E为垂足，AE=CD=8，F是CD延长线上一点，连接AF交圆O于G，连接AD、DG．（1）求圆O的半径；（2）求证：⊙ADG⊙⊙AFD；（3）当点G是弧AD的中点时，求⊙ADG得面积与⊙AFD的面积比．重难点2圆周角定理及其推论一、选择题1. 如图，抛物线与x轴交于A、B两点，以线段AB为直径的半圆与抛物线在第二象限的交点为C，与y轴交于D点，设⊙BCD=α，则的值为（）A．sin2α B．cos2α C．tan2α D．tan﹣2α2.如图，点C为⊙ABD外接圆上的一点（点C不在上，且不与点B，D重合），且⊙ACB=⊙ABD=45°，若BC=8，CD=4，则AC的长为（）A．8.5B．5C．4D．二、填空题1.如图，⊙O是⊙AB C的外接圆，AD⊙B C于D，CE⊙AB于E，AD交CE于H点，交⊙O于N，OM⊙B C于M，BF为⊙O的直径，下列结论：⊙四边形AH CF为平行四边形；⊙AH＝2OM，⊙BF＝2F C；⊙DN＝DH；其中正确的有______(第1题) （第2题）2.如图，在平面直角坐标系中，已知点A （0，2）、B（0，2+m）、C（0，2-m）（m＞0），点P 在以D（4，6）为圆心，1 为半径的圆上运动，且始终满足⊙BPC=90°，则m的最大值是3.如图，AB，BC是⊙O的弦，⊙B=60°，点O在⊙B内，点D为上的动点，点M，N，P 分别是AD，DC，CB的中点．若⊙O的半径为2，则PN+MN的长度的最大值是三．解答题1.请完成以下问题：（1）如图1，=，弦AC与半径OD平行，求证：AB是⊙O的直径；（2）如图2，AB是⊙O的直径，弦AC与半径OD平行．已知圆的半径为r，AC=y，CD=x，求y与x的函数关系式．2.如图，已知等腰直角三角形ABC ，点P 是斜边BC 上一点（不与B ，C 重合），PE 是⊙ABP 的外接圆⊙O 的直径．（1）求证：⊙APE 是等腰直角三角形；（2）若⊙O 的直径为2，求PC 2+PB 2的值．3.如图1，已知四边形ABCD 内接于圆0，AD=BC ，延长AB 到E ，使BE=AB ，连接EC ，F 是EC 的中点，连接BF（1）若圆0的半径为3，⊙DAB=120°，求劣弧BD 的长；（2）如图2，连接BD ，求证：BF=21BD ；（3）如图3，G 是BD 的中点，过B 作AE 的垂线交圆0于点P ，连接PG ，PF ，求证：PG=PF图1 图2 图34.如图1，圆O的两条弦AC、BD交于点E，两条弦所成的锐角或者直角记为⊙α（1）点点同学通过画图和测量得到以下近似数据：的度数30.2°40.4°50.0°61.6°的度数55.7°60.4°80.2°100.3°⊙α的度数43.0°50.2°65.0°81.0°猜想：、、⊙α的度数之间的等量关系，并说明理由﹒（2）如图2，若⊙α=60°，AB=2，CD=1，将以圆心为中心顺时针旋转，直至点A与点D 重合，同时B落在圆O上的点，连接CG﹒⊙求弦CG的长；⊙求圆O的半径．重难点3 三角形的外接圆及圆内接四边形一、选择题1.如图，点A 的坐标为A （8，0），点B 在y 轴正半轴上，且AB=10，点P 是⊙AOB 外接圆上一点，且⊙BOP=45°，则点P 的坐标为（）A ．（7，7）B ．（7，7）C ．（5，5）D ．（5，5）2.如图所示，四边形ABCD 中，DC⊙AB ，BC=2，AB=AC=AD=3．则BD 的长为( ) A.13 B.5 C.23 D.243.如图，⊙ABC 内接于圆O ，延长AO 交BC 于点P ，交圆O 于点D ，连结OB ，OC ，BD ，DC （）A ．若AB=AC ，则BC 平分ODB ．若OCBD ，则CD ：AB=：3C ．若⊙ABO=30°，则OC BDD ．若BC 平分OD ，则AB=AC二．填空题1.在⊙ABC 中，45AB =5AC =，11BC =，则⊙ABC 的外接圆半径为____________2、如图，⊙ABC内接于⊙O，其外角平分线AD交⊙O于D，DM⊙AC于M，下列结论中正确的是．⊙DB=DC；⊙AC+AB=2CM；⊙AC﹣AB=2AM；⊙S⊙ABD=S⊙ABC．重难点4弧长及扇形面积的有关计算一．选择题1．如图，在半径为2，圆心角为90°的扇形内，以BC为直径作半圆，交弦AB于点D，连接CD，则阴影部分的面积为（）A．π﹣1B．2π﹣1C．2π﹣2D．π﹣2二．填空题1、如图，一根长为a的竹竿AB斜靠在墙上，竹竿AB的倾斜角为α，当竹竿的顶端A下滑到点A'时，竹竿的另一端B向右滑到了点B'，此时倾斜角为β．（1）线段AA'的长为．（2）当竹竿AB滑到A'B'位置时，AB的中点P滑到了P'，位置，则点P所经过的路线长为（两小题均用含a，α，β的代数式表示）2、如图，△ABC中，D为BC的中点，以D为圆心，BD长为半径画一弧交AC于E点，若∠A=60°，∠B=100°，BC=4，则扇形BDE的面积为_ __3、如图，AB为半圆O的直径，C为AO的中点，CD⊙AB交半圆与点D，以C为圆心，CD为半径画弧DE交AB于E点，若AB=4cm，则图中阴影部分面积为cm2．三、简答题1、在⊙O中，己知弦BC所对的圆周角⊙BAC与圆心角⊙BOC互补．（1）求⊙BOC的度数．（2）若⊙O的半径为4，求弦BC和劣弧BC组成的弓形面积．。

中考数学考点29圆的基本性质总复习(解析版)

圆的基本性质【命题趋势】圆的基本性质是中考考查的重点.常以选择题.填空题和解答题考查为主；其中选择题和填空题的难度不会太大.对应用、创新、开放探究型题目.会根据当前的政治形势、新闻背景和实际生活去命题.进一步体现数学来源于生活.又应用于生活。

【中考考查重点】一、运用垂径定理及其推论进行计算二、运用圆周角定理及其推论进行计算三、垂径定理雪与圆周角定理结合考点：圆的有关概念圆的定义：在一个平面内.线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周.另一个端点A所形成的图形叫圆。

这个固定的端点O叫做圆心.线段OA叫做半径。

圆的表示方法：以O点为圆心的圆记作⊙O.读作圆O。

圆的特点：在一个平面内.所有到一个定点的距离等于定长的点组成的图形。

确定圆的条件：1）圆心；2）半径。

备注：圆心确定圆的位置.半径长度确定圆的大小。

【补充】1）圆心相同且半径相等的圆叫做同圆；2）圆心相同.半径不相等的两个圆叫做同心圆；3）半径相等的圆叫做等圆。

圆的对称性：1）圆是轴对称图形.经过圆心的每一条直线都是它的对称轴；2）圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。

弦的概念：连结圆上任意两点的线段叫做弦(例如：右图中的AB)。

直径的概念：经过圆心的弦叫做直径（例如：右图中的CD）。

备注：1）直径是同一圆中最长的弦。

2）直径长度等于半径长度的2倍。

⏜.读弧的概念：圆上任意两点间的部分叫做圆弧.简称弧。

以A、B为端点的弧记作AB作圆弧AB或弧AB。

等弧的概念：在同圆或等圆中.能够互相重合的弧叫做等弧。

半圆的概念：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧.每一条弧都叫做半圆。

优弧的概念：在一个圆中大于半圆的弧叫做优弧。

劣弧的概念：小于半圆的弧叫做劣弧。

弦心距概念：从圆心到弦的距离叫做弦心距。

1．（2021秋•顺义区期末）如图.在⊙O中.如果＝2.则下列关于弦AB与弦AC之间关系正确的是（）A．AB＝AC B．AB＝2AC C．AB＞2AC D．AB＜2AC【答案】D【解答】解：如图.取弧AB的中点D.连接AD.BD.则＝2＝2.∵＝2.∴＝＝.∴AD＝BD＝AC．在△ABD中.AD+BD＞AB.∴AC+AC＞AB.即AB＜2AC．故选：D．2．（2021秋•平原县期末）下列语句.错误的是（）A．直径是弦B．相等的圆心角所对的弧相等C．弦的垂直平分线一定经过圆心D．平分弧的半径垂直于弧所对的弦【答案】B【解答】解：直径是弦.A正确.不符合题意；在同圆或等圆中.相等的圆心角所对的弧相等.B错误.符合题意；弦的垂直平分线一定经过圆心.C正确.不符合题意；平分弧的半径垂直于弧所对的弦.D正确.不符合题意；故选：B．3．（2021秋•玉林期末）如图.从A地到B地有两条路可走.一条路是大半圆.另一条路是4个小半圆．有一天.一只猫和一只老鼠同时从A地到B地．老鼠见猫沿着大半圆行走.它不敢与猫同行（怕被猫吃掉）.就沿着4个小半圆行走．假设猫和老鼠行走的速度相同.那么下列结论正确的是（）A．猫先到达B地B．老鼠先到达B地C．猫和老鼠同时到达B地D．无法确定【答案】C【解答】解：以AB为直径的半圆的长是：π•AB；设四个小半圆的直径分别是a.b.c.d.则a+b+c+d＝AB．则老鼠行走的路径长是：a+πb+πc+πd＝π（a+b+c+d）＝π•AB．故猫和老鼠行走的路径长相同．故选：C．考点：垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦.并且平分弦所对的两条弧。

中考数学专题复习圆

第六章圆第二十三讲圆的有关概念及性质【基础知识回顾】一、圆的定义及性质：1、圆的定义：⑴形成性定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转形成的图形叫做圆，固定的端点叫线段OA叫做⑵描述性定义：圆是到定点的距离等于的点的集合2、弦与弧：弦：连接圆上任意两点的叫做弦弧：圆上任意两点间的叫做弧，弧可分为、、三类3、圆的对称性：⑴轴对称性：圆是轴对称图形，有条对称轴，的直线都是它的对称轴⑵中心对称性：圆是中心对称图形，对称中心是【名师提醒：1、在一个圆中，圆心决定圆的半径决定圆的2、直径是圆中的弦，弦不一定是直径；3、圆不仅是中心对称图形，而且具有旋转性，即绕圆心旋转任意角度都被与原来的图形重合】二、垂径定理及推论：1、垂径定理：垂直于弦的直径，并且平分弦所对的。

2、推论：平分弦（）的直径，并且平分弦所对的。

【名师提醒：1、垂径定理及其推论实质是指一条直线满足：⑴过圆心⑵垂直于弦⑶平分弦⑷平分弦所对的优弧⑸平分弦所对的劣弧五个条件中的两个，那么可推出其余三个，注意解题过程中的灵活运用2、圆中常作的辅助线是过圆心作弦的线（即弦心距）。

3、垂径定理常用作计算，在半径r、弦a、弦心d和弓高h中已知其中两个量可求另外两个量。

】三、圆心角、弧、弦之间的关系：1、圆心角定义：顶点在的角叫做圆心角2、定理：在中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量它们所对应的其余各组量也分别【名师提醒：注意：该定理的前提条件是“在同圆或等圆中”】四、圆周角定理及其推论：1、圆周角定义：顶点在并且两边都和圆的角叫圆周角2、圆周角定理：在同圆或等圆中，圆弧或等弧所对的圆周角都等于这条弧所对的圆心角的推论1、在同圆或等圆中，如果两个圆周角那么它们所对的弧推论2、半圆（或直弦）所对的圆周角是，900的圆周角所对的弦是【名师提醒：1、在圆中，一条弦所对的圆心角只有一个，而它所对的圆周角有个，是类，它们的关系是，2、作直径所对的圆周角是圆中常作的辅助线】五、圆内接四边形：定义：如果一个多边形的所有顶点都在圆上，这个多边形叫做，这个圆叫做。

中考数学专题复习圆的基本性质课件人教版

中考总复习 8.1 提高 No.13
选择填空题答案
中考总复习 8.1 答案
8.1 课中检测
8.1 课后检测 1-5 DCADD
A
中考总复习 8.1 课中 No.3
中考总复习 8.1 课中 No.4
中考总复习 8.1 课中 No.5
E
中考总复习 8.1 课后
中考总复习 8.1 课后 No.1D中来自总复习 8.1 课后 No.2
C
中考总复习 8.1 课后 No.3
A
中考总复习 8.1 课后 No.4
D
中考总复习 8.1 课后 No.5
D
中考总复习 8.1 课后 No.6
中考总复习 8.1 课后 No.7
中考总复习 8.1 课后 No.8
中考总复习 8.1 课后 No.9
中考总复习 8.1 课后 No.10
中考总复习 8.1 课后 No.11
中考总复习 8.1 提高 No.12
中考总复习 8.1 提高 No.12
中考总复习 8.1 提高 No.13
中考总复习 8.1
中考总复习 8.1例题
中考总复习知识填空
中考总复习知识填空
中考总复习引入
中考总复习问题
中考总复习问题
中考总复习拓展
中考总复习拓展
中考总复习拓展
中考总复习
中考总复习 8.1检测
中考总复习 8.1 课中
中考总复习 8.1 课中 No.1
B
中考总复习 8.1 课中 No.2

专题30 圆的基本性质-中考数学一轮复习精讲+热考题型(解析版)

专题30 圆的基本性质【知识要点】知识点一圆的基础概念圆的概念：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫圆．这个固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径．以O点为圆心的圆记作⊙O，读作圆O．特点：圆是在一个平面内，所有到一个定点的距离等于定长的点组成的图形．确定圆的条件：⑴圆心；⑵半径，⑶其中圆心确定圆的位置，半径长确定圆的大小．补充知识：1）圆心相同且半径相等的圆叫做同圆；2）圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆；3）半径相等的圆叫做等圆．弦的概念：连结圆上任意两点的线段叫做弦。

经过圆心的弦叫做直径，并且直径是同一圆中最长的弦．⏜，读作弧AB．在同圆或弧的概念：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．以A、B为端点的弧记作AB等圆中，能够重合的弧叫做等弧．圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆．在一个圆中大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧．弦心距概念：从圆心到弦的距离叫做弦心距．弦心距、半径、弦长的关系：（考点）知识点二垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；常见辅助线做法（考点）：1）过圆心，作垂线，连半径，造RT△，用勾股，求长度；2）有弧中点，连中点和圆心，得垂直平分．知识点一圆的基础概念圆的概念：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫圆．这个固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径．以O点为圆心的圆记作⊙O，读作圆O．特点：圆是在一个平面内，所有到一个定点的距离等于定长的点组成的图形．确定圆的条件：⑷圆心；⑸半径，⑹其中圆心确定圆的位置，半径长确定圆的大小．补充知识：1）圆心相同且半径相等的圆叫做同圆；2）圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆；3）半径相等的圆叫做等圆．弦的概念：连结圆上任意两点的线段叫做弦。

中考数学圆的基本性质专题复习学案设计

中考数学圆的基本性质专题复习一、知识点讲解1．圆的概念圆是平面上到一个定点的距离等于定长的点的集合．定点就是圆心，定长就是半径的长，通常也称为半径．以定点O 为圆心的圆称为圆O ，记作O Θ． 2．点和圆的位置关系设圆的半径为R ，点P 到圆心的距离为d ，则（1）点P 在圆外⇔R d >；（2）点P 在圆上⇔；（3）点P 在圆内⇔R d <≤0． 3．圆的确定不在同一条直线上的三点确定一个圆．经过三角形三个顶点可以作一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆．外接圆的圆心叫三角形的外心，这个三角形叫这个圆的内接三角形．三角形的外心就是三角形三边垂直平分线的交点．4．圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理及其推论（“知一推三”，强调特殊情况不成立）定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距也相等；推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条劣弧（或优弧）、两条弦、两条弦的弦心距得到的四组量中有一组量相等，那么它们所对应的其余三组量也分别相等． 5．垂径定理及其推论（“知二推二”，强调特殊情况不成立）如果圆的一条直径垂直于圆的一条弦，那么这条直径平分这条弦，并平分弦所对的两条弧．二、知识点相关练习例1.在平面上，经过给定的两点的圆有____个，这些圆的圆心一定在连结这两点的线段的_______上．例2.平面上有一个点到⊙O 的圆周上的最小距离为6cm ，最大距离为8cm ，则⊙O 的半径为_______．例3.在矩形ABCD 中，AB ＝8，AD ＝6，以点A 为圆心，若B ，C ，D 三点中至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外，则圆A 的半径R 的取值范围为 __________．例4.下列说法：①直径是弦；②弦是直径；③半圆是弧，但弧不一定是半圆；④长度相等的两条弧是等弧，其中正确的命题有（）个．A. 1B. 2C. 3D. 4例5.已知，如图，在⊙O 中，AB OE ⊥于E ，CD OF ⊥于F ，OE=OF ．求证：弧AC=弧BD ．例6.如图，OB ，OC 的⊙O 上一点，且∠B=200，∠C=300，求∠A 的度数．OBCA例7.下列三个命题：①圆既是轴对称图形又是中心对称图形；②垂直于弦的直径平分弦；③相等的圆心角所对的弧相等．其中是真命题的是（）． A. ①②③ B. ②③ C. ①③ D. ①②③例8.已知⊙O 的半径是5cm ，点P 满足PO=3cm ，则过P 的最大弦长为_________ 最小弦长为_________例9.已知⊙O 的半径是5㎝，圆心到弦AB 的距离是3㎝，则弦AB= ㎝．例10.等腰ABC ∆内接于半径为10cm 的圆内，其底边BC 的长为16cm ，则ABC S ∆( )A ．322cmB ．1282cmC ．322cm 或802cmD ．322cm 或1282cm例11.⊙O 的半径为13 cm ，弦AB ∥CD ，AB=24cm ，CD=10cm ，求AB 和CD 的距离．专项练习1.下列四边形：①平行四边形，②菱形；③矩形；④正方形．其中四个顶点一定能在同一个圆上的有（）．A ．①②③④B ．②③④C ．②③D ．③④2.小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如图所示，为配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是（）． A ．第①块 B ．第②块 C ．第③块 D ．第④块3．下列命题中，正确的是( ) A. 平分一条直径的弦必垂直于这条直径 B. 平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦 C. 弦的垂线必经过这条弦所在圆的圆心D. 在一个圆内平分一条弧和弧所对弦的直线必经过这个圆的圆心4.已知ABC ∆，090C ∠=，AC=3，BC=4，以点C 为圆心作圆C ，半径为r ．（1）当r 取什么值时，点A 、B 在圆C 外；（2）当r 在什么范围时，点A 在圆C 内，点B 在圆C 外．5.有下列四个命题：①直径是弦；②经过三个点一定可以作圆；③三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等；④半径相等的两个半圆是等弧，其中正确的命题有（）个．A. 4B. 3C. 2D. 16.下列命题中的假命题是（）A. 在等圆中，如果弦相等，那么它们所对的优弧也相等B.在等圆中，如果弧相等，那么它所对的弦的弦心距也相等 C ．在等圆中，如果弦心距相等，那么它们所对的弦也相等 D ．相等的圆心角所对的两条弦相等7.如图，在以O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB 交小圆于CD 两点，若AB ＝12cm, CD ＝8cm, 则AC 的长为( )A. 1cmB. 1.5cmC. 2cmD. 2.5cm8.下列命题中，正确的是（）．A ．平分一条弧的直径垂直平分这条弧所对的弦；B ．平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧；C ．AB ，CD 是⊙O 的弦，若»»AB CD ，则AB ∥CD ； D ．圆是轴对称图形，对称轴是圆的每一条直径．9．在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝2，BC ＝4，CD 是高，CM 是中线，以C 为圆心，以5长为半径画圆，那么A 、B 、C 、D 、M 五个点中，在圆外的点是 __________；在圆上的点是 __________；在圆内的点是 __________．10．如图，一圆拱桥跨度为AB ＝8米，拱高CD ＝2米，则圆拱半径为 __________ 米．11.在ABC ∆中，090C ∠=，AC=4，BC=3，以点B 为圆心，以3.5为半径作圆，那么：（1）点C 在圆B____；（2）点A 在圆B____；（3）当半径=_____时，点A 在圆B 上． 12．AB 是圆O 的直径，2=AB ，弦3=AC ，若D 为圆上一点，且1=AD ，则=∠DAC 度．13. 已知等腰三角形的底边长为6，它内接于半径为5的o e 中，那么这个三角形的腰长为 .14. P 是⊙O 外一点，过点P 的两条直线分别交⊙O 于A 、B 和C 、D ，又E 、F 分别是AB 弧、CD 弧的中点，联结EF ，交AB 、CD 于点M 、N ，请判断△PMN 的形状，并证明你的结论．P15．△ABC 内接于⊙O，AB=AC.已知⊙O的半径为7，且圆心O到BC的距离为3．求腰AB的长．16．⊙O的半径为13 cm，弦AB∥CD，AB=24cm，CD=10cm，求AB和CD的距离．17．在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，D是垂足，∠A=30°，AC=3cm，以C为圆心，3cm为半径作圆C．（1）指出A、B、D与⊙C的位置关系；（2）如果要使⊙C经过点D，那么这个圆的半径应为多长？（3）设⊙C的半径为R，要使点B在⊙C内，点A在⊙C外，求出⊙C的半径R的取值范围.18.机器人“海宝”在某圆形区域表演“按指令行走”，如图所示，“海宝”从圆心O出发，先沿北偏西67.4°方向行走13米至点A处，再沿正南方向行走14米至点B处，最后沿正东方向行走至点C处，点B、C都在圆O上.（1）求弦BC的长；（2）求圆O的半径长.（本题参考数据：sin 67.4° = 1213，cos 67.4° =513，tan 67.4° =125）BD。

中考数学专题特训第二十四讲：与圆有关的位置关系(含详细参考答案)

中考数学专题复习第二十四讲与圆有关的位置关系【基础知识回顾】一、点与圆的位置关系：1、点与圆的位置关系有种，若圆的半径为r点P到圆心的距离为d则：点P在圆内<＝> 点P在圆上<＝>点P在圆外<＝>2、过三点的圆：⑴过同一直线上三点作用，过三点，有且只有一个圆⑵三角形的外接圆：经过三角形各顶点的圆叫做三角形的外接圆的圆心叫做三角形的这个三角形叫做这个圆的⑶三角形外心的形成：三角形的交点，外心的性质：到相等【赵老师提醒：1、锐角三角形外心在三角形直角三角形的外心是锐角三角形的外心在三角形】一、直线与圆的位置关系：1、直线与圆的位置关系有种：当直线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆直线叫圆的线，这的直线叫做圆的直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆2、设Qo的半径为r，圆心o到直线l的距离为d，则：直线l与Qo相交<＝>d r,直线l与Qo相切<＝>d r直线l与Qo相离<＝>d r3、切线的性质和判定：⑴性质定理：圆的切线垂直于经过切点的【赵老师提醒：根据这一定理，在圆中遇到切线时，常用连接圆心和切点，即可的垂直关系】⑵判定定理：经过半径的且这条半径的直线式圆的切线【赵老师提醒：在切线的判定中，当直线和圆的公共点标出时，用判定定理证明。

当公共点未标出时，一般可证圆心到直线的距离d=r来判定相切】4、切线长定理：⑴切线长定义：在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的长叫做这点到圆的切线长。

⑵切线长定理：从圆外一点到圆的两条切线，它们的相等，并且圆心和这一点的连线平分的夹角5、三角形的内切圆：⑴与三角形各边都的圆，叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的⑵三角形内心的形成：是三角形的交点内心的性质：到三角形各的距离相等，内心与每一个顶点的连接线平分【赵老师提醒：三类三角形内心都在三角形若△ABC三边为a、b、c面积为s，内切圆半径为r，则s= ，若△ABC为直角三角形，则r= 】二、圆和圆的位置关系：圆和圆的位置关系有种，若Qo1半径为R，Qo2半径为r，圆心距外，则Qo1 与Qo2 外距<＝> Qo1 与Qo2 外切<＝>两圆相交<＝> 两圆内切<＝>两圆内含<＝>【赵老师提醒：两圆相离无公共点包含和两种情况，两圆相切有唯一公共点包含和两种情况，注意题目中两种情况的考虑圆心同是两圆此时d= 】三、反证法：假设命题的结论，由此经过推理得出由矛盾判定所作的假设从而得到原命题成立，这种证明命题的方法叫反证法【赵老师提醒：反证法正题的关键是提出即假设所证结论的反面成立，择推理论证得出的矛盾可以与相矛盾，也可以与相矛盾，从而肯定原命题成立】【典型例题解析】考点一：切线的性质线，证明：AB=4PD．考点：切线的性质；等边三角形的判定与性质；含30度角的直角三角形；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理．专题：几何综合题．分析：（1）PO与BC的位置关系是平行；（2）（1）中的结论成立，理由为：由折叠可知三角形APO与三角形CPO全等，根据全等三角形的对应角相等可得出∠APO=∠CPO，再由OA=OP，利用等边对等角得到∠A=∠APO，等量代换可得出∠A=∠CPO，又根据同弧所对的圆周角相等得到∠A=∠PCB，再等量代换可得出∠COP=∠ACB，利用内错角相等两直线平行，可得出PO与BC平行；（3）由CD为圆O的切线，利用切线的性质得到OC垂直于CD，又AD垂直于CD，利用平面内垂直于同一条直线的两直线平行得到OC与AD平行，根据两直线平行内错角相等得到∠APO=∠COP，再利用折叠的性质得到∠AOP=∠COP，等量代换可得出∠APO=∠AOP，再由OA=OP，利用等边对等角可得出一对角相等，等量代换可得出三角形AOP三内角相等，确定出三角形AOP为等边三角形，根据等边三角形的内角为60°得到∠AOP为60°，由OP 平行于BC，利用两直线平行同位角相等可得出∠OBC=∠AOP=60°，再由OB=OC，得到三角形OBC为等边三角形，可得出∠COB为60°，利用平角的定义得到∠POC也为60°，再加上OP=OC，可得出三角形POC为等边三角形，得到内角∠OCP为60°，可求出∠PCD为30°，在直角三角形PCD中，利用30°所对的直角边等于斜边的一半可得出PD为PC的一半，而PC等于圆的半径OP等于直径AB的一半，可得出PD为AB的四分之一，即AB=4PD，得证．解答：解：（1）PO与BC的位置关系是PO∥BC；（2）（1）中的结论PO∥BC成立，理由为：由折叠可知：△APO≌△CPO，∴∠APO=∠CPO，又∵OA=OP，∴∠A=∠APO，∴∠A=∠CPO，又∵∠A与∠PCB都为PB所对的圆周角，∴∠A=∠PCB，∴∠CPO=∠PCB，对应训练1．（2012•玉林）如图，已知点O为Rt△ABC斜边AC上一点，以点O为圆心，OA长为半径的⊙O与BC相切于点E，与AC相交于点D，连接AE．（1）求证：AE平分∠CAB；（2）探求图中∠1与∠C的数量关系，并求当AE=EC时，tanC的值．考点：切线的性质；特殊角的三角函数值．专题：探究型．分析：（1）连接OE，则OE⊥BC，由于AB⊥BC，故可得出AB∥OE，进而可得出∠2=∠AEO，由于OA=OE，故∠1=∠AEO，进而可得出∠1=∠2；（2）由三角形外角的性质可知∠1+∠AEO=∠EOC，，因为∠1=∠AEO，∠OEC=90°，所以2∠1+∠C=90°；当AE=CE时，∠1=∠C，再根据2∠1+∠C=90°即可得出∠C的度数，由特殊角的三角函数值得出tanC即可．解答：（1）证明：连接OE，∵⊙O与BC相切于点E，∴OE⊥BC，∴∠OBP+∠ABP=90°，∠ACP+∠APC=90°，∵OP=OB，∴∠OBP=∠OPB，∵∠OPB=∠APC，∴∠ACP=∠ABC，∴AB=AC；（2）延长AP交⊙O于D，连接BD，∵设圆半径为r，则OP=OB=r，PA=5-r，∴AB2=OA2-OB2=52-r2，AC2=PC2-PA2=(25)2-（5-r）2，∴52-r2=(25)2-（5-r）2，解得：r=3，∴AB=AC=4，∵PD是直径，∴∠PBD=90°=∠PAC，∵∠DPB=∠CPA，∴△DPB∽△CPA，∴CP AP PD BP=，∴2553 33BP-=+，解得：PB=655．考点二：切线的判定（2）解：作BG⊥CD，垂足是G，在Rt△ABD中∵AB=10，sin∠DAB=35，又∵sin∠DAB=BD AB，∴BD=6∵C是弧AB的中点，∴∠ADC=∠CDB=45°，∴BG=DG=BDsin45°=6×22=32，∵∠DAB=∠DCB∴tan∠DCB=BGCG=34，∴CG=42，∴CD=CG+DG=42+32=72，∴S△CBD=12CD•BG=7232212⨯=．点评：本题考查的是切线的判定定理，涉及到圆周角定理、解直角三角形及三角形的面积公式，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．对应训练考点三：三角形的外接圆和内切圆例4 （2012•阜新）如图，在△ABC中，BC=3cm，∠BAC=60°，那么△ABC能被半径至少为cm的圆形纸片所覆盖．考点：三角形的外接圆与外心；圆周角定理；锐角三角函数的定义．专题：计算题．分析：作圆O的直径CD，连接BD，根据圆周角定理求出∠D=60°，根据锐角三角函数的定义得出sin∠D= BCCD，代入求出CD即可．解答：解：作圆O的直径CD，连接BD，∵弧BC对的圆周角有∠A、∠D，∴∠D=∠A=60°，∵直径CD，A．r B．2r C．2r D．2r考点：三角形的内切圆与内心；矩形的判定；正方形的判定；切线长定理．专题：计算题．分析：连接OD、OE，求出∠ODB=∠DBE=∠OEB=90°，推出四边形ODBE是正方形，得出BD=BE=OD=OE=r，根据切线长定理得出MP=DM，NP=NE，代入MB+NB+MN得出BD+BE，求出即可．解答：解：连接OD、OE，∵⊙O是Rt△ABC的内切圆，∴OD⊥AB，OE⊥BC，∵∠ABC=90°，∴∠ODB=∠DBE=∠OEB=90°，∴四边形ODBE是矩形，∵OD=OE，∴矩形ODBE是正方形，∴BD=BE=OD=OE=r，∵⊙O切AB于D，切BC于E，切MN于P，∴MP=DM，NP=NE，∴Rt△MBN的周长为：MB+NB+MN=MB+BN+NE+DM=BD+BE=r+r=2r，故选C．点评：本题考查的知识点是矩形的判定、正方形的判定、三角形的内切圆和内心、切线长定理等，主要考查运用这些性质进行推理和计算的能力，题目比较好，难度也适中．对应训练4．（2012•台州）已知，如图1，△ABC中，BA=BC，D是平面内不与A、B、C重合的任意一点，∠ABC=∠DBE，BD=BE．（1）求证：△ABD≌△CBE；∴sin∠D=BCCD=45，∴CD=25 4，答：三角形ABC外接圆的直径是254．（2）解：连接IC、BI，且延长BI交AC于F，过I作IE⊥AB于E，∵AB=BC=5，I为△ABC内心，∴BF⊥AC，AF=CF，∵sin∠A=45=BFAB，∴BF=4，在Rt△ABF中，由勾股定理得：AF=CF=3，AC=2AF=6，∵I是△ABC内心，IE⊥AB，IF⊥AC，IG⊥BC，∴IE=IF=IG，设IE=IF=IG=R，∵△ABI、△ACI、△BCI的面积之和等于△ABC的面积，∴12AB×R+12BC×R+12AC×R=12AC×BF，即5×R+5×R+6×R=6×4，∴R=32，在△AIF中，AF=3，IF=32，由勾股定理得：AI=352．答：AI的长是352．点评：本题考查了三角形的面积公式，三角形的内切圆和内心，勾股定理，等腰三角形的性质，圆周角定理等知识点的应用，主要考查学生运用性质进行推理和计算的能力，题目综合性比较强，有一定的难度．考点三：圆与圆的位置关系例6（2012•毕节地区）第三十奥运会将于2012年7月27日在英国伦敦开幕，奥运会旗图案有五个圆环组成，如图也是一幅五环图案，在这个五个圆中，不存在的位置关系是（）A．外离B．内切C．外切D．相交考点：圆与圆的位置关系．分析：根据两圆的位置关系易得到它们的位置关系有外切、外离、相交．解答：解：观察图形，五个等圆不可能内切，也不可能内含，并且有的两个圆只有一个公共点，即外切；有的两个圆没有公共点，即外离；有的两个圆有两个公共点，即相交．故选B．点评：本题考查了圆与圆的位置关系：若两圆的半径分别为R，r，圆心距为d，若d＞R+r，两圆外离；若d=R+r，两圆外切；若R-r＜d＜R+r（R≥r），两圆相交；若d=R-r（R＞r），两圆内切；若0≤d＜R-r（R＞r），两圆内含．对应训练6．（2012•德阳）在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，2），⊙A的半径是2，⊙P的半径是1，满足与⊙A及x轴都相切的⊙P有个．6．4考点：圆与圆的位置关系；坐标与图形性质；直线与圆的位置关系．分析：分两圆内切和两圆外切两种情况讨论即可得到⊙P的个数．解答：解：如图，满足条件的⊙P有4个，故答案为4．点评：本题考查了圆与圆的位置关系、坐标与图形的性质及直线与圆的知识，能充分考虑到分内切和外切是解决本题的关键．【聚焦山东中考】1．（2012•济南）已知⊙O1和⊙O2的半径是一元二次方程x2-5x+6=0的两根，若圆心距O1O2=5，则⊙O1和⊙O2的位置关系是（）A．外离B．外切C．相交D．内切考点：圆与圆的位置关系．分析：先根据一元二次方程根与系数的关系，可知圆心距=两圆半径之和，再根据圆与圆的位置关系即可判断．解答：解：∵⊙O1和⊙O2的半径是一元二次方程x2-5x+6=0的两根，∴两根之和=5=两圆半径之和，又∵圆心距O1O2=5，∴两圆外切．故选B．点评：此题综合考查一元二次方程根与系数的关系及两圆的位置关系的判断．圆和圆的位置与两圆的圆心距、半径的数量之间的关系：①两圆外离⇔d＞R+r；②两圆外切⇔d=R+r；③两圆相交⇔R-r＜d＜R+r（R≥r）；④两圆内切⇔d=R-r（R＞r）；⑤两圆内含⇔d＜R-r（R＞r）．2．（2012•青岛）已知，⊙O1与⊙O2的半径分别是4和6，O1O2=2，则⊙O1与⊙O2的位置关系是（）A．内切B．相交C．外切D．外离考点：圆与圆的位置关系．分析：由⊙O1与⊙O2的半径分别是4和6，O1O2=2，根据两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r的数量关系间的联系即可得出两圆位置关系．解答：解：∵⊙O1与⊙O2的半径分别是4和6，O1O2=2，∴O1O2=6-4=2，∴⊙O1与⊙O2的位置关系是内切．故选A．点评：此题考查了圆与圆的位置关系．此题比较简单，注意掌握两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r的数量关系间的联系是解此题的关键．3．（2012•泰安）如图，AB与⊙O相切于点B，AO的延长线交⊙O于点C，连接BC，若∠ABC=120°，OC=3，则BC的长为（）A．π B．2πC．3π D．5π考点：切线的性质；弧长的计算．分析：连接OB，由于AB是切线，那么∠ABO=90°，而∠ABC=120°，易求∠OBC，而OB=OC，那么∠OBC=∠OCB，进而求出∠BOC的度数，在利用弧长公式即可求出BC的长．解答：解：连接OB，∵AB与⊙O相切于点B，∴∠ABO=90°，∵∠ABC=120°，∴∠OBC=30°，∵OB=OC，∴∠OCB=30°，∴∠BOC=120°，∴ BC 的长为nπr 180 =120×π×3 180 =2π，故选B．点评：本题考查了切线的性质、弧长公式，解题的关键是连接OB，构造直角三角形．4．（2012•潍坊）已知两圆半径r1、r2分别是方程x2-7x+10=0的两根，两圆的圆心距为7，则两圆的位置关系是（）A．相交B．内切C．外切D．外离考点：圆与圆的位置关系；解一元二次方程-因式分解法．分析：首先解方程x2-7x+10=0，求得两圆半径r1、r2的值，又由两圆的圆心距为7，根据两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r的数量关系间的联系即可得出两圆位置关系．解答：解：∵x2-7x+10=0，∴（x-2）（x-5）=0，∴x1=2，x2=5，即两圆半径r1、r2分别是2，5，∵2+5=7，两圆的圆心距为7，∴两圆的位置关系是外切．故选C．点评：此题考查了圆与圆的位置关系与一元二次方程的解法．此题比较简单，注意掌握两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r的数量关系间的联系是解此题的关键．5．（2012•济南）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=6，BC=8，以其三边为直径向三角形外作三个半圆，矩形EFGH的各边分别与半圆相切且平行于AB或BC，则矩形EFGH的周长是．5．4848考点：切线的性质；勾股定理；矩形的性质．分析：首先取AC的中点O，过点O作MN∥EF，PQ∥EH，由题意可得PQ⊥EF，PQ⊥GH，MN⊥EH，MN⊥FG，PL，KN，OM，OQ分别是各半圆的半径，OL，OK是△ABC的中位线，又由在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=6，BC=8，即可求得个线段长，继而求得答案．解答：解：取AC的中点O，过点O作MN∥EF，PQ∥EH，∵四边形EFGH是矩形，∴EH∥PQ∥FG，EF∥MN∥GH，∠E=∠H=90°，∴PQ⊥EF，PQ⊥GH，MN⊥EH，MN⊥FG，∵AB∥EF，BC∥FG，∴AB∥MN∥GH，BC∥PQ∥FG，∴AL=BL，BK=CK，∴OL=12BC=12×8=4，OK=12AB=12×6=3，∵矩形EFGH的各边分别与半圆相切，∴PL=12AB=12×6=3，KN=12BC=12×8=4，在Rt△ABC中，AC= ，∴OM=OQ=12AC=5，∴EH=FG=PQ=PL+OL+OQ=3+4+5=12，EF=GH=MN=OM+OK+NK=5+3+4=12，∴矩形EFGH的周长是：EF+FG+GH+EH=12+12+12+12=48．故答案为：48．点评：此题考查了切线的性质、矩形的性质，三角形中位线的性质以及勾股定理等知识．此题难度较大，解题的关键是掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．6．（2012•菏泽）如图，PA，PB是⊙O是切线，A，B为切点，AC是⊙O的直径，若∠P=46°，则∠BAC= 度．6．23考点：切线的性质．专题：计算题．分析：由PA、PB是圆O的切线，根据切线长定理得到PA=PB，即三角形APB为等腰三角形，由顶角的度数，利用三角形的内角和定理求出底角的度数，再由AP为圆O的切线，得到OA与AP垂直，根据垂直的定义得到∠OAP为直角，再由∠OAP-∠PAB即可求出∠BAC 的度数．解答：解：∵PA，PB是⊙O是切线，∴PA=PB，又∠P=46°，∴∠PAB=∠PBA=180-462=67°，又PA是⊙O是切线，AO为半径，∴OA⊥AP，∴∠OAP=90°，∴∠BAC=∠OAP-∠PAB=90°-67°=23°．故答案为：23。